© 2015 by Guntur Maulana Muhammad. All rights reserved.
SISTEM LINGKARAN
PROYEK Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung
oleh
GUNTUR MAULANA MUHAMMAD NIM: 90112301 (Program Studi Magister Pengajaran Matematika)
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2015
SISTEM LINGKARAN
SYSTEM OF CIRCLE
PROYEK Guntur Maulana Muhammad 90112301
PROGRAM STUDI MAGISTER PENGAJARAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2015
ABSTRAK
SISTEM LINGKARAN Oleh Guntur Maulana Muhammad NIM : 90112301 Lingkaran merupakan salah satu contoh objek geometri. Misal terdapat suatu titik O dan suatu r bilangan riil nonnegatif. Sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r adalah himpunan titik-titik P sedemikian sehingga jarak dari titik O ke titik P adalah r. Suatu lingkaran C dapat ditulis secara aljabar, yaitu C (X, Y ) = X 2 + Y 2 + 2gX + 2f Y + e = 0 dengan syarat g 2 + f 2 − e ≥ 0 dan lingkaran lain C 0 dapat ditulis sebagai C 0 (X, Y ) = X 2 +Y 2 +2g 0 X +2f 0 Y +e0 = 0 dengan syarat g 02 + f 02 − e0 ≥ 0 . Suatu lingkaran dapat dihasilkan dari kombinasi dua lingkaran berbeda dengan persamaan λC + µC 0 = 0, untuk suatu λ dan µ ∈ R. Dua lingkaran dasar C dan C 0 yang dikombinasikan disebut lingkaran pembangkit (generator ). Terdapat tiga kemungkinan dari kombinasi dua buah lingkaran: lingkaran, garis, atau kosong. Lingkaran-lingkaran yang dihasilkan dari dua lingkaran pembangkit akan mempunyai sifat yang sama. Himpunan lingkaran-lingkaran tersebut membentuk suatu sistem lingkaran yang disebut pensil lingkaran. Berdasarkan hubungan dua lingkaran pembangkitnya, terdapat tiga jenis pensil lingkaran: pensil hiperbolik (lingkaran pembangkit tidak berpotongan), pensil elliptik (lingkaran pembangkit berpotongan di dua titik), dan pensil parabolik (lingkaran pembangkit bersinggungan). Ketiga jenis pensil tersebut dinamakan pensil hiperbolik, pensil elliptik dan pensil parabolik karena terdapat berkas hiperbola, ellips, atau parabola pada masing-masing pensil tersebut.
Kata kunci: sistem lingkaran, pensil llingkaran, pensil hiperbolik, pensil elliptik, pensil parabolik.
ii
ABSTRACT
SYSTEM OF CIRCLE By Guntur Maulana Muhammad NIM : 90112301 Circle is an object of geometry. Given a point O and a nonnegative real number r, the circle with center O and radius r is defined to be the set of all points P such that the distance from O to P is r. In algebra, we can write a circle as the following equation. Suppose C (X, Y ) = X 2 + Y 2 + 2gX + 2f Y + e = 0 with g 2 + f 2 − e ≥ 0 and C 0 (X, Y ) = X 2 + Y 2 + 2g 0 X + 2f 0 Y + e0 = 0 with g 02 + f 02 − e0 ≥ 0 are two distinct circles. A circle can be produced from combination of two distinct circles with the expression λC + µC 0 = 0, for any λ and µ ∈ R. Two basic circles C and C 0 which are combined are called generator circles. There are three possibilities from the combination of two distinct circles: circle, line, or empty. The circles that are produced by two generators will have the same characteristic as with the generators’. The set of the circles forms a system of circle that is called pencil of circle. Based on two generators’ positions, there are three kinds of pencil of circles: hyperbolic pencil (two generators that do not intersect each other at any point), elliptic pencil (two generators that pass through each other in exactly two points), and parabolic pencil (two generators are tangent to each other at a single point). The three kinds of pencils are called hyperbolic pencil, elliptic pencil, and parabolic pencil because there is bundle of hyperbola, ellips or parabola in each of that pencil.
Keywords: system of circle, pencil of circle, hyperbolic pencil, elliptic pencil, parabolic pencil.
iii
PEDOMAN PENGGUNAAN PROYEK
Proyek Magister yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh disertasi haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
iv
Untuk Mamah, Papah, dan Adik-adikku serta Istriku Regina Ayu Lestari, dan Anakku Malikah Al Atsariyyah
v
'
$
Program Studi Magister Pengajaran Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung
Menerangkan bahwa Proyek yang disusun oleh: Nama: Guntur Maulana Muhammad NIM: 90112301
telah disetujui sebagai persyaratan untuk mendapatkan gelar Magister Pengajaran Matematika
Bandung, Februari 2015
Pembimbing
Prof. M. Wono Setya Budhi, Ph.D. 195505151983031003 &
%
vi
UCAPAN TERIMA KASIH
Segala puji hanya milik Allah Swt. Sholawat serta salam semoga tetap terlimpahkan kepada Nabi Muhammad Saw., beserta keluarga, sahabat dan seluruh pengikutnya yang istiqamah hingga hari Kiamat. Seiring berjalannya waktu, pergantian hari demi hari, bulan demi bulan, akhirnya penulis dapat menyelesaikan proyek ini. Bukan suatu aib jika penulis mengatakan banyak sekali pihak yang ikut membantu dalam penulisan proyek ini. Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu penulis. Pertama, penghargaan dan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada Bapak Prof. M. Wono Setya Budhi, Ph.D selaku pembimbing yang telah membimbing dan memberikan banyak ilmu yang tidak penulis ketahui sebelumnya. Selanjutnya, penulis sampaikan terima kasih kepada Bapak Djoko Suprijanto, Ph.D selaku ketua Program Studi Magister Pengajaran Matematika dan juga seluruh staf pengajar serta staf tata usaha yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada seluruh pimpinan dan staf Sekolah Pascasarjana (SPs) ITB serta FMIPA ITB, terutama dekan SPs ITB, Prof. Dr. Pudji Astuti, yang memberikan kesempatan kepada penulis untuk menerima bantuan dana pendidikan dalam bentuk beasiswa voucher ITB selama tiga semester. Tidak lupa penulis sampaikan terima kasih, penghormatan dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada Ibu, Ayah, Istri dan anak, serta adik-adik penulis yang selalu menjadi motivasi, selalu memberikan semangat, dan selalu mendoakan penulis untuk menjadi lebih baik. Semoga seluruh bantuan dan dukungan dari semua pihak mendapat balasan dari Allah Swt.
vii
DAFTAR ISI
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
PEDOMAN PENGGUNAAN PROYEK . . . . . . . . . . . . . . .
iv
UCAPAN TERIMA KASIH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bab I I.1 I.2 I.3 I.4 I.5
Pendahuluan . . . . Latar Belakang . . . . Rumusan Masalah . . Tujuan Penulisan . . . Manfaat Penulisan . . Sistematika Penulisan .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
1 1 2 3 3 3
Bab II Berkas Lingkaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Pensil Lingkaran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.1 Analisis Persamaan λC + µC 0 = 0 . . . . . . . . II.1.2 Lingkaran Dalam Pensil Sebagai Sebuah Lokus II.2 Sumbu Radikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Sistem Koaksial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
4 4 4 12 13 15
Bab III Sistem Lingkaran III.1 Pensil Hiperbolik . . . III.2 Pensil Elliptik . . . . . III.3 Pensil Parabolik . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. 17 . 22 . 24 . 26
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
ix
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bab IV Simpulan dan Masalah Terbuka . . . . . . . . . . . . . . 28 IV.1 Simpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 IV.2 Masalah Terbuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Riwayat Hidup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
viii
DAFTAR GAMBAR Gambar II.1 λC + µC 0 = 0 merupakan sebuah lingkaran (lingkaran merah) dari dua lingkaran pembangkit yang berpotongan di dua titik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gambar II.2 λC + µC 0 = 0 merupakan sebuah lingkaran (lingkaran merah) dari dua lingkaran pembangkit yang bersinggungan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gambar II.3 λC + µC 0 = 0 merupakan sebuah lingkaran (lingkaran merah) dari dua lingkaran pembangkit yang tidak berpotongan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gambar II.4 λC + µC 0 = 0 merupakan sebuah lingkaran (lingkaran merah) dari dua lingkaran pembangkit sepusat. . . . . Gambar II.5 Sumbu radikal (garis merah) tegak lurus dengan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran. . . . . . . Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar
III.1 III.2 III.3 III.4 III.5 III.6 III.7 III.8 III.9
Lingkaran Apollonius melalui titik P , P1 , dan P2 . . . Lingkaran Apollonius untuk α = 1 adalah sebuah garis. Lingkaran C ortogonal terhadap lingkaran E . . . . . . Pensil Hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berkas hiperbola yang terdapat pada pensil hiperbolik. Pensil Elliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berkas ellips yang berpotongan dengan pensil elliptik. Pensil Parabolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berkas parabola pada pensil parabolik. . . . . . . . . .
ix
6
8
10 11 14 18 20 21 22 24 24 25 26 27
Bab I
I.1
Pendahuluan
Latar Belakang
Seperti bentuk geometri lainnya, lingkaran adalah bentuk geometri yang selalu kita temukan setiap harinya di sekeliling kita. Hal itu karena penerapan konsep lingkaran sangat bermanfaat bagi kehidupan manusia. Banyak benda yang diciptakan oleh manusia bahkan oleh Tuhan Yang Mahaesa dalam bentuk lingkaran apabila dilihat secara dua dimensi. Mulai dari bentuk bumi, matahari, roda, bola, piring sampai hal kecil seperti kue pun berbentuk lingkaran. Seiring penerapannya yang sangat banyak dalam kehidupan sehari-hari, secara teoritis konsep lingkaran pun semakin berkembang. Mulai dari definisi awal hingga perkembangan lingkaran dalam bidang kompleks yang diperluas. Salah satu perkembangan lingkaran yang akan dibahas di sini adalah mengenai sistem lingkaran. Misal terdapat suatu titik O dan suatu bilangan riil nonnegatif r. Sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r adalah himpunan titik-titik P sedemikian sehingga jarak dari titik O ke titik P adalah r.
C (O, r) = {P |OP = r}
Pernyataan di atas merupakan definisi lingkaran yang kita pahami dan sepakati bersama sampai saat ini. Kemudian dari definisi berkembanglah menjadi suatu rumusan persamaan lingkaran di bidang kartesius. Persamaan lingkaran dapat dinyatakan sebagai (x + g)2 + (y + f )2 = r2 dengan P (x, y), O(−g, −f ), dan jari-jari r. Suatu lingkaran dapat juga dihasilkan dari dua lingkaran berbeda atau lebih. 1
Misal C (X, Y ) = X 2 + Y 2 + 2gX + 2f Y + e = 0 dan C 0 (X, Y ) = X 2 + Y 2 + 2g 0 X + 2f 0 Y + e0 = 0 dua lingkaran berbeda. Sebuah lingkaran dapat dihasilkan dari kombinasi dua persamaan lingkaran berbeda tersebut dengan ekspresi:
λC + µC 0 = 0,
untuk suatu λ dan µ ∈ R. Dengan suatu kombinasi dua lingkaran, lingkaran yang dihasilkan akan mempunyai sifat yang sama dengan lingkaran-lingkaran pembentuknya. Lingkaran-lingkaran pembentuk lingkaran lainnya disebut lingkaran pembangkit (generator circle). Dua lingkaran pembangkit beserta lingkaranlingkaran lainnya yang dihasilkan dan memiliki sifat yang sama akan membentuk suatu sistem lingkaran yang disebut pensil lingkaran (pencil of circle). Pada proyek ini hanya akan dibahas pensil lingkaran dengan dua lingkaran pembangkit. Suatu pensil lingkaran dengan satu garis sebagai sumbu radikal dari setiap pasang lingkaran membentuk suatu sistem koaksial (Coaxial System). Lebih lanjut pada proyek ini akan diselidiki suatu bentuk geometri lain di balik suatu pensil lingkaran, yang kemudian menjadi sebab penamaan suatu pensil. Dengan memanfaatkan definisi dari suatu bentuk irisan kerucut, akan tampak berkas dari parabola, hiperbola, atau ellips pada suatu pensil.
I.2
Rumusan Masalah
Agar pembahasan proyek ini tidak terlalu meluas, penulis membatasi materi pada hal yang spesifik. Oleh sebab itu dibuatlah suatu rumusan masalah dengan pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: 1. Bagaimana arti geometri dari persamaan λC + µC 0 = 0 jika lingkaran pembangkit tidak saling berpotongan, berpotongan di dua titik dan saling berpotongan di satu titik? 2. Bagaimana bentuk berkas irisan kerucut dari masing-masing jenis pensil lingkaran? 2
I.3
Tujuan Penulisan
Penelitian adalah penyaluran rasa ingin tahu manusia terhadap sesuatu atau masalah dengan perlakuan tertentu (seperti memeriksa, mengusut, menelaah, dan mempelajari secara cermat dan sungguh-sungguh) sehingga diperoleh sesuatu (seperti mencapai kebenaran, memperoleh jawaban atas masalah, pengembangan ilmu pengetahuan, dan sebagainya). Dengan demikian, setiap penelitian pasti memiliki tujuan tertentu untuk memenuhi rasa keingintahuan. Begitu pula dengan penulisan proyek ini, proyek ini bertujuan: 1. Untuk mengetahui semua kemungkinan arti geometri dari persamaan λC + µC 0 = 0. 2. Untuk membuktikan adanya berkas irisan kerucut dari masing-masing jenis pensil lingkaran.
I.4
Manfaat Penulisan
Secara umum, dengan disusunnya proyek ini diharapkan dapat memberikan kontribusi bagi perkembangan matematika, khususnya bidang geometri. Selain itu, proyek ini diharapkan dapat menjadi jawaban atas pertanyaan orang-orang yang sedang mengembangkan geometri di Indonesia.
I.5
Sistematika Penulisan
Proyek ini terdiri dari empat bab. Bab I berisikan pendahuluan dari penulisan proyek ini. Bab II berisikan penjelasan tentang berkas lingkaran yang mendukung pembahasan dalam proyek ini. Pada bab II akan dibahas tentang pensil, sumbu radikal, dan sistem koaksial. Pembahasan utama proyek ini ditulis pada bab III, yaitu pembahasan mengenai sistem lingkaran. Pembahasan akan disampaikan dalam tiga sub bab yang terdiri dari pensil hiperbolik, pensil elliptik, dan pensil parabolik. Selanjutnya Bab IV berisikan penutup yang terdiri dari simpulan dan masalah terbuka. 3
Bab II
Berkas Lingkaran
Pada bab ini akan dibahas mengenai istilah-istilah yang digunakan agar lebih memahami materi yang dipaparkan. Istilah yang digunakan sangat erat kaitannya dengan sistem lingkaran, berupa pensil, lokus, sumbu radikal, dan sistem koaksial.
II.1
Pensil Lingkaran
Kita akan mempelajari pensil lingkaran, yaitu kumpulan lingkaran dengan sifat tertentu. Pada umumnya pensil lingkaran dibangun dari dua atau lebih lingkaran, namun untuk kali ini hanya akan dibahas pensil lingkaran dengan dua lingkaran pembangkit. II.1.1
Analisis Persamaan λC + µC 0 = 0
Disini misal C dan C 0 sebarang lingkaran dengan persamaan C (X, Y ) = X 2 + Y 2 + 2gX + 2f Y + e = 0
dan C 0 (X, Y ) = X 2 + Y 2 + 2g 0 X + 2f 0 Y + e0 = 0. Lingkaran C dan C 0 merupakan dua lingkaran awal atau dua lingkaran dasar yang disebut pembangkit dari suatu pensil. Akan dibentuk suatu objek geometri dengan persamaan λC + µC 0 = 0, untuk suatu λ dan µ ∈ R, sehingga persamaan tersebut menjadi (λ + µ)X 2 + (λ + µ)Y 2 + 2(λg + µg 0 )X + 2(λf + µf 0 )Y + (λe + µe0 ) = 0
(II.1)
Jika λ + µ 6= 0, persamaan di atas dapat disederhanakan kembali menjadi X 2 + Y 2 + 2BX + 2CY + B 2 + C 2 = −A + B 2 + C 2
4
(II.2)
untuk A=
λe + µe0 λg + µg 0 λf + µf 0 ,B = ,C = λ+µ λ+µ λ+µ
Apabila dilihat dari besarnya λ dan µ, berdasarkan persamaan II.2, arti geometri dari bentuk λC + µC 0 = 0 terbagi pada tiga kemungkinan terlepas dari hubungan antara C dan C 0 nya. 1. Lingkaran, λC + µC 0 = 0 merupakan sebuah lingkaran jika nilai dari −A + B 2 + C 2 positif dan koefisien X 2 , Y 2 6= 0. 2. Garis, λC + µC 0 = 0 merupakan sebuah garis jika nilai koefisien X 2 = koefisien Y 2 = 0 atau nilai dari λ + µ = 0. 3. Tidak terdefinisi atau kosong, λC + µC 0 = 0 kosong jika nilai dari −A + B 2 + C 2 negatif atau g = g 0 , f = f 0 , dan λ + µ = 0 atau λ dan µ keduanya nol. Penjabaran terlihat lebih rinci jika λC + µC 0 = 0 ditinjau dari hubungan antara lingkaran C dan C 0 nya. Semua kemungkinan yang terjadi jika lingkaran C dan C 0 berpotongan akan berbeda dengan kemungkinan yang terjadi jika lingkaran C dan C 0 tidak berpotongan. Lain juga halnya jika lingkaran C dan C 0 bersinggungan, sepusat atau bahkan berimpit. 1. Dua lingkaran berpotongan di dua titik (Gambar II.1). Teorema II.1. Jika C dan C 0 dua lingkaran berpotongan di dua titik, maka λC + µC 0 = 0 merupakan garis atau lingkaran yang selalu melalui titik perpotongan antara C dan C 0 . Bukti: Misal lingkaran C dan C 0 berpotongan di titik A(a, b) dan B(c, d), maka berlaku C (a, b) = a2 + b2 + 2ga + 2f b + e = 0 5
Gambar II.1: λC + µC 0 = 0 merupakan sebuah lingkaran (lingkaran merah) dari dua lingkaran pembangkit yang berpotongan di dua titik.
C (c, d) = c2 + d2 + 2gc + 2f d + e = 0 dan C 0 (a, b) = a2 + b2 + 2g 0 a + 2f 0 b + e0 = 0 C 0 (c, d) = c2 + d2 + 2g 0 c + 2f 0 d + e0 = 0. Akan ditunjukkan: (a) Garis atau lingkaran dari λC + µC 0 = 0 selalu melalui titik A(a, b) dan B(c, d). Karena C (a, b) = 0 dan C 0 (a, b) = 0, maka titik A(a, b) juga memenuhi persamaan λC (a, b) + µC 0 (a, b) = 0. Dengan kata lain λC + µC 0 = 0 akan selalu melalui titik A(a, b). Hal yang sama berlaku juga untuk titik B(c, d), sehingga λC + µC 0 = 0 akan selalu melalui titik A(a, b) dan B(c, d). Berdasarkan teorema di atas, maka berapapun nilai λ dan µ hanya terdapat dua kemungkinan arti geometri dari λC + µC 0 = 0, yaitu garis dan lingkaran yang selalu melalui titik A(a, b) dan B(c, d). (b) Bahwa untuk λ + µ = 0, akibatnya λC + µC 0 = 0 berbentuk garis, sedangkan untuk λ + µ 6= 0, akibatnya λC + µC 0 = 0 berbentuk lingkaran. Perhatikan persamaan II.1, untuk kasus λ+µ = 0, koefisien
6
X 2 dan koefisien Y 2 adalah nol sehingga persamaan tersebut menjadi
2(λg + µg 0 )X + 2(λf + µf 0 )Y + (λe + µe0 ) = 0.
(II.3)
Persamaan di atas merupakan persamaan sebuah garis. Sedangkan untuk kasus kedua dengan λ + µ 6= 0, persamaan II.1 disederhanakan kembali menjadi 2 2 0 λf +µf 0 λg+µg 0 λf +µf 0 X + 2 Y + X 2 + Y 2 + 2 λg+µg + = λ+µ λ+µ λ+µ λ+µ 2 0 2 0 +µf 0 + λg+µg + λfλ+µ − λe+µe λ+µ λ+µ
X + λg+µg λ+µ
0
2
2 2 2 0 +µf 0 λg+µg 0 λf +µf 0 + Y + λfλ+µ = − λe+µe + + λ+µ λ+µ λ+µ
Karena C dan C 0 melalui titik A(a, b) dan B(c, d), maka titik A(a, b) dan B(c, d) memenuhi persamaan di atas. Dengan demikian persamaan terakhir mempunyai jawab, sehingga persamaan tersebut berbentuk lingkaran untuk λ + µ 6= 0. Garis yang melalui titik A(a, b) dan B(c, d) merupakan satu-satunya garis yang terbentuk dari persamaan λC + µC 0 = 0 dengan A(a, b) dan B(c, d) titik potong dari lingkaran C dan C 0 . Dilihat dari persamaannya, posisi garis yang melalui titik A(a, b) dan B(c, d) ini akan tegak lurus dengan garis yang menghubungkan pusat dari lingkaran C dan C 0 . Garis tersebut 0
(g−g ) dilihat dari persamaan II.3. Sedangkan garis yang memiliki gradien − (f −f 0 )
menghubungkan pusat dari lingkaran C dan C 0 dengan persamaan (f − f 0 ) (f − f 0 ) x − y + g−f =0 (g − g 0 ) (g − g 0 ) memiliki gradien
(f −f 0 ) . (g−g 0 )
Sehingga jika kita kalikan gradien keduanya akan
menghasilkan −
(g − g 0 ) (f − f 0 ) · = −1. (f − f 0 ) (g − g 0 )
Jadi garis dari persamaan λC + µC 0 = 0 akan tegak lurus dengan garis
7
yang menghubungkan pusat lingkaran C dan C 0 . 2. Dua lingkaran bersinggungan. (Gambar II.2).
Gambar II.2: λC + µC 0 = 0 merupakan sebuah lingkaran (lingkaran merah) dari dua lingkaran pembangkit yang bersinggungan.
Teorema Akibat II.2. Jika C dan C 0 dua lingkaran bersinggungan, maka λC + µC 0 = 0 merupakan garis atau lingkaran yang selalu menyinggung C dan C 0 di titik singgung yang sama. Bukti: Berdasarkan definisi, titik singgung pada lingkaran yang merupakan dua titik potong dimana titik yang satu berada sedekat mungkin dengan titik yang lain hingga berhimpit, maka kita bisa asumsikan bahwa C dan C 0 berpotongan di satu titik. Misal lingkaran C dan C 0 berpotongan di titik A(a, b), maka berlaku C (a, b) = a2 + b2 + 2ga + 2f b + c = 0
dan C 0 (a, b) = a2 + b2 + 2g 0 a + 2f 0 b + c0 = 0 Akan ditunjukkan: (a) Garis atau lingkaran dari λC + µC 0 = 0 selalu melalui titik A(a, b).
8
Karena C (a, b) = 0 dan C 0 (a, b) = 0, maka titik A(a, b) juga memenuhi persamaan λC (a, b) + µC 0 (a, b) = 0. Dengan kata lain λC + µC 0 = 0 akan selalu melalui titik A(a, b). (b) Bahwa untuk λ + µ = 0, akibatnya λC + µC 0 = 0 berbentuk garis, sedangkan untuk λ + µ 6= 0, akibatnya λC + µC 0 = 0 berbentuk lingkaran. Perhatikan persamaan II.1, untuk kasus λ+µ = 0, koefisien X 2 dan koefisien Y 2 adalah nol sehingga persamaan tersebut menjadi
2(λg + µg 0 )X + 2(λf + µf 0 )Y + (λe + µe0 ) = 0.
Persamaan di atas merupakan persamaan sebuah garis. Sedangkan untuk kasus kedua dengan λ + µ 6= 0, persamaan II.1 disederhanakan kembali menjadi 2 2 0 λf +µf 0 λg+µg 0 λf +µf 0 X + 2 Y + X 2 + Y 2 + 2 λg+µg + = λ+µ λ+µ λ+µ λ+µ 2 0 2 0 +µf 0 + λg+µg + λfλ+µ − λe+µe λ+µ λ+µ
X + λg+µg λ+µ
0
2
2 2 2 0 +µf 0 λg+µg 0 λf +µf 0 + Y + λfλ+µ = − λe+µe + + λ+µ λ+µ λ+µ
Karena C dan C 0 melalui titik A(a, b), maka titik A(a, b) memenuhi persamaan di atas. Dengan demikian persamaan terakhir mempunyai jawab, sehingga persamaan tersebut berbentuk lingkaranl untuk λ + µ 6= 0. 3. Dua lingkaran tak sepusat dan tak berpotongan. (Gambar II.3). Teorema II.3. Jika C dan C 0 dua lingkaran tidak berpotongan, maka λC + µC 0 = 0 merupakan garis atau lingkaran, yang tidak memotong lingkaran C dan C 0 , atau kosong. Bukti: Sebagaimana kita mengetahui bahwa lingkaran C dan C 0 sebagai pembangkit yang dalam hal ini kedua lingkaran tersebut tidak berpotongan. Kita akan menunjukkan:
9
Gambar II.3: λC + µC 0 = 0 merupakan sebuah lingkaran (lingkaran merah) dari dua lingkaran pembangkit yang tidak berpotongan.
(a) Jika dua pembangkit tidak berpotongan, maka lingkaran atau garis yang dihasilkan dari λC + µC 0 = 0 juga tidak memotong lingkaran C atau C 0 . Untuk membuktikan hal ini akan lebih mudah jika kita membuktikan bentuk kontrapositif dari teorema tersebut. Kita cukup membuktikan ”jika lingkaran atau garis yang dihasilkan dari λC + µC 0 = 0 memotong lingkaran C atau C 0 , maka dua generatornya saling berpotongan”. Bukti: Karena lingkaran yang dihasilkan λC + µC 0 = 0 berpotongan dengan generatornya, maka terdapat titik A(a, b) yang memenuhi λC + µC 0 = 0 dan C = 0. Karena C (a, b) = 0 untuk setiap λ dan µ, maka haruslah C 0 (a, b) = 0. Dengan demikian titik A(a, b) juga memenuhi C = 0 dan C 0 = 0, maka dua generatornya berpotongan. (b) Bahwa untuk λ + µ = 0, akibatnya λC + µC 0 = 0 berbentuk garis, dan untuk λ + µ 6= 0, akibatnya λC + µC 0 = 0 berbentuk lingkaran atau kosong. Perhatikan persamaan II.1, untuk kasus λ + µ = 0, koefisien X 2 dan koefisien Y 2 adalah nol sehingga persamaan tersebut menjadi
2(λg + µg 0 )X + 2(λf + µf 0 )Y + (λe + µe0 ) = 0.
10
Persamaan di atas merupakan persamaan sebuah garis. Dengan pusat lingkaran pembangkit yang berbeda dan λ + µ = 0, setidaknya terdapat koefisien X atau Y yang tidak nol, sehingga lebih meyakinkan bahwa garis tersebut ada. Sedangkan untuk kasus kedua karena λ+µ 6= 0, persamaan II.1 dapat dibagi λ + µ sehingga menjadi 2 2 0 λf +µf 0 λg+µg 0 λf +µf 0 X + 2 Y + + = X 2 + Y 2 + 2 λg+µg λ+µ λ+µ λ+µ λ+µ 2 0 0 2 +µf 0 − λc+µc + λg+µg + λfλ+µ λ+µ λ+µ X+
λg + µg 0 λ+µ
2 + Y+
λf + µf 0 λ+µ
2
=−
λc + µc0 λ+µ
+
λg + µg 0 λ+µ
2 +
λf + µf 0 λ+µ
2 (II.4)
i. Jika ruas kanan kurang dari nol, maka arti geometri dari persamaan II.4 adalah kosong. ii. Jika ruas kanan lebih dari sama dengan nol, maka arti geometri dari persamaan II.4 merupakan sebuah lingkaran. Jadi, untuk λ+µ 6= 0 arti geometri λC +µC 0 = 0 merupakan lingkaran atau kosong. 4. Dua lingkaran sepusat (Gambar II.4).
Gambar II.4: λC + µC 0 = 0 merupakan sebuah lingkaran (lingkaran merah) dari dua lingkaran pembangkit sepusat.
Teorema II.4. Jika C dan C 0 dua lingkaran sepusat , maka λC + µC 0 = 0 merupakan lingkaran yang sepusat dengan pembangkit, atau kosong. 11
Bukti: Misal C dan C 0 dua lingkaran sepusat. Pada kasus ini karena pusat lingkarannya sama maka g = g 0 dan f = f 0 . Pandang persamaan II.1 sebagai penjabaran dari bentuk λC + µC 0 = 0, sehingga untuk λ + µ = 0 arti geometri dari λC + µC 0 = 0 kosong atau tidak ada artinya. Sedangkan untuk λ + µ 6= 0, bentuk λC + µC 0 = 0 akan menjadi (λ + µ)X 2 + (λ + µ)Y 2 + 2((λ + µ)g)X + 2((λ + µ)f )Y = −(λ + µ)g 2 − (λ + µ)f 2 + λr12 + µr22 Karena e = −r12 + g 2 + f 2 dan e0 = −r22 + g 2 + f 2 , maka X 2 + Y 2 + 2gX + 2f Y + g 2 + f 2 = λr12 + µr22
Jika ruas kanan dari persamaan di atas bernilai negatif, maka arti geometri dari λC + µC 0 = 0 adalah kosong. Sedangkan jika ruas kanan dari persamaan di atas bernilai positif, maka arti geometri dari λC + µC 0 = 0 merupakan persamaan lingkaran dengan pusat yang sama dengan pusat lingkaran pembangkit dan dengan jari-jari kuadrat λr12 + µr22 . II.1.2
Lingkaran Dalam Pensil Sebagai Sebuah Lokus
Setelah mengetahui semua kemungkinan arti geometri dari bentuk pensil λC + µC 0 = 0, kita masuk pada pembahasan bahwa sebuah lingkaran dalam pensil juga merupakan sebuah lokus. Lokus adalah kumpulan titik-titik yang memenuhi suatu kondisi tertentu. Dalam hal ini suatu kondisi yang sama yang dipenuhi oleh lingkaran-lingkaran atau garis dari bentuk λC + µC 0 = 0 adalah memiliki perbandingan kuasa titik yang konstan terhadap dua pembangkit C dan C 0 . Teorema II.5. Misal C dan C 0 dua lingkaran pembangkit suatu pensil lingkaran. Setiap lingkaran atau garis yang dihasilkan dari bentuk λC + µC 0 = 0 akan memiliki perbandingan kuasa titik terhadap dua pembangkit C dan C 0 yang konstan. Bukti: Misal terdapat titik P = (x0 , y0 ) dan P 0 = (x1 , y1 ) yang terletak pada suatu lingkaran atau garis dari pensil lingkaran. Perhatikan bahwa λC + 12
µC 0 = 0 dapat dituliskan sebagai − µλ =
C (x,y) C 0 (x,y)
untuk (x, y) ∈ / C dan (x, y) ∈ /
C 0 . Sebagaimana kita mengetahui bahwa kuasa titik P terhadap lingkaran C adalah x20 + y02 + 2gx0 + 2f y0 + e dan kuasa titik P terhadap lingkaran C 0 adalah x20 + y02 + 2g 0 x0 + 2f 0 y0 + e0 , maka perbandingannya adalah x20 + y02 + 2gx0 + 2f y0 + e C (x0 , y0 ) µ = = − 2 2 x0 + y0 + 2g 0 x0 + 2f 0 y0 + e0 C 0 (x0 , y0 ) λ
(II.5)
Demikian halnya dengan perbandingan kuasa titik P 0 terhadap lingkaran C dan C 0 x21 + y12 + 2gx1 + 2f y1 + e µ C (x1 , y1 ) =− = 0 2 2 0 0 0 x1 + y1 + 2g x1 + 2f y1 + e C (x1 , y1 ) λ
(II.6)
Berdasarkan (II.4), (II.5), dan karena P dan P 0 adalah sebarang titik di lingkaran dari pensil, maka dapat disimpulkan bahwa sebuah lingkaran dari suatu pensil lingkaran merupakan lokus dengan sifat perbandingan kuasa titiknya terhadap dua pembangkit C dan C 0 adalah konstan. II.2
Sumbu Radikal
Dalam subbab sebelumnya sempat disinggung mengenai kemungkinan arti geometri dari pensil lingkaran dalam bentuk λC + µC 0 = 0 dengan λ + µ = 0 atau − µλ = 1. Bentuk tersebut merupakan garis yang melalui titik perpotongan jika lingkaran C dan C 0 berpotongan. Garis tersebut dinamakan sumbu radikal. Definisi II.6. Misal C dan C 0 dua lingkaran yang tak sepusat. Sumbu radikal dari dua lingkaran tersebut adalah lokus yang mempunyai kuasa titik yang sama terhadap lingkaran C dan C 0 . Berdasarkan definisi, sebuah titik pada sumbu radikal memiliki kuasa titik yang sama terhadap dua lingkaran generatornya. Dan karena kuasa titik terhadap suatu lingkaran akan sama dengan kuadrat garis singgung, maka suatu titik pada sumbu radikal akan memiliki panjang garis singgung yang sama terhadap dua lingkaran generatornya. Dengan kata lain, sumbu radikal juga meru-
13
pakan lokus yang memiliki panjang garis singgung yang sama terhadap dua lingkaran generatornya. Misal C dan C 0 dua lingkaran yang tak sepusat dengan persamaan C (X, Y ) = X 2 + Y 2 + 2gX + 2f Y + e = 0
dan C 0 (X, Y ) = X 2 + Y 2 + 2g 0 X + 2f 0 Y + e0 = 0, maka persamaan sumbu radikalnya adalah
2(λg + µg 0 )X + 2(λf + µf 0 )Y + (λe + µe0 ) = 0.
Karena λ+µ = 0, maka persamaan sumbu radikal dapat juga dinyatakan sebagai berikut 2(g − g 0 )X + 2(f − f 0 )Y + e − e0 = 0.
(II.7)
Jika dilihat persamaan sumbu radikal, koefisien X dan Y merupakan hasil pengurangan koordinat pusat lingkaran-lingkarannya. Teorema II.7. Sumbu radikal dari dua lingkaran selalu tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran-lingkaran tersebut.
Gambar II.5: Sumbu radikal (garis merah) tegak lurus dengan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran.
0
(g−g ) Bukti: Berdasarkan persamaan II.7, sumbu radikal memiliki gradien − (f . −f 0 )
14
Sedangkan garis yang menghubungkan pusat dari lingkaran C dan C 0 memiliki gradien
(f −f 0 ) . (g−g 0 )
Sehingga jika kita kalikan gradien keduanya akan menghasilkan
−
(g − g 0 ) (f − f 0 ) · = −1. (f − f 0 ) (g − g 0 )
Jadi sumbu radikal akan tegak lurus dengan garis yang menghubungkan pusat lingkaran C dan C 0 . II.3
Sistem Koaksial
Definisi II.8. Sebuah sistem lingkaran dikatakan koaksial (satu sumbu) jika setiap pasang lingkaran berbeda dari sistem tersebut mempunyai sumbu radikal yang sama. Disini kita akan menunjukkan bahwa pensil lingkaran λC + µC 0 = 0 merupakan sistem koaksial. Misal C dan C 0 dua lingkaran yang tak sepusat sebagai pembangkit, dengan persamaan
C (X, Y ) = X 2 + Y 2 + 2gX + 2f Y + e = 0
dan C 0 (X, Y ) = X 2 + Y 2 + 2g 0 X + 2f 0 Y + e0 = 0. Jika kita memperhatikan persamaan λC + µC 0 = 0 dengan λ + µ = 0, maka λC +µC 0 = 0 merupakan sumbu radikal dengan persamaan C −C 0 = 0. Sekarang misalkan C1 = λ1 C + µ1 C 0 = 0 dan C2 = λ2 C + µ2 C 0 = 0 merupakan dua buah lingkaran berbeda dari pensil lingkaran λC + µC 0 = 0, maka
−µ1 λ1
6=
−µ2 λ2
sehingga
λ1 µ2 − λ2 µ1 6= 0. Berdasarkan persamaan II.6 kita dapat menentukan persamaan sumbu radikal untuk lingkaran C1 dan C2 dengan mudah, yaitu C1 − C2 = 0. C1 − C2 = 0 (λ1 + µ1 )−1 (λ1 C + µ1 C 0 ) − (λ2 + µ2 )−1 (λ2 C + µ2 C 0 ) = 0 15
(λ1 µ2 − λ2 µ1 )(C − C 0 ) = 0 Persamaan di atas menunjukkan bahwa dua lingkaran berbeda dari keluarga λC +µC 0 = 0 akan memiliki sumbu radikal yang sama dengan sumbu radikal dari lingkaran-lingkaran generatornya. Jadi pensil lingkaran λC +µC 0 = 0 merupakan sistem koaksial. Sistem koaksial atau sistem lingkaran satu sumbu atau sesumbu merupakan sistem lingkaran dengan pusat setiap lingkarannya berada pada satu garis yang tegak lurus dengan sumbu radikal. Sebagaimana kita mengetahui, berdasarkan persamaan II.2 bentuk lingkaran dari λC + µC 0 = 0 akan berpusat pada titik λg + µg 0 λf + µf 0 , λ+µ λ+µ yang memenuhi persamaan garis penghubung titik pusat lingkaran pembangkit, dengan persamaan
(f − f 0 )X + (g 0 − g)Y + f g 0 − f 0 g = 0.
Sehingga semua lingkaran dalam bentuk λC + µC 0 = 0 akan memiliki pusat yang berada pada garis penghubung titik pusat lingkaran generatornya.
16
Bab III
Sistem Lingkaran
Pada bab sebelumnya telah dikatakan bahwa pensil lingkaran dengan persamaan λC + µC 0 = 0 merupakan sistem koaksial, maka untuk selanjutnya kita akan sering menggunakan istilah sistem koaksial. Sistem koaksial dengan pusat lingkaran pembangkit yang berada pada suatu garis akan mempunyai lingkaran-lingkaran dengan pusat berada pada garis tersebut. Selain itu, berdasarkan definisi sistem koaksial hanya akan mempunyai satu sumbu radikal. Letak garis, yang menghubungkan pusat lingkaran, dan sumbu radikal adalah saling tegak lurus. Hal ini membawa kita pada suatu asumsi bahwa kita dapat mentransformasi sistem koaksial dari sistem koordinat kartesius dengan sumbu X dan sumbu Y menjadi sistem koordinat dengan garis penghubung pusat lingkaran sebagai sumbu X baru dan sumbu radikal sebagai sumbu Y baru. Misalkan CT = 0 bentuk transformasi dari C = 0, dan C 0 T = 0 bentuk transformasi dari C 0 = 0. Karena semua lingkaran pada sistem koaksial memiliki titik pusat yang berada pada sumbu X baru, maka
CT = X 2 + Y 2 + 2gX + e = 0
dan C 0 T = X 2 + Y 2 + 2g 0 X + e0 = 0. Kemudian sumbu radikal dapat ditunjukkan oleh persamaan
CT − C 0 T = 2(g − g 0 )X + e − e0 = 0.
Akan tetapi sejak awal dikatakan bahwa sumbu radikal adalah sumbu Y baru atau garis X = 0, sehingga CT − C 0 T = 2(g − g 0 )X + e − e0 = 0 mempunyai arti bahwa untuk mendapatkan sumbu radikal dengan persamaan X = 0 haruslah 17
e = e0 . Kita dapat mendefinisikan sistem koaksial dalam bentuk ini dengan lingkaran X = 0 dan lingkaran g 0 CT −gC 0 T = (g 0 −g)(X 2 +Y 2 +e) = 0, dengan X 2 +Y 2 +e sebagai persamaan lingkaran paling sederhana dari suatu sistem koaksial. Jadi persamaan umum sistem koaksialnya adalah
(X 2 + Y 2 + e) + 2kX = 0
X 2 + Y 2 + 2kX + e = 0, dengan k ∈ R dan c suatu nilai tetap. Bentuk seperti ini disebut bentuk kanonik (canonical form) dari sistem koaksial. Sebelum beralih kepada pembahasan semua hal yang menjadi kemungkinan pada sistem koaksial, terdapat suatu teorema yang berkaitan dengan pensil lingkaran yaitu teorema lingkaran Apollonius. Teorema III.1. Misalkan titik A dan B dua titik tetap yang berbeda. Jika terdapat titik P yang memenuhi |P A| : |P B| = α (konstan), dengan α 6= 1, maka lokus titik P membentuk sebuah lingkaran. Tetapi jika α = 1 maka lokus titik P adalah sebuah garis yang tegak lurus garis AB dan melalui titik tengah antara titik A dan B. Lokus titik P tersebut dinamakan lingkaran Apollonius.
Gambar III.1: Lingkaran Apollonius melalui titik P , P1 , dan P2
Bukti: Misal terdapat titik A, B dan P dengan |P A| : |P B| = α, dengan α 6= 1. Misal terdapat titik P yang lain, yaitu P1 dan P2 pada garis AB. P1 terletak diantara titik A dan B, sedangkan P2 berada pada sisi yang sama dari 18
titik A dan B. |P A| |P1 A| |P2 A| = = = α. |P B| |P1 B| |P2 B| Akan ditunjukkan bahwa P, P1 , dan P2 berada pada satu lingkaran. Jika kita buat garis dari titik B sejajar dengan garis P P1 , maka akan kita dapatkan titik C sebagai titik potong dari garis tersebut dengan garis AP . Kemudian jika kita buat garis dari titik P sejajar dengan garis AB, maka akan kita dapatkan titik D sebagai titik potong dari garis tersebut dengan garis BC. Pandang segitiga AP P 1 dan segitiga P CD. Karena ∠AP P1 = ∠P CD, ∠P P1 A = ∠CDP , dan ∠P1 AP = ∠DP C, maka 4AP P1 ∼ 4P CD. Dengan kata lain, |P P1 | |P1 A| |AP | = = . |P C| |CD| |DP | Kemudian jika kita perhatikan segiempat P DBP1 , kita dapatkan |P D| = |BP1 | dan |DB| = |P1 P |. Karena
|AP | |P C|
=
|P1 A| , |DP |
maka
|AP | |P C|
=
|P1 A| |BP1 |
= α. Karena
|P A| |P1 A| |P2 A| |AP | = = = = α, |P C| |P B| |P1 B| |P2 B| maka |P C| = |P B|, sehingga 4P BC adalah sebuah segitiga sama kaki dengan ∠P BC = ∠P CB. Akibatnya ∠BP P1 = ∠P CB. Karena ∠AP P1 = ∠P CB, maka ∠AP P1 = ∠BP P1 . Dengan demikian, garis P P1 membagi ∠AP B sama besar*. Jika kita buat garis dari titik B sejajar dengan garis P P2 , maka akan kita dapatkan titik E sebagai titik potong dari garis tersebut dengan garis AP . Kemudian jika kita buat garis dari titik B sejajar dengan garis AP , maka akan kita dapatkan titik F sebagai titik potong dari garis tersebut dengan garis P P2 . Pandang segitiga AP P2 dan segitiga BF P2 . Karena ∠AP P2 = ∠BF P2 , ∠P P2 A = ∠F P2 B, dan ∠P2 AP = ∠P2 BF , maka 4AP P2 ∼ 4BF P2 . Dengan kata lain, |AP | |P P2 | |P2 A| = = . |BF | |F P2 | |P2 B|
19
Kemudian jika kita perhatikan segiempat EBF P , kita dapatkan |EB| = |F P | dan |BF | = |P E|. Karena
|AP | |BF |
=
|P2 A| , |P2 B|
maka
|AP | |P E|
=
|P2 A| |P2 B|
= α. Karena
|AP | |P A| |P1 A| |P2 A| = = = = α, |P E| |P B| |P1 B| |P2 B| maka |P E| = |P B|, sehingga 4P EB adalah sebuah segitiga sama kaki dengan ∠P EB = ∠P BE. Akibatnya ∠CP P2 = ∠P EB = ∠P BE. Karena ∠BP P2 = ∠P BE, maka ∠BP P2 = ∠CP P2 . Dengan demikian, garis P P2 membagi ∠CP B sama besar**. Berdasarkan * dan **, maka ∠BP P1 + ∠BP P2 = 90o , sehingga P, P1 , dan P2 berada pada satu lingkaran dengan segmen P1 P2 sebagai diameter. Jadi, untuk α 6= 1 lokus titik P membentuk lingkaran (Gambar III.2).
Gambar III.2: Lingkaran Apollonius untuk α = 1 adalah sebuah garis.
Untuk α = 1, |P A| = |P B|. Misal titik P merupakan titik tengah segmen AB. Titik P lainnya berada di atas dan di bawah titik P , membentuk segitiga sama kaki AP iB karena |AP i| = |P iB| untuk i = 1, 2, .... Segitiga AP iB memiliki satu sisi yang sama sebagai alas, yaitu sisi AB, sehingga titik-titik P i berada pada garis yang membagi dua ∠AP iB sama besar dan tegak lurus dengan garis AB. Jadi, untuk α = 1 lokus titik P membentuk sebuah garis tegak lurus AB. Jika kita mengamati gambar III.1 dan akibat dari teorema III.1 , untuk suatu titik P dan suatu nilai α akan bersesuaian dengan suatu lingkaran yang melalui titik A dan B. Misal terdapat lingkaran E yang melalui titik A dan B, ling20
karan C yang melalui titik P, P1 dan P2 untuk suatu α. Jika kita menghimpun lingkaran-lingkaran C untuk semua nilai α, maka kita akan mendapatkan himpunan lingkaran-lingkaran yang tidak saling berpotongan. Akan tetapi jika kita menghimpun lingkaran-lingkaran E untuk setiap P pada suatu nilai α, maka kita akan mendapatkan himpunan lingkaran-lingkaran yang berpotongan pada dua titik A dan B. Jadi himpunan lingkaran-lingkaran C akan berasosiasi dengan himpunan lingkaran-lingkaran E . Kemudian akan ditunjukkan bahwa lingkaran E yang melalui titik P akan ortogonal terhadap lingkaran C . Misalkan titik T adalah titik tengah dari P1 dan P2 dengan |P1 T | = |T P2 | = r. |P2 A| |P1 A| = |P1 B| |P2 B| Dengan menyederhanakan persamaan di atas, akan didapatkan |T A| · |T B| = r2 yang artinya kuasa titik T terhadap lingkaran E adalah r2 atau panjang garis singgung dari titik T ke lingkaran E adalah r. Sehingga titik singgung dari titik T ke lingkaran E akan berada pada lingkaran C . Karena titik yang dilalui lingkaran E dan terletak pada lingkaran C adalah titik P , maka titik P merupakan titik potong kedua lingkaran sekaligus menjadi titik singgung dari titik T ke lingkaran E . Oleh sebab itu lingkaran E ortogonal terhadap lingkaran C .
Gambar III.3: Lingkaran C ortogonal terhadap lingkaran E .
Sebagaimana kita mengetahui bahwa jika terdapat dua lingkaran, maka hubungan yang mungkin terjadi adalah berpotongan, tidak saling berpotongan, dan bersinggungan. Sama halnya dengan pensil lingkaran yang didasarkan pada 21
dua lingkaran pembangkit, pensil lingkaran tersebut akan mempunyai anggotaanggota yang tidak saling berpotongan, saling berpotongan di dua titik, atau saling bersinggungan, tergantung pada masing-masing lingkaran pembangkitnya. Berikut ini tiga jenis pensil lingkaran berdasarkan dua lingkaran pembangkitnya.
III.1
Pensil Hiperbolik
Pensil Hiperbolik merupakan pensil lingkaran yang seluruh anggotanya (baik lingkaran maupun garis) tidak saling berpotongan satu sama lain. Hal ini dikarenakan dua lingkaran pembangkit dari pensil ini tidak berpotongan. Berdasarkan sifatnya tersebut pensil hiperbolik juga sering disebut pensil nol titik.
Gambar III.4: Pensil Hiperbolik
Misal persamaan umum lingkaran adalah X 2 + Y 2 + 2kX + e = 0. Jika kita misalkan e = p2 , maka untuk titik potong lingkaran dengan sumbu Y berada p pada titik Y = −p2 , artinya tidak ada perpotongan dengan sumbu Y . Sehingga untuk pensil hiperbolik, persamaan lingkarannya adalah
X 2 + Y 2 + 2kX + p2 = 0.
Agar terlihat lebih jelas kita dapat menuliskan persamaan di atas sebagai
(X + k)2 + Y 2 = k 2 − p2 . 22
Dengan demikian dapat diketahui secara langsung bahwa lingkaran tersebut p mempunyai pusat di (−k, 0) dengan jari-jari k 2 − p2 dengan syarat k 2 ≥ p2 untuk lingkaran riil. Berdasarkan hal ini, dalam sistem tersebut tidak ada lingkaran riil dengan pusat antara (−p, 0) dan (p, 0). Adapun lingkaran dengan pusat (−p, 0) atau (p, 0) disebut lingkaran titik, karena jari-jarinya nol. Seandainya kita paksakan titik pusat antara (−p, 0) dan (p, 0), kita akan mendapatkan arti geometri yang berbeda, yaitu sebuah lingkaran imajiner, karena mempunyai jari-jari imajiner. Jadi titik (−p, 0) dan (p, 0) disebut titik batas (limiting points) dari sistem koaksial karena merupakan batas titik pusat lingkaran. Pensil lingkaran dengan dua lingkaran pembangkit yang tidak berpotongan dinamakan pensil hiperbolik tentu dengan suatu alasan. Hal ini karena terdapat berkas hiperbola dalam pensil lingkaran jenis ini. Akan ditunjukkan berkas hiperbola dalam pensil hiperbolik. Misal terdapat suatu sistem koaksial dengan sumbu X serta titik A dan titik B sebagai dua titik batas pusat lingkaran pada sistem tersebut. Sumbu radikalnya sebagai sumbu Y yang memuat pusat lingkaran-lingkaran dari sistem koaksial yang kedua dengan A dan B sebagai titik potong bersama. Misal titik T sebagai pusat suatu lingkaran C dari sistem koaksial pertama, dan I sebagai pusat dari suatu lingkaran E pada sistem kedua. Panjang garis singgung dari T terhadap lingkaran E atau suatu lingkaran pada sistem kedua adalah tetap, yaitu sama dengan jari-jari lingkaran C sebesar r. Misal T P dan T P3 adalah garis singgung dari T terhadap lingkaran E dengan titik singgung di P dan P3 . Kemudian misalkan DAE dan D0 BE 0 sebagai garis singgung dengan titik singgung masing-masing di A dan B. Garis DAE dan D0 BE 0 akan memotong garis T P dan T P3 di titik D, D0 , E, E 0 . Karena DP dan DA adalah garis singgung dari D terhadap lingkaran E , maka |DP | = |DA|. Sehingga |DT | − |DP | = |DT | − |DA| = r dan |ET | − |EA| = r. Berdasarkan hal ini, kita dapat menyimpulkan bahwa lokus D dan E merupakan sebuah hiperbola dengan foci T dan A. Oleh sebab itulah pensil dengan dua lingkaran pembangkit yang tidak berpotongan disebut pensil hiperbolik (Gambar III.5). 23
Gambar III.5: Berkas hiperbola yang terdapat pada pensil hiperbolik.
III.2
Pensil Elliptik
Pensil Elliptik merupakan pensil lingkaran yang seluruh anggotanya (baik lingkaran maupun garis) saling berpotongan di dua titik yang sama. Berdasarkan sifatnya tersebut pensil elliptik juga sering disebut pensil dua titik.
Gambar III.6: Pensil Elliptik
Dalam bentuk kanonik seperti ini titik potong antara dua lingkaran pembangkit terdapat pada sumbu Y baru atau X = 0, maka akan bertepatan dengan Y 2 = −e pada lingkaran tersebut. Jika e = −p2 untuk suatu p ∈ R, maka Y 2 = p2 , artinya Y = ±p, dengan kata lain titik perpotongan tersebut terletak pada koordinat (0, p) dan (0, −p). Jadi, semua lingkaran dengan pusat berada pada sumbu X baru akan berpotongan pada garis X = 0 di titik (0, p) dan
24
(0, −p), sehingga persamaan lingkarannya dapat ditulis sebagai
X 2 + Y 2 + 2kX − p2 = 0.
Seperti yang telah dijelaskan dalam pensil hiperbolik, bahwa sebenarnya pensil hiperbolik berasosiasi dengan pensil elliptik. Sehingga untuk menunjukkan berkas ellips pada pensil elliptik kita masih akan menggunakan lingkaran Apollonius. Dengan menduplikasi langkah pada pensil hiperbolik, kita dapatkan titik perpotongan D, D0 , E, E 0 dari perpotongan antara garis DAE dan D0 BE 0 (sebagai garis singgung dari titik A dan B) dengan garis T P dan T P3 (sebagai garis singgung dari T terhadap lingkaran E ). D0 P dan D0 B adalah garis singgung dari titik D terhadap lingkaran E , jadi |D0 P | = |D0 B|. Sehingga |D0 T | + |D0 P | = |D0 T | − |D0 B| = r dan |E 0 T | − |E 0 B| = r. Berdasarkan hal ini, kita dapat menyimpulkan bahwa lokus D0 dan E 0 merupakan sebuah ellips dengan foci T dan B. Berkas ellips yang terbentuk memotong pensil elliptik karena fokus B dilalui oleh lingkaran E . Oleh sebab itulah pensil dengan dua lingkaran pembangkit yang saling berpotongan disebut pensil elliptik (Gambar III.7).
Gambar III.7: Berkas ellips yang berpotongan dengan pensil elliptik.
25
III.3
Pensil Parabolik
Pensil parabolik merupakan pensil lingkaran yang seluruh anggotanya (baik lingkaran maupun garis) saling bersinggungan di satu titik yang sama atau mempunyai satu titik bersama (one common point).
Gambar III.8: Pensil Parabolik
Pada pensil elliptik telah dijelaskan bahwa semua lingkaran akan berpotongan pada dua titik, yaitu titik (0, p) dan (0, −p). Akan tetapi ada saatnya kedua titik tersebut mempunyai koordinat yang sama, yaitu jika p = 0. Karena nilai p = 0, maka semua lingkaran hanya akan berpotongan di satu titik (0, 0), dengan kata lain semua lingkaran hanya bersinggungan. Sehingga kita dapat menuliskan persamaan lingkaran dalam pensil ini sebagai
X 2 + Y 2 + 2kX = 0.
Pensil parabolik akan berasosiasi dengan pensil parabolik karena memiliki satu titik bersama yang menjadi titik singgung dari semua lingkaran-lingkarannya. Akibatnya lingkaran-lingkaran dari pensil yang satu saling ortogonal dengan lingkaran-lingkaran pada pensil lainnya. Pensil lingkaran yang memiliki satu titik bersama seperti ini dinamakan parabolik karena terdapat berkas parabola dalam sistemnya. Misal terdapat suatu sistem koaksial dengan sumbu X serta titik A sebagai satu titik bersama lingkaran-lingkaran pada sistem tersebut. Sumbu radikalnya 26
sebagai sumbu Y yang memuat pusat lingkaran-lingkaran dari sistem koaksial yang kedua dengan A sebagai titik bersama. Misal titik T sebagai pusat suatu lingkaran C dari sistem koaksial pertama, dan I sebagai pusat dari suatu lingkaran E pada sistem kedua. Kemudian kita buat sebuah garis g yang sejajar dengan sumbu Y dan melalui titik T . Misal T A dan T P adalah garis singgung dari T terhadap lingkaran E dengan A dan P sebagai titik singgungnya. Jika kita buat garis yang melalui titik I dan P , maka terdapat titik potong E antara garis IP dan garis g. Sehingga kita punya titik E, P, I yang segaris dengan I sebagai titik tetap.
Gambar III.9: Berkas parabola pada pensil parabolik.
Akan ditunjukkan bahwa |IE| = |ET |. Jika kita amati 4IT E, kita dapat menentukan luas segitiga tersebut dengan memandang ruas T E sebagai alas dan ruas AT sebagai tinggi atau ruas EI sebagai alas dan ruas P T sebagai tinggi.
Luas4IT E = Luas4IT E |T E| · |AT | |EI| · |P T | = . 2 2 Karena |AT | = |P T |, maka |T E| = |EI|. Dengan kata lain lokus titik E adalah sebuah parabola dengan I sebagai fokusnya. Oleh sebab itulah pensil dengan dua lingkaran pembangkit yang saling bersinggungan disebut pensil parabolik (Gambar III.9). 27
Bab IV
IV.1
Simpulan dan Masalah Terbuka
Simpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab II, dapat kita simpulkan beberapa hal: 1. Jika dua lingkaran pembangkit saling berpotongan di dua titik, maka arti geometri dari persamaan λC + µC 0 = 0 adalah garis atau lingkaran yang melalui dua titik perpotongan. 2. Jika dua lingkaran pembangkit saling berpotongan di satu titik, maka arti geometri dari persamaan λC + µC 0 = 0 adalah garis atau lingkaran yang menyinggung C dan C 0 di titik singgung yang sama. 3. Jika dua lingkaran pembangkit tidak saling berpotongan, maka arti geometri dari persamaan λC + µC 0 = 0 adalah garis atau lingkaran yang tidak memotong lingkaran-lingkaran pembangkit, atau kosong. 4. Jika dua lingkaran pembangkit sepusat, maka arti geometri dari persamaan λC + µC 0 = 0 adalah lingkaran yang sepusat, atau bahkan kosong. Terdapat tiga jenis pensil berdasarkan dua lingkaran pembangkitnya: 1. Pensil Hiperbolik, atau sering juga disebut lingkaran-lingkaran Apollonia, merupakan pensil lingkaran yang seluruh anggotanya (baik lingkaran maupun garis) tidak saling berpotongan satu sama lain. Dinamakan hiperbolik karena terdapat berkas hiperbola dalam sistem tersebut. 2. Pensil Elliptik merupakan pensil lingkaran yang seluruh anggotanya (baik lingkaran maupun garis) saling berpotongan di dua titik yang sama. Dinamakan elliptik karena terdapat berkas ellips dalam sistem tersebut.
28
3. Pensil parabolik merupakan pensil lingkaran yang seluruh anggotanya (baik lingkaran maupun garis) saling bersinggungan di satu titik yang sama atau mempunyai satu titik bersama (one common point). Dinamakan parabolik karena terdapat berkas parabola dalam sistem tersebut.
IV.2
Masalah Terbuka
Sebagai motivasi untuk memperluas pengetahuan, disarankan beberapa masalah terbuka terkait dengan pembahasan pada proyek ini. 1. Bagaimana bentuk dari kombinasi lingkaran dengan garis ? 2. Bagaimana bentuk pensil lingkaran dengan tiga atau lebih lingkaran pembangkit ? 3. Bagaimana bentuk sistem ellips, sistem parabola dan sistem hiperbola ?
29
Daftar Pustaka
[1] Pedoe Dan. 1988. Geometry a Comprehensive Course. New York: Dover Publication,Inc. [2]
. 1995. Circle: a Mathematical View. Washington: The Mathematical Association of America.
[3] Jain P. K. dan Ahmad K. 2005. Textbook of Analitical Geometry of Two Dimensions. New Delhi: New Age International. [4] Dixon Robert. 1991. Mathographics. New York: Dover Publication,Inc. [5] Finlayson W. 1906. Coaxial Circles and Conics dalam Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society Vol.25 hlm.48-57. Cambridge: Cambridge University Press. [6] Venema, Gerard A. 2012. Foundations of Geometry. Boston: Pearson Education,Inc.
30
Riwayat Hidup
Lahir dan dibesarkan di Cianjur, penulis yang bernama Guntur Maulana Muhammad adalah anak pertama dari pasangan Drs. Gun Gun Guswandi, M.Pd dan Dra. Yani Wahyu Iriani. Setelah lulus sekolah dasar di SDN Ibu Dewi 2 Cianjur, penulis melanjutkan pendidikannya ke SMP Negeri 2 Cianjur. Tiga tahun kemudian penulis hijrah ke Kota Bogor untuk melanjutkan pendidikannya di Sekolah Menengah Analis Kimia Bogor selama empat tahun. Lulus pada tahun 2006, pendidikannya sempat tertunda dua tahun untuk melanjutkan ke bangku kuliah, penulis mulai menjadi mahasiswa di Universitas Suryakancana Cianjur pada tahun 2008. Mahasiswa kelahiran 23 Oktober 1987 ini mengambil jenjang S1 dengan Program Studi Pendidikan Matematika. Pada tahun 2013 penulis melanjutkan pendidikannya dengan mengikuti program studi Magister Pengajaran Matematika di Institut Teknologi Bandung. Selama pendidikannya itu pula penulis berkesempatan menerima beasiswa voucher dari ITB.
31
