Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Statisztika I. 1. el˝oad´as: A statisztika alapfogalmai
´ L´aszl´ o K´ oczy A.
[email protected]
Keleti K´ aroly Gazdas´ agi Kar – V´ allalkoz´ asmenedzsment Int´ ezet ´ Obudai Egyetem
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
A kurzusr´ol A kurzus c´elja A statisztika I. az adatok felv´etel´evel, f˝ obb jellemz˝oivel foglalkozik. A v´eg´en megismerked¨ unk a statisztikai minta fogalm´aval, felv´etel´evel ´es a mint´ab´ ol az alapsokas´agra val´ o k¨ ovetkeztet´essel. A t´argy kreditpontsz´ama: 3 Heti ´orasz´am: 1 el˝oad´as + 2 gyakorlat A kurzus weboldala: http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Tematika El˝oad´asok f´oli´ai H´azifeladatok R´egi vizsgafeladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Oktat´ok El˝oad´o ´ L´aszl´o (
[email protected]) K´oczy A. Fogad´o´ora: kedd 11:15–11:30, TC212 Gyakorlatvezet˝ok KM: GM: Nagy Viktor (
[email protected]) Mikor ´es milyen probl´em´akban tudunk seg´ıteni 1 Nem ´ ert valamit – megk´erdezni el˝ oad´as k¨ ozben, gyakorlaton 2 H´ azi lead´as – gyakorlaton 3 Egy´ eni tanrend/felmet´es/igazol´as – ´ır´asbeli k´erv´eny el˝oad´as ut´an/fogad´o´or´an 4 Megn´ ezn´e a ZH dolgozat´at – fogad´ o´ or´an 5 TDK-zni szeretne – el˝ ozetes egyeztet´es alapj´an 6 Egy´ eb ´ohaj-s´ohaj – lehet˝ oleg fogad´ o´ or´an
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Jegyzet ´ anos Statisztika I-II. Szerkesztette: Korp´as Altal´ Attil´an´e dr. Nemzeti Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest ´ anos Statisztika P´eldat´ar I-II. Szerkesztette: Altal´ Moln´ar M´at´en´e dr – T´ oth M´artonn´e dr. Nemzeti Tank¨onyvkiad´o, Budapest Hogyan haszn´aljuk? Kurzus = k¨onyv, elej´et˝ ol a v´eg´eig tudni kell ´ Erteni, nem bemagolni ZH-k a k¨onyv ´es a feladatgy˝ ujtem´eny feladatai alapj´an Minden gyakorlat ut´an vegy¨ unk ´at 4-5 t´ıpusp´eld´at.
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
K¨ovetelm´enyek ´es sz´amonk´er´es A hallgat´o 1
R´eszt vesz a gyakorlatokon (min. 70%).
2
Legal´abb 1 zh-t ´ır a szorgalmi id˝ oszakban.
3
A k´et legjobban zh ¨ osszesen 50+ pontos VAGY a p´ot zh 25+ pontos VAGY
4
a p´ot-p´ot zh 25+ pontos.
5
Egy´eni tanrend: Csak az 1. al´ ol felmentve. Ha 1–3. nem teljes¨ ul: letiltva – nincs jav´ıt´as Ha 1–3. teljes¨ ul, 4. nem: megtagadva Ha ezut´an 5. sem teljes¨ ul: letiltva Ha 5. teljes¨ ul: al´a´ır´as.
Ha 1–4. teljes¨ ul: al´a´ır´as.
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
´ ekel´es Ert´ A hallgat´o ponteredm´enye = A k´et legjobb ZH pontsz´am´anak ¨ osszege, VAGY A p´ot-zh pontsz´am´anak k´etszerese, VAGY A p´ot-p´ot-zh pontsz´am´anak k´etszerese 0–49 50–62 63–74 75–85 86–100
el´egtelen el´egs´eges k¨ozepes j´o jeles
(1) (2) (3) (4) (5)
Statisztika TDK, szakdolgozat, tudom´ anyos kutat´ as pluszpontot ´ erhet.
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Mibe ker¨ ul egy ingatlan? Az att´ol f¨ ugg... T´ıpus, m´eret, szob´ak sz´ama, elhelyezked´es, f˝ ut´es t´ıpusa, emelet, terasz, lift, extr´ak... Statisztika A val´os´ag t¨om¨or, sz´amszer˝ u jellemz´es´ere szolg´al´o tudom´anyos m´odszertan, illetve gyakorlati tev´ekenys´eg.
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
A statisztika fajt´ai Statisztika, mint gyakorlati tev´ekenys´eg A t¨omeges jelens´egek egyedeire vonatkoz´ o inform´aci´ok gy˝ ujt´ese, feldolgoz´asa, elemz´ese, a vizsg´alt jelens´eg t¨ om¨ or sz´amszer˝ u jellemz´ese.
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
A statisztika fajt´ai
eladott budai k´etszob´as lak´asok sz´ama? VIII. ker¨ uleti n´egyzetm´eter´ar? Le´ır´o statisztika: Inform´aci´ ok ¨ osszegy˝ ujt´ese, ¨ osszegz´ese, rendszerez´ese Statisztikai k¨ovetkeztet´es: Sz˝ ukebb csoport megfigyel´es´eb˝ol k¨ovetkeztet´es az eg´eszre eladott lak´asok ´atlag´ara → ´atlagos ´ert´ek → mennyit k´erhetek? I. f´el´evi ´arak → ´erdemes most eladni? meg´eri-e elad´as el˝ ott ablakot cser´elni?
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Sokas´ag
Statisztikai sokas´ag A megfigyel´es t´argy´at k´epez˝ o egyedek (pl. ingatlanok) ¨osszess´ege, halmaza. Az egyedeket a sokas´ag egys´egeinek nevezz¨ uk.
A sokas´ag lehet
´all´ o vagy mozg´ o
diszkr´et lakoss´ag l´atogat´ ok
vagy
folytonos hitel´allom´any g´azfogyaszt´as
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
A statisztikai ism´erv Statisztikai ism´erv A statisztikai sokas´ag egyedeit jellemz˝ o tulajdons´ ag. Az ism´erv lehets´eges kimenetelei az ism´ervv´altozatok. alternat´ıv K´etf´ele ´ert´eket vehet fel. Pl f´erfi/n˝ o. k¨ oz¨ os A sokas´ag minden tagj´ara jellemz˝ o megk¨ ul¨ onb¨ oztet˝ o a sokas´ag tagjait megk¨ ul¨ onb¨ ozteti egym´ast´ol id˝ obeli id˝o(szako)t jelz˝ o ism´erv ter¨ uleti min˝ os´ egi sz´amszer˝ uen nem m´erhet˝ o tulajdons´ag mennyis´ egi sz´amszer˝ uen m´erhet˝ o/megsz´aml´alhat´o tulajdons´ag ⇒ ism´erv´ert´ekek
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Ism´ervek fajt´ai
C´ım – ter¨ uleti ism´erv (mindig min˝ os´egi) T´ıpus – min˝os´egi, megk¨ ul¨ onb¨ oztet˝ o ism´erv Szob´ak – mennyis´egi ism´erv Nm – mennyis´egi ism´erv Emelet, ´allapot, kil´at´as, fekv´es – min˝ os´egi ism´erv Erk´ely, lift – alternat´ıv ism´erv Mi´ota elad´o, mikor ´ep¨ ult – id˝ obeli ism´erv
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
A statisztikai m´er´es, adat ´es mutat´osz´am M´er´es Sz´amok szab´alyok szerinti hozz´arendel´ese jelens´egekhez, illetve tulajdons´agaikhoz. 4-f´ele m´er´esi szint, ill. sk´ala n´ evleges Sz´amok k¨otetlen hozz´arendel´ese. Rendsz´am, irsz. C´ımke! sorrendi Rangsor szerinti hozz´arendel´es. ¨ enyes 0. K¨ k¨ ul¨ onbs´ egi Onk´ ul¨ onbs´eg sz´amolhat´ o. (h˝om´ers´eklet) ar´ anysk´ ala Val´odi 0. Ar´any is sz´amolhat´ o. (hossz´ us´ag, j¨ ovedelem, ..) A statisztikai adat Sokas´ag elemeinek sz´ama v. m´asf´ele jellemz˝ oje, m´er´esi eredm´enye. alap-, vagy lesz´armaztatott adatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Adatgy˝ujt´es
elfogadható pontosság teljes k¨or˝ u v. r´eszleges Reprezentat´ıv Monogr´afia
gyorsaság
egy´eni k´erd˝o´ıv v. lajstrom
gazdaságosság
onsz´aml´al´as v. kik´erdez´es ¨
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Hiba Adatfeldolgoz´as, adatk¨ ozl´es sor´an, v. mintav´etelben ˆ , ahol A = val´ ˆ = m´ert adat Abszol´ ut hiba a = A − A os´agos, A ˆ ± ˆa. Abszol´ ut hibakorl´at (ˆa). A ∈ A Relat´ıv hiba α =
a A
Relat´ıv hibakorl´at: α ˆ=
ˆ a ˆ. A
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Statisztikai csoportos´ıt´as Csoportos´ıt´as A sokas´ag ´atfed´esmentes ´es teljes feloszt´asa egy megk¨ ul¨onb¨oztet˝o ism´erv szerint. Csoportos´ıt´o sor Oszt´aly Egys´egek sz´ama C1 f1 C2 f2 .. .. . . Ci .. .
fi .. .
Ck ¨ Osszesen
fk N
A csoportos´ıt´ o sor lehet min˝ os´egi mennyis´egi ter¨ uleti id˝ osor kombinat´ıv
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
¨ Osszehasonl´ ıt´as A csoportos´ıt´as K´et, vagy t¨obb statisztikai adat viszony´ıt´asa. ¨ Sorba rendezve: Osszehasonl´ ıt´ o sor K¨ ul¨onb¨oz˝o id˝opontok: id˝ osor Ter¨ uleti alapon: ¨osszehasonl´ıt´ o ter¨ uleti sor
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Viszonysz´amok
Viszonysz´am K´et, logikai kapcsolatban ´all´ o statisztikai adat h´anyadosa. Azonos fajta adatokb´ ol sz´amolva Megoszl´asi: r´eszsokas´agok ar´anya az eg´eszhez Koordin´aci´ os: r´eszsokas´agok ar´anya egym´ashoz Dinamikus: k´et id˝ osza/id˝ opont adatainak h´anyadosa
K¨ ul¨onb¨oz˝o fajta, m´ert´ekegys´eg˝ u adatokb´ ol sz´amolva intenzit´asi (telefon/1000 lak´as)
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
´ Atlagok ´ Atlagok Azonos fajta adatok t¨om¨ or jellemz´es´ere haszn´aljuk. ´ Atlagoland´ o ´ert´ekek: X1 , X2 ,P X3 , ..., XN . N X ¯ Sz´amtani: X = i=1 i S´ ulyozott sz´amtani:
¯ = X
Harmonikus:
¯h = X
M´ertani: N´egyzetes:
PkN i=1 fi Xi P k i=1 fi N P N 1 i=1 Xi
qQ ¯g = N N Xi X q PNi=1 2 i=1 Xi ¯q = X N
¯h ≤ X ¯g ≤ X ¯ ≤X ¯q ≤ Xmax Xmin ≤ X
= = =
Pk
i=1 fi fi i=1 Xi Pk i=1 fi
Pk
qQ k
rP
k
fi i=1 Xi
fi Xi2 i=1 fi
i=1 P k
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Ism´erv szerinti rendez´es
Hogyan rendszerezz¨unk ennyi lak´ast? Min˝os´egi: c´ım, emelet, komfort, fekv´es Mennyis´egi:
diszkr´et: szob´ak sz´ama v´eges, v megsz´aml´alhat´oan v´egtelen ´ert´eket vehet fel folytonos: alapter¨ ulet, ´ar, rezsi, g´azfogyaszt´as b´armilyen ´ert´eket felvehet: egy 54˜ nm-es lak´as lehet 53,78, vagy 54,003˜ nm-es, b´armi 53,5 ´es 54.5 k¨ oz¨ott.
(a pontoss´ ag kedv´ e´ ert: minden racion´ alis sz´ am (a tizedest¨ orttel fel´ırhat´ ok is ide tartoznak) megsz´ aml´ alhat´ o, a gond az irracion´ alis sz´ amokkal van, pl ha a lak´ as k¨ or alapter¨ ulet˝ u.)
Rangsor
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Gyakoris´agi sorok
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Gyakoris´agi sorok Csoportos´ıt´o sor A sokas´ag egys´egeinek mennyis´egi ism´erv szerinti oszt´alyoz´asa. HA az ism´ervv´altozatok sz´ama kicsi, 1-1 ism´ervv´altozat szerint. HA nagy, t¨obb ism´erv´ert´eket magukba foglal´ o intervallumok, u ´n. oszt´alyk¨oz¨ok szerint. fi N)
Gyakoris´ag (fi )
Relat´ıv gyakoris´ag (gi =
Az egy-egy csoportba/oszt´alyk¨ozbe tartoz´ o egys´egek sz´ama.
Az egy csoportba/oszt´alyk¨ozbe tartoz´ o egys´egek (sz´azal´ekos) r´eszesed´ese.
Ha az oszt´alyok 1 ism´erv´ert´ekb˝ ol ´allnak, (gyakoris´agi) eloszl´as, oszt´alyk¨oz¨ok eset´en (gyakoris´agi) megoszl´as.
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Gyakoris´agi sorok ´altal´anos s´em´aja Ism´erv´ert´ek Xi X1 X2 .. .
Gyakoris´agRelat´ıv gyakoris´ag fi gi f1 g 1 f2 g 2 .. .
Xi .. .
fi gi .. .
fk gk Xk ¨ Osszesen N1 Gyakoris´agRelat´ıv gyakoris´ag Az oszt´alyk¨oz¨ok Als´o hat´ara Fels˝o hat´ara fi gi X1 X1 f1 g 1 X2 f2 g 2 X2 .. .. .... . . .. Xi .
Xi .
fi gi ..
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Oszt´alyk¨oz¨ok Az oszt´alyk¨oz¨ok meghat´aroz´asa Minden ism´erv´ert´ek pontosan 1 oszt´alyba tartozzon Sz´amuk a legkisebb k, melyre 2k > N Hosszuk h =
Xmax −Xmin k
Nagy Xmax − Xmin k¨ ul¨ onbs´eg, egyenetlen eloszl´as eset´en nem egyforma oszt´alyk¨ oz¨ ok.
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Kumulat´ıv gyakoris´ag
Kumulat´ıv gyakoris´ag (fi 0 ) A fels˝o ´ert´ekhat´arnak megfelel˝ o, vagy kisebb ism´erv´ert´ekek el˝ofordul´as´anak sz´ama. Kumulat´ıv relat´ıv gyakoris´ag (gi0 ) A fels˝o ´ert´ekhat´arnak megfelel˝ o, vagy kisebb ism´erv´ert´ekek el˝ofordul´as´anak ar´anya. Lefel´e kumulat´ıv (relat´ıv) gyakoris´ag (fi 00 (gi00 )) Az als´o ´ert´ekhat´arnak megfelel˝ o, vagy nagyobb ism´erv´ert´ekek el˝ofordul´as´anak sz´ama (ar´anya).
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
´ ek¨osszegsorok Ert´
´ ek¨osszegsor Ert´ A mennyis´eg ism´erv alapj´an kialak´ıtott oszt´alyokhoz az odatartoz´o egys´egek ism´erv´ert´ekeinek ¨ osszeg´et (Si ) rendeli. P A sokas´ag teljes ´ert´ek¨osszege S = ki=1 fi · Xi . Oszt´alyk¨oz¨os gyakoris´ag eset´en. . . a t´enyleges ´ert´ek¨osszeg csak az eloszl´as ismeret´eben hat´arozhat´o meg. egy´ebk´ent az oszt´alyk¨ oz´eps˝ ob˝ ol (Xi =
x i +x i 2 )
becs¨ ulj¨ uk.
A relat´ıv ´ert´ek¨osszeg az a megoszl´asi viszonysz´am, ami az oszt´alyok ´ert´ek¨osszeg´et (Si ) a teljes ´ert´ek¨ osszeghez (S) viszony´ıtja.
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Grafikus ´abr´azol´as: Defin´ıci´ok Hisztogram H´ezagmentesen illesztett t´eglalapokkal szeml´eltet. Egyenl˝o oszt´alyk¨oz¨ ok eset´en ter¨ ulet¨ uk ar´anyos a relat´ıv gyakoris´aggal. K¨ ul¨onb¨oz˝o oszt´alyk¨ ozhossz´ us´agok eset´en magass´ aguk az fi egys´egnyi oszt´alyk¨ ozhosszra jut´ o gyakoris´ag ( hi , vagy gi ur˝ us´eghisztogram. hi ) ⇒ s˝ Gyakoris´agi poligon Az oszt´alyk¨ozepekn´el felm´ert gyakoris´agok pontjait egyenes szakaszokkal ¨osszek¨ot˝o vonaldiagram.
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Gyakoris´agi sorok grafikus ´abr´azol´asa
Oszt´alyok: bot-´abra
Oszt´alyk¨ oz¨ ok: hisztogramgyakoris´agi poligon
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Helyzetmutat´ok: M´odusz M´odusz (Mo) A leggyakoribb elem a sokas´agban – tipikus ´ert´ek Szimmetrikus a megoszl´as: mod´alis oszt´alyk¨oz k¨ozepe. Am´ ugy Mo = mo +
k1 h k1 + k2
mo: a mod. oszt´alyk¨ oz als´ o hat´ara k1 (k2 ): a mod. ´es megel˝ oz˝ o (k¨ovet˝o) oszt´alyk¨oz gyakoris´aga k¨ ul¨onbs´ege h: a mod´alis oszt´alyk¨ oz hossza.
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Medi´an Medi´an (Me) Ugyanannyi kisebb ´es nagyobb ´ert´ek.
A Me minimaliz´alja a P= N i=1 |Xi − A|-t Ha az elemsz´am p´aratlan a medi´an erv´ert´ek. az N+1 2 -edik ism´ N Ha p´aros, az 2 ´es N2 + 1-edik ism´erv´ert´ekek ´atlaga
Oszt´alyk¨oz¨os gyakoris´ag eset´en az i-edik oszt´alyk¨oz tartalmazza, 0 ha fi−1 ≤ N2 ≤ fi 0
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
´ Atlag
´ Atlag (X ) Az ism´erv´ert´ekek ¨osszeg´enek ´es a sokas´ag elemsz´am´anak h´anyadosa; az ism´erv´ert´ekek sz´amtani ´atlaga. X =
PN
i=1
Xi
N
Gyakoris´agi sor eset´en s´ ulyozott ´atlag X =
PN i=1 fi Xi P N i=1 fi
Megoszl´ asb´ol becs¨ ult ´ert´ek, s´ ulyozott harmonikus ´atlag: P X =
N i=1
Si
Si i=1 Xi
PN
(Xi az oszt´alyk¨ oz´ep, Si az i-edik ´ert´ek¨osszeg.)
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Kvantilisek q-ad rend˝ u, vagy q-adik kvantilis (Qq ) Az ism´erv´ert´ekek rangsor´at q : (1 − q) ar´anyban oszt´o ism´erv´ert´ek 0 Qq = Xi , ha fi−1 ≤ N · q ≤ fi 0 Gyakori kvantilisek: o tercilis), Q 2 = T2 (fels˝o tercilis) Tercilisek: Q 1 = T1 (als´ 3 3 Kvartilisek: Q 1 = Q1 (als´ o kvartilis), Q 2 = Me (medi´an), 4 4 Q 3 = T2 (fels˝o kvartilis) 4 Kvintilisek: Q i = Ki 5 Decilisek: Q i = Di 10 Percentilisek: Q i = Pi 100
Q j meghat´aroz´asa, mint a medi´an´e: k Rangsorb´ h ol kiindulva i m = kj · (N + 1)
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Sz´or´od´as
Sz´or´od´as Azonos fajta sz´amszer˝ u adatok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ os´ege. L´eteznek abszol´ ut ´es relat´ıv mutat´ oi. Gyakran haszn´alt m´er˝osz´amok: a sz´or´od´as terjedelme az ´atlagos elt´er´es sz´or´as ´atlagos k¨ ul¨onbs´eg relat´ıv sz´or´as
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
A sz´or´od´as terjedelme
Sz´or´od´as terjedelme (R) Az el˝ofordul´o legnagyobb ´es legkisebb ism´erv´ert´ek k¨ ul¨onbs´ege: R = Xmax − Xmin .
Interkvantilis terjedelemmutat´ ok A k´et sz´els˝o kvantilis k¨ ul¨ onbs´ege. Pl. D9 − D1 .
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
´ Atlagos elt´er´es
´ Atlagos elt´er´es (δ) Az ´ert´ekek sz´amtani ´atlagt´ ol vett abszol´ ut elt´er´es´enek ´atlaga. Ha di = Xi − X , PN PN |di | i=1 Xi − X δ= = i=1 , N N illetve
Pk δ=
i=1 fi Xi − Pk i=1 fi
X
Pk =
i=1 P k
fi |di |
i=1 fi
.
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Sz´or´as Sz´or´as (σ) Az ´ert´ekek sz´amtani ´atlagt´ ol vett elt´er´es´enek n´egyzetes ´atlaga. Ha dr i = Xi − X , q PN PN 2 2 i=1 (Xi −X ) i=1 di σ= = , illetve N N rP r P 2 k k 2 i=1 fi (Xi −X ) i=1 fi di Pk P σ= = . k i=1 fi
i=1 fi
A sz´or´asn´egyzet (σ 2 ) m´as n´even variancia. Elt´er´es-n´egyzet¨osszeg: 2 2 P PN SS = N i=1 Xi − X , illetve SS = i=1 fi Xi − X . Relat´ıv sz´or´as V =
σ X
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Sz´or´as tulajdons´agai
δ ≤ σ. σXi +A = σXi σB·Xi = |B| · σB·Xi q 2 2 σ = Xq − X
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
´ Atlagos k¨ul¨onbs´eg
´ Atlagos k¨ ul¨onbs´eg vagy Gini-f´ele sz´ or´ od´asi m´er˝ osz´am (G ) Az ism´erv´ert´ekek egym´ast´ ol sz´am´ıtott abszol´ ut k¨ ul¨onbs´egeinek sz´amtani ´atlaga.
PN PN G=
i=1
j=1 |Xi N2
− Xj |
Pk illetve G =
i=1
Pk
j=1 fi fj N2
· |Xi − Xj |
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Az aszimmetria ´es m´er˝osz´amai bal oldali aszimmetria Mo < Me < X Q3 − Me > Me − Q1 A>0 F >0
szimmetrikus eloszl´as Mo = Me = X Q3 − Me = Me − Q1 A=0 F =0
Pearson-f´ele mutat´o A sz´amtani ´atlag ´es a m´ odusz viszony´an alapul:
jobb oldali aszimmetria Mo > Me > X Q3 − Me < Me − Q1 A<0 F <0
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Koncentr´aci´o Koncentr´aci´o A sokas´aghoz tartoz´o teljes ´ert´ek¨ osszeg jelent˝ os r´esze kev´es ´ aban: t¨ egys´egre ¨osszpontosul. (Altal´ om¨ or¨ ul´es, ¨ osszpontosul´as) A relat´ıv gyakoris´agok (gi ) ´es relat´ıv ´ert´ek¨ osszegek (Zi ) o¨sszehasonl´ıt´as´aval mutathat´ o ki. Lorenz-g¨orbe kumul´alt relat´ıv ´ert´ek¨osszeg a kum. gyakoris´agok f¨ uggv´eny´eben. Koncentr´aci´os egy¨ utthat´ o (K ) koncentr´aci´os ter¨ ulet ar´anya az G ´atl´ o alatti ter¨ ulethez. K = 2X .
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Id˝osorok Id˝osor (Y1 , Y2 , . . . , Yt , . . . , Yn ) T´arsadalmi/gazdas´agi jelens´eg egyenl˝ o id˝ ok¨ oz¨ onk´ent m´ert ´ert´ekei. ´allapotid˝osor, v. : ´all´ o sokas´agok id˝ obeli v´altoz´as´at mutatja; ´allapotfelv´etelek eredm´enye. tartamid˝osor: mozg´ o sokas´agok id˝ obeli v´altoz´as´at mutatja; id˝otartam folyam´an bek¨ ovetkezett esem´enyek. Dinamikus viszonysz´amok B´azisviszonysz´am bt = YYbt bt = `b+1 · `b+2 · . . . `t = Q t i=b+1 `i
L´ancviszonysz´am t `t = YYt−1 `t =
bt bt−1
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Id˝osorok grafikus ´abr´azol´asa
Vonaldiagrammal, a v´ızszintes tengelyen az id˝ oszakok, a f¨ ugg˝oleges tengelyen az id˝osor adatai.
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
´ Id˝osorok elemz´ese: Atlagos ´ert´ekek
Tartamid˝osorok Az adatok ¨osszegezhet˝ ok. Pn Yt Y = t=1 n A jelens´eg egy id˝oszakra jut´o ´atlagos ´ert´eke. (Pl. egy weboldal ´atlagos l´atogatotts´aga)
´ Allapotid˝ osorok Az ¨ osszegz´esnek nincs ´ertelme: kronologikus ´atlag
Yk =
Y1 +Y2 2
+ ··· + n−1
Y1 2
Pn−1
Yk =
+
Yn−1 +Yn 2
Yt + n−1 t=2
Egyfajta s´ ulyozott ´atlag.
Yn 2
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
´ Id˝osorok elemz´ese: Atlagos v´altoz´as vizsg´alata Fejl˝od´es ´atlagos m´ert´eke A bek¨ovetkezett ´atlagos abszol´ ut———– abszol´ ut nomin´alis v´altoz´as
d=
Yn − Y1 (Y2 − Y1 ) + (Y3 − Y2 ) + · · · + (Yn − Yn−1 ) = n−1 n−1
Fejl˝od´es ´atlagos u ¨teme A bek¨ovetkezett ´atlagos relat´ıv v´altoz´as
p ` = n−1 `2 · `3 · · · · · `n =
v u n uY n−1 t `t = t=2
r n−1
Yn Y1
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
1/2. feladat (r´eszlet) N´eh´any sokas´ag a Az 1994-ben Magyarorsz´agon kiadott k¨ onyvek ¨osszess´ege. Term´eszetes az egys´eg (k¨ otet), ¨ osszegz´es, teh´at diszkr´et, mozg´o. b Az iskolai k¨onyvt´arak k¨ onyv´allom´anya 1994. janu´ar 5.-´en. Term´eszetes az egys´eg (k¨ otet), pillanatfelv´etel, teh´at diszkr´et, ´all´o. ¨ c Uzembe helyezett beruh´az´asok nagys´aga 1994-ben Forintban, vagy eur´ oban? Nincs term´eszetes egys´eg, ¨osszegz´es, teh´at folytonos, mozg´ o. Nevezz¨ uk meg a sokas´agok t´ıpus´at!
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
1/5. feladat A haz´ankba ´erkez˝o turist´ak k¨ oz¨ ul legt¨ obben Rom´ani´ab´ol (5498 ezer f˝o), N´emetorsz´agb´ ol (2838 ezer f˝ o) ´es Jugoszl´avia ut´od´allamaib´ol (2585 ezer f˝ o) ´erkeztek 1992-ben. Ismerj¨ uk ´ ab´ol 151 ezer tov´abb´a, hogy Eur´op´ab´ ol ¨ osszesen 16688 ezer f˝ o, Azsi´ f˝o, Afrik´ab´ol 20 ezer f˝ o, Amerik´ab´ ol 304 ezer f˝ o, Ausztr´ali´ab´ol ´es ´ ani´ab´ol pedig 25 ezer turista ´erkezett. Oce´ Rendezz¨ uk az adatokat statisztikai sorokba! Ter¨ ulet Rom´ania N´emetorsz´ag volt Jugoszl´avia egy´eb Eur´opa ´ Azsia Afrika Amerika ´ ania Ausztr´alia ´es Oce´
ezer f˝ o 5498 2838 2585 5767 151 20 304 25
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
1/7. feladat
´ert´ek Xi 6 16 20
s´ uly fi 6 3 1
a) Sz´am´ıtsuk ki a s´ ulyozott sz´amtani, harmonikus, m´ertani ´es n´egyzetes ´atlag´at! ´ b) Allap´ ıtsuk meg az ´atlagok nagys´agrendj´et! P c) Hat´arozzuk meg a fi (Xi − A)2 kifejez´es ´ert´ekeit a k¨ ovetkez˝ o A ´ert´ekek mellett: 5, ¯! 6, 8, ´es X
S´ ulyozott sz´amtani k¨oz´ep: P k
i=1 P k
fi Xi
i=1 fi
=
6×6+16×3+20×1 6+3+1
=
104 10
= 10, 4
Szorzat ¨osszege 6= ¨osszeg szorzata!!! P S´ ulyozott harmonikus k¨ oz´ep:
k i=1 fi fi i=1 Xi
Pk
=
6+3+1 6 3 1 + 16 + 20 6
=
10 1,2375
= 8, 08.
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
1/7. feladat - a) folytat´as + b) S´ ulyozott p: qQ m´ertani k¨oz´e√ Pk √ 6+3+1 f f k i i=1 i 66 × 163 × 201 = 10 3822059520 = 9, 08. i=1 Xi = S´ n´egyzetes k¨oz´ep: rulyozott q q Pk 2 62 ×6+162 ×3+202 ×1 1384 i=1 fi Xi P = = k 6+3+1 10 = 11, 76. i=1 fi
Sorrend: harmonikus < m´ertani < sz´amtani < n´egyzetes.
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
1/7. feladat c) fi (Xi − A)2 = 6 × (6 − 5)2 + 3 × (16 − 5)2 + 1 × (20 − 5)2 = 6 × 1 + 3 × 121 + 1 × 225 = 599.
P
Ugyanez A = 6, 8 ´es 10, 4-re sz´amolva 502, 368, ´es 312,8: fi (Xi − A)2 = 6 × (6 − 6)2 + 3 × (16 − 6)2 + 1 × (20 − 6)2 = 6 × 0 + 3 × 100 + 1 × 196 = 502. P
fi (Xi − A)2 = 6 × (6 − 8)2 + 3 × (16 − 8)2 + 1 × (20 − 8)2 = 6 × 4 + 3 × 64 + 1 × 144 = 368. P
fi (Xi −A)2 = 6×(6−10, 4)2 +3×(16−10, 4)2 +1×(20−10, 4)2 = 6 × 19, 36 + 3 × 31, 36 + 1 × 92, 16 = 312, 8. P
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
2. Feladat/3. Medi´an, ´atlag
A medi´ant tartalmaz´o oszt´alyk¨ oz ahol el´erj¨ uk a elemet: 31-50. Medi´an Me = me +
(S´ ulyozott) ´atlag X = 46, 86.
N 0 −fme−1 2 fme
PN i=1 fi Xi P N i=1 fi
=
h = 30 +
35 −9 2
12
35+1 2
= 18.
20 = 44, 2
9x20+12x40+7x60+7x80 9+12+7+7
=
1640 35
=
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
2. Feladat/4. Kvantilisek (Kvadrilisek)
Als´o kvartilis ( kj = 41 ): 0 = f00 < kj N = 14 35 = 8.75 < f10 = 9 Q 1 = a1 +
N 0 −f1−1 4 f1
h =0+
35 −0 4
9
20 = 19, 44
Fels˝o kvartilis ( kj = 34 ): 21 = f20 < kj N = 34 35 = 26, 25 < f30 = 28 Q 3 = a1 +
3N −f20 4 f3
h = 50 +
3x35 −21 4
7
20 = 65
Id˝ obeli elemz´ es
Feladatok
Bevezet˝ o
Mi a statisztika?
M´ er´ es
Feldolgoz´ as
Adatok rendez´ ese
Adatok jellemz´ ese
Id˝ obeli elemz´ es
2. Feladat/5. Sz´or´as, aszimmetria
rP Sz´or´as σ = q
k i=1 fi
(Xi −X )
Pk
i=1 fi 2
2
=
9(20−46,86) +···+7(80−46,86)2 9+···+7
q = 2039 35 = 7, 63.
X −Mo = 46,86−37,5 = 1, 23 σ 7,63 (65−44,2)−(44,2−19,44) 3 −Me)−(Me−Q1 ) F = (Q (Q3 −Me)+(Me−Q1 ) = (65−44,2)+(44,2−19,44) 20,8−24,76 3,96 20,8+24,76 = − 45,56 = −0, 0869
Pearson-f´ele mutat´o A = F-mutat´o
=
Feladatok
