ALGEBRA Egyenletek, egyenlőtlenségek

ALGEBRA

0773. Egyenletek, egyenlőtlenségek

KÉSZÍTETTE: HARSÁNYI ZSUZSA

86

MATEMATIKA „A” – 7. ÉVFOLYAM – 077. ALGEBRA

TANULÓI MUNKAFÜZET

„Keresd a párod!” Húzzatok egy-egy kártyát a tanárotok által adott pakliból, és találjátok ki, hogy a rajta lévő egyenlőség melyik számra igaz, majd keressétek meg azt a társatokat, akinek a kártyáján lévő egyenlőség ugyanerre a számra igaz. Az így kialakított párban válasszatok magatok mellé egy másik párt, és ez lesz az a csoport, amelyikben a következőkben dolgozni fogtok. Kitalálós játék Válasszatok a csoporton belül egy játékvezetőt! A játékvezető a tanártól kap egy kártyát, amelyen két algebrai kifejezés van. Ezek után a játékvezető megkérdezi: találjátok ki, melyik az a szám, amelyikre ez a két kifejezés egyenlő. A szóforgó módszerével mondjatok egy-egy számot. A csoport behelyettesítéssel ellenőrizze, hogy ez a szám megfelel-e! A játékvezető jegyzi, hány lépéssel találták meg a megfelelő számot.

1. FELADATLAP A csoporton belül válasszatok az A, B, C, D betűk közül, és oldjátok meg a jelöléseteknek megfelelő feladatot! Ha készen vagytok, társaitoknak sorban magyarázzátok el a feladatok megoldását! Füzetetekbe mind a négy feladatmegoldást írjátok le! —A— 2 · 7 + 6 = 20. Ez egy igaz egyenlőség. Hogyan lehet a 7-et az egyenlőségben szereplő számokkal kifejezni? Ha nem adnánk a 2 · 7-hez hozzá 6-ot, akkor a 20-nál 6-tal kisebb számot, azaz 2 · 7 = 14 igaz egyenlőséget kapnánk. Ha nem szoroznánk meg a 7-et 2-vel, akkor a igaz egyenlőséget kapjuk. Milyen számra igaz a következő egyenlőség? 2x + 6 = 20. Van olyan értéke x-nek, amelyre igaz az egyenlőség. Melyik ez? Folytasd! —B— Ez igaz egyenlőség. Hogyan lehet a 3-at az egyenlőségben szereplő számokkal kifejezni? Ha nem adnánk hozzá a

-höz a 7-et, akkor a 13-nál 7-tel kisebb számot, azaz

igaz

egyenlőséget kapnánk. Ha nem osztanánk el 5-tel a 10· 3-at, akkor az eredmény a 6-nak 5-szöröse, azaz 10· 3=30 lenne. Ha nem szoroznánk meg a 3-at 10-zel, akkor a 3 = 3 igaz egyenlőséget kapjuk. Milyen számra igaz az egyenlőség? Van olyan értéke x-nek, amelyre igaz az egyenlőség. Melyik ez? Folytasd! —C— 4 · (–2) – 7 = –15 Ez igaz egyenlőség. Hogyan lehet a 2-t az egyenlőségben szereplő számokkal kifejezni? Igaz marad az egyenlőség, ha mindkét oldalát 7-tel növeljük: 4 · (–2) – 7 = –15 /+7 (így szokták jelölni) 4 · (–2) = – 8 Nem változik az egyenlőség, ha mindkét oldalát negyedére csökkentjük, azaz elosztjuk 4-gyel 4 · (–2) =– 8 /:4 –2 = –2 igaz egyenlőséget kapjuk. Milyen számra igaz az egyenlőség? 4·x –7 = –15 Van olyan értéke x-nek, amelyre igaz az egyenlőség. Melyik ez? Folytasd!

TANUNLÓI MUNKAFÜZET


87

—D— 5 · 6+3 – 9 =– 6 Ez igaz egyenlőség Hogyan lehet a 6-ot az egyenlőségben szereplő 11 számokkal kifejezni? Igaz marad az egyenlőség, ha mindkét oldalát 9-cel növeljük: 5 · 6+3 – 9 =– 6 / +9 (így szokták jelölni) 11 5 · 6+3 = +3 kapjuk. 11 Nem változik az egyenlőség, ha mindkét oldalát megszorozzuk 11-gyel: 5 · 6+3 = +3 11

/ · 11

5 · 6 + 3 = 33 Nem változik az egyenlőség, ha mindkét oldalából kivonunk 3-at. 5 · 6 + 3 = 33 / –3 5 · 6 = 30 Nem változik az egyenlőség, ha mindkét oldalát elosztjuk 5-tel. 5 · 6 = 30 /:5 6=6 igaz egyenlőséget kapjuk. Milyen számra igaz az egyenlőség? 5 x+3 –9 = –6 11 x-nek van olyan értéke, amire igaz ez az egyenlőség. Melyik az? Folytasd!

TUDNIVALÓ Az egyenletek megoldásakor arra törekedtünk, hogy az egyik oldalon csak az ismeretlen, a másik oldalon pedig csak egy szám maradjon. Ennek érdekében az egyenlet – mindkét oldalához ugyanazt a számot vagy kifejezést adhatjuk hozzá, illetve mindkét oldalából ugyanazt a számot illetve kifejezést vonhatjuk ki; – mindkét oldalt ugyanazzal a 0-tól különböző számmal szorozhatjuk, illetve oszthatjuk.

2. FELADATLAP Mindannyian húzzatok a borítékból három kártyát. Oldjátok meg az egyenleteiteket, majd ellenőrizzétek társatok kidolgozását (ezt írjátok is alá). A tizenkét darab feladat kidolgozását ragasszátok fel egy csomagolópapírra, hogy a tanár ellenőrizhesse. A feladatokat önállóan oldjátok meg, a megoldásokat egyenként beszéljétek meg a társaitokkal! A megoldásokat ne felejtsétek el ellenőrizni! 1. Az A halmaz elemei a következő egyenletek megoldásai. Rendezd az A halmaz elemeit! Hány eleme van az A halmaznak? Melyik x-re igaz, hogy a)

5x – 2 = 28

b)

4 (x – 2) = 24

c)

88


d) e) f) g)

3 (x – 6) – 4x = 5 6 (x – 2) – 2 = 10 4 (2x + 3) – 5x – 7 = – 1 – 3x 7 – 2 (x + 1) – 3 (x – 2) = (4 – 3x) · 2 – 4

h)

2x

i)

´ 1 ´ ¥2 ¥3 ¦ x 1µ ¦ x 2 µ x 1 ¶ 3 ¶ §3 §2


3 7 x1 3 x 5 2

j) k) l)

6 (x – 4) + 3 (x – 1) – 5 (x + 2) + 3 (8 – x) = –3 – x 3 (x + 7) + 2 (9 – x) = 60 + 4 (x – 5) 1 3x m) 2 – x = 4 n) 1,4 – 0,8 (x + 2) + 2,5 (x – 1) = 10,9

2. Oldd meg a szöveges feladatokat következtetéssel, vagy a szövegnek megfelelő egyenlet megoldásával. a) Hány forintja van Péternek és Balázsnak külön-külön, ha Péter pénze ötször annyi, mint Balázsé, és kettőjüknek összesen 4200 Ft-juk van? b) Hány fokosak a háromszög szögei, ha az egyik kétszer akkora, mint a másik, és a harmadik harminc fokos? c) Hány fiú- és hány lánytestvére van Lucának, ha a fiúk száma fele a lányokénak, és összesen kilencen vannak? 3. Egy anya 23 évvel idősebb a fiánál, és 5 évvel fiatalabb a férjénél. Hármuk életkora összesen 96 év. Hány évesek külön-külön? 4. Egy könyvállvány két sorában összesen 66 könyv van. A felsőben 4-gyel több, mint az alsóban. Hány könyv van egy-egy sorban? 5. Egy egyenlő szárú háromszög szárai 1,5-ször akkorák, mint az alapja. Mekkorák a háromszög oldalai, ha tudjuk, hogy kerülete 40 cm? 6. Egy téglalap hosszúsága háromszor akkora, mint a szélessége. Kerülete 72 cm. Mekkorák az oldalai? 7. Gondoltam egy számot, a kétszereséhez 27-et adtam. Így 71-et kaptam. Melyik számra gondoltam? 8. Egy olajoskanna tömege olajjal együtt 8 kg, ha kiöntjük belőle az olaj felét, 4,5 kg lesz a tömege. Hány kilogramm olaj van a kannában? Hány kilogrammos az üres kanna? 9. Válaszd ki a szövegnek megfelelő egyenleteket, majd oldd is meg! a) Melyik számra gondoltam, ha a gondolt számhoz hozzáadtam a szám kétszeresénél kilenccel nagyobb számot, majd az összeg harmadát vettem, és eredményül 10-et kaptam? A: b)

B: x + (2x + 9) : 3 = 10

C: x + 3 = 10

Melyik számra gondoltam, ha a gondolt számhoz hozzáadtam 5-öt, vettem az összeg hatszorosát, majd elvettem belőle 10-et és ebből kivontam a gondolt számot és eredményül 30-at kaptam? A: (x + 5) 6 – 10 – x = 30

B: 6x + 30 – 10 – x = 30

C: x + 30 – 10 – x = 30



89

3. FELADATLAP Oldjátok meg a betűjeleteknek megfelelő feladatot, és tanítsátok meg a többieknek. A munka akkor fejeződik be, ha mindannyiótok könyvében a feladatlapok ki vannak töltve. Beszéljétek meg közösen a tapasztalataitokat, és rendszerezzétek a megadott szempontok alapján.

—A—

Minden lépés így kezdődik: Mindkét oldalhoz hozzáadunk 2-t. Mindkét oldalból kivonunk 1-et Mindkét oldalt megszorozzuk 4-gyel. Mindkét oldalt megszorozzuk 1 -del. 4 Mindkét oldalt megszorozzuk –3-mal. Mindkét oldalt megszorozzuk –2-vel. Mindkét oldalt megszorozzuk nullával.

4<7

– 4 > –7

1 0 3

1

0 3

Igaz marad-e az állítás?

90



—B—

Minden lépés így kezdődik: Mindkét oldalhoz hozzáadunk 2-t. Mindkét oldalból kivonunk 1-et. Mindkét oldalt megszorozzuk 4-gyel. Mindkét oldalt megszorozzuk 1 -del. 4 Mindkét oldalt megszorozzuk –3-mal. Mindkét oldalt megszorozzuk –2-vel. Mindkét oldalt megszorozzuk nullával.

–3 < 2

3>–2

2 0 3

4

0 5

Igaz marad-e az állítás?



—C—


4,5 < 7,6

–7 > –9

0,6 > 0

1

0 2

Igaz marad –e az állítás?

91

92



—D—


1 1 3 2

1 1

3 2

3>0

–5 < 0

Igaz marad –e az állítás?



93

TUDNIVALÓ Az egyenlőtlenség megoldása során az egyenlőtlenség iránya nem változik, ha

változik, ha

1. mindkét oldalához hozzáadunk egy számot 2. mindkét oldalából kivonunk egy számot 3. mindkét oldalát megszorozzuk egy pozitív számmal 4. mindkét oldalát elosztjuk egy pozitív számmal

1. mindkét oldalát megszorozzuk egy negatív számmal 2. mindkét oldalát elosztjuk egy negatív számmal

Vigyázz, 0-val se osztani se szorozni nem szabad az egyenlőtlenséget!

4. FELADATLAP 1. Milyen x-re teljesülnek az egyenlőtlenségek? A megoldásokat ábrázoljátok számegyenesen. a) 3x + 4 = 5x

3x + 4 > 5x

3x + 4 < 5x

b) 2x – 3 = 7

2x – 3 > 7

2x – 3 < 7

c) 4 – 5x = –11

4 – 5x > –11

4 – 5x < –11

d) 12 – 3x = 4 + x

12 – 3x < 4 + x

12 – 3x > 4 + x

e) 4 (x – 2) – 2 (x + 3) > x – 5 f) 3 (x – 1) + 2 (x – 5) < 4 (x – 6) g) 2 (2x – 3) + 5 (x – 2) < 20 2. Milyen x-re teljesülnek az egyenlőtlenségek? a)

x+3 0 x–1

b) |x + 3|  5 c)

x–2 0 x +1

d) |x – 2|  3

5. FELADATLAP 1. Pistit sajtért küldték az üzletbe. Amikor otthon megkérdezték, hogy miből mennyit vásárolt, Pisti csak az adatokat sorolta. A Trappista sajtból 1 kg 580 Ft-ba, az Anikóból 1 kg 760 Ft-ba kerül. Fél kg-ot vásároltam, összesen 320 Ft-ot fizettem. Pisti édesanyja elővette a számológépet, és próbálgatni kezdett. Ha 49 dkg Anikót vett volna, akkor nem maradt volna pénze Trappistára (miért) Ha 49 dkg Trappistát vett volna, akkor az Anikóból egy dkg-ot kéne vennie (miért) Ha Anikóból 40 dkg lenne, akkor sem maradt volna pénze a másik fajta sajtra (miért). Ha Anikóból 30 dkg-ot vásárolt volna, az 0,3·760=228 Ft-ba kerülne, de akkor Trappistából pontosan 20 dkg-ot kellett volna vennie, ami 0,2·580=116 Ft-ba kerülne. Sajnos a 228+116 nem egyenlő 320-al. Pisti már nem bírta tovább türelemmel, és egyenlet segítségével kezdte kiszámolni. Figyelj Anyu!

94



Ha x-szel jelölöm az Anikó mennyiségét, az ára ________ lesz. Ha az Anikó mennyisége x, akkor a Trappistáé ________ dkg lesz, amelynek ára ________ lesz. Tehát 320 = ________ Gyors egyenletmegoldás és ellenőrzés után Pisti válasza: Tehát ________. Anikó és ________ Trappista sajtot vettem. 2. Pontosék Angliába és Németországba mennek nyaralni. Előre kiszámolják, hogy ötször annyi fontra lesz szükségük, mint euróra. Pontos úr 500 000 Ft-ért vásárol valutát. Hány fontot és hány eurót kap érte? A bankban sorban állnak és Pontos úr unalmában számolni kezd. Az árfolyamtábla szerint 1 £ (font) 360 Ft és 1 (euró) 250 Ft. Először becsléssel próbálkozik. 1000 £ = ________ Ft és 200 = ________ Ft. A kettő együtt sokkal kevesebb, mint 500000 Ft. 1100 £ = ________ Ft és 220 = ________ Ft. Ez már 49 000 Ft híján 500 000 Ft. Pontos úr inkább pontosan akarja kiszámolni, azaz egyenlettel oldja meg a problémát. e-vel jelölöm az eurók számát. Az e darab euró 250 · e Ft-ot ér. Ha e az eurók száma, akkor a fontok száma ________, ez ________ Ft-ot ér. A kettő együtt 500 000 Ft.

6. FELADATLAP —A— 1. Mennyi pénzed van, ha Karcsi pénzével együtt összesen 2500 Ft-od van, és Karcsinak 1120 Ft-tal több pénze van, mint neked? 2. Mekkorák annak a téglalapnak az oldalai és szögei, amelynek az egyik oldala a másik oldal kétharmad része, és a kerülete 150 cm? —B— 1. A Koros családban az anya 25 évvel idősebb a fiánál, és 3 évvel fiatalabb a férjénél. Hármuk életkora 71 év. Hány éves a gyerek? 2. Dolgozói után minden vállalat fizet társadalombiztosítási járulékot. Ez a bruttó bér 40%-a. A Fortuna kisvállalat havonta átlagosan 15370e Ft-ot fizet ki a dolgozóinak. Mennyibe „kerülnek” a dolgozók a vállalatnak? —C— 1. Melyik az a két szám, amelyek közül az egyik 12-vel kisebb a másiknál; ha az egyiket megszorozzuk 6-tal, a másikat 3-mal, akkor az így kapott első szorzat 6-tal nagyobb a másodiknál. 2. Egy téglalap alakú kert szélességének ötszöröse négy méterrel hosszabb, mint a hosszúsága. A bekerítéséhez 58m hosszúságú kerítésre van szükség. Mekkora a kert területe?



95

—D— 1. Két malomban összesen 520000 tonna búzát őrölnek. Az egyikben 1,6-szer többet, mint a másikban. Mennyit őrölnek külön-külön a két malomban? 2. Krisztián egy nagy akváriumot kapott születésnapjára. Zsebpénzéből (3300 Ft) kétféle halat szeretne vásárolni. Hányat vehet az egyes fajtákból, ha az egyik hal darabja 120 Ft, a másiké 260 Ft, és azt ajánlják neki, hogy 20 db halat vegyen összesen. A kereskedőnek összesen 3240 Ft-ot fizetett.

7. FELADATLAP 1. Egy könyvespolcon összesen 80 könyv van. Az alsó polcon 4-gyel több, mint a középsőn, a legfelsőn 8-cal kevesebb, mint a középsőn. Hány könyv van külön-külön a polcokon? 2. Az iskola ebédlőjét felújították. Az eredetileg téglalap alakú helyiség rövidebb oldalát 4 m-rel meghosszabbították. Így egy olyan négyzet alakú termet kaptak, amelynek területe 28 m²-rel lett nagyobb az eredetinél. Mekkora volt az eredeti ebédlő kerülete? 3. Egy nyolc emeletes lakóházban összesen 320-an laknak. Minden emeleten 2-vel kevesebben, mint az eggyel alacsonyabbon. A legkevesebben a 8. emeleten laknak. Hányan laknak az egyes emeleteken? 4. A tornaterem átépítése során az egyik téglalap alakú öltöző rövidebbik oldalát 0,6 m-rel meghoszszabbították, így abból egy négyzet alakú helyiséget kaptak, amelynek területe 4,8 m2 -rel lett nagyobb, mint az eredeti helyiségé volt. Mekkorák voltak az eredeti méretek? 5. Egy általános iskolában 577 tanuló van. A hatodikosoknál fiatalabbak 3-mal kevesebben vannak, 7-ben és 8-ban 10-zel kevesebben vannak, mint a 6-sok. Hány tanuló van az iskola 6. évfolyamán? 6. Egy téglalap alakú istálló szélességének négyszerese 3 m-rel rövidebb, mint a hosszúsága. A bekerítéshez 60 m kerítés kellett. Mekkora területen élnek a lovak? 7. Egy téglalap alakú könyvtárszoba oldalainak aránya 2 : 5. A területe 40m 2 . Mekkora annak a könyvespolcnak a hossza, amely körbefutja a szoba területét? 8. Erkélyládákba két fajta virágot vásároltunk, muskátlit és petúniát, összesen 50 db-ot. A muskátli ára 30 Ft darabonként, a petúniáé 45 Ft. Összesen 1980 Ft-ot fizettünk. Hányat vettünk az egyes fajtákból? 9. Kelemenék egy másik lakásba költöztek. Képeket, csecsebecséket szeretnének feltenni a falra, ezekhez azonban lyukakat kell fúratni. Több szerelőt is megkérdeztek, hogy mennyiért csinálnák meg. László mester: 1200 Ft kiszállási díjat kér, és egy lyukat 250 Ft-ért fúr. József mester 2500 Ft kiszállási díjat kér, és egy lyukat 120 Ft-ért fúr. Ha összesen 8 lyukat kéne fúrni, melyik mestert érdemes hívni? Ha 10 lyukat kéne fúrni, melyiket? Ha 50 lyukat kéne fúrni, melyiket?

ALGEBRA

0774. Azonosság, egyenlet, szöveges feladatok gyakorlása

KÉSZÍTETTE: HARSÁNYI ZSUZSA

98



1. FELADATLAP 1. Kati és Pisti számkitalalálóst játszott. Kati azzal hencegett, hogy rögtön meg tudja mondani a műveletsor végeredményét, pedig nem is tudja, hogy Pisti milyen számra gondolt. Találd ki, miért! (A műveletsort Kati határozza meg, és Pisti gondol egy számot.) Kati: (1) Gondolj egy számra! Adj hozzá 2-t, majd az eredményt szorozd meg 3-mal! Ebből vond le a gondolt szám háromszorosának és 4-nek az összegét! Ugye, 2-t kaptál? (2) Gondolj egy számra! Vedd a négyszeresét, adj hozzá 10-et, ezt oszd el 2-vel, majd a hányadosból vond ki az eredeti szám dupláját! A végeredmény 5 lett, ugye? (3) Gondolj egy számra! Adj hozzá 5-öt, és az eredményt szorozd meg 7-tel! Az így kapott számból vond ki a gondolt szám háromszorosát, majd adj hozzá 2-t, és az eredményt csökkentsd a gondolt szám négyszeresével! Ugye, 37 lett a végeredmény? Párban dolgozzatok, és a megadott szempontok alapján válogassátok szét a feladatokat! 2. Melyik egyenlet, melyik azonosság, melyik egyenlőtlenség? Egyenlet: Azonosság: Egyenlőtlenség: a)

Valaki gondolt egy számot. Ezt kétszer vette, hozzáadta a gondolt szám háromszorosát; az eredményt megszorozta 3-mal, hozzáadott 5-öt, és amit így kapott, azt elosztotta 2-vel. Ekkor közölte, hogy az eredmény 40. Melyik számra gondolhatott?

b)

Kemenesék üzleti vállalkozásba fogtak. Mennyit költöttek az első héten, ha a második héten 100 000 Ft-tal többet, a harmadik héten pedig négyszer annyit költenek az üzletre, mint az első héten, és így összesen 2500000 Ft-juk ment el az üzlet beindítására?

c)

Milyen számokra teljesül az egyenlet? –(a – b) – c = b – a – c

d) Hány éves lehetek, ha az éveim számának kétszereséhez hozzáadom először az éveim számának felét, majd negyedét, akkor 100-nál kevesebbet kapok? e)

Milyen a-ra igaz az egyenlőség? 5a – 3(a+2) – 2(a – 4) = 2

f)

Milyen b-re igaz az egyenlőség? 2(b – 1) + 2b = 7



99

Egy borítékban megkapjátok az algebrai kifejezéseket. Ezeket kell összepárosítanotok úgy, hogy az egyenlő kifejezések egymás mellé kerüljenek. a) a – (b + c); b)

a : a; b

a + b; b a+ab d) ; a c)

n) ac – ad – bc + bd; o) 9x2; p) 1 + b; q) a – b – c;

e) [a : (b + c)] · d;

r) (–1)(–a + b + c);

f) 3x2

s)

g) a : (b + c) · d;

t) (3x)2;

h)

a · d; b+c

u)

ad ; b+c

1 ; b

i) (–a) : b;

v) b – (a + c);

j) –(a – b)

w) 1 + ab;

k) b – a l) a – b + c

ab ; –b2 a y) . –b x)

m) (–3x)2 Most dolgozzatok párban! Egyikőtök az 1. feladat baloldali egyenletét, a másik a jobboldalit oldja meg. Utána cseréljetek füzetet, és behelyettesítéssel ellenőrizzétek le a párotok megoldását! Ugyanilyen módszerrel oldjátok meg a többi feladatot is!

100



2. FELADATLAP 1. Milyen egész számra igaz az egyenlőség? A

B x x 2 6 7

1.

Megoldások cseréje 2. Megoldások cseréje 3.

2 ( 5 x+3 ) +( 5x– 8 ) =16

5 ( x– 2 ) +3 ( 5 +4x ) =9 0

Megoldások cseréje

2. Milyen természetes számra igaz az egyenlőség? 1.

3x+4 (x +2 ) =15

5x– 3 ( x+1 ) =6 Megoldások cseréje

2. 5x– ( 8 x– 7 ) =– 6x +13

3x– ( 2 x+1 ) = – 1 Megoldások cseréje

3.

x 2 – 2 ( x+3 ) –x (x +4 ) =– 6

x 2 – 1 ( x +4 ) –x (x– 2 ) =5


3. Milyen számokra igaz az egyenlőtlenség? A megoldást ábrázold számegyenesen! 1.

6x + 5 > 1

21 – 3x < -3 Megoldások cseréje

2. 8(x–4) – 3(x–4) < 6(x–4)

6(x+2) – 5(x–1) < 3(x–4)

Megoldások cseréje 3.

Egy szám háromszorosához 4-et adva kisebb számot kapunk a szám négyszeresénél. Nagyobb-e a szám 3-nál? Legkevesebb mennyi lehet ez a szám?

Egy szám tízszereséből a szám négyszeresénél eggyel többet elvéve kisebb számot kapunk, mint a szám négyszerese. Lehet-e ez a szám negatív?




4. Írd át úgy az algebrai kifejezéseket, hogy ne legyen benne zárójel! 1.

5 (3–a) + 2 (a–5) =

4 (b–5) – 3 (b+1) = Megoldások cseréje

2.

(a–1) · a + (a–2) · 5 =

(b–2) · 3 + (b–3) · b = Megoldások cseréje

3.

5b · (b+1) – 2 (b+5) =

4a (a–3) – 3 (a+4) =

5. Állításokat írtunk le öt féle algebrai kifejezéssel. Válaszd ki, melyik a kakukktojás! a)

Az a szám négyszerese: 4a

b)

c)

vagy 2a + 2a vagy a+3a 4 A b szám -e: 5 4 8 b ·4 vagy b vagy b 5 10 5 A c szám 1,5-szerese: 1 1,5 · c vagy 2c – 2 c vagy c+0,5 c

d) A d szám megnövelve 1,5-del: 3 d · 1,5 vagy d+1,5 vagy 2 +d 6. Válaszd ki az azonosságokat! a)

8 a+6a – 10a=9 a

b)

16b – 10b – 7 b =–b

c)

10 c +11 c – 8c – 5 c =9c

d) (a + 3) · 2 + 1= 2a + 7 e)

10 a+7 = 5a+7 2

f)

8 x– 6 = 4x–3 2

g)

(a + 2a) · a = 3a

h) i)

x x + = 5x 2 3 6 a – (5 – a) = –5

7. Oldjátok meg az egyenleteket! a) b) c)

1 3x =– 2 4 3 5x – =– 4 3 (2x +13) – (5x –17) = 240

d) (5x – 28) – (3x + 2) + (x – 30) = 120 e)

(2x – 1) · 9 = 36

f)

5 (x – 1) – 4 (x – 3) = –20

8 vagy 2 a

vagy b :

4 5

vagy c+1,5

6 vagy 2 a+2a

vagy b · 0,8

vagy c · |0,5 – 2|

vagy |0,5–2| d vagy

2d+3 2

101

102 g)



8 (2x –3) – 3 (5 –x) = 20

h) i)

x

2 x 3x

1 3 4

j) k)

2 (5x+3)=8 – 3x

l)

y 1

5 y 2

n)

2 x

1 3y 4

8. A 10-nél kisebb természetes számok közül melyek teszik igazzá az egyenlőtlenségeket? a)

2x < 13

b)

3x < 7

c)

6x > 13,5

A szöveges feladatok megoldásának menete: 1. A teljes szöveg figyelmes elolvasása, akár többször is. 2. Az adatok kigyűjtése mértékegységeikkel együtt, ha van. 3. Ha szükséges, a szöveg alapján pontos vagy vázlatszerű rajz készítése. 4. A végeredmény (legalább nagyságrendbeli) becslése. 5. A szövegben szereplő adatok közötti kapcsolat(ok) megkeresése. 6. Az értelmezési tartomány vizsgálata. (Pl.: Lehet-e negatív az eredmény?) 7. Következtetéssel, egyenlet, egyenlőtlenség stb. felírásával a megoldás keresése. 8. A feladat megoldása. 9. A megoldás ellenőrzése a szöveg értelmének megfelelően. 10. Az eredmény megadása a kívánt mértékegységben. 11. Szöveges válasz a kérdésnek megfelelően.

3. FELADATLAP 1. Oldd meg az alábbi problémákat! a) Egy két emeletes házban a földszinten lakók felett 90-en laknak. Az első emeleten annyian, mint a földszinten és a második emeleten együtt, a második emeleten lakók alatt pedig 78-an. Hány ember lakik az épület egyes szintjein? b)

A mérleg egyik serpenyőjében 5 kg van, a másikban négy egyenlő tömegű csomag, és még 2 kg. Mekkora egy csomagnak a tömege, ha a mérleg egyensúlyban van?

c)

Karcsi a következő feladatot adta Jóskának: gondolj egy számot, adj hozzá 4-et, az összeget vedd ötször, a szorzatból vonj ki 25-öt, majd a maradék kétszeresét vondd ki a gondolt szám tízszereséből. Miután Józsi megoldotta a feladatot, Karcsi megmondta, mennyi a maradék: 10. Honnan tudta?

d) Mennyiért kéne árulni egy doboz kukoricakonzervet? Egy tonna csöves kukorica felvásárlási ára 45000 Ft. A csutka a csöves kukorica 30%-a. A kukoricát gép morzsolja. Az egy tonnára vonatkozó rezsiköltség 2300 Ft. A szállítás tonnánként 6300 Ft. A konzervgyár a nyersanyag feldolgozásáért tonnánként 18960 Ft-ot számít fel. A kereskedő 27%-os árréssel dolgozik. Egy konzervben 300 g-nyi kukoricát raknak.



103

2. Egy péküzlet aznapi péksüteménykészletének 20%-át elvitte a szomszédos óvoda. Délig 53 vásárló átlagosan 4 db-ot vett. Az utolsó 4 db-ot az egyik eladó vette meg. Hány db péksütemény volt nyitáskor az üzletben? 3. Éva mamája nagyon szeret vásárolni. Márciusban hármas találata volt a lottón. Elhatározta, hogy a nyereményét táskára, cipőre és karórára költi. Nagyon sok kirakatot végignézett, mire eldöntötte, hogy melyiket vásárolja meg. Az árakat pontosan nem jegyezte meg, csak annyit tudott, hogy a cipő 7000 Ft-tal volt drágább, mint a táska, és feleannyiba került, mint az óra. Mire bevásárolt, a nyereménye, 73000 Ft mind elfogyott. Mennyibe került a cipő, a táska és az óra? Írd össze, hányféle sorrendben vásárolhatta meg Éva mamája ezeket a dolgokat, ha mindegyiket más-más üzletben szerezte meg? Melyik sorrendet választanád, ha az üzletekről annyit tudsz, hogy az indulási helytől jobbra 500 m-re van az óraüzlet, balra 400 m-re a cipőüzlet, és előre, az útra merőlegesen lévő utcában 300 m-re van a táskabolt. Az üzleteket kis utcák is összekötik, a kiindulási pontra pedig vissza kell érni A válaszodat indokold! 4. Egy zöldségüzletben február 30-án felvásárolták a krumpli mennyiségének kétharmadát és még 5 kg-ot. Így az üzletben csak 11 kg maradt. Hány kg krumpli volt az üzletben? Állapítsd meg, lehete valós a történet? 5. Mennyi pénzed van, ha Évával együtt összesen 3500 Ft-od van, és Évának 1220 Ft-tal van több pénze, mint neked? 6. Melyik számra gondolt Ági, ha a szám kétszerese 27-tel kevesebb a 71-nél? 2 7. Mekkorák annak a téglalapnak az oldalai és szögei, amelynek egyik oldala a másik oldal része, 3 és kerülete 150 cm? 8. A Kovács családban az anya 28 évvel idősebb a fiánál, és 3 évvel fiatalabb a férjénél. Hármuk életkora 74 év. Hány éves a gyerek? 9. Dolgozói után minden vállalat fizet munkavállalói járulékot. Ez a bruttó bér 4%-a. A Fortuna kisvállalat havonta átlagosan 15370e Ft-ot fizet ki a dolgozóinak. Mennyibe „kerülnek” a dolgozók a vállalatnak? 10. Megfigyelték, hogy a Széles Álom úton a Bárhova elágazáson csúcsidőben összesen kb. 6000 autó halad keresztül egy óra alatt. 5 2 Nevesincs felé az autók -a, Seholsincs felé pedig az autók -e megy. Hány autó megy Útsincs 12 3 felé?

104



11. Párosítsd össze a KRESZ-táblákat az utakkal!

12. Nyerő úr 1 200 000 Ft-ot nyert a lottón. Azt a tanácsot kapta, hogy pénzének egy részéért befektetési jegyet, a másik részéért OTP takaréklevelet vegyen. A befektetési jegy évente 18%-ot, a takaréklevél 11%-ot kamatozik. Egy év elteltével 1,35 millió Ft-ja lett. Számold ki, hogy Nyerő úr mekkora értékben vett befektetési jegyet! 13. Egy vadaskertben nyulak és fácánok vannak. Az állatoknak összesen 50 feje és 140 lába van. Hány nyúl és hány fácán van a vadaskertben?

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Zoli 5 pár fehér és 3 pár kék zoknit tart a a fiókjában. Elég rendetlen fiú, és mosdás után sohase párosítja össze a zoknikat, csak bedobja őket a fiókba. Egy téli reggelen áramszünet volt, és Zolinak sötétben kellett egy pár zoknit kiválasztania. a, Legalább hány darab zoknit kellett kivennie, hogy biztosan legyen köztük egy pár? b, Legalább hány darab zoknit kellett kivennie, hogy biztosan legyen közöttük egy kék színű pár? 2. A londoni Diamond & Sons február utolsó hetében teljes készletét felszámolta. Ennek során: hétfőn eladták a drágakövek felét és még négy darabot; kedden a maradék felét és még kettőt; szerdán ötöt; csütörtökön pedig kettő híján a még meglévő kövek felét. Ezután nyolc drágakő maradt. Hány drágakő volt hétfő reggel?



105

3. Tudjuk, hogy New Yorknak több lakosa van, mint ahány hajszál bármelyik lakos fején, és hogy senki sem teljesen kopasz. Következik-e ebből, hogy kell lennie legalább két lakosnak, akinek pontosan ugyanannyi hajszála van? (A feladat Raymond Smullyan: Mi a címe ennek a könyvnek? Című könyvében – Műszaki Könyvkiadó, 1988 – található.) 4. Egy vonat elindul Bostonból New Yorkba. Egy órával később elindul egy másik vonat New Yorkból Bostonba. A két vonat sebessége pontosan ugyanakkora. Melyik vonat lesz közelebb Bostonhoz, amikor találkoznak? (A feladat Raymond Smullyan: Mi a címe ennek a könyvnek? Című könyvében – Műszaki Könyvkiadó, 1988 – található.) 5. Öt lány: Kati, Éva, Zsuzsi, Panni és Rozi körmérkőzéses pingpongversenye véget ért. Szüleik nem mentek el a versenyre, és ezzel kiérdemelték gyermekeik jogos haragját. A lányok megállapodtak abban, hogy mindegyikük csak „féligazságot” mond otthon a versenyről, azaz egy igaz és egy hamis állítást, ezzel büntetik nemtörődöm szüleiket. A következőket állították a versenyről: Kati: Panni a versenyen második lett. Sajnos én csak harmadik lettem. Évi: Nagyon örülök, mert én lettem az első. Zsuzsi a második helyen végzett. Panni: Második lettem. Rozi lecsúszott a harmadik helyre. Rozi: A negyedik helyen kötöttem ki. Katinak a legjobb, ő lett az első. Zsuzsi: Csak a harmadik lettem. Szegény Évinek csak az utolsó hely jutott. Állítsd össze a helyezések sorrendjét! 6. El lehet-e osztani 10 zseb között 44 forintot úgy, hogy mindegyik zsebbe más és más számú forintos érme kerüljön? Hogyan? 7. Egy meleg nyári napon Péter bevásárolt barátainak a büfében. Vett 13 limonádét, egyenként 150 F-ért, 6 adag virslit és 9 szendvicset. Az eladó szerint összesen 4210 Ft-ot kellett volna fizetnie. „Az nem lehet” – mondta, pedig még nem is tudta, mennyibe kerül a virsli és a szendvics. Miért lehetett ilyen biztos a dolgában? 8. Az Előrelátás Kft. új igazgatója működését azzal kezdte, hogy az alkalmazottak számát megduplázta. A következő hónapban felvett még 7 dolgozót. Ezután megsokallta a beosztottak számát, és elbocsátotta a dolgozók 40%-át. Kisvártatva kiderült, hogy akadozik a munka, nosza gyorsan felvett 15 embert. Az újabb takarékossági intézkedések hatására azonban kénytelen volt a dolgozók egyharmadát elbocsátani. Így már csak 24-en dolgoztak a cégnél. Hányan dolgoztak a cégnél az új igazgató megérkezése előtt? Végül hogyan változott a munkanélküliségi ráta az új igazgató rendelkezéseivel? 9. A matematikaversenyen 10 feladatot kellett megoldani. A versenyzők minden helyesen megoldott feladatért 5 pontot kaptak, a meg nem oldott vagy hibás feladatokért pedig egyenként 4 pontot vontak le. Hány feladatot oldott meg helyesen az a tanuló, akinek az összeszámoláskor 32 pontja volt? És az, akinek 10 pontja volt? Lehet-e valakinek negatív pontja? Lehet-e nulla pontja? Mi lehet a legkevesebb pontszám? Hogyan lehetne a lehetséges pontszámokat általános formában felírni? 10. Egy szabadtéri koncert szünetében 3 mozgóárus perecet árult, 100 Ft-ért darabját. Átlagos jövedelmük az egyik este 22400 Ft volt. Az árusok közül az első 50%-kal, a második 70%-kal nagyobb forgalmat bonyolított le, mint a harmadik. Hány perecet adtak el külön–külön?

106



11. Egy óra árát 25%-kal felemelték, de nem volt elég kelendő, ezért az új árát 25%-kal csökkentették. Végül ki járt jobban; a vevő, vagy az eladó? 12. A tőkéd 1800 000 Ft volt 2 éve. Az egyharmadát részvénybe fektetted, kétötödét betétkönyvben kamatoztatod, a többiért állampapírt vásároltál. A részvény nem kamatozik, de 2 év alatt összesen 30% osztalékot fizettek utánuk. A betétkönyv 10%-ot, az állampapír 15%-ot kamatozott évente. Mennyivel nőtt a tőkéd 2 év alatt? Százalékosan melyik befektetési forma hozott a legtöbbet a konyhára? 13. A természetes számsorban egymást követő három szám összege 56. Évi rögtön tudja, hogy téves az eredmény. Találd ki, honnan jött rá! Javítsd ki úgy az adatokat, hogy legyen megoldása a feladatnak! 14. Egy szám harmada 2-vel nagyobb a nála 12-vel nagyobb szám hatodánál. Melyik ez a szám? 15. A toronyóra 9 órát mutat. Hány órát fog mutatni 4 óra, 17 óra, 60 óra, 2 nap, egy hét, 602 óra múlva? 16. Egy bankban 560 000 Ft egy év alatt 15%-ot kamatozik, de a kamatadó 20%. Megéri betenni a pénzt? Mennyi lesz a kezdeti pénzből? Mennyi a kamatadó? Hány százalékos a valódi, kamatadóval csökkentett kamat? 17. Egy vállalkozás beindításához a Vállalkozói Alapítvány Kuratóriuma Vállalkozási kölcsönt ad. A kölcsön nagysága arányos a vállalkozó magántőkéjével. Fontosék és Tollasék vállalkozói kölcsönt akarnak fölvenni. A két család indulótőkéjének aránya 2:5. Fontosék mennyi kölcsönt kapnak, ha Tollasék 780 000 Ft-ot kaptak? 18. A 200 000 Ft-os tőkédet január 2-án évi 8 %-os kamattal beteszed a bankba. Június 16-án kiderül, hogy mégis szükséged van a pénzre. Mennyi pénzt kapsz, ha a bank minden nap számít kamatot, és nem szökőévről van szó? 19. Zöldék házat akarnak építeni. Már készen vannak az alapozással. A nyolctagú, „Tégladobáló” kőműves csapat a falak felépítését 25 napra vállalja. Zöldék azonban inkább a 15 tagú, „Sörszerető” csoportot bízzák meg a munkával. Ha feltételezzük, hogy minden kőműves teljesítménye egyforma, akkor hány nap alatt lesz ez a csapat készen a falak felhúzásával? És ha egyszerre mindkét csoport dolgozna? És ha még 1000 munkás? 20. Bélának és Karcsinak pénzre volt szüksége, ezért a szünetben elmentek szórólapokat osztogatni egy diákszövetkezethez. Béla nemsokára megbetegedett, így Karcsinak egyedül kellett befejeznie a vállalt feladatot. Úgy egyeztek meg, hogy a pénzt 1:4 arányban osztják el egymás közt. Mennyi pénzt kaptak, ha Karcsi 33360 Ft-tal többet kapott, mint Béla? 21. Zöldövezetben lakóparkot építenek. A telek nagysága 1,5 ha (1 ha=10000 m 2). A beépítési rendelet szerint a zöldövezetben a telek nagyságának 33%-ára lehet házat építeni. Három ház építését tervezik úgy, hogy a házak alapterületének az aránya 3:4:5 legyen. Mekkora a házak alapterülete külön-külön és együtt? Egyetértesz-e azzal, hogy a teleknek csak 33%-át lehet felhasználni? (A válaszodat indokold is!)

ALGEBRA Egyenletek, egyenlőtlenségek

Recommend Documents