Az eur´opai civiz´aci´o kezdete (a nem g¨or¨og ter¨uleteken). A folyammenti kult´ur´ak kora. Kev´es kiv´etellel primit´ıv t¨ orzsek lakj´ak, z¨ ommel g´ ot ´es germ´an t¨ orzsek. Tacitus: ny´ılt, vend´ egszeret˝ o, nyughatatlan, isz´akos ´es feles´egeikre
´ pai algebra kezdete. Az euro
b¨ uszke n´epek.
Az ´okor v´ege, a korai k¨oz´epkor.
Klukovits Lajos
253-t´ ol a R´ omai Birodalom erjed´ese, lass´ u f¨ olboml´asa, kereszt´eny¨ uld¨ oz´esek. Kialakul lassan a k´et cs´asz´ars´ag, a k´et birodalom.
TTIK Bolyai Int´ ezet
2013. m´arcius 6.
N´epv´andorl´as a I.sz. IV. sz´azadt´ ol: hunok, avarok; t´amad´asok R´ oma ellen. 381: II. egyetemes konstantin´apolyi zsinat, a kereszt´eny hitvall´as v´egleges megfogalmaz´asa. 391: a kereszt´enys´eg ´allamvall´as a keleti birodalomban.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
1 / 36
Az ´okor v´ege, a korai k¨oz´epkor.
2013. m´ arcius 6.
2 / 36
Bologna 1088, P´arizs 1150, Oxford 1167, Salamanca 1239, Krakk´ o 1364, tov´abbiak a XII-XV. sz´azadban: B´azel, B´ecs, Heidelberg, Lipcse, Pr´aga ´es Salerno.
451: a Catalaunum-i csata, elvezet a Nyugatr´ omai Birodalom buk´as´ahoz. ´ 451-511: Klodvig kir´aly: a Frank Allam megalap´ıt´asa.
Egyik sem f¨ uggetlen az egyh´azt´ ol.
529: A nyugati szerzetess´eg megalap´ıt´asa, Nursiai Benedek kolostort alap´ıt Monte Cassinon, Benedek rend. Tov´abbi rendek, kolostorok, benn¨ uk Iskol´ ak. A VIII. sz´azadt´ol az egyes (vil´agi) uralkod´ ok is iskol´akat alap´ıtanak, de ezek is egyh´azi vezet´es˝ uek. Nagy K´aroly megh´ıvja iskol´aj´aba a yorki Alcuin-t. A f˝o tant´argy a teol´ ogia, de megkezd˝ odik m´as diszciplin´ak oktat´asa is, els˝ onek a zene.
Eur´ opa
Eur´ opa
Az els˝o egyetemek.
434-452: Attila h´od´ıt´asai, a Hun Birodalom az Uralt´ ol a Rajn´aig terjed, a k¨ozpont a K´arp´at medenc´eben.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2013. m´ arcius 6.
3 / 36
Az oktat´as nyelve a latin, mivel ez a katolikus egyh´az hivatalos ´ anosan ez marad a XVIII. sz´azadig. nyelve. Altal´
Az el´erhet˝o ismeretanyag. Kezdetben csak latin (r´ omai) forr´asokra t´amaszkodik. A r´ omai matematika igen kezdetleges (sz´am´ır´as!), egyszer˝ u ´es praktikus aritmetika csup´an. El´erhet˝ o n´eh´any g¨ or¨ og m˝ u, de nem autentikus, alacsony sz´ınvonal´ u latin ford´ıt´asban.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
4 / 36
A tov´abbl´ep´es kezdete.
Gerbert.
Az els˝o ismert tud´osok. Severinus Boetius (480-524, ˝ osi r´ omai csal´ad sarja), az els˝ o nem
930 ´es 945 k¨ oz¨ ott sz¨ uletett Auvergne-ben,
iszl´am tud´os, aki eredeti g¨or¨ og forr´asok alapj´an trakt´ atusokat ´all´ıt ¨ossze elemi aritmetik´ab´ol ´es geometri´ab´ ol.
hisp´aniai mecsetiskol´akban (Cordoba, Sevilla) is tanult,
Euklid´esz I. ´es II. k¨onyv´et ford´ıtotta, de a bizony´ıt´asokat elhagyta. Mell´ekelt n´eh´any (r´eszben hib´as) geometriai sz´am´ıt´ast. Pl. nem utalt azok k¨ozel´ıt˝o jelleg´ere.
977 ´es 982 k¨ oz¨ ott Reims-ben a quadrivium (aritmetika, geometria, csillag´aszat, zene) el˝ oad´ oja,
Nikomachosz Aritmetik´aj´at, Arisztotel´esz, K. Ptolemaiosz egyes m˝ uveit is ford´ıtotta.
legfontosabb matematikai m˝ uve: Libellus de numerorum divisione, XII. sz´azadi m´asolatban maradt f¨ onn,
Keveset ´erthetet meg a leford´ıtott m˝ uvekb˝ ol, matematik´aja tiszt´an empirikus.
a hindu-arab sz´amjegyek haszn´alat´at javasolta (eretneks´egsz´amba ment!) √ 3 ≈ 12 7 ,
Legh´ıresebb m˝ uve: Consolitiones Philosophicae, amit gyan´ıthat´ oan fogs´aga (hitszeg´es) alatt ´ırt.
matematik´aval, logik´aval, filoz´ ofi´aval ´es csillag´aszattal foglalkozott,
998 - 1003 II. Szilveszter.
Gerbert (∼940-1003) ´es Alcuin (735-804) n´eh´any trakt´atusa (˝ ok m´ar mecsetiskol´akban tanultak). Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
5 / 36
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
A tudom´anyoss´ag megjelen´ese.
A pisai Leonardo (1170-1250).
A g¨or¨og alapok f¨ol´eled´ese.
Tanulm´anyai, utaz´asai, m˝uvei .
Az eur´opai (feud´alis alap´ u) civil´aci´ o meger˝ os¨ od´ese 1100-t´ ol, az ´allamrendszer stabiliz´al´od´asa.
Az u ¨l˝o keresked˝ok” megjelen´ese, kereskedelmi kirendelts´egek” ” ” l´etrej¨otte. Hitelez´esek.
2013. m´ arcius 6.
M˝ uvei: Liber abaci (1202, 1228), Practica geometrie (1220), Flos (1225) ´es Liber quadratorum (1225).
A k¨onyvek c´ımeir˝ol:
Kapcsolat a hisp´aniai m´or ´allamokkal”: tudom´any, mecsetiskol´ak. ” Roger Bacon (1214-94): az els˝ o tud´ os, akit eltiltottak az ´ır´ast´ ol”, ” ˝ — ellent´etben de p´apai megb´ız´asb´ol filoz´ ofi´aval foglalkozhatott. O legt¨obb kort´ars´aval — el˝onyben r´eszes´ıtette a k´ıs´erleteket a spekul´aci´oval (skolasztika) szemben.
Eur´ opa
6 / 36
Tanulm´anyok: mecsetiskol´ak, keleti utaz´asok, Palermo.
Az els˝o manufaktur´ak, kereskedelmi kapcsolatok az ´allamokon bel¨ ul ´es k¨oz¨ott, keleti kapcsolatok.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2013. m´ arcius 6.
7 / 36
Liber abaci → Abakusz k¨ onyve, vagy ink´abb a Sz´amol´asok k¨ onyve (abacus vagy abare az abaci eredete?), Flos Vir´agocska”, z¨ ommel gazdas´agi sz´am´ıt´asokat tartalmaz, de ” n´eh´any elm´eleti probl´em´at is. Liber quadratorum → N´egyzetsz´amok k¨ onyve (Sain M´arton???)
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
8 / 36
Feladatok a Liber abacib´ol.
Hasonl´o feladatok m´as kult´ur´akban 1.
Bevezet˝o megjegyz´esek. Sz´amol´asok a hindu-arab sz´amjegyekkel, a mai ´ertelembe vett t¨ ortek ´es az egys´egt¨ortek (az 1 sz´aml´al´ oj´ u t¨ ortek) k¨ oz¨ otti konverzi´ o.
Ha van 7 h´az, minden h´azban 7 macska, minden macska megeszik 7 egeret, minden eg´er elpuszt´ıtana 7 kal´aszt, ´es minden kal´aszban 7 mag van, akkor h´any szem gabona menek¨ ul meg?
Egy ´erdekes jel¨ol´esrendszere: 1 6 2 162 = + + . 2 9 10 2 · 9 · 10 9 · 10 10
K¨oz´epkori orosz k´ez´ırat. (I.sz. 15. sz´azad)
Egy ´erdekes feladat. 7 any´ oka mendeg´el R´ oma fel´e, minden any´ok´aval mendeg´el 7 ¨oszv´er, minden ¨ oszv´eren 7 zs´ak van, minden zs´akban 7 keny´er van, minden keny´er mellett 7 k´es van, minden k´es 7 tokban van. Mennyi mindezek ¨osszege?
Eur´ opa
Van 7 h´az, 49 macska, 343 eg´er, 2401 kal´asz, 16807 b´ uzaszem. Val´ osz´ın˝ uleg a k¨ ovetkez˝ o feladatr´ ol van sz´ o:
98 1 1 1 1 = + + + , 100 50 5 4 2
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
RHIND 79. feladat. (I.e. 20-19. sz.)
2013. m´ arcius 6.
9 / 36
Hasonl´o feladatok m´as kult´ur´akban 2.
Gyalogol 7 any´ oka, minden any´ ok´an´al 7 bot van, minden boton 7 ´agacska, minden ´agacsk´an 7 tarisznya, minden tariszny´aban 7 lep´eny, minden lep´enyben 7 ver´eb, minden ver´ebben 7 z´ uza. Mennyi ez ¨osszesen?
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
10 / 36
Feladatok a Liber abacib´ol. Amit mindenki ismer. A nyulas” probl´ema: H´any p´ar ny´ ul j¨ on a vil´agra egy ´ev alatt, ha ” kezdetben egyetlen p´arunk van, ´es minden egyes h´ onapban minden p´art´ ol egy u ´jabb p´ar sz¨ uletik f¨ olt´eve, hogy a p´arok a m´asodik h´ onapt´ ol kezd˝ od˝ oen produkt´ıvok.
Ismert angol nonszensz-vers (nursery rhyme) a 19. sz´azadb´ol. As I was going to St. Ives, I met a man with seven wives; Every wife had seven sacks, Every sack had seven cats, Every cat had seven kits, Kits, cats, sacks, and wiwes, How many were going to St. Ives?
Hat´arozatlan egyenletekre vezet˝o probl´em´ak. A 30 mad´ar probl´ema. Egy ember 30 madarat v´as´arol: foglyokat, galambokat ´es verebeket. A fogoly ´ara darabonkint 3 ez¨ ust, a galambok´e ¨ 2, m´ıg a verebek´e 12 . Osszesen 30 ez¨ ust¨ ot fizet. H´any madarat vett az egyes fajt´akb´ ol?
Megjegyz´ es. E feladat egy vari´ansa az ´okori k´ınai, hindu, valamint a kora-k¨ oz´epkori arab forr´asokb´ ol is ismert 100 mad´ar probl´em´anak. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
11 / 36
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
12 / 36
Feladatok a Liber abacib´ol.
Feladatok a Liber abacib´ol.
A megold´as.
A megold´as.
Mai terminol´ogi´aval: az
Jel¨ olje s a l´ o ´ar´at, x ´es y pedig az emberek p´enz´et. x + y + z = 30 1 3x + 2y + z = 30 2
1 x+ y =s 3 1 y+ x =s 4
hat´arozatlan egyenletrendszert kell megoldani, amelyb˝ ol A legkisebb eg´esz megold´as:
x = 3, y = 5, z = 22
x = (3 − 1) · 4 = 8
M´eg egy hat´arozatlan egyenletre vezet˝o probl´ema.
y = (4 − 1) · 3 = 9
L´ ov´as´arl´asi probl´ema: Az egyik ember azt mondja a m´asiknak: ha nekem adod p´enzed egyharmad´at, akkor meg tudom venni a lovat. Erre a m´asik u ´gy v´alaszol, hogy ha te pedig a p´enzed negyed´et adod nekem, akkor ´en tudom megvenni a lovat.
s = 3 · 4 − 1 · 1 = 11
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
13 / 36
Feladatok a Liber abacib´ol.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
14 / 36
Feladatok a Liber abacib´ol.
A l´ov´as´arl´asi probl´ema ´altal´anos´ıt´asa. A v´as´arl´asban h´arman vesznek r´eszt, mindenki a m´asik kett˝ ot˝ ol k´er p´enzt azonos ar´anyban.
A sz¨oveges megold´as formaliz´al´asa ´ anos von´asok/tecnika fedezhet˝ Altal´ o f¨ ol. Legyen
A megoldand´o egyenletrendszer
x + y + z = t, azaz egy u ´j hat´arozatlant vezetett be.” ” Ebb˝ ol az egyenl˝ os´egb˝ ol sorra kivonja az egyenleteket:
1 x + (y + z) = s 3 1 y + (x + z) = s 4 1 z + (x + y ) = s 5
2 3 4 (y + z) = (x + z) = (x + y ) = t − s = D, 3 4 5
x, y , z jel¨oli az emberek p´enz´et, s a l´ o ´ara.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
15 / 36
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
16 / 36
Feladatok a Liber abacib´ol.
Feladatok a Liber abacib´ol.
A megold´as folytat´asa. azaz egyenletrendszere” ” 3 y +z = D 2 4 x +z = D 3 5 x +y = D 4
A v´egeredm´eny x = 13, y = 17, z = 19.
Megjegyz´ es. Megjegyezz¨ uk, hogy a 3 szerepl˝ os l´ ov´as´arl´asi probl´ema egyenletrendszer´enk” ilyet´en megold´asa szerepel Diophantos Arithmetica ” c. k¨ onyv´eben (I. 24 feladat).
x, y , z-re eg´esz ´ert´eket akar kapni, ez´ert D = 24-gyel sz´amolt,
y + z = 36 x + z = 32 x + y = 30 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
17 / 36
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
Palermoi J´anos egy probl´em´aja.
Palermoi J´anos egy probl´em´aja.
Flos.
Leonardo megold´asa 3.
Megoldand´o az x 3 + 2x 2 + 10x = 20 egyenlet.
Megmutatta be (nem hogy x nem lehet kvadratikus p korrekten), √ irracion´alis, azaz a + b alak´ u sz´am sem.
Leonardo megold´asa 1. x 6∈ N, mert
Leonardo megold´asa 4. x2 x3 x+ + = 2, 5 10
Megadta az egyenlet egy k¨ ozel´ıt˝ o megold´as´at hatvanados t¨ ortekkel: x = 1; 22, 7, 42, 33, 4, 40 22 7 42 =1+ + + 60 602 603 4 40 33 + 4 + 5 + 6. 60 60 60
amib´ol egyr´eszt x < 2, m´asr´eszt 13 + 2 · 12 + 10 · 1 = 13 < 20.
Leonardo megold´asa 2. x 6∈ Q+ , s˝ot racion´alis sz´am n´egyzetgy¨ oke sem lehet, mert az egyenlet x=
20 − 20x 2 10 + x 2
Ez decim´alisan
alakban is ´ırhat´o, ´es a jobb oldalon ez esetben racion´alis, m´ıg a bal oldalon irracion´alis sz´am ´allna. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
18 / 36
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
19 / 36
1, 36883102451989026063100137174211 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
20 / 36
Palermoi J´anos egy probl´em´aja.
R´eszleges algebrai megold´asok
Megjegyz´ esek.
Egy XIV. sz´azadi k´ezirat.
Ezen ´ert´ek 3 · 10−11 pontoss´ag´ u, csak a hatodik hatvanados jegy nagyobb a korrektn´el kb. m´asf´ellel.
A pisai Dardi mester valamikor 1344 k¨ or¨ ul ´ırta Aliabraa di algibra c. trakt´atus´at (c´ım´eb˝ ol meg´ıt´elhet˝ oen vulg´aris olasz nyelven).
2
Pontatlans´aga ellen´ere kijelenthetj¨ uk, hogy ez volt az els˝ o komoly k´ıs´erlet a harmadfok´ u egyenletek gy¨ okjelekkel val´ o, teh´at algebrai megold´as´ara.
E m˝ unek n´egy k¨ oz´epkori k´ez´ırata ismert, h´arom olasz nyelv˝ u ´es egy 1473-as keltez´es˝ u h´eber ford´ıt´as.
3
M´as ´ır´asaib´ol azonban az t˝ unt ki, hogy osztotta az iszl´am tud´ osok, ´ıgy Omar Khajjam, azon v´elem´eny´et, hogy a harmad- ´es magasabb fok´ u egyenletek csak geometriailag oldhat´ ok meg egzaktan.
4
El˝obbi elj´ar´as´aban implicite az is benne van, hogy Euklid´esz X. k¨onyve nem ´ırja le az ¨osszes algebrai irracion´alist, q hiszen egyenlet´enek p √ √ √ nincs megold´asa az ott t´argyalt a + b, illetve a + b alak´ u irracion´alisok k¨or´eben.
1
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
21 / 36
R´eszleges algebrai megold´asok
Az egyes t´ıpusok megold´asi elj´ar´as´at nem minden esetben r´eszletezte, gyakran csak r¨ ovid hivatkoz´asokat ´ırt le. Arr´ ol nem tal´alunk semmit, hogy hogyan j¨ ohetett r´a a sz¨ ovegesen le´ırt megold´asi elj´ar´asokra, ´es elj´ar´asait term´eszetesen nem bizony´ıtotta.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
22 / 36
R´eszleges algebrai megold´asok Az (1) egyenlet megold´asa.
4 k¨ozbeiktatott egyenlet.
A megoldand´ o egyenlet:
A list´an a 182. ´es a 183. egyenlet k¨ oz´e n´egy speci´alis alak´ u irreducibilis vegyes harmadfok´ u ´es negyedfok´ u egyenletet illesztett:
x 3 + bx 2 + cx = n,
cx + bx 2 + ax 3 = n
(1)
dx + cx 2 + bx 3 + ax 4 = n
(2)
dx + cx 2 + ax 4 = n + bx 3 4
2
dx + ax = n + cx + bx
3
(4)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
23 / 36
(1’)
amelynek megold´as´at az x=
(3)
A list´an szerepl˝o egyenletekben term´eszetesen csak pozit´ıv egy¨ utthat´ok szerepeltek, ´es a megold´ast mindig azzal kezdte, hogy az ismeretlen legmagasabb hatv´any´anak egy¨ utthat´ oj´aval elosztotta az egyenletet.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Trakt´atus´aban Dardi igen hossz´ u list´at adott egyenletek t´ıpusair´ ol, amelyben b˝ os´egesen tal´alunk olyanokat amelyek az ismeretlen n´egyzet- vagy k¨ obgy¨ ok´et is tartalmazta.
r c 3 3
b
+n−
c b
(5)
formula szolg´altatja. Term´eszetesen formula” alatt nem az el˝ obbi alak´ ut kell ´erteni, e ” korban m´eg a jelek jelent˝ os r´esz´et is szavakkal adt´ak meg, ´es az ismeretlent sem egyetlen bet˝ uvel jel¨ olt´ek. Nagy k´erd´es azonban az, hogy hogyan j¨ ott r´a Dardi mester e formul´ara. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
24 / 36
R´eszleges algebrai megold´asok
R´eszleges algebrai megold´asok
Az (1) egyenlet megold´asa. Az (1) egyenlet megold´asa.
Pontos v´alasz nyilv´an nem adhat´ o, hacsak nem ker¨ ul el˝ o egy ezt tartalmaz´o Dardi k´ezirat. Ez´ert itt van der Waerden gondolatait vessz¨ uk alapul.
Dardi mester teh´at mindk´et oldalhoz olyan L mennyis´eget adott, hogy a bal oldalon teljes k¨ ob alakuljon ki, azaz (x + L)3 ´alljon.
Al-Hv´arizmi ´es a pisai Leonardo az x 2 + bx = c alak´ u egyenletekn´el u ´gy j´art el, hogy — alkalmas konstanst adva mindk´et oldalhoz — a bal oldalt teljes n´egyzet´e eg´esz´ıtette ki: x 2 + bx +
b2 b2 =c+ . 4 4
Al-Hv´arizmi algebr´aj´anak anyaga ´es m´ odszerei ismertek voltak, ´es Dardi olvashatta (ismerhette) Leonardo m˝ uveit f¨ olt´etelezhetj¨ uk, hogy az azokban szerepl˝okh¨oz hasonl´ o utat k¨ ovetett.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
25 / 36
R´eszleges algebrai megold´asok
A kor´abbi elj´ar´as ak´armilyen egy¨ utthat´ ok eset´en alkalmazhat´ o, most ezt nem v´arhatjuk, csak korl´atozott ´erv´eny˝ u ´altal´anos´ıt´asra van lehet˝ os´eg¨ unk. Vizsg´alni kell a m´ odszer alkalmazhat´os´ag´anak f¨ olt´eteleit is. Mind az arab, mind Leonardo a m´asodfok´ u egyenletek megold´as´ara alkalmazott elj´ar´asaik illusztr´al´asak´ent, bizony´ıt´asak´ent” n´egyzeteket ” alkalmazott, ´ıgy eset¨ unkben — harmadfok´ u egyenletn´el — kock´at kell haszn´alnunk.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
26 / 36
R´eszleges algebrai megold´asok van der Waerden rekonstrukci´oja.
van der Waerden rekonstrukci´oja. Tekints¨ unk egy x + L oldal´el˝ u kock´at.
A kocka 8 r´eszre bonthat´ o: egy x oldal´el˝ u kocka, h´arom olyan n´egyzet alap´ u has´ab, amelynek alap´ele x, magass´aga pedig L, h´arom olyan n´egyzet alap´ u has´ab, amelynek alap´ele L, ´es magass´aga x, egy L oldal´el˝ u kocka. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
27 / 36
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
28 / 36
R´eszleges algebrai megold´asok
R´eszleges algebrai megold´asok van der Waerden rekonstrukci´oja.
van der Waerden rekonstrukci´oja.
Meg kell megvizsg´alni, hogy egyenlet¨ unk egy¨ utthat´ oinak milyen speci´alis f¨ olt´eteleket kell kiel´eg´ıteni¨ uk ahhoz, hogy alkalmazhassuk m´ odszer¨ unket. Egyr´eszt egyenlet¨ unk mindk´et oldal´ahoz hozz´a kell adni L3 -t, m´asr´eszt f¨ onn kell, hogy ´alljanak a
Egy-egy eml´ıtett test t´erfogata rendre x 3 , x 2 L, xL2 , L3 ,
c = 3L2
(6)
b = 3L
(7)
egyenl˝ os´egek. s term´eszetesen az is teljes¨ ul, hogy
Ezek k¨ oz¨ ul (7) k¨ onnyen teljes´ıthet˝ o, hiszen eddig L-re nem volt kik¨ ot´es¨ unk. Ha elosztjuk (6)-ot (C)-tel, akkor
(x + L)3 = x 3 + 3x 2 L + 3xL2 + L3 .
L= Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
29 / 36
R´eszleges algebrai megold´asok
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
c b
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
30 / 36
R´eszleges algebrai megold´asok
van der Waerden rekonstrukci´oja. Ez azt jelenti, hogy elj´ar´asunk olyan b, c egy¨ utthat´ ok eset´en alkalmazhat´o, amelyekre f¨onn´all (6) ´es (7), azaz
Dardi p´eld´aja. Dardi mester elj´ar´as´at az
b 2 = 3c.
x 3 + 60x 2 + 1200x = 4000
Ha ez teljes¨ ul, akkor (1’) egyenlet¨ unk
egyenleten szeml´eltette. Azonnal l´athat, hogy — mindk´et oldalhoz 8000- t adva a bal oldalon az x + 20 kifejez´es k¨ obe ´all, teh´at az
(x + L)3 = n + L3
(x + 20)3 = 4000 + 8000 = 12000
alak´ ura hozhat´o, s ´ıgy p 3 x = n + L3 − L =
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
(1’)
Eur´ opa
r 3
n+
c 3 b
−
egyenlethez jutunk, ami m´ar k¨ onnyen megoldhat´ o.
c . b
2013. m´ arcius 6.
31 / 36
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
32 / 36
Dardi p´eld´aj´anak (lehets´eges) eredete.
Dardi p´eld´aj´anak (lehets´eges) ut´o´elete. Piero della Francesca: Trattato d’Abaco. Mindezek alapj´an az x havi kamatra a k¨ ovetkez˝ o egyenlet ´ırhat´ o f¨ ol.
Piero della Francesca: Trattato d’Abaco. A h´ıres renesz´ansz fest˝o matematikai trakt´atus´aban szerepel a k¨ovetkez˝o probl´ema.
x 3 = 150, 100 1 + 20
Egy ember k¨olcs¨on ad a m´asiknak 100 Lir´at, ´es 3 ´ev m´ ulva, kamatos kamatot sz´amolva 150 Lir´at kap vissza. Mennyi volt a havi kamat?
vagy ezt 80-nal szorozva
A feladat megold´as´aban a havi kamatot denarii”-ban fejezt´ek ki, 1 ” Lira az 20 × 12 denarii.
ami ´eppen Dardi (1’) egyenlete.
Ha most a havi kamat 1 Lir´ara x denarii, akkor az ´eves kamat 12x x denarii 1 Lirara, s ´ıgy az ´eves kamatl´ab 20 .
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
(x + 20)3 = 12000,
A trakt´atus´aban h´arom k¨ olcs¨ on¨ ugyletet is t´argyalt, ´es ezek k¨ oz¨ ul kett˝ o (az egyik az el˝ obbi) — r´aad´asul ugyanazon sz´amokkal — szerepel Dardin´al is.
33 / 36
Dardi p´eld´aj´anak (lehets´eges) ut´o´elete.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
34 / 36
Dardi p´eld´aj´anak (lehets´eges) ut´o´elete.
Piero della Francesca: Trattato d’Abaco. A m´asodik probl´ema a k¨ovetkez˝ o. Ugyancsak 100 Lir´at, de most 4 h´ onapra adunk k¨ olcs¨ on, s a hat´arid˝ o lej´art´aval 160 Lir´at kapunk vissza. Ism´et az egy Lir´ara sz´am´ıtott havi kamat a k´erd´es. A megold´ashoz — az el˝obbinek megfelel˝ o gondolatmenet alapj´an — most az (x + 20)4 = 256000
Piero della Francesca: Trattato d’Abaco. Ha a bal oldalon elv´egezz¨ uk a hatv´anyoz´ast, akkor az x 4 + 80x 3 + 2400x 2 + 32000x = 96000 egyenlethez jutunk, mely szint´en szerepel Dardi p´eld´ai k¨ oz¨ ott. Val´ osz´ın˝ u, hogy Francesca Dardit´ ol vette p´eld´ait.
egyenletet kell megoldani, ami ism´et egy egyszer˝ u gy¨ okvon´as.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
35 / 36
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Eur´ opa
2013. m´ arcius 6.
36 / 36
