5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

Matematika „A” 12. évfolyam

5. modul

Térfogat és felszínszámítás2

Készítette: Vidra Gábor

Matematika „A” – 12. évfolyam – 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS2

Tanári útmutató

2

A modul célja

Forgáshenger, forgáskúp felszíne és térfogata. Csonkakúp felszínének és térfogata, képletbe helyettesítéssel azok kiszámolása. A gömb felszínének és térfogatának alkalmazása feladatokban. Beírásos feladatok.

Időkeret

8 óra

Ajánlott korosztály

12. évfolyam

Modulkapcsolódási pontok

Poliéderek térfogata, felszíne. Sokszögek területe, kerülete, síkidomok és testek hasonlósága. Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények kiterjesztése.


A képességfejlesztés fókuszai

Tanári útmutató

3

Számolás, számítás, számlálás: A zsebszámológép biztos használata. A műveleti sorrend biztos alkalmazása, különösen a térgeometria összetettebb képleteinél való behelyettesítéskor. Mennyiségi következtetés: Testek ismert adataiból logikus szabály szerint a többi elem kiszámítása. Nagyon fontos a jó vázlat elkészítése, melyen az ismert adatokat célszerű színessel kiemelni. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek fejlesztése. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Valóságból vett mért értékű feladatok matematikai átfogalmazása, azok megoldása, és az eredmények visszakonvergálása a valós problémába. A feladatok várható eredményének becslése, különösen a szöveges feladatok esetén. Szöveges feladatok, metakogníció: Szövegértelmezés továbbfejlesztése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. Csoportmunkában a társak jó gondolatainak megismerése, elfogadása, helytelen következtetések cáfolata. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Az eddig tanult síkidomok kerületének és területének rendszerező áttekintése. Ugyanazon síkidom területének többféle képlete közötti kapcsolat felfedeztetése. A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége. Az adatok rendszerezése, egy feladaton belül a szükséges egységrendszer kiválasztása, és arra való átszámítás. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben.


Tanári útmutató

4

AJÁNLÁS A modul óráin javasoljuk a modulhoz készült bemutató használatát: megtaláljuk benne a modul mintapéldáit és elméleti anyagát. Természetesen ekkor a tanulók ne használják a Tanulók könyvét, hanem csoportosan próbálják a mintapéldát megoldani. Érdemes felhívni a tanulók figyelmét arra, hogy a szöveget kék vagy fekete tollal írják, az ábrákat pedig grafittal és színes ceruzával készítsék el, vonalzót használva. Igyekeznünk kell, hogy megtaláljuki a csoportmunka és az egyéni feladatmegoldás helyes arányát, ezért a modulvázlatban több helyen szerepel a „tetszőleges módszerrel” megjegyzés. Nem kell minden feladatot megoldani a modulból. A tanulócsoport igényeinek és tudásszintjének megfelelően lehetőségünk van differenciálásra (lásd vegyes feladatok) és arra is, hogy a modul anyagát a heti 3 óránál nagyobb óraszámban tanuló diákokkal is fel tudjuk dolgozni. Az utolsó fejezet (V.) sok olyan feladatot tartalmaz, amely az ismeretek alkalmazására készít fel. Azt javasoljuk, hogy próbáljunk a rendelkezésünkre álló idővel úgy gazdálkodni, hogy ezekből minél több feladat megoldására lehetőségünk legyen. Meggondolandó a meg nem oldott feladatokat jutalom reményében feladni a tanulóknak.

ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint • Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. • Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel. Emelt szint • Térgeometriai feladatok megoldása.


TÁMOGATÓ RENDSZER • • •

Bemutató (kivetíthető power point), amely tartalmazza az elméleti anyagot és a mintapéldákat; 5.1 kártyakészlet csoportalakításhoz (a 17. feladat ennek részfeladata, ha nem használjuk a kártyakészletet); 5.2 triminó (összefoglaló jellegű, a vegyes feladatok előtt javasoljuk).

A TANANYAG JAVASOLT ÓRABEOSZTÁSA 1. óra: 2. óra: 3. óra: 4. óra: 5. óra: 6. óra: 7. óra: 8. óra:

A henger térfogata, felszíne Feladatok megoldása A kúp térfogata, felszíne Feladatok megoldása A csonkakúp térfogata, felszíne Feladatok megoldása A gömb térfogata, felszíne Beírt testek

Tanári útmutató

5


Tanári útmutató

6

MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek

Kiemelt készségek, képességek

Eszköz/Feladat/ Gyűjtemény

I. A henger térfogata, felszíne 1. Hengerrel kapcsolatos ismeretek összefoglalása (frontális, tanári magyarázat) 2. Csoportalakítás (tetszőleges módszerrel) 3. Mintapéldák feldolgozása 4. Hengerrel kapcsolatos feladatok (csoportmunkában és egyénileg)

Metakogníció, figyelem, rendszerezés Kooperáció, kommunikáció Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi következtetés, becslés Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, mennyiségi következtetés, számolás, becslés, ábrázolás, számológép használata

Bemutató 1. és 2. mintapélda (bemutató) 1. és 2. csoportmunkában, 3–5. feladatok házi feladatként ajánlottak 6–15. feladatokból válogatunk (tetszőleges módszer)

II. A kúp térfogata, felszíne 1. Kúppal kapcsolatos ismeretek összefoglalása (frontális, tanári ma- Metakogníció, figyelem, rendszerezés gyarázat) 2. Csoportalakítás (tetszőleges módszerrel) Kooperáció, kommunikáció 3. Bevezető feladatok (csoportmunkában; 18: igaz-hamis diákkvartett) Mennyiségi következtetés, számolás, becslés, ábrázolás, számológép használata 4. Mintapélda feldolgozása (csoportban) Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi következtetés, becslés

Bemutató 5.1 kártyakészlet 17. és 18. feladat 3. mintapélda


5. Kúppal kapcsolatos feladatok (tetszőleges módszerrel)

III. A csonkakúp térfogata, felszíne 1. Csonkakúppal kapcsolatos ismeretek (frontális, tanári magyarázat) 2. Csonkakúppal kapcsolatos alapfeladatok (csoportmunka) 3. Vulkánmodell megtervezése (csoportmunka; elkészítés: házi feladat) 4. Csonkakúppal kapcsolatos feladatok (tetszőleges módszerrel)

Tanári útmutató

Kooperáció, kommunikáció, 19–25. feladatokból válogametakogníció, mennyiségi következtetés, tunk számolás, becslés, ábrázolás, számológép használata

Metakogníció, figyelem, rendszerezés Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása Kommunikáció, kooperáció, metakogníció, mennyiségi következtetés Metakogníció, kommunikáció, kooperáció, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása

Bemutató 26–28. feladatok

Metakogníció, figyelem, rendszerezés Metakogníció, kommunikáció, kooperáció, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása

Bemutató 31–35. feladatokból válogatunk 5.2 triminó

4. mintapélda (bemutató) 29–30. feladat

IV. A gömb térfogata, felszíne 1. Gömbbel kapcsolatos ismeretek (frontális, tanári magyarázat) 2. Feladatmegoldás (41 – 43. csoportmunkában, a többi tetszőleges módszerrel) 3. Testekkel kapcsolatos feladatok megoldása (összefoglaló jellegű, az eddigi ismeretek alkalmazása)

7


Tanári útmutató

V. Testekkel kapcsolatos számítások 1. Mintapéldák megoldása (csoportmunkában) 2. Összetett testekkel, csomagolással kapcsolatos feladatok megoldása (csoportmunkában) 3. Beleírt testekkel kapcsolatos feladatok megoldása (csoportmunkában) 4. Feladatok megoldása

Metakogníció, kommunikáció, kooperáció, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása

5. és 6. mintapélda Javasolt: 36–41. feladat

Számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása

50–71. feladatok közül válogatunk

Javasolt: 45–48. feladat

8

5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS2

TANÁRI ÚTMUTATÓ

9

I. A henger A henger származtatása, jellemzői

Adott az alapsíkon egy görbe vonallal határolt síkidom (alaplap) és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a görbe minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel (alkotók), hengerfelületet kapunk. Ezt elmetszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező, az alaplap és a fedőlap közé eső térrészt nevezzük hengernek. Ha a görbe kör, a test neve körhenger. Egyenes körhengernél az alkotók merőlegesek az alapsíkra. A test görbe határoló felületét palástnak nevezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a testmagasságot. A hasáb térfogatához hasonló a henger térfogata: az alapterület és a testmagasság szorzatával határozhatjuk meg. Körhenger esetén: V = r 2 ⋅ π ⋅ M , ahol r az alapkör sugara, M a testmagasság. Az egyenes körhenger (a továbbiakban ezt nevezzük hengernek, ha a feladat szövege nem utal a henger egyéb tulajdonságaira) felszínének kiszámításakor figyelembe vesszük, hogy a henger palástja síkba kitarítve téglalap. A henger felszíne: A = 2r 2π + 2rπM = 2rπ (r + M ) .

Módszertani megjegyzés: A mintapéldákat és a feladatokat csoportban célszerű feldolgozni. Használjuk a modulhoz készült bemutatót: a mintapéldákat vetítsük ki, hagyjunk a csoportoknak néhány percet a megoldásra, majd együtt ellenőrizzük az eredményt. A mintapéldákban alapfeladatokat találunk. A Tanulók könyvét ekkor a gyerekek ne használják!

10 MATEMATIKA „A” • 12. ÉVFOLYAM

TANÁRI ÚTMUTATÓ

Mintapélda1 Az üvegben a címke szerint 750 ml méz található. Milyen magasan áll a méz a henger alakú üvegben, ha az alaplap belső átmérője 9 cm? Megoldás: 750 ml = 750 cm3. A térfogat képlete V = r 2 ⋅ π ⋅ M , behelyettesítve 750 = 4,5 2 ⋅ π ⋅ M ⇒ M ≈ 11,8 cm . A méznek az üvegben kb. 12 cm magasan kell állnia.

Mintapélda2 Egy henger magassága kétszerese az alaplap átmérőjének. Mekkora a térfogata, ha a felszíne 985,2 cm2? Megoldás: M = 2d = 4r ; behelyettesítve a felszín képletébe:

A = 2rπ ⋅ (r + 4r ) = 2rπ ⋅ 5r = 10r 2 ⋅ π = 985,2 (cm2). r=

985,2 ≈ 5,6 (cm) . A térfogat értéke a V = r 2 ⋅ π ⋅ M = 4r 3 ⋅ π összefüggésből: 10 ⋅ π

V ≈ 2206,9 cm 3 .

Feladatok 1. Számítsd ki annak a hengernek a térfogatát és felszínét, amelyet egy 16 cm×10 cm-es téglalap megforgatásával kapunk, ha a téglalapot a a) rövidebb oldalának felezőmerőlegese;

b) hosszabb oldalának felezőmerőlegese;

c) rövidebb oldala;

d) hosszabb oldala körül forgatjuk meg.

Töltsd ki a táblázatot! r

M

V

A

a)

5 cm

16 cm

1256,6 cm3

659,7 cm2

b)

8 cm

10 cm

2010,6 cm3

904,8 cm2

c)

16 cm

10 cm

8042,5 cm3

2613,8 cm2

d)

10 cm

16 cm

5026,5 cm3

1633,6 cm2


TANÁRI ÚTMUTATÓ

11

2. Az a és b oldalú téglalapot megforgatjuk az a oldala körül, a keletkező test térfogata V, felszíne A. Keresd meg az összetartozó betű–szám párosokat! A) a = 15; b = 5 ;

1)

V 18 = ; A 5

B) a = 18; b = 12 ; 2)

C) a = 4; b = 3 ;

A 20 = ; V 21

3)

V 15 = ; A 8

D) b = 7; a = 3 ; 4)

V 6 = . A 7

Megoldás: A–3; B–1; C–4; D–2. Ügyesebb tanulók számolás helyett észrevehetik, hogy V ab 2 π ab = = . A 2bπ(a + b ) 2(a + b )

3. Mekkora az ábrán látható henger térfogata? a = 15 cm.

Megoldás: Az alapkör kerülete: K = 2rπ = 2a ⇒ r =

a

π

≈ 4,77 az alapkör

sugara, a testmagasság M = 15 cm. Így a térfogat nagysága V = r 2 ⋅ π ⋅ M ≈ 1072,2 cm3. 4. Egy 6 hengeres motorról a henger leírásában a következőt találjuk:

furat ∅ / lökethossz = 89,00/74,8 mm. Hány cm3-es a motor? Megoldás: A furat átmérője a henger alapkörének átmérője, a lökethossz pedig a henger magassága. d = 89 ⇒ r =

89 = 44,5 (mm). A hengerek együttes térfogata 2

V = 6 ⋅ r 2 π ⋅ M ≈ 2792 cm 3 . 5. Kati mamája egy fektetett félhenger alakú fóliasátrat szeretne, amelyikben ki is tud

egyenesedni. Ezért szeretnék, hogy a 23 méter hosszú sátor teteje 2 méter magas legyen. a) Hány m2 fóliával lehet a sátrat bevonni? b) Hány m3 a sátor térfogata?


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Megoldás: r 2π = 2π ≈ 6,28 (m 2 ) , A = 2T + P = 4π + r ⋅ π ⋅ M = 50π ≈ 157 m 2 . a) r = 2 m ⇒ T = 2 r 2π b) V = T ⋅ M = ⋅ 23 ≈ 144,51 m 3 . 2 6. Egy henger kiterített palástja négyzet, a felszíne 3384,5 cm2. Mekkora a térfogata?

Megoldás: A testmagasság egyenlő az alapkör kerületével: M = 2rπ , ezért a felszín: A ≈ 8,6 (cm) , 2π (1 + 2π )

A = 2rπ (r + M ) = 2rπ (r + 2rπ ) = 2r 2π (1 + 2π ) ⇒ r =

M ≈ 54 cm . A henger térfogata V ≈ 12547 cm 3 .

7. Egy betoncső külső átmérője 50 cm, a belső átmérő 40 cm. Mekkora a 6 méteres

betoncső tömege, ha a beton sűrűsége 2200 kg/m3? (A sűrűséget a ρ =

m összefüggés V

adja, ahol m a tömeg, V a térfogat, és a csőben levő levegő tömege elhanyagolható.) Megoldás: A cső falának térfogatát a két henger térfogatának különbsége adja:

(

)

(

)

V = r1 πM − r2 πM = r1 − r2 πM = 0,25 2 − 0,2 2 π ⋅ 6 ≈ 0,424 ( m 3 ). 2

2

2

2

A tömeg m = ρ ⋅ V ≈ 933 kg.

8. Egy henger alakú vödör átmérője 26 cm, és felmosáskor 20 cm magasan áll benne a

víz. A felmosószer kupakján ez áll: „5 liter vízhez 1 kupakkal öntsön”. Hány kupakkal kell öntenünk felmosáskor a vödörbe? Megoldás: r = 13 cm; M = 20 cm; V = 13 2 π 20 ≈ 10618 ,6 cm 3 ≈ 10,62 liter, vagyis 2 jól megtöltött kupakkal kell beleönteni.

9. Egy henger alaplapjának átmérője harmada a testmagasságnak. Mekkora

a) a térfogata, ha a felszíne 395,8 cm2;

b) a felszíne, ha a térfogata 217,1 dm3.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

13

Megoldás: M = 3d = 6r , így V = 6r 3 π és A = 14r 2 π . a) 14r 2 π = 395,8 ⇒ r ≈ 3 cm ⇒ V ≈ 508 ,9 cm 3 ; b) 6r 3 π = 217,1 ⇒ r ≈ 2,26 dm ⇒ A ≈ 224,6 dm2. 10. Egy körhenger alakú hordó átmérőjének és magasságának aránya 5 : 6. Úgy szeretnénk

az oldalukra fordítva és kiékelve elhelyezni egymás mellett a hordókat, hogy közöttük 8-10 cm hely maradjon. Hány ilyen 15 hektoliteres hordót tudunk elhelyezni egy 7,5 méter hosszú pincerészben? Megoldás: V = 150 dm 3 = 150000 cm 3 . V = r 2π ⋅ M = (2,5 x) 2 π ⋅ 6 x = 37,5 ⋅ x 3 ⋅ π = 150000 , ahonnan x ≈ 10,8 (cm), d ≈ 54 cm. 8-10 cm-rel megnövelve 62 – 64 cm.

750 ≈ 12,1, 62

750 ≈ 11,7 , vagyis elég közel egymáshoz 12 hordót tudunk elhelyezni. 64

11. Egy ferde henger alkotói 55°-os szöget zárnak be a 8 cm átmérőjű alaplappal, az

alkotók hossza 10 cm. a) Válaszd ki, hogy milyen alakú a ferde henger palástja!

b) Mekkora a henger térfogata? Megoldás: a) D. b) M = 10 ⋅ sin 55° ≈ 8,2 cm, a térfogat V = 4 2 π ⋅ 8,2 ≈ 412,2 cm 3 .

12. Egy henger palástja síkba kiterítve 12 cm×18 cm-es téglalap. Mennyi a henger

felszíne és térfogata? Ne csak egy megoldásra gondolj!


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Megoldás: Ha a magasság 12 cm, akkor az alapkör kerülete 18 cm, és ekkor a sugár r=

18 ≈ 2,9 cm. Ekkor V = 2,9 2 π ⋅12 ≈ 317 cm3 és A = 2 ⋅ 2,9π(2,9 + 12) ≈ 271,4 cm2. 2π

Ha a magasság 18 cm, akkor r ≈ 1,9 (cm); V ≈ 204,1 cm 3 ; A ≈ 237,6 cm 2 .

13. Egy henger palástja olyan négyzet, amelynek átlója 12π. Mekkora a térfogata és a

felszíne? Megoldás: M a négyzet oldala: M 2 = 12π ⇒ M =

12π = 6 2 ⋅ π ≈ 26,6 (e). Az alaplap 2

kerülete is a négyzet oldala, ezért 2rπ = 6 2 ⋅ π ⇒ r = 3 2 ≈ 4,2 (e). Az alkotó: a = M 2 + r 2 ≈ 26,9 (e). V ≈ 1474,1 (e3 ), A ≈ 420,4 (e 2 ) .

14. Egyenlő oldalú henger (az alapkör átmérője egyenlő a magassággal)

a) térfogata 2155,1 m3. Mennyi a felszíne? b) felszíne 2851,7 dm2. Mennyi a térfogata? Megoldás:

a) r = 7 m, M = 14 m, A = 923,6 m2; b) r = 12,3 dm, M = 24,6 dm, V = 11692,2 dm3.

15. Egy 15 cm átmérőjű, 42 cm magasságú körhenger alakú üvegben a vízszint az átmérő

kétharmadánál van, ha az üveget elfektetjük. Hány liter víz van az üvegben? Megoldás: A víz alakja egy olyan henger, amelynek alapterülete egy körszelet és magassága 42 cm. A víz térfogata a henger alapterületének és magasságának szorzataként számítható. A körcikk középponti szöge cos az alapterület r 2 π ⋅

α 2,5 = ⇒ α ≈ 141° miatt 360° − 141° ≈ 219° , 2 7,5

219° 1 2 + r ⋅ sin 141° ≈ 125,2 cm2. 360° 2

Innen V = T ⋅ M ≈ 5258 cm 3 ≈ 5,3 liter .


TANÁRI ÚTMUTATÓ

15

II. A kúp

Adott az alapsíkon egy görbe vonallal határolt síkidom (alaplap) és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a görbe minden pontját egyenesek segítségével összekötjük az adott ponttal, kúpfelületet kapunk. A keletkező korlátos testet kúpnak nevezzük. Ha a zárt görbe kör, a test neve körkúp. Egyenes körkúpnak nevezzük a körkúpot, ha a pontnak az alaplap síkjára eső merőleges vetülete az alapkör középpontjába esik. A test határoló felületét nevezzük palástnak (egyenes körkúp síkba kiterített palástja körcikk; a palást az alaplapot nem tartalmazza), a csúcspont és a görbe pontjai által meghatározott szakaszokat pedig alkotóknak. Az alaplap síkjának és a csúcsnak a távolsága adja a kúp magasságát.

Ha az egyenes körkúpot elmetsszük egy olyan síkkal, amely a kúp magasságának

egyenesét

tartalmazza

(tengelymetszet),

akkor

egyenlőszárú háromszöget kapunk (alapja az alapkör átmérője, szárai a kúp alkotói). Másként: az egyenes körkúp tengelymetszete egyenlőszárú háromszög. A szárak által bezárt szöget (φ) a kúp nyílásszögének nevezzük. Az egyenes körkúp szimmetrikus bármely, a tengelyét tartalmazó síkra. A sugár, a testmagasság és az alkotók között fennáll az r 2 + M 2 = a2 összefüggés. Bizonyítható,

hogy

a

kúp

térfogata

a

gúla

térfogatához

hasonlóan,

a

V=

alapterület ⋅ magasság összefüggéssel számító ki. Az egyenes körkúp térfogata tehát: 3

V=

r2 ⋅ π ⋅ M , ahol r az alapkör sugara, M a kúp magassága. 3


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Az egyenes körkúp felszínének meghatározásához a kúpot az egyik alkotója mentén „szét kell vágnunk”: a palást síkba kiterítve egy körcikk, amelynek ívhossza egyenlő az alapkör kerületével. A körcikk területe kiszámítható a Tkörcikk = összefüggéssel, ami most Tkörcikk =

i⋅r 2

2 rπ ⋅ a = raπ , ez a 2

kúp palástjának felszíne. Ehhez hozzáadva az alapkör területét a kúp felszínére az A = rπ (r + a) képletet kapjuk. r2 ⋅ π ⋅ M Az egyenes körkúp térfogata: V = , felszíne: A = rπ (r + a) . 3 A képletben r az alapkör sugara, M a kúp magasságának, a az alkotójának a hossza.

Feladatok Módszertani megjegyzés: Az 5.1 kártyakészletet használhatjuk csoportmunkához, de használhatjuk csoportalakításhoz is. A módszer neve: „feldarabolt négyzet”. A kártyakészlet használatának a célja az, hogy a tanulók a kúp nyílásszögének szögfüggvénnyel történő kiszámítását gyakorolják. A kúpok adatai különbözőek, de 4-4 kártyán azonos a nyílásszög értéke. Ha csoportalakításhoz használjuk a kártyakészletet, akkor az azonos nyílásszöget kapó tanulók kerülnek egy csoportba. Minden kártyának száma van, az utolsó oszlopban megtalálhatók az azonos négyest alkotó kártyák számai. Összesen 36 kártya van a készletben. Ha kevesebb a tanulócsoport létszáma, a leírás segítségével vegyük ki a fölösleges kártyákat (például ha 32 fős az osztály, akkor ne osszuk ki a 23,1°-nak megfelelő 4 kártyát, amelyek száma 7, 10, 33, 25. ) Ha nem csoportalakításra használjuk a kártyákat, akkor a cél az azonos nyílásszögű kúpok csoportosítása. A kártyakészletből 16 kártya adatai megtalálhatók a következő feladatban, ezt célszerű kitűzni csoportmunkában: minden tanuló 4 különböző jellegű számítást végezzen (például az egyik tanuló az A jelűeket, másik a B jelűeket stb). A csoport akkor készül el, ha mind a négy négyes csoportot megtalálták.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

nyílásszög(°)

r

d

a

M

Kalapkör

Talapkör

Kártyaszám

60,0

2

4

4

3,5

12,6

12,6

1

60,0

3

6

6

5,2

18,8

28,3

15

60,0

4,8

9,6

9,6

8,3

30,2

72,4

20

60,0

11

22

22

19,1

69,1

380,1

30

83,6

4

8

6

4,5

25,1

50,3

36

83,6

3

6

4,5

3,4

18,8

28,3

21

83,6

10

20

15

11,2

62,8

314,2

31

83,6

12

24

18

13,4

75,4

452,4

3

77,4

5

10

8

6,2

31,4

78,5

14

77,4

10

20

16

12,5

62,8

314,2

2

77,4

7,5

15

12

9,4

47,1

176,7

22

77,4

16

32

25,6

20,0

100,5

804,2

35

29,0

2,2

4,4

8,8

8,5

13,8

15,2

16

29,0

3,5

7

14

13,6

22,0

38,5

13

29,0

16

32

64

62,0

100,5

804,2

29

29,0

5

10

20

19,4

31,4

78,5

17

25,7

3

6

13,5

13,2

18,8

28,3

4

25,7

12

24

54

52,6

75,4

452,4

12

25,7

3,8

7,6

17,1

16,7

23,9

45,4

34

25,7

21

42

94,5

92,1

131,9

1385,4

23

21,0

7

14

38,5

37,9

44,0

153,9

28

21,0

17

34

93,5

91,9

106,8

907,9

5

21,0

12

24

66

64,9

75,4

452,4

11

21,0

20

40

110

108,2

125,7

1256,6

18

47,2

3

6

7,5

6,9

18,8

28,3

6

47,2

5

10

12,5

11,5

31,4

78,5

26

47,2

6

12

15

13,7

37,7

113,1

8

47,2

9

18

22,5

20,6

56,5

254,5

19

23,1

10

20

50

49,0

62,8

314,2

7

23,1

12

24

60

58,8

75,4

452,4

10

23,1

5

10

25

24,5

31,4

78,5

33

23,1

8

16

40

39,2

50,3

201,1

25

67,5

4

8

7,2

6,0

25,1

50,3

9

67,5

5

10

9

7,5

31,4

78,5

32

67,5

10

20

18

15,0

62,8

314,2

27

67,5

15

30

27

22,4

94,2

706,9

24

17


TANÁRI ÚTMUTATÓ

16. Számítsd ki a következő adatokkal megadott kúpok nyílásszögeit, és csoportosítsd az

egyenlőket! (Minden távolságadat cm-ben értendő. K az alapkör kerülete, T a területe, a az alkotó hossza, r az alapkör sugara, M a kúp magassága.) A1. r = 2 , a = 4;

A2. r = 3 , M = 3,4;

A3. a = 12 , K = 47,1;

A4. M = 19,4 , T = 78,5

B1. r = 2,2 , a = 8,8; B2. r = 3 , M = 5,2;

B3. a = 15 , K = 62,8;

B4. M = 20 , T = 804,2

C1. r = 4 , a = 6;

C2. r = 10 , M = 12,5; C3. a = 64 , K = 100,5; C4. M = 19,1, T = 380,1

D1. r = 5 , a = 8;

D2. r = 3,5 , M = 13,6; D3. a = 9,6 , K = 30,2; D4. M = 13,4 , T = 452,4


TANÁRI ÚTMUTATÓ

19

Megoldás: nyílásszög(°)

r

a

M

Kalapkör

Talapkör

No.

60,0 60,0 60,0 60,0 83,6 83,6 83,6 83,6 77,4 77,4 77,4 77,4 29,0 29,0 29,0 29,0

2 3 4,8 11 4 3 10 12 5 10 7,5 16 2,2 3,5 16 5

4 6 9,6 22 6 4,5 15 18 8 16 12 25,6 8,8 14 64 20

3,5 5,2 8,3 19,1 4,5 3,4 11,2 13,4 6,2 12,5 9,4 20,0 8,5 13,6 62,0 19,4

12,6 18,8 30,2 69,1 25,1 18,8 62,8 75,4 31,4 62,8 47,1 100,5 13,8 22,0 100,5 31,4

12,6 28,3 72,4 380,1 50,3 28,3 314,2 452,4 78,5 314,2 176,7 804,2 15,2 38,5 804,2 78,5

A1 B2 D3 C4 C1 A2 B3 D4 D1 C2 A3 B4 B1 D2 C3 A4

Csoporttagonként csoportosítva: nyílásszög(°)

r

a

M

Kalapkör

Talapkör

No.

60,0 83,6 77,4 29,0 29,0 60,0 83,6 77,4 83,6 77,4 29,0 60,0 77,4 29,0 60,0 83,6

2 3 7,5 5 2,2 3 10 16 4 10 16 11 5 3,5 4,8 12

4 4,5 12 20 8,8 6 15 25,6 6 16 64 22 8 14 9,6 18

3,5 3,4 9,4 19,4 8,5 5,2 11,2 20,0 4,5 12,5 62,0 19,1 6,2 13,6 8,3 13,4

12,6 18,8 47,1 31,4 13,8 18,8 62,8 100,5 25,1 62,8 100,5 69,1 31,4 22,0 30,2 75,4

12,6 28,3 176,7 78,5 15,2 28,3 314,2 804,2 50,3 314,2 804,2 380,1 78,5 38,5 72,4 452,4

A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4 D1 D2 D3 D4

Módszertani megjegyzés: A következő feladatot igaz-hamis diákkvartettben ajánljuk feldolgozni. Kérjünk indokolást is a csoportoktól! 17. Döntsd el a következő állításokról, hogy melyik igaz és melyik hamis.

a) A kúp alkotójának hossza egyenlő a testmagasságával (a = M). b) Ha a kúp alkotója kétszerese az alapkör átmérőjének, akkor a kúp nyílásszöge 29°. c) Minden kúp nyílásszöge egyenlő a kiterített palást középponti szögével. d) Ha egy kúpban a kiterített palást félkör, akkor a nyílásszöge 90°.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

e) A palást középponti szöge és az alapkör sugara egyértelműen meghatározza a kúpot. f) Ha egy kúpot kétszeresére nagyítunk, a palástjának felszíne is kétszeresére növekszik. Megoldás: a) H; b) I; c) H; d) H; e) I; f) H. Módszertani megjegyzés: A következő alapfeladatot csoportmunkában célszerű elvégezni. 18. Egy a alapú, b szárú egyenlőszárú háromszöget megforgatunk a szimmetriatengelye

körül. Állítsd térfogatuk szerint növekvő sorrendbe a keletkező kúpokat! A

B

C

D

a

0,8 dm

1 dm

6 cm

12 cm

b

10 cm

8 cm

1,2 dm

8 cm

A B C D

a 0,8 dm 1 dm 6 cm 12 cm

Megoldás: A sorrend: C, A, B, D.

V (cm3) b 10 cm 153,6 8 cm 163,5 1,2 dm 109,5 8 cm 199,5

Mintapélda3 Egy alul nyitott kúp alakú sátor alapkörének átmérője 4 m. Szeretnénk felállni a sátorban, ezért úgy akarjuk elkészíteni, hogy a szélétől 1,5 m távolságban 1,9 m magas legyen. a) Milyen magas a sátor? b) Mekkora a kiterített sátorlap körcikkének középponti szöge? c) Hány m2 anyagból készíthető el a sátorlap? Megoldás: a) A hasonlóság miatt M =

2 ⋅1,9 ≈ 2,53 m. 1,5

b) Az alkotóra érvényes: a 2 = r 2 + M 2 , ebből a = 2 2 + 2,532 ≈ 3,23 m. A körcikk sugara egyenlő az alkotóval, ívhossza pedig az alapkör kerületével. A középponti szög egyenesen arányos a körív hosszával, ezért


α=

TANÁRI ÚTMUTATÓ

21

i ⋅ 360° . i = 2rπ = 4π (m) , K kör = 2aπ ≈ 6,46π (m). K kör

A középponti szög nagysága: α = c) A körcikk területe: Tkörcikk =

4π ⋅ 360° ≈ 223° . 6,46π

i⋅a ≈ 20,3 m2. 2

Tehát a sátorlap elékészítéséhez kb. 20,3 m2 anyag kell.

Feladatok 19. Egy csokigyárban naponta 12000 darab csokikúpot gyártanak, amelyet egyenként

fóliába csomagolnak. A kúpok alapkörének átmérője és magassága egyaránt 4 cm. a) Hány liter csokoládéból készül el a napi készlet? b) Mekkora felületű fóliát használnak naponta csomagolásra, ha a hajtogatás miatt 5%kal többet kell számítani?

Megoldás: a) V = 12000 ⋅

22 π ⋅ 4 ≈ 201061,9 cm3 ≈ 201 liter. 3

b) Az alkotó hossza a = r 2 + M 2 = 20 ≈ 4,47 cm; A = 12000 ⋅ rπ (r + a) ⋅1,05 ≈

≈ 12000 ⋅ 2π (2 + 4,47) ⋅1,05 ≈ 512217,8 cm2 ≈ 51,2 m2.

20. Egy kúp alkotója 15 cm. A csúcstól számítva a testmagasság negyedénél elvágjuk a

kúpot egy alaplappal párhuzamos síkkal. A keletkező síkmetszet területe 15,9 cm2. Mekkora az eredeti kúp térfogata és felszíne? Megoldás: A keletkező síkmetszet egy T területű kör, aminek a sugara x =

T

π

≈ 2,25 (cm). A hasonlóság miatt ennek 4-

szerese az alapkör sugara, vagyis r = 9 (cm). M = 15 2 − 9 2 = 12 (cm).

A térfogat V =

9 2 π ⋅ 12 ≈ 1017,9 cm 3 . A felszín A = 9π (9 + 15) ≈ 678,6 cm 2 . 3


TANÁRI ÚTMUTATÓ

21. Egy kúp kiterített palástjának területe 63 cm2, az alkotó és az alaplap hajlásszöge

73°18’. Mekkora a kúp térfogata és a palást középponti szöge? Megoldás: A palást területe P = r ⋅ a ⋅ π . A sugár r = a ⋅ cos 73°18' , ezt beírva

63 = a 2 ⋅ π ⋅ cos 73°18' , ahonnan a ≈ 8,35 (cm), r ≈ 2,4 (cm). 2,4 2 π ⋅ 8 M = a ⋅ sin 73°18' ≈ 8 (cm). A térfogat: V = ≈ 48,3 cm 3 , a felszín 3 A = P + r 2 π ≈ 81,1 cm 2 .

22. Egy 4,8 m sugarú körlapot négy egybevágó körcikkre vágunk. Milyen magas körkúp

alakú sátor készíthető egy-egy darabból? Megoldás: Az alkotó hossza 4,8 m, a negyedkörív hossza egyenlő az alapkör kerületével. Ezért 2rπ =

1 ⋅ 2 ⋅ 4,8π ⇒ r = 1,2 m. A testmagasság M = a 2 − r 2 ≈ 4,65 m. 4

23. Egy kúp palástjának felszíne 2 2 ⋅ π területegység, alapkörének területe 2π területegység. Mekkora a kúp nyílásszöge?

Megoldás: A szokásos jelölésekkel T = r 2 ⋅π ⎫ T r 2π 1 2 ϕ ϕ ϕ = = ⇒ = 45°, ϕ = 90°. ⎬ = = sin ⇒ sin = 2 2 2 2 ⋅π 2 2 P = r ⋅ a ⋅π ⎭ P a 2

24. Egy kúp felszíne 792π , alkotója 8 egységgel hosszabb a sugaránál. Mekkora a

térfogata? Megoldás: Másodfokú egyenletre visszavezethető feladat. a = r + 8 , A = rπ (a + r ) =

= rπ(2r + 8) ⇒ 792π = rπ(2r + 8) . Innen kapjuk az

r 2 + 4r − 396 = 0 egyenletet,

aminek pozitív megoldása: r = 18 (e). Ekkor a = 26 (e) , M = a 2 − r 2 ≈ 18,76 (e), a 18 2 π ⋅18,76 térfogat V ≈ ≈ 6365,1 (e3). 3


TANÁRI ÚTMUTATÓ

23

Módszertani megjegyzés: A következő feladat szerepelt a 2005. májusi középszintű érettségi feladatsorban. 25. Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a kúp alkotójával. A kúp magasságának

hossza 5 3 cm. Készíts vázlatot! a) Mekkora a kúp felszíne? b) Mekkora a kúp térfogata? c) Mekkora a kúp kiterített palástjának középponti szöge? Megoldás:

( )

2

a) Pitagorasz-tétel alkalmazásával: a 2 = r 2 + 5 3 . Behelyettesítve az

( )

2

a = 2r összefüggést: 4r 2 = r 2 + 5 3 , ahonnan r = 5 cm, a = 10 cm.

A felszín A = rπ (r + a ) = 75π ≈ 235,6 cm 2 . b) A térfogat V =

r 2π ⋅ M ≈ 226,7 cm 3 . 3

c) A körcikk sugara a = 2r, ívhossza 2rπ , vagyis az alapkör kerülete. Az α középponti szög egyenesen arányos a körív hosszával:

α 360°

=

2rπ r r ⇒ α = 360° ⋅ = 360° ⋅ = 180°. 2aπ a 2r

Vagy másképpen: i =

r ⋅π⋅α a⋅π⋅α ⇒ a⋅π = ⇒ α = 180° . 180° 180°


TANÁRI ÚTMUTATÓ

III. A csonkakúp Ha a kúpot elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, akkor egy kisebb kúpot és egy másik testet is kapunk, amelyet csonkakúpnak nevezünk. Az alaplap és a fedőlap síkjának

távolsága adja a csonkakúp testmagasságát. Az egyenes körkúpból származtatott csonkakúp térfogata:

V=

M ⋅π 2 r + r ⋅ R + R2 . 3

(

)

Megjegyzés: a képlet levezetésekor felhasználjuk, hogy a levágott (ún. kiegészítő kúp) hasonló ahhoz a kúphoz, amiből a csonkakúp keletkezett.

Módszertani megjegyzés: Célszerű megjegyezni, hogy ez az összefüggés analóg a csonkagúla térfogatának képletével. A kapcsolat felfedezését egy kis segítséggel a diákok maguk is megteszik. A csonkakúp felszínét megkapjuk, ha az alapkör és a fedőkör területéhez hozzáadjuk a csonkakúp palástjának felszínét. A palást síkba kiterítve körgyűrűcikket alkot.

(

)

A csonkakúp felszíne A = π ⋅ r 2 + R 2 + (r + R ) ⋅ a .

A a felszín, r az alapkör sugara, R a fedőkör sugara, a az alkotó. Módszertani megjegyzés: A következő mintapélda egy csonkakúp alakú modell elkészítése úgy, hogy csak az adatokat ismerjük, és rendelkezésünkre áll a csonkakúp és a kiegészítő kúp körcikkének mintája A4-es lapon. Ezt a tanuló kivághatja, azonban neki kell elkészítenie az alapkört és a fedőkört, és a csonkakúp magassága alapján kiszámítania azt, hogy a körcikkből mekkora sugarú körcikket kell kivágnia a kívánt magasságú modellhez. Figyelmeztessük a gyerekeket, hogy a ragasztáshoz hagyjanak fülecskéket a körökön. Szükséges anyagok: a körcikk kinyomtatva, 2 db kartonlap, szögmérő, olló, körző, papírragasztó. (Az eszközök között külön fájlban találjuk a képet nyomtatáshoz.) Ha nincsenek kedvező tapasztalataink a tanórai vágással-ragasztással kapcsolatban, akkor a mintapéldát vegyük át úgy, hogy csak a mintához szükséges számításokat végezzék el a gyerekek csoportmunkában, és az elkészítést esetleg otthonra adjuk fel.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

25

A feladatokat a gyerekek megosztják egymás között: egyik csoporttag az alapkör sugarát határozza meg, a másik a fedőkörét stb. Ha nem tudják meghatározni, akkor vágják ki a körcikket és végezzenek méréseket. A Tanulók könyvét ne használják, mert a megoldás levezetése megtalálható a mintapéldában.

Mintapélda4 Készítsük el egy csonkakúp alakú vulkán kicsinyített modelljét A4-es papírok felhasználásával! A 14 cm sugarú körcikk még ráfér az A4-es kartonra úgy, hogy 228°-os a középponti szöge. Az alapkört, a fedőkört és a körgyűrűcikk kisebb ívét neked kell kiszámítanod és megrajzolnod. A modell magassága 8 cm legyen! Figyelj arra is, hogy a ragasztáshoz a megfelelő helyeken fülecskéket kell hagyni. Megoldás:

A körcikk ívhosszából kiszámítjuk az alapkör sugarát: i = ez

egyenlő

R = 14 ⋅

az

R

sugarú

kör

kerületével:

228° 228° ⋅ K alapkör = ⋅ 2 ⋅14 ⋅ π , és 360° 360°

228° ⋅ 2 ⋅14 ⋅ π = 2 ⋅ R ⋅ π , 360°

ahonnan

228 ≈ 8,9 cm . 360

A magasság: M = 8 cm, a fedőkör sugarát szögfüggvény segítségével állapítjuk meg: cos α =

8 8 R 8,9 ≈ 10,4 cm , x = ≈ 6,6 cm . = ⇒ α ≈ 50,5° . a = 14 14 tgα sin α

Mivel x = R – r , r ≈ 2,3 cm. A körcikkből 14 – a ≈ 3,6 cm sugarú körcikket kell kivágni.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Feladatok 26. Egy csonkakúp alapkörének sugara 9 cm, a fedőköré 4 cm, az alkotója 15 cm.

a) Számítsd ki a csonkakúp térfogatát! b) Számítsd ki a csonkakúp palástjának területét és felszínét! Megoldás: A szokásos jelölésekkel a 2 = M 2 + (R − r ) ⇒ M = 200 ≈ 14,1 (cm). 2

a) Képletbe helyettesítés után V ≈ 1963,8 cm 3 ; b) P = (r + R ) ⋅ a ⋅ π ≈ 612,6 cm 2 ; A ≈ 917,3 cm 2 .

27. Egészítsd ki a táblázat hiányzó részeit! Minden adat

azonos egységrendszerben értendő. r a fedőkör sugara, R az alapkör sugara, M a csonkakúp magassága, a az alkotó, P a palást felszíne, A a csonkakúp felszíne és V a csonkakúp térfogata. Megoldás: r a) b) c)

R 5 12 4

a 10 18 14

12 10 20

M 10,9 8,0 17,3

V 1999,1 5730,3 4861,0

P 565,5 942,5 1131,0

A 958,2 2412,7 1797,0

Módszertani megjegyzés: Gyakorlásképpen feladhatjuk a körcikk középponti szögét is kérdésként. 28. Egy csonkakúp alapkörének sugara 12 cm, a fedőköré 8 cm, a magassága 15 cm.

a) Számítsd ki a kiegészítő kúp alkotójának hosszát! b) Számítsd ki, hogy mekkora középponti szögű körcikkből lehet elkészíteni a csonkakúp palástját! c) Számítsd ki, hogy a kiegészítő kúp térfogata hány százaléka a csonkakúp térfogatának!


TANÁRI ÚTMUTATÓ

27

Megoldás: a) Az alkotó hossza a = 15 2 + 4 2 = 241 ≈ 15,52 (cm). A hasonló háromszögek miatt

12 a + x = ⇒ x ≈ 31 (cm) 8 x

a kiegészítő kúp alkotója. b) α = 360° ⋅

2 Rπ ≈ 93° . 2(a + x )π

c) A kiegészítő kúp magassága: y = x 2 − 8 2 ≈ 29,95 (cm); 8 2 ⋅ 29,95 ⋅ π 3

15 ⋅ π 2 8 + 8 ⋅12 + 12 2 3

(

)

⋅100 ≈ 42 % .

29. Egy gyertyaöntő olyan csonkakúp alakú gyertyákat önt, amelyek alapkörének átmérője

10 cm, a fedőköré 6 cm, és a magassága 8 cm. a) Hány gyertyát tud kiönteni 50 liter folyékony viaszból? b) Minden gyertyát külön celofánba csomagol, és a gyertya felszínénél 17%-kal többet kell számolnia a csomagoláshoz. Hány m2 celofánt használ fel a kiöntött gyertyák csomagolásához? Megoldás: a) 50 liter = 50 dm3 = 50000 cm3. Egy gyertya térfogata: V ≈ 410,5 cm3,

50000 ≈ 121,8 , 410,5

vagyis 121 gyertyát tud kiönteni. b) Az alkotó hossza a = 82 + 2 2 = 68 ≈ 8,25 , egy kúp felszíne A = 100π ≈ 314.2 cm2. A szükséges celofán 50 ⋅ A ⋅ 1,17 ≈ 18380,7 cm 2 ≈ 1,8 m 2 .

Módszertani megjegyzés: A következő feladatot csoportmunkában javasolt feldolgozni. 30. Összekeveredett az építőjáték, szétestek a kúpok. A szá-

mok csonkakúpokat, míg a betűk kiegészítő kúpokat jelölnek, és a távolságok cm-ben adottak. Találd meg az összeillőket az alábbi adatok alapján! Az ábra csak illusztráció. A) M = 6 cm, a = 1 dm;

B) M = 8 cm, a = 1 dm;


TANÁRI ÚTMUTATÓ

C) r = 3 cm; a = 58 mm;

D) r = 3 cm; a = 0,5 dm;

1) M = 100 mm; a = 11,7 cm;

2) r = 3 cm; R = 2,1 dm; M = 16 cm;

3) M = 72 mm; a = 1,2 dm;

4) r = 6 cm; R = 90 mm; a = 1,5 dm.

A) – D) kúpokat jelöl, amelyeknél a az alkotó, M a magasság, r az alapkör sugara. 1) – 4) csonkakúpokat jelöl, amelyeknél R az alapkör sugara, r a fedőkör sugara, a az alkotó, M a magasság. Megoldás: r egyenlősége mellett vizsgálnunk kell azt is, hogy ha egy kúpot és egy csonkakúpot összerakunk, akkor az illesztés helyén ne keletkezzen törés. Ez akkor biztosítható, ha az ábrán a tengelymetszetekben jelölt α szögek megegyeznek. Kúp esetén sin α =

r R−r , csonkakúp esetén sin α = . a a

Kúp

sin α

Csonkakúp

r

M

a

r

R

M

a

A)

8

6

10

3)

8

17,6

7,2

12

0,8

B)

6

8

10

4)

6

15

12

15

0,6

C)

3

4,9

5,8

1)

3

9

10

11,7

0,5172

D)

3

4

5

2)

3

18

20

25

0,6


TANÁRI ÚTMUTATÓ

29

IV. A gömb A gömb a természet egyik, talán a legfontosabb alapformája. Bizonyítható, hogy az egyenlő térfogatú testek közül a gömbnek a legkisebb a felszíne, ezért ugrik össze gömb alakú cseppé a folyadék, ha teheti (például a higany). Az égitestek alakja többé-kevésbé gömb, és kis golyókkal modellezzük a természet sok jelenségét (például az atommagot és a körülötte keringő elektronokat csakúgy, mint a gázrészecskéket az ideális gázban, vagy a légszennyezést okozó aeroszol részecskéket). Módszertani megjegyzés: Javasoljuk, hogy indítsunk kutatási projekteket érdekes, gömb alakú tárgyakról, épületekről (Atomium Brüsszelben, kupolás épületek stb.). Például nagyon sok gömb alakú vírust találunk. A gömb egy adott ponttól (a középponttól) egyenlő távolságra levő pontok halmaza a térben. Minden síkmetszete kör, a legnagyobb területű síkmetszetet főkörnek nevezzük. Ha a gömböt egy síkkal metsszük, akkor gömbsüveg keletkezik (a gömbsüvegre vonatkozó összefüggéseket megtalálod a függvénytáblázatban). A gömb térfogatát, illetve felszínét az integrálszámítás segítségével határozzuk meg, ami túlmutat a középszintű érettségi tananyagán. Az r sugarú gömb térfogata és felszíne:

V=

Feladatok

4 3 ⋅ r ⋅π , A = 4 ⋅ r2 ⋅π 3

31. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! r a gömb sugara, V a térfogata, A a felszíne.

Megoldás: a) b) c) d)

r 3 4,5 2,2 5

A 113,1 254,5 60,8 314,2

V 113,1 381,7 44,6 523,6

Módszertani megjegyzés: A következő feladathoz javasoljuk diákkvartett módszert.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

32. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz, illetve melyik hamis!

a) Ha egy gömb sugarát háromszorosára növeljük, a felszíne és a térfogata is háromszorosára változik. b) Az egység sugarú gömb felszínének mérőszáma háromszorosa a térfogat mérőszámának. c) Ha egy 5 cm-nél nagyobb r sugarú gömb sugarát 3 cm-rel növeljük, a felszíne 4 ⋅ (r + 3) -nel növekszik. 2

d) Ha egy 5 cm-nél nagyobb r sugarú gömb sugarát 3 cm-rel növeljük, a térfogata 4 3 ⋅ r ⋅ π -vel növekszik. 3 e) Ha két gömb felszínének különbsége 490 cm2, akkor a két gömb sugarát R-rel és rrel jelölve R 2 − r 2 = 39 . Megoldás: a) H; b) I; c) H; d) H; e) I.

33. Mekkora annak a gömbnek a sugara, amelyre igaz, hogy térfogatának mérőszáma

duplája a felszíne mérőszámának? 4 Megoldás: 2 ⋅ r 3π = 4r 2π ⇒ r = 6 egység. 3

34. Egy 7 cm átmérőjű üveggolyó belül üreges, a falvastagság 6 mm. Mekkora az

üveggolyó tömege, ha az üvegben elhanyagolható súlyú levegő van, és az üveg sűrűsége ρ = 2800 kg/m3, és a tömeg az m = ρ ⋅ V képlettel számolható?

Megoldás: A belső sugár 2,9 cm, a külső 3,5 cm. A térfogat a két gömb térfogatának 4 különbsége: V = π(3,53 − 2,9 3 ) ≈ 77,43 cm 3 ≈ 77,43 ⋅10 −6 m 3 . m = ρ ⋅V ≈ 0,22 kg. 3


TANÁRI ÚTMUTATÓ

31

35. Mekkora oldalú fémkockából tudnak önteni 120 darab, 4,6 cm átmérőjű gömböt?

4 Megoldás: V = 120 ⋅ ⋅ 2,33 ⋅ π = 6115,8 cm 3 . A kocka térfogata a3, tehát 3 a = 3 6115,8 ≈ 18,3 cm.

Módszertani megjegyzés: Az eddigi ismeretek összefoglalásához javasoljuk az 5.2 triminót. A triminó összefoglaló: a Térfogat és felszínszámítás2 modul végén javasoljuk, hogy a modulban használt képleteket felelevenítsék vele a diákok. Az összeillő éleken egy szám+betű, illetve szám kombinációt találunk, amely kulcsként szolgál az üzenet megfejtéséhez. A szám+betű jelöli azt, hogy az üzenet hányadik betűjét kell kikeresni a kódtáblázatból. A kódtáblázatból a betű-szám kombináció adja a megfelelő betűt. Például ha egy összeillő élen a 12C5 kombinációt kapjuk, akkor az üzenet 12. betűjéről van szó, amelyet a kódtáblázat C5 mezője nyújt a számunkra. A feladat az üzenet megtalálása, a kódtáblázat a projektorral kivetíthető. Az üzenet: Használd, vagy elveszted. (A tudásra vonatkozik.) H-1B-4;A-2A-0;Sz-3D-6;N-4C-5;Á-5A-1;L-6C-2;D-7A-5; V-8E-5;A-9A-0;Gy-10B-3; E-11A-6;L-12C-2;V-13E-5;E-14A-6;Sz-15D-6;T-16E-0;E-17A-6;D-18A-5

A kódtáblázat: A

A0

É

B0

J

C0

Ó

D0

T

E0

Á

A1

F

B1

K

C1

Ö

D1

U

E1

B

A2

G

B2

L

C2

Ő

D2

Ú

E2

C

A3

Gy

B3

Ly

C3

P

D3

Ü

E3

Cs

A4

H

B4

M

C4

R

D4

Ű

E4

D

A5

I

B5

N

C5

S

D5

V

E5

E

A6

Í

B6

O

C6

Sz

D6

Z

E6

Feladatok Minden távolságadat azonos mértékegységrendszerben értendő. Henger

r = 6; M = 8; V = 288π.

H-1B-4

r = 5; M = 12; A = 170π.

L-6C-2

r = 4,2; M = 20; V = 1108,35.

A-2A-0

32 MATEMATIKA „A” • 12. ÉVFOLYAM r = 12; M = 8; A = 480π.

TANÁRI ÚTMUTATÓ

A-9A-0

Kúp

a = 10; ϕ = 60°; r = 5.

Sz-3D-6

r = 5; ϕ = 84°; V = 37,5π.

V-8E-5

r = 7; ϕ = 90°; A = 371,64.

Sz-15D-6

r = 6; a = 10; A = 96π.

E-11A-6

r = 8,5; M = 12,8; V = 968,45.

E-17A-6

r = 8; ϕ = 69,7°; a = 14.

L-12C-2

Csonkakúp

r = 6; R = 9; M = 12; V = 2148,85.

N-4C-5

r = 12; R = 20; a = 14; A = 3116,46.

D-7A-5

r = 9; R = 15; M = 12; A = 7892,69.

T-16E-0

r = 3,6; R = 7,2; M = 10; V = 950.

D-18A-5

r = 8; R = 15; a = 12; A = 565π.

V-13E-5

Gömb

r = 12; TFőkör=144π; V = 2304π.

Á-5A-1

r = 5,5; A =380,13; V = 696,91.

Gy-10B-3

r = 18;

V = ? = 6. A

E-14A-6


TANÁRI ÚTMUTATÓ

33


TANÁRI ÚTMUTATÓ

V. Testekkel kapcsolatos számítások Mintapélda5 A szilikon tömítőanyagot hengerekben árulják. A henger belső átmérője 45 mm, a tubus hossza 21,6 cm, és az aljától 4 cm-nyi helyet nem szilikon tölt ki. A henger folytatása egy 10,6 cm alkotójú csonkakúp alakú kinyomócső, amelynek egyik végén 8 mm, a másik végén 2 mm átmérőjű a lyuk. Hány méteres egyenes csíkot tudnánk kinyomni a csőből? (A benne található szilikon folyékony, összenyomhatatlan.) Megoldás: A henger sugara 2,25 cm, magassága 17,6 cm. A hengerbe töltött szilikon térfogata: V = 2,252 ⋅ π ⋅ 17,6 ≈ 280 (cm3 ). A kinyomócső magassága: 106 2 − 32 ≈ 105,96 (mm), kinyomás után a kinyomócsőben maradó szilikon térfogata: V1 =

10,596 ⋅ π 0,4 2 + 0,4 ⋅ 0,1 + 0,12 ≈ 2,33 (cm3), vagyis a 3

(

)

kinyomott csík térfogata 280 − 2,33 = 277,67 (cm3). A kinyomott szilikoncsík sugara 1 mm, az egyenes csíkot hengerként számolva, a hossza: x =

277,67 ≈ 8838,51 mm ≈ 8,84 m . 0,12 ⋅ π

Mintapélda6 Egy szabályos, négyzet alapú gúla oldallapjai 8 cm oldalú szabályos háromszögek. Mekkora a beírható és a köré írható gömb sugara? Megoldás: A gömbök középpontjai a gúla magasságán találhatók. A beírt gömb esetén: m=8

3 = 4 3 , M = m 2 − 4 2 = 32 ≈ 5,66 (cm). A derékszögű háromszögek 2

hasonlósága miatt

8 ⋅ 5,66 r M −r a⋅M = ⇒ r= = ≈ 2,1 (cm). a 2m + a 8 3 + 8 m 2


TANÁRI ÚTMUTATÓ

35

A köré írható gömb középpontja egybeesik az alaplap középpontjával, mert a négyzet átlója egyenlő a testmagasság kétszeresével, így a sugár: R = a

2 = 4 2 ≈ 5,7 (cm). Ha ezt nem 2

vesszük észre, akkor a jelölt derékszögű háromszögre írjuk fel a Pitagorasz-tételt. y=a

2 = 4 2 (cm), 2

R 2 = y 2 + (M − R ) ⇒ R = 2

y2 + M 2 = 2M

a2 a 2 = =a = 4 2 cm. 2 a 2 2 2⋅ 2

Összetett testek 36. A szomszéd szeretett volna hétvégi telkére egy jurtát, és találtunk is egy angol nyelvű

honlapot az interneten, ahol rendelni lehet. A szavak jelentése: Diameter: átmérő Wall Height: falmagasság Roof Height: tetőmagasság feet: láb (1 láb = 30,48 cm) Forrás:

Diameter (feet) Wall Height (feet) Roof Height (feet)

12 4 7'6"

[http://www.yurtworkshop.com/yurts/10foot MongolianGer.aspx]

Mekkora a jurta felszíne és térfogata? (Az egyszerűség kedvéért modellezzük alul-felül nyitott henger és kúp összerakásával a jurtát.) Megjegyzés: A hüvelyk a tízes számrendszeren alapuló mértékrendszer előtti időszak azon alapegységeinek egyike, amely az emberi test egyik részét, a hüvelykujj nagyságát vette mértékül. A hüvelyk a tizenkettes mértékrendszerbe tartozik; egy lábnak a 12-ed része. Egy hüvelyk 12 vonalból áll, azaz 2,6 cm (tehát egy vonal 0,2 cm). Négy hüvelyk (azaz 10,4 cm) alkotott egy markot. A hüvelyk német neve (Zoll) is elterjedt: coll. Ezt az elnevezést főleg kézművesek, ácsok, asztalosok használták (colos deszka, colos szeg stb.). [Forrás: Magyar néprajzi lexikon.]


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Megoldás: Módszertani megjegyzés: A feladatban nem közöltük, hogy mit jelent a 7’6” jelölés, de az idézett forrásból megérthető. A csoport remélhetőleg rájön arra, hogy az nem biztos, hogy 7,6 láb, hanem coll, és a 6 coll éppen fél lábnak felel meg. Nem adta meg a feladat azt sem, hogy milyen mértékegységben kérjük a megoldást, de a hazai SI miatt m2-ben kérjük a végeredményt. Számolni egyszerűbb és célszerűbb lábban a kevesebb törtszám miatt. Az alapkör sugara r = 6 láb, a henger magassága 4 láb, a kúp magassága 3,5 láb, az alkotó hossza a = 6 2 + 3,5 2 ≈ 6,95 láb, a felszín: A = Phenger + Pkúp = 2rπM henger + raπ = rπ (2 M henger + a ) ≈ 281,8 láb2, amit cm2-be átváltva 281,8 ⋅ 30,482 ≈ 261801,6 cm2 ≈ 26,2 m2. A térfogat V = r 2πM henger +

r 2πM kúp 3

M kúp ⎛ = r 2π ⎜⎜ M henger + 3 ⎝

⎞ ⎟⎟ ≈ 584,34 láb3, ami ⎠

584,34 ⋅ 30,483 ≈ 16546559 cm 3 ≈ 16,6 m 3 . Módszertani megjegyzés: Az ilyen kis jurtákat általában szaunának vagy meditációs teremnek használják.

37. Az ábra egy 9 mm átmérőjű lőszer oldalnézetét mutatja.

Végezz méréseket az ábrán, és számítsd ki a lövedék felszínét és térfogatát!

Megoldás: Az ábrán lemért adatok alapján az ábra és a lőszer adatainak aránya k =

9 3 = . 21 7

Minden távolságadatot szorozni kell k-val, hogy a lőszer adatait megkapjuk. Így a henger hossza 10,3 (mm), a csonkakúp magassága 7,7 (mm), a fedőkör sugara 2,4 (mm). A térfogat az egyes részek térfogatának összege: V = 4,5 2 π ⋅10,3 +

7,7π 4,5 2 + 4,5 ⋅ 2,4 + 2,4 2 ≈ 952 mm 3 . 3

(

)

A felszínnél számolhatunk úgy, hogy a csonkakúp felszínéhez hozzájön a henger

(

)

palástja: A = π r 2 + R 2 + (r + R )a + 2 RπM . A csonkakúp alkotója a = 2,12 + 7,7 2 ≈ 8 (mm). A felszín A ≈ 546,4 mm 2 . Ezek közelítő értékek, a mérési és kerekítési hibák miatt hasonló eredmények jönnek ki.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

37

38. Egy csonkakúp alakú parfümös üveget kartondobozba csoma-

golnak. A doboz méretei: 6 cm×6 cm×8 cm, a parfümös üveg méretei: a fedőlap átmérője 5 cm, az alaplap átmérője 3 cm, a magassága 7 cm. a) Hány ml parfüm van az üvegben, ha az üveg térfogatának 56%-a a folyadék? b) A doboz térfogatának hány százaléka „üres”, azaz nincs kitöltve a parfümös üveggel? Megoldás: a) Vüveg ≈ 89,8 cm 3 , 89,8 ⋅ 0,56 ≈ 50,3 cm3, az üvegben kb. 50 ml parfüm van. b) Vdoboz = 288 cm 3 , az arány

288 − 89,8 ⋅ 100 ≈ 68,8 % . 288

39. 4 darab 9 cm átmérőjű, gömb alakú gyertyát csomagolnak

kartondobozba, szorosan egymás mellé. a) A doboz térfogatának hány százalékát töltik ki a gyertyák? b) A sérülések elkerülése érdekében a gyertyák közé az alaplap közepére egy hungarocell hengert tolnak, ami a gyertyákat érinti, és nem engedi elmozdulni. Legfeljebb mekkora legyen a henger sugara? Megoldás: a) A doboz méterei: 18 cm x 18 cm x 9 cm, így a térfogata 9 ⋅18 2 = 2916 cm 3 . 4 1526,8 A gyertyák térfogata 4 ⋅ ⋅ 4,53 π ≈ 1526,8 cm 3 . A keresett arány ⋅ 100 ≈ 52,4 % . 2916 3 b) A henger alapkörének sugara a KEC egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogójának és a gyertyák sugarának a különbsége:

(

)

r 2 − 1 ≈ 1,86 cm. 40. Egy teniszlabdagyárban 3 labdát csomagolnak

kétféle csomagolásba: négyzetes oszlop, illetve henger alakú, műanyag oldalfalú dobozba. A dobozokat kartonokkal zárják le, mindkét végükön. A labdák átmérője 6,5 cm.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

a) Mekkora területű kartonra, illetve műanyagra van szükség az egyes dobozok elkészítéséhez? b) A dobozok térfogatának hány százaléka a három teniszlabda térfogata? c) Anyagfelhasználás és térkitöltés szempontjából melyik dobozt célszerűbb gyártani? Megoldás: a) A négyzetes oszlop méretei: 6,5 cm x 6,5 cm x 19,5 cm. A karton területe 2 ⋅ 6,52 = 84,5 cm 2 , a fólia területe 4 ⋅ 6,5 ⋅ 19,5 = 507 cm 2 . A henger alakú doboz esetén a szükséges karton 2 ⋅ 3,252 π ≈ 66,37 cm 2 , a fólia területe 2 ⋅ 3,25 ⋅ π ⋅ 19,5 ≈ 398,2 cm 2 . 4 b) A teniszlabdák térfogatának összege 3 ⋅ ⋅ 3,253 ⋅ π ≈ 431,38 cm3 . A négyzetes oszlop 3 térfogata 6,52 ⋅ 19,5 = 823,88 cm 3 , az arányuk

431,38 ⋅ 100 ≈ 52,4 % . A henger 823,88

térfogata 3,252 ⋅ π ⋅ 19,5 ≈ 647,07 cm 3 , a térkitöltés

431,38 ⋅ 100 ≈ 66,7 % . 647,07

c) Anyagfelhasználás és térkitöltés szempontjából is a hengeres dobozt célszerű gyártani. Módszertani megjegyzés: A következő feladat szerepelt a 2006. februári érettségin.

41. 4 cm átmérőjű fagolyókat négyesével kis (téglatest

alakú) dobozokba csomagolunk úgy, hogy azok ne lötyögjenek a dobozokban. A két szóba jövő elrendezést felülnézetből lerajzoltuk. A dobozokat átlátszó műanyag fóliával fedjük le, a doboz többi része kartonpapírból készül. A ragasztáshoz, hegesztéshez hozzászámoltuk a doboz méreteiből adódó anyagszükséglet 10%-át. a) Mennyi az anyagszükséglet egy-egy dobozfajtánál a két felhasznált anyagból különkülön?


TANÁRI ÚTMUTATÓ

39

b) A négyzet alapú dobozban a fagolyók közötti teret állagmegóvási célból tömítő anyaggal töltik ki. A doboz térfogatának hány százalékát teszi ki a tömítő anyag térfogata? Megoldás: a) A négyzet alapú doboznál: Talap = 64 (cm 2 ), Toldal = 128 (cm2). Azt anyagszükséglet

1,1⋅192 = 211,2 cm2 papír, és 1,1⋅ 64 = 70,4 cm2 fólia. A téglalap alapú doboznál: Talap = 64 (cm 2 ), Toldal = (32 + 8) ⋅ 4 = 160 (cm2). Azt anyagszükséglet 1,1 ⋅ 224 = 246,4 cm2 papír, és 1,1⋅ 64 = 70,4 cm2 fólia. b) A doboz térfogata 8 ⋅ 8 ⋅ 4 = 256 cm3, a négy golyó együtt 4 ⋅ keresett arány:

4 ⋅ 23 ⋅ π ≈ 134 cm3. A 3

122 256 − 134 ⋅ 100 = ⋅ 100 = 47,7 ≈ 48% . 256 256

Módszertani megjegyzés: A következő feladatot javasoljuk csoportmunkában feldolgozni, szakértői mozaik módszerrel.

42. Egy 8 cm belső átmérőjű, 9,5 cm belső magasságú csészében 3 dl víz van. Mennyivel

emelkedik meg a vízszint, ha a csészébe beletesszük az alábbi tárgyakat?

Minden távolságot cm-ben adtunk meg. Megoldás: A vízszint magasságát meghatározzuk (x) és minden esetben ellenőrizzük, hogy a csészéből kifolyik-e a víz a tárgyak belehelyezésekor. 3 dl = 0,3 dm 3 = 300 cm 3 = 4 2 π ⋅ x , ahonnan x ≈ 6 cm. A vízszint növekedését (y) hasonlóan számítjuk: y =

Vtárgy 42 π

.

53 Az eredmények: a) y = 2 ≈ 2,5 cm; 4 π


TANÁRI ÚTMUTATÓ

2

⎛5 2 ⎞ 52 ⋅ 4,85 ⎟ ≈ 4,85 (cm), y = b) M = 6 − ⎜⎜ ≈ 0,8 cm; 2 ⎟ 3 ⋅ 4 π 2 ⎝ ⎠ 2

4 3 ⋅3 π 4 2 π ⋅ 6,93 2 2 3 = 2,25 cm; d) M = 8 − 4 ≈ 6,93 (cm), y = ≈ 2,3 cm; c) y = 2 3 ⋅ 42 π 4 π e) M = 6 2 − 1,752 ≈ 5,74(cm) , y =

1 5,74π 1,752 + 1,75 ⋅ 3 + 32 ≈ 2,1 cm. 42 π 3

(

)

43. Egy ipari alpinista csoport azt a megbízást kapja, hogy

fesse le az itt látható, hengerből és kúpból összeállított kilátó külső felületét. A tető kúp alakú, a torony szélétől 40–40 cm távolságra nyúlik ki. Az egész torony magassága 25,1 m. Határozd meg, hogy a tetőre és a vakolatra használt festékből hány m3-re valót kell a csapatnak beszereznie! Megoldás: Az egyik fajta festék a henger palástjához kell: A1 = 2rπM = 2 ⋅

7,3 ⋅ π ⋅ 20 ≈ 458,7 m 2 , a másik fajta a kúp palástjához. A kúp sugara: 2

7,3 + 0,8 = 4,05 (m), 2

magassága

25,1 − (20 + 0,9 ) = 4,2 (m) ,

4,2 2 + 4,05 2 ≈ 5,83 (m). A kúp palástja: A2 = raπ = 4,05 ⋅ 5,83 ⋅ π ≈ 74,2 m 2 .

44. Az ábrán látható dísz egy derékszögű háromszög átfogó

körüli megforgatásával keletkezett. Két kúpot kaptunk, az egyik magassága 4,5 cm, a másiké 8 cm. a) Mekkora a dísz külső felszíne? b) Mekkora a dísz tömege, ha a sűrűsége 1,22 g/cm3? Megoldás: A megoldáshoz magasságtételt alkalmazunk: r = 8 ⋅ 4,5 = 6 (cm), az alkotók hossza: a1 = 82 + 6 2 = 10 (cm),

és a1 = 82 + 4,52 = 7,5 (cm).

alkotója


TANÁRI ÚTMUTATÓ

41

a) A felület: A = rπ(a1 + a2 ) ≈ 329,9 cm2. b) A térfogat: V =

r 2 π(M 1 + M 2 ) ≈ 471,2 (cm3), a tömeg m = ρ ⋅ V ≈ 574,9 g. 3

Beírt és köré írható testek 45. Egy 8 cm sugarú, 15 cm magasságú fakúpból a lehető legnagyobb sugarú gömböt

akarjuk kifaragni. A kúp anyagának hány százalékát kell eltávolítani? Megoldás: A beírt gömb sugarát kell kiszámolnunk. a = 8 2 + 15 2 = 17 (cm), Vkúp ≈ 1005,3 cm3, a hasonló

háromszögek miatt

8 a = , ahonnan r 15 − r

r = 4,8 (cm) , Vgömb ≈ 463,2 cm3. A keresett százalék: 463,2 ⋅ 100 ≈ 46 % . 1005,3

46. Egy gömb köré és a gömbbe írt kocka éleinek különbsége 8 cm. Mekkora a gömb

térfogata és felszíne? Megoldás: A gömb köré írt kocka éle a gömb átmérője: a = 2r , a gömbbe írt kockának pedig a testátlója egyenlő a gömb átmérőjével: b 3 = 2r ⇒ b = 8 = 2r −

2r . A kettő különbsége: 3

2r 1 ⎞ ⎛ = 2 r ⎜1 − ⎟ ⇒ r ≈ 9,46 cm. V ≈ 3546,2 cm 3 , A ≈ 1124,6 cm 2 . 3 3⎠ ⎝

47. Mekkora annak a kockának az éle, amelyet egy 16 cm alapélű, 20 cm magasságú

szabályos négyoldalú gúlába írunk úgy, hogy a kocka egyik lapja a gúla alaplapján található, másik négy csúcsa pedig a) az oldallapok magasságvonalain;

b) az oldaléleken?


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Megoldás: a) y =

x 2 20 − x y . A hasonlóság miatt = , 2 20 8

ahonnan 160 − 8 x = 20 x=

b) y =

(

)

x 2 ⇒ 160 = x 10 2 + 8 , így 2

160 ≈ 7,23 cm. 10 2 + 8

x 2 16 2 ,z= = 8 2 . A hasonlóság miatt 2 2

z 20 8 2 20 = ⇒ = , innen y 20 − x x 2 20 − x 2

x ≈ 8,9 cm.

48. Egy félgömb alakú színpadi sátrat 4 függőleges és a felső végüket összekötő

4 vízszintes, 5,6 méteres, kockát formázó fémoszlop tart. A kocka alaplapjának középpontja éppen a gömb középpontjában található. Mekkora a sátorponyva felszíne?

Megoldás: a = 5,6 m, y =

a 2 . Felírva a Pitagorasz-tételt 2

R2 = a2 + y2 ⇒ R =

3 ⋅ a ≈ 6,86 m. Tehát a felszín kb. 2

295,7 m2.

49. Egy szabályos, négyzet alapú gúla oldallapjai a oldalú szabályos háromszögek.

Mekkora a beleírható és a köré írható gömb sugara a-val kifejezve? Megoldás: A gömbök középpontjai a testmagasságon találhatók. A beírt gömb esetén:


TANÁRI ÚTMUTATÓ

43

2

m=a

miatt

a 3 2 ⎛a⎞ =a . A derékszögű háromszögek hasonlósága , M = m2 − ⎜ ⎟ = 2 2 2 ⎝2⎠

r M −r a⋅M = = ⇒ r= a m 2m + a 2

(

)

a a 2 3 −1 = . 4 2 3 +1

(

)

A köré írható gömb középpontja az alaplap középpontjával egybeesik, mert a négyzet átlója egyenlő a testmagasság kétszeresével, így a sugár: R = a

2 . Ha ezt nem vesszük 2

észre, akkor a jelölt derékszögű háromszögre írjuk fel a Pitagorasz-tételt. y = a R 2 = y 2 + (M − R ) ⇒ R = 2

y2 + M 2 = 2M

a2 a 2 = =a . 2 a 2 2 2⋅ 2

2 , 2


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Vegyes feladatok 50. Két hasonló henger felszínének aránya 4 : 25, az egyik alapkörének sugara 15 cm-rel

nagyobb a másik alapkörének sugaránál. A kisebb henger felszíne 2136,3 cm3. Mekkora a nagyobb henger térfogata? Megoldás: Hasonló testek felszínének aránya egyenlő a hasonlóság arányának négyzetével, ezért a hasonlóság aránya k 2 =

4 2 ⇒ k = , azaz a nagyobb henger alapkörének 25 5

5 3 5 sugara: r2 = r1 . A szöveg alapján r1 − r1 = r1 = 15 ⇒ r1 = 10 cm, r2 = 25 cm. 2 2 2 A1 = 2r1π(r1 + M 1 ) = 2136,5 . Így M 1 ≈ 24 cm , M 2 = 60 cm .

A nagyobb henger térfogata V2 = 25 2 π ⋅ 60 ≈ 117809,7 cm3.

51. Egy 24 cm magas egyenes körkúpot a csúcstól számítva mekkora távolságban kell az

alaplappal párhuzamos síkkal elvágni, hogy a lemetszett kúpnak fele akkora legyen a) a térfogata;

b) a palástja, mint az eredeti kúpnak?

Megoldás: a) A hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbe, így

M ≈ 19 cm 2

3

távolságban kell elvágni. b) A hasonló testek felszínének (és kúpok esetén a palást felszínének is) aránya a hasonlóság arányának négyzete, így

M ≈ 17 cm távolságban kell elvágni. 2

52. Csúcsára állított kúpot magasságának feléig töltünk meg

vízzel. A testmagasság hány %-áig ér a víz, ha a kúpot megfordítva az alaplapjára állítjuk? Megoldás: A víz térfogata a kúp térfogatának nyolcada


TANÁRI ÚTMUTATÓ

(a hasonlóság miatt), a levegő térfogata a kúp térfogatának x=3

45

7 -a. Ekkor 8

7 ⋅ M ≈ 0,956 M , vagyis a víz a kúp magasságának 4,4 %-ig ér. 8

53. Ferde körkúp alapkörének területe 452,4 cm2, a leghosszabb alkotó 42°-os szöget zár

be az alaplappal. Mekkora a legrövidebb alkotó, ha a kúp magassága 15 cm?

Megoldás: Az alapkör sugara r = alkotó a =

T

π

≈ 12 (cm). A leghosszabb

15 ≈ 22,4 (cm). A kúp tengelymetszetét sin 42°

használjuk: AT = 22,4 2 − 152 ≈ 16,64 cm-re van, a legkisebb alkotó pedig BT = 24 − 16,64 ≈ 7,36 cm-re. Így a legrövidebb alkotó hossza 15 2 + 7,36 2 ≈ 16,7 cm. 54. Egy forgáskúp alapkörének sugara 10, felszíne 224π egység. Hányszorosára növekszik

a kúp térfogata, ha alkotóit 10 egységgel meghosszabbítjuk? Megoldás: A = rπ(r + a ) ⇒ a = 12,4 (e). A keletkező kúp az eredetihez hasonló, a 22,4 56 hasonlóság aránya k = = . A térfogat a hasonlóság köbével szorzódik, így a 12,4 31 3

⎛ 56 ⎞ keresett hányados ⎜ ⎟ ≈ 5,9 . ⎝ 31 ⎠ 55. Egy csonkakúp fedőkörének sugara 5 cm-rel kisebb az alapkör sugaránál,

testmagassága 19,4 cm. Mekkora a felszíne, ha a térfogata 5617,3 cm3? Megoldás: Másodfokú egyenlettel megoldható feladat. A szokásos jelölésekkel a térfogat képletébe behelyettesítve 5617,3 =

(

)

19,4π 2 2 r + r ⋅ (r + 5) + (r + 5) , ahonnan 3

0 = r 2 + 5r − 83,83 adódik. Ennek pozitív megoldása: r ≈ 7 cm. R = 12 cm, a = M 2 + 52 ≈ 20 cm, a felszín A ≈ 1800,1 cm2.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

56. Egy csonkakúp alapkörének sugara 4 m, fedőkörének sugara 120 cm, és az alkotók az

alaplappal 48°-os szöget zárnak be. Mekkora a csonkakúp felszíne és térfogata? Megoldás: 280 418,45 (m), cos 48° M = 280 ⋅ tg 48° ≈ 310,97 (m). Így V ≈ 72,4 m 3 , A ≈ 123,15 m 2 .

Szögfüggvénnyel számolva: a =

57. Egy csonkakúp alakú cserép aljának átmérője 21 cm, tetejének átmérője 30 cm és

magassága 28 cm. Hány liter virágföldet vegyünk a cserépbe, ha a magasságának 85%-áig akarjuk feltölteni? Megoldás: Elég a csonkakúp tengelyét tartalmazó tengelymetszetet vizsgálni. A magasság 85%-a 0,85 ⋅ 28 = 23,8 (cm), a fedőkör sugara x-szel hosszabb az alapkör sugaránál. A hasonlóság miatt x 23,8 = , ahonnan x = 3,825 (cm), a földdel teli rész tetejének 4,5 28 sugara 14,325 cm. A térfogat: V=

23,8π 14,3252 + 14,325 ⋅ 10,5 + 10,52 ≈ 11611 cm 3 ≈ 11,6 liter. 3

(

)

58. Mekkora annak a csonkakúpnak a felszíne és térfogata, amely az egyenletével

megadott e egyenes megjelölt szakaszának x tengely körüli megforgatásával keletkezik? a) e : y = − x − 3; 1 ≤ x ≤ 6 ;

b) e : y = −2 x + 9;1 ≤ x ≤ 4 ;

c) e : 2 y − x = 4; 2 ≤ x ≤ 10 .

Megoldás: a) r = 4; R = 9; M = 5; a = 5 2 ; V ≈ 696,4; A ≈ 593,5 ; b) r = 1; R = 7; M = 3; a = 3 5 ; V ≈ 179,1; A ≈ 325,7 ; c) r = 3; R = 7; M = 8; a = 4 5 ; V ≈ 661,8; A ≈ 463,2 .


TANÁRI ÚTMUTATÓ

47

59. A Föld felszínének 80%-a víz. Mit gondolsz, melyik a nagyobb: a teljesen száraz Hold

felszíne, vagy a Földön a szárazföldek területének összege? A Föld sugara 6370 km, a Hold átmérője 3476 km. Megoldás: A Földön a szárazföldek területeinek összege 0,2 ⋅ 4 ⋅ 6370 2 π ≈ 1,02 ⋅108 km 2 , a Hold felszíne 4 ⋅ 1738 2 π = 4 ⋅ 3020644 ⋅ π = 37958532 ≈ 3,8 ⋅ 10 8 km 2 . tehát a Holdon több a száraz felszín.

60. Egy asztali dísz 5 darab olyan gömbből áll, amelyek sugara 1 cm-rel

növekszik az előzőhöz képest, és az első gömb sugara 1 cm. a) Mekkora az 5 gömb térfogatának összege? b) Becsüld meg, hogy az asztali dísz anyagából hány darab 38 mm átmérőjű pingponglabda készíthető! Megoldás: a) Vagy egyenként kiszámolgatjuk és összeadjuk a térfogatokat, vagy használjuk a hasonlóságot: minden gömb hasonló egymáshoz, így a legkisebbhez is. A legkisebb térfogata

4π cm3, felszíne 4π cm2. A hasonlóságnak megfelelően, az 3

egyes gömbök térfogatai a kis gömb térfogatának 23, 33, 43 és 53-szorosa, összesen tehát

(

)

4 a térfogat 1 + 2 3 + 33 + 4 3 + 53 ⋅ π = 300π ≈ 942,5 cm 3 . 3 b) A felszínek összege a hasonlóság következtében (1 + 2 2 + 32 + 4 2 + 5 2 ) ⋅ 4π = = 220π ≈ 691,2 cm 2 . A pingponglabda felszíne 4 ⋅ 0,38 2 ⋅ π ≈ 0,58π , vagyis 220 ≈ 380 pingponglabdát lehet készíteni. 0,58

61. A föld kérge és a földköpeny legfelső része

összefüggő és együtt mozgó réteget alkot, ezt nevezzük a föld kőzetburkának (litoszféra). Határozd meg az ábra alapján, hogy a szilárd kőzetburok térfogata hány százaléka az egész föld


TANÁRI ÚTMUTATÓ

térfogatának? (Tekintsük a Földet gömb alakúnak.) Megoldás: A rajzról leolvasható, hogy a kőzetburok 200 km mélységig tart, ezért a 200 km-es 4 gömbhéj térfogata: V1 = π (63713 − 61713 ). Ez a föld térfogatának 3 4 π (63713 − 61713 ) 3 ⋅100 ≈ 9,1 %-a. 4 3 π ⋅ 6371 3 Megjegyzés: A valóságban a rétegek vastagsága változó, az ábrán átlagértékek

szerepelnek.

62. Egy 9 cm és 12 cm befogójú derékszögű háromszöget megforgatunk az egyik oldala

körül. Állítsd nagyságrendi sorrendbe a keletkező testek felszínét és térfogatát, ha a) a rövidebb befogója;

b) a hosszabb befogója;

c) az átfogója mentén forgatjuk meg? Megoldás: A háromszög átfogójának hossza

9 2 + 12 2 = 15 cm , magasságának meghatározásához

felírjuk kétféleképpen a háromszög területét: T =

a ⋅ b c ⋅ mc a ⋅b = ⇒ mc = = 7,2 cm . 2 2 c

a) r = 12 , M = 9 , a = 15; V ≈ 1357,2 cm 3 , A ≈ 1017,9 cm 2 . b) r = 9 , M = 12, a = 15; V ≈ 1017,9 cm 3 , A ≈ 678,6 cm 2 . c) Jelölje c1 és c2 az átfogónak azokat a szeleteit, amelyekre a magasság bontja az átfogót. Mindkét kúp alapkörének sugara a derékszögű háromszög magassága. A 1 1 térfogat V = π ⋅ m 2 ⋅ (c1 + c2 ) = π ⋅ m 2 ⋅ c ≈ 814,3 cm 3 , a felszín a két kúp palástjának 3 3 összege: A = 7,2 ⋅ π ⋅ (9 + 12) ≈ 475 cm 2 . A sorrendek: Vc < Vb < Va , Ac < Ab < Aa .


TANÁRI ÚTMUTATÓ

49

63. Egy húrtrapézt megforgatunk a szimmetriatengelye körül. A trapéz alapjai 58 mm és

20 mm, szárai 32 mm hosszúak. Mekkora a keletkező test térfogata és felszíne? Megoldás: Csonkakúp lesz a forgástest. A trapéz magassága megegyezik a testmagassággal: M = 32 2 − 19 2 ≈ 25,75 (mm). V=

25,75 ⋅ π (10 2 + 10 ⋅ 29 + 29 2 ) ≈ 33194,3 mm3 , 3

A = π ⋅ (10 2 + 29 2 + (10 + 29 ) ⋅ 32 ) ≈ 6876,9 mm 2 .

64. Egy paralelogramma két oldala 4 cm és 2 cm, a köztük levő szög 60°-os. Mekkora

annak a testnek a térfogata és felszíne, amelyet a paralelogramma hosszabb oldal körüli megforgatásával kapunk? Megoldás: A paralelogramma magassága m = 2 ⋅ sin 60° ≈ 1,732 (cm). A térfogat egy olyan henger térfogatával egyenlő, amelynek sugara m, magassága 4 cm: V = 1,732 2 π ⋅ 4 ≈ 37,7 cm 3 . A felszín két kúppalástból és egy hengerpalástból rakódik össze: A = 2 ⋅ 1,732 ⋅ π ⋅ 4 + 2 ⋅ 1,732 ⋅ 2 ⋅ π = 12 ⋅ 1,732 ⋅ π ≈ 65,3 cm 2 .

65. Az első test úgy keletkezett, hogy egy r sugarú és

r magasságú hengerből kifúrtunk egy csúcsára állított, ugyanolyan sugarú magasságú kúpot. A második test egy r sugarú félgömb. Hasonlítsd össze az alaplaptól tetszőleges x távolságban ( x < r ) a két test tengelyre merőleges metszetének területét!


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Megoldás: Az első test gyűrűszerű síkmetszetének területe: T1 = (r 2 − y 2 )⋅ π , és y = x (egyenlőszárú derékszögű háromszöggel hasonló). Vagyis T1 = (r 2 − x 2 )⋅ π . A félgömb tengelymetszete kör, melynek sugara a Pitagorasz-tétel segítségével:

(

)

z = r 2 − x 2 , ezért a tengelymetszet területe: T2 = r 2 − x 2 ⋅ π . A két terület

megegyezik. Megjegyzés: ez a feladat Arkhimédésztől származik. Ő a területek egyenlőségéből arra következtetett, hogy a két test térfogata egyenlő.

66. Lézergravírozással egy kockába 10 cm átmérőjű gömböt gravíroznak, majd a gömbbe

egy olyan egyenes szabályos hatszög alapú gúlát, amelynek minden csúcsa a gömb felületére esik. Mekkora a gúla éle, ha a magassága az alapél kétszeresével egyenlő? Megoldás: R = 5 cm. Felírva a Pitagorasz-tételt 5 2 = a 2 + (2a − 5) , 2

ahonnan a (a − 4 ) = 0 ⇒ a = 4 cm.

67. Mekkora sugarú gömb írható egy olyan szabályos sokszög alapú egyenes hasáb köré,

amelynek magassága az alapél kétszerese? Az alapél 6 cm és az alaplap a) négyzet;

b) háromszög;

c) hatszög;

d) ötszög?

Megoldás: A páros oldalszámú szabályos sokszög alaplapok esetén a köré írható kör átmérője

a leghosszabb testátlóval egyezik meg. A páratlan oldalszámú esetben azt használjuk ki, hogy a középpont egy oldalél két végpontjától egyenlő távolságra található.

( )

a) (2 R ) = (2a ) + a 2 2

2

2

⇒ 4 R 2 = 4a 2 + 2a 2 ⇒ R =

3 ⋅ a ≈ 7,35 cm. 2


TANÁRI ÚTMUTATÓ

2 2 3 3 b) x = a =a . R = a2 + x2 = a ≈ 6,93 cm. 3 2 3 3

c) 2 R = 2a 2 ⇒ R = a 2 ≈ 8,49 cm.

d) x =

a ≈ 0,85a , R 2 = a 2 + x 2 , ahonnan 2 sin 36°

r ≈ 1,31a ≈ 7,86 cm.

68. Mekkora sugarú gömb írható egy 12 cm élű szabályos

a) tetraéderbe;

b) tetraéder köré?

Megoldás:

a) A gömbök középpontja a testmagasságon található. Az oldallap magassága m = a

3 ,a 2

testmagasság talppontja az alaplap 1 3 a 3 = középpontja. x = a . 3 2 6 Pitagorasz-tétellel: M 2 = m 2 − x 2 =

a 2 3a 2 3a 2 2a 2 − = , ahonnan M = . A két 4 36 3 3

derékszögű háromszög hasonlósága miatt 2 ⋅a M ⋅x r M −r 3 = = ⇒ r= m+ x x m 3 a +a 2 a

r = 6 ≈ 2,45 cm.

3 2 a2 6 6 = a 6 . Behelyettesítve = 12 2 3 3 a 3 6

51


TANÁRI ÚTMUTATÓ

b) ATK háromszögben felírjuk a Pitagorasz-tételt: R = y + (M − r ) 2

2

2

y2 + M 2 ⇒ R= ≈ 7,35 cm. 2M

Módszertani megjegyzés: Természetesen a feladat nemcsak általánosan oldható meg, hanem a konkrét adatokkal végigvezetve is teljes értékű a megoldás középszinten. Érdekességként megemlíthetjük a R = 3r összefüggést. A kapott képletek megtalálhatóak a függvénytáblázatban is.

69. Egy 5 cm és egy 10 cm-es gömb kívülről érinti egymást. Határozd

meg, hogy mekkora a gömbök köré írható kúp felszíne és térfogata! Megoldás: A kúp tengelymetszetét vizsgáljuk. CF távolság a két sugár különbsége, 5 cm, ezért az ABE és BCF (egyébként hasonló) háromszögek egybevágók, AB = 15 cm. AG = 15 + 15 + 10 = 40 cm a kúp magassága. Az alkotót és a sugarat szögfüggvényekkel határozzuk meg: sin α =

5 40 ⇒ α ≈ 19,5° . a = ≈ 42,43 cm, x = 40 ⋅ tgα ≈ 14,16 cm. Így 15 cos α

V ≈ 8399 cm3, A ≈ 2517,4 cm2.

70. Egy csonkakúp alaplapjai 12 cm és 4 cm átmérőjű körök, magassága 12 cm. A kisebb

alapjára állítva a testet egy olyan gömböt ejtettünk bele, ami teljesen beleszorult. Milyen messze van a gömb a felső alaplaptól?

Megoldás: Tengelymetszetet vizsgálunk. tgβ =

α=

4 ⇒ β ≈ 18,43° , 12

90° + β ≈ 54,2° . r = 2 ⋅ tgα ≈ 2,77 cm. A keresett távolság 2

12 − 2r ≈ 6,45 cm.

71. A kristályokban az atomok, molekulák, ionok rácsszerkezetben

helyezkednek el, amelynek legkisebb ismétlődő egységét elemi cellának nevezzük. Egyes kristályokban az elemi cella kocka alakú, ezek a köbös rácsok. Határozzuk meg a következő három köbös rács térkitöltési hatásfokát! (A térkitöltési hatásfok a


TANÁRI ÚTMUTATÓ

53

cellatérfogatnak az a része, amit az egyforma gömböknek tekintett részecskék kitöltenek.)

Megoldás: a) Az a oldalú kockában 8 darab

a sugarú nyolcad gömb található, ezek térfogata 2 π 6 ≈ 52,4 % . 3

a3 ⋅

3

4⎛a⎞ 3 π ⎜ ⎟ π = a ⋅ . A térkitöltés: 100 ⋅ 3⎝ 2⎠ 6 a

b) Az a oldalú kockában 8 darab nyolcad gömb és egy teljes gömb található, amelyek 3

4⎛a 3⎞ 3⋅π ⎟ π = a3 ⋅ sugara a testátló negyedével egyenlő. Ezek térfogata 2 ⋅ ⎜⎜ .A 3 ⎝ 4 ⎟⎠ 8

térkitöltés: 100 ⋅

a3 ⋅ a

3⋅π 8 ≈ 68 % . 3

c) Az a oldalú kockában 8 darab nyolcad gömb és 6 félgömb (összesen 4 gömb) található, amelynek sugara a lapátló negyedével egyenlő. Ezek térfogata 3

4⎛a 2 ⎞ 2 ⋅π ⎟ π = a3 ⋅ 4 ⋅ ⎜⎜ . A térkitöltés: 100 ⋅ 3 ⎝ 4 ⎟⎠ 6

a3 ⋅ a

2 ⋅π 6 ≈ 74 % . 3


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Kislexikon Henger:

Adott az alapsíkon egy görbe vonallal határolt síkidom (alaplap) és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a görbe minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel (alkotók), hengerfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező, az alaplap és a fedőlap közé eső térrészt nevezzük hengernek. Ha a görbe kör, a test neve körhenger. Egyenes körhengernél az alkotók merőlegesek az alapsíkra. A test görbe határoló felületét palástnak nevezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a testmagasságot. Körhenger térfogata: V = r 2 ⋅ π ⋅ M , ahol r az alapkör sugara, M a testmagasság. Körhenger felszíne: A = 2r 2π + 2rπM = 2rπ (r + M ) , ahol r az alapkör sugara, M a

testmagasság. Az egyenes henger palástja: síkba kiterítve téglalap, felszíne:

A = 2r 2π + 2rπ M = 2rπ (r + M ) .


TANÁRI ÚTMUTATÓ

55

Kúp:

Adott az alapsíkon egy görbe vonallal határolt síkidom (alaplap) és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a görbe minden pontját egyenesek segítségével összekötjük az adott ponttal, kúpfelületet kapunk. A keletkező korlátos testet kúpnak nevezzük. Ha a zárt görbe kör, a test neve körkúp. Egyenes körkúpnak nevezzük a körkúpot, ha a pontnak az alaplap síkjára eső merőleges vetülete az alapkör középpontjába esik. A test határoló felületét nevezzük palástnak (egyenes körkúp síkba kiterített palástja körcikk; a palást az alaplapot nem tartalmazza), a csúcspont és a görbe pontjai által meghatározott szakaszokat pedig alkotóknak. Az alaplap síkjának és a csúcsnak a távolsága adja a kúp magasságát.

Kúp nyílásszöge:

Ha az egyenes körkúpot elmetsszük egy olyan síkkal, amely a kúp magasságának

egyenesét

tartalmazza

(tengelymetszet),

akkor

egyenlőszárú háromszöget kapunk (alapja az alapkör átmérője, szárai a kúp alkotói). Másként: az egyenes körkúp tengelymetszete egyenlőszárú háromszög. A szárak által bezárt szöget (φ) a kúp nyílásszögének nevezzük. Az egyenes körkúp szimmetrikus bármely, a tengelyét tartalmazó síkra. A sugár, a testmagasság és az alkotók között fennáll az r 2 + M 2 = a2 összefüggés.

Kúp térfogata: V =

térfogata tehát: V =

alapterület ⋅ magasság összefüggéssel számító ki, az egyenes körkúp 3

r2 ⋅ π ⋅ M , ahol r az alapkör sugara, M a kúp magassága. 3

Kúp felszíne: A = rπ (r + a) , ahol r az alapkör sugara, a a kúp alkotója.


TANÁRI ÚTMUTATÓ

Csonkakúp:

Ha a kúpot elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, akkor egy kisebb kúpot és egy másik testet is kapunk, amelyet csonkakúpnak nevezünk. Az alaplap és a fedőlap síkjának

távolsága adja a testmagasságot.

Csonkakúp térfogata:

Az egyenes körkúpból származtatott csonkakúp térfogata: V =

M ⋅π 2 r + r ⋅ R + R 2 , ahol 3

(

)

M a csonkakúp magassága, r a fedőkör sugara, R az alapkör sugara.

(

)

Csonkakúp felszíne: A = π ⋅ r 2 + R 2 + (r + R ) ⋅ a , ahol a a

csonkakúp alkotója, r a fedőkör sugara, R az alapkör sugara. A csonkakúp palástjának felszíne: P = (r + R )aπ .

Gömb: egy adott ponttól (a középponttól) egyenlő távolságra levő pontok halmaza a térben.

Minden síkmetszete kör, a legnagyobb területű síkmetszetet főkörnek nevezzük.

Az r sugarú gömb térfogata és felszíne: V =

4 3 ⋅ r ⋅π , A = 4 ⋅ r2 ⋅π . 3

Gömbsüveg: ha a gömböt egy síkkal metsszük, akkor gömbsüveg

keletkezik.

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

Recommend Documents