Fakulta p rírodn ých vied U KF v N itre
A - CENTRUM pre 21. storočie Od prezenčného k dištančnému vzdelávaniu
Cabri geometria v školskej matematike II
RNDr. Adriana Demová
RNDr. Dušan Vallo, PhD.
Európsky sociálny fond pomáha rozvíjať zamestnanosť podporovaním zamestnateľnosti, obchodného ducha, rovnakých príležitostí a investovaním do ľudských zdrojov Tento dokument bol vytvorený s finančnou pomocou Európskej únie. Názory v ňom vyjadrené sú výlučne názormi FPV UKF v Nitre a nevyjadrujú žiadnym spôsobom oficiálny názor Európskej únie.
Autori: RNDr. Adriana Demová RNDr. Dušan Vallo, PhD.
Rukopis neprešiel recenzným konaním a nebol jazykovo upravovaný
Druhé doplnené vydanie
Publikácia bola vydaná s finančnou podporou projektu A-CENTRUM pre 21. storočie. PROJEKT JE SPOLUFINANCOVANÝ EURÓPSKOU ÚNIOU. Riadiaci orgán: Ministerstvo práce, sociálnych vecí a rodiny SR.
Vydavateľ: Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre Schválené vedením FPV UKF v Nitre dňa 15. 1. 2008 Edícia Prírodovedec č. 299
© FPV UKF v Nitre ISBN: 978-80-8094-289-2
9 788080 942892
Obsah Úvod
Cabri Geometria II … ZÁKLADY (RNDr. Adriana Demová) Ako sa pracuje s programom......................................................................................................1 Bod..............................................................................................................................................4 Zostrojenie priamky, úsečky a polpriamky...............................................................................5 Zmena polohy bodu, úsečky, priamky, polpriamky....................................................................6 Zostrojenie kolmice a rovnobežky..............................................................................................6 Pomýlil som sa! Ako opravím chybu? Ako zmažem niektorý útvar?......................................7 Zostrojenie kružnice a zmena jej polohy....................................................................................8 Priesečník dvoch útvarov..........................................................................................................10 Pomenovanie útvarov................................................................................................................11 Zmena pomenovania útvarov, zmena polohy pomenovania.....................................................11 Trojuholník................................................................................................................................13 n-uholník...................................................................................................................................13 Zmena vzhľadu (farby, hrúbky, bodkovania) objektov............................................................14 Skrytie pomocných útvarov......................................................................................................14 Stred..........................................................................................................................................15 Os uhla......................................................................................................................................16 Komentár...................................................................................................................................17 Zostrojenie úsečky vopred danej dĺžky.....................................................................................18
Cabri Geometria II … NIEČO NAVYŠE (RNDr. Dušan Vallo, PhD.) Makrokonštrukcia.....................................................................................................................20 Stopa pohybujúceho sa bodu (útvaru).......................................................................................29 Animácia...................................................................................................................................31 Geometrické miesto bodov.......................................................................................................33 Prehrávanie konštrukcie............................................................................................................35 Osová súmernosť......................................................................................................................36 Symetria....................................................................................................................................37 Posunutie...................................................................................................................................38
Otočenie....................................................................................................................................38 Rovnoľahlosť............................................................................................................................39 Inverzia......................................................................................................................................40 Označenie uhla..........................................................................................................................41 Pevný/Voľný.............................................................................................................................41 Vzdialenosť a dĺžka..................................................................................................................42 Plocha........................................................................................................................................42 Smernica....................................................................................................................................42 Uhol...........................................................................................................................................42 Súradnice v rovine....................................................................................................................42 Kalkulačka................................................................................................................................42 Ukáž súradnice..........................................................................................................................45 Nové súradnice..........................................................................................................................46 Definuj mriežku........................................................................................................................47 Aplety........................................................................................................................................47
Cabri Geometria II Plus versus Cabri geometria II (RNDr. Dušan Vallo, PhD.) Porovnanie programov…………..……………………………………………………………50 Práca s algebrickým výrazom………………………………………………………………...52 Vykresľovanie grafov funkcií………………………………………………………………...54
Úvod Vážení kolegovia, dostala sa Vám do rúk druhé, doplnené vydanie našej príručky o didaktickom výučbovom programe Cabri názvom
Cabri Geometria – základy práce s programom. Pôvodný text bol doplnením manuálu, ktorý bol predložený účastníkom špecializačného kurzu Cabri Geometria v školskej matematike. Samotné pracovné stretnutie sa konalo v rámci projektu A-Centrum na pôde Fakulty prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre dňa 23. februára 2004 a bol primárne určený pre učiteľov stredných škôl. S postupom času sa program Cabri dostal do škôl. V období, keď sme vydávali túto príručku, bola k dispozícii verzia programu Cabri Geometria II. V súčasnosti je na našich stredných školách dostupná novšia verzia Cabri Geometria II Plus, ktorá predstavuje inovovanú verziu, s viacerými zdokonalenými úpravami a konštrukčnými možnosťami. Rozhodli sme sa doplniť tohto sprievodcu základmi ovládania programu o kapitolu s názvom Cabri Geometria II Plus versus Cabri Geometria II , kde poukážeme na iste malé odlišnosti v konštrukčných možnostiach, grafickej úprave a niektorých funkciách programu. Čitateľ, ktorý sa naučí, resp. už zvládol základy práce so staršou verziou programu, podľa nášho skromného názoru nebude mať problémy ovládať novšiu verziu. Obsahová časť manuálu 1. Cabri Geometria II …ZÁKLADY 2. Cabri Geometria II …NIEČO NAVYŠE 3. Cabri Geometria II PLUS versus Cabri Geometria II
Považovali sme za potrebné, aby sa na CD nosiči nachádzal aj adresár s názvom Pomocný, kde môžete nájsť súbory aplet.htm, CabriJava.jar, o ktorých sa hovorí v druhej časti manuálu. Navyše, pre záujemcov o aktuálne novinky o Cabri Geometrii uvádzame aj internetovú adresy
http://www-cabri.imag.fr http://www.cabri.net/cabri/a-propos/index-e.html Prajeme Vám veľa tvorivých konštrukcií a pekné obrázky. Autori
Cabri Geometria II … ZÁKLADY Ako sa pracuje s programom Ukážeme základné ovládacie prvky softvéru Cabri Geometrie II. Po spustení programu máme pred sebou pracovnú plochu programu. Ak ju chceme zväčšiť, klikneme ľavým tlačidlom
myši
na štvorček v pravom hornom okraji tohto okna. Pracovná plocha sa automaticky natiahne na celú obrazovku. V hornej časti, v modrom poli, je názov programu a v hranatých zátvorkách je meno otvoreného súboru. Program sme spustili prvýkrát, súbor nesie názov „ Výkres # 1 “. Pod modrým poľom sa nachádza šedý obdĺžnik - Ponuka menu. Vyzerá nasledovne
Pre samotnú prácu s programom je podstatná Lišta nástrojov, nachádzajúca sa hneď pod Ponukou menu. Na obrázku dolu sú popísané aj jednotlivé „tlačidlá“. Budeme ich nazývať ikony. Vďaka nim dokážeme konštruovať útvary na pracovnej ploche. Lišta nástrojov Ukazovateľ Body Čiary a mnohouholníky Krivky Zostrojovanie Zobrazenia
Makro
Kontrola vlastností Rozmer Popisovanie Viditeľnosť
1
Pod jednotlivými ikonami sa ešte nachádzajú aj ďalšie ikony, ktoré zobrazíme nasledovne:
kurzorom
sa
presunieme
na niektorú z ikôn, podržíme ľavé tlačidlo myši. pre
Otvoria ikony.
sa
nám
Kurzorom
nové sa
možnosti
premiestnime
na potrebnú ikonu a pustíme tlačidlo myši. Na
vedľajšom obrázku
Zostrojovanie
zvolili
sme ikonu
zo
stĺpca
Kružnica
s polomerom. Tým sa zmenil aj vzhľad ikony
v Lište nástrojov.
Kvôli prehľadu uvádzame všetky možnosti programu. Ukazovateľ
Body
Čiary a mnohouholníky
Krivky
Zostrojovanie
Zobrazenia
Makro
2
Kontrola vlastností
Rozmer
Popisovanie
Viditeľnosť
Opakovanie je matkou múdrosti, preto ...
Ponuka menu
Lišta nástrojov
Ikony vlastností (Atribúty)
Pracovná plocha
Pomocné okno
3
Pri prvom spustení Cabri sa môže stať, že
program
nezobrazí
(Atribúty).
Aktivujeme
V Ponuke
menu
Ikony
vlastností
ich
nasledovne.
otvoríme
Nastavenia
a vyberieme možnosť Ukáž atribúty
ZAČNEME KRESLIŤ A ZOSTROJOVAŤ
Bod Ľavým tlačidlom myši len raz klikneme na ikonu ikonu Bod
zo stĺpca
Body. Ikona sa podfarbí bielou farbou. Presunieme myš na bielu pracovnú plochu a klikneme. Objaví sa malý červený bod • . Jednoduchým klikaním na rôzne miesta po pracovnej ploche vyznačíme niekoľko potrebných bodov.
4
Zostrojenie priamky, úsečky a polpriamky Zo stĺpca Čiary a mnohouholníky vyberieme ikonu Priamka
. Opäť sa ikona
podfarbí bielou farbou. Presunieme sa na pracovnú plochu, položíme kurzor myši na jeden bod • , ktorým chceme viesť priamku. Objaví sa nápis „ týmto bodom “. V tom okamihu len raz klikneme a bod „bliká“. Potom presúvame myš smerom k druhému bodu priamky. Opäť sa postavíme na bod • , objaví sa opäť nápis „ týmto bodom “. Raz klikneme a priamka sa automaticky zostrojí. Takto zostrojená priamka je „viazaná “ na vybrané – určujúce body. Zámerne sme upozornili na dodržanie postupu. Je nežiadúce kliknúť na jeden bod a nechať modrú priamku nech „prestrelí “ druhý bod, ktorým mala prechádzať (to by sme urobili tak, že nasmerujeme modrú čiaru na bod a klikneme na plochu). Neskôr sa nám takýto postup môže vypomstiť. Takto zostrojená priamka je určená dvomi bodmi len na prvý pohľad, v skutočnosti je určená len tým prvým bodom a udaným smerom.
Podobným postupom zostrojíme úsečku a polpriamku, pričom pracujeme s ikonami Úsečka
a Polpriamka
.
Všimnime si - každá ikona je dvojfarebná. Modrou farbou sú vyznačené určujúce
prvky a červenou tie objekty, ktoré sa ich pomocou zostroja.
V ikone Bod je iba červený bod. Samozrejme, na ploche vyznačujeme iba body. Ikona Priamka má určujúci len jeden modrý bod, výsledná konštruovaná priamka je červená (už sme si povedali, aký to má dôsledok).
5
Zmena polohy bodu, úsečky, priamky, polpriamky Pri rysovaní sa môže stať, že útvar nechceme mať na tom mieste pracovnej plochy, kde sme ho narysovali. Daný súbor nemusíme zmazať, ani objekt odstrániť, stačí daný útvar presunúť. Ako? Ukážeme, ako môžeme zmeniť polohu úsečky, a to dvomi spôsobmi.
1. Zmenou polohy krajných bodov - Vyberieme možnosť Ukazovateľ
.
Kurzorom sa presunieme na jeden z krajných bodov úsečky na pracovnej ploche, objaví sa nápis „ bod “. V tom okamihu klikneme, podržíme a súčasne zmeníme polohu bodu ťahaním kurzora myši. Ak je už zmenená poloha bodu, tlačidlo myši pustíme. Druhý bod premiestnime rovnakým spôsobom. Takto zmeníme nielen polohu úsečky, ale aj jej dĺžku. 2. Zmenou polohy celej úsečky (len posunutie) - Opäť vyberieme možnosť Ukazovateľ. Kurzorom sa presunieme na danú úsečku na pracovnej ploche, objaví sa nápis „ úsečka “. Vtedy klikneme, podržíme tlačidlo myši a súčasne zmeníme len polohu celej úsečky ťahaním kurzora myši. Jej veľkosť dĺžky zostane nezmenená!
Zostrojenie kolmice a rovnobežky Ako zostrojíme kolmicu (rovnobežku) prechádzajúcu daným bodom a kolmú (rovnobežnú) na daný útvar? Vyberieme ikonu Kolmica
(Rovnobežka
). Presunieme sa na pracovnú
plochu, položíme kurzor myši na bod, ktorým chceme viesť kolmicu (rovnobežku). Objaví sa nápis „ cez tento bod “. Raz klikneme a bod „bliká“. Potom sa premiestnime k priamke, na ktorú kolmicu zostrojujeme (s ktorou má byť rovnobežná). Zobrazí sa nápis „ kolmica na túto priamku “ („ rovnobežka s touto priamkou “). Kliknutím sa priamka automaticky
zostrojí.
6
Pomýlil som sa! Ako opravím chybu? Ako zmažem niektorý útvar? Na "gumovanie" existuje viacero postupov:
1. Ak sa chceme vrátiť o jeden vykonaný krok späť, stačí v Ponuke menu vybrať z možnosti Edituj voľbu Vráť.
2. V prípade, že chceme zmazať napr. bod, z Lišty nástrojov vyberieme Ukazovateľ, vyznačíme daný bod, bod „bliká“, a na klávesnici stlačíme kláves Delete. Pozor! Zostrojte úsečku z dvoch bodov, jeden krajný bod zmažte. Čo sa stalo? Zmazala sa celá úsečka, pretože bola na daný bod viazaná! 3. Skupinu bodov, aj iných útvarov, môžeme
odstrániť,
ak
po
vybratí
Ukazovateľa klikneme na pracovnú plochu, podržíme tlačidlo myši a súčasne potiahnutím myši
vytvoríme
obdĺžnik.
Všetky
na
pracovnej útvary
vo
ploche vnútri
vyznačeného obdĺžnika „blikajú“ a po stlačení klávesu Delete sa vymažú.
7
Zostrojenie kružnice a zmena jej polohy 1.
Kružnica určená stredom a jedným bodom na obvode – zo stĺpca Krivky
vyberieme možnosť Kružnica
. Presunieme sa k bodu, pričom sa zobrazí nápis „ tento
stred “. Daný bod bude stredom kružnice. Klikneme a bod bliká. Potom presúvame myš
smerom k druhému bodu, ktorý má ležať na kružnici. Navyše sme na ploche zaregistrovali súvislú neprerušovanú modrú kružnicu. Po objavení nápisu „ tento bod polomeru “, klikneme na bod a kružnica sa zostrojí. Takto zostrojená kružnica je „viazaná “ na vybrané – určujúce body. Týmto spôsobom zostrojíme ďalšie kružnice. Kružnicu možno zostrojiť i tak, že vyberieme stred, presunieme sa po ploche a klikneme. Potom je kružnica určená stredom a má stále rovnaký polomer. Analogicky ako v predchádzajúcom prípade, keď priamka mala pevne zvolený smer. Výhody popísaných konštrukčných postupov oceníte neskôr. Preferujeme tento prístup na základe našich skúseností s programom.
Polohu kružnice môžeme zmeniť zmenou polohy jej stredu, zmenou polohy bodu na obvode, alebo presunieme celú kružnicu.
8
2. V prípade, že kružnica je určená stredom a polomerom (polomer vyjadríme dĺžkou úsečky), postup jej zostrojenia je nasledovný. Vyberieme ikonu Kružnica s polomerom
zo stĺpca Zostrojovanie. Na pracovnej ploche položíme kurzor myši
na bod, ktorý má byť stredom kružnice. Po objavení nápisu „ bod “ na neho klikneme, bod bliká. Potom presúvame myš smerom k úsečke, ktorá vyjadruje veľkosť polomeru kružnice. Po zobrazení nápisu „ úsečka “ ju kliknutím vyznačíme. Vzápätí sa kružnica zostrojí. Zmenu polohy takto zostrojenej kružnice prevedieme buď zmenou polohy jej stredu, alebo zmenou veľkosti polomeru (úsečky).
9
Priesečník dvoch útvarov Ako vyznačíme priesečník dvoch pretínajúcich sa útvarov? Napr. kružnice a priamky? Zo stĺpca Body vyberieme možnosť Priesečník
. Presunieme sa na kružnicu,
zobrazí sa nápis „ kružnica “, kliknutím ju označíme. Druhý útvar po objavení nápisu „ priamka “ vyznačíme rovnakým spôsobom. Zostroja sa priesečníky útvarov.
Ak sa budeme snažiť označiť ich priesečník priamo, po
zobrazení nápisu
„ priesečník “, môže sa stať, že označíme nesprávny bod – bod vedľa ich priesečníka.
10
Pomenovanie útvarov Pri rysovaní a riešení konštrukčných úloh vždy potrebujeme pomenovať dané útvary, napr. trojuholník ABC, bod M, priamku p atď. Túto možnosť nám poskytuje aj program, ktorým pracujeme. Teraz ukážeme, ako pomenujeme bod, bod A. V stĺpci Popisovanie vyberieme ikonu Pomenovanie
. Presunieme sa na pracovnú
plochu a kurzor myši ťaháme k bodu, ktorý chceme pomenovať. Objaví sa nápis „ bod “. V tom okamihu len raz klikneme. Po kliknutí sa zobrazí
obdĺžnik,
pomenovanie
do
bodu
A.
ktorého
napíšeme
Potom
klikneme
na voľné miesto na pracovnej ploche a obdĺžnik zmizne, pričom pomenovanie zostane. Analogickým spôsobom pomenujeme aj priamku, kružnicu a ďalšie útvary. Pomenujte spomenuté útvary!
Zmena pomenovania útvarov, zmena polohy pomenovania V prípade, že chceme premenovať bod A na bod B, máme dve možnosti. 1. Vyberieme možnosť Ukazovateľ a dvakrát klikneme na nápis „ pomenovanie “ daného bodu. Opäť sa objaví obdĺžnik a zmeníme pomenovanie. 2. Vyberieme ikonu Pomenovanie, raz klikneme na nápis „ pomenovanie “ daného bodu.
Opäť sa objaví obdĺžnik a
zmeníme pomenovanie
Často sa stáva, že pomenovanie útvaru prechádza napr. cez priamku. Ako sa tomu vyhnúť? Stačí zmeniť polohu pomenovania. Vyberieme možnosť Ukazovateľ. Presunieme sa na pracovnú plochu k bodu, kým sa neobjaví nápis „ pomenovanie “ . V tom okamihu klikneme, podržíme a súčasne zmeníme
11
polohu pomenovania ťahaním kurzora myši. Ak je zmenená poloha pomenovania, tlačidlo myši pustíme.
PRÍKLAD 1 Zostrojte trojuholník ABC, ak poznáte dĺžky jeho strán (zvoľte ich ľubovoľne).
Zostrojíme úsečky AB, AC, BC predstavujúce dĺžky strán trojuholníka ABC tak, ako vidno na obrázku. Na pracovnej ploche zostrojíme ľubovoľnú polpriamku s počiatkom v bode A. V ďalšom kroku skonštruujeme kružnicu so stredom v tomto bode a s polomerom dĺžky AB. Priesečník polpriamky a kružnice je bod B. Zostrojíme kružnicu k so stredom v bode A a s polomerom dĺžky AC, ďalej kružnicu l so stredom v bode B a s polomerom dĺžky BC. Prienik posledných dvoch spomenutých kružníc je bod C. Vyznačíme hranicu trojuholníka ABC (možnosti: „Úsečka“, „Trojuholník“, „n-uholník“ ). Zhodné trojuholníky považujeme za jedno riešenie.
12
Kedy sa trojuholník so stranami dĺžok AB, BC, AC dá zostrojiť? Čo musí platiť? Zmeňte dĺžky daných úsečiek .
Trojuholník Pomocou ikony Trojuholník
, ktorá sa nachádza v stĺpci Čiary a mnohouholníky,
môžeme ľahko zostrojiť ľubovolný trojuholník. Stačí poklikať po troch bodoch – vrcholoch trojuholníka.
n-uholník Daná ikona n-uholník
sa tiež nachádza v stĺpci Čiary a mnohouholníky a slúži
na zostrojenie ľubovoľného n-uholníka. Opäť stačí vyznačiť jeho vrcholy, musíme však končiť vrcholom, ktorým sme začali. Vyskúšajte to!
13
Zmena vzhľadu (farby, hrúbky, bodkovania) objektov Najprv zostrojíme úsečku AB. Vidíme, že úsečka je neprerušovaná, tenká a modrá. My však chceme, aby bola prerušovaná, hrubá a zelená. Ako to spravíme? Najprv Ukazovateľom vyznačíme útvar, v našom prípade úsečku, ktorého vzhľad chceme zmeniť.
Úsečka
„bliká“.
Potom
Viditeľnosť vyberieme ikonu
v
stĺpci
Farba
a
z palety možností vyberieme vyhovujúcu farbu. Kurzor sa zmenil na štetec, kliknutím na úsečku sa úsečka prefarbí. Analogicky Hrúbka
pracujeme
, Bodkovanie
aj
s ikonami
.
ÚLOHA 1 – Príklad 1 – pokračovanie 1. Pomocné kružnice prefarbite hnedou farbou a čiarkovane. 2. Trojuholník prefarbite načierno a vyznačte ho hrubou čiarou.
Skrytie pomocných útvarov Útvary, ktoré sú pri rysovaní pomocné a nepotrebujeme ich vidieť, skryjeme nasledovne. Zo stĺpca Viditeľnosť vyberieme ikonu Skry/Ukáž
. Presunieme sa
na pracovnú plochu, položíme kurzor myši na útvar, ktorý potrebujeme skryť, klikneme na neho. Po daných krokoch ešte vyberieme ikonu Ukazovateľ a útvar je skrytý. Podobným postupom skryté útvary zviditeľníme
ÚLOHA 2 – Príklad 1 – pokračovanie 3.
Skryte pomocnú polpriamku a kružnice.
14
Stred Spomenutá ikona, ktorú nájdeme v stĺpci Zostrojovanie, slúži na zostrojenie stredu úsečky. Ak sme ju už zvolili, kurzorom sa presunieme na pracovnú plochu smerom k úsečke, ktorej stred zostrojujeme. Keď sa zobrazí nápis „ stred tejto úsečky “, raz klikneme a stred sa zostrojí.
Môžeme zobraziť aj stred medzi dvomi bodmi. Po vybratí ikony Stred sa presunieme na pracovnú plochu k prvému bodu. Objaví sa nápis „ stred medzi týmto bodom “ a raz klikneme. Presunieme sa k druhému bodu, zobrazí sa nápis „ a týmto bodom “, opäť raz klikneme. Po daných krokoch je hľadaný bod zostrojený.
15
Os uhla Pomocou danej ikony, ktorá sa tiež nachádza v stĺpci Zostrojovanie, zostrojíme os ľubovolného uhla. Napr. os uhla ABC zostrojíme, ak po zvolení danej ikony vyznačíme body A, B a C v danom poradí.
PRÍKLAD 2 Trojuholníku ABC opíšte a vpíšte kružnicu.
Na pracovnej ploche zostrojíme trojuholník ABC. Stred S kružnice opísanej trojuholníku je v priesečníku osí jeho strán a prechádza vrcholmi daného trojuholníka. Stačí zostrojiť osi dvoch strán. Presvedčíme sa, že aj os tretej strany prechádza ich priesečníkom. Zostrojiť opísanú kružnicu k už nie je zložité.
16
Stred kružnice vpísanej do trojuholníka je priesečníkom osí jeho vnútorných uhlov. Ich priesečník označíme O. Ešte potrebujeme zostrojiť polomer a dotykové body kružnice. Za tým účelom vedieme z bodu O kolmice na strany trojuholníka. Priesečníky spomínaných kolmíc a strán trojuholníka sú hľadané dotykové body vpísanej kružnice. Danú kružnicu už môžeme zostrojiť. Zostrojte ju!
Komentár Ako napíšeme na pracovnú plochu komentár, napr. zadanie príkladu? Pomocou ikony Komentár
, ktorá sa nachádza v stĺpci Popisovanie. Po zvolení
tejto možnosti klikneme na pracovnú plochu. Objaví sa obdĺžnik s kurzorom podobne ako pri pomenovaní útvarov, tam napíšeme potrebný komentár (Trojuholníku ABC opíšte a vpíšte kružnicu!). Pritom môžeme zmeniť štýl písma (Menu - Nastavenia - Písmo), farbu textu (Viditeľnosť - Farba), pozadia textu (Viditeľnosť - Vyplň farbou), polohu komentára (Ukazovateľ) a text komentára (dvojnásobným kliknutím na komentár).
17
PRÍKLAD 3 V trojuholníku ABC vyznačte ortocentrum V, ťažisko T a stred S kružnice opísanej trojuholníku. Ležia body V, T a S na jednej priamke?
Ak sme už zostrojili hľadané body, ich vzájomnú polohu preveríme, ak v stĺpci Kontrola vlastností vyberieme ikonu Kolineárny
. Kliknutím označíme tri body a na pra-
covnej ploche sa zobrazí text o ich vzájomnej polohe. Spomenuté body S, T, V sú kolineárne, ležia na jednej priamke, ktorá sa nazýva Eulerova priamka.
Podobne používame aj funkcie Rovnobežný Leží na útvare
, Kolmý
, Ekvidištantný
,
.
Zostrojenie úsečky vopred danej dĺžky Problém krokoch:
vyriešime
v nasledovných
1. Zvolenie číselnej hodnoty - zo stĺpca Popisovanie hodnota Objaví
vyberieme
možnosť
Číselná
, klikneme na pracovnú plochu. sa
obdĺžnik,
do
ktorého
vpíšeme
celočíselný údaj, napr 5. 2. Zostrojíme bod A.
18
3. Zostrojenie bodu B v danej vzdialenosti od bodu A – vyberieme ikonu Bod vo vzdialenosti
zo stĺpca Zostrojovanie. Označíme bod A a následne číselnú hodnotu.
Zobrazí sa hľadaný bod, ktorého polohu môžeme meniť. Po kliknutí tlačidlom myši ho pevne umiestnime. Postupnosť krokov je znázornená na obrázkoch.
Číselnú hodnotu, a teda aj veľkosť úsečky meníme nasledovne. Po zvolení možnosti Ukazovateľ sa kurzorom presunieme na pracovnú plochu k číselnej hodnote tak, že sa zobrazí nápis „ číslo “. V tom okamihu dvakrát klikneme. Objaví sa obdĺžnik so šípkami, do ktorého novú hodnotu priamo vpíšeme, alebo ju meníme pomocou šípok v pravej časti okna. Po zmene veľkosti uhla, program automaticky prekreslí dĺžku úsečky.
ÚLOHA 3 Zostrojte obdĺžnik KLMN s dĺžkami strán 9 cm a 6 cm.
ÚLOHA 4 Zostrojte kružnicu. Skryte jej stred a nájdite aspoň tri rôzne konštrukčné postupy, ako ho opäť zostrojiť
19
Cabri Geometria II …NIEČO NAVYŠE Makrokonštrukcia Makrokonštrukcia je pomocná konštrukcia, ktorú si vytvorí užívateľ Cabri sám. Napríklad medzi základným ikonami na konštrukcie sa nenachádza ikona na konštrukciu ťažiska trojuholníka.
Zostrojme si teda (ilustračne) makrokonštrukciu, ktorá pomocou troch vrcholov daného trojuholníka automaticky zostrojí jeho ťažisko.
Na
pracovnej
ploche
zostrojíme ľubovoľný trojuholník a zostrojíme jeho ťažisko.
Pri
konštrukcii
nebudeme
označovať prvky trojuholníka. Ako sa neskôr ukáže, nie je to vhodné.
Keď je konštrukcia hotová, kvôli kontrole správnosti skúsime premiestniť jeden, resp. viac bodov. Ak bude konštrukcia v poriadku (to znamená, že vždy máme zostrojené ťažisko a počas konštrukcie sme nikde nespravili úkonovú alebo inú chybu z nepozornosti).
20
Vyberieme
ikonu
presnejšie
na
Makro,
Počiatočné
útvary.
Potom
klikneme
postupne
na vrcholy trojuholníka. Po kliknutí na každý vrchol body blikajú.
Opäť
otvoríme
Makro
a
menu
vyberieme
možnosť Výsledné útvary.
Klikneme trojuholníka.
na Bod
ťažisko bude
opäť blikať.
21
Znovu zvolíme
otvoríme poslednú
menu
a
možnosť
Definuj makro.
Otvorí sa tabuľka s názvom Definuj makro
1) Do prvého políčka napíšeme Konštrukcia ťažiska 2) Do druhého políčka ťažisko 3) Do políčka Nápoveď pre makro napíšeme postup, ktorý musí užívateľ dodržať, aby sa zostrojilo ťažisko.
22
Poznámka. Vyplnenie tohto políčka nie je povinné. Avšak skúsenosť ukazuje, že človek zabudne, v akom poradí treba zadávať vstupné útvary, ako aj to, k čomu makrokonštrukcia slúži. Stáva sa to najmä pri zložitejších konštrukciách. Naviac, je rozumné pripraviť makro tak, aby ho dokázal úspešne používať aj iný užívateľ- napr. žiak. V každom prípade neurobíme chybu, ak všetko pekne podrobne, stručne a hlavne zrozumiteľne napíšeme. Napr. Klikni na ... prvý vrchol trojuholníka... ... druhý vrchol... ...tretí vrchol... Zostrojí sa ťažisko trojuholníka 4) Po zápise postupu, označíme políčko Ulož do súboru. Inak by sa stane, že makro po vypnutí programu stratíme a na budúce ho budeme musieť opäť konštruovať. 5) V pravom hornom okne je zobrazené veľké čierne písmeno M. Kliknutím na políčko Vymaž sa písmeno vymaže a máme možnosť vytvoriť si vlastnú ikonu pre makro. Farby ikony vyberáme hneď vedľa vľavo. Vytvoríme znak, ktorý bude reprezentovať naše makro.
23
Teraz sme pripravení makro uložiť. Klikneme na možnosť OK. Otvorí sa iná tabuľka s názvom Ulož súbor ako
Najlepšie bude, ak naše makro uložíme do adresára C:/cabri/macros. Adresár nájdeme nasledovne:
1) Klikneme na ikonu Tento počítač 2) potom na Místní disk (C:) (dvakrát za sebou) 3) ďalej na adresár Cabri (dvakrát za sebou) 4) ďalej na adresár Macros (dvakrát za sebou) 5) do názvu súboru napíšeme Konštrukcia ťažiska (ak to tam už nie je) 6) nakoniec necháme Uložiť.
24
Opäť
sme
sa
vrátili do Cabri.
V pravom hornom rohu
je
nápis
Nápoveda.
Klikneme na túto možnosť a dolu sa otvorí väčšie šedé okno.
Zistíme, ako naša makrokonštrukcia funguje! Skúška správnosti nemôže uškodiť.
Kvôli prehľadnosti otvoríme nový (čistý) list a zvolíme si na ploche tri body. Otvoríme menu Makro a posledná z ponúkaných možností je naša konštrukcia. Vyberieme ju, klikneme na body na ploche a automaticky sa zostrojí ťažisko.
25
Makrokonštrukcia je hotová.
Skúste si pripraviť makrokonštrukcie pre zostrojenie a) priesečníka výšok b) kružnice opísanej (resp. vpísanej) danému trojuholníku.
Dôležité upozornenie! Ak vypneme program, po jeho opätovnom spustení sa už makrokonštrukcia v ponuke Makro neobjaví. Je potrebné ju znovu vyvolať z adresára Macros.
Urobíme nasledovne : Klikneme na Súbory –- Otvor a postupujeme krok za krokom
1) Klikneme na ikonu Tento počítač 2) potom na Místní disk (C:) (dvakrát za sebou)
26
3) ďalej na adresár Cabri (dvakrát za sebou) 4) ďalej na adresár Macros (dvakrát za sebou) 5) adresár sa na prvý pohľad zdá byť prázdny. Musíme vybrať vhodnú koncovku zobrazovaných makro – súborov. Každé makro má koncovku *.mac . V dolnom políčku s názvom Súbory typu vyberieme koncovku.
6) Objavia sa všetky makrokonštrukcie, ktoré má program k dispozícii.
27
6) v adresári dvakrát za sebou klikneme na Konštrukcia ťažiska
Program sa „vráti na do pôvodného stavu“ pred pokusom o otvorenie makrokonštrukcie A my nájdeme požadovanú ikonu opäť v menu Makro.
Poznámka. Ako sme si iste všimli, v adresári Macros sa nachádzajú nejaké konštrukcie. Pokiaľ užívateľovi neprekáža cudzojazyčná nápoveda a dokáže sa zorientovať v názvoch týchto makrokonštrukcií, môže používať i tieto pomocné konštrukcie. Odporúčame však, aby sme dôkladne preverili správnosť a použiteľnosť konštrukcie, keďže nevieme presne, aké boli východiskové požiadavky na polohu daných objektov. Platí totiž staré známe: „Dôveruj, ale preveruj“. Možno na ilustráciu poslúži toto upozornenie: V zozname makrokonštrukcií, ktoré má Cabri zabudované v ponuke, je i makrokonštrukcia Trisecta.mac. Ako názov naznačuje, ide o pomocnú konštrukciu na “ trisekovanie uhla“ (orientovaný uhol sa dvomi polpriamkami rozdelí na tri navzájom zhodné uhly). Vieme, že ide o konštrukciu, ktorá nie je euklidovská a teda, voľne povedané, nemožno ju vykonať pomocou takých nástrojov ako sú kružidlo
28
a pravítko. Program Cabri rozdeľuje uhol na základe numerického prepočítania jeho veľkosti. Presnosť, s ktorou počíta, je nám neznáma.
Stopa pohybujúceho sa bodu (útvaru) Ukážeme si, ako možno používať možnosti Cabri pri hľadaní množín bodov danej vlastnosti. Zostrojme si kružnicu k ( O, r ) a bod M, ktorý neleží na k. Na kružnici k pomocou možnosti Bod na útvare zvolíme bod P, zostrojíme úsečku MP a vyznačíme jej stred S. Na akej množine bodov leží bod S, ak sa bod P pohybuje po kružnici k? Určite
už
tušíme,
o kružnicu
rovnoľahlú
že
pôjde k danou
kružnicou k. Stred rovnoľahlosti je bod M a koeficient ½. Ľahko sa o tom presvedčíme, ak začneme pohybovať bodom P. Ešte
si
pomôžeme:
V ponuke
Popisovanie (druhá roletová ponuka zprava)
vyberieme
Stopu
zapni/vypni.
Klikneme (na
na
obrázku
zelenou
je
farbou)
bod
S
vyznačený a prepneme
na Ukazovateľ (modrá šípka).
Opäť
skúsime
pohybovať
bodom P.
29
Vykreslí sa zelenou farbou (farba bodu bola tiež zelená) kružnica. Žiaľ,
s takto
kružnicou
vykreslenou ďalej
nemôžeme
pracovať (zostrojiť priesečníky s nejakou priamkou, určiť jej stred,
…)
a naviac, kružnica
dočasne zmizne, ak klikneme na
rolovaciu
lištu.
Okrem
iného, ak pohybujeme najprv bodom P, a potom pohneme bodom M, vykreslí sa pomerne neprehľadná množina. Z uvedených
dôvodov,
odporúčame
používať túto možnosť programu len na formulovanie hypotéz a vytvorenie intuitívnej predstavy o riešení úlohy. Poznámka. vykresľovanie vyvoláme
Ak
chceme
stopy
bodu
možnosť Stopu
vypnúť S,
opäť
zapni/vypni
a klikneme na bod Naviac, voľba Stopu zapni/vypni umožňuje vykresľovanie stôp viacerých útvarov súčasne. Skúste kliknúť na úsečku PM a následne pohybovať bodom P.
Skúste vykresliť nasledujúce množiny bodov a) Je daná úsečka AB a jej rovnobežka p, na ktorej zvoľte bod C. Zostrojte trojuholník ABC, určte priesečník V jeho výšok (odporúčame zostrojiť ich ako priamky). Akú krivku vykreslí bod V pri pohybe bodu C po priamke p ? b) Je daná kružnica k ( O, r ) a bod M, ktorý leží vo vnútri kruhu určeného kružnicou k. Na kružnici k zvoľte bod P. Zostrojte kružnicu k´ ( S, ?), ktorá sa bude v bode P dotýkať kružnice k a súčasne bude prechádzať bodom M. Akú krivku vykreslí bod S pri pohybe bodu P po kružnici k ? Vyskúšajte premiestniť bod M mimo kruhu k.
30
Animácia Možnosť animácie je taktiež veľmi pôsobivá a často má silný motivačný účinok. Ukážeme na príklade, ako funguje, a čo všetko prináša. Vezmime kvôli názornosti predchádzajúci príklad, kde sme mali danú kružnicu k, bod M a na kružnici bod P. Keďže
nechceme
pohybovať
bodom P po kružnici k manuálne, zvolíme voľbu Animácia
v tej
istej roletovej ponuke. Klikneme na bod tlačidlo
P, podržíme
myšky
a kúsok
potiahneme, kým sa neobjaví „strunka“.
Potom
tlačidlo a bod
uvoľníme
P sa bude sám
pohybovať po kružnici k. Animáciu ľahko zastavíme kliknutím na plochu.
Ak skombinujeme animáciu bodu P s možnosťou stopy bodu S, výsledok bude rovnakývykreslí sa zelená kružnica. Môžeme skúsiť tento príklad. Otvorme a zostrojme
si
čistý
nový,
list
k ( O, r ) ,
kružnicu
na ktorej si zvolíme bod P. V tomto bode
zostrojíme
dotyčnicu
ku kružnici k. Pomocou
t
Stopu
zapni/vypni vyznačíme dotyčnicu t a následne
zapneme
animáciu
pre bod P . Výsledok vidíte vľavo na obrázku. Kliknutím na plochu sa animácia
zastaví
a kliknutím
na rolovaciu lištu zmizne.
31
Posledná možnosť v tejto roletovej ponuke je Paralelná animácia. Podstate
sa
nastavuje
a spúšťa
rovnako ako jednoduchá animácia (viac „struniek“). Rozdiel je len v tom, že na spustenie treba stlačiť na klávesnici Enter.
Zastavenie animácie sa realizuje kliknutím na plochu.
Ukážeme si princíp na jednoduchom príklade. Zostrojíme dve rovnobežné (rôzne)
priamky
p,
q
a zvolíme na nich ľubovoľné body tak, aby platilo P∈ p, Q∈q. Určíme stred S úsečky PQ. Akú krivku vykreslí bod S , ak sa body P, Q
nezávisle
pohybujú
určených
po
priamkach p, q ?
Najprv vyberieme možnosť Stopu zapni/vypni pre bod S, zapneme Paralelnú animáciu pre body P, Q („natiahneme strunky“) a spustíme Enterom. Výsledok je rovnobežná priamka s danými priamkami p, q (os pásu). Poznámka. Využitie animácií vidíme skôr v kinematickej geometrii, než v klasickej školskej matematike .
32
Geometrické miesto bodov Upozornili sme, že v prípade vykreslenej stopy bodu (resp. iného útvaru) máme isté problémy s ďalším využitím týchto objektov pri konštrukcii. Ukážeme si na príklade, ako tento nedostatok čiastočne vyriešiť. Zostrojme na ploche kružnicu k ( O, r ) a zvoľme na nej bod S . Zostrojíme druhú kružnicu m so stredom v bode S , ktorej polomer bude menší než r.
Otvoríme roletovú ponuku s Geometrickým miestom bodov
Klikneme na m (celá kružnica bude zanechávať stopu), a potom na bod S, ktorý sa bude pohybovať po kružnici k. Celá konštrukcia je v réžii programu, zobrazí sa len výsledok. 33
Zostrojená
množina
má
mnohé interaktívne vlastnosti. Skúste zmeniť polohu bodu O, prípadne
dĺžku
polomeru
niektorej z daných kružníc. Množinu vymažeme z plochy rovnakým spôsobom, ako sa vymaže bod, či iný útvar (označíme pomocou modrej šípky a stlačíme Delete)
Dôležité upozornenie ! Záleží na poradí objektov, ktoré označujeme.
Ukážeme na jednoduchom príklade. Zostrojme kružnicu k ( O, r ) a zvoľme na nej dva navzájom rôzne body S, P. Ďalej zostrojme kružnicu m ( S , SP ) . A) Vyberme možnosť miesto
bodov,
Geometrické
kliknime
najprv
na kružnicu m , potom na bod P.
Zostrojí sa množina sústredných kružníc
so
stredom
v bode
S a polomerom SP , pričom bod P „prebehol “ celú kružnicu k. B) Ak vyberieme Geometrické miesto bodov, klikneme najprv na kružnicu m , potom na bod S, zostrojí sa množina kružníc, ktoré prechádzajú (teraz) pevným bodom P a ich stred S „prebehol “ celú kružnicu k.
34
Poznámka. V prípade kreslenia stopy bodu (resp. útvaru) pri možnosti Stopu zapni/vypni a Animácii sme nemohli zostrojiť bod (pomocou možnosti Bod na útvare) na vykreslenej krivke. Tento „nedostatok“ pretrváva i teraz.
Prehrávanie konštrukcie Program Cabri má v ponuke dokáže prehrať už hotovú konštrukciu. Predstavme si, že sme si pred hodinou pripravili zložitejšiu konštrukciu, ktorú napr. z časových dôvodov nie je možné realizovať priamo na hodine. Otvoríme súbor v programe Cabri a v ponuke Edituj zvolíme voľbu Prehraj konštrukciu.
35
Objaví sa menšie okienko s políčkami, kde je šípkami naznačený „smer prehrávania konštrukcie“
(skoro
ako
na videoprehrávači). Klikaním na jednotlivé šípky sa postupne
zobrazujú
jednotlivé konštrukčné kroky v takom poradí, v akom boli realizované.
Poznámka. Osobne sa domnievame, že z doteraz vymenovaných možností programu, práve táto posledná nájde najväčšie uplatnenie vo výučbe.
ZOBRAZENIA
Osová súmernosť Obraz útvaru v osovej súmernosti zostrojíme veľmi pohodlne. Zvoľme na ploche body A, B, C a priamku p. Vyberieme z roletovej ponuky Zobrazenia možnosť Osová súmernosť. Klikneme na bod A, potom na priamku p (os osovej súmernosti). Automaticky sa zostrojí obraz A´.
Skúsme
zostrojiť
obraz
ABC,
pričom
trojuholníka
trojuholník ABC zostrojíme pomocou
možnosti
Trojuholník .
36
Výhoda na
spočíva
vytvorenie
v tom, obrazu
že takto
zostrojeného trojuholníka ABC stačí kliknúť
na
hranicu
trojuholníka
ABC, a potom na priamku p ako určujúci prvok symetrie. Podobne sa dá zostrojiť obraz kružnice,
priamky,
polpriamky,
n-uholníka alebo kužeľosečky. Poznámka. Vždy treba ako prvý označiť útvar, ktorému hľadáme obraz. Program upozorní, aká operácia bude nasledovať. Rozlíšenie medzi vzormi a obrazmi je viditeľné aj podľa toho, že program nepomenuje zostrojené obrazy. Tie treba pomenovať dodatočne ako samostatné objekty.
Symetria Musíme poznamenať, že ide o pomerne nevhodný názov pre zhodné zobrazenie, ktoré je v našich učebniciach ako známe stredová súmernosť. Princípy práce s ikonou pre toto zobrazenie
sú
analogické
ako
v predchádzajúcom prípade.
Samozrejme, zobrazenia
určujúcim je
bod
prvkom –
stred
súmernosti. Na obrázku ide o zelenou farbou vyznačený bod S.
37
Posunutie Zvoľme určujúci prvok zobrazenia – vektor pomocou možnosti Vektor v ponuke Čiary a mnohouholníky. Zostrojme
kružnicu
k ( A, AB ) .
Klikneme na ikonu
Posunutie
v roletovej ponuke Zobrazenia. Ďalej stačí kliknúť na kružnicu k a následne na vektor. Zostrojí sa obraz kružnice.
Otočenie Ako isto vieme, otočenie ako zhodné zobrazenie je jednoznačné určené a) stredom otočenia a veľkosťou orientovaného uhla b) stredom a usporiadanou dvojicou odpovedajúcich si bodov. Žiaľ, túto druhú možnosť program Cabri nepodporuje. Ukážeme
si,
ako
otočiť
bod
pomocou určeného stredu otočenia a zadaného uhla. Na ploche zvolíme bod S, ktorý bude stredom otočenia a ďalší bod A. Pomocou ikony Číselná hodnota zadáme veľkosť uhla otočenia. Nech veľkosť uhla otočenia je 60°.
38
Vyberieme
možnosť
Otočenie, klikneme na bod A, potom na bod S a nakoniec na číslo 60. Zostrojí sa obraz bodu A.
Podobným spôsobom by sme otočili
priamku,
kružnicu,
n- uholník, … . Výhoda
číselného
zadania
uhla otočenia je v tom, že jeho veľkosť možno ľahko zmeniť. Nasledovným spôsobom: Zapneme Ukazovateľ (modrá šípka)
a dvakrát
za sebou
klikneme na číslo 60. Otvorí sa okienko, v ktorom danú hodnotu, buď prepíšeme alebo
zmeníme
pomocou
šípok v pravej časti okna. Po
zmene
veľkosti
uhla,
program automaticky prekreslí všetky
obrazy
útvarov
do aktuálnej pozície.
Rovnoľahlosť Rovnoľahlosť je jedným z podobných zobrazení, ktoré ako vieme, je jednoznačne určené stredom rovnoľahlosti a koeficientom. Myšlienka práce s ikonou rovnoľahlosti v programe Cabri je obdobná ako pri otočení. Opäť elementárny príklad. Zvolíme bod S za stred rovnoľahlosti, Číselnou hodnotou určíme koeficient, napr. nech má hodnotu 2.
39
Obraz
ďalšieho
bodu
A
na ploche určíme cez ikonu Rovnoľahlosť
jednoduchým
klikaním postupne na bod A, potom bod S a na koniec na číslo 2. Iné útvary analogicky. Ako reagujú tieto objekty, keď zmeníte
číselnú
hodnotu
koeficientu? Predstavuje záporná hodnota koeficientu problém ? Skúste zostrojiť obraz kružnice opísanej trojuholníku ABC, ak stred rovnoľahlosti bude priesečník výšok V a za koeficient zvoľte hodnotu ½ (ide o Feuerbachovu kružnicu)
V prípade,
že
požadujeme
neceločíselné
hodnoty
koeficientu rovnoľahlosti, je potrebné
nastaviť
tieto
hodnoty v základnom menu Nastavenia – Nastavenia
Inverzia Zobrazenie kružnicová inverzia je nelineárne konformné zobrazenie v euklidovskej rovine, ktoré nie je súčasťou učebných osnov, a preto si dovolíme vynechať inštruktážne poznámky. V prípade záujmu o teoretické základy odkazujeme na literatúru Šedivý a kol.: Geometria II, SPN Bratislava, 1986.
40
Označenie uhla Táto možnosť slúži na označenie uhla. Nech je daný uhol ∠AVB s ramenami VA, VB. Zapneme
Označenie
uhla,
klikneme na bod A, potom V a nakoniec
na
bod
B.
Objaví sa značka uhla, ktorej veľkosť môžeme zmeniť tak, že
najprv
klikneme
na Ukazovateľ (modrá šípka), potom klikneme na značku uhla, podržíme tlačidlo myšky dolu a potiahneme.
Pevný/Voľný Možnosť Pevný/Voľný slúži k tomu, aby sme dočasne porušili interaktivitu konštrukcií. Niekedy nie je vhodné pohybovať niektorými bodmi útvaru, preto ich zafixujeme pomocou ikony Pevný/Voľný. Predstavme si, že potrebujeme na kružnici k ( S , r ) zvoliť bod X so stabilnou pozíciou. Zostrojíme zvolíme
kružnicu na
pomocou
nej
k
a
bod
X
ikony
Bod
na útvare. Zapneme
Pevný/Voľný
a klikneme na bod X. Na ploche sa objaví ktorým
je
daný
klinec, bod
priklincovaný.
X
Takto
ukotveným bodom nie je možné pohybovať. Vyskúšajte pomocou Ukazovateľa (modrá šípka)! Ak chceme fixáciu odstrániť, opäť zapneme voľbu Pevný/Voľný a klikneme na bod X.
41
ROZMER Roletová ponuka obsahuje ikony, ktoré zisťujú niektoré metrické vlastnosti daných útvarov. Vo všetkých prípadoch, stačí ikonu zapnúť, prejsť myškou na určujúce body daného útvaru a kliknúť. Ikona
Vzdialenosť a dĺžka
slúži na určenie vzdialenosti dvoch bodov, resp. dĺžku úsečky.
Plocha
zmeria plochu n-uholníka, ktorý však musí byť určený pomocou ikony N-uholník. Rovnako dokáže zmerať i obsah kruhu.
Smernica
určí smernicu priamky, ktorá sa vzťahuje na preddefinovanú súradnicovú sústavu
Uhol
odmeria veľkosť uhla
Súradnice v rovine
určí súradnice bodu, rovnicu priamky v rovine, resp. kružnice, vzhľadom k preddefinovanej súradnicovej sústave
Kalkulačka V tejto časti sa naučíme, ako interaktívne používať kalkulačku. Principiálne, kalkulačka pracuje s číselnými údajmi. Výhoda Cabri kalkulačky spočíva v tom, že umožní priamo prenášať dĺžky zostrojených úsečiek (resp. veľkosti uhlov, plošné miery útvarov, …) ako číselné hodnoty z plochy do kalkulačky a následne s nimi pracovať.
42
Ukážeme na príklade.
Na ploche si zvolíme body S, X, M.
Zostrojíme kružnicu k ( S , SX ) a ľubovoľnú
priamku, ktorá prechádza bodom M a pretína kružnicu v bodoch A,B. Chceme zistiť, ako sa zmení hodnota súčinu MA ⋅ MB , ak zmeníme polohu bodu M (resp. polomer SX).
Pomocou ikony Vzdialenosť a dĺžka odmeriame dĺžky úsečiek MA, MB a zapneme možnosť Kalkulačka.
(na obr. má úsečka MA dĺžku 6,66 cm a MB
je dlhá 3,38 cm).
Najprv „prenesieme“
do kalkulačky hodnotu dĺžky MA. Klikneme na číslo 6,66 a v políčku kalkulačky sa objaví písmeno „a“ .
43
Klikneme na znak súčinu. Prenesieme myškou plochu
opäť
na
a klikneme
na číslo 3,38.
Na
kalkulačke
sa
zobrazí a*b.
Klikneme na znak = a kalkulačka vypočíta hodnotu súčinu. Klikneme na výsledné číslo a opäť prejdeme myškou na plochu (počas presunu program zobrazuje ceruzku a obdĺžnik) a opäť klikneme. Na mieste sa objaví nápis : Výsledok: 22,49 cm2 . Tento nápis je v prípade potreby editovateľný – možno ho prepísať ako obyčajný text. V prípade potreby pozrite ako sa pracuje s komentárom.
44
Ak sa rozhodneme zmeniť polohu bodu M, resp. polomer kružnice k, výsledok na ploche sa automaticky prepočíta podľa aktuálnych dĺžok úsečiek MA, MB. Skúste zmeniť polohu
priamky,
ktorá prechádza bodom M bez toho, aby sa zmenila poloha niektorého zo zadaných prvkov!
Hodnota konštantná
súčinu
MA ⋅ MB
(mocnosť
bodu
je M
ku kružnici k).
Ukáž súradnice Voľba Ukáž súradnice je určená k tomu, aby sme na ploche určili súradnicovú sústavu (nie nutne pravouhlú). Klikneme na plochu, objaví sa os x-ová, opäť klikneme na plochu a os x-ová má stabilne určenú pozíciu. Posunieme myšku a objaví sa druhá y-ová os. Ďalším kliknutím sa táto os opäť zafixuje.
45
Zostrojme priamku, pomocou Súradnice a rovnice v roletovej ponuke Rozmer.
Rovnicu tejto priamky určíme (vzhľadom k tejto súradnicovej sústave)
tak,
že
klikneme
na priamku a potom na jednu z osí.
Objaví
sa
rovnica
vo všeobecnom tvare.
Nové súradnice Umožní na ploche určiť ďalšiu súradnicovú sústavu. Zadefinovať novú súradnicovú sústavu môžeme rovnako ako pri ikone Ukáž súradnice. Program dokáže určiť súradnice bodov, rovnice priamok v rôznych sústavách. Na obrázku sú určené súradnice bodu A (priamky) v oboch sústavách, pričom osi súradnicových osí sú vyznačené šedou farbou, rozdiel je v hrúbke čiar.
46
Definuj mriežku Pomocou tejto ikony zobrazíme na ploche mriežku bodov. Ak vyberieme túto ikonu, musíme ešte kliknúť na os predtým zvolenej a zobrazenej súradnicovej sústavy. Objaví sa mriežka bodov.
VYTVÁRANIE APLETOV
Aplety Kapitola je venovaná tvorbe interaktívnych Java apletov, ktoré je možné umiestniť na súkromné internetové stránky. Ich tvorba je jednoduchá a v nasledujúcich riadkoch ju popíšeme na elementárnom príklade.
Predstavme si, že chceme na vlastnú stránku dať aplet, kde budeme demonštrovať vlastnosti priesečníka výšok trojuholníka ABC.
1) Najprv si vytvorme adresár, kde budeme ukladať súbory. Nech je na disku C a má názov WEB. 2) Do adresára nakopírujeme dva zvláštny súbory CabriJava.jar a aplet.htm (oba sú na CD nosiči).
47
3)
V programe
Cabri
zostrojíme trojuholník ABC, jeho výšky, vyznačíme ich priesečník
a esteticky
vyladíme celý obrázok podľa vlastného uváženia.
4)
Súbor
(skúsenosti
pomenujeme ukazujú,
že
podľa možnosti maximálne štyrmi malými písmenami a bez diakritiky). a uložíme pod názvom troj.fig do vopred pripraveného adresára (C:\WEB).
5) V Poznámkovom bloku otvoríme súbor aplet.htm a prepíšeme názov tak, ako je naznačené na nižšie uvedenom obrázku.
6) Pomocou možnosti Ulož ako uložíme tento súbor do adresára WEB s menom troj.htm .
48
7) Aplet je hotový a môžeme ho uviesť na vlastné internetovú stránku. Program Internet Explorer 5.* je schopný otvoriť súbor troj.htm.
49
Aplet má podobné interaktívne vlastnosti ako už spomínané možnosti programu (Animácia, Prehraj konštrukciu - dolná lišta apletu, možnosť priamo pohybovať bodmi – A, B, C,…) Poznámka. Odporúčame ponechať v jednom adresári všetky tri súbory (CabriJava.jar, pôvodný súbor troj.fig , troj.htm). Rozmery apletového okna dokážeme upraviť prepísaním hodnôt pri WIDTH a HEIGHT.
Cabri Geometria II Plus versus Cabri Geometria II Porovnanie programov Program Cabri geometria II a Cabri Geometria II Plus odlíšime na prvý pohľad podľa ikon. Ikona pre Cabri geometriu II Plus verzia 1.3 má v ikone charakteristické červené plus.
Pracovné okno Cabri geometrie II Plus vyzerá nasledovne
Konštrukčné nástroje sú v podstate rovnaké, oproti staršej verzii programu ich umiestnenie do rolovacích okien a práca s nimi sú bez zmeny.
50
Vidíme, že niektoré ikony majú pozmenený vzhľad, nie však funkciu. Najvýraznejšia zmena je pri ikone Skry/Ukáž. Pokiaľ ide grafickú úpravu zostrojených útvarov, novšia verzia ponúka širšiu paletu farieb, pre farbu objektov, vyplnenie farbou a farbu textu.
51
Rozšírené možnosti má označenie uhla
a použitie rôznych
súradnicových systémov (karteziánsky a polárny, pričom umožňuje zvoliť meranie veľkostí uhlov v gradoch a radiánoch)
.
Práca s algebrickým výrazom Oproti staršej verzii je program Cabri geometria II Plus vylepšená o možnosti práce s funkciami f ( x ) a vypočítavaním hodnôt algebrických výrazov. V roletovom okne TEXT a SYMBOL nájdeme nový konštrukčný nástroj Výraz s ikonou . Klikneme na plochu a do vytvoreného políčka napíšeme napr. 2*x+1. Program dokáže vypočítať hodnotu výrazu, ak má zadaný konkrétny číselný údaj, ktorý dosadí za premennú x. Za tým účelom vyberieme možnosť Číselná hodnota (nachádza sa v tej istej roletovej ponuke a priamo nad konštrukčným nástrojom Výraz – pozri str. 18) a zadáme na plochu číslo, napr. 4. Situácia je nasledovná
Hodnotu výrazu
2*x+1
pre x = 4
vypočítame pomocou nástroja Použi výraz,
ktorý je označený ikonou Ikonu nájdeme vo vedľajšej roletovej ponuke
52
Na pracovnej ploche klikneme na výraz 2*x+1 (pri priblížení kurzora k výrazu sa objaví nápis „použi tento výraz “ ) a potom na číslo 4 (pri priblížení kurzora k číslu 4 sa objaví nápis „s týmto číslom pre x “ ). Objaví sa prázdny obdĺžnik, ktorý po kliknutí na plochu bude vyplnený výsledkom , t,j. číslom 9,00 . S číslom 9,00 možno ďalej pracovať ako s iným číselným údajom (obdĺžnik zmizne).
Ak má algebrický výraz viac premenných 2*x+3*y+1, musíme dať každej premennej číselný vstup. Napríklad pomocou Číselná hodnota dáme na plochu dva číselné vstupy, čísla 4 a 5.
Pomocou
napíšeme výraz 2*x+3*y+1. Vyberieme nástroj
, klikneme
na výraz, potom na číslo 4 a na číslo 5. Po ďalšom kliknutí na plochu sa objaví hodnota 24,00. Je dôležité dodržať poradie, v akom sa klikne na jednotlivé čísla. Ak na čísla klikneme v opačnom poradí, vypočíta sa hodnota 23,00, pretože 2.5 + 3.4 + 1 . Odporúčame
dôsledne
sledovať
oznamy, čo vypisuje program pri priblížení sa kurzorom k číslu. Dôležitá poznámka: Zápis výrazu v tvare 2*x+3*y+1 je opodstatnený. Program nereaguje na štandardne zapísaný výraz v tvare 2x+3y+1.
53
Vykresľovanie grafov funkcií V novom pracovnom okne zapneme viditeľnosť súradnicového systému pomocou nástroja
Ukáž súradnice s ikonou
(nájdeme v poslednej roletovej ponuke – pozri str. 45).
Program zobrazí karteziánsku súradnicovú sústavu. Pomocou ikony
vložíme na plochu výraz, napríklad sin ( 2* x ) + 1 + cos ( x ) .
Zapneme ikonu
,
klikneme sa výraz a potom na os x .
Zostrojí sa graf funkcie
y = sin ( 2* x ) + 1 + cos ( x ) .
Graf funkcie môžeme prefarbiť, zmeniť hrúbku a štýl jeho čiary ako pri inom objekte.
Ak pri Ukazovateli (šípka
) dvakrát klikneme na výraz, môžeme ho prepísať, prípadne
doplniť a program automaticky po odkliknutí zmení graf funkcie. V našom prípade sme dopísali sin ( 2* x ) + 1 + cos ( x ) - x a neskôr zafarbili graf na zeleno.
54
Do jedného obrázku je možné vložiť viac funkcií. My sme doplnili výraz tan(3* x) .
55
Názov :
Cabri geometria v školskej matematike II
Autori:
RNDr. Adriana Demová, RNDr. Dušan Vallo, PhD.
Vydavateľ:
Fakulta prírodných vied UKF v Nitre
Schválené:
vedením FPV UKF v Nitre dňa 15. 1. 2008
Rozsah:
55 strán
Náklad:
75 CD nosičov
Druhé doplnené vydanie
Rukopis neprešiel recenzným konaním a nebol jazykovo upravovaný.
ISBN: 978-80-8094-289-2
9 788080 942892
56
