✐
✐ “taylor-wheeler” — 2006/5/19 — 12:10 — page 0 — #2
✐
✐
AZ EUKLIDESZI ÉS A LORENTZ-TRANSZFORMÁCIÓ ÖSSZEHASONLÍTÁSA NÉGYDIMENZIÓS LORENTZGEOMETRIA
AZ I. FEJEZET SUMMÁJA HÁROMDIMENZIÓS EUKLIDESZI GEOMETRIA
Feladat: megtalálni az összefüggést egy pontnak egy nem elforgatott koordinátarendszerben mért (vessz˝otlen) és ugyanannak a pontnak egy elforgatott koordinátarendszerben mért (vessz˝os) koordinátái között
egy eseménynek a laboratóriumi vonatkoztatási rendszerbeli (vessz˝otlen) és ugyanannak az eseménynek az u˝ rhajó vonatkoztatási rendszerében mért (vessz˝os) koordinátái (tér- és id˝okoordinátái) között
Az elemzést egyszer˝usít˝o feltételek az origók egybeesnek forgatás az xy síkban; az y és az y tengelyek θr szöget zárnak be (meredekség: Sr = th θr ) z = z
az origók t = t = 0-kor egybeesnek az u˝ rhajó vonatkoztatási rendszere a pozitív x tengely irányában mozog, a laboratóriumhoz képest θr sebességparaméterrel (sebesség: βr = th θr ) y = y ,
minden koordinátát méterben mérünk
z = z
minden koordinátát méterben mérünk (az id˝o egysége: „1 méter fényút megtételéhez szükséges id˝o”) Az invariáns, melynek értéke mindkét vonathoztatási rendszerben ugyanaz
(hosszúság)2 = L2
(térszer˝u intervallum)2 = σ 2
= x2 + y2 + z2
= −(id˝oszer˝u intervallum)2 = −τ 2 = x2 + y2 + z2 − t 2 ,
ezért x2 + y2 = x + y 2
2
ezért x2 − t 2 = x − t 2
2
Az utóbbi feltétel teljesüléséhez vezet˝o általános összefüggés cos2 θ + sin2 θ trigonometrikus függvényekre
ch2 θ − sh2 θ = 1 hiperbolikus függvényekre
✐
✐ ✐
✐
✐
✐ “taylor-wheeler” — 2006/5/19 — 12:10 — page 1 — #3
✐
AZ I. FEJEZET SUMMÁJA HÁROMDIMENZIÓS EUKLIDESZI GEOMETRIA
✐
AZ EUKLIDESZI ÉS A LORENTZ-TRANSZFORMÁCIÓ ÖSSZEHASONLÍTÁSA NÉGYDIMENZIÓS LORENTZGEOMETRIA
Transzformáció vessz˝os koordinátákról vessz˝otlen koordinátákra
x = x cos θr + y sin θr x + Sr y = (1 + Sr2 )1/2
x = x ch θr + t sh θr x + βr t = (1 − βr2 )1/2 t = x sh θr + t ch θr βr x + t = (1 − βr2 )1/2
y = −x sin θr + y cos θr −Sr x + y = (1 + Sr2 )1/2
(Lorentz-transzformáció)
(euklideszi transzformáció)
Transzformáció vessz˝otlen koordinátákról vessz˝os koordinátákra
x = x cos θr − y sin θr x − Sr y = (1 + Sr2 )1/2
x = x ch θr − t sh θr x − βr t = (1 − βr2 )1/2
t = −x sh θr + t ch θr −βr x + t = (1 − βr2 )1/2
y = x sin θr + y cos θr Sr x + y = (1 + Sr2 )1/2
Fontos összeadási törvények meredekségek összeadása: ha egy egyenes θ szöget zár be az elforgatott y tengellyel, akkor a nem elforgatott y tengellyel bezárt θ szögét a θ = θ + θr összefüggés
adja meg, vagy relatív meredekségek kifejezésében tg θ = S=
tg θ + tg θr 1 − tg θ tg θr S + Sr 1 − S Sr
sebességek összeadása: ha egy lövedék az x tengely irányában mozog a vessz˝os u˝ rhajórendszerhez képest θ sebességparaméterrel, akkor a vessz˝otlen laboratóriumi rendszerbeli θ sebességparaméterét a θ = θ + θr összefüggés
adja meg, vagy relatív sebességek kifejezésében th θ + th θr 1 + th θ th θr β + βr β = 1 + β βr
th θ =
✐
✐ ✐
✐
✐
✐ “taylor-wheeler” — 2006/5/19 — 12:10 — page 1 — #5
✐
✐
Téridofizika ˝
✐
✐ ✐
✐
✐
✐ “taylor-wheeler” — 2006/5/19 — 12:10 — page 2 — #6
✐
✐
További olvasnivaló a kiadó kínálatából: H RASKÓ P ÉTER : Relativitáselmélet F REI Z SOLT–PATKÓS A NDRÁS : Inflációs kozmológia E. S ZABÓ L ÁSZLÓ : A nyitott jöv˝o problémája T IMOTHY F ERRIS : A világmindenség. Mai kozmológiai elméletek A NDRÉ B RAHIC : A Nap gyermekei L EON L EDERMAN : Az isteni a-tom
✐
✐ ✐
✐
✐
✐ “taylor-wheeler” — 2006/5/19 — 12:10 — page 3 — #7
✐
✐
E DWIN F. TAYLOR – J OHN A RCHIBALD W HEELER
Téridofizika ˝
Fordította: D R . A BONYI I VÁN
Budapest, 2006
✐
✐ ✐
✐
✐
✐ “taylor-wheeler” — 2006/5/19 — 12:10 — page 4 — #8
✐
✐
A könyv az Oktatási Minisztérium támogatásával, a Fels˝ooktatási Tankönyv- és Szakkönyvtámogatási Pályázat keretében jelent meg.
c Dr. Abonyi Iván 1974, Typotex, 2006 Hungarian translation c Copyright 1963, 1966 by W. H. Freeman and Company A m˝u eredeti címe: Spacetime Physics 1. kiadás W. H. Freeman and Company San Francisco és London, 1963 A fordítás a könyv 1966-os kiadása alapján készült Fordította: Dr. Abonyi Iván A fordítást az eredetivel összevetette és szakmailag ellen˝orizte: Dr. Károlyi Gyula
ISBN 963 9548 86 3 Témakör: fizika, csillagászat Kedves Olvasó! Önre gondoltunk, amikor a könyv el˝okészítésén munkálkodtunk. Kapcsolatunkat szorosabbra f˝uzhetjük, ha belép a Typoklubba, ahonnan értesülhet új kiadványainkról, akcióinkról, programjainkról, és amelyet a www.typotex.hu címen érhet el. Honlapunkon megtalálhatja az egyes könyvekhez tartozó hibajegyzéket is, mert sajnos hibák olykor el˝ofordulnak. Kiadja a Typotex kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjeszt˝ok Egyesülésének tagja. Felel˝os kiadó: Votisky Zsuzsa Felel˝os szerkeszt˝o: Dr. Bokor Nándor M˝uszaki szerkeszt˝o: Bori Tamás Borítóterv: Tóth Norbert Terjedelem: 25,73 (A/5) ív Készült a Naszály Print Kft. nyomdájában Felel˝os vezet˝o: Hemela Mihályné
✐
✐ ✐
✐
✐
✐ “taylor-wheeler” — 2006/5/19 — 12:10 — page 5 — #9
✐
✐
Tartalomjegyzék
El˝oszó
7
I. A térid˝o geometriája 1. Mese a földmér˝okr˝ol 2. Az inerciális vonatkoztatási rendszer 3. A relativitás elve 4. Egy esemény koordinátái 5. Az intervallum invarianciája 6. A térid˝o-diagram; a világvonalak 7. A térid˝o tartományai 8. A Lorentz-transzformáció 9. A sebességparaméter Az I. fejezet feladatai Bevezetés az I. fejezet feladataihoz A. A térid˝o-intervallum B. A Lorentz-transzformáció C. Rejtvények és paradoxonok D. A háttér E. Közelítések kis sebességek esetén F. Térid˝o-fizika: további megfigyelések G. A geometriai értelmezés H. Szabad a vásár!
9 9 14 21 27 33 41 50 54 64 79 79 81 85 95 101 119 128 134 141
II. Az impulzus és az energia 10. Bevezetés. Az impulzus és az energia tömegegységekben 11. Az impulzus 12. Az energia-impulzus négyesvektor 13. Az energia és a nyugalmi tömeg egyenérték˝usége Hogyan élünk – és hogyan élünk vissza a tömeg fogalmával A II. fejezet feladatai Bevezetés a II. fejezet feladataihoz A. Általános problémák B. Az energia és a nyugalmi tömeg egyenérték˝usége C. Fotonok D. A Doppler-eltolódás E. Ütközések
149 149 152 161 174 190 197 197 199 209 212 226 237
5
✐
✐ ✐
✐
✐
✐ “taylor-wheeler” — 2006/5/19 — 12:10 — page 6 — #10
✐
6
✐
TARTALOMJEGYZÉK
F. Az atomfizika G. A csillagközi repülés III. A görbült térid˝o fizikája A fizika vázlata a térid˝o-szempontból szemlélve Az I. fejezet feladatainak megoldása A II. fejezet feladatainak megoldása Név- és tárgymutató
249 257 259 273 281 313 357
✐
✐ ✐
✐
✐
✐ “taylor-wheeler” — 2006/5/19 — 12:10 — page 7 — #11
✐
✐
El˝oszó
A XIX. század mechanikában, elektrodinamikában és az anyagszerkezet megismerésében elért eredményeit harmonikus egészbe foglalták a relativitáselmélet és a kvantumelmélet nagyszabású, modern, egységes elvei. Bevezet˝o fizikai el˝oadássorozatot tartani úgy, hogy nem hívjuk segítségül ezeknek az egyszer˝usít˝o koncepcióknak az erejét, hasonló lenne ahhoz, hogy hosszadalmas osztásokat végzünk fáradalmasan a római számokat használva, az arab számok kínálta el˝onyöket nem ismerve fel. A „Térid˝o-fizika”, amit az els˝o éves egyetemi hallgatók fizikakurzusának els˝o hónapjára dolgoztunk ki, példamutatóan kész Einstein és a többiek egyszer˝usít˝o felfedezéseit inkább a fizikai tanulmányok elejére, mint végére helyezni. Könyvünk elemi, de mégis biztos és szigorú bevezetést kínál a relativitáselméletbe, és annak a napnak eljövetelén igyekszik munkálkodni, amikor a fizikustanuló éppoly otthonosan érzi majd magát a térid˝o geometriájában, mint múlt századi el˝odje az euklideszi geometriában. Könyvünk els˝o változatait több intézményben használták kezd˝o osztályokban vagy magasabb szinten, középiskolai tanárok nyári iskoláin. A differenciálszámításra való hivatkozást minimálisra szorítottuk (a sebesség fogalma), az idevágó ismereteket a vezet˝o tanár pótolhatja, ha ezt történetesen nem tette volna meg egy korábbi vagy paralel el˝oadás. Több mint száz feladat – amelynek nagy részét részletesen megoldottuk – a mai kísérletek széles körét elemzi, a relativitáselmélet megfigyelésekb˝ol adódó és filozófiai megalapozását vizsgálja, és gazdag választékot kínál fejtör˝o kérdésekb˝ol és paradoxonokból. Néhány bonyolultabb probléma (amelyet csillaggal jelöltünk meg) a differenciálszámítás ismeretét igényli, ezek a „haladók” problémamegoldó készségét igyekeznek kihívni. Az els˝o fejezet a térid˝o legegyszer˝ubb és legfontosabb tulajdonságait fejti ki. A térid˝o-geometria paradoxonai szertefoszlanak, amint a mindennapi euklideszi geometria hasonló paradoxonaival vetjük o˝ ket össze. Szoros kapcsolat épül ki a térid˝o geometriája és a szabadon mozgó test fizikája között. A második fejezet megel˝ozi az F = ma Newton-féle mozgásegyenlet hagyományos, de korai használatát, és ehelyett közvetlenül a hatás-ellenhatás elvéhez, illetve az impulzusmegmaradás elvéhez fordul. Az impulzus és az energia, áttörve a newtoni kép határait, egy nagyobb egység részeinek mutatkoznak, amely a nyugalmi tömeget is átöleli. A harmadik fejezet a speciális relativitáselmélet korlátait és az relativitáselmélet területét vizsgálja. A könyv a fizika panorámaképével zárul, azzal 7
✐
✐ ✐
✐
✐
✐ “taylor-wheeler” — 2006/5/19 — 12:10 — page 8 — #12
✐
8
✐
˝ E L OSZÓ
a képpel, amely a térid˝o szempontjából látszik, s a fizika megértéséhez vezet˝o igazán egyszer˝u utat t˝uzi ki, mert bemutatja, „hogyan m˝uködik a világ gépezete”.
✐
✐ ✐
✐
