5
MODEL ADITIF VECTOR AUTOREGRESSIVE EXOGENOUS
Pendahuluan Pada model VARX hubungan peubah penjelas dengan peubah respon bersifat parametrik. Stone (1985) mengemukakan pemodelan yang bersifat fleksibel yang disebut dengan model aditif. Model aditif merupakan generalisasi dari model regresi linear berganda. Hastie & Tibshirani (1990) memperluas model aditif ini untuk keluarga eksponensial yang dikenal dengan model aditif terampat (Generalized Aditif Model/GAM). Pada model ini hubungan antara prediktor dan respon dapat bersifat parametrik maupun nonparametrik. Model aditif disebut sebagai model nonparametrik jika koefisien linier dalam persamaan model linier digantikan oleh suatu fungsi penghalus (Bashet & Bishop 2005) Satu di antara fungsi penghalus yakni fungsi spline kubik, fungsi ini dilengkapi dengan parameter penghalus (smoothing parameter) sering disebut dengan pemulusan kubik spline. Spline merupakan potongan polynomial (piecewise polynomial), yakni polinomial yang memiliki sifat tersegmen kontinu, sifat ini yang memberikan fleksibilitas lebih dari pada polinomial biasa, sehingga memungkinkan penyesuaian diri secara efektif terhadap karakteristik lokal dari fungsi atau data. Titik perpaduan bersama dari potongan-potongan tersebut merupakan titik yang menunjukkan terjadinya perubahan-perubahan bentuk dari fungsi spline pada interval yang berbeda disebut sebagai knot. Pada penelitian ini, dilakukan pengembangan model VARX dengan model aditif.
Model Aditif Secara umum model regresi linier dinyatakan seperti berikut.
(1)
54
dengan
sebagai peubah respon;
sebagai peubah prediktor;
merupakan koefisien linier; dan
sebagai galat. Analisis regresi
merupakan teknik statistik yang paling luas pemakaiannya. Perkembangan model aditif begitu pesat dalam beberapa penelitian, beberapa di antaranya dikembangkan oleh Hastie & Tibshirani (1990). Model ini dianggap lebih fleksibel, model aditif merupakan generalisasi dari model regresi linear berganda. Model aditif (Additive Model), menurut Hastie dan Tibshirani (1990), merupakan generalisasi atau bentuk pengembangan dari model linier pada persamaan (1). Sama dengan model linier, model aditif juga diasumsikan menyebar normal dengan fungsi yang tidak harus linier. Prediktor pada model aditif disebut dengan prediktor aditif. Model aditif dapat dinyatakan seperti berikut.
(2) dengan
sebagai fungsi dari prediktor; dan
sebagai galat. Menurut
Bashet dan Bishop (2005), model aditif disebut sebagai model nonparametrik jika koefisien linier penghalus
dalam persamaan (2) digantikan oleh . Dengan demikian model aditif dapat dinyatakan dalam
bentuk,
dengan
, untuk
sebagai fungsi penghalus (smooth function)
menyatakan hubungan fungsional di antara peubah respon dengan peubah prediktor dan εi merupakan galat acak. Model aditif dapat dikombinasikan sebagai model semiparametrik yang selanjutnya dinyatakan dengan,
Pengembangan dari model tersebut untuk peubah prediktor lebih dari satu seperti pada regresi berganda ke bentuk yang fleksibel dan dikenal dengan
55
model aditif (Stone 1985). Jika dimiliki data , model aditifnya dapat didefinisikan seperti berikut.
(3)
dengan sj merupakan bentuk hubungan fungsional antara peubah respon dengan peubah prediktor xj, sedangkan ε bebas stokastik terhadap peubah bebas xj, dan memenuhi E(ε) = 0, cov (ε) = σ2I. Metode pendugaan yang terkenal dalam proses pendugaan s0, s1, …, sp dari model regresi aditif pada persamaan (3) dengan suatu algoritma yang disebut sebagai algoritma backfitting. Algoritma Backfitting 1. Inisialisasi
(0) (0) ... f n 0, m 0 : f 0 E( Y ) , f1
2. Iterasi
: m m 1 untuk i 1,...,n n
Rj
Y
f0 i 1
(m)
fi
(m)
fi
( Xi )
E( R j | X j )
3. Ulangi langkah (2) sampai JKG
n
Y
f0 i 1
2 (m)
fi
( Xi )
tidak turun
atau konvergen. Algoritma Backfitting juga disebut algoritma Gauss-Seidel. Pemulusan Spline Salah satu ukuran kecocokan data untuk suatu kurva
adalah rata-rata
jumlah kuadrat residunya
Jika diberikan sembarang kurva
tanpa pembatasan suatu bentuk fungsional
tertentu, maka MSE bisa dibuat menjadi nol oleh sembarang
yang
menginterpolasi data. Kurva tersebut tidak unik dan menghasilkan kurva yang
56
kasar. Pendekatan pemulusan spline dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan tersebut. Pemulusan spline merupakan penduga kurva regresi yg diperoleh dari penyelesaian optimasi kuadrat terkecil terpenalti
dengan
sebagai parameter pemulus. Salah satu pendekatan pada masalah pengepasan spline dilakukan
dengan menggunakan knot di setiap titik. Penggunaan knot ini berpotensi mendapatkan pengepasan secara sempurna. Dugaan parameternya dapat dilakukan dengan meminimalkan jumlah kuadrat penaltinya (Rodriguez 2001). Teknik pemulusan pertama kali dikemukakan oleh Ezekiel pada tahun 1941. Pemulusan pada dasarnya merupakan suatu proses yang secara sistematik dapat menghilangkan pola data yang kasar (berfluktuasi). Pada pendugaan model aditif, proses pemulusan diperlukan untuk menduga fungsi peubah bebas tunggal. Pemulus (smoother) merupakan suatu alat untuk meringkas atau mereduksi kecenderungan (trend) peubah respon sebagai fungsi dari satu atau lebih peubah bebas (Hastie & Tibshirani 1990). Hastie dan Tibshirani (scatterplot
smoother)
seperti
(1990) mendefinisikan pemulus pencar berikut.
Misalkan
merupakan pengamatan pada peubah bebas dan
’
merupakan pengamatan pada peubah tak bebas. Diasumsikan data diurut berdasarkan x. Suatu pemulus pencar yakni pemulus yang mengambil nilai x dan y serta membentuk fungsi yˆ
gˆ ( x) . Jumlah pemulusan dikontrol dengan
ukuran lingkungan atau jendela. Semakin besar lingkungan yang digunakan, akan semakin banyak proses pemulusan yang harus dilakukan. Ada berbagai macam teknik pemulusan, yang paling sering digunakan dalam GAM, di antaranya Kubik Spline.
57
Metode Penentuan model VAR dengan ordo 1 (VAR(1)) telah dibahas pada bab 4. Ordo tersebut dipergunakan untuk menyusun model VARX. Model VARX dengan ordo p dan eksogen q (VARX(p,q)) secara umum dinyatakan
dengan
merupakan vektor dari peubah endogen, merupakan matriks, dan
eksogen,
vektor intercept,
merupakan vektor dari peubah
merupakan vektor residual. Pemulusan spline dilakukan setelah
model VARX ditambahkan dengan peubah indikator: musim hujan, musim kemarau, bulan lembab 1 dan bulan lembab 2. Secara lengkap peubah indikatornya dinyatakan pada Tabel 17. Tabel 17 Peubah kategorik musim hujan, kering dan transisi No
Kategorik
Peubah Indikator
Keterangan
1 2
Musim hujan Bulan lembab 1
1 0
0 0
0 1
0 0
3
Musim kemarau Bulan lembab 2
0
1
0
0
0
0
0
1
4
Desember, Januari-Maret April-Mei, bulan lembab ini merupakan bulan saat terjadi perubahan dari musim hujan ke musim kemarau Juni-September Oktober-November, bulan lembab ini merupakan bulan saat terjadi perubahan dari musim kemarau ke musim hujan
Jika diambil sebagai peubah indikator dasarnya pada bulan lembab 1, maka susunan modelnya menjadi,
dengan, vektor berukuran nx1 yang berisi n peubah endogen yang masuk dalam model pada waktu t dan t-i, i = 1,2,....p
58
vektor berukuran nx1 yang berisi n peubah eksogenyang masuk dalam model pada waktu t dan t-i, i = 1,2,....p vektor intersep berukuran nx1 matriks koefisien berukuran nxn untuk setiap i = 1,2,...p vektor sisaan berukuran nx1 yakni p
= ordo VAR
t
= periode amatan
;
;
dengan pengembangan fungsi spline, susunan model menjadi
Hasil dan Pembahasan Hubungan antara curah hujan di stasiun Anjatan dengan curah hujan di stasiun lainnya dalam satu wilayah (wilayah1) satu periode waktu sebelumnya, dengan SST di kawasan Nino3.4, SOI dan DMI periode waktu sebelumnya mengindikasikan adanya hubungan nonlinier. Hal yang sama juga ditunjukkan untuk wilayah lainnya. Oleh karena itu, model pada beberapa persamaan di bab 6
dapat dikembangkan dengan menambahkan suatu fungsi nonlinier. Salah
satu model yang dapat mengidentifikasi dan mengelompokkan fungsi nonlinier ini yakni model aditif. Aspek unik dari model aditif, bahwa fungsi nonparametriknya dapat diduga dengan menggunakan penghalus diagram pencar yang merupakan dasar dari algoritma model aditif.
59
Metode pemulusan yang dapat memberikan suatu hasil analisis numerik yang lebih baik yakni penghalus spline dengan algoritma backfitting (Hastie 1990). Selain itu, peubah indikator seperti yang diuraikan pada langkah penelitian ditambahkan dalam model aditif. Pengembangan pemodelan seperti ini dikatakan sebagai model aditif-VARX. Proses pemulusan dengan spline untuk curah hujan di stasiun Salam Darma di masing-masing lagnya mempergunakan knot masing-masing, dengan 4 knot dan
dengan 4 knot, masing-masing nilai GCV
(generalized cross validation) sebesar 9.62 dan 10.86. Akhirnya, diperoleh suatu model persamaan pendugaan curah hujan di stasiun Salam Darma ditunjukkan pada persamaan berikut.
(4)
dengan
,
dan
merupakan peubah indikator yang menyatakan musim
hujan musim kemarau, bulan lembab 2 (Okt-Nov, musim kemarau ke musim hujan) pendugaan parameternya ditunjukkan pada Tabel 18, yang menyatakan bahwa jika curah hujan terjadi pada bulan tertentu dan peubah indikatornya menyatakan musim hujan, lembab, dan kering, berturut-turut adanya indikator tersebut dapat menurunkan nilai curah hujan sebesar 6.56, 5.61, dan 3.86. Tabel 18 Penduga parameter model aditif-VARX curah hujan di stasiun Salam Darma Parameter Intercept Indikator Basah 0 Indikator Basah 1 Indikator Kering 0 Indikator Kering 1 Transisi2 0 Transisi2 1 Linear( ) Linear( ) Linear
Nilai Dugaan 9.954 -1.455 0 -2.403 0 -4.156 0 0.368 0.166 -0.0213
Galat Baku 2.177 0.904 . 0.965 . 0.982 . 0.078 0.072 0.567
t hitung 4.57 -1.61 . -2.49 . -4.23 . 4.71 2.28 -0.04
nilai-p <.0001 0.1087 . 0.0135 . <.0001 . <.0001 0.0232 0.97
60
Seperti halnya pendugaan curah hujan di Salam Darma, proses pemulusan dengan Spline untuk pendugaan curah hujan di stasiun Gantar juga dilakukan, untuk keperluan tersebut dipergunakan beberapa knot yakni: sebanyak 4 knot, dan
sebanyak 4 knot dan, dengan masing-masing
nilai GCV sebesar 9.62 dan 10.86. Akhirnya, diperoleh suatu model persamaan pendugaan curah hujan di stasiun Gantar seperti ditunjukkan pada persamaan berikut.
(5)
dengan
,
dan
merupakan peubah indikator yang menyatakan musim
hujan, musim kemarau, dan bulan lembab 2 (perpindahan dari musim kemarau ke musim hujan). hasil pendugaan parameter ditunjukkan pada Tabel 19. Tabel 19 menyatakan bahwa jika curah hujan terjadi pada bulan tertentu dan peubah indikatornya menyatakan musim hujan, kering, bulan lembab 2, berturut-turut akan menurunkan nilai curah hujan sebesar 3.90, 3.77, dan 1.45. Tabel 19 Penduga parameter model aditif-VARX curah hujan di stasiun Gantar Parameter Intercept Indikator Basah 0 Indikator Basah 1 Indikator Kering 0 Indikator Kering 1 Transisi2 0 Transisi2 1 Linear( ) Linear( Linear
Nilai Dugaan 7.799 -0.659 0 -0.794 0 3.108 0 0.290 0.272 -0.381
Galat Baku 2.293 0.952 . 1.016 . 1.034 . 0.082 0.076 0.597
t hitung 3.4 -0.69 . -0.78 . -3.01 . 3.52 3.57 -0.64
nilai-p 0.0008 0.4892 . 0.4356 . 0.0029 . 0.0005 0.0004 0.5242
Tabel selengkapnya untuk dugaan parameter pada peubah indikatornya untuk curah hujan di stasiun Salam Darma dan stasiun Gantar, ditunjukkan pada Tabel 20.
61
Tabel 20 Penduga parameter peubah indikator
No 1
2
Lokasi stasiun curah hujan Slm Darma
Gantar
Indikator Basah Kering Transisi2 Basah Kering Transisi2
Nilai koefisien -6.559 -5.611 -3.858 -3.902 -3.767 -1.453
Indikator Bln Basah ( ) 1 0 0 1 0 0
Indikator Bln Kering ( ) 0 1 0 0 1 0
Indikator Bln Transisi 2 Okt-Nov ( ) 0 0 1 0 0 1
Gambar 23 menunjukkan tebaran galat prediksi curah hujan di stasiun Salam Darma dan Gantar, yang nampak terlihat bahwa keduanya menyebar acak, tidak menunjukkan pola tertentu.
(b) (a) Gambar 23 Tebaran galat model curah hujan (a) stasiun Salam Darma (b) stasiun Gantar
Tebaran yang menyatakan korelasi antara curah hujan di stasiun Salam Darma dan stasiun Gantar ditunjukkan pada Gambar 24, saat dilakukan validasi model, korelasi menunjukkan nilai yang hampir sama untuk pemodelannya yakni sebesar 0.72 dan 0.73, masing-masing untuk stasiun Salam Darma dan stasiun Gantar. Hal ini berarti bahwa model pada persamaan (2) dan (3) dapat dipergunakan untuk memberikan pendugaan curah hujan.
62
(a) (b) Gambar 24 Tebaran data aktual curah hujan dengan data pendugaan (a) Salam Darma (b) Gantar Tebaran galat prediksi curah hujan di stasiun Salam Darma dan Gantar ditunjukkan pada Gambar 25, nampak terlihat bahwa keduanya menyebar acak, tidak menunjukkan pola tertentu.
(a) (b) Gambar 25 Tebaran galat model curah hujan (a) Salam Darma dan (b) Gantar Tebaran yang menyatakan korelasi antara curah hujan di stasiun Salam Darma dan stasiun Gantar ditunjukkan pada Gambar 26, saat dilakukan validasi model, korelasi menunjukkan nilai yang hampir sama untuk pemodelannya yakni sebesar 0.72 dan 0.73, masing-masing untuk stasiun Salam Darma dan stasiun Gantar.
(a) (b) Gambar 26 Tebaran data aktual curah hujan dengan data pendugaan (a) stasiun Salam Darma (b) Stasiun Gantar
63
Simpulan Berdasarkan hasil penelitian, dapat ditentukan model curah hujan VARX dan model aditif-VARX. Model VARX menghasilkan faktor-faktor dominan yang berpengaruh terhadap curah hujan di tiga pewilayahan curah hujan di Indramayu untuk wilayah 1 dipengaruhi oleh indeks osilasi selatan (SOI), untuk wilayah 2 dipengaruhi oleh indeks dipole mode (DMI) dan wilayah 3 dipengaruhi oleh SOI dan DMI. Dalam model ini, difokuskan pada model wilayah 2. Kebaikkan model diukur dari nilai korelasi dan RMSEP. Nilai korelasi model aditif-VARX untuk masing-masing stasiun Salam Darma dan Gantar yakni 0.72 dan 0.73 dan nilai RMSEP 14.04 dan 16.04. Model aditif VARX memberikan nilai korelasi yang lebih tinggi dan galat yang lebih rendah daripada model VARX.
