3. VÁLTAKOZÓ ÁRAM A mérés célja: egy könnyen megvalósítható modellen, a soros váltóáramú rezgőkörön tanulmányozni a rezonancia jelenségét, amely a vegyészmérnöki gyakorlatban is sokszor előfordul (mechanikus rezgések gépeken, spektroszkópiai módszerek, adatátvitel).
3.0. Elméleti anyag: Rezgőkörök Gyakran előfordul, hogy egy váltóáramú hálózat eredő impedanciájának az abszolút értéke a frekvencia függvényében szélsőértéken megy át. A két legnevezetesebb a soros és a párhuzamos rezgőkör: R
C
L
R
L C
Soros rezgőkör
Párhuzamos rezgőkör
A soros rezgőkör komplex impedanciája és abszolút értéke: i Z! = R + iωL − , ωC
1 2 Z = R + ωL − ωC
2
(3.1)
Az impedancia a körfrekvencia függvénye, Z(ω)-nak az
ω0 =
1 LC
(Thomson-formula)
(3.2)
körfrekvencián minimuma van, mivel Z! képzetes része ekkor zérus. Így ω0-nál az impedancia valós, és az ohmos ellenállással, R-rel egyenlő. A ν0 = ω0 / 2π frekvencia az áramkör rezonanciafrekvenciája. Konstans feszültség mellett ennél a frekvenciánál az áram maximumon megy át, ezért a jelenséget áramrezonanciának nevezzük. Párhuzamos rezgőkörnél az admittanciát érdemes kiszámítani: 1 ! 1 i =Y= − + iωC , !Z R ωL
Y=
2
1 + ωC − , 2 ωL R 1
ω0 =
1 LC
(3.3)
Z(ω)-nak az ω0 helyen maximuma van, értéke R. Állandó áram esetén a feszültség megy át maximumon, ez a feszültségrezonancia. A rezonancia élességét a jósági tényezővel jellemezzük. Soros rezgőkör esetén ez az egyes reaktanciák és az ohmikus ellenállás hányadosa:
Q=
Lω 0 1 1 L , = = R R ω 0C R C
(3.4)
melyet számolhatunk a rezonanciagörbéből is:
Q=
ω0 , ω2 − ω1
(3.5)
51
ahol ω1 és ω2 az a két körfrekvencia, amelynél az áramerősség a maximális érték 2 -edére csökken (ld. 3.1. ábra) állandó feszültség mellett. Ez azt jelenti, hogy itt az eredő impedancia 2 -szerese a rezonanciafrekvencián fellépő impedanciának, R-nek, vagyis ekkor az eredő reaktancia abszolút értéke megegyezik az ohmikus ellenállással:
1 − Lω1 = R ω1C
és
Lω 2 −
1 =R . ω 2C
Felhasználva, hogy Lω0 = 1/ω0C,
ω 0 2L − Lω1 = R ω1
és
Lω 2 −
ω 0 2L =R . ω2
ω1-gyel ill. ω2-vel szorozva és a két egyenletet összeadva
(ω12 - ω22) L = (ω1 - ω2) (ω1 + ω2) L = (ω1 + ω2) R,
(ω1 - ω2) L = R,
amivel Q = Lω0/R = ω0 / (ω2 - ω1). Az ω1 ill. ω2 körfrekvenciákon a rezgőkör által felvett teljesítmény a rezonanciafrekvencián felvett maximális teljesítménynek éppen a fele: 2
I max I max 2 R Pmax = = R 2 2 2
P(ω1) = P(ω2) = I(ω1)2 R = I(ω2)2 R =
3.1. Eszközök Kondenzátor: Jó közelítéssel ideálisnak tekinthető (azaz nincs ohmikus ellenállása). Kényelmi okokból egy plexi dobozba szereltük és banánhüvely kivezetésekkel láttuk el. Tekercs: Fénycsőelőtétként használt vasmagos tekercs. Reális tekercsként viselkedik, azaz van ohmikus ellenállása. Ez két részből tevődik össze: a rézveszteségből, vagyis a tekercset alkotó rézhuzal ellenállásából (néhány Ω), és a vasveszteségből, ami abból származik, hogy a váltóárammal átjárt tekercs vasmagján energia disszipálódik, más szóval a vasmag melegszik. Ez utóbbi is modellezhető ohmikus ellenállással, ami többek között függ a vasmag anyagi minőségétől, geometriai elrendezésétől, a frekvenciától és az áramerősségtől, nagyságrendje fél kΩ. Analóg univerzális műszer: Áram-, feszültség- és esetleg ellenállásmérésre alkalmas. Általános szabály, hogy egy műszert mindig a legnagyobb méréshatárba kötünk be, majd fokozatosan csökkentjük a méréshatárt a mérendő értéknél nagyobb legkisebbig. Digitális univerzális műszer: A megfelelő méréshatár és üzemmód beállítása után (ezekre a fentiek értelemszerűen vonatkoznak) a mérési eredményt digitális formában kijelzi. Voltmérőként a bementi ellenállása több MΩ (a bemeneten általában egy FET, field effect transistor található, erre jellemző a megadott érték), így jól közelíti az ideális műszert. Függvénygenerátor: Különböző jelalakú és frekvenciájú váltófeszültség előállítására szolgál. Amikor szinuszos kimenetet használunk, hanggenerátorként fogunk rá hivatkozni. Fontosabb kezelőszervei: a hálózati kapcsoló, a frekvencia beállítására való tartományváltó és finomszabályozó gombok, a frekvencia digitális kijelzője, a jelalakváltó gomb és végül a kimenőfeszültség amplitúdóját szabályozó gombok. A készülék nem ideális feszültséggenerátor abban az értelemben, hogy kapocsfeszültsége megváltozik, ha a terhelést vagy a frekvenciát megváltoztatjuk. A szabályozható kimenőfeszültség azonban lehetőséget nyújt arra, hogy a rezgőkörön konstans feszültséget tartsunk a rezonanciagörbe felvételénél. A fenti eszközöket műszerzsinórokkal kötjük össze. A mérési adatokat a mérésvezető által kiosztott táblázatba írjuk.
52
Mérések 3.2. Soros rezgőkör rezonanciagörbéjének mérése I
U = konst.
Imax
UL
Imax 2
I ULC
ν1 ν0
ν2
UC
n
3.1. ábra. Soros rezgőkör rezonanciagörbéje
3.2. ábra. Soros rezgőkör vektorábrája
0. Összeállítjuk a 3.3. ábra szerinti kapcsolást. Gondolva a későbbiekre, a voltmérőt kötjük be utoljára, úgy, hogy a teljes rezgőkörön, vagyis a kondenzátor és a tekercs soros eredőjén eső feszültséget mérjük vele. Mielőtt az áramkörre rákapcsolnánk a feszültséget, ellenőriztetni kell a mérésvezetővel!
C
L, RL
V
~
ν
U
A
I
3.3. ábra. Soros rezgőkör kapcsolási rajza
1. Tájékozódás céljából közelítőleg meghatározzuk a rezonanciafrekvenciát: a hanggenerátoron maximális amplitúdót állítunk be, az ampermérőn keresünk egy alkalmas méréshatárt, majd folyamatosan növelve a frekvenciát 25 Hz-től indulva, az ampermérőn árammaximumot keresünk. Eközben értelemszerűen váltunk méréshatárt ill. frekvenciatartományt. A maximumhely a közelítő rezonanciafrekvencia (azért csak közelítő, mert a feszültséget nem szabályoztuk). 2. Kiválasztjuk a rezonanciagörbe felvételénél alkalmazandó konstans feszültséget: leolvassuk a közelítő rezonanciafrekvencián maximális generátoramplitúdó mellett a rezgőkörön eső feszültséget, és ennek kb. a 2/3-ánál egy tetszőleges értéket választunk. A rezonanciagörbe felvételekor mindig ezt fogjuk beállítani, és attól lesz konstans, hogy mindig ugyanazt állítjuk be. 3. Felvesszük a rezonanciagörbét: 5-8 mérési pontban a) kiválasztjuk a frekvenciát, b) beállítjuk a konstans feszültséget, c) leolvassuk az áramerősséget. Ügyeljünk arra, hogy a mérési pontok alapján megrajzolt rezonanciagörbéből a rezonanciafrekvencia 5 Hz pontossággal, valamint a jósági tényező meghatározható legyen. Ez más szavakkal azt jelenti, hogy a rezonanciaponttól legfeljebb 5 Hz távolságra jobbra és balra legyen egy-egy mérési pont, továbbá a rezonanciapontban mért áramerősség 2 -e alatt kevéssel legyen egy-egy mérési pont a rezonanciafrekvenciánál kisebb és nagyobb frekvenciák irányába is (3.1.ábra).
3.3. Soros rezgőkör áramköri jellemzőinek mérése Állítsunk be a maximális amplitúdó 2/3-a környékén egy tetszőleges értéket a hanggenerátoron, és ezt a továbbiakban már ne változtassuk. Sorban be fogunk állítani három különböző frekvenciát: 0,8·ν0, ν0, 1,2·ν0 , értelemszerűen kerekítve a legközelebbi, a hanggenerátoron beállítható értékre. Ezután minden egyes frekvenciánál
53
a) a voltmérőt a kondenzátor sarkaira kötjük, leolvassuk az áramerősség (I1) és a kondenzátoron eső feszültség (UC) értékét; b) a voltmérőt a tekercsre kötve leolvassuk I2-t és UL-et; c) a voltmérőt a kondenzátor és a tekercs soros eredőjére kötve leolvassuk I3-at és UCL-t. Ezekből az adatokból meg tudjuk határozni a kondenzátor kapacitását, a tekercs induktivitását, és meg tudjuk szerkeszteni az áramkör vektorábráját. Ideális voltmérőt feltételezve, egy adott frekvencián I1, I2 és I3 teljesen azonos lenne. A közöttük megfigyelhető kis különbségek mutatják a voltmérő befolyását.
3.4. Impedancia abszolút értékének mérése RC körben
C R Összeállítjuk a 3.4. ábra szerinti kapcsolást, vagyis a tekercset kicseréljük egy ellenállásra. Öt különböző frekvenciát fogunk beállítani: 300, 600, 1000, 1500 és 2100 U V Hz. Minden egyes frekvencián: a) a voltmérőt a kondenzátor sarkaira kötve megmérjük I n A ~ UC-t és I1-et; b) a voltmérőt az ellenállás sarkaira kötve megmérjük UR3.4. ábra. et és I2-t; Áramkör impedancia méréséhez c) a voltmérőt a kondenzátor és az ellenállás soros eredőjére kötve megmérjük URC-t és I3-at. Ezeknek az adatoknak a segítségével az impedanciák abszolút értékének frekvenciafüggését fogjuk vizsgálni. 3.5. Feladatok 1. Milliméterpapíron megrajzoljuk a rezonanciagörbét. 2. A rezonanciagörbéből megállapítjuk a rezonanciafrekvenciát (ν0), a jósági tényezőt és a tekercs ohmikus ellenállását: ν0
Q=
RL =
,
ν2 − ν1
U I max
3. A 3.3. pontban a rezonanciafrekvencián mért adatokból kiszámítjuk a kapacitást és az induktivitást. A kondenzátort ideálisnak tekintjük, a tekercsnél figyelembe vesszük annak ohmikus ellenállását, de azt konstansként közelítjük: C=
I1 ω⋅ U C
2
U L L = ⋅ ω I2
− R 2L
1
,
4. A fenti értékek felhasználásával egy másik módon is kiszámítjuk a rezonanciafrekvenciát és a jósági tényezőt, majd egybevetjük a rezonanciagörbéből kapottakkal: ν′0 =
1 2π
⋅
1 LC
,
Q′ =
1 RL
⋅
L C
5. A 0,8ν0, ν0, 1,2ν0 frekvenciákon mért adatok felhasználásával mindhárom esetben megszerkesztjük az áramkör vektorábráját az alábbi feltételezésekkel: a voltmérő és a kondenzátor ideális, a tekercs reális, vagyis impedanciájának fázisa 0 és π/2 közé esik. A vektorábrában az áramok és feszültségek effektív értékének (ezeket mértük) a vektorok hosszát, fázisának a vektorok irányát feleltetjük meg. Sorosan kapcsolt áramköri elemeken a feszültségek összegződnek, ez a vektorábrában a feszültségvektorok vektori összegzését jelenti. Először felvesszük a közös áramvektort (sorosan kapcsolt elemeken ugyanaz az áram folyik), majd erre merőlegesen lefelé a kondenzátor feszültségét (a kondenzátoron a feszültség az áramhoz képest 90°-ot késik). Az
54
U C + U L = U LC összeg egy vektorháromszög, amelynek alapja az UC vektor, az ezzel szemben fekvő csúcsa pedig meghatározza UL és ULC fázisát (3.2. ábra, háromszög szerkesztése három ismert oldalból). 6. A 3.4. pontban mért adatok felhasználásával minden egyes frekvencián kiszámítjuk a kondenzátorra, az ellenállásra és a kettő eredőjére az impedancia abszolút értékét: ZC =
UC I1
ZR =
,
UR I2
,
Z RC =
U RC I3
,
majd közös grafikonban, milliméterpapíron, ábrázoljuk őket a frekvencia függvényében.
3.6. Mintapéldák 1) Hogyan mérhetnénk meg egy tekercs induktivitását? Tételezzük fel, hogy rendelkezünk a szükséges, ideálisnak tekinthető eszközökkel!
Megoldás:
U
V
U = ωL ⋅ I
L n
L=
I
~
A
3.5. ábra
U ωI
Ha például a generátor frekvenciája 50 Hz, a mért feszültség 12 V és az áram 2 A, akkor az induktivitásra 19,1 mH adódik.
2) Mekkora áram folyik a 3.6. ábrán látható hálózat generátorán keresztül?
2 mF
2 µΦ 1 µΦ
1H 0,3 H
0,7 H
~
12 V, 1000 s-1
Megoldás: A hídágban lévő párhuzamos rezgőkör rezonanciában van, így rajta nem folyhat át áram. A felső ágban az eredő kapacitás 1 µF, az alsóban az eredő induktivitás 1 H. Ezek ismét egy rezonáns párhuzamos rezgőkört alkotnak, így a főágban sem folyik áram.
3.6. 〈 βρα
3.7. A bemutató anyaga 1) Az oszcilloszkóp CH.
U t
x
A
K
U
E
HOR.IN.
3.7. ábra. A: anód, K: katód, E: ernyő, CH. és HOR.IN.: függőleges és vízszintes eltérítő bemenetek
55
t
Az oszcilloszkóp lelke egy katódsugárcső (3.7. ábra). Az evakuált üvegcsőben a K fűtött katódról elektronok lépnek ki, ezeket az anódfeszültséggel gyorsítjuk. Az A anódon levő résen egy elektronnyaláb tud áthatolni, amelyet vízszintes és függőleges irányban eltéríthetünk elektromos vagy mágneses terek, azaz kondenzátorok vagy tekercsek segítségével. Az E ernyőre becsapódó elektronok fényfelvillanást okoznak. Ha a vízszintes eltérítő egységre fűrészjelet, a függőlegesre pedig periodikus feszültségjelet kapcsolunk (az oszcilloszkóp elektronikája gondoskodik arról, hogy ezek szinkronban legyenek), a képernyőn megjelenik a vizsgált rezgés képe. A vízszintes tengely időre, a függőleges feszültségre van kalibrálva, így az U(t) függvény minden részlete kimérhető. 2) Párhuzamos rezgések összetétele Kétcsatornás oszcilloszkópon lehet képezni két külön bemenőjel összegét. Legyen y 1 = A 1 sin ω1 t ,
Ha A 1 = A 2 = A ,
y 2 = A 2 sin ω 2 t ,
ω1 ≈ ω 2 , akkor az összeg
ω1 − ω 2 ω1 + ω 2 y 1 + y 2 = 2 A ⋅ cos t ⋅ sin t 2 2
az összetevőkkel közel azonos frekvenciájú, melynek amplitúdója nagyon lassan változik. A hangtanban a jelenséget lebegésnek hívják. 3) Merőleges rezgések összetétele Ha a belső fűrészrezgés helyett egy külső rezgést kapcsolunk az oszcilloszkóp vízszintes eltérítő bemenetére, a függőleges eltérítő bemenetére pedig egy második külső rezgést adunk, a képernyőn a két rezgés merőleges eredőjét tanulmányozhatjuk. A matematikai probléma az x = A x ⋅ sin ωx t ,
(
)
y = A y ⋅ sin ωy t + ϕ ,
ω x = k ⋅ ωy
paraméteres függvény ábrázolása. Ha k racionális szám, zárt görbéket kapunk, ezeket LISSAJOUSgörbéknek nevezzük. Alakjuk Ay/Ax-től, k-tól és ϕ-től függ. Az összetevő frekvenciák arányát a vízszintes ill. függőleges érintési pontok arányából olvashatjuk le. 4) Periodikus függvények A függvénygenerátorok nemcsak szinuszos, hanem más, pl. háromszög- vagy négyszögjelet is elő tudnak állítani. Mint ismeretes, minden integrálható periodikus függvény Fourier-sorba fejthető: 2π y t+ = y( t) ω0 y( t) =
1 2
a0 +
∞
∑( ak coskω0 t+ bk sin kω0 t) k=1
Így egy nem szinuszos periodikus jel felfogható összetett jelként, vagyis szinuszjelek összegeként. 5) Sávszűrők Az y(t) összetett jelből a sáváteresztő szűrő (3.8. ábra) csak a rezonanciafrekvencia környékét engedi át. A sávvisszatartó szűrő (3.9. ábra) pedig mindent átenged, kivéve a rezonanciafrekvencia környékét. Az y*(t) kimenőjelet a változtatható ellenállás sarkairól vezethetjük el. Ha R-et növeljük, nő a kimenőjel amplitúdója, de csökken a szűrés szelektivitása.
56
R
y(t)
y*(t)
R
y(t)
3.8. ábra. Sáváteresztő szűrő
y*(t)
3.9.ábra. Sávviszatartó szűrő
R
C y*(t)
R
y(t)
y(t)
y*(t)
C
3.10. ábra. Alulvágó szűrő
3.11.ábra. Felülvágó szűrő
A 3.10. és 3.11. ábrákon látható kapcsolások és kisfrekvenciás négyszögjel segítségével a kondenzátor exponenciális feltöltődését és kisülését figyeljük meg. Szűrőként a kondenzátor impedanciájának frekvenciafüggését hasznosítják. Ha XC>>R, az alulvágó szűrő derivátorként, ha R>>XC, a felülvágó szűrő integrátorként működik: Q = U ⋅C ,
I= C ⋅
dU dt
U=
,
1 C
∫
⋅ Idt
6) Hiszterézisgörbe Ferromágnenses anyagoknál a B = µ·H közelítés nem kielégítő, szükség van a B-H reláció részletes ismeretére. B nemcsak H pillanatnyi értékétől függ, hanem H korábbi értékeitől is: ez a hiszterézis jelensége. A rendelkezésünkre álló tekercseknél a telítés eléréséhez mintegy 100 V szükséges, ezt a T1 toroid transzformátorral állítjuk elő. A T2 és T3 illesztő transzformátorokra azért van szükség, hogy az oszcilloszkóp bemeneti földelésein keresztül ne jöhessen létre rövidzár. R1 áram-feszültség, R2 feszültség-áram átalakító, C pedig integrátor. A T3 transzformátor vasmagjának hiszterézisét tanulmányozzuk az oszcilloszkóp képernyőjén. R1 U1
T2 T1
HOR.IN.
T3 R2
N A l
220 V ~
N
C
U2
CH.
3.12. ábra. Kapcsolás hiszterézisgörbe bemutatásához
H=
N ⋅I l
U 1 = R 1 ⋅ I⋅ k ,
,
U 3 = −N ⋅
dΦ dt
= −A N ⋅
dB dt
,
U2 =
1 R 2C
∫
⋅ U 3dt,
H = U1 ⋅
N R 1lk
B = −U 2 ⋅
R 2C AN
Itt k a T2 transzformátor menetszámarányától és a potenciométer állásától függő konstans, U3 pedig a T3 transzformátor szekunder feszültsége. Tehát az oszcilloszkóp vízszintes eltérítő bemenetére a H mágneses térrel, függőleges eltérítő bemenetére a B mágneses indukcióval arányos feszültséget vezetünk.
57
