BANK SOAL METODE KOMPUTASI

BANK SOAL METODE KOMPUTASI

2006

iv

DAFTAR ISI

Halaman Bio Data Singkat Penulis ……………………………………………………………..

i

Kata Pengantar …………………………………………………………………………

iii

Daftar Isi …………………………………………………………………………………

iv

Pengantar ............................................................................................................

1

Kesalahan Bilangan Pendekatan .........................................................................

6

Akar-akar Persamaan Tidak Linier ………………………………..........…………..

13

Metode Faktorisasi Persamaan Polinomial …………………....….…….................

34

Persamaan Linier Serentak ……………………………………………………………

49

Persamaan Tidak Linier Serentak (PTLS) .…………….……...…….….................

58

Integrasi Numerik …………………………………...……….…..…….………...........

74

Diferensiasi Numerik …………………………………………………………………..

85

Daftar Pustaka …………………………………………………………….……………

v

BANK SOAL METODE KOMPUTASI PENGANTAR

1.

Perlihatkan perbedaan perhitungan analitik dan numerik pada kasus Terjun

Payung (Falling Parachute) !

a.

Perhitungan Analitik

F = m .a → a =

F m

FU + FD m dv dv FU + FD mg − cv a= → = = dt dt m m F = FU + FD → a =

Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

2 Dimana : FD = mg → gaya ke bawah ( gravitasi ) FU = −cv → gaya ke atas

Dari manipulasi rumus di atas, akan diperoleh persamaan matematika sebagai berikut :  c  − t  dv c gm  = g − v → v (t) = 1− e  m   dt m c  

Dengan parameter massa

( c ) = 12, 50

coefficient)

kg , det

( m ) = 68,10 kg , konstanta

koefisien hambat (drag

gravitasi

( g ) = 9, 80

m det 2

dan

∆t = 2 det . Dari iterasi yang dilakukan diperoleh data sebagai berikut :

Iterasi ke-

t

e(t)

v(t)

1 2 3 4 5 6 7 8 … 44 45 46 47 48 49 50 51

0 2 4 6 8 10 12 14 … 86 88 90 92 94 96 98 100

0.00000 0.30726 0.52012 0.66757 0.76971 0.84047 0.88949 0.92345 … 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.00000 16.40498 27.76929 35.64175 41.09528 44.87314 47.49019 49.30312 … 53.39039 53.39039 53.39040 53.39040 53.39040 53.39040 53.39040 53.39040


3 Tampak pada tabel di atas bahwa v ( t ) akan tetap (tidak berubah) pada

t =∞

dengan

v ( ∞ ) = 53, 39

m det

sedang

untuk

v ( t ) = 53, 39040

m det

diperoleh pada t = 90 .

b.

Perhitungan Numerik Digunakan pendekatan Finite Divided Difference dengan persamaan matematika sebagai berikut :

dv ∆v v ( t i + 1 ) − v ( t i ) ≅ = dt ∆t t i +1 − t i ⇓ v ( t i +1 ) − v ( t i ) t i +1 − ti

= g−

c c   v ( t i ) → v ( t i +1 ) = v ( t i ) +  g − v ( t i )  ( t i +1 − t i ) m m  

Dengan parameter yang sama dilakukan iterasi dan diperoleh hasil sebagai berikut :

Iterasi ke-

t

v(ti)

v(ti+1)

1 2 3 4 5 6 7 … 35 36 37 … …

0 2 4 6 8 10 12 … 68 70 72 … …

0.00000 19.60000 32.00470 39.85550 44.82430 47.96900 49.95920 … 53.39040 53.39040 53.39040 … …

19.60000 32.00470 39.85554 44.82429 47.96897 49.95922 51.21883 … 53.39039 53.39040 53.39040 … …


4 Tampak pada tabel di atas bahwa v ( t ) akan tetap (tidak berubah) pada

t =∞

dengan

v ( ∞ ) = 53, 39

m det

sedang

untuk

v ( t ) = 53, 39040

m det

diperoleh pada t = 70 . Perhatikan tabel di bawah ini dan amati perbedaannya.

t

v(t) - analitik

v(ti+1) - numerik

0 2 4 6 8 10 12 14 16 … 68 70 72 74 … 86 88 90 92 94 96 98 100

0.00000 16.40498 27.76929 35.64175 41.09528 44.87314 47.49019 49.30312 50.55899 … 53.39020 53.39026 53.39030 53.39033 … 53.39039 53.39039 53.39040 53.39040 53.39040 53.39040 53.39040 53.39040

19.60000 32.00470 39.85554 44.82429 47.96897 49.95922 51.21883 52.01603 52.52057 … 53.39039 53.39040 53.39040 53.39040 … 53.39040 53.39040 53.39040 53.39040 53.39040 53.39040 53.39040 53.39040

Tabel Perbandingan Komputasi Analitik dan Numerik Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

5 Untuk Kasus Falling Parachute

v(t) Analitik vs v(ti+1) Numerik 60.00

v(t) dan v(ti+1)

50.00 40.00 v(t) v(ti+1)

30.00 20.00 10.00 0.00 1

5

9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 t


6

KESALAHAN DAN BILANGAN PENDEKATAN

1.

Sebutkan macam error dalam Metode Komputasi ! a.

ROUND-OFF ERROR adalah error yg disebabkan oleh fakta bahwa

komputer hanya mampu merepresentasikan suatu kuantitas dgn jumlah digit terhingga (round-off = pembulatan) atau bila bilangan mempunyai significant figure terbatas utk merepresentasikan bilangan eksak. Contoh : 1, 2346 → 1, 235 dibulatkan ke 3 digit di belakang koma. b.

TRUNCATION ERROR adalah error yg disebabkan oleh fakta bahwa

Metode Komputasi menggunakan aproksimasi utk merepresentasikan suatu operasi matematika eksak dan kuantitas (truncation = pemotongan). Contoh :

1, 2346 → 1, 234 dipotong ke 3 digit di belakang koma.

2.

Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai e x dengan x = 0, 5 pada suku ke-8

dimana e 0 ,5 = 1, 648721271 .

e x = 1+ x +

x 2 x3 x 4 xn + + + ....................... + 2 ! 3! 4 ! n!

E e = p − p* ;

εe =

Ee x100% ; p

εa =

δ p*

x100% =

p(

* n +1)

p(

−p(

* n +1)

* n)

x100%


7 dimana : Ee

→

Kesalahan absolut.

p →

Nilai eksak.

p*

→

Nilai perkiraan.

εe

→

Kesalahan relatif (dalam bentuk persentase).

εa

→

Kesalahan nilai perkiraan terbaik (dalam bentuk persentase).

Dari hasil iterasi diperoleh data sebagai berikut :

Iterasi ke-

Aproksimasi

Ee

Ea

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1.00000000 1.50000000 1.62500000 1.64583333 1.64843750 1.64869792 1.64871962 1.64872117 1.64872127 1.64872127 1.64872127

39.34693404 9.02040106 1.43876781 0.17516227 0.01721158 0.00141651 0.00010026 0.00000624 0.00000036 0.00000004 0.00000002

0.00000000 33.33333000 7.69231000 1.26582000 0.15798000 0.01580000 0.00132000 0.00009000 0.00001000 0.00000000 0.00000000

Dari data tabel di atas diperoleh hasil bahwa pendekatan e 0 ,5 hingga suku ke-8 menghasilkan

nilai

perkiraan

1, 64872117

dengan

kesalahan

relatif,

ε e = 0, 00000624% dan kesalahan nilai perkiraan terbaik, ε a = 0, 00009% .


8

3.

Bila diketahui e 0,4 = 1, 491824698 , hitung aproksimasinya menggunakan deret

ex = 1+ x +

x2 x3 x4 x5 x6 x7 (8 suku) dengan ketelitian hingga 9 digit di + + + + + 2! 3! 4! 5! 6! 7!

belakang koma.

Perhitungan Analitik c.

Suku pertama e x = 1 → p* , maka :

Ee x100% p 1, 491824698 − 1 x100% = 1, 491824698 = 32, 97%

εe =

d.

Suku kedua e x = 1 + x = 1, 4 → p* , maka : Ee x100% p 1, 491824698 − 1, 4 = x100% 1, 491824698 = 6,16%

εe =

εa =

pn* +1 − pn* x100% pn* +1

1, 4 − 1 x100% 1, 4 = 28, 57% =

( 0, 4 ) = 1, 48 → p* , maka : x2 Suku ketiga e = 1 + x + = 1 + 0, 4 + 2! 2.1 2

e.

x

Ee x100% p 1, 491824698 − 1, 48 = x100% 1, 491824698 = 0, 79%

εe =

εa =

pn* +1 − pn* x100% pn* +1

1, 48 − 1, 4 x100% 1, 48 = 5, 41% =


9 f.

Suku keempat

( 0, 4 ) + ( 0, 4 ) = 1, 490666667 → p* , maka : x 2 x3 + = 1 + 0, 4 + 2 ! 3! 2.1 3.2.1 2

e x = 1+ x +

3

Ee x100% p 1, 491824698 − 1, 490666667 = x100% 1, 491824698 = 0, 0776%

εe =

εa =

pn* +1 − pn* x100% pn* +1

1, 490666667 − 1, 48 x100% 1, 490666667 = 0, 7156% =

e x = 1+ x + g.

Suku kelima

x 2 x3 x 4 + + 2 ! 3! 4 !

= 1 + 0, 4 +

( 0, 4 ) 2.1

2

+

( 0, 4 )

3

3.2.1

+

( 0, 4 )

,

4

4.3.2.1

= 1, 491733334 → p*

maka :

Ee x100% p 1, 491824698 − 1, 491733334 = x100% 1, 491824698 = 0, 00612%

εe =

εa = =

pn* +1 − pn* x100% pn* +1 1, 491733334 − 1, 490666667 x100% 1, 491733334

= 0, 0715%


10

e x = 1+ x +

h.

Suku keenam

x 2 x3 x 4 x5 + + + 2 ! 3! 4 ! 5 !

= 1 + 0, 4 +

( 0, 4 )

2

+

( 0, 4 )

3

2.1 3.2.1 * = 1, 491818667 → p

Ee x100% p 1, 491824698 − 1, 491818667 = 1, 491824698 = 0, 000404%

+

( 0, 4 )

( 0, 4 )

4

+

5

4.3.2.1 5.4.3.2.1

, maka :

εe =

εa = =

x100%

pn* +1 − pn* x100% pn* +1 1, 491818667 − 1, 491733334 x100% 1, 491818667

= 0, 00572%

e x = 1+ x +

i.

Suku ketujuh

x 2 x3 x 4 x5 x6 + + + + 2 ! 3! 4 ! 5 ! 6 !

= 1 + 0, 4 +

( 0, 4 )

2

+

( 0, 4 )

3

2.1 3.2.1 * = 1, 491824356 → p

+

( 0, 4 )

4

+

( 0, 4 )

5

+

( 0, 4 )

6

4.3.2.1 5.4.3.2.1 6.5.4.3.2.1

,

maka : Ee x100% p 1, 491824698 − 1, 491824356 = 1, 491824698 = 0, 000023%

εe =

x100%


11

εa = =

pn* +1 − pn* x100% pn* +1 1, 491824356 − 1, 491818667 x100% 1, 491824356

= 0, 00038%

j.

Suku kedelapan e x = 1+ x +

x 2 x3 x 4 x5 x6 x7 + + + + + 2 ! 3! 4 ! 5 ! 6 ! 7 !

( 0, 4 ) = 1 + 0, 4 +

2

( 0, 4 ) +

3

2.1 3.2.1 * = 1, 491824681 → p

( 0, 4 ) +

( 0, 4 )

4

5

( 0, 4 )

6

( 0, 4 )

7

, + + + 4.3.2.1 5.4.3.2.1 6.5.4.3.2.1 7.6.5.4.3.2.1

maka : Ee x100% p 1, 491824698 − 1, 491824681 = 1, 491824698 = 0, 0000011%

εe =

εa = =

x100%

pn* +1 − pn* x100% pn* +1 1, 491824681 − 1, 491824356 x100% 1, 491824681

= 0, 000022%

Dari data perhitungan analitik di atas diperoleh hasil bahwa pendekatan e 0 ,4 hingga suku ke-8 menghasilkan nilai perkiraan 1, 491824681 dengan kesalahan relatif, ε e = 0, 0000011% dan kesalahan nilai perkiraan terbaik, ε a = 0, 000022% .


12

Perhitungan Numerik (program komputer) Dari hasil iterasi Numerik diperoleh data sebagai berikut :

Iterasi ke-

Aproksimasi

Ee

Ea

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.000000000 1.400000000 1.480000000 1.490666667 1.491733333 1.491818667 1.491824356 1.491824681 1.491824697 1.491824698

32.96799541 6.15519358 0.79263321 0.07762516 0.00612436 0.00040429 0.00002295 0.00000116 0.00000007 0.00000003

0.00000000 28.57143000 5.40541000 0.71556000 0.07151000 0.00572000 0.00038000 0.00002000 0.00000000 0.00000000

Dari data tabel di atas diperoleh hasil bahwa pendekatan e 0 ,4 hingga suku ke-8 menghasilkan

nilai

perkiraan

1, 491824681

dengan

kesalahan

relatif,

ε e = 0, 00000116% dan kesalahan nilai perkiraan terbaik, ε a = 0, 00002% .


13

AKAR-AKAR PERSAMAAN TIDAK LINIER 1.

Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Grafik a.

x 4 − 3 x − 2 = 0 . Persamaan-persamaan untuk mencari titik potongnya

adalah : y1 = x 4 y2 = 3 x + 2

Iterasi ke-

x

y1

y2

Selisih

1 2 3 4 5 6 7 … 11 12 13 14 15 16 17

-1.00 -0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 … 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20

1.00 0.41 0.13 0.03 0.00 0.00 0.00 … 1.00 2.07 3.84 6.55 10.50 16.00 23.43

-1.000 -0.400 0.200 0.800 1.400 2.000 2.600 … 5.000 5.600 6.200 6.800 7.400 8.000 8.600

2.000 0.810 -0.070 -0.770 -1.400 -2.000 -2.600 … -4.000 -3.530 -2.360 -0.250 3.100 8.000 14.830

Aproksimasi akar-akar persamaannya adalah x1 = −0, 60 dan x2 = 1, 60 dengan interval ∆x = 0, 20 .

Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat, gunakan

interval yang lebih rapat misal : ∆x = 0, 01 akan diperoleh x1 = −0, 62 dan x2 = 1, 62 . Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

14

b.

x 3 − x − 2 = 0 . Persamaan-persamaan untuk mencari titik potongnya

adalah : y1 = x 3 y2 = x + 2

Iterasi ke-

x

y1

y2

Selisih

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10

1.00 1.33 1.73 2.20 2.74 3.38 4.10 4.91 5.83 6.86 8.00 9.26

3.000 3.100 3.200 3.300 3.400 3.500 3.600 3.700 3.800 3.900 4.000 4.100

-2.000 -1.770 -1.470 -1.100 -0.660 -0.120 0.500 1.210 2.030 2.960 4.000 5.160

Aproksimasi akar-akar persamaannya adalah antara x1 = 1, 50 dan x2 = 1, 60 dengan interval ∆x = 0,10 . Akar persamaan di atas cenderung mendekati nilai x1 = 1, 50 karena mempunyai selisih yang lebih kecil yakni y1 − y2 = 0,120 .


15

2.

Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Tabulasi a.

x3 − x 2 − x + 1 = 0

y1 = x 3 y2 = x 2 + x − 1

Iterasi ke-

x

y1

y2

Selisih

1 2 3 4 5 6 7 … 15 16 17 18 19 20

-2.000 -1.800 -1.600 -1.400 -1.200 -1.000 -0.800 … 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800

-8.000 -5.830 -4.100 -2.740 -1.730 -1.000 -0.510 … 0.510 1.000 1.730 2.740 4.100 5.830

1.000 0.440 -0.040 -0.440 -0.760 -1.000 -1.160 … 0.440 1.000 1.640 2.360 3.160 4.040

-9.000 -6.270 -4.060 -2.300 -0.970 0.000 0.650 … 0.070 0.000 0.090 0.380 0.940 1.790

Dari pendekatan kasar, ditemukan bahwa fungsi y bernilai 0 (mutlak) bila x = ±1 sehingga tidak perlu dilakukan proses untuk mendapatkan x yang

lebih akurat. Dalam hal ini f ( ±1) = 0 .


16

b.

e3 − x − 2 = 0

y1 = e 3

xawal = 16

y2 = x + 2

Interval = 0, 2

Iterasi ke-

x

y1

y2

Selisih

1 … 10 11 12 13

16.000 … 17.800 18.000 18.200 18.400

20.090 … 20.090 20.090 20.090 20.090

18.000 … 19.800 20.000 20.200 20.400

2.090 … 0.290 0.090 -0.110 -0.310

Diperoleh xapproks = 18, 00 dengan selisih y1 − y 2 = 0, 090 . Ambil data iterasi ke-10 – ( x = 17, 800 ) – sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya dengan interval

( 0,1) yang

lebih kecil untuk mendapatkan nilai x yang

lebih akurat.

Diperoleh

Iterasi ke-

x

y(x)

1 2 3 4 5

17.800 17.900 18.000 18.100 18.200

0.286 0.186 0.086 -0.014 -0.114

x = 18,100

dengan

kesalahan

(error)

atau

nilai

fungsi

f (18,100 ) = −0, 014


17

c.

2 − 3 x + sin x = 0

y1 = sin x

xawal = −2

y2 = 3 x − 2

Interval = 0, 2

Iterasi ke-

x

y1

y2

Selisih

1 2 … 12 13 14 15 16 17

-2.00 -1.80 … 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

-0.03 -0.03 … 0.00 0.01 0.01 0.01 0.02 0.02

-8.00 -7.40 … -1.40 -0.80 -0.20 0.40 1.00 1.60

7.97 7.37 … 1.40 0.81 0.21 -0.39 -0.98 -1.58

Diperoleh xapproks = 0, 60 dengan selisih y1 − y 2 = 0, 21 . Ambil data iterasi ke-13 – ( x = 0, 40 ) – sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya dengan interval ( 0, 05 ) yang lebih kecil untuk mendapatkan nilai x yang lebih akurat.

Iterasi ke-

x

y

1 … 5 6 7 … 9 12

0.400 … 0.600 0.650 0.700 … 0.800 0.950

0.807 … 0.210 0.061 -0.088 … -0.386 -0.833

Diperoleh x = 0, 650 dengan error atau nilai fungsi f ( 0, 650 ) = 0, 061 Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

18 d.

x3 + 4 x − 6 = 0 y1 = x 3

xawal = 0, 8

y2 = −4 x + 6

Interval = 0,1

Iterasi ke-

x

y1

y2

Selisih

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.800 0.900 1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500 1.600 1.700

0.510 0.730 1.000 1.330 1.730 2.200 2.740 3.380 4.100 4.910

2.800 2.400 2.000 1.600 1.200 0.800 0.400 0.000 -0.400 -0.800

-2.290 -1.670 -1.000 -0.270 0.530 1.400 2.340 3.380 4.500 5.710

Diperoleh xapproks = 1,100 dengan selisih y1 − y 2 = −0, 270 .

Ambil data

iterasi ke-3 – ( x = 0,100 ) – sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya dengan interval ( 0, 05 ) yang lebih kecil untuk mendapatkan nilai x yang lebih akurat.

Iterasi ke-

x

y

1 2 3 4 5 6

1.000 1.050 1.100 1.150 1.200 1.250

-1.000 -0.642 -0.269 0.121 0.528 0.953

Diperoleh x = 1,150 dengan kesalahan atau nilai fungsi f (1,150 ) = 0,121


19

3.

Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Bolzano. a.

10 x 2 + 2 x − 100 = 0 Batas atas dan bawah x0 = 1, 000;

x1 = 6, 000

Akar Real adalah x = 3, 064 Dengan Iterasi sebanyak 34 kali

Iterasi ke1 2 … 33 34

b.

x(i) 3.500 2.250 … 3.064 3.064

fx(i) 24.62500000 44.87500000 …. 0.00000001 0.00000001

interval x(i) [1.000,6.000] [1.000,2.250] …. [3.064,3.064] [3.064,3.064]

x3 − x 2 − 2 x + 1 = 0 Batas atas dan bawah x0 = 1, 000;

x1 = 2, 000

Akar Real adalah x = 1, 802 Dengan Iterasi sebanyak 27 kali

Iterasi ke1 2 … 26 27

x(i) 1.500 1.750 … 1.802 1.802

fx(i) -0.87500000 0.20312500 …. 0.00000003 0.00000000

interval x(i) [2.000,1.000] [1.500,1.750] …. [1.802,1.802] [1.802,1.802]


20

c.

e x − 2 x + 21 = 0 Silahkan cari sendiri hasilnya …………

d.

x3 − 9 x + 1 = 0 Perhitungan Analitik 1)

Pilih

dua

nilai

x → x0 , x1

dimana

f ( x0 ) . f ( x1 ) < 0 .

Dipilih

x0 = 2; x1 = 4 sehingga f ( x0 ) . f ( x1 ) < 0 .

2)

Cari x2 =

x

x0 2, 00

x1 4, 00

f ( x)

−9, 00

29, 00

x0 + x1 2 + 4 = = 3. 2 2

f ( x0 ) . f ( x2 ) < 0 , maka ada akar di

antara x0 dan x2 .

3)

x

x0 2, 00

x2 3, 00

x1 4, 00

f ( x)

−9, 00

1, 00

29, 00

Cari x3 =

x0 + x 2 2 + 3 = = 2, 5 . 2 2

f ( x2 ) . f ( x3 ) < 0 , maka ada akar di

antara x2 dan x3 .


21

4)

Cari x4 =

x

x3 2, 50

x2 3, 00

f ( x)

−5, 875

1, 00

x2 + x3 2, 5 + 3 = = 2, 75 . 2 2

f ( x2 ) . f ( x4 ) < 0 , maka ada akar

di antara x2 dan x4 .

5)

x

x3 2, 50

x4 2, 75

x2 3, 00

f ( x)

−5, 875

−2, 953

1, 00

Cari x5 =

x2 + x4 2, 75 + 3 = = 2, 875 . f ( x2 ) . f ( x5 ) < 0 , maka ada akar 2 2

di antara x2 dan x5 .

x f ( x)

6)

Cari x6 =

x4 2, 75 −2, 953

x5 2, 875 −1,111

x2 + x5 2, 875 + 3 = = 2, 938 . 2 2

x2 3, 00 1, 00

f ( x2 ) . f ( x6 ) < 0 , maka ada

akar di antara x2 dan x6 .

x

x5 2, 875

x6 2, 938

x2 3, 00

f ( x)

−1,111

−0, 082

1, 00


22

Dari hasil perhitungan analitik diperoleh bahwa akar x persamaan di atas terletak antara x = 2, 938 dan x = 3, 00 pada iterasi ke-5 dengan error absolute sebesar 0, 082 .

Perhitungan Numerik (program komputer) Batas atas dan bawah x0 = 2, 000;

x1 = 4, 000

Akar Real adalah x = 2, 943 Dengan Iterasi sebanyak 27 kali dengan error sebesar 0, 00000001

Iterasi ke-

x(i)

fx(i)

interval x

1 2 3 4 5 … 20 21 22 23 24 25 26 27

3.000 2.500 2.750 2.875 2.938 … 2.943 2.943 2.943 2.943 2.943 2.943 2.943 2.943

1.00000000 5.87500000 2.95312500 1.11132812 0.09008789 … 0.00000785 0.00000834 0.00000024 0.00000380 0.00000178 0.00000077 0.00000026 0.00000001

[2.000,4.000] [2.000,2.500] [2.500,2.750] [2.750,2.875] [2.875,2.938] … [2.943,2.943] [2.943,2.943] [2.943,2.943] [2.943,2.943] [2.943,2.943] [2.943,2.943] [2.943,2.943] [2.943,2.943]

Diperoleh x = 2, 943 dengan kesalahan atau nilai fungsi f ( 2, 943) = 0, 000


23

4.

Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Regula-Falsi. a.

1 + x − tan ( x ) = 0 y1 = 1 + x

xbawah = −1,1 dan xatas = −1, 0

y2 = tan ( x )

Diperoleh akar persamaan x = −1, 018 Dengan error y = 0, 0000000000000009 pada iterasi ke-21

Iterasi ke-

x

y1

y2

selisih

1 2 … 9 10 11 12 13

-2.00 -1.90 … -1.20 -1.10 -1.00 -0.90 -0.80

-1.00 -0.90 … -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20

-0.03

-0.97

-0.03

-0.87

… -0.02 -0.02 -0.02

… -0.18 -0.08 0.02

-0.02

0.12

-0.01

0.21

Iterasi ke-

x3

fx3

fx3 (16 digit) Error Aproksimasi

1 2

-1.018 -1.018

0.00000 0.00000

-0.0000000080697414 -0.0000000000000009

Diperoleh

x = −1, 018

dengan

kesalahan

atau

nilai

fungsi

f ( −1, 018 ) = 0, 000

b.

2 x3 + 4 x 2 − 2 x − 5 = 0 y1 = 2 x 3

xbawah = 1,1 dan xatas = 0, 8

y 2 = −4 x 2 + 2 x + 5

Diperoleh akar persamaan x = 1, 078


24

Dengan error y = 0, 0000000000000008 pada iterasi ke-9

Iterasi ke1 … 6 7 8 9 Iterasi ke1 … 8 9

x -1.00 … 0.50 0.80 1.10 1.40

x3 1.073 … 1.078 1.078

y1 -2.00 … 0.25 1.02 2.66 5.49

f(x3) -0.074054 …. 0.000000 0.000000

y2 -1.00 … 5.00 4.04 2.36 -0.04

selisih -1.00 … -4.75 -3.02 0.3 5.53

f(x3) (16 digit) Error Aproksimasi -0.0740542165284570 …. -0.0000000000000008 -0.0000000000000008

Diperoleh x = 1, 078 dengan kesalahan atau nilai fungsi f (1, 078 ) = 0, 000

c.

3 x − cos ( x ) = 0 y1 = 3 x

y2 = cos ( x )

xbawah = 0, 3 dan xatas = 0, 4 Diperoleh akar persamaan x = 0, 333 Dengan error y = 0, 0000000000000001 pada iterasi ke-3

Iterasi ke-

x

y1

y2

selisih

1 2 … 13 14 15 16

-1.00 -0.90 … 0.20 0.30 0.40 0.50

-3.00 -2.70 … 0.60 0.90 1.20 1.50

1.00 1.00 … 1.00 1.00 1.00

-4.00 -3.70 … -0.40 -0.10 0.20

1.00

0.50


25

Iterasi ke-

x3

fx3

fx3 (16 digit) Error Aproksimasi

1 2 3

0.333 0.333 0.333

0.000000 0.000000 0.000000

-0.0000003383007839 -0.0000000000011447 -0.0000000000000001


d.

e x − ln ( x ) = 20

xbawah = 3, 0 dan xatas = 3, 5

y1 = e x

y2 = ln ( x ) + 20

Diperoleh akar persamaan x = 3, 050 Dengan error y = -0, 0000000000000017 pada iterasi ke-13

Iterasi ke1 2 … 5 6 7 8 Iterasi ke1 2 … 12 13

x3 3.046 3.050 … 3.050 3.050

x 2.00 2.20 … 2.80 3.00 3.20 3.40

y1 7.39 9.03 … 16.44 20.09 24.53 29.96

f(x3) -0.077948 -0.005823 …. 0.000000 0.000000

y2 20.69 20.79 … 21.03 21.10 21.16 21.22

selisih -13.00 -12.00 … -5.00 -1.00 3.00 9.00

f(x3) (16 digit) Error Aproksimasi -0.0779482712623064 -0.0058227448073664 …. -0.0000000000000297 -0.0000000000000017

Diperoleh x = 3, 050 dengan kesalahan atau nilai fungsi f ( 3, 050 ) = 0, 000


26

e.

2e x − x − 3 = 0 pada x = 0, 60

y1 = 2e x

xbawah = 0, 5 dan xatas = 0, 6

y2 = x + 3

Diperoleh akar persamaan x = 0, 583 Dengan error y = 0, 0000000000000066 pada iterasi ke-7

Iterasi ke-

x

y1

y2

selisih

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.000 0.300 0.600 0.900 1.200 1.500 1.800 2.100 2.400 2.700

2.000 2.700 3.640 4.920 6.640 8.960 12.100 16.330 22.050 29.760

3.000 3.300 3.600 3.900 4.200 4.500 4.800 5.100 5.400 5.700

-1.000 -0.600 0.040 1.020 2.440 4.460 7.300 11.230 16.650 24.060

Iterasi ke-

x3

f(x3)

f(x3) (16 digit) Error Aproksimasi

1 2 3 4 5 6 7

0.582 0.583 0.583 0.583 0.583 0.583 0.583

-0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.0025779513543233 0.0000301113116195 0.0000003513483735 0.0000000040995954 0.0000000000478347 0.0000000000005580 0.0000000000000066



27

5.

Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Newton-Rhapson. a.

3 x − cos ( x ) = 0

y = 3 x − cos ( x )

Tebakan awal x = 0, 5

y ' = 3 + sin ( x )


y '' = cos ( x )


Iterasi ke1 2 3 Iterasi ke1 2 3 4 5

b.

x 0.321 0.317 0.317 0.317 0.317

y(x) 0.622 0.014 0.000 0.000 0.000

x 0.5 0.6 0.7

y 0.622 0.975 1.335

dy 3.479 3.316 3.311 3.311 3.311

y/dy 0.1789000000 0.0044000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000

x3 + x 2 − 3x + 3 = 0 y = x3 + x 2 − 3x + 3

Tebakan awal x = −5

y ' = 3x2 + 2 x − 3

Diperoleh akar persamaan x = −2, 599

y '' = 6 x + 2


Iterasi ke1 … 13 14

x -5 … -2.6 -2.4

y -82.000 … -0.016 2.136


28

Iterasi ke1 2 3 4 5

c.

x -2.599 -2.599 -2.599 -2.599 -2.599

y(x) -0.016 0.000 0.000 0.000 0.000

dy 12 12 12 12 12

y/dy -0.00130000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

e x − 3x2 = 0 y = e x − 3x2

Tebakan awal x = −2

y' = ex − 6x

Diperoleh akar persamaan x = −0, 459

y '' = e − 6

Dengan error y = 0, 00000000

x

pada iterasi ke-5

Iterasi ke1 … 7 8 9

Iterasi ke1 2 3 4 5

x -0.462 -0.459 -0.459 -0.459 -0.459

x -2 … -0.8 -0.6 -0.4

y(x) 0.190000 -0.010000 0.000000 0.000000 0.000000

y -11.865000 …. -1.471000 -0.531000 0.190000

dy 3 3 3 3 3

y/dy 0.06200000 -0.00300000 0.00000000 0.00000000 0.00000000


29

d.

y = 4 + 5 x 2 − x3

y = 4 + 5 x 2 − x3


y ' = 10 x − 3 x 2

Diperoleh akar persamaan x = 5,151

y '' = 10 − 6 x


Iterasi ke-

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0

8.000 11.875 16.000 19.625 22.000 22.375 20.000 14.125 4.000 -11.125 -32.000 -59.375 -94.000

Iterasi ke-

x

y

dy

y/dy

1 2 3 4 5

5.160 5.151 5.151 5.151 5.151

4.000 -0.260 -0.001 0.000 0.000

-20.000 -20.000 -20.000 -20.000 -20.000

-0.160 0.009 0.000 0.000 0.000


30

6.

Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Iterasi x = g ( x ) .

a.

x3 − 3x + 1 = 0 3x = x3 + 1


x3 1 + 3 3 g '( x ) = x2


g ( x) =

b.


Iterasi ke-

x = g(x)

f(x)

1 2 3 4 5 6 7 8

0.34233300 0.34670600 0.34722500 0.34728800 0.34729500 0.34729600 0.34729600 0.34729600

0.01311877 0.00155714 0.00018746 0.00002260 0.00000273 0.00000033 0.00000004 0.00000000

x 3 + 9 x 2 + 18 x − 6 = 0 18 x = − x 3 − 9 x 2 + 6 x3 x2 1 − + 18 2 3 x2 g '( x ) = − −x 6 g ( x) = −

Tebakan awal x = 0, 80 Diperoleh akar persamaan x = 0, 289945 Dengan error y = 0, 00000001


31

c.

Iterasi ke-

x = g(x)

f(x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

-0.01511100 0.33321900 0.27576000 0.29414600 0.28865800 0.29033500 0.28982600 0.28998100 0.28993400 0.28994800 0.28994400 0.28994500 0.28994500 0.28994500 0.28994500 0.28994500 0.28994500 0.28994500 0.28994500

14.67200000 -6.26994834 1.03426363 -0.33095195 0.09878622 -0.03018466 0.00915999 -0.00278560 0.00084657 -0.00025733 0.00007822 -0.00002378 0.00000723 -0.00000220 0.00000067 -0.00000020 0.00000006 -0.00000002 0.00000001

2e − x − sin ( x ) = 0

sin ( x ) = 2e − x

Tebakan awal x =

(

g ( x ) = arcsin 2e − x g '( x ) =

1

)

Diperoleh akar persamaan x = Dengan error y =

1 + 4e −2 x

Silahkan cari sendiri hasilnya ………….


32

d.

e x − 3x = 0


3x = e x x

e 3 ex g '( x ) = 3 g ( x) =

e.

Diperoleh akar persamaan x = 0, 619061 Dengan error y = 0, 00000000

Iterasi ke-

x = g(x)

f(x)

1 2 3 4 5 … 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

0.81986800 0.75673300 0.71043400 0.67829100 0.65683600 … 0.61906100 0.61906100 0.61906100 0.61906100 0.61906100 0.61906100 0.61906100 0.61906100 0.61906100 0.61906100

-0.18940363 -0.13889727 -0.09642787 -0.06436621 -0.04182772 … -0.00000007 -0.00000004 -0.00000003 -0.00000002 -0.00000001 -0.00000001 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

x 3 − 9 x 2 + 18 x − 6 = 0 18 x = − x 3 + 9 x 2 + 6


x3 x 2 1 + + 18 2 3 x2 g '( x ) = − +x 6


g ( x) = −



33

Iterasi ke-

x = g(x)

f(x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.45138889 0.43009978 0.42140611 0.41796741 0.41662518 0.41610403 0.41590210 0.41582392 0.41579366 0.41578195 0.41577742 0.41577566 0.41577499 0.41577472 0.41577462 0.41577458 0.41577457 0.41577456 0.41577456 0.41577456

0.38320400 0.15648599 0.06189662 0.02416013 0.00938074 0.00363477 0.00140724 0.00054466 0.00021078 0.00008157 0.00003156 0.00001221 0.00000473 0.00000183 0.00000071 0.00000027 0.00000011 0.00000004 0.00000002 0.00000001


34

METODE FAKTORISASI PERSAMAAN POLINOMIAL

1.

Akar-akar persamaan nonlinier menggunakan Faktorisasi P3 ( x )

a.

x 3 − 2, 4 x 2 − 1, 4 x − 6, 8 = 0 A3 = −2, 4

b0 = 2, 934

x1 = −2, 934

A2 = −1, 4

a1 = −1, 923

x2 = 2, 762

A1 = −6, 8

a0 = −2, 317

x3 = −0, 839

b0 = −0, 477

x1 = 0, 477

a1 = −5, 334

x2 = 2, 667 − 2, 672i

a0 = 14, 252

x3 = 2, 667 + 2, 672i

diperoleh pada iterasi berulang mulai ke-33 dan 34 untuk masing-masing parameter.

iterasi 1 2 … 33 34 35 36

b0 0.000 -0.201 … 2.934 -0.477 2.934 -0.477

a1 -2.400 -7.257 … -1.923 -5.334 -1.923 -5.334

a0 -1.400 33.849 … -2.317 14.252 -2.317 14.252


35

b.

x3 + x2 − 3x + 3 = 0

A3 = 1

b0 = −2, 453

x1 = 2, 453

A2 = −3

a1 = 1, 924

x2 = 0, 504

A1 = 3

a0 = −1, 223

x3 = −2, 428

b0 = 0, 548

x1 = −0, 548

a1 = 3, 453

x2 = −1, 726 + 1, 578i

a0 = 5, 471

x3 = −1, 726 − 1, 578i

b0 = −0, 924

x1 = 0, 924

a1 = 0, 452

x2 = 1, 590

a0 = −3, 248

x3 = −2, 042

diperoleh pada iterasi berulang mulai ke-11, 12 dan 13 untuk masingmasing parameter

iterasi 1 2 … 15 16 17 18 19 20 21

b0 0.000 -3.000 … 0.548 -0.924 -2.453 0.548 -0.924 -2.453 0.548

a1 1.000 2.000 … 3.453 0.452 1.924 3.453 0.452 1.924 3.453

a0 -3.000 -1.000 … 5.470 -3.248 -1.223 5.471 -3.248 -1.223 5.471


36

c.

x 3 − 8 x 2 − 80 x + 384 = 0

A3 = −8

b0 = −4

x1 = 4

A2 = −80

a1 = −4

x2 = 12

A1 = 384

a0 = −96

x3 = −8

iterasi 1 2 3 4 5

d.

b0 0.000 -4.027 -4.000 -4.000 -4.000

a1 -8.000 -3.200 -3.973 -4.000 -4.000

a0 -80.000 -95.360 -95.999 -96.000 -96.000

x3 − 2 x 2 + 2 = 0 A3 = −2

b0 =

x1 =

A2 = 0

a1 =

x2 =

A1 = 2

a0 =

x3 =

tidak valid karena iterasi menghasilkan ∞

Akar-akar dapat dicari dengan menggunakan Metode Bairstow yang akan diperoleh sebagai berikut : x1,2 = 1, 419 ± 0, 607 i; x3 = 0, 84

Alternatif lain adalah asumsikan x dengan persamaan lain semisal

x = y +1.

e.

x 3 + 1, 2 x 2 − 4 x − 4, 8 = 0 Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

37

A3 = 1, 2

b0 = −4

x1 = −1, 2

A2 = −4 a1 = −4 A1 = −4, 8 a0 = −96

f.

x2 = 2 x3 = −2

diperoleh pada iterasi berulang ke-2.

iterasi

b0

a1

a0

1 2 3

0.000 1.200 1.200

1.200 0.000 0.000

-4.000 -4.000 -4.000

x3 + 4 x 2 − x + 4 = 0 A3 = 4

b0 = −1

x1 = 1

A2 = −1

a1 = 3

x2 = 1

A1 = 4

a0 = −4

x3 = −4

b0 = 1

x1 = −1

a1 = 5

x 2 = −1

a0 = 4

x3 = −4

diperoleh pada iterasi berulang ke-73 dan 74 untuk masing-masing parameter

iterasi 1 2 … 71 72 73 74

b0 0.000 0.129 … -1.000 1.000 -1.000 1.000

a1 4.000 8.000 … 3.000 5.000 3.000 5.000

a0 -1.000 31.000 … -4.000 4.001 -4.000 4.000


38

2.

Akar-akar persamaan nonlinier menggunakan Faktorisasi P4 ( x ) a.

x 4 − x3 − 7 x 2 + x + 6 = 0 A3 = −1

b0 = −1

x1 = 1

A2 = −7

b1 = 0

x2 = −1

A1 = 1

a1 = −1

x3 = 3

A0 = 6

a 0 = −6

x4 = −2

diperoleh pada iterasi ke-10

iterasi 1 2 … 9 10 11

b.

b0 0.000 -0.857 … -1.000 -1.000 -1.000

b1 0.000 -0.020 … 0.000 0.000 0.000

a1 -1.000 -0.980 … -1.000 -1.000 -1.000

a0 -7.000 -6.163 … -6.001 -6.000 -6.000

x 4 + 5 x3 + 3x 2 − 7 x − 2 = 0 A3 = 5

b0 = −0, 268

x1 = 1

A2 = 3

b1 = −0, 732

x2 = −0, 268

A1 = −7

a1 = 5, 732

x3 = −2

A0 = −2

a0 = 7, 464

x4 = −3, 732



39 iterasi 1 2 … 54 55 56

c.

b0 0.000 -0.667 … -0.268 -0.268 -0.268

b1 0.000 -1.222 … -0.732 -0.732 -0.732

a1 5.000 6.222 … 5.732 5.732 5.732

a0 3.000 11.272 … 7.465 7.464 7.464

x 4 + x3 + 3x + 2 = 0 A3 = 1

b0 =

x1 =

A2 = 0

b1 =

x2 =

A1 = 3

a1 =

x3 =

A0 = 2

a0 =

x4 =

tidak valid karena iterasi menghasilkan ∞

Akar-akar dapat dicari dengan menggunakan Metode Bairstow yang akan diperoleh sebagai berikut : x1 = −0, 625;

d.

x2 = −1, 655; x3,4 = −0, 645 ± 1, 218i

x 4 + 1, 5 x 3 − 2, 5 x 2 − 2,1 = 0

A3 = 1, 5

b0 = 0, 616

x1 = −0,115 + 0, 776i

A2 = −2, 5

b1 = 0, 230

x2 = −0,115 − 0, 776i

A1 = 0

a1 = 1, 270

x3 = 1, 317

A0 = −2,1

a0 = −3, 408

x4 = −2, 587



40

iterasi 1 2 … 10 11 12

e.

b0 0.000 0.840 … 0.616 0.616 0.616

b1 0.000 0.504 … 0.230 0.230 0.230

a1 1.500 0.996 … 1.270 1.270 1.270

a0 -2.500 -3.842 … -3.410 -3.408 -3.408

x 4 − 8 x 3 + 39 x 2 − 62 x + 50 = 0 A3 = −8 A2 = 39 A1 = −62 A0 = 50

b0 = 0, 616 b1 = 0, 230 a1 = 1, 270 a0 = −3, 408

x1 = 1 − 1i x2 = 1 + 1i x3 = 3 − 4i x4 = 3 + 4i


iterasi

b0

b1

a1

a0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.000 1.282 1.732 1.899 1.963 1.987 1.995 1.998 1.999 2.000 2.000 2.000

0.000 -1.327 -1.852 -1.950 -1.983 -1.994 -1.998 -1.999 -2.000 -2.000 -2.000 -2.000

-8.000 -6.673 -6.148 -6.050 -6.017 -6.006 -6.002 -6.001 -6.000 -6.000 -6.000 -6.000

39.000 28.864 26.334 25.470 25.169 25.061 25.022 25.008 25.003 25.001 25.000 25.000


41

f.

x 4 − 5, 3 x 3 + 5, 93 x 2 + 5, 069 x − 7,161 = 0

A3 = −5, 3

b0 = −1,1

x1 = 1,1

A2 = 5, 93

b1 = −0,1

x 2 = −1

A1 = 5, 069

a1 = −5, 2

x3 = 3,1

A0 = −7,161

a0 = 6, 51

x4 = 2,1


iterasi 1 2 … 22 23 24

g.

b0 0.000 -1.208 … -1.100 -1.100 -1.100

b1 0.000 -0.224 … -0.100 -0.100 -0.100

a1 -5.300 -5.076 … -5.200 -5.200 -5.200

a0 5.930 5.998 … 6.509 6.510 6.510

x 4 + x3 + 3x 2 + 2 = 0 A3 = 1

b0 = 0, 725

x1 = 0,179 − 0, 832i

A2 = 3

b1 = −0, 357

x2 = 0,179 + 0, 832i

A1 = 0

a1 = 1, 357

x3 = −0, 679 + 1, 516i

A0 = 2

a0 = 2, 759

x4 = −0, 679 − 1, 516i


iterasi 1 2 … 10 11 12

b0 0.000 0.667 … 0.725 0.725 0.725

b1 0.000 -0.222 … -0.357 -0.357 -0.357

a1 1.000 1.222 … 1.357 1.357 1.357

a0 3.000 2.605 … 2.758 2.759 2.759


42

3.

Akar-akar persamaan nonlinier menggunakan Faktorisasi P5 ( x )

a.

x 5 + 3 x 4 − 5 x 3 − 15 x 2 + 4 x + 12 = 0 A4 = 3 A3 = −5 A2 = −15 A1 = 4 A0 = 12

b0 = −1 b1 = 0 a0 = 3 c1 = 0 c 0 = −4

x1 = −3 x2 = 1 x3 = −1 x4 = 2 x5 = − 2


iterasi 1 2 … 8 9 10

b.

b0 0.000 -0.800 … -0.999 -1.000 -1.000

b1 0.000 2.520 … 0.001 0.000 0.000

a0 0.000 3.000 … 3.000 3.000 3.000

c1 3.000 -2.520 … -0.001 0.000 0.000

c0 -5.000 2.150 … -4.001 -4.000 -4.000

x 5 − 3, 5 x 4 − 8, 5 x 3 + 29, 75 x 2 + 14, 0625 x − 49, 21875 = 0 A4 = −3, 5 A3 = −8, 5 A2 = 29, 75 A1 = 14.0625 A0 = −49, 21875

b0 = −3, 75 b1 = −1 a0 = −1, 5 c1 = −1 c0 = −8, 75

x1 = 4 x 2 = 2, 5 x3 = −1, 5 x4 = 3, 5 x5 = −2, 5



43

iterasi 1 2 … 14 15 16

c.

b0 0.000 -2.801 … -3.751 -3.750 -3.750

b1 0.000 1.064 … -0.999 -1.000 -1.000

a0 0.000 -2.067 … -1.500 -1.500 -1.500

c1 -3.500 -2.497 … -1.001 -1.000 -1.000

c0 -8.500 -6.005 … -8.749 -8.750 -8.750

x 5 − 68 x 3 + 42 x 2 + 1.075 x − 1.050 = 0 A4 = 0 A3 = −68 A2 = 42 A1 = 1.075 A0 = −1.050

b0 = −25 b1 = 0 a 0 = −1 c1 = 1 c0 = −42

x1 = 1 x2 = 5 x3 = −5 x4 = 6 x5 = −7


iterasi 1 2 … 28 29 30

d.

b0 0.000 -15.441 … -25.000 -25.000 -25.000

b1 0.000 0.368 … 0.000 0.000 0.000

a0 0.000 -1.000 … -1.000 -1.000 -1.000

c1 0.000 0.632 … 1.000 1.000 1.000

c0 -68.000 -51.791 … -42.001 -42.000 -42.000

x 5 + 10 = 0 Error floating point ! Alternatif lain adalah asumsikan x dengan persamaan lain semisal

x = y +1.


44

e.

x5 + x3 + 1 = 0 A4 = 0 A3 = 1 A2 = 0 A1 = 0 A0 = 1

b0 = 0 b1 = 0 a0 = 0 c1 = 0 c0 = 1

x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0 x4 = 0 + i x5 = 0 − i


iterasi 1 2 3 …

f.

b0 0.000 0.000 0.000 …

b1 0.000 0.000 0.000 …

a0 0.000 0.000 0.000 …

c1 0.000 0.000 0.000 …

c0 1.000 1.000 1.000 …

x 5 − x 4 − 27 x 3 + x 2 + 146 x + 120 = 0 A4 = 1 A3 = −1 A2 = −27 A1 = 146 A0 = 120

b0 = −25 b1 = 0 a 0 = −1 c1 = 1 c0 = −42

x1 = 1 x2 = 3 x3 = −2 x4 = 0, 5 − 4.44409721i x5 = 0, 5 + 4.44409721i


iterasi

b0

b1

a0

c1

c0

1 2 … 11 12 13

0.000 -5.407 … -6.001 -6.000 -6.000

0.000 0.163 … -1.000 -1.000 -1.000

0.000 0.822 … 1.000 1.000 1.000

-1.000 -1.985 … -1.000 -1.000 -1.000

-27.000 -19.771 … -19.999 -20.000 -20.000


45

4.

Akar-akar persamaan nonlinier menggunakan Metode Bairstow (asumsi

r = s = −1 )

a.

x 3 − 6, 66 x 2 + 13, 5331x − 8, 2057 = 0

a1 = 1 a2 = −6, 66

r = 3, 304 s = −2, 445

x1 = 2,185 x2 = 1,119

a3 = 13, 5331 a4 = −8, 2057

b1 = 1 b2 = −3, 36 b3 = 0

x3 = 2, 360

diperoleh pada iterasi ke-8.

i 1 2 .. 7 8

b.

dR 3.27000000 -0.87800000 …. -0.00100000 0.00000000

dS 8.12100000 -12.55200000 …. -0.00100000 0.00000000

r 2.27 1.391 … 3.304 3.304

s 7.121 -5.431 … -2.445 -2.445

x 3 − x 2 − 19 x + 29 = 0 a1 = 1

r = −0, 609

x1 = 3, 951

a 2 = −1

s = 18, 019

x2 = −4, 56

a3 = −19

b1 = 1

x3 = 1, 610

a4 = 29

b2 = −1, 61 b3 = 0



46

Bila menggunakan metode Faktorisasi P3 ( x ) diperoleh akar-akar

x1 = 1, 609; x2 = 3, 951; x3 = −4, 56

i 1 2 … 5 6

c.

dR -0.20000000 0.78000000 …. 0.00000000 0.00000000

dS 17.40000000 2.61300000 …. -0.00100000 0.00000000

r -1.200 -0.420 … -0.609 -0.609

s 16.400 19.013 … 18.019 18.019

x 4 − 1,1x 3 + 2, 3 x 2 + 0, 5 x + 3, 3 = 0 a1 = 1 a2 = −1,1 a3 = 2, 3 a4 = 0, 5 a5 = 3, 3

r =0 s = −1 b1 = 1 b2 = −2 b3 = 3

x1 = −0, 45 − 0, 94736477 i x2 = −0, 45 + 0, 94736477 i x3 = 1, 00 − 1, 41421356i x4 = 1, 00 + 1, 41421356i


i 1 2 3 4

dR 0.110 -0.010 0.000 0.000

dS -0.063 -0.037 0.000 0.000

r -0.890 -0.900 -0.900 -0.900

s -1.063 -1.100 -1.100 -1.100


47

d.

x 4 + 4 x 3 + 21x 2 + 4 x + 20 = 0 a1 = 1 a2 = 4 a3 = 21 a4 = 4 a5 = 20

r =0 s = −1 b1 = 1 b2 = 4 b3 = 20

x1 = + i x2 = − i x3 = −2 + 4i x 4 = −2 − 4 i


i 1 2 3 4

e.

dR 1.00800000 -0.01600000 0.00800000 0.00000000

dS 0.94600000 -0.89900000 -0.04700000 0.00000000

r 0.008 -0.008 0.000 0.000

s -0.054 -0.953 -1.000 -1.000

r -1.044 -0.657 -0.793 -0.807 -0.807

s 0.341 0.146 0.195 0.193 0.193

x 4 + 8 x 3 + 16 x 2 + 7 x − 2 = 0 a1 = 1 a2 = 8 a3 = 16 a4 = 7 a5 = −2

r = −1, 808 s = 0, 385 b1 = 1 b2 = 6,19 b3 = 5,19

x1 = 0,193 x2 = −2, 003 x3 = −1 x4 = −5,187


i 1 2 3 4 5

dR -0.04400000 0.38700000 -0.13600000 -0.01400000 0.00000000

dS 1.34100000 -0.19400000 0.04900000 -0.00300000 0.00000000


48

f.

x 4 − 2 x 2 − 18 x = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = −2 a4 = −18 a5 = 0

r = 2, 874 s=0 b1 = 1 b2 = 2, 87 b3 = 6, 26

x1 = 2, 874 x2 = 0 x3 = −1, 435 + 2, 05i x4 = −1, 435 − 2, 05i


i 1 2 … 12 13

dR 2.13000000 -1.20000000 …. 0.00000000 0.00000000

dS -8.56500000 8.70800000 …. -0.00300000 0.00000000

r 1.130 -0.069 … 2.874 2.874

s -9.565 -0.857 … 0.000 0.000


49

PERSAMAAN LINIER SERENTAK

1.

Selesaikan Persamaan Linier Serentak (PLS) berikut ini dengan metode Invers

Matriks atau Matriks Augmented. a.

Perhatikan PLS berikut ini : 4 x − 3 y + z = 11 2 x + y − 4 z = −1 x + 2 y − 2z = 1

A = 27

 4 −3 1  11    A =  2 1 -4  ; H =  −1 1 2 −2   1   6.00 Adj A =  -4.00 11.00

0.00 3.00  -9.00 -11.00  18.00 10.00 

 0.22 0.00 0.11  AdjA -1 = A = -0.15 -0.33 -0.41 A  0.41 0.67 0.37 

0.22 -0.15 0.41 A = 0.00 -0.33 0.67  ,  0.11 -0.41 0.37 

 x  y  = AT . H i []    z 

T

diperoleh x = 3.00;

 x  0.22 -0.15 0.41 11.00   y  = 0.00 -0.33 0.67   -1.00        z   0.11 -0.41 0.37   1.00 

y = 1.00;

z = 2.00 Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

50

b.

Perhatikan PLS berikut ini : x+ y+z =6 x + 2 y + 3z = 14

A =2

x + 4 y + 9 z = 36

1 1 1  A = 1 2 3 ; 1 4 9 

6 H = 14  36 

 6.00 Adj A =  -5.00 1.00

−6.00 2.00  8.00 -3.00  −2.00 1.00 

 3.00 −3.00 1.00  AdjA -1 = A =  -2.50 4.00 −1.50  A  0.50 −1.00 0.50 

 3.00 -2.50 0.50  A =  -3.00 4.00 -1.00  ,  1.00 -1.50 0.50 

 x  y  = AT . H i []    z 

T

diperoleh x = 1.00;

 x   3.00 -2.50 0.50   6.00   y  = -3.00 4.00 -1.00  14.00        z   1.00 -1.50 0.50  36.00 

y = 2.00;

z = 3.00


51

c.

Perhatikan PLS berikut ini : x1 − x2 + x3 − 2 x4 = 8

2 x1 − x2 + 2 x3 − x4 = 5 − x1 + x2 + 2 x3 − x4 = 4 x1 + 2 x2 + 4 x3 − x4 = 5 1 2 A=   −1  1

1 2 AH =   −1  1

−1 1 2  8   5  −1 2 −1 ; H =   4 1 2 −1    2 4 −1 5 

−1 1 −2 −1 2 −1 1 2 −1 2 4 −1

8 5  4  5

⇓ 1.000  0.000 AH =   0.000   0.000

diperoleh

d.

-1.000 1.000 -2.000 -1.000 1.000 1.000 0.000 0.000

3.000 -3.000 0.000 10.000

x1 = 0.200;

x2 = -0.200

x3 = 0.400;

x4 = -3.600

8.000  -3.000  12.000   -36.000 

Perhatikan PLS berikut ini :

x + 3 y + 6 z = 17 2 x + 8 y + 16 z = 42 5 x + 21 y + 45 z = 91


52

1 3 6  17    A =  2 8 16  ; H =  42   5 21 45  91 1 3 6 17  AH =  2 8 16 42  5 21 45 91  ⇓ 1.000 3.000 AH =  0.000 2.000  0.000 0.000 diperoleh x1 = 5.000; e.

6.000 17.000  4.000 8.000  3.000 -18.000  x2 = 16.000;

x3 = -6.000


x1 − x2 + 2 x3 = 1 3 x1 − 4 x2 + 8 x3 = 0 x1 + 3 x2 + 5 x3 = −1 1 -1 2  A = 3 -4 8  ; 1 3 5 

1 H =  0  -1

1.000 -1.000 AH = 3.000 -4.000 1.000 3.000

2.000 1.000  8.000 0.000  5.000 -1.000 

⇓ 1.000 -1.000 AH =  0.000 -1.000  0.000 0.000 diperoleh x1 = 4.000;

2.000 1.000  2.000 -3.000  11.000 -14.000  x2 = 0.455;

x3 = -1.273 Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

53

2.

Selesaikan Persamaan Linier Serentak (PLS) berikut ini dengan metode

Elimininasi Gauss. a.


9, 3746 x1 + 3, 0416 x2 − 2, 4371x3 = 9, 2333 3, 0416 x1 + 6,1832 x2 + 1, 2163 x3 = 8, 2049 −2, 4371x1 + 1, 2163 x2 + 3, 4429 x3 = 3, 9330  9.3746 3.0416 -2.4371  A H =  3.0416 6.1832 1.2163  -2.4371 1.2163 3.4429  ⇓  9.375  A H =  0.000  0.000 

3.042 -2.437 5.196 2.007 0.000

diperoleh x1 = 1.476;

b.

2.040

9.2333  8.2049  3.9330  9.233  5.209  4.321

x2 = 0.184;

x3 = 2.118


0, 7634 x1 + 0, 9265 x2 + 1, 7532 x3 = 4,1287 2,1524 x1 + 6, 3754 x2 + 1, 8174 x3 = 10, 2853 0, 7232 x1 − 5, 9176 x2 + 2, 3146 x3 = −5,1287  0.7634 0.9265 1.7532  A H =  2.1524 6.3754 1.8174  0.7232 -5.9176 2.3146  ⇓

4.1287   10.2853 -5.1287 


54

 0.763  A H =  0.000 0.000 

0.926 1.753 3.763 -3.126 0.000 -4.991

diperoleh x1 = -1.761;

c.

4.129   -1.356  -11.488

x2 = 1.552;

x3 = 2.302


2,1x1 − 4, 5 x2 − 2, 0 x3 = 19, 07 3, 0 x1 + 2, 5 x2 + 4, 3 x3 = 3,12 −6, 0 x1 + 3, 5 x2 + 2, 5 x3 = −18, 25

 2.1 -4.5 -2  A H =  3 2.5 4.3  −6 3.5 2.5  ⇓  2.100  A H =  0.000  0.000 

-4.500 -2.000 8.929 7.157 0.000

diperoleh x1 = 1.335;

d.

19.07   3.12  −18.25

4.286

19.070   -24.123 10.955 

x2 = -4.750;

x3 = 2.556


11, 2 x1 − 14, 5 x2 + 33, 2 x3 = 25,1 54, 4 x1 − 5, 56 x2 + 3,12 x3 = 88,12 44,1x1 + 23, 51x2 − 32, 85 x3 = 66, 25


55

11.2 -14.5 33.2  A H = 54.4 −5.56 3.12  44.1 23.51 −32.85  ⇓

25.1   88.12  66.25

11.2000 -14.5000 33.2000  A H =  0.0000 64.8686 -158.1371  0.0000 0.0000 32.9215  diperoleh x1 = 1.6214;

e.

x2 = 0.1759;

25.1000   -33.7943 9.4105  x3 = 0.2858


3, 41x1 + 1, 23 x2 − 1, 09 x3 = 4, 72 2, 71x1 + 2,14 x2 − 1, 29 x3 = 3,10 1, 89 x1 − 1, 91x2 − 1, 89 x3 = 2, 91  3, 41 1, 23 −1, 09  A H =  2, 71 2,14 −1, 29 1, 89 −1, 91 −1, 89  ⇓

4, 72   3,10  2, 91

 3, 4100 1, 2300 −1, 0900  A H =  0.0000 1.1625 -0.4238 0.0000 0.0000 -2.2306  diperoleh x1 = 1.6838;

4, 7200   -0.6511 -1.1576 

x2 = -0.3709;

x3 = 0.5190


56

3.

Selesaikan Persamaan Linier Serentak (PLS) berikut ini dengan metode Gauss-

Seidel a.

Perhatikan tabel PLS berikut ini :

x1

x2

x3

c

3,5 2,7 -4

2,8 8 -3,6

6,2 3 -2,8

9,8999 -6,1744 5,6512

Hasil komputasi konvergen. Oleh karena itu digunakan metode Invers Matriks sehingga diperoleh x1 = -3.0347; b.

x2 = -1.1904;

x3 = 3.8475

Perhatikan tabel PLS berikut ini :

x1

x2

x3

c

1,02 -0,11 -0,11

-0,05 1,03 -0,12

-0,1 -0,05 1,04

0,705 0,849 1,398

iterasi ke-

x1[i]

x2[i]

x3[i]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.77941 0.83891 0.84302 0.84308 0.84309 0.84309 0.84309 0.84309 0.84309 0.84309 0.84309 0.84309

0.90751 0.9882 0.9894 0.98943 0.98943 0.98943 0.98943 0.98943 0.98943 0.98943 0.98943 0.98943

1.53138 1.54699 1.54756 1.54757 1.54757 1.54757 1.54757 1.54757 1.54757 1.54757 1.54757 1.54757

diperoleh x1 = 0.84309; x2 = 0.98943; x3 = 1.54747 dan stabil pada iterasi ke-12. Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

57

c.


27 x + 6 y − z = 85 6 x + 15 y + 2 z = 72 x + y + 54 z = 110 ⇓ 1 (85 − 6 y + z ) 27 1 y = ( 72 − 6 x − 2 z ) 15 1 z = (110 − x + z ) 54 x=

iterasi ke-

x[i]

y[i]

z[i]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3.14815 2.43217 2.42569 2.42549 2.42548 2.42548 2.42548 2.42548 2.42548 2.42548 2.42548 2.42548 2.42548 2.42548

3.54074 3.57204 3.57294 3.57301 3.57302 3.57302 3.57302 3.57302 3.57302 3.57302 3.57302 3.57302 3.57302 3.57302

1.91317 1.92585 1.92595 1.92595 1.92595 1.92595 1.92595 1.92595 1.92595 1.92595 1.92595 1.92595 1.92595 1.92595

diperoleh x = 2.42548;

y = 3.57302; z = 1.92595 dan stabil pada

iterasi

ke-14.


58

PERSAMAAN TIDAK LINIER SERENTAK (PTLS)

1.

Mencari akar-akar persamaan tidak linier serentak menggunakan Metode

Newton-Rhapson. Akar-akar yang diperoleh dapat berbeda untuk setiap tebakan. Oleh karena itu lakukan substitusi ke persamaan untuk meyakinkannya !

x 2 + y 2 = 16 dan x 2 − y 2 = 4

a.

F ( x , y ) = x 2 + y 2 − 16 G ( x, y ) = x 2 − y2 − 4 tebakan awal x0 = 2, 0;

∂F = 2x ∂x ∂F = 2y ∂y

i ke-

∂G = 2x ∂x ∂G = −2 y ∂y

x

y

Fx

koreksi h 1 2 … 5 6

y0 = 3, 0

2.00000000 1.5000000000000000 3.50000000 -0.3214285714285710 … 3.16227766 -0.0000000002757569 3.162277660 -0.0000000000000003

Maka akan diperoleh

Gx

koreksi k 4.00000000 2.75000000 … 2.44948974 2.449489743

4.00000000 -1.2500000000000000 3.81250000 -0.2840909090909090 … 0.00000001 -0.0000000006099501 0.000000000 0.0000000000000002

x6 = 3,162277660;

-16.00000000 0.68750000 … 0.00000000 0.000000000

y6 = 2, 449489743 , dengan

koreksi


59

h = -0, 0000000000000003

error_limit adalah 0, 000000000000001

k = 0, 0000000000000002

x 2 + y = 11 dan x + y 2 − 4 = 0

b.

F ( x , y ) = x 2 + y − 11 G ( x, y ) = x + y 2 − 4 ∂F = 2x ∂x ∂F =1 ∂y

∂G =1 ∂x ∂G = 2y ∂y

tebakan awal x0 = 2, 0;

i ke-

y0 = 5, 0

x

y

Fx

koreksi h 1 2 … 7 8

2.000000000 1.1025641025641000 3.102564103 -0.0156424169683466 … 3.176909961 0.0000000000717555 3.176909961 0.0000000000000000

Gx

koreksi k 5.000000000 2.589743590 … 0.907243098 0.907243098

Maka akan diperoleh

-2.000000000 -2.4102564102564100 1.215647600 -1.1185843975363200 … 0.000000000 -0.0000000004739865 0.000000000 0.0000000000000000

x8 = 3,176909961;

23.000000000 5.809335963 … 0.000000001 0.000000000

y8 = 0, 907243098 , dengan

koreksi

h = 0, 0000000000000000 k = 0, 0000000000000000


60

x 2 + x − y 2 = 1 dan y − sin 2 ( x ) = 0

c.

F ( x, y ) = x 2 + x − y2 −1 G ( x , y ) = y − sin 2 ( x ) ∂F = 2x +1 ∂x ∂F = −2 y ∂y

∂G = −2 sin ( x ) ∂x ∂G =1 ∂y


i ke-

x

y0 = 2, 0

y

Fx

koreksi h 1 2 .. . 15 16 17

1.000000000 -1.0468887989429700 -0.046888799 0.9128398379011440 … 0.624098831 0.0000000000000345 0.624098831 0.0000000000000023 0.624098831 0.0000000000000001

Gx

koreksi k 2.000000000 0.464833401 … 0.116611240 0.116611240 0.116611240

-3.000000000 -1.5351665992072200 -1.260760330 -0.4663223625729950 … 0.000000000 0.0000000000003328 0.000000000 0.0000000000000217 0.000000000 0.0000000000000014

Maka akan diperoleh x17 = 0, 624098831 ;

1.498632034 0.464828574 … 0.000000000 0.000000000 0.000000000

y17 = 0,116611240 , dengan

koreksi

h = 0, 0000000000000001 k = 0, 0000000000000014


61

x sin ( x ) + xy 2 = 2, 3 dan x 2 y − y = 1, 8856

d.

F ( x , y ) = x sin ( x ) + xy 2 − 2, 3 G ( x , y ) = x 2 y − y − 1, 8856 ∂F = x cos ( x ) + y 2 ∂x ∂F = 2 xy ∂y

∂G = 2 xy ∂x ∂G = x2 −1 ∂y


i ke-

x

y0 = 1, 0

y

Fx

koreksi h 1 2 … 26 27 28

4.000000000 -1.7638830385974600 2.236116961 -0.5036034610579960 … 1.610461741 -0.0000000000000009 1.610461741 0.0000000000000002 1.610461741 -0.0000000000000001

Gx

koreksi k 2.000000000 2.007181908 … 1.183242570 1.183242570 1.183242570

13.978973343 0.0071819078373003 6.796053210 -0.4057095418805120 … 0.000000000 0.0000000000000020 0.000000000 -0.0000000000000006 0.000000000 0.0000000000000002


28.114400000 6.143567335 … 0.000000000 0.000000000 0.000000000

y28 = 1,183242570 , dengan

koreksi

h = -0, 0000000000000001 k = 0, 0000000000000002


62

e.

x2 x1 = 12, 6 + x1e − x2 dan 4 ln x2 + x12 + 0, 3 = 3 x1 x2 F ( x , y ) = x1e − x2 − x2 x1 + 12, 6 G ( x , y ) = 4 ln x2 + x12 + 0, 3 − 3 x1 x2 ∂F = e x2 − x 2 ∂x1

∂G = 2 x1 − 3 x2 ∂x1

∂F = − x1e − x2 − x1 ∂x2

3 x1 4 ∂G = − ∂x2 x2 2 x2

(x

0 1

Misalkan tebakan awal

= 4, 0; x20 = 3, 0

)

Iterasi – 1

( ) G ( x , x ) = 4 ln ( 3) + ( 4 )

F x10 , x20 = 4e −3 − ( 3)( 4 ) − 12.6 = 0, 799148274 0 1

0 2

2

+ 0.3 − 3 ( 4 ) 3 = −0.090160536

Nilai turunan-turunannya adalah : ∂F = e − x2 − x2 = e −3 − 3 = 2, 9590212932 ∂x1 ∂F = − x1 − x1e − x2 = −4 − 4e −3 = −4,199148273 ∂x2 ∂G = 2 x1 − 3 x2 = 2 ( 4 ) − ( 3) 3 = 2, 803847577 ∂x1 3 x1 4 4 ( 3)( 4 ) ∂G = − = − = −2,130768282 ∂x2 x2 2 x2 3 2 3


63

i ke-

x1

x2

Fx

Gx

koreksi h 1

koreksi k

4.000000000 0.1152490693511090 4.115249069 -0.0020951293353404 4.113153940 -0.0000007926091429 4.113153147 -0.0000000000001358 4.113153147 0.0000000000000000

2 3 4 5

Maka akan diperoleh

3.000000000 3.109340978 3.108032145 3.108032080 3.108032080

0.799148274 0.1093409779565700 -0.012047526 -0.0013088331325797 -0.000002707 -0.0000000649815125 0.000000000 0.0000000000000843 0.000000000 0.0000000000000000

x15 = 4,113153147 ;

-0.090160536 0.003262659 0.000002184 0.000000000 0.000000000

x25 = 3,10803208 , dengan

koreksi h = 0, 0000000000000000 k = 0, 0000000000000000

Catatan : Pada

program

komputer,

error_limit

dibatasi

pada

10−16

atau

0, 0000000000000001 .

f.

x 4 + 4 xy = 17, 6625 dan y 2 + 2 xy = 7, 41

F ( x , y ) = x 4 + 4 xy − 17, 6625 G ( x , y ) = y 2 + 2 xy − 7, 41 ∂F = 4 x3 + 4 y ∂x ∂F = 4x ∂y

∂G = 2y ∂x ∂G = 2 y + 2x ∂y


64


i ke-

x

1

3.000000000 -0.7441733870967740 2.255826613 -0.4211196444749540 1.834706968 -0.1561807141057320 1.678526254 -0.0218688089002542 1.656657445 -0.0003937204504255 1.656263725 -0.0000001163171119 1.656263609 -0.0000000000000095 1.656263609 0.0000000000000000

y0 = 6, 0

y

Fx

6.000000000

135.337500000 -3.0922177419354800 34.470724704 -1.1343863077302800 6.683111165 -0.2339618018894320 0.611449220 -0.0093984352421978 0.008836725 0.0001106816551952 0.000002378 0.0000000676104512 0.000000000 0.0000000000000064 0.000000000 -0.0000000000000001

koreksi h

2 3 4 5 6 7 8

Maka

akan

Gx

koreksi k

2.907782258 1.773395950 1.539434148 1.530035713 1.530146395 1.530146462 1.530146462

diperoleh

x8 = 1, 656263609 ;

64.590000000 14.164102865 2.242257012 0.127818767 0.000499396 -0.000000075 0.000000000 0.000000000

y8 = 1, 530146462 ,

dengan

koreksi

h = 0, 0000000000000000 k = −0, 0000000000000001

g.

x 4 + x − y 2 = 1 dan y − sin 2 ( x ) = 0 F ( x, y ) = x 4 + x − y 2 −1 G ( x, y ) = y − ∂F = 4 x3 + 1 ∂x ∂F = −2 y ∂y

1 (1 − cos ( 2 x ) ) 2 ∂G = − sin ( 2 x ) ∂x ∂G =1 ∂y Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

65


i ke-

x

1

4.000000000 -1.0295060713441600 2.970493929 -0.7613996565092520 2.209094272 -0.5802940415417320 … 0.724491969 0.0000000000000033 0.724491969 -0.0000000000000023 0.724491969 0.0000000000000015

y0 = 2, 0

y

Fx

2.000000000

255.000000000 -2.1383885660263900 79.811392173 0.0622798720011739 25.018653380 0.0328991123780410 … 0.000000000 0.0000000000000002 0.000000000 -0.0000000000000001 0.000000000 0.0000000000000001

koreksi h

2 3 … 79 80 81

Gx

koreksi k

-0.138388566 -0.076108694 … 0.000159821 0.000159821 0.000159821


1.995135867 -0.141073040 -0.077593960 … 0.000000000 0.000000000 0.000000000

y81 = 0.000159821 , dengan

koreksi

h = 0, 0000000000000015 k = 0, 0000000000000001

h.

x cos ( y ) − xy = 0, 41534 dan ye x − xy = 2, 2437

F ( x , y ) = x cos ( y ) − xy − 0, 41534 G ( x , y ) = ye x − xy − 2, 2437 ∂F = cos ( y ) − y ∂x

∂G 1 = ye x − ∂x 2

∂F = − sin ( y ) − x ∂y

∂G 1 = ex − ∂y 2

y x x y Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

66


i ke-

y0 = 3, 0

x

y

Fx

koreksi h 1 2 3 4 … 15 16 17

Gx

koreksi k

8.000000000 -0.3482631008394370 7.651736899 -0.9067845334851400 6.744952366 -0.9733320810350020 5.771620285 -0.9694631407026090 … 1.512382397 0.0000000000008801 1.512382397 0.0000000000000057 1.512382397 0.0000000000000001

3.000000000 1.046614593 0.951324092 0.931329216 … 0.725293597 0.725293597 0.725293597

-16.426299587 8935.731269558 -1.9533854072063100 -0.773298693 2197.314716493 -0.0952905007863129 -0.087952685 803.619065435 -0.0199948756541192 -0.019760489 294.448079780 -0.0148942944500605 … … 0.000000000 0.000000000 -0.0000000000006793 0.000000000 0.000000000 -0.0000000000000044 0.000000000 0.000000000 0.0000000000000000


y17 = 0, 725293597 , dengan

koreksi

h = 0, 0000000000000001 k = 0, 0000000000000000

i.

x + 3 log ( x ) − y 2 = 0 dan 1 + 2 x 2 + xy − 5 x = 0

F ( x , y ) = x + 3 log ( x ) − y 2 G ( x , y ) = 1 + 2 x 2 + xy − 5 x ∂F 3 = 1 + log ( e ) ∂x x ∂F = −2 y ∂y

∂G = 4x + y − 5 ∂x ∂G =x ∂y Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

67


i ke-

y0 = 5, 20

x

y

koreksi h 1 2 3 4 5 6 7

Fx

Gx

koreksi k

1.600000000 -0.3809152581543940 1.219084742 0.0393449129111594 1.258429655 0.1991791908355560 1.457608846 0.0011799137341786 1.458788759 0.0001014692921717 1.458890229 0.0000000015335058 1.458890230 0.0000000000000000

5.200000000 2.746275440 1.656900369 1.420915149 1.396904760 1.396767016 1.396767009

-24.827640052 -2.4537245601131200 -6.064842363 -1.0893750712423200 -1.187402345 -0.2359852200649350 -0.070468028 -0.0240103882875551 -0.000576925 -0.0001377442295186 -0.000000022 -0.0000000068809239 0.000000000 -0.0000000000000001


6.440000000 1.224853992 -0.039765323 0.032341355 -0.000025546 0.000000007 0.000000000

y7 = 1, 396767009 , dengan

koreksi

h = 0, 0000000000000000 k = −0, 0000000000000001

j.

x22 − x12 = 4 dan e x1 + x2 = 1 F ( x , y ) = x22 + x12 − 4 G ( x , y ) = e x1 + x2 − 1 ∂F = 2 x1 ∂x1

∂G = e x1 ∂x1

∂F = 2 x2 ∂x2

∂G =1 ∂x2 Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

68

tebakan awal x0 = −3, 0;

i ke-

x

y0 = 6, 0

y

koreksi h 1 2 3 4 5 6 7 8

-3.00000000 -2.9704598300205300 -5.97045983 2.7314348339496700 -3.23902500 1.1308520345716300 -2.10817296 0.2736641773681610 -1.83450878 0.0181557077581688 -1.81635308 0.0000890053443775 -1.81626407 0.0000000021819721 -1.81626407 -0.0000000000000001

Fx

Gx

koreksi k 6.00000000 1.09810342 0.99047340 0.91646613 0.84530116 0.83740875 0.83736780 0.83736780

Maka akan diperoleh

41.00000000 -4.9018965816769300 32.85222170 -0.1076300221120800 7.47232047 -0.0740072679711272 1.28430340 -0.0711649657696085 0.07995653 -0.0078924081682528 0.00039192 -0.0000409534581494 0.00000001 -0.0000000009990004 0.00000000 0.0000000000000000

x18 = -1, 81626407 ;

5.04978707 0.10065649 0.02967550 0.03792580 0.00499309 0.00002648 0.00000000 0.00000000

x28 = 0, 83736780 , dengan

koreksi

h = −0, 0000000000000001 k = 0, 0000000000000000


69

2.

Mencari akar-akar persamaan nonlinier serentak menggunakan Metode Iterasi

x = F ( x , y , z , .. )

a.

x 4 + 4 xy = 17, 6625 dan y 2 + 2 xy = 7, 41

1

x 4 = 17, 6625 − 4 xy →

x = (17, 6625 − 4 xy ) 4

y 2 = 7, 41 − 2 xy →

y = ( 7, 41 − 2 xy ) 2

1

1

F1 ( x , y ) = (17, 6625 − 4 xy ) 4 1

F2 ( x , y ) = ( 7, 41 − 2 xy ) 2 3 ∂F1 1 − = . ( −4 y )(17, 6625 − 4 xy ) 4 = − ∂x 4 3 ∂F1 1 − = . ( −4 x )(17, 6625 − 4 xy ) 4 = − ∂y 4 1 ∂F2 1 − = . ( −2 y )( 7, 41 − 2 xy ) 2 = − ∂x 2 1 ∂F2 1 − = . ( −2 x )( 7, 41 − 2 xy ) 2 = − ∂y 2

y 3

(17, 6625 − 4 xy ) 4 x 3

(17, 6625 − 4 xy ) 4 y 1

( 7, 41 − 2 xy ) 2 x 1

( 7, 41 − 2 xy ) 2

Hasil perhitungan lihat jawaban soal No. 1.f. di atas.


70

b.

x 4 + x − y 2 = 1 dan y − sin 2 ( x ) = 0

x = y2 − x4 + 1 y = sin 2 ( x ) =

1 1 − cos ( 2 x ) 2 2

F1 ( x , y ) = y 2 − x 4 + 1 F2 ( x , y ) =

∂F1 ∂x ∂F1 ∂y ∂F2 ∂x ∂F2 ∂y

1 1 − cos ( 2 x ) 2 2

= −4 x 3 = 2y 1 = − . ( 2 ) sin ( 2 x ) = − sin ( 2 x ) 2 =0

Hasil perhitungan lihat jawaban soal No. 1.g. di atas.


71

c.

x22 − x12 = 4 dan e x1 + x2 = 1

(

x1 = − 4 − x2 2 x2 = 1 − e

)

1 2

x1

⇓

(

F1 ( x1 , x2 ) = − 4 − x F2 ( x1 , x2 ) = 1 − e

1 2 2 2

)

∂F1 =0 ∂x1

∂F1 =− ∂x2

∂F2 = −e x1 ∂x1

∂F2 =0 ∂x2

1 2 2 2

(4 − x )

x1

Tebakan awal x10 = −1, 8;

x20 = 0, 8 , maka :

∂F1 =0 ∂x1

∂F1 = -0, 436436 ∂x2

∂F2 = -0,165299 x1

∂F2 =0 ∂x2

Syarat

x2

∂F1 ∂F1 ∂F 2 ∂F2 + = -0, 436436 < 1 dan + = -0,165299 < 1 dipenuhi. ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2

Iterasi – 1

( n+1)

x1

x2 (

n +1)

(

= x = − 4− x 1 1

1 2 2 2

)

(

= − 4 − ( 0, 8)

1 2 2

)

= -1, 83303028

= x12 = 1 − e x1 = 1 − e −1,8 = 0, 83470111

Iterasi – 2

(

x = − 4 − ( 0, 83470111) 2 1

1 2 2

)

= -1, 81749114

x22 = 1 − e -1,83303028 = 0, 84007179 Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

72

iterasi ke-

x1

x2

1 2 3 4 5 10 … 23 24 25 26 27

-1.83303028 -1.81749114 -1.81501498 -1.81617211 -1.81635777 -1.81626411 … -1.81626407 -1.81626407 -1.81626407 -1.81626407 -1.81626407

0.83470111 0.84007179 0.83756724 0.83716453 0.83735284 0.83736789 … 0.83736780 0.83736780 0.83736780 0.83736780 0.83736780

Maka akan diperoleh x127 = -1, 81626407 ;

x227 = 0, 83736780 , dengan

iterasi sebanyak 27 kali. Bandingkan dengan jawaban soal No. 1.j. di atas.

d.

x cos ( y ) − xy = 0, 41534 dan ye x − xy = 2, 2437

x ( cos ( y ) − y ) = 0, 41534 → y=

x=

0, 41534 ( cos ( y ) − y )

2, 2437 + xy ex

F1 ( x , y ) =

0, 41534 ( cos ( y ) − y )

F2 ( x , y ) =

2, 2437 + xy ex


73

∂F1 =0 ∂x

0, 41534 ( sin ( y ) + 1) −2 ∂F1 = −0, 41534 ( − sin ( y ) − 1) ( cos ( y ) − y ) = 2 ∂y ( cos ( y ) − y )  1 − 12  y  e x − 2, 2437 + xy e x  .x ∂F2  2  = = ∂x e2x  1 − 12  x  e x − 2, 2437 + xy e x  .y ∂F2  2  = = ∂y e2x

(

)

1 2

y − 2, 2437 + xy x ex

(

)

1 2

x − 2, 2437 + xy y ex

(

)

(

)

Hasil perhitungan lihat jawaban soal No. 1.h. di atas.

e.

x + 3 log x − y 2 = 0 dan 1 + 2 x 2 + xy − 5 x = 0

x = y 2 − 3 log x y=

5x − 2 x2 −1 x

F1 ( x , y ) = y − 3 log x 2

F2 ( x , y ) =

5x − 2 x2 −1 x

∂F1 3 = − log e x ∂x ∂F1 = 2y ∂y

(

)

2 ∂F2 ( 5 − 4 x ) x − 5 x − 2 x − 1 .1 1 − 2 x 2 = = x2 x2 ∂x ∂F2 =0 ∂y

Hasil perhitungan lihat jawaban soal No. 1.i. di atas.


74

INTEGRASI NUMERIK

1.

Menentukan luas daerah dari table data menggunakan Metode Trapezoidal. a.

Perhatikan Tabel Data berikut :

x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

u(x) 1.0300 1.7103 1.6388 1.6093 1.6179 1.6612 1.7366

Dengan batas bawah = 0,10 , atas = 0, 70 dan interval 0,10 , diperoleh Luas daerah kurva L adalah 0, 9621

b.


x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

u(x) 11.4862 11.1310 10.9164 10.8280 10.8536 11.9836 11.2098

Dengan batas bawah = 0,10 , atas = 0, 70 dan interval 0,10 , diperoleh Luas daerah kurva L adalah 6, 7061 Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

75

c.

Dapatkan luas kurva fungsi u ( x ) = x 2 dengan batasan 0 ≤ x ≤ 10

u(i)

x

u(x)

Sum u(x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

1.0 4.0 9.0 16.0 25.0 36.0 49.0 64.0 81.0

1.0 5.0 14.0 30.0 55.0 91.0 140.0 204.0 285.0

h  u0 + ( u1 + ...... + u9 ) + u10  2 1 =  0 + 2 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81) + 100  2 1 =  0 + 2 ( 285 ) + 100  2 670 = 2 = 335, 00

L=

Diperoleh Luas daerah kurva L adalah 335, 00

d.


x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

u(x) 54.8011 53.9722 53.4717 53.3653 53.3252 53.6284 54.1562


76

Dengan batas bawah = 0,10 , atas = 0, 70 dan interval 0,10 , diperoleh Luas daerah kurva L adalah 32, 2241 .

e.


x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 u(i) 1 2 3 4 5 6 7

x 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

u(x) 23.0 19.0 14.0 11.0 12.5 16.0 19.0 20.0 20.0 u(x) 19.00 14.00 11.00 12.50 16.00 19.00 20.00

Sum u(x) 19.00 33.00 44.00 56.50 72.50 91.50 111.50

0, 5  23 + 2 (19 + 14 + 11 + 12, 5 + 16 + 19 + 20 ) + 20  2  0, 5  0 + 2 (111, 5 ) + 100  = 2  266 = 2 = 66, 50

L=

Dengan batas bawah = 0, 00 , atas = 4, 00 dan interval 0, 50 , diperoleh Luas daerah kurva L adalah 66, 500 . Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

77

2.

Menentukan luas daerah dari suatu fungsi matematika menggunakan Metode

Simpson 1/3. 7

a.

∫x

2

ln x dx

3

u(i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0

u(x) 9.89 15.35 22.18 30.46 40.24 51.57 64.50 79.08 95.35

iterasi ke-

u(x)

L1(x)

L2(x)

1 2 3 4 5 6 7

15.35 22.18 30.46 40.24 51.57 64.50 79.08

15.35 15.35 45.80 45.80 97.37 97.37 176.46

0.00 22.18 22.18 62.42 62.42 126.92 126.92

h  u0 + 4 ( u1 + u3 + u5 + u7 ) + 2 ( u2 + u4 + u6 ) + u8  3 0, 5 9, 89 + 4 (15, 35 + 30, 46 + 51, 57 + 79, 08 )  =   3  +2 ( 22,18 + 40, 24 + 64, 50 ) + 95, 35  0, 5 9, 89 + 4 (176, 46 ) + 2 (126, 92 ) + 95, 35 = 3  532, 46 = 3 = 177, 4867 ( analitik )

L=

Dengan batas bawah = 3, 0 , atas = 7, 0 dan interval 0, 50 , diperoleh Luas daerah kurva L adalah 177, 4836 (numerik)


78 5

b.

∫ 2x

3

ln x dx

1

u(i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

u(x) 0.00 2.74 11.09 28.63 59.33 107.42 177.45 274.12 402.36

Dengan batas bawah = 1, 0 , atas = 5, 0 dan interval 0, 50 , diperoleh Luas daerah kurva L adalah 424, 9559

c.


x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

u(x) 23.0 19.0 14.0 11.0 12.5 16.0 19.0 20.0 20.0

iterasi ke-

u(x)

L1(x)

L2(x)

1 2 3 4 5 6 7

19.00 14.00 11.00 12.50 16.00 19.00 20.00

19.00 19.00 30.00 30.00 46.00 46.00 66.00

0.00 14.00 14.00 26.50 26.50 45.50 45.50


79

Dengan batas bawah = 0, 00 , atas = 4, 00 dan interval 0, 50 , diperoleh Luas daerah kurva L adalah 66, 33 .

5

d.

x3

∫ (1 + x ) 2

1

u(i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

u(x) 0.50 1.04 1.60 2.16 2.70 3.24 3.76 4.29 4.81


5

e.

∫(x + 1

)

x dx

u(i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

u(x) 2.00 2.72 3.41 4.08 4.73 5.37 6.00 6.62 7.24

Dengan batas bawah = 1, 0 , atas = 5, 0 dan interval 0, 50 , diperoleh Luas daerah kurva L adalah 18, 7868 Bank Soal Metode Komputasi – 2006 Copyright @ Mayor Lek Arwin D.W. Sumari, S.T.

80

3.


Simpson 3/8.

a.


u(i) 0 1 2 3 4 5 6 7

x 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75

u(x) 2.7726 4.1053 5.7268 7.6502 9.8875 12.4495 15.3463 18.5872

iterasi ke-

u(x)

L1(x)

L2(x)

1 2 3 4 5 6

4.1053 5.7268 7.6502 9.8875 12.4495 15.3463

4.1053 9.8321 9.8321 19.7196 32.1691 32.1691

0.0000 0.0000 7.6502 7.6502 7.6502 22.9965

3h ( u0 + 3 ( u1 + u2 + u4 + u5 ) + 2 ( u3 + u6 ) + u7 ) 8 3 ( 0, 25 )  2, 7726 + 3 ( 4,1053 + 5, 7268 + 9, 8875 + 12, 4495 )  =    +2 ( 7, 6502 + 15, 3463) + 18, 5872  8   3 ( 0, 25 ) = ( 2, 7726 + 3 ( 32,1691) + 2 ( 22, 9965) + 18, 5872 ) 8 122, 895075 = 8 = 15, 361884375 ≅ 15, 3619

L=



81

b.


u(i)

x

u(x)

0 1 2 3 4 5 6

1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8

1.449 2.060 2.645 3.216 3.779 4.338 4.898

iterasi ke-

u(x)

L1(x)

L2(x)

1 2 3 4 5

2.060 2.645 3.216 3.779 4.338

2.060 4.705 4.705 8.484 12.822

0.000 0.000 3.216 3.216 3.216


c.


u(i) 0 1 2 3 4 5 6 7

x 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 3.20 3.40

u(x) 11.0900 16.7910 24.2050 33.5880 45.2040 59.3250 76.2280 96.1990


82

4.


Weddle. 4

a.

∫x

2

ln x dx

3

u(i)

x

f(x)

0 1 2 3 4 5 6

3.0 3.2 3.3 3.5 3.7 3.8 4.0

9.888 11.559 13.377 15.346 17.468 19.745 22.181

Dengan batas bawah = 3, 0 , atas = 4, 0 dan interval 0,17 , diperoleh Luas daerah kurva L adalah 15, 57566

7

b.

ln x

∫ 2x

3

dx

1

u(i)

x

f(x)

0 1 2 3 4 5 6

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

0.000 0.043 0.020 0.011 0.006 0.004 0.003


83

2

c.

2z 3

∫ (1 + z ) dx 2

1

u(i)

x

f(x)

0 1 2 3 4 5 6

1.0 1.2 1.3 1.5 1.7 1.8 2.0

1.000 1.345 1.707 2.077 2.451 2.826 3.200

Dengan batas bawah = 1, 0 , atas = 2, 0 dan interval 0,17 , diperoleh Luas daerah kurva L adalah 2, 08371

5,2

d.

∫ ln x dx 4

u(i)

x

f(x)

0 1 2 3 4 5 6

4.000 4.200 4.400 4.600 4.800 5.000 5.200

1.3863 1.4351 1.4816 1.5261 1.5686 1.6094 1.6487


84

3h ( un−6 + 5un−5 + un−4 + 6un−3 + un−2 + 5un−1 + un ) 10 3h = ( u0 + 5u1 + u2 + 6u3 + u4 + 5u5 + u6 ) 10 3 ( 0, 2 ) = (1, 3863 + 5 (1, 4351) + 1, 4816 + 6 (1, 5261) + 1, 5685 + 5 (1, 6094 ) + 1, 6487 ) 10 18, 27852 = 10 = 1, 827852 ( analitik )

L=

Dengan batas bawah = 4, 0 , atas = 5, 2 dan interval 0, 2 , diperoleh Luas daerah kurva L adalah 1, 8278474073 (numerik)

4

e.

∫ (e 2

x

)

+ 3 x dx

u(i)

x

f(x)

0 1 2 3 4 5 6

2.0 2.3 2.7 3.0 3.3 3.7 4.0

8.389 11.312 15.392 21.086 29.032 40.121 55.598



85

DIFERENSIASI NUMERIK

1.

Cari

nilai

y ( 0,1)

persamaan

diferensial

f ( x, y ) =

y ( 0 ) = y0 = 1, 5 menggunakan Metode Taylor.

y ( xm ) = y ( xm −1 ) + hy ' ( xm −1 ) + h

2

y '' ( xm −1 ) 2!

+h

3

y ''' ( xm −1 ) 3!

dy = x+ y dx

+ .......... + h

n

dengan

y n ( xm −1 ) n!

⇓ y ( 0,1) = y ( 0 ) + hy ' ( 0 ) + h

y '' ( 0 )

y ''' ( 0 )

yn ( 0)

+h + .......... + h 2! 3! n! 2 2, 5 3 2, 5 10 2, 5 = 1, 5 + ( 0,1)(1, 5 ) + ( 0,1) + ( 0,1) + .............. + ( 0,1) 2! 3! 10 ! = 1, 6629273 2

3

n

Data ke-

Turunan ke - y[i]

Suku Deret ke-

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50

0.15000 0.16250 0.16292 0.16293 0.16293 0.16293 0.16293 0.16293 0.16293 0.16293


86

2.

Cari

y ( 0,1)

nilai

persamaan

diferensial

f ( x, y ) =

y ( 0 ) = y0 = 2 menggunakan Metode Euler.

dy y − x = dx y + x

dengan

x n − x0 n ∆yn −1 = f ( xn −1 , yn −1 ) ∆x ∆x =

yn = yn −1 + ∆yn −1

Iterasi

x[i]

dy[i]

dx[i]

y[i]

1 2 3 4 5

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

0.02000 0.01961 0.01923 0.01887 0.01852

0.02 0.02 0.02 0.02 0.02

2.02000 2.03961 2.05884 2.07771 2.09622

Dengan h = 0, 2 dan iterasi n = 5 , diperoleh y ( 0,1) = 2, 09622

dy = y + x dengan dx y ( 0 ) = y0 = 1, 5 menggunakan Metode Euler yang dimodifikasi (Modified Euler).

3.

Cari

nilai

y ( 0,1)

persamaan

diferensial

f ( x, y ) =

h = ∆x yn( ) = yn −1 + h  f ( xn−1 , yn −1 )  0

h k f ( xn −1 , yn −1 ) + f ( xn , yn )    2 k = 0,1, 2, 3, ............ n = 1, 2, 3, 4, ............ yn(

k +1)

= yn−1 +


87

Iterasi – 1

Iterasi

x[i]

y[i]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05

1.578125 1.578203 1.578205 1.578205 1.578205 1.578205 1.578205 1.578205 1.578205 1.578205

Dari proses pertama diperoleh y1 = y ( 0, 05 ) = 1, 578205

Iterasi – 2

Dengan

Iterasi

x[i]

y[i]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

1.662901 1.662983 1.662985 1.662985 1.662985 1.662985 1.662985 1.662985 1.662985 1.662985

x0 = x ( 0 ) = 0;

y2 = y ( 0,1) = 1, 662985

y0 = y ( 0 ) = 1, 5

dan

interval

h = 0, 05 ,

diperoleh


88

dy = y+ x dx y ( 0 ) = y0 = 1, 5 menggunakan Metode Runge-Kutta Orde Empat.

4.

Cari

y ( 0,1)

nilai

yn+1 = yn +

persamaan

diferensial

f ( x, y ) =

dengan

h [ k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ] 6

k1 = f ( xn , yn ) h h   k2 = f  xn + , yn + k1  2 2   h h   k3 = f  x n + , y n + k 2  2 2   k4 = f ( xn + h, yn + hk3 ) n = 1, 2, 3, 4, ...................

Iterasi

k1

k2

k3

k4

y[i]

1 2

1.50000 1.62818

1.56250 1.69388

1.56406 1.69552

1.62820 1.76295

1.57818 1.66293

Dengan

x0 = x ( 0 ) = 0;

y2 = y ( 0,1) = 1, 66293

y0 = y ( 0 ) = 1, 5

dan

interval

h = 0, 05 ,

diperoleh


89

5.

Cari

nilai

y ( 0, 6 )

persamaan

diferensial

f ( x, y ) =

dy = x+ y dx

dengan

menggunakan Metode Adam dengan data dalam tabel sebagai berikut :

yn+1 = yn +

Data ke-

x[i]

y[i]

1 2 3 4

0.2 0.3 0.4 0.5

1.2428 1.3997 1.5836 1.7974

h ( 55 f n − 59 f n−1 + 37 f n−2 − 9 f n−3 ) 24

Setelah melalui proses iterasi diperoleh tabel berikut ini :

Data ke-

x[i]

y[i]

f[i]

1 2 3 4

0.2 0.3 0.4 0.5

1.2428 1.3997 1.5836 1.7974

1.4428 1.6997 1.9836 2.2974

Maka :

y ( 0, 6 ) = 1, 7974 +

0, 1 ( 55 ( 2, 2974 ) − 59 (1, 9836 ) + 37 (1, 6997 ) − 9 (1, 4428) ) 24

= 2, 04418 Dengan interval h = 0,1 diperoleh y [ 0, 6] = 2, 04418


90

6.

Cari

y ( 0, 6 )

nilai

persamaan

diferensial

f ( x, y ) =

dy = x+ y dx

dengan

menggunakan Metode Milne dengan data dalam tabel sebagai berikut :

Data ke-

x[i]

y[i]

1 2 3 4

0.2 0.3 0.4 0.5

1.2428 1.3997 1.5836 1.7974

Persamaan Prediksi :

yn+1 = yn −3 +

Persamaan Koreksi :

4h ( 2 f n−2 − f n−1 + 2 f n ) 3

yn+1 = yn−3 +

4h ( 2 f n−2 − f n−1 + 2 f n ) 3


Data ke-

x[i]

y[i]

f[i]

1

0.2

1.2428

1.4428

f n−3 = f1

2

0.3

1.3997

1.6997

f n− 2 = f 2

3

0.4

1.5836

1.9836

f n−1 = f 3

4

0.5

1.7974

2.2974

fn = f4

Prediksi :

y ( 0, 6 ) = 1, 2428 +

4 ( 0,1) 3

( 2 (1, 6997 ) − 1, 9836 + 2 ( 2, 2974 ) )

= 2, 04421

Koreksi : y ( 0, 6 ) = 1, 5836 +

0, 1 (1, 9836 + 4 ( 2, 2974 ) + 2, 64421) 3

= 2, 04418

Maka y ( 0, 6 ) = 2, 04418 dengan interval h = 0,1 .


91

7.

Cari

nilai

y ( 0, 6 )

persamaan

diferensial

f ( x, y ) =

dy = x+ y dx

dengan

menggunakan Metode Adam-Moulton dengan data dalam tabel sebagai berikut :

Data ke-

x[i]

y[i]

1 2 3 4

0.2 0.3 0.4 0.5

1.2428 1.3997 1.5836 1.7974

Persamaan Prediksi :

yn+1 = yn +

Persamaan Koreksi :

h ( 55 f n − 59 f n−1 + 37 f n−2 − 9 f n−3 ) 24

yn+1 = yn−3 +

h ( 9 f n+1 + 19 f n − 5 f n−1 + f n−2 ) 24


Data ke-

x[i]

y[i]

f[i]

1

0.2

1.2428

1.4428

f n−3 = f1

2

0.3

1.3997

1.6997

f n− 2 = f 2

3

0.4

1.5836

1.9836

f n−1 = f 3

4

0.5

1.7974

2.2974

fn = f4

Prediksi : y ( 0, 6 ) = 1, 7974 +

0, 1 ( 55 ( 2, 2974 ) − 59 (1, 9836 ) + 37 (1, 6997 ) − 9 (1, 4428) ) 24

= 2, 04418

Koreksi :

y ( 0, 6 ) = 1, 7974 +

0,1 ( 9 ( 2, 64418) + 19 ( 2, 2974 ) − 5 (1, 9836 ) + 1, 6997 ) 24

= 2, 04419 Maka y ( 0, 6 ) = 2, 04419 dengan interval h = 0,1 .


v

DAFTAR PUSTAKA

1.

____________, “Metode Komputasi”, Diktat Kuliah Karbol AAU, Skep Gubernur

AAU No.Skep/250/XII/1994 tanggal 23 Desember 2004, AAU, Yogyakarta, 2004. 2.

Atkinson, Kendall E., “An Introduction to Numerical Analysis”, 2nd Ed., John

Wiley & Sons Inc., USA, 1989. 3.

Basuki, Drs. A. dan Nana R., S.Kom, “Metode Numerik dan Algoritma

Komputasi”, Andi Offset, Yogyakarta, 2005 4. 2

nd

5.

Chapra, Steven C. dan Raymond P. Canale, “Numerical Methods for Engineer”, Ed., McGraw-Hill, USA, 1988. Croft,

Anthony;

Robert

Davison

dan

Martin

Hargreaves,

“Engineering

Mathematics: A Modern Foundation for Electronic, Electrical and Control Engineers”, Addison-Wesley, USA, 1992. 6.

Djojodihardjo, Harijono, “Metode Numerik”, Gramedia, Jakarta, 2000.

7.

Kreyszig, Erwin, “Advanced Engineering Mathematics”, 7th Ed., Wiley & Sons

Inc., USA, 1993. 8.

Munir, Rinaldi, “Metode Numerik”, Informatika, Bandung, 2003.

9.

Rice, John H., “Numerical Methods, Software and Analysis”, McGraw-Hil, USA,

1983.

BANK SOAL METODE KOMPUTASI

Recommend Documents