BAB IV ALOGARITMA DALAM OPERASI ARITMATIKA PENDAHULUAN Algoritma adalah suatu prosedur yang singkat dan sistematis untuk melakukan operasi aritmetika, misalnya penjumlahan dan perkalian. Jika kita melakukan operasi aritmetika dengan bilangan satu angka, maka kita dapat segera menuliskan jawabannya. Tetapi kalau operasi tersebut mengenai bilanganbilangan yang besar, kita membutuhkan suatu prosedur yang sistematis. Algoritma yang dikenal sekarang, merupakan penyempurnaan algoritma terdahulu dari masa ke masa dan dari generasi ke generasi. Sebenarnya sebagian besar algoritma yang kita gunakan, bukanlah satu-satunya, tetapi terdapat beberapa pola untuk rnelakukan bermacani-macam operasi aritmetika. Dengan menggunakan sifat-sifat komutatif, asosiatif, dan distributif perkalian terhadap penjumlahan, kita dapat menguji algoritma yang biasa kita gunakan pada operasi penjumlahan dan pengurangan.
A. Algoritma Penjumlahan Sederhanakan : 6(10) + 34. Untuk setiap langkah berilah penjelasan. (Tulislah sifat yang digunakan). Jawab: 6 (10) + 34
= 6(10) + [3(10) + 4] 34 ditulis dalam bentuk panjang = [6(10) + 3(10)] + 4 sifat asosiatif pada penjumlahan = (6 + 3).(10) + 4 sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan = 9(10) + 4 penjuinlahan = 94 sistem numerasi decimal 70
Sederhanakan: 28 + 7, dan tuliskan sifat yang dipakai. Jawab : 28 + 7
= [2(10) + 8] + 7 28 ditulis dalam bentuk panang = 2(10) + (8 + 7) sifat asosiatif pada penjumlahan = 2(10) + 15 penjumlahan = 2(20) + [1(10) + 5] 15 ditulis dalam bentuk panjang = [2(10) + 1(10)] + 5 sifat asosiatif pada penjumlahan = (2 + 1)(10) + 5 sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan = 3(10) + 5 penjumlahan = 35 sistem numerasi desimal
Berikut mi adalah prosedur lain untuk penjumlahan bilangan 28 + 7 10 20 + 8 7 --------- + 30 + 5 35
atau
1(10) 2(10) + 8 7 ------------ + 3(10) + 5 35
atau
Contoh : 3 Cari jumlahnya : 373 + 745 + 189 Jawab : 3(100) + 7(10) + 3(1) 7(100) + 4(10) + 5(1) 1(100) + 8(10) + 9(1) ----------------------------- + 11(100) + 19(10) + 17(1) 71
1 28 7 ----- + 35
11(100) + 20(10) + 7(1) 13(100) + 0(10) + 7(1) 1(1000) + 3(100) + 0(10) + 7(1) 1307 200
(a)
10
300 + 70 + 3 700 + 40 + 5 100 + 80 + 9 ----------------------------- + 1000 + 300 + 0 + 7 1307 2(10)2
(b)
atau
1(10)
3(10)2 + 7(10) + 3 7(10)2 + 4(10) + 5 1(10)2 + 8(10) + 9 --------------------------- + 3 1(10) + 3(10)2 + 0(10) + 7 1307
(c)
atau
373 745 189 ----- + 1307
(d)
Penjelasan langkah demi langkah. 3(10)2 + 7(10) + 3 7(10)2 + 4(10) + 5 1(10)2 + 8(10) + 9 ------------------------- + 3 + 5 + 9 = (3 + 5) + 9 = 8 + 9 = 17 = 1(10) + 7 Jadi penjumlahan tersebut menjadi : 1(10)
3(10)2 + 7(10) + 3 7(10)2 + 4(10) + 5 1(10)2 + 8(10) + 9 72
atau
------------------------- + 1(10) + 7(10) + 4(10) + 8(10) = (1 + 7 + 4 + 8)(10) = 2(10)(10) = 2 (10)2 + 0 (10)
Sehingga penjumlahan menjadi : 2(10)2
1(10)
3(10)2 + 7(10) + 3 7(10)2 + 4(10) + 5 1(10)2 + 8(10) + 9 ------------------------- + 0(10) + 7 2(10)2 + 3(10)2 + 7(10)2 + 1(10)2 = (2 + 3 + 7 + 1)(10)2 = 13(10)2
=
(10 + 3)(10)2
=
10(10)2 + 3(10)2
=
(10)3 + 3(10)2 = Akhirnya diperoleh : 2(10)2
1(10)
3(10)3 + 7(10) + 3 7(10)2 + 4(10) + 5 1(10)2 + 8(10) + 9 ------------------------ + 3 1(10) + 3(10)2 + 0(10) + 7 = 1307 LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1.
Carilah jumlahnya dengan cara seperti contoh 3(b) : a) 123 245 ------ +
2.
b) 342 297 324 ------ +
c) 32 64 18 79 ---- +
Carilah jumlahnya dengan cara seperti contoh 3(c) untuk tugas pada No. 1. 73
3.
Sederhanakan dan berilah penjelasan sifat yang digunakan pada setiap langkah. a) 16(100) + 17 b) 4(10)3 + 25(10)2 + 5(10) + 17 c) 248 + 563
B. Algoritma Pengurangan Karena pengurangan merupakan kebalikan (invers) dan penjumlahan, maka algoritma untuk pengurangan tidak berbeda jauh dengan algoritma penjumlahan. Contoh 1 : Carilah : 36 - 19 Jawab : 36 19 --- Dalam notasi bentuk panjang pengurangan di atas menjadi : 3(10) + 6 1(10) + 9 -------------- Karena 6 tak dapat dikurangi dengan 9 maka 3(10) + 6 harus ditulis dalam bentuk lain yaitu sebagai berikut : 3(10) + 6 = (2+l)(10) + 6 (ditulis dalam bentuk notasipanjang) = [2(20) + (10)] + 6 (distributif perkalian terhadap penjumlahan) = 2(10) + (10 + 6) (asosiatif pada penjumlahan) = 2(10) + 16 (penjumlahan) Jadi algoritma pengurangan di atas dapat ditulis sebagai berikut : 2(10) + 16 1(10) + 9 ------------- 1(10) + 7 74
17 Cara yang lebih singkat adalah sebagai berikut : 2(10)
+ 16
3(10)
+ 6
1(10) + 9 -------------- 1(10) + 7 17 atau 2 16 3 6 1 9 ----------- 1 7 Contoh 2 : Carilah : 937 - 349 Jawab : 937 349 ------ Dalam notasi bentuk panjang, pengurangan di atas dapat ditulis menjadi : 9(100) + 3(10) + 7 3(100) + 4(10) + 9 ------------------------- Karena 7 tak dapat dikurangi dengan 7, maka 3(10) + 7 harus ditulis dalam bentuk lain yaitu sebagai berikut : 3(10) + 7 = (2+1)(10) + 7 (3 ditulis dalam bentuk notasi panjang) = [2(10) + 1(10)] + 7 (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan) = 2(10) + (10+7) (sifat asosiatif penjumlahan) Sehingga prosedur pengurangan di atas dapat ditulis sebagai berikut: 9(100) + 2(10) + 17 3(100) + 4(10) + 9 ------------------------- -
75
Karena 4(10) tak dapat dikurangkan dari 2(10), maka dengan cara yang sama 9(100) + 2(10) diubah menjadi: 9(100) + 2(10)
= (8+1)(100) + 2(10) = [8(100) + 1(100)] + 2(10) = [8(100) + 10(10)] + 2(10) = 8(100) + [10(10) + 2(10)] = 8(100) + (10+2)(10) = 8(100) + 12(10)
Sehingga algoritma di atas dapat ditulis 8(100) + 12(10) + 17 3(100) + 4(10) + 9 --------------------------- 5(100) + 8(10) + 8 588 Cara yang lebih singkat adalah : 8(100) + 12(10)
17
2(10)
12(10)
17
8(100)
9(100) + 3(10) + 7 3(100) + 4(10) + 9 ------------------------- 5(100) + 8(10) + 8
12(10)
17
9(100) + 3(10) + 7 atau
3(100) + 4(10) + 9 ------------------------- 5(100) + 8(10) + 8
588
588
atau 12
12
8
2
17
9
3
7
atau
3 4 9 ----------------- 5 8 8
8
7
17
9
3
7
3 4 9 -------------------- 5 8 8
Sampai sekarang telah dipelajari algoritma penjumlahan maupun pengurangan. Selanjutnya perhatikan proses apakah yang terjadi dalam perhitungan berikut.
76
Contoh 3: Cari 925 - 679, kemudian diskusikan proses yang terjadi dalam pengurangan tersebut. a) Karena 5 tak dapat dikurangi oleh 9, maka dibutuhkan Satuan yang lebih banyak. Satuan tersebut didapatkan dari puluhan 20. 2(10) + 5(1) = 1(10) + 15(1) Kurangkan bagian satuan-nya. 1
1
5
9 2 5 6 7 9 ---------------- 6 b) Ternyata dibutuhkan puluhan, karena 1 tak dapat dikurangi oleh yang diperoleh dari ratusan 7. Jadi : 9(100) + 1(10) = 8(100) + 11(10) Kurangkan sepuluhannya. 8
11
15
9
2
5
6 7 9 --------------- 4 6 c) Akhirnya kurangkan ratusannya 8
11
15
9 2 5 6 7 9 --------------- 2 4 6 LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1.
Tuliskan setiap bilangan dalam notasi bentuk panjang, kemudian kerjakan operasi pengurangan berikut: a) 136 - 29
b) 775 - 158
c) 1000 - 25 77
2.
Isilah bagian-bagian yang kosong dari proses perhitungan berikut : a.) 1865
1(1000) + 8(100) + 6(10) + 5(1)
1328 ------- .....
atau
1(1000) + 3(100) + 2(10) + 8(1) ------------------------------------------- ....... ......................
atau 1(1000) + 8(100) + ____ (10) + 15(1) 1(1000) + 3(100) + 2(10) + 8(1) ---------------------------------------------------- __(1000) + __ (100) + ___(10) + ___(1) = _______________ 8(10)2 + 5(10) + 2
b) 852 327 ------ .....
atau
3(10)2 + 2(10) + 7 --------------------- ...............
atau 8(10)2 + ___(10) + 12 3(10)2 + 2(10) + 7 ---------------------------- 5 = ___(10)2 + ___(10) + 5 = ____ ____ 5 C. Algoritma Perkalian Misalkan kita akan menghitung 3 x 13. Untuk itu dibentuk jajaran seperti. a) 3 himpunan 13-an xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx
3 himpunan 10-an
b) 3.13 = 3(10+3) = 3.10 + 3.3
xxx xxx xxx
= 30 + 9 = 39
3 himpunan 3-an
78
c) 13
d) 13
3 --- x 9 = 3.3
3 ---- x 39
30 = 3.10 --- + 39 Contoh 1 : Hitunglah 5 x 18 ! a) 5 himpunan 18-an xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx
5 himpunan 10- an
b) 5.18 = 5(10 + 8) = 5.10 + 5.8
xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx
= 50 + 40 = 90
5 himpunan 8-an
c) 18
d) 18
5 ---- x 40 = 5.8
5 ---- x 90
50 = 10.5 ---- + 90 Contoh 2 : Carilah 14 x 32
79
b) 14.32 = (10 + 4).32 = 10.32 + 4.32 = 320 + 128 = 448 c) 14
d) 14
32 ----- x 28 = 2.14
32 ----- x 28
420 = 30.14 ------ + 448
42 ----- + 448
LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Susunlah sebuah jajaran (lihat contoh 1.a) untuk menggambarkan hasil kali : a) 4 x 15
b) 12 x 18
c) 23 x 11
2. Gunakan cara bentuk mendatar untuk mendapatkan hassil kali : a) 9 x 26
b) 23 x 37
80
c) 57 x 91
3. Gunakan cara bentuk perkalian bagian untuk mendapatkan hasil kali : a) 67
b) 173
21 ---- x
c) 729
28 ----- x
53 ---- x
4. Algoritma perkalian dapat diperluas menjadi perkalian bagian, misalnya: 37.29 = (30 + 7).29 = (30.29) + (7.29) = 30(20 + 9) + 7(20 + 9) = (30.20) + (30.9) + (7.20) + (7.9) Dan uraian tersebut, terdapat 4 buah perkalian bagian. Uraian tersebut dapat juga ditulis : 37 29 ----- x 63 = 9 x 7 270 = 9 x 30 140 = 20 x 7 600 = 20 x 30 ----1073 Carilah hasil kalinya dengan menggunakan perkalian bagian. a) 57
b) 135
c) 674
73 34 38 ---- x ----- x ----- x 5. Terdapat sebuah teknik perkalian yang pernah digunakan oleh orang Rusia pada abad 20, yaitu Metode petani Rusia. Misalnya kita ingin hasil kali 17 x 12. Bilangan 17 dan 12 diletakkan pada ujung atas dua buah kolom. Pada kolom sebelah kin, dilakukan pembagian dengan 2, jika terdapat sisa maka sisanya diabaikan/dibuang sedangkan hassil baginya dicatat. Teruskan pembagian tersebut hingga hasil akhirnya 1. Pada kolom sebelah kanan, dilakukan perkalian dengan 2 dan berhenti pada baris di mana kolom kiri memuat bilangan 1. Setelah itu coretlah 81
baris-baris yang kolom kirinya memuat bilangan genap (dalam hal ini baris 1, 2, dan 3). Jumlah bilangan dari bilangan-bilangan yang tersisa pada kolom kanan merupakan hassil kali yang dicari. Pada kasus ini, 17.12 = 204. 17 …….. 12 8 ……… 24 4 .……… 44 2 ………. 96 1 ……… ..192 ------ + 204 a) Gunakan cara Rusia di atas untuk mencari hasil kali dari : i)
29 x 37
ii) 17 x 86
iii) 43 x 123
b) Pada contoh di atas : 12 + 192
= 1 x 12 + 16 x 12 = (1 + 16) x 12 = 17 x 12
Diskusikan dengan teman-teman Anda : Apakah hal ini. juga dapat terjadi pada soal bagian a? c) Mengapa dapat diperoleh hasil kali yang benar, jika baris-baris yang memuat bilangan genap pada kolom kiri dihapus/coret? (Petunjuk : Tulislah setiap bilangan yang berada di kolom kiri atas, ke dalam basis 2). 6. Algoritma perkalian yang lain, yang dikenal dengan nnama Metode duplikasi, dapat Anda lihat sebagai berikut. Caranya: misalnya kita akan mencari hasil kali 37 x 29. Bentuklah 2 kolom, elemen teratas kolom kiri adalah 1 dan elemen teratas kolom kanan adalah 29. Setelah itu kedua bilangan dilipatduakan sampai pada saat, sebelum bilangan di kolom kiri melebihi 37. Kemudian pilihlah beberapa bilangan dari kolom kiri sedemikian hingga jumlah bilangan-bilangan tersebut 37 (yaitu 1, 4, dan 32). 82
Jumlah bilangan-bilangan pada kolom kanan yang bersesuaian dengan bilanganbilangan terpilih pada kolom kiri, merupakan hasil kali. dan 37 dan 29. (1).----------- 29 2 ----------- 58
29
(4) ----------- 116
116
8 ------------ 232
928 +
16 ----------- 464
1073
(32) ---------- 928 64 Catatan : Pada kolom kiri, bilangan 1 dilipatduakan dan berhenti pada saat diperoleh bilangan 32 (karena 64 sudah melebihi 37). Pada kolom kanan bilangan 29 dilipatduakan dan berhenti pada baris yang memuat 32. Pada kolom kiri bilangan-bilangan 1, 4, dan 32 jurnlahnya 37. Maka 37 x 29 = 29 + 116 + 928 = 1073. (29, 116, 928 berpasangan dengan 1, 4, dan 32). a) Dengan menggunakan metode duplikasi ini, canilah hasil kali : i) 27 x 32
ii) 58x46
iii.) 12 x 95
b) Mengapa prosedur di atas dapat menghasilkan jawaban yang benar? (Bandingkan dengan proses yang terjadi pada metode Rusia). 7. Dan cara-cara perkalian di atas, mana saja yang diajarkan di Sekolah Dasar? Selidiki pada buku Matematika Sekolah Dasar.
D. Algoritma Pembagian Jika a dan b (b ≠ 0) bilangan cacah, maka terdapat tepat satu bilangan cacah q dan r sedemikian a = bq + r dengan 0 < r < b. Algoritma ini mempunyai arti bahwa bilangan yang dibagi = pembagi. dikalikan dengan hash bagi + sisa. Contoh : Jika a = 57 dan b = 8, tulislah a dalam bentuk bq + r, dengan 0 < r < b.. Jawab : 57 = 8(7) + 1 ini berarti q = 7 dan r = 1; 0 < 1 < 8. 83
Salah satu cara untuk mencari hasil bagi suatu pembagian adalah pembagian cara panjang, yaitu menentukan jawaban sementara, dengan cara menduga, kemudian dikalikan dengan pembagi dan kurangkan pada yang dibagi. Proses tersebut diulang sampai akhirnya didapat sisa pengurangan sama dengan 0 atau kurang dari pembagi. Misalnya : 7835 : 25 Bilangan cacah manakah yang jika dikalikan dengan 25 dapat dikurangkan dari 7835. Jawabannya adalah bilangan cacah manapun juga asalkan hasil kalinya dengan 25 tidak lebih dan 7835. Biasanya bilangan cacah yang diambil sebagai jawaban sementara itu adalah 10, 100, 1000, dan seterusnya karena prosesnya akan lebih mudah. 25
7835 2500 5335 2500 2835 2500 335 250 85 25 60 25
100(25) 100(25) 100(25) 10(25) 1(25) 1(25)
35 25 10
1(25) 313
Berapa kalikah kita mengurangkan 25 dan 7835? Jawabannya adalah : 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1 + 1 = 313 Jadi : 7835 : 25 = 25(313) + 10 Bentuk lain cara menjawab pembagian 7835 : 25 adalah : 25
7835 7500 335
300(25) 84
250 85 75 10
10(25) 3(25) 313
Bandingkan proses berikut: 3(10)2 + 1(10) + 3 2(10) + 5
7(10)2 + 8(10)2 + 2(10) + 5 6(10)2 + 15(10)2 + 0(10) + 0 --------------------------------------- 3(10)2 + 3(10) + 5 2(10)2 + 5(10) + 5 ----------------------------- 8(10) + 5 6(10) + 15 ------------- 1(10)
LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Jika a dan b diketahui, carilah q dan r (0 < r < b) sedemikian hingga a = bq + r. a
b
a)
72
11
b)
51
13
c)
25
39
d)
177
22
2. Selesaikan dengan 3 cara seperti pada contoh. a) 17
1075
b) 411
37209
c) 923 75123
3. Pak Baim mempunyai 34 buah penmen Sugus. Ia ingin membagi permen tersebut kepada keenam anaknya secara sama rata. Penmen yang tersisa diberikan kepada Bu Baim. Berapa permen yang diterima masing-masing anak? Dan berapa permen yang diterima Bu Baim? Jika Pak Bam mempunyai permen dua kali lipat, apakah Bu Bram juga mendapat permen dua kali lipat?
85
4. Dengan cara menggunakan potongan-potongan lidi, tunjukkan cara memperoleh hasil pembagian 39 : 4. a)
Gunakan bentuk pengurangan berulang (terdapat berapa buah himpunan empat-an?)
b) Gunakan sifat distributif (bagilah potongan-potongan lidi tersebut ke dalam 4 kelompok). 5. Dari cara-cara pembagian di atas, mana saja yang diajarkan di Sekolah Dasar? Selidiki pada buku Matematika Sekolah Dasar.
86
