Parametrick´ e vyj´ adˇ ren´ı rotaˇ cn´ıch a ˇ sroubov´ ych ploch ˇ ak Michal Sest´ Maturitn´ı pr´ace 2013/2014
Sm´ıchovsk´a stˇredn´ı pr˚ umyslov´a ˇskola ˇ Fakulta architektury CVUT Vedouc´ı pr´ace: Mgr. Zbyˇsek Nechanick´y Oponenti: RNDr. Alena Ryb´akov´a, RNDr. Vladim´ıra H´ajkov´a, Ph.D.
Obsah 1 Parametrick´ e vyj´ adˇ ren´ı kuˇ zeloseˇ cek
2
2 Rotaˇ cn´ı plochy 2.1 Rotaˇcn´ı kvadratick´e plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Dalˇs´ı rotaˇcn´ı plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Pˇr´ıklady na procviˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 9 17 20
ˇ 3 Sroubov´ e plochy 3.1 Pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy 3.2 Cyklick´e ˇsroubov´e plochy 3.3 Dalˇs´ı ˇsroubov´e plochy . . 3.4 Pˇr´ıklady na procviˇcen´ı . .
21 21 28 32 33
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
4 Teˇ cn´ e roviny ploch
34
5 Praktick´ e vyuˇ zit´ı
40
6 V´ ysledky
48
1
1
Parametrick´ e vyj´ adˇ ren´ı kuˇ zeloseˇ cek
V t´eto kapitole pˇripomeneme parametrick´ y popis kuˇzeloseˇcek a popis jejich teˇcen na konkr´etn´ıch pˇr´ıkladech. Neuv´ ad´ıme zde ˇz´ adn´e odvozen´ı, to je obsahem pr´ace studenta Jana Suchomela: Parametrick´ y popis kˇrivek.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 1 Je d´ana kruˇznice k o stˇredu S[2; −3] a polomˇeru r = 3. Napiˇste stˇredov´ y tvar obecn´e rovnice t´eto kruˇznice. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı t´eto kruˇznice.
ˇ sen´ı Reˇ Stˇredov´ y tvar obecn´e rovnice je: (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9. Parametrick´ ych popis˚ u kruˇznice je mnoho. My budeme potˇrebovat popsat kruˇznici (jeden obˇeh) se zadan´ ym v´ ychoz´ım bodem a zadan´ ym smˇerem obˇehu (kladn´ y nebo z´aporn´ y smˇer). Vypoˇc´ıtejme pr˚ useˇc´ıky kruˇznice s osou y(x = 0). (−2)2 + (y + 3)2 = 9 (y + 3)2 = 5 √ y1,2 = −3 ± 5 Necht’ je v´ ychoz´ım bodem pˇri jednom obˇehu kruˇznice (t ∈ h0; 2πi) bod K[0; −3 + prob´ıh´ana v kladn´em smˇeru (tj. v protismˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek). Parametrick´ y popis pak je: √ √ k(t) = [2 − 2 cos t − 5 sin t; −3 + 5 cos t − 2 sin t]; t ∈ h0; 2πi.
Obr´azek 1: Kruˇznice
2
√
5] a kruˇznice je
Pˇ r´ıklad ˇ c. 2 Bod V [−6; 7] je vrcholem paraboly, parametr paraboly je p = 2, osa paraboly o je 1) rovnobˇeˇzn´ a s osou x, 2) rovnobˇeˇzn´ a s osou y. Napiˇste vrcholov´ y tvar obecn´ ych rovnic vˇsech parabol, kter´e vyhovuj´ı zad´an´ı. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı tˇechto parabol.
ˇ sen´ı Reˇ ’ je ohnisko bod E −6 + p2 ; 7 = [−5; 7] nebo bod 1) Zad´ a n´ ı vyhovuj´ ı dvˇ e paraboly, bud F −6 − p2 ; 7 = [−7; 7]. Vrcholov´ y tvar obecn´ s ohniskem E je (y − 7)2 = 4(x + 6) a parametrick´e h 2e rovnice paraboly i vyj´adˇren´ı je k(t) = t4 − 6; t + 7 ; t ∈ R. Vrcholov´ y tvar obecn´ s ohniskem F je (y − 7)2 = −4(x + 6) a parametrick´e h e 2rovnice paraboly i vyj´adˇren´ı je k(t) = − t4 − 6; t + 7 ; t ∈ R.
Obr´ azek 2: Parabola s ohniskem E; t ∈ h−7; 7i
Obr´ azek 3: Parabola s ohniskem F ; t ∈ h−7; 7i
3
’ je ohnisko bod G −6; 7 + p2 = [−6; 8] nebo bod 2) Zad´ a n´ ı vyhovuj´ ı dvˇ e paraboly, bud H −6; 7 − p2 = [−6; 6]. Vrcholov´ y tvar obecn´ paraboly s ohniskem G je (x + 6)2 = 4(y − 7) a parametrick´e i h e rovnice 2 vyj´adˇren´ı je k(t) = t − 6; t4 + 7 ; t ∈ R. Vrcholov´ y tvar obecn´ paraboly s ohniskem H je (x + 6)2 = −4(y − 7) a parametrick´e h e rovnice i 2 vyj´adˇren´ı je k(t) = t − 6; − t4 + 7 ; t ∈ R.
Obr´ azek 4: Parabola s ohniskem G; t ∈ h−7; 7i
Obr´ azek 5: Parabola s ohniskem H; t ∈ h−7; 7i
4
Pˇ r´ıklad ˇ c. 3 Bod S[1; 1] je stˇred elipsy, hlavn´ı osa elipsy je rovnobˇeˇzn´a s osou x, velikost hlavn´ı poloosy a = 2, velikost vedlejˇs´ı poloosy b = 1. Napiˇste stˇredov´ y tvar obecn´e rovnice t´eto elipsy, napiˇste tak´e jej´ı parametrick´e vyj´ adˇren´ı. D´ ale napiˇste souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u elipsy se souˇradnicov´ ymi osami a napiˇste obecn´e rovnice teˇcen elipsy v tˇechto bodech
ˇ sen´ı Reˇ Stˇredov´ y tvar rovnice elipsy je: (x − 1)2 (y − 1)2 + = 1. 4 1 Vyuˇzijeme vzorec cos2 t + sin2 t = 1 a d´ ame do rovnost´ı Odsud z´ısk´ame parametrick´ y popis elipsy:
x−1 2
k(t) = [1 + 2 cos t; 1 + sin t];
= cos t
a
y−1 1
= sin t.
t ∈ h0; 2πi.
Pro popis teˇcen vyuˇzijeme parametrick´ y tvar. Nejdˇr´ıve urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky elipsy s osou x(y = 0): 1 + sin t = 0 sin t = −1 3π (ˇreˇsen´ı v intervalu h0; 2πi). t= 2 s´ı vrchol elipsy). Pr˚ useˇc´ık s osou x je bod D = k 3π 2 = [1; 0] (vedlejˇ Vypoˇc´ıt´ame pr˚ useˇc´ıky elipsy s osou y(x = 0): 1 + 2 cos t = 0 1 cos t = − 2 2π 4π (ˇreˇsen´ı v h0; 2πi). t∈ ; 3 3 √ i h h 3 4π Pr˚ useˇc´ıky s osou y jsou body T = k 2π = 0; 1 + a U = k 3 2 3 = 0; 1 − Vypoˇc´ıt´ame teˇcn´e vektory elipsy: k 0 (t) = (−2 sin t; cos t). Pro pr˚ useˇc´ıky D, T, U z´ısk´ ame smˇerov´e vektory teˇcen dosazen´ım: 0 3π = (2; 0), D = k 3π 2 = [1; 0] a k 2 √ i √ h 3 1 T = k 2π = 0; 1 + a k 0 2π 3 2 3 = − 3; − 2 , √ i √ h 3 U = k 4π = 0; 1 − a k 0 4π 3; − 12 . 3 2 3 = Nyn´ı jiˇz nap´ıˇseme obecn´e rovnice teˇcen: teˇcna v bodˇe D je pˇr´ımka m: y = √ 0 (osa x), √ teˇcna v bodˇe T je pˇr´ımka p: x − 2 √3y + 2 √3 + 3 = 0, teˇcna v bodˇe U je pˇr´ımka q: x + 2 3y − 2 3 + 3 = 0.
5
√
3 2
i
.
Obr´ azek 6: Elipsa s teˇcnami
Pˇ r´ıklad ˇ c. 4 Body A[2; 2] a B[2; 10] jsou hlavn´ı vrcholy elipsy, velikost vedlejˇs´ı poloosy je b = 1. Napiˇste stˇredov´ y tvar obecn´e rovnice elipsy. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı elipsy (1 obˇeh, t ∈ h0; 2πi), v´ ychoz´ı bod necht’ je bod A, elipsa je prob´ıh´ ana v z´ aporn´em smˇeru.
ˇ sen´ı Reˇ Stˇred elipsy je bod S[2; 6], velikost hlavn´ı poloosy je a = 4 a stˇredov´ y tvar rovnice je: (x − 2)2 (y − 6)2 + = 1. 1 16 V parametrick´em popisu bude v x-ov´e souˇradnici funkce sin a v y-ov´e souˇradnici funkce cos. Vhodnou volbou znam´enek u tˇechto funkc´ı dostaneme poˇzadovan´e parametrick´e vyj´adˇren´ı: Parametrick´ y tvar: k(t) = [2 − sin t; 6 − 4 cos t];
Obr´azek 7: Elipsa
6
t ∈ h0; 2πi.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 5 Bod S[3; −9] je stˇred hyperboly, osy hyperboly jsou rovnobˇeˇzn´e se souˇradnicov´ ymi osami, velikost hlavn´ı poloosy je a = 3, velikost vedlejˇs´ı poloosy je b = 2. Napiˇste stˇredov´ y tvar obecn´ ych rovnic vˇsech hyperbol, kter´e vyhovuj´ı zad´ an´ı. Napiˇste obecn´e rovnice asymptot. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı tˇechto hyperbol.
ˇ sen´ı Reˇ 1) Hlavn´ı osa hyperboly je rovnobˇeˇzn´ a s osou x, stˇredov´ y tvar je: (x − 3)2 (y + 9)2 − = 1. 9 4 Obecn´e rovnice asymptot z´ısk´ ame z: (x − 3)2 (y + 9)2 − =0 9 4 4(x − 3)2 − 9(y + 9)2 = 0 [2(x − 3) − 3(y + 9)] · [2(x − 3) + 3(y + 9)] = 0, tedy a1 : 2x − 3y − 33 = 0
a a2 : 2x + 3y + 21 = 0.
Pro parametrick´ y popis vyuˇzijeme vzorec (cosh t)2 − (sinh t)2 = 1 a d´ame do rovnost´ı y+9 x−3 ısk´ ame parametrick´ y popis jedn´e vˇetve: 3 = cosh t a 2 = sinh t. Z´ k(t) = [3 + 3 cosh t; −9 + 2 sinh t];
t ∈ R.
k(t) = [3 ± 3 cosh t; −9 + 2 sinh t];
t ∈ R.
Pro obˇe vˇetve je:
Obr´ azek 8: Hyperbola pro t ∈ h−1.8; 1.8i
7
2) Hlavn´ı osa hyperboly je rovnobˇeˇzn´ a s osou y, stˇredov´ y tvar jej´ı rovnice je: −
(x − 3)2 (y + 9)2 + =1 4 9 a a2 : 3x − 2y − 27 = 0.
Rovnice asymptot jsou a1 : 3x + 2y + 9 = 0 Parametrick´ y popis obou vˇetv´ı je:
k(t) = [3 + 2 sinh t; −9 ± 3 cosh t];
t ∈ R.
Obr´ azek 9: Hyperbola pro t ∈ h−1.8; 1.8i
8
2
Rotaˇ cn´ı plochy
Rotaˇcn´ı pohyb je v prostoru zad´ an osou rotace o. Zadan´ y bod K, kter´ y neleˇz´ı na ose o, se pˇri rotaci pohybuje po kruˇznici m. Tato kruˇznice leˇz´ı v rovinˇe α, kter´a proch´az´ı bodem K a je kolm´a k ose o. Oznaˇcme M pr˚ useˇc´ık osy o a roviny α, je to stˇred kruˇznice m, polomˇer kruˇznice m je roven vzd´alenosti bod˚ u K a M.
Obr´ azek 10: Ilustraˇcn´ı obr´azek
Rotaˇcn´ı plocha vznikne rotac´ı kˇrivky k pˇri zadan´em rotaˇcn´ım pohybu (kˇrivka k neleˇz´ı v rovinˇe kolm´e k ose rotace o). Kaˇzd´ y bod kˇrivky k se pohybuje po tzv. rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici. Uvaˇzujme libovolnou rovinu ρ, kter´ a proch´az´ı osou o. Pr˚ unik roviny ρ a rotaˇcn´ı plochy je kˇrivka zvan´a poledn´ık (meridi´ an). Je to kˇrivka soumˇern´a podle osy o, jedna ze soumˇern´ ych ˇc´ast´ı se naz´ yv´ a polomeridi´an.
2.1
Rotaˇ cn´ı kvadratick´ e plochy
Rotaˇcn´ı kvadratick´e plochy vznikaj´ı bud’ rotac´ı pˇr´ımky kolem zadan´e osy rotace nebo rotac´ı kuˇzeloseˇcky (elipsy, kruˇznice, paraboly, hyperboly) kolem nˇekter´e z jej´ıch os. Plochy se naz´ yvaj´ı kvadratick´e, protoˇze mohou b´ yt pops´any pomoc´ı kvadratick´eho polynomu v promˇenn´ ych x, y a z. Napˇr´ıklad x2 + y 2 + z 2 = r2 je rovnice jedn´e z rotaˇcn´ıch kvadratick´ ych ploch, je to kulov´a plocha o stˇredu O[0; 0; 0] a polomˇeru r. Nejdˇr´ıve si pop´ıˇseme pˇr´ımkov´e rotaˇcn´ı kvadratick´e plochy. Pro jednoduchost za osu rotace bereme vˇzdy souˇradnicovou osu z. V prvn´ım pˇr´ıkladˇe si uk´aˇzeme podrobnˇe postup, v dalˇs´ıch pˇr´ıkladech bude z´apis kratˇs´ı.
9
Pˇ r´ıklad ˇ c. 1 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı rotaˇcn´ı plochy, kter´ a vznikne rotac´ı pˇr´ımky k. Pˇr´ımka k proch´ az´ı bodem [4; −3; 0] a je rovnobˇeˇzn´a s osou rotace.
ˇ sen´ı Reˇ Zaˇcneme parametrick´ ym popisem pˇr´ımky k: k(t) = [4; −3; t];
t ∈ R.
Zadan´a pˇr´ımka je polomeridi´ anem plochy a v´ ysledn´a plocha je rotaˇcn´ı v´alcov´a plocha. Kaˇzd´ y bod pˇr´ımky k se pohybuje po rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici. Zvolme si pevnˇe (ale libovolnˇe) bod K pˇr´ımky k: K = k(t0 ) = [4; −3; t0 ]. Nyn´ı pop´ıˇseme rovnobˇeˇzkovou kruˇznici m bodu K v rovinˇe α : z = t0 . Kruˇznici m m˚ uˇzeme popsat r˚ uznˇe: m(s) = [4 cos s + 3 sin s; −3 cos s + 4 sin s; t0 ]; s ∈ h0; 2πi (1 obˇeh). √ Nebo m˚ uˇzeme urˇcit polomˇer r. Stˇred kruˇznice m je bod M [0; 0; t0 ] a r = |M K| = 16 + 9 = 5. Jin´a parametrizace je: m(u) = [5 cos u; 5 sin u; t0 ]; u ∈ h0; 2πi. Parametrick´ y popis plochy z´ısk´ ame tak, ˇze nyn´ı budeme mˇenit bod K pˇr´ımky k (uvoln´ıme fixovan´ y parametr t0 , tedy zamˇen´ıme t za t0 ): p(t, s) = [4 cos s + 3 sin s; −3 cos s + 4 sin s; t];
t ∈ R; s ∈ h0; 2πi
nebo p(t, u) = [5 cos u; 5 sin u; t];
t ∈ R; u ∈ h0; 2πi.
Obr´ azek 11: V´ alcov´ a plocha pro parametry t ∈ h0; 10i, s ∈ h0; 2πi
10
Pˇ r´ıklad ˇ c. 2 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı rotaˇcn´ı plochy, kter´ a vznikne rotac´ı pˇr´ımky k. Pˇr´ımka k je urˇcena body [5; 0; 8] a [0; 0; 4].
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis pˇr´ımky k je: k(t) = [5t; 0; 4 + 4t]
t ∈ R.
Je to polomeridi´ an rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy. Zvolme bod K na pˇr´ımce k: K = k(t0 ) = [5t0 ; 0; 4 + 4t0 ]. Rovnobˇeˇzkov´a kruˇznice m bodu K v rovinˇe α : z = 4 + 4t0 (polomˇer r = 5t0 , stˇred [0; 0; 4 + 4t0 ]) m´ a parametrick´ y popis: m(s) = [5t0 cos s; 5t0 sin s; 4 + 4t0 ]; s ∈ h0; 2πi (1 obˇeh). Parametrick´e vyj´ adˇren´ı rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy je: p(t, s) = [5t cos s; 5t sin s; 4 + 4t];
t ∈ R; s ∈ h0; 2πi
z
k
y
x
Obr´ azek 12: Kuˇzelov´ a plocha pro parametry t ∈ h−5; 5i, s ∈ h0; 2πi
Pˇ r´ıklad ˇ c. 3 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇs√te parametrick´e√vyj´adˇren´ı rotaˇcn´ı plochy, kter´ a vznikne rotac´ı pˇr´ımky k. Pˇr´ımka k je urˇcena body [3 2; 0; −2] a [0; 3 2; 2].
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis pˇr´ımky k je: √ √ √ k(t) = [3 2 − 3 2t; 3 2t; −2 + 4t];
t ∈ R.
Tato pˇr´ımka je s osou rotace mimobˇeˇzn´ a. √ √ √ Zvol´ıme bod K pˇr´ımky k: K = k(t0 ) = [3 2 − 3 2t0 ; 3 2t0 ; −2 + 4t0 ].
11
Abychom nemuseli poˇc´ıtat polomˇer, pop´ıˇseme kruˇznici takto: h √ √ √ m(s) = (3 2 − 3 2t0 ) · cos s + 3 2t0 sin s; i √ √ √ 3 2t0 cos s − (3 2 − 3 2t0 ) · sin s; −2 + 4t0 s ∈ h0; 2πi (1 obˇeh). Parametrick´ y popis plochy je: h √ √ √ p(t, s) = (3 2 − 3 2t) · cos s + 3 2t sin s; i √ √ √ 3 2t cos s − (3 2 − 3 2t) · sin s; −2 + 4t ; t ∈ R; s ∈ h0; 2πi.
z
k
y
x
Obr´azek 13: Plocha pro parametry t ∈ h0; 1i, s ∈ h0; 2πi; zelenˇe je vyznaˇcen polomeridi´an plochy
Z obr´azku vid´ıme, ˇze plocha je soumˇern´ a podle p˚ udorysny (x, y). Tedy plochu lze vytvoˇrit √ tak´e rotac´ı√ pˇr´ımky l, kter´ a je soumˇern´ a k pˇr´ımce k podle p˚ udorysny. Pˇr´ımka l je urˇcena body [3 2; 0; 2] a [0; 3 2, −2]. Vyzkouˇsejte si sami parametrick´ y popis plochy pro zadanou pˇr´ımku l: h √ √ √ p(t, s) = (3 2 − 3 2t) · cos s + 3 2t sin s; i √ √ √ 3 2t cos s − (3 2 − 3 2t) · sin s; 2 − 4t ; t ∈ R; s ∈ h0; 2πi. Na ploˇse jsou tedy 2 syst´emy pˇr´ımek, jeden vznikne rotac´ı pˇr´ımky k a druh´ y rotac´ı pˇr´ımky l. To je velmi v´ yhodn´e ve stavebnictv´ı. Pod´ıvejme se na kˇrivku plochy v rovinˇe (x, z), odhadujeme, ˇze meridi´an plochy je hyperbola. Je tomu skuteˇcnˇe tak a v´ ysledn´ a plocha je rotaˇcn´ı jednod´ıln´ y hyperboloid. Stejnou plochu m˚ uˇzeme tedy vytvoˇrit rotac´ı hyperboly kolem jej´ı vedlejˇs´ı osy.
12
z
l x
y
Obr´azek 14: Plocha (vznikl´ a rotac´ı pˇr´ımky l) pro parametry t ∈ h0; 1i, s ∈ h0; 2πi
Pˇ r´ıklad ˇ c. 4 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı rotaˇcn´ı plochy, 2 2 kter´a vznikne rotac´ı hyperboly k. Hyperbola k leˇz´ı v rovinˇe (x, z) a m´a rovnici x9 − z4 = 1.
z
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis zadan´e hyperboly je: k(t) = [±3 cosh t; 0; 2 sinh t];
t ∈ R.
Tato hyperbola je meridi´ an plochy. Pro popis plochy m˚ uˇzeme pouˇz´ıt celou hyperbolu (tj. obˇe vˇetve) a pak staˇc´ı otoˇcit o u ´hel π. Nebo m˚ uˇzeme rotovat jednu vˇetev a otoˇcit ji o u ´hel 2π. Vybereme bod K na jedn´e vˇetvi: K = k(t0 ) = [+3 cosh t0 ; 0; 2 sinh t0 ]. Parametrick´ y popis rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice m bodu K je: m(s) =[3 cosh t0 · cos s; 3 cosh t0 · sin s; 2 sinh t0 ]; s ∈ h0; 2πi.
k x
y
Obr´azek 15: Jednod´ıln´ y hyperboloid pro parametry t ∈ h−1; 1i, s ∈ h0; 2πi
Parametrick´ y popis jednod´ıln´eho hyperboloidu je: p(t, s) = [3 cosh t·cos s; 3 cosh t·sin s; 2 sinh t];
t ∈ R; s ∈ h0; 2πi.
Hyperbolu m˚ uˇzeme tak´e ot´ aˇcet kolem jej´ı hlavn´ı osy, vznikl´a plocha m´a dva d´ıly a naz´ yv´ a se dvojd´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 5 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne 2 z2 rotac´ı hyperboly k. Rovnoos´ a hyperbola k leˇz´ı v rovinˇe (y, z) a m´a rovnici − y25 + 25 = 1.
13
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis zadan´e hyperboly je: k(t) = [0; 5 sinh t; ±5 cosh t];
t ∈ R.
Hyperbolu staˇc´ı otoˇcit o u ´hel π. Zvolme bod K = k(t0 ) = [0; 5 sinh t0 ; 5 cosh t0 ] (resp. [0; 5 sinh t0 ; −5 cosh t0 ] na druh´e vˇetvi). Parametrick´e vyj´ adˇren´ı rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice m v rovinˇe α : z = 5 cosh t0 (resp. z = −5 cosh t0 ) je: m(s) = [5 sinh t0 cos s; 5 sinh t0 sin s; ±5 cosh t0 ]; s ∈ h0; πi. Parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy je: p(t, s) = [5 sinh t cos s; 5 sinh t sin s; ±5 cosh t];
t ∈ R; s ∈ h0; πi.
z
x
y
Obr´ azek 16: Dvojd´ıln´ y hyperboloid pro parametry t ∈ h−2; 2i, s ∈ h0; 2πi V souboru rotaˇcn´ıch kvadratick´ ych ploch samozˇrejmˇe nem˚ uˇze chybˇet kulov´a plocha. Vznikne rotac´ı kruˇznice, jej´ıˇz stˇred leˇz´ı na ose rotace.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 6 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne rotac´ı kruˇznice k. Kruˇznice k leˇz´ı v rovinˇe (x, z), bod O[0; 0; 0] je jej´ı stˇred, polomˇer je r = 6.
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis kruˇznice k je: k(t) = [6 cos t; 0; 6 sin t]; t ∈ h0; 2πi.
M˚ uˇzeme otoˇcit polovinu kruˇznice t ∈ π2 ; 3π ou ´hel 2π nebo celou kruˇznici k o u ´hel π. Zvol´ıme bod 2 K = k(t0 ) = [6 cos t0 ; 0; 6 sin t0 ]. Parametrick´e vyj´adˇren´ı rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice je: m(s) = [6 cos t0 cos s; 6 cos t0 sin s; 6 sin t0 ]; s ∈ h0; 2πi (pro s ∈ h0; πi se jedn´a o p˚ ulkruˇznici). Parametrick´ y popis kulov´e plochy je: p(t, s) = [6 cos t cos s; 6 cos t sin s; 6 sin t]
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; πi nebo t ∈ π2 ; 3π a s ∈ h0; 2πi . 2 Pokud je kˇrivka k elipsa, m˚ uˇzeme ji ot´ aˇcet bud’ kolem jej´ı hlavn´ı osy nebo kolem jej´ı vedlejˇs´ı osy. Tyto rotaˇcn´ı kvadratick´e plochy se naz´ yvaj´ı elipsoidy. 14
z
y
x
Obr´ azek 17: Kulov´ a plocha pro parametry t ∈
3π 2; 2
π
, s ∈ h0; 2πi
Pˇ r´ıklad ˇ c. 7 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne 2 2 rotac´ı elipsy k. Elipsa leˇz´ı v rovinˇe (x, z) a m´a rovnici: x4 + (z−4) = 1. 16
z
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis elipsy k je: k(t) = [2 cos t; 0; 4 + 4 sin t];
t ∈ h0; 2πi.
Osa rotace je hlavn´ı osa elipsy, elipsu otoˇc´ıme o u ´hel π. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = [2 cos t0 ; 0; 4 + 4 sin t0 ]. Parametrick´e vyj´adˇren´ı rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice: m(s) = [2 cos t0 cos s; 2 cos t0 sin s; 4 + 4 sin t0 ]; s ∈ h0; 2πi. Parametrick´ y popis plochy je: p(t, s) = [2 cos t cos s; 2 cos t sin s; 4 + 4 sin t];
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; πi
Z obr´azku je zˇrejm´e, proˇc se tento elipsoid naz´ yv´a prot´ahl´ y.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 8 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e y x vyj´adˇren´ı plochy, kter´ a vznikne rotac´ı elipsy k. Elipsa leˇz´ı v rovinˇe (y, z) 2 2 Obr´azek 18: Prot´ ahl´ y a m´a rovnici: y16 + (z−2) = 1. 4 elipsoid pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; πi ˇ
Reˇ sen´ı
Parametrick´ y popis elipsy k je: k(t) = [0; 4 cos t; 2 + 2 sin t];
t ∈ h0; 2πi.
Osa rotace je vedlejˇs´ı osa elipsy, elipsu otoˇc´ıme o u ´hel π. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = [0; 4 cos t0 ; 2 + 2 sin t0 ]. Parametrick´e vyj´ adˇren´ı rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice m v rovinˇe α : z = 2 + 2 sin t0 je: m(s) = [4 cos t0 cos s; 4 cos t0 sin s; 2 + 2 sin t0 ]; s ∈ h0; 2πi. Parametrick´ y popis plochy je: p(t, s) = [4 cos t cos s; 4 cos t sin s; 2 + 2 sin t]; Tento elipsoid se naz´ yv´ a zploˇstˇel´ y. 15
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; πi.
z k
y
x
Obr´ azek 19: Zploˇstˇel´ y elipsoid pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; πi
Pˇ r´ıklad ˇ c. 9 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne rotac´ı paraboly k. Parabola k leˇz´ı v rovinˇe (x, z) a m´a rovnici x2 = 6z.
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis paraboly k je: t2 ; k(t) = t; 0; 6
t∈R
h i t2 Osa rotace je osou paraboly, parabolu otoˇc´ıme o u ´hel π. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = t0 ; 0; 60 . Parah i t2 metrick´e vyj´adˇren´ı rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice: m(s) = t0 cos s; t0 sin s; 60 ; s ∈ h0; 2πi. Parametrick´ y popis plochy je: t2 p(t, s) = t cos s; t sin s; ; 6
t ∈ R; s ∈ h0; πi.
z
k y
x
Obr´ azek 20: Paraboloid pro t ∈ h−5; 5i, s ∈ h0; πi
T´ımto je seznam rotaˇ cn´ıch kvadratick´ ych ploch u ´ pln´ y.
16
2.2
Dalˇ s´ı rotaˇ cn´ı plochy
Nyn´ı m˚ uˇzeme vytv´ aˇret sami nejr˚ uznˇejˇs´ı rotaˇcn´ı plochy. Mezi zn´am´e rotaˇcn´ı plochy patˇr´ı anuloid.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 10 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne rotac´ı kruˇznice k. Kruˇznice k leˇz´ı v rovinˇe (x, z), bod S[6; 0; 0] je jej´ı stˇred, polomˇer je r = 3.
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis kruˇznice k je: k(t) = [6 + 3 cos t; 0; 3 sin t];
t ∈ h0; 2πi.
Zadan´a kruˇznice neprot´ın´ a osu rotace. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = [6 + 3 cos t0 ; 0; 3 sin t0 ]. Parametrick´e vyj´adˇren´ı rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice m bodu K v rovinˇe α : z = 3 sin t0 je: m(s) = [(6 + 3 cos t0 ) · cos s; (6 + 3 cos t0 ) · sin s; 3 sin t0 ]; s ∈ h0; 2πi. Parametrick´ y popis plochy je: p(t, s) = [(6 + 3 cos t) · cos s; (6 + 3 cos t) · sin s; 3 sin t];
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi.
z
x
y
k
Obr´ azek 21: Anuloid pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
Pˇri pohledu na obr´ azek se n´ am urˇcitˇe vybav´ı duˇse automobilov´eho kola. V pˇr´ıkladˇe ˇc. 6 jsme rotovali kruˇznici, jej´ıˇz stˇred leˇzel na ose rotace, v pˇr´ıkladˇe ˇc. 9 jsme rotovali kruˇznici, kter´a nem´ a spoleˇcn´e body s osou rotace. Nyn´ı n´as zaj´ımaj´ı dalˇs´ı pˇr´ıpady.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 11 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne rotac´ı kruˇznice k. Kruˇznice k leˇz´ı v rovinˇe (y, z), bod S[0; 4; 0] je jej´ı stˇred, polomˇer je r = 4.
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis kruˇznice k je: k(t) = [0; 4 + 4 cos t; 4 sin t];
17
t ∈ h0; 2πi.
Zadan´a kruˇznice se dot´ yk´ a osy rotace. Plocha se naz´ yv´a axoid. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = = [0; 4 + 4 cos t0 ; 4 sin t0 ]. Parametrick´e vyj´ adˇren´ı rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice m bodu K v rovinˇe α : z = 4 sin t0 je: m(s) = [(4 + 4 cos t0 ) cos s; (4 + 4 cos t0 ) sin s; 4 sin t0 ]; s ∈ h0; 2πi. Parametrick´ y popis plochy je: p(t, s) = [(4 + 4 cos t) cos s; (4 + 4 cos t) sin s; 4 sin t];
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi.
z
z
y k
x
Obr´ azek 22: Axoid pro t ∈ h0; 2πi, s ∈
π
2 ; 2π
Pˇ r´ıklad ˇ c. 12 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne rotac´ı kruˇznice k. Kruˇznice k leˇz´ı v rovinˇe (x, z), bod S[2; 0; 0] je jej´ı stˇred, polomˇer je r = 4.
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis kruˇznice k je: k(t) = [2 + 4 cos t; 0; 4 sin t];
t ∈ h0; 2πi.
Zadan´a kruˇznice prot´ın´ a osu rotace ve dvou r˚ uzn´ ych bodech. Plocha se naz´ yv´a melanoid. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = [2 + 4 cos t0 ; 0; 4 sin t0 ]. Parametrick´e vyj´adˇren´ı rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice m bodu K v rovinˇe α : z = 4 sin t0 je: m(s) = [(2 + 4 cos t0 ) cos s; (2 + 4 cos t0 ) sin s; 4 sin t0 ]; s ∈ h0; 2πi. Parametrick´ y popis plochy je: p(t, s) = [(2 + 4 cos t) cos s; (2 + 4 cos t) sin s; 4 sin t];
18
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi.
z
x
y
k
Obr´ azek 23: Melanoid pro t ∈ h0; 2πi , s ∈
19
π
4π 2; 3
2.3
Pˇ r´ıklady na procviˇ cen´ı
1 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne rotac´ı paraboly k. Parabola k leˇz´ı v rovinˇe (x, z), bod V [2; 0; 3] je jej´ı vrchol, bod F [3; 0; 3] je jej´ı ohnisko.
2 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne rotac´ı jedn´e vˇetve hyperboly k. Hyperbola k leˇz´ı v rovinˇe (y, z) a m´a rovnici: (y − 5)2 (z − 3)2 − = 1. 4 9 Vyberte tu vˇetev hyperboly, kter´ a prot´ın´ a osu z.
3 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne rotac´ı kˇrivky k. Parametrick´ y popis kˇrivky k je: k(t) = [t; 0; 3 sin t];
t ∈ h0; 2πi.
4 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne rotac´ı kˇrivky k. Parametrick´ y popis kˇrivky k je: k(t) = [0; 2 sin t + 3; t];
t ∈ h0; 2πi.
5 Rotaˇcn´ı pohyb je zad´ an osou rotace o = osa z. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy, kter´a vznikne rotac´ı asteroidy k. Parametrick´ y popis kˇrivky k je: k(t) = [5 cos3 t; 0; 5 sin3 t];
20
t ∈ h0; 2πi.
3
ˇ Sroubov´ e plochy
ˇ Sroubov´ y pohyb je v prostoru zad´ an osou o ˇsroubov´eho pohybu, smyslem (pravotoˇciv´ y ˇci levotoˇciv´ y), v´ yˇskou z´avitu v nebo redukovanou v´ yˇskou z´avitu v0 . Zadan´ y bod K, kter´ y neleˇz´ı na ose o, se pˇri ˇsroubov´an´ı pohybuje po ˇsroubovici l. Tato ˇsroubovice leˇz´ı na rotaˇcn´ı v´alcov´e ploˇse, jej´ıˇz osou je ˇ ıd´ıc´ı kruˇznice m v´ zadan´a osa o. R´ alcov´e plochy leˇz´ı v rovinˇe α, kter´a proch´az´ı bodem K a je kolm´ a k ose o. Oznaˇcme M pr˚ useˇc´ık osy o a roviny α, je to stˇred kruˇznice m, polomˇer kruˇznice je roven vzd´alenosti bod˚ u K a M . V´ıce o ˇsroubovici naleznete v pr´aci studenta Jana Suchomela.
z x
y
k
Obr´ azek 24: Ilustraˇcn´ı obr´azek
ˇ Sroubov´ a plocha vznikne ˇsroubov´ ym pohybem kˇrivky k pˇri zadan´em ˇsroubov´em pohybu. (Kˇrivka k neleˇz´ı na jedn´e rotaˇcn´ı v´ alcov´e ploˇse s osou rotace o ˇsroubov´eho pohybu.) Kaˇzd´ y bod kˇrivky k se pohybuje po ˇsroubovici. Pro ˇsroubovou plochu je rozhoduj´ıc´ı 1 z´avit (odpov´ıd´a otoˇcen´ı o u ´hel 2π a posunut´ı o v´ yˇsku v), ten se st´ale opakuje.
3.1
Pˇ r´ımkov´ eˇ sroubov´ e plochy
Tyto plochy vznikaj´ı ˇsroubov´ ym pohybem pˇr´ımky k, kter´a nen´ı rovnobˇeˇzn´a s osou o ˇsroubov´eho pohybu. Pokud pˇr´ımka k prot´ın´ a osu o, plochy se naz´ yvaj´ı uzavˇren´e a osa o leˇz´ı na ploˇse. Pokud pˇr´ımka k neprot´ın´ a osu o, plochy se naz´ yvaj´ı otevˇren´e. Je-li pˇr´ımka k kolm´a k ose o, ˇsroubov´a plocha se naz´ yv´a pˇr´ım´ a, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe v´ yvrtkov´a (kos´a). Pro jednoduchost za osu o ˇsroubov´eho pohybu bereme vˇzdy souˇradnicovou osu z a popisujeme vˇzdy 1 z´avit plochy. V prvn´ım pˇr´ıkladˇe se uk´ aˇzeme podrobnˇe postup, v dalˇs´ıch pˇr´ıkladech bude z´apis kratˇs´ı.
21
Pˇ r´ıklad ˇ c. 1 Osa o ˇsroubov´eho pohybu je souˇradnicov´ a osa z. ˇ Sroubov´ y pohyb je a) pravotoˇciv´ y, b) levotoˇciv´ y. V´ yˇska z´avitu v = 16. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı ˇsroubov´e plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem pˇr´ımky k. Pˇr´ımka k je souˇradnicov´ a osa x.
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis pˇr´ımky k je: k(t) = [t; 0; 0];
t ∈ R.
Pˇr´ımka k prot´ın´ a osu o a je k n´ı kolm´ a, ˇsroubov´a plocha je pˇr´ım´a a uzavˇren´a. Na pˇr´ımce k zvol´ıme bod: K = k(t0 ) = [t0 ; 0; 0]. Nyn´ı pop´ıˇseme ˇsroubovici l bodu K. Pˇri popisu ˇsroubovice zaˇc´ın´ame popisem kruˇznice m v rovinˇe α : z = 0. U rotaˇcn´ım ploch jsme mohli tuto kruˇznici parametrizovat libovolnˇe. Zde ale na parametrick´em popisu z´aleˇz´ı, jej´ı v´ ychoz´ı bod mus´ı b´ yt bod K a kruˇznice je prob´ıh´ana proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek u pravotoˇciv´eho ˇsroubov´eho pohybu nebo ve smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek u levotoˇciv´eho pohybu (pohled na kruˇznici m je ze smˇeru kladn´e poloosy osy z). Parametrick´ y popis kruˇznice m je m(s) = [t0 cos s; t0 sin s; 0];
s ∈ h0; 2πi (1 obˇeh)
pro pohyb proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek, nebo m(s) = [t0 cos s; −t0 sin s; 0];
s ∈ h0; 2πi
pro pohyb ve smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek. v 16 Nyn´ı potˇrebujeme zn´ at redukovanou v´ yˇsku z´avitu v0 = 2π = 2π = π8 . Do pˇredpisu kruˇznice m dopln´ıme posunut´ı v z-ov´e souˇradnici a m´ame parametrick´ y popis jednoho z´avitu ˇsroubovice: a) pravotoˇciv´ a: l(s) = t0 cos s; t0 sin s; π8 · s ; s ∈ h0; 2πi b) levotoˇciv´a: l(s) = t0 cos s; −t0 sin s; π8 · s ; s ∈ h0; 2πi
Nyn´ı budeme mˇenit bod K na pˇr´ımce k (uvoln´ıme parametr t0 ). 8 p(t, s) = t cos s; t sin s; · s ; t ∈ R; s ∈ h0; 2πi π je popis jednoho z´ avitu pravotoˇciv´e ˇsroubov´e plochy a 8 q(t, s) = t cos s; −t sin s; · s ; π je popis jednoho z´ avitu levotoˇciv´e ˇsroubov´e plochy.
22
t ∈ R; s ∈ h0; 2πi
z
x
y
(a) Plocha p pro t ∈ h−2; 2i, s ∈ h0; 2πi z
x
y
(b) Plocha q pro t ∈ h−2; 2i, s ∈ h0; 2πi
Obr´ azek 25: K pˇr´ıkladu ˇc. 1
23
Pˇ r´ıklad ˇ c. 2 ˇ Osa o ˇsroubov´eho pohybu je souˇradnicov´ a osa z. Sroubov´ y pohyb je pravotoˇciv´ y, redukovan´a v´ yˇska 7 z´avitu v0 = 2 . Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´avitu plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem pˇr´ımky k. Pˇr´ımka k je urˇcena body [4; 0; 0], [0; 4; 0].
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis pˇr´ımky k je: k(t) = [4 − 4t; 4t; 0];
t ∈ R.
Pˇr´ımka k neprot´ın´ a osu o, je k n´ı kolm´ a, plocha je pˇr´ım´a a otevˇren´a. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = [4 − 4t0 ; 4t0 ; 0]. Pop´ıˇseme kruˇznici m v rovinˇe α : z = 0, v´ ychoz´ı bod je K, kruˇznice je prob´ıh´ana proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek: m(s) = [(4 − 4t0 ) cos s − 4t0 sin s; 4t0 cos s + (4 − 4t0 ) sin s; 0];
s ∈ h0; 2πi (1 obˇeh).
Parametrick´ y popis jednoho z´ avitu ˇsroubovice bodu K je: 7 l(s) = (4 − 4t0 ) cos s − 4t0 sin s; 4t0 cos s + (4 − 4t0 ) sin s; · s ; 2 Parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy je: 7 p(t, s) = (4 − 4t) cos s − 4t sin s; 4t cos s + (4 − 4t) sin s; · s ; 2
s ∈ h0; 2πi.
t ∈ R; s ∈ h0; 2πi.
Na otevˇren´e ˇsroubov´e ploˇse je jedna speci´aln´ı ˇsroubovice, tzv. hrdlov´a ˇsroubovice. Je to ˇsroubovice bodu H pˇr´ımky k, kter´ y je ose o nejbl´ıˇze. V naˇsem pˇr´ıkladˇe je to ˇsroubovice bodu H[2; 2; 0].
Obr´ azek 26: Plocha pro t ∈ h0; 1i, s ∈ h0; 2πi
24
Pˇ r´ıklad ˇ c. 3 ˇ Osa o ˇsroubov´eho pohybu je souˇradnicov´ a osa z. Sroubov´ y pohyb je levotoˇciv´ y, v´ yˇska z´avitu v = 12. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem pˇr´ımky k. Pˇr´ımka k je urˇcena body [4; 0; 0], [0; 0; 5].
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis pˇr´ımky k je: k(t) = [4 − 4t; 0; 5t];
t ∈ R.
Pˇr´ımka k prot´ın´ a osu o a nen´ı kolm´ a k ose, plocha je uzavˇren´a a v´ yvrtkov´a. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = [4 − 4t0 ; 0; 5t0 ]. Parametrick´ y popis kruˇznice m v rovinˇe α : z = 5t0 , v´ ychoz´ı bod je K, kruˇznice je prob´ıh´ana ve smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek: m(s) = [(4 − 4t0 ) cos s; −(4 − 4t0 ) sin s; 5t0 ];
s ∈ h0; 2πi.
Parametrick´ y popis jednoho z´ avitu ˇsroubovice bodu K je: 6 l(s) = (4 − 4t0 ) cos s; −(4 − 4t0 ) sin s; 5t0 + · s ; π Parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy je: 6 p(t, s) = (4 − 4t) cos s; −(4 − 4t) sin s; 5t + · s ; π
s ∈ h0; 2πi.
t ∈ R; s ∈ h0; 2πi.
z
k
y
x
Obr´ azek 27: Plocha pro t ∈ h0; 1i, s ∈ h0; 2πi
25
Pˇ r´ıklad ˇ c. 4 ˇ Osa o ˇsroubov´eho pohybu je souˇradnicov´ a osa z. Sroubov´ y pohyb je pravotoˇciv´ y, redukovan´a v´ yˇska z´avitu v0 = 3. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´avitu plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem pˇr´ımky k. Pˇr´ımka k je urˇcena body [4; 0; 0], [0; 4; 2].
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis pˇr´ımky k je: k(t) = [4 − 4t; 4t; 2t];
t ∈ R.
Pˇr´ımka k neprot´ın´ a osu o a nen´ı k ose kolm´a, plocha je otevˇren´a a v´ yvrtkov´a. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = [4 − 4t0 ; 4t0 ; 2t0 ]. Parametrick´ y popis kruˇznice m v rovinˇe α : z = 2t0 , v´ ychoz´ı bod je K, kruˇznice je prob´ıh´ ana proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek, je m(s) = [(4 − 4t0 ) cos s − 4t0 sin s; 4t0 cos s + (4 − 4t0 ) sin s; 2t0 ];
s ∈ h0; 2πi.
Parametrick´ y popis jednoho z´ avitu ˇsroubovice bodu K je: l(s) = [(4 − 4t0 ) cos s − 4t0 sin s; 4t0 cos s + (4 − 4t0 ) sin s; 2t0 + 3s] ;
s ∈ h0; 2πi.
Parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy je: p(t, s) = [(4 − 4t) cos s − 4t sin s; 4t cos s + (4 − 4t) sin s; 2t + 3s] ;
t ∈ R; s ∈ h0; 2πi.
Hrdlov´a ˇsroubovice h t´eto plochy je ˇsroubovice bodu H [2; 2; 1] pˇr´ımky k. Kdyby zadan´a pˇr´ımka byla z´ aroveˇ n teˇcnou ˇsroubovice h v bodˇe H, jednalo by se o tzv. plochu teˇcen ˇsroubovice. V tomto pˇr´ıkladˇe ale tomu tak nen´ı.
z
k
x
y
Obr´ azek 28: Plocha pro t ∈ h0; 1i, s ∈ h0; 2πi
26
Pˇ r´ıklad ˇ c. 5 Osa o ˇsroubov´eho pohybu je souˇradnicov´ a osa z, ˇsroubov´ y pohyb je pravotoˇciv´ y, v´ yˇska z´avitu v = 16. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy teˇcen ˇsroubovice bodu A[3; 0; 0].
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis jednoho z´ avitu ˇsroubovice bodu A je 8 l(t) = 3 cos t; 3 sin t; · t ; π
t ∈ h0; 2πi.
Zvol´ıme libovoln´ y bod K na ˇsroubovici K = l(t0 ) = [3 cos t0 ; 3 sin t0 ; π8 · t0 ]. Pop´ıˇseme teˇcnu ˇsroubovice v tomto bodˇe. Teˇcn´e vektory ˇsroubovice jsou: l0 (t) = −3 sin t; 3 cos t; π8 , teˇcn´ y vektor v bodˇe K je: l0 (t0 ) = −3 sin t0 ; 3 cos t0 ; π8 . Parametrick´ y popis teˇcny ˇsroubovice v bodˇe K je: q(s) = l(t0 ) + s · l0 (t0 ); s ∈ R 8 8 q(s) = 3 cos t0 − 3s sin t0 ; 3 sin t0 + 3s cos t0 ; · t0 + · s ; π π Parametrick´ y popis jednoho z´ avitu plochy teˇcen ˇsroubovice je: 8 8 p(t, s) = 3 cos t − 3s sin t; 3 sin t + 3s cos t; · t + · s ; π π
t ∈ h0; 2πi; s ∈ R.
z
l
x
y
Obr´ azek 29: Plocha pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2i
27
s ∈ R.
3.2
Cyklick´ eˇ sroubov´ e plochy
Tyto plochy vznikaj´ı ˇsroubov´ ym pohybem kruˇznice k (kruˇznice k nesm´ı leˇzet v rovinˇe kolm´e k ose o a z´aroveˇ n m´ıt stˇred na ose o). Pokud kruˇznice k prot´ın´ a osu o, plochy se naz´ yvaj´ı uzavˇren´e a osa o leˇz´ı na ploˇse. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe se naz´ yvaj´ı otevˇren´e.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 6 Osa o ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je pravotoˇciv´ y, v´ yˇska z´avitu v = 18. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem kruˇznice k. Kruˇznice k leˇz´ı v rovinˇe (x, z), bod S[4; 0; 0] je jej´ı stˇred, polomˇer je r = 2.
z
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis kruˇznice k je: k(t) = [4 + 2 cos t; 0; 2 sin t];
t ∈ h0; 2πi.
Kruˇznice k neprot´ın´ a osu o, plocha je otevˇren´a. Tato plocha se ˇ ast plochy (ˇc´ naz´ yv´a plocha sv. Jilj´ı. C´ ast, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem horn´ı p˚ ulkruˇznice) byla pouˇzita k zaklenut´ı ˇsroubov´eho schodiˇstˇe v kostele svat´eho Jilj´ı ve Francii. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = [4 + 2 cos t0 ; 0; 2 sin t0 ]. Parametrick´ y popis kruˇznice m v rovinˇe α : z = 2 sin t0 , v´ ychoz´ı bod K, kruˇznice je prob´ıh´ana proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek: m(s) = [(4 + 2 cos t0 ) cos s; (4 + 2 cos t0 ) sin s; 2 sin t0 ];
s ∈ h0; 2πi
Parametrick´ y popis jednoho z´ avitu ˇsroubovice bodu K je: 9 l(s) = (4 + 2 cos t0 ) cos s; (4 + 2 cos t0 ) sin s; 2 sin t0 + · s π s ∈ h0; 2πi. Parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy je: 9 p(t, s) = (4 + 2 cos t) cos s; (4 + 2 cos t) sin s; 2 sin t + · s π t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi
28
y
k
x
Obr´azek 30: Plocha sv. Jilj´ı pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
Pˇ r´ıklad ˇ c. 7 Osa o ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je levotoˇciv´ y, v´ yˇska z´avitu v = 20. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem kruˇznice k. Kruˇznice k leˇz´ı v rovinˇe (x, z), bod S[2; 0; 0] je jej´ı stˇred, polomˇer je r = 2.
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis kruˇznice k je: k(t) = [2 + 2 cos t; 0; 2 sin t];
t ∈ h0; 2πi.
Kruˇznice k se dot´ yk´ a osy o, plocha je uzavˇren´a a osa o na ploˇse leˇz´ı. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = [2 + 2 cos t0 ; 0; 2 sin t0 ]. Parametrick´ y popis kruˇznice m v rovinˇe α : z = 2 sin t0 , v´ ychoz´ı bod K, kruˇznice je prob´ıh´ana ve smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek: m(s) = [(2 + 2 cos t0 ) cos s; −(2 + 2 cos t0 ) sin s; 2 sin t0 ];
s ∈ h0; 2πi
Parametrick´ y popis jednoho z´ avitu ˇsroubovice bodu K je: 10 l(s) = (2 + 2 cos t0 ) cos s; −(2 + 2 cos t0 ) sin s; 2 sin t0 + ·s ; π Parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy je: 10 ·s ; p(t, s) = (2 + 2 cos t) cos s; −(2 + 2 cos t) sin s; 2 sin t + π
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi
z
x
k
y
Obr´ azek 31: Plocha pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
29
s ∈ h0; 2πi.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 8 Osa o ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je pravotoˇciv´ y, v´ yˇska z´avitu v = 20. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem kruˇznice k. Kruˇznice k leˇz´ı v rovinˇe (x, z), bod S[2; 0; 4] je stˇred, polomˇer je r = 4.
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis kruˇznice k je: k(t) = [2 + 4 cos t; 0; 4 + 4 sin t];
t ∈ h0; 2πi.
Kruˇznice k prot´ın´ a osu o, plocha je uzavˇren´a. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = [2 + 4 cos t0 ; 0; 4 + 4 sin t0 ]. Parametrick´ y popis kruˇznice m v rovinˇe α : z = 4 + 4 sin t0 , v´ ychoz´ı bod K, kruˇznice je prob´ıh´ana proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek: s ∈ h0; 2πi
m(s) = [(2 + 4 cos t0 ) cos s; (2 + 4 cos t0 ) sin s; 4 + 4 sin t0 ];
Parametrick´ y popis jednoho z´ avitu ˇsroubovice bodu K je: 10 l(s) = (2 + 4 cos t0 ) cos s; (2 + 4 cos t0 ) sin s; 4 + 4 sin t0 + ·s ; π Parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy je: 10 ·s ; p(t, s) = (2 + 4 cos t) cos s; (2 + 4 cos t) sin s; 4 + 4 sin t + π
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi
z
y k x Obr´ azek 32: Plocha pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
30
s ∈ h0; 2πi.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 9 Osa o ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je pravotoˇciv´ y, v´ yˇska z´avitu v = 20. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem kruˇznice k. Kruˇznice k leˇz´ı v rovinˇe (x, y), bod S[6; 0; 0] je jej´ı stˇred, polomˇer je r = 3.
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis kruˇznice k je: k(t) = [6 + 3 cos t; 3 sin t; 0];
t ∈ h0; 2πi.
Kruˇznice k nem´ a spoleˇcn´ y bod s osou o, plocha je otevˇren´a. Tato plocha se naz´ yv´a plocha vinut´eho sloupku. Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = [6 + 3 cos t0 ; 3 sin t0 ; 0]. Parametrick´ y popis kruˇznice m v rovinˇe α : z = 0, v´ ychoz´ı bod K, kruˇznice je prob´ıh´ ana proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek: m(s) = [(6 + 3 cos t0 ) cos s − 3 sin t0 sin s; 3 sin t0 cos s + (6 + 3 cos t0 ) sin s; 0]; Parametrick´ y popis jednoho z´ avitu ˇsroubovice bodu K je: 10 l(s) = (6 + 3 cos t0 ) cos s − 3 sin t0 sin s; 3 sin t0 cos s + (6 + 3 cos t0 ) sin s; ·s ; π Parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy je: 10 p(t, s) = (6 + 3 cos t) cos s − 3 sin t sin s; 3 sin t cos s + (6 + 3 cos t) sin s; ·s ; π
z
x
y
k
Obr´ azek 33: Vinut´ y sloupek pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
31
s ∈ h0; 2πi
s ∈ h0; 2πi.
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi
3.3
Dalˇ s´ı ˇ sroubov´ e plochy
Nyn´ı m˚ uˇzeme vytv´ aˇret sami nejr˚ uznˇejˇs´ı ˇsroubov´e plochy. M˚ uˇzeme napˇr´ıklad ˇsroubovat ˇc´ast paraboly.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 10 Osa o ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je pravotoˇciv´ y, v´ yˇska z´ avitu v = 16. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı jednoho z´avitu plochy, kter´ a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem paraboly k. Parabola k leˇz´ı v rovinˇe (x, z) a m´ a rovnici (x − 4)2 = 2z. Uvaˇzujte ˇc´ast paraboly, pro x-ov´e souˇradnice bod˚ u t´eto ˇc´asti plat´ı 0 ≤ x ≤ 8.
z
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis ˇc´ asti paraboly je: t2 k(t) = t + 4; 0; ; t ∈ h−4; 4i. 2 h i t2 Zvol´ıme bod K = k(t0 ) = t0 + 4; 0; 20 . Parametrick´ y popis t2
kruˇznice m v rovinˇe α : z = 20 , v´ ychoz´ı bod K, kruˇznice je prob´ıh´ana proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek: t20 m(s) = (t0 + 4) cos s; (t0 + 4) sin s; ; s ∈ h0; 2πi 2 Parametrick´ y popis jednoho z´ avitu ˇsroubovice bodu K je: t20 8 l(s) = (t0 + 4) cos s; (t0 + 4) sin s; + · s ; s ∈ h0; 2πi. 2 π Parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy je: t2 8 p(t, s) = (t + 4) cos s; (t + 4) sin s; + · s ; 2 π
32
k
y x
Obr´azek 34: Plocha pro t ∈ h−4; 4i, s ∈ h0; 2πi
t ∈ h−4; 4i; s ∈ h0; 2πi
3.4
Pˇ r´ıklady na procviˇ cen´ı
1 Osa o ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je levotoˇciv´ y, redukovan´a v´ yˇska z´avitu v0 = 3. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem elipsy k. 2 2 Elipsa k leˇz´ı v rovinˇe (y, z) a m´ a rovnici (y−2) + (z−3) = 1. 4 9
2 Je d´ana kruˇznice k v rovinˇe (x, z),bod S[0; 0; 4] je jej´ı stˇred, polomˇer je r = 4. Osa o ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je pravotoˇciv´ y, v´ yˇska z´avitu v = 4 · r = 16. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı jednoho z´ avitu tzv. plochy kadeˇre, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem zadan´e kruˇznice k.
3 Osa o ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je levotoˇciv´ y, v´ yˇska z´avitu v = 18. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem ˇc´asti paraboly k. Parabola k v rovinˇe (y, z) m´ a rovnici (z − 4)2 = 4y. Uvaˇzujte ˇc´ast paraboly, pro z-ov´e souˇradnice bod˚ u t´eto ˇc´asti plat´ı 0 ≤ z ≤ 8.
4 Osa o ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je pravotoˇciv´ y, redukovan´a v´ yˇska z´avitu v0 = 2. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´avitu plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem kruˇznice k. Kruˇznice k leˇz´ı v rovinˇe (x, y), bod S[2; 0; 0] je jej´ı stˇred, polomˇer je r = 4.
5 Osa o ˇsroubov´eho pohybu je osa z, ˇsroubov´ y pohyb je pravotoˇciv´ y, v´ yˇska z´avitu v = 12. Napiˇste parametrick´e vyj´ adˇren´ı jednoho z´ avitu plochy, kter´a vznikne ˇsroubov´ ym pohybem asteroidy k. Parametrick´ y popis kˇrivky k je: k(t) = [5 cos3 t; 5 sin3 t; 0]; t ∈ h0; 2πi
33
4
Teˇ cn´ e roviny ploch
Je d´ana plocha p a na n´ı bod T . Teˇcn´ a rovina plochy obsahuje teˇcny vˇsech kˇrivek plochy, kter´e proch´azej´ı bodem T . Abychom z´ıskali teˇcnou rovinu plochy v bodˇe T , vybereme na ploˇse dvˇe r˚ uzn´e kˇrivky k a l, kter´e proch´azej´ı bodem T . Pokud teˇcny kˇrivek k a l v bodˇe T jsou r˚ uzn´e, urˇcuj´ı tyto teˇcny teˇcnou rovinu τ plochy v bodˇe T . Postup se uk´ aˇzeme na konkr´etn´ım pˇr´ıkladˇe.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 1 Je d´ana kulov´a plocha p o stˇredu O[0; 0; 0] a polomˇeru r = 4. Napiˇste parametrick´e vyj´adˇren´ı plochy. D´ale napiˇste obecnou rovnici teˇcn´e roviny plochy v jej´ım bodˇe T [4; 0; 0].
ˇ sen´ı Reˇ Kulovou plochu z´ısk´ ame rotac´ı kruˇznice k(t) = [4 cos t; 0; 4 sin t]; t ∈ h0; 2πi kolem osy z. Parametrick´ y popis plochy je: p(t, s) = [4 cos t cos s; 4 cos t sin s; 4 sin t];
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; πi.
ˇ s´ıme soustavu Zjist´ıme pro jak´e hodnoty parametr˚ u t a s budeme v bodˇe T [4; 0; 0] (T = p(?, ?)). Reˇ rovnic: 4 cos t cos s = 4 4 cos t sin s = 0 4 sin t = 0 Z posledn´ı rovnice je t ∈ {0; π; 2π}. Po dosazen´ı t ∈ {0; π; 2π} do druh´e rovnice m´ame sin s = 0 a tedy s ∈ {0; π}. Vezmeme-li v u ´vahu i prvn´ı rovnici, vyhovuj´ı tyto kombinace: T = p(0, 0) = p(π, π) = (2π, 0). Vyberme si T = p(2π, 0) = [4; 0; 0]. Nyn´ı potˇrebujeme z´ıskat 2 kˇrivky proch´azej´ıc´ı bodem T . Ty z´ısk´ame z parametrick´eho vyj´ adˇren´ı plochy tak, ˇze jeden parametr nech´ame promˇenn´ y a druh´ y budeme fixovat (bud’ t = 2π nebo s = 0). M´ame: k(t) = p(t, 0) = [4 cos t cos 0; 4 cos t sin 0; 4 sin t] = [4 cos t; 0; 4 sin t];
t ∈ h0; 2πi,
l(s) = p(2π, s) = [4 cos(2π) cos s; 4 cos(2π) sin s; 4 sin(2π)] = [4 cos s; 4 sin s; 0]; Kˇrivka k je kruˇznice, kˇrivka l p˚ ulkruˇznice, vypoˇc´ıt´ame teˇcn´e vektory: k 0 (t) = (−4 sin t; 0; 4 cos t) l0 (s) = (−4 sin s; 4 cos s; 0). Teˇcn´e vektory v bodˇe T dostaneme dosazen´ım hodnot parametr˚ u: k 0 (2π) = (0; 0; 4) a l0 (0) = (0; 4; 0).
34
s ∈ h0; πi.
Pro obecnou rovnici roviny potˇrebujeme zn´at norm´alov´ y vektor. Ten z´ısk´ame vektorov´ ym souˇcinem teˇcn´ ych vektor˚ u v bodˇe T : (0; 0; 4) × (0; 4; 0) = (−16; 0; 0) ∼ (1; 0; 0). Obecn´a rovnice teˇcn´e roviny τ je: 1 · x + 0 · y + 0 · z + d = 0. Dosad´ıme souˇradnice bodu T [4; 0; 0]: 4 + d = 0 a m´ame d = −4. Hledan´a rovnice teˇcn´e roviny τ je: x − 4 = 0. Pokud pouˇzijeme zb´ yvaj´ıc´ı dvˇe kombinace (T = p(π, π) a T = p(0; 0)) dostaneme stejnou rovinu.
z
x
y Obr´ azek 35: Kulov´a plocha s teˇcnou rovinou τ
Teˇcn´a rovina kulov´e plochy m´ a s plochou spoleˇcn´ y jeden jedin´ y bod (bod dotyku). U obecnˇejˇs´ıch ploch tomu tak nemus´ı b´ yt, teˇcn´ a rovina m˚ uˇze plochu ˇr´ıznout“ v kˇrivce. ”
Pˇ r´ıklad ˇ c. 2 Je d´ana rotaˇcn´ı plocha (anuloid) p(t, s) = [(6 + 3 cos t) cos s; (6 + 3 cos t) sin s; 3 sin t]; s ∈ h0; 2πi. Napiˇste obecnou rovnici teˇcn´e roviny plochy v bodˇe T = p(π, 0).
ˇ sen´ı Reˇ Bod T m´a souˇradnice T = p(π, 0) = [(6 + 3 · (−1)) · 1; (6 − 3) · 0; 0] = [3; 0; 0]. Kˇrivky plochy proch´ azej´ıc´ı bodem T jsou: k(t) = p(t, 0) = [6 + 3 cos t; 0; 3 sin t] a l(s) = p(π, s) = [3 cos s; 3 sin s; 0],
35
t ∈ h0; 2πi;
obˇe kˇrivky jsou kruˇznice. Teˇcn´e vektory kˇrivek z´ısk´ame derivov´an´ım: k 0 (t) = (−3 sin t; 0; 3 cos t), l0 (s) = (−3 sin s; 3 cos s; 0). Teˇcn´e vektory kˇrivek v bodˇe T jsou: k 0 (π) = (0; 0; −3) ∼ (0; 0; 1), l0 (0) = (0; 3; 0) ∼ (0; 1; 0). Vektorov´ y souˇcin je: (0; 0; 1) × (0; 1; 0) = (−1; 0; 0) ∼ (1; 0; 0). Obecn´a rovnice teˇcn´e roviny τ je: x+d = 0. Po dosazen´ı souˇradnic bodu T dostaneme hodnotu d = −3 a rovnice teˇcn´e roviny τ je: τ : x − 3 = 0.
z x
y Obr´ azek 36: Anuloid s teˇcnou rovinou τ
Teˇcn´a rovina τ ˇreˇze anuloid v kˇrivce, kter´ a se naz´ yv´a Bernoulliova lemnisk´ata.
Obr´ azek 37: Bernoulliova lemnisk´ata
36
Pˇ r´ıklad ˇ c. 3 Je d´ana ˇc´ast pˇr´ımkov´e ˇsroubov´e plochy p(t, s) = [(4 − 4t) cos s; (4 − 4t) sin s; 5t + 3s]; t ∈ h0; 1i; s ∈ h−2π; 2πi. Napiˇste obecnou rovnici teˇcn´e roviny plochy v bodˇe T = p(0, 0).
z
ˇ sen´ı Reˇ Bod T m´a souˇradnice T = p(0, 0) = [4; 0; 0]. Kˇrivky plochy proch´ azej´ıc´ı bodem T jsou: k(t) = p(t, 0) = [4 − 4t; 0; 5t] a l(s) = p(0, s) = [4 cos s; 4 sin s; 3s], kˇrivka k je pˇr´ımka, kˇrivka l je ˇsroubovice. Teˇcn´e vektory kˇrivek z´ısk´ame derivov´ an´ım: k 0 (t) = (−4; 0; 5), l0 (s) = (−4 sin s; 4 cos s; 3).
y
Teˇcn´e vektory kˇrivek v bodˇe T jsou: k 0 (0) = (−4; 0; 5) a l0 (0) = (0; 4; 3). Vektorov´ y souˇcin je: (−4; 0; 5) × (0; 4; 3) = (−20; 12; −16) ∼ (5; −3; 4). Obecn´a rovnice teˇcn´e roviny τ je: 5x − 3y + 4z + d = 0. Po dosazen´ı souˇradnic bodu T m´ ame:
x
τ : 5x − 3y + 4z − 20 = 0. I v tomto pˇr´ıkladˇe teˇcn´ a rovina pronik´ a plochou, m´a s n´ı spoleˇcnou pˇr´ımku a jeˇstˇe rovinnou kˇrivku. yvrtkov´ a U nˇekter´ ych ploch existuj´ı body, ve kter´ ych teˇcn´a rovina neexistuje, Obr´azek 38: Pˇr´ımkov´a v´ plocha s teˇ c nou rovinou τ tyto body naz´ yv´ ame singul´ arn´ımi body. Napˇr´ıklad vrchol kuˇzelov´e plochy je singul´ arn´ı bod plochy.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 4 Je d´ana plocha p(t, s) = [t · sin s; t · cos s; 4 cos t cos s]; t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi. Napiˇste obecnou rovnici teˇcn´e roviny plochy v bodˇe T = p(0, 0).
ˇ sen´ı Reˇ Bod T m´a souˇradnice T = p(0, 0) = [0; 0; 4]. Kˇrivky plochy proch´ azej´ıc´ı bodem T jsou: k(t) = p(t, 0) = [0; t; 4 cos t] a l(s) = p(0, s) = [0; 0; 4 cos s]. Teˇcn´e vektory kˇrivek z´ısk´ ame derivov´ an´ım: k 0 (t) = (0; 1; −4 sin t), l0 (s) = (0; 0; −4 sin s). Teˇcn´e vektory kˇrivek v bodˇe T jsou: k 0 (0) = (0; 1; 0) a l0 (0) = (0; 0; 0) (bod T je singul´arn´ım bodem kˇrivky l). Vektorov´ y souˇcin je: (0; 1; 0) × (0; 0; 0) = (0; 0; 0) 37
Teˇcn´a rovina v bodˇe T neexistuje, je to singul´arn´ı bod.
z
y
x Obr´ azek 39: Na ploˇse je vyznaˇcena plocha se singul´arn´ım bodem T
Vidˇeli jsme v pˇr´ıkladˇe 2 a 3, ˇze m˚ uˇzeme vytv´aˇret rovinn´e kˇrivky jako pr˚ unik plochy a roviny. Tato rovina nemus´ı b´ yt nutnˇe teˇcn´ a rovina. Budeme-li napˇr´ıklad ˇrezat anuloid v pˇr´ıkladˇe 2 rovinami rovnobˇeˇzn´ ymi s teˇcnou rovinou τ , z´ısk´ ame tzv. Cassiniho kˇrivky. Z ploch m˚ uˇzeme z´ısk´ avat i nov´e prostorov´e kˇrivky a to jako pr˚ unik dvou ploch. V posledn´ım pˇr´ıkladˇe si uk´aˇzeme pr˚ unik kulov´e plochy a v´ alcov´e plochy, v´ ysledn´a kˇrivka se naz´ yv´a Vivianiho ok´enko.
Pˇ r´ıklad ˇ c. 5 Je d´ana kulov´a plocha o stˇredu O[0; 0; 0] a polomˇeru r = 2. D´ale je d´ana rotaˇcn´ı v´alcov´a plocha, jej´ıˇz ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice m leˇz´ı v rovinˇe (x, y), jej´ı stˇred je bod S[0; 1; 0] a polomˇer je 1.
ˇ sen´ı Reˇ Parametrick´ y popis kulov´e plochy je: p(t, s) = [2 cos t sin s; 2 cos t cos s; 2 sin t];
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; πi.
Parametrick´ y popis rotaˇcn´ı v´ alcov´e plochy zaˇcneme popisem kruˇznice m: m(t) = [cos t; 1 + sin t; 0]; t ∈ h0; 2πi. Vybereme bod K = k(t0 ) = [cos t0 ; 1 + sin t0 ; 0]. Parametrick´ y popis povrchov´e pˇr´ımky (rovnobˇeˇzn´e s osou z) proch´azej´ıc´ı bodem K je: l(s) = [cos t0 ; 1 + sin t0 ; s];
s ∈ R.
Popis v´alcov´e plochy je: q(t, s) = [cos t; 1 + sin t; s];
t ∈ h0; 2πi; s ∈ R.
Na obr´azku vid´ıme pr˚ unikovou kˇrivku zadan´ ych ploch, tzv. Vivianiho ok´enko. Kˇrivka je nazv´ana po italsk´em matematikovi Vincenzu Vivianim.
38
z
Vivianiho okénko
y
x
(a) Pr˚ unikem rotaˇcn´ı v´alcov´e a kulov´e plochy je kˇrivka Vivianiho ok´enko
z
x
y
(b) Kˇrivka Vivianiho ok´enko
Obr´ azek 40: K pˇr´ıkladu ˇc. 5
39
5
Praktick´ e vyuˇ zit´ı
Pokud se kolem sebe rozhl´ednete, urˇcitˇe nˇejakou plochu objev´ıte. Povrch obyˇcejn´e tuˇzky b´ yv´a ˇc´ ast v´alcov´e plochy, na trycht´ yˇri je ˇc´ ast kuˇzelov´e plochy, na v´ yvrtce m˚ uˇzete naj´ıt ˇc´asti ˇsroubov´ ych ploch ˇ (obr. 50a). Sroubov´ e plochy jsou na vˇsech moˇzn´ ych ˇsroubech a z´avitech (obr. 50c). Nˇekter´e tˇestoviny jsou tvaru ˇc´asti ˇsroubov´e plochy (pˇred uvaˇren´ım) (obr. 50b). Pokud v´am nˇekdy spadla poˇc´ıtaˇcov´ a myˇs a rozbila se, urˇcitˇe v´as zaujala kuliˇcka uvnitˇr, kter´a sv´ ym pohybem ud´av´a pohyb kurzoru na obrazovce (obr. 41a). Kulov´e plochy jsou tak´e povrchem kuliˇcek v loˇzisku (obr. 41b). Nˇekter´e lustry jsou tvoˇreny ˇc´astmi kulov´ ych ploch. ’ Pokud jste nˇekdy p´ıchli kolo, museli jste bud slepovat nebo vymˇenit duˇsi kola (obr. 42c), ta m´ a tvar anuloidu. Anuloid je tak´e souˇc´ ast´ı Teslova transform´atoru pro z´ısk´av´an´ı vysok´ ych napˇet´ı (obr. 42b). Povrch parabolick´ ych zrcadel je ˇc´ ast rotaˇcn´ıho paraboloidu (obr. 45b), podobnˇe je tomu u parabolick´ ych ant´en. Zaj´ımav´e je akustick´e zrcadlo poch´azej´ıc´ı z 1. svˇetov´e v´alky, jehoˇz povrch je tak´e ˇc´ ast paraboloidu (obr. 45a). Rotaˇcn´ı a ˇsroubov´e plochy jsou ˇcasto vyuˇz´ıv´any ve stavebnictv´ı a architektuˇre. Tˇreba takov´ y okap je sloˇzen z ˇc´ast´ı v´ alcov´ ych ploch (obr. 46a). Tak´e jednoduch´e klenby jsou ˇc´asti v´alcov´ ych ploch (obr. 46b). Jin´e vyuˇzit´ı v´ alcov´ ych ploch vid´ıme na Centre Pompidou (Paˇr´ıˇz, Francie) (obr. 46c). Opera v Sydney (Austr´ alie), navrˇzen´ a v roce 1956 d´ansk´ ym architektem Jørnem Utzonem, je zastˇreˇsena skoˇrepinami kulov´ ych ploch (obr. 41c). Kupole budovy nˇemeck´eho parlamentu (Berl´ın, Nˇemecko) je ˇc´ast prot´ahl´eho elipsoidu (obr. 43a). Chlad´ıc´ı vˇeˇze jadern´ ych elektr´aren maj´ı tvar jednod´ıln´eho rotaˇcn´ıho hyperboloidu (obr. 44b). Tvar jednod´ıln´eho hyperboloidu m´a i rozhledna Bor˚ uvka u obce ˇ Hlubok´a (Pardubick´ y kraj, Cesk´ a republika) (obr. 44a). Muzeum souˇcasn´eho umˇen´ı v Nit´eroi - autor architekt Oskar Niemeyer vyuˇzil rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu (obr. 47). Muzeum je v Braz´ılii nedaleko Rio de Janeira. Obecnˇejˇs´ı rotaˇcn´ı plochy jsou ˇcasto vyuˇz´ıv´any jako stˇrechy. Na obr´azku vid´ıme zastˇreˇsen´ı kostela Nejsvˇetˇejˇs´ıho srdce Jeˇz´ıˇsova, Sacr´e-Coeur (Paˇr´ıˇz, Francie) (obr. 48). ˇ asti ˇsroubov´ C´ ych ploch m˚ uˇzeme vidˇet u toˇciv´ ych schodiˇst’. Delˇs´ı hrany schod˚ u leˇz´ı na pˇr´ımk´ ach pˇr´ım´ ych ˇsroubov´ ych ploch (obr. 49). Na schodiˇsti v muzeu Louvre (Paˇr´ıˇz, Francie) je vidˇet ˇc´ast v´ yvrtkov´e ˇsroubov´e plochy (obr. 50d). Na kostele Panny Marie Sedmibolestn´e v Bratislavˇe (Slovensk´a republika) je stˇrecha tvoˇrena v´ıce neˇz polovinou z´ avitu plochy teˇcen ˇsroubovice (obr. 52). Nejr˚ uznˇejˇs´ı ozdobn´e tordovan´e sloupky z obdob´ı baroka jsou cyklick´e ˇsroubov´e plochy. U vchodu do ˇ a republika) vid´ıme levotoˇciv´ chr´amu Panny Marie Snˇeˇzn´e v Olomouci (Cesk´ y i pravotoˇciv´ y ˇsroubov´ y sloup (obr. 51).
40
Kulov´ a plocha
(a) Kuliˇckov´ a myˇs
(b) Kuliˇckov´a loˇziska
(c) Opera v Sydney
Obr´azek 41
41
Anuloid
(a) C´ıvka z Teslova transform´ atoru
(b) Tesl˚ uv transform´ator
(c) Duˇse kola
Obr´azek 42
42
Prot´ ahl´ y elipsoid
(a) Kupole nˇemeck´eho parlamentu
(b) Nˇemeck´ y parlament
Obr´azek 43
Jednod´ıln´ y hyperboloid
(a) Rozhledna Bor˚ uvka
(b) Chlad´ıc´ı vˇeˇze jadern´ ych elektr´aren
Obr´azek 44
43
Paraboloid
(a) Akustick´ a zrcadla
(b) Parabolick´a zrcadla
Obr´azek 45
V´ alcov´ a plocha
(a) Okapy
(b) Klenby
(c) Centre Pompidou (Paˇr´ıˇz, Francie)
Obr´azek 46
44
Kuˇ zelov´ a plocha
Obr´ azek 47: Muzeum souˇcasn´eho umˇen´ı v Nit´eroi
Zastˇ reˇ sen´ı budov rotaˇ cn´ımi plochami
Obr´ azek 48: Sacr´e-Coeur (Kostel Nejsvˇetˇejˇs´ıho srdce Jeˇz´ıˇsova) - Paˇr´ıˇz, Francie
45
Pˇ r´ım´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha
Obr´ azek 49: Toˇcit´e schodiˇstˇe
V´ yvrtkov´ a pˇ r´ımkov´ aˇ sroubov´ a plocha
(a) V´ yvrtka
(b) Tˇestoviny
(c) Z´ avity
(d) Muzeum Louvre v Paˇr´ıˇzi, Francie
Obr´azek 50
46
Vinut´ y sloupec
Obr´ azek 51: Chr´ am Panny Marie Snˇeˇzn´e v Olomouci
Plocha teˇ cen ˇ sroubovice
Obr´ azek 52: Kostel Panny Marie Sedmibolestn´e
47
6
V´ ysledky
Rotaˇ cn´ı plochy 1 Parametrick´ y popis plochy: p(t, s) =
h
t2 4
2 i + 2 · cos s; t4 + 2 · sin s; t + 3 ;
t ∈ R; s ∈ h0; 2πi.
z
k x
y
Obr´ azek 53: Plocha pro t ∈ h−5; 5i, s ∈ h0; 2πi
2 Parametrick´ y popis plochy: p(t, s) = [(5 − 2 cosh t) · cos s; (5 − 2 cosh t) · sin s; 3 + 3 sinh t] ; t ∈ R; s ∈ h0; 2πi.
z
k
y
x
Obr´ azek 54: Plocha pro t ∈ h−2; 2i, s ∈ h0; 2πi
48
3 Parametrick´ y popis plochy: p(t, s) = [t · cos s; t · sin s; 3 sin t] ;
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi.
z
k
x
y
Obr´ azek 55: Plocha pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
4 Parametrick´ y popis plochy: p(t, s) = [(2 sin t + 3) · cos s; (2 sin t + 3) · sin s; t] ; s ∈ h0; 2πi.
z
k
x
y
Obr´ azek 56: Plocha pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
49
t ∈ h0; 2πi;
5 Parametrick´ y popis plochy: p(t, s) = 5 cos3 t · cos s; 5 cos3 t · sin s; 5 sin3 t ;
t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; πi.
z
k
y
x
Obr´ azek 57: Plocha pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
ˇ Sroubov´ e plochy 1 Parametrick´ y popis plochy: p(t, s) = [(2 + 2 cos t) sin s; (2 + 2 cos t) cos s; 3 + 3 sin t + 3s]; s ∈ h0; 2πi.
z
k
x
y Obr´ azek 58: Plocha pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
50
t ∈ h0; 2πi;
2 Parametrick´ y popis plochy kadeˇre: p(t, s) = 4 cos t · cos s; 4 cos t · sin s; 4 + 4 sin t + t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi.
8 π
·s ;
z
k
x
y
Obr´ azek 59: Plocha kadeˇre pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
3 Parametrick´ y popis plochy: p(t, s) =
h
t2 4
2
· sin s; t4 · cos s; t + 4 +
9 π
i ·s ;
t ∈ h−4; 4i; s ∈ h0; 2πi.
z
k y
x
Obr´ azek 60: Plocha pro t ∈ h−4; 4i, s ∈ h0; 2πi
51
4 Parametrick´ y popis plochy: p(t, s) = [(2 + 4 cos t) cos s − 4 sin t sin s; 4 sin t cos s + (2 + 4 cos t) sin s; 2s] ; t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi.
z
y
x k
Obr´ azek 61: Plocha pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
5 Parametrick´ y popis plochy: p(t, s) = 5 cos3 t cos s − 5 sin3 t sin s; 5 sin3 t cos s + 5 cos3 t sin s; π6 · s ; t ∈ h0; 2πi; s ∈ h0; 2πi.
z
x
k
y
Obr´ azek 62: Plocha pro t ∈ h0; 2πi, s ∈ h0; 2πi
52
Pouˇ zit´ e zdroje ´ ˇ [1] Ustav nosn´ ych konstrukc´ı, FA CVUT. URL [2] Beneˇsov´a, L.: Plochy ve svˇetˇe kolem n´ as. Diplomov´a pr´ace, Fakulta aplikovan´ ych vˇed, Z´apadoˇcesk´ a univerzita v Plzni, 2013. URL [3] Satrapa, P.: LATEX pro pragmatiky. Technick´a univerzita v Liberci a sdruˇzen´ı CESNET, 2011, 87 s. URL [4] Surynkov´a, P.: Plochy stavebn´ı praxe. Diplomov´a pr´ace, Katedra didaktiky matematiky, MFF UK, 2006. URL
53
