COMPARISON OF ONE DIMENSIONAL DCT AND LWT SPARSE REPRESENTATION

COMPARISON OF ONE DIMENSIONAL DCT AND LWT SPARSE REPRESENTATION Endra1; Gusandy2; Kurniawaty3; Yenny Lan4 Jurusan Sistem Komputer, Fakultas Ilmu Komputer, BINUS University, Jakarta Jln K.H. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480 [email protected]

ABSTRACT Compressive sensing is the process of acquiring and reconstructing a signal utilizing the prior knowledge that it is sparse or compressible. This research is a part of compressive sensing which compared two transforming bases: cosine and wavelet as the standard in compressible signal like JPEG and JPEF-2000. Cosine transform-based using Discrete Cosine Transform (DCT) and wavelet transform-based using Lifting Wavelet Transform (LWT). In taking significantly coefficient, linier and non-linier approximation is done. DCT and LWT testing is done through various signal types and characteristics in one dimension. In testing parameter, this research uses Mean Square Error (MSE) and Peak Signal to Noise Ratio (PSNR). Small MSE and huge PSNR show transform basis sparser. The result in testing is cosine transform-based is better suit smooth signal than wavelet transform-based is better for transient signal. Besides, non-linier approximation is better than linier because the testing data also show a summary that approximation of MSE and PSNR a base depends on signal type and characteristic. Keywords: compressive sensing, sparse, basis, Discrete Cosine Transform (DCT), Lifting Wavelet Transform (LWT), Mean Square Error (MSE), Peak Signal to Noise Ratio (PSNR).

ABSTRAK Penginderaan kompresif adalah suatu teknik untuk mengakuisisi dan merekontruksi sebuah sinyal dengan memanfaatkan pengetahuan sebelumnya bahwa sinyal tersebut sparse atau termampatkan. Penelitian ini menjadi bagian dari penginderaan kompresif yang membandingkan dua basis pembentuk yaitu cosinus dan wavelet yang menjadi standar dalam pemampatan sinyal misalnya pada JPEG dan JPEG-2000. Basis pembentuk cosinus dengan menggunakan Discrete Cosine Transform (DCT) dan basis pembentuk wavelet dengan menggunakan Lifting Wavelet Transform (LWT). Dalam mengambil jumlah koefisien yang bernilai signifikan dilakukan aproksimasi baik secara linier maupun nonlinier. Pengujian DCT dan LWT ini dilakukan terhadap berbagai jenis dan karakteristik sinyal satu dimensi. Parameter pengujian yang digunakan adalah Mean Square Error (MSE) dan Peak Signal to Noise Ratio (PSNR). MSE yang kecil dan PSNR yang besar menunjukkan basis pembentuk lebih sparse. Dalam pengujian, didapatkan hasil bahwa basis pembentuk cosinus lebih baik untuk sinyal smooth sedangkan basis pembentuk wavelet lebih baik untuk sinyal transient. Didapatkan juga hasil bahwa aproksimasi nonlinier lebih baik daripada aproksimasi linier. Dari data pengujian menunjukkan kesimpulan bahwa nilai MSE dan PSNR aproksimasi suatu basis tergantung dengan jenis dan karakteristik sinyal. Kata kunci: Penginderaan kompresif, sparse, basis, Discrete Cosine Transform (DCT), Lifting Wavelet Transform (LWT), Mean Square Error (MSE), Peak Signal to Noise Ratio (PSNR).

Comparison of One Dimensional… (Endra; dkk)

1

PENDAHULUAN Cara konvensional untuk mencuplik sinyal atau citra adalah menggunakan teorema Shannon-Nyquist yaitu frekuensi pencuplikan minimal dua kali dari frekuensi maksimum yang ada pada sinyal (disebut Nyquist-rate). Teorema tersebut mendasari hampir seluruh protokol akuisisi sinyal yang digunakan pada peralatan elektronika audio-visual, peralatan pencitraan medis, penerima radio dan sebagainya. Penginderaan atau pencuplikan kompresif adalah sebuah paradigma pencuplikan yang melawan teorema Shannon-Nyquist pada akuisisi sinyal seperti yang dijelaskan di atas. Penginderaan kompresif menyatakan bahwa sinyal atau citra dapat direkontruksi dari jumlah pencuplikan atau pengukuran yang jauh dari metode tradisional yang biasa digunakan, yaitu minimal sebesar Nyquist-rate (Candès, Wakin, Michael, 2008). Ide dasar dari penginderaan kompresif ini adalah memanfaatkan sifat sparse dari sinyal yaitu ketika sinyal direpresentasikan ke dalam basis yang tepat hanya akan menghasilkan sedikit jumlah koefisien yang bernilai signifikan sedangkan sisanya dapat diabaikan. Bagaimana sinyal harus direpresentasikan ke dalam basis yang tepat, untuk itulah penelitian yang berjudul ”Comparison of One Dimensional DCT and LWT Sparse Representation” menjadi dasar untuk mengetahui hal ini. Dimana basis pembentuk yang digunakan adalah cosinus dan wavelet yang menjadi standar dalam pemampatan sinyal misalnya pada JPEG dan JPEG-2000. Penelitian ini akan membandingkan basis pembentuk manakah yang akan memberikan sparse untuk berbagai jenis sinyal satu dimensi. Parameter yang digunakan untuk membandingkan sparsity dari kedua basis tersebut adalah Mean Square Error (MSE) dan Peak Signal to Noise Ratio (PSNR). Mean Square Error (MSE) yang semakin kecil dan Peak Signal to Noise Ratio (PSNR) yang semakin besar menunjukkan basis pembentuk tersebut lebih tepat untuk merepresentasikan sinyal.

PEMBAHASAN Representasi dan Aproksimasi Representasi adalah bagaimana menyatakan suatu sinyal dalam basis pembentuknya. Representasi tidak mengubah banyak data sinyal asli. Representasi dilakukan dengan harapan suatu sinyal dinyatakan dalam basis pembentuk yang tepat sehingga menghasilkan pemampatan atau sparsity. Dengan sparsity maka hanya sebagian nilai koefisien yang besar yang memuat sebagian besar informasi dari sinyal. Sedangkan sebagian besar lainnya memiliki nilai koefisien yang kecil yang tidak memuat informasi dari sinyal sehingga dapat dihilangkan. Rumus representasi adalah sebagai berikut: (1) f = ∑ α iϕ i i∈I

Di mana: f : suatu sinyal αi : koefisien ϕi : basis Aproksimasi merupakan pendekatan dalam mengambil suatu data. Data yang diambil hanya sebagian sedangkan sisa datanya dijadikan nol. Ketika melakukan aproksimasi maka akan terdapat selisih antara data asli dengan data yang diaproksimasi. Selisih ini yang dikenal dengan sebutan norm error. Berikut adalah bentuk persamaannya (Vetterli, 2001):

2

Jurnal Teknik Komputer Vol. 18 No.1 Februari 2010: 1- 10

2 ⎞1/ 2 ⎛∞ f (t ) − fˆN (t ) = ⎜ ∫ f (t ) − fˆN (t ) dt ⎟ 2 ⎝ −∞ ⎠

(2)

Aproksimasi dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu aproksimasi linier dan aproksimasi nonlinier. Pada aproksimasi linier sebagian data yang diambil adalah data yang terletak di bagian depan sedangkan sisanya dijadikan nol. Sementara, pada aproksimasi nonlinier sebagian data yang diambil adalah data yang paling besar setelah data-data tersebut diabsolutkan. Data-data yang tidak diambil dijadikan nol.

Sparsity Kebanyakan sinyal alami memiliki representasi yang padat ketika dinyatakan ke dalam basis yang tepat. Sebagai contoh, pada Gambar 1. (a) dan transformasi wavelet-nya pada Gambar 1 (b). Walaupun hampir seluruh piksel citra memiliki nilai tidak nol, namun kebanyakan koefisien wavelet-nya bernilai kecil dan hanya sedikit koefisien yang bernilai besar dimana memuat sebagian besar informasi dari citra.

Gambar 1 (a). Citra asli berukuran 1 Megapiksel. (b). Koefisien-koefisien wavelet. (c). Rekontruksi citra yang didapatkan dengan hanya menggunakan 25.000 koefisien wavelet terbesar.

Fourier Transform (Transformasi Fourier) Diperkenalkan pertama kali oleh Jean Baptiste Joseph Fourier pada tahun 1807. Dia menyatakan bahwa semua sinyal periodik yang kontinu dapat dinyatakan sebagai jumlah dari sinyal-sinyal sinusoidal dengan frekuensi, amplitudo, dan fasa yang tertentu (Deffata, Lucas, William, 1995) (Proakis, Manolakis, 1992). Dengan fourier transform, suatu sinyal dalam domain waktu dapat direpresentasikan ke dalam domain frekuensi. Nilai-nilai frekuensi dari sinyal tersebut dapat diketahui setelah direpresentasikan ke dalam domain frekuensi. Namun dalam domain frekuensi tidak terdapat informasi waktu kapan frekuensi-frekuensi tersebut muncul. Karena hal inilah maka fourier transform hanya cocok untuk sinyal stasioner dan tidak cocok untuk sinyal non-stasioner.

Discrete Cosine Transform (DCT) Discrete Cosine Transform (DCT) merupakan suatu teknik yang digunakan untuk melakukan konversi sinyal ke dalam komponen frekuensi pembentuknya dengan cara memperhitungkan nilai riil dari hasil transformasinya. Dari namanya dapat diketahui bahwa DCT hanya menggunakan gelombang cosinus (cosine waves). DCT merupakan transformasi yang berhubungan dengan fourier transform, namun DCT hanya menggunakan bilangan-bilangan riilnya (DCT, 2008). DCT dapat dikelompokkan menjadi dua yaitu DCT maju dan DCT balik.


3

Discrete Cosine Transform Maju (Forward DCT) Persamaan forward DCT yang digunakan yaitu: N π ( 2n − 1)( k − 1) y ( k ) = w( k ) ∑ x ( n ) cos n=1

2N

, k = 1,..., N

(3)

Discrete Cosine Transform Balik (Inverse DCT) Pada inverse DCT dilakukan proses rekonstruksi yaitu mengembalikan komponen frekuensi menjadi komponen sinyal semula. Persamaan yang digunakan yaitu: N π ( 2 n − 1)( k − 1) x ( n) = ∑ w( k ) y ( k ) cos , n = 1,..., N (4) k =1

2N

Di mana :

⎧ ⎪⎪ w( k ) = ⎨ ⎪ ⎪⎩

1

, k =1

N 2

(5) , 2≤k ≤ N

N

Wavelet Transform (Transformasi Wavelet) Dengan berkembangnya teknik-teknik analisa sinyal maka muncullah suatu konsep baru yang dapat mengatasi kekurangan dari fourier transform dan teknik analisa sinyal tersebut dinamakan dengan Wavelet Transform. Wavelet transform mulai diperkenalkan pada tahun 1980an oleh Morlet dan Grossman sebagai fungsi matematis untuk merepresentasikan data atau fungsi sebagai alternatif transformasi-transformasi matematika yang lahir sebelumnya untuk menangani masalah resolusi. Wavelet transform memiliki kemampuan untuk menganalisa suatu data dalam domain waktu dan domain frekuensi secara bersamaan. Analisa data pada wavelet transform dilakukan dengan mendekomposisikan suatu sinyal ke dalam komponen-komponen frekuensi yang berbedabeda dan selanjutnya masing-masing komponen frekuensi tersebut dapat dianalisa sesuai dengan skala resolusinya atau level dekomposisinya. Hal ini seperti proses filtering, dimana sinyal dalam domain waktu dilewatkan ke dalam low-pass filter (LPF) dan high-pass filter (HPF) untuk memisahkan komponen frekuensi tinggi dan frekuensi rendah (Transformasi Wavelet, 2008).

Discrete Wavelet Transform (Transformasi Wavelet Diskrit) Discrete wavelet transform (DWT) secara umum merupakan dekomposisi sinyal pada frekuensi subband sinyal tersebut. Komponen subband wavelet transform dihasilkan dengan cara penurunan level dekomposisi. Implementasi DWT dapat dilakukan dengan cara melewatkan sinyal melalui sebuah LPF dan HPF serta melakukan downsampling pada keluaran masing-masing filter seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.

Gambar 2 Proses DWT

4


Di mana : x[n] : Sinyal asli g[n] : Low-Pass Filter (LPF) h[n] : High-Pass Filter (HPF) Keluaran dari LPF merupakan koefisien aproksimasi dari DWT dan keluaran dari HPF merupakan koefisien detail dari DWT.

Lifting Wavelet Transform (Transformasi Wavelet Lifting) Lifting wavelet transform (LWT) adalah salah satu bagian dari DWT yang dikenalkan oleh Wim Sweldens. LWT ini kemudian disebut sebagai generasi kedua DWT. Pada DWT dilakukan proses beberapa filter secara terpisah, sedangkan dengan LWT operasi proses dibagi dan diproses secara bersamaan. Proses pada LWT dinamakan dengan Predict (P) dan Update (U).

Gambar 3 Proses LWT.

Dapat dilihat pada Gambar 3 bahwa pada proses LWT, proses Predict (P) dan Update (U) dibagi menjadi dua bagian dan diproses secara bersamaan. Cara kerja LWT seperti inilah yang membuat teknik ini lebih efisien dibandingkan dengan DWT. Dalam penelitian ini, tipe wavelet atau mother wavelet yang akan digunakan adalah jenis Biortoghonal 4.4.

Mean Square Error (MSE) Mean Square Error (MSE) merupakan ukuran kontrol kualitas yang digunakan untuk mengetahui kualitas dari suatu proses. MSE menghitung seberapa besar pergeseran data antara sinyal sumber dan sinyal hasil keluaran, dimana sinyal sumber dan sinyal hasil keluaran memiliki ukuran yang sama. Nilai MSE yang baik adalah mendekati nol (MSE ≈ 0). Rumus dari perhitungan MSE adalah: MSE =

1 n 2 ∑ ( S − Se ) n i =1

(6)

Di mana : MSE : Mean Square Error S : Sinyal sumber Se : Sinyal Hasil Keluaran n : Panjang sinyal

Peak Signal to Noise Ratio (PSNR) Peak Signal to Noise Ratio (PSNR) adalah perbandingan antara nilai maksimum sinyal sumber dengan nilai rata-rata kuadrat eror (MSE). Nilai PSNR yang baik adalah tak hingga (PSNR ≈ ∞). PSNR dihitung dalam satuan desibel (dB). Desibel adalah satuan yang seringkali digunakan


5

dalam menyatakan perbedaan relatif kekuatan sinyal. Desibel dinyatakan sebagai logaritmik basis 10 yang merupakan rasio dari dua sinyal. Rumus dari perhitungan PSNR adalah: PSNR ( dB ) = 10 x log10

Di mana : PSNR(dB) Max Sinyal MSE

Max sinyal

2

(7)

MSE

: Peak Signal to Noise Ratio dalam desibel : Nilai maksimum sinyal sumber : Mean Square Error

Perancangan Sistem Sistem merepresentasikan DCT dan LWT menggunakan program yang dibuat pada MATLAB. Diagram alir dari representasi DCT ditunjukkan pada Gambar 4 dan diagram alir dari representasi LWT ditunjukkan pada Gambar 5.

Implementasi dan Evaluasi Implementasi Implementasi dilakukan dengan menggunakan MATLAB 7.1 dengan sistem operasi Windows XP. Untuk menjalankan MATLAB 7.1 dibutuhkan spesifikasi PC minimum antara lain prosesor Intel Pentium IV 2,2 GHz dengan RAM berukuran 512 MB dan minimal ada ruang kosong Hard disk sebesar 900 MB.

Gambar 4 Diagram Alir Program Representasi DCT

6

Gambar 5 Diagram Alir Program Representasi LWT


Pelaksanaan Implementasi Untuk mengimplementasikan sistem dilakukan pengujian-pengujian. Pengujian-pengujian tersebut dilakukan pada MATLAB sebagai simulasi antara lain pengujian representasi DCTAproksimasi Linier, DCT-Aproksimasi Nonlinier, LWT-Aproksimasi Linier, dan LWTAproksimasi Nonlinier dengan berbagai jenis sinyal. Berbagai jenis sinyal yang diuji merupakan waveform dan dibuat sendiri. Sinyal yang diuji adalah sinyal smooth, sinyal semi-transien, sinyal gerigi, sinyal transien, sinyal digital, sinyal 100data, dan sinyal 500data. Semua pengujian tersebut dilakukan untuk melihat hasil MSE dan PSNR.

Pengujian dengan representasi DCT-Aproksimasi Linier untuk berbagai jenis sinyal

Gambar 6 Hasil MSE dengan representasi DCT-Aproksimasi Linier untuk berbagai jenis sinyal.

Gambar 7 Hasil PSNR dengan representasi DCT-Aproksimasi Linier untuk berbagai jenis sinyal.


7

Pengujian dengan representasi DCT-Aproksimasi Nonlinier untuk berbagai jenis sinyal

Gambar 8 Hasil MSE dengan representasi DCT-Aproksimasi Nonlinier untuk berbagai jenis sinyal.

Gambar 9 Hasil PSNR dengan representasi DCT-Aproksimasi Nonlinier untuk berbagai jenis sinyal.

Pengujian dengan representasi LWT-Aproksimasi Linier untuk berbagai jenis sinyal

Gambar 10. Hasil MSE dengan representasi LWT-Aproksimasi Linier untuk berbagai jenis sinyal.

8


Gambar 11 Hasil PSNR dengan representasi LWT-Aproksimasi Linier untuk berbagai jenis sinyal.

Pengujian dengan representasi LWT-Aproksimasi Nonlinier untuk berbagai jenis sinyal

Gambar 12 Hasil MSE dengan representasi LWT-Aproksimasi Nonlinier untuk berbagai jenis sinyal.

Gambar 13 Hasil PSNR dengan representasi LWT-Aproksimasi Nonlinier untuk berbagai jenis sinyal.


9

PENUTUP Hasil pengujian didapatkan hasil dengan representasi DCT-Aproksimasi Linier memberikan hasil MSE dan PSNR yang paling baik adalah untuk sinyal gerigi. Dengan representasi DCT-Aproksimasi Nonlinier memberikan hasil MSE dan PSNR yang paling baik adalah sinyal gerigi dan digital. Dengan representasi LWT-Aproksimasi Linier memberikan hasil MSE dan PSNR yang paling baik adalah sinyal transien. Dengan representasi LWT-Aproksimasi Nonlinier memberikan hasil MSE dan PSNR yang paling baik adalah sinyal transien. Untuk nilai MSE dan PSNR yang baik, suatu representasi tergantung dari karakteristik dan jenis sinyal.

DAFTAR PUSTAKA Candès, E.J., Wakin, Michael B. (2008). An Introduction To Compressive Sampling. IEEE Signal Processing Magazine. Vetterli, Martin. (2001). Wavelets, Approximation, and Compression. IEEE Signal Processing Magazine. Defatta, Davis J., Lucas, Joseph G., S.H., William. (1995). Digital Signal Processing: A System Design Approach. John Wiley & Son. Proakis, John G., Manolakis, Dimitris G. (1992). Digital Signal Processing, Principles, Algorithms, and Applications. 2. Macmilian Publishing. New York. Anonim, 2008, Discrete Cosine Transform (DCT), http://www.ittelkom.ac.id/library/index.php?view=article&catid=20%3Ainformatika&id=202%3A discrete-cosine-transform-dct&option=com_content&Itemid=15. Anonim, 2008, Transformasi Wavelet, http://www.ittelkom.ac.id/library/index.php?view=article&catid=15%3Apemrosesansinyal&id=35 6%3Atransformasi-wavelet&option=com_content&Itemid=15.

10


COMPARISON OF ONE DIMENSIONAL DCT AND LWT SPARSE REPRESENTATION

Recommend Documents