Střední průmyslová škola elektrotechnická Pardubice
CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY
Harmonická analýza
Příjmení : Jméno : Školní rok : Třída/skupina :
Počet stran :
Česák Petr 1997/98 3.B/A2
6
2 Číslo úlohy : .1 .97 Datum zadání : Datum odevzdání : 11.12.97 Klasifikace :
Počet grafických příloh :
3
OBSAH: Zadání...................... Úvod........................ Teoretický rozbor..... Vlastní výpočet......... Literatura.................. Závěr........................
strana č. 1 strana č. 1,2,3 strana č. 3,4 strana č. 4,5 strana č. 5 strana č. 6
ZADÁNÍ: Proveďte harmonickou analýzu podle obr. matematickou a grafickou metodou. Zobrazte frekvenční an, bn, An, ϕn. Složením jednotlivých časových průběhů harmonických zkontrolujte správnost řešení. Výpočet proveďte matematickou a grafickou metodou; při výpočtu použijte programu HA. Koeficienty pro jednu harmonickou složku vypočítejte sami.
U(t)
1,5 1 0,5 0 -0,5
t
-1 -1,5
obr.
ÚVOD: Harmonická analýza se zabývá rozkladem signálu na harmonické složky. Matematický popis harmonických průběhů vyjadřuje Fourierův rozvoj. Definice Fourierova rozvoje: Každou jednoznačně určenou periodickou funkci f(t) s periodou T a s frekvencí f=1/T, mající v uzavřeném intervalu periodicky délky T jen konečný počet extrému nespojitostí prvního druhu, lze vyjádřit součtem nekonečné řady, sinusových průběhů s amplitudami An, fázovými posuvy ϕn a úhlovou frekvencí ωn (kde „n“ je příslušná harmonická), které jsou celistvými násobky úhlové frekvence ω původní periodické funkce. ∞
f(t) = ! An sin (nωt + ϕn) n=0
Každou sinusovou křivku lze rozdělit na sinové a kosinivé složky. a0 ∞ f(t) = + ! An (an cos nωt + bn sin nωt) 1
2 popřípadě
n=1
f(t) = a0 + a1cos 1ωt + a2cos 2ωt + ancos nωt + b1sin 1ωt + b2sin 2ωt + bnsin nωt Toto je Fourierův rozvoj (řada). Koeficienty Fourierova rozvoje: a0 - stejnosměrná složka an - amplituda kosinové složky n-té harmonické bn - amplituda sinové složky n-té harmonické Vložením koeficientů an a bn do Pythagorovy věty vypočítáme frekvenční spektrum výsledné amplitudy An. Jestliže oba koeficienty podělíme a následně vynásobíme arctg spočítáme fázové posuvy. Pět základních pravidel harmonické analýzy: 11544
2
1) Funkce, jejíž plocha v intervalu <0, T) je časovou osou rozdělena na dvě stejné části, nemají stejnosměrnou složku. Platí zde: a0 =0 2) Funkce středově souměrná podle počátku mají pouze sinové složky Fourierovy řady. Pro tyto funkce platí: - f(t1) = f(-t1) 3) Funkce osově souměrná podle osy f(t) mají pouze kosinové složky Fourierova rozvoje. Pro tyto funkce platí: f(-t1) = f(t1) 4) Funkce, jejichž průběh z první polovin periody se opakuje v druhé polovině s opačným znaménkem, mají fe Fourierově rozvoji pouze liché harmonické složky. Pro tyto funkce platí : f(t + T/2) = -f(t) 5) Funkce, jejichž průběh z první poloviny periody se opakuje v druhé polovině s týmž znaménkem, mají ve Fourierově rozvoji pouze sudé harmonické. Pro tyto funkce platí f(t + T/2) = f (t).
TEORETICKÝ ROZBOR: K výsledkům harmonické analýzy můžeme dojít pomocí několika metod : A) Numerická metoda B) Matematická metoda C) Grafická metoda A) Numerická metoda je založena na integrování základních rovnic. Takto získáme a0, an, bn. Pro stejnosměrnou složku platí: T T T a0 ∞ " f(t)∆t = + " ∆t + ! " (an cos nωt + bn sin nωt) ∆t n=1 2 0 0 0 2 T a0 = " f (t) ∆t T 0 Pro kosinovou složku platí:
Pro sinovou složku platí:
2 an = T 2 bn = T
T
" f(t) cos ωt∆t 0
T
" f(t) sin ωt∆t 0
B) Matematická metoda harmonické analýzy spočívá v rozdělení jedné periody na určitý počet dílků a uvažujeme, že hodnota v každém intervalu, který dílek vymezí, je konstantní. Průběh lze rozdělit buď na obdélníky a uvažovat hledanou hodnotu jako
3
výšku uprostřed dílku (obdélníková metoda), nebo na lichoběžníky. Výsledkem je směrnice, která protíná krajní body, vymezené intervalem (lichoběžníková metoda). Pro dobrou přesnost n-té harmonické je nutné rozdělit periodu na nejméně p = 2n + 2 stejných dílků. 1 P Pro stejnosměrnou složku potom platí: a0 = ! u p u=1 Pro kosinovou složku platí:
2 P an = ! u cos (d ⋅ ∆α ⋅ n) p u=1
Pro sinovou složku platí:
2 P bn = ! u sin (d . ∆α . n) p u=1
an Výsledná amplituda je: An = √ an + bn Fázový posuv je ϕn = arctg bn C) Grafická metoda spočívá na rozdělení periody na stejný počet dílků, stejně jako u metody numerické. Příslušné okamžité hodnoty se vynesou ve formě fázorů příslušné délky pod patřičným úhlem. Spojením koncového bodu vzniklého obrazcea počátku souřadnic vznikne výsledný vektor An. Jeho sklon je fázový posun n. Promítneme-li vektor An do X-ové souřadnice vznikne délka an, do Y-ové souřadnice bn. Pro určení n-té harmonické musíme fázory vynášet pod n-násobným úhlem. 2
2
VLASTNÍ VÝPOČET: Nejdříve se pokusíme zjednodušit řešení pomocí pěti pravidel HA. 1) A0<>0 – protože obsah fce v horní polovině není stejný s obsahem fce v druhé polovině 2) Fce má sinové složky, protože není středově souměrná podle počátku 3) Fce má cosinové složky, protože není osově souměrná podle osy Y 4) Fce má liché složky, protože se její průběh z první poloviny periody neopakuje s opačným znaménkem v druhé polovině periody 5) Fce má sudé složky, protože se její průběh z první poloviny periody neopakuje se stejným znaménkem v druhé polovině periody Určíme si počet harmonických: n=7 Spočítáme p (podle vzorce p=2n+2) = 16 360 360 ! α= = = 22,5° p 16 p α Y
1 22,5 0,125
2 45 0,375
3 67,5 0,625
4 90 0,875
4
5 112,5 1
6 135 1
7 157,5 1
8 180 1
p α Y
9 202,5 1
10 225 1
11 247,5 -1
12 270 -1
13 292,5 -1
14 315 -1
15 337,5 -1
16 360 -1
Příklad výpočtu třetí harmonické: 2 p 2 ⋅ ∑ yK ⋅ cos 3α K = ⋅(0,125⋅cos3⋅22,5 + 0,375⋅cos3⋅45 + 0,625⋅cos3⋅67,5 + 16 p K =1 0,975⋅cos3⋅90 + 1⋅cos3⋅112,5 + 1⋅cos3⋅135 + 1⋅cos3⋅157,5 + 1⋅cos3⋅180 + 1⋅cos3⋅202,5 + 1⋅cos3⋅225 - 1⋅cos3⋅247,5 - 1⋅cos3⋅270 - 1⋅cos3⋅292,5 - 1⋅cos3⋅315 - 1⋅cos3⋅337,5 - 1⋅cos3⋅360) = -0,11220059 2 2 p b3 = ⋅ ∑ y K ⋅ sin 3α K = ⋅(0,125⋅sin3⋅22,5 + 0,375⋅sin3⋅45 + 0,625⋅sin3⋅67,5 + 16 p K =1 0,975⋅sin3⋅90 + 1⋅sin3⋅112,5 + 1⋅sin3⋅135 + 1⋅sin3⋅157,5 + 1⋅sin3⋅180 + 1⋅sin3⋅202,5 + 1⋅sin3⋅225 - 1⋅sin3⋅247,5 - 1⋅sin3⋅270 - 1⋅sin3⋅292,5 - 1⋅sin3⋅315 1⋅sin3⋅337,5 - 1⋅sin3⋅360) = -0,15632389 a3 =
A3 = a32 + b32 = (−0,11220059) 2 + (−0,15632389) 2 = 0,19242175 ϕ3 = arctg
a3 − 0,11220059 = arctg = -144,3313189 b3 − 0,15632389
Takto počítáme dále pro 0÷7-ou harmonickou⇒ získáme následující tabulku n 0 1 2 3 4 5 6 7
an 0,250000 -0,831977 0,148208 -0,112201 -0,187500 0,076239 -0,116958 -0,132062
bn 0,000000 0,828357 0,238166 -0,156324 0,187500 0,069358 -0,105584 0,116539
Aa 0,125000 1,174036 0,280515 0,192422 0,265165 0,103068 0,157566 0,176130
ϕn 90,000000 -45,124926 31,893425 -144,331319 -15,000000 47,705913 -132,074236 -48,573024
Výsledná funkce: p a F(t) = 0 + ∑ (an cos nωt + bn sin nωt ) 2 n =1 a0 + a1⋅cos1ω = ωt + b1⋅sin1ω ωt + a2⋅cos2ω ωt + b2⋅sin2ω ωt + a3⋅cos3ω ωt + b3⋅sin3ω ωt + 2 a4⋅cos4ω ωt + b4⋅sin4ω ωt + a5⋅cos5ω ωt + b5⋅sin5ω ωt + a6⋅cos6ω ωt + b6⋅sin6ω ωt + a7⋅cos7ω ωt + b7⋅sin7ω ωt
LITERATURA: J.Maťátko: Harmonická analýza 5
ZÁVĚR: Přesvědčili jsme se, že lze pomocí Fourierova rozvoje poměrně dobře nahradit libovolný časový průběh. V našem případě jsme si zvolili sedm harmonických. Výsledný signál byl již podobný skutečnému (viz graf). Kdybychom si zvolili větší počet harmonických, byl by výsledný časový průběh téměř shodný. V dnešní době je možné pomocí počítače nahradit složité počítání a tak se vyhnout problémům (např.: chybám při výpočtu), které při počítání nastávají. Počítače dokáží velice rychle spočítat jakýkoliv časový průběh pro velký počet harmonických. Přitom výsledky jsou přesné (dokonce i na několik desítek desetinných míst), ale hlavně také bezchybné. K výpočtu jsme použili program HA.
Výsledný časový průběh 1,5 1
u(t)
0,5 0 -0,5 -1 -1,5
t
6
7
8
