N´ev (olvashat´o) : ......................................................... Sorsz´am: A1 A. Matematikai Statisztika 2.MINTA ZH. 2003 december A feladatmegold´asnak az alkalmazott matematikai modell val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´asi ill. statisztikai sz´ohaszn´alat szerinti megfogalmaz´as´at, a feltett k´erd´esre adott v´alaszt ´es ennek indokol´as´at kell tartalmaznia. Az el˝oad´asban ill. jegyzetben szerepl˝o dolgokat nem kell a dolgozatba belem´asolni. Minden feladat megold´as´at arra a lapra kell ´ırni, ahol a feladat szerepel. Piszkozat is beadhat´o, de ´ ekelhetetlenek a n´ev n´elk¨ minden feladat k¨ ul¨on lapon legyen. Ert´ ul beadott lapok. A jelen lapon szerepl˝o inform´aci´ok az eg´esz dolgozatra vonatkoznak, a tov´abbi lapokon szerepl˝o adatok csak abban a feladatban ´erv´enyesek. Bergeng´ ocia n´egy tartom´anyb´ol ´all, melyek elnevez´ese: A ´eszaknyugati tartom´any B ´eszakkeleti tartom´any C d´elnyugati tartom´any D d´elkeleti tartom´any
A C
B D
´ Ertelemszer˝ uen haszn´alj´ak m´eg a k¨ovetkez˝o megnevez´eseket: ´ A ´es B egy¨ utt: Eszak-Bergeng´ ocia C ´es D egy¨ utt: D´el-Bergeng´ocia, stb. Bergeng´oci´aban 10 milli´o feln˝ott ´allampolg´ar ´el, 2 milli´o az A tartom´anyban, 3 milli´o a B tartom´anyban, 2 milli´o a C tartom´anyban, 3 milli´o a D tartom´anyban. A bergeng´oc lakoss´ag szemsz´ın szerinti megoszl´asa a n´egy tartom´anyban azonos: a lakoss´ag 30 sz´azal´eka k´ekszem˝ u ´es 70 sz´azal´eka z¨oldszem˝ u. A k´ekszem˝ u bergeng´ocok (cm-ben kifejezett) testmagass´aga norm´alis eloszl´as´ u, v´arhat´o´ert´eke µK =181, sz´or´asa σK =ismeretlen. A z¨oldszem˝ u bergeng´ocok (cm-ben kifejezett) testmagass´aga norm´alis eloszl´as´ u, v´arhat´o´ert´eke µZ =190, sz´or´asa σZ =ismeretlen. A Bergeng´oc J¨ovedelemkutat´o Int´ezet (BJKI) munkat´arsai az al´abbi mint´at vett´ek: 110 elem˝ u egyszer˝ u v´eletlen minta az ´eszak-bergeng´oc lakoss´agb´ol, 90 elem˝ u egyszer˝ u v´eletlen minta a d´el-bergeng´oc lakoss´agb´ol, ´ıgy kiv´alasztanak ¨osszesen 200 embert. Megk´erdezik ˝oket, mennyi a havi nett´o j¨ovedelm¨ uk (bergeng´oc tall´erban). Minden megk´erdezett egy sz´ammal v´alaszolt (amit a tov´abbiakban t jel¨ol). A k¨ovetkez˝o t´abl´azat a csoportonk´enti ´atlagokat ´es a csoportokon bel¨ uli n´egyzet¨osszegeket k¨ozli: mintanagys´ag
csoport´atlag
NA = 44
t•A = 70
NB = 66
t•B = 66
NC = 35
t•C = 70
ND = 55
t•D = 76
csoporton bel¨ uli n´egyzet¨osszeg P 2 WA = (tn − t•A ) = 4400 n∈A P 2 WB = (tn − t•B ) = 7200 n∈B P 2 WC = (tn − t•C ) = 5200 n∈C P 2 WD = (tn − t•D ) = 8400 n∈D
´ ekel´es: Ert´ jeles: 50-80 pont j´o: 40-49 pont megfelel˝o: 20 - 39 pont nem megfelel˝o: 0 - 19 pont
N´ev (olvashat´o) : ......................................................... Sorsz´am: A1
1. A BJKI adatai alapj´an adjon torz´ıtatlan becsl´est a t v´altoz´ora (t bergeng´ociai ´atlag´ert´ek´ere). Mit tud mondani a becsl´es sz´or´as´ar´ol? (20 pont)
N´ev (olvashat´o) : ......................................................... Sorsz´am: A1
A kutat´ok D´el-Bergeng´ocia j¨ovedelmi viszonyait vizsg´alj´ak azon a 90 f˝os egyszer˝ u v´eletlen mint´an, amit a BJKI vett a feln˝ott d´el-bergeng´oc lakoss´agb´ol (az els˝o lapon olvashat´o t´abl´azatr´ol van sz´o, de csak a C ´es D sorokat kell n´ezni). A bergeng´oc kutat´ok egyszempontos variancia-anal´ızis modell alapj´an vizsg´alj´ak azt hipot´ezist, hogy a t v´altoz´o C tartom´anybeli ´atlaga megegyezik a t v´altoz´o D tartom´anybeli ´atlag´aval, azaz H0 : µC = µD ´es a D2 = SSQB + SSQW ANOVA egyenlet t´enyez˝oit sz´amolj´ak ki a minta adatain, ahol D2 : a t v´altoz´o C ´es D tartom´anyon vett mintabeli teljes n´egyzet¨osszege SSQB : a C ´es a D csoportok k¨oz¨otti mintabeli n´egyzet¨osszeg SSQW : a C ´es a D csoportokon bel¨ uli mintabeli n´egyzet¨osszeg 2.1. Melyek az egyszempontos variancia-anal´ızis modell alkalmaz´asi felt´etelei? Teljes¨ ulnek-e ezek a felt´etelek a jelen p´eld´aban?
(tudjuk, hogy teljes¨ ul - tudjuk, hogy nem teljes¨ ul -
nem tudjuk, hogy teljes¨ ul - nem tudjuk, hogy teljes¨ ul, de tudjuk tesztelni ) 2.2. Adja meg az ANOVA egyenlet t´enyez˝oinek mintabeli ´ert´ek´et. 2.3. Mennyi t varianci´aja D´el-Bergeng´oci´ aban? (adjon az adatok alapj´an torz´ıtatlan becsl´est) (20 pont)
N´ev (olvashat´o) : ......................................................... Sorsz´am: A1
Ebben a feladatban σK = σZ = 10. Az al´abbiakban a bergeng´oc feln˝ott lakoss´ ag k¨or´eben ´ertelmez¨ unk k´et v´altoz´ot: X : testmagass´ag (cm) ½ C : szemsz´ın,
C=
1, ha az illet˝o k´ekszem˝ u 2, ha az illet˝o z¨oldszem˝ u
3. Mennyi X ´es C korrel´aci´oja? (20 pont)
N´ev (olvashat´o) : ......................................................... Sorsz´am: A1
4. Ebben a feladatban σK = σZ = 10. Az al´abbiakban a bergeng´oc feln˝ott lakoss´ ag k¨or´eben ´ertelmez¨ unk h´arom v´altoz´ot: ½ X : magass´ag,
Z : lakhely,
1, 2, Z= 3, 4, ½
C : szemsz´ın,
1, 2,
X=
C=
ha ha ha ha
ha az illet˝o nem magasabb, mint 180 cm ha az illet˝o magasabb, mint 180 cm az az az az
illet˝o illet˝o illet˝o illet˝o
lakhelye lakhelye lakhelye lakhelye
A B C D
1, ha az illet˝o k´ekszem˝ u 2, ha az illet˝o z¨oldszem˝ u
A bergeng´oc kutat´ok (akik nem ismerik a ZH els˝o lapj´an k¨oz¨olt inform´aci´okat) a feln˝ott bergeng´oc lakoss´agra vett N = 1200 elem˝ u egyszer˝ u v´eletlen minta alapj´an az al´abbi hipot´ezist vizsg´alj´ak: H: X ´es Z felt´etelesen f¨ uggetlenek C mint felt´etelre n´ezve 4.1. a bergeng´oc kutat´ok a H hipot´ezist khi-n´egyzet pr´ob´aval tesztelik, adja meg a khi-n´egyzet statisztika elfogad´asi tartom´any´at 4.2. mi (akik tudjuk, hogy a ZH els˝o lapj´an k¨oz¨olt inform´aci´ok igazak) el tudjuk-e statisztikai vizsg´alat n´elk¨ ul d¨onteni, hogy fenn´all-e a H hipot´ezis? (20 pont)
