¨ ¨ LORAND ´ ´ EOTV OS TUDOMANYEGYETEM ´ ´ TERMESZETTUDOM ANYI KAR
Egy¨ uttes eloszl´ asok szerepe a m˝ uk¨ od´ esi kock´ azatokn´ al
´Irta:
Stark Andr´as Biztos´ıt´as ´es p´enz¨ ugyi matematika MSc T´emavezet˝ok:
Medvegyev P´eter Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tansz´ek
¨ Szil´agyi Ors Budapest Bank Kock´azatkezel´es
2014.
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as Ez´ uton szeretn´ek k¨osz¨onetet mondani mindazon embereknek akik seg´ıtett´ek munk´amat, s hozz´aj´arultak ahhoz, hogy ez a dolgozat megsz¨ ulessen. K¨ ul¨on¨osk´epp t´e¨ mavezet˝omnek Medvegyev P´eternek ´es Szil´agyi Orsnek, a szakdolgozatom elk´esz´ıt´es´eben ny´ ujtott seg´ıts´eg´e´ert ´es u ´tmutat´o tan´acsai´ert. Tov´abb´a szeretn´em megk¨o´ sz¨onni a szakt´arsaim t´amogat´as´at, Arend´ as P´eternek a lektor´al´ast, ´es Eddardnak az egy¨ utt t¨olt¨ott id˝ot. V´eg¨ ul nem utols´o sorban k¨osz¨onetet mondok Kiripovszky Fruzsin´anak ´es csal´adomnak a tanulm´anyaim sor´an ny´ ujtott szeret˝o t´amogat´asuk´ert.
1
Tartalomjegyz´ ek K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as
1
´ ak jegyz´ Abr´ eke
4
1. Bevezet´ es 1.1. Bevezet´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5
2. Kopul´ ak 8 2.1. Kopul´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. A kopul´ak oszt´alyoz´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. A kapcsolatszoross´ag le´ır´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Kopul´ ak kalibr´ al´ asa 3.1. Kopula-csal´adok parametrikus becsl´esi m´odszerei . . . . . . . . 3.1.1. ML m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. IFM m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. CML m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Kapcsolatszoross´agi m´ert´ekek alapj´an t¨ort´en˝o kalibr´aci´o 3.2. Nem param´eteres m´odszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Az oper´ aci´ os kock´ azat ´ es az LDA modell 4.1. A p´enz¨ ugyi szab´alyoz´as szerepe . . . . . . . . 4.2. Az oper´aci´os kock´azat . . . . . . . . . . . . . 4.3. Vesztes´egeloszl´as-alap´ u megk¨ozel´ıt´es (LDA) . 4.3.1. Egyedi kock´azatok vesztes´ege . . . . . 4.3.2. T˝oketartal´ek, ´es az egy¨ uttes eloszl´as . . 4.3.3. Egyedi oszt´alyok k¨ozti f¨ ugg˝os´eg szerepe 4.4. Kopul´ak szerepe LDA eset´en . . . . . . . . . .
. . . . . . .
5. Szimul´ aci´ os tanulm´ any 5.1. Szimul´aci´os tanulm´any . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Az adatb´azisr´ol . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Peremeloszl´asok vizsg´alata . . . . . . . 5.1.3. Kopulakalibr´aci´ok vizsg´alata . . . . . . . 5.1.4. Kopulaoszt´alyok hat´asa a t˝oketartal´ekra 2
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . .
20 20 20 21 23 23 24
. . . . . . .
27 27 28 30 30 32 34 35
. . . . .
37 37 38 41 44 47
Contents
3
¨ 6. Osszegz´ es
50
F¨ uggel´ ek
52
Irodalomjegyz´ ek
78
´ ak jegyz´ Abr´ eke 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.
2-n¨ov˝o tulajdons´ag egy 100 elem˝ u k´et dimenzi´os Gauss kopul´an P´elda h´arom dimenzi´os kopul´akra . . . . . . . . . . . . . . . . . P´elda k´et dimenzi´os kopula s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyekre . . . . . . . . . A k´et dimenzi´os maximum ´es minimum kopula szintvonalai . . . Outlier tartalmaz´o mint´an, a k¨ ul¨onf´ele korrel´aci´ok . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
10 14 14 17 19
3.1. Emp´ırikus kopula ´es a kopulafrekvencia . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4
1. fejezet Bevezet´ es
1.1. Bevezet´ es A kock´azatkezel´es egyik fontos k´erd´ese, hogy az egyedi kock´azatokat hogyan aggreg´aljuk. Ennek a k´erd´esnek a gyakorlati szempontb´ol az egyik praktikus megk¨ozel´ıt´ese az, hogy feltessz¨ uk, hogy az esem´enyek egym´ast´ol f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´eg˝ u v´altoz´ok. A probl´ema akkor v´alik igaz´an ´erdekess´e, ha szeretn´enk modellezni a teljes o¨sszef¨ ugg˝os´eget an´elk¨ ul, hogy az esem´enyek egy¨ uttes eloszl´as´at ismern´enk. Erre vonatkoz´oan egy klasszikus megold´as az, ha felt´etelezz¨ uk, hogy a kock´azatok vektora norm´alis eloszl´ast k¨ovet (egy meghat´arozott kovarianca m´atrixszal). Azonban a kock´azati esem´enyek, mint val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok jellemz˝oen nem mindig norm´alis eloszl´ast k¨ovetnek - gondoljunk itt a hitelbed˝ol´esb˝ol fakad´o vesztes´egeloszl´as aszimmetrikus volt´ara- ´ıgy pedig az egy¨ uttes norm´alis eloszl´as nem megfelel˝oen ´ırja le az o¨sszef¨ ugg˝os´egi kapcsolatokat, mint p´eldul az eloszl´as sz´el´et. Azonk´ıv¨ ul, hangs´ ulyozzuk, hogy nem gyakran a´ll rendelkez´es¨ unkre annyi inform´aci´o az egy¨ uttes eloszl´asr´ol, mint amennyi az egyedi kock´azatokr´ol, azaz a margin´alis eloszl´asokr´ol. A kock´azatok o¨sszef¨ ugg˝os´egeinek le´ır´as´ara egy nagyon er˝os ´es felhaszn´al´obar´at eszk¨ozt szolg´altatnak a kopul´ak. Leegyszer˝ us´ıtve a kopula nem m´as, mint egy 5
1.fejezet Bevezet´es
6
t¨obbdimenzi´os eloszl´as egyenletes margin´alisokkal, mely tetsz˝oleges folytonos t¨obbdimenzi´os eloszl´ashoz egy´ertelm˝ uen megadhat´o. Maga a kopula fogalma 1959ben Sklar [1] a´ltal lett bevezetve, de 1940-es ´evekben ´erint˝olegesen m´ar Hoeffding [2] is foglalkozott a kopul´akkal. A kock´azatok eloszl´as´ara vonatkoz´o egyszer˝ ubb norm´alis felt´etelez´es´evel szemben, a kopul´ak seg´ıts´eg´evel lehet˝os´eg¨ unk ny´ılik gazdagabb ´es robosztusabb o¨sszef¨ ugg˝os´egi strukt´ ur´ak le´ır´as´ara. Seg´ıts´eg¨ ukkel sz´etv´alaszthat´o az egy¨ uttes eloszl´as vizsg´alata a peremeloszl´asok ´es az o¨sszef¨ ugg˝os´egi ´ strukt´ ura vizsg´alat´ara . Erdemes megjegyezni, hogy Skarl t´etele 2.2 megteremti a kopul´ak l´etez´es´ehez sz¨ uks´eges felt´eteleket, viszont mivel sz´amos kopula csal´ad l´etezik, a megfelel˝o kopula megv´alaszt´asa nem trivi´alis feladat. Az ehhez sz¨ uks´eges gyakorlati m´odszertan bemutat´as´ara is t¨orekedtem dolgozatom sor´an. A banki gyakorlatban ´altal´anoss´agban jellemz˝o, hogy sokszor m´odszertanilag praktikusabb, numerikus szempontb´ol kezelhet˝obb modelleket v´alasztj´ak a kock´azatkezel´esn´el, ´ıgy a dolgozatom sor´at pr´ob´altam erre vonatkoz´olag hasznosabb ´eszrev´eteleket tenni (bizonyos esetekben az illeszt´esek t´ uls´agosan sz´amol´asig´enyesek, valamint nem ´all rendelkez´esre kell˝o mennyis´eg˝ u ´es min˝os´eg˝ u minta). A dolgozatom c´elja, hogy n´eh´any egyszer˝ ubb kopula-alkalmaz´ast mutassak be, melyek j´ol hasznos´ıthat´oak lehetnek a kock´azatkezel´es ter¨ uletein, ezen bel¨ ul is kiemelve a m˝ uk¨od´esi kock´azatok szerepk¨or´et. A dolgozat els˝o h´arom fejezet´eben egy alapvet˝o elm´eleti h´atteret pr´ob´alok biztos´ıtani a kopul´ak bemutat´as´ara, a kapcsolatszoross´agi m´ert´ekekre ´es kalibr´aci´os eszk¨oz¨okre vonatkoz´olag. Ezek ut´an a negyedik fejezeben a m˝ uk¨od´esi kock´azathoz sz¨ uks´eges fejlett m´odszertanhoz (AMA) tartoz´o egy lehets´eges modell bemutat´as´ara t¨orekszem a szakirodalmon kereszt¨ ul, ´es ´altal´anos a´ttekint´est adok a b´azeli szab´alyoz´asok a´ltal meghat´arozott oper´aci´os vesztes´egekr˝ol. A modell kiterjeszt´esek´ent megvizsg´aljuk, hogy a t˝okek´epz´es szempontj´ab´ol milyen jelent˝os´ege van a kopula haszn´alatnak, azaz alternat´ıv eszk¨ozt biztos´ıt¨ unk az egy¨ uttes eloszl´as meghat´aroz´as´ahoz. Tov´abb´a a dolgozat utols´o
1.fejezet Bevezet´es
7
fejezet´eben egy szimul´aci´os tanulm´anyon kereszt¨ ul mutatom be tipikusan kis mintaelemsz´amok eset´en, hogy mely elj´ar´asok bizonyulnak a legjobbnak a kalibr´aci´ok ´es peremeloszl´asok illeszt´ese sor´an. Az ehhez sz¨ uks´eges k´odokat R nyelven ´ırtam, melyek f¨ uggel´ek megfelel˝o r´eszeiben megtal´alhat´oak. A dolgozat sor´an nem c´elom bemutatni teljes k¨or˝ uen a banki m˝ uk¨od´esi kock´azat kezel´es´et ´es jelenleg ´erv´enyes jogszab´alyi vonzatait, csup´an egy lehets´eges m´odszertant szeretn´ek eszk¨oz¨olni matematikai vonatkoz´asban, melyek seg´ıthetik a l´atens kock´azatok hat´ekonyabb vizsg´alat´at.
2. fejezet Kopul´ ak
2.1. Kopul´ ak A kopul´ak olyan matematikai eszk¨oz¨ok, melyek seg´ıts´eg´evel az egy¨ uttes eloszl´asokat k´epesek vagyunk modellezni adott margin´alis eloszl´asokra, ez´altal a peremeloszl´asok k¨ozti o¨sszef¨ ugg˝os´egi strukt´ ur´at szolg´altatja. A kopula sz´ot Sklar haszn´alta az 1959es francia nyelv˝ u cikk´eben (1973-ban jelent meg egy hasonl´o angol ´atirat), hab´ar maga a matematikai ´ertelemben vett o¨tlet alapjait m´ar Hoeffding (1940) lefektette. A szigor´ uan n¨ov˝o transzform´aci´ora n´ezve invari´ans f¨ ugg˝os´egi m´ert´ekeket tanulm´anyozta, valamint a kopula lek´epez´esekre adott egy als´o ´es egy fels˝o korl´atot. Maga a kopula sz´o, mint kifejez´es (angolul copula) a latin copulare sz´ob´ol sz´armazik. A sz´o jelent´ese o¨sszek¨ot, kapcsol. Minden bizonnyal a Sklar a´ltal meghat´arozott kopul´ak l´etez´es´ehez sz¨ uks´eges alapt´etel induk´alta ezt a kifejez´est, amely az egyenletes margin´alisok ´es azok t¨obbdimenzi´os eloszl´asainak k¨olcs¨on¨os kapcsolat´ara utal. A k¨ovetkez˝o szekci´oban, a Schweizer f´ele [3] megfogalmaz´as szerint defini´aljuk a kopul´at.
8
2.fejezet Kopul´ak
9
2.1.1. Defin´ıci´ o. Kopul´an egy d-dimenzi´os, egyenletes eloszl´as´ u peremekkel rendelkez˝o val´osz´ın˝ us´egi vektor eloszl´asf¨ uggv´eny´et ´ertj¨ uk. A C : [0, 1]d → [0, 1] dv´altoz´os f¨ uggv´eny kopulaf¨ uggv´eny, ha igazak a k¨ovetkez˝o tulajdons´agok:
• C(u1 , u2 , . . . , uk−1 , 0, uk+1 , . . . , ud ) = 0, ∀u1 , u2 , . . . , ud ∈ [0, 1] • C(1, 1, . . . , 1, uk , 1, . . . , 1, ) = uk , ∀uk ∈ [0, 1], ahol k = 1, . . . , d • A kopula d-n¨ov˝o: ∆ba C(u) = ∆ba11 . . . ∆badd C(u) ≥ 0, ∀a ≤ b ∈ [0, 1]d ,
ahol a ∆bakk C(u) = C(u1 , u2 , . . . , uk−1 , bk , uk+1 , . . . , ud )−C(u1 , u2 , . . . , uk−1 , ak , uk+1 , . . . , ud ) differencia, ´es ha ∀k eset´en az ak ≤ bk , akkor azt mondjuk, hogy a ≤ b, ahol a = (a1 , . . . , ad ) ´es b = (b1 , . . . , bd ) . 2.1. Megjegyz´ es. Az els˝ o k´et tulajdons´ ag biztos´ıtja, hogy a peremeloszl´ asok egyenletesek. M´ıg a harmadik tulajdons´ ag miatt lesz a kopula eloszl´ asf¨ uggv´eny. Azaz C(u1 , u2 , . . . , ud ) = P (U1 ≤ u1 , U2 ≤ u2 , . . . , Ud ≤ ud ), ahol Ui -k a [0, 1]-en egyenletesek ∀i ≥ 2-re. 2.1. T´ etel. Legyenek µ1 , . . . , µd folytonos val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´es a hozz´ ajuk tartoz´ o kopula Cµ (u). Legyenek h1 (µ), . . . , hd (µ) szigor´ uan montonon n¨ ovekv˝ o f¨ uggv´enyek a megfelel˝ o µi val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ´ert´ekk´eszlet´en. Ekkor a kopul´ ak a szigor´ u monoton n¨ ov˝ o transzform´ aci´ ora n´ezve invari´ ansak:
Ch(µ) (u) = Cµ (u)
2.1.2. Defin´ıci´ o. 2-dimenzi´ os kopula A fenti speci´ alis esetek´ent kapjuk meg a 2-dimenzi´ os kopul´ at, ami a p´enz¨ ugyi szakirodalomban gyakran fordul el˝ o az alkalmaz´ asok kapcs´ an.
1. C(0, y) = 0 ´es C(x, 0) = 0, ∀x, y ∈ [0, 1] 2. C(1, y) = y ´es C(x, 1) = x, ∀x, y ∈ [0, 1]
2.fejezet Kopul´ak
10
3. C 2-n¨ ov˝ o azaz: ∀x1 ≤ x2 ´es y1 ≤ y2 ∈ [0, 1] eset´en
C(x2 , y2 ) − C(x1 , y2 ) − C(x2 , y1 ) + C(x1 , y1 ) ≥ 0
A 2-n¨ ov˝ o tulajdons´ agot, grafikusan is interpret´alhatjuk: annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az (x, y) v´eletlen vektor a (x1 , y1 ), (x1 , y2 ), (x2 , y2 ), (x2 , y1 ) t´eglalapba esik, pozit´ıv.
´ bra. 2-n¨ 2.1. a ov˝ o tulajdons´ag egy 100 elem˝ u k´et dimenzi´os Gauss kopul´an
A kopula fontos szerepet j´ atszik a nem szimmetrikus eloszl´asokra ´ep¨ ul˝o modellek megalkot´ as´ aban is. A fogalm´ ara ´ep´ıtve a norm´alis eloszl´ast is u ´jra defini´alhatjuk, mint egydimenzi´ os norm´ alis eloszl´ asok kombin´aci´oj´at. A k¨ovetkez˝o t´etel biztos´ıtja, hogy a kopul´ ak nem csak egyenletes peremeloszl´asokra illeszthet˝ok.
2.fejezet Kopul´ak
11
2.2. T´ etel. Sklar Legyen H egy d-dimenzi´ os eloszl´ asf¨ uggv´eny az F1 (x1 ), . . . , Fd (xd ) peremeloszl´ asokkal. Ekkor l´etezik egy olyan d-dimenzi´ os C kopula, ∀(x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ Rd , hogy
H(x1 , x2 , . . . , xd ) = C(F1 (x1 ), F2 (x2 ), . . . , Fd (xd )).
Megford´ıtva, ha C egy d-dimenzi´ os kopula ´es F1 (x1 ), F2 (x2 ), . . . , Fd (xd ) eloszl´ asf¨ uggv´enyek, akkor H egy d-dimenzi´ os eloszl´ asf¨ uggv´eny az F1 (x1 ), F2 (x2 ), . . . , Fd (xd ) peremekkel. 2.1. K¨ ovetkezm´ eny. Ha H folytonos d-dimenzi´ os eloszl´ as F1 (x1 ), F2 (x2 ), . . . , Fd (xd ) peremeloszl´ asokkal ´es F1−1 (u1 ), F2−1 (u2 ), . . . , Fd−1 (ud ) kvantilisf¨ uggv´enyekkel, akkor C(u1 , . . . , ud ) = H F1−1 (u1 ), . . . , Fd−1 (ud )
kopula egy´ertelm˝ u.
Sklar t´etel´enek k¨ osz¨ onhet˝ oen egy alternat´ıv elj´ar´ast kapunk az egy¨ uttes eloszl´asok vizsg´ alat´ara. Tulajdonk´eppen a kopulamodellez´es l´enyege abban ´all, hogy az egy¨ utteseloszl´ast felbontjuk a margin´ alis eloszl´ asokra, illetve az ezeket kombin´al´o kovarianciastrukt´ ur´ara. Term´eszetesen az elm´elet ´ altal´ anosabb abban az ´ertelemben, hogy a kapcsolatszoross´agot nem csak a kovarianciastrukt´ ur´ aval lehet le´ırni, hanem ´altal´anosabb fogalmakkal is, mint majd l´ atjuk a 2.3-as pont´ ol kezdve. 2.3. T´ etel. Fr´echet-Hoeffding hat´ ar Tetsz˝ oleges d-dimezi´ os C(u) kopul´ ara teljes¨ ul, hogy
W (u) = max
( d X
) ui + 1 − d, 0
≤ C(u) ≤ min(u1 , . . . , ud ) = M (u)
i=1
Az ´all´ıt´ asnak k¨ osz¨ onhet˝ oen, mindig meg tudunk adni, egy szigor´ u als´o ´es fels˝o korl´atot a kopul´ akra. Ezeket a hat´ arokat Fr´echet-hat´aroknak is h´ıvj´ak. A fels˝o hat´arra mindig igaz, hogy eloszl´ asf¨ uggv´enyt defini´al, m´ıg ez az als´o hat´arra d = 2 eset´en (d > 2-n´el pedig
2.fejezet Kopul´ak
12
esetleges plusz felt´etelek eset´en) teljes¨ ul [2]. A fels˝o hat´art szok´as komonoton kopul´anak, m´ıg az als´ o hat´ art amonoton kopul´anak is h´ıvni. Ezek speci´alis t´ıpusait hat´arozz´ak meg az adott kopul´ aknak, a t¨ ok´elesen pozit´ıvan ¨osszef¨ ugg˝o ´es a f¨ uggetlen eseteket.
2.2. A kopul´ ak oszt´ alyoz´ asa R¨oviden defini´ aljuk az ismertebb kopula oszt´alyokat. Alapvet˝oen a kopul´akat gyakorlati szempontb´ ol k´et f˝ o oszt´ alyba szok´as sorolni. Az archimedeszi kopul´ak ´es az elliptikus kopul´ ak oszt´ aly´ aba. Az el˝ obbiek arr´ol kapt´ak nev¨ uket, hogy elliptikus eloszl´asb´ ol sz´armaztathat´ oak, ilyen p´eld´ aul a norm´alis ´es a Student t-eloszl´as is. A dolgozat sor´ an elliptikus kopul´ akon kereszt¨ ul fogjuk vizsg´alni az oper´aci´os kock´azatokat. Erre gyakorlati szempontb´ ol volt sz¨ uks´eg, mivel elliptikus kopul´ak eset´en a t˝okek´epz´es szempontj´ab´ ol sz¨ uks´eges m´er˝ osz´ amoknak (l´ asd k´es˝obb pl. VaR, ES) sz´ep tulajdons´agai lehetnek. Az ehhez kapcsol´ od´ o tov´ abbi gondolatmenetet a 4. fejezetben ismertetj¨ uk. Mindezek ellen´ere m´ as modellek eset´eben az archimedeszi kopul´ak szerepe is igen jelent˝os, emiatt defini´ al´ asra ker¨ ulnek. 2.2.1. Defin´ıci´ o. Elliptikus eloszl´ as Azt mondjuk, hogy (X1 , . . . , Xd )T v´eletlen vektor elliptikus eloszl´ as k¨ ovet (µ, Σ, Ψ(·)) param´eterekkel azaz X ∼ E(µ, Σ, Ψ(·)) , ha a karakterisztikus f¨ uggv´enye a k¨ ovetkez˝ o alak´ u: t → ϕX (t) = E[exp(itT X)] = exp(itT µ)Ψ(tT Σt), ahol Σ ∈ Rd×d pozit´ıv definit szimmetrikus m´ atrix, µ ∈ R1×d , t ∈ Rd , Ψ(·) egy skal´ ar f¨ uggv´eny, ´es i a k´epzetes sz´ amot jel¨ oli.
2.fejezet Kopul´ak
13
2.2.2. Defin´ıci´ o. Gauss-kopula A Gauss-kopula a t¨ obbdimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as seg´ıts´eg´evel defini´ alhat´ o:
CΣ (u) = ΦΣ,d Φ−1 (u1 ), . . . , Φ−1 (ud ) ,
ahol ΦΣ,d egy d dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´eny Σ korrel´ aci´ os m´ atrixal, z ∈ [0, 1] ´es Φ−1 (z) a sztender norm´ alis eloszl´ asf¨ uggv´eny inverze. 2.2.3. Defin´ıci´ o. A Student t-kopula A Student t-kopula a t¨ obbdimenzi´ os Student t-eloszl´ as seg´ıts´eg´evel hat´ arozhat´ o meg:
−1 CΣ,v (u) = tΣ,v,d t−1 v (u1 ), . . . , tv (ud ) ,
ahol tΣ,v,d egy d dimenzi´ os v szabads´ agfok´ u Student t-eloszl´ asf¨ uggv´eny Σ korrel´ aci´ os m´ atrixal, m´ıg t−1 asf¨ uggv´eny inverze v szabads´ afokkal. v (z), z ∈ [0, 1] pedig a Student t-eloszl´ 2.2.4. Defin´ıci´ o. Archimedeszi kopul´ ak Genest ´es MacKay (1986) [5] a k¨ ovetkez˝ ok´eppen defini´ alt´ ak az Archimedeszi kopul´ at:
C(u1 , . . . , un , . . . , ud ) = φ−1 (φ(u1 )+, . . . , φ(un ), . . . , +φ(ud )),
ahol φ(·) : [0, 1] → R+ egy szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o f¨ uggv´eny a kopula gener´ atorf¨ uggv´enye ´es φ(·)−1 az ´ altal´ anos´ıtott inverze. Tov´ abb´ a az al´ abbi tulajdons´ agok teljes¨ ulnek m´eg a gener´ ator f¨ uggv´enyre:
•
Pd
n=1 φ(un )
≤ φ(0)
• φ(·) ∈ C 2 (0, 1) f¨ uggv´eny • φ(1)=0 0
00
• φ (u) < 0 ´es φ (u) > 0
∀u ∈ [0, 1]
2.fejezet Kopul´ak
14
´ bra. P´elda h´arom dimenzi´os kopul´akra 2.2. a
´ bra. P´elda k´et dimenzi´os kopula s˝ 2.3. a ur˝ us´egf¨ uggv´enyekre
2.2. Megjegyz´ es. Az a ´br´ akon megfigyelhet˝ o, hogy a Student t-kopula ´es a Gauss kopula szimmetrikus kopul´ ak. Ezek a tulajdons´ agok az elliptikus jelleg¨ ukb˝ ol fakadnak, ugyanakkor a Student t-kopul´ akra jellemz˝ o, hogy a fels˝ o ´es als´ o sz´eleken er˝ osebb az o ¨sszef¨ ugg˝ os´eg, mint a gaussi esetben. A Clayton kopula az archimedeszi kopul´ ak oszt´ aly´ aba tartozik, erre a kopula oszt´ alyra az extr´em sz´elek jellemz˝ oek.
2.fejezet Kopul´ak
15
2.3. A kapcsolatszoross´ ag le´ır´ asa A kopula teh´ at egy t¨ obbv´ altoz´os eloszl´asf¨ uggv´eny, melynek margin´alisai egyenletes eloszl´as´ uak. Tulajdons´ againak k¨osz¨onhet˝oen le´ırhat´o a peremek ´es az egy¨ uttes eloszl´ as k¨ozti kapcsolat, f¨ ugg˝ os´egi strukt´ ura. Az alkalmaz´asok sor´an ez az egyik fontos tulajdons´ aga, ami miatt el˝ oszeretettel haszn´alj´ak a kopul´akat. Ezen f¨ ugg˝os´eg le´ır´as´anak egy lehets´eges m´ odja az, ha k¨ ul¨ onb¨oz˝o kvantitat´ıv ´es kvalitat´ıv kopula alap´ u m´ert´ekeket haszn´ alunk. A line´ aris korrel´ aci´o mellett lehet˝os´eg¨ unk van alternat´ıv kapcsolatszoross´agi m´ert´ekek haszn´ alat´ ara is. A k¨ovetkez˝okben ennek a f¨ ugg˝os´egnek le´ır´as´ara alkalmas m´er˝osz´ amokat defini´ alom. 2.3.1. Defin´ıci´ o. Konkordancia Legyen (x, y) ´es (ˆ x, yˆ) k´et megfigyel´es az (X, Y ) folytonos val´ osz´ın˝ us´egi vektorv´ altoz´ ob´ ol. Azt mondjuk, hogy (x, y) ´es (ˆ x, yˆ) konkord´ ansak, ha (x − x ˆ)(y − yˆ) > 0 ´es diszkonkord´ ansak ha (x − x ˆ)(y − yˆ) < 0.
A k¨ovetkez˝ o t´etel Nelsenhez (1999) [4] f˝ uz˝odik. 2.4. T´ etel. Legyenek (X, Y ) ´es (Xk , Yk ) f¨ uggetlen folytonos val´ osz´ın˝ us´egi vektorv´ altoz´ ok, valamint H ´es Hk a hozz´ ajuk tartoz´ o egy¨ uttes eloszl´ asf¨ uggv´enyek, tov´ abb´ a a margin´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyek F (X ´es Xk -nak egyar´ ant) ´es G (Y ´es Yk -nak egyar´ ant). Legyenek C ´es Ck az (X, Y ) ´es (Xk , Yk )-hoz tartoz´ o kopulaf¨ uggv´enyek., azaz teljes¨ ul, hogy H(x, y) = C(F (x), G(y)) ´es Hk (x, y) = Ck (F (x), G(y)). Q pedig jel¨ olje a val´ osz´ın˝ us´egeknek azt a k¨ ul¨ onbs´eg´et, hogy az (X, Y ) ´es (Xk , Yk ) p´ arok konkord´ ansak, illetve diszkonkord´ ansak, azaz Q = P {(X − Xk )(Y − Yk ) > 0} − P {(X − Xk )(Y − Yk ) < 0} . Ekkor Z Z Ck (u, v)dC(u, v) − 1
Q = Q(C, Ck ) = 4 [0,1]2
2.2. K¨ ovetkezm´ eny. Legyenek C, Ck , Q adottak, az el˝ oz˝ o t´etel szerint defini´ altak. Ekkor teljes¨ ul, hogy
• Q szimmetrikus: Q(C, Ck ) = Q(Ck , C)
2.fejezet Kopul´ak
16 0
0
• Q nem cs¨ okken˝ o: ha C ≺ C akkor Q(C, Ck ) ≤ Q(C , Ck ) ˆ Cˆk ) • A kopul´ ak a t´ ul´el´esi kopul´ aikra n´ezve invari´ ansak: Q(C, Ck ) = Q(C, 0 0 2.3. Megjegyz´ es. C ≺ C jelent´ese: ∀(u1 , u2 ) ∈ [0, 1]2 , C(u1 , u2 ) ≤ C (u1 , u2 ). A Cˆ
ˆ 1 , u2 ) = H( ˆ Fˆ −1 (u1 ), G ˆ −1 (u2 )) = H(F ˆ −1 (1 − u1 ), G−1 (1 − u2 )) t´ ul´el´esi kopula ha C(u 1 2 1 2 2.3.2. Defin´ıci´ o. Kendall-tau Az (X, Y ) val´ osz´ın˝ us´egi vektorv´ altoz´ ora vonatkoz´ o Kendall-f´ele tau:
τ (X, Y ) = P {(X − Xk )(Y − Yk ) > 0} − P {(X − Xk )(Y − Yk ) < 0} ,
ahol (X, Y ) ´es (Xk , Yk ) f¨ uggetlen azonos eloszl´ as´ u v´eletlen vektorok. 2.4. Megjegyz´ es. A Kendall-f´ele tau teh´ at a konkord´ ans v´ altoz´ ok val´ osz´ın˝ us´eg´enek ´es diszkonkord´ ans v´ altoz´ ok val´ osz´ın˝ us´eg´enek k¨ ul¨ onbs´ege. 2.5. T´ etel. Ha (X, Y ) folytonos val´ osz´ın˝ us´egi vektorv´ altoz´ ok a C kopul´ aval, akkor az (X, Y )-ra vonatkoz´ o Kendall-f´ele tau: Z Z C(u, v)dC(u, v) − 1.
τ (X, Y ) = Q(C, C) = 4 [0,1]2
2.5. Megjegyz´ es. A fenti integr´ al a C(U, V ) v´eletlen v´ altoz´ o v´ arhat´ o ´ert´eke, ahol U, V ∼ U (0, 1) ekkor: τ (X, Y ) = 4E(C(U, V )) − 1 2.3.3. Defin´ıci´ o. Spearman-r´ o Az (X, Y ) val´ osz´ın˝ us´egi vektorra vonatkoz´ o Spearman-r´ o: n o n o 0 0 ρS (X, Y ) = 3 P (X − Xk )(Y − Y ) > 0 − P (X − Xk )(Y − Y ) < 0 , 0
0
ahol (Xk , Yk ), (X , Y ) f¨ uggetlen m´ asolatai (X, Y )-nek. 0
2.6. Megjegyz´ es. Vegy¨ uk ´eszre, hogy Xk ´es Y tagok is f¨ uggetlenek. A 2.3 t´etel k¨ ovetkezm´eny´enek els˝ o pontj´ ab´ ol ´es a 2.4 t´etelb˝ ol k¨ ovetkezik a soron k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ as.
2.fejezet Kopul´ak
17
2.6. T´ etel. Legyen (X, Y ) egy folytonos val´ osz´ın˝ us´egi vektor, a C kopul´ aval. Ekkor az (X, Y )-ra vonatkoz´ o Spearman-r´ o a kopul´ ab´ ol sz´ armaztathat´ o. Z Z
Z Z uvdC(u, v) − 3 = 12
ρS = 3Q(C, C) = 12 [0,1]2
C(u, v)dudv − 3. [0,1]2
2.7. Megjegyz´ es. A Kendall-f´ele tau ´es a Spearmen-r´ o konkord´ ans m´ert´ekek Nelsen (1999) [4] (itt most nem defini´ aljuk, a hivatkoz´ asban megtal´ alhat´ o). 2.7. T´ etel. Legyen X ´es Y folytonos val´ osz´ın˝ us´egi v´ altozok a C kopul´ aval, ´es κ reprezent´ alja a Spearman-r´ o vagy a Kendall-f´ele tau m´ert´eket. Ekkor a k¨ ovetkez˝ ok igazak:
κ(X, Y ) = 1 ⇔ C(u) = M (u)
κ(X, Y ) = −1 ⇔ C(u) = W (u),
ahol M (u) ´es W (u) a maximum- (komonoton) ´es minimum- (amonoton) kopula.
´ bra. A k´et dimenzi´os maximum ´es minimum kopula szintvonalai 2.4. a
2.fejezet Kopul´ak
18
2.3.4. Defin´ıci´ o. Pozit´ıvan kvadratikus ¨ osszef¨ ugg´es PQD Az X ´es Y val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok pozit´ıvan kvadratikusan ¨ osszef¨ uggnek (PQD) ha ∀(x, y) ∈ R2 P (X ≤ x, Y ≤ y) ≥ P (X ≤ x)P (Y ≤ y) vagy ezzel ekvivalensen,
P (X > x, Y > y) ≥ P (X > x)P (Y > y).
2.8. Megjegyz´ es. Az X ´es Y PQD szeml´eletes jelent´ese az, hogy a val´ osz´ın˝ us´ege annak, hogy (X, Y ) p´ ar kell˝ oen kis ´ert´ek˝ u (vagy kell˝ oen nagy ´ert´ek˝ u) legal´ abb akkora, mint a f¨ uggetlen esetben. Ennek a tulajdons´ agnak a kopula szerinti megfogalmaz´ asa:
C(u, v) ≥ uv, ∀(u, v) ∈ [0, 1]2
2.3.5. Defin´ıci´ o. Fels˝ o sz´elf¨ ugg˝ os´egi index Legyen (X, Y ) folytonos val´ osz´ın˝ us´egi vektorv´ altoz´ o F ´es G margin´ alis eloszl´ asf¨ uggv´enyekkel. Az (X, Y ) eloszl´ as fels˝ o sz´elf¨ ugg˝ os´egi indexe a
λU = limu→1− P Y > G−1 (u)|X > F −1 (u)
kifejez´es (az U az angol up sz´ ora utal). Ha λ ∈ (0, 1] akkor X ´es Y aszimptotikusan ¨ osszef¨ uggenek a fels˝ o sz´eleken, m´ıg λU = 0 eset´en X ´es Y aszimptotikusan f¨ uggetlenek. 2.9. Megjegyz´ es. Anal´ og m´ odon ´ertelmezhet˝ o az als´ o sz´elf¨ ugg˝ os´egi index. Ezeknek az indexek egy tulajdons´ aga, hogy f¨ uggetlenek a margin´ alisokt´ ol, csak a kopula alakj´ at´ ol f¨ uggnek. P´eld´ aul 2-dimenzi´ o eset´en: λU = limu→1− 1−2u−C(u,u) . 1−u
Ismertett¨ uk a fontosabb kapcsolati indexeket a kopul´ak kapcs´an ´es ezek n´eh´any tulajdons´ ag´ at. Felmer¨ ul a k´erd´es, mi´ert van sz¨ uks´eg ezek haszn´alat´ara, mi volt az oka, hogy ezek elterjedtek? Mi´ert nem haszn´alhat´o ink´abb a line´aris korrel´aci´o? K¨onnyen kezelhet˝o ´es numerikus szempontb´ ol is j´ol viselkedik, k¨onnyebben meghat´arozhat´o a kor´abbi m´er˝osz´ amokhoz k´epest. Erre vonatkoz´olag n´ezz¨ unk egy egyszer˝ u grafikus p´eld´at:
2.fejezet Kopul´ak
19
´ bra. Outlier tartalmaz´o mint´an, a k¨ 2.5. a ul¨onf´ele korrel´aci´ok
Az ´abra alapj´ an is j´ ol l´ atszik, hogy a c´elt´ol f¨ ugg˝oen van ´erteleme m´as ´es m´as m´ert´ekek szerint vizsg´ alni az ¨ osszef¨ ugg˝ os´eget. Ha sok a kiugr´o ´ert´ek a pearson korrel´aci´o ´erz´ekenyen reag´ al, ´ıgy ´erdemes lehet m´ as alternat´ıva ut´an n´ezni. Extr´em ¨osszef¨ ugg´eseket p´eld´aul a sz´elf¨ ugg˝ os´egi indexek jobban k´epesek le´ırni. A kor´abbi m´ert´ekek melletti ´ervk´ent, z´ar´ask´ent r¨ oviden felsoroln´ am a line´aris korrel´aci´o f˝obb h´atr´anyait, amely miatt nem felt´etlen mindig az optim´ alis v´ alaszt´as, a kapcsolatszoross´agot le´ır´as´ara:
• A korrel´ aci´ o csak akkor ´ertelmezett, ha a kock´azatok varianci´ai v´egesek, ´ıgy nem megfelel˝ o f¨ ugg˝ os´egi m´ert´ek p´eld´aul az olyan nagyon er˝os sz´el˝ u kock´azatokra amelyeknek a varianci´ ai nem v´egesek. • A korrel´ aci´ o nem invari´ ans a kock´azatok transzfom´aci´oival szemben. • Line´ aris kapcsolatokat tud j´ol le´ırni.
A k¨ovetkez˝ o szekci´ oban a kopula param´eter becsl´esi m´odszereir˝ol lesz sz´o.
3. fejezet Kopul´ ak kalibr´ al´ asa
3.1. Kopula-csal´ adok parametrikus becsl´ esi m´ odszerei 3.1.1. ML m´ odszer Legyen C kopula ´es az Fn peremeloszl´asai folytonosak. Ekkor az F egy¨ uttes eloszl´asf¨ uggv´eny s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´ere teljes¨ ul N Y
f (x1 , . . . , xn , . . . , xN ) = c(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn ), . . . , FN (xN ))
fn (xn )
n=1
ahol fn a megfelel˝ o Fn margin´ alisok, c pedig a kopula s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye
c(u1 , . . . , un , . . . , uN ) =
Legyen χ =
xt1 , . . . , xtn
T t=1
∂C(u1 , . . . , un , . . . , uN ) ∂u1 . . . ∂un . . . ∂uN
minta ´es θ ∈ Θ a kopula 1×K dimenzi´os param´etervektora.
Ekkor a loglikelihood f¨ uggv´eny [6] a k¨ovetkez˝o alak´ u:
`(θ) =
T X
T X N X lnfn (xtn ) ln c F1 (xt1 ), . . . , Fn (xtn ), . . . , FN (xtN ) + t=1 n=1
t=1
20
3.fejezet Kopul´ak kalibr´al´asa
21
Legyen θˆM L a θ param´eter maximumlikelihood becsl´ese azaz θˆM L = θˆ1 , θˆ2 , . . . , θˆK ∈ argmax {l(θ) : θ ∈ Θ}. Ekkor megfelel˝o regularit´asi felt´etelek mellett teljes¨ ul az aszimptotikus normalit´ as tulajdons´ aga azaz (Davidson ´es MacKinnon (1993) [7]) a becsl´es hib´aja aszimptotikusan a norm´ alis eloszl´ashoz tart (kell˝oen gyorsan:
√1 ), n
ahol az aszimp-
totikus kovariancia m´ atrix J (θ0 ) a Fisher f´ele inform´aci´os m´atrix inverze.
√ d T θˆM L − θ0 → N 0, J −1 (θ0 )
Ha a peremeloszl´ asok diszkr´etek akkor a s˝ ur˝ us´egf¨ ugg´eny: P {(X1 , . . . , XN ) = (x1 , . . . , xN )} P P = (−1)N 1i1 =0 . . . 1iN =0 (−1)i1 +...+in C(F1 (x1 − i1 ), . . . , FN (xN − iN )) hat´arozza meg, ebb˝ol pedig sz´ amolhat´ o a loglikelihood f¨ uggv´eny:
`(θ) =
T X
ln P (X1 , . . . , XN ) = (xt1 , . . . , xtN )
t=1
Ezek ut´ an a θ kopula-param´eter maxmimaliz´al´asa r´ev´en, valamilyen numerikus algortimus p´eld´ aul Newton-Raphsod iter´aci´o vagy konjug´alt gradiens m´odszer seg´ıts´eg´evel θˆM L meghat´ arozhat´ o.
3.1.2. IFM m´ odszer A ML becsl´essel az a probl´ema, hogy m´ar viszonylag nem t´ ul nagy dimenzi´osz´amn´ al is nagy a sz´ am´ıt´ asig´enye a param´eterbecsl´esnek, ugyanis egyszerre kell megbecs¨ ulni az egy¨ uttes eloszl´ as peremeit ´es a kopula-csal´ad param´etereit (azaz a f¨ ugg˝os´egi strukt´ ur´at). Ennek kik¨ usz¨ ob¨ ol´es´ere adott meg (Joe ´es Xu [1996] [8]) a ML-el tulajdonk´epp ekvivalens m´odszert, amely numerikus szempontb´ol kev´esb´e moh´o. A m´odszer alapelve az, hogy a param´eterbecsl´est k´et l´ep´esben v´egezz¨ uk, sz´etv´alasztjuk a f¨ ugg˝os´egi strukt´ ura ´es a margin´ alis eloszl´ asok becsl´es´et. Az ML loglikelihood egyenlethez hasonl´oan fel tudjuk ´ırni a loglikelihood f¨ uggv´enyt [6] a Joe ´es Xu fajta megk¨ozel´ıt´esben:
3.fejezet Kopul´ak kalibr´al´asa
`(θ) =
T X
22
T X N X ln c F1 (xt1 ; θ1 ), . . . , Fn (xtn ; θn ), . . . , FN (xtN ; θN ); α + lnfn (xtn ; θn ),
t=1
t=1 n=1
ahol θ = (θ1 , . . . , θN , α) ´es α az Fn peremeloszl´as f¨ uggv´enyek C kopul´aj´ahoz tartoz´ o param´etervektora. Els˝o l´ep´esben az egyv´ altoz´ os peremeloszl´asokat becs¨ ulj¨ uk:
θˆn = arg max `n (θn ) := arg max
T X
ln fn (xn ; θn ).
t=1
Ezt k¨ ovet˝ oen pedig az α param´etvektort, melynek megold´as´at a k¨ovetkez˝o optimumfeladat szolg´ altatja:
α ˆ = arg max `c (α) := arg max PT
t=1
ln c(F1 (xt1 ;θˆ1 ),...,Fn (xtn ;θˆn ),...,FN (xtN ;θˆN );α).
Ezt a k´etl´ep´eses m´ odszert szok´ as h´ıvni IFM m´odszernek (Inference function for margins). Az ML becsl´eshez hasonl´ oan, az θˆIF M = (θˆ1 , . . . , θˆN , α ˆ ) is teljes¨ ul az aszimptotikus normalit´ asi tulajdons´ ag: √ d T θˆIF M − θ0 → N 0, V −1 (θ0 ) ,
ahol V(θ0 ) = D−1 M (D−1 )T a Godambe-f´ele inform´aci´os m´atrix [8] D = E[∂g(θ)T /∂θ] ´es M = E[g(θ)T g(θ)]. 3.1. Megjegyz´ es. Az inform´ aci´ os m´ atrix becsl´ese sor´ an a deriv´ altak meghat´ aroz´ asa nagyon sz´ amol´ asig´enyes az IFM m´ odszern´el, ´ıgy a szerz˝ ok alternat´ıv m´ odszereket aj´ anlanak a kovarianciam´ atrix becsl´es´ere [6].
3.fejezet Kopul´ak kalibr´al´asa
23
3.1.3. CML m´ odszer Az el˝ oz˝ o m´ odszerek ´ altal´ anos´ıt´ asak´ent alakult ki a pszeud´o maximum-likelihood m´odszer, vagy CML (Canonical Maximum Likelihood). Abban m´as, mint az IFM, hogy f¨ uggetlen´ıti mag´ at a peremeloszl´ asok t´ıpus´at´ol. Els˝o l´ep´esben a m´ odszer sor´ an a (xt1 , . . . , xtN ) mint´at eltranszform´aljuk egyenletes eloszl´as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okba (ˆ ut1 , . . . , u ˆtN ) felhaszn´alva az empirikus eloszl´asf¨ uggv´enyt majd az eltranszfrom´ alt peremekre vonatkoz´olag v´egezz¨ uk az α param´eter becsl´es´et [6]:
α ˆ = arg max
T X
ln c(ˆ ut1 , . . . , u ˆtn , . . . , u ˆtN ; α)
t=1
Az α ˆ param´etervektorra u ´gy is gondolhatunk, mint a megfigyelt margin´alisokb´ol sz´armaztatott ML becsl´es (an´elk¨ ul, hogy b´armlyen paramteres alakot felt´etelezt¨ unk volna a peremeloszl´ asokra). A CML elnevez´es onnan sz´armazik, hogy az empirikus eloszl´asok becsl´es´en alapszik a m´ odszer. 3.2. Megjegyz´ es. Az IFM m´ odszer a CML m´ odszer speci´ alis esete az u ˆtn = Fn (xtn ; θˆn )re. A peremtranszform´ aci´ ot pedig a u ˆti =
1 t N +1 rang(xi )
i = 1 . . . N [hivatkoz´ as] ¨ osszef¨ ugg´es
alapj´ an v´egezz¨ uk.
3.1.4. Kapcsolatszoross´ agi m´ ert´ ekek alapj´ an t¨ ort´ en˝ o kalibr´ aci´ o Bizonyos esetekben u ´gy is tudunk kopul´at illeszteni, hogy a kopula f¨ ugg˝os´egi strukt´ ur´aj´ at becs¨ ulj¨ uk meg k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o kapcsolatszoross´agi m´ert´ekekkel pl. Kendall-tau, Spearmanr´o, als´ o-fels˝ o¨ osszef¨ ugg˝ os´egi index. E m´ert´ekek mindegyike a megfelel˝o kopul´ahoz kapcsolhat´ o, mivel az egy¨ uttes eloszl´asf¨ uggv´enynek a peremeloszl´asokkal t¨ort´en˝o ¨osszekapcsol´asban a v´ altoz´ ok k¨ oz¨ otti ¨ osszef¨ ugg´es bizonyos szempontjait ragadja meg. Legyen L(θ) egy vesztes´egf¨ uggv´eny, ekkor a θˆ param´eter pontbecsl´es´et szolg´altassa a k¨ovetkez˝ o feladat (Lehmann ´es Casella [1998] [10]):
θˆ = arg minθ∈Θ L(θ),
3.fejezet Kopul´ak kalibr´al´asa
24
ahol Θ a param´etert´er ´es a vesztes´egf¨ uggv´eny ´altal´aban kvadratikus alak´ u
L(θ) = [ˆ g − g(θ)]T W [ˆ g − g(θ)] ,
ahol W s´ ulym´ atrix, g pedig a krit´eriumf¨ uggv´eny. 3.3. Megjegyz´ es. Egyparam´eteres 2-dimenzi´ os kopul´ ak eset´en egy kapcsolatszoross´ agi m´ert´ekkel is el tudjuk v´egezni a param´eterbecsl´est. N´eh´ any esetben l´etezik analitikus megold´ as is.
Gauss Gumbel FGM
Spearman ρ θ = 2sin( π6 ρ) numerikus megold´as θ = 3ρ
Kendal τ θ = sin( π2 τ ) θ = (1 − τ )−1 θ = 29 τ
Tail λ X θ = ln2ln(2 − λ)−1 X
3.4. Megjegyz´ es. A fenti θ param´eterek a k´etv´ altoz´ os Gauss, Gumbel ´es FGM kopul´ ak param´eterei.
3.2. Nem param´ eteres m´ odszerek Az empirikus kopul´ at el˝ osz¨ or Deheuvels [11] vezette be 1979-ben. Legyen t ) ∈ Rn egy f¨ X t = (X1t , . . . , XN uggetlen azonos eloszl´as´ u sorozat F egy¨ utteseloszl´assal ´es
Fn peremeloszl´ asokkal. Tegy¨ uk fel, hogy F folytonos, ´ıgy a kopula egy´ertelm˝ uen l´etezik F -hez. P Legyen δu az u ∈ RN vonatkoz´o Dirac m´ert´ek, ´es µ ˆ(·) = T1 Tt=1 δX . Ekkor az X Q N mint´ ahoz tartoz´ o tapasztalai eloszl´as Fˆ (x1 , . . . , xN ) = µ ˆ ] − ∞, x ] . Jel¨olje tov´ abb´ a, n n=1 t t az x1 , . . . , xtN a minta rend statisztik´aj´at ´es r1t , . . . , rN a minta rang statisztikj´at, (rt )
melyek k¨ oz¨ ott az ¨ osszef¨ ugg´est a xn n = xtn ´ırja le. Ekkor a tapasztalati eloszl´ asb´ ol sz´armaz´o empirikus kopula fogalma Deheuvels (1981) [11] szerint a k¨ ovetkez˝ o:
3.fejezet Kopul´ak kalibr´al´asa
25
3.2.1. Defin´ıci´ o. B´ armilyen Cˆ ∈ C, mely a k¨ ovetkez˝ o r´ acsh´ al´ on van ´ertelmezve ℵ=
t1 tN ,..., T T
: 1 ≤ n ≤ N, tn = 0, . . . , T
,
´es teljes¨ ul r´ a hogy Cˆ
t1 tN ,..., T T
T N 1 XY = 1[rnt ≤tn ] T t=1 n=1
empirikus kopul´ anak nevezz¨ uk.
CˆT -vel jel¨ olj¨ uk azt a kopul´ at, melyet T elemsz´am´ u mint´ab´ol sz´armaztatunk. Ekkor a kopul´ at T rend˝ unek is szokt´ ak h´ıvni. Deheuvel [11] a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´agokat fogalmazta meg az empirikus kopul´ara:
1. Az Fˆ empirikus eloszl´ asf¨ uggv´enyt egy´ertelm˝ uen meghat´arozza a • Az Fˆn koordin´ at´ ak µ ˆ m´ert´ekei • Az ℵ halmazon vett empirikus kopula Cˆ ´ert´ekei. 2. Az ℵ-en ´ertelmezett Cˆ kopula f¨ uggetlen F peremeit˝ol. 3. Ha CˆT egy T rend˝ u empirikus kopula, akkor a C topol´ogi´aval CˆT → C (p´eld´aul egyenletes konvergencia) 3.2.2. Defin´ıci´ o. Radon Nikodym dervi´ alt empirikus kopul´ ara (Nelsen 1998) cˆ
t1 tn tN ,..., ,..., T T T
=
2 X i1 =1
...
2 X
ˆ (−1)i1 +...+iN C
iN =1
tn − in + 1 tN − iN + 1 t1 − i1 + 1 ,..., ,..., T T T
,ahol cˆ az empirikus kopulafrekvencia ´es az empirikus kopul´aval a kapcsolat:
Cˆ
in iN i1 ,..., ,..., T T T
=
t1 X i1 =1
tN X t1 tn tN ... cˆ ,..., ,..., T T T iN =1
Egy megfelel˝ o finoms´ ag´ u r´ acsh´al´on ´ertelmezve a mint´ara illesztett empirikus kopula kell˝oen nagy mint´ ara k¨ ozel´ıti az elm´eleti kopul´at. Ezek alapj´an a f¨ ugg˝os´egi indexek kalkul´ alhatok, ´es ezen kereszt¨ ul bizonyos esetben a param´eterek is becs¨ ulhet˝oek.
3.fejezet Kopul´ak kalibr´al´asa
26
3.1. P´ elda. ρˆS =
T T 12 X X ˆ t1 t2 t1 t2 − C , T2 − 1 T T T2 t1 =1 t2 =1
T T t1 −1 tX 2 −1 2 XXX t1 t2 i1 i2 t1 i2 i1 t2 τˆK = cˆ − cˆ cˆ cˆ T −1 T T T T T T T T t1 =1 t2 =1 i1 =1 i2 =1
λ(u) =
C(u, u) 1−u
λU = limu→1− λ(u),
ahol C a t´ ul´el´esi kopula.
A k¨ovetkez˝ o k´ep Durrleman (2000) [6] cikke alapj´an:
´ bra. Emp´ırikus kopula ´es a kopulafrekvencia 3.1. a
4. fejezet Az oper´ aci´ os kock´ azat ´ es az LDA modell
4.1. A p´ enz¨ ugyi szab´ alyoz´ as szerepe A p´enz¨ ugyi int´ezm´enyek eset´en a b´azeli ir´anyelvek kik´enyszer´ıtik, hogy kell˝o nagys´ ag´ u fedezet ´ alljon rendelkez´esre a v´art ´es nem v´art kock´azatokb´ol fakad´o vesztes´egekre. Ennek az ir´ anyelvnek a f˝ o c´elja az, hogy n¨ovelje ´es fenntartsa a nemzetk¨ozi p´enz¨ ugyi rendszerekben a stabilit´ ast. A B´azel III [12] jelenleg h´arom pill´er alapj´an szab´alyozza a p´enzint´ezetek m˝ uk¨ od´es´et. A r´eszletes fel´ep´ıt´esre a dolgozat folyam´an nem t´er¨ unk ki, csak r¨ oviden ismertetj¨ uk a pill´ereket:
• Az I. pill´er legf˝ obb szab´ alyoz´oi c´elja a minim´alis t˝okek¨ovetelm´enyek biztos´ıt´asa piaci, hitel- ´es oper´ aci´ os kock´azatokra vonatkoz´oan. • A II. pill´er szerepe a t˝ okemegfeleltet´es fel¨ ugyelet´ere vonatkozik: a kock´azatkezel´esre vonatkoz´ o bels˝ o elj´ ar´asok ellen˝orz´ese, a fel¨ ugyelet tev´ekenys´egi k¨or stb.
27
4.fejezet Az oper´aci´os kock´azat ´es az LDA modell
28
´ el˝o´ır´asok a t˝oke´att´eteli • A III. pill´er k¨ ozponti szerepe a piaci fegyelemre ir´anyul. Uj mutat´ ora, kontraciklikus t˝okepufferk´epz´es vizsg´alata, minimum likvidit´asi sztenderdek bevezet´ese (r¨ ovid ´es hossz´ u t´av´ u likvidit´asi mutat´ok alkalmaz´asa, monitoring ´es likvidit´ asi kock´ azatm´er´es kapcs´an).
A dolgozat szempontj´ ab´ ol, az oper´aci´os kock´azathoz kapcsol´od´o el˝o´ır´asok ´es a m´er´esi m´odszertan az ´erdekes. A vizsg´alat ´es modellek lehets´eges alapjait megad´o fontosabb keretrendszert a k¨ ovetkez˝ o szekci´o k´esz´ıti el˝o.
4.2. Az oper´ aci´ os kock´ azat 4.2.1. Defin´ıci´ o. Oper´ aci´ os kock´ azat A m˝ uk¨ od´esi kock´ azat bels˝ o folyamatok, rendszerek, emberek nem megfelel˝ oen ¨ osszehangolt m˝ uk¨ od´ese avagy meghib´ asod´ asa, illetve valamilyen k¨ uls˝ o esem´eny hat´ as´ ara bek¨ ovetkez˝ o vesztes´eg kock´ azata. 4.1. Megjegyz´ es. Ez egy jogszab´ alyi alapon fel´ep´ıtett, viszonylag ´ altal´ anos defin´ıci´ oj´ at adja meg az oper´ aci´ os kock´ azatnak. A defin´ıci´ oba bele´ertend˝ o a jogi kock´ azat is, viszont a strat´egiai ´es a ”j´ oh´ırn´ev” kock´ azat p´eld´ aul k´ıv¨ ul esik a szab´ alyoz´ oi defin´ıci´ on.
A p´enzint´ezetben az oper´ aci´ os kock´azat sz´am´ıt´as´ahoz el˝osz¨or r´eszekre kell osztani az oper´ aci´ os kock´ azathoz tartoz´ o tev´ekenys´egek ´es folyamatok eg´esz´et. Ezeket a r´eszeket els˝osorban a szab´ alyoz´ o´ altal aj´anlott vesztes´egkateg´ori´ak szerint - 7 kateg´ori´at szok´ as kialak´ıtani -, tov´ abb´ a, ha lehet˝os´eg ad´odik r´a, u ¨zlet´agak szerint sz¨ uks´eges tov´abb bontani.
4.fejezet Az oper´aci´os kock´azat ´es az LDA modell
29
A szab´ alyoz´ o´ altal el˝ o´ırt h´et oper´aci´os vesztes´egkateg´ori´ak a k¨ovetkez˝ok:
1. Bels˝ o csal´ as, pl. u ¨zleti titkok megs´ert´ese, ad´ocsal´as, veszteget´es 2. K¨ uls˝ o csal´ as, pl. adatlop´ as, hamis´ıt´as, komputert´amad´asb´ol fakad´o k´arok 3. Foglalkoztat´ as, munkahelyi v´edelem pl. el˝onyben r´eszes´ıt´es, dolgoz´oi kompenz´aci´ o, munkahelyi baleset 4. Kliensek, term´ekek, u ¨zleti gyakorlat pl. piaci manipul´aci´o, term´ekhib´ak, t´eves keresked´es 5. Eszk¨ oz¨ okben okozott k´ arok, pl. terrorizmus,vandalizmus 6. Rendszer hib´ ak, pl. szoftver ´es hardver hib´ak 7. Teljes´ıt´es, sz´ all´ıt´ as, folyamatkezel´es pl. adathozz´af´er´esi hiba, sz´amviteli elj´ar´ as sor´ an fel´ep˝ o hib´ ak
´ Erdemes megeml´ıteni a b´ azeli szab´alyoz´as ´altal rendelkez´esre ´all´o m´er´esi m´odszerek t´ıpusait is.
• A legegyszer˝ ubb m´ odszer az alapmutat´o m´odszere (BIA). Ez az u ´gynevezett ir´anyad´ o mutat´ o, mely a brutt´ o´ atlagj¨ovedelem 15% sz´azal´ek´aban hat´arozza meg a t˝okek¨ovetelm´enyt az elm´ ult 3 ´ev alapj´an. • A sztenderdiz´ alt m´ odszer (TSA) a bank m˝ uveleteit 8 tev´ekenys´egi csoportba sorolja, ´ıgy ennek keret´eben u ¨zlet´agank´ent sz´am´ıtott ´es s´ ulyozott ir´anyad´o mutat´ ok aggreg´ atuma a m˝ uk¨ od´esi kock´azat t˝okesz¨ uks´eglete. A kateg´ori´ank´enti t˝ok´et az el´ert nett´ o j¨ ovedelmek 12% − 18% k¨oz¨otti s´ ulyokkal val´o beszorz´as´aval sz´am´ıtja ki. • Az alternat´ıv sztenderd m´odszer (ASA) a foly´os´ıtott hitelek sz´azal´ek´aban hat´arozza meg a sz¨ uks´eges t˝ oke nagys´ag´at. • A fejlett m´er´esi m´ odszer (AMA) a hitelint´ezetek bels˝o modellek alapj´an meghat´ arozott kock´ azati kitetts´eg´ere alapozva ´ırja el˝o a t˝okeallok´aci´ot.
4.fejezet Az oper´aci´os kock´azat ´es az LDA modell
30
A B´ azel II szerinti fejlett m´ odszerek bevezet´es´enek jelent˝os mind az anyagi, mind az egy´eb er˝ oforr´ asig´enye, de hosszabb t´avon a szab´alyoz´oi t˝okek¨ovetelm´eny cs¨okken´ese r´ev´en minden bizonnyal profit´ abilis befektet´es lehet a bankok sz´am´ara. A dolgozatomban az AMA kereteibe illeszked˝ o statisztikai m´odszertan, a kock´azat vesztes´egeloszl´as-alap´ u megk¨ ozel´ıt´es´eben (Loss Distribution Approach) mutatjuk be a m˝ uk¨od´esi kock´azatok t˝okek´epz´es´enek egy lehets´eges modellez´es´et, kieg´esz´ıtve a kopul´ak eszk¨ozt´ar´aval.
4.3. Vesztes´ egeloszl´ as-alap´ u megk¨ ozel´ıt´ es (LDA) Az LDA m´ odszer [13] egy aktu´ ariusi szeml´eleten alapul´o elj´ar´as arra vonatkoz´olag, hogy t¨obb kock´ azati oszt´ aly eset´en meghat´arozzuk a v´art ´es nem v´art vesztes´egek fedez´es´ehez sz¨ uks´eges t˝ okek¨ ovetelm´enyt hitelint´ezeti vonatkoz´asban. A t˝okek¨ ovetelm´eny meghat´ aroz´as´anak tipiz´alt m´odja az, hogy adott szignifikancia szint mellett, k¨ ul¨ onf´ele kock´ azati m´ert´ekek szerint vizsg´aljuk az egy¨ uttes illetve a margin´alis vesztes´egeloszl´ asokat. A b´ azeli szab´alyok szerint bankok eset´en 99.9%, m´ıg biztos´ıtok eset´en 99.5%-os kvantilisre szok´as k´epezni a t˝ok´et. Az egy¨ utteseloszl´ as meghat´ aroz´asa el˝otti l´ep´es sor´an a vesztes´egeinket k¨ ul¨onf´ele kock´azati oszt´alyokba soroljuk, p´eld´ aul valamilyen oszt´alyoz´o elj´ar´assal (d¨ont´esi fa, klaszteres stb.). Oper´ aci´ os kock´ azatok eset´en ezek gyakran el˝ore meghat´arozottak ´es a kor´abban eml´ıtett csoportok szerint szepar´altak, a 4.2-es szerint. Ezek ut´an minden egyes egyedi kock´ azati oszt´ alyt megvizsg´ alunk s majd ezen egyedi oszt´alyokat aggreg´alva k´epezz¨ uk meg a sz¨ uks´eges szavatol´ o t˝ ok´et.
4.3.1. Egyedi kock´ azatok vesztes´ ege Minden ilyen egyedi kock´ azati oszt´alyhoz tartozik egy ¨osszetett kock´azati modell, mely matematikailag a k¨ ovetkez˝ o:
4.fejezet Az oper´aci´os kock´azat ´es az LDA modell
31
Legyenek ri a k¨ ul¨ onf´ele egyedi kock´azatok, ´es mindegyikhez tartozzon a vesztes´egeknek egy homog´en csoportja. Legyen tov´abb´a Lri az ezen csoportokhoz tartoz´o meghat´arozott id˝oszakra vonatkoz´ o (tipikusan ´es a mi eset¨ unkben is egy ´eves) vesztes´egeloszl´as. Ekkor a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o oszt´ alyokhoz tartoz´o ´eves vesztes´egeloszl´asok a kock´azatok k´et tov´abbi jellemz˝ oi alapj´ an hat´ arozhat´ oak meg:
• Nri nem negat´ıv v´eletlen v´altoz´o reprezent´alja az ri kock´azat oszt´aly´ahoz tartoz´ o vesztes´egesem´enyek sz´ am´at egy ´ev alatt, ´ıgy szok´as k´arsz´ameloszl´asoknak vagy gyakoris´ agi eloszl´ asnak is nevezni. • Xri reprezent´ alja az ri kock´azat oszt´aly´ahoz tartoz´o k´areloszl´ast; Ez az a p´enzmennyis´eg amennyit elveszt¨ unk egy k´areset sor´an.
Ezek alapj´an Xri -t az ri
kock´ azathoz tartoz´ o k´ areloszl´asnak vagy egys´egnyi vesztes´egeloszl´asnak h´ıvjuk.
Az ri kock´ azathoz tartoz´ o aggreg´alt ´eves vesztes´egeloszl´as ´ıgy:
Lri =
Nri X
Xri ,j
j=1
Teljes¨ ulnek tov´ abb´ a a k¨ ovetkez˝o felt´etelek miszerint:
1. Nri ´es Xri ,1 , Xri ,2 , . . . , Xri ,Nri minden i-re f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok 2. Xri ,1 , Xri ,2 , . . . , Xri ,Nri FAE azaz f¨ uggetlen azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok.
Ahogy hangs´ ulyoztuk, a fentiekben le´ırt modell nem a p´enzint´ezet teljes kock´azat´ara, hanem csak egy r¨ ogz´ıtett oszt´ aly kock´azat´ara vonatkozik. Az adott oszt´alyhoz tartoz´ o vesztes´egek teh´ at f¨ uggetlenek ´es azonos eloszl´as´ uak, nem negat´ıv ´ert´ek˝ uek. Ezek nem t´ ulzottan sz˝ uk´ıt˝ o felt´etelez´esek, hiszen ezek ´ertelm´eben a vizsg´alt id˝oszakban bek¨ovetkez˝o vesztes´egek egym´ ast´ ol f¨ uggetlenek, ´es azok azonos eloszl´as´at az´ert indokolt felt´etelezn¨ unk, mert ugyanazon r¨ogz´ıtett vesztes´egkateg´oria ´es u ¨zlet´ag vesztes´egei, teh´ at azonos t´ıpus´ uak.
4.fejezet Az oper´aci´os kock´azat ´es az LDA modell
32
4.2. Megjegyz´ es. Sz´els˝ o esetekben az egyes esem´enyek ak´ ar negat´ıv vesztes´eggel is j´ arhatnak. A k¨ ovetkez˝ okben ezekt˝ ol az esetekt˝ ol eltekint¨ unk.
´ Altal´ anoss´ agban elmondhat´ o, hogy a gyakoris´ageloszl´asok jellemz˝oen az (a, b, 0) eloszl´ascsal´ adb´ ol sz´ armaz´ o eloszl´ asok (Poisson, binomi´alis, illetve negat´ıv binomi´alis), m´ıg a k´areloszl´ asok a stiliz´ alt t´enyek alapj´an gamma, Pareto, ´es exponenci´alis eloszl´ast k¨ovetnek. Esetenk´ent lognorm´alist ´es a Pareto helyett m´as extr´em´ert´ek eloszl´asokat is aj´ anlanak a szakirodalomban, de v´egs˝o soron mindig az adott mint´ara vonatkoz´ o szak´ert˝ oi ´ all´ aspont a meghat´ aroz´o. M´asik jellemz˝oje a vesztes´egeloszl´asoknak a norm´alis eloszl´ asokhoz k´epest a vastagabb sz´elek, ebb˝ol kifoly´olag kritikus pont az egy¨ uttes eloszl´as meghat´ aroz´ asa sor´ an a megfelel˝o eloszl´ascsal´ad meghat´aroz´asa. Ha pontatlanul tudjuk le´ırni az ”eloszl´ as sz´el´et”, akkor hatv´anyozottan romlanak a t˝okek¨ovetelm´eny meghat´ aroz´ as´ ahoz sz¨ uks´eges kvantilis alap´ u becsl´esek. Speci´ alisan, ha a gyakoris´ ageloszl´as Poisson-eloszl´ast k¨ovet, akkor Lri eloszl´asa ¨osszetett Poisson-eloszl´ ast eredm´enyez, melyet a p´enz¨ ugyi matematik´aban sz´amos helyen alkalmaznak: P (Lri ≤ x) =
∞ X n=1
n X P( Xr,j ≤ x)P (Nri = n) j=1
4.3. Megjegyz´ es. Ennek az analitikus megold´ asa nem lehets´eges, ´ıgy gyakran Monte Carlo szimul´ aci´ oval vagy egy´eb rekurz´ıv k¨ ozel´ıt˝ o elj´ ar´ assal hat´ arozz´ ak meg.
4.3.2. T˝ oketartal´ ek, ´ es az egy¨ uttes eloszl´ as Kor´abban eml´ıtett¨ uk, hogy a t˝oketartal´ek meghat´aroz´as´ahoz sz¨ uks´eg¨ unk van a vesztes´egek egy¨ uttes eloszl´ asf¨ uggv´eny´ere. Ha m´ar siker¨ ult az egyedi kock´azati oszt´alyokra vonatkoz´ oan a vesztes´egeloszl´ asokat megbecs¨ ulni, akkor m´ar nincs m´as dolgunk, mint Lri eloszl´ ashoz tartoz´ o val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´okat aggreg´alni, minden (ri )1≤i≤m egyedi kock´ azati oszt´ alyra.
G=
m X i=1
Lri =
Nri m X X i=1 j=1
Xri ,j
4.fejezet Az oper´aci´os kock´azat ´es az LDA modell
33
Ezek ut´ an valamilyen kock´ azati m´ert´eket alapul v´eve a t˝oketartal´ek kalkul´alhat´o. A b´azeli szab´ alyoz´ as a VaR-t aj´ anlja: 4.3.1. Defin´ıci´ o. Value at Risk A kock´ aztatott ´ert´ek az i. vesztes´egeloszl´ as α kvantilise:
V aRα (Lri ) := inf {x ∈ R : P (Lri ≥ x) ≤ 1 − α} ,
ahol 1 − α a konfidencia szint.
A VaR-nak ugyanakkor sz´ amos hib´aja l´etezik, ami miatt sokan kritiz´alj´ak. P´eld´aul ellentmond´ o eredm´enyeket adhat elt´er˝o konfidenciaszintek mellett, ´es mivel nem konvex m´ert´ek g´ atolja a diverzifik´ aci´ ot. Nem veszi figyelembe a VaR-t meghalad´o vesztes´egeket, nem alkalmazhat´ o optimaliz´ aci´os probl´em´akon. Nagyon szigor´ u felt´etelek eset´en szubbadit´ıv, csak elliptikus eloszl´ asokra vonatkoz´olag, ha igaz, hogy a kock´azatok komonotonok. Ez pedig csak akkor teljes¨ ul, ha a k¨ ul¨onb¨oz˝o oszt´alyok k¨oz¨ott t¨ok´eletes pozit´ıv korrel´ aci´ o´ all fent, mindazon´ altal ekkor igaz, hogy m m X X V aRα ( Lri ) ≤ V aRα (Lri ), i=1
i=1
ahol a fels˝ o hat´ ar a t¨ ok´eletesen ¨osszef¨ ugg˝o eset. Teh´at a V aR nem szubbadit´ıv ´ıgy m´egcsak nem is koherens kock´azati m´ert´ek. A V aR-n´al jobb alternat´ıv´at ny´ ujthat Acerbi [14] szerint az ES (Expected Shortfall), mely m´ar koherens kock´azati m´ert´ek lesz. 4.4. Megjegyz´ es. Azt mondjuk, hogy egy kock´ azati m´ert´ek koherens [15] ha kiel´eg´ıti a szubbaditivit´ ast, a transzl´ aci´ o invariancia, a monotonit´ as ´es az els˝ ofok´ u homogenit´ as elv´et. 4.3.2. Defin´ıci´ o. Expected Shortfall Az Expected Shortfall az i. oszt´ alyhoz tartoz´ o VaR-t meghalad´ o´ atlagos meghalad´ asok az α kvantilis mellett: ESα (Lri ) = E[Lri |Lri ≥ V aRα (Lri )]
4.fejezet Az oper´aci´os kock´azat ´es az LDA modell
34
4.5. Megjegyz´ es. A fenti defin´ıci´ o val´ oj´ aban a felt´eteles v´ arhat´ o extr´em ´ert´ek (TCE Tail conditional expecation), csak ez folytonos eloszl´ asok eset´en ekvivalens az ES-el.
A t˝oketartal´ek teh´ at: 4.3.3. Defin´ıci´ o. T˝ oketartal´ek
EC = V aRα (G), 4.6. Megjegyz´ es. Az α = 0, 01% a bankok, m´ıg α = 0, 05% a biztos´ıtok eset´eben.
Az ¨osszes vesztes´eghez sz¨ uks´eges t˝okek¨ovetelm´eny alatt teh´at egy el˝ore meghat´arozott konfidencia szinthez tartoz´ o kock´aztatott ´ert´eket ´ert¨ unk. Szok´as az ES-en ´es V aR-on k´ıv¨ ul sz´ amos m´ as alternat´ıv kock´azati m´ert´ekeket is haszn´alni. 4.7. Megjegyz´ es. Bizonyos esetekben a szab´ alyoz´ o lehet˝ os´eget ny´ ujt arra is, hogy a hitelint´ezet ´ altal k´epzett t˝ oke csup´ an a nem v´ art vesztes´egekre ny´ ujtson fedezetet. Erre tipikusan akkor van lehet˝ os´eg, ha a bank bizony´ıtja a fel¨ ugyeletnek, hogy a bels˝ o u ¨zletviteli elj´ ar´ asok sor´ an ezt m´ as m´ odon m´ ar figyelembe vette (pl. term´ekek ´ araz´ asa, c´eltartal´ekk´epz´es). Ilyen esetben a kock´ aztatott t˝ ok´et cs¨ okkenteni kell a v´ arhat´ o vesztes´egekkel. A szimul´ aci´ ok sor´ an mi nem ´elt¨ unk ilyen felt´etelez´esekkel.
4.3.3. Egyedi oszt´ alyok k¨ ozti f¨ ugg˝ os´ eg szerepe A m˝ uk¨ od´esi kock´ azati t˝ oketartal´ek k´epz´ese sor´an a V aR eset´en fontos, hogy u ´gy hat´ arozzuk meg a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o kock´ azati faktorainkat, hogy min´el ink´abb diverzifik´altabbak legyenek (ha lehets´eges), mivel ekkor az egyedi kock´azatok kv´azi f¨ uggetlenek lesznek a kor´abbi felt´etel szerint. A gyakorlatban p´eld´aul a bels˝o csal´as ´es a t´argyi eszk¨oz¨oket ´ert k´arok, mint egyedi oszt´ alyok az extr´em esetekt˝ol eltekintve val´oban f¨ uggetlennek mondhat´oak, azonban egy´ altal´ an nem jellemz˝o minden vesztes´egoszt´alyra a korrel´alatlans´ag. Ez alapj´ an a b´ azeli szab´ alyok szerint hivatalos m´asik alternat´ıv´aja a t˝okek´epz´esnek:
4.fejezet Az oper´aci´os kock´azat ´es az LDA modell
EC =
m X
35
V aRα (Lrt )
i=1
Ez pont a t¨ ok´eletes korrel´ alts´ ag esete. A kor´abbi esettel szemben elliptikus eloszl´asok eset´en ez egy j´ oval konzervat´ıv fels˝o becsl´est eredm´enyez. A vesztes´egoszt´ alyok k¨ ozti korrel´aci´o m´ert´eke teh´at bizonyos felt´etelek mellett, t´enylegesen befoly´ asolja a t˝ oketartal´ekot, ´ıgy term´eszetes gondolatk´ent ad´odott a f¨ ugg˝os´egi strukt´ ura kopul´ akkal t¨ ort´en˝ o vizsg´ alata. N´ezz¨ uk, most az alternat´ıv LDA modellt, amikor az egyedi kock´azatok k¨oz¨ott megenged¨ unk korrel´ aci´ ot. Ekkor legyen az egyedi kock´azatokhoz tartoz´o aggreg´alt vesztes´egeloszl´ as H, egy C kopula ´es Lri margin´alisokkal defini´alt,
H(x1 , x2 . . . , xm ) = C(Lr1 (x1 ), Lr2 (x2 ), . . . , Lrm (xm )).
Legyenek tov´ abb´ a (Hi )1≤i≤m a H peremei, ekkor az oper´aci´os t˝oketartal´ek: m X EC = V aRα ( Hi ) i=1
4.4. Kopul´ ak szerepe LDA eset´ en A k¨ovetkez˝ o szekci´ ot el˝ ok´esz´ıtve, r¨oviden ismertetni szeretn´em gyakorlati szempontb´ ol a kopul´ ak jelent˝ os´eg´et. A kor´ abbi felt´etelez´eseinkkel ´elve, teh´at vegy¨ uk figyelembe a k¨ ul¨onb¨ oz˝ o kock´ azati oszt´ alyok k¨oz¨otti f¨ ugg˝os´egeket. Ez a felt´etelez´es egyr´eszt ´eletszer˝ u, m´asr´eszt praktikus is lehet hitelint´ezeti szemsz¨ogb˝ol n´ezve, mivel egy eszk¨ozt szolg´altathat arra, hogy cs¨ okkenjen a kock´ aztatott ´ert´ek, mely seg´ıtheti a fel¨ ugyeletnek val´o megfelel´est. A t˝ oketartal´ek meghat´ aroz´as´an´al ezek ut´an a c´el az egy¨ uttes vesztes´egeloszl´ as becsl´ese. Erre k¨ ul¨ onf´ele m´ odszerek l´eteznek, tal´an a legk´ezenfekv˝obb az, ha vessz¨ uk a tapasztalati eloszl´ as kvantilis´et, vagy pedig felt´etelez¨ unk egy eloszl´ascsal´adot (p´eld´aul t¨obbdimenzi´ os
4.fejezet Az oper´aci´os kock´azat ´es az LDA modell
36
norm´ alis eloszl´ as) ´es valamilyen param´eterbecsl´esi m´odszerrel (momentum m´odszer, ML becsl´es) specifik´ aljuk a keresett eloszl´ast. ´ Altal´ anoss´ agban viszont elmondhat´o, hogy ez az oper´aci´os kock´azatok est´eben nem j´arhat´ ou ´t, mert a teljes vesztes´egadatok sz´ama nagyon kev´es, ´altal´aban p´ar ´evre korl´atoz´odik. R´ aad´ asul magas kvantilis mellett t¨ort´enik a t˝okek´epz´es, ami miatt hatv´anyozottan ´erv´enyes¨ ul a pontatlan becsl´esb˝ol ered˝o hiba. ´ Eppen ez´ert aj´ anlja a szakirodalom az LDA-hoz hasonl´o megk¨ozel´ıt´est, hogy el˝osz¨ or becs¨ ulj¨ uk k¨ ul¨ on a vesztes´eg- ´es a gyakoris´ageloszl´asokat majd ezekb˝ol hat´arozzuk meg az egy¨ utteselosz´ ast. Erre a c´elra is l´eteznek k¨ ul¨onf´ele m´odszerek, a legink´abb haszn´alt ´es ismert a Panjer rekurzi´ o (1981) [16], mely egy rekurz´ıv ¨osszef¨ ugg´est szolg´altat a teljes eloszl´ asra, ha teljes¨ ul, hogy a gyakoris´agok (a, b, 0) eloszl´asok, illetve a vesztes´egeloszl´ as eg´esz ´ert´ek˝ u (folytonos esetben ez ´athidalhat´o, ha diszkretiz´aljuk az eloszl´ast). A Panjer m´ odszer alkalmaz´ as´ anak vesz´elye, hogy numerikus hib´ak l´ephetnek fel a rekurzi´ o alkalmaz´ asa sor´ an (Panjer ´es Wilmot (1986) [17]). V´eg¨ ul egy alternat´ıv lehet˝ os´eg a kopul´ak haszn´alata. A minta adataihoz egy empirikus kopul´ at lehet illeszteni 3.2-es defin´ıci´o, majd ezek ut´an ki lehet v´alasztani, hogy melyik elm´eleti kopula illeszkedik legjobban az empirikus kopul´ara. Ezt k¨ovet˝oen (vagy megel˝oz˝ oen) megbecs¨ ulj¨ uk a peremekre legink´abb illeszked˝o eloszl´asokat, majd a kopula ´es a peremek seg´ıts´eg´evel az egy¨ uttes eloszl´as Sklar t´etele alapj´an megadhat´o. A kopula m´ odszernek a legf˝ obb el˝onye a t¨obbi m´odszerrel szemben az, hogy csak a kopulaoszt´ alyra van el˝ ozetes felt´etelez´es¨ unk, az egy¨ utteseloszl´asra vonatkoz´olag nincs. Egym´ ast´ ol elhat´ arolva t¨ ort´enik tov´abb´a a peremeloszl´as ´es a f¨ ugg˝os´egi strukt´ ura vizsg´alata. 4.8. Megjegyz´ es. Ha az egy¨ uttes eloszl´ asra valamely kit´etelt tesz¨ unk, akkor az bizonyos esetekben a margin´ alisokra is felt´etelt szab (p´eld´ aul t¨ obb dimenzi´ os norm´ alisok peremei is norm´ alisok). Kopul´ ak eset´eben n´ezhet¨ unk teljesen k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o peremeket is (p´eld´ aul exponenci´ alis eloszl´ as´ u peremekre illeszthet¨ unk az ¨ osszef¨ ugg´est le´ır´ o Gauss-kopul´ at), tov´ abb´ a a korrel´ aci´ o helyett m´ as m´ert´ekeket is haszn´ alhatunk a kapcsolatok le´ır´ as´ ara.
5. fejezet Szimul´ aci´ os tanulm´ any
5.1. Szimul´ aci´ os tanulm´ any Ebben a fejezetben egy gyakorlati p´eld´an kereszt¨ ul szeretn´em bemutatni az LDA ´altal ny´ ujtott m´ odszertant a kopul´ ak vonatkoz´as´aban. A szekci´o c´elja, hogy a szakirodalommal ¨ osszhangban egy ´ altal´ anos keretet ny´ ujtsak a t´ema ir´ant ´erdekl˝od˝ok sz´am´ara, ennek ´erdek´eben a dolgozat sor´ an felhaszn´alt programk´odok ´es adatsorok a f¨ uggel´ek megfelel˝ o r´eszeiben el´erhet˝ oek. A progamk´odokat az R statisztikai programban ´ırtam. Ez egy ny´ılt forr´ ask´ od´ u programcsomag, ´ıgy b´arki sz´am´ara el´erhet˝o. Bankbiztons´agi okokb´ ol kifoly´ olag nem ´ allt rendelkez´esemre oper´aci´os vesztes´egadatb´azis, ´ıgy a szimul´aci´ok sor´ an k¨ ul¨onf´ele felt´etelez´esekkel ´elt¨ unk. Ezeknek a felt´etelez´eseknek k¨osz¨onhet˝oen a szimul´aci´ o c´elja nem az optim´ alis kopula melletti t˝oketartal´ek meghat´aroz´asa, hanem annak vizsg´ alata, hogy van-e kardin´ alis szerepe a megfelel˝o kopulaoszt´aly megv´alaszt´as´anak, illetve aj´anl´ ast tesz¨ unk a peremeloszl´asok ´es kopul´ak becsl´es´ere. A szimul´aci´os tanulm´any h´arom r´eszb˝ ol tev˝ odik ¨ ossze.
37
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any
38
1. A peremeloszl´ asok becsl´es´enek vizsg´alata. 2. A kopulakalibr´ aci´ ok k¨ oz¨ otti v´alaszt´as. 3. T˝ oketartal´ek sz´ am´ıt´ asa k¨ ul¨onf´ele kopul´ak mellett, ezek ¨osszevet´ese a sztenderd LDA eredm´enyeivel. 5.1. Megjegyz´ es. Csak a 3. eset sor´ an van sz¨ uks´eg¨ unk t´enylegesen a banki vesztes´egadatokra, az els˝ o esetn´el elegend˝ o az elm´eleti param´eterek ismerete.
5.1.1. Az adatb´ azisr´ ol A stiliz´ alt t´enyek alapj´ an egy fikt´ıv adatb´azist hoztunk l´etre, melynek alapjait a Giudici, Fantazzini ´es Valle cikke [18] szolg´altatta. A cikkben egy anonim bank 6 ´eves oper´ aci´ os vesztes´egadatsor´ at vizsg´alt´ak, melynek id˝ot´avja 1999 janu´arj´at´ol eg´eszen 2004 december´eig bez´ ar´ oan tartott. A vesztes´egek gyakoris´aga ´es eloszl´asa havi bont´asban ker¨ ult r¨ ogz´ıt´esre ¨ osszesen 72 h´ onapra vonatkoz´olag. A b´azeli ir´anyelvek ´altal kor´abban meghat´ arozott vesztes´egkateg´ ori´ai k¨oz¨ ul n´egyet kiv´alasztva ´es k´et ´agazat szerint, teh´ at ¨osszesen nyolc k¨ ul¨ onf´ele kateg´ ori´aban. A bank anonimit´asa ´erdek´eben a kateg´ori´akat nem pontos´ıtott´ ak. A rendelkez´es¨ ukre ´ all´ o id˝ osor alapj´an, a cikkben ML m´odszerrel megbecs¨ ult´ek t¨obb k¨ ul¨onb¨ oz˝ o gyakoris´ ag ´es vesztes´egeloszl´asokra vonatkoz´oan a peremeloszl´asok param´etereit, ´es k¨ ozz´e tett´ek a Gauss-kopula strukt´ ur´aja alapj´an a korrel´aci´os m´atrixot. Az ezek ´ altal ny´ ujtott inform´ aci´ ok ismeret´eben lehet˝os´eg ny´ılt egy stiliz´alt t´enyen alapul´o adatb´ azis l´etrehoz´ as´ ara.
A vesztes´egkateg´ori´ak eloszl´as´anak meghat´aroz´as´ahoz
sz¨ uks´eges param´eterek a k¨ ovetkez˝oek:
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any
39
A gyakoris´ ag eloszl´asokra becs¨ ult param´eterek Poisson (λ) Negat´ıv Binomi´alis (p, θ) Oszt´ alyok
λ
(p, θ)
r1 . kateg´ oria
1.4
(0.59,2.01)
r2 . kateg´ oria
2.19
(0.4,1.49)
r3 . kateg´ oria
0.08
(0.8,0.33)
r4 . kateg´ oria
0.46
(0.92,5.26)
r5 . kateg´ oria
0.1
(0.84,0.52)
r6 . kateg´ oria
0.63
(0.33,0.31)
r7 . kateg´ oria
0.68
(0.42,0.49)
r8 . kateg´ oria
0.11
(0.88,0.8)
A k´ areloszl´asokra becs¨ ult param´eterek Gamma (α, θ) Exponenci´alis λ Pareto (α, θ) Oszt´ alyok
(α, θ)
λ
(α, θ)
r1 . kateg´ oria
(0.15,64848)
9844
(2.36,13368)
r2 . kateg´ oria
(0.2,109321)
21721
(2.5,32494)
r3 . kateg´ oria
(0.2,759717)
153304
(2.51,230817)
r4 . kateg´ oria
(0.11,1827627)
206162
(2.25,258588)
r5 . kateg´ oria
(0.2,495701)
96873
(2.49,143933)
r6 . kateg´ oria
(0.38,19734)
7596
(3.25,17105)
r7 . kateg´ oria
(0.06,211098)
12623
(2.13,14229)
r8 . kateg´ oria
(0.26,135643)
35678
(2,71,61146)
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any
40
A korrel´ aci´os strukt´ ura gaussi kopula eset´en Oszt´ alyok
r1 .
r2 .
r3 .
r4 .
r5 .
r6 .
r7 .
r8 .
r1 .
1
-0.05
-0.142
0.051
-0.204
0.252
0.140
-0.155
r2 .
-0.05
1
-0.009
0.055
0.023
0.115
0.061
0.048
r3 .
-0.142
-0.009
1
0.139
-0.082
-0.187
-0.193
-0.090
r4 .
0.051
0.055
0.139
1
-0.008
0.004
-0.073
-0.045
r5 .
-0.204
0.023
-0.082
-0.008
1
0.118
-0.102
-0.099
r6 .
0.252
0.115
-0.187
0.004
0.118
1
-0.043
0.078
r7 .
0.140
0.061
-0.193
-0.073
-0.102
-0.043
1
-0.035
r8 .
-0.155
0.048
-0.090
-0.045
-0.099
0.078
-0.035
1
5.2. Megjegyz´ es. Mivel a fenti gyakoris´ ag ´es k´ areloszl´ asok nevezetes eloszl´ asok, a dolgozat keretein bel¨ ul most nem defini´ aljuk ˝ oket. A megfelel˝ o param´eterez´es ´ertelmez´ese (p´eld´ aul a Pareto eloszl´ asok k¨ ul¨ onf´ele t´ıpusai) a f¨ uggel´ek Monte Carlo k´ odr´eszletei ´es hozz´ a tartoz´ o URL c´ımek alapj´ an vagy Giudici [18] cikke seg´ıts´eg´evel meghat´ arozhat´ o.
A szimul´ aci´ o sor´ an fontos lesz¨ogezni, hogy er˝oteljes felt´etelez´es az, hogy egy gaussi strukt´ ur´ ab´ ol szimul´ alt egy¨ uttes vesztes´egeloszl´as ´ırn´a le j´ol a t´enyleges banki vesztes´egadatokat, ´ıgy ebb˝ ol a szempontb´ol nincs ´ertelme a legjobban illeszked˝o kopul´ at megtal´ ani, mert m´ ar el˝ ore defini´alt. Mint m´ar kor´abban eml´ıtett¨ uk, nem ´allnak rendelkez´esre adataink, ´ıgy egy gener´alt adatsoron fogunk vizsg´al´odni, de mivel Gausskopul´ ab´ ol gener´ aljuk az adatsort, elvesz´ıti sz´amos ´erdekes jellemz˝oj´et az empirikushoz id˝osorhoz k´epest. ´Igy a vizsg´ alat c´elja az utols´ o r´eszszekci´oban nem a legjobban illeszked˝o kopula melletti t˝oketartal´ek meghat´ aroz´ asa lesz, hanem ink´abb azt vizsg´alni, hogy van-e szignifik´ans hat´asa annak, ha k¨ ul¨ onf´ele kopulaoszt´alyt v´alasztunk a t˝oketartal´ek k´epz´ese sor´an ezen a gener´ alt adatsoron. Ezek eredm´enyeit hasonl´ıtjuk ¨ossze az LDA modell t¨ok´eletesen ¨osszef¨ ugg˝ o eset´evel. A k¨ovetkez˝ okben megvizsg´ aljuk, hogy a mintaelemsz´am nagys´ag´anak f¨ uggv´eny´eben a peremeloszl´ asokra mely eloszl´ ascsal´adokat ´eredemes illeszteni.
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any
41
5.1.2. Peremeloszl´ asok vizsg´ alata Az oper´ aci´ os vesztes´egekhez tartoz´o mint´akra jellemz˝o, hogy nagyon kev´es elemsz´am´ uak, a rendelkez´esre ´ all´ o adatsorok nagyon r¨ovidek. ´Igy kulcsfontoss´ag´ u, hogy a peremekre illeszked˝ o eloszl´ as min´el kisebb hib´aval ´ırja le az adatsort. A b´azeli ir´anyelvek alapj´ an r´ aad´ asul h´et k¨ ul¨ onf´ele vesztes´egkateg´ori´at k¨ ul¨onb¨oztet¨ unk meg, ´es azokat tov´abb oszt´alyozhatjuk nyolc k¨ ul¨ onb¨ oz˝ ou ¨zleti kateg´ori´aba. Ha ´agazatonk´enti teljesk¨or˝ u vizsg´ alatot szeretn´ek teh´ at, akkor 56 kateg´ori´ara lenne sz¨ uks´eg¨ unk, ami gyakorlati szempontb´ ol kivitelezhetetlen kis mint´ ara. Mi a szimul´aci´o sor´an ez´ert megmaradunk a fenti 8 kateg´ori´ an´ al, s˝ ot, azon bel¨ ul is most kiemeln´enk egy konkr´et vesztes´egkateg´ori´at, a fenti r3 -as szcen´ ari´ ot. A kopulailleszt´es els˝ o l´ep´ese az, hogy megbecs¨ ulj¨ uk a margin´alisokat. ´Igy term´eszetesnek ad´odik, hogy ´erdemes megvizsg´ alni a mintaelemsz´am f¨ uggv´eny´eben mely eloszl´ascsal´adot ´erdemes illeszteni a peremekre. Ezek alapj´ an Monte Carlo szimul´aci´ot v´egezt¨ unk n´egy forgat´ok¨onyv eset´en k¨ ul¨onb¨oz˝ o nagys´ ag´ u mintam´eretekre: T = 72, T = 500, T = 1000, T = 2000. A Giudici cikk [18] ´altal meghat´ arozott param´etereket felt´etelezt¨ uk a val´os param´etereknek. Majd N = 10000 replik´ aci´ o mellett legener´altuk a n´egy forgat´ok¨onyvet ´es megn´ezt¨ uk, hogy az ML szerinti becs¨ ult param´eterek v´ arhat´o ´ert´eke mennyiben t´er el a val´os param´etert˝ol a k¨ ul¨onf´ele eloszl´ asok eset´en. Az elt´er´es m´er´es´ehez haszn´ alt indik´atorok a k¨ovetkez˝ok:
M SE(Θ) =
N 1 Xˆ θ i − θ0 , N i=1
r
PN ˆ ˆ2 i=1 θi − θ , 1 PN ˆi θ i=1 N
1 N
V C(Θ) =
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any
42
ahol θ0 a val´ os param´eter, θi az i. Monte Carlo replik´aci´o, MSE az ´atlagt´ol val´o n´egyzetes elt´er´es, a VC pedig a vari´ ac´ os koefficiens, mely a sz´or´as sz´azal´ekos ar´anya az ´atlaghoz viszony´ıtva. M´er´es szempontj´ ab´ol ez nem m´as, mint a relat´ıv hiba. Ez alapj´ an ad´ odott a k¨ ovetkez˝ o t´abl´azat a k´areloszl´asokra:
Kismint´ as becsl´esek exponenci´alis eloszl´as λ0 = 153304
ˆ Mean(λ)
ˆ MSE(λ)
ˆ VC(λ)
T = 72
153332.7
330490614
0.11856166
T = 500
153393.6
47533667
0.04494244
T = 1000
153289.0
23540115
0.03165127
T = 2000
153291.2
11739289
0.02235119
Kismint´as becsl´esek gamma eloszl´as (α0 = 0.2, θ0 = 759717)
Mean(ˆ α)
MSE(ˆ α)
VC(α ˆ)
ˆ Mean(θ)
ˆ MSE(θ)
ˆ VC(θ)
T = 72
0.2055
0.0013175
0.1744
780847
1.90 · 1010
0.174
T = 500
0.2009
0.0001679
0.0643
763416
2.42 · 109
0.064
T = 1000
0.2004
0.0000813
0.0449
761320
1.17 · 109
0.044
T = 2000
0.2001
0.0000396
0.0314
760131
5.71 · 108
0.031
Kismint´as becsl´esek Pareto eloszl´as (α0 = 2.51, θ0 = 230817)
Mean(ˆ α)
MSE(ˆ α)
VC(α ˆ)
ˆ Mean(θ)
ˆ MSE(θ)
ˆ VC(θ)
T = 72
645749
2.61 · 1014
24.2433
6.0145
23500
25.3277
T = 500
311431
2.08 · 1011
0.3106
3.1567
9.030
0.1867
T = 1000
298654
2.23 · 1011
0.1876
2.8459
7.913
0.1456
T = 2000
281462
2.34 · 1011
0.1564
2.7941
7.123
0.1134
Illetve a gyakoris´ ag eloszl´ asokra:
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any
43
Kismint´as becsl´esek Poisson eloszl´as λ0 = 0.08
ˆ Mean(λ)
ˆ MSE(λ)
ˆ VC(λ)
T = 72
0.07942917
0.0010831736
0.41428928
T = 500
0.07998840
0.0001616192
0.15893490
T = 1000
0.07997690
0.0000814937
0.11287455
T = 2000
0.07991160
0.0000392457
0.0783868
Kismint´ as becsl´esek negat´ıv binomi´alis eloszl´as (p0 = 0.8, θ0 = 0.33)
Mean(ˆ p)
MSE(ˆ p)
VC(ˆ p)
ˆ Mean(θ)
ˆ MSE(θ)
ˆ VC(θ)
T = 72
0.08607
0.03146
0.18881
-
-
-
T = 500
0.08194
0.01154
0.11782
3.62178
310.800
4.782
T = 1000
0.08076
0.00512
0.0887
0.74543
30.318
7.365
T = 2000
0.08044
0.00278
0.0645
0.36724
0.022
0.397
5.1. K¨ ovetkezm´ eny. A gyakoris´ ageloszl´ asok k¨ oz¨ ul egy´ertelm˝ uen a Poisson eloszl´ as a legmegfelel˝ obb v´ alaszt´ as. M´ ar 72 elemsz´ am mellett is konzisztens becsl´est ad, ´es a vari´ aci´ os koefficiens (relat´ıv hiba) is megfelel˝ oen kicsi. R´ aad´ asul a negat´ıv binomi´ alis illeszt´esekor nincsen z´ art alak a param´eterekre, mindenk´epp valamilyen iter´ aci´ oval kell ´eln¨ unk a maximum likelihood optimaliz´ al´ asa sor´ an. Ez´ altal a sz´els˝ o ´ert´ek keres´ese sor´ an gyakran el˝ ofordulhatnak negat´ıv ´ert´ekek a param´eterre kev´es elemsz´ amn´ al. Ez´ert nem tudtuk megbecs¨ ulni T = 72 mellett a binomi´ alis m´ asik param´eter´et. Az esetek t¨ obb mint fel´eben negat´ıv ´ert´ek j¨ ott ki a param´eterre. Emiatt k¨ or¨ ultekint˝ oen kell elj´ arni negat´ıv binomil´ as eloszl´ as csal´ ad illeszt´esekor kis elemsz´ amn´ al. Ha a vesztes´egeloszl´ asokat vizsg´ aljuk, akkor pedig az tapasztaljuk, hogy az exponenci´ alis ´es gamma eloszl´ asok teljes´ıtenek a legjobban a kis mint´ an. Az exponenci´ alis eloszl´ as picivel jobb, mint a gamma, de ez v´ arhat´ o is, mivel az exponenci´ alis eloszl´ as a gamma speci´ alis esetek´ent ´ all el˝ o.
A k¨ovetkez˝ okben aj´ anl´ ast tesz¨ unk arra vonatkoz´oan, hogy mely kopula kalibr´aci´os m´odszerek ´elveznek el˝ onyt praktikuss´agi szempontb´ol (fut´asid˝o, konvergencia sebess´eg stb.).
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any
44
5.1.3. Kopulakalibr´ aci´ ok vizsg´ alata Ebben a r´eszben az R programhoz telep´ıtett copula csomag seg´ıts´eg´evel, ismert param´eterek mellett szimul´ alunk Gauss, Student t- ´es Gumbel kopul´at. Ezek ut´an az R-ben ismeretes kalibr´ aci´ os m´odszerekkel visszam´erj¨ uk a param´etereinket, a mintaelemsz´ am f¨ uggv´eny´eben. Legyen θ0 az ´altalunk meghat´arozott keresend˝o elm´eleti param´eter, θest a kalibr´ aci´ os m´ odszerrel meghat´arozott becs¨ ult param´eter, DoF pedig a Student t-kopula eset´en a szabads´agfok. Gauss-kopula gener´al´asakor θ0 = 0.5, Student t-kopula eset´en (θ0 , DoF ) = (0.8, 3), m´ıg Gumbel kopula eset´en θ0 = 3 felt´etelez´essel ´elt¨ unk. Els˝ o l´ep´esben a k¨ ul¨ onf´ele kopul´ak eset´en, illetve r¨ogz´ıtett seed mellett (fix´alt v´eletlent´ abla mellett gener´ alt v´altoz´ok eset´en) vizsg´aljuk, a fut´asi idej´et a becsl´eseknek k¨ ul¨onb¨ oz˝ o m´eret˝ u kopul´ akra. Itt m´eg nem a becsl´es pontoss´ag´anak a vizsg´alata a c´el, hanem az, hogy ¨ osszehasonl´ıtsuk a m´odszereket a fut´asi id˝o ´es konvergencia szempontj´ ab´ ol. Az R csomaghoz tartoz´o egy´eb inform´aci´ok a f¨ uggel´ek megfelel˝o r´esz´eben megtal´ alhat´ oak. Az inverz-tau ´es inverz-r´o elj´ar´asok eset´en Student t-kopul´an´al a szabads´ agfok fix´ al´ as´ ara k´enyszer´ıt minket a program, ´ıgy nincs lehet˝os´eg a DoF becsl´es´ere ezekn´el a m´ odszerekn´el. Az ML a maximum likelihood m´ıg az MPL a maximum pszeud´ o likelihood m´ odszer r¨ ovid´ıt´es´ere szolg´al, mely anal´og a kor´abban defini´alt CML elj´ar´assal. M´as programcsomagokban (Matlab, SAS) ilyen kontextusban szeretik haszn´alni.
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any T = 1000 mint´ ara
Gauss-kopula: ML MPL Inverz Tau Inverz R´o Student t-kopula: ML MPL Inverz Tau Inverz R´o Gumbel-kopula: ML MPL Inverz Tau Inverz R´o
θest DoF Fut´asi id˝o (sec) 0.4940108 0.6500000 0.4950348 0.5700000 0.4812576 0.3300000 0.477193 0.00673 θest DoF Fut´asi id˝o (sec) 0.8004042 2.882353 2.6100000 0.8003766 2.874138 1.8800000 0.8027725 0.3100000 0.7825261 0.0100000 θest DoF Fut´asi id˝o (sec) 3.025631 1.150000 3.023557 1.020000 3.023315 0.310000 3.024166 0.020000
T = 10000 mint´ ara
Gauss-kopula: ML MPL Inverz Tau Inverz R´o Student t-kopula: ML MPL Inverz Tau Inverz R´o Gumbel-kopula: ML MPL Inverz Tau Inverz R´o
θest DoF Fut´asi id˝o (sec) 0.5006196 18.7500000 0.5004138 18.0300000 0.4940343 27.9700000 0.4940676 0.05000 θest DoF Fut´asi id˝o (sec) 0.8022442 3.232483 43.4500000 0.8016293 3.213461 36.7400000 0.7992014 28.4600000 0.7830042 0.0500000 θest DoF Fut´asi id˝o (sec) 3.026284 29.390000 3.021235 27.690000 3.054963 28.480000 3.066341 0.050000
45
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any
46
T = 100000 mint´ ara
Gauss-kopula: ML CML Inverz Tau Inverz R´o Student t-kopula: ML MPL Inverz Tau Inverz R´o Gumbel-kopula: ML CML Inverz Tau Inverz R´o
θest DoF 0.500716 0.500702 0.4983077 0.4983981 θest DoF 0.8000928 3.0342 0.8000857 3.0362 0.8016154 0.7836084 θest DoF 2.993301 2.998273 2.981054 2.989356 -
Fut´asi id˝o (sec) 1454.780000 1416.91000 1209.7900000 0.5600000 Fut´asi id˝o (sec) 1066.1600000 639.7200000 1233.3500000 0.8700000 Fut´asi id˝o (sec) 1528.000000 1399.520000 2901.620000 0.570000
A fenti t´ abl´ azatokb´ ol m´ ar egy futtat´as sor´an is r´an´ez´esre l´atszik, hogy a mintaelemsz´am n¨ovel´es´evel az ML ´es MPL-t m´odszerek nagyon moh´ok, viszont az inverz-r´o ´es -tau elj´ar´ asokhoz k´epest elmondhat´o, hogy a param´eteres elj´ar´asok cser´ebe jobban konverg´ alnak. Magasabb dimenzi´ oban tov´abb romlik a becsl´es ´es n˝o a fut´asi id˝o. A szimul´aci´ o sor´ an m´ ar 100000-es mintaelemsz´amn´al is a fut´asi id˝o sokszor t¨obb, mint negyed ´ora volt egy-egy m´ odszern´el. A sz´am´ıt´og´ep konfigur´aci´oja az 5.3-as megjegyz´esben megtal´alhat´ o. Ahhoz, hogy ´erdembeni k¨ ovetkeztet´eseket vonjunk le, mindenk´epp meg kell vizsg´alnunk a becsl´esek pontoss´ ag´ at. A sz˝ uk¨os er˝oforr´asok miatt a param´etereket csup´an kis mintaelemsz´ am´ u (1000 eset) kopul´ akon becs¨ ult¨ uk. Ennek ´erdek´eben N = 200 replik´aci´ora n´ezve a becs¨ ult param´eterek v´ arhat´o ´ert´ek´ere ´es sz´or´as´ara a k¨ovetkez˝ok ad´odtak:
Kismint´as becsl´esek Gauss kopula ML
MPL
Inverz-tau
Inverz-r´o
mean(θ)
0.4971766
0.4979930
0.4982783
0.4963169
sd(θ)
0.02406617
0.02198601
0.02714847
0.02806238
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any
47
Kismint´as becsl´esek Student t-kopula ML
MPL
Inverz-tau
Inverz-r´o
mean(θ)
0.7989028
0.8009906
0.8018967
0.7826166
sd(θ)
0.01248378
0.01343160
0.01513323
0.01701898
mean(DoF )
3.039613
3.076128
-
-
sd(DoF )
0.4906708
0.3966812
-
-
Kismint´as becsl´esek Gumbel kopula ML
MPL
Inverz-tau
Inverz-r´o
mean(θ)
2.996130
2.997000
2.996382
3.011227
sd(θ)
0.07953028
0.01343160
0.01513323
0.01701898
5.2. K¨ ovetkezm´ eny. Ezek alapj´ an elmondhat´ o, hogy nagy mint´ ak eset´en, ha az er˝ oforr´ asunk engedi, haszn´ aljuk az MPL algoritmust, mivel gyorsabb az ML-n´el ´es pontosabb becsl´es a t¨ obbi m´ odszerhez k´epest. Abban az esetben, ha csup´ an egy gyors ellen˝ orz´esre lenne sz¨ uks´eg¨ unk, ´es nincs olyan nagy hangs´ uly a pontos becsl´esen, akkor ´erdemesebb az Inverz-r´ o elj´ ar´ ast haszn´ alni, mivel mintaelemsz´ amt´ ol f¨ uggetlen¨ ul gyorsan lefut. Kopula csal´ adt´ ol f¨ uggetlen¨ ul elmondhat´ o, hogy az MPL eset´eben ad´ odik a legkisebb elt´er´es. 5.3. Megjegyz´ es. A szimul´ aci´ o fut´ asi idej´ere nagy hat´ assal van, hogy milyen platformon dolgozunk. A mi eset¨ unkben Windows7 alatt az R 3.03-as verzi´ oj´ at haszn´ altuk. CPU: Intel Core i3-2100, RAM: Kingston 4096 1333 MB DDR3, VGA: GeForce GTS 450 512 MB, t¨ obbsz´ al´ us´ıt´ as nem t¨ ort´ent.
5.1.4. Kopulaoszt´ alyok hat´ asa a t˝ oketartal´ ekra A szimul´ aci´ o utols´ o r´esz´eben Giudici [18] cikke alapj´an gener´alunk egy egy¨ uttes vesztes´egeloszl´ as f¨ uggv´enyt a fejezetben megadott margin´alisokkal ´es a Gauss-kopula ´altal meghat´arozott korrel´ aci´ o seg´ıts´eg´evel. Majd erre a mint´ara megbecs¨ ulj¨ uk a t˝oketartal´ekot t¨okeletesen ¨ osszef¨ ugg˝ o LDA, Gauss- ´es Student t-kopul´aval meghat´arozott egy¨ uttes eloszl´as eset´en.
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any
48
Adott Σ korrel´ aci´ o m´ atrix eset´en a gaussi kopul´ab´ol sz´armaztathat´o minta gener´al´as´ahoz a k¨ovetkez˝ o algoritmust haszn´ altuk (Embrecht [19]) : 5.1. Algoritmus.
1. Mivel Σ pozit´ıv definit, ´ıgy a Σ = L · LT Cholesky felbont´as´ab´ol sz´armaz´o L als´ oh´ aromsz¨ og m´ atrix meghat´arozhat´o. 2. Gener´ alunk egy n dimenzi´os sztenderd norm´alis peremekkel rendelkez˝o Z = (z1 , z2 , . . . , zn )T vektort 3. X = Z T L 4. Sz´ amoljuk ki U = Φ(X)-t, ahol (Φ(·) : n-dimenzi´os sztenderd norm´alis eloszl´asf¨ uggv´eny). 5. Ekkor U = (u1 , u2 , . . . , un ) [0, 1]-en egyenletes eloszl´as´ u peremekkel rendelkezik, a korrel´ aci´ om´ atrixa pedig a keresett alak´ u. 6. Vegy¨ uk az Lri vesztes´egoszt´alyok margin´alis eloszl´asainak az ´altal´anos´ıtott inverz´et, ´es helyettes´ıts¨ uk be U elemeit. Fantazzini [18]
´Igy m´ ar rendelkez´esre ´ all az adatsorunk. Hab´ar megjegyezz¨ uk, hogy tov´abbra is csak egy szimul´ alt adathalmaz kaptunk, ´es ´ıgy csak egy durva v´az´at szolg´altatja az eredeti adatsornak. Mivel elliptikus eloszl´asok eset´en szubbadit´ıv a VaR, Gauss- ´es Student tkopul´ akkal prob´ alkoztunk az illeszt´esn´el. Term´eszetesen gyakorlati szempontb´ol ´erdemes lehetne nem elliptikus, tipikusan extr´em ¨osszef¨ ugg˝os´egi strukt´ ur´at le´ır´o Gumbel-kopula illeszt´esekkel is prob´ alkozni. A VaR ´es ES ´altal meghat´arozott t˝oketartal´ekok a k¨ovetkez˝ok lettek:
Glob´ alis VaR, ´es ES k¨ ul¨onf´ele margin´alisokra, kopul´akra Oszt´ alyok
VaR 95
VaR 99
ES 95
ES 99
Poisson, Exponenci´ alis
konz. LDA
1399500
2369100
2082842
3227667
Poisson, Exponenci´ alis
t-kopula
592664
737472
695593
791754
Poisson, Exponenci´ alis
normal-kopula
586593
715364
663041
770111
5.fejezet Szimul´aci´os tanulm´any
49
5.3. K¨ ovetkezm´ eny. A t´ abl´ azat visszaigazolja, hogy a b´ azeli szab´ alyoz´ as ´ altal meghat´ arozott t˝ okek´epz´es val´ oban t´ ulzottan konzervat´ıv. Ha m´ ar figyelembe vessz¨ uk a vesztes´eg oszt´ alyok k¨ ozti ¨ osszef¨ ugg´eseket jelent˝ os m´ert´ekben cs¨ okkenthet˝ o a t˝ oketartal´ek. Ugyanakkor a VaR mellett az ES ´ert´ekeit is felt¨ untett¨ uk. Az ES defin´ıci´ oj´ ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy eredend˝ oen nagyobb mint a VaR, ´ıgy magasabb t˝ oketartal´ek is tartozik hozz´ a. Gyakorlati szempontb´ ol az ES jobb v´ alaszt´ as lehet, mint a VaR mivel koherens kock´ azati m´ert´ek, ´ıgy teljes¨ ul r´ a a szubadditivit´ as, amely a ”portf´ oli´ ok” kock´ azat´ anak m´er´ese szempontj´ ab´ ol k´enyelmes tulajdons´ ag. Emelett m´eg mindig kisebb t˝ okek´epz´est eredm´enyez kopul´ ak eset´en, mint a konzervat´ıv LDA melletti VaR. Ha csak a k´et kopula oszt´ aly szemsz¨ og´eb˝ ol n´ezz¨ uk, van e l´enyeges hat´ asa a t˝ okek´epz´esre a kopula oszt´ aly megv´ alaszt´ asa, azt mondhatjuk, hogy ilyen gyenge o ¨sszef¨ ugg˝ os´egi strukt´ ura mellett kicsi a hat´ asa.
6. fejezet ¨ Osszegz´ es A dolgozat sor´ an t¨ orekedtem egy ´atfog´o, t¨om¨or elm´eleti bevezet´est ny´ ujtani a kopul´ ak legfontosabb tulajdons´ agair´ ol ´es mindennapi szerep¨ ukr˝ol annak ´erdek´eben, hogy egy lehets´eges eszk¨ ozt ny´ ujtsanak hitelint´ezeti szempontb´ol a kock´azatkezel´es sz´am´ara. Tov´abb´ a a szakirodalmon kereszt¨ ul ismertett¨ uk az oper´aci´os kock´azatok vesztes´egeloszl´asalap´ u modellez´es´enek alapjait majd a modellt kiterjesztett¨ uk a t¨obbdimenzi´os eloszl´ asokra vonatkoz´ oan, kopula elm´eleti megk¨ozel´ıt´esben. Felh´ıvtuk a figyelmet arra, hogy a b´azeli szab´ alyoz´ as ´ altal meghat´arozott t˝okek´epz´esi szab´aly t´ ul konzervat´ıv, ´ıgy bizonyos esetekben a fejlett m´er´esi m´ odszertan keretein bel¨ ul lehet˝os´eg ny´ılhat a t˝oketartal´ek cs¨okkent´es´ere a kock´ azati faktorok o¨sszef¨ ugg˝os´eg´enek figyelembe v´etel´evel. Erre szolg´altatnak egy lehets´eges eszk¨ ozt a kopul´ak. Az ´erdekl˝od˝ok seg´ıt´ese ´erdek´eben t¨obb gyakorlati p´eld´ at is megn´ezt¨ unk ´es a hozz´a tartoz´o k´odokat ismertett¨ uk a f¨ uggel´ek megfelel˝ o r´eszeiben. Szimul´ aci´ os p´eld´ akon kereszt¨ ul bemutattunk ´es megvizsg´altunk t¨obb l´enyeges l´ep´est, mely a t˝ okek´epz´esre komoly hat´assal lehet. A szakdolgozat legfontosabb u ¨zenete az volt, hogy a kopul´ ak haszn´ alata igenis hat´asos elj´ar´as lehet a t˝okek´epz´es cs˝okkent´es´ere a konzervat´ıv modellel szemben. Tipikusan gyenge ¨osszef¨ ugg˝os´egi strukt´ ura mellet az ellpitikus kopula oszt´ alyok k¨ ozti v´alaszt´as kis m´ert´ekben, ( s b´ar nem vizsg´altuk) a nem megfelel˝ o kopula csal´ ad er˝ os ¨osszef¨ ugg˝os´eg eset´en drasztikusabb m´ert´ekben hathat
50
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
51
a t˝okek´epz´esre. Ugyanakkor a modellez´es kapcs´an vizsg´alt h´arom l´ep´es k¨oz¨ ul (kopula kalibr´ aci´ ok, margin´ alisok vizsg´alata, kopula oszt´alyok) akkor tudunk a legnagyobbat hib´ azni, ha a peremeloszl´ asoknak nem megfelel˝o a kalibr´aci´oja. Ennek okoz´oja az oper´ aci´ os kock´ azatokra jellemz˝ o kis elemsz´am. A dolgozat sor´an sz´amos m´as kontextusban lehetne vizsg´ alni a modellt. Egy ´erdekes kiterjeszt´ese lehetne a feladatnak az, hogy az egy¨ uttes vesztes´egeloszl´ as f¨ uggv´enyt nem a peremeloszl´asok ´es a hozz´ajuk tartoz´o kopula seg´ıts´eg´evel ´ep´ıtj¨ uk fel, hanem a peremekhez tarotoz´o ”tail integr´alok” [hivatkoz´as] seg´ıts´eg´evel. Erre rendelkez´esre ´allnak k¨ ul¨onf´ele eszk¨ozt´arak ilyen p´eld´aul az elm´ ult ´evekbek bevezetett L´evy kopul´ ak [20] fogalma is. Megmutatt´ak, hogy Sklar t´etele erre a speci´ alis esetre is m˝ uk¨ odik. Sajnos erre vonatkoz´olag nem ´allt rendelkez´esemre ny´ılt forr´ask´ od´ u m´ odszertan amely seg´ıten´e ezek implement´aci´oj´at, ´ıgy ezek vizsg´alata a dolgozat folyam´ an nem t¨ ort´ent meg. Tov´abb´a a dolgozat keretei ezt nem tett´ek lehet˝ov´e de egy k´es˝ obbi t´ema alapjait szolg´altathatja.
F¨ uggel´ ek
CRAN csomagok A k´odol´ as sor´ an az R program 3.0.3-as verzi´osz´am´ u v´altozat´at haszn´altam. Sz´amos k´od eset´eben az alapvet˝ o struktur´akat, (id˝osorok, m´atrix-oszt´aly, kopula oszt´alyok stb.) valamint sz´eles k¨ orben elterjedt elj´ar´asokat (inverz-Tau, GoF teszteket stb.) nem programoztam le. Ennek oka egyr´eszt az, hogy tetemes plusz munk´at ig´enyelt volna, m´asr´eszt a m´odszerek optimaliz´ alts´ aga v´egett c´elszer˝ ubbnek l´attam felhaszn´alni az R be´ep´ıtett k¨ornyezet´et. A dolgozat sor´ an felhaszn´alt csomagok a k¨ovetkez˝ok: N´ev
C´ım
Verzi´o
D´atum
stats4
Alapvet˝ o statisztikai tesztek (be´ep´ıtett)
2.15.3
2014-03-06
VGAM
´ Altal´ anosa´ıtott MLE becsl´eshez
0.9-3
2013-11-11
copula
T¨ obbv´ altoz´ os f¨ ugg˝os´eg, kopul´ak
0.999-9
2014-05-05
ggplot2
Grafikai implement´aci´ok
0.9.3
2012-12-05
evd
Extr´em ´ert´ek eloszl´asok szimul´aci´oj´ahoz
2.3-0
2012-08-30
POT
´ Alt. Pareto eloszl´as gener´al´as,POT
1.1-3
2012-11-06
plot3D
T´erbeli adatok kezel´ese interakt´ıvan
1.0-1
2014-01-07
Scatterplot3d
3D kopula ´ abr´azol´as
0.3-35
2014-02-11
MASS
Neg. bin. el. par. becsl´es´ehez
7.3-33
2014-05-05
52
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
53
Implement´ alt forr´ ask´ odok Az alfejezetekhez tartoz´ o numerikus k´ıs´erletek eredm´enyeihez ´es a gener´alt k´epekhez tartoz´ o forr´ ask´ odokat tartalmazza a f¨ uggel´ek ezen r´esze.
##Monte−Carlo szimul´ aci´ o exponenci´ alis eloszlasra+param´ eterbecsl´ esek ## M2 par<−mean(M2[,1]) M2 m1<−MSE(M2[,1],153304) M2 vc1<−VC(M2[,1],153304)
#−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M3<−mc exp(1000,10000)
M3 par<−mean(M3[,1]) M3 m1<−MSE(M3[,1],153304) M3 vc1<−VC(M3[,1],153304)
#−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M4<−mc exp(2000,10000)
M4 par<−mean(M4[,1]) M4 m1<−MSE(M4[,1],153304) M4 vc1<−VC(M4[,1],153304)
#Output M´ atrix ##options(scipen = 8) Z<−matrix(c(72,500,1000,2000,M1 par,M2 par,M3 par,M4 par,M1 m1,M2 m1, M3 m1,M4 m1,M1 vc1,M2 vc1,M3 vc1,M4 vc1),nrow=4,ncol=4)
´s Momuentum becsl´ ##MLE e es Gamma eloszl´ asra #Gamma eloszl´ as: #Momentum becsl´ es
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
54
x.gam<−rgamma(72,rate=0.5,shape=3.5) med.gam<−mean(x.gam) ## sample mean var.gam<−var(x.gam) ## sample variance l.est<−med.gam/var.gam ## lambda estimate (corresponds to rate) a.est<−((med.gam)ˆ2)/var.gam ## alfa estimate c(l.est,a.est)
#Maximum−Likelihood becsl´ es
x.gam<−rgamma(72,rate=0.5,shape=3.5) library(stats4) ## loading package stats4 ll<−function(lambda,alfa) {n<−72 x<−x.gam −n∗alfa∗log(lambda)+n∗log(gamma(alfa))−(alfa−1)∗sum(log(x))+lambda ∗sum(x)} ## −log−likelihood function
est<−mle(minuslog=ll, start=list(lambda=2,alfa=1)) summary(est)
#Mgj:R−es seg´ edanyag: http://cran.r−project.org/doc/contrib/Ricci− distributions−en.pdf ´rz´ ´rt´ #Mgj: E ekeny a kezd} oe ek megv´ alaszt´ as´ ara.
´s par. becsl´ ##Gamma eloszl´ asra vonatkoz´ o MC szimul´ aci´ o e es: ##Functions need## library(stats4) ## loading package stats4
#MSE(theta,theta 0) #theta 0 1 dim #theta n dim (n=10000 because of the MOnte Carlo simulation)
MSE<−function(theta,theta 0)
¨ 6.fejezet Osszegz´ es {sum((theta−rep(theta 0,length(theta)))ˆ2)/length(theta)}
#VC(theta,theta 0) CV (RMSD) VC<−function(theta,theta 0) {sqrt(sum((theta−rep(mean(theta),length(theta)))ˆ2)/length(theta))/ mean(theta)}
#Gamma MLE Gamma.MLE <− function(X) { n <− length(X) med<−mean(X) ## sample mean var<−var(X) ## sample variance l.est<−med/var## lambda estimate (corresponds to rate) a.est<−((med)ˆ2)/var ## alfa estimate return( c(l.est,a.est) ) }
#Alternat´ ıv #Gamma.MLE <− function(X) #{ #
ll<−function(lambda,alfa)
#{n<−length(X) # x<−X #
−n∗alfa∗log(lambda)+n∗log(gamma(alfa))−(alfa−1)∗sum(log(x))+ lambda∗sum(x)} ## −log−likelihood function
# #est<−mle(minuslog=ll, start=list(lambda=820000,alfa=0.218)) #return(c(summary(est)@coef[1],summary(est)@coef[2]))
#}
#example
55
¨ 6.fejezet Osszegz´ es #set.seed(1) X<−rgamma(72,rate=0.5,shape=3.5) Gamma.MLE(X) #Mgj:R−es seg´ edanyag a becsl´ eshez: http://cran.r−project.org/doc/ contrib/Ricci−distributions−en.pdf ´rz´ ´rt´ #Mgj: A MLE e ekeny a kezd} oe ek megv´ alaszt´ as´ ara.
##Gamma Monte carlo##
#n minta elemsz´ am #N replik´ atumok sz´ ama #method
mc gamma<−function(n,N) { #incializ´ alunk egy null vektort M<−matrix(0,nrow = N,ncol = 2)
for (j in seq(1,N,by=1)) { z<−rgamma(n,rate=0.2,shape=759717) est<−Gamma.MLE(z) M[j,1]=est[1] M[j,2]=est[2] } return(M) }
#−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M1<−mc gamma(72,10000)
M1 rat<−mean(M1[,1]) M1 sha<−mean(M1[,2])
56
¨ 6.fejezet Osszegz´ es M1 m1<−MSE(M1[,1],0.2) M1 m2<−MSE(M1[,2],759717) M1 vc1<−VC(M1[,1],0.2) M1 vc2<−VC(M1[,2],759717) #−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M2<−mc gamma(500,10000)
M2 rat<−mean(M2[,1]) M2 sha<−mean(M2[,2]) M2 m1<−MSE(M2[,1],0.2) M2 m2<−MSE(M2[,2],759717) M2 vc1<−VC(M2[,1],0.2) M2 vc2<−VC(M2[,2],759717) #−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M3<−mc gamma(1000,10000)
M3 rat<−mean(M3[,1]) M3 sha<−mean(M3[,2]) M3 m1<−MSE(M3[,1],0.2) M3 m2<−MSE(M3[,2],759717) M3 vc1<−VC(M3[,1],0.2) M3 vc2<−VC(M3[,2],759717)
#−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M4<−mc gamma(2000,10000)
M4 rat<−mean(M4[,1]) M4 sha<−mean(M4[,2]) M4 m1<−MSE(M4[,1],0.2) M4 m2<−MSE(M4[,2],759717) M4 vc1<−VC(M4[,1],0.2) M4 vc2<−VC(M4[,2],759717)
#Output M´ atrix
57
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
58
options(scipen = 8) Z<−matrix(c(72,500,1000,2000,M1 rat,M2 rat,M3 rat,M4 rat,M1 m1,M2 m1, M3 m1,M4 m1,M1 vc1,M2 vc1,M3 vc1,M4 vc1,M1 sha,M2 sha,M3 sha,M4 sha,M1 m2,M2 m2,M3 m2,M4 m2,M1 vc2,M2 vc2,M3 vc2,M4 vc2),nrow=4, ncol=7) round(Z,2) Z
#Kopula becsl´ esek k¨ ul¨ onb¨ oz} o margin´ alisok eset´ en
#F¨ uggv´ enyek #VaR VaR <− function(m, prob=.95,notional=1, digits=8) { ans <− quantile(m, prob) ∗ notional signif(ans, digits=digits) return(ans) } #example #VaR(m,prob=.01,notional=1,digits=8)
#ES ES <− function(m, prob=.95, notional=1, digits=8) { v <− quantile(m, prob) ans <− mean(m[m >= v]) ∗ notional signif(ans, digits=digits) return(ans) }
create<− function(q,u) { z<−rep(0,72) for(j in seq(1,72,by=1))
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
59
{ z[j]<−q[if(round(u[j],2)∗100==0){0} else{round(u[j],2)∗100}] } return(z) }
n<−72 p1<−0.95 p2<−0.99
#a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8 adottak, legener´ altuk
#Konzervat´ ıv LDA ECV1<−(VaR(a1,prob=p1)+VaR(a2,prob=p1)+VaR(a3,prob=p1)+VaR(a4,prob=p1 )+VaR(a5,prob=p1)+VaR(a6,prob=p1)+VaR(a7,prob=p1)+VaR(a8,prob=p1)) ECV2<−(VaR(a1,prob=p2)+VaR(a2,prob=p2)+VaR(a3,prob=p2)+VaR(a4,prob=p2 )+VaR(a5,prob=p2)+VaR(a6,prob=p2)+VaR(a7,prob=p2)+VaR(a8,prob=p2))
ECS1<−(ES(a1,prob=p1)+ES(a2,prob=p1)+ES(a3,prob=p1)+ES(a4,prob=p1)+ES (a5,prob=p1)+ES(a6,prob=p1)+ES(a7,prob=p1)+ES(a8,prob=p1)) ECS2<−(ES(a1,prob=p2)+ES(a2,prob=p2)+ES(a3,prob=p2)+ES(a4,prob=p2)+ES (a5,prob=p2)+ES(a6,prob=p2)+ES(a7,prob=p2)+ES(a8,prob=p2))
u1=rank(a1)/(length(a1)+1) u2=rank(a2)/(length(a2)+1) u3=rank(a3)/(length(a1)+1) u4=rank(a4)/(length(a2)+1) u5=rank(a5)/(length(a1)+1) u6=rank(a6)/(length(a2)+1) u7=rank(a7)/(length(a1)+1) u8=rank(a8)/(length(a2)+1)
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
60
g=matrix(c(u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,u8),nc=8)
normal.cop=normalCopula(0.9,dim=8) fit.cop=fitCopula(normal.cop,g,method="mpl")
t.cop=tCopula(0.3,df=5,dim=8) fitt.cop=fitCopula(t.cop,g, method="itau", estimate.variance=FALSE)
norm= normalCopula(fit.cop@estimate,dim=8) t mpl= tCopula(param=fitt.cop@estimate[1],df=fitt.cop@estimate[2],dim =8)
q1<−quantile(a1, probs=seq(0.01,0.99,by=0.01)) q2<−quantile(a1, probs=seq(0.01,0.99,by=0.01)) q3<−quantile(a1, probs=seq(0.01,0.99,by=0.01)) q4<−quantile(a1, probs=seq(0.01,0.99,by=0.01)) q5<−quantile(a1, probs=seq(0.01,0.99,by=0.01)) q6<−quantile(a1, probs=seq(0.01,0.99,by=0.01)) q7<−quantile(a1, probs=seq(0.01,0.99,by=0.01)) q8<−quantile(a1, probs=seq(0.01,0.99,by=0.01))
sim=rCopula(72,norm)
z1<−create(q1,sim[,1]) z2<−create(q2,sim[,2]) z3<−create(q3,sim[,3]) z4<−create(q4,sim[,4]) z5<−create(q5,sim[,5]) z6<−create(q6,sim[,6]) z7<−create(q7,sim[,7]) z8<−create(q8,sim[,8])
gg=matrix(c(z1,z2,z3,z4,z5,z6,z7,z8),nc=8)
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
61
gg[is.na(gg)] <− 0
ECVG1<−(VaR(gg[,1],prob=p1)+VaR(gg[,2],prob=p1)+VaR(gg[,3],prob=p1)+ VaR(gg[,4],prob=p1)+VaR(gg[,5],prob=p1)+VaR(gg[,6],prob=p1)+VaR(gg [,7],prob=p1)+VaR(gg[,8],prob=p1)) ECVG2<−(VaR(gg[,1],prob=p2)+VaR(gg[,2],prob=p2)+VaR(gg[,3],prob=p2)+ VaR(gg[,4],prob=p2)+VaR(gg[,5],prob=p2)+VaR(gg[,6],prob=p2)+VaR(gg [,7],prob=p2)+VaR(gg[,8],prob=p2))
ECSG1<−(ES(gg[,1],prob=p1)+ES(gg[,2],prob=p1)+ES(gg[,3],prob=p1)+ES( gg[,4],prob=p1)+ES(gg[,5],prob=p1)+ES(gg[,6],prob=p1)+ES(gg[,7], prob=p1)+ES(gg[,8],prob=p1)) ECSG2<−(ES(gg[,1],prob=p2)+ES(gg[,2],prob=p2)+ES(gg[,3],prob=p2)+ES( gg[,4],prob=p2)+ES(gg[,5],prob=p2)+ES(gg[,6],prob=p2)+ES(gg[,7], prob=p2)+ES(gg[,8],prob=p2))
sim2 = rCopula(72,t mpl)
z21<−create(q1,sim2[,1]) z22<−create(q2,sim2[,2]) z23<−create(q3,sim2[,3]) z24<−create(q4,sim2[,4]) z25<−create(q5,sim2[,5]) z26<−create(q6,sim2[,6]) z27<−create(q7,sim2[,7]) z28<−create(q8,sim2[,8])
gg2=matrix(c(z21,z22,z23,z24,z25,z26,z27,z28),nc=8) gg2[is.na(gg2)] <− 0
ECVT1<−(VaR(gg2[,1],prob=p1)+VaR(gg2[,2],prob=p1)+VaR(gg2[,3],prob=p1 )+VaR(gg2[,4],prob=p1)+VaR(gg2[,5],prob=p1)+VaR(gg2[,6],prob=p1)+ VaR(gg2[,7],prob=p1)+VaR(gg2[,8],prob=p1))
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
62
ECVT2<−(VaR(gg2[,1],prob=p2)+VaR(gg2[,2],prob=p2)+VaR(gg2[,3],prob=p2 )+VaR(gg2[,4],prob=p2)+VaR(gg2[,5],prob=p2)+VaR(gg2[,6],prob=p2)+ VaR(gg2[,7],prob=p2)+VaR(gg2[,8],prob=p2))
ECST1<−(ES(gg2[,1],prob=p1)+ES(gg2[,2],prob=p1)+ES(gg2[,3],prob=p1)+ ES(gg2[,4],prob=p1)+ES(gg2[,5],prob=p1)+ES(gg2[,6],prob=p1)+ES(gg2 [,7],prob=p1)+ES(gg2[,8],prob=p1)) ECST2<−(ES(gg2[,1],prob=p2)+ES(gg2[,2],prob=p2)+ES(gg2[,3],prob=p2)+ ES(gg2[,4],prob=p2)+ES(gg2[,5],prob=p2)+ES(gg2[,6],prob=p2)+ES(gg2 [,7],prob=p2)+ES(gg2[,8],prob=p2))
solution<−c(ECV1,ECV2,ECS1,ECS2,ECVG1,ECVG2,ECSG1,ECSG2,ECVT1,ECVT2, ECST1,ECST2)
##Szimul´ alt adatsor, a stiliz´ alt t´ enyek alapj´ an ## library(VGAM) ´ltal meghat´ #Szimul´ aljuk az anonim banki adatokat, a cikk a arozott param´ eterekre, 72 h´ onapra #Els} o l´ ep´ esben a peremeloszl´ asok kellenek: set.seed(1) n<−72 #Frequency Ipo1<−rpois(n,1.40) Ipo2<−rpois(n,2.19) Ipo3<−rpois(n,0.08) Ipo4<−rpois(n,0.46) Ipo5<−rpois(n,0.10) Ipo6<−rpois(n,0.63) Ipo7<−rpois(n,0.68) Ipo8<−rpois(n,0.11)
Inb1<−rnbinom(n=n,size=2.01,p=0.59) Inb2<−rnbinom(n=n,size=1.49,p=0.4) Inb3<−rnbinom(n=n,size=0.33,p=0.8)
¨ 6.fejezet Osszegz´ es Inb4<−rnbinom(n=n,size=5.26,p=0.92) Inb5<−rnbinom(n=n,size=0.52,p=0.84) Inb6<−rnbinom(n=n,size=0.31,p=0.33) Inb7<−rnbinom(n=n,size=0.49,p=0.42) Inb8<−rnbinom(n=n,size=0.80,p=0.88)
#Severity Ig1<−rgamma(n,rate=0.15,shape=64848) Ig2<−rgamma(n,rate=0.2,shape=109321) Ig3<−rgamma(n,rate=0.2,shape=759717) Ig4<−rgamma(n,rate=0.11,shape=1827627) Ig5<−rgamma(n,rate=0.2,shape=495701) Ig6<−rgamma(n,rate=0.38,shape=19734) Ig7<−rgamma(n,rate=0.06,shape=211098) Ig8<−rgamma(n,rate=0.26,shape=135643)
Ie1<−rexp(n,1/9844) Ie2<−rexp(n,1/21721) Ie3<−rexp(n,1/153304) Ie4<−rexp(n,1/206162) Ie5<−rexp(n,1/96873) Ie6<−rexp(n,1/7596) Ie7<−rexp(n,1/12623) Ie8<−rexp(n,1/35678)
Ip1<−rpareto(n=n,shape=2.36,loc=13368) Ip2<−rpareto(n=n,shape=2.50,loc=32494) Ip3<−rpareto(n=n,shape=2.51,loc=230817) Ip4<−rpareto(n=n,shape=2.25,loc=258588) Ip5<−rpareto(n=n,shape=2.49,loc=143933) Ip6<−rpareto(n=n,shape=3.25,loc=17105) Ip7<−rpareto(n=n,shape=2.13,loc=14229) Ip8<−rpareto(n=n,shape=2.71,loc=61146)
63
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
64
#Ezt k¨ ovet} oen pedig adott korrel´ aci m´ atrix mellett gaussi kovariancia struk´ ur´ ab´ ol vesz¨ unk egyenletes mint´ at:
## Initialization and parameters set.seed(123) P <− matrix(c(1, 0.1, 0.8,
# Correlation matrix
0.1, 1, 0.4, 0.8, 0.4, 1), nrow = 3) d <− nrow(P)
# Dimension
n <− 200
# Number of samples
## Simulation (non−vectorized version) A <− t(chol(P)) U <− matrix(nrow = n, ncol = d) for (i in 1:n){ Z
<− rnorm(d)
X
<− A%∗%Z
U[i, ] <− pnorm(X) }
´bra ## A pairs(U, pch = 16, labels = sapply(1:d, function(i){as.expression(substitute(U[k], list(k = i)))}))
#Kopula kalibr´ aci´ ok: #A kalibr´ aci´ os f¨ uggv´ eny t¨ obb kopula eset´ en:
library(copula) calibration<−function(n,dim,meth){ #methods:"ml","mpl","ita","irho" #Simulations:
# Start the clock: ptm <− proc.time()
¨ 6.fejezet Osszegz´ es # Stop the clock: time<−(proc.time() − ptm)
set.seed(1000)
normal.cop=normalCopula(0.5,dim=dim) r1=rCopula(n,normal.cop)
ptm <− proc.time() fit1.cop=fitCopula(normal.cop,r1,method=meth) time1<−(proc.time() − ptm)
t.cop=tCopula(0.8,df=3,dim=dim) r2=rCopula(n,t.cop)
ptm <− proc.time() fit2.cop=fitCopula(t.cop,r2,method=meth) time2<−(proc.time() − ptm)
t10.cop=tCopula(0.8,df=6,dim=dim) r3=rCopula(n,t10.cop)
ptm <− proc.time() fit3.cop=fitCopula(t10.cop,r3,method=meth) time3<−(proc.time() − ptm)
gumbel.cop=gumbelCopula(3,dim=dim) r4=rCopula(n,gumbel.cop)
ptm <− proc.time() fit4.cop=fitCopula(gumbel.cop,r4,method=meth) time4<−(proc.time() − ptm)
65
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
66
Out<−matrix(0,nrow = 2,ncol = 4)
if (meth=="ml" | meth=="mpl") { Out[1,]<−c(fit1.cop@estimate,fit2.cop@estimate[1],fit3.cop@estimate [1],fit4.cop@estimate) Out[2,]<−c(time1[3],time2[3],time3[3],time4[3]) } else { Out[1,]<−c(fit1.cop@estimate,fit2.cop@estimate,fit3.cop@estimate,fit4 .cop@estimate) Out[2,]<−c(time1[3],time2[3],time3[3],time4[3]) }
return(Out) }
#A kopul´ as t´ abl´ azatok elk´ esz´ ıt´ es´ ehez a fenti f¨ uggv´ ennyel:
n<−200
c1<−array(0, dim=c(n,2,6)) c2<−array(0, dim=c(n,2,6)) c3<−array(0, dim=c(n,2,4)) c4<−array(0, dim=c(n,2,4))
for (i in 1:n ) { c1[i,,]<−calibration(1000,2,"ml") c2[i,,]<−calibration(1000,2,"mpl") c3[i,,]<−calibration(1000,2,"ita") c4[i,,]<−calibration(1000,2,"irho") }
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
#Gaussi kopula eset´ en c(mean(c1[,1,1]),mean(c2[,1,1]),mean(c3[,1,1]),mean(c4[,1,1])) c(sd(c1[,1,1]),sd(c2[,1,1]),sd(c3[,1,1]),sd(c4[,1,1]))
#Student kopula eset´ en c(mean(c1[,1,2]),mean(c2[,1,2]),mean(c3[,1,2]),mean(c4[,1,2])) c(sd(c1[,1,2]),sd(c2[,1,2]),sd(c3[,1,2]),sd(c4[,1,2]))
#DoF c(mean(c1[,1,3]),mean(c2[,1,3])) c(sd(c1[,1,3]),sd(c2[,1,3]))
#Gumbel kopula eset´ en c(mean(c1[,1,6]),mean(c2[,1,6]),mean(c3[,1,4]),mean(c4[,1,4])) c(sd(c1[,1,6]),sd(c2[,1,2]),sd(c3[,1,2]),sd(c4[,1,2]))
´s VC statisztik´ #Itt az MSE e ak tal´ alhat´ ok, a peremeloszl´ asok vizsg´ alat´ an´ al haszn´ altuk. #MSE(theta,theta 0) #theta 0 1 dim #theta n dim (n=10000)
MSE<−function(theta,theta 0) {sum((theta−rep(theta 0,length(theta)))ˆ2)/length(theta)}
#VC(theta,theta 0) CV (RMSD) VC<−function(theta,theta 0) {sqrt(sum((theta−rep(mean(theta),length(theta)))ˆ2)/length(theta))/ mean(theta)}
#Negat´ ıv binomi´ alis eloszl´ as param´ eter becsl´ es´ ehez. Erre nincs z´ art ´gy kell a MASS package. alak, iterat´ ıv ı library(MASS)
67
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
68
x4 <− rnegbin(500, mu = 0.0825, theta =0.33) ff <− fitdistr(x4, "Negative Binomial") ff2 <− fitdistr(x4, "Poisson")
x1<−rnbinom(n=500,size=0.33,p=0.8) #mu=0.0825 mu=(size−p∗size)/p
##Negat´ ıv bin. Monte Carlo szimul´ aci´ oja##
##Functions need## #MSE(theta,theta 0) #theta 0 1 dim #theta n dim (n=10000 because of the MOnte Carlo simulation)
MSE<−function(theta,theta 0) {sum((theta−rep(theta 0,length(theta)))ˆ2)/length(theta)}
#VC(theta,theta 0) CV (RMSD)
VC<−function(theta,theta 0) {MSE(theta,theta 0)/(sum(theta)/length(theta))}
# example library(MASS) x4 <− rnegbin(500, mu = 0.0825, theta =0.33) #Ez a theta=0.33,p=0.8 param´ eterekre van, de csak alternat´ ıvan lehet param´ eterezni ezt a f¨ uggv´ enyt m¨ u−vel, #mu=(theta−p∗theta)/p, theta−t szok´ as size−nak is ´rtuk meg az MLE−t. ff <− fitdistr(x4, "Negative Binomial") #MOst nem ı Ezt a be´ ep´ ıtett f¨ uggv´ enyt haszn´ aljuk. (Bonyolult az ´rt´ optimaliz´ asl´ as kell hozz´ a Newton Raphsod, + kezd} oe ek be´ all´ ıt´ as stb.)
#Alternat´ ıv param´ eterez´ es miatt van itt ez a seg´ ıts´ eg #x1<−rnbinom(n=500,size=0.33,p=0.8) #mu=0.0825
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
69
#mu=(theta−p∗theta)/p ekvivalens p=teta/(mu+teta)
##Negat´ ıve Binomial monte carlo##
#n minta elemsz´ am #N replik´ atumok sz´ ama #method
mc negbin<−function(n,N) { #incializ´ alunk egy null vektort M<−matrix(0,nrow = N,ncol = 2)
for (j in seq(1,N,by=1)) { ´s p=0.8 z<−rnegbin(n, mu = 0.0825, theta =0.33)# avagy size=0.33 e ff<−fitdistr(z, "Negative Binomial") M[j,1]=(ff[1]$est[1]/(ff[1]$est[2]+ff[1]$est[1])) #a mu helyett a ´t a p=theta/(mu+theta) alapj´ p param´ eterez´ esre v´ altjuk a an M[j,2]=ff[1]$est[1] #size vagy theta } return(M) }
#−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M1<−mc negbin(72,10000)
M1 p<−mean(M1[,1]) M1 theta<−mean(M1[,2]) M1 m1<−MSE(M1[,1],0.8) M1 m2<−MSE(M1[,2],0.33) M1 vc1<−VC(M1[,1],0.8) M1 vc2<−VC(M1[,2],0.33)
¨ 6.fejezet Osszegz´ es #−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M2<−mc negbin(500,10000)
M2 p<−mean(M2[,1]) M2 theta<−mean(M2[,2]) M2 m1<−MSE(M2[,1],0.8) M2 m2<−MSE(M2[,2],0.33) M2 vc1<−VC(M2[,1],0.8) M2 vc2<−VC(M2[,2],0.33) #−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M3<−mc negbin(1000,10000)
M3 p<−mean(M3[,1]) M3 theta<−mean(M3[,2]) M3 m1<−MSE(M3[,1],0.8) M3 m2<−MSE(M3[,2],0.33) M3 vc1<−VC(M3[,1],0.8) M3 vc2<−VC(M3[,2],0.33)
#−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M4<−mc negbin(2000,10000)
M4 p<−mean(M4[,1]) M4 theta<−mean(M4[,2]) M4 m1<−MSE(M4[,1],0.8) M4 m2<−MSE(M4[,2],0.33) M4 vc1<−VC(M4[,1],0.8) M4 vc2<−VC(M4[,2],0.33)
#Output M´ atrix options(scipen = 8)
70
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
71
Z<−matrix(c(72,500,1000,2000,M1 p,M2 p,M3 p,M4 p,M1 m1,M2 m1,M3 m1,M4 m1,M1 vc1,M2 vc1,M3 vc1,M4 vc1,M1 theta,M2 theta,M3 theta,M4 theta,M1 m2,M2 m2,M3 m2,M4 m2,M1 vc2,M2 vc2,M3 vc2,M4 vc2),nrow=4, ncol=7) round(Z,2)
###Pareto MLE becsl´ ese+Vesztes´ egadatok MOnte Carlo szimul´ aci´ oja## ##Functions need## #MSE(theta,theta 0) #theta 0 1 dim #theta n dim (n=10000 because of the MOnte Carlo simulation)
MSE<−function(theta,theta 0) {sum((theta−rep(theta 0,length(theta)))ˆ2)/length(theta)}
#VC(theta,theta 0) CV (RMSD) VC<−function(theta,theta 0) {sqrt(sum((theta−rep(mean(theta),length(theta)))ˆ2)/length(theta))/ mean(theta)}
#Pareto MLE pareto.MLE <− function(X) { n <− length(X) m <− min(X) a <− n/sum(log(X)−log(m)) return( c(m,a) ) }
# example. library(VGAM) #set.seed(1) z = rpareto(72, 230817, 2.51) xp1<−rpareto(n=72,shape=2.51,loc=230817) pareto.MLE(z)
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
72
#Egy kis help,a maximum likelihood estimation−b´ ol a kapott formula a lenti link alapj´ an el´ erhet} o: #Mgj:http://stats.stackexchange.com/questions/27426/how−do−i−fit−a− set−of−data−to−a−pareto−distribution−in−r
##Pareto monte carlo##
#n minta elemsz´ am #N replik´ atumok sz´ ama #method
mc pareto<−function(n,N) { library(VGAM) #incializ´ alunk egy null vektort M<−matrix(0,nrow = N,ncol = 2)
for (j in seq(1,N,by=1)) { z<−rpareto(n,loc=230817,shape=2.51) est<−pareto.MLE(z) M[j,1]=est[1] M[j,2]=est[2] } return(M) }
#−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M1<−mc pareto(72,10000)
M1 loc<−mean(M1[,1]) M1 sha<−mean(M1[,2])
¨ 6.fejezet Osszegz´ es M1 m1<−MSE(M1[,1],230817) M1 m2<−MSE(M1[,2],2.51) M1 vc1<−VC(M1[,1],230817) M1 vc2<−VC(M1[,2],2.51) #−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M2<−mc pareto(500,10000)
M2 loc<−mean(M2[,1]) M2 sha<−mean(M2[,2]) M2 m1<−MSE(M2[,1],230817) M2 m2<−MSE(M2[,2],2.51) M2 vc1<−VC(M2[,1],230817) M2 vc2<−VC(M2[,2],2.51) #−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M3<−mc pareto(1000,10000)
M3 loc<−mean(M3[,1]) M3 sha<−mean(M3[,2]) M3 m1<−MSE(M3[,1],230817) M3 m2<−MSE(M3[,2],2.51) M3 vc1<−VC(M3[,1],230817) M3 vc2<−VC(M3[,2],2.51)
#−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M4<−mc pareto(2000,10000)
M4 loc<−mean(M4[,1]) M4 sha<−mean(M4[,2]) M4 m1<−MSE(M4[,1],230817) M4 m2<−MSE(M4[,2],2.51) M4 vc1<−VC(M4[,1],230817) M4 vc2<−VC(M4[,2],2.51)
73
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
74
#Output M´ atrix options(scipen = 8) Z<−matrix(c(72,500,1000,2000,M1 loc,M2 loc,M3 loc,M4 loc,M1 m1,M2 m1, M3 m1,M4 m1,M1 vc1,M2 vc1,M3 vc1,M4 vc1,M1 sha,M2 sha,M3 sha,M4 sha,M1 m2,M2 m2,M3 m2,M4 m2,M1 vc2,M2 vc2,M3 vc2,M4 vc2),nrow=4, ncol=7) round(Z,2)
##Functions need## #MSE(theta,theta 0) #theta 0 1 dim #theta n dim (n=10000)
MSE<−function(theta,theta 0) {sum((theta−rep(theta 0,length(theta)))ˆ2)/length(theta)}
#VC(theta,theta 0) CV (RMSD) VC<−function(theta,theta 0) {sqrt(sum((theta−rep(mean(theta),length(theta)))ˆ2)/length(theta))/ mean(theta)}
#Poisson parameter estimate from MLE poisson.MLE<−function(X) { n <− length(X) return (sum(X)/n) #mean(X) is j´ o }
# example. #set.seed(1) x1<−rpois(72,0.08) poisson.MLE(x1)
¨ 6.fejezet Osszegz´ es ##Poisson monte carlo##
##Poisson v´ altozok Monte Carlo szimul´ aci´ oja+param´ eterbecsl´ esek## #n minta elemsz´ am #N replik´ atumok sz´ ama #method
mc poisson<−function(n,N) { #incializ´ alunk egy null vektort M<−matrix(0,nrow = N,ncol = 1)
for (j in seq(1,N,by=1)) { z<−rpois(n,0.08) est<−poisson.MLE(z) M[j,1]=est[1] } return(M) }
#−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M1<−mc poisson(72,10000)
M1 par<−mean(M1[,1]) M1 m1<−MSE(M1[,1],0.08) M1 vc1<−VC(M1[,1],0.08) #−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M2<−mc poisson(500,10000)
M2 par<−mean(M2[,1]) M2 m1<−MSE(M2[,1],0.08) M2 vc1<−VC(M2[,1],0.08)
75
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
76
#−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M3<−mc poisson(1000,10000)
M3 par<−mean(M3[,1]) M3 m1<−MSE(M3[,1],0.08) M3 vc1<−VC(M3[,1],0.08)
#−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Scenari´ ok−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− M4<−mc poisson(2000,10000)
M4 par<−mean(M4[,1]) M4 m1<−MSE(M4[,1],0.08) M4 vc1<−VC(M4[,1],0.08)
#Output M´ atrix ##options(scipen = 8) Z<−matrix(c(72,500,1000,2000,M1 par,M2 par,M3 par,M4 par,M1 m1,M2 m1, M3 m1,M4 m1,M1 vc1,M2 vc1,M3 vc1,M4 vc1),nrow=4,ncol=4) Z
##MLE becsl´ es tetsz} oleges eloszl´ asra Optim f¨ uggv´ ennyel##
#set.seed(1001) N <− 100 x <− rnorm(N, mean = 3, sd = 2) mean(x) sd(x)
LL <− function(mu, sigma) { R = dnorm(x, mu, sigma) −sum(log(R)) } library(stats4) mle(minuslogl = LL, start = list(mu = 1, sigma=1)) ´rt´ #Warningot kapunk ha sz´ or´ asra negat´ ıv e ek j¨ on ki az iter´ aci´ o sor´ an.
¨ 6.fejezet Osszegz´ es
77
#Ha ekkor nem akarunk NAN−t a k¨ ovetkez} ot aj´ anlj´ ak az R−f´ orumon: , #This works because mle() calls optim(), which has a number of optimisation methods. The default method is BFGS. An alternative, the L−BFGS−B method, allows box constraints. mle(minuslogl = LL, start = list(mu = 1, sigma = 1), method = "L−BFGS −B", lower = c(−Inf, 0), upper = c(Inf, Inf))
´rt´ #Lehet ignor´ alni is a t´ ul sok negat´ ıv e eket az optimaliz´ aci´ o sor´ an, csak ha t´ ul sok eset fordul el} o akkor megb´ ızhatatlann´ a v´ alik kis mint´ an´ al az ML becsl´ es. Ez´ ert opcion´ alis ez a param´ eterbecsl´ es a ´gy teh´ szimul´ aci´ oban. I at el} onyben r´ eszes´ ıtettem ink´ abb az eloszl´ asspecifikusan meghat´ arozott momentumbecsl´ eseket.
Irodalomjegyz´ ek [1] Sklar, 1959, A 1959 Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges, Pul Inst Statist Univ Paris, 229-231. [2] W. Hoeffding, 1940, Masstabinvariante Korrelationtheorie, Schriften Math. Inst. Univ. Berlin 5 [3] B. Schweizer, 1991, ’Thirty years of copulas’, in G. Dall’Aglio, S. Kotz and G.Salinetti (eds), Advances in Probability Distributions with Given Marginals. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp. 13-50. [4] R.B. Nelsen, 1999, An Introduction to Copulas, Lectures Notes in Statistics 139, Springer Verlag, New York [5] C. Genest and J. MacKay, 1986, Copules archim´ediennes et familles de lois bidimensionnelles dont les marges sotn donn´ees. Canad. J. Statist. 14, pp. 145-159 [6] V. Durrleman, A. Nikeghbali and T. Roncalli, 2000, Which copula is the right one?, Groupe de Recherche Op´erationelle Cr´edit Lyonnais, France [7] R. Davidson, and J. MacKinnon, 1993, Estimation and Inference in Econometrics, Oxford University Press, Oxford [8] Joe H., J.J. Xu, 1996, The estimation method of inference function for margins for multivariate models, Department of Statistics, Univeristy of British Columbia, Technical Report, 166 [10] Joe H., 1997, Multivariate Models and Dependence Concepts, Monographs on Statistics and Applied Probability, 73, Chapmann and Hall, London
78
Irodalomjegyz´ek
79
[10] Lehmann,E.L. and G. Casella, 1998, Theory of Point Estimation, second edition, Springer Verlag, New York [11] P. Deheuvels, 1981, A non parametric test for independence, Publications de l’Institut de Statistique de l’Universit´e de Paris, 26, 29-50 [12] Tajti Zsuzsanna, 2011, A b´azeli aj´anl´asok ´es a t˝okemegfelel´esi direkt´ıva (CRD) form´ al´ od´ asa, Budapest [13] G´ all J´ ozsef, Nagy G´ abor, 2008, A m˝ uk¨od´esi kock´azat vesztes´egeloszl´as-alap´ u modellez´ese, Hitelint´ezeti Szemle, Budapest [14] Carlo Acerbi, Dirk Tasche, 2002, Ont he coherence of Expected Shortfall [15] Carlo Acerbi, 2002 Spectral measures of risk: A coherent representation of subjective risk aversion [16] Panjer H., 1981, Recursive evaluation of compound distributions, Astin Bulletin, 12., 22-26. o. [17] Panjer H., Willmot G., 1986, Computational Aspect of Recursive Evaluation of Compound Distributions, Insurance: Mathematics and Economics, 5, 113-116. o. [18] Luciana Dalla Valle, Dean Fantazzini, Paolo Giudici, 2006,Copulae and Operational Risks,University of Pavia and University of Milano-Bicocca [19] Paul Embrechts, Filip Lindsko and Alexander McNeil, 2001 Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management, Department of Mathematics, Switzerland, Z¨ urich [20] K. B¨ ocker, C. Kl¨ uppelberg, 2010 Modelling and Measuring Multivariate Operational Risk with L´evy Copulas, Quantitative Finance, Volume 10, Issue 8
