Diferenciální rovnice – separace proměnných verze 1.1
1
Úvod
Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec Králové k přípravě na zkoušku. Mohou se v něm vyskytovat některé chyby; autor ocení, když jej na chyby a nejasnosti upozorníte na emailu jiri.lipovskyzavináč uhk.cz.
2
Teorie
Budeme se zabývat rovnicí y 0 = f (x)g(y) na otevřené množině Ω = (a, b) × (c, d). Lze snadno nahlédnout, že tato rovnice má triviální řešení y0 = konst. takové, že g(y0 ) = 0. Vyloučíme-li toto řešení, lze psát dy = f (x)g(y) , dx 1 dy = f (x) dx , g(y) Z Z 1 dy = f (x) dx . g(y) Obě proměnné jsme separovali, na jednu stranu rovnice jsme dali vše s x, na druhou stranu rovnice vše s y, formálně včetně diferenciálů. Poté jsme obě strany rovnice zintegrovali. Vyřešením integrálů můžeme nalézt řešení diferenciální rovnice.
3
Příklady
Příklad 3.1. Najděte řešení rovnice y 0 = −y cotg x Řešení: Separujeme proměnné a rovnici integrujeme. Z Z dy cos x =− dx . y sin x Po integraci dostáváme ln |y| = − ln | sin x| + ln C .
1
Nesmíme zapomenout na integrační konstantu, kterou jsme zapsali ve tvaru ln C. Po odlogaritmování dostáváme y(x) =
C . sin x
V argumentu logaritmů píšeme absolutní hodnotu, aby definiční obor celého výrazu byl stejný před integrací i po ní. Příklad 3.2. Najděte řešení rovnice (x − 1)y 0 + y 2 = 0 s počáteční podmínkou y(2) = −1. Řešení: Rovnici si upravíme do tvaru (x − 1) což vede k
Z
dy = −y 2 , dx
dy =− y2
Z
dx . x−1
Po integraci dostáváme −
1 = − ln (x − 1) + C y
⇒
1 . ln (x − 1) − C
y(x) =
Absolutní hodnotu psát nemusíme, protože nás kvůli počáteční podmínce zajímá jen x > 1. Nyní dosadíme počáteční podmínku, z čehož zjistíme konstantu C. −1 =
1 ln 1 − C
⇒
C = 1.
Hledané řešení tedy je y(x) =
1 . ln (x − 1) − 1
Příklad 3.3. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y 0 = tg x tg y Řešení: Pokračujeme obdobně jako v předchozích příkladech. dy = tg x tg y dx
cos y sin x dy = dx . sin y cos x
⇒
Po integrování máme ln(sin y) = − ln cos x + ln C
⇒
sin y =
C Odsud y(x) = arcsin cos x. Další příklady uvedeme už bez komentáře.
Příklad 3.4. Najděte řešení rovnice y 0 sin x = y cos x.
2
C . cos x
Řešení: Z cos x dy = dx , y sin x ln |y| = ln | sin x| + ln C , Z
y = C sin x . Příklad 3.5. Najděte řešení rovnice x2 y 0 − y 2 = 1. Řešení: Z
dy = 1 + y2
Z
1 dx , x2 1 arctg x = − + C , x 1 y = tg C − . x
Příklad 3.6. Najděte řešení rovnice 2xyy 0 = x + 2. Řešení:
Z y dy =
1 1 + 2 x
dx ,
y2 x = + ln |x| + C , 2 p 2 y = ± x + 2 ln |x| + C . Příklad 3.7. Řešte rovnici (xy 2 + x) + (y − x2 y)y 0 = 0. Řešení: Z
Z x y dx = dy , x2 − 1 y2 + 1 ln |x2 − 1| = ln |y 2 | + 1 + ln C 1 + y 2 = C(x2 − 1) , p y = ± C(x2 − 1) − 1 . Příklad 3.8. Řešte rovnici xyy 0 = 1 − x2 . Řešení: Z
1 y dy = − x dx , x y2 x2 = ln |x| − +C, 2p 2 y = ± 2 ln |x| − x2 + C1 .
Z
3
Příklad 3.9. Řešte rovnici xy + (x + 1)y 0 = 0. Řešení: Z
1 dy = y
Z
Z Z x 1 dx = − 1 dx + dx , x+1 x+1 ln |y| = −x + ln |x + 1| + ln C , y = C(x + 1)e−x .
Příklad 3.10. Řešte rovnici
p y 2 + 1 = xyy 0 .
Řešení: Z
Z
y p
dy =
y2
1 dx , x
+1 p 2 y + 1 = ln |x| + C , p y = ± (C + ln |x|)2 − 1 .
4
Rovnice typu y 0 = f (ax + by + c)
Tato rovnice lze převést na rovnici se separovanými proměnnými substitucí 0 z(x) = ax + by + c. Odsud dostáváme y 0 = z −a b . Dosadíme-li tento výraz zpět do původní rovnice, dostaneme rovnici z0 − a = f (z) b
⇒
dz = dx , a + bf (z)
kterou vyřešíme integrací. Příklad 4.1. Vyřešte rovnici y 0 = y − 3x + 5 Řešení: Zřejmě použijeme f (z) = z = y −3x+5, odsud z 0 = y 0 −3, tj. z 0 = z −3. Z Z dz = dx , z−3 ln |z − 3| = x + ln C , z(x) = C ex + 3 , y(x) = C ex + 3x − 2 . Příklad 4.2. Vyřešte rovnici y 0 = −(x − y)2 Řešení: Zvolíme z = x − y, z 0 = 1 − y 0 , f (z) = −z 2 . Po substituci obdržíme Z
1 − z 0 = −z 2 , Z dz = dx , 1 + z2 arctg z = x + C , z = tg (x + C) ,
y(x) = x − tg (x + C) . 4
5
Homogenní rovnice
Jako homogenní rovnici označíme rovnici ve tvaru y 0 = f xy . Řeší se substitucí z = xy , tj. y = zx, y 0 = z 0 x + z, čímž se převede na separovatelnou rovnici. Příklad 5.1. Vyřešte rovnici (2xy − x2 )y 0 = 3y 2 − 2xy Řešení: Rovnici si přepíšeme do tvaru 2 3 xy − 2 xy 3y 2 − 2xy y = = , 2xy − x2 2 xy − 1 0
je tedy homogenní. Dosazením substitučních vztahů máme 3z 2 − 2z , 2z − 1 dz z2 − z x = , dx 2z Z Z −1 2z − 1 dx dz = , z2 − z x ln |z 2 − z| = ln |x| + ln C , z0x + z =
z 2 − z = Cx , y 2 − xy − Cx3 = 0 . Řešení jsme tedy našli v explicitním tvaru. p Příklad 5.2. Řešte rovnici xy 0 − y − x2 − y 2 = 0 s počáteční podmínkou y(1) = 21 . q Řešení: Rovnici upravíme na tvar y 0 = xy + 1 − xy )2 . Po zavedení substituce a separace proměnných dostáváme Z Z dz dx √ = , 2 x 1−z arcsin z = ln |x| + C , y = x sin (ln |x| + C) . Nyní vypočítáme konstantu z počátečních podmínek. 1 = sin C 2
⇒
C=
π . 6
Výsledné řešení tedy je π y(x) = x sin ln |x| + . 6
5
6
Použitá a doporučená literatura 1. Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky II., Matfyzpress, Praha, 2003, kapitola 3.9 2. http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id file=317 3. http://mat.fsv.cvut.cz/Sibrava/Vyuka/funkce.pdf (od str. 12) 4. Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky II., Matfyzpress, Praha, 2003, kapitoly 1.2 a 1.3 5. M. Jarešová, B. Vybíral: Diferenciální rovnice, http://fyzikalniolympiada.cz/texty/matematika/difro.pdf 6. ftp://math.feld.cvut.cz/pub/kalous/laa/prednasky/difrov.pdf 7. http://math.feld.cvut.cz/hekrdla/Teaching/X01MA2/Prednasky/ODR.pdf 8. http://home.zcu.cz/~tomiczek/Data/sbirkaprikladukMA2.pdf 9. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barta/pcODR/Kapitola-SeparaceProm/separace1.pdf
10. http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/kapitoly/kapitola 8 1.pdf
6
