MODEL AUTOREGRESSIVE (AR) ATAU MODEL UNIVARIATE

MODEL AUTOREGRESSIVE (AR) ATAU MODEL UNIVARIATE Data yang digunakan adalah data M2Trend.wf1 (buku rujukan pertama, bab-8). Model analisisnya adalah Xt = M2 diregresikan dengan t = waktu. Model yang akan dicoba adalah Trend Linier, Trend Kuadratik, dan Trend Kubik. Trend Linier

:

Xt = b0 + b1t + et

Trend Kuadratik

:

Xt = b0 + b1t +b2t2 +et

Trend Kubik

:

Xt = b0 + b1t +b2t2 + b3t3 +et

1

Dependent Variable: M2 MODEL LINIER Method: Least Squares Date: 10/18/12 Time: 10:54 Sample: 1993:01 2008:09 Included observations: 189 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C WAKTU

-36797.80 8013.311

11117.95 101.4855

-3.309765 78.96016

0.0011 0.0000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0.970880 0.970724 76120.21 1.08E+12 -2391.547 0.051615

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

724466.8 444883.5 25.32854 25.36285 6234.707 0.000000

Dependent Variable: M2 MODEL KUADRATIK Method: Least Squares Date: 12/23/10 Time: 05:32 Sample: 1993:01 2008:09 Included observations: 189 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C WAKTU WAKTU^2

75572.27 4483.361 18.57868

12745.07 309.7248 1.578891

5.929529 14.47531 11.76692

0.0000 0.0000 0.0000


0.983307 0.983127 57788.30 6.21E+11 -2338.966 0.087088


724466.8 444883.5 24.78271 24.83416 5478.096 0.000000

Dependent Variable: M2 MODEL KUBIK Method: Least Squares Date: 12/23/10 Time: 05:33 Sample: 1993:01 2008:09 Included observations: 189 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

WAKTU WAKTU^2 WAKTU^3

8617.511 -33.09805 0.176765

365.7979 5.981060 0.023341

23.55812 -5.533809 7.573134

0.0000 0.0000 0.0000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood

0.984829 0.984666 55090.25 5.64E+11 -2329.929

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Durbin-Watson stat

724466.8 444883.5 24.68708 24.73854 0.095759

2

3

MODEL EXPONENTIAL SMOOTHING Model penghalusan eksponensial ini pada dasarnya bertujuan untuk mem-forecast suatu data runtun waktu dengan membentuk data baru hasil smoothing yang tidak mengandung komponen irregular (komponen yang tidak beraturan) yang ada di dalam data. Misalnya dari data spain.wf1 (buku rujukan bab 8) berisi data bulanan tentang jumlah kunjungan wisatawan ke negara Spanyol selama periode Januari 1970 sampai bulan Maret 1989. Pertama-tama, jika kita periksa grafik sebaran datanya seperti di bawah ini, menunjukkan bahwa data tersebut mengandung dua hal, yaitu (a) komponen musiman, dan (b) komponen trend. Oleh karena itu, peramalan yang sekiranya sesuai dengan sebaran data tersebut adalah model penghalusan dengan mempertimbangkan aspek musiman maupun trend tersebut. Model yang sesuai adalah model Holt-Winter, dapat dipilih Holt-Winter Additif maupun Holt-Winter Multiplicative. Model yang dipilih adalah model yang mempunyai SSE Residual (Sum of Square Error Residual) yang paling kecil nilainya.

4

Date: 10/18/12 Time: 16:59 Sample: 1970:01 1989:03 Included observations: 231 Method: HOLT-WINTERS ADDITIVE SEASONAL Original Series: SPAIN Forecast Series: SPAINSMADD Parameters:

Alpha Beta Gamma Sum of Squared Residuals Root Mean Squared Error End of Period Levels:

0.5600 0.0000 0.0000 2.69E+13 341015.2 Mean Trend Seasonals:

1988:04 1988:05 1988:06 1988:07 1988:08 1988:09 1988:10 1988:11 1988:12 1989:01 1989:02 1989:03

4277311. 11699.71 -713537.8 -485300.4 261626.6 3313852. 4253533. 859221.1 -673417.6 -1449761. -1049598. -1503747. -1575685. -1237186.

Date: 10/18/12 Time: 17:01 Sample: 1970:01 1989:03 Included observations: 231 Method: HOLT-WINTERS MULTIPLICATIVE SEASONAL Original Series: SPAIN Forecast Series: SPAINSM Parameters:

Alpha Beta Gamma Sum of Squared Residuals Root Mean Squared Error End of Period Levels:

0.6100 0.0000 0.0000 2.52E+13 330067.5 Mean Trend Seasonals:

1988:04 1988:05 1988:06 1988:07 1988:08 1988:09 1988:10 1988:11 1988:12 1989:01 1989:02 1989:03

5133597. 11699.71 0.772240 0.843371 1.090634 2.068877 2.361291 1.266770 0.779191 0.548115 0.665324 0.511930 0.486676 0.605582

HASILNYA, dengan melihat nilai SSE Residual, maka Metoda HW-Multiplicative Seasonal lebih sesuai untuk forecasting. Nilai-nilai alpha, beta dan gamma pada hasil menunjukkan bahwa Eviews menetapkan nilai yang optimal untuk masing-masing parameter tersebut.

5

Membaca hasil :

(1)

Model HW-Additif : Xt = b1 + b2 t + St + et Dimana b1 adalah konstanta, atau komponen tetap dari series b2 adalah komponen trend linier S adalah komponen atau indeks musiman e adalah komponen irregular atau random error Hasil perhitungan Eviews di atas adalah : Nilai b1 adalah nilai pada Mean, yaitu 4277311. Nilai b2 adalah nilai pada Trend, yaitu 11699.71 Sehingga forecasting trendnya adalah Tt = 4277311.+ 11699.71 t, sementara komponen musimannya adalah selisih rata-rata relatif setiap bulan terhadap nilai rata-rata yang diberikan oleh persamaan trend. Contohnya, untuk bulan ke-empat, diperoleh perbedaan sebesar -713537.8 dibanding rata-rata yang ditunjukkan oleh trend.

(2)

Model HW-Multiplicative : Xt = (b1 + b2) t .St + et Nilai b1 adalah nilai pada Mean, yaitu 5133597. Nilai b2 adalah nilai pada Trend, yaitu 11699.71 Interpretasi dari komponen musiman adalah : bahwa output yang ditampilkan menyatakan persentase rata-rata relatif setiap bulan terhadap nilai rata-rata yang diberikan oleh persamaan trend. Contoh, untuk bulan ke-4, nilainya hanya 77.2240 persen dari nilai rata-rata yang ditunjukkan oleh persamaan trend. Dpl, untuk bulan ke-4, nilainya berada pada (100-77.2240) persen, atau sama dengan 22.776 persen di bawah nilai rata-rata trend.

6

MODEL DEKOMPOSISI : SMOOTHING MOVING AVERAGE Telah kita ketahui, bahwa data runtun waktu seringkali didekomposisikan ke dalam empat komponen utama, yaitu :  Trend, yang ditandai dengan adanya bentuk penurunan atau kenaikan data dalam perubahan waktu  Musiman (seasonal), yang ditandai dengan adanya fluktuasi berulang (dan beraturan) dalam suatu kurun waktu tertentu  Siklikal (cyclical), seperti musiman, akan tetapi biasanya waktunya lebih panjang dibandingkan dengan musiman  Irregular atau tidak beraturan, ditandai dengan data yang polanya acak. Dalam kenyataannya, seringkali dekomposisi hanya dilakukan untuk komponen trend, musiman dan irregular saja. Jika suatu data dibuang komponen trend-nya, maka data itu disebut detrended. Jika yang dibuang adalah komponen musimannya, maka data itu disebut seasonal decomposition/adjustment (dekomposisi musiman). Dalam seasonal adjustment, dihitung indeks musiman yang menggambarkan variasi musiman dari data, dan menggunakan indeks tersebut untuk melakukan proses deseasonalize (seasonal adjustment) dari data, dengan membuang variasi musiman dari data. Ada banyak metoda untuk melakukan dekomposisi data runtun waktu ke dalam kelompok trend, musiman dan irregular, untuk membangkitkan data baru hasil penghapusan komponen di atas. Misalnya metoda Cencus X11, Cencus X12, TRAMO, SEATS dan lainnya. Akan tetapi, hanya akan dibahas metoda Smoothing Moving Average (SMA). Ada 2 jenis SMA, yaitu: (1) Ratio to Moving Average-Multiplicative, atau metoda perkalian terhadap rasio ratarata bergerak (2) Difference from Moving Average-Additive, atau penjumlahan terhadap selisih ratarata bergerak. Dengan menggunakan data spain.wf1 (dari buku rujukan bab 9) dapat dianalisis dengan SMA di atas melalui EViews, baik dengan Ratio to Moving Average-Multiplicative maupun dengan Difference from Moving Average-Additive. Hasilnya ada di bawah ini. Dari analisis tersebut, nilai faktor skala musiman dapat diinterpretasikan bahwa data Xt pada periode ke-j bernilai sj, dimana j = 1, 2, ......., 12. Nilai-nilai skala tersebut dapat lebih besar (positif) atau sebaliknya lebih kecil (negatif) dibandingkan dengan data hasil penghapusan nilai musiman. Sementara itu, nilai hasil penghapusan musiman akan diperoleh dengan nama spainsa. Jika spain (nilai murni data) dan spainsa (nilai seasonal adjustment) disandingkan, akan diperoleh grafik plot seperti gambar dibawah.

7

Date: 10/18/12 Time: 19:53 Sample: 1970:01 1990:03 Included observations: 231 RATIO TO MOVING AVERAGE Original Series: SPAIN Adjusted Series: SPAINSA

Date: 10/18/12 Time: 19:55 Sample: 1970:01 1990:03 Included observations: 231 DIFFERENCE FROM MOVING AVERAGE Original Series: SPAIN Adjusted Series: SPAINSA

Scaling Factors:

Scaling Factors:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.594104 0.563139 0.689676 0.894627 0.966269 1.246731 2.376233 2.716069 1.459378 0.888186 0.629766 0.763280

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-1513510. -1596436. -1272544. -715367.3 -498704.7 258424.5 3316645. 4260754. 870605.7 -679196.3 -1407135. -1023535.

8

MODEL ARIMA (BOX-JENKINS METHOD) Model ARIMA pada dasarnya merupakan model yang sangat populer dalam analisis forecasting, karena menggabungkan antara AR (autoregressive) dan MA (Moving Average) secara terintegrasi, I (integrated), sehingga dinamakan model Autoregressive integrated Moving Average. Model dasarnya adalah :  Autoregressive (AR) : Yt – d = a1 (Yt-1 – d) + et, dimana d adalah rata-rata (mean) dari Y dan e adalah error term. Persamaan ini adalah AR ordo 1.ini memberi arti bahwa nilai Y dipengaruhi oleh nilai itu pada satu periode sebelumnya. Untuk persamaan AR ordo 2, maka persamaannya adalah Yt – d = a1 (Yt-1 – d) + a2 (Yt-2 – d) + et. Persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa nilai Y dipengaruhi oleh nilai Y itu pada dua periode sebelumnya. Dan seterusnya...dimana Yt adalah ordo ke-p dari autoregressive, atau ditulis dengan AR (p).  Moving Average (MA) : Yt = u + b0 Ut + b1 Ut-1, dimana u adalah konstanta (disebut white noise stochastic error term). Dalam persamaan tersebut, Y periode ke t dipengaruhi oleh suatu konstanta, ditambah dengan rata-rata bergerak (MA) saat t dan periode t-1 dari error term. Persamaan tersebut disebut dengan First Order Moving Average, atau MA Ordo 1. Untuk MA Ordo 2, dapat dituliskan : Y t = u + b0 Ut + b1 Ut-1 + b2 Ut-2. Persamaan umumnya adalah : Yt = u + b0 Ut + b1 Ut-1 + b2 Ut-2 + ........+ bq Ut-q. Sehingga Yt adalah merupakan Moving Average ordo ke-q, atau ditulis MA(q).  ARMA atau Autoregressive Moving Averages adalah nilai Y yang bisa saja mempunyai karakter dari persamaan AR maupun MA, sehingga disebut ARMA. Jika Y mengikuti proses ARMA (1), maka persamaannya adalah : Yt = u + a1 Yt-1 + b0 Ut + b1 Ut-1 . Dimana u adalah constant term. Secara umum, ARMA ditulis dengan ARMA (p,q), yaitu ARMA dengan AR ordo p dan MA ordo q.  ARIMA (Autoregressive Integreted Moving Average). Pada kenyataannya, data time series sering nilai rataan (mean) dan variansnya tidak stasioner. Data yang demikian disebut data yang terintegrasi. Integrasi data bisa pada ordo-1, ordo 2 dan seterusnya. Misalnya data time series terintegrasi pada ordo-1 (ditulis I(1)), dapat saja pada first-difference-nya stasioner, atau I(0). Secara umum, jika terdapat data time series I(d), maka setelah didiferensiasikan pada d periode akan diperoleh data time series yang stasioner, atau I(0). Oleh karena itu, jika kita harus membedakan sebuah data time series d periode untuk membuat stasioner dan mengaplikasikan ARMA (p,q) pada persamaan tersebut, maka sebenarnya kita telah mengaplikasikan ARIMA (p,d,q), dimana p adalah jumlah Autoregressive, d adalah jumlah data time series yang harus dideferensiasikan sebelum data tersebut stasioner, dan q adalah jumlah Moving Average.

9

LANGKAH-LANGKAH ARIMA (1) Uji stasioneritas data, yang digunakan untuk melihat apakah data mengandung akar unit (unit root) atau tidak. Unit root adalah suatu komponen trend yang bersifat random-walk. (2) Menentukan Ordo dari AR-MA (3) Menentukan Model Terbaik (4) Peramalan atau Forecasting. Kita ambil contoh data wpi.wf1 (dari buku rujukan, bab 10). 1. Plot Data. Plot data yang dibuat di bawah ini menunjukkan bahwa data memiliki bentuk trend, sehingga bersifat non-stasioner dalam nilai tengah (mean).

2. Uji stasioneritas data : dilakukan dengan menguji akar unit dengan Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) yang menguji apakah ada akar unit atau tidak. Atau dapat digunakan Plot ACF/PACF (Autocorrelation Function/Partial-ACF). 

Hasil Uji ADF menunjukkan bahwa statistik uji ADF yang kurang negatif dengan probabilitas tidak nyata dibandingkan daerah kritis menunjukkan adanya akar unit, sehingga data tidak stasioner.



Plot ACF/PACF juga menunjukkan bahwa plot ACF meluruh menuju angka nol, berarti data tidak stasioner.

10

Null Hypothesis: WPI has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 3 (Fixed) Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level

t-Statistic

Prob.*

-2.310920 -4.036310 -3.447699 -3.148946

0.4245

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(WPI) Method: Least Squares Date: 10/18/12 Time: 21:20 Sample(adjusted): 1961:1 1990:4 Included observations: 120 after adjusting endpoints Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

WPI(-1) D(WPI(-1)) D(WPI(-2)) D(WPI(-3)) C @TREND(1960:1)

-0.019003 0.452244 0.060685 0.227646 0.239232 0.018437

0.008223 0.093444 0.102211 0.096039 0.164189 0.007134

-2.310920 4.839716 0.593725 2.370363 1.457055 2.584508

0.0226 0.0000 0.5539 0.0194 0.1479 0.0110


0.487254 0.464765 0.721230 59.29974 -127.9794 1.971057


0.712500 0.985829 2.232990 2.372365 21.66645 0.000000

11

Date: 10/18/12 Time: 21:24 Sample: 1960:1 1992:4 Included observations: 124 Autocorrelation .|******** .|*******| .|*******| .|*******| .|*******| .|*******| .|*******| .|*******| .|****** | .|****** | .|****** | .|****** | .|****** | .|****** | .|***** | .|***** | .|***** | .|***** | .|***** | .|***** | .|**** | .|**** | .|**** | .|**** | .|**** | .|*** | .|*** | .|*** | .|*** | .|*** | .|** | .|** | .|** | .|** | .|** | .|* |

Partial Correlation .|******** .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. | .|. |

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

AC

PAC

Q-Stat

Prob

0.982 0.964 0.947 0.928 0.909 0.889 0.869 0.848 0.828 0.807 0.787 0.767 0.746 0.726 0.705 0.684 0.664 0.643 0.622 0.599 0.575 0.551 0.526 0.501 0.475 0.449 0.422 0.395 0.368 0.340 0.313 0.285 0.257 0.228 0.200 0.171

0.982 0.004 -0.011 -0.041 -0.015 -0.030 -0.040 -0.007 0.004 -0.020 -0.007 -0.004 -0.018 -0.023 -0.014 -0.004 -0.011 -0.022 -0.030 -0.051 -0.049 -0.019 -0.034 -0.025 -0.028 -0.031 -0.033 -0.029 -0.021 -0.027 -0.021 -0.029 -0.032 -0.034 -0.032 -0.037

122.48 241.59 357.33 469.45 577.94 682.67 783.42 880.27 973.39 1062.7 1148.4 1230.4 1308.8 1383.6 1454.9 1522.6 1587.0 1647.9 1705.4 1759.3 1809.4 1855.9 1898.7 1937.9 1973.5 2005.6 2034.2 2059.6 2081.8 2101.0 2117.5 2131.3 2142.6 2151.6 2158.6 2163.8

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3. TRANSFORMASI DATA DAN IDENTIFIKASI MODEL Karena data mempunyai komponen trend, maka harus ditransformasikan dengan tujuan membuang komponen trend. Caranya dengan diferencing terhadap data. (dari beberapa kali diferencing, ternyata yang paling baik adalah dengan lebih dulu mentransformasikan data ke nilai logaritmis, kemudian didiferencing ordo-1). Plot datanya seperti di bawah, stasioner.

12

4. ALTERNATIF MODEL dengan data Logaritmis ordo-1.      

Model 1 : AR(1) Model 2 : AR(2) Model 3 : AR (4) Model 4 : ARMA (1,1) Model 5 : ARMA (1,2) Model 6 : ARMA (2,2)

Dependent Variable: DLOGWPI MODEL 1 Method: Least Squares Date: 10/18/12 Time: 21:56 Sample(adjusted): 1960:3 1990:4 Included observations: 122 after adjusting endpoints Convergence achieved after 2 iterations Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

AR(1)

0.762673

0.060359

12.63572

0.0000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Inverted AR Roots

0.321243 0.321243 0.011880 0.017077 368.2059


0.010884 0.014420 -6.019769 -5.996785 2.460522

.76

13


Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

AR(1) AR(2)

0.522604 0.321093

0.087506 0.087858

5.972201 3.654686

0.0000 0.0004

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Inverted AR Roots

0.385997 0.380838 0.011348 0.015324 371.2423 .89


0.011000 0.014422 -6.103178 -6.056967 2.069713

-.36


Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

AR(1) AR(2) AR(4)

0.445201 0.197000 0.257333

0.088919 0.094828 0.083990

5.006830 2.077449 3.063864

0.0000 0.0400 0.0027


0.428452 0.418598 0.011048 0.014159 368.8179


0.011158 0.014490 -6.148199 -6.078137 1.932774

Dependent Variable: DLOGWPI MODEL 4 Method: Least Squares Date: 10/18/12 Time: 22:00 Sample(adjusted): 1960:3 1990:4 Included observations: 122 after adjusting endpoints Convergence achieved after 7 iterations Backcast: 1960:2 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

AR(1) MA(1)

0.952465 -0.528463

0.034832 0.093137

27.34422 -5.674026

0.0000 0.0000


0.418510 0.413664 0.011042 0.014630 377.6407


0.010884 0.014420 -6.158044 -6.112077 1.951841

14

Dependent Variable: DLOGWPI MODEL 5 Method: Least Squares Date: 10/18/12 Time: 22:01 Sample(adjusted): 1960:3 1990:4 Included observations: 122 after adjusting endpoints Convergence achieved after 9 iterations Backcast: 1960:1 1960:2 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

AR(1) MA(1) MA(2)

0.953931 -0.521185 -0.015687

0.036229 0.099659 0.097816

26.33040 -5.229706 -0.160371

0.0000 0.0000 0.8729

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Inverted AR Roots Inverted MA Roots

0.418642 0.408872 0.011087 0.014627 377.6546 .95 .55


0.010884 0.014420 -6.141879 -6.072928 1.968701

-.03

Dependent Variable: DLOGWPI MODEL 6 Method: Least Squares Date: 10/18/12 Time: 22:03 Sample(adjusted): 1960:4 1990:4 Included observations: 121 after adjusting endpoints Convergence achieved after 36 iterations Backcast: 1960:2 1960:3 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

AR(1) AR(2) MA(1) MA(2)

-0.035015 0.937037 0.471853 -0.491014

0.047516 0.047909 0.103161 0.101924

-0.736919 19.55889 4.573949 -4.817464

0.4626 0.0000 0.0000 0.0000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Inverted AR Roots Inverted MA Roots

0.435722 0.421253 0.010971 0.014083 376.3516 .95 .50


0.011000 0.014422 -6.154572 -6.062149 1.895350

-.99 -.98

5. MENENTUKAN MODEL TERBAIK Tugas anda untuk menentukan, dari ke-6 model dugaan tersebut, model mana yang terbaik sebagai peramalan?

15

MODEL AUTOREGRESSIVE (AR) ATAU MODEL UNIVARIATE

Recommend Documents