MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY
Analýza matematických znalostí žáků 1. ročníku SŠ Disertační práce
Dana Pavlíková
Vedoucí práce: RNDr. Jiří Herman, Ph.D.
Brno 2015
Bibliografický záznam Autor:
Dana Pavlíková, Mgr. Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky
Název práce:
Analýza matematických znalostí žáků 1. ročníku SŠ
Studijní program:
Matematika
Studijní obor:
Obecné otázky matematiky
Vedoucí práce:
RNDr. Jiří Herman, Ph.D.
Akademický rok:
2014/2015
Počet stran:
132
Klíčová slova:
matematika, algebraické výrazy, zlomky, rovnice, učební texty, výuka, úroveň znalostí žáků
Bibliographic Entry Author
Dana Pavlíková, Mgr. Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics
Title of Thesis: Degree programme:
The Analysis of Mathematical Knowledge of First Year High School Students Mathematics
Field of Study:
General Problems of Mathematics
Supervisor:
RNDr. Jiří Herman, Ph.D.
Academic Year:
2014/2015
Number of Pages:
132
Keywords:
mathematics, algebraic expressions, fractions, equations, textbooks, teaching, the knowledge level of students
Abstrakt disertační práce Předmětem disertační práce je analýza a vyhodnocení různé úrovně znalostí matematiky v ČR a srovnání výsledků znalostních testů žáků ČR se zahraničím. Konkrétně znalostí v úpravách číselných výrazů, znalost základních algebraických vzorců, slovních úloh, logické úvahy při řešení slovních úloh, řešení rovnic, elementární znalosti z geometrie. Výzkum byl proveden v prvních ročnících SŠ, kde se nejvíce projeví rozdíly v úrovni získaných matematických znalostí žáků přicházejících z různých základních škol. Stupeň ohodnocení žáků, se kterým přicházejí na střední školu, není vždy jednoznačným ukazatelem o znalostech. Zpravidla odpovídá výrazně rozdílné úrovni znalostí. Cílem bylo zmapovat vědomosti a dovednosti, které si žáci odnášejí ze základní školy. V závěru práce je návrh učebních textů, které byly sestaveny i s využitím výsledků zrealizované ankety jako interaktivní pomůcka pro učitele matematiky i žáky.
Dissertation abstract The subject matter of this dissertation is the analysis and evaluation of different levels of knowledge of mathematics in the Czech Republic and comparison of the results of the pupils´ tests knowledge across the Czech Republic. Specifically, knowledge of solving numeric expressions, knowledge of basic algebraic formulas, word problems, reasoning in solving word problems, solving equations, elementary knowledge of geometry. The research was conducted in the early years of secondary school, where the differences are the most apparent in the level of acquired mathematical knowledge of students that are coming from different elementary schools. The students´ grades evaluation from primary school, usually does not match the knowledge required in high school, therefore it is not always single valued indicator of knowledge. Generally the grades reveal significant gaps in levels of knowledge. The aim was to explore the knowledge and skills that students bring from elementary school. As a result of this study analysis there is an offer of textbooks that have been developed upon the use of survey as an interactive tool for mathematics teachers and students.
Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala svému školiteli RNDr. Jiřímu Hermanovi, Ph.D., Doc. RNDr. Eduardu Fuchsovi, CSc. a doc. RNDr. Jaromíru Šimšovi, CSc. za vedení během mého doktorského studia, za konzultace spojené s přípravou disertační práce a za cenné rady a informace, které mi poskytli.
Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji disertační práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 20. června 2015
……………………………… Dana Pavlíková
Obsah Úvod……………… .............................................................................................................................................. 10 I. Teoretická část ................................................................................................................................................. 12 1. Výuka matematiky na 2. stupni základní školy a na gymnáziu ....................................................................... 12 1.1 Vzdělávací program matematika pro základní vzdělávání ........................................................................ 13 1.1.1 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání .................................................................... 14 1.1.2 Tematické plány matematiky pro 2. stupeň ZŠ ................................................................................. 15 2. Úskalí přechodu ze základní školy na střední školu ........................................................................................ 27 3. Srovnání výsledků znalostních testů žáků ČR se zahraničím .......................................................................... 29 3.1 Mezinárodní srovnávací výzkumy v oblasti školního vzdělávání v České republice ............................... 29 3.1.1 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) ................................................... 29 3.1.2 PISA (Programme for International Student Assessment) ................................................................ 30 3.1.3 TALIS (Teaching and Learning International Survey)...................................................................... 31 3.1.4 SIALS a PIAAC (Second International Adult Literacy Survey; Programme for the International Assessment of Adult Competencies) .................................................................................................. 31 3.2 Školní vzdělávání v ČR z pohledu mezinárodních vzdělávacích výzkumů .............................................. 32 3.2.1 Shrnutí mezinárodních výzkumů a jejich reflexe v českém
prostředí .......................................... 33
3.2.2 Podmínky vzdělávacího procesu ....................................................................................................... 34 3.2.3 Kurikulum a jeho vztah k výsledkům českých žáků.......................................................................... 34 3.2.4 Charakteristiky systému vzdělávání a jejich vliv na výsledky žáků ................................................. 35 3.2.5 Gender a selekce ve vzdělávacím procesu ........................................................................................ 35 3.2.6 Testování znalostí žáků českých základních škol ............................................................................. 38 3.3 Shrnutí …………………………………………………………………………………………………….40 4. Hypotézy ......................................................................................................................................................... 41 4.1 Návrh harmonogramu výzkumu ................................................................................................................ 41 4.2 Formulace hypotéz .................................................................................................................................... 41 II. Výzkumná část ................................................................................................................................................ 42 5. Nestandardizovaný didaktický test a anketa .................................................................................................... 42 5.1 Průběh a vyhodnocení nestandardizovaného didaktického testu a ankety ................................................. 42 5.2 Jednotlivé ročníky nestandardizovaného didaktického testu ..................................................................... 43 5.2.1 Ročník 2009 ...................................................................................................................................... 43 5.2.1.1 Jevová analýza nestandardizovaného didaktického testu 2009 ...................................................... 45 5.2.2 Ročník 2010 ...................................................................................................................................... 50 5.2.2.1 Jevová analýza nestandardizovaného didaktického testu 2010 ...................................................... 52 5.2.3 Ročník 2011 ...................................................................................................................................... 57 5.2.3.1 Jevová analýza nestandardizovaného didaktického testu 2011 ...................................................... 58 5.3 Srovnání výsledků nestandardizovaného didaktického testu v ročnících 2009, 2010, 2011 ..................... 63 5.4 Rozbor a zjištění nejčastějších nedostatků v řešení jednotlivých úloh ...................................................... 68 5.4.1 Klasifikace chyb v úlohách ............................................................................................................... 68 5.4.2 Ukázky řešení a nejčastější chybování žáků v úlohách testů ............................................................. 69 5.4.3 Vyhodnocení ankety .......................................................................................................................... 80 5.4.4 Atomární analýza ............................................................................................................................. 82 8
5.5 Výsledky žáků didaktického testu vzhledem ke klasifikaci matematiky v 9. třídě ZŠ .............................. 96 5.5.1 Grafické vyjádření úspěšnosti žáků jednotlivých ročníků vybraných škol vzhledem ke klasifikaci v 9. třídě ZŠ............................................................................................................................................. 98 5.6 Souhrnné hodnocení základních škol z výsledků nestandardizovaného didaktického testu ročníků 2009, 2010, 2011............................................................................................................................................. 111 6. Závěr…………………………………………………………………………………………………………..113 Literatura ............................................................................................................................................................. 116 Seznam příloh ..................................................................................................................................................... 122 Příloha č. 1. Seznam ZŠ zúčastněných v anketě r. 2009, r. 2010, r. 2011 ................................................... 123 Příloha č. 2. Tabulka dat pro určení Spearmanova korelačního koeficientu ............................................... 124 Příloha č. 3. Výstupy RVP a standardy pro 2. stupeň ZŠ zahrnuté v didaktickém testu ............................. 128 Příloha č. 4. Učební texty ............................................................................................................................ 132
9
Úvod Matematika patří k nejnáročnějším z přírodních věd, poněvadž vyžaduje schopnost logického a exaktního myšlení, přesnost a soustředění. V posledních letech se často diskutuje o požadované úrovni znalostí matematiky žáků základních a středních škol, o matematice jako povinném maturitním předmětu i o obtížnosti maturitní zkoušky z matematiky. Několik let je konstatováno, že se úroveň znalostí matematiky žáků SŠ celkově zhoršuje. Zhoršení je zřejmé z výsledků maturitních zkoušek, ale i ze závěrů hodnocení SCIO [76]. Z publikovaných závěrů lze vyčíst, že toto zhoršení znalostí matematiky je způsobeno několika různými faktory. Jednou z možných příčin klesající úrovně znalostí matematiky je patrně zvyšující se počet žáků a absolventů středních a vysokých škol, který souvisí s financováním škol podle počtu žáků. Důsledkem se jeví snižování požadavků na znalosti a dovednosti žáků při přijímacích řízeních a poté i při závěrečných zkouškách nejen na SŠ, ale i na VŠ. Dalším významným faktorem zhoršení úrovně znalostí maturantů může také být zvětšený podíl populace nastupující do maturitních oborů, který nemá potřebné předpoklady pro zvládání středoškolské matematiky. Jako diskutabilní se jeví zařazení některých učebních oborů mezi obory maturitní. Problém klesající úrovně znalostí matematiky se přenáší nejen dále na vyšší stupeň vzdělání, ale i do praxe, např. až na trh informačních a komunikačních technologií (ICT). I zde se projevuje nedostatečná znalost matematiky, logiky a přírodních věd a stává se jednou z hlavních překážek rozvoje tohoto oboru. Pro technické obory je matematika nezbytnou podmínkou. Matematika je jazykem techniky. Žák, který nezvládl matematiku na SŠ, nemůže zvládnout navazující studium na VŠ technického zaměření. Významným ukazatelem úspěšnosti studentů ve vysokoškolském studiu matematiky může být opět typ střední školy, kterou před nástupem na VŠ absolvovali. [91] Z přehledové studie o mezinárodních srovnávacích výzkumech v oblasti vzdělávání realizovaných v České republice v posledních dvaceti letech [62], je zřejmý potenciál těchto výzkumů, který by měl být více využíván pro didaktiku v zájmu rozvíjení produktivní kultury vyučování a učení pro Českou republiku. Výsledky nejsou dosud zcela zhodnoceny. Poskytují data pro další studie zaměřené na vzdělanostní nerovnosti a rozdíly mezi různými skupinami žáků, analýzy postojů žáků k vyučovacím předmětům, analýzy zaměřené na průběh výuky a pedagogické činnosti učitelů. Česká republika se do srovnávacích výzkumů zapojuje již od roku 1995, a to do výzkumu matematického a přírodovědného vzdělávání TIMSS (Third International Mathematics and Science Study) a výzkumu čtenářské gramotnosti RLS (Reading Literacy Study), které koordinovala Mezinárodní organizace pro hodnocení vzdělávacích výsledků IEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievment). Je nelichotivým faktem, že od počátku našeho století výsledky srovnávacích mezinárodních testů ukazují, že se Česká republika v přírodních vědách a v matematice zhoršila. Dokonce v letech 2003 a 2009 v testování PISA ukazují výsledky českých žáků největší propad ze všech zemí z obou uvedených cyklů. Dílčí cíle disertační práce Disertační práce je členěna na dvě základní části: teoretickou a výzkumnou. Hlavním cílem první, teoretické části, je ukázat úroveň našich studentů v kontextu výsledků mezinárodních srovnávacích výzkumů v matematice a zpracovat ucelený pohled na problematiku srovnávání znalostních testů žáků ČR se zahraničím. Výzkumy, které proběhly a stále probíhají, jsou zdrojem množství dat, které poskytují zemím mnohá fakta a 10
argumenty, kterými je možno ovlivňovat vzdělávací systém. Cílem teoretické části je shrnutí mezinárodních výzkumů a jejich reflexe v českém prostředí, zpracování pohledu na podmínky vzdělávacího procesu, charakteristiky systému vzdělávání a jejich vliv na výsledky žáků. V druhé, výzkumné části, disertační práce je cílem pomocí nestandardizovaného didaktického testování provést výzkumné šetření o znalostech matematiky žáků prvních ročníků SŠ přicházejících z různých ZŠ. Výzkum byl zpracován a vyhodnocen kvantitativní metodou jevovou analýzou. Cílem bylo zmapovat vědomosti a dovednosti, které si žáci odnášejí ze základní školy. Výsledky testování jsou podrobně vyhodnoceny, popsány a graficky znázorněny. Jako doplněk kvantitativního výzkumu k vyhodnocení ankety, kterou tvoří otevřená otázka, je využita atomární analýza s vybraným vzorkem žáků. Cílem atomární analýzy je zaměřit se na chápání žáků zkoumaných jevů a skutečností, tj. jejich vlastních nedostatků i předností. Teoretická část disertační práce je členěna do čtyř kapitol. V kapitole první jsem se zaměřila na popis trendů ve výuce, která je v dnešní době více zaměřena na osobnost žáka než na učivo samotné. Jsou zde popsány změny klasických osnov, které byly nahrazeny rámcovými vzdělávacími programy. V druhé kapitole je shrnutí možných úskalí přechodu žáků ze základní školy na SŠ. Jsou zde uvedeny podmínky a ovlivňující faktory při volbě žáka budoucí profese či dalšího studia. Ve třetí kapitole jsou popsány mezinárodní srovnávací výzkumy v oblasti školního vzdělávání. Výzkumy jsou uvedeny v časovém sledu tak, jak byly realizovány v ČR, v Evropě i ve světě. Výsledky mezinárodních výzkumů jsou shrnuty a popsány v několika oblastech: znalosti a dovednosti, postoje, rozdíly mezi žáků různých skupin, rozdíly mezi chlapci a dívkami. Ve výzkumné části disertační práce jsou popsány a vyhodnoceny poznatky z realizovaného výzkumu, který byl prováděn v průběhu tří let 2009 až 2011. V každém ročníku je zpracována jevová analýza pro jednotlivé úlohy nestandardizovaného didaktického testu. V kapitole je uvedeno srovnání výsledků každé úlohy v jednotlivých ročnících, je provedena klasifikace chyb v úlohách. Pro názornost jsou uvedeny i ukázky řešených úloh žáky. V samostatné podkapitole je vyhodnocení ankety atomární analýzou. Výsledky žáků didaktického testu jsou vyhodnoceny vzhledem ke klasifikaci matematiky v 9. tř. ZŠ. Nedílnou součástí práce jsou učební texty (http://math-relays.rhcloud.com/). Jejich hlavním cílem je názorný výklad učiva a procvičení těch partií matematiky, které vyplynuly z výsledků testování žáků ZŠ jako problémové. V každé kapitole je teorie s ukázkou řešení typových úloh, cvičení a test s příklady procvičenými v teoretické části kapitoly. Učební texty lze využít pro deváté třídy základních škol ke shrnutí učiva nebo v prvním ročníku střední školy k procvičení znalostí, se kterými by měli studenti přicházet na SŠ.
11
I.
Teoretická část
1.
Výuka matematiky na 2. stupni základní školy a na gymnáziu
Trendy ve výuce se v dnešní době zaměřují více na osobnost žáka než na učivo samotné. V posledních letech došlo také k nemalým změnám v kurikulárních dokumentech. Dříve bylo učivo rozděleno v osnovách do jednotlivých témat a ročníků, včetně pevně stanovené hodinové dotace pro výuku jednotlivých předmětů. Klasické osnovy byly začátkem tohoto století nahrazeny rámcovými vzdělávacími programy a v celém přístupu ke vzdělávání přicházejí i nové požadavky na učitele. Jsou kladeny vyšší nároky na jejich odbornost, ale i metodickou zdatnost. Učitel má respektovat individuální schopnosti žáků, zároveň musí rozvíjet jejich klíčové kompetence a znalosti v oblasti matematiky. V Bílé knize, která je základním dokumentem ovlivňujícím školství v České republice, se mluví o předpokládané změně školy: "...vytvoření a realizování dlouhodobé koncepce, společné vize svého rozvoje, na schopnost společné sebereflexe, reálného zhodnocení vlastních cílů ... základem je dobrovolná iniciativa školy... realizace bude dlouhodobá a postupná ". [3] V praxi ovšem začalo zavádění školních vzdělávacích programů pro první a šesté třídy základních škol již od 1.9.2007 a do dvou let měly být také vypracovány školní vzdělávací programy pro gymnázia. Na jednotlivých školách pak dle školních vzdělávacích plánů má být uskutečňováno vzdělávání pro jejich "konkrétní podmínky i pro záměry a plány, které si před sebou budou stavět. Otevírá se tak prostor pro další rozvoj autonomie škol, pro uplatnění jejich potenciálu, pro větší rozvoj tvůrčích schopností učitelů, pro větší flexibilitu vzdělávacího sytému i pro vyšší efektivitu vzdělávání. " [3] Stejně tak se ale i otevírá prostor pro snižování úrovně vzdělávání. Rozhodnutí ředitelů škol mají nyní v praxi větší váhu. Proto školy, které nejsou na dobré úrovni, mohou využít reformu k tomu, aby se ani nadále nezlepšovaly. Hlavně tam, kde reforma probíhá pouze administrativně. Potřebnou úroveň vzdělání není možné zajistit pouze administrativně. Nestačí zformulovat požadavky, provádět testování a vyhodnocovat práci škol. Musí dojít ke změně klimatu na školách. Vnitřní klima školy ovlivňuje jak práci pedagogů, tak přístup studentů ke škole a vlastnímu vzdělávání se. Od školy se očekává, že bude pro studenty pramenem poznávání, které nebude pouze mechanické. Nejen v matematice má být základem vyučování činnost samotného studenta. Činnost nebo činnosti vedoucí k rozvíjení myšlení, ke snaze porozumět věcem. Vyučující musí požadovat od studenta výkon. Nepředkládá žákům pouze "hotové informace / matematiku". Zavádí do hodin příklady z praxe, neučí na "vyumělkovaných příkladech" bez návaznosti na praktickou aplikaci. Klíčem k úspěchu může být využití spontánního zájmu žáků. Bez zájmu o vzdělání nelze dosáhnout lepších výsledků. Od žáků přicházejících na gymnázia ze základních škol se očekává zájem o studium, očekávají se tedy studenti, kteří se rádi vzdělávají, zabývají se myšlenkovými a tvořivými úkoly. Bílá kniha však o gymnaziálním vzdělávání říká: "... bude zároveň nutné, aby přijímal širší populaci žáků než dosud. Měl by proto zahrnovat i takové obsahy a předměty, které mohou být potřebné pro praktický život a některá povolání." [3] Možná také proto RVP pro gymnázia přiřazuje výuce matematiky dotaci pouze 10 hodin po celou dobu studia. V posledním ročníku nemusí být tedy matematika zastoupena vůbec. Zatímco cizí jazyk (a samozřejmě i český jazyk) má minimální dotaci 12 hodin. Je tedy povinným předmětem 12
v každém ročníku. Přiřadit matematiku k nepovinným předmětům ve čtvrtém ročníku na gymnáziu považuji za degradaci gymnaziálního vzdělávání a zároveň za mylné snižování důležitosti matematiky jako takové. Matematika by měla mít, stejně jako Český jazyk, minimální hodinovou dotaci 12 hodin a měla by být předmětem povinným po celou dobu gymnaziálního studia a samozřejmě být i povinnou součástí maturitní zkoušky na gymnáziu. Učitel se musí orientovat v nových kurikulárních dokumentech. Zodpovídá za to, že povede žáky k dosažení daných cílů, které jsou v předmětu matematika stanoveny. Výuka vycházející pouze ze sdělování a předávání poznatků již nestačí, žáky nepřipravuje dostatečně pro život v současné době plné velkého množství informací a rozvoje různých technologií. Používání frontální výuky a učení pouze daných postupů je snadné a pohodlné, nevyžaduje od žáků obtížnější myšlenkovou činnost a někdy se zdá, že přináší i okamžitý výsledek. Nepřináší však rozvoj logického uvažování žáků ani rozvíjení jejich klíčových kompetencí. V době, kdy je nutné neustále se přizpůsobovat nové technice, kdy celoživotní vzdělávání začíná být nezbytné, jsou změny v přístupu k žákům, ale i ke vzdělání nových pedagogů nevyhnutelné.
1.1 Vzdělávací program matematika pro základní vzdělávání Stále častěji se objevuje názor, že pouhé „memorování“ je přežitkem z minulosti, a tudíž že paměťové osvojení si vědomostí je něco špatného, co žákům jen škodí a omezuje je. Žák si prý nemusí informace pamatovat, ale má je umět vyhledávat a následně je pak může použít. Žák však nemůže o zadaném problému přemýšlet, pokud již nemá o něm potřebný „znalostní základ“. Naopak již nabyté a zpracované (utříděné) vědomosti mu umožní o problému přemýšlet, analyzovat ho, zpracovat nové informace a následně problém vyřešit. Matematika navazuje na obsah některých dalších předmětů. Vzájemné mezipředmětové vztahy lze využít ve vyučování k prohloubení žákových znalostí a k tomu, že se u žáka vytvoří komplexní pohled na danou problematiku. Ve výuce matematiky je vhodné podpořit skupinovou práci, učit žáky pracovat v týmech a vnímat vzájemné odlišnosti jako podmínku efektivní spolupráce. Důležitost a pravdivost uvedených tvrzení podporují i příklady již publikované [71], které potvrzují, že je zapotřebí, aby se učitelé zasadili o to, aby vědomost přešla v dovednost a aby žák byl schopen vědomost pružně a efektivně využívat. Plně se potvrzují fakta, že s objevováním a manipulativní činností žáků souvisí hluboké porozumění matematickému učivu. Je obtížné přesně definovat, co to znamená rozumět matematickému učivu. Jedná se o vnitřní stav mysli, kdy je žák s učivem ztotožněn. Porozumění nebo pochopení učiva může učitel monitorovat různě kladenými otázkami. Teprve až žák dokáže formulovat své myšlenky, rozumí učivu. Často k porozumění dochází až v okamžiku, kdy se poznatek pokusí vysvětlit někomu dalšímu. [68] Mylné je pojetí výuky, které vede jen ke zvládnutí konkrétních postupů. Nedokonalost této metody se v plné míře ukáže při řešení problémových úloh. J. Skalková uvádí, že „pedagogický problém představuje obtíž teoretické nebo praktické povahy, při jejímž řešení žák aktivně používá vlastní poznávací činnosti. " [64] Problémová situace je charakteristická tím, že žák nemá všechna data potřebná pro odpověď. Problémové situace skýtají celou řadu nástrah pro žáka, který byl připravován návodně, tj. osvojil si postupy. Vědět, jak začít řešit úlohu, je často jedna z nejobtížnějších částí i u jednoduchého problému. J. Čáp uvádí mimo jiné: „Experimentálně bylo prokázáno, že bezděčně - a přitom často velmi rychle a trvale - si zapamatujeme to, co je důležité pro vykonávání naší činnosti, co 13
souvisí s jejím cílem. Když žáci řeší zajímavou úlohu, zapamatují si přitom mnoho nových poznatků, často více, než když jim uložíme za úkol jejich samotné zapamatování. " [6] Pokud si žáci osvojí vědomosti náslechem učitelova výkladu, ať už byl výklad jakkoli dobrý, bývají takto získané vědomosti dost často povrchní a dále nevyužitelné. V souladu s výše citovanými poznatky a poznatky získanými o vědomostech žáků z realizované ankety se jeví jako vhodné cíle: - zasazení nově získaných vědomostí do již existujícího systému vědomostí - použitelnost vědomostí v řešení každodenních problémů Naplnění těchto cílů je předpokladem k tomu, že žák učivo aktivně ovládá a umí jej využít při řešení problémových úloh. Dosažené vědomosti u žáků, které jsou dobře zasazeny ve stávajícím systému vědomostí, jsou lépe použitelné i jinak než v různých testových úlohách.
1.1.1 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Rámcový vzdělávací program je zaměřen na rozvoj klíčových kompetencí žáka prostřednictvím učiva. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je pro 2. stupeň základních škol složena ze čtyř tematických okruhů. Číslo a proměnná je prvním z těchto okruhů. Učivo tohoto okruhu zahrnuje dělitelnost přirozených čísel, celá čísla, desetinná čísla, zlomky, poměr, procenta, mocniny a odmocniny, výrazy, rovnice. Druhým okruhem jsou Závislosti, vztahy a práce s daty. Sem spadají, jak už název napovídá, závislosti a data, tzn. příklady závislostí z praktického života a jejich vlastnosti, nákresy, schémata, diagramy, grafy, tabulky, výpočet četnosti znaku a aritmetického průměru. Následují jednoduché funkce a znázornění jejich grafů v pravoúhlé soustavě souřadnic (přímá úměrnost, nepřímá úměrnost, lineární funkce). Třetím okruhem je Geometrie v rovině a v prostoru. Žák se seznámí s jednotlivými rovinnými útvary, s metrickými vlastnostmi v rovině (druhy úhlů, vzdálenost bodu od přímky, trojúhelníková nerovnost, Pythagorova věta), s prostorovými útvary, s řešením konstrukčních úloh (využití vlastností množin všech bodů dané vlastnosti, osy úsečky, osy úhlu, Thaletovy kružnice, osové souměrnosti, středové souměrnosti). Čtvrtý okruh tvoří Nestandardní aplikační úlohy a problémy zaměřené především na užívání logických úvah při řešení úloh, na číselné a logické řady, na obrázkové analogie a na logické a netradiční geometrické úlohy. Zvládnutí všech čtyř okruhů je nezbytné pro další středoškolské vzdělávání. Středoškolská matematika rozvíjí a prohlubuje zatím dosažené znalosti, které jsou prostředkem pro nové a hlubší poznání. Osvojené pojmy, matematické postupy, vztahy a procesy napomáhají žákovi k ucelenému pohledu na danou látku. Žák má umět logicky myslet, analyzovat úlohu, najít metodu k jejímu vyřešení a být schopen argumentace o správnosti svého řešení. Na gymnáziu si pak žáci osvojují schopnost formulace problému, volbu strategie a aktivní ovládnutí matematických nástrojů a schopnost jejich aplikace. Postupně žáci objevují, že matematika nachází uplatnění v mnoha oborech lidské činnosti, např. v ekonomii, technice, ale i ve společenských vědách. Současně si uvědomují, že matematika je ovlivňována vnějšími podněty (např. z oblasti přírodních a technických věd) a že moderní technologie jsou užitečným pomocníkem zejména při matematických výpočtech.
14
1.1.2 Tematické plány matematiky pro 2. stupeň ZŠ Na 2. stupni základního vzdělávání je nutné v matematice pokračovat v budování základů matematické gramotnosti. Učivo uvedené v učebních osnovách je v rámci školy závazné. Zařazení rozšiřujícího učiva zvažuje vyučující s ohledem na specifika konkrétní třídy a individuální potřeby žáků. V souladu s RVP pro oblast Matematika a její aplikace pro 2. stupeň ZŠ jsou pedagogy vypracovávány tematické plány pro jednotlivé ročníky. Uvádím návrh vlastních tematických plánů pro 2. stupeň ZŠ bez časového vymezení. Návrh vznikl na základě porovnání obsahu učiva daného učebními osnovami s požadavky současného trendu vzdělávání. Moderní pojetí vzdělávání upřednostňuje řešení problémových situací, získání schopnosti analyzovat problémy a utřídit údaje tak, aby se posílilo vědomí žáka ve vlastní schopnosti logického uvažování. Ročník: šestý Učivo
Dílčí výstupy Žák: ČÍSLO A PROMĚNNÁ
Desetinná čísla Algoritmy početních operací v prostředí tabulkových kalkulátorů Zlomky: polovina, čtvrtina, třetina, pětina, zlomky se jmenovatelem 10 a 100 (desetinné zlomky) Číselný výraz
Zaokrouhlování desetinných čísel Formát čísla v tabulkovém kalkulátoru
Dělitelnost přirozených čísel, základní pojmy: násobek, dělitel, prvočíslo, číslo složené, sudé a liché číslo, společný
čte, zapíše, porovná desetinná čísla a zobrazí je na číselné ose; zpaměti a písemně provádí početní operace s desetinnými čísly (sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinného čísla děliteli 10, 100, 1 000), využívá komutativnost a asociativnost sčítání a násobení; převádí jednotky délky a hmotnosti v oboru desetinných čísel; provádí jednoduché výpočty (sčítá, odčítá, násobí, dělí) v prostředí tabulkového kalkulátoru i s použitím funkce SUMA; čte, zapíše, porovná zlomky a zobrazí je na číselné ose; vyjádří část celku graficky i zlomkem; sečte zlomky se stejným jmenovatelem; vysvětlí pojem číselný výraz, určí hodnotu číselného výrazu v daném oboru; ovládá a používá pravidla pro zaokrouhlování desetinných čísel; provádí odhady početních operací s desetinnými čísly s danou přesností; účelně využívá kalkulátor, využívá formát čísla při zaokrouhlení v tabulkovém kalkulátoru; vysvětlí základní pojmy týkající se dělitelnosti přirozených čísel; určí podle znaků dělitelnosti, čím je dané 15
násobek, společný dělitel, největší společný dělitel (D), nejmenší společný násobek (n), soudělná a nesoudělná čísla Znaky dělitelnosti dvěma, třemi, pěti a deseti (čtyřmi, šesti, osmi, devíti, stem) Převod desetinných zlomků a desetinných čísel Slovní úlohy
přirozené číslo dělitelné; určí nejmenší společný násobek a největší společný dělitel dvou až tří přirozených čísel, používá algoritmus rozkladu čísla na součin prvočísel; modeluje a řeší úlohy s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel; převede desetinné číslo na desetinný zlomek a naopak; vytváří a řeší úlohy, modeluje a matematizuje reálné situace, ve kterých uplatňuje osvojené početní operace s desetinnými čísly a zlomky; posoudí reálnost výsledku řešené slovní úlohy a ověří ho zkouškou;
ZÁVISLOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY Pravoúhlá soustava souřadnic Aritmetický průměr Využití tabulkového kalkulátoru k práci s daty
vyznačí bod v pravoúhlé soustavě souřadnic na základě zadaných souřadnic, zapíše souřadnice daného bodu; spočítá aritmetický průměr a aplikuje jej v úlohách z praxe; vkládá data do tabulky v prostředí tabulkového kalkulátoru, seřadí data v tabulce podle jednoho kritéria;
GEOMETRIE V ROVINĚ A V PROSTORU Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Trojúhelníková nerovnost Shodnost geometrických útvarů
Základní rovinné útvary: bod, přímka, polopřímka, úsečka, čtyřúhelník, trojúhelník, kruh, kružnice, polorovina Druhy čar Úhel a jeho velikost Druhy trojúhelníků Vnitřní a vnější úhly trojúhelníku Výšky, těžnice a těžiště trojúhelníku
využívá při řešení úloh a jednoduchých praktických problémů vzájemnou polohu dvou přímek v rovině, totožné, kolmé a rovnoběžné přímky, vzdálenost bodu od přímky; při řešení problému provádí rozbor (náčrt) úlohy a rozhodne, zda zvolit pro řešení známý algoritmus, nebo řešit úlohu úsudkem; při řešení úloh používá trojúhelníkovou nerovnost; rozpozná shodné geometrické útvary; používá příslušnou matematickou symboliku; rozezná základní rovinné útvary a určí jejich vzájemnou polohu; rozlišuje a používá různé druhy čar; modeluje úhel pomocí polorovin, rozlišuje druhy úhlů podle jejich velikosti (ostrý, tupý, pravý, přímý), odhaduje jejich velikost; charakterizuje vlastnosti dvojic úhlů 16
Pravidelný mnohoúhelník
Jednotky velikosti úhlu Operace s úhly
Obsah a obvod čtverce, obdélníku, trojúhelníku, mnohoúhelníku
Konstrukce rovinných útvarů: úhlu, trojúhelníku, čtyřúhelníku Výšky, těžnice a těžiště trojúhelníku Pravidelný šestiúhelník, osmiúhelník
Věty o shodnosti trojúhelníků
Osová souměrnost
Krychle a kvádr
(vrcholové, vedlejší, střídavé, souhlasné); používá pro označení úhlů písmena řecké abecedy; třídí a popisuje trojúhelníky (rozdělení podle délky stran a velikosti vnitřních úhlů); charakterizuje a používá vlastnosti úhlu v trojúhelníku, vlastnosti výšky a těžnice trojúhelníku; vysvětlí pojem pravidelný mnohoúhelník; určuje velikost úhlu pomocí úhloměru a výpočtem, využívá vlastnosti dvojic úhlů; používá jednotky velikosti úhlu a převody mezi nimi; sčítá a odčítá úhly graficky i početně; graficky i početně násobí a dělí úhel dvěma; používá a převádí jednotky délky a obsahu; využívá centimetrovou čtvercovou síť pro výpočet obvodu a obsahu mnohoúhelníků; odhaduje a vypočítá obvod a obsah čtverce, obdélníku a trojúhelníku; sestrojí různé velikosti úhlů (i bez použití úhloměru), přenese úhel, porovná dva úhly; sestrojí výšky a těžnice trojúhelníku; sestrojí pravidelný šestiúhelník a osmiúhelník; sestrojí trojúhelník ze zadaných údajů sss, sus, usu (provede rozbor úlohy a náčrt bez zápisu postupu konstrukce); sestrojí čtyřúhelník s využitím rovnoběžnosti a kolmosti přímek (provede rozbor úlohy a náčrt bez zápisu postupu konstrukce); vysvětlí pojem shodnost trojúhelníků, matematicky jej vyjádří; používá věty o shodnosti trojúhelníků k řešení geometrických úloh; přiřadí k sobě vzor a obraz, rozezná samodružný bod a samodružný útvar, charakterizuje osově souměrné útvary; sestrojí osu úhlu a úsečky; rozpozná útvary souměrné podle osy, určí osu souměrnosti, sestrojí obraz rovinného útvaru v osové souměrnosti; charakterizuje krychli a kvádr, 17
Objem a povrch krychle a kvádru
Síť krychle a kvádru Volné rovnoběžné promítání Postup při řešení slovní úlohy
využívá při řešení úloh metrické a polohové vlastnosti krychle a kvádru; používá a převádí jednotky délky, obsahu a objemu; odhaduje a vypočítá objem a povrch krychle a kvádru; načrtne a sestrojí síť krychle a kvádru, tělesa vymodeluje; načrtne a sestrojí krychli a kvádr ve volném rovnoběžném promítání; řeší aplikační geometrické úlohy na výpočet obsahu a obvodu rovinných útvarů (čtverec, obdélník, trojúhelník), povrchu a objemu těles (krychle, kvádr), při řešení úloh provede rozbor úlohy a náčrt, vyhodnotí reálnost výsledku; řeší aplikační geometrické úlohy s využitím vlastností trojúhelníku, osově souměrných rovinných útvarů, při řešení úloh provede rozbor úlohy a náčrt, vyhodnotí reálnost výsledku; účelně využívá při výpočtech kalkulátor;
NESTANDARDNÍ APLIKAČNÍ ÚLOHY A PROBLÉMY Číselné a obrázkové řady Početní obrazce Úlohy o šachovnicích a tabulkách Vlastnosti rovinných a prostorových geometrických útvarů
doplní číselnou a obrázkovou řadu; doplní početní tabulky, čtverce a jiné obrazce; vysvětlí způsob řešení úlohy; rozdělí nebo vytvoří geometrický útvar podle zadaných údajů, při řešení využívá vlastnosti rovinných a prostorových geometrických útvarů.
Ročník: sedmý Učivo
Dílčí výstupy Žák: ČÍSLO A PROMĚNNÁ
Celá čísla Absolutní hodnota čísla Zlomky Racionální čísla
čte a zapíše celé číslo, rozliší číslo kladné a záporné, určí číslo opačné; znázorní celá čísla na číselné ose a porovná je; provádí početní operace (sčítání, odčítání, násobení a dělení) v oboru celých čísel; určí absolutní hodnotu celého čísla a uvede její praktický význam; 18
Zaokrouhlování racionálních čísel
Společný jmenovatel zlomků Procenta Poměr
Poměr, zvětšení, zmenšení Trojčlenka Měřítko plánu a mapy
Finanční matematika
zapíše převrácený zlomek, rozšíří a zkrátí zlomek, zapíše zlomek v základním tvaru, převede smíšené číslo na zlomek a naopak, upraví složený zlomek; provádí početní operace se zlomky (sčítání, odčítání, násobení a dělení); vyjádří racionální čísla více způsoby a vzájemně je převádí (zlomky, desetinná čísla); provádí početní operace (sčítání, odčítání, násobení a dělení) v oboru racionálních čísel; zapíše periodické číslo a porovná ho s jinými čísly; určí hodnotu číselného výrazu v daném oboru; účelně využívá kalkulátor a tabulkový kalkulátor při provádění početních operací v oboru racionálních čísel; používá pravidla pro zaokrouhlování racionálních čísel; provádí odhady výsledků početních operací s racionálními čísly s danou přesností; využívá nejmenší společný násobek při určování společného jmenovatele zlomků; rozlišuje a využívá pojmy procento, základ, počet procent, procentová část, promile; vyjádří část celku procentem, desetinným číslem, zlomkem; užívá poměr ke kvantitativnímu vyjádření vztahu celek – část; navzájem převádí různá vyjádření vztahu celek – část; dělí celek na části v daném poměru, změní číslo v daném poměru; upravuje poměr rozšiřováním a krácením; vysvětlí, co znamená postupný a převrácený poměr, zapíše jej a upraví; používá pojem úměra a vypočítá neznámý člen úměry; řeší aplikační úlohy s využitím poměru a trojčlenky; využívá měřítko mapy (plánu) k výpočtu, odvodí měřítko mapy (plánu) ze zadaných údajů; určí z textu úlohy, které z hodnot (počet 19
procent, procentová část a základ) jsou zadány a které má vypočítat, provede výpočet; rozhodne, zda zvolit pro řešení úlohy známý algoritmus, nebo zda řešit úlohu úsudkem, provede odhad výsledku a ověří správnost svého řešení; řeší jednoduché úlohy z oblasti finanční matematiky (úrok); vytváří a řeší úlohy, modeluje a matematizuje reálné situace, ve kterých uplatňuje osvojené početní operace s celými a racionálními čísly; posoudí reálnost výsledku řešené slovní úlohy a ověří ho zkouškou;
Slovní úlohy
ZÁVISLOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY Tabulky, grafy, diagramy Přímá a nepřímá úměrnost Hospodaření domácnosti: rozpočet domácnosti
Tabulky, grafy, diagramy Třídění dat
Přímá a nepřímá úměrnost
doplňuje a vytváří tabulky, orientuje se v nich; orientuje se v sloupkových a kruhových diagramech, ze vstupních dat vytvoří vhodný diagram; využívá graf přímé a nepřímé úměrnosti při zpracování dat; účelně využívá tabulkový kalkulátor; porovná kvantitativní vztahy mezi soubory dat v tabulkách, grafech a diagramech; vybere data tabulky podle jednoho kritéria s pomocí tabulkového kalkulátoru, setřídí data v tabulce podle více kritérií; rozpozná přímou a nepřímou úměrnost v příkladech reálného života; určuje vztah přímé a nepřímé úměrnosti z textu úlohy, z tabulky a grafu; sestrojí graf přímé a nepřímé úměrnosti; využívá vztahy a grafy přímé a nepřímé úměrnosti k řešení aplikačních úloh a problémů;
GEOMETRIE V ROVINĚ A V PROSTORU Čtyřúhelníky (rovnoběžníky a lichoběžníky)
Obvod a obsah čtyřúhelníků
třídí a popisuje čtyřúhelníky; rozlišuje jednotlivé druhy rovnoběžníků a lichoběžníků; využívá vlastnosti čtyřúhelníků při řešení úloh; odhaduje a vypočítá obvod obecného čtyřúhelníku; odhaduje a vypočítá obvod a obsah 20
Konstrukce čtyřúhelníku Středová souměrnost
Hranoly
Objem a povrch hranolu Síť kolmého hranolu Volné rovnoběžné promítání Postup při řešení aplikační slovní úlohy s využitím znalostí geometrie v rovině a prostoru
rovnoběžníku a lichoběžníku; sestrojí čtyřúhelník ze zadaných údajů (provede rozbor úlohy a náčrt bez zápisu konstrukce); přiřadí k sobě vzor a obraz, určí střed souměrnosti, rozezná samodružný bod a samodružný útvar, charakterizuje středově souměrný útvar; rozpozná útvary souměrné podle středu souměrnosti a sestrojí obraz útvaru ve středové souměrnosti; rozlišuje pojmy rovina a prostor, správně používá pojmy podstava, hrana, stěna, vrchol, stěnová a tělesová úhlopříčka; charakterizuje kolmý hranol, pravidelný hranol; pracuje s půdorysem a nárysem kolmého hranolu; odhaduje a vypočítá objem a povrch hranolu; načrtne a sestrojí sítě kolmých hranolů a tělesa vymodeluje; načrtne hranol ve volném rovnoběžném promítání; řeší aplikační slovní úlohy s využitím znalostí o obsahu a obvodu čtyřúhelníků, s využitím znalostí o hranolech, o středově souměrných rovinných útvarech, při řešení úloh provede rozbor úlohy a náčrt, vyhodnotí reálnost výsledku; účelně využívá kalkulátor;
NESTANDARDNÍ APLIKAČNÍ ÚLOHY A PROBLÉMY Číselné řady v oboru celých a racionálních čísel, obrázkové řady Početní obrazce Prezentace řešení úlohy Postupy při řešení netradičních geometrických úloh
doplní číselnou řadu v oboru celých a racionálních čísel, doplní obrázkovou řadu; doplní početní tabulky, čtverce či jiné obrazce; prezentuje způsob řešení úlohy; rozdělí nebo vytvoří geometrický útvar podle zadaných parametrů s využitím vlastností rovinných a prostorových geometrických útvarů.
21
Ročník: osmý Učivo
Dílčí výstupy Žák: ČÍSLO A PROMĚNNÁ
Druhá mocnina a odmocnina
Výrazy s proměnnou Mnohočleny maximálně druhého stupně Vzorce v tabulkovém kalkulátoru
Lineární rovnice Výpočet neznámé ze vzorce
Matematizace reálné situace s použitím proměnné
rozlišuje pojmy umocňování a odmocňování; určuje zpaměti druhou mocninu čísel 1 až 20 a odmocninu těchto mocnin, určuje druhou mocninu a odmocninu přirozených a desetinných čísel pomocí tabulek a kalkulátoru; ovládá pravidla pro umocňování a odmocňování zlomku a součinu dvou čísel; určuje hodnotu číselného výrazu s druhou mocninou a odmocninou; využívá geometrický význam druhé mocniny v praxi; vysvětlí pojem proměnná, výraz s proměnnou, člen výrazu, jednočlen, mnohočlen, rovnost dvou výrazů; zapíše slovní text pomocí výrazů s proměnnými (a naopak), vypočte hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných; provádí početní operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení) s mnohočleny, výsledný mnohočlen je nejvýše druhého stupně; provádí rozklad mnohočlenu na součin pomocí vytýkání; umocní dvojčleny a rozloží dvojčleny na součin pomocí vzorců (a + b)2, (a – b)2, a2 – b2; využívá tabulkový kalkulátor; řeší lineární rovnice pomocí ekvivalentních úprav a provádí zkoušku správnosti řešení rovnice; rozhodne, jestli má rovnice jedno řešení, nekonečně mnoho řešení, nebo nemá řešení; sestaví rovnici ze zadaných údajů slovní úlohy; vyjádří neznámou ze vzorce; matematizuje reálné situace využitím vlastnosti rovnic, při řešení úloh označí neznámou a sestaví rovnici; posoudí reálnost výsledku řešené slovní 22
úlohy a ověří ho zkouškou. GEOMETRIE V ROVINĚ A V PROSTORU Pravoúhlý trojúhelník Pythagorova věta
Kruh, kružnice
Obvod a obsah kruhu Délka kružnice Množiny bodů dané vlastnosti Thaletova kružnice a věta
Konstrukce rovinných útvarů: trojúhelníku, čtyřúhelníku (rovnoběžníku, lichoběžníku), kružnice
Válec Koule Objem a povrch válce a koule Síť válce Volné rovnoběžné promítání
vysvětlí pojmy odvěsna a přepona v pravoúhlém trojúhelníku; používá Pythagorovu větu pro výpočet třetí strany pravoúhlého trojúhelníku; vypočítá délku hrany, tělesovou a stěnovou úhlopříčku krychle a kvádru; řeší praktické úlohy s využitím Pythagorovy věty, situaci načrtne, odhadne výsledek a ověří jeho reálnost, využívá potřebnou matematickou symboliku; definuje a sestrojí kružnici a kruh, vysvětlí vztah mezi poloměrem a průměrem; určí vzájemnou polohu kružnice a přímky (tečna, sečna, vnější přímka), vzájemnou polohu dvou kružnic (body dotyku) a narýsuje je; účelně používá tvar zápisu přibližného Ludolfova čísla (desetinné číslo, zlomek); vypočítá obvod a obsah kruhu a délku kružnice pomocí vzorců; pomocí množiny všech bodů dané vlastnosti charakterizuje osu úhlu, osu úsečky a sestrojí je; využívá Thaletovu kružnici při řešení úloh, sestrojí tečnu ke kružnici z bodu vně kružnice; sestrojí rovinné útvary dle zadaných prvků; při řešení konstrukční úlohy provádí rozbor úlohy, náčrt, diskusi o počtu řešení, zapisuje postup konstrukce s využitím matematické symboliky (případně ji kombinuje se slovním vyjádřením); narýsuje kružnici opsanou a vepsanou trojúhelníku; charakterizuje válec a kouli; pracuje s půdorysem a nárysem válce a koule; odhaduje a vypočítá objem a povrch válce a koule; načrtne a sestrojí síť válce, válec vymodeluje; načrtne obraz rotačního válce v rovině; 23
Postup při řešení aplikační slovní úlohy
řeší aplikační slovní úlohy s využitím osvojených znalostí o válci a kouli, při řešení úloh provede rozbor úlohy a náčrt, vyhodnotí reálnost výsledku; účelně využívá kalkulátor;
NESTANDARDNÍ APLIKAČNÍ ÚLOHY A PROBLÉMY Kombinační úsudek v úlohách
řeší kombinatorické úlohy úsudkem a vysvětlí způsob řešení; využívá při řešení netradičních geometrických úloh prostorovou představivost.
Prostorová představivost
Ročník: devátý Učivo
Dílčí výstupy Žák: ČÍSLO A PROMĚNNÁ
Základy finanční matematiky Peníze: inflace Finanční produkty: úročení
objasní a používá základní pojmy finanční matematiky (jistina, úroková míra, úrok, úrokovací doba, daň, inflace); vypočítá úrok z vkladu za jeden rok a daň z úroku; získá základní informace o půjčkách a úvěrech; řeší aplikační úlohy na procenta;
Tabulkový kalkulátor
určí hodnotu výrazu s využitím tabulkového kalkulátoru; řeší soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými metodou dosazovací a sčítací; řeší slovní úlohy z praxe, provede rozbor úlohy, pro řešení zvolí známý algoritmus nebo řeší úlohu úsudkem, provede zkoušku správnosti řešení;
Soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých
ZÁVISLOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY Základy statistiky Typy diagramů
vysvětlí základní statistické pojmy (statistický soubor, statistická jednotka, statistický znak, statistické šetření) a používá je; určí četnost, aritmetický průměr, modus, medián; provede jednoduché statistické šetření, zapíše jeho výsledky a zvolí vhodný diagram k jejich znázornění; 24
účelně využívá tabulkový kalkulátor, výpočty provádí pomocí vzorců a funkcí, jež nabízí tabulkový kalkulátor v tabulkovém kalkulátoru vytváří grafy, k reprezentaci dat volí vhodný typ grafu; rozhodne, zda je daná závislost mezi dvěma veličinami funkcí, uvede příklady z běžného života; určí definiční obor funkce, obor hodnot, funkční hodnotu; vyjádří lineární funkci, konstantní funkci, přímou a nepřímou úměrnost tabulkou, rovnicí, grafem; účelně využívá tabulkového kalkulátoru k vyjádření funkce; odhalí funkční vztah v textu úlohy; využívá znalostí o funkcích k řešení praktických úloh;
Funkce Grafy funkcí
Funkční vztah
GEOMETRIE V ROVINĚ A V PROSTORU Podobnost Věty o podobnosti trojúhelníků
Jehlan a rotační kužel
Objem a povrch jehlanu a kužele
Sítě jehlanu a kužele Volné rovnoběžné promítání
Podobnost v úlohách z praxe
rozlišuje shodné a podobné rovinné útvary; určí poměr podobnosti z rozměru útvaru a naopak (na základě poměru podobnosti určí rozměry útvarů); využívá věty o podobnosti trojúhelníků (věta sss, uu, sus); charakterizuje jehlan a kužel; pracuje s půdorysem a nárysem jehlanu a kužele; využívá při řešení úloh metrické a polohové vlastnosti jehlanu a kuželu; odhaduje a vypočítá objem a povrch jehlanu a kužele; využívá Pythagorovu větu při řešení metrických úloh v rovině a prostoru; narýsuje síť jehlanu a kužele, vymodeluje tato tělesa; načrtne a sestrojí jehlan ve volném rovnoběžném promítání; načrtne kužel ve volném rovnoběžném promítání; využívá podobnost při řešení slovních úloh, využívá měřítko mapy (plánu) k určení skutečných rozměrů a naopak; řeší aplikační slovní úlohy s využitím osvojených znalostí o tělesech (jehlan, kužel), při řešení úloh provede rozbor 25
úlohy a náčrt, vyhodnotí reálnost výsledku; účelně využívá kalkulátor; NESTANDARDNÍ APLIKAČNÍ ÚLOHY A PROBLÉMY Optimalizace řešení úloh Aplikovaná matematika
řeší úlohy různým způsobem, zdůvodní optimální způsob řešení; řeší úlohy na prostorovou představivost s využitím poznatků a dovedností z jiných tematických a vzdělávacích oblastí.
Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je vystavěna na navazujících vědomostech, a bez dobrého osvojení teoretických poznatků se neobejde. Je nutné, aby u žáka došlo k automatizaci osvojené vědomosti, tedy aby vědomost přešla v dovednost. Teprve pak je žák schopen vědomost efektivně využívat.
26
2.
Úskalí přechodu ze základní školy na střední školu
Na konci základní školy stojí patnáctiletí žáci poprvé ve svém životě před závažnou volbou. Volba střední školy jim ovlivní jejich další kariérní dráhu a celoživotní perspektivu. Toto důležité rozhodnutí probíhá v období končící pubescence, na hranici mezi dětstvím a dospělostí. Dochází k výrazným tělesným proměnám, pubescenti dělají velké pokroky v rozumovém vývoji, mění se způsob nazírání na svět, na svou individualitu i vlastní život. Nastává psychicky obtížné období, kdy dochází k utváření určitých norem chování, hodnot a žák je nucen postupně přijímat i normy a odpovědnost dospělého. Mění se vztahy k rodičům, učitelům a autoritám, nový význam začínají mít vrstevníci. Jde o problematické období charakteristické proměnlivostí, nestálostí, přecitlivělostí, prchlivostí a nevyhraněností. Důležité je přistupovat k volbě dalšího vzdělávání citlivě a dát žákovi dostatečnou oporu, ať již v domácím či školním prostředí. Rodina není jediným faktorem, který ovlivňuje žáka při jeho volbě budoucí profese či studia, avšak má v rozhodování dospívajícího velmi podstatné místo. Na začátku 21. století byl sice zaznamenán nový trend, a to určité oslabení role rodiny v profesní orientaci a současně růst vlivů mimoškolních. Výzkum i nadále potvrzuje prvenství rodiny a její funkci jako hlavní podpory při případném neúspěchu. Ve vztazích v rodině se projevují určité změny související se současným trendem liberalizace rodinné výchovy, která je spojena s vyšší mírou autonomie dětí. Děti mají více volnosti při výběru mimoškolních aktivit a posiluje se jejich samostatnost. Rodiče i nadále uznávají důležitost domácí přípravy žáků, zároveň však z výzkumů vyplývá, že v souladu s posilováním samostatnosti dětí a s menší nebo mnohdy s žádnou kontrolou ze strany rodičů, mizí domácí příprava téměř u čtvrtiny dětí. Určitá míra usměrňování dítěte by měla být zachována. Iniciační role rodiny při výběru střední školy a dalšího vzdělávání souvisí i s jejím sociálním zázemím. Chybí-li v rodině zkušenost s vysokoškolským studiem, nemůžeme předpokládat takovou podporu pro další vzdělávání, jako v rodině s tradicí vysokoškolského vzdělání. Přenos rodinného modelu má v ovlivňování dětí důležitou roli. Zároveň je velmi kritickým faktorem, protože může vést k chybným rozhodnutím dítěte, k nevyužití jeho potenciálu nebo naopak k tomu, že dítě je vystaveno zbytečnému selhání, pokud přecení své skutečné možnosti a schopnosti. Mezinárodní výzkumy ukazují, že český vzdělávací systém napomáhá k sociálním nerovnostem a jsme zemí s vysokou mírou závislostí výsledků vzdělávání žáků na sociálně ekonomickém statusu rodiny. Zmíněná závislost patří mezi nejvyšší v rámci zemí OECD. Děti pocházející z rodin, kde oba rodiče mají vysokoškolské vzdělání a dobré sociálně ekonomické zázemí, mají větší ctižádost při volbě střední školy a následně univerzity. Cítí větší podporu a ochotu rodiny vynaložit prostředky na své další studium. V rodinách s rodiči s nižším vzděláním bývá upřednostňována střední škola s praktickým zaměřením a jistotou dalšího brzkého uplatnění na trhu práce. K první selekci dětí dochází v 5. ročníku základní školy. Žáci nadanější, s vyššími ambicemi nebo více podporováni rodiči, odcházejí na víceletá gymnázia. Jejich odchodem bývá poznamenána základní škola, protože do devátého ročníku spolu postupují studenti, kteří jsou nevyhranění, nemají zájem o další vzdělávání nebo mají horší studijní výsledky. Takové prostředí pak negativně ovlivňuje všechny žáky v třídním kolektivu. V základních školách jsou již často studijní poradci, kteří mohou rodičům a žákům poradit v nelehkém rozhodování na konci základní školní docházky. Současně by měl být vyvíjen průběžný tlak na studenty k zamyšlení se o zaměření dalšího vzdělávání a přípravě budoucí profesní dráhy dříve, než pouze v posledním ročníku ZŠ. Skutečnost je bohužel taková, že otázka volby střední 27
školy a profesní dráhy přichází až v posledním ročníku. Žáci jsou postaveni před problém, zda volit školu se zakončením s maturitou nebo školu s pouhým vyučením, zda pokračovat ve všeobecném vzdělávání nebo zvolit školu odbornou. Zná-li žák odpovědi na tyto otázky, až pak začne uvažovat, v rámci svých možností, o konkrétní škole. Podmínky pro přechod žáků ze základních na střední školu jsou doprovázeny řadou změn, ať už legislativních, strukturálních nebo společenských. Změny se týkaly povolených počtů přihlášek, které uchazeč o studium může podat, nastaly změny v nabídce vzdělávacích institucí a měnil se počet míst v jednotlivých oborech středoškolského vzdělávání. Hlavním faktorem pak byl pokles počtu žáků v příslušné věkové kohortě, což mělo a má za následek menší převis poptávky. Následně tedy školy svádí boj o žáky a přibývá tak středních škol, kde pro přijetí stačí průměr prospěchu a nevyžaduje se přijímací zkouška, což negativně ovlivňuje vzdělávání v těchto školách. Problematika související s přechodem žáků ze základní na střední školu je ústředním tématem publikace E. Walterové a D. Gregera [74]. Jejich práce poskytuje průřez a shrnutí studií souvisejících s problematikou volby sekundárního vzdělávání. Detailně jsou zpracovány výsledky výzkumů realizovaných v ČR. V příspěvku „Volba střední školy a kariérové poradenství “ Trhlíková, Eliášková, využily autorky výzkumů realizovaných NÚOV. Zaměřili se na motivační faktory ovlivňující volbu žáků, tj. na faktory ovlivňující žáky při volbě učebního nebo maturitního oboru, na roli institucí a osob při jejich rozhodování. Prezentují model systému kariérního poradenství a poukazují na kritická místa celého procesu volby žáka a poukazují na možné důsledky chybné volby. Hlavními metodami je plošné dotazníkové šetření žáků středních škol všech typů a rozhovory s managementem škol a poradenskými pracovníky. Genderovými aspekty se zabývá v příspěvku téže publikace „Okolnosti přechodu žáků/kyň ze základní na střední školu s důrazem na genderovou perspektivu“ I. Smetáčková. V příspěvku analyzuje výzkum, který popisuje studijní dráhu dívek a chlapců, realizovaný v letech 2004 – 2005 Sociologickým ústavem AV ČR. Poukazuje na přežívající generové stereotypy ovlivňující studijní a následně i profesní kariéru dívek a chlapců. V příspěvku „Projekty budoucnosti u dětí na konci základní školy“ I. Viktorová uvádí některé trendy, které se objevují ve vzdělávací realitě. Výzkum, který byl podkladem k příspěvku, probíhal ve dvou etapách, v roce 1991 a v roce 2002. Ve výzkum byly využity etnografické metody, hlavně pak zúčastněné pozorování, rozhovory a analýza dokumentů ze škol. Z výsledků a získaných poznatků z výzkumu jsou především cenné interpretace postojů žáků ke vzdělávání a škole, jejich obavy z otevřených možností, celkový pohled na problematické období patnáctiletých žáků na prahu dospělosti. Příspěvek P. Hlaďa „Výzkum volby povolání dospívajících v kontextu rodiny“ pracuje s daty z výzkumného projektu realizovaného na Pedagogické fakultě Masarykovi univerzity v letech 2007 – 2008. Výzkum byl založen na mnohonásobné případové studii, která využívá opakující se polostrukturované rozhovory s žáky, s jejich rodiči a v závěru i s jejich třídními učiteli. Z názvu práce je patrné, že se autor zaměřuje na vztahy v rodině, chápáním dětí a jejich rodičů důležitost volby střední školy a následně volbu povolání.
28
3.
Srovnání výsledků znalostních testů žáků ČR se zahraničím
Výzkumy ukázaly závažný nedostatek a to, že žáci nedokáží používat vědeckou argumentaci nebo rozpoznat, co a jak lze vědecky zkoumat. Úroveň vědomostí českých žáků patří k nejlepším, ale dovednost samostatně pracovat je pouze průměrná. [41]
3.1 Mezinárodní srovnávací výzkumy v oblasti školního vzdělávání v České republice Z přehledové studie o mezinárodních srovnávacích výzkumech v oblasti vzdělávání realizovaných v České republice v posledních dvaceti letech [62], je zřejmý potenciál těchto výzkumů, který by mohl být více využíván pro didaktiku v zájmu rozvíjení produktivní kultury vyučování a učení pro Českou republiku. Nashromáždilo se již obrovské množství dat, zájem o jejich využívání k dalším analýzám stále roste, ale výsledky nejsou zcela zhodnoceny. Poskytují data pro další studie zaměřené na vzdělanostní nerovnosti a rozdíly mezi různými skupinami žáků, analýzy postojů žáků k vyučovacím předmětům, analýzy zaměřené na průběh výuky a pedagogické činnosti učitelů. V posledních letech je zájem pedagogické veřejnosti o didaktické rozbory testových úloh. Česká republika se do srovnávacích výzkumů zapojuje již od roku 1995, a to do výzkumu matematického a přírodovědného vzdělávání TIMSS (Third International Mathematics and Science Study) a výzkumu čtenářské gramotnosti RLS (Reading Literacy Study), které koordinovala Mezinárodní organizace pro hodnocení vzdělávacích výsledků IEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievment). V roce 2013 proběhl výzkum počítačové a informační gramotnosti ICILS (International Computer and Information Library Study). Vědomosti a dovednosti žáků hodnotí výzkumy IEA prostřednictvím testů, u kterých je obsah sestaven jako průnik učiva všech zúčastněných zemí. Současně je sledována dostupnost různých vzdělávacích zdrojů na školách, typický průběh výuky, žákovské postoje a další tzv. kontextové proměnné. Výzkum probíhá formou dotazníků pro žáky, učitele, ředitele a případně rodiče žáků.
3.1.1 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) Mezinárodní šetření TIMSS zjišťuje úroveň znalostí a dovedností žáků 4. a 8. ročníku základní školy v matematice a v přírodovědných předmětech. Cyklus tohoto šetření je čtyřletý. V České republice je jeho realizátorem Česká školní inspekce. Kromě úrovně znalostí žáků se zjišťuje i vliv domácího prostředí, postoje rodičů apod., což umožňuje zjistit informace například o selektivitě vzdělávání. Výzkumy byly realizovány ve vybraných zemích v roce 1995 a 1999 a pro lepší porozumění reálnému průběhu výuky byly výzkumy doplněny videostudií. V rámci videostudie byly pořízeny a vyhodnocovány videozáznamy vyučovacích hodin. Videostudiemi TIMSS 1995 byly zkoumány vyučovací hodiny matematiky v Německu, Japonsku a USA. Na tuto studii navazovala videostudie TIMSS 1999 zaměřená vedle matematiky i na výuku přírodovědných předmětů. Do výzkumu se zapojilo osm zemí včetně České republiky (Austrálie, Hong Kong, SAR, Japonsko, Nizozemsko, Švýcarsko, a USA). Videostudie výuky matematiky LPS (Learner’s Perspective Study) byla zaměřena na zkoumání procesů vyučování a učení v matematice v 8. ročnících ve 12 zemích (Austrálie, Čína, Česká republika, Německo, Izrael, Japonsko, Jižní Korea, Filipíny, Singapur, 29
Jihoafrická republika, Švédsko a USA). Cílem byl detailní záznam výukové praxe dobře vedených vyučovacích hodin. Součástí studie byly ankety, dotazníky, práce žáků, didaktické testy a komentáře učitelů. Byly zkoumány různé aspekty výuky, např. zadávání učebních úloh, organizační formy, postavení učitele ve výuce, role učebnic a domácích úkolů, žákovská promluva atd. Za ČR byla provedena případová studie týmy z Pedagogické fakulty Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích a z Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy v Praze, zaměřená na posuzování sociální dimenze (třídního klimatu a učitelova vedení ve výuce) v procesu vyučování a učení a byly vyvozeny závěry pro učení se matematice [2].
3.1.2 PISA (Programme for International Student Assessment) Od roku 2000 probíhají výzkumy pořádané OECD (Organizace pro hospodářskou spolupráci a rozvoj) v tříletých intervalech. Každý cyklus se zabývá do hloubky jednou ze tří oblastí, které jsou věnovány dvě třetiny testovacího času. Ostatní dvě poskytují shrnutí profilových dovedností. Hlavními oblastmi výzkumu jsou: čtenářská gramotnost v roce 2000, matematická gramotnost v roce 2003 a přírodovědná gramotnost v roce 2006. Na rozdíl od výzkumů IEA není PISA od počátku koncipována jako pedagogický výzkum, ale jako nástroj, který umožní vzdělávací politice členských zemí OECD reagovat na aktuální společenské změny. Výzkum PISA vycházel z přesvědčení pedagogů a odborníků na vzdělávací politiku o tom, že škola zaostává za potřebami moderního světa [65]. Proto bylo při jeho přípravě rozhodnuto, že se nebude hodnotit, jak žáci ovládají obsah, který je součástí jejich kurikula, ale vědomosti a dovednosti, které skutečně potřebují pro další pokračování ve studiu, uplatnění v práci i plnohodnotný osobní život, bez ohledu na to, zda jsou součástí školní výuky, nebo ne. Odlišnosti výzkumu PISA od ostatních mezinárodních výzkumů jsou výslovně uvedeny již v úvodním koncepčním materiálu (OECD, 1999), který byl přeložen do češtiny pod názvem Měření vědomostí a dovedností (1999). Ve výzkumu PISA 2012 překvapili svými výsledky polští žáci nejen u nás, ale ohromili celý svět. Velmi dobrého výsledku dosáhli dobře nastavenou a postupně zaváděnou kutikulární reformou z roku 2000 (nový školský zákon r. 1998). V Polsku šlo o politickou prioritu, kterou se důkladně zabývala vláda i parlament. Oproti tomu jsou naše změny dílčí a chaotické (E. Walterová). Příčin excelence polských žáků je více, mezi hlavními se oficiálně uvádějí orientace školského systému na testování a větší příklon k výuce matematiky. Ve vzdělání kladou důraz na náboženskou (resp. etickou) výchovu a poměrně hodně na studium cizích jazyků. Poláci navýšili i počty vyučovacích hodin. Stanovili kritéria evaluace, to znamená, že mají definovány dosažitelné cíle, které lze hodnotit a měřit. Od roku 2005 mají zavedenou standardizovanou část maturity. Je vedena celostátní databáze výsledků všech maturantů v daném školním roce a z této databáze si polské vysoké školy vybírají budoucí studenty. K zlepšení vedlo i zavedení kariérních stupňů a patřičné odměňování pedagogů. Od roku 2000 se v Polsku začaly uplatňovat stupně kariérního růstu, nejvyšší stupeň je tzv. profesor vzdělávání (nejedná se o titul akademický, ale čestný titul). Kariérní stupeň uděluje ministerstvo školství, na základě příslušné kvalifikace, komisionálního pohovoru nebo portfolia. Ve srovnání s námi má profese učitele ve společnosti podstatně vyšší prestiž.
30
3.1.3 TALIS (Teaching and Learning International Survey) Jako doplněk k projektu PISA rozšířila OECD roku 2008 o výzkum vyučování a učení TALIS, ve kterém obrací pozornost tvůrců vzdělávací politiky k učitelům a jejich profesi. Jedná se o první mezinárodní šetření, prostřednictvím kterého jsou učitelé a ředitelé škol dotazováni na školní prostředí, kde probíhá vyučování, a na podmínky, ve kterých učitelé a ředitelé pracují. TALIS má poskytovat zpětnou vazbu, využitelnou jako podklad pro zvýšení spokojenosti učitelů i ředitelů při vykonávání jejich profese, a z toho vyplývající zefektivnění vzdělávání. Šetření také umožňuje doplnit důležité informace potřebné k porovnávání vzdělávacích systémů jednotlivých zemí a zprostředkovat příklady dobré praxe. Mezinárodní šetření TALIS 2008 bylo zaměřeno na hlavní aspekty vzdělávacího prostředí, které ovlivňují kvalitu vyučování ve školách: profesní rozvoj; vyučovací metody, přesvědčení učitelů a jejich postoje; hodnocení práce učitelů a zpětná vazba; vedení školy. Šetření se zúčastnilo celkem 24 zemí, Česká republika zapojena nebyla. V následujícím mezinárodním šetření TALIS 2013, které navazuje na šetření z roku 2008, se již ČR zapojila. Kromě České republiky se zapojilo dalších 32 zemí. V šetření došlo k rozšíření dotazovaných oblastí: vzdělávání pedagogů a jejich profesní rozvoj; hodnocení učitelů a poskytování zpětné vazby v jejich práci; školní klima; způsob vedení školy; postoje učitelů a jejich představy o správném způsobu výuky; samotnou výukovou praxi. První mezinárodní zpráva byla publikována v červnu 2014 (OECD Teaching and Learning International Survey) [90].
3.1.4 SIALS a PIAAC (Second International Adult Literacy Survey; Programme for the International Assessment of Adult Competencies) V roce 1998 byl v České republice realizován mezinárodní výzkum funkční gramotnosti dospělých SIALS, který iniciovala OECD. Výzkum se zaměřoval na zjišťování numerické, dokumentové a literární gramotnosti dospělých ve věku 15 – 65 let [50]. V průběhu let 2011 – 2012 se realizoval výzkum v populaci dospělých známý pod zkratkou PIAAC. Výsledky byly zveřejněny v říjnu roku 2013. Výsledky umožňují srovnání s výzkumem SIALS a poskytují nové poznatky o dovednostech řešit problémy v prostředí informačních technologií a o vztazích mezi funkční gramotností, uplatněním na trhu práce a dalšími neekonomickými efekty, jako jsou subjektivní pocit zdraví, důvěra, dobrovolnictví a možnost ovlivnit politiku. Výzkumu se v ČR zúčastnili respondenti ve věku 16–29 let. Byly tak získány informace o kompetencích absolventů středních a vysokých škol, které jinak nejsou systematicky sledovány, ačkoli jsou pro posouzení vzdělávacího systému velmi důležité [41], [66], [55]. Srovnáním s dalšími zeměmi je pohled na český vzdělávací systém obohacen o širší perspektivu a může se stát podkladem pro rozvoj vzdělávací politiky i školní praxe. Výzkum PISA do určité míry podpořil návrh české kurikulární reformy, rozhodnutí vzdělávací politiky však nejsou založena na jeho konkrétních nálezech a ani data z něj nejsou dostatečně využívána k dalším analýzám [66]. V České republice o mezinárodních výzkumech probíhá v odborné pedagogické komunitě pouze okrajová diskuse, data nejsou až na výjimky využívána k sekundární analýze, ani na ně nenavazují další empirické výzkumy či opatření cílená na zvyšování kvality či spravedlivosti ve vzdělávání [38]. Na adresu výzkumu PISA zazněly kritické hlasy v českém odborném tisku [40], [70] a ty je v souvislosti třeba chápat spíše jako informaci o tom, kam dospěly diskuse o mezinárodních výzkumech v jiných zemích. 31
V následující tabulce č. 1 je přehled mezinárodních srovnávacích výzkumů provedených od roku 1995 o vzdělání v oblasti matematika a v souvisejících oblastech Zaměření
Výzkum
Matematika a přírodní TIMSS vědy
Rok sběru dat 1995 1995 (v ČR včetně videostudie) 2003 (bez účasti ČR)
Čtenářská gramotnost
RLS PIRLS
Informační technologie
SITES
Počítačová gramotnost Čtenářská, matematická a přírodovědná gramotnost
ICILS
2007 2011 1995 2001 2006 (bez účasti ČR) 2011 1998 2001 2006 (bez účasti ČR) 2013
PISA
2000 (čtení)
Výzkum učitelů
TALIS
Gramotnost dospělých
SIALS
2003 (matematika) 2006 (přírodní vědy) 2009 (čtení) 2012 (matematika) 2008 (bez účasti ČR) 2013 1998 2011 Tabulka č. 1
Věková kategorie testovaná v ČR 3., 4., 7., 8. ročník ZŠ, konec SŠ 8. ročník ZŠ 4., 8. ročník ZŠ 4. ročník ZŠ 3., 8. ročník ZŠ 4. ročník ZŠ 4. ročník ZŠ ZŠ, SŠ ZŠ, SŠ 8. ročník ZŠ 15 letí žáci (9. ročník ZŠ, 1. ročník SŠ), 3. ročník SŠ 15 letí žáci 15 letí žáci 15 letí žáci 15 letí žáci Učitelé 2. stupně ZŠ 15 – 65 let 16 – 65 let
3.2 Školní vzdělávání v ČR z pohledu mezinárodních vzdělávacích výzkumů Informace z mezinárodních srovnávacích výzkumů se pokusme uspořádat na základě obecného modelu vzdělávacího procesu a rozlišme charakteristiky edukačního prostředí, charakteristiky vstupů, charakteristiky procesů a charakteristiky výstupů. Vedle základních údajů z příslušného výzkumu, v nichž jsou výsledky České republiky porovnávány s mezinárodním průměrem, dokládají výsledky českých žáků v testu i informace o rozdílech mezi různými skupinami žáků (např. mezi chlapci a dívkami nebo mezi žáky různých typů škol) zjištění z doprovodných dotazníků. Výsledky v mezinárodních výzkumech je možné uvádět v širších souvislostech s výsledky jednotlivých národních zpráv, které obsahují porovnání výsledků s předchozími lety, a analýzu vztahu výsledků s domácím zázemím žáků (součást výzkumu PISA).
32
Prostřednictvím dotazníků se získává řada informací o školním prostředí. Výzkumy asociace IEA mají jiná metodologická východiska než výzkum PISA, liší se jejich cílové populace a různé je i složení zemí, které se do jednotlivých výzkumů zapojily. Význam porovnávání výsledků má pouze mezi výzkumy, které jsou součástí téhož výzkumného projektu a kde jsou již od počátku koncipovány tak, aby toto porovnávání umožňovaly. Přesto můžeme vidět výsledky České republiky v mezinárodních výzkumech souhrnně a výsledky prezentované v jednotlivých národních zprávách uvést do širších souvislostí.
3.2.1 Shrnutí mezinárodních výzkumů a jejich reflexe v českém prostředí -
Výsledky mezinárodních výzkumů lze shrnout do několika oblastí: znalosti a dovednosti postoje rozdíly mezi výsledky žáků různých skupin rozdíly mezi chlapci a dívkami
Vyhodnocení znalostí a dovedností ukazují nadprůměrné výsledky v přírodních vědách, v matematice, ale podprůměrné výsledky ve čtenářské gramotnosti, kde jsou větší problémy s delšími souvislými texty než s texty nesouvislými, s grafy, s tabulkami nebo se seznamy [66]. Na počátku našeho století však výsledky srovnávacích mezinárodních testů ukazují, že se Česká republika v přírodních vědách a v matematice zhoršila, oproti tomu ve výzkumu čtenářské gramotnosti PIRLS jsou výsledky českých žáků nadprůměrné. Ovšem mezinárodní průměr je zde počítán z výsledků všech zúčastněných zemích, kdežto ve výzkumu PISA jsou výsledky vztaženy k průměru zemí OECD. Pedagogická veřejnost zaregistrovala výrazné zhoršení v matematice a přírodních vědách, které zaznamenal výzkum TIMSS 2007 a PISA 2009. Zhoršení lze přisuzovat prodloužení školní docházky základní školy z osmi na devět let (žáci v 9. ročníku neměli probráno všechno povinné učivo). Ve výzkumu PISA 2012 byly výsledky českých žáků opět nadprůměrné. Kvalitnější srovnání umožní až PISA 2015, kdy bude opět hlavní testovanou oblastí matematika. V matematice se projevuje zhoršení českých žáků i po roce 1999, jak ukazují výsledky z TIMSS. Výsledky českých žáků v testování PISA mezi lety 2003 a 2009 PISA ukazují dokonce největší propad ze všech zemí z obou uvedených cyklů. Hlavní zájem byl podrobně analyzovat výsledky žáků 4. ročníku. Ve výzkumu TIMSS 2007 propadli až do oblasti podprůměru. Zhoršení tohoto vzorku oproti roku 1995 bylo největší ze všech evropských zemí a členských zemí OECD, zapojených do obou šetření. Žákům 4. ročníku činily nevětší potíže úlohy s počítáním se zlomky a s desetinnými čísly. Tento fakt lze odůvodnit zařazením tohoto učiva do vyšších ročníků než v jiných zemích. Z tohoto poznatku se vyvodily změny a byly zařazeny do Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání platného od 1. 9. 2013. Zařazením změn do matematického učiva na prvním stupni jsou další očekávané výstupy žáka: - modeluje a určí část celku, používá zápis ve formě zlomku - porovná, sčítá a odčítá zlomky se stejným jmenovatelem v oboru kladných čísel - přečte zápis desetinného čísla a vyznačí na číselné ose desetinné číslo dané hodnoty - porozumí významu znaku „-„ pro zápis celého záporného čísla a toto číslo vyznačí na číselné ose
33
Učivo bylo rozšířeno o: - přirozená čísla, celá čísla, desetinná čísla, zlomky - zápis čísla v desítkové soustavě, a jeho znázornění (číselná osa, teploměr, model) [80] Čeští žáci si však výrazně lépe nevedli ve výzkumu TIMSS 2007 ani v řešení zbývajících úloh. Přes vyloučení problematických úloh se zlomky a desetinnými čísly zůstává výsledek České republiky průměrný [7], [8], [23]. Důvody zhoršení českých žáků v matematice nelze jednoznačně určit. Jedná se o kombinaci několika faktorů, z nichž je možné jmenovat například nezájem až nechuť žáků k matematice [1], nedostatečný rozvoj matematického uvažování, který komplikuje osvojování obtížnějšího učiva ve vyšších ročnících [23], změny ve společnosti i v postavení matematiky v rámci kurikula [7], [8] aj. Nepříznivý vliv má zařazení matematiky mezi volitelné předměty u maturitní zkoušky. Zhodnocení vývoje matematických znalostí českých žáků bude vyžadovat větší časový odstup. Výsledky TIMSS 2011, do kterého byli zařazeni pouze studenti prvního stupně, ukázaly, že se čeští žáci statisticky významně zlepšili, i když nedosáhli úrovně z TIMSS 1995. Následné informace z PISA 2012 o matematických dovednostech žáků na konci povinné školní docházky zveřejněné na konci roku 2013 ukázaly, že výsledek našich žáků byl průměrný, ale statisticky významně horší než v roce 2003, kdy byla matematika také hlavní sledovanou oblastí. [54]. Chceme-li lépe porozumět výsledkům, kterých dosahují čeští žáci v jednotlivých vzdělávacích oblastech, musíme navázat na poměrně obecně formulované nálezy mezinárodních výzkumů oborově didaktickými analýzami, které umožní odhalit silná a slabá místa v rámci daného oboru či vyučovacího předmětu. [47]
3.2.2 Podmínky vzdělávacího procesu Dosažené výsledky a výkon žáka ve vzdělávání jsou ovlivněny do značné míry jeho postojem k vyučovanému předmětu. Postoje se v průběhu času určitým způsobem vyvíjí. Otázky na postoje ke konkrétním přírodovědným tématům byly zařazeny do OECD 2006. Ve výzkumech organizace IEA (TIMSS, PIRLS) jsou postoje žáků chápány jako prvek ovlivňující úroveň vzdělávacích výsledků, a zpětně ovlivňující úroveň dosažených vědomostí a dovedností. Z výzkumného cyklu PISA 2000 se z hodnocení rýsují poznatky o významu zastoupení jednotlivých vzdělávacích oblastí v kurikulu a nerovnosti ve vzdělání. Následné analýzy výsledků ve vztahu k sociálnímu prostředí, ze kterého žáci pocházejí, prokázaly souvislost výkonu žáků se sociálně ekonomickými charakteristikami domácího prostředí.
3.2.3 Kurikulum a jeho vztah k výsledkům českých žáků Výborné znalosti přírodovědných předmětů českých žáků se přisuzují velkému zastoupení přírodovědných předmětů v kurikulu (TIMSS 1995 a 1999). Přírodní vědy byly upřednostňovány na úkor věd společenských. Velké množství učiva vedlo často k mechanickému učení faktů bez pochopení souvislostí, k odtržení přírodovědných předmětů od praktického života a k jejich nízké oblibě u žáků. Oproti tomu je v kurikulu českého základního vzdělávání opomíjena práce s textem a čtenářská gramotnost je hodnocena jako nedostatečná.
34
3.2.4 Charakteristiky systému vzdělávání a jejich vliv na výsledky žáků Srovnávací mezinárodní výzkum PISA poskytuje detailnější analýzy českého vzdělávacího systému. Prostřednictvím dotazníku pro žáky pravidelně zjišťuje kromě typu navštěvované školy také informace o domácím zázemí. Česká republika vykazuje silnou závislost výsledků žáků na sociálním statusu jejich rodičů. V českém vzdělávacím systému je obtížné vyrovnávání rozdílných vstupních předpokladů, které žáci mají ze svého domácího prostředí (Gregor 2010). Ve výzkumu PISA 2003 byly rozšířeny dotazníky pro žáky o otázky týkajících se vzdělanostních snah. Ke zmapování socioekonomického zázemí žáků byly doplněny dotazníky otázkami pro rodiče s otázkami k podrobnějšímu zmapování socioekonomického zázemí rodin, o spokojenosti se školou a o představách o budoucnosti dítěte. Ze sekundárních analýz dat mezinárodních srovnávacích výzkumů vyplývá: - Souvislost výsledků žáků na jejich rodinném zázemí. Děti z lépe situovaných rodin mají větší pravděpodobnost studia na výběrových školách a posléze na vysokých školách. - Mezi nejlepšími a nejslabšími žáky se prohlubují rozdíly, které jen částečně lze vysvětlit diferenciací podmínek na školách. Kvalita pedagogického sboru ovlivňuje výsledky, kterých žáci dosahují. Vznikají výběrové školy nebo třídy s různým zaměřením, ale souběžně s tím vznikají „ zbytkové školy“ kde jsou žáci méně motivováni a jejich výsledky se zhoršují. Žáci těchto na diferenciaci vzdělávacích podmínek doplácí. - Je sporné, zda víceletá gymnázia poskytují výrazně lepší vzdělání a zda na nich studují výhradně nejtalentovanější děti.
3.2.5 Gender a selekce ve vzdělávacím procesu Výzkumné poznatky, které mapují vývoj v rozdílech čtenářské a matematické funkční gramotnosti dívek a chlapců v České a Slovenské republice hovoří ve prospěch většího důrazu vzdělávací politiky na jednotnější vzdělávání na všechny žáky v raném věku. Studie rozdílů gramotnosti v České a Slovenské republice popisují vývoj za posledních téměř patnáct let. V souladu s výsledky OECD se doporučuje redukovat míru selekce žáků do škol různých typů, dokonce se doporučuje tuto selekci zrušit. Česko i Slovensko patří v současnosti k malé skupině zemí, kde k rané selekci na výběrový typ škol dochází ve věku 10 let žáků. Ve většině sledovaných zemí již dochází k zavedení jednotného vzdělávání během prvních 9 – 10 let školní docházky. Jsou publikovány trendy a souvislosti mezi mírou rané selekce a vývojem genderových rozdílů v matematické a čtenářské gramotnosti v Česku a na Slovensku. [13]. Genderové mezery v matematické gramotnosti v zemích jako Finsko, Švédsko, Polsko, ale i Česko a Slovensko se téměř zrušily. Současně se však projevuje pokles čtenářské gramotnosti chlapců ve většině zemí. Užitečné je srovnání Česka a Slovenska, které měly na počátku devadesátých let v podstatě identické školství. Příčiny genderových rozdílů ve čtenářské a matematické gramotnosti jsou podmíněny ranou selekcí. V obou zemích konstatujeme, že druhý stupeň ZŠ se obsahem příliš neliší od výběrových víceletých gymnázií. Hlavní záměr selektivního systému byl původně v zajištění možného náročnějšího vzdělání nadanějších žáků. Mezinárodní šetření PISA 2006 ukázalo, že po zohlednění socioekonomického statusu rodiny nejsou rozdíly mezi žáky víceletého gymnázia a čtyřletého gymnázia statisticky významné. Dosažené lepší výsledky žáků víceletých gymnázií jsou většinou dány jejich sociálním zázemím. Lze konstatovat, že genderové rozdíly v gramotnosti související s ranou selekcí vznikají v interakci a) vlivu rodinného prostředí (volba výběrové školy) a b) mechanismu selektivity. Vliv rodinného prostředí ovlivňuje žákovské aspirace i
35
dosahované studijní výsledky. Míra předurčenosti úrovně čtenářské gramotnosti je rovněž dána rodinným zázemím. Dalším faktorem, který ovlivňuje genderové rozdíly gramotnosti, je samotný mechanismus selekce: a) v okamžiku přechodu na víceletá gymnázia dané charakterem selekce a vlivem rodinného prostředí b) produkční efekt působící v následných letech po selekci tj. kdy typ školy má odlišný vzdělávací dopad na dívky a chlapce, kteří jsou v selektivních školách nerovnoměrně zastoupeni. Selekce probíhá zpravidla v zemích střední Evropy formou písemných testů, ověřujících jazykové, matematické a případně i další dispozice žáků. V Česku i na Slovensku stanoví podmínky o přijetí školy individuálně, k selekci dochází na konci pátého ročníku. Na Slovensku se tato situace datuje až od roku 2009 (selekce přesunuta z konce čtvrtého ročníku). V některých zemích např. v Rakousku, Německu a Maďarsku se selekce odehrává již na konci čtvrtého ročníku. Charakteristiky vzdělávacích systémů vybraných evropských zemí Země Česká republika Slovensko Maďarsko Rakousko Německo Polsko Lichtenštejnsko Francie Finsko Švédsko
Věk žáků při nástupu do školy 6 6 7 6 6 7 6 6 7 7
Věk žáků při první selekci 11 10/11* 11 10 10 16 11 15 16 16 Tabulka č. 2
Ročník první selekce 6 5/6 5 5 5 10 6 10 10 10
Selektivní systém Ano Ano Ano Ano Ano Ne Ano Ne Ne Ne
Zdroj: Eurypedia, 2011, [12] V roce 2009 byl na Slovensku posunut přechod na víceletá gymnázia z konce 4. ročníku (desetiletí) na konec 5. ročníku (jedenáctiletí). Míra selekce je v okolních zemích, v Rakousku a v Německu, výrazně vyšší než v Česku a na Slovensku. V Česku se v posledních letech míra selekce zvyšuje až nad 11% ročníkové populace (v roce 2012 na 11,3%) a na Slovensku se naopak projevuje pokles řízeným snížením míry selektivnosti.
36
Míra selekce ve vybraných evropských zemích Podíl žáků ve víceletých gymnáziích na celkovém počtu žáků v nižším sekundárním vzdělání [v %] 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 8,5 8,7 8,9 9,2 9,4 10,0 10,6 11,1 11,3 11,3 11,3 Česko 6,0 6,3 6,7 7,0 7,1 7,4 6,6 5,9 5,2 Slovensko 5,9 Rakousko 29,0 29,3 29,6 30,1 30,6 31,4 31,9 32,2 32,0 32,0 Německo 31,7 31,9 32,7 33,7 34,6 35,5 35,4 34,9 34,3 34,2 Tabulka č. 3 Země
V posledních letech mírně poklesl rozdíl v počtu dívek a chlapců na víceletých gymnáziích v Česku i na Slovensku (52:48). Situace na čtyřletých gymnáziích je odlišná, tj. podíl dívek je výrazně vyšší, a to v Česku i na Slovensku (65:35, 60:40). Rozhodování o výběru střední školy ovlivňují rodiče a projevují se opět genderové rozdíly ve čtenářské gramotnosti ve prospěch dívek v průběhu druhého stupně ZŠ. V posledních pěti letech se ve 4. ročnících obou zemí zvyšuje mezera v matematické gramotnosti, ale současně se mírně snižuje mezera ve čtenářské gramotnosti (chlapci se zlepšují). Čtenářská gramotnost podstatně ovlivňuje schopnost správně a rychle chápat zadání slovních úloh v matematice či v testech. Tím se vysvětluje význam čtenářské gramotnosti při přechodu na víceletá gymnázia a o něco větší úspěšnost dívek, u kterých je čtenářská gramotnost vyšší. [13] Ve sledovaném období genderová mezera ve čtenářské gramotnosti u dívek v 9. ročníku výrazně vzrostla. Příčiny mohou být i v mimo vzdělávacím systému např. rozšíření přístupu k informačním technologiím a nárůstu jejich využívání na úkor klasického čtení u chlapců. Podobné problémy vyplynuly z výsledků výzkumu PISA 2000 čtenářské gramotnosti německých žáků, kdy se ukázalo, že 20% žáků čte a počítá na úrovni primární školy (1. – 4. ročník naší ZŠ). Německo se umístilo ve všech sledovaných oblastech hluboko pod průměrem OECD, ve čtenářské gramotnosti až za Českou republikou (průměr OECD činil 500, ČR získala 492 bodů, Německo 482 bodů). Jako nepříznivé se jeví rozdíly úrovně způsobilosti, které jsou největší mezi nejlepšími a nejhoršími žáky. Alarmující bylo, že téměř 10% žáků nedosáhlo ani nejnižší úrovně způsobilosti, tj. úrovně 1 (PISA 2000). Česká republika patří mezi země se spíše menšími rozdíly a oproti roku 2009 došlo k mírnému zlepšení. Současně z výzkumu vyplynulo, že klesá počet žáků, kteří čtou pro radost [57].
Země Německo Česká republika Průměr OECD
Výsledky ve čtenářské gramotnosti v letech 2000 a 2009 Průměrný výsledek PISA 2009 PISA PISA Zpracování informací
Zhodnocení textu
501
501
491
496
497
478
479
488
462
479
474
495
495
493
494
494
493
2000
2009
484
497
492 496
Získávání informací
Souvislé texty
Nesouvislé texty
Tabulka č. 4 Upraveno podle Palečková [52]. Ve sledovaných letech 2000 a 2009 se ukázalo zlepšení výsledků v Německu a naopak zhoršení v České republice.
37
Koordinátor výzkumu PISA Eckhard Klieme poukazuje na to, že výsledky výzkumu „neukazují, co máme dělat, ale jen to, kde jsou problémy“. V německém vzdělávacím systému došlo ke změnám, které měly pozitivní vliv na rozvoj čtenářské gramotnosti. Změny nastaly již v mateřských školách, které se přeorientovaly z pouhé péče o děti, na jejich vzdělávání. Hlavní školy byly spojeny s jinými druhy škol a zkrátila se doba studia na gymnáziích z devíti na osm let. Byly zavedeny celoněmecky platné vzdělávací standardy, určující povinné minimum dosažených znalostí. Byla posílena vlastní odpovědnost škol, byla zavedena interní a externí evaluace škol, školní inspekce, začaly být publikovány zprávy o vzdělávacím systému na jeho různých úrovních, až po národní zprávy o vzdělávání a zaváděny srovnávací práce a národní testy, orientované na vzdělávací standardy [44]. V roce 2003 byly zavedeny jednotné požadavky na maturitní zkoušky v matematice, němčině a angličtině. Spolkové země s velkým podílem imigrantů zavedly opatření na jejich jazykovou podporu (programy FÖRMIG, ProLesen). Dlouhodobá opatření zdůrazňují nutnost rovnoměrné podpory nejen slabých, ale i dobrých žáků a nutnost zaměřit se na možnosti systematického zapojování rodičů, lépe využívat možností spolupráce s mimoškolními partnery tj. veřejnými knihovnami, literárními domy, nakladatelstvími, novinami a časopisy, kinem a divadlem. Závěrem o vývoji čtenářské gramotnosti v Německu lze konstatovat, že se výsledky žáků během posledních deset let průběžně zlepšovaly, přičemž je výraznější zlepšení u žáků z rodin imigrantů než u žáků německých. Přesto podle výsledů PISA 2009 žáci z rodin přistěhovalců celkově zaostávají za německými žáky. Rozdíly mezi chlapci a dívkami se prakticky nezměnily.
3.2.6 Testování znalostí žáků českých základních škol V době, kdy se vedou neustále debaty o smyslu plošného prověřování znalostí žáků, v tichosti skončila generálka testování dětí z 5. a 9. tříd ZŠ v letech 2012 a 2013, kterou podle zadání MŠMT ČR připravila ČŠI [86]. Odhalila to, co do této chvíle intuitivně cítili všichni: matematika je slabinou českého školství. Prověrky vědomostí se zúčastnilo celkem 161 653 žáků z 3658 škol. Vyplňovali didaktické testy z matematiky, češtiny a angličtiny. Kdo zvládl sérii otázek v nižší úrovni, pokračoval dál do úrovně vyšší. Z matematiky tuto hranici překročilo necelých 45 procent žáků pátých tříd a 54 procent žáků devátých tříd. Podle hodnocení se ale mezi „špičkové“ matematiky, tedy ty, kteří test vyplnili bezchybně na 81 až 100 procent, vešlo jen šest procent žáků z pátých tříd a dvě procenta z devátých tříd. Takový výsledek nelze rozhodně považovat za příznivý, ale naopak za varující. Při testování žáků základních škol se ukázalo, že žáci nedosahují ve znalostech matematiky dobrých výsledků. Odborníci i učitelé si kladou otázku, jak to změnit. Většina odpovědných matematiků a pedagogů je pro povinnou maturitu, protože stát má garantovat úroveň středoškolského vzdělání. Variantu povinné maturity z matematiky by ale určitě nepodpořily školy se zaměřením na jazyky, humanitní obory nebo školy umělecké. Ovšem i absolvent konzervatoře by si měl umět spočítat náklady na bydlení, výhodnost hypotéky, výši úroků. Povinná maturita by zřejmě nepomohla tomuto předmětu v oblíbenosti, ale zcela jistě by zvýšený „vnější tlak“ přispěl k dosažení vyšší úrovně znalostí. Je chyba, že význam matematiky je společností přehlížen. Prestiž matematiky klesá, navzdory tomu, že význam této disciplíny je pro vzdělání klíčový. Ve společnosti je rozšířeno mylné přesvědčení, že ke zvládnutí středoškolské matematiky je třeba zvláštního talentu. Velkým omylem by bylo myslet si, že výpočetní technika nás zbaví povinnosti učit se matematice a logickému myšlení. Matematika není jen o počtech nebo vzorcích, ale 38
o způsobu myšlení. Její pochopení a schopnost využití v reálném životě nelze nahradit sebelepším kalkulátorem nebo počítačem. Pokles matematických znalostí v Česku je způsoben i tím, že přibývají další pochybné obory na VŠ, které se údajně „obejdou bez matematiky“. Většina českých žáků má podle mezinárodních měření k matematice a přírodním vědám negativní vztah. Proč tomu tak je? Většina dětí nemá nadání pro matematiku? Jsou učitelé méně kvalifikovaní? Děti nemají odpovídající motivaci? Na učitelích opravdu záleží hodně. Už učitelé na základních školách by měli umět žáky matematikou zaujmout. Zároveň ovšem nelze slevovat z rozsahu dosažených znalostí žáků. Používané metodické postupy by měly zajistit, aby hodiny matematiky byly pestré a přitažlivé. Výuka matematiky by měla také ukázat žákům propojení matematiky a reálného života. Bez určitého soustavného pěstování numerických schopností a algebraických postupů se v matematice ale neobejdeme. Záleží také na typu školy a tedy i žáků. Žáci víceletých gymnázií musejí mít jinou výuku matematiky než žáci na základní škole. Jinak lze přistupovat k žákům, kteří se díky určité selekci a motivaci (především svých rodičů) dostali na gymnázium, a k různorodému kolektivu na druhém stupni základní školy, kde se musí pracovat i s dětmi, které nemají podnětné rodinné zázemí a nejsou třeba v danou chvíli studijně naladěny. Učitel si musí umět najít k žákovi cestu hlavně v situacích, kdy si neví s určitou látkou rady. V matematice více než v jakémkoliv jiném předmětu je učivo propojeno natolik, že bez zvládnutí jedné pasáže nemůže žák zvládnout látku navazující a je odsouzen k pasivnímu opisování z tabule. Ve škole může selhávat motivace, pokud učitel neví, proč žáci do školy chodí. Podle průzkumu společnosti SCIO [76] se děti už odmítají učit jen kvůli dobré známce nebo proto, že se to po nich chce. Učí se kvůli tomu, aby se dostali na vysněnou školu a přiblížili se tak možnosti získat poté lepší zaměstnání. Navíc pouze někteří z učitelů jsou přesvědčeni, že dokážou učit zajímavě. Často si stěžují na velké množství látky, kvůli kterému nemohou využívat časově náročnější a zábavnější metody výuky. Žáci od dobrého učitele očekávají, že bude spravedlivý, bude mít smysl pro humor, bude své žáky brát vážně a bude je podporovat v tom, co dělají. Děti v testu SCIO lépe hodnotily kantory s kratší praxí, oceňovaly především to, že se je mladší vyučující snaží víc chápat a více je podpoří. Základní problém vzniká na školách v nižších ročnících. Jestliže žák odejde ze základní školy se špatnými základy, na střední škole už chybné návyky nebo nedostatky zpravidla nedožene nebo je odstraňuje velmi obtížně. Začíná tak začarovaný kruh. Žák nemá na střední škole na čem stavět a začne mu unikat nová látka. Učitel na střední škole už nemá prostor na to, aby mu vysvětloval základy, jako je počítání s desetinnými čísly nebo sčítání zlomků. Na tyto nedostatky, jako jsou např. chyby v základních početních operacích se zlomky, si nyní stěžují i přednášející na vysokých školách. Prověřování znalostí matematiky v ČR je průběžně prováděno v prvním a posledním ročníku střední školy a v šestém a devátém ročníku základní školy celostátními testy SCIO. Z výsledků poskytnutých MŠMT je zřejmé, že ve školním roce 2012 došlo k mírnému zlepšení znalostí v matematice, ale i ostatních sledovaných oblastech. Zlepšení je zřejmé z tabulek č. 5 a 6. Hodnoty jsou vyjádřené v grafu č. 1. Následující tabulky a grafy uvádějí průměry standardizovaného skóre v ročnících 2009 a 2012, podle typu školy a pohlaví.
39
GV ZŠ celkem
rok Matematika 2009 119,7 2012 124,6 2009 100,0 2012 101,8 2009 101,8 2012 103,4 Tabulka č. 5
chlapci dívky celkem
rok Matematika 2009 101,5 2012 103,8 2009 102,0 2012 102,9 2009 101,8 2012 101,4 Tabulka č. 6
Průměrné standardizované skóre podle testu a typu školy – STZŠ 6. r. / prima 140 120 100
80
2009
60
2012
40 20 0 GV
ZŠ
celkem
Graf č. 1 Výsledky výzkumu SCIO v souvislosti s aktuálně publikovanými výsledky TIMSS mají společný okruh žáků neboť projektu TIMSS se z ČR zúčastnili žáci na konci 4. třídy v letech 2007 a 2011, projektu Stonožka žáci na začátku 6. třídy v letech 2009 a 2012. K získání zpětné vazby a porovnání s ostatními školami je realizován projekt Stonožka. Při opakovaném testování umožní srovnání meziroční posunu a je nápomocen při zjištění problematických míst a rezerv žáků. V rámci projektu TIMSS jsou testovány školní znalosti v matematice a přírodovědě. V ČR v projektu Stonožka jsou testovány také znalosti v češtině a matematice, avšak testují se navíc i obecné studijní předpoklady.
3.3 Shrnutí Poznatky z mezinárodních výzkumů jsou povinně limitovány tím, že použité nástroje musí vyhovovat všem zapojeným zemím. Cílem je srovnání vzdělávacích výsledků v různých zemích, a to bez ohledu na rozdílnost sociálně ekonomických podmínek, vyplývajících např. z imigrace obyvatel. V českém prostředí jsou poznatky z mezinárodních výzkumů zpravidla jediným zdrojem relevantních informací o fungování vzdělávacího systému. Výsledky národních výzkumů signalizují špatné fungování vzdělávacího systému v ČR (viz. kap. 4.2.6). Množství získaných dat by mohlo být využíváno ve větším rozsahu, měla by být důsledněji a pružněji realizována nápravná opatření než doposud, tak jako např. v Německu, kde bylo v návaznosti na výsledky TIMSS a PISA realizované široké spektrum inovativních a reformních aktivit. 40
4.
Hypotézy
4.1 Návrh harmonogramu výzkumu K ověření hypotézy o příčinách rozdílné úrovně znalosti matematiky žáků přicházejících z různých ZŠ je realizace výzkumu formou nestandardizovaného didaktického testu. K realizaci výzkumné části jsem vytvořila znalostní test, ve kterém byly otázky zaměřeny převážně na znalosti aritmetiky, kde se nejčastěji projevují triviální nedostatky. Harmonogram je stanoven tak, aby respektoval možnosti školy. Vhodným termínem pro absolvování testu je počáteční období nového školního roku, jako součást běžné vyučovací hodiny. Otázky písemného testu jsou úlohy srovnatelné svou obtížností s úlohami z učebnic ZŠ a s otázkami přijímacích zkoušek na SŠ. Harmonogram: - poslední týden v srpnu předání zadání písemných testů na vybraná gymnázia - při předání testů osobní domluva s učiteli, vysvětlení výzkumného záměru a předání pokynů k dodržení jednotných podmínek vypracování testu - nejméně ve 3. až 4. týdnu školního roku v hodině matematiky, jako součást běžné vyučovací hodiny vypracování testu - po osobní domluvě vyzvednutí vypracovaných testů - do jednoho měsíce vyhodnocení testů a oznámení dosažených výsledků školám Motivací pro zkoumání diferenciace znalostní úrovně žáků přicházejících na gymnázia je domněnka, že příčinou neúspěchu v předmětu matematika při studiu na SŠ bývá nízká úroveň znalostí matematiky ZŠ. Cílem výzkumu je snaha zmapovat nedostatky znalostí některých partií matematiky ZŠ - aritmetiky, geometrie a logické úvahy. K realizaci výzkumné části jsem zvolila znalostní test a anketu. Otázky byly zaměřeny převážně na znalosti aritmetiky, kde se nejčastěji projevují triviální nedostatky.
4.2 Formulace hypotéz Stanovení hypotéz: 1. Existují značné rozdíly v úrovni znalostí matematiky žáků přicházejících z různých ZŠ na gymnázia. 2. Klasifikace z matematiky v 9. třídě ZŠ nesouvisí s úspěšností v testu a skutečnými znalostmi. 3. Nedostatky znalostí matematiky u žáků přicházejících na SŠ jsou především v úpravě číselných výrazů.
41
II. Výzkumná část Ve výzkumné části práce budou popsány postupy a zjištění na základě aplikace dostupných a vhodných výzkumných metod. Cílem výzkumné části disertační práce je analyzovat nestandardizovaný didaktický test a anketu. Metody výzkumu použité k vyhodnocení výsledků: - kvantitativní metody vyžadují větší soubory dat a vedou k lépe ověřitelným a srovnatelným výsledkům. Jsou zpracovány statistickými metodami, avšak interpretace výsledků je náročnější. Kvantitativní výzkum popisuje zkoumané skutečnosti nestandardizovaného didaktického testu, který byl zpracován a vyhodnocen jevovou analýzou. - kvalitativní metodu je možno chápat jako doplněk kvantitativního výzkumu zaměřující se na to, jak jednotlivec nebo skupiny chápou zkoumané jevy a skutečnosti. K vyhodnocení výsledků realizované ankety je využita atomární analýza, která je založena na myšlence atomizace řešení a myšlence komparativní analýzy.
5.
Nestandardizovaný didaktický test a anketa
Nestandardizovaný didaktický test a anketa byly realizovány v průběhu tří let na vybraných gymnáziích v městě Brně (viz. níže) tak, aby soubor tvořili žáci, u kterých lze předpokládat, že na gymnázia postoupili každý rok převážně ze stejných ZŠ. Pro hodnocení výsledků byly užity kvantitativní i kvalitativní metody výzkumu.
5.1 Průběh a vyhodnocení nestandardizovaného didaktického testu a ankety Školám byly předány texty testů a ve vybraných třídách se žáky prvních ročníků čtyřletého studia ve 3. až 4. týdnu od začátku školního roku v hodinách matematiky test žáci absolvovali. Dosažené výsledky byly konfrontovány s klasifikací žáků v 9. třídě ZŠ. Vybrané školy: Gymnázium Elgartova Gymnázium Integra Gymnázium Křenová Gymnázium Matyáše Lercha Gymnázium Slovanské náměstí Gymnázium tř. Kapitána Jaroše Gymnázium Vejrostova Gymnázium Vídeňská Nestandardizovaný didaktický test v každém ročníku obsahoval sedm úloh a jednu anketní otázku. Úlohy byly bodově hodnoceny následujícím způsobem: Úlohy č. 1. až 6.
správné řešení částečné řešení chybné nebo žádné řešení
5 bodů 2,5 bodů 0 bodů 42
Úloha č. 7. obsahuje 5 teoretických otázek a boduje se jedním bodem za každou správnou odpověď a tedy je možno získat 0, 1, 2, 3, 4 nebo 5 bodů. Maximální možný počet získaných bodů v testu je tedy 35 bodů. Otázka č. 8. se neboduje. Je zařazena proto, aby žáci sami ohodnotili svou znalost či neznalost. Odpovědi jsou vyhodnoceny samostatně jako anketa atomární analýzou.
5.2 Jednotlivé ročníky nestandardizovaného didaktického testu V nestandardizovaných didaktických testech byly zařazeny úlohy v souladu s RVP a standardy pro 2. stupeň ZŠ tak, aby úlohy obsáhly čtyři tematické okruhy (příloha č. 3): - Číslo a proměnná - Závislosti a práce s daty - Geometrie v rovině a prostoru - Nestandardní aplikační úlohy a problémy Test v roce 2009 lze považovat za předvýzkum neboť v ročnících 2010 a 2011 jedna ze dvou úloh na úpravu číselného výrazu byla nahrazena úlohou řešitelnou „vhledem“.
5.2.1 Ročník 2009 Do výzkumu bylo zařazeno celkem 7 gymnázií, 14 tříd, celkem 403 žáků ze 118 základních škol nebo víceletých gymnázií.
TEST 2009 1. Vypočítej a výsledek zaokrouhli na jedno desetinné místo = 2. Vypočítej a výsledek zapiš jako zlomek v základním tvaru
3. Zapiš v jednotkách uvedených v závorce a potom zaokrouhli na jedno desetinné místo: 2 h 36 min 15s (min) 4. Třešně v misce mohou být rozděleny stejným dílem mezi 4 nebo 6 nebo 12 dětí. Kolik nejmíň je v misce třešní? 5. Zahraničního zájezdu se zúčastnilo 42 žen, 36 mužů a 62 dětí. Vypočítej, kolik procent z celkového počtu účastníků tvoří ženy? 6. Řeš rovnici v R a k výsledku napiš počet řešení
43
7. Doplň: Střed kružnice opsané trojúhelníku leží na Nejdelší strana v pravoúhlém trojúhelníku je Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je Vzorec pro výpočet obsah kruhu je Rozlož (a + b)2 =
.......... .......... .......... .......... ..........
8. Napiš, které úlohy ti při řešení dělaly největší obtíže a jaký byl důvod? V následující tabulce č. 7 jsou uvedeny pro jednotlivé úlohy maximální bodové zisky všech žáků, dosažený bodový součet všech žáků, průměrný bodový zisk jednoho žáka a procento úspěšnosti všech žáků. 2009 Výsledky jednotlivých úloh Úloha 1. 2. 3. 4. Max bodový součet 2015 2015 2015 2015 Dosažený bodový součet 677,5 780 1393 1050 Průměrný bodový zisk žáka 1,68 1,94 3,46 1,23 % úspěšnosti 33,65 38,71 69,13 24,57 Tabulka č. 7
5. 2015 1450 3,60 71,96
6. 2015 949 2,35 47,10
7. 2015 1410 3,50 69,98
Z tabulky č. 7. je zřejmé pořadí úspěšnosti řešení příkladů, které je následující: 5. úloha - slovní úloha k ověření počítání s procenty a práci s textem. Z celkového počtu 403 žáků více jak 70% správně zapsalo úlohu, provedlo rozbor úlohy a výpočet procent. Více jak 25% žáků bylo zcela neúspěšných, tj. nezapsali správně rozbor a nevypočítali procenta. 7. úloha - 5 jednoduchých otázek zaměřených na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. Nejmenší úspěšnost zaznamenala otázka na určení středu kružnice opsané trojúhelníku a na rozklad vzorce (a + b)2 . Největší znalost žáci projevili v otázce na součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku. 3. úloha - na převod jednotek času a zaokrouhlování. Více jak 70% správně převedlo jednotky času i sečetli hodnoty převedených minut, velmi často chybovali v zaokrouhlení výsledné hodnoty na jedno desetinné místo. 6. úloha - řešení rovnice se zlomky a určení počtu řešení. Méně než 50% žáků správně odstranilo zlomky v rovnici, chybovali ve zjednodušení rovnice i ve vyjádření neznámé. Nejmenší úspěšnost v úloze bylo stanovení počtu řešení rovnice. 2. úloha - ověření znalosti základních početních operací se zlomky, postupu odstranění závorek a umocňování. Velmi slabá byla znalost s úpravami zlomků, tj. převod smíšeného čísla na zlomky, umocnění zlomku, součet a rozdíl zlomků. 1. úloha - ověření základních početních operací, postupu odstranění závorek, odmocňování a zaokrouhlování. Žáci ukázali velké neznalosti při úpravě číselných výrazů. Chybovali v odmocnění, v součinu, podílu, součtu i rozdílu kladných a záporných čísel. 44
4. úloha - určení nejmenšího společného násobku tří čísel. V této úloze chybovali v rozboru úlohy, ve správném úsudku a poté i v zápisu úlohy. Z toho vyplynulo nepochopení nutného určení nejmenšího společného násobku čísel 4, 6 a 12. V tabulce č. 8 jsou počty žáků se zisky bodů pro jednotlivé úlohy.
Úloha Úspěšný (plný počet bodů) Částečně úspěšný Neúspěšný (žádný bod)
2009 Úspěšnost žáků 1. 2. 3. 105 138 256 61 36 45 237 229 102 Tabulka č. 8
4. 204 14 185
5. 282 15 106
6. 171 38 194
7. 47 343 13
Výsledky ukázaly, že největšími slabinami jsou úpravy číselných výrazů, tj. chyby v odmocnění, v součinu, podílu, součtu i rozdílu kladných a záporných čísel. Dále převody smíšeného čísla na zlomek, umocnění zlomku, součet a rozdíl zlomků. Závažné nedostatky se projevily i při práci s desetinnými čísly. U slovních úloh nedostatky souvisí, tak jak se konstatuje ve výsledcích mezinárodních výzkumů žáků ZŠ, i s čtenářskou gramotností a se schopností správné logické úvahy.
5.2.1.1 Jevová analýza nestandardizovaného didaktického testu 2009 Hodnocené jevy v jednotlivých úlohách: 1. úloha: 1. odmocnění 2. součin a podíl reálných čísel 3. součet a rozdíl reálných čísel 2. úloha: 1. převod smíšeného čísla na zlomek 2. umocnění zlomku 3. odstranění závorky 4. součet a rozdíl zlomků 3. úloha: 1. převod jednotek času 2. součet hodnot převedených na minuty 3. zaokrouhlení výsledku na jedno desetinné místo 4. úloha: 1. zápis úlohy 2. rozbor úlohy 3. určení nejmenšího společného násobku 5. úloha: 1. zápis úlohy 2. rozbor úlohy a výpočet procent 3. odpověď 6. úloha: 1. odstranění zlomků - vynásobení rovnice společným násobkem jmenovatelů 2. zjednodušení obou stran rovnice 3. vyjádření neznámé 4. určení počtu řešení 45
7. úloha: 1. určení středu kružnice opsané trojúhelníku 2. název nejdelší strany v pravoúhlém trojúhelníku 3. určení součtu všech vnitřních úhlů v trojúhelníku 4. vzorec pro výpočet obsahu kruhu 5. znalost rozkladu vzorce (a + b)2 = Hodnocení jevů:
správně částečně dobře špatně nevyplněno
+ / 0
Celkem se nestandardizovaného didaktického testu v ročníku 2009 zúčastnilo 403 žáků ze 7 gymnázií, přicházejících ze 118 základních škol nebo víceletých gymnázií. V tabulce č. 9 jsou uvedeny četnosti jevů pro všechny úlohy testu ročníku 2009. 1. úloha jev
2. úloha
3. úloha 4. úloha 5. úloha
6. úloha
7. úloha
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
+
160
143
110
167
154
147
138
247
239
211
152
143 108
247
240
233
189
180 172
162
210
240
260
/
44
50
67
48
53
56
42
33
32
34
57
53
66
31
36
34
37
49
40
34
0
0
0
0
0
-
159
160
175
143
147
136
153
80
80
69
130
135 139
76
75
81
98
84
74
48
141
107
92
93
129
0
40
50
51
45
49
64
70
43
52
89
64
72
49
52
55
79
90
117
159
52
56
51
57
64
90
253 210
Tabulka č. 9
Rozbor jednotlivých úloh V následujících tabulkách jsou vyčísleny dosažené hodnoty a procenta úspěšnosti jevů pro jednotlivé úlohy. 1. úloha: ověření základních početních operací, postupu odstranění závorek, odmocňování a zaokrouhlování. 1. úloha 2009 hodnocení jevů
1 odmocnění
2 3 součin a podíl reálných součet a rozdíl reálných čísel čísel počet počet % % odpovědí odpovědí
počet odpovědí
%
správně
160
39,70
143
35,48
110
27,30
částečně dobře
44
10,92
50
12,41
67
16,63
špatně
159
39,45
160
39,70
175
43,42
nevyplněno
40
9,93
50
12,41
51
12,66
Tabulka č. 10 46
Z hodnocení jevů v tabulce č. 10 je zřejmé, že úspěšnost jednotlivých jevů v úloze nedosahuje u všech jevů ani 40%. Nejnižší dosažená úspěšnost je u jevu součtu a rozdílu reálných čísel. Nejvyšší dosažená úspěšnost je u jevu odmocnění. Chyby méně úspěšných žáků jsou výrazně ovlivněny i nepřehlednými zápisy. 2. úloha: ověření znalostí základních početních operací se zlomky, postupu odstranění závorek a umocňování. 2. úloha 2009 hodnocení jevů
1 převod smíšeného čísla na zlomek
2 umocnění zlomku
3 odstranění závorky
4 součet a rozdíl zlomků
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
správně
167
41,44
154
38,21
147
36,48
138
34,24
částečně dobře
48
11,91
53
13,15
56
13,90
42
10,42
špatně
143
35,48
147
36,48
136
33,75
153
37,97
nevyplněno
45
11,17
49
12,16
64
15,88
70
17,37
Tabulka č. 11 Úloha č. 2 ověřovala znalost úprav zlomků a obdobně jako v úloze č. 1, kde se také vyžadovali úpravy číselných výrazů, se úspěšnost jednotlivých jevů pohybovala okolo 40%. Nejnižší dosažená úspěšnost je u jevu součtu a rozdílu zlomků, která navazovala na nižší úspěšnost jevu odstranění závorek a s tím související změny znamének. 3. úloha: převod jednotek času a zaokrouhlování. 3. úloha 2009 hodnocení jevů
1 převod jednotek času
2 3 součet hodnot zaokrouhlení výsledku převedených na minuty na jedno desetinné místo
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
správně
247
61,29
239
59,31
211
52,36
částečně dobře
33
8,19
32
7,94
34
8,44
špatně
80
19,85
80
19,85
69
17,12
nevyplněno
43
10,67
52
12,90
89
22,08
Tabulka č. 12 Hodnocení jevů úlohy č. 3 vykazuje vyšší úspěšnost v řešení. Více jak 60% správných odpovědí je u jevu převodu jednotek času. Chyby se vyskytovaly v převodu sekund 47
na minuty. U jevu č. 3 žáci chybovali při zaokrouhlení výsledku na jedno desetinné místo. Celkově má úloha č. 3 úspěšnost vyšší než 60% (viz. tabulka č. 7). 4. úloha: určení nejmenšího společného násobku tří čísel. 4. úloha 2009 hodnocení jevů
1 zápis úlohy
2 rozbor úlohy
3 určení nejmenšího společného násobku
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
správně
152
37,72
143
35,48
108
26,80
částečně dobře
57
14,14
53
13,15
66
16,38
špatně
130
32,26
135
33,50
139
34,49
nevyplněno
64
15,88
72
17,87
90
22,33
Tabulka č. 13 Úloha č. 4 je v pořadí úspěšnosti na sedmém místě, tj. na posledním místě, s dosaženým nejnižším bodovým ohodnocením. Žáci se dopouštěli špatného rozboru úlohy, který souvisí i s nedostatky plynoucími s čtenářskou gramotností a se schopností správné logické úvahy. Z toho vyplynulo nepochopení nutného určení nejmenšího společného násobku čísel 4, 6 a 12. První jev odpovídající zápisu úlohy správně vyjádřilo více jak 37% žáků. Druhý jev týkající se rozboru úlohy správně vyhodnotilo již méně žáků a nejnižší úspěšnost má třetí jev, kde se projevila neznalost určení nejmenšího společného násobku. 5. úloha: slovní úloha k ověření počítání s procenty a práci s textem. 5. úloha 2009 hodnocení jevů
1 zápis úlohy
2 rozbor úlohy a výpočet procent
3 odpověď
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
správně
247
61,29
240
59,55
233
57,82
částečně dobře
31
7,69
36
8,93
34
8,44
špatně
76
18,86
75
18,62
81
20,10
nevyplněno
49
12,16
52
12,90
55
13,65
Tabulka č. 14 Na prvním místě v hodnocení sedmi úloh je slovní úloha č. 5, zaměřená na ověření počítání s procenty a práci s textem. Žáci při řešení slovní úlohy projevili znalost výpočtu procent. První jev úlohy č. 5, zápis úlohy, dosáhl 61% úspěšnosti, což je nejvyšší hodnota
48
úspěšnosti hodnocených jevů. Druhý jev rozbor úlohy a výpočet procent dosáhl úspěšnosti téměř 60% a třetí jev vyjádření odpovědi dosáhl více než 57%. 6. úloha: řešení rovnice se zlomky a určení počtu řešení. 6. úloha 2009 hodnocení jevů
1 2 odstranění zjednodušení obou zlomků v rovnici stran rovnice
3 vyjádření neznámé
4 určení počtu řešení
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
správně
189
46,90
180
44,67
172
42,68
162
40,20
částečně dobře
37
9,18
49
12,16
40
9,93
34
8,44
špatně
98
24,32
84
20,84
74
18,36
48
11,91
nevyplněno
79
19,60
90
22,33
117
29,03
159
39,45
Tabulka č. 15 Úloha č. 6 řešení rovnice se zlomky je v pořadí úspěšnosti úloh na čtvrtém místě. Všechny čtyři jevy šesté úlohy dosáhly více jak 40% úspěšných řešení. První jev odstranění zlomků vynásobením rovnice společným jmenovatelem vyřešilo téměř 47% žáků. Druhý jev zjednodušení obou stran rovnice zvládlo necelých 45% žáků a třetí jev vyjádření neznámé méně než 43% žáků. Čtvrtý jev byl v testech často bez uvedení odpovědi, proto čtvrtý jev dosáhl nejnižší úspěšnosti. 7. úloha: 5 elementárních otázek zaměřených na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. 7. úloha 2009 1 2 hodnocení jevů určení středu název kružnice nejdelší opsané strany trojúhelníku v pravoúhlém trojúhelníku počet počet % % odpov. odpov. správně
3 4 určení součtu vzorec pro všech vnitřních výpočet úhlů obsahu kruhu v trojúhelníku
5 znalost rozkladu vzorce (a + b)2
počet odpov.
%
počet odpov.
%
počet odpov.
%
210
52,11
240
59,55
260
64,52
253
62,78
210
52,11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
špatně
141
34,99
107
26,55
92
22,83
93
23,08
129
32,01
nevyplněno
52
12,90
56
13,90
51
12,66
57
14,14
64
15,88
částečně dobře
Tabulka č. 16
49
Úlohu č. 7 tvořilo pět otázek zaměřených na znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. Nejmenší úspěšnost zaznamenal jev určení středu kružnice opsané trojúhelníku a jev rozklad vzorce (a + b)2. Nejvyšší úspěšnosti dosáhl třetí jev, určení součtu všech vnitřních úhlů v trojúhelníku.
5.2.2 Ročník 2010 Obsah testů se v ročnících 2010 a 2011 upravil tak, že jedna ze dvou úloh na úpravu číselného výrazu byla nahrazena úlohou řešitelnou „vhledem“. Do výzkumu bylo zařazeno celkem 6 gymnázií, 14 tříd, celkem 386 žáků ze 125 základních škol nebo víceletých gymnázií. TEST 2010 1. Vypočítej a výsledek zapiš jako zlomek v základním tvaru
2. Zapiš v jednotkách uvedených v závorce a potom zaokrouhli na jedno desetinné místo: 2 h 36 min 15s (min) 3. Třešně v misce mohou být rozděleny stejným dílem mezi 4 nebo 6 nebo 12 dětí. Kolik nejmíň je v misce třešní? 4. Zahraničního zájezdu se zúčastnilo 42 žen, 36 mužů a 62 dětí. Vypočítej, kolik procent z celkového počtu účastníků tvoří ženy? 5. Řeš rovnici v R a k výsledku napiš počet řešení
6. Do čtverce ABCD je vepsán čtverec EFGH tak, že spojíme postupně středy stran čtverce ABCD. Napiš vztah mezi obsahy čtverců ABCD a EFGH a své řešení odůvodni. D
G
H
A
7. Doplň: Střed kružnice opsané trojúhelníku leží na Nejdelší strana v pravoúhlém trojúhelníku je
C
F
E
B
.......... .......... 50
Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je Vzorec pro výpočet obsah kruhu je Rozlož (a + b)2 =
.......... .......... ..........
8. Napiš, které úlohy Ti při řešení dělaly největší obtíže a jaký byl důvod? V tabulce č. 17 jsou uvedeny pro jednotlivé úlohy maximální bodové zisky všech žáků, dosažený bodový součet všech žáků, průměrný bodový zisk jednoho žáka a procento úspěšnosti všech žáků. 2010 Výsledky jednotlivých úloh Úloha 1. 2. 3. 4. Max bodový součet 1930 1930 1930 1930 Dosažený bodový součet 690 1117,5 1610 1527,5 Průměrný bodový zisk žáka 1,79 2,90 4,17 3,96 % úspěšnosti 35,75 57,90 83,42 79,15 Tabulka č. 17
5. 1930 1045 2,71 54,15
6. 1930 927,5 2,40 48,06
7. 1930 1342 3,48 69,53
Z tabulky č. 17. je zřejmé pořadí úspěšnosti řešení příkladů, které je následující: 3. úloha - určení nejmenšího společného násobku tří čísel. Na rozdíl od výsledků předcházejícího ročníku 2009, kdy tato úloha byla nejméně úspěšná, byla v tomto ročníku vyřešena s nejvyšším procentem úspěšnosti. Z celkového počtu 386 žáků více jak 83% zvolilo správný postup, určilo nejmenší společný násobek čísel 4, 6, 12 a vyřešilo úlohu. 4. úloha - slovní úloha k ověření počítání s procenty a práci s textem. Z 386 žáků více jak 79% správně zapsalo úlohu, provedlo rozbor úlohy a výpočet procent. Necelých 21% žáků bylo zcela neúspěšných, tj. nezapsali správně rozbor a nevypočítali procenta. 7. úloha - 5 jednoduchých otázek zaměřených na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. Nejmenší úspěšnost zaznamenala otázka na určení středu kružnice opsané trojúhelníku a na rozklad vzorce (a + b)2 . Největší znalost žáci projevili v otázce o součtu všech vnitřních úhlů v trojúhelníku. 2. úloha - na převod jednotek času a zaokrouhlování. Pouze necelých 56% správně převedlo jednotky času i sečetli hodnoty převedených minut, velmi často chybovali v zaokrouhlení výsledné hodnoty na jedno desetinné místo. 5. úloha - řešení rovnice se zlomky a určení počtu řešení. Méně než 55% správně odstranilo zlomky v rovnici. Nejmenší úspěšnost v úloze bylo ve vyjádření neznámé a ve stanovení počtu řešení rovnice. 6. úloha - řešení geometrické úlohy vhledem. Více než 50% žáků nezvládlo rozbor úlohy, zvolili chybný postup řešení. Nedokázali odůvodnit svá řešení nebo se v odpovědích žáků projevilo nepochopení zadání. 1. úloha - ověření základních početních operací, převod smíšeného čísla na zlomek, postupu odstranění závorek, součet, rozdíl, odmocňování a umocňování zlomků. Žáci ukázali velké neznalosti při úpravě číselných výrazů. Pouze necelých 22% žáků vyřešilo úlohu zcela 51
úspěšně. Více jak 50% žáků bylo zcela neúspěšných. Chybovali v odmocnění, v součinu, podílu, součtu i rozdílu kladných a záporných čísel. V tabulce č. 18 jsou počty žáků se zisky bodů pro jednotlivé úlohy.
Úloha Úspěšný (plný počet bodů) Částečně úspěšný Neúspěšný (žádný bod)
2010 Úspěšnost žáků 1. 2. 3. 83 216 322 110 15 0 193 155 64 Tabulka č. 18
4. 305 1 80
5. 197 24 165
6. 185 1 200
7. 28 355 3
V tomto roce výsledky opět potvrdily, že největšími slabinami jsou úpravy číselných výrazů, práce se závorkami, úprava zlomků, tj. jejich umocnění, odmocnění, sčítání a rozdíl. Dále převody smíšeného čísla na zlomek a závažné byly nedostatky i při práci s desetinnými čísly. Velmi malou úspěšnost má překvapivě úloha č. 5 řešení rovnice se zlomky. Jako v předcházejícím roce žáci chybovali v úlohách, které vyžadovaly rozbor úlohy a úvahu o postupu řešení.
5.2.2.1 Jevová analýza nestandardizovaného didaktického testu 2010 Hodnocené jevy v jednotlivých úlohách: 1. úloha: 1. převod smíšeného čísla na zlomek 2. umocnění zlomku 3. odmocnění zlomku 4. odstranění závorky 5. součet a rozdíl zlomků 2. úloha: 1. převod jednotek času 2. součet hodnot převedených na minuty 3. zaokrouhlení výsledku na jedno desetinné místo 3. úloha: 1. zápis úlohy 2. rozbor úlohy 3. určení nejmenšího společného násobku 4. úloha: 1. zápis úlohy 2. rozbor úlohy a výpočet procent 3. odpověď 5. úloha: 1. odstranění zlomků - vynásobení rovnice společným násobkem jmenovatelů 2. zjednodušení obou stran rovnice 3. vyjádření neznámé 4. určení počtu řešení 6. úloha: 1. rozbor úlohy 2. nákres a postup řešení 3. odpověď a odůvodnění řešení 52
7. úloha: 1. určení středu kružnice opsané trojúhelníku 2. název nejdelší strany v pravoúhlém trojúhelníku 3. určení součtu všech vnitřních úhlů v trojúhelníku 4. vzorec pro výpočet obsahu kruhu 5. znalost rozkladu vzorce (a + b)2 = Hodnocení jevů:
správně částečně dobře špatně nevyplněno
+ / 0
Do výzkumu bylo zařazeno celkem 6 gymnázií, 14 tříd, celkem 386 žáků přicházejících ze 125 základních škol nebo víceletých gymnázií. V tabulce č. 19 jsou uvedeny četnosti jevů pro všechny úlohy testu ročníku 2010. 1. úloha jev
+ / 0
2. úloha
3. úloha
4. úloha
5. úloha
6. úloha
7. úloha
1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 5 124
180
172
128
101
232
223
218
322
324
322 304
305
302
258
226
201 201
42
38
22
26
22
9
5
0
3
0
0
215
162
163
191
211
130
121
114
42
45
5
6
28
41
52
15
37
54
19
17
185
185
184
219
2
2
1
55
60
13
39
43
57
44
68
85
25
37
22
39
5
15
288 311
306
220
1
3
1
0
0
0
0
0
0
115
94
124
90
78
146
86
62
70
137
57
90
74
110
124
21
12
13
10
29
Tabulka č. 19
Rozbor jednotlivých úloh V následujících tabulkách jsou vyčísleny dosažené hodnoty a procenta úspěšnosti jevů pro jednotlivé úlohy. 1. úloha: ověření základních početních operací, převod smíšeného čísla na zlomek, postupu odstranění závorek, součet, rozdíl, odmocňování a umocňování zlomků. 1. úloha 2010 1 2 hodnocení jevů převod umocnění smíšeného č. zlomku na zlomek počet počet % % odpov. odpov.
3 odmocnění zlomku
4 odstranění závorky
5 součet a rozdíl zlomků
počet odpov.
%
počet odpov.
%
počet odpov.
%
správně
124
32,12
180
46,63
172
44,56
128
33,16
101
26,17
částečně dobře
42
10,88
38
9,84
22
5,70
26
6,74
22
5,70
špatně
215
55,70
162
41,97
163
42,23
191
49,48
211
54,66
5
1,30
6
1,55
28
7,25
41
10,62
52
13,47
nevyplněno
Tabulka č. 20
53
Z hodnocení jevů v tabulce č. 20 je zřejmé, že úspěšnost jevů č. 1, 4, 5 nedosahuje 34%. Nejnižší dosažená úspěšnost je u jevu č. 5 pouhých 26%. Chyby méně úspěšných žáků jsou, opět jako v předcházejícím roce, výrazně ovlivněny i nepřehlednými zápisy. 2. úloha: převod jednotek času a zaokrouhlování. 2. úloha 2010 hodnocení jevů
1 převod jednotek času
2 3 součet hodnot zaokrouhlení výsledku převedených na minuty na jedno desetinné místo
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
232
60,10
223
57,77
218
56,48
9
2,33
5
1,30
0
0
špatně
130
33,68
121
31,35
114
29,53
nevyplněno
15
3,89
37
9,59
54
13,99
správně částečně dobře
Tabulka č. 21 Hodnocení jevů úlohy č. 2 vykazuje vyšší úspěšnost v řešení. Správných odpovědí je u jevu č. 1 přibližně 60%. Vyskytovaly se chyby v převodu sekund na minuty. U jevu č. 3 žáci chybovali při zaokrouhlení výsledku na jedno desetinné místo. 3. úloha: určení nejmenšího společného násobku tří čísel. 3. úloha 2010 1 zápis úlohy
hodnocení jevů
2 rozbor úlohy
3 určení nejmenšího společného násobku
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
322
83,42
324
83,94
322
83,42
částečně dobře
3
0,78
0
0
0
0
špatně
42
10,88
45
11,66
39
10,10
nevyplněno
19
4,92
17
4,40
25
6,48
správně
Tabulka č. 22 Úloha č. 3 je v pořadí úspěšnosti na prvním místě. Úspěšnost všech tří jevů je vyšší než 83%. Na rozdíl od minulého roku, kdy tato úloha dosáhla nejnižší úspěšnosti, je úspěšnost v roce 2010 překvapivá.
54
4. úloha: slovní úloha k ověření počítání s procenty a práci s textem. 4. úloha 2010 1 zápis úlohy
hodnocení jevů
2 rozbor úlohy a výpočet procent
3 odpověď
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
304
78,76
305
79,02
302
78,24
částečně dobře
2
0,52
2
0,52
1
0,26
špatně
43
11,14
57
14,77
44
11,40
nevyplněno
37
9,59
22
5,70
39
10,10
správně
Tabulka č. 23 V hodnocení sedmi úloh je slovní úloha zaměřená na ověření počítání s procenty na druhém místě úspěšnosti. Žáci při řešení slovní úlohy projevili znalost výpočtu procent. První jev úlohy č. 4, zápis úlohy, dosáhl téměř 79% úspěšnosti. Druhý jev rozbor úlohy a výpočet procent dosáhl úspěšnosti více než 79%, což je nejvyšší hodnota úspěšnosti hodnocených jevů. Třetí jev vyjádření odpovědi dosáhl 78%.
5. úloha: řešení rovnice se zlomky a určení počtu řešení. 5. úloha 2010 hodnocení jevů
1 2 odstranění zjednodušení obou zlomků v rovnici stran rovnice
3 vyjádření neznámé
4 určení počtu řešení
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
správně
258
66,84
226
58,55
201
52,07
201
52,07
částečně dobře
55
14,25
60
15,54
13
3,37
1
0,26
špatně
68
17,62
85
22,02
115
29,80
94
24,35
nevyplněno
5
1,30
15
3,89
57
14,77
90
23,32
Tabulka č. 24 Úloha č. 5 řešení rovnice se zlomky v pořadí úspěšnosti úloh je na pátém místě. První jev vynásobení rovnice společným násobkem jmenovatelů má úspěšnost téměř 67%. Jevy č. 2, 3, 4 dosáhly úspěšnosti více než 52%. Úspěšnost úlohy č. 5 je sice na pátém místě, ale oproti minulému ročníku se výrazně zvýšilo procento úspěšnosti jednotlivých jevů.
55
6. úloha: řešení geometrické úlohy vhledem. 6. úloha 2010 1 rozbor úlohy
hodnocení jevů
2 nákres a postup řešení
3 odpověď a odůvodnění řešení
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
185
47,93
185
47,93
184
47,67
3
0,78
1
0,26
0
0
špatně
124
32,12
90
23,32
78
20,21
nevyplněno
74
19,17
110
28,50
124
32,12
správně částečně dobře
Tabulka č. 25 Všechny tři jevy úlohy č. 6 nedosáhly úspěšnosti ani 50%. Žáci nezvládli rozbor úlohy, zvolili chybný postup řešení. Nedokázali odůvodnit svá řešení a často se v odpovědích žáků projevilo nepochopení zadání. 7. úloha: 5 jednoduchých otázek zaměřených na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. 7. úloha 2010 1 2 hodnocení jevů určení středu název kružnice nejdelší opsané strany trojúhelníku v pravoúhlém trojúhelníku počet počet % % odpov. odpov. správně
3 4 určení součtu vzorec pro všech vnitřních výpočet úhlů obsahu kruhu v trojúhelníku
5 znalost rozkladu vzorce (a + b)2
počet odpov.
%
počet odpov.
%
počet odpov.
%
219
56,74
288
74,61
311
80,57
306
79,27
220
57,00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
špatně
146
37,82
86
22,28
62
16,06
70
18,13
137
35,49
nevyplněno
21
5,44
12
3,11
13
3,37
10
2,59
29
7,51
částečně dobře
Tabulka č. 26 Úlohu č. 7 tvořilo pět otázek zaměřených na znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. Nejmenší úspěšnost zaznamenal jev určení středu kružnice opsané trojúhelníku a jev rozklad vzorce (a + b)2. Nejvyšší úspěšnosti dosáhl třetí jev, určení součtu všech vnitřních úhlů v trojúhelníku. Úspěšnost jevů úlohy č. 7 se téměř shoduje s předcházejícím ročníkem.
56
5.2.3 Ročník 2011 Do výzkumu bylo zařazeno celkem 5 gymnázií, 13 tříd, celkem 370 žáků, ze 107 základních škol nebo víceletých gymnázií. Test pro rok 2011 je shodný s testem roku 2010. 2011 Výsledky jednotlivých úloh Úloha 1. 2. 3. 4. Max bodový součet 1850 1850 1850 1850 Dosažený bodový součet 950 1200 1675 1565 Průměrný bodový zisk žáka 2,57 3,24 4,53 4,23 % úspěšnosti 51,35 64,86 90,54 84,59 Tabulka č. 27
5. 1850 1096 2,97 59,35
6. 1850 877,5 2,37 47,46
7. 1850 1018 3,57 71,46
Z tabulky č. 27. je zřejmé pořadí úspěšnosti řešení příkladů, které je následující: 3. úloha - určení nejmenšího společného násobku tří čísel. Na rozdíl od výsledků ročníku 2009, kdy tato úloha získala nejmenší počet procent úspěšnosti, byla v ročníku 2010 a 2011vyřešena s nejvyšším procentem úspěšnosti. Nyní z celkového počtu 370 žáků více jak 90% zvolilo správný postup, určilo nejmenší společný násobek čísel 4, 6, 12 a vyřešilo úlohu. 4. úloha - slovní úloha k ověření počítání s procenty a práci s textem. Z 370 žáků více jak 84% správně zapsalo úlohu, provedlo rozbor úlohy a výpočet procent. Necelých 15% žáků bylo zcela neúspěšných, tj. nezapsali správně rozbor a nevypočítali procenta. 7. úloha - 5 elementárních otázek zaměřených na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. Nejmenší úspěšnost opět zaznamenala otázka na určení středu kružnice opsané trojúhelníku a na rozklad vzorce (a + b)2 . Ostatní otázky z geometrie měly největší procento úspěšnosti, a to až 84%. 2. úloha - na převod jednotek času a zaokrouhlování. Více než 65% správně převedlo jednotky času i sečetli hodnoty převedených minut, velmi často chybovali v zaokrouhlení výsledné hodnoty na jedno desetinné místo. 5. úloha - řešení rovnice se zlomky a určení počtu řešení. Oproti ročníku 2010 se úspěšnost úlohy zvýšila o 5% úspěšnosti. Nedostatky měli žáci ve zjednodušení obou stran rovnice a ve stanovení počtu řešení rovnice. 1. úloha - ověření základních početních operací, převod smíšeného čísla na zlomek, postupu odstranění závorek, součet, rozdíl, odmocňování a umocňování zlomků. Žáci ukázali velké neznalosti při úpravě číselných výrazů. Více jak 50% žáků bylo zcela neúspěšných. Chybovali v odmocnění, v součinu, podílu, součtu i rozdílu kladných a záporných čísel. 6. úloha - řešení geometrické úlohy vhledem. Stejně jako v roce 2010 více než 50% žáků nezvládlo rozbor úlohy, zvolili chybný postup řešení. Nedokázali odůvodnit svá řešení nebo se v odpovědích žáků projevilo nepochopení zadání.
57
V tabulce č. 28 jsou počty žáků se zisky bodů pro jednotlivé úlohy.
Úloha Úspěšný (plný počet bodů) Částečně úspěšný Neúspěšný (žádný bod)
2011 Úspěšnost žáků 1. 2. 3. 180 239 335 20 2 0 170 129 35 Tabulka č. 28
4. 313 0 57
5. 209 21 140
6. 160 31 179
7. 43 321 6
Výsledky se příliš neliší od výsledků roku 2010, nejmenší počet bodů získali žáci při řešení úlohy č. 6 a opět úlohy č. 1, týkající se znalostí početních operací a numerického výpočtu. Geometrická úloha vhledem měla ze všech úloh nejnižší úspěšnost v ročníku 2011. V odpovědích žáků, pokud byly, se projevilo nepochopení zadání. I v tomto roce výsledky potvrdily, že velkou slabinou, jsou úpravy číselných výrazů, práce se závorkami, úprava zlomků, tj. jejich umocnění, odmocnění, sčítání a rozdíl. Dále se vyskytovaly chyby v převodu smíšeného čísla na zlomek a závažné byly nedostatky při práci s desetinnými čísly. Velmi malou úspěšnost má opět úloha č. 5, řešení rovnice se zlomky. Žáci stejně jako v předcházejících ročnících často chybovali v úlohách, které vyžadovaly rozbor úlohy. Prokázali malou schopnost logického úsudku při analýze úlohy a následně v úvaze postupu řešení.
5.2.3.1 Jevová analýza nestandardizovaného didaktického testu 2011 Hodnocené jevy v jednotlivých úlohách: 1. úloha: 1. převod smíšeného čísla na zlomek 2. umocnění zlomku 3. odmocnění zlomku 4. odstranění závorky 5. součet a rozdíl zlomků 2. úloha: 1. převod jednotek času 2. součet hodnot převedených na minuty 3. zaokrouhlení výsledku na jedno desetinné místo 3. úloha: 1. zápis úlohy 2. rozbor úlohy 3. určení nejmenšího společného násobku 4. úloha: 1. zápis úlohy 2. rozbor úlohy a výpočet procent 3. odpověď 5. úloha: 1. odstranění zlomků - vynásobení rovnice společným násobkem jmenovatelů 2. zjednodušení obou stran rovnice 3. vyjádření neznámé 4. určení počtu řešení
58
6. úloha: 1. rozbor úlohy 2. nákres a postup řešení 3. odpověď a odůvodnění řešení 7. úloha: 1. určení středu kružnice opsané trojúhelníku 2. název nejdelší strany v pravoúhlém trojúhelníku 3. určení součtu všech vnitřních úhlů v trojúhelníku 4. vzorec pro výpočet obsahu kruhu 5. znalost rozkladu vzorce (a + b)2 = Hodnocení jevů:
správně částečně dobře špatně nevyplněno
+ / 0
Do výzkumu bylo zařazeno celkem 5 gymnázií, 13 tříd, celkem 370 žáků, ze 107 základních škol nebo víceletých gymnázií. V tabulce č. 29 jsou uvedeny četnosti jevů pro všechny úlohy testu ročníku 2011. 1. úloha jev
+ / 0
2. úloha
3. úloha
4. úloha
5. úloha
6. úloha
7. úloha
1 2 3 4 5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 5 186
195
180
182
181
241
240
239
335
337
335 315
313
313
233
211
211 209
161
160
160
208
23
15
18
12
18
0
22
0
9
0
0
129
127
165
151
126
123
108
95
25
29
32
33
7
25
45
6
0
36
1
4
312 292
296
217
6
4
0
4
21
13
0
32
30
10
0
0
0
0
0
26
46
46
36
130
128
94
81
113
159
178
120
50
71
64
77
9
3
7
21
3
10
52
80
64
21
22
42
8
7
10
76
Tabulka č. 29
Rozbor jednotlivých úloh V následujících tabulkách jsou vyčísleny dosažené hodnoty a procenta úspěšnosti jevů pro jednotlivé úlohy. 1. úloha: ověření základních početních operací, převod smíšeného čísla na zlomek, postupu odstranění závorek, součet, rozdíl, odmocňování a umocňování zlomků. 1. úloha 2011 1 2 hodnocení jevů převod smíš. umocnění č. na zlomek zlomku počet počet % % odpov. odpov.
3 odmocnění zlomku počet % odpov.
4 odstranění závorky počet % odpov.
5 součet a rozdíl zlomků počet % odpov.
správně
186
50,27
195
52,70
180
48,65
182
49,19
181
48,92
částečně dobře
23
6,22
15
4,05
18
4,86
12
3,24
18
4,86
špatně
129
34,86
127
34,32
165
44,59
151
40,81
126
34,05
nevyplněno
32
8,65
33
8,92
7
1,89
25
6,76
45
12,16
Tabulka č. 30 59
Z hodnocení jevů v tabulce č. 30 je zřejmé, že úspěšnost jevů č. 3, 4, 5 nedosahuje 50%. Chyby méně úspěšných žáků jsou jako v předcházejícím roce výrazně ovlivněny opět i nepřehlednými zápisy. 2. úloha: převod jednotek času a zaokrouhlování. 2. úloha 2011 hodnocení jevů
správně částečně dobře špatně nevyplněno
1 převod jednotek času
2 3 součet hodnot zaokrouhlení výsledku převedených na minuty na jedno desetinné místo
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
241
65,14
240
64,86
239
64,59
0
0
22
5,95
0
0
123
33,24
108
29,19
95
25,68
6
1,62
0
0
36
9,73
Tabulka č. 31 Hodnocení jevů úlohy č. 2 vykazuje vyšší úspěšnost v řešení. Správných odpovědí je u jevu č. 1 přibližně 65%. Nejčastější chyba při převodu jednotek byla v převodu sekund na minuty. U jevu č. 3 žáci chybovali při zaokrouhlování výsledku na jedno desetinné místo. 3. úloha: určení nejmenšího společného násobku tří čísel. 3. úloha 2011 1 zápis úlohy
hodnocení jevů
2 rozbor úlohy
3 určení nejmenšího společného násobku
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
335
90,54
337
91,08
335
90,54
částečně dobře
9
2,43
0
0
0
0
špatně
25
6,76
29
7,84
26
7,03
nevyplněno
1
0,27
4
1,08
9
2,43
správně
Tabulka č. 32 Úloha č. 3 je v pořadí úspěšnosti na prvním místě. Úspěšnost všech tří jevů je vyšší než 90%. Všechny tři jevy žáci vyřešili s převahou správně. Nejvyšší úspěšnost má jev č. 2 rozbor úlohy, který potom ovlivnil výsledek i následného jevu č. 3.
60
4. úloha: slovní úloha k ověření počítání s procenty a práci s textem. 4. úloha 2011 1 zápis úlohy
hodnocení jevů
2 rozbor úlohy a výpočet procent
3 odpověď
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
315
85,13
313
84,59
313
84,59
částečně dobře
6
1,62
4
1,08
0
0
špatně
46
12,43
46
12,43
36
9,73
nevyplněno
3
0,81
7
1,89
21
5,68
správně
Tabulka č. 33 V hodnocení sedmi úloh je slovní úloha zaměřená na ověření počítání s procenty jako v roce 2010 na druhém místě úspěšnosti. Žáci při řešení slovní úlohy projevili znalost výpočtu procent. První jev úlohy č. 4, zápis úlohy, dosáhl více než 85% úspěšnosti. Druhý jev rozbor úlohy a výpočet procent dosáhl úspěšnosti více než 84%, stejně jako jev třetí.
5. úloha: řešení rovnice se zlomky a určení počtu řešení. 5. úloha 2011 hodnocení jevů
správně částečně dobře špatně nevyplněno
1 2 odstranění zjednodušení obou zlomků v rovnici stran rovnice
3 vyjádření neznámé
4 určení počtu řešení
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
233
62,97
211
57,03
211
57,03
209
56,49
4
1,08
21
5,68
13
3,51
0
0
130
35,14
128
34,59
94
25,41
81
21,89
3
0,81
10
2,70
52
14,05
80
21,62
Tabulka č. 34 Úloha č. 5 řešení rovnice se zlomky v pořadí úspěšnosti úloh je opět na pátém místě. První jev vynásobení rovnice společným násobkem jmenovatelů má úspěšnost pouhých 62%. Jevy č. 2, 3, 4 dosáhly úspěšnosti více než 56%. Úspěšnost úlohy č. 5 je sice na pátém místě, ale oproti minulému ročníku se zvýšilo procento úspěšnosti jednotlivých jevů.
61
6. úloha: řešení geometrické úlohy vhledem. 6. úloha 2011 1 rozbor úlohy
hodnocení jevů
2 nákres a postup řešení
3 odpověď a odůvodnění řešení
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
počet odpovědí
%
správně
161
43,51
160
43,24
160
43,24
částečně dobře
32
8,65
30
8,11
10
2,70
špatně
113
30,54
159
42,97
178
48,11
nevyplněno
64
17,30
21
5,68
22
5,95
Tabulka č. 35 Všechny tři jevy úlohy č. 6 nedosáhly úspěšnosti ani 45%. Žáci nezvládli rozbor úlohy, zvolili chybný postup řešení. Nedokázali odůvodnit svá řešení a často se v odpovědích žáků projevilo nepochopení zadání. 7. úloha: 5 jednoduchých otázek zaměřených na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. 7. úloha 2011 1 2 hodnocení jevů určení středu název kružnice nejdelší opsané strany trojúhelníku v pravoúhlém trojúhelníku počet počet % % odpov. odpov. správně
3 4 určení součtu vzorec pro všech vnitřních výpočet úhlů obsahu kruhu v trojúhelníku
5 znalost rozkladu vzorce (a + b)2
počet odpov.
%
počet odpov.
%
počet odpov.
%
208
56,22
312
84,32
292
78,92
296
80,00
217
58,65
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
špatně
120
32,43
50
13,51
71
19,19
64
17,30
77
20,81
nevyplněno
42
11,35
8
2,16
7
1,89
10
2,70
76
20,54
částečně dobře
Tabulka č. 36 Úlohu č. 7 tvořilo pět otázek zaměřených na znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. Nejmenší úspěšnost zaznamenal jev určení středu kružnice opsané trojúhelníku a jev rozklad vzorce (a + b)2. Nejvyšší úspěšnosti dosáhl druhý jev. Úspěšnost jevů úlohy č. 7 se ve všech třech ročnících 2009, 2010 a 2011 příliš neliší.
62
5.3 Srovnání výsledků nestandardizovaného didaktického testu v ročnících 2009, 2010, 2011 V tabulce č. 37 je procentuální hodnocení jevů úlohy č. 1 a č. 2 ročníku 2009. V ročnících 2010 a 2011 je v tabulce procentuální hodnocení jevů úlohy č. 1, která nahrazuje úlohy č. 1 a č. 2 předcházejícího ročníku. úloha: ověření základních početních operací, převod smíšeného čísla na zlomek, postupu odstranění závorek, součet, rozdíl, odmocňování a umocňování zlomků. 1 převod smíšeného č. na zlomek
2 umocnění zlomku
2009
2010
2011
2009
2010
2011
2009
2010
2011
2009
2010
2011
2009
2010
2011
správně
41,4
32,1
50,3
38,2
46,6
52,7
39,7
44,6
48,7
36,5
33,2
49,2
34,2
26,2
48,9
částečně dobře
11,9
10,9
6,2
13,2
9,8
4,1
10,9
5,7
4,9
13,9
6,7
3,2
10,4
5,7
4,9
špatně
35,5
55,7
34,9
36,5
42,0
34,3
39,5
42,2
44,6
33,8
49,5
40,8
38,0
54,7
34,1
nevyplněno 11,2
1,3
8,7
12,2
1,6
8,9
9,9
7,3
1,9
15,9
10,6
6,8
17,4
13,5
12,2
hodnocení jevů
3 odmocnění
4 odstranění závorky
5 součet a rozdíl zlomků
Tabulka č. 37 Ze srovnání procentuálního hodnocení jednotlivých ročníků je z tabulky č. 37 zřejmé, že v roce 2011 jsou výsledky o několik procent úspěšnosti vyšší. Přesto pouze jevy č. 1 a č. 2 mírně přesahují 50%. Nejnižší procento úspěšnosti mají stále jevy č. 3, 4, 5 a to potvrzuje nízké schopnosti práce s více zlomky. V tabulce č. 38 je procentuální hodnocení jevů úlohy zaměřené na převod jednotek času a zaokrouhlení výsledku. úloha: převod jednotek času a zaokrouhlování.
2009
2010
2011
2 součet hodnot převedených na minuty 2009 2010 2011
správně
61,29
60,10
65,14
59,31
57,77
64,86
52,36
56,48
64,59
částečně dobře
8,19
2,33
0
7,94
1,30
5,95
8,44
0
0
špatně
19,85
33,68
33,24
19,85
31,35
29,19
17,12
29,53
25,68
nevyplněno
10,67
3,89
1,62
12,90
9,59
0
22,08
13,99
9,73
hodnocení jevů
1 převod jednotek času
3 zaokrouhlení výsledku na jedno des. místo 2009 2010 2011
Tabulka č. 38
63
Ve všech ročnících realizovaného výzkumu úloha na převod jednotek času a zaokrouhlování dosahovala okolo 60% úspěšnosti ve všech třech sledovaných jevech. Nejvíce žáci chybovali v převodu sekund na minuty, při práci s desetinnými čísly v mezi výpočtu a v zaokrouhlování výsledku. V tabulce č. 39 je procentuální hodnocení jevů úlohy zaměřené na určení nejmenšího společného násobku tří čísel. úloha: určení nejmenšího společného násobku tří čísel. 1 zápis úlohy 2009
2010
2011
2009
2010
2011
3 určení nejmenšího společného násobku 2009 2010 2011
správně
37,72
83,42
90,54
35,48
83,94
91,08
26,80
83,42
90,54
částečně dobře
14,14
0,78
2,43
13,15
0
0
16,38
0
0
špatně
32,26
10,88
6,76
33,50
11,66
7,84
34,49
10,10
7,03
nevyplněno
15,88
4,92
0,27
17,87
4,40
1,08
22,33
6,48
2,43
hodnocení jevů
2 rozbor úlohy
Tabulka č. 39 Žáci při řešení slovní úlohy všechny tři jevy vyřešili s převahou velmi dobře v ročnících 2010 a 2011. Nejvyšší úspěšnost úlohy se jeví překvapivě oproti velmi slabému výsledku ročníku 2009, kdy v hodnocení úloh byla na posledním sedmém místě. V tomto roce jev č. 1 a č. 2, zápis a rozbor úlohy, nedosáhly úspěšnosti ani 40%. Z toho vyplynulo ještě nižší hodnocení jevu č. 3. V tabulce č. 40 je procentuální hodnocení jevů slovní úlohy k ověření počítání s procenty a práci s textem. úloha: slovní úloha k ověření počítání s procenty a práci s textem. 1 zápis úlohy 2009
2010
2011
2 rozbor úlohy a výpočet procent 2009 2010 2011
správně
61,29
78,76
85,13
59,55
79,02
84,59
57,82
78,24
84,59
částečně dobře
7,69
0,52
1,62
8,93
0,52
1,08
8,44
0,26
0
špatně
18,86
11,14
12,43
18,62
14,77
12,43
20,10
11,40
9,73
nevyplněno
12,16
9,59
0,81
12,90
5,70
1,89
13,65
10,10
5,68
hodnocení jevů
3 odpověď 2009
2010
2011
Tabulka č. 40 64
Slovní úloha k ověření počítání s procenty a práci s textem ve všech třech ročnících dosahovala vysoké procento úspěšnosti. V roce 2011 procento úspěšnosti dosáhlo více než 84%. Žáci projevili velmi dobrou schopnost zápisu i rozboru úlohy a to jistě ovlivnilo i správný výpočet a odpověď. V tabulce č. 41 je procentuální hodnocení jevů úlohy zaměřené na řešení rovnice se zlomky a určení počtu řešení. úloha: řešení rovnice se zlomky a určení počtu řešení. hodnocení jevů
1 odstranění zlomků v rovnici 2009
správně
2010
2011
2 zjednodušení n rovnice 2009
2010
2011
3 vyjádření neznámé 2009
2010
4 určení počtu řešení
2011
2009
2010
2011
46,90 66,84 62,97 44,67 58,55 57,03 42,68 52,07 57,03 40,20 52,07 56,49
částečně dobře 9,18 14,25 1,08 12,16 15,54 5,68
9,93
3,37
3,51
8,44
0,26
0
špatně
24,32 17,62 35,14 20,84 22,02 34,59 18,36 29,80 25,41 11,91 24,35 21,89
nevyplněno
19,60
1,30
0,81
22,33
3,89
2,70
29,03 14,77 14,05 39,45 23,32 21,62
Tabulka č. 41 Úspěšnost řešení rovnice se zlomky se v každém ročníku výzkumu mírně zvyšovala. Přes to jev č. 2, 3 a 4 při hodnocení v jednotlivých ročnících nepřekročily hranici 60%, pouze jev č. 1 v ročnících 2010 a 2011. Nejnižší úspěšnost měly všechny jevy v roce 2009. Takto nepřesvědčivé výsledky řešení rovnice jsou překvapivé. Zejména z toho důvodu, že toto učivo je v několika ročnících v předmětu matematika vyučováno a aplikováno i v jiných předmětech, např. fyzika, chemie. V tabulce č. 42 je procentuální hodnocení jevů úlohy zaměřené na řešení geometrické úlohy vhledem. úloha: řešení geometrické úlohy vhledem. hodnocení jevů
1 rozbor úlohy
2 nákres a postup řešení
3 odpověď a odůvodnění řešení 2010 2011
2010
2011
2010
2011
správně
47,93
43,51
47,93
43,24
47,67
43,24
částečně dobře
0,78
8,65
0,26
8,11
0
2,70
špatně
32,12
30,54
23,32
42,97
20,21
48,11
nevyplněno
19,17
17,30
28,50
5,68
32,12
5,95
Tabulka č. 42 65
Geometrická úloha řešená vhledem byla zařazena do testu poprvé v ročníku 2010. V obou ročnících všechny tři hodnocené jevy nedosáhly úspěšnosti ani 50%. Žáci nezvládali jev č. 1 rozbor úlohy, v jevu č. 2 chybovali v nevhodném nákresu a volbě postupu řešení. Někteří z těch, kteří měli správný výsledek, nedokázali své řešení odůvodnit. Velmi často se v odpovědích žáků, tj. jev č. 2 projevilo nepochopení zadání. V tabulce č. 43 je procentuální hodnocení jevů úlohy zaměřené na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. úloha: 5 elementárních otázek zaměřených na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. 1 2 3 4 5 hodnocení určení středu název nejdelší určení součtu vzorec pro znalost rozkladu jevů kružnice opsané strany všech vnitřních výpočet obsahu vzorce trojúhelníku v pravoúhlém úhlů kruhu (a + b)2 trojúhelníku v trojúhelníku 2009
2010
2011
2009
2010
2011
2009
2010
2011
2009
2010
2011
2009
2010
2011
správně
52,1
56,7
56,2
59,6
74,6
84,3
64,5
80,6
78,9
62,8
79,3
80,0
52,1
57,0
58,7
částečně dobře
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
špatně
35,0
37,8
32,4
26,6
22,3
13,5
22,8
16,1
19,2
23,1
18,1
17,3
32,0
35,5
20,8
nevyplněno
12,9
5,4
11,4
13,9
3,1
2,2
12,7
3,4
1,9
14,1
2,6
2,7
15,9
7,5
20,5
Tabulka č. 43 Úlohu tvořilo 5 elementárních otázek zaměřených na znalosti teorie z geometrie a základního vzorce algebry, tj. umocnění dvojčlenu. Ve všech třech ročnících jev č. 1 a jev č. 5 dosáhly nejnižší procento úspěšnosti. Největší počet správných odpovědí dosáhl celkově jev č. 3. Úspěšnost jevů této úlohy se ve všech ročnících 2009, 2010, 2011 příliš neliší.
V tabulce č. 44 jsou přehledně uvedeny úlohy podle úspěšnosti za všechny tři ročníky výzkumu a v tabulce č. 45 je úspěšnost pro všechny tři ročníky vyjádřena v procentech. Legenda k tabulce č. 44 a č. 45: 1. úloha
2. úloha
3. úloha
4. úloha
5. úloha
6. úloha
7. úloha
Zajímavé je pořadí úspěšnosti řešení úlohy na určení nejmenšího společného násobku tří čísel, kterou v roce 2009 vyřešilo správně nejméně žáků a naopak v ročních 2010, 2011 měla nejvyšší úspěšnost řešení. Rozdílný výsledek není opodstatněn žádnou změnou v RVP nebo studijních osnovách.
66
Rok 2009
Rok 2010
Rok 2011
5. úloha slovní úloha na počítání s procenty a práci s textem. 7. úloha 5 elementárních otázek zaměřených na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce umocnění dvojčlenu. 3. úloha Převod měrných jednotek a zaokrouhlování.
3. úloha určení nejmenšího společného násobku tří čísel. 4. úloha slovní úloha na počítání s procenty a práci s textem.
3. úloha určení nejmenšího společného násobku tří čísel. 4. úloha slovní úloha na počítání s procenty a práci s textem.
7. úloha 5 elementárních otázek zaměřených na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce umocnění dvojčlenu. 2. úloha převod měrných jednotek a zaokrouhlování.
7. úloha 5 elementárních otázek zaměřených na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce umocnění dvojčlenu. 2. úloha převod měrných jednotek a zaokrouhlování.
2. úloha ověření znalosti základních početních operací se zlomky, postupu odstranění závorek a umocňování. 1. úloha ověření základních početních operací, postupu odstranění závorek, umocňování a zaokrouhlování.
5. úloha řešení rovnice se zlomky a určení počtu řešení.
5. úloha řešení rovnice se zlomky a určení počtu řešení.
6. úloha řešení geometrické úlohy vhledem.
4. úloha určení nejmenšího společného násobku tří čísel.
1. úloha prověření základních početních operací, znalostí početních operací se zlomky, postupu odstranění závorek, práce s mocninami. Tabulka č. 44
1. úloha prověření základních početních operací, znalostí početních operací se zlomky, postupu odstranění závorek, práce s mocninami. 6. úloha řešení geometrické úlohy vhledem.
6. úloha řešení rovnice se zlomky a určení počtu řešení.
Úloha Ročník 2009 Ročník 2010 Ročník 2011
Výsledky úspěšnosti jednotlivých úloh v % 1. 2. 3. 4. 5. 6. 33,65 38,71 69,13 24,57 71,96 47,10 35,75 57,90 83,42 79,15 54,15 48,06 51,35 64,86 90,54 84,59 59,35 47,46 Tabulka č. 45
7. 69,98 69,53 71,46
67
Dobré výsledky měly úlohy zaměřené na určení nejmenšího společného násobku (s výjimkou ročníku 2009), slovní úloha na počítání s procenty a práci s textem, jednoduché otázky zaměřené na ověření znalosti teorie z geometrie a základního vzorce umocnění dvojčlenu. Z tabulek č. 44 a č. 45, kde je pořadí úspěšnosti úloh v jednotlivých ročnících je vidět, že největšími slabinami ve znalostech žáků je provedení základních početních operací, početních operací se zlomky, postupu odstranění závorek, práce s mocninami a řešení geometrické úlohy vhledem.
5.4 Rozbor a zjištění nejčastějších nedostatků v řešení jednotlivých úloh 5.4.1 Klasifikace chyb v úlohách Výsledky řešených úloh v testech ukázaly, že největšími slabinami ve znalostech jsou operace s čísly celými, desetinnými i zlomky. Četné chyby v testech byly při úpravě zlomků i, práci se závorkami, dokonce chyby numerické. Avšak právě tyto znalosti jsou předpokladem pro studium většiny témat středoškolské matematiky středoškolské matematiky. Bezproblémové zvládnutí uvedených okruhů je nezbytným předpokladem dalšího studia na střední škole. Chyby provázející úpravy úloh můžeme rozdělit do několika skupin: 1) numerické chyby - chyby při sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocnění a odmocnění 2) chyby z neznalosti - chybná práce s desetinnými čísly: součet, rozdíl, násobení a dělení, umocnění a odmocnění - chybný převod desetinného čísla na desetinný zlomek - chybný převod smíšeného čísla na zlomek - chybná znaménka při roznásobení závorky záporným číslem - chybné odmocňování - chybná úprava zlomku, před kterým je záporné znaménko - nesprávná úprava rovnice se zlomky: odstranění zlomků v rovnicích, chybné zjednodušení obou stran rovnice, chybné vyjádření z neznámé, chybný nebo neuvedený počet řešení rovnice - záměna druhé mocniny dvojčlenu a součtu nebo rozdílu druhých mocnin 3) chyby vzniklé nesprávnou strategií při řešení - zbytečné roznásobení - volba většího společného násobku apod. - chybějící náčrt pro řešení geometrické úlohy vhledem - neúplný zápis slovních úloh - chybějící rozbor, postup řešení úloh 4) chyby vzniklé zápisem - nesystematické, nečitelné, nepřehledné, neúplné zápisy - škrtání, přepisování - chyby při provádění několika operací v jednom kroku 68
5.4.2 Ukázky řešení a nejčastější chybování žáků v úlohách testů V ukázkách výsledků úloh jsou zařazena řešení žáků, kteří byli hodnoceni v 9. třídě ZŠ známkou výborně nebo chvalitebně. Uvedené ukázky jsou vybrány od výborných žáků, kde se tyto elementární chyby nepředpokládají. Vybrána jsou řešení s nejčastěji se vyskytujícími chybami (viz. výsledky jevové analýzy z kapitoly č. 6.3).
1. úloha
TEST 2009
Vypočítej a výsledek zaokrouhli na jedno desetinné místo = Možný postup řešení: =
- chyba odmocnění desetinného čísla - chyba dělení desetinným číslem - chyba součtu a rozdílu kladných a záporných desetinných čísel
- chyba ve výsledném znaménku dělení kladného čísla záporným číslem
- chyba v součtu kladného a záporného čísla
-
chyba v součtu kladného a záporného čísla chyba dělení desetinným číslem chyba odmocnění desetinného čísla chyba v opisu mezivýsledku
69
- chyba dělení desetinným číslem - chyba v součtu záporných čísel
- chyba dělení záporným číslem - chyba dělení desetinným číslem - chyba v součtu kladného a záporného čísla
- chyba odmocnění desetinných čísel
1. úloha
TEST 2010, 2011
Vypočítej a výsledek zapiš jako zlomek v základním tvaru
Možný postup řešení:
- chyba v určení nejmenšího společného násobku - chyba při převedení zlomku na společný jmenovatel
70
- chyba při přepisu (nezapsáno znaménko) - chyba v umocnění zlomku
- numerická chyba při sečtení a odečtení zlomků
- chyba v převedení smíšeného čísla na zlomek
- chyba v převedení smíšeného čísla na zlomek
- chybí převod zlomku na zlomek v základním tvaru
71
- numerická chyba v rozdílu zlomků
2. úloha TEST 2010, 2011 Zapiš v jednotkách uvedených v závorce a potom zaokrouhli na jedno desetinné místo: 2 h 36 min 15s (min) Převedeme hodiny a sekundy (36 min není potřeba upravovat) na minuty a pak všechny údaje sečteme.
můžeme vyjít i z faktu, že 15 sekund je čtvrtina minuty a čtvrtinu zapíšeme desetinným číslem jako 0,25. Zbývá sečíst
- chyba v převodu sekund na minuty
- chyba v převodu sekund na minuty
- chyba v převodu sekund na minuty 72
- chyba v převodu sekund na minuty
- chyba v převodu hodin na minuty
- chyba v převodu sekund na minuty
4. úloha TEST 2009 / 3. úloha TEST 2010, 2011 Třešně v misce mohou být rozděleny stejným dílem mezi 4 nebo 6 nebo 12 dětí. Kolik nejmíň je v misce třešní? Hledáme nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné čtyřmi šesti a dvanácti zároveň. Úloha je zaměřena na určení nejmenšího společného násobku. U trojice 4, 6, 12 nebylo nutné provádět určení nejmenšího společného násobku výpočtem. Žáci by měli být schopni odpovědět, že hledané číslo je dvanáct. Tedy Rozdělíme-li třešně mezi 4 děti, každé dostane 3 třešně. Rozdělíme-li třešně mezi 3 děti, každé dostane 4 třešně. Rozdělíme-li třešně mezi 12 dětí, každé dostane 1 třešni.
- chyba v určení nejmenšího společného násobku
- chyba v určení nejmenšího společného násobku 73
- chyba v rozboru úlohy
5. úloha TEST 2009 / 4. úloha TEST 2010, 2011 Zahraničního zájezdu se zúčastnilo 42 žen, 36 mužů a 62 dětí. Vypočítej, kolik procent z celkového počtu účastníků tvoří ženy? Úloha byla zaměřena na počítání s procenty. Nejprve si určíme, co je 100%. Sečteme tedy počet žen, dětí a mužů. Dostáváme, že základ, tj. 100% je 140 účastníků. 1% je tedy 1,4 Žen je mezi účastníky zájezdu 42, kolik je to % z celkového počtu? 42 : 1,4 = 30% Ženy tvoří 30% z celkového počtu účastníků. Úlohu bylo možné vypočítat i pomocí trojčlenky/přímé úměry: 100% . . . . 140 účastníků x % . . . . . . 42 žen
Ženy tvoří 30% z celkového počtu účastníků.
- numerická chyba určení 1% 74
- chybný přepis zadání úlohy
- numerická chyba v dělení
6. úloha TEST 2009 / 5. úloha Řeš rovnici v R a k výsledku napiš počet řešení
TEST 2010, 2011
Možný postup řešení:
Rovnice má 1 řešení.
75
- chyba v roznásobení čitatele - chyba v zápisu rovnice (dvakrát = ) - chyba v úpravě stran rovnice
- chyba určení znaménka při násobení zlomku - chyba v osamostatnění neznámé
- chyba určení znaménka při násobení zlomku - chybí osamostatnění neznámé
- chyba určení znaménka
- chyba určení znaménka při násobení zlomku
- chyba při odstranění zlomků - chyba určení znaménka při násobení zlomku
- chyba při odstranění zlomků - chyba určení znaménka při násobení zlomku
- numerická chyba při určení kořene rovnice
76
- chyba v zápisu rovnice (třikrát = ) - chybné znaménko po odstranění zlomků
6. úloha TEST 2010, 2011 Do čtverce ABCD je vepsán čtverec EFGH tak, že spojíme postupně středy stran čtverce ABCD. Napiš vztah mezi obsahy čtverců ABCD a EFGH a své řešení odůvodni. D
G
H
A
C
F
E
B
Úlohu lze řešit pouhým „vhledem“, tj. rozdělením čtverce ABCD na osm shodných trojúhelníků. Z obrázku je pak vidět, že obsah menšího čtverce EFGH je poloviční než obsah čtverce ABCD. D
G
H
A
C
F
E
B
77
- chybná úvaha
- chybný zápis, úvaha
- správná úvaha, nesprávný závěr
- chybné vyjádření z nákresu - chybí závěr
- chybí nákres, rozbor, postup řešení - chybný závěr
- chybí nákres, rozbor, postup řešení - chybný závěr
- chybí nákres, rozbor - chybná úvaha
- chybí nákres, rozbor, postup řešení - chybný závěr
78
- chybí nákres, rozbor, postup řešení - chybný závěr
- chybí nákres, rozbor, postup řešení - chybný závěr
- chybí nákres, rozbor, postup řešení - chybný závěr
7. úloha Doplň: Střed kružnice opsané trojúhelníku leží Nejdelší strana v pravoúhlém trojúhelníku je Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je Vzorec pro výpočet obsah kruhu je Rozlož (a + b)2 =
TEST 2009, 2010, 2011
. . . . . . . . . . v průsečíku os stran . . . . . . . . . . přepona . . . . . . . . . . 1800 .......... ..........
79
5.4.3 Vyhodnocení ankety Poslední 8. otázka v testech je otázka otevřená, proto nebyla ohodnocena body, ale odpovědi byly vyhodnoceny samostatně jako anketa atomární analýzou.
8. otázka TEST 2009, 2010, 2011 Napiš, které úlohy ti při řešení dělaly největší obtíže a jaký byl důvod? Poslední 8. otázka byla zařazena proto, aby žáci sami hodnotili svou znalost či neznalost. Odpovědi vesměs potvrdily, že žáci vidí neznalost vzorce, ale neuvědomují si, že problém je neschopnost nahradit mechanickou neznalost vlastním úsudkem, logickou úvahou.
80
Je zarážející, že nepovažují za nedostatek skutečnost, že nejsou schopni sled svých úvah a tedy postup řešení přehledně a srozumitelně zapsat. Žáci nejčastěji uváděli obtíže u příkladu č. 1, 5, 6 a 7. Uvedené citace odpovědí jsou žáků se známkou v deváté třídě výborně nebo chvalitebně. V prvním příkladu měli studenti problém upravit číselný výraz, ve kterém byly závorky, jednoduché zlomky, mocniny a desetinná čísla. Častou chybou bylo špatné převedení desetinného čísla 0,25 na zlomek a úprava zlomků na stejný jmenovatel. Z postupů při řešení příkladu bylo vidět, že studenti pokračovali naučeným postupem. Jen výjimečně si všimli možnosti jednoduššího řešení vhodným sečtením po částech. Úloha č. 5 obsahovala rovnici. Žáci nezvládli správně vynásobit obě strany rovnice a odstranit tak zlomky. Nedokázali v závěru určit počet řešení. V sedmé úloze si někteří žáci stěžovali na zapomenutý postup k tomuto typu úlohy. Úloha, ale přesný postup řešení nemá. Jedná se o úlohu, kde studenti mohli řešit logickým úsudkem a vhodným nákresem. Největší problém byla úloha č. 1 a částečně i úloha č. 2. 1. příklad proto, že ne že by byl těžký, ale už jsem zapomněla postup a u toho 2. Příkladu, protože jsem nevěděla, jestli napsat, 4 (jako tu čtvrtinu) nebo co mám napsat… Úloha č. 1, protože tam byly nejsložitější výpočty. V jedničce jsem zazmatkovala a nevím co dřív (dělám zbytečné chyby) 3 úkol – nepochopil jsem zadání. Nejvíce mi dělaly potíže příklady 3 a 6. Tento typ jsme na ZŠ moc nedělaly. Nechápu rovnice jakéhokoliv druhu. U příkladů jako je č. 1 postrádám využití v praxi. Rovnice, protože jsem nejprve špatně převáděla na druhou stranu. Zapomněla jsem počítat rovnice. Dělala jsem malé chyby, takže mi to vždy vyšlo jinak. U úlohy č. 6 jsem nevěděla, co po mě chcete. Úlohy se mi zdály v celku jednouché, jen u úkolu č. 6 jsem musela hodně přemýšlet. Úloha č. 6, nevím, jak odvodit řešení! U šestky nevím, jak začít, nenapadá mě řešení úlohy. Úkol č. 6- geometrie mi nejde. Nevěděl jsem jak formulovat č. 6. 6 – nepamatoval jsem si postup.
81
Největší problémy mi dělala sedmička – nepamatuju si moc pojmy. Úloha 7 – střed kružnice? Úloha 7 – pletou se mi vzorce A2 + B2, (a - b)2, (a + b)2 V 7. Úkolu první otázka, vůbec jsem nepochopil větu. 5. Rovnice o jedné neznámé by měly mít jen jedno a ne více řešení. Příklad 7, protože si nepamatuju vzorečky.
5.4.4 Atomární analýza Pro atomární analýzu byly vybrány pro názornost odlišnosti objektivity klasifikace žáků s výsledky testů testy žáků s nejnižším počtem dosažených bodů v ročnících 2009, 2010, 2011 a výslednou známkou v 9. třídě výborně. Atomární analýza je založena na atomizaci řešení a komparativní analýzy. Jednotlivé jevy, které představují myšlenkové kroky při řešení úloh, budeme sledovat v napsané podobě, tj. číslice, čárky, přeškrtnutí, úprava, zápis operátorů atd. Atomární analýza analyzuje řešitelský postup žáka zadané úlohy. Všechny analýzy jsou svým způsobem subjektivní, neboť při vyhodnocování se vychází z osobních zkušeností. U každé analyzované práce jsou evidovány znaky, grafická úprava i způsob zápis postupu.
Ročník 2009 Žák č. 1 1. úloha - neřešena 2. úloha Zápis úlohy je nepřehledný, chybný. Žák v zápise nerozlišuje pomocné výpočty a řešení úlohy. Časté škrtání svědčí o nejistotě žáka při řešení úlohy.
3. úloha - neřešena 4. úloha - neřešena 5. úloha - neřešena
82
6. úloha Řešení rovnice započal žák dobře, odstranil zlomky vynásobením společného jmenovatele, správně odstranil závorky, avšak následně se dopustil numerické chyby. Další kroky jsou chybné a nepochopitelné. Potvrzují nejistotu a nepozornost při řešení úlohy.
7. úloha V sedmé úloze byly zodpovězeny tři otázky správně. Chybná odpověď byla v otázce na střed kružnice opsané trojúhelníku. Z náčrtku je vidět neznalost odpovědi na otázku. Druhá chybná odpověď je v rozkladu vzorce . Zápis je opět neúpravný, s přepisováním a škrtáním.
8. úloha - anketa Na otevřenou otázku, které úlohy ti při řešení činily největší obtíže a jaký byl důvod, žák odpověděl: „Úloha č. 3 a 4, protože převody mi nikdy nešly a čtyřku jsem nepochopila.“
Žák č. 2 1. úloha Žák při řešení úlohy špatně odmocnil desetinné číslo, v dalším kroku projevil neznalost priority aritmetických operátorů. V zápise je několik přepisů.
2. úloha - neřešena
83
3. úloha Převod zadaných jednotek na minuty je špatný. Chyby jsou v převodu hodin na minuty a v převodu sekund na minuty. Chybí zaokrouhlení výsledku na jedno desetinné místo.
4. úloha - neřešena 5. úloha - neřešena 6. úloha Postup řešení rovnice byl v pořádku, a to kroky odstranění zlomků v rovnici, úprava obou stran rovnice, osamostatnění neznámé. Žák však neupravil výsledek na konečný tvar a ponechal ho ve tvaru zlomku, který nebyl v základním tvaru. Žák neuvedl počet řešení.
7. úloha V sedmé úloze byly zodpovězeny dvě otázky správně. Chybná odpověď byla v otázce na střed kružnice opsané trojúhelníku. Žák uvedl častou odpověď „na středě trojúhelníka“. Druhá chybná odpověď je na otázku o součtu všech vnitřních úhlů v trojúhelníku. Třetí chyba byla v neznalosti vzorce pro výpočet obsahu kruhu.
8. úloha - anketa Na otevřenou otázku, které úlohy ti při řešení činily největší obtíže a jaký byl důvod, žák odpověděl: „Asi čtvrtá a pátá úloha, protože slovní úlohy mi nikdy moc nešly.“
84
Žák č. 3 1. úloha - neřešena 2. úloha - neřešena
3. úloha Převod zadaných jednotek na minuty je špatný. Chyba je v převodu sekund na minuty. Postup řešení je zapsán poněkud nezvykle, ale přehledně.
4. úloha Rozbor úlohy provedl žák správně, ale došel k chybnému závěru. Našel společný násobek tří čísel, ale ne nejmenší společný násobek.
5. úloha V úloze č. 5 žák si žák zapsal neúplné zadání, správně určil hodnotu jednoho procenta, ale vycházel z nedostatečného zápisu zadání, které vedlo i k chybným úvahám o řešení. Výsledek je zcela špatný.
6. úloha Postup řešení rovnice zcela chybný. Chybný je zápis rovnice, který spíše odpovídá řešení výrazu s proměnnou. Po několika krocích zápis opět přechází na zápis řešení rovnice, ovšem zcela špatně. V závěru chybí vyjádření neznámé a není uveden počet řešení.
85
7. úloha V sedmé úloze byly zodpovězeny tři otázky správně. Chybná odpověď byla v otázce na střed kružnice opsané trojúhelníku. Druhá chyba byla v neznalosti vzorce pro výpočet obsahu kruhu.
8. úloha - anketa Na otevřenou otázku, které úlohy ti při řešení činily největší obtíže a jaký byl důvod, žák odpověděl: „1, 2 – neboť si to po prázdninách nepamatuji.“
Ročník 2010 Žák č. 1 1. úloha - neřešena 2. úloha Převod hodin na minuty proveden v pořádku. Převod sekund špatně. Došlo k úvaze, že 15 sekund je čtvrt minuty, žák chybně převáděl sekundy v dekadické soustavě. Místo 0,25 min vyjádřil čtvrtinu jako 0,4 min.
3. úloha Žák se snažil vyjádřit postup řešení graficky, ale snaha vycházela z chybné úvahy. Žák nepochopil smysl úlohy, tj. že má určit nejmenší společný násobek.
86
4. úloha Žák nepozorně přečetl zadání, chybně určil celkový počet lidí, který měl odpovídat 100% a chybně počítal procento mužů, místo v zadání požadovaném procento žen.
5. úloha První krok řešení rovnice, odstranění zlomku, byl proveden v pořádku. V druhém kroku, při roznásobení obou stran rovnice nejmenším společným jmenovatelem, došlo k chybě při odstranění zlomku. Tato chyba ve znaménku ovlivnila výsledek řešení rovnice. Ale jsou zřejmé správné kroky v dalším postupu řešení. V zápisu úlohy je škrtání pomocných výpočtů, které ubírá na úpravě práce.
6. úloha Řešení úlohy vychází z nesprávné úvahy a postup není z náčrtu zřejmý. Odůvodnění řešení (neřešení) chybí.
87
7. úloha Sedmá úloha, která má pět elementárních otázek byla zodpovězena až na jednu otázku správně. Chybná odpověď byla pouze v otázce na „střed kružnice opsané trojúhelníku leží v průsečíku těžnic“. Z náčrtku je vidět, jak se žák snažil otázku vyřešit pomocí grafického vyjádření.
8. úloha - anketa Na otevřenou otázku, které úlohy ti při řešení činily největší obtíže a jaký byl důvod, žák odpověděl: „Úloha č. 6, protože mi nejde geometrie“. Žák nehodnotil situaci, kdy neřešil úlohu č. 1 a neuvědomil si možné chyby v úvaze o řešení č. 3. Žák č. 2 1. úloha Žák při úpravě výrazu nepozorně zapisoval následné kroky, tj. chyběl znak odmocniny, chyboval při umocnění zlomku a při převodu zlomku na společného jmenovatele.
2. úloha - neřešena 3. úloha Žák úlohu vyřešil správně, ale není uveden postup, rozbor úlohy, pouze odpověď se správným výsledkem.
88
4. úloha Žák správně vypočítal celkový počet účastníku zájezdu, ale další úvahy postupu nezvládl ani nenaznačil. V zápise je časté škrtání, které svědčí o nejistotě řešení.
5. úloha Žák pouze opsal zadání, nenaznačil ani první krok řešení. V zápise je opět škrtáno.
6. úloha - neřešena
7. úloha Z pěti elementárních otázek byly zodpovězeny správně pouze tři. Žák chyboval opět v otázce, kde leží střed kružnice opsané trojúhelníku a v rozkladu vzorce .
8. úloha - anketa Na otevřenou otázku, které úlohy ti při řešení činily největší obtíže a jaký byl důvod, žák odpověděl: „Asi všechny, vůbec nic si nepamatuji, nejmenší obtíže mi dělala asi trojka, ta byla lehká“.
89
Žák č. 3 1. úloha - neřešena 2. úloha Převod hodin na minuty proveden v pořádku. Převod sekund byl opět špatně. Místo 0,25 min vyjádřil čtvrtinu jako 0,4 min. Chybí postup.
3. úloha Úvaha o řešení úlohy je správná, žák při řešení rozložil čísla 4, 6 a 12 na prvočinitele. Dále nedokázal určit nejmenší společný násobek, nebo logicky dokončit úvahu. Výsledek řešení je špatný.
4. úloha Žák správně provedl úvahu o řešení úlohy i zápis. K řešení úlohy použil přímou úměru. Zápis je přehledný, čitelný a správný. Zápis a celková úprava úlohy svědčí o znalosti řešení typu úlohy. Úloha č. 4 byla jediná, kde získal plný počet bodů.
5. úloha První krok řešení rovnice, odstranění zlomku, byl proveden v pořádku. V druhém kroku, při roznásobení obou stran rovnice nejmenším společným jmenovatelem, došlo k chybě při odstranění zlomku. Tato chyba ve znaménku ovlivnila výsledek řešení rovnice. Ale jsou zřejmé správné kroky v dalším postupu řešení i určení počtu řešení rovnice. Zápisu úlohy je přehledný, žák správně v každém kroku zapisuje operace pro následující krok.
90
6. úloha V nákresu šesté úlohy je naznačena správná úvaha, ale vztah mezi obsahy čtverců ABCD a EFGH je chybně vyjádřen.
7. úloha V sedmé úloze žák odpověděl pouze na otázku „kde leží střed kružnice opsané trojúhelníku“ a to špatně „ve středu trojúhelníku“. Z náčrtků je vidět, jak se žák pokoušel nalézt odpověď, ovšem neformuloval správný závěr.
8. úloha - anketa Na otevřenou otázku, které úlohy ti při řešení činily největší obtíže a jaký byl důvod, žák odpověděl: „1. ve škole jsme této látce věnovali nejmenší pozornost…“.
Ročník 2011 Žák č. 1 1. úloha První úlohu řešil žák správně. Správně odmocnil zlomky, odstranil závorky, převedl zlomky na společného jmenovatele. Nesplnil požadavek vyjádření výsledku ve zlomku v základním tvaru.
91
2. úloha Žák správně převedl hodiny a sekundy na minuty, jak bylo požadováno. Výsledek správně zaokrouhlil na jedno desetinné místo.
3. úloha Žák nepochopil zadání, neprovedl správný rozbor úlohy a zvolil velmi zvláštní nákres (7 třešní).
4. úloha Žák provedl správný rozbor úlohy, zápis úlohy i postup řešení je přehledný a správný. K řešení úlohy užil přímou úměru. V úloze je i správně vyjádřen výsledek odpovědí.
5. úloha Postup řešení rovnice byl v pořádku, a to kroky odstranění zlomků v rovnici, úprava obou stran rovnice, osamostatnění neznámé. Žák však neupravil výsledek na konečný tvar a ponechal ho ve tvaru zlomku, který nebyl v základním tvaru a neuvedl počet řešení.
6. úloha - neřešena
92
7. úloha - neřešena 8. úloha - anketa Na otevřenou otázku, které úlohy ti při řešení činily největší obtíže a jaký byl důvod, žák odpověděl: „Úkol 3 a 6 - protože mi takové příklady nikdy nešly“. Žák č. 2 1. úloha Úpravu číselného výrazu nepříznivě ovlivnil i neupravený a nesprávný zápis. Žák chyboval ve vynechání členu výrazu, chybně přepsaném znaménku. Následné kroky už vedly k chybnému výsledku.
2. úloha Žák správně převedl hodiny na minuty, ale chybně převedl sekundy na minuty. Zcela vynechal zaokrouhlení výsledku na jedno desetinné místo.
3. úloha Žák neuvedl rozbor úlohy, postup výpočtu, výsledek je nesmyslný a špatný.
4. úloha - neřešena 5. úloha Žák řešení úlohy v podstatě ani nezačal, zápis napovídá o neznalosti řešení rovnice.
93
6. úloha O řešení úlohy se v podstatě nejedná, žák uvádí neodpovídající závěr.
7. úloha V sedmé úloze odpověděl žák správně pouze na otázku jaký je vzorec pro výpočet obsahu kruhu.
8. úloha - anketa Na otevřenou otázku, které úlohy ti při řešení činily největší obtíže a jaký byl důvod, žák odpověděl: „5 – nemohl jsem si vzpomenout na postup, ale na základce jsem neměl problém“. Žák nehodnotil situaci, kdy neřešil úlohu č. 3 a 4. Žák č. 3 1. úloha - neřešena
2. úloha - neřešena 3. úloha - neřešena 4. úloha Žák neuvedl rozbor ani postup řešení, pouze výsledek 33% a ten je chybný. Ze zápisu je vidět, že znalosti jsou neúplné, žák o svých výpočtech pochyboval a přeškrtal je. Způsob zápisu postupu odpovídá neznalosti.
94
5. úloha Žák v úloze č. 5 opět přeškrtal svůj zápis. V postupu, který lze prohlédnout přeš přeškrtnutí, jsou chyby v úpravě rovnice.
6. úloha Řešení úlohy je správné, postup a rozbor úlohy není uveden.
7. úloha V sedmé úloze byla zodpovězena pouze jedna úloha špatně. Jednalo se opět o určení středu kružnice opsané trojúhelníku.
8. úloha - anketa Na otevřenou otázku, které úlohy ti při řešení činily největší obtíže a jaký byl důvod, žák odpověděl: „1, 5 protože jsem zapomněl postupy“. Žák si neuvědomuje svoje neznalosti, nepřipouští si nevyřešení několika úloh a nevěnuje pozornost grafickému projevu své práce (proškrtání testu). Ukázky vybraných testů ukazují velké neznalosti u žáků, kteří přišli na SŠ ze základních škol s klasifikací předmětu matematika výborně. Nejistota a neznalost řešení úloh se projevila ve velmi nepřehledném zápisu častým škrtáním a přepisováním. Ukázka žáka č. 3 ročník 2011 na str. 94 a 95 není výjimečná. Žáci, přestože měli každý k dispozici text testu a samostatný list papíru pro řešení úloh, vpisovali řešení do textu zadání bez náznaku smyslu pro přehlednost, systematičnost, či úpravu. Naopak správně řešené úlohy byly psány čitelně. Z výsledků je znatelný nezažitý zápis slovních úloh, zápis postupů řešení rovnic a číselných výrazů. Žáci často přehlíží znaménka, nepozorně zapisují postup řešení úlohy, apod. Analýza potvrdila odlišnost objektivity klasifikace ZŠ žáků s ověřovanými znalostmi. 95
5.5 Výsledky žáků didaktického testu vzhledem ke klasifikaci matematiky v 9. třídě ZŠ V následujících tabulkách jsou hodnoty získaných bodů všech respondentů srovnávacích vstupních testů v letech 2009, 2010 a 2011 uspořádaných dle klasifikace matematiky v 9. třídě ZŠ. Je zřejmé, že i žáci, kteří přišli na gymnázia s ohodnocením výborně, nedosáhli průměru předpokládaného výsledku, odpovídajícímu známce z 9. třídy. Potvrdilo se, že úroveň znalostí matematiky nelze posuzovat jednoznačně podle klasifikačního stupně. V tabulce č. 46, č. 47 a č. 48 je uvedena úspěšnost žáků vzhledem ke známce v 9. třídě ZŠ.
Známka v 9. třídě výborně
2009 Součet Počet žáků bodů 218 4572,5
Průměrný počet bodů (max. 35 bodů) 20,97
chvalitebně
151
2643,5
17,28
dobře
29
407,5
14,05
dostatečně
5
73,5
14,7
nedostatečně
0
0 Tabulka č. 46
0,00
Počet žáků 205
2010 Součet bodů 4794,0
chvalitebně
137
2685,5
19,60
dobře
37
627,5
16,96
dostatečně
7
152,5
21,79
nedostatečně
0
Známka v 9. třídě výborně
Známka v 9. třídě výborně
0 Tabulka č. 47
2011 Součet Počet žáků bodů 187 4597
Průměrný počet bodů (max. 35 bodů) 23,39
0,00
Průměrný počet bodů (max. 35 bodů) 24,58
chvalitebně
134
3150
23,51
dobře
40
824
20,60
dostatečně
9
116
12,89
nedostatečně
0
0 Tabulka č. 48
0,00
96
Klasifikace úloh v testech je zvoleny tak, aby rozdíl po sobě jdoucích klasifikačních stupňů byl přibližně 15%. Klasifikace testů: 35 až 29,5 až 23,5 až 17,5 až 11,5 až
30 bodů 24 bodů 18 bodů 12 bodů 0 bodů
výborně chvalitebně dobře dostatečně nedostatečně
V tabulce č. 49 jsou průměrné zisky bodů žáků v jednotlivých ročnících výzkumu rozdělených podle dosaženého klasifikačního stupně v předmětu matematika v 9. třídě ZŠ. Průměrný zisk bodů v jednotlivých ročnících ročník ročník ročník Body odpovídající Známka v 9. třídě ZŠ 2009 2010 2011 známkám výborně 20,97 23,39 24,58 35–30 chvalitebně
17,28
19,60
23,51
29,5–24
dobře
14,05
16,96
20,60
23,5–18
dostatečně
14,7
21,79
12,89
17,5–12
nedostatečně
0,00
0,00 0,00 Tabulka č. 49
11,5–0
Testování mělo prověřit základní znalosti z matematiky, které se u žáků předpokládají při přijímacích zkouškách na čtyřletá gymnázia. Z hodnocení ankety realizované v prvních ročnících čtyřletých gymnázií, které je shrnuto později v kapitole č. 5.6, nelze jednoznačně vydávat za zhoršení nebo za zlepšení dosažených bodových zisků. Celkově je zřejmé, že konstatované nedostatky přetrvávají ve varující míře. Průměry bodových zisků ve všech ročnících ankety odpovídají klasifikaci „dobře“, a to při převažujícím počtu zúčastněných žáků s klasifikací „výborně“ nebo „chvalitebně“ ze ZŠ. Pro sjednocení a zvýšení úrovně znalostí matematiky u žáků přicházejících na gymnázia z různých ZŠ je žádoucí dávat důraz na intenzivní opakování a procvičení již probraného učiva. Součástí disertační práce jsou studijní materiály (Příloha č. 2) pro žáky i učitele, kterou jsem pro tento účel vytvořila. Vycházejí z osvědčených vyučovacích postupů a umožňují interaktivní používání moderní technologie ve vyučovacích hodinách nebo při domácí přípravě žáků. Na webových stránkách jsou umístěny učební texty i ve formě pro tisk. Žáci je využijí ke studiu a učitelé si z nich jednoduchým způsobem mohou sestavovat a obměňovat krátké testy k opakování a procvičení učiva ze ZŠ na začátku školního roku. Studijní materiály obsahují šest kapitol:
Číselné obory Zlomky Mocniny a mnohočleny Rovnice Procenta Slovní úlohy 97
V každé kapitole je uveden učební text, ve kterém jsou začleněny i vzorově vyřešené příklady. Na učební text pak navazují interaktivní cvičení, sloužící k procvičení látky. Kapitolu uzavírá test s příklady k danému okruhu. Z vlastní praxe, kdy již třetím rokem ověřuji a využívám podstatnou část studijních materiálů ve svých třídách, pozoruji zlepšení numerických schopností žáků, které jim umožňuje snadněji sledovat teorii. Při výkladu nového učiva je znatelně snazší navázat na učivo dříve probrané na ZŠ. S ohledem na početně malou skupinu žáků (tři třídy) nelze dostatečně statisticky vydávat výsledky za ověřené.
Míra objektivity klasifikace žáků z výsledků nestandardizovaného didaktického testu r. 2011 Korelace výsledků žáků v didaktickém testu a jejich hodnocení známkou na vysvědčení je provedeno jen pro ročník výzkumu 2011, kde z předcházejícího hodnocení bylo zřejmé částečné zlepšení. K porovnání výsledků žáků v didaktickém testu a jejich hodnocení známkou na vysvědčení použijeme výpočet Spearmanova koeficientu pořadové korelace podle vztahu , kde rs je Spearmanův koeficient pořadové korelace, n je počet sledovaných žáků, d je rozdíl mezi pořadím žáka ve třídě podle klasifikace a pořadím tohoto žáka podle výsledku testu. Nyní dosadíme do vztahu pro Spearmanův koeficient
Výsledek vypovídá o tom, že klasifikace žáků slabě koreluje s výsledky v didaktickém testu.
5.5.1 Grafické vyjádření úspěšnosti žáků jednotlivých ročníků vybraných škol vzhledem ke klasifikaci v 9. třídě ZŠ V následujících grafech a tabulkách č. 50 - 61 jsou uvedeny dosažené hodnoty ze sledovaných let 2009, 2010, 2011. Počty žáků z jednotlivých základních škol nebo víceletých gymnázií jsou v rozsahu jeden až dvacet žáků, proto jsou vyhodnocena data jen těch základních škol, ze kterých se zúčastnili výzkumu nejméně 4 jejich bývalí žáci. Dle tohoto kritéria se zúžil počet škol na 57 a jejich seznam je uveden v příloze č. 1. Žáci z vybraných škol byli rozděleni dle klasifikace z matematiky na konci 9. třídy ZŠ. V grafech jsou hodnoty získaných bodů žáků ve srovnávacích vstupních testech a předpokládané bodové hranice odpovídající pro ohodnocení výborně, chvalitebně atd.
98
Ročník 2009 V tabulce č. 50 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě výborně. Klasifikace v 9. třídě výborně dosáhlo celkem 143 žáků. Bodové hranice Četnost % 15 10,49 0 - 11,5 nedostatečně 25 17,48 12 - 17,5 dostatečně 42 29,37 18 - 23,5 dobře 39 27,28 24 - 29,5 chvalitebně 22 15,38 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 143 100,00 Tabulka č. 50
2009 - klasifikace ze ZŠ výborně 45 40 35 Četnost
30 25 20
Četnost
15
10 5 0 35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
143 3088,7 21,5 29 21,599 7,617 2 35
99
V tabulce č. 51 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě chvalitebně. Klasifikace v 9. třídě chvalitebně dosáhlo celkem 110 žáků. Bodové hranice Četnost % 23 20,91 0 - 11,5 nedostatečně 35 31,82 12 - 17,5 dostatečně 25 22,72 18 - 23,5 dobře 23 20,91 24 - 29,5 chvalitebně 4 3,64 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 110 100,00 Tabulka č. 51
2009 - klasifikace ze ZŠ chvalitebně 40 35
Četnost
30 25 20 Četnost
15 10 5 0 35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
110 1947 16,75 19 17,7 7,164 2 35
100
V tabulce č. 52 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě dobře. Klasifikace v 9. třídě dobře dosáhlo celkem 21 žáků. Bodové hranice Četnost % 9 42,86 0 - 11,5 nedostatečně 6 28,57 12 - 17,5 dostatečně 5 23,81 18 - 23,5 dobře 0 0,00 24 - 29,5 chvalitebně 1 4,76 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 21 100,00 Tabulka č. 52
Četnost
2009 - klasifikace ze ZŠ dobře 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Četnost
35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
283 21 15,5 15,5 13,476 7,442 2 33
101
V tabulce č. 53 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě dostatečně. Klasifikace v 9. třídě dostatečně dosáhlo celkem 5 žáků. Bodové hranice Četnost % 1 20,00 0 - 11,5 nedostatečně 1 20,00 12 - 17,5 dostatečně 2 40,00 18 - 23,5 dobře 1 20,00 24 - 29,5 chvalitebně 0 0,00 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 5 100,00 Tabulka č. 53
2009 - klasifikace ze ZŠ dostatečně
Četnost
3 2 Četnost
1 0 35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
5 86 19 20,5 17,2 6,448 8 24
102
Ročník 2010 V tabulce č. 54 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě výborně. Klasifikace v 9. třídě výborně dosáhlo celkem 127 žáků. Bodové hranice Četnost % 5 3,94 0 - 11,5 nedostatečně 18 14,17 12 - 17,5 dostatečně 34 26,77 18 - 23,5 dobře 51 40,16 24 - 29,5 chvalitebně 19 14,96 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 127 100,00 Tabulka č. 54
2010 - klasifikace ze ZŠ výborně 60 50
Četnost
40 30
Četnost
20
10 0 35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
127 2976,5 24 29 23,437 6,672 3 34
103
V tabulce č. 55 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě chvalitebně. Klasifikace v 9. třídě chvalitebně dosáhlo celkem 88 žáků. Bodové hranice Četnost % 12 13,64 0 - 11,5 nedostatečně 17 19,32 12 - 17,5 dostatečně 26 29,54 18 - 23,5 dobře 23 26,14 24 - 29,5 chvalitebně 10 11,36 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 88 100,00 Tabulka č. 55
2010 - klasifikace ze ZŠ chvalitebně 30
25 Četnost
20 15 Četnost
10 5 0 35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
88 1788 19,5 19 20,318 7,376 3,5 34
104
V tabulce č. 56 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě dobře. Klasifikace v 9. třídě dobře dosáhlo celkem 24 žáků. Bodové hranice Četnost % 6 25,00 0 - 11,5 nedostatečně 6 25,00 12 - 17,5 dostatečně 9 37,50 18 - 23,5 dobře 2 8,33 24 - 29,5 chvalitebně 1 4,17 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 24 100,00 Tabulka č. 56
Četnost
2010 - klasifikace ze ZŠ dobře 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Četnost
35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
24 401 17,5 13 16,708 6,658 7 30
105
V tabulce č. 57 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě dostatečně. Klasifikace v 9. třídě dostatečně dosáhlo celkem 5 žáků. Bodové hranice Četnost % 0 0,00 0 - 11,5 nedostatečně 0 0,00 12 - 17,5 dostatečně 2 40,00 18 - 23,5 dobře 1 20,00 24 - 29,5 chvalitebně 2 40,00 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 5 100,00 Tabulka č. 57
2010 - klasifikace ze ZŠ dostatečně
Četnost
3 2 1
Četnost
0 35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
5 125 26,5 18 25 6,736 18 32,5
106
Ročník 2011 V tabulce č. 58 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě výborně. Klasifikace v 9. třídě výborně dosáhlo celkem 106 žáků. Bodové hranice Četnost % 3 2,83 0 - 11,5 nedostatečně 10 9,43 12 - 17,5 dostatečně 27 25,47 18 - 23,5 dobře 39 36,79 24 - 29,5 chvalitebně 27 25,47 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 106 100,00 Tabulka č. 58
2011 - klasifikace ze ZŠ výborně 45
40 35 Četnost
30 25 20
Četnost
15 10 5 0 35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
106 2644 24,5 29 24,943 6,805 8 35
107
V tabulce č. 59 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě chvalitebně. Klasifikace v 9. třídě chvalitebně dosáhlo celkem 76 žáků. Bodové hranice Četnost % 4 5,26 0 - 11,5 nedostatečně 8 10,53 12 - 17,5 dostatečně 17 22,37 18 - 23,5 dobře 28 36,84 24 - 29,5 chvalitebně 19 25,00 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 76 100,00 Tabulka č. 59
2011 - klasifikace ze ZŠ chvalitebně 30 25
Četnost
20 15 Četnost
10 5 0
35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
76 1879 27,25 29 24,724 7,665 3 35
108
V tabulce č. 60 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě dobře. Klasifikace v 9. třídě dobře dosáhlo celkem 30 žáků. Bodové hranice Četnost % 3 10,00 0 - 11,5 nedostatečně 6 20,00 12 - 17,5 dostatečně 9 30,00 18 - 23,5 dobře 7 23,33 24 - 29,5 chvalitebně 5 16,67 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 30 100,00 Tabulka č. 60
2011 - klasifikace ZŠ dobře 10 9 8
Četnost
7 6 5 4
Četnost
3
2 1 0 35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
30 641 21,75 13 21,367 8,429 5,5 35
109
V tabulce č. 61 je četnost a procentuální vyjádření podle dosažených bodů žáků, kteří měli klasifikaci předmětu matematika v 9. třídě dostatečně. Klasifikace v 9. třídě dostatečně dosáhlo celkem 3 žáků. Bodové hranice Četnost % 1 33,33 0 - 11,5 nedostatečně 1 33,33 12 - 17,5 dostatečně 0 0,00 18 - 23,5 dobře 1 33,33 24 - 29,5 chvalitebně 0 0,00 30 – 35 výborně Celkový počet žáků 3 99,99 Tabulka č. 61
2011 - klasifikace ze ZŠ dostatečně
Četnost
2 1 Četnost
0 35
29,5
23,5
17,5
11,5
Bodové hranice
Počet žáků Součet bodů Medián Modus Střední hodnota Směrodatná odchylka Min. dosažených bodů Max. dosažených bodů
3 45 14 15 9,539 6 25
V grafech a tabulkách č. 50 - 61 je znázorněno rozložení bodového zisku v jednotlivých letech a je zřejmé nepatrné zlepšení v roce 2011 oproti předcházejícím rokům 2009 a 2010. Přesto je nutné konstatovat, že z žáků s klasifikací výborně, kterých bylo ve všech třech ročnících 610, pouze necelých 20% získalo v testu 30 – 35 bodů (viz. tabulky č. 46, 47, 48). Nelze přehlédnout, že jsou přijímáni na gymnázia žáci se známkou z matematiky dostatečnou. Přitom jejich bodový zisk byl vyšší než žáků s klasifikací dobře, dokonce i chvalitebně. Výsledky z tohoto pohledu potvrzují požadavek zavedení povinných přijímacích zkoušek.
110
5.6 Souhrnné hodnocení základních škol z výsledků nestandardizovaného didaktického testu ročníků 2009, 2010, 2011 Výzkum byl proveden celkem na 8 gymnáziích, zúčastnilo se ho 1159 žáků a výsledky jsou uvedeny v několika tabulkách v kapitole č. 3. Žáci, kteří se zúčastnili ankety, byli ze 125 různých základních škol. Z většiny základních škol bylo po jednom nebo dvou žácích. Srovnáme-li úspěšnost ZŠ, ze kterých byli žáci přijati na vybraná gymnázia, bude vhodnější dále pracovat s daty škol, ze kterých se zúčastnili výzkumu alespoň jejich 4 žáci. Dle tohoto kritéria alespoň 4 žáci z jedné základní školy a školy společné pro všechny tři ročníky ankety, je vybráno 13 škol, které jsou dále podrobněji hodnoceny a jejich seznam je uveden v tabulce č. 62. V tabulce č. 7, 8 a 9 je uveden dosažený počet bodů úspěšných řešení jednotlivých úloh a % úspěšnosti žáků všech ZŠ za jednotlivé ročníky. Řešení 4. úlohy nedosahuje v ročníku 2009 ani 25% úspěšnosti a to je varující. Úlohy č. 1, 2 a 6 nedosahují v některých ročnících ani 50% úspěšnosti. Pouze úlohy č. 3, 5 a 7 dosáhly vždy nad 50 %. Předpokládáme-li, že na gymnáziu studují nejlepší žáci ze ZŠ, výsledky nejsou nejlepší. Řešení příkladů s úspěšností pod 50 % (zaměřených na prověření základních početních operací, znalosti početních operací se zlomky, postupu odstranění závorek, práci s mocninami, převod měrných jednotek a zaokrouhlování, řešení geometrické úlohy vhledem) potvrzuje nedostatek logického uvažování při řešení úloh, chybný postup při úpravě zlomků, odstranění závorek a nezvládnutí základní početních operací. Nejlépe hodnocená škola dosáhla průměr pouze 28,88 bodů z 35 možných, a škola, která z vybraných škol skončila na posledním místě, dosáhla dokonce jen průměr 9,25 bodů. Nejvíce, tj. 31,5 bodů získala ZŠ, která není zahrnuta v tabulce č. 28, protože nesplnila kritérium účasti 4 žáků ve výzkumu ve všech třech ročnících. Vybrané školy byly hodnoceny dle dosažených výsledků v testech, tj. průměrem dosažených bodů celkem za školu a dále průměrem bodů dle známky z 9. třídy. U všech škol je v tabulce č. 62 uveden:
kód školy (přiřazený kód v každém ročníku) škola – název, nebo adresa školy počet žáků známka v 9. třídě součet dosažených bodů průměr dosažených bodů dle známek celkový průměr
Z tabulky č. 62 je zřejmé, že průměry výsledků škol se liší až o 20 bodů, a potvrdilo se, že úroveň znalostí matematiky nelze posuzovat jednoznačně podle klasifikačního stupně. Rozdíly znalostí je nutno minimalizovat v prvním ročníku, v průběhu prvního pololetí. Základní školy musí sledovat úspěšnost svých žáků na SŠ a musí být upozorňovány na vzrůstající vědomostní nedostatky a vyvodit závěry pro zlepšení nevyhovujícího stavu.
111
Název
Kód
Poč.
Známka
Souč.
Školy
školy
žáků
v 9.tř
bodů
3
6
nábř.
Herčíkova 19
Horácké
25
29
5
4
nám.
Krásného 24
Křídlovická 30
Milénova 14
Novolíšeňská 1
Sirotkova 36
Slovanské
50
51
67
78
93
95
5
13
12
8
13
17
nám.
tř.kpt.Jaroše
Tyršova, Brno
Vedlejší 10
Vejrostova 1
21
107
110
111
Celk.
Kód
Poč.
Známka
Souč.
prům .
školy
žáků
v 9.tř
bodů
/poč. žáků
2009 Bakalovo
Prům.
8
5
4
10
2
16
8
2
3
58,5
3
1
15,5
1
1
29
29
2
4
70
17,5
3
0
0
4
0
0
1
0
0
0
2
3
53,5
17,83
3
1
16,5
16,5
1
2
55,5
27,75
2
3
65
21,67
3
0
0
0
1
15
9
211
23,44
19,5
2
9
199
22,11
15,5
3
2
15
7,5
1
0
0
0
2
4
99
24,75
0
3
1
21,5
0
4
1
18
1
4
96
24
2
4
89,5
22,38
3
1
25
25
1
0
0
0
2
3
39
13
3
1
14
14
17,5
24,1
21,67 22,35
31
34
56
20
Poč.
Známka
Souč.
školy
žáků
v 9.tř
bodů
6
9
4
prům.
343
24,5
2
3
61
20,33
1
2
50,5
25,25
2
1
33
33
21,5
3
0
0
0
18
4
1
25
25
1
1
18
18
2
3
85
28,33
3
1
13
13
1
1
18
18
2
2
50,5
25,25
3
1
24
24
23,08
23,39
13,25
130
1
5
137
27,4
7
160,2
22,93
2
5
113
22,6
3
0
0
0
3
0
0
0
1
6
160
26,67
1
6
170,5
28,42
2
4
63
15,75
2
4
114
3
2
25,5
12,75
3
0
1
4
79
19,75
1
2
3
55,5
18,5
3
1
19
19
1
8
208
26
2
4
70
3
1
19
1
6
119,5
19,92
2
9
199
19,9
3
0
0
4
1 1
29
31
46
4
5
4
8
193
24,13
2
2
63
31,5
1
4
100
25
28,5
2
1
14
14
0
0
3
1
13
13
3
78
26
1
6
169
28,17
2
2
38,5
19,25
2
4
82,5
20,63
3
1
8
8
3
1
17
17
1
13
337
25,92
1
6
184
30,67
17,5
2
3
60
20
2
12
331,5
27,63
19
3
1
18
18
3
2
62
31
1
8
202,5
25,31
1
11
300,5
27,32
2
5
93,5
18,7
2
3
63,5
31,75
0
3
0
0
0
3
1
13
13
13,5
13,5
4
0
0
0
2
45,5
22,75
1
2
48
24
1
5
140
2
2
56
28
2
4
128,5
32,13
2
19
532
28
3
3
52
26
3
3
79
26,33
3
12
319
26,58
4
1
24
24
4
2
56,5
28,25
4
2
20
10
1
4
68,5
17,13
1
4
67
16,75
1
4
78
19,5
2
1
19
19
2
1
31,5
31,5
2
2
28,5
14,25
3
0
0
0
3
1
23
23
1
3
22,5
7,5
1
6
124,5
20,75
1
7
176
25,14
2
0
0
0
2
3
49
16,33
2
1
15
15
3
1
15,5
15,5
3
1
21,5
21,5
1
1
14
14
1
3
55
18,33
1
4
97
24,25
2
6
110
18,33
2
2
44,5
22,25
3
3
45,5
15,17
3
1
19
19
19,19
22,85
19,53
25,36
17,5
9,5
16,95
79
94
95
108
109
115
116
6
17
13
12
6
10
6
28,45
20,75
24,41
22,77
28,71
20,25
19,5
19,75
48
17
1
10
25
4
58
68
80
85
92
94
98
99
Celk.
/poč. žáků
14
6
69
10
21,25
Prům.
1
2
20,71
58
Kód
prům.
2011
1
19,8
4
Celk.
/poč. žáků
2010
1
Prům.
10
6
11
20
15
38
6
8
4
28
23,76
27,13
23,2
23,13
25,6
21,17
24,41
28,88
25,13
26,61
17,75
23,88
24,25
Tabulka č. 62 112
6. Závěr Jedním z cílů teoretické části disertační práce bylo ukázat úroveň našich žáků v kontextu výsledků mezinárodních srovnávacích výzkumů v matematice a zpracovat ucelený pohled na problematiku srovnávání znalostních testů žáků ČR se zahraničím. Vědomosti a dovednosti žáků analyzují mezinárodní výzkumy TIMSS, PISA, TALIS, SIALS, PIAAC, RLS, ICILS, PIRLS, které se realizují od roku 1995 až dosud. Výsledky a závěry plynoucí z hodnocení pro ČR, Slovensko a některé další vybrané státy střední Evropy, jsou popsány v kapitole č. 3. Poznatky z mezinárodních výzkumů jsou povinně limitovány tím, že použité nástroje musí vyhovovat všem zapojeným zemím. Cílem je srovnání vzdělávacích výsledků v různých zemích, a to nejen v Evropě. V České republice by mělo být množství takto získaných dat využíváno ve větším rozsahu. Důrazněji než doposud by měly být realizovány závěry, tak jako např. v Německu, kde v návaznosti na výsledky TIMSS a PISA bylo zavedeno široké spektrum inovativních a reformních aktivit. Dostupné informace o výsledcích a závěrech výzkumů z jednotlivých ročníků získané z webových stránek MŠMT a z četných zpracování s komentáři v pedagogické literatuře, jsou popsány v kapitole č. 3. Výsledky našich žáků ve výzkumu PISA na konci roku 2013 ukázaly, že jsou v matematice průměrné a znatelně horší než v roce 2003, kdy byla matematika také hlavní sledovanou oblastí. V posledních letech sice dochází k mírnému zlepšení, ale to není statisticky významné. V mezinárodních výzkumech (TIMSS, PISA, PIRLS) jsou vyhodnoceny nejen vzdělávací procesy, ale rovněž zjištění o faktorech, které také ovlivňují úroveň dosažených vzdělávacích výsledků, jako je sociální prostředí, ze kterého žáci pocházejí, čtenářská gramotnost, postoje žáků k vyučovanému předmětu. Disertační práce se zabývá rozdílnou úrovní znalostí matematiky studentů přicházejících na gymnázia z různých základních škol. Cílem práce byla analýza a vyhodnocení údajů získaných realizací nestandardizovaného didaktického testu. Vědomosti ze ZŠ jsou předpokladem a základem pro další studium. Výzkum znalostí matematiky žáků byl proveden v prvních ročnících celkem na 8 gymnáziích, zúčastnilo se ho 1159 žáků a výsledky jsou uvedeny v tabulkách v kapitole č. 5. Výzkum byl realizován v letech 2009, 2010 a 2011. Porovnání a zhodnocení výsledků ZŠ dosažených v testech je s ohledem na to, že z některých ZŠ bylo žáků méně (většinou jeden nebo dva žáci), obtížně srovnatelné. Proto byly do podrobného vyhodnocení vybrány ZŠ, ze kterých se zúčastnili výzkumu alespoň 4 žáci. Již v prvním a druhém ročníku se potvrdilo, že rozdíly znalostí dětí z různých ZŠ jsou znepokojující (tabulka č. 62). Zjištění mě vedla k tomu, že bude vhodné ke zmírnění těchto nedostatků a odstranění diferenciace znalostí, připravit podklady pro intenzivní opakování učiva ze ZŠ. Potvrdilo se, že největšími slabinami ve znalostech u žáků je provádění základních početních operací, znalosti početních operací se zlomky, postupu odstranění závorek, práce s mocninami a řešení geometrické úlohy vhledem. Z výsledků je znatelný nezažitý zápis slovních úloh, zápis postupu řešení rovnic i číselných výrazů. Srovnatelná zjištění jsou ve výsledcích mezinárodních výzkumů TIMSS a PISA. Nejistota a neznalost řešení byla zjevná a projevovala se i velmi nepřehledným zápisem s častými škrty a přepisy. Dosažené výsledky jednotlivých žáků neodpovídaly klasifikačnímu stupni z předmětu matematika v posledním ročníku ZŠ. Míra objektivity klasifikace žáků z výsledků testu byla stanovena užitím výpočtu Spearmanova koeficientu pořadové korelace v kapitole č. 5.5 jako slabá. Úspěšnost žáků jednotlivých ročníků vybraných škol vzhledem ke klasifikaci v 9. třídě ZŠ je graficky vyjádřena v kapitole č. 5.5.1 s uvedením příslušných hodnot v tabulkách. Zajímavé bylo pořadí úspěšnosti řešení úlohy na určení nejmenšího společného násobku tří čísel, kterou v roce 2009 vyřešilo správně nejméně žáků a naopak v ročních 2010, 2011 113
měla úloha nejvyšší úspěšnost řešení. Rozdílný výsledek není opodstatněn žádnou změnou v RVP nebo studijních osnovách. Dobré výsledky měla slovní úloha na počítání s procenty a práci s textem, jednoduché otázky zaměřené na ověření znalosti teorie z geometrie, úloha prověření znalosti základních vzorců na umocnění dvojčlenu a úlohy zaměřené na určení nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele (s výjimkou ročníku 2009). Úspěšnost ve znalostech z geometrie a vzorců potvrzují charakteristiku našich žáků z mezinárodních výzkumů, kde se ukazuje jejich dobrá vybavenost znalostmi, avšak horší práce s jejich využitím pro řešení úloh. Většina témat středoškolské matematiky předpokládá znalost aritmetických operací s čísly, úpravu zlomků, práci se závorkami, řešení rovnic nebo počítání s procenty. Zvládnutí uvedených okruhů je nezbytným předpokladem dalšího studia na střední škole. Podstatné chyby provázející řešení úloh lze rozdělit do několika skupin: numerické chyby, úpravy číselných výrazů, chyby vzniklé nesystematickým a neúplným zápisem postupu. Výsledky výzkumu potvrdily, že klasifikační stupeň ohodnocení žáků, se kterým přicházejí na střední školu, není vždy vypovídajícím ukazatelem o jejich znalostech. Hodnocení zpravidla odpovídá výrazně rozdílné úrovni znalostí, jak je zřejmé z výsledků v tabulce č. 62, ve sloupcích Známka v 9. tř. a Průměr získaných bodů. Rozdíly ve znalostech je nutno minimalizovat v prvním ročníku, v průběhu prvního pololetí. Samozřejmostí je zpětná vazba se základními školami o vzrůstajících vědomostních nedostatcích a vyvození závěrů pro zlepšení nevyhovujícího stavu. Samostatnou součástí navazující na vyhodnocenou anketu jsou učební texty, které jsem vytvořila. Texty byly vytvořeny tak, aby podpořily sjednocení a zvýšení úrovně znalostí matematiky u žáků přicházejících na gymnázia z různých ZŠ. Ve výuce matematiky na ZŠ je nutné zohlednit nové poznatky o získávání znalostí a dovedností v souladu s vyvíjejícími se požadavky a podmínkami současnosti. Zejména je nezbytné dbát na to, aby získané vědomosti byly správně zasazeny do již existujícího systému vědomostí a přecházely v dovednosti použitelné v řešení každodenních problémů a nejen v konkrétních matematických úlohách. Chybí provázanost učiva matematiky s praxí, a i to má za následek, že žáci nedosahují očekávaných matematických vědomostí. Vytvořené učební texty jsou umístěny na webových stránkách http://mathrelays.rhcloud.com i ve formě pro tisk. Žáci je mohou využít ke studiu a učitelé si z nich jednoduchým způsobem mohou sestavovat a obměňovat krátké testy k opakování a procvičení učiva ze ZŠ v prvním ročníku SŠ na začátku školního roku. Studijní materiály obsahují šest kapitol: Číselné obory, Zlomky, Výrazy (Mocniny s přirozeným mocnitelem, Mnohočleny, Mocniny s celočíselným mocnitelem), Rovnice, Procenta, Slovní úlohy. V každé kapitole je uveden stručný učební text, ve kterém jsou začleněny i vzorově vyřešené příklady. Na učební text pak navazují interaktivní cvičení, sloužící k procvičení látky. Kapitolu uzavírá test s příklady k danému okruhu, jak bylo podrobně uvedeno v kapitole č. 5.4.4. Žáci musí umět samostatně zpracovat novou informaci a být schopni ji zařadit do již nabytých vědomostí. K tomu přispěje větší zaměření pozornosti učitele na vyskytující se chyby žáků, učitel musí dle potřeby žáků doplňovat a zpřesňovat jejich vědomosti. Je pak lépe schopen se zaměřit na problematické části při seznamování žáků s novým učivem. Žáci by měli být při výkladu nového učiva aktivní, vedení k samostatnému myšlení a neměli by jen dostávat hotové závěry.
114
Přínosem disertační práce je ucelený přehled o výsledcích mezinárodních srovnávacích výzkumů a jejich možné využití ve vzdělávacím procesu. Pro praxi jsou přínosem vytvořené učební texty, které by mohly být nápomocny v přípravě žáků i učitelů při sestavování kontrolních testů, k procvičení zvoleného učiva, apod. Systém úloh je snadno rozšiřitelný a v tom je jeho další výhoda pro aplikaci. Výsledky a zjištění v disertační práci mohou být i podnětem pro učitele základních škol k důslednější přípravě i hodnocení budoucích studentů gymnázií. Námět pro další pokračování práce na tématu a výzkumu vidím v možnostech propracování zpětné vazby mezi střední školou a základní školou.
115
Literatura 1) Basl, J.: Širší souvislosti mezinárodního srovnání výsledků českých žáků v matematice a přírodních vědách, 2009, Socioweb, č. 6. http://www.socioweb.cz/index.php?disp =teorie&shw=407&lst=108 2) Binterová, H., Hošpesová, A., & Novotná, J.: Constitution of the classroom environment, In D. J. Clarke, C. Keitel, & Y. Shimitzu (Eds.), Mathematics classrooms in twelve countries: The insider’s perspective (s. 275–288). Rotterdam: SensePublishers 2006 3) Bílá kniha. Národní program rozvoje vzdělávání v České republice. MŠMT, Praha 2001 4) Bransford, J. D., Donovan, M. S.: Scientific Inquiry and How People Learn. In: How Students Learn: Mathematics in the Classroom. Editors: Donovan, M. S., Bransford, J. D. Washington, DC, USA: National Academic Press, 2005. ISBN 0-30907433-9 5) Carlson, M., Oehrtman, M.: Key Aspects of Knowing and Learning the Concept of Function. In: MAA Online, http://www.maa.org/t_and_l/sampler/research_sampler.html (The Mathematical Association of America), 2005. 6) Čáp, J.: Psychologie výchovy a vyučování. Praha: Univerzita Karlova, 1997, ISBN 80-7066-534-3 7) Dvořák, D.: Postavení a pojetí matematiky v kurikulu. Příspěvek prezentovaný na konferenci Dva dny s didaktikou matematiky, Praha, 2010a http://www.csicr.cz/getattachment/cz/O-nas/Mezinarodni-setreni-archiv/VVV/VYUZITIVYSLEDKUVYZKUMU-PRO-PODPORU-SKOL-A-JEJICH/postaveni-a-pojetimatematiky-v-kurikulu.pdf 8) Dvořák, D.: Ve kterých úlohách TIMSS naši žáci nejméně uspěli (a proč). Odborný seminář k matematickému vzdělávání, 2010b http://www.csicr.cz/getattachment/cz/O-nas/Mezinarodni-setreni-archiv/VVV/VYUZITIVYSLEDKU-VYZKUMU-PRO-PODPORU-SKOLA-JEJICH/ve-kterych-ulohachTIMSS-zaci-nejmene-uspeli.pdf 9) Eisenmann, P.: Funkční myšlení žáků a studentů - popis pedagogického experimentu. In: Matematika v škole dnes a zajtra, zborník 6. ročníka konferencie s medzinárodnou účasťou, Ružomberok, 2006, 58 -61 10) Eisenmann, P.: Možnosti rozvoje funkčního myšlení žáků ve výuce matematiky na základní škole. In: Sborník příspěvků celostátní konference Jak učit matematice žáky ve věku 11 - 15 let, JCMF, Hradec Králové, 2006, 53 - 62 11) Eisenmann, P., Kopáčková, A.: Rozvoj funkčního myšlení ve výuce matematiky na základní škole. Praha: JČMF, 2006. ISBN 80-7015-085-8 12) Eurypedia, 2011 http://webgate.ec.europa.eu/fpfis/mwikis/eurydice/index .php/Main_Page. 116
13) Federičová, M.; Münich, D.: Rozdíly v matematické a čtenářské gramotnosti chlapců a dívek a raná selekce: trendy v obou zemích po rozdělení Československa, ORBIS SCHOLAE, 2014, 8 (1) 27−45 14) Federičová, M., & Münich, D.: Příprava na osmiletá gymnázia: velká žákovská steeplechase, IDEA Study 2/2014 http://idea.cerge-ei.cz/files/IDEA_Studie_10_2013.pdf. 15) Fuchs, E., HošpesovÁ, A., Lišková, H.: Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Praha: Prométheus, 2006. ISBN 80-7196-326-7 16) Fuchs, E., Hrubý, D. a kol.: Standardy a testové úlohy z matematiky pro základní školy a nižší ročníky víceletých gymnázií. Praha: Prométheus, 2000. ISBN 80-7196-169-8 17) Fuchs, E., Hrubý, D., Herman, J., Chrápavá, V., & Kubínová, M.: Standardy a testové úlohy z matematiky pro ZŠ a víceletá gymnázia. Praha: Prometheus, 2000. 18) Fuchs, E., Kubát, J. a kol.: Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. Praha: Prométheus, 1998. ISBN 80-7196-095-0 19) Fuson, K. C, Kalchman, M., Bransford, J. D.: Mathematical Undestanding. In: How Students Learn: Mathematics in the Classroom. Editors: Donovan, M. S., Bransford, J. D. Washington, DC, USA: National Academie Press, 2005. ISBN 0-309-07433-9 20) Gall, M. D., Borg, W. R., Gall, J. P.: Educational Research. Boston: Pearson Allyn k Bacon, 2006. ISBN 0-8013-0980-8 21) Gavora, P.: Úvod do pedagogického výzkumu. Brno: Paido, 2000. ISBN 80-85931-79-6 22) Hejny, M. a kolektív: Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1989. ISBN 80-08-00014-7 23) Hejný, M., Houková, J., Jirotková, D., Lauková, V., Mandíková, D., & Starý, K., et al.: Matematické a přírodovědné úlohy pro první stupeň základního vzdělávání. Náměty pro rozvoj kompetencí žáků na základě zjištění výzkumu TIMSS 2007. Praha: ÚIV, 2011 24) Hejný, M., & Kuřina, F.: Dítě, škola a matematika. Praha: Portál, 2009 25) Hejný, M., Stehlíková, N.: Číselné představy dětí, Praha: Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta, 1999, ISBN 8086039986. 26) Hejný, M., Novotná, J., Stehlíková, N.: Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky 1. díl, Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta, 2004, ISBN 80-7290-189-3. 27) Hejný, M., Novotná, J., Stehlíková, N.: Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky 2. díl, Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta, 2004, ISBN 80-7290-189-3. 28) Herman, J. a kol.: Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií Rovnice a jejich soustavy, Prometheus 1999 117
29) Herman, J. a kol.: Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií Výrazy 1, 2; Prometheus 1999 30) Herman, J. a kol.: Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií Geometrické konstrukce, Prometheus 1999 31) Herman, J. a kol.: Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií Racionální čísla. Procenta, Prometheus 2007 32) Hrubý, D.: Kurikulární reforma přišla pozdě. Pedagogická orientace, 2011, roč. 21, č.4, 474–480. 33) Hrubý, D.; Kuřina, F.; Vopěnka, P. : O matematice a jejím vyučování, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 2007, roč.52, č. 4, 330 - 342 PersistentURL: http://dml.cz/dmlcz/14137 34) Chráska, M.: Didaktické testy v práci učitele. Olomouc: KPÚ 1988 35) Chráska, M.: Didaktické testy. Brno: Paido, 1999. ISBN 80-85931-68-0 36) Chráska, M: Úvod do výzkumu v pedagogice: Základy kvantitativně orientovaného výzkumu. Olomouc: UP, 2003. ISBN 80-244-0765-5 37) Janík, J.: Od reformy kurikula k produktivní kultuře vyučování a učení. Pedagogická orientace, 2013, roč. 23, č.5, 634–663. 38) Janík, T., & Najvarová, V.: Problémy školního vzdělávání ve světle výzkumů TIMSS a PISA (porovnání situace v České republice a v Německu). In D. Greger & V. Ježková (Eds.), Školní vzdělávání: Zahraniční trendy a inspirace (s. 102–123). Praha: Karolinum, 2007 39) Ježková, V.: Čtenářská gramotnost v Německu z pohledu výzkumů PISA, Pedagogická orientace, 2014, roč. 24, č. 1, s. 58–76 40) Kaščák, O., & Pupala, B. (2011). PISA v kritickej perspektíve. Orbis scholae, 5(1), 53–70. 41) Kelblová, L., et al.: Čeští žáci v mezinárodním srovnání: České školství ve světle dlouhodobě zjišťovaných výsledků vzdělávání v mezinárodních šetřeních. Praha: ÚIV, 2006 42) Klieme, E., Artelt, C., Hartig, J., et al. (Eds.): PISA 2009. Bilanz nach einem Jahrzehnt. Münster: Waxmann, 2010a. 43) Klieme, E., Jude, N., Baumert, J., & Prenzel, M.: PISA 2000– 2 009: Bilanz der Veränderungen im Schulsystem. In E. Klieme, C. Artelt, & J. Hartig, et al. (Eds.), PISA 2009. Bilanz nach einem Jahrzehnt (s. 278– 3 00). Münster: Waxmann, 2010b. 44) Klieme, E., Maag-Merki, K., & Hartig., J.: Kompetence a jejich význam ve vzdělávání. Pedagogická orientace, 20(1), 104–119, 2010c. 118
45) Kuřina, F. : Kompetence a školní praxe Rozpaky oborového didaktika nad kurikulární reformou, Pedagogická orientace, 2014, roč. 24, č. 3, s. 434 – 443 46) Kuřina, F.: Naše pedagogická realita. Matematika, fyzika, informatika, 23(1), 1–8. 2014, roč. 23, č. 1, s. 1 – 8. 47) Mandíková, D. a Palečková, J.: Výsledky českých žáků ve výzkumu PISA 2009 zhoršení v matematice i přírodních vědách. MFI, 2011, roč. 21, č. 4, s. 210–222. 48) Mandíková, D. a Palečková, J.: Výsledky českých žáků ve výzkumu PISA 2012 – mírný optimismus, Matematika – fyzika – informatika, 2014, roč. 23, č.5, Prometheus 49) Maňák J., Švec, V.: Cesty pedagogického výzkumu, Brno: Paido, 2004. ISBN 80-7315-078-6. 50) Matějů, P., et al.: Funkční gramotnost dospělých. Praha: SOÚ AV ČR, 1998 51) Mužič, V.: Testy vědomostí, Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1971, ČSN ISO 690 52) Odvárko, O., Kadleček, J.: Matematika pro 9. ročník základní školy 2. Praha: Prométheus, 2000. ISBN 80-7196-208-2 53) Odvárko, O., Kadleček, J.: Knížka pro učitele ke školním vzdělávacím programům na druhém stupni ZS. Matematika a její aplikace. Praha: Prométheus, 2006. ISBN 80-7196-333-X 54) Palečková, J., Tomášek, V. a kol.: Hlavní zjištění PISA 2012. Matematická gramotnost patnáctiletých žáků. ČŠI, Praha, 2013. 55) Palečková, J., & Tomášek, V.: Mezinárodní evaluace vzdělávacích výsledků. In J. Průcha (Ed.), Pedagogická encyklopedie (s. 605–610). Praha: Portál, 2009. 56) Palečková, J., Tomášek, V.: Posun ve znalostech čtrnáctiletých žáků v matematice a přírodních vědách, Zpráva o výsledcích mezinárodního výzkumu TIMSS. Praha: ÚIV, 2001 57) Palečková, J., Tomášek, V., & Basl, J.: Hlavní zjištění výzkumu PISA 2009. Umíme ještě číst? Praha: ÚIV, 2010. 58) Pelikán, J.: Základy empirického výzkumu pedagogických jevů. Praha: Karolinum, 2004. ISBN 80-7184-569-8 59) Piťha, P.: Velká iluze českého školství. In: Učitel matematiky, ročník 16, číslo 4, květen 2008, s. 231 - 241. Praha: JČMF, 2008. ISSN 12109037 60) Polák, J.: Přehled středoškolské matematiky, Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-267-8 61) Polák, J.: Středoškolská matematika v úlohách II, Prometheus, 1999, ISBN 80-7196-166-3 119
62) Potužníková, J.; Lokajíčková, V.: Janík, T.: Mezinárodní srovnávací výzkumy školního vzdělávání v České republice: zjištění a výzvy, Pedagogická orientace, 2014, roč. 24, č. 2, s. 185–221 https://journals.muni.cz/pedor/article/view/618 63) Rendl, M.; Vondrová, N.: Kritická místa v matematice u českých žáků na základě výsledků šetření TIMSS 2007, Pedagogická orientace, 2014, roč. 24, č. 1, s. 22–57 64) Skalková, J.: Obecná didaktika. Praha: Grada, 2007. ISBN 978-80247-1821-7 65) Straková, J.: Ke kritice výzkumu PISA, 2011, Orbis scholae, 5(3), 123–127 66) Straková, J.: Vzdělávací politika a mezinárodní výzkumy výsledků vzdělávání v ČR. Orbis scholae, 2009, roč. 3, č.3, 103–118. 67) Straková, J.: Jak dál s kurikulární reformou. Pedagogická orientace, 2013, 23(5), 734–743. 68) Skemp, P. R.: Relational Understanding and instrumental understanding. In Mathematics teaching. 177. 20-26. 1967 69) Štech, S.: Když je kurikulární reforma evidence-less. Pedagogická orientace, 2013, 23(5), 615–633. 70) Štech, S.: PISA – nástroj vzdělávací politiky nebo výzkumná metoda? Orbis scholae, 2011, 5(1), 123–133. 71) Tanner, H., Jones, S.: Becoming a Successful Teacher of Mathematics. London, UK: RoutledgeFalmer, 2000. ISBN 0-203-46696-9 72) Tomášek, V. a kol.: Výzkum TIMSS 2007. Úlohy z matematiky pro 8. ročník. Praha: ÚIV, 2009. ISBN 978-80-211-0591-1 73) Úlohy pro měření čtenářské, matematické a přírodovědné gramotnosti (2000). Praha: ÚIV. http://www.csicr.cz/getattachment/cz/O-nas/Mezinarodni-setreni-archiv/PISA/PISA2000/ulohy-pro-mereni-gramotnosti-publikace.pdf 74) Walterová, E., Greger, D.: Přechod žáků ze základní na střední školu pohledy výzkumů, Brno: Paido, 2009. ISBN 978-80-7315-179-9 75) Walterová, E.: Kurikulum: proměny a trendy v mezinárodní perspektivě, Brno: Masarykova univerzita v Brně, 1994. ISBN 80-210-0846-6 76) http://www.scio.cz/media/vysvedceni2012.pdf 77) http://www.ct24.cz/domaci/71786-scio-znalosti-maturantu-se-za-11-let-nezmenily/ 78) http://www.csicr.cz/Prave-menu/Mezinarodni-setreni
120
79) http://www.topzine.cz/magazin/scio-uroven-stredoskolskeho-vzdelavani-je-stabilizovana/ 80) http://aktualne.centrum.cz/domaci/zivot-v-cesku/clanek.phtml?id=652235 81) http://www.msmt.cz 82) http://www.feec.vutbr.cz/tisk_zpravy/index.php?id=tzp6 83) http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/srni-lat.pdf 84) http://math.unipa.it/~grim/21_project/21_brno03_vanurova.pdf 85) http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/137718/PokrokyMFA_26-1981-1_4.pdf 86) http://www.vzdelavani.cz/1_download/TKKV/sbornik_TKKV_2012_web.pdf 87) http://www.nuv.cz/ramcove-vzdelavaci-programy/rvp-pro-zakladni-vzdelavani 88) http://www.niqes.cz/Niqes/media/Testovani/Zpr%C3%A1vy/Zaverecna-zprava-59zverejneni.pdf 89) http://www.oecd.org/statistics/compare-your-country.htm 90) http://www.oecd.org/els/emp/LFSNOTES_SOURCES.pdf 91) http://www.feec.vutbr.cz/tisk_zpravy/index.php?id=tzp6
121
Seznam příloh Příloha č. 1
Seznam ZŠ zúčastněných v anketě r. 2009, r. 2010, r. 2011
Příloha č. 2
Tabulka dat pro určení Spearmanova korelačního koeficientu
Příloha č. 3
Výstupy RVP a standardy pro 2. stupeň ZŠ zahrnuté v didaktickém testu
Příloha č. 4
Pomocné studijní materiály
122
Příloha č. 1. Seznam ZŠ zúčastněných v anketě r. 2009, r. 2010, r. 2011
Školy nad 4 žáky 2009
Školy nad 4 žáky 2010
Školy nad 4 žáky 2011
Antonínská 3 Bakalovo nábř. Boskovice Gajdošova 3 Herčíkova 19 Holzova 1 Horácké nám. Horníkova 1 Chalabalova 2 Janouškova 2 Krásného 24 Křídlovická 30 Kuldova 38 Lysice Merhautova 37 Milénova 14 nám. Míru 3 nám. Svornosti 7 Novolíšeňská 10 Pastviny 70 Sirotkova 36 Slovanské nám. Svážná 9 tř. kpt. Jaroše Tuháčkova 25 Tyršova, Brno Vedlejší 10 Vejrostova 1 Želešice
Antonínská 3 Bakalovo nábř. Blažkova 9 Herčíkova 19 Holzova 1 Horácké nám. 13 Horníkova 1 Jana Babáka 1 Jihomoravské nám. 2 Komenského Slavkov Kotlářská 4 Krásného 24 Křídlovická 30 Labská 27 Laštůvkova 77 Měšťanská 21 Milénova 14 nám. Svornosti 7 Novolíšeňská 10 Otnice Pastviny 70 Řehořova 3 Sirotkova 36 Slovanské nám. Svážná 9 Šlapanice tř. kpt. Jaroše Tyršova, Brno Úvoz 55 Vedlejší 10 Vejrostova 1 Velká Bíteš Vídeňská 47 Zemědělská 29
Bakalovo nábř. Gymn. Křenová 36 Gymnázium INTEGRA Herčíkova 19 Horácké nám. Husova 17 Krásného 24 Křídlovická 30 Milénova 14 Německé zemské gymn. Novolíšeňská 10 Otnice Plovdivská 8 Přemyslovo nám. 1 Sirotkova 36 Slovanské nám. tř. kpt. Jaroše Tyršova, Brno Vedlejší 10 Vejrostova 1 Velká Bíteš ZŠ Slovanské nám.
V tabulce jsou tučně vyznačeny školy zařazené do hodnocení všech tří ročníků ankety.
123
Příloha č. 2. Tabulka dat pro určení Spearmanova korelačního koeficientu
pořadí
poč.
pořadí známka
pořadí
bodů
podle
podle
v testu
počtu
v 9.tř. ZŠ
bodů
známky
d
2
d
pořadí
poč.
pořadí známka
pořadí
bodů
podle
v 9.tř.
podle
v testu
počtu
ZŠ
známky
v 9.tř.
bodů
v testu
d
d2
v 9.tř.
v testu
124
22
225
1
94
131
17 161,00
247
25
159
2
254,5
-95,5
9 120,25
125
22
226
1
94
132
17 424,00
248
25
159
2
254,5
-95,5
9 120,25
126
21,5
232
1
94
138
19 044,00
249
25
159
2
254,5
-95,5
9 120,25
127
21,5
232
1
94
138
19 044,00
250
25
159
2
254,5
-95,5
9 120,25
128
21,5
232
1
94
138
19 044,00
251
25
159
2
254,5
-95,5
9 120,25
129
21,5
232
1
94
138
19 044,00
252
24,5
164,5
2
254,5
-90
8 100,00
130
21,5
232
1
94
138
19 044,00
253
24,5
164,5
2
254,5
-90
8 100,00
131
20,5
242
1
94
148
21 904,00
254
24
189,5
2
254,5
-65
4 225,00
132
20,5
242
1
94
148
21 904,00
255
24
189,5
2
254,5
-65
4 225,00
133
20,5
242
1
94
148
21 904,00
256
24
189,5
2
254,5
-65
4 225,00
134
20
248,5
1
94
154,5
23 870,25
257
24
189,5
2
254,5
-65
4 225,00
135
20
248,5
1
94
154,5
23 870,25
258
24
189,5
2
254,5
-65
4 225,00
136
20
248,5
1
94
154,5
23 870,25
259
24
189,5
2
254,5
-65
4 225,00
137
20
248,5
1
94
154,5
23 870,25
260
24
189,5
2
254,5
-65
4 225,00
138
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
261
23
212,5
2
254,5
-42
1 764,00
139
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
262
23
212,5
2
254,5
-42
1 764,00
140
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
263
23
212,5
2
254,5
-42
1 764,00
141
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
264
23
212,5
2
254,5
-42
1 764,00
142
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
265
23
212,5
2
254,5
-42
1 764,00
143
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
266
23
212,5
2
254,5
-42
1 764,00
144
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
267
23
212,5
2
254,5
-42
1 764,00
145
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
268
23
212,5
2
254,5
-42
1 764,00
146
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
269
22
224
2
254,5
-30,5
930,25
147
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
270
21,5
232
2
254,5
-22,5
506,25
148
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
271
21,5
232
2
254,5
-22,5
506,25
149
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
272
21,5
232
2
254,5
-22,5
506,25
150
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
273
20,5
242
2
254,5
-12,5
156,25
151
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
274
20,5
242
2
254,5
-12,5
156,25
152
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
275
20
248,5
2
254,5
-6
36
124
153
19
266,5
1
94
172,5
29 756,25
276
20
248,5
2
254,5
-6
36
154
18
290,5
1
94
196,5
38 612,25
277
20
248,5
2
254,5
-6
36
155
18
290,5
1
94
196,5
38 612,25
278
19
266,5
2
254,5
12
144
156
18
290,5
1
94
196,5
38 612,25
279
19
266,5
2
254,5
12
144
157
18
290,5
1
94
196,5
38 612,25
280
19
266,5
2
254,5
12
144
158
18
290,5
1
94
196,5
38 612,25
281
19
266,5
2
254,5
12
144
159
18
290,5
1
94
196,5
38 612,25
282
19
266,5
2
254,5
12
144
160
18
290,5
1
94
196,5
38 612,25
283
19
266,5
2
254,5
12
144
161
18
290,5
1
94
196,5
38 612,25
284
19
266,5
2
254,5
12
144
162
18
290,5
1
94
196,5
38 612,25
285
19
266,5
2
254,5
12
144
163
17
303
1
94
209
43 681,00
286
19
266,5
2
254,5
12
144
164
15,5
312,5
1
94
218,5
47 742,25
287
19
266,5
2
254,5
12
144
165
15,5
312,5
1
94
218,5
47 742,25
288
19
266,5
2
254,5
12
144
166
15,5
312,5
1
94
218,5
47 742,25
289
19
266,5
2
254,5
12
144
167
15,5
312,5
1
94
218,5
47 742,25
290
18
290,5
2
254,5
36
1 296,00
168
15
316
1
94
222
49 284,00
291
18
290,5
2
254,5
36
1 296,00
169
15
316
1
94
222
49 284,00
292
18
290,5
2
254,5
36
1 296,00
170
14
325
1
94
231
53 361,00
293
18
290,5
2
254,5
36
1 296,00
171
14
325
1
94
231
53 361,00
294
18
290,5
2
254,5
36
1 296,00
172
14
325
1
94
231
53 361,00
295
18
290,5
2
254,5
36
1 296,00
173
14
325
1
94
231
53 361,00
296
17
303
2
254,5
48,5
2 352,25
174
14
325
1
94
231
53 361,00
297
17
303
2
254,5
48,5
2 352,25
175
14
325
1
94
231
53 361,00
298
16,5
307
2
254,5
52,5
2 756,25
176
14
325
1
94
231
53 361,00
299
16,5
307
2
254,5
52,5
2 756,25
177
14
325
1
94
231
53 361,00
300
16
309,5
2
254,5
55
3 025,00
178
14
325
1
94
231
53 361,00
301
16
309,5
2
254,5
55
3 025,00
179
13
340
1
94
246
60 516,00
302
15
316
2
254,5
61,5
3 782,25
180
13
340
1
94
246
60 516,00
303
14
325
2
254,5
70,5
4 970,25
181
13
340
1
94
246
60 516,00
304
14
325
2
254,5
70,5
4 970,25
182
13
340
1
94
246
60 516,00
305
14
325
2
254,5
70,5
4 970,25
183
12
348,5
1
94
254,5
64 770,25
306
14
325
2
254,5
70,5
4 970,25
184
10,5
351,5
1
94
257,5
66 306,25
307
13,5
333
2
254,5
78,5
6 162,25
185
10,5
351,5
1
94
257,5
66 306,25
308
13
340
2
254,5
85,5
7 310,25
186
8
357
1
94
263
69 169,00
309
13
340
2
254,5
85,5
7 310,25
187
8
357
1
94
263
69 169,00
310
13
340
2
254,5
85,5
7 310,25
188
35
6,5
2
254,5
-248
61 504,00
311
13
340
2
254,5
85,5
7 310,25
125
189
35
6,5
2
254,5
-248
61 504,00
312
12
348,5
2
254,5
94
8 836,00
190
35
6,5
2
254,5
-248
61 504,00
313
12
348,5
2
254,5
94
8 836,00
191
34
15
2
254,5
-239,5
57 360,25
314
9
353,5
2
254,5
99
9 801,00
192
34
15
2
254,5
-239,5
57 360,25
315
9
353,5
2
254,5
99
9 801,00
193
34
15
2
254,5
-239,5
57 360,25
316
8
357
2
254,5
102,5
10 506,25
194
34
15
2
254,5
-239,5
57 360,25
317
8
357
2
254,5
102,5
10 506,25
195
34
15
2
254,5
-239,5
57 360,25
318
7
360
2
254,5
105,5
11 130,25
196
34
15
2
254,5
-239,5
57 360,25
319
6
362,5
2
254,5
108
11 664,00
197
34
15
2
254,5
-239,5
57 360,25
320
4,5
366
2
254,5
111,5
12 432,25
198
34
15
2
254,5
-239,5
57 360,25
321
3
367
2
254,5
112,5
12 656,25
199
34
15
2
254,5
-239,5
57 360,25
322
35
6,5
3
341,5
-335
112 225,00
200
34
15
2
254,5
-239,5
57 360,25
323
34
15
3
341,5
-326,5
106 602,25
201
34
15
2
254,5
-239,5
57 360,25
324
34
15
3
341,5
-326,5
106 602,25
202
33
46
2
254,5
-208,5
43 472,25
325
33
46
3
341,5
-295,5
87 320,25
203
33
46
2
254,5
-208,5
43 472,25
326
33
46
3
341,5
-295,5
87 320,25
204
33
46
2
254,5
-208,5
43 472,25
327
29
98
3
341,5
-243,5
59 292,25
205
33
46
2
254,5
-208,5
43 472,25
328
29
98
3
341,5
-243,5
59 292,25
206
32,5
52
2
254,5
-202,5
41 006,25
329
28
130
3
341,5
-211,5
44 732,25
207
31,5
58
2
254,5
-196,5
38 612,25
330
28
130
3
341,5
-211,5
44 732,25
208
31,5
58
2
254,5
-196,5
38 612,25
331
27
140,5
3
341,5
-201
40 401,00
209
31,5
58
2
254,5
-196,5
38 612,25
332
25,5
153
3
341,5
-188,5
35 532,25
210
30
68,5
2
254,5
-186
34 596,00
333
24
189,5
3
341,5
-152
23 104,00
211
30
68,5
2
254,5
-186
34 596,00
334
24
189,5
3
341,5
-152
23 104,00
212
30
68,5
2
254,5
-186
34 596,00
335
24
189,5
3
341,5
-152
23 104,00
213
29,5
74
2
254,5
-180,5
32 580,25
336
24
189,5
3
341,5
-152
23 104,00
214
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
337
23
212,5
3
341,5
-129
16 641,00
215
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
338
22
225
3
341,5
-116,5
13 572,25
216
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
339
22
227
3
341,5
-114,5
13 110,25
217
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
340
21,5
232
3
341,5
-109,5
11 990,25
218
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
341
21
238
3
341,5
-103,5
10 712,25
219
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
342
21
238
3
341,5
-103,5
10 712,25
220
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
343
21
238
3
341,5
-103,5
10 712,25
221
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
344
20
248,5
3
341,5
-93
8 649,00
222
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
345
18
290,5
3
341,5
-51
2 601,00
223
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
346
18
290,5
3
341,5
-51
2 601,00
224
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
347
18
290,5
3
341,5
-51
2 601,00
126
225
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
348
18
290,5
3
341,5
-51
2 601,00
226
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
349
17
303
3
341,5
-38,5
1 482,25
227
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
350
17
303
3
341,5
-38,5
1 482,25
228
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
351
16,5
307
3
341,5
-34,5
1 190,25
229
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
352
14
325
3
341,5
-16,5
272,25
230
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
353
13
340
3
341,5
-1,5
2,25
231
29
98
2
254,5
-156,5
24 492,25
354
13
340
3
341,5
-1,5
2,25
232
28
130
2
254,5
-124,5
15 500,25
355
13
340
3
341,5
-1,5
2,25
233
28
130
2
254,5
-124,5
15 500,25
356
13
340
3
341,5
-1,5
2,25
234
28
130
2
254,5
-124,5
15 500,25
357
13
340
3
341,5
-1,5
2,25
235
28
130
2
254,5
-124,5
15 500,25
358
8
357
3
341,5
15,5
240,25
236
28
130
2
254,5
-124,5
15 500,25
359
6
362,5
3
341,5
21
441
237
28
130
2
254,5
-124,5
15 500,25
360
5,5
365
3
341,5
23,5
552,25
238
28
130
2
254,5
-124,5
15 500,25
361
0
369,5
3
341,5
28
784
239
27,5
139
2
254,5
-115,5
13 340,25
362
34
15
4
366
-351
123 201,00
240
26,5
146,5
2
254,5
-108
11 664,00
363
25
159
4
366
-207
42 849,00
241
26,5
146,5
2
254,5
-108
11 664,00
364
18
290,5
4
366
-75,5
5 700,25
242
26,5
146,5
2
254,5
-108
11 664,00
365
14
325
4
366
-41
1 681,00
243
26,5
146,5
2
254,5
-108
11 664,00
366
12
348,5
4
366
-17,5
306,25
244
26,5
146,5
2
254,5
-108
11 664,00
367
6
362,5
4
366
-3,5
12,25
245
25,5
153
2
254,5
-101,5
10 302,25
368
6
362,5
4
366
-3,5
12,25
246
25,5
153
2
254,5
-101,5
10 302,25
369
1
368
4
366
2
4
370
0
369,5
4
366
3,5
12,25
127
Příloha č. 3. Výstupy RVP a standardy pro 2. stupeň ZŠ zahrnuté v didaktickém testu Tematický okruh Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
1. ČÍSLO A PROMĚNNÁ
M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní operace se zlomky a desetinnými čísly 2. žák dodržuje pravidla pro pořadí početních operací v oboru celých a racionálních čísel, využívá vlastností operací sčítání a násobení (komutativnost, asociativnost, distributivnost) při úpravě výrazů 3. žák vyznačí na číselné ose racionální číslo a číslo k němu opačné 4. žák užívá znalosti druhých mocnin celých čísel od 1 do 20 (i ke stanovení odpovídajících druhých odmocnin) 5. žák určí rozvinutý zápis přirozeného čísla v desítkové soustavě 6. žák provádí základní úpravy zlomků (rozšiřuje a krátí zlomek, zjednoduší složený zlomek, vyjádří zlomek v základním tvaru, určí převrácené číslo, počítá se smíšenými čísly) 7. žák určí absolutní hodnotu celého čísla a využívá její geometrickou interpretaci M-9-1-02 Žák zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor 1. žák zaokrouhluje čísla s danou přesností 2. žák využívá pro kontrolu výsledku odhad 3. žák účelně a efektivně využívá kalkulátor M-9-1-03 Žák modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel 1. žák rozlišuje pojmy prvočíslo a číslo složené; společný dělitel a společný násobek (určí je pro skupinu dvou nebo tří přirozených čísel) 2. žák najde nejmenší společný násobek a největšího společného dělitele dvou přirozených čísel 3. žák využívá kritéria dělitelnosti (2, 3, 4, 5, 9, 10, 25, 50, 100) 4. žák řeší slovní úlohu s využitím dělitelnosti 5. žák vytvoří slovní úlohu na využití dělitelnosti M-9-1-04 Žák užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek – část (přirozeným číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem) 1. žák užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek – část: přirozeným číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem 2. žák navzájem převádí různá vyjádření vztahu celek – část M-9-1-06 Žák řeší aplikační úlohy na procenta (i pro případ, že procentová část je větší než celek) 1. žák vyhledá v textu údaje a vztahy potřebné k výpočtu 2. žák určí počet procent, je-li dána procentová část a základ 3. žák určí procentovou část, je-li dán procentový počet a základ 128
Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
Tematický okruh Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
Očekávaný výstup RVP ZV
4. žák určí základ, je-li dán procentový počet a procentová část 5. žák používá procentového počtu při řešení úloh z jednoduchého úrokování 6. žák ověří správnost výsledku aplikační úlohy na procenta M-9-1-07 Žák matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných; určí hodnotu výrazu, sčítá a násobí mnohočleny, provádí rozklad mnohočlenu na součin pomocí vzorců a vytýkáním 1. žák řeší zadané slovní úlohy pomocí proměnných 2. žák tvoří smysluplné slovní úlohy, které lze řešit užitím proměnných 3. žák využívá při úpravě výrazů sčítání, odčítání a násobení mnohočlenů (výsledný mnohočlen je nejvýše druhého stupně) 4. žák vypočte hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných 5. žák využívá při úpravě výrazů vytýkání a vzorců (a + b)2, (a – b)2, a2 – b2 6. žák sestaví číselný výraz podle slovního zadání M-9-1-08 Žák formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav 1. žák sestaví rovnici nebo soustavu dvou rovnic o dvou neznámých ze zadaných údajů 2. žák vyřeší rovnici nebo soustavu dvou rovnic o dvou neznámých pomocí ekvivalentních úprav 3. žák provádí zkoušku rovnice nebo soustavy dvou rovnic o dvou neznámých 4. žák ověří správnost řešení slovní úlohy 5. žák přiřadí k rovnici odpovídající slovní úlohu 6. žák rozhodne, zda rovnice nebo soustava rovnic má řešení a ověří, zda řešení patří do zadaného číselného oboru M-9-1-09 Žák analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru celých a racionálních čísel 1. žák vytvoří matematický model konkrétní situace v oboru celých a racionálních čísel 2. žák využívá při řešení konkrétních situací matematický aparát v oboru celých a racionálních čísel 3. žák vyhodnotí výsledek řešení úlohy 2. ZÁVISLOSTI, VZTAHY A PRÁCE S DATY M-9-2-03 Žák určuje vztah přímé anebo nepřímé úměrnosti 1. žák vytvoří tabulku, graf a rovnici pro přímou a nepřímou úměrnost na základě textu úlohy 2. žák určí přímou a nepřímou úměrnost z textu úlohy, z tabulky, z grafu a z rovnice 3. žák využívá při řešení úloh přímou a nepřímou úměrnost M-9-2-05 Žák matematizuje jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů
129
Indikátory
1. žák odhalí funkční vztahy v textu úlohy 2. žák řeší úlohu s využitím funkčních vztahů 3. žák vyjádří výsledek řešení úlohy v kontextu reálné situace
Tematický okruh Očekávaný výstup RVP ZV
3. GEOMETRIE V ROVINĚ A V PROSTORU
Indikátory
Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
M-9-3-01 Žák zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých praktických problémů; využívá potřebnou matematickou symboliku 1. žák využívá při analýze praktické úlohy náčrtky, schémata, modely 2. žák využívá polohové a metrické vlastnosti (Pythagorova věta, trojúhelníková nerovnost, vzájemná poloha bodů a přímek v rovině, vzdálenost bodu od přímky) k řešení geometrických úloh 3. žák řeší geometrické úlohy početně 4. žák využívá matematickou symboliku M-9-3-02 Žák charakterizuje a třídí základní rovinné útvary 1. žák pozná základní rovinné útvary: přímka, polopřímka, úsečka, úhel, trojúhelník, čtyřúhelník, pravidelné mnohoúhelníky, kružnice, kruh 2. žák rozliší typy úhlů (ostrý, tupý, pravý, přímý), dvojice úhlů (souhlasné, střídavé, vedlejší, vrcholové), typy trojúhelníků a čtyřúhelníků 3. žák využívá vlastností základních rovinných útvarů (vlastností úhlopříček, velikost úhlů, souměrnost) M-9-3-03 Žák určuje velikost úhlu měřením a výpočtem 1. žák sčítá a odčítá úhly, určí násobek úhlu (s využitím převodu stupňů a minut) 2. žák využívá při výpočtech vlastností dvojic úhlů (střídavých, souhlasných, vedlejších, vrcholových) a součtu úhlů v trojúhelníku 3. žák určuje velikost úhlu pomocí úhloměru M-9-3-04 Žák odhaduje a vypočítá obsah a obvod základních rovinných útvarů 1. žák odhaduje obsah i obvod útvarů pomocí čtvercové sítě 2. žák určí výpočtem obsah (v jednodušších případech) trojúhelníku, čtverce, obdélníku, rovnoběžníku, lichoběžníku, kruhu 3. žák určí výpočtem obvod trojúhelníku, čtverce, obdélníku, rovnoběžníku, lichoběžníku, kruhu 4. žák používá a převádí jednotky délky 5. žák používá a převádí jednotky obsahu M-9-3-05 Žák využívá pojem množina všech bodů dané vlastnosti k charakteristice útvaru a k řešení polohových a nepolohových konstrukčních úloh 1. žák pojmenuje základní množiny všech bodů dané vlastnosti (osa úhlu, osa rovinného pásu, osa úsečky, kružnice, Thaletova kružnice) 130
Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
Tematický okruh Očekávaný výstup RVP ZV Indikátory
2. žák využívá množiny všech bodů dané vlastnosti při řešení úloh M-9-3-06 Žák načrtne a sestrojí rovinné útvary 1. žák převede slovní zadání do grafické podoby (náčrtku) 2. žák popíše jednotlivé kroky konstrukce a rovinný útvar sestrojí 3. žák určí počet řešení konstrukční úlohy 4. žák ověří, zda výsledný útvar odpovídá zadání M-9-3-07 Žák užívá k argumentaci a při výpočtech věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků 1. žák využívá při výpočtech věty o shodnosti trojúhelníků 2. žák využívá při výpočtech věty o podobnosti trojúhelníků 3. žák určí poměr podobnosti z rozměrů útvarů a naopak M-9-3-13 Žák analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu 1. žák vyhledá v textu úlohy potřebné údaje a vztahy 2. žák volí vhodné matematické postupy pro řešení úlohy 3. žák vyhodnotí výsledek úlohy 4. NESTANDARDNÍ APLIKAČNÍ ÚLOHY A PROBLÉMY M-9-4-01 Žák užívá logickou úvahu a kombinační úsudek při řešení úloh a problémů a nalézá různá řešení předkládaných nebo zkoumaných situací 1. žák provede rozbor úlohy a vyhledá v textu úlohy potřebné údaje a vztahy 2. žák zvolí vhodný postup řešení 3. žák provede diskusi o počtu řešení daného problému a kontrolu reálnosti výsledku 4. žák zformuluje odpověď na zadaný problém
131
Příloha č. 4. Učební texty Učební texty jsou vytvořeny pro sjednocení a zvýšení úrovně znalostí matematiky u žáků přicházejících na gymnázia z různých ZŠ. Mohou být pomůckou pro žáky i učitele. Cílem vytvořených učebních textů je usnadnit opakování a procvičení učiva ze ZŠ, jehož znalost se u žáků předpokládá. Učební texty nejsou klasickou učebnicí s matematickou strukturou (s uváděním vět, definic), ale vycházejí z osvědčených vyučovacích postupů a současně umožňují interaktivní používání moderní technologie ve vyučovacích hodinách nebo při domácí přípravě žáků. Na webových stránkách jsou umístěny učební texty i ve formě pro tisk (http://math-relays.rhcloud.com/). Žáci je mohou využívat ke studiu a učitelé si z nich mohou jednoduchým způsobem sestavovat a obměňovat krátké testy k opakování a procvičení učiva ze ZŠ na začátku školního roku. V každé kapitole je uveden učební text, ve kterém jsou začleněny i vzorově vyřešené příklady. Celkem 196 řešených úloh, některé v několika variantách (tj. téměř 900 příkladů k procvičení). Na učební text pak navazují interaktivní cvičení, sloužící k procvičení látky. Shodně obsahují celkem 196 řešených úloh, některé v několika variantách. Kapitolu uzavírá test s příklady k danému okruhu. Studijní materiály obsahují šest kapitol: 1. Číselné obory …………………………………… str. 1 2. Zlomky …………………………………………. str. 5 3. Mocniny a mnohočleny ………………………… str. 32 3.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem ………… str. 32 3.2 Mnohočleny ………………………………… str. 40 3.3 Mocniny s celočíselným mocnitelem ………. str. 63 4. Rovnice ………………………………………… str. 73 5. Procenta ………………………………………… str. 93 6. Slovní úlohy ……………………………………. str. 100
132
