ANALISIS HASIL PANEN PADI MENGGUNAKAN PEMODELAN KUADRATIK

Bidang Kajian: Matematika Terapan

ANALISIS HASIL PANEN PADI MENGGUNAKAN PEMODELAN KUADRATIK Vina Puspita Dewi 1), Hanna Arini Parhusip 2), Lilik Linawati 3) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2), 3) Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 E-mail: [email protected]), [email protected]), [email protected]) Abstrak Salah satu penentu keberhasilan panen padi selain cara budidaya padi yang baik adalah waktu tanam. Dalam waktu satu tahun dapat dilakukan penanaman padi tiga kali atau ada tiga periode tanam. Berdasarkan data Luas Tanam Akhir (LTA), Luas Panen (LP), dan Hasil per Hektar gabah (HH) dalam kurun waktu tertentu akan dianalisis menggunakan Pemrograman Kuadratik (Quadratic Programing) untuk menentukan periode penanaman yang memberikan hasil maksimum. Dalam penerapan Pemrograman Kuadratik ini parameter-parameter fungsi tujuan ditentukan dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method). Berdasarkan Teorema Karush Kuhn Tucker (KKT) disusun persamaan Lagrange. Untuk penyelesaiannya menggunakan MATLAB. Hasil analisi menunjukkan bahwa periode tanam yang optimal yaitu periode tanam III (September-Desember) dengan hasil panen yang diperoleh 60,4 ton gabah per hektar sawah. Kata Kunci: Least Square Method, Quadratic Programing, Lagrange, dan padi. A. Pendahuluan Lahan persawahan untuk tanaman padi dari tahun ketahun semakin berkurang, karena adanya peningkatan pembangunan pemukiman penduduk maupun tempat-tempat umum. Di kota Surakarta penanaman padi setiap tahunnya ada tiga kali yaitu, periode I dimulai dari Januari – April, periode II Mei – Agustus, dan periode III September – Desember. Berdasarkan data dari Badan Pusat Statistik (BPS) kota Surakarta ternyata hasil panen padi yang diperoleh dari tahun ketahun tidak selalu sama. Penentu keberhasilan panen padi selain cara budidaya padi yang baik adalah waktu tanamnya. Hal inilah yang mendorong peneliti untuk mengetahui periode tanam yang optimal (maksimal), sehingga dengan diketahuinya periode tanam yang optimal diharapkan pemerintah atau pihak-pihak terkait lebih memperhatikan periode tersebut untuk melakukan sosialisasi cara budidaya padi yang baik. Untuk periode-periode lainnya, pemerintah Surakarta diharapkan mengetahui permasalahan yang dialami petani sehingga dapat menyelesaikan permasalahan tersebut agar semua periode dapat optimal.

1

Dari data BPS kota Surakarta hasil per hektar (HH) dipengaruhi oleh Luas Tanam Akhir (LTA) dan Luas Panen (LP). Menurut Web 2 Luas Tanam Akhir merupakan luas tanaman yang ada pada saat pencatatan data tidak termasuk tanaman bibit yang digunakan. Luas Panen merupakan luas tanaman yang dipungut hasilnya setelah tanaman tersebut cukup umur termasuk tanaman padi yang gagal panen. Sedangkan Hasil per Hektar (HH) adalah hasil gabah basah yang diperoleh pada saat panen untuk satu hektar sawah. Pemrograman non linear khususnya pemrograman kuadratik merupakan masalah optimasi yang fungsi tujuannya melibatkan fungsi kuadrat dan mempunyai kendala berupa pertidaksamaan linear maupun non linear (web 1). Pada penelitian ini pemrograman kuadratik digunakan untuk menentukan periode tanam yang baik, karena fungsi kuadratik merupakan fungsi cekung sehingga dijamin bahwa sebarang maksimum lokal pada daerah konveks layak akan merupakan suatu maksimum global dalam daerah tersebut (Perresini, dkk 1998). Telah banyak penelitian tentang optimasi non linear yang penyelesaiannya menggunakan pemrograman kuadratik. Loqman, dkk (2013) menggunakan pemrograman kuadratik untuk penjadwalan pekerja pada suatu perusahaan. Gharibi (2012) mengangkat masalah pemrograman kuadratik yang di aplikasikan dalam ilmu komputer dan komunikasi kemudian diselesaikan dengan linearisasi 0-1. Selain itu ada juga penelitian oleh Bhowmik, dkk (2000) masalah pemrograman integer diubah ke pemrograman kuadratik dan diselesaikan dengan teknik heuristik. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui periode tanam yang paling baik berdasarkan hasil panen yang maksimal. Data yang digunakan adalah data padi sawah pada tahun 1992-2012 yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS) Surakarta. Ada 3 kali Periode tanam dalam satu tahun sehingga setiap periode akan dibuat satu fungsi tujuan. Pengolahan data menggunakan MATLAB 7.0.

B. Dasar Teori 1.

Pemrograman Kuadratik Menurut Peressini, dkk (1998) optimasi program kuadratik merupakan masalah konveks

(fungsi tujuan merupakan fungsi konveks), sehingga penyusunan fungsi tujuannya analog dengan penyusunan fungsi tujuan untuk masalah konveks. Bentuk umum dari masalah pemrograman kuadratik: 1

Minimalkan 𝑓 𝑥 = 𝑎 + 𝑐. 𝑥 + 2 𝑥. 𝑄𝑥

(1)

2

dengan kendala (𝐴𝑥)𝑖 ≤ 𝑏 , i = 1,2,..,k

(2)

(𝐴𝑥)𝑖 = 𝑏, i=k+1,...,m

(3)

𝑥≥0

(4)

Q= matriks koefisien fungsi tujuan 𝑐 = vektor koefisien fungsi tujuan 𝑎= konstanta pada fungsi tujuan 𝑥= vektor variabel keputusan A = matiks koefisien fungsi kendala 𝑏= vektor nilai sebelah kanan pada kendala Untuk menyelesaikan pemrograman kuadratik, maka perlu menyusun fungsi tujuan dalam hal ini fungsi tujuan kuadratik. Perlu diperkenalkan variabel yang digunakan yaitu xi = data ke- i variabel 1 dalam satuan ha. y i = data ke- i variabel 2 dalam satuan ha. S i = data ke- i variabel 3 dalam satuan ton.

i

= 1,2,...,n; n= banyaknya data

Menurut Perresini,dkk(1998) diasumsikan bahwa setiap data ( S i , xi , yi ) memenuhi ( S i , xi , yi ) 1 xi   2 yi   3 xi yi   4 xi   5 yi   6 2

2

(5)

=

𝛼𝑗 = parameter fungsi tujuan, j = 1,2,..6 Untuk menentukan parameter persamaan (5) dengan metode kuadrat terkecil, perlu meminimalkan fungsi residu yaitu 𝑅 = min (𝑆𝑖,𝑑𝑎𝑡𝑎 − 𝑆𝑖,𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 )2 = min (𝑆𝑖,𝑑𝑎𝑡𝑎 − 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )2

(6)

atau minimalkan n

 

R   Si  1 xi2   2 yi2   3 xi yi   4 xi   5 yi   6



2

(7)

i 1



R minimal dapat terjadi jika dipenuhi R  0 dan masing-masing derivatif parsialnya ada. 𝜕𝑅 𝜕𝛼 𝑗

= 0; j=1,2,...6

𝜕𝑅

Untuk j=1 berlaku 𝜕𝛼 = 0 sehingga: 1

n





2 S i   1 xi2   2 yi2   3 xi yi   4 xi   5 yi   6 i 1

  x   0 2

2 i

Meminimalkan R sama artinya dengan menyelesaikan sistem persamaan linear   Ava  w

(8)

3

dimana

𝐴=

𝑥𝑖4 𝑥𝑖2 𝑦𝑖2 𝑥𝑖3 𝑦𝑖 𝑥𝑖3 𝑥𝑖2 𝑦𝑖 𝑥𝑖2

 w=

𝑥𝑖2 𝑦𝑖2 𝑦𝑖4 𝑥𝑖 𝑦𝑖3 𝑥𝑖 𝑦𝑖2 𝑦𝑖3 𝑦𝑖2

𝑥𝑖3 𝑦𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖3 𝑥𝑖2 𝑦𝑖2 𝑥𝑖2 𝑦𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖2 𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑥𝑖3 𝑥𝑖 𝑦𝑖2 𝑥𝑖2 𝑦𝑖

𝑥𝑖2 𝑦𝑖 𝑦𝑖3 𝑥𝑖 𝑦𝑖2

𝑥𝑖2 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖

𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑦𝑖2 𝑦𝑖

𝑥𝑖2 𝑦𝑖2 𝑥𝑖 𝑦𝑖

(8a)

𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑁

 x S  y S  x y S  x S  y S  S  2 i i

2 i i

T

i

i

i

i

i

i

i

 T va  1  2  3  4  5  6 

i

(8b) (8c)

Menurut Perresini, dkk (1998) menyelesaikan sistem persamaan linear pada persamaan (8) terdapat banyak cara, diantaranya Dekomposisi LU dan Iterasi Gauss Seidel. Kedua metode tersebut kemungkinan mempunyai banyak penyelesaian dari sistem persamaan tersebut. Solusi va dari persamaan (8) diperoleh dengan 𝑣𝛼 = (𝐴)−1 𝑤

(9)

Untuk membuktikan va ada dan terbaik ada 4 cara, yaitu: 1. Matriks A pada persamaan (8) dikatakan invertible jika determinan dari matriks A tersebut ≠ 0. A invertibel artinya penyelesaian dari matriks A tunggal (Peressini, dkk 1998). 2. Error/residu merupakan jarak/beda antara data aktual dengan data pendekatan (dari model hasil fungsi tujuan) yaitu e=

𝑆𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 −𝑆𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑆𝑑𝑎𝑡𝑎

. 100%

3. Sebagai aplikasi matriks dan norm vektor, perlu mempertimbangkan perkiraan kesalahan dengan menghitung invers matriks dan solusi dari persamaan linear. Untuk menyelesaikan persamaan (9) 𝑣 = (𝐴)−1 𝑤 menurut Horn & Johnson (1985) dimana invers matriks A harus terdefinisi. Jika 𝐴−1 adalah invers A yang eksak maka secara komputasi ditulis (𝐴 + 𝐸)−1 , dimana E matriks error berukuran 6 x 6 yang komponen-komponennya merupakan bilangan yang cukup kecil sehingga A+E invertible. Kemudian errornya adalah 𝐴−1 − 𝐴 + 𝐸

−1

= 𝐴−1 − (𝐼 + 𝐴−1 𝐸)−1 𝐴−1

4

Akan dicari 𝐴−1 − (𝐼 + 𝐴−1 𝐸)−1 𝐴−1 maka perlu menyatakan bentuk (𝐼 + 𝐴−1 𝐸)−1 dalam bentuk lain. Analog dengan deret (1 + 𝑥)−1 akan diperoleh ∞ 𝑘=0

(𝐼 + 𝐴−1 𝐸)−1 = 𝐴−1 − ∞ 𝑘=1

=

−1

𝑘+1

𝑘+1

−1

(𝐴−1 𝐸)𝑘 𝐴−1 ,

(𝐴−1 𝐸)𝑘 𝐴−1 , jika 𝜌 𝐴−1 𝐸 < 1

Dengan 𝜌 𝐴−1 𝐸 adalah spektral radius (nilai eigen) dari matriks 𝐴−1 𝐸. Terdapat banyak definisi ||.|| dalam matriks, diantaranya yaitu norm Euclid, norm maksimum, dan norm Frobenius. Dalam kasus ini yang digunakan dalam perhitungan adalah norm euclid. Contoh menghitung norm Euclid: Misalkan dipunyai matriks 𝐴 =

1 2 1 , perlu disusun matriks 𝐴′ yaitu 𝐴′ = 3 4 2

3 4

untuk mencari norm euclid = max 𝜆(𝐴𝐴′ ) dengan 𝜆 adalah nilai eigen. Nilai eigen dari 𝐴𝐴′ adalah 0.1 dan 29.9. Jadi norm euclid dari A adalah 29.9 = 5.47 (web 3). Diasumsikan ||𝐴−1 𝐸||<1, batas atas kesalahan relatif dengan menghitung invers adalah 𝐴−1 − 𝐴+𝐸 −1

𝐴−1 𝐸

≤ 1−

𝐴−1 𝐴

Ruas kanan dikalikan 𝐴−1 (1−

𝐴

jika 𝐴−1 𝐸 < 1.

(*)

sehingga

𝐸

𝐴−1

𝐴−1 𝐸

𝐴

𝐴−1

=

𝐸 ) 𝐴

𝐴 −

𝐴

𝐸

𝐴−1

𝐸

𝐴

=(

𝐴−1

𝐴

𝐴−1

𝐴 −

𝐸 𝐸 ) 𝐴

𝐴

(**)

𝐴

Didefinisikan κ 𝐴 ≡

𝐴−1 𝐴 jika 𝐴 nonsinguler ∞ jika 𝐴 singuler

(10)

Persamaan (10) disebut conditional number dari invers matriks dengan melihat norm matriks . . Persamaan (*) dengan (**) menjadi 𝐴−1 1−

𝐴−1

𝐸

𝐴 𝐸

𝐴

=

𝐴−1 𝐴 −

𝐴

𝐴−1

𝐸 𝐸

𝐴

=

κ 𝐴 κ 𝐴

1−

𝐴

𝐸 𝐸

𝐴

.

Jadi error relatif untuk invers matriks pada persamaan (8a) terbatas tergantung dari nilai κ(𝐴) sehingga κ(𝐴) tidak boleh terlalu besar. Conditional number matriks

pada MATLAB juga menggunakan persamaan

(10). Menurut Anderson, dkk (1999) jika conditional number dibawah 67108864 maka nilai 

i

dinyatakan terbaik karena error invers terbatas ke atas. Untuk

menghitung conditional number digunakan perintah cond() pada MATLAB.

5

4. Sifat titik kritis (minimum) ditunjukkan dengan tipe matriks Hessian 𝐻𝑓 (matriks yang disusun turunan kedua dari fungsi terhadap masing-masing variabel bebas). 𝐻𝑓 = ∇ ∇𝑅 = ∇ −2𝐴𝑇 𝑤 + 2𝐴𝑇 𝐴𝑣 = 2𝐴𝑇 𝐴

(11)

Menurut Peressini dkk (1998) titik kritis va sebagai peminimum lokal jika nilai eigen dari mariks Hessiannya bersifat positive semi definite yang artinya nilai eigen 𝐻𝑓 ≥ 0.

Dalam proses perhitungan agar nilai data yang digunakan tidak terlalu besar sehingga dapat membuat A singular, maka data perlu dinormalisasi yaitu dengan membagi data masing-masing kolom dengan maksimumnya xˆ i 

xi yi Si ; yˆ i  ; Sˆ i  max xi max y i max S i 1i  n

1i  n

(12)

1i  n

xˆi , yˆ i , dan Sˆi merupakan data ternormalisasi

Untuk menyelesaikan persamaan (1) dengan kendala pada persamaan (2) – (4) menurut teorema Karush Kuhn Tucker (KKT) perlu disusun fungsi Lagrange seperti persamaan (13) yaitu: n      1  m L( x ,  , )  a  c  x  x  Qx   i ( Ax )i  bi   i xi 2 i 1 i 1

(13)

𝜇𝑖 = pengali Lagrange untuk persamaan (2) dan (3) 𝑣𝑖 = pengali Lagrange untuk persamaan (4) Kondisi KKT pada persamaan (13) dapat digunakan untuk menemukan titik kritis dengan   menyelesaikan sistem persamaan yang diperoleh dari L  0 . Artinya mencari peminimal x *  dan parameter optimal  *  R m dan  *  R n yang memenuhi (1)  i *  0 untuk i=1,…,k ,  j *  0 untuk j=1,…,n .  (2) c  Qx *  AT  *  *  0  (3)  i* ( Ax * ) i  bi  0 , untuk i=1,…,m.





(14)

2. Model Pemrograman Kuadratik untuk Optimasi Hasil Panen Padi Pemrograman kuadratik diterapkan untuk menentukan periode tanam yang optimal berdasarkan data hasil panen pada sawah setiap periode tanam pada tahun 1992-2012.

6

Dalam hal ini data akan diolah berdasarkan periode tanam yang sama yaitu periode I (Januari-April), periode II (Mei-Agustus), dan periode III (September-Desember). Untuk menyusun fungsi tujuan maka perlu diperkenalkan variabel yang digunakan yaitu x ij = data Luas Tanam Akhir (LTA) ke- i pada periode tanam ke- j dalam satuan ha. y ij = data Luas Panen (LP) ke- i pada periode tanam ke- j dalam satuan ha. S ij = data hasil panen padi ke- i pada periode tanam ke- j dalam satuan ton.

i

= 1,2,...,n

j = 1,2,3

n = banyaknya data

𝑆𝑗 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦

1

𝛼1

2

1

𝛼 2 3

𝛼3

𝑥 𝑦 + 𝛼4 𝛼5 𝑥 𝑦 + 𝛼6

𝛼2

(15)

Kendala ditunjukkan sebagai berikut a. Luas Tanam Akhir (LTA) tidak boleh lebih dari Luas Tanam Akhir (LTA) maksimum, yang ditulis 𝑥 ≤𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 b. Luas panen (LP) tidak boleh lebih besar dari luas tanam akhir (LTA) ditulis sebagai 𝑦≤𝑥

C. Metode Penelitian Langkah-langkah penelitian 1. Pengumpulan Data Data yang digunakan adalah data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS) kota Surakarta. Data yang dianalisis adalah data LTA, LP, dan HH pada setiap periode tanam pada tahun 1992-2012. Setiap tahun terdapat tiga periode tanam.

Tabel 1. Data padi sawah dari tahun 1992-2013 No

Periode I LP I HH I

LTA II

Periode II LP HH II II

Tahun

LTA I

1

1992

125

91

62,41

112

114

55,44

2

1993

153

139

59,35

141

115

54,34

3

1994

160

145

63,45

153

107

4

1995

81

126

63,73

81

5

1996

141

124

60,40

6

1997

99

135

63,11

Periode III LTA III

LP III

HH III

173

83

55,30

176

103

63,08

55,57

133

113

57,07

98

57,14

96

103

64,17

83

156

54,93

126

101

63,36

63

106

64,05

65

71

65,77

7

7

1998

66

94

62,12

64

105

51,80

106

84

56,90

8

1999

57

104

57,30

49

94

47,12

83

78

64,74

9

2000

99

113

64,42

54

107

58,31

88

81

46,66

10

2001

89

73

53,29

60

89

53,60

101

62

56,77

11

2002

104

113

53,53

65

96

53,02

91

51

52,54

12

2003

75

55

51,82

58

101

51,58

88

42

52,14

13

2004

72

86

52,91

61

83

52,29

65

48

52,29

14

2005

79

73

51,86

42

94

50,58

83

55

52,14

15

2006

86

78

51,34

33

102

43,88

88

56

51,07

16

2007

75

129

50,60

51

79

47,02

84

49

51,33

17

2008

76

102

52,38

51

86

51,09

80

51

52,69

18

2009

102

85

50,43

71

116

50,88

82

87

51,44

19

2010

92

109

50,58

43

111

48,49

76

55

50,94

20

2011

82

59

51,34

10

24

36,89

60

31

69,83

78,04

24

47

83,27

21 2012 36 64 59,26 17,00 72,00 Sumber: Badan Pusat Statisik (BPS) kota Surakarta

Keterangan: LTA = Luas Tanam Akhir (ha) LP

= Luas Panen (ha)

HH = Hasil per Hektar gabah (ton) 2. Memodelkan fungsi tujuan dan kendala tujuan. Untuk pemodelan fungsi tujuan mengacu pada persamaan (15). Fungsi tujuan disusun untuk setiap periode tanam, sehingga akan ada tiga persamaan fungsi tujuannya. 3. Menyelesaikan pemaksimal luas panen tiap periode. Dengan menggunakan fungsi fsolve pada MATLAB. 4. Menganalisis hasil. 5. Membuat kesimpulan.

D. Hasil dan Pembahasan 1.

Parameter optimal untuk fungsi tujuan Tahap awal untuk mengolah data tersebut adalah dengan membuat fungsi tujuan

untuk tiap-tiap periode tanam. Model kudratik pada persamaan (15) diselesaikan menggunakan metode kuadrat terkecil untuk mendapatkan va .Tentu saja pada kenyataannya 𝑆𝑗 tidak tepat sama dengan data aktualnya. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa data aktual benar, sedangkan fungsi kuadratik dianggap sebagai hasil pendekatan. Dengan metode kuadrat terkecil diperoleh nilai va , sehingga fungsi tujuan kuadratik seperti persamaan (15) untuk periode I, II, dan III adalah:

8

𝑆𝐼 = 1.179𝑥 2 − 1.263𝑦 2 − 1.309𝑥𝑦 − 0.325𝑥 + 2.640𝑦 − 0.004

(16)

𝑆𝐼𝐼 = −0.315 − 4.614𝑦 2 + 5.876𝑥𝑦 − 3.739𝑥 + 4.125𝑦 − 0.008

(17)

𝑆𝐼𝐼𝐼 = 1.067𝑥 2 − 1.012𝑦 2 − 1.684𝑥𝑦 − 0.319𝑥 + 2.510𝑦 − 0.012

(18)

dengan kendala 𝑥 ≤𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠

dan 𝑦 ≤ 𝑥. Nilai fungsi tujuan setiap periode dari pendekatan

fungsi kuadratik dan data dibandingkan yang ditunjukkan pada Gambar 1. Setelah va diketahui maka perlu dibuktikan bahwa va yang diperoleh merupakan yang terbaik artinya meminimalkan R. Hal ini dilakukan dengan menghitung determinan A, error

fungsi,

menghitung Conditional Number A, dan sifat Hf yang ditunjukkan pada Tabel 2.

1

1

hasil pendekatan

0.95

1 hasil pendekatan

0.9

0.9

hasil pendekatan 0.9

0.8

0.8

fungsi tujuan

fungsi tujuan

fungsi tujuan

0.8

0.85

0.7

0.6

0.7

0.6

0.75

0.5

0.7

0.4

0.5

0.65 0

5

10

15

20

25

0

5

10

indeks

15

20

25

0.4

0

5

indeks

Periode I

10

15

20

25

indeks

Periode II

Periode III

Gambar 1. Grafik hasil panen padi menurut data aktual dan hasil pendekatan fungsi kuadratik pada setiap periode tanam



Tabel 2. Sifat-sifat dari v a yang diperoleh Periode I Determinan Matriks A Error Conditional number Sifat Hf

Periode II

Periode III

-0.0029

-0.0014

-0.0047

9.4%

13.8342%

18.5405%

23568

37013

22201

positive semi definite

positive semi definite

positive semi definite

Ternyata pada setiap periode tanam determinan matriks A ≠ 0, sehingga sistem persamaan linearnya mempunyai penyelesaian tunggal. Error dari masing-masing periode tanam 9.4%, 13.8%, dan 18.5% nilai ini cukup besar, namun error bukan satu-satuya ukuran untuk mengetahui va terbaik. Cara lain adalah berdasarkan conditional number seperti pada Tabel 2 dimana nilai Conditional number < 67108864 atau dibawah batas maksimumnya.

9

Untuk periode tanam I diperoleh nilai eigen = [0; 0; 0.4; 1.6; 240.4; 4386.4], untuk periode tanam II nilai eigen = [0; 0; 0; 0.0047; 0.1884; 2.2710], periode tanam III nilai eigen = [0; 0; 0; 0.0005; 0.0013; 0.1970; 3.0796] yang artinya sifat 𝐻𝑓 untuk masing-masing periode tanam adalah positive semi definite sehingga parameter yang diperoleh dapat dinyatakan sebagai yang terbaik karena meminimumkan R. Jadi sekalipun error fungsi mencapai 18.5% maka parameter yang diperoleh tetap dijamin terbaik.

2. Memaksimalkan Fungsi Tujuan Setelah disusun fungsi tujuan seperti persamaan (16-18) kemudian disusun fungsi Lagrange berdasarkan persamaan (13) untuk mancari nilai kritis fungsi tujuan yaitu 𝐿𝐼 𝑥, 𝜇 , 𝑣 = (1.179𝑥 2 − 1.263𝑦 2 − 1.309𝑥𝑦 − 0.325𝑥 + 2.640𝑦 − 0.004 + 𝜇1 𝑥 − 1 + 𝜇2 𝑦 − 𝑥 − 𝑣1 𝑥 − 𝑣2 𝑦)

(19)

𝐿𝐼𝐼 𝑥, 𝜇 , 𝑣 = (−0.315 − 4.614𝑦 2 + 5.876𝑥𝑦 − 3.739𝑥 + 4.125𝑦 − 0.008 + 𝜇1 𝑥 − 1 + 𝜇2 𝑦 − 𝑥 − 𝑣1 𝑥 − 𝑣2 𝑦)

(20)

𝐿𝐼𝐼𝐼 𝑥, 𝜇 , 𝑣 = (1.067𝑥 2 − 1.012𝑦 2 − 1.684𝑥𝑦 − 0.319𝑥 + 2.510𝑦 − 0.012 + 𝜇1 𝑥 − 1 + 𝜇2 𝑦 − 𝑥 − 𝑣1 𝑥 − 𝑣2 𝑦)

(21)

Setiap fungsi tujuan pada persamaan (19-21) diselesaikan menggunakan aplikasi MATLAB dengan fungsi fsolve dan hasilnya ditampilkan pada Tabel 3. [x,fval] = fsolve(fun,x0,options) Input:

fun

= fungsi tujuan yang akan diminimumkan

x0

= nilai awal

options = untuk menampilkan banyaknya iterasi Output:

x

= keluaran hasil yang dicari

fval

= nilai x yang disubstitusikan ke fungsi tujuan

Tabel 3. Penyelesaian optimal berdasarkan pemrograman kuadratik untuk ketiga periode tanam. x* y* S* 𝜇1 𝜇2 𝑣1 𝑣2

Periode I 0.8309 0.8309 0.9581 0 0.5467 0 0

Periode II 0.3575 0.6746 0.7174 0 0 0 0

Periode III 0.6846 0.6740 0.7255 0 0.007 0 0

10

Dapat disimpulkan bahwa 𝑥 ∗

merupakan pemaksimal menurut persamaan (14). Untuk

masing-masing fungsi tujuan diperoleh nilai eigen [-3.3; -0.9; 0; 0; 0.4; 3.6], [-12.4; -0.6; 0; 0; 0.2; 3], dan [-3.1; -0.9; 0; 0.4; 3.6]. Nilai eigen matriks Hessian ada yang positif, padahal agar 𝑥 ∗ pemaksimal nilai eigen harus bernilai negatif atau 0. Jadi 𝑥 ∗ belum optimal, tetapi untuk saat ini hasil tersebut merupakan hasil terbaik yang diperoleh. Selanjutnya nilai data optimal pendekatan dinyatakan dalam bentuk data berdimensi yang ditunjukkan pada Tabel 4.

Tabel 4. Penyelesaian optimal untuk ketiga periode tanam dalam bentuk data berdimensi Luas Tanam Akhir (ha)

Periode I 132.9505

Periode II 54.6966

Periode III 120.4908

Luas Panen (ha) Hasil gabah (ton) Rasio = LP/H

120.4864 61.7237 1.95

105.2448 55.8306 1.71

76.1586 60.4087 1.23

Memperhatikan rasio pada Tabel 4, dapat dijelaskan bahwa hasil panen optimal menurut pehitungan adalah pada periode I, tetapi hasil panen pada periode III hampir sama dengan hasil panen periode I. Luas panen pada periode I lebih luas dari periode III tetapi menghasilkan gabah yang lebih sedikit jika dibandingkan dengan periode tanam III. Kondisi ini dapat terjadi dikarenakan beberapa alasan antara lain karena luas tanaman yang dipanen merupakan semua luasan tanaman padi tanpa memperhatikan luasan yang gagal panen (web 2). Selain alasan tersebut pada periode I waktu panen berkisar pada bulan April dimana mulai terjadi musim kemarau, sehingga kemungkinan tanaman padi banyak yang terserang hama (tikus). Berdasarkan pemaparan diatas dan ternyata periode III mempunyai rasio paling kecil, maka bisa disimpulkan bahwa periode III merupakan periode tanam yang optimal.

E. Penutup Pada makalah ini telah dibahas mengenai pengoptimalan panen padi setiap periode tanam dengan menggunakan pemrograman kuadratik. Kesimpulan berdasarkan pemaparan sebelumnya diperoleh bahwa periode tanam yang optimal dengan memperhatikan rasio adalah periode III. Untuk periode tanam I sudah optimal akan tetapi kemungkinan banyak tanaman yang rusak (dilihat dari LP yang kecil) sehingga hasil padi yang diperoleh sedikit. Pada periode II, karena periode ini berada dalam musim kemarau maka dapat disarankan untuk mengoptimalkan irigasi agar kebutuhan air tercukupi agar meningkatkan hasil panen. Selain itu sosialisasi budidaya padi yang baik dapat berpengaruh dalam memperoleh hasil

11

yang optimal. Kemungkinan kendala-kendala dalam pengoptimalan hasil panen masih cukup banyak. Untuk itu perlu campur tangan pemerintah maupun pihak-pihak terkait agar hasil panen setiap periode menghasilkan gabah yang optimal. Hasil penelitian ini dapat digunakan sebagai dasar untuk kajian selanjutnya, yaitu dengan mencari penyebab mengapa pada periode II LTA lebih kecil dari LP misalnya dengan memperbaiki metode pendataan.

DAFTAR PUSTAKA Anderson E, Z Bai, C Bischof, S Blackford, J Demmel, J Dongarra, J Du Croz, A Greenbaum, S Hammarling, A McKenney & D Sorensen.1999. LAPACK User's Guide

Third

Edition,

SIAM,

Philadelphia.

(http://www.netlib.org/lapack/lug/lapack_lug.html) Bhowmik S, Goswami SK, & Bhattacherjee PK. 2000. Distribution System Planning Through Combined Heuristic and Quadratic Programing Approach. Electric Machines and Power Systems, 28:87–103. Gharibi W & XIA Y. 2012. A Tight Linearization Strategy for Zero-One Quadratic Programming Problems. IJCSI International Journal of Computer Science Issues, Vol. 9, Issue 3, No 1. Horn RA & Johnson CA. 1985. Matrix Analysis.USA: Cambrig University Press. Loqman C, Ettaouil M, Hami Y & Haddouch K. 2013. Quadratic Reformulations For Solving Days-Off Scheduling Problem. Jurnal of Theoritical and Applied Information Technology, 10th March 2013. Vol. 49 No.1, 1992-8645. Peressini AL, Sullivan FE & Uhl J. 1998. The Mathematics of Nonlinear Programing, Springer Verlag, New York,Inc. Web 1: http://emi012.wordpress.com. Diakses 18 Juli 2013 jam 13.03 WIB Web2:http://lontar.ui.ac.id/file?file-digital/131370-1%2027641Evaluasi%20atas%20kebijakan-Metodologi.pdf. Diakses 23 Juli 2013 jam 19.32 WIB Web 3: http://en.m.wikipedia.org/wiki/Matrix_norm. Diakses 8 Oktober 2013 jam 10.01 WIB

12