BAB V MODEL SEDERHANA DISTRIBUSI TEMPERATUR DAN SIMULASINYA
Model matematika yang terdapat pada bab sebelumnya merupakan model umum untuk injeksi uap pada reservoir dengan bottom water. Model tersebut merupakan model yang cukup kompleks karena terdapat dua persamaan konveksi difusi di daerah air dan di daerah minyak. Oleh karena itu, sebagai langkah awal untuk mencari solusi persamaan tersebut diasumsikan bahwa panjang reservoir (L) lebih besar bila dibandingkan dengan ketebalannya (h) sehingga rasio
h akan L
menuju nol. Jadi, difusi panas dalam arah x dapat diabaikan sehingga panas hanya berdifusi dalam arah y saja. Dengan demikian, persamaan konveksi difusi pada bab sebelumnya menjadi persamaan difusi di sepanjang garis dengan syarat Dirichlet, yaitu:
⎛ ∂ 2Ti ⎞ ∂Ti h ∂Ti +W = Ci ⎜ 2 ⎟ ∂t L ∂x ⎝ ∂y ⎠
, C1 = 1, C2 = D , i = 1, 2.
( 5.1)
Dengan syarat awal dan syarat batasnya: Ti ( y, 0 ) = 1,
( 5.2 )
∂T1 ( x, 0, t ) = − H1 (T1 − TB ) , ∂y ∂T2 ( x, l , t ) = − H 2 (T2 − TB ) . ∂y
( 5.3) ( 5.4 )
Dimana C1 = 1, C2 = D sedangkan kondisi batas pada y = 1 masih sama seperti kondisi batas pada bab sebelumnya, yaitu:
24
T1 ( x,1, t ) = T2 ( x,1, t ) ,
( 5.5)
∂T1 ∂T ( x,1, t ) = D 2 ( x,1, t ) . ∂y ∂y
( 5.6 )
Sekarang definisikan peubah baru η = x − W
h t ,τ = t , dan µ = y untuk L
mentransformasi Persamaan (5.1). Lalu substitusikan peubah tersebut ke dalam Persamaan (5.1)-(5.6) sehingga diperoleh
⎛ ∂ 2T ⎞ ∂Ti = Ci ⎜ 2i ⎟ ∂τ ⎝ ∂µ ⎠
, C1 = 1, C2 = D , i = 1, 2.
( 5.7 )
Dengan syarat awal dan syarat batasnya: Ti ( µ , 0 ) = 1,
( 5.8 )
∂T1 ( 0,τ ) = − H1 (T1 − TB ) , ∂µ
( 5.9 )
∂T2 ( l ,τ ) = − H 2 (T2 − TB ) , ∂µ
( 5.10 )
dan kondisi batas pada µ = 1 adalah
T1 (1,τ ) = T2 (1,τ ) ,
( 5.11)
∂T1 ∂T (1,τ ) = D 2 (1,τ ) . ∂µ ∂µ
( 5.12 )
Persamaan (5.7) merupakan persamaan difusi biasa namun kondisi batas dan kondisi awalnya bukanlah kondisi yang homogen. Selanjutnya definisikan lagi peubah baru U1 = T1 − T0 dan U 2 = T2 − T0 untuk mereduksi persamaan (5.7)(5.12). Substitusi nilai U tersebut ke dalam persamaan (5.7) dan (5.12) sehingga diperoleh:
25
⎧ ∂U1 ∂ 2U1 − = 0, ⎪ ∂µ 2 ⎪ ∂τ ⎨ 2 ⎪ ∂U 2 − D ∂ U 2 = 0, ⎪⎩ ∂τ ∂µ 2
0 < µ < 1, τ > 0,
( 5.13) 1 < µ < l , τ > 0.
Kondisi batasnya adalah ∂U1 ( 0,τ ) = − H1U1 , ∂µ
∂U 2 ( l ,τ ) = − H 2U 2 , τ > 0. ∂µ
( 5.14 )
0 < µ < l.
( 5.15)
Dengan kondisi awal U i ( µ , 0 ) = 1,
Pada kondisi batas pada µ = 1 memenuhi
⎧U1 (1,τ ) = U 2 (1,τ ) , ⎪ ∂U 2 ⎨ ∂U1 ⎪ ∂µ (1,τ ) = D ∂µ (1,τ ) , ⎩
τ > 0, τ > 0.
( 5.16 )
Solusi dari Persamaan (5.16) diatas dapat dicari dengan menggunakan metode pemisahan peubah. Misalkan U i ( y, t ) = gi ( y ) . ji (t ), i = 1, 2 , diperoleh ⎧⎪ g1'' ( µ ) + λ g1 ( µ ) = 0, ⎨ '' ⎪⎩ g 2 ( µ ) + λ Dg 2 ( µ ) = 0,
0 < µ < 1, 1 < µ < l,
( 5.17 )
dan
ji ' ( t ) − λ ji = 0, i = 1, 2,
( 5.18)
τ > 0.
Kondisi batasnya adalah ∂g1 ( 0 ) = − H1U1 , ∂
∂g 2 ( l ) = − H 2U 2 , ∂µ
τ > 0.
( 5.19 )
26
Selanjutnya akan diasumsikan nilai H1 = H 2 = 0 artinya tidak ada perbedaan temperatur pada batas antara minyak dan lapisan atas reservoir dan tidak ada perbedaan temperatur pada batas antara air dan lapisan bawah reservoir Subtitusi nilai H1 dan H2 ke dalam Persamaan (5.13) sehingga diperoleh kondisi batas homogen yang diberikan oleh ∂g1 ( 0 ) = 0, ∂µ
∂g 2 ( l ) = 0, ∂µ
( 5.20 )
τ > 0.
Syarat batas homogen pada µ = 1 adalah
⎧ g1 (1) = g 2 (1) , ⎪ ∂g 2 ⎨ ∂g1 ⎪ ∂µ (1) = D ∂µ (1) , ⎩
µ > 0,
( 5.21)
µ > 0.
Solusi dari Persamaan (5.17) dapat diperoleh dengan mencari nilai λ. Ada tiga nilai λ yang mungkin, yaitu: λ < 0, λ = 0, dan λ > 0 . Jika nilai-nilai λ tersebut disubstitusi ke dalam Persamaan (5.17) maka akan diperoleh tiga buah matriks berukuran 4 x 4. Nilai λ yang memenuhi Persamaan (5.17) dan (5.18) adalah λ yang menghasilkan matriks dengan deteminan sama dengan nol agar solusi yang diperoleh tidak trivial (untuk lebih jelasnya lihat lampiran). Setelah dilakukan perhitungan nilai dari λ yang memenuhi adalah λ < 0 . Dengan demikian, solusi dari persamaan g1( µ ) dan g2( µ ) adalah
(
)
(
)
⎧ g1 ( µ ) = A1 cos λ µ + B1 sin λ µ , ⎪⎪ ⎨ ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞ µ ⎟⎟ + B2 sin ⎜⎜ µ ⎟⎟ , ⎪ g 2 ( µ ) = A2 cos ⎜⎜ ⎪⎩ ⎝ D ⎠ ⎝ D ⎠
0 < µ < 1, 1 < µ < l.
( 5.22 )
kemudian diferensialkan g1( µ ) dan g2( µ ) terhadap µ , didapat
27
⎧ ∂g1 ( µ ) = − A1λ cos ( λµ ) + B1λ sin ( λµ ) , 0 < µ < 1, ⎪ ⎪ ∂µ ⎨ ⎪ ∂g 2 ( µ ) = − A λ cos ⎛ µ λ ⎞ + B λ sin ⎛ µ λ ⎞ ,1 < µ < l. ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ 2 2 ⎪ ∂µ D D ⎟⎠ D D ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎩
( 5.23)
Substitusi kondisi batas homogen pada Persamaan (5.20) ke dalam Persamaan (5.23), didapat ∂g1 ( 0 ) = 0 = − A1λ. Jadi, diperoleh A1 = 0 dan ∂µ ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞ ∂g 2 λ λ ( l ) = 0 = − A2 cos ⎜⎜ l ⎟⎟ + B2 sin ⎜⎜ l ⎟⎟ sehingga nilai A2 ∂µ D D ⎝ D⎠ ⎝ D⎠ ⎛ λ ⎞ B2 sin ⎜ l ⎟ D⎠ ⎝ adalah , ⎛ λ ⎞ cos ⎜ l ⎟ ⎝ D⎠
kemudian substitusi nilai A1 dan A2 ke dalam Persamaan (5.19) sehingga diperoleh g1 ( µ ) = A cos
(
⎛ λ ⎞ ( µ − l ) ⎟⎟ , ⎝ D ⎠
)
λ µ , g 2 ( µ ) = B cos ⎜⎜
dengan A=A 2 dan B =
B2 ⎛ λ ⎞ sin ⎜ l ⎟ ⎝ D⎠
( 5.24 )
.
Gunakan kondisi batas pada µ = 1 sehingga diperoleh persamaan
⎡ λ ⎤ A cos λ − B cos ⎢ (1 − l ) ⎥ = 0, ⎣ D ⎦ ⎡ λ ⎤ − A λ sin λ + B λ D sin ⎢ (1 − l )⎥ = 0. ⎣ D ⎦
(5.25) (5.26)
28
⎡ λ ⎤ B cos ⎢ (1 − l )⎥ ⎣ D ⎦. Kemudian dari Persamaan (5.26) diperoleh nilai A = cos λ
Substitusi nilai A tersebut ke dalam Persamaan (5.26) diperoleh ⎡ λ ⎤ B cos ⎢ (1 − l )⎥ λ sin λ ⎡ λ ⎤ ⎣ D ⎦ − + B λ D sin ⎢ (1 − l )⎥ = 0, cos λ ⎣ D ⎦ ⎡ λ ⎤ bagi dengan B λ cos ⎢ (1 − l ) ⎥ , ⎣ D ⎦ ⎡ sin ⎢ sin λ ⎣ diperoleh + D ⎡ cos λ cos ⎢ ⎣
λ D
⎤
(1 − l )⎥
⎦ = 0, ⎤ λ (1 − l )⎥ D ⎦
atau dapat juga dituliskan dengan − tan
( λ )+
⎡ λ ⎤ D tan ⎢ (1 − l )⎥ = 0. ⎣ D ⎦
( 5.27 )
Solusi umum dari persamaan U i ( µ ,τ ) dapat direpresentasikan dengan menggunakan transformasi Fourier dalam bentuk ∞
U1 ( µ ,τ ) = ∑ Ak e − λkτ g1(
( µ ),
(5.28)
U 2 ( µ ,τ ) = ∑ Bk e − λkτ g 2( k ) ( µ ).
(5.29)
k)
k =1
∞
k =1
dimana λk dan g ( k ) ( y ) adalah nilai-nilai eigen dan fungsi eigen dari masalah (5.18) - (5.21). Ak dan Bk merupakan koefisien deret Fourier yang diturunkan dari kondisi awal distribusi temperatur pada persamaan (5.11), yaitu ∞
U1 ( µ , 0 ) = ∑ Ak g1(
(µ ) =1
(5.30)
U 2 ( µ , 0 ) = ∑ Bk g 2( k ) ( µ ) = 1
(5.31)
k)
k =1 ∞
k =1
29
Sehingga diperoleh koefisien-koefisien deret Fouriernya
Ak =
4sin
(
λk
(
)
2 λk + sin 2 λk
)
( 5.32 )
,
⎛ λ ⎞ 4 D sin ⎜ k (1 − l ) ⎟ ⎝ D ⎠ Bk = , ⎛ λk ⎞ 2 λk l − 2 λk − D sin ⎜ 2 (1 − l ) ⎟ D ⎝ ⎠
( 5.33)
Kemudian substitusi nilai Ak dan Bk dari persamaan (5.30) dan (5.31) ke dalam persamaan (5.25) dan (5.26) dan diperoleh ∞
U1 ( µ ,τ ) = ∑ k =1
4sin
(
)
λk e− λ τ cos k
(
(
2 λk + sin 2 λk
λk µ
)
),
⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞ 4 D sin ⎜ k (1 − l ) ⎟ e − λkτ cos ⎜ k ( µ − l ) ⎟ ∞ ⎝ D ⎠ ⎝ D ⎠. U 2 ( µ ,τ ) = ∑ ⎛ ⎞ λ k =1 2 λk l − 2 λk − D sin ⎜ 2 k (1 − l ) ⎟ D ⎝ ⎠
(5.34)
(5.35)
Diketahui Ketebalan reservoir, h = 172 ft Tinggi bottom water, h1 = 34.4 ft Difusivitas minyak, D2 = 1 ft 2 / hr Difusivitas air, D2 = 1.5 ft 2 / hr Substitusi nilai-nilai di atas ke dalam Persamaan (5.28), (5.34), dan (5.35) sehingga diperoleh persamaan
30
− tan
( λ )+ ∞
U1 ( µ ,τ ) = ∑
⎡ λ ⎤ 1.5 tan ⎢ (1 − 5 )⎥ = 0, ⎣ 1.5 ⎦
4sin
∞
k =1
)
λk e− λ τ cos k
(
(
2 λk + sin 2 λk
k =1
U 2 ( µ ,τ ) = ∑
(
4
λk µ
)
( 5.36 )
),
(5.37)
⎛ 2λk ⎞ ⎛ λ ⎞ 2 sin ⎜ ( −4 ) ⎟ e− λkτ cos ⎜ k ( µ − l ) ⎟ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ D ⎠. ⎛ 2λk ⎞ 2 8 λk − sin ⎜ ( −4 ) ⎟ 3 ⎝ 3 ⎠
(5.38)
Persamaan (5.36) dapat diilustrasikan dalam grafik pada Gambar (6).
Gambar–9 Grafik untuk mencari nilai λ yang memenuhi.
Garis berwarna merah merupakan grafik fungsi − tan biru merupakan grafik fungsi
( λ)
dan garis berwarna
⎡ λ ⎤ 1 tan ⎢ (1 − 5 )⎥ . 1.5 ⎣ 1.5 ⎦
Dari Gambar 9, nilai λ yang memenuhi adalah yang memenuhi persamaan (5.36) bisa diketahui yaitu dengan mencari titik potong dari garis yang berwarna biru dengan garis yang berwarna merah. Untuk mencari solusi Persamaan (5.37)
31
dan (5.38), akan dipilih sepuluh titik potong pertama dari titik nol pada Gambar 9 yang akan memberikan sepuluh nilai λ yang berbeda. Tebakan nilai λk yang memenuhi persamaan (5.36) adalah
λ1 = 0 λ2 = 0.57 λ3 = 2.18 λ4 = 4.76 λ5 = 8.6
λ6 = 13.74 λ7 = 19.64 λ8 = 26.38 λ9 = 34.48 λ10 = 44.12
Substitusi ke-10 nilai eigen di atas ke dalam Persamaan (5.37) dan (5.38) untuk mendapatkan nilai U1 ( y, t ) dan U 2 ( y, t ) . Setelah mengetahui solusi dari
U1 ( y, t ) dan U 2 ( y, t )
maka
akan
diperoleh
nilai
dari
Ti ( µ ,τ ) = U i ( µ ,τ ) + T0 , i = 1, 2, yang didefinisikan pada Bab V. Diketahui nilai dari T0 adalah 100 0F sehingga Ti ( µ ,τ ) = U i ( µ ,τ ) + 100, i = 1, 2, . Kemudian plot persamaan Ti ( µ ,τ ) = U i ( µ ,τ ) + 100, i = 1, 2, terhadap ketebalan setiap waktu.
Berikut
ini
adalah
plot
32
Ti ( µ ,τ ) , i = 1, 2, terhadap ketebalan reservoir setiap waktu
Gambar-10 Ilustrasi perubahan temperatur pada air terhadap ketebalan reservoir.
Gambar-11 Ilustrasi perubahan temperatur pada minyak terhadap ketebalan
reservoir Dari Gambar (10) dan Gambar (11) terlihat bahwa pada awal injeksi temperatur dari minyak dan air naik namun akan turun dengan sangat cepat. Temperatur pada daerah air akan konstan setelah sepuluh jam di angka 104 sedangkan temperatur pada daerah minyak akan konstan pada angka 96 setelah sepuluh jam juga. Untuk
33
lebih jelasnya akan diperlihatkan grafik distribusi temperatur terhadap ketebalan reservoir pada waktu-waktu tertentu.
Gambar-12 Grafik Distribusi Temperatur di Air terhadap ketebalan Reservoir.
Gambar-13 Grafik Distribusi Temperatur Minyak terhadap ketebalan Reservoir.
Garis berwarna hijau adalah distribusi temperatur terhadap ketebalan reservoir
34
pada saat t = 0, merah pada saat t = 1, hitam pada saat t = 5, dan biru pada saat t = 10.
Gambar-14 Grafik distribusi temperatur di daerah minyak pada ketebalan
reservoir sama dengan 0 (kiri) dan ketebalannya sama dengan ½ (kanan).
Gambar-15 Grafik distribusi temperatur di daerah minyak pada ketebalan
reservoir sama dengan 5 . Gambar (14) dan Gambar (15) menyatakan bahwa temperatur dari minyak dan air pada saat t = 10 akan turun secara cepat dan akan konstan di nilai 104.
35
Panas yang dihasilkan oleh uap berdifusi secara cepat ke air dan minyak sehingga temperatur uap tersebut aan terus turun sampai akhirnya hampir sama dengan temperatur reservoir (100 0F). Kurva yang dihasilkan berbeda dengan kurva yang dihasilkan oleh injeksi uap pada reservoir tanpa bottom water.
36
