Matematika II
9.4.
9.4. Rovnice se speci´aln´ı pravou stranou
Rovnice se speci´ aln´ı pravou stranou
C´ıle V ˇradˇe pˇr´ıpad˚ u lze pomˇernˇe pracn´y v´ypoˇcet metodou variace konstant nahradit jednoduˇsˇs´ım postupem, kter´emu je vˇenov´ana tato kapitola.
V´ yklad Pˇri pozorn´em studiu pˇredchoz´ıho textu pozornˇejˇs´ıho studenta zaujme, ˇze ve fundament´aln´ım syst´emu kter´ekoli line´arn´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty se mohou vyskytnout pouze pˇrirozen´e exponenci´aln´ı funkce, polynomy nebo goniometrick´e funkce sinus ˇci kosinus, pˇr´ıpadnˇe jejich souˇciny. Rovnˇeˇz lze snadno uk´azat, ˇze i derivace jmenovan´ych funkc´ı budou t´ehoˇz typu. Je-li tak´e prav´a strana b(x) funkce exponenci´aln´ı, goniometrick´a, popˇr´ıpadˇe polynom, lze partikul´arn´ı integr´al v(x) u ´ pln´e rovnice nal´ezt jednoduˇsˇs´ı cestou, neˇz je variace konstant. V principu lze postupovat tak, ˇza partikul´arn´ı integr´al zvol´ıme pˇredem, a to t´ehoˇz typu, jako je prav´a strana rovnice, avˇsak s obecn´ymi koeficienty. Ty n´aslednˇe urˇc´ıme po dosazen´ı partikul´arn´ıho integr´alu do rovnice porovn´an´ım obou jej´ıch stran. Neˇz tento postup form´alnˇe zobecn´ıme, uk´aˇzeme jeho realizaci na nˇekolika ˇreˇsen´ych uk´azk´ach.
ˇ sen´ Reˇ e´ ulohy Pˇ r´ıklad 9.4.1. V u ´ loze 9.3.1 v pˇredchoz´ı kapitole jsme hledali obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ − 2y ′ − 8y = 30e3x . Provedeme v´ypoˇcet jin´ym postupem. ´ ˇ sen´ı: Uvodn´ Reˇ ı krok ponech´ame beze zmˇeny, takˇze pro koˇreny charakteristick´e rovnice r1 = −2, r2 = 4 m˚ uˇzeme ihned napsat obecn´e ˇreˇsen´ı zkr´acen´e rovnice: yˆ(x) = C1 e−2x + C2 e4x .
- 393 -
Matematika II
9.4. Rovnice se speci´aln´ı pravou stranou
Partikul´arn´ı integr´al v(x) pro ˇreˇsen´ı u ´ pln´e rovnice vˇsak nebudeme hledat metodou variace konstant, n´ybrˇz jeho tvar zvol´ıme ve stejn´e podobˇe jako m´a prav´a strana rovnice, tj. v(x) = A e3x , kde A je konstanta, kterou mus´ıme nyn´ı urˇcit. Provedeme to dosazen´ım funkce v(x) a jej´ıch derivac´ı v ′ = 3A e3x , v ′′ = 9A e3x do u ´ pln´e rovnice: 9A e3x − 6A e3x − 8A e3x = A e3x a po vydˇelen´ı v´yrazem e3x dost´av´ame 9A − 6A − 8A = 30
⇒
A = −6 .
Nalezen´y partikul´arn´ı integr´al v(x) = −6 e3x je identick´y s v´ysledkem z´ıskan´ym v´yraznˇe pracnˇejˇs´ım zp˚ usobem v pˇr´ıkladu 9.3.1.
Pˇ r´ıklad 9.4.2. Najdˇeme obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ − 4y ′ − 5y = 5x − 6. ˇ sen´ı: Charakteristick´a rovnice r 2 − 4r − 5 = 0 m´a koˇreny r1 = 5, r2 = −1, Reˇ takˇze obecn´e ˇreˇsen´ı zkr´acen´e rovnice je yˆ(x) = C1 e5x + C2 e−x . Na prav´e stranˇe zadan´e rovnice je nyn´ı polynom prvn´ıho stupnˇe – zvol´ıme proto i partikul´arn´ı integr´al v podobˇe takov´eho polynomu: v(x) = Ax + B
a d´ale
v ′ = A, v ′′ = 0.
Po dosazen´ı do rovnice obdrˇz´ıme rovnost dvou polynom˚ u −4A − 5Ax − 5B = 5x − 6 , ve kter´e se mus´ı rovnat koeficienty u stejn´ych mocnin promˇenn´e x: x1 : x0 :
−5A = 5 , −4A − 5B = −6 .
- 394 -
Matematika II
9.4. Rovnice se speci´aln´ı pravou stranou
Z t´eto soustavy snadno vypoˇcteme A = −1, B = 2, takˇze v(x) = −x + 2 a hledan´e obecn´e ˇreˇsen´ı m´a tvar y(x) = C1 e5x + C2 e−x − x + 2 .
Pˇ r´ıklad 9.4.3. Najdˇeme obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ − 4y ′ − 5y = 26 cos x. ˇ sen´ı: Zkr´acen´a rovnice je t´aˇz jako v pˇredchoz´ı u Reˇ ´ loze, stejn´e bude i jej´ı ˇreˇsen´ı yˆ(x). Na prav´e stranˇe je vˇsak goniometrick´a funkce b(x) = 26 cos x, takˇze i partikul´arn´ı integr´al oˇcek´av´ame vytvoˇren´y z goniometrick´ych funkc´ı (budou stejn´eho argumentu, ale s obecn´ymi konstantami, z nichˇz jedna m˚ uˇze vyj´ıt nulov´a): v(x) = A cos x + B sin x . Tuto funkci a jej´ı derivace dosad´ıme do zadan´e rovnice: sin x{z+ B cos x}) − 5(A cos x {z + B sin x}) = 26 cos x . −A cos x{z− B sin x} −4(−A | | | v′′
v
v′
Porovn´ame-li nyn´ı koeficienty u goniometrick´ych funkc´ı stejn´eho typu, obrˇz´ıme soustavu dvou rovnic pro nezn´am´e A, B cos x :
−6A − 4B = 26 ,
sin x :
4A − 6B = 0 ,
kter´a m´a jedin´e ˇreˇsen´ı A = −3, B = −2, takˇze z´ıskan´y partikul´arn´ı integr´al v(x) = −3 cos x − 2 sin x d´av´a spolu s ˇreˇsen´ım zkr´acen´e rovnice koneˇcn´y v´ysledek y(x) = C1 e5x + C2 e−x − 3 cos x − 2 sin x .
- 395 -
Matematika II
9.4. Rovnice se speci´aln´ı pravou stranou
V´ yklad Konstanty, kter´e jsme urˇcovali v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech, byly v podstatˇe koeficienty polynom˚ u (samotnou konstantu m˚ uˇzeme pokl´adat za polynom nult´eho stupnˇe). Odtud poch´az´ı nejˇcastˇeji uˇz´ıvan´y n´azev tohoto postupu – metoda neurˇ cit´ ych koeficient˚ u. Jej´ı z´akladn´ı variantu lze formulovat takto: m´a-li prav´a strana line´arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty tvar b(x) = eλx (pm (x) cos ωx + qn (x) sin ωx) , kde pm (x), qn (x) jsou polynomy stupˇ n˚ u m, n se zadan´ymi koeficienty, vol´ıme partikul´arn´ı integr´al ve tvaru v(x) = xk eλx (PM (x) cos ωx + QM (x) sin ωx) , kde M je rovno vˇetˇs´ımu z ˇc´ısel m, n. Koeficienty polynom˚ u PM (x), QM (x) urˇc´ıme ˇ porovn´avac´ı metodou po dosazen´ı partikul´ arn´ıho integr´ alu dozadan´e rovnice. Cinitel xk souvis´ı s n´asobnost´ı koˇren˚ u charakteristick´e rovnice – viz pˇr´ıpad (IIb) na dalˇs´ı stranˇe.
Posoud´ıme-li z tohoto pohledu znovu prav´e strany trojice pˇredchoz´ıch ˇreˇsen´ych u ´ loh, vid´ıme, ˇze je • λ = 3, ω = 0, p0 (x) = 30 pro v(x) = 30e3x , • λ = 0, ω = 0, p1 (x) = 5x − 6 pro v(x) = 5x − 6, • λ = 0, ω = 1, p0 (x) = 26 pro v(x) = 26 cos x. Povˇsimnˇeme si tˇechto typick´ych z´akladn´ıch variant bl´ıˇze, pˇriˇcemˇz je tˇreba zvl´aˇst’ upozornit na situace, kdy je v´yraz λ ± iω roven nˇekter´emu z koˇren˚ u charakteristick´e rovnice r1,2 = α ± iβ. (I) Prav´a strana rovnice je exponenci´aln´ı funkce c.eλx , λ 6= 0: (a) Jestliˇze λ nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice, pak v(x) = Aeλx .
- 396 -
Matematika II
9.4. Rovnice se speci´aln´ı pravou stranou
(b) Je-li λ koˇrenem charakteristick´e rovnice, pak v(x) = Axk eλx , kde k je n´asobnost koˇrene λ. Konstantu A urˇc´ıme po dosazen´ı do rovnice porovn´an´ım koeficient˚ u u v´yraz˚ u eλx . Variantu (Ia) jsme vidˇeli v pˇr´ıkladu 9.4.1., variantu (Ib) demonstruje u ´ loha 9.4.4. (II) Prav´a strana rovnice je polynom m-t´eho stupnˇe b(x) = pm (x) = cm xm + cm−1 xm−1 + · · · + c1 x + c0 (je tedy λ = ω = 0). (a) Jestliˇze λ = 0 nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice, pak v(x) = Am xm + Am−1 xm−1 + · · · + A1 x + A0 ; (b) Je-li λ = 0 koˇrenem charakteristick´e rovnice, pak
v(x) = xk Am xm + Am−1 xm−1 + · · · + A1 x + A0 , kde k = 1, 2 je n´asobnost nulov´eho koˇrene. Koeficienty A0 , . . . , Am urˇc´ıme v obou pˇr´ıpadech po dosazen´ı do rovnice porovn´an´ım koeficient˚ u u stejn´ych mocnin x. Variantu (IIa) jsme ˇreˇsili v pˇr´ıkladu 9.4.2., s variantou (IIb) se m˚ uˇzeme sezn´amit v u ´ loze 9.4.5. (III) Prav´a strana rovnice je v´yraz obsahuj´ıc´ı goniometrick´e funkce ve tvaru b(x) = c cos ωx + d sin ωx , v nˇemˇz jedno z ˇc´ısel c, d m˚ uˇze b´yt rovno nule. (a) Nen´ı-li ˇc´ıslo iω koˇrenem charakteristick´e rovnice, pak v(x) = A cos ωx + B sin ωx ; (b) Je-li ˇc´ıslo iω koˇrenem charakteristick´e rovnice, pak v(x) = x (A cos ωx + B sin ωx) .
- 397 -
Matematika II
9.4. Rovnice se speci´aln´ı pravou stranou
Konstanty A, B se urˇc´ı po dosazen´ı do rovnice porovn´an´ım koeficent˚ u u funkc´ı sin ωx a cos ωx. Jako uk´azku prvn´ıho typu jsme uvedli pˇr´ıklad 9.4.3., varianta (IIIb) je souˇc´ast´ı ˇreˇsen´e u ´ lohy na soustavu diferenci´aln´ıch rovnic v dalˇs´ı kapitole.
ˇ sen´ Reˇ e´ ulohy Pˇ r´ıklad 9.4.4. Najdˇeme obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ − y ′ − 12y = 7e−3x . ˇ sen´ı: Charakteristick´a rovnice r 2 − r − 12 = 0 m´a koˇreny r1 = 4, r2 = −3, Reˇ ˇreˇsen´ı zkr´acen´e rovnice je yˆ(x) = C1 e4x + C2 e−3x . Prav´a strana b(x) = 7e−3x vede na prvn´ı pohled k odhadu partikul´arn´ıho integr´alu v(x) = Ae−3x . Provedeme-li ovˇsem jeho dosazen´ı do rovnice, dost´av´ame 9Ae−3x + 3Ae−3x − 12Ae−3x = 7 ,
tj. 0 = 7.
Odtud ovˇsem nelze koeficient A urˇcit. D˚ uvodem je skuteˇcnost, ˇze pro koˇren charakteristick´e rovnice r2 = −3 m´ame stejn´e hodnoty parametr˚ u, jak´e m´a prav´a strana b(x) = 7e−3x , kde λ = −3 = α, ω = 0 = β. Potvrzuje to skuteˇcnost, ˇze funkce e−3x jiˇz patˇr´ı do fundament´aln´ıho syst´emu zkr´acen´e rovnice. Zvol´ıme-li vˇsak v(x) = Axe−3x (analogicky jako v pˇr´ıpadˇe n´asobn´eho koˇrene), bude v ′ = Ae−3x (1 − 3x),
v ′′ = −3Ae−3x (2 − 3x) ,
a po dosazen´ı do rovnice −3Ae−3x (2 − 3x) − Ae−3x (1 − 3x) − 12Axe−3x = 7e−3x .
- 398 -
Matematika II
9.4. Rovnice se speci´aln´ı pravou stranou
Po rozn´asoben´ı se vyruˇs´ı ˇcleny obsahuj´ıc´ı v´yraz xe−3x a z˚ ustane rovnice −7Ae−3x = 7e−3x ,
odkud
A = −1 .
V´ysledkem je tud´ıˇz partikul´arn´ı integr´al v(x) = −xe−3x a obecn´e ˇreˇsen´ı ve tvaru y(x) = yˆ + v(x) = C1 e4x + C2 e−3x − xe−3x .
Pˇ r´ıklad 9.4.5. Najdˇeme obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ − 2y ′ = x. ˇ sen´ı: Charakteristick´a rovnice r 2 − 2r = 0 m´a koˇreny r1 = 2, r2 = 0, ˇreˇsen´ı Reˇ zkr´acen´e rovnice je yˆ(x) = C1 e2x + C2 . Prav´a strana b(x) = x je polynom prvn´ıho stupnˇe, proto by bylo logick´e zvolit partikul´arn´ı integr´al v(x) = A1 x + A0 . Protoˇze je vˇsak λ = 0 = r2 , mus´ıme podle varianty (IIb) vz´ıt v(x) = x(A1 x + A0 ) = A1 x2 + A0 x . Derivace t´eto funkce snadno vypoˇcteme a dosad´ıme do rovnice: 2A1 − 2(2A1 x + A0 ) = x , odkud A1 = − 14 , A0 = 41 . Koneˇcn´a podoba ˇreˇsen´ı pak bude 1 1 y(x) = yˆ + v(x) = C1 e2x + C2 − x2 + x . 4 4
Pozn´ amka Metoda neurˇcit´ych koeficient˚ u pˇripouˇst´ı i prav´e strany ve tvaru souˇct˚ u exponenci´aln´ıch a goniometrick´ych funkc´ı a polynom˚ u. Pod n´ azvem princip superpozice se s t´ımto zobecnˇen´ım m˚ uˇzete sezn´ amit v doporuˇcen´e literatuˇre.
- 399 -
Matematika II
9.4. Rovnice se speci´aln´ı pravou stranou
Kontroln´ı ot´ azky Ot´ azka 1. Jak´e typy funkc´ı zahrnujeme pod oznaˇcen´ı speci´ aln´ı prav´ a strana a proˇc? Ot´ azka 2. V ˇcem spoˇc´ıv´a pouˇzit´ı metody neurˇcit´ych koficient˚ u pˇri ˇreˇsen´ı LDR se speci´aln´ı pravou stranou? Ot´ azka 2. Jak souvis´ı koˇreny charakteristick´e rovnice s volbou partikul´ arn´ıho integr´alu?
´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ + 5y ′ + 6y = b(x), je-li a) b(x) = x2 + 5x − 3,
b) b(x) = xe−2x .
2. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y ′′ − 4y ′ + 4y = b(x), je-li b) b(x) = (x + 1)ex .
a) b(x) = x3 + 1, 3. Najdˇete obecn´a ˇreˇsen´ı rovnic: a) y ′′ − 2y ′ + 10y = 39 sin 2x,
b) 4y ′′ − 4y ′ + y = 17 cos 2x.
4. Zd˚ uvodnˇete, proˇc lze ve cviˇcn´ych u ´ loh´ach 1 a 2 na konci kapitoly 9.3 postupovat tak´e metodou neurˇcit´ych koeficient˚ u. Najdˇete touto metodou jejich ˇreˇsen´ı.
V´ ysledky ´ uloh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. y = C1 e−2x + C2 e−3x + v(x), kde a) v(x) =
1 (9x2 54
+ 30x − 55),
- 400 -
b) v(x) =
1 2 x 2
− x e−2x .
Matematika II
9.4. Rovnice se speci´aln´ı pravou stranou
2. y = C1 e2x + C2 xe2x + v(x), kde a) v(x) = 18 (2x3 + 6x2 + 9x + 8),
b) v(x) = (x + 3)ex .
3. a) y = ex (C1 cos 3x + C2 sin 3x) + 2 cos 2x + 3 sin 2x, x
x
b) y = C1 e 2 + C2 e− 2 −
15 17
cos 2x −
8 17
sin 2x.
- 401 -
