CONTOH SOAL UNTUK TAHAP PENGIDENTIFIKASIAN POTENSI SISWA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M Soal-soal yang digunakan untuk mengidentifikasi siswa yang memiliki potensi dalam matematika harus memiliki ciri-ciri sebagai berikut: 1. Soal non rutin 2. Soal yang berupa masalah 3. Soal menuntut kemampuan bernalar 4. Soal memuat adanya keterkaitan 5. Soal menuntut kemampuan berkomunikasi secara sederhana Dengan menggunakan soal-soal yang bercirikan seperti di atas diharapkan kita tidak akan mengalami salah pilih siswa dalam tahap pengidentifikasian potensi ini. Soal-soal berikut ini digunakan penulis dalam proses pengidentifikasian siswa yang akan dipilih untuk mengikuti pembinaan matematika di Tim Olimpiade Sains SMPN 8 Yogyakarta. A. Contoh Soal yang Menuntut Kemampuan Membaca Definisi 1. Lambang menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x, sedangkan lambang menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Sebagai contoh, , , dan
. Hitunglah hasil dari
.
Catatan: Soal ini menuntut siswa untuk memiliki kemampuan membaca definisi atau pengertian. Dasar teori yang digunakan untuk mengerjakan soal ini hanya keterampilan berhitung biasa. Berdasarkan pengalaman dan pengamatan, banyak sekali siswa yang lemah dalam kemampuan membaca definisi. Hal ini disebabkan selama ini soal-soal yang digunakan dalam pembelajaran matematika di kelas kebanyakan adalah soal-soal yang kurang menuntut kemampuan tersebut. Solusi: Dari definisi
dan
Dengan demikian
berarti
,
,
dan
. .
2. Pada suatu jam digital yang angka-angkanya tertera mulai dari 00:00 sampai dengan 23:59, dimungkinkan terjadi penampakan bilangan Palindrom (bilangan yang dibaca dari depan dan dari belakang sama nilainya, misalnya 02:20 dan 13:31). Dalam satu hari satu malam, tulislah seluruh bilangan Palindrom yang ditampakkan oleh jam tersebut! Catatan: Soal ini memaksa kita untuk belajar membaca definisi atau pengertian. Definisi tersebut sudah terdapat pada kalimat awal pada soal. Dari pengalaman, siswa
1
banyak yang tidak teliti dalam menyelesaikan soal-soal jenis ini walaupun sebenarnya mereka memahami maksudnya. Solusi: Dengan strategi membuat daftar yang sistematis, soal ini dapat diselesaikan dengan mudah sekali. Kita hanya memerlukan kecermatan dan ketelitian dalam mendaftar. Kecermatan diperlukan dengan mengingat bahwa 1 jam adalah 60 menit sehingga kita tidak mungkin menuliskan 06:60, 07:70 dan seterusnya. Bilangan-bilangan Palindrom yang ditampakkan oleh jam tersebut adalah sebagai berikut: 00:00 10:01 20:02 01:10 11:11 21:12 02:20 12:21 22:22 03:30 13:31 23:32 04:40 14:41 05:50 15:51 3. Suatu palindrom adalah suatu bilangan yang apabila dibaca dari kiri dan dari kanan hasilnya sama. Sebagai contoh 3773 adalah bilangan palindrom empat angka dan 42924 adalah bilangan palindrom lima angka. Hitunglah jumlah dua belas bilangan palindrom pertama yang tersusun dari lima angka. Solusi: Dua belas bilangan palindrom pertama yang tersusun dari lima angka tersebut adalah 10001, 10101, 10201, 10301, 10401, 10501, 10601, 10701, 10801, 10901, 11011 dan 11111. Apabila keduabelas bilangan tersebut dijumlahkan maka hasil penjumlahannya adalah 126632. 4. Suatu bilangan bulat positif disebut bilangan BMW jika memenuhi syarat-syarat berikut: Bilangan tersebut tersusun oleh empat angka Setiap angka merupakan faktor dari 48 Setiap angka boleh muncul lebih dari satu kali Jumlah angka-angka pada bilangan tersebut adalah 20 Bilangan tersebut merupakan kelipatan 4 Tentukan bilangan BMW yang terkecil. Solusi: Dengan memperhatikan syarat yang ada, maka angka-angka penyusun bilangan tersebut adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 8. Supaya bilangan tersebut terkecil maka angka paling kiri harus 1. Kemudian kita coba membuat susunan empat angka dengan angka-angka di atas sehingga jumlah angka-angka pada bilangan empat angka tersebut adalah 20. Diperoleh bilangan empat angka terkecil yang memenuhi syarat tersebut adalah 1388. Perhatikan bahwa 1388 merupakan kelipatan 4 karena dua angka terakhir, yaitu 88, habis dibagi 4.
2
B. Contoh Soal yang Menuntut Pemahaman Konsep 5. Berapa banyaknya segitiga pada gambar berikut
Gambar 3.1 Catatan: Soal ini sangat sederhana karena kita hanya diminta untuk menghitung banyak segitiga yang terdapat pada gambar tersebut. Tetapi justru dari kesederhanaan soal ini, banyak sekali siswa yang tidak cermat dalam mendaftar dan menghitung. Solusi: Supaya kita dapat cermat dalam mendaftar dan menghitung, salah satu alternatif cara adalah dengan terlebih dahulu memberi nama setiap titik sudut dan setiap titik potong ruas garis pada segilima tersebut. B A
F
G
J
C H
I E
D Gambar 3.2
Selanjutnya kita daftar segitiga-segitiga yang ada sebagai berikut: Titik sudut awal Nama Segitiga Banyak Segitiga A 13 ABF, ABJ, ABG, ABE, ABC, ABD, AEJ, AEI, AEF, AEC, AFJ, ACI, ADG B 8 BCG, BCF, BCH, BCD, BCE, BFG, BDJ, BEH C 7 CDH, CDG, CDI, CDE, CDA, CGH, CEF D 6 DEI, DEH, DEJ, DEA, DEB, DHI, E 1 EIJ 3
Dengan demikian dari daftar tersebut jelas bahwa pada gambar segilima di atas terdapat 35 segitiga. 6. Apabila 2000 dituliskan sebagai hasil perkalian dua bilangan bulat positif A dan B, berapakah hasil terkecil dari A + B ? Solusi: Pertama kali kita daftar dahulu seluruh faktor dari 2000, yaitu 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 125, 200, 250, 400, 500, 1000, 2000. Selanjutnya kita buat daftar sebagai berikut:
Dari daftar tersebut hasil terkecil dari A + B adalah 90 yang diperoleh untuk atau . 7. Sejumlah kubus kecil-kecil (kubus satuan) disusun menjadi bentuk menara seperti ditunjukkan pada gambar di bawah. Perhatikan bahwa terdapat lubang (bagian yang tidak terisi) pada susunan tersebut dari kiri ke kanan, dari atas ke bawah dan dari depan ke belakang. Berapa banyak kubus satuan yang diperlukan untuk menyusun bentuk menara tersebut?
Gambar 3.3 Solusi: Pada soal ini kemampuan spasial dengan membayangkan bentuk kubus sangat diperlukan. Pada bentuk menara tersebut apabila tidak terdapat lubang maka terdapat 7 buah kubus besar dengan ukuran sehingga total terdapat 189 kubus satuan. Karena menara tersebut berlubang, maka pada 6 kubus besar di pinggir hanya terdapat kubus satuan. Sedangkan pada kubus besar di tengah (tidak kelihatan), akan terdapat 20 kubus
4
satuan. Dengan demikian diperlukan menyusun menara tersebut.
kubus satuan untuk
8. ABCD adalah jajargenjang yang tersusun dari 12 segitiga yang identik (tepat sama) seperti pada gambar berikut. Garis-garis di dalam jajargenjang tersebut masing-masing sejajar dengan AB, AD atau BE. Berapa banyak jajargenjang dengan berbagai ukuran yang dapat dibuat dengan syarat harus memuat segitiga yang diarsir ? B
A
C
E
D
Gambar 3.4 Solusi: Dengan menghitung secara cermat, jelas akan terdapat 12 jajargenjang dengan bebagai ukuran yang dapat dibuat dengan syarat harus memuat segitiga yang diarsir. Catatan: Kebanyakan siswa tidak cermat dalam menghitung sehingga mereka mendapatkan hasil lebih sedikit dari yang seharusnya. 9. Gambar berikut menunjukkan empat persegi dengan berbagai ukuran yang saling bertumpuk. Jika luas persegi terkecil adalah 3,5 satuan luas, hitunglah luas persegi terbesar.
Gambar 3.7 Solusi: Gambar tersebut membentuk suatu pola. Jelas terlihat bahwa soal ini cukup diselesaikan dengan menggunakan logika bahwa persegi terkecil luasnya adalah setengah dari luas persegi yang berikutnya. Jika empat persegi tersebut diberi nomor I (persegi terkecil), nomor II, nomor III dan nomor IV (persegi terbesar), maka dengan menggunakan logika tersebut jelas bahwa luas I adalah 3,5 satuan luas. Luas II adalah satuan luas. Luas III adalah satuan luas. Luas IV adalah satuan luas. Dengan demikian luas persegi terbesar adalah 28 satuan luas.
5
C. Contoh Soal yang Menuntut Kemampuan Pemecahan Masalah 10. Pada pola bilangan berikut ini, setiap baris diawali dengan angka 1 dan diakhiri dengan angka 2. Setiap bilangan, kecuali yang di awal dan akhir baris, merupakan jumlah dari dua bilangan yang terletak tepat di kiri atas dan kanan atasnya. Sebagai contoh, pada baris keempat angka 9 merupakan jumlah dari angka 4 dan 5 di baris ketiga. Apabila pola tersebut berlanjut, hitunglah hasil penjumlahan seluruh bilangan pada baris kesepuluh!
Solusi: Hal penting dari masalah ini adalah kita tidak perlu mengetahui bilanganbilangan yang ada pada baris kesepuluh. Masalah ini dapat diselesaikan dengan strategi mencari pola sebagai berikut: Ba ri s1 1 2 3 3 20 Ba ri s2 1 3 2 6 3 21 Ba ri s3 1 4 5 2 12 3 2 2 Ba ri s4 1 5 9 7 2 24 3 2 3 Dari pola yang muncul dapat disimpulkan bahwa jumlah seluruh bilangan pada baris kesepuluh adalah 3 2 9 . Masalah ini dapat diperluas untuk mencari jumlah seluruh bilangan pada baris ke-n yang dari pola di atas dapat ditentukan dengan menggunakan rumus 3 2 n1 . 11. Berapakah banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari 1000 dengan syarat jumlah dari angka paling kiri dengan angka paling kanan adalah 10. Solusi: Strategi yang digunakan adalah dengan membuat daftar dari bilangan-bilangan tersebut secara sistematis sebagai berikut: Bilangan yang terdiri dari 2 angka: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91 Bilangan yang terdiri dari 3 angka: 109, 119, 129, 139, 149, 159, 169, 179, 189, 199, 208, 218, 228, 238, 248, 258, 268, 278, 288, 298, 307, 317, 327, 337, 347, 357, 367, 377, 387, 397, 406, 416, 426, 436, 446, 456, 466, 476, 486, 496, 505, 515, 525, 535, 545, 555, 565, 575, 585, 595, 604, 614, 624, 634, 644, 654, 664, 674, 684, 694, 703, 713, 723, 733, 743, 753, 763, 773, 783, 793, 802, 812, 822, 832, 842, 852, 862, 872, 882, 892, 901, 911, 921, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991. Dengan demikian terdapat 99 bilangan bulat positif kurang dari 1000 dengan syarat jumlah dari angka paling kiri dengan angka paling kanan adalah 10.
6
Catatan: Dari pengalaman, banyak sekali siswa yang tidak menjawab yang ditanyakan. Mereka sudah betul dalam membuat daftar, bahkan sampai lengkap. Akan tetapi siswa tidak menyimpulkan dengan kalimat “Dengan demikian terdapat 99 bilangan bulat positif…..” sehingga dapat dikatakan mereka belum menjawab yang ditanyakan. 12. Ikhsan memberikan kupon berhadiah televisi berwarna 29 inchi kepada para pembeli di tokonya. Di balik setiap kupon dituliskan satu bilangan asli dari 1 sampai dengan 1000. Untuk setiap pembelian di atas Rp 50.000,00, pembeli mendapatkan sebuah kupon. Hadiah televisi tersebut diberikan kepada pembeli yang mempunyai 3 kupon yang memuat 3 bilangan asli berurutan dan jumlahnya tidak habis dibagi 3. Berapa banyak televisi yang harus disiapkan Ikhsan? Berikan alasannya! Solusi: Soal ini cukup diselesaikan dengan logika saja. Jelas bahwa jumlah dari tiga bilangan asli berurutan selalu habis dibagi 3. Dengan demikian Ikhsan tidak perlu menyiapkan televisi sebuahpun. 13. Babak final lomba lari 100 m puteri diikuti oleh 4 pelari, yaitu Gaby, Ira, Mona dan Nana. Pemenang pertama, kedua dan ketiga memperoleh berturut-turut medali emas, perak dan perunggu. Anggaplah bahwa tidak ada yang masuk finish bersamaan. Kalau Gaby selalu lebih cepat daripada Ira, banyaknya kemungkinan susunan pemegang medali adalah ..... . Solusi: Dengan memperhatikan bahwa Gaby selalu lebih cepat daripada Ira, soal ini diselesaikan dengan membuat daftar urutan pelari yang masuk garis finish secara sistematis sebagai berikut: Urutan I Urutan II Urutan III Urutan IV Gaby Ira Mona Nana Gaby Ira Nana Mona Gaby Mona Ira Nana Gaby Nana Ira Mona Gaby Mona Nana Ira Gaby Nana Mona Ira Mona Gaby Ira Nana Mona Gaby Nana Ira Mona Nana Gaby Ira Nana Gaby Ira Mona Nana Gaby Mona Ira Nana Mona Gaby Ira Dengan demikian terdapat 12 kemungkinan susunan pemegang medali. Catatan: Dari pengalaman, permasalahan yang dialami siswa ketika menjawab soal ini sama persis dengan permasalahan pada soal nomor 6.
7
14. Sonny mengalikan seratus bilangan prima yang pertama. Berapa banyak angka 0 yang diperoleh di bagian akhir dari hasil perkaliannya. Sebagai contoh, 20500 mempunyai 2 buah angka 0 pada bagian akhir. Solusi: Semua bilangan prima adalah bilangan-bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan satu dan hanya satu bilangan prima yang genap. Angka 0 di bagian akhir hanya dapat dihasilkan dari perkalian bilangan 5 dengan bilangan-bilangan kelipatan 2. Karena semua bilangan kelipatan 2 adalah bilangan genap, padahal bilangan hanya ada tepat satu bilangan prima yang genap yaitu 2, dengan demikian hanya terdapat sebuah angka 0 yang dapat diperoleh di bagian akhir dari hasil perkalian seratus bilangan prima yang pertama. 15. Hitunglah hasil dari . Catatan: tanda Solusi:
artinya pola berlanjut terus.
Perhatikan bahwa penyebut dan pembilang dari pecahan-pecahan yang bersebelahan dapat saling membagi. Dengan aturan kanselasi maka diperoleh hasil akhir . Catatan: Dari pengalaman, banyak siswa yang mengalami kebingungan dalam memahami arti tanda , padahal pada soal sudah dijelaskan maksudnya. 16. Anda diminta untuk meletakkan sebarang angka 1 sampai dengan 5 ke dalam persegi ukuran sehingga:
Pada baris yang sama, angka pada kotak sebelah kiri lebih besar daripada angka pada kotak sebelah kanan. Pada kolom yang sama, angka pada kotak sebelah atas lebih besar daripada angka pada kotak sebelah bawah. Dua gambar berikut menunjukkan dua cara berbeda untuk menyusun angkaangka tersebut. Berapa banyak seluruh cara berbeda yang mungkin untuk menyusun angka-angka dengan syarat di atas ? Gambarkan seluruh susunan yang mungkin untuk angka-angka tersebut.
Gambar 3.5 Solusi: Susunan-susunan tersebut adalah sebagai berikut: Susunan dengan angka-angka harus berbeda:
8
5
3
5
3
5
2
4
2
4
1
4
1
5
4
5
4
5
2
3
2
3
1
3
1
5
4
5
3
4
2
2
1
2
1
3
1
4
3
2
1
Susunan dengan angka-angka ada yang sama: 5
4
5
3
5
2
4
1
3
1
2
1
5
4
5
3
5
4
4
2
3
2
4
3
4
3
4
2
3
2
3
1
2
1
2
1
4
3
3
2
Dengan demikian terdapat 20 susunan yang mungkin dari angka-angka tersebut dengan syarat di atas. Catatan: Pada soal ini kita dapat mengasumsikan bahwa angka-angka pada setiap susunan diperbolehkan ada yang sama asal tetap sesuai dengan syarat yang ada. 17. Berapa banyak bilangan bulat positif terdiri dari empat angka yang dapat dibuat dengan syarat bilangan tersebut harus memuat sebuah angka 0 sedangkan tiga angka yang lain harus sama ? Tuliskan seluruh bilangan-bilangan tersebut. Solusi: Soal ini jelas harus diselesaikan dengan menggunakan strategi membuat daftar yang sistematis sebagai berikut: 1110 2220 3330 4440 5550 6660 7770 8880 9990 1101 2202 3303 4404 5505 6606 7707 8808 9909 1011 2022 3033 4044 5055 6066 7077 8088 9099 Ingat bahwa angka 0 tidak mungkin berada pada posisi paling kiri atau posisi sepuluh ribuan karena jika itu terjadi maka hanya dianggap sebagai bilangan tiga
9
angka. Dari daftar di atas jelas terdapat 27 bilangan bulat positif terdiri dari empat angka yang dapat dibuat dengan syarat bilangan tersebut harus memuat sebuah angka 0 sedangkan tiga angka yang lain harus sama. 18. Tiga pola susunan pengubinan berikut tersusun dari ubin putih dan ubin hitam. Selanjutnya suatu susunan pengubinan yang lebih besar dibuat mengikuti pola yang sama dan tersusun dari 58 ubin hitam. Hitunglah banyaknya ubin putih pada susunan pengubinan yang tersusun dari 58 ubin hitam tersebut.
Gambar 3.6 Solusi: Dari pola pengubinan tersebut dapat dibuat korespondensi satu – satu antara banyaknya ubin hitam dan ubin putih sebagai berikut: Banyak ubin hitam Banyak ubin putih 7 2 10 6 13 12 16 20 19 30 22 42 25 56 28 72 31 90 34 110 37 132 40 156 43 182 46 210 49 240 52 272 55 306 58 342 Dengan demikian pada pengubinan yang tersusun dari 58 ubin hitam akan terdapat 342 ubin putih.
10
