BabIV Perhitungan Probabilita
KAT A KUNCI Kombinasi: adalah suatu pengaturan atau urutan beberapa elemen atau obyek yang berbedabeda sebanyak j dari obyek sebanyak n dimana urutan pengaturan tidak dipermasalahkan. Permutasi: adalah suatu pengatum atau urutan beberapa elemen atau obyek yang berbedabeda sebanyak j dari obyek sebanyak n dimana urutan pengaturan suatu hal yang penting. Probabilita suatu kejadian: adalah jumlah kejadian yang terjadi dibagi dengan seluruh jumlah kejadian yang mungkin terjadi. Pengambilan sam pel dengan pengembalian: adalah metode pemilihan sampel dimana salah satu anggota yang telah dipilih dikembalikan lagi ke populasi dan dengan demikian dapat dipilih kembali. Pengambilan sam pel tanpa pengembalian: adalah suatu metode pemilihan sampel dimana satu anggota yang telah terpilih tidak dikembalikan lagi pda populasinya dan dengan demikian tidak dapat dipilih lagi. INTERPRETASIPROBABILITA Apa sebenamya probabilita itu? Ini adalah suatu pertanyaan yang rumit. Pemyataan ini perlu dipertimbangkan, "Jika kita melemparkan sebuah mata uang, maka kemungkinan munculnya sisi H adalah 1/2." Apa arti pemyataan ini? Ini adalah pertanyaan filosofis yang juga sulit. Menul1,ltpandangan frekuensi relatif tentang probabilita adalah: pemyataan itu berarti bahwa kemungkinan terjadinya kejaedian H dalam pelemparan mata uang adalah mendekati 112jika anda melakukan pelemparan berkali-kali dalamjumlah yang besar. Pandangan yang bersifat subyektif menyatakan bahwa probabilita adalah estimasi yang dilakukan oleh seorang individu tentang kemungkinan kejadian yang akan terjadi. Dalam hal ini dua orang individu mungkin mempunyai estimasi probabilita yang berbeda. Asumsi yang digunakan adalah bahwa kita mengerti arti dari pemyataan, "Dari suatu pelemparan mata uang kemungkinan terjadinya kejadian H adalah 1/2." Jika ini benar maka kita dapat menghitung probabilita untuk pelemparan mata uang berkali-kali. 40 ---
-
---
RUANG PROBABILITAS (PROBABILITY SPACES) Sekarang kita akan membentuk metode fonnal dalam menentukan probabilitas dengan percobaan acak (random). Pertama-tama kita akan membuat daftar semua kemungkinan hasil dari percobaan yang kita lakukan. Kita akan menggunakan teknik nama himpunan untuk daftar hasil ini. Himpunan juga nama fonnal untuk menyatakan sekumpulan obyek. Berikut ini beberapa contoh himpunan:
(Singapura, Philipina, Indonesia, Brunei) {Surabaya, Bandung, Semarang, Yogyakarta, Jakarta, Palembang, Medan, Padang} {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Himpunan dapat didefinisikan dengan dua metode. Kita dapat menggunakan metode membuat daftar seperti yang kita lakukan di atas. Kita hanya menuliskan semua anggota
himpunandalamsuatutandakurung:{ }.Dengan demikianjelasapayangtennadukdalam anggota himpunan dan apa yang bukan anggota himpunan. Himpunan juga dapat didefinisikan dengan membuat suatu aturan yang jelas yang menerangkan apa yang menjadi anggota himpunan. Misalnya, himpunan di atas dapat didefinisikan dengan suatu aturan sebagai berikut: himpunan negara-negara Asean himpunan ibu kota-ibu kota Propinsi di Pulau Jawa dan Pulau Sumatera. himpunan semua kemungkinan hasil pelemparan dadu.
·· ·
Dalam himpunan yangkedl, metode pendataan(penulisan)dan metode dengan membuat suaSu aturan cukup baik. Tetapi bila himpunan itu merupakan himpunan yang anggotanya banyak maka metode dengan membuat suatu aturan (rule method) akan bekerja lebih baik. Sebagai contoh, akan sangat sulit untuk mendata semua anggota himpunan-himpunan ini:
·· ·
·
himpunan semua anggota dari 1 sampai 1juta himpunan semua kemungkinan hasil pelemparan mata uang kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Himpunan ini disebut ruang probabilitas (probability space) atau kadang-kadangjugadisebut ruang sampel (sample space). Di bawahini beberapa conoth dari ruang probabilitas: percobaan: pelemparan mata uang satu kali ruang probabilita: {H, T} percobaan: pelempran mata uang tiga kali ruang probabilitas: {HHH, HHT, HTH, THH, THT, TTH, TTT}
· ·
percobaan: pelemparan dadu satu kali ruang probabilitas: {I, 2, 3,4, 5, 6} percobaan: pelemparan dadu dua kali ruang probabilitas: {( 1,1)(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)} 41
-
.
---
percobaan probabilitas:
{as jantung, as berlian, as sekop, as keriting, dua jantung, dua berlian, dua sekop, dua keriting, dsb. } (ada 52 e1emenyang yang harns ditulis di dalamnya).
Untuk menghindari kebosanan menulis ruang probabilitas, kadang-kadang kita menggunakan huruf S (short for space) untuk menyatakan ruang probabilitas. Satu hal yang penting bahwa setiap kemungkinan hasil dari suatu percobaan harns juga dimasukkan ke dalam ruang probabilitas. Kita menggunakan s kecil untuk menyatakan total hasil dalarnruang probabilitas s. Seperticontoh di atas,ruang probabilita pertama mempunyai dua kemungkinan hasil dan yang lainnya mempunyak 8, 6, 36 dan 52 hasil, dan kita mengasumsikan bahwa setiaphasil adalahsarna.Kemudian,bila adashasil, maka probabilitas setiap hasil adalah 1/s. Sekarang kita akan menggunakan ruang probabilita untuk memecahkan masalah yang praktis. Anggaplah kita sedang bermain monopoli, dan kita sedang berada di Brastagi. Kita ingin memiliki suatu tarnan, dan itu kita harns berjalan sejauh tujuh langkah. Seperti yang telah kita ketahui bahwa ada 36 kemungkinan hasil bila kita menggelindingkan dua buah dadu. Untuk mendapatkan nilai 7 ada beberapa kemungkinan yaitu (1,6) atau (2,5) atau (3,4) atau (4,3) atau (5,2) atau (6,1). Kita dapat meletakkan semua hasil tersebut dalarn suatu himpunan. Kita selalu menggunakan hurufbesar untuk menyatakan suatu himpunan, dan kita menyatakan himpunan ini sebagai himpunan A. A = { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,2) } Kita juga dapat mendefinisikan himpunan A dengan menggunakan metode kaidah (rule method): himpunan A adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari penggelindingan dua dadu dimana jumlah mata dadu yang dihasilkan adalah 7. Himpunan A mempunyai anggota sebanyak 6. Jika kita menggelindingkan dua buah dadu, kita akan mempunyai kesempatan yang sarna untuk mendapatkan satu dari 36 kemungkinan hasil. Dari kasus di atas kita dapat mengetahui probabilitas untuk mendapatkan jumlah dua mata dadu senilai 7, yaitu 6/35 = 1/6. Himpunan A adalah suatu contoh dari apa yang dinamakan kejadian. Kejadian adalah suatu himpunan yang beranggotakan sekumpulan hasil. Dalarn kasus kita.(1,6), (2,5) (3,4), (4,3), (5,2) dan (6,1) adalah satu kelompok hasil, dan himpunan { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) } merupakan suatu kejadian. Suatu kejadianjuga dapat didefinisikan sebagai himpunan bagian dari ruang probabilitas. Himpunan bagian adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan sebagian anggota (atau keseluruhan anggota) dari himpunan lain. Jika himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan S, maka setiap hasil dalam himpunan A merupakan anggota dari himpunan S. Berikut ini adalah beberapa contoh himpunan bagian:
.
42
Himpunan: semua orang yang tinggai di Propinsi Jawa Barat. Himpunan bagian: semua orang yang tinggal di kota Bandung.
· · ·
· ·
Himpunan: semua Sinetron TVRI. Himpunan bagian: {Aksara Tanpa Kata, Kedasib, Dokter Sartika, Losmen} Himpunan: Semua bilangan kurang atau samadengan 10: {1,2,3,} Himpunan bagian: semua bilangan ganjil kurang dari 10 Himpunan: semua kemungkinan basil dari peoemparan sebuab mata uang sebanyak tiga kali Himpunan bagian: semua kemungkinan basil terjadinya kejadian munculnya satu H dari pelemparan mata uang sebanyak tiga kali: {HTT, THT, TTH}
YANG HARUS DIINGA T 1. Probabilitas dapat diinterpretasikanmenurut pandangan frekuensirelatif ataupandangan subyektif. 2. Suatu himpunan dapat didefisinikan dengan membuat daftar semua anggotanya atau dengan membuat suatu aturan yang menjelaskan anggota dari bimpunan tersebut. 3. Himpunan semua kemungkinan basil dari suatu percobaan disebut ruang probabilitas. 4. Apa yang terjadi dari suatu percobaan disebut basil. 5. Menurut pendekatan klasik, probabilitas dari setiap basil cenderung sarna. PROBILITASSUATU KEJADIAN PROBABILIT A SUATU KEJADIAN AKAN TERJADI Pertama-tama kita barns mengbitung semua basil dan menyatakannya dalam A. Katakanlah N (A). (dibaca jumlah kejadian A) fugat s adalah jumlah semua kemungkinan basil dalam ruang probabilita S. Dengan demikian definisi probabilita: N(A) Probabilita kejadian A terjadi adalah s Dengan kata lain, kita mengbitung jumlab semua kejadian A yang terjadi dan kemudian dibagi denganjumlah semua kemungkinan basil. Untuk mempersingkat penulisan "Probabilita kejadia A terjadi", kita menggunan Pr untuk menyatakan probabilita, dan menulisnya sebagai berikut: Pr (A) berarti "probabilitas terjadinya kejadian A". Sebingga menjadi: N(A) Pr(A) = s
43
CONTOH SOAL PENENTUAN PROBABILIT AS SUATU KEJADIAN SOAL Beberapa probabilita munculnya satu sisi H dalam pelemparan sebuah mata uang sebanyak tiga kali? PENYELESAIAN Dalarn kasus ini ada 23 = 8 kemungkinan hasil, sehingga s=8. Hasil dari kejadian munculnya satu sisi H adalah (HIT, THT, ITH). Jadi bila A adalah kejadian munculny satu kali H dalam tiga kali pelemparan mata uang, maka N(A) = 3. Sehingga Pr(A) = 3/8.
SOAL Beberapa probabilita mendapatkanjumlah mata dadu 5 dari pelemparan dua buah dadu? PENYELESAIAN Ada 36 kemungkinan hasil, sehingga s = 36. B adalah kejadian mendapatkan mata dadu berjumlah 5 dari pelemparan dua buah dadu, sehingga B berisi empat hasil yaitu: B = { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) } Dengan demikian N(B) =4, sehinggaPr(B) =4/36 = 1/9 SOAL
.
Berapa probabilita mendapatkan kartu as jika kita mengarnbil satu kartu dari kocokan?
PENYELESAIAN Dari kasus ini ada 52 kemungkinan hasil, sehingga s = 52. C adalah kejadian untuk mendapatkan satu kartu as. Jumlah hasil C adalah 4 yaitu: {as jantung, as berlian, as sekop, as keriting} Sehingga N(C) =4, dan Pr(C)= 4/52 = 1/13 Untuk kejadian khusus. Misalnya kita akan mengukur probabilitas terjadinya kejadian S. Ingatlah bahwa S beranggotakan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Dengan menggunakan formula di atas: N(S) Pr(S)
=
s
s
s
Hasil sangat jelas yaitu probabilitas adalah 100 persen kejadian ini akan terjadi. Kemungkinan kejadian lain adalah suatu himpunan tidak mempunyai anggota,jadi hasil dari suatu kejadian adalah nol (=tidak ada). Dalarn kasus ini anda harus yakin bahwa probabilita terjadinyakejadian ini adalahno!.Himpunan ini sering disebut himpunan kosong, karena tidak mempunyai anggota sarna sekali. Sehingga: Pr(himpunan) = 0 44
Himpunan kosong sering dilambangkan dengan nol yang diberi tanda miring (slash yaitu: ~. Dengan demikian kita dapat mengatakan:
= /)
Pr(~) =0 PROBABILIT A SUATU KEJADIAN TIDAK TERJADI Kadang-kadang kita ingin mengetahui probabilita bahwa suatu kejadian tidak terjadi. Misalnya dalam permainan monopoli. Anggaplah kita sedang berada di daerah Tangkuban Perahu dan lawan kita mempunyai hotel di sekitar tempat kita berada. Dalam kasus ini kita ingin mengetahui probabilita untuk tidak mendapatkan 7. Sudah dijelaskan di atas bahwa kemungkinan untuk mendapatkan 7 adalah 1/6, sehingga kemungkinan untuk tidak mendapatkan 7 adalah 5/6. Kasus ini dapat diperagakan sebagai berikut: A adalah kejadian untuk tidak mendapatkan 7. Dalam kasus ini ada 30 hasil yaitu: ( (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3)
(2,6) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2)
(4,4) (4,5) (5,5) (5,6)
(5,1)
(5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}
Dengan demikian N(A)
= 30, dan Pf(A) = 30/36= 5/6. Secaraumumjika p adalah
probabilita kejadian A terjadi, maka 1- p adalah probabilita kejadian itu tidak terjadi. Kita akan memberikan nama khusus untuk himpunan hasil yang bukan himpunan A. Himpunan ini disebut komplemenA, dan biasa ditulis Ac (hurnf menunjukkan komplemen, simbol tersebut dibaca "Komplemen A"). Jadi: Pf (N)
·
· · ·
= 1 - Pr(A)
Berikut ini adalah beberapa contoh komplemen: Jika percobaan adalah pelemparan mata uang, dan A adalah kejadian untuk mendapatkan
sisi H, maka ACadalah kejadian untuk mendapatkan sisi satunya lagi yaitu sisi T. Jika percobaan adalah pelemparan empat mata uang, dan B adalah kejadian untuk mendapatkan sisi H sebanyak 4, maka BCkejadian untuk mendapatkan paling tidak satu T Jika total himpunan adalah himpunan dari 52 buah kartu, dan R adalah kejadian untuk mendapatkan satu buah kartu berwarna merah, maka RC adalah kejadian untuk mendapatkan kartu hitam. Jika total himpunan adalah himpunan pemain bulutangkis dan A adalah himpunan {Susi, Ardi}, maka ACadalah semua pemain bulutangkis yang bukan berasal dari Indonesia.
45 -
-
PROBABILITAKESATUAN(UNION) Anggaplah kita sedang bennain monopoli, dan kita sedang berada di North Carolina Avenue, kemudian kita ingin mengetahui probabilita kita mendapatkan 5 atau 7. Ini sering terjadi dalam probabilita bahwa kita ingin mengetahui probabilita untuk mendapatkan satu dari dua kejadian itu terjadi. Bila A adalah kejadian untuk mendapatkan 7, maka A akan mempunyai anggota: { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) }
B adalah kejadian untuk mendapatkan 5, maka B akan mempupyai anggota: { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) }
C adalah kejadian untuk mendapatkan 5 atau 7, maka C akan mempunyai anggota: { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) }
Jumlah hasil kejadian C adalah 10, maka Pf (C) = 10/36 Himpunan seperti himpunan C di atas mempunyai nama khusus yaitu himpunan kesatuan (union). Dalam kasus ini C adalah gabungan (gabungan) dari himpunan A dan B. Dalammatematikakatakesatuan diberilambang(simbol)denganlambangsepertimenyerupai huruf u: V. Sehingga kita dapat menulis C sebagai berikut: C
= A union
A
atau
C=AVB
. . .
Berikut ini adalah beberapa contoh kesatuan (union): A adalah himpunan bilangan genap. B adalah himpunan bilangan ganjil. Maka A V B
adalah himpunan semua bilangan. Jika V adalah himpunan huruf vokal dan C adalah himpunan huruf konsonan, maka V V C adalah himpunan semua huruf. Jika A adalah himpunan {AH, KH, QH, JH, 1OH}dan B himpunan {QH, JH, 1OHY, 9H,
8H}, maka A V B adalah {AH, KH, QH, JH, 10H, 9H, 8H} Ada hal yang dari menarik percobaan dua buah dadu. Kita telah menghitung bahwa Pr(A) =6/36, Pr(B) =-4/36dan Pf (A VB) adalah 10/36.Dari sini dapat kita lihat bahwa kita hanya tinggal menambahkan probabilita dua kejadian itu untuk mendapatkan probabilitas kejadian bahwa satu dari dua kejadian itu akan terjadi. Kasus ini dapat difonnulasikan sebagai berikut: Pf (A) atau B)
=Pf (A V B) = Pf(A)
+ Pf(B)
Tetapi hal ini hanya akan terjadi jika tidak ada kemungiinan bahwa kejadian A dan B terjadi dalam waktu yang bersamaan. Misal kita melakukan pelemparan sebuah mata uang 46
sebanyak dua kali. probabilita untuk mendapatkan sisi H dalam pelemparan yang pertama adalah 1/2dan pada pelemparan keduajuga 1/2,maka probabilita untuk mendapatkan sisi H pada pelemparan pertama atau pelemparan kedua adalah 1/2+ 1/2 =1.jelaslah bahwa hal ini tidak dapat dimasukkan dalam kasus ini. pada contoh pelemparan dua buah ddu kita dapat menggunakan formula sederhana di atas karena tidak ada kemungkinan kita mendapatkan 5 dan 7 dalam pelemparan tunggal sepasang dadu. Kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama sehingga disebut disjoint events. PROBABILIT A DARIIRISAN (INTERSECTION) Sekarang kita akan menekankan pada dua kejadian yang dapat terjadi bersama-sama. Anggaplah anda mengambil satu kartu dari kocokan dan anda ingin mengetahui probabilitas mendapatkan kartu wajah merah yaitu kartu merah jack, queen, dan king. Katakanlah F adalah kejadian untuk mendapatkan kartu wajah, maka anggota F adalah: {JH, JD, JC, JS, QH, QD, QC, KH, KD, KC, KS}
dimana:J=jack, Q=queen, K=king, D=diamon, C=c1ubs,H=hearts dan S=speedes N(F) = 12, maka probabilitas untuk mendapatkan kartu wajah adalah 12/52. R adalah kejadian untuk mendapatkan kartu merah, maka anggota R adalah: {AH, 2H, 3H, 4H, 5H, 6,H, 8,H, 9H, IOH, JH, QH, KH, AD, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, lOD, JD, QD, KD} R mempunyai anggota sebanyak 26, maka Pr (R) = 26/52 = 1/2. C adalah kejadian yang merupakan gabungan dari kejadian F dan R. Dengan kata lain C adalah kejadian untuk mendapatkan kartu merah dan kartu wajah. Hasil dari kejadian C ada 6 yaitu: {JD, JH, QD, QH, KD, KH} Dengan demikian, Pr(C)
= N(C)/s = 6/52.
Nama khusus untuk himpunan yang elemennya adalah anggota dari dua buah himpunan disebut irisan (intersection). Seperti contoh di atas, himpunan C adalah irisan dari himpunan F dan himpunan R. Simbol dari irisan adalah kebalikan dari simbol union: (I. Sehingga contoh di atas dapat kita tulis: C = himpunan yang elemenya anggota himpunan A dan B C = irisan A dan B, atau C=ANB
·
Berikut ini adalah beberapa contoh irisan: Jika V adalah himpunan huruf vokal dan C adalah himpunan huruf konsonan, maka V (I C adalah {y}.
47 ---
· ·
Jika A adalah himpunan 5 kartu yang berada di tangan dan B adalah himpunan 5 kartu yang berada di tangan dan B adalah himpunan 5 kartu yang sarna, maka A n B adalah himpunan yang anggotanya 5 kartu yang sarna seperti yang berada di tangan. Jika anda melemparkan sebuah mata uang sebanyak dua kali, dan A adalah kejadian
mendapatkan H pada pelemparan pertama dan B adalah kejadian mendapatkan sisi h pada pelemparan kedua, maka A n B adalah {HH}. Oalam irisan dua kejadian tidak adaformula khusus untuk probabilitas, tetapi dalam Bab V akan membahas formula yang kadang-kadang digunakan. Saat ini kita hanya menjumlah hasil dari irisan kemudian menghitung probabilitasnya secara langsung. Jika dua kejadian tidak dapat terjadi secara bersamaan (merupakandisjointevents), maka irisan dari dua himpunan itu merupakan himpunan kosong. Sebagai contoh, kita tidak akan mendapatkan sisi H dan sisi T pada satu pelemparan mata uang, sehingga jika H untuk mendapatkan
sisi H dan T
= kejadian
untuk mendapatkan
= kejadian =
sisi T, maka Pr (H dan T)
Pr (H n T) =O.Jika A dan B saling meniadakan (disjoint), maka A N B = 0 dan Pf (A n B) =0. Sekarang kita memperhatikan kemungkinan kita mendapatkan sebuah kartu wajah atau sebuah kartu merah bila kita mengambil satu kartu dari kocokan. Jika F adalah kejadian mendapatkan sebuah kartu wajah, dan R adalah kejadian untuk mendapatkan sebuah kartu merah, maka: Pf (F atau R)
= Pr (F U R)
Kita tidak dapat menggunakan formula Pr (F) + Pr (R), karena kedua kejadian itu dapat terjadi secara bersama-sama. Kita akan membuat daftar hasil dari FUR: {AH, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, IOH, JH,QH, KH, JC, QC, KC, AO, 20, 30,40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, JO, QO, KO, JS, QS, KS}
Keseluruhannya ada 32 hasil, sehingga: Pr (F atau R) = Pr (F U R) = 32/52 Sekarang kita dapat membuat formulasi umum untuk probabilitas dari A U B. Kita tahu bahwa :
N(A)
=
(semua hasil kejadian A tetapi tidak termasuk dalam kejadian B) + (semua hasil kejadian yang temasuk dalam kejadian A dan kejadian B).
N(B)
=
(semua hasil kejadian B tetapi tidak termasuk dalam kejadian A) + (semua hasil kejadian yang temaduk dalam kejadian A dan kejadian B).
48
Jika kita menjumlahkan N(A) dan N(B), maka kita akan mendapatkan: N(A) + N(B) = (semua hasil kejadian A tetapi tidak termasuk dalam kejadian B) + 9semua hasil kejadian B tetapi tidak termasuk dalam kejadian A) + (2 (semua hasil kejadian yang termasuk dalam kejadian A dan kejadian B). Tetapi kita mengetahui jumlah hasil dari A U B adalah: = (semuahasilkejadianAyangtidaktermasukdalamkejadianB)+(semua N(A U B) hasil kejadian B yang tidak termasuk dalam kejadian B\A) + (semua hasil kejadian yang termasuk baik dalam kejadian A maupun kejadian B). Bila kita menjumlahkan N(A) dan N(B) begitu saja, maka kita menghitung hasil (A U B) dua kali. Sehingga bila kita ingin mendapatkan hasil dari A U B, kita harns mengurangi N (A « B) seperti berikut : N(A U B) = (N (A) + N(B) - N(A n B) Sehingga, Pr (A atau B)
= Pr (A) + Pr (B) - Pr (A n
B)
Atau ditulis secara matematis: Pr (A UB) =Pr(A) + Pr (B) - Pr (A N B) CONTOH
SOAL PROBABILIT AS KESA TUAN (UNION)
SOAL Dalam permainan backgammon, anda ingin mengetahui probabilitas bahwa anda akan mendapatkan mata dadu yang berjumlah 8 atau mendapatkan mata dadu yang kembar.
PENYELESAIAN Misalnya, EI adalah kejadian untuk mendapatkan mata dadu berjumlah 8, maka:
EI = { (2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) }Pr (El) = 5/36 E2 adalah kejadian mendapatkan dua mata dadu yang kembar, maka :
E2 = ( (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) Pr(E2) = 6/36 Dua kejadian ini bukan merupakan kejadian yang disjoint, karena anda dpat memperoleh mata dadu yang berjumlah 8 danjuga mata dadu yang kembar, yaitu (4,4). maka (EI N E2) adalah kejadian untuk mendapatkan (4,4) dan mempunyai probabilita 1/36. Sekarang kita dapat menggunakan formula seperti di atas: Pr (mendapatkan mata dadu berjumlah 8 atau kembar) 49 -
-
= fr (~l "HUI~,);; pr (E1)t Pr (B,) - Pr (Bl dan BZ) = 5/36 + 6/36 - 1/36 = 10/36 SOAL Berapa probabilitas kita mendapatkan paling tidak satu dadu bermata 6 dari penggelindingan dua buah dadu? PENYELESAIAN Misalnya, E1adalahkejadian mendapatkan dadu bermata 6 pada dadu yang pertama dan E2 adalah kejadian mendapatkan dadu bermata 6 pada dadu kedua. Kemudian kejadian bahwaakanmendapatkanpalingtidaksatudadubemata6 adalahEl u E2.Kita tahu bahwa Pr (El) =Pr (E2) == 1/6.Jika El (I E2 adalahkejadianmendapatkandadubermata6 dari penggelindingan dua dadu tersebut, maka probabilitas hal itu terjadi adalah 1/36. Dengan demikian kita dapat menggunakan formula seperti di atas: Pr (El u E2)
== ==
Pr (El) + Pr (E2) - Pr (El 1/6 + 1/6 - 1/3 == 11/36
(I
E2)
YANG HARUS DIINGAT 1. Jika ada s hasil, danjika adaN(A) hasil kejadian A, maka probabilitakejadian A terjadi adalah: N(A) Pr(A) == s 2. Jika A dan B adalah dua kejadian yang bersifat disjoint (tidak dapat terjadi bersamasama), maka probabilita terjadinya kejadian A atau kejadian B adalah: Pr(A atau B) == Pr (A) + Pr (B)
3.
Dengan kata lain: perhitungan probabilita satu dari dua kejadian yang bersifat disjoint terjadi adalah sederhana yaitu hanya menjumlahkan probabilitas dua kejadian tersebut. Jika A dan B tidak bersifat disjoint, maka: Pr (A atau B) ==Pr (A) + Pr (B)
- Pr
(A dan B)
PRINSIP PERKALIAN Bila kita mempunyai sebuah himpunan, maka probabilitas kejadian A terjadi adalah:
N(A) Pr (A) ==
s
50
dimana N(A) adalah jumlah hasil kejadian A dan s adalah jumlah total kemungkinan hasil. lni berarti bahwajika kita dapat menentukan duajumlah ini yaitu N(A) dan s kita dapat menghitung probabilitas secara langsung. Bagian probabilitas yang perlu diperhatikan sehubungan dengan kejadian adalahjika hasil dari suatu kejadian itu tidak banyak maka kita dapat menuliskan daftarnya. Tetapi bila hasil sedemikian besar maka kita tidak mungkin membuat daftar hasil dari suatu kejadian. Anggaplah kita ingin memilih satu mobil, warna mobil yang tersedia ada 4 yaitu: merah, bim, hijau dan kuning. Kita tertarik pada 3 tipe yang berbeda yaitu4 pintu, 2 pintu dan wagon. Ada berapa tipe mobil yang akan kita pertimbangkan? Kita dapat menuliskan daftarnya: merah - 4 pintu, merah - 2 pintu, wagon merah bim - 4 pintu, bim - 2 pintu, wagon bim hijau - 4 pintu, hijau -2 pintu, wagon hijau kuning - 4 pintu, kuning - 2 pintu, wagon kuning Terdapat 12 kemungiinan tipe, yaitu 12 =3 x 4 Kita akan membuat pernyataan umum tentang prinsip ini. Anggaplah kita sedang melakukan dua percobaan. Percobaan pertama akan menghasilkan a kemungkinan hasil, dan percobaan kedua menghasilkan b kemungkinan hasil, dan anggaplah berbagai kombinasi dari dua hasil dapat terjadi. Maka total jumlah hasil dari dua percobaan itu adalah: axb Hasil ini disebut prinsip perkalian. Di bawah ini adalah beberapa contoh yang mencerminkan prinsip perkalian:
· · ·
Jika anda melemparkandua amtauang, setiappelemparan mempunyai dua kemungkinan hasil, jadi total kemungkinan hasil adalah 2 x 2 =4. Andaikan anda melemparkan dua buah dadu. Satu dadu mempunyai 6 kemungkinan hasil, sehingga total kemungkinan hasil dari pelemparan dua buah dadu adalah 6 x 6 = 36. Ada 12Tim dalam Liga Nasional dan 14tim dari Liga Amerika, maka akan ada 12 x 14 = 168 kemungkinan seri pertandingan.
PENGAMBILAN SAMPEL DENGAN PENGEMBALIAN Anggaplah anda mempunyai 5 buah sweater dalam lemari. Setiap pagi anda memilih satu sweater secara acak (random). Pada sore hari anda mengembalikan lagi sweater yang telah dipakai dan menggabungkannya dengan yang lainnya. Pada pagi hari berikutnya anda mengambil sweater lagi. Berpa banyak cara yang berbeda dalam menggunakan sweater itu dalam satu minggu? Kita dapat menggunakan prinsip yang sarna, hanya sekarang yang kita lakukan lebih dari dua percobaan. Ada 5 kemungkinan sweater yang dapat anda pergunakan pada hari Minggu. Demikian juga pada hari Senin dan hari-hari berikutnya, anda mempunyak 5 kemungkinan 51
----
--
-
sweater yang dapat digunakan, sehingga ada 25 kemungkinan kombinasi sweater yang berbeda yang dapat digunakan pada hari Minggu dan Senin. Untuk hari Rabu ada 25 X 5 kemungkinan pola penggunaan sweater dalam 3 hari. Sehingga untuk minggu pertama ada 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 =57 =78125 pola penggunaan sweater yang berbeda dalam seminggu. Dari informasi di atas kita dapat menjawab pertanyaan lain: berapa probabilitas anda menggunakan sweater yang sama setiap hari? Jika 78125 adalah semua kemungkinan hasil, dan hanya ada5 kemungkinan hasil anda menggunakan sweater yang sama setiap hari. Maka probabilita memilih sweater yang sama setiap hari adalah: 5 78125 Proses pemilihan sweater yang dijelaskan di atas adalah salah satu contoh dari pengambilan sampel. Pengambilan sampel berarti pemilihan beberapa obyek dari sekelompok besar obyek yang disebut populasi. Dalam kasus ini 5 sweater tersebut disebut populasi. Kita memilih sampel satu sweater pada hari Minggu, satu sweater pada hari Sehoin dan seterusnya sampai tujuh kali pemilihan. Tipe pengambilan sampel seperti ini disebut pengambilan sampel dengan pengembalian. Secara umum bila anda mengambil sampel sebanyak n kali dari populasi sebesar m obyek, maka akan ada mn kemungkinan cara untuk memilih obyek -obyek ini. Ide kunci dari pengambilan sampel dengan pengembalian adalah bahwa satu obyek yang telah dipilih dapat dipilih lagi. Pelemparan sebuah mata uang adalah contoh pengambilan sampel dengan pengembalian. Dalam kasus ini populasinya ada 2 yaitu sisi H dan sisi T. Bila anda telah mendapatkan sisi H tidak berarti anda tidak akan mendapatkan sisi H pada kesempatan kemudian. Sehingga jika kita melemparkan sebuah mata uang sebanyak n kali, maka ada 2° kemungkinan hasil. Penggelindingan dadu juga merupakan contoh lain dari pengambilan sampel dengan pengembalian. Dalam hal ini populasinya ada 6, sehingga ada 6° total kemungkinan jika anda menggelindingkan dadu sebanyak n kali. CONTOH SOAL PENGAMBILAN
SAMPEL DENGAN PENGEMBALIAN
SOAL Anggaplah anda harns mengerjakan 20 pertanyaan pilihan ganda. Setiap pertanyaan mempunyai 5 pilihan jawaban. Berapa probabilita bahwa anda mampu menjawab semua dengan benar hanya dengan menerka saja? PENYELESAIAN Dalam kasus ini kita mengambil sampel sebanyak 20 kali dari populasi sebesar 5, sehingga total cara pemilihan adalah 520 = 9.5 x 1013. Hanya ada satu kemungkinan hasil dimana keseluruhan jawaban pilihan adalah benar. Dengan demikian probabilita untuk mendapatkan jawaban dimana semua jawaban adalah benar hanya dengan menerka saja adalah
1/(9.5 x 1013)= 10-14(kurang lebih). 52
SOAL Andaikata anda sedangmencoba menerka nomor plat mobil ternan anda. Diasumsikan bahwa setiap nomor plat mobil terdiri dari 3 hurnf yang diikuti oleh 3 angka, misalnya DGM 235. PENYELESAIAN Pertama-tama hitung berapa banyak kemungkinan cara menyusun tiga hurnf. Ini berarti pengambilan sampel sebanyak 3 kali dengan pengembalian dari populasi sebanyak 26 Uumlah hurnf ada 26), sehingga ada 263 = 17576 cara memilih tiga hurnf. Jumlah angka ada 10, maka ada 103= 1000 cara untuk memilih tiga angka yang digunakan sebagai nomorplat mobil. Setiap kombinasi hurnf digabungkan dengan setiap kombinasi angka untuk mendapatkan nomor plat mobil yang benar, sehingga jumlah total kombinasi nomor plat mobil adalah: 17576 x 1000 = 17576000. Dengan demikian anda mempunyai prob abilitas menerka nomorplat mobil dengan benar adalah: 1/17576000 5.69 x 10-8.
=
SOAL Anggaplah anda berada dalam suatu kelompok yang beranggotakan 15 orang. Anda ingin membandingkan hari ulang tahun masing-masing anggota. Berapa banyakjumlah pola yang anda dapatkan? PENYELESAIAN Mula-mula kita mengabaikan bahwa ada seseorang lahir pada tanggal 29 Pebrnari, sehingga ada 365 hari ulang tahun. Pengambilan sampel dilakukan 15 kali dari total populasi
365, sehinggajumlah total kemungkinan pola hari ulang tahun adalah 36515= 2.7 X
1038.
PENGAMBILAN SAMPEL TANPA PENGEMBALIAN Anggaplah anda mempunyak 7 T-shirt, setiap pagi anda mengambilnya dalam lemari dan memilih secara acak (random) untuk dipakai pada hari itu. Namun setelah dipakai anda tidak mengembalikannya dalam lemari tetapi anda memasukkannya ke dalam tas pakaian kotor untuk dicuci (karena akan diambil oleh binatu seminggu sekali). Berapa banyak cara memilih 7 T-shirt dalam seminggu? Pada hari Minggu anda mempunyai 7 kemungkinan untuk memilih. Tetapi pada hari Senin anda hanya mempunyai 6 T-shirt bersih yang dapat dipilih. Dengan demikian ada 7 x 6 =42 kemungkinan cara untuk memilih T-shirt yang akan digunakan selama 2 hari. Pada hari Rabu hanya tinggal5, sehingga ada 7 x 6 x 5 =210 cara untuk memilih selama 3 hari pertama. Proses ini berjalan terns sampai akhir minggu. Kita dapat melihat bahwa ada 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 cara untuk dapat memilih T-shirt dalam satu minggu. Kita telah memberi istilah untuk hasil dari 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 sebagai 7 faktorial, atau ditulis 7! (lihat Bab III). Jika anda mempunyai n obyek, maka ada n cara untuk memilih obyek tersebut.
53 ---
--
-
---
CONTOH SOAL PENGAMBILAN SAMPEL TANPA PENGEMBALIAN SOAL Ada berapa cara pengocokan 52 kartu? PENYELESAIAN Dalam kocokan pertama ada 52 kemungkinan, ada 51 kemungkinan untuk pengocokan kedua dan seterusnya. Sehingga keseluruhan ada 52! = 8.07 x 1067cara pengocokan. SOAL Andaikan anda mempunyak 5. menu makan malam untuk 5 hari, yaitu hamburger, hotdog, pizza, makaroni dan tacos. Ada berapa cara pengaturan 5 menu makanan sehingga anda tidak mengulangi menu yang sama selama 5 hari. PENYELESAIAN Jika ada 5 makanan, makajumlah pengaturan yang mungkin untuk 5 hari adalah 5! =120. SOAL Anggaplah bahwa tim anda adalah bagian dari 12liga tim. Selama musim ini tim anda akan bermain dengan tim lain sebanyak 1 kali. Ada berapa cara pengaturan skedul (jadual) permainan? PENYELESAIAN Dalam kasus ini ada Illawan, maka ada II! skedul permainan.
=39916800 kemungkinan cara pengaturan
SOAL Andaikan anda mengundang 20 orang untuk makan malam bersama. Berapa besarnya probabilitas bahwa mereka datang ke rumah anda menurut urutan huruf? PENYELESAIAN Ada 20 orang tamu, berati ada 20! = 2.43 x 1018kemungkinan urutan yang berbeda. Tetapi hanya ada satu yang berdasarkan urutan huruf, maka probabilitasnya = 1/(2.43 x 1018)
=4.12 X lO-i9. SOAL
Seorang manajer baseball bimbang dalam mencoba setiap kemungkinan urutan memukul sebelum memutuskan urutan yang terbaik bagi timnya. Berapa banyak permainan untuk menguji setiap kemungkinan urutan tersebut?
PENYELESAIAN Ada 9 pemain (asumsi tidak ada pemain cadangan), sehingga ada 9! = 362880 urutan yang berbeda.
54
YANG HARUS DIINGAT 1. Prinsip perkalian menyatakan bahwa jika percobaan pertama dari 2 percobaan yang dilakukan mempunyai 1 kemungkinan hasil dan percobaan kedua mempunyai b kemungkinan hasil, maka berbagai kombinasi hasil yang dapat terjadi yaitu sebanyak: axb 2. 3.
Dalampengambilansampeldenganpengembalian,obyekyangtelah dipilihdikembalikan lagi pada populawsinya dan kemudian dapat dipilih kembali. Dalam pengambilan sampel tanpa pengembalian, satu obyek yang telah dipilih tidak dikembalikan lagi pada populasinya sehingga tidak dipilih lagi.
PERMUTASI Anggaplah sekarang anda mempunyai 10 T-shirt (dan T-shirt dicuci setiap minggu). Berapa banyak cara pemilihan T-shirt selama 7 hari? Catatan dalam kasus ini anda tidak menggunakan setiap T-shirt setiap minggu. Di sini ada 10pemilihan untuk T-shirt yang anda gunakan pada hari Minggu, kemudian 9 pilihan pada hari senin, 8 pilihan pada hari Rabu dan seterusnya 4 pilihan pada hari Sabtu. Sehingga total jumlah pilihan adalah: 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 604800
Kita ingin mempersingkat cara penulisan, sehingga kita menulis seperti berikut: 10x9x8x7xx6x5x4x3x2xl
=
10x9x8x7x6x5x4x3x2xl 3x2xl
=
20! 3!
Apa yang kita lakukan adalah memilih sampel sebanyak 7 dari populasi sebesar 10. Pengambilan sampel tanpa pengembalian berarti bahwa bila suatu obyek sudah dipilih sekali tidak dapat dipilih lagi. ada:
Bila kita memilih j obyek tanpa pengembalian dari populasi sebanyak n obyek, maka nl
(n - j)! 55
--
-
-
--
cara untuk memilih obyek. Setiap cara pemilihan obyek disebut pennutasi dari obyek, sehingga fonnula n!/(n -j)! menunjukkan pennutasi dari j obyek terhadap n obyek. Simbol yang melambangkan hal ini adalab nPj. CONTOH SOAL PENGGUNAAN PERMUT ASI SOAL Anggaplab anda mencoba menemukan berapa cara mendistribusikan hari ulang tahun diantara 15 orang sehingga tidak ada dua dari mer~ka mempunyai hari ulang tabun yang sarna. Ini berarti ada 365 kemungkinan untuk hari ulang tabun orang pertarna 354 pilihan untuk yang kedua dan seterusnya. PENYELESAIAN Ini adalab contoh pemilihan sampel sebesar 15 hari populasi sebesar 365. Dengan demikian ada:
365!
=
(365 - 15)!
=
365! 350! 2.03 x 1038
SOAL Andaikan anda menghadiri perlombaan delapan kuda, dan anda mencoba menerka urutan tiga besar yang masuk dalam final tanpa mengetabui apapun tentang kuda-kuda itu. Berapa probabilitas babwa terkaan anda benar? PENYELESAIAN Memilih 3 kuda dari 8 kuda, kondisi ini sarna artinya dengan memilih sarnpel sebanyak 3 dari populasi sebesar 8, sehingga ada: 8!
8!
(8 - 3)!
=8
x 7 x
= 336
5!
kemungkinan. Dan probabilitas terkaan anda benar secara random adalab 1/336 =0.003. KOMBINASI Anggaplab anda sedang bennain kartu dan menurut perjanjian anda memegang lima buab kartu di tangan dari 52 kartu yang ada. Ada 52 kemungkinan kartu pertarna anda terarnbil, dan 51 kemungkinan kartu kedua terambil dan seterusnya. Kasus ini adalab contoh dari pemilihan sarnpel sebanyak 5 tanpa pengembalian dari populasi sebanyak 52. Sehingga ada: 52! (52 - 5)! 56
--
52! 47!
= 52 x 51 x 50 x 49 x 48 = 311875200 cara pengambilan kartu.
Misalnya anda mengambil kartu berikut ini: 5C, 8D, AH, AD
Tidak menjadi masalah bila urutan pengambilan adalah sebagai berikut: 8D, 5C, 6H, AH, AD
Dalam permainan kartu urutan pengambilan kartu tidak dipermasalahkan, yang menjadi masalah adalahkartu apayang akanterambil. Dalamkasusini adabanyak urutan pengambilan kartu. Berapa banyak urutan yang ada? Jika ada 5 kartu, maka 5! = 120cara yang berbeda-beda dalam mengurutkan kartu-kartu dari pengambilan kartu. Kenyataannya untuk setiap 5 kartu yang berada di tangan mempunyai 120 cara penyusunan atau pengurutan. Formula 52!/(52 - 5)! menyatakan totaljumlah aturan atau penyusunan yang berbeda, tetapi dalam kasus ini kita memperhatikan hanya total jumlah variasi dari 5 kartu yang berbeda-beda macamnya tanpa memperhatikan urutan dari kelima kartu tersebut. Jadi hasil dari formula tersebut terlalu banyak dan kita harns membaginya dengan 120. Sehingga: 52! (52-5) 5!
=
2598960
Seandainya kita ingin memilih sebanyak j obyek tanpa dikembalikan dari populasi sebanyak n obyek dan kita hanya tertarik pada total jumlah seleksi tanpa memperhatikan urutan, maka jumlah kemungkinan hasil dinyatakan dengan formula berikut: n! (n-j)! j! Pengaturan obyek tanpa memperhatikan urutannya disebut kombinasi. Formula n!/(nj)! j! mencerminkanjumlah kombinasi sering menggunakan formula ini dalam probabilitas dan statistik. Penulisan formula di atas dapat dipersingkat dengan menggunakan simbul berikut ini: n J
=
n! (n-j)! jl 57
---
---
Jumlah kombinasi sering dilambangkan sebagai nCj, yang berarti;
Penggambaran seperti itu disebut juga binomial coefficient karena menggunakan formula matematika yang disebut teori binomial. Perhatikan contoh berikut ini. Anggaplah kita mempunyai 5 kotak dan kita ingin memilih 3 dari 5 kotak itu. Kotak-kotak itu diberi nama ABC D E, maka kita dapat membuat daftar semua kemungkinan permutasi: ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE
ACB ADB AEB ADC AEC AED BDC BEC BED CED
BAC BAD BAE CAD CAE DAE CBD CBE DBE DCE
BCA BDA BEA CDA CEA DEA CDB CEB DEB DEC
CAB DAB EAB DAC EAC EAD DBC EBC EBD ECD
CBA DBA EBA DCA ECA EDA DCB ECB EDB EDC
Dengan demikian ada 60 permutasi dalam daftar itu. Hasil ini dapat dihitung dengan menggunakan formula berikut ini: 5!
=
(5-3)!
5!
=
60
2!
Apabila kita perhatikan dengan seksama daftar di atas, dapat kita lihat bahwa pada setiap baris berisi huruf-huruf yang sama hanya berbeda dalam urutan. Daftar tersebut berisi sepuluh baris. Kombinasi huruf antara baris yang satu dengan baris yang lain berbeda, sehingga dalam daftar tersebut terdapat 10 kombinasi huruf yang berbeda. Formula untuk mendapatkan jumlah kombinasi itu adalah sebagai berikut: 5! (5-3)!
58
=
5! . 3! 2!
=
10
CONTOH PERHITUNGAN
SOAL KOMBINASI
SOAL Berapa banyak kornbinasi 13 kartu yang diambil dari kurnpulan kartu bridge yang terdiri dari 52 kartu? PENYELESAIAN Kita dapat rnenggunakan formula kornbinasi sebagai berikut:
52!
=
52!
39! 13! = 6.35 x 1011
(52-B)! 13!
Sekarang kita telah rnernpunyai sernua alat yang kita butuhkan untuk rnernecahkan berbagai rnasalah probabilitas. Tidak ada rnetode yang pasti yang dapat terus bekerja karena banyak rnasalah-rnasalah yang rurnit yang sulit untuk dijabarkan. SOAL Anggaplah anda dan ternan anda berada dalarn satu kelornpok yang terdiri dari 20 orang, dan 5 orang dipilih secara acak untuk hadir dalarn suatu perternuan. Berapa probabilitas anda dan ternan anda terpilih untuk rnengikuti perternuan itu? PENYELESAIAN Jurnlah Total cara pernilihan adalah:
= 15504 Kernudian kita akan rnenghitung probabilitas anda dan ternan anda ikut dalam perternuan itu. Jika anda dan ternan anda telah terpilih, rnaka 3 orang lagi harns dipilih dari 18 orang yang rnasih tersisa, dan ada:
= 816 cara pernilihan. Dengan dernikianprobabilitas anda dan ternan anda terpilih adalah 816/1504 = 0.053. SOAL Misalnya ada 18 orang yang akan dibagi dalarn 2 tirn baseball. Berapa probabilitas bahwa 9 pernain terbaik berada dalam satu tirn?
59 ---
---
--
PENYELESAIAN
Dari kasus ini ada (18/9 )
= 48620
cara untuk memilih tim pada pukulan pertama.
Kemudian, kesempatan untuk semua pemain terbaik pada pukulan pertama adalah 1/48620. Tetapi hanya ada satu kesempatan baik bahwa semua pemain terbaik berada dalam satu tim pada pukulan kedua, sehingga kesempatan mereka berada dalam satu tim adalah 2/48620 = 4 x 10-5.
YANG HARUS DIINGA T 1. Yang harns dilakukan dalam menghitung probabilitas adalah menghitung semua kemungkinan hasil yang akan dijumpai dalam kondisi tertentu. Dua konsep penting dalam menghitung hasil yaitu permutasi dan kombinasi. 2. Permutasi: obyek sejumlah j yang diambil dari populasi sebanyak n dengan cara yang berbeda dengan memperhatikan urutan pengambilan. Jumlah kemungkinan hasil: n! (n-j)! 3.
Kombinasi: obyek sejumlah j yang diambil dari poplasi sebanyak n dengan cara yang berbeda tanpa memperhatikan urutan pemilihan. Jumlah kemungkinan hasil:
=
n! j! (n-j)!
60
