92
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
6.
Stabilit´ aselm´ elet
6.1.
Auton´ om nemline´ aris rendszerek
Legyen f : R × Rn → Rn . Ekkor az ´ altal´anos els˝ orend˝ u explicit nemline´aris differenci´ alegyenletrendszer alakja x′ = f (t, x). A t f¨ uggetlen v´altoz´ o az alkalmaz´ asok nagy r´esz´en´el az id˝ ot jel¨oli, ez´ert a differenci´ alegyenletek elm´elet´eben is szok´as a t v´altoz´ or´ ol, mint id˝ o v´altoz´or´ ol besz´elni. Ha a fenti egyenlet jobb oldala, azaz az f f¨ uggv´eny nem f¨ ugg a t v´altoz´ot´ol, akkor az egyenletet id˝ of¨ uggetlen vagy auton´ om egyenletnek h´ıvjuk. Egy auton´ om rendszer ´altal´anos alakja teh´ at x′ = f (x),
(6.1)
ahol f : Rn → Rn , vagy ´ altal´ anosabban f : D → Rn , ahol D ⊂ Rn . K¨ onnyen ellen˝ orizhet˝ o, hogy ha y(t) megold´ asa a (6.1) egyenletnek, akkor x(t) = y(t + τ ) is megold´ asa a (6.1) egyenletnek b´ armely τ -ra. Azaz a megold´ asok id˝ oeltoltjai is megold´ asok. Ez´ert az ´altal´anos´ıt´as megszor´ıt´asa n´elk¨ ul feltehetj¨ uk, hogy a t0 = 0 kezdeti id˝ opontban adjuk meg a kezdeti felt´etelt: x(0) = z.
(6.2)
A (6.1) egyenlet (6.2) kezdeti ´ert´ekhez tartoz´ o megold´as´ at x(t; z)-vel jel¨olj¨ uk. A (6.1) egyenlet egy x(t) = u konstans megold´ as´ at a (6.1) egyenlet egyens´ ulyi helyzet´enek vagy kritikus pontj´ anak h´ıvjuk. Egy konstans megold´ as deriv´altja az azonosan 0 f¨ uggv´eny, ´ıgy az egyens´ ulyi helyzetek pontosan f az f¨ uggv´eny gy¨okei lesznek. 6.1. T´ etel. Egy u konstans vektor akkor ´es csak akkor egyens´ ulyi helyzete a (6.1) egyenletnek, ha f (u) = 0. Egy x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))T ,
t ∈ I megold´ as integr´ alg¨ orb´ej´enek nevezz¨ uk a {(t, x(t)) : t ∈ I}
R × Rn t´erbeli g¨ orb´et, azaz a megold´ as f¨ uggv´eny grafikonj´at. Term´eszetesen a koordin´at´ank´enti {(t, xi (t)) : t ∈ I} (i = 1, . . . , n) integr´ alg¨orb´eket tudjuk geometriailag is ´abr´ azolni, n > 2 eset´eben az integr´ alg¨ orb´et nem tudjuk felrajzolni. Azt az Rn -beli g¨orb´et, amelynek param´eterez´ese az x megold´ as k´eplete, azaz az {x(t) : t ∈ I} Rn -beli g¨orb´et, a megold´ as f´ azisg¨ orb´ej´enek vagy trajekt´ ori´ aj´ anak h´ıvjuk, az Rn teret pedig f´ aziss´ıknak is szok´as h´ıvni. K´et- illetve h´ aromdimenzi´os esetben tudjuk a f´azisg¨ orb´eket t´enylegesen felrajzolni. 6.2. P´ elda. Tekints¨ uk a v ′′ + v = 0 m´ asodrend˝ u homog´en line´ aris skal´ aris differenci´ alegyenletet. Tudjuk, hogy ennek ´altal´anos megold´ asa v(t) = c1 cos t + c2 sin t. A skal´ aris egyenletet rendszer alakra hozhatjuk az x = v, y = v ′ ´es x = (x, y)T v´altoz´ ok bevezet´es´evel: 0 1 x′ = −1 0 x. Az egyenlet az x(0) = (0.5, 0)T ,
x(0) = (1, 0)T ,
x(0) = (0, 1.5)T ,
x(0) = (0, 2)T
6. Stabilit´ aselm´elet
93
kezdeti felt´etelb˝ ol ind´ıtva oldottuk meg. A megold´ asok komponensen´enti integr´ alg¨orb´ei a 6.12. T ´ ´es 6.13. Abr´ an l´ athat´ ok. P´eld´ aul az x(0) = (1, 0) kezdeti felt´etelhez tartoz´ o megold´ as x(t) = (cos t, − sin t)T . Ennek a f´azisg¨ orb´ej´enek a param´eteres egyenlete teh´ at x = cos t, amely egy egys´egsugar´ u k¨or, hiszen
y = − sin t,
x2 + y 2 = 1
teljes¨ ul a g¨orbe ment´en. Most sz´ am´ıtsuk ki az x = c1 cos t + c2 sin t ´es y = −c1 sin t + c2 cos t ´altal´anos megold´ as es´etben is az x2 + y 2 ´ert´ek´et: x2 + y 2 = (c1 cos t + c2 sin t)2 + (−c1 sin t + c2 cos t)2 = c21 cos2 t + c22 sin2 t + 2c1 c2 cos t sin t + c21 sin2 t + c22 cos2 t − 2c1 c2 cos t sin t = c21 + c22 . p Azaz ebben az esetben is a trajekt´ oria egy orig´ o k¨oz´eppont´ u, c21 + c22 sugar´ u k¨or. L´ asd ´ a 6.14. Abr´at, ahol a n´egy f´azisg¨ orb´evel (orig´ o k¨oz´eppont´ u k¨or¨ ok) egy¨ utt az egyenlet ir´ anymez˝oj´et is ´abr´ azoltuk. L´ athat´ o, hogy a f´azisg¨ orb´ek s´ımulnak az ir´ anymez˝oh¨ oz.
2 2
x(t)
2
y(t)
1
2
4
t
6
8
10
2
y
1
0
2
4
t
6
8
10
–2
–1
1
0
–1
–1
–1
–2
–2
–2
´ 6.12. Abra. x(t)
´ 6.13. Abra. y(t)
1x
2
´ 6.14. Abra. f´aziss´ık
Auton´om egyenletek n´eh´ any fontos geometriai tulajdons´ agait foglaltuk ¨ossze az al´abbi t´etelekben: 6.3. T´ etel. Egy auton´ om rendszer k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o tarjekt´ ori´ ai nem metszik egym´ ast. 6.4. T´ etel. Egy auton´ om rendszer b´ armely tarjekt´ ori´ aja vagy (a) o ¨nmag´ at a ´t nem metsz˝ o g¨ orbe (azaz egyszer˝ u g¨ orbe) vagy (b) egyszer˝ u z´ art g¨ orbe vagy (c) egy pont. Egy trajekt´ oria pontosan akkor egy pont, ha az egy egyens´ ulyi helyzet tarjekt´ ori´ aja, ´es egyszer˝ u z´art g¨ orbe trajekt´ ori´ aja pontosan a periodikus megold´ asoknak van. 6.5. T´ etel. Ha (6.1) egy x megold´ as´ ara a lim x(t) = u
t→∞
(vagy
lim x(t) = u)
t→−∞
v´eges hat´ ar´ert´ek l´etezik, akkor u egyens´ ulyi helyzete a (6.1) egyenletnek.
94
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
6.2.
Stabilit´ asi fogalmak
P 1/2 n 2 Jel¨ olje egy x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn vektor norm´aj´at kxk = x . Legyen u egy i=1 i r¨ ogz´ıtett egyens´ ulyi helyzete a (6.1) egyenletnek. Az u egyens´ ulyi helyzetet stabilnak nevezz¨ uk, ha b´ armely ε > 0-hoz l´etezik olyan δ > 0, hogy ha kz − uk < δ, akkor kx(t; z) − uk < ε teljes¨ ul minden t ≥ 0-ra. Az u egyens´ ulyi helyzetet instabilnak nevezz¨ uk, ha nem stabil. Az u egyens´ ulyi helyzetet aszimptotikusan stabilnak nevezz¨ uk, ha stabil, tov´abb´ a l´etezik olyan σ > 0, hogy ha kz − uk < σ, akkor limt→∞ x(t; z) = u teljes¨ ul.
u+ ε u+ δ u u−δ u− ε
u+ ε u+ σ u u−σ u− ε
t0
´ 6.15. Abra. stabil egyens´ ulyi helyzet
t0
´ 6.16. Abra. aszimptotikusan stabil egyens´ ulyi helyzet
Egy stabil egyens´ ulyi helyzet teh´ at olyan, hogy az egyenlet megold´ asai tetsz˝ olegesen k¨ozel maradnak az egyens´ ulyi helyzethez, felt´eve, hogy az egyens´ ulyi helyzethez elegend˝ oen k¨ozel ´ ind´ıtottuk a rendszert (l´ asd a 6.15. Abr´ at). Az aszimptotikusan stabil egyens´ ulyi helyet k¨ozel´eb˝ ol ´ at). ind´ıtott megold´ asok ezen k´ıv¨ ul m´eg az egyens´ ulyi helyzethez is tartanak (l´asd a 6.16. Abr´ 6.6. P´ elda. Tekints¨ uk az
x′ = x − x3
els˝ orend˝ u homog´en line´ aris skal´ aris differenci´ alegyenletet. Ennek h´ arom egyens´ ulyi helyzete van: ´ aban kirajzoltuk az egyenlet n´eh´ u = 0, 1 ´es −1, az u − u3 = 0 egyenlet gy¨okei. A 6.17. Abr´ any kezdeti ´ert´ekhez tartoz´ o megold´ as´ anak integr´ alg¨orb´eit, valamint az egyenlet egy ir´ anymez˝oj´et is. (A v´ızszintes tengely a t-tengely, a f¨ ugg˝ oleges pedig az x-tengely.) L´ athat´ o, hogy a 0, 1 ´es −1 kezdeti ´ert´ekekhez konstans megold´ asok tartoznak. Minden az x = 0 ´es x = 1 egyenesek k¨oz¨otti ponton ´atmen˝ o megold´ as ´erint˝ oj´enek meredeks´ege pozit´ıv, azaz ebben a s´ avban a megold´ asok mind monoton n˝ onek. (Megmutathat´ o az is, ahogy azt az ´abr´ ab´ ol l´atjuk is, hogy minden megold´ as ebben a s´ avban 1-hez tart. Az x = 1 egyenes feletti s´ avban pedig minden megold´ as monoton cs¨ okkenve tart 1-hez. Az x = 0 ´es x = −1 egyenes k¨oz¨otti s´ avban a megold´ asok −1-hez tartanak, x = −1 alatt pedig minden megold´ as −1-hez tart. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy az orig´ o instabil, hiszen b´ armely k¨ozel is ind´ıtjuk a megold´ ast 0-hoz, a megold´ as vagy 1-hez vagy −1-hez fog tartani, azaz nem marad az orig´ o kis k¨ornyezet´en bel¨ ul. Az 1 ´es a −1 egyens´ ulyi helyzetek pedig aszimptotikusan stabilak.
2 6.7. P´ elda. Tekints¨ uk u ´jra a 6.2. P´eld´ aban vizsg´alt 2 × 2-es rendszert, amelynek trajekt´ ori´ ai ´ an l´ a 6.14. Abr´ athat´ ok. A rendszernek egy egyens´ ulyi helyzete van, u = 0. Ez stabil, hiszen ´ ab´ a 6.14. Abr´ ol l´ athat´ o, hogy b´ armely ε > 0 sugar´ u k¨ornyezet´et vessz¨ uk az orig´ onak, akkor a δ = ε sugar´ u k¨ornyezet´en bel¨ ul ind´ıtott trajekt´ ori´ ak ugyanezen k¨ornyezeten bel¨ ul maradnak, mivel minden trajekt´ oria k¨or. Az egyens´ ulyi helyzet viszont nem aszimptotikusan stabil, hiszen ´ ab´ a trajekt´ ori´ ak nem tartanak az orig´ ohoz. A stabilit´ as a 6.12. ´es a 6.13. Abr´ ol is l´athat´ o, hiszen p a megold´ as x(t) = c1 cos t + c2 sin t ´es y(t) = −c1 sin t + c2 cos t, amelynek amplit´ ud´ oja c21 + c22 ,
6. Stabilit´ aselm´elet
95 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 x(t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 –0.2 –0.4 –0.6 –0.8 –1 –1.2 –1.4 –1.6
1
2
t
3
4
5
´ 6.17. Abra. x(t)
ami pedig pont kx(0)k = k(x(0), y(0))k =
p
c21 + c22 .
2
Az ebben a szakaszban defini´alt stabilit´ asi fogalmakat Ljapunov-f´ele stabilit´ asnak is szokt´ak nevezni, hogy megk¨ ul¨ onb¨ oztess´ek ˝ oket az irodalomban haszn´alt t¨obb tucat egy´eb stabilit´ asi fogalomt´ol. Ki lehet terjeszteni a Ljapunov-f´ele stabilit´ as, instabilit´as ´es aszimptotikus stabilit´ as defin´ıci´oj´at nemauton´om egyenletekre is, de ezzel itt nem foglalkozunk.
6.3.
K´ etdimenzi´ os auton´ om homog´ en line´ aris rendszerek egyens´ ulyi helyzetei
Tekints¨ uk az x′ = Ax
(6.3)
auton´ om homog´en line´ aris rendszert, ahol A egy 2 × 2-es invert´ alhat´ o m´ atrix. Ekkor a rendszernek az u = 0 az egyetlen egyens´ ulyi helyzete. Line´aris algebr´ ab´ ol ismert, hogy A pontosan akkor invert´ alhat´ o, ha 0 nem saj´at´ert´eke A-nak. Legyen λ1 ´es λ2 az A k´et saj´at´ert´eke. Hat esetet k¨ ul¨ onb¨ oztet¨ unk meg. 1. eset: λ1 6= λ2 azonos el˝ ojel˝ u val´ os saj´ at´ ert´ ekei A-nak. Ekkor az el˝ oz˝ o fejezet alapj´an az egyenlet ´altal´anos megold´ asa x(t) = c1 eλ1 t ξ (1) + c2 eλ2 t ξ (2) ,
(6.4)
ahol c1 , c2 tetsz˝ oleges konstansok. Ha vessz¨ uk a c2 = 0, c1 6= 0 speci´ alis esetet, akkor a hozz´ a tartoz´ o megold´ as x = c1 eλ1 t , azaz koordin´at´ank´ent ki´ırva (1)
x1 = c1 eλ1 t ξ1
(1)
x2 = c1 eλ1 t ξ2 . A k´et egyenletet egym´assal elosztva kapjuk, hogy (1)
x2 ξ = 2(1) , x1 ξ1
96
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
azaz (1)
x2 =
ξ2
(1)
ξ1
x1 . (1)
(1)
Ennek grafikonja egy orig´ on ´ atmen˝ o egyenes, amelynek meredeks´ege ξ2 /ξ1 . ´Igy ez az egyenes (1) pontosan a ξ vektor ´ altal meghat´ arozott ir´ anyba mutat. Ugyan´ıgy l´ athat´ o, hogy ha a c1 = 0, c2 6= 0 param´eter v´alaszt´ ast haszn´aljuk, akkor a megold´ as trajekt´ ori´ aja az orig´ on ´atmen˝ o, ξ (2) ir´ any´ u egyenes lesz. Az ´altal´ anos, c1 6= 0, c2 6= 0 esetben a megold´ asok trajekt´ ori´ ai s´ıkbeli g¨orb´ek, amelyek param´eteres egyenletrendszere (1)
(2)
(6.5)
(1)
(2)
(6.6)
x1 = c1 eλ1 t ξ1 + c2 eλ2 t ξ1
x2 = c1 eλ1 t ξ2 + c2 eλ2 t ξ2 .
Ha λ1 ´es λ2 mindkett˝ o negat´ıv, akkor az el˝obbi egyenletekb˝ol l´athat´ o, hogy x1 (t) → 0 ´es x2 (t) → 0, ha t → ∞, azaz a g¨ orb´ek az orig´ oba tartanak, ha t → ∞. Stabilit´ asi szempontb´ ol teh´ at ebben az esetben az orig´ o aszimptotikusan stabil lesz, ´es minden trajekt´ oria az ir´ any´ıt´asa ment´en az orig´ oba tart. M´asr´eszt, ha t → −∞, akkor x1 (t) → ∞ ´es x2 (t) → ∞, azaz a a trajekt´ ori´ ak az ir´ any´ıt´asukkal ellent´etes ir´ anyban a v´egtelenbe tartanak. Tegy¨ uk fel p´ed´ aul, hogy λ1 < λ2 < 0. Ekkor a (6.4) k´epletet ´atalak´ıtva kapjuk, hogy x(t) = eλ2 t c1 e−(λ2 −λ1 )t ξ (1) + c2 ξ (2) .
(6.7)
Mivel ebben az esetben e−(λ2 −λ1 )t → 0, ha t → ∞, ez´ert nagy t-re x(t) ≈ c2 eλ2 t ξ (2) ,
(6.8)
azaz a megold´ as garikonja k¨ozel van a ξ (2) ´altal meghat´ arozott egyeneshez. Megmutathat´ o, hogy ezek a g¨ orb´ek ´erintik az egyenest. A trajekt´ ori´ ak tipikus alakja a 6.19. ´abr´ an l´athat´ o. Az egyens´ ulyi helyzetet ebben az esetben aszimptotikusan stabil csom´ opontnak nevezz¨ uk. Ford´ıtva, ha 0 < λ2 < λ1 , akkor a k¨ ul¨ onbs´eg az, hogy most t → ∞ eset´en mindk´et a megold´ as koordin´at´ aja a v´egtelenbe tart, azaz a g¨orbe az ir´ any´ıt´asa ment´en a v´egtelenbe tart. Ha pedig t → −∞, akkor a g¨ orbe az orig´ oba tart. Most is indokolhat´ o, hogy ha t nagy abszol´ ut (2) ´ert´ek˝ u negat´ıv sz´ am, akkor a (6.7) ¨ osszef¨ ugg´esb˝ ol (6.8) k¨ovetkezik, azaz a g¨orb´ek a ξ vektor ir´ any´ u egyeneshez s´ımulnak t → −∞ eset´en. Egy tipikus eset trajekt´ ori´ ai a 6.18. ´abr´ an l´ athat´ ok. Ebben az esetben az orig´ ot instabil csom´ opontnak h´ıvjuk. x
x
2 (1)
2 (1)
ξ
ξ
(2)
(2)
ξ
ξ x
0
1
0
´ 6.18. Abra. instabil csom´ opont
x
0
1
0
´ 6.19. Abra. aszimptotikusan stabil csom´ opont
6. Stabilit´ aselm´elet
97
2. eset: λ1 = λ2 azonos el˝ ojel˝ u val´ os saj´ at´ ert´ ekei A-nak, amelynek geometriai multiplicit´ asa 2. A (6.3) egyenlet megold´ as´ anak k´eplete ebben az esetben is (6.4), de most ez a param´eterez´es nem csak a c1 = 0 vagy c2 = 0 esetben defini´al egyenest, hanem a c1 6= 0 ´es c2 6= 0 esetben is, hiszen a (6.5)-(6.6) egyenletrendszer alakja most (1) (2) x1 = eλ1 t c1 ξ1 + c2 ξ1 (1) (2) x2 = eλ1 t ξ2 + c2 ξ2 , (1)
(1)
(2)
(2)
at jelen esetben amib˝ ol x2 = mx1 k¨ovetkezik, ahol m = (ξ2 + c2 ξ2 )/(c1 ξ1 + c2 ξ1 ). Teh´ minden trajekt´ oria az orig´ ob´ ol indul´o f´elegyenes. Ha λ1 < 0, akkor monden trajekt´ oria az ir´ any´ıt´asa ment´en az orig´ oba tart, ha pedig λ1 > 0, akkor a trajekt´ oria az ir´ any´ıt´asa ment´en a ´ akat). Ebben az esetben is csom´ v´egtelenbe tart (l´ asd a 6.20. ´es 6.21. Abr´ opontnak nevezz¨ uk az egyens´ ulyi helyzetet, amely instabil, ha λ1 > 0, ill. aszimptotikusan stabil, ha λ1 < 0. Ebben az esetben a saj´atvektoroknak nincs kit¨ untetett szerep¨ uk az ´abr´ aban (minden vektor egy´ebk´ent saj´atvektor). x
x
2
x1
0
x1
0
0
2
0
´ 6.20. Abra. instabil csom´ opont
´ 6.21. Abra. aszimptotikusan stabil csom´ opont
3. eset: λ1 = λ2 val´ os saj´ at´ ert´ ekei A-nak, amelynek geometriai multiplicit´ asa 1. Ekkor a (6.3) egyenlet megold´ asa x(t) = c1 eλ1 t ξ (1) + c2 eλ1 t tξ (1) + η , ahol η a λ1 -hez tartoz´ o´ altal´ anos´ıtott saj´atvektor. Ez c2 = 0-ra ´es c1 6= 0-ra a ξ (1) ir´ any´ u egyenes (pontosabban k´et f´elegyenes) trajekt´ ori´ at eredm´enyezi. Egy´ebk´ent x a v(t) = c1 ξ (1) + c2 η + tc2 ξ (1) vektor eλ1 t -szorosa. A v(t) vektor grafikonja egy a ξ vektorral p´ arhuzamos egyenes. (A 6.22. (1) (1) ´ Abr´an az a = c1 ξ + c2 η ponton ´ atmen˝ o, ξ ir´ any´ u egyenes.) Ez´ert minden orig´ ob´ ol indul´o f´elegyenes egy pontban metszi a trajekt´ ori´ at. Ellen˝orizhet˝ o, hogy az x megold´ as trajekt´ ori´ aja ´ an l´ a 6.22. Abr´ athat´ o g¨ orbe lesz, amely ´erinti az ξ (1) ir´ any´ u egyenest az orig´ oban. Az egyens´ ulyi helyzetet ebben az esetben elfajult csom´ opontnak h´ıvjuk. Ez lehet instabil, ha λ1 > 0, illetve aszimptotikusan stabil, ha λ1 < 0.
98
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009 x
x
x
2
2
v
ξ(1)
2
ξ(1)
ξ(1)
a x1
0
x1
0
0
0
´ 6.23. Abra. instabil elfajult csom´ opont
´ 6.24. Abra. aszimptotikusan stabil elfajult csom´ opont
0
´ 6.22. Abra.
x1
0
4. eset: λ1 6= λ2 ellent´ etes el˝ ojel˝ u val´ os saj´ at´ ert´ ekei A-nak. Tegy¨ uk fel p´eld´ aul, hogy λ2 < 0 < λ1 . A (6.3) egyenlet megold´ as´ anak k´eplete ebben az esetben is (6.4), ´ıgy most is van k´et egyenes, pontosabban n´egy f´elegyenes a trajekt´ ori´ ak k¨oz¨ott (a c1 = 0 vagy c2 = 0 eset´en). Nagy t-re eλ2 t ≈ 0, ´ıgy x(t) ≈ c1 eλ1 t ξ (1) teljes¨ ul, azaz a tarjekt´ ori´ ak a ξ (1) vektor ´altal meghat´ arozott egyeneshez tartanak az ir´ any´ıt´ as ment´en. Ford´ıtva, ha t → −∞, akkor pedig eλ1 t ≈ 0, amib˝ ol indokolhat´ o az el˝obbi gondolatmenet mint´ aj´ara, hogy a tarjekt´ ori´ ak a ξ (2) vektor ´altal meghat´ arozott egyeneshez tartanak a ford´ıtott ir´ any´ıt´ as ment´en. Ez´ert a trajekt´ ori´ ak alakja hiperbolaszer˝ u”, ahogy az a 6.25. ” ´ an l´athat´ Abr´ o. A pozit´ıv saj´at´ert´ekhez tartoz´ o egyenes ir´ any´ıt´asa az orig´ ob´ ol kifel´e, a negat´ıv saj´at´ert´ekhez tartoz´ o egyenesen pedig az orig´ o fel´e mutat, a t¨obbi trajekt´ oria pedig illeszkedik ezekhez az ir´ anyokhoz. A pozit´ıv saj´at´ert´ekhez tartoz´ o egyenest, azaz a saj´at´ert´ek saj´atalter´et instabil alt´ernek, a negat´ıv saj´at´ert´ek saj´atalter´et pedig stabil alt´ernek nevezz¨ uk. L´ athat´ o, hogy minden g¨orbe trajekt´ oria az id˝ o n¨ oveked´es´evek az instabil alt´erhez, illetve t → −∞ eset´en a stabil alt´erhez konverg´ al. Ebben az esetben az egyens´ ulyi helyzetet nyeregpontnak h´ıvjuk. Egy nyeregpont mindig instabil egyens´ ulyi helyzet, hiszen az orig´ o b´ armely k¨ornyezet´eb˝ ol vett pontb´ ol indul´o megold´ asok – a stabil alt´eren elhelyezked˝ o pontok ´es az orig´ o kiv´etel´evel – tetsz˝ oleges t´avol ker¨ ulnek az orig´ ot´ ol. x
2
(2)
ξ
(1)
ξ 0
x
1
0
´ 6.25. Abra. nyeregpont, instabil 5. eset: λ1,2 = α ± iβ (α 6= 0) komplex saj´ at´ ert´ ekei A-nak. Legyen ξ = u + iv az A m´ atrix λ = α + iβ saj´at´ert´ek´ehez tartoz´ o saj´atvektora. Ekkor az Aξ = λξ = (α + iβ)(u + iv) = αu − βv + i(βu + αv) egyenlet val´ os ´es k´epzetes r´esz´et v´eve kapjuk, hogy Au = αu − βv
´es
Av = βu + αv.
6. Stabilit´ aselm´elet
99
Jel¨ olje T azt a 2 × 2-es m´ atrixot, amelynek els˝ o oszlopa u, a m´ asodik oszlopa pedig v, azaz T = (u, v). Ekkor α β α β AT = (Au, Av) = (αu − βv, βu + αv) = (u, v) −β α = T −β α . Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy
T−1 AT = Legyen x = Ty, azaz y = T−1 x. Ekkor
α β −β α
.
y′ = T−1 x′ = T−1 Ax = T−1 ATy, azaz az y = (y1 , y2 )T u ´j v´altoz´ o teljes´ıti az y1′ = αy1 + βy2 y2′ = −βy1 + αy2
(6.9)
egyenleteket. Az (y1 , y2 ) pontnak tekints¨ uk a pol´ar koordin´at´ait, (r, θ)-t. Ekkor y2 r 2 = y12 + y22 ´es tg θ = . y1 Az els˝ o egyenlet mindk´et oldal´ at differenci´ alva ´es a (6.9) ¨osszef¨ ugg´eseket felhaszn´ alva kapjuk 2rr ′ = 2y1 y1′ + 2y2 y2′ = 2y1 (αy1 + βy2 ) + 2y2 (−βy1 + αy2 ) = 2α(y12 + y22 ) = 2αr 2 , azaz a mozg´ as sor´ an r ′ = αr teljes¨ ul, ez´ert r = c1 eαt . A pont t´avols´ aga az orig´ ot´ol a mozg´ as sor´ an exponenci´ alisan n¨ ovekszik, ha α > 0, ´es exponenci´ alisan cs¨ okkenve 0-hoz tart, ha α < 0. A θ-ra vonatkoz´ o egyenletet differenci´ alva hasonl´o m´ odon kapjuk, hogy 1 y2′ y1 − y1′ y2 (−βy1 + αy2 )y1 − (αy1 + βy2 )y2 y12 + y22 r2 ′ θ = = = −β = −β , cos2 θ y12 y12 y12 y12 amib˝ ol θ ′ = −β, ´es ez´ert θ = −βt + θ0 . A mozg´ as sor´ an ez´ert a pont a trajekt´ ori´ an egyenletes sebess´eggel forog az orig´ o k¨or¨ ul. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy az y v´altoz´o trajekt´ ori´ ai alakja spir´al ´ at. g¨orbe, l´asd a 6.26. ´es 6.27. Abr´ y
y
2
2
y 0
1
y 0
1
0
0
´ 6.26. Abra. λ = α ± iβ, α > 0
´ 6.27. Abra. λ = α ± iβ, α < 0
´ an l´athat´ A T line´ aris transzform´aci´ ot alkalmazva a g¨orb´ekre a 6.28. ´es 6.29. Abr´ o g¨orb´eket kapjuk. Az egyens´ ulyi helyet neve ebben az esetben f´ okusz, amely lehet instabil, ha α > 0, illetve aszimptotikusan stabil, ha α < 0. 6. eset: λ1,2 = ±iβ komplex saj´ at´ ert´ ekei A-nak. Az el˝oz˝o pontban vett r ´es θ k´eplet´enek levezet´ese az α = 0 esetre ugyan´ ugy ´erv´enyes, ´ıgy kapjuk, hogy az r ′ = 0 egyenlet teljes¨ ul, azaz r konstans a megold´ as ment´en. A (6.9) egyenlet ´ trajekt´ ori´ ai teh´ at orig´ o k¨oz´eppont´ u k¨or¨ ok (6.30. Abra). ´ an l´athatjuk. Az Line´aris transzform´aci´ o a k¨or¨ oket ellipszisbe visz a´t, ahogy azt a 6.31. Abr´ egyens´ ulyi helyzet neve centrum. Egy centrum mindig stabil, de nem aszimptotikusan stabil.
100
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009 x
x
2
0
x
0
x
1
1
0
0
´ 6.28. Abra. instabil f´okusz
´ 6.29. Abra. aszimptotikusan stabil f´okusz
y2
x2
0
6.4.
2
y
0
x
1
1
0
0
´ 6.30. Abra. λ = ±iβ
´ 6.31. Abra. centrum, stabil
Line´ aris rendszerek stabilit´ asa
Tekints¨ uk az x′ = A(t)x
(6.10)
homog´en line´ aris egyenletet. Az egyenletnek u = 0 egyens´ ulyi helyzete (azaz az azonosan 0 f¨ uggv´eny megold´ asa az egyenletnek), ´es ha feltessz¨ uk, hogy az A(t) m´ atrix minden t-re invert´ alhat´ o, akkor az egyenletnek nincs is t¨obb egyens´ ulyi helyzete. 6.8. T´ etel. A (6.10) egyenlet u = 0 egyens´ ulyi helyzete (a) akkor ´es csak akkor stabil, ha a (6.10) egyenlet minden megold´ asa korl´ atos; (b) akkor ´es csak akkor aszimptotikusan stabil, ha a (6.10) egyenlet minden x megold´ as´ ara lim x(t) = 0.
t→∞
Tekints¨ uk most a (6.10) speci´ alis eset´et, tegy¨ uk fel, hogy az egy¨ utthat´ o konstans m´ atrix, azaz tekints¨ uk az x′ = Ax (6.11) egyenletet. Ebben az esetben az u = 0 egyens´ ulyi helyzet stabilit´ as´ at az egy¨ utthat´ om´ atrix saj´at´ert´ekei meghat´ arozz´ ak. 6.9. T´ etel. Legyen λ1 , . . . , λn az n × n-es A m´ atrix saj´ at´ert´ekei. Ekkor a (6.11) egyenlet u = 0 egyens´ ulyi helyzete
6. Stabilit´ aselm´elet
101
(a) akkor ´es csak akkor stabil, ha Re λi ≤ 0,
i = 1, . . . , n,
´es ha valamely saj´ at´ert´ekre Re λi = 0, akkor λi geometriai multiplicit´ asa megegyezik az algebrai multiplicit´ as´ aval; (b) akkor ´es csak akkor aszimptotikusan stabil, ha Re λi < 0,
i = 1, . . . , n.
N´eh´ any speci´ alis esetben az egy¨ utthat´ ok ismeret´eben (a saj´at´ert´ekek kisz´am´ıt´asa n´elk¨ ul) eld¨ onthet˝ o a rendszer aszimptotikus stabilit´ asa. 6.10. T´ etel. Legyen A = (aij ) n × n-es m´ atrix, amelyre aii < 0,
i = 1, . . . , n.
Ekkor ha az A m´ atrix soronk´ent diagon´ alisan domin´ ans, azaz |aii | >
n X
|aij |,
i = 1, . . . , n,
j=1 j6=i
vagy ha A oszloponk´ent diagon´ alisan domin´ ans, azaz |ajj | >
n X
|aij |,
j = 1, . . . , n,
i=1 i6=j
akkor a (6.11) egyenlet u = 0 egyens´ ulyi helyzete aszimptotikusan stabil.
6.5.
Nemline´ aris rendszerek egyens´ ulyi helyzet´ enek stabilit´ asa
Tekints¨ uk az x′ = Ax + g(x),
(6.12)
u ´.n. kv´ aziline´ aris egyenletet, ahol feltessz¨ uk, hogy g(0) = 0 ´es lim
x→0
kg(x)k = 0. kxk
(6.13)
Az els˝ o felt´etelb˝ ol k¨ovetkezik, hogy u = 0 egyens´ ulyi helyzete a (6.12) egyenletnek. A m´ asodik felt´etel azt jelenti, hogy a g f¨ uggv´eny m´ ar csak line´ arisn´al nagyobb rend˝ u tagokat tartalmaz. A (6.12) egyenletben a nemline´aris tagokat, azaz a g f¨ uggv´enyt elhagyva kapjuk az egyenlet u ´.n. lineariz´ alt egyenlet´et: x′ = Ax. (6.14) A k¨ovetkez˝o t´etel szerint a (6.12) egyenlet u = 0 egyens´ ulyi helyzet´enek aszimptotikus stabilit´ as´ ara illetve instabilit´as´ ara k¨ovetkeztetni tudunk az lineariz´ alt egyenlet u = 0 egyens´ ulyi helyzet´enek stabilit´ asi tulajdons´ ag´ ab´ ol.
102
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
6.11. T´ etel. Ha a (6.14) lineariz´ alt egyenlet u = 0 egyens´ ulyi helyzete aszimptotikusan stabil, akkor a (6.12) egyenlet u = 0 egyens´ ulyi helyzete is aszimptotikusan stabil. Ha a (6.14) lineariz´ alt egyenlet A egy¨ utthat´ oj´ anak l´etezik pozit´ıv val´ os r´esz˝ u saj´ at´ert´eke, akkor a (6.12) egyenlet u = 0 egyens´ ulyi helyzete instabil. Ha a (6.14) lineariz´ alt egyenlet u = 0 egyens´ ulyi helyzete stabil, akkor ebb˝ ol nem tudunk k¨ovetkeztetni a (6.12) egyenlet u = 0 egyens´ ulyi helyzete stabilit´ asi tulajdons´ ag´ara: a nemline´ aris egyenlet egyens´ ulyi helyzete lehet aszimptotikusan stabil, instabil vagy stabil is. K´etdimenzi´os esetben a lineariz´ alt egyenlet trajekt´ ori´ ainak alakj´ at fel tudjuk rajzolni. Megmutathat´ o, hogy a nemline´aris egyenlet trajekt´ ori´ ai az egyens´ ulyi helyzet kis k¨ornyezet´eben a line´ aris egyenlet trajekt´ ori´ ainak (nemline´aris) deform´ aci´oj´aval kaphat´ ok meg. ´Igy az ´abr´ ak hasonl´ıtanak a line´ aris egyenlet trajekt´ ori´ aira, csak pl. a csom´ opontok eset´eben a k´et egyenes is g¨orbe trajekt´ ori´ akba deform´ al´ odik. 6.12. P´ elda. Hat´arozzuk meg az x′ = x + y − 2xy y ′ = 4x + y + x2 egyenlet (0, 0) egyens´ ulyi helyzet´enek stabilit´ as´ at! Az egyenletben szerepl˝o nemline´aris tagok −2xy . g(x, y) = x2 Erre teljes¨ ul a (6.13) felt´etel, hiszen x = r cos θ, y = r sin θ pol´ar koordin´at´akra ´att´erve kg(x)k2 x→0 kxk2 lim
=
(−2xy)2 + x4 x2 + y 2 (x,y)→(0,0) lim
4r 4 cos2 θ sin2 θ + r 4 cos4 θ r→0 r2 2 2 = lim r (4 cos θ sin2 θ + cos4 θ) = 0.
= lim
r→0
A megfelel˝o lineariz´ alt egyenlet x′ = x + y y ′ = 4x + y. Az
1 1 4 1
egy¨ utthat´ om´ atrix saj´at´ert´ekei 3 ´es −1, ´ıgy a lineariz´ alt egyenlet egyens´ ulyi helyzete egy nyeregpont, amely instabil egyens´ ulyi helyzet. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a nemline´aris egyenlet (0, 0) egyens´ ulyi helyzete is instabil. 2
Tekints¨ uk most az ´ altal´ anos x′ = f (x)
(6.15)
nemline´aris egyenletet, ahol legyen u az egyenlet egy tetsz˝ olegesen r¨ ogz´ıtett trajekt´ ori´ aja. Azt vizsg´aljuk, hogy az egyens´ ulyi helyzet k¨ozel´eb˝ ol ind´ıtott x megold´ asokra az x − u k¨ ul¨ onbs´eg hogyan v´altozik a mozg´ as sor´ an. Vezess¨ uk be ez´ert az y =x−u
6. Stabilit´ aselm´elet
103
u ´j v´altoz´ot. Ekkor, haszn´alva hogy u konstans vektor, y teljes´ıti az y′ = x′ = f (x) = f (y + u) differenci´ alegyenletet. Vegy¨ uk az f f¨ uggv´eny line´ aris Taylor-k¨ ozel´ıt´es´et u k¨or¨ ul, ahol a hibatagot jel¨olje g: f (y + u) = f (u) + f ′ (u)y + g(y) Itt f ′ az f f¨ uggv´eny Jacobi-m´atrix´at jel¨oli, azaz azt az n × n-es m´ atrixot, amelyben az i-edik sor j-edik eleme az f i-edik komponensf¨ uggv´eny´enek a j-edik v´altoz´o szerinti parci´ alis deriv´altja. Mivel u egyens´ ulyi helyzet, ez´ert f (u) = 0, ´ıgy az y′ = f ′ (u)y + g(y) egyenletet kapjuk. Ez kv´ aziline´ aris egyenlet, ez´ert a 6.11. T´etelt alkalmazva kapjuk a k¨ovetkez˝ o eredm´enyt. 6.13. T´ etel. Legyen u egy egyens´ ulyi helyzete a (6.15) egyenletnek. Ekkor ha az y′ = f ′ (u)y lineariz´ alt egyenlet 0 egyens´ ulyi helyzete aszimptotikusan stabilis, akkor a (6.15) egyenlet u egyens´ ulyi helyzete is az, illetve ha a lineariz´ alt egyenlet f ′ (u) egy¨ utthat´ oj´ anak l´etezik pozit´ıv val´ os r´esz˝ u saj´ at´ert´eke, akkor a nemline´ aris egyenlet egyens´ ulyi helyzete instabil. 6.14. P´ elda. Hat´arozzuk meg az x′ = x(3 − 2x − y) y ′ = y(2 − x − y) egyenlet egyens´ ulyi helyzeteit ´es azok stabilit´ as´ at! Az egyens´ ulyi helyzeteket az x(3 − 2x − y) = 0 y(2 − x − y) = 0 algebrai egyenletrendszer megold´ asai adj´ak. N´egy esetet k¨ ul¨ onb¨ oztet¨ unk meg: 1. x = 0 ´es y = 0, azaz (0, 0) az egyik egyens´ ulyi helyzet. 2. x = 0 ´es 2 − x − y = 0. Ennek megold´ asa (0, 2). 3. 3 − 2x − y = 0 ´es y = 0. Ehhez tartoz´ o egyens´ ulyi helyzet (1.5, 0). 4. 3 − 2x − y ´es 2 − x − y = 0. Ennek megold´ asa (1, 1). Az egyenlet jobb oldal´ at le´ır´ o f¨ uggv´eny 3x − 2x2 − xy , f (x, y) = 2y − xy − y 2 ´es ennek Jacobi-m´atrixa f ′ (x, y) =
3 − 4x − y −x −y 2 − x − 2y
N´ezz¨ uk az egyes egyens´ ulyi helyzeteket. 1. (0, 0). Ebben a pontban f ′ (0, 0) =
3 0 0 2
,
.
104
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
amelynek saj´at´ert´ekei a f˝o´ alt´ oban ´ all´ o sz´ amok, 3 ´es 2, hiszen a m´ atrix diagon´ alis. Ez´ert a lineariz´ alt egyenlet egyens´ ulyi helyzete egy instabil csom´ opont, ´es ´ıgy a nemline´aris egyenlet (0, 0) egyens´ ulyi helyzete is instabil. 2. (0, 2). Ebben a pontban 1 0 f ′ (0, 2) = −2 −2 ,
amelynek saj´at´ert´ekei a f˝o´ alt´ oban ´ all´ o sz´ amok, 1 ´es −2, hiszen a m´ atrix als´ o h´ aromsz¨og m´ atrix. Ez´ert a lineariz´ alt egyenlet egyens´ ulyi helyzete egy instabil nyeregpont, ´es ´ıgy a nemline´aris egyenlet (0, 2) egyens´ ulyi helyzete is instabil. 3. (1.5, 0). Ebben a pontban −3 −1.5 f ′ (1.5, 0) = 0 0.5 , amelynek saj´at´ert´ekei a f˝o´ alt´ oban ´ all´ o sz´ amok, −3 ´es 0.5, hiszen a m´ atrix fels˝o h´ aromsz¨og m´ atrix. Ez´ert a lineariz´ alt egyenlet egyens´ ulyi helyzete egy instabil nyeregpont, ´es ´ıgy a nemline´aris egyenlet (1.5, 0) egyens´ ulyi helyzete is instabil. 4. (1, 1). Ebben a pontban −2 −1 f ′ (1, 1) = −1 −1 , √
amelynek saj´at´ert´ekei, λ1,2 = −3±2 5 . Ez´ert a lineariz´ alt egyenlet egyens´ ulyi helyzete aszimptotikusan stabil csom´ opont, ´es ´ıgy a nemline´aris egyenlet (1, 1) egyens´ ulyi helyzete is aszimptotikusan stabil. ´ aban l´ A 6.32. Abr´ athat´ ok a nemline´aris rendszer trajekt´ ori´ ai. L´ athat´ o, hogy az egyes egyens´ ulyi helyzetek kis k¨ornyezet´eben a megold´ asok trajekt´ ori´ ainak alakjai hasonl´ıtanak a lineariz´ alt egyenlet trajekt´ ori´ aira. 2
2
1
0
0
1
1.5
´ 6.32. Abra. nemline´aris rendszer trajekt´ ori´ ai
6.6.
Ljapunov-f¨ uggv´ enyek
Legyen U ⊂ Rn ny´ılt halmaz, amelyre 0 ∈ U . Egy V : U → R f¨ uggv´enyt pozit´ıv (negat´ıv) definitnek nevez¨ unk, ha V (0) = 0
´es
V (x) > 0 (V (x) < 0)
x 6= 0,
x ∈ U.
x 6= 0,
x ∈ U.
A V f¨ uggv´enyt pozit´ıv (negat´ıv) szemidefinitnek nevezz¨ uk, ha V (0) = 0
´es
V (x) ≥ 0 (V (x) ≤ 0)
6. Stabilit´ aselm´elet
105
Nyilv´an V pontosan akkor negat´ıv (szemi)definit, ha −V pozit´ıv (szemi)definit. Az alkalmaz´ an sokban sokszor V ´ertelmez´esi tartom´ anya U = R . 6.15. P´ elda. Legyen
V (x, y) = ax2 + bxy + cy 2
k´etv´altoz´os kvadratikus f¨ uggv´eny. Feltessz¨ uk, hogy a 6= 0. Alak´ıtsuk V -t teljes n´egyzett´e: b b 2 4ac − b2 2 b 2 b2 V (x, y) = a x2 + xy + cy 2 = a x + y − 2 y 2 + cy 2 = a x + y + y . a 2a 4a 2a 4a Ebb˝ol l´athat´ o, hogy ha a>0
´es
4ac − b2 ≥ 0,
´es
4ac − b2 ≥ 0,
akkor V pozit´ıv szemidefinit. Ha pedig a<0
akkor pedig V negat´ıv szemidefinit. V pontosan akkor lesz pozit´ıv definit, ha a>0
4ac − b2 > 0,
´es
hiszen ha V (x, y) = 0, akkor ebb˝ ol k¨ovetkezik, hogy b 2 a x+ y =0 2a
4ac − b2 2 y = 0, 4a
´es
amib˝ ol k¨ovetkezik, hogy y = 0 ´es ´ıgy x = 0. Hasonl´oan, V pontosan akkor negat´ıv definit, ha a<0
´es
4ac − b2 > 0.
2 Az n-dimenzi´os esetre a kvadratikus f¨ uggv´eny ´altal´anos alakja V : Rn → R,
V (x1 , . . . , xn ) =
n X n X
aij xi xj .
i=1 j=1
Ezt vektori´alisan a alakban ´ırhatjuk fel, ahol
V (x) = xT Ax x = (x1 , . . . , xn )T ,
A = (aij ).
Megmutathat´ o a k¨ovetkez˝ o t´etel. 6.16. T´ etel (Sylvester). A V (x) = xT Ax kvadratikus f¨ uggv´eny definit, ha minden f˝ ominora pozit´ıv, azaz a11 a 21 a11 a12 a13 a a a11 > 0, a11 a12 > 0, a21 a22 a23 > 0, . . . , a31 21 22 a31 a32 a33 .. . an1
akkor ´es csak akkor pozit´ıv a12 a13 a22 a23 a32 a33 .. .. . . an2 an3
· · · a1n · · · a2n · · · a3n .. . · · · ann
> 0.
106
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009 Tekints¨ uk u ´jra az x′ = f (x)
(6.16)
nemline´aris egyenletet, ahol feltessz¨ uk, hogy f (0) = 0, azaz legyen u = 0 az egyenlet egyens´ ulyi helyzete. Ennek stabilit´ asi tulajdons´ agait fogjuk vizsg´alni. Az f f¨ uggv´eny komponensf¨ uggv´enyeit jel¨olje f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x))T . Legyen V : Rn → R folytonosan parci´ alisan differenci´ alhat´ o. Sz´ am´ıtsuk ki a V (x(t)) ¨osszetett f¨ uggv´eny deriv´altj´at, ahol x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))T a (6.16) egyenlet megold´ asa: dV (x(t)) = dt =
∂V ∂V (x(t))x′1 (t) + · · · + (x(t))x′n (t) ∂x1 ∂xn ∂V ∂V (x(t))f1 (x(t)) + · · · + (x(t))fn (x(t)). ∂x1 ∂xn
Ez a k´eplet motiv´alja az al´ abbi defin´ıci´ ot. Az f f¨ uggv´eny (6.16) egyenletre vonatkoz´o deriv´altj´at a ∂V ∂V V ′ (x) = (x)f1 (x) + · · · + (x)fn (x) ∂x1 ∂xn k´eplettel defini´aljuk. Ha a V ′ (x) f¨ uggv´enyr˝ol tudjuk, hogy negat´ıv definit, akkor b´ armely x(t) megold´ asra a V (x(t)) ¨ osszetett f¨ uggv´enyr˝ol tudjuk, hogy szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o lesz. Ha emellett azt is bel´ atjuk, hogy V (x(t)) → 0, ha t → ∞, akkor ebb˝ ol x(t) → 0 is k¨ovetkezik. Ez az elve a k¨ovetkez˝ o t´etel bizony´ıt´ as´ anak, de a r´eszletekt˝ol eltekint¨ unk. 6.17. T´ etel (Ljapunov). Tegy¨ uk fel, hogy f (0) = 0, U ⊂ Rn ny´ılt halmaz, 0 ∈ U . Legyen V : U → R folytonosan parci´ alisan differenci´ alhat´ o. (a) Ha V pozit´ıv definit ´es V ′ negat´ıv szemidefinit, akkor a (6.16) egyenlet 0 egyens´ ulyi helyzete stabil. (b) Ha V pozit´ıv definit ´es V ′ negat´ıv definit, akkor a 0 egyens´ ulyi helyzet aszimptotikusan stabil. (c) Ha 0 b´ armely k¨ ornyezet´eben l´etezik olyan x, hogy V (x) > 0, ´es V ′ pozit´ıv definit, akkor a 0 egyens´ ulyi helyzet instabil. Egy olyan V f¨ uggv´enyt, amely pozit´ıv definit ´es amelynek a (6.16) egyenletre vonatkoz´o V ′ deriv´altja negat´ıv szemidefinit, Ljapunov-f¨ uggv´enynek nevez¨ unk. 6.18. P´ elda. V (x, y) = ax2 + by 2 alak´ u Ljapunov-f¨ uggv´eny megad´ as´ aval igazoljuk, hogy az x′ = −x3 − 2xy y ′ = 2x2 − 6y egyenletrendszer (0, 0) megold´ asa aszimptotikusan stabil! Olyan Ljapunov-f¨ uggv´enyt keres¨ unk, amelyre a > 0 ´es b > 0 (azaz V pozit´ıv definit), ´es amelyre V ′ negat´ıv definit. Sz´ am´ıtsuk ki V ′ (x, y) = 2ax(−x3 − 2xy) + 2by(2x2 − 6y) = −2ax4 + (4b − 4a)x2 y − 12by 2 . L´ athat´ o, hogy ha a = b, p´eld´ aul a = b = 1, akkor az x2 y-os tag kiesik, ´es ´ıgy V ′ (x, y) = −2x4 − 12y 2 negat´ıv definit lesz. Ez´ert a 6.17. T´etelb˝ ol k¨ovetkezik az ´all´ıt´as.
6. Stabilit´ aselm´elet
107
Megjegyezz¨ uk, hogy erre az egyenletre a lineariz´ aci´o m´odszere nem m˝ uk¨odik, hiszen az egyen′ ′ let lineariz´ aci´ oja x = 0 ´es y = 0, ami csak stabil egyens´ ulyi helyzettel rendelkezik, ´ıgy a 6.13. T´etel nem alkalmazhat´ o. 2 6.19. P´ elda. V (x, y) = ax2 + by 2 alak´ u Ljapunov-f¨ uggv´eny megad´ as´ aval igazoljuk, hogy az x′ = −x + 5y 2 y ′ = −3xy egyenletrendszer (0, 0) megold´ asa stabil! Olyan Ljapunov-f¨ uggv´enyt keres¨ unk, amelyre a > 0 ´es b > 0, ´es amelyre V ′ negat´ıv szemidefinit. Tekints¨ uk V ′ (x, y) = 2ax(−x + 5y 2 ) + 2by(−3xy) = −2ax2 + (10a − 6b)xy 2 . L´ athat´ o, hogy ha az x2 y-os tag nem esik ki, akkor ez el˝ojelet v´althat, azaz V ′ nem biztos, hogy ´ szemidefinit. Ugy v´alasztjuk meg teh´ at a param´etereket, hogy 10a − 6b = 0 teljes¨ ulj¨on. Ilyen p´eld´ aul a = 3 ´es b = 5. Erre V ′ (x, y) = −6x2 , ami csak negat´ıv szemidefinit, hiszen V (0, y) = 0 minden y-ra. 2
6.7.
Skal´ aris line´ aris egyenletek stabilit´ asa
Tekints¨ uk az
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = 0
(6.17)
konstans egy¨ utthat´ os n-edrend˝ u skal´ aris line´ aris homog´en differenci´ alegyenletet ´es az y(0) = z1 ,
y ′ (0) = z2 ,
...,
y (n−1) (0) = zn
kezdeti felt´etelt. A (6.17) skal´ aris egyenlet y = u konstans megold´ asait az egyenlet egyens´ ulyi helyzet´enek nevezz¨ uk. Ahogy ezt a 3.6. szakaszban l´ attuk, a (6.17) skal´aris egyenlet ekvivalens egy x′ = Ax homog´en line´ aris rendszerrel, ahol 0 0 0 A = .. . 0 − aan0 ´es
(6.18)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 − aan1
0 − aan2
0 − aan3
··· 0 ··· 0 ··· 0 .. .. . . ··· 1 · · · − an−1 an
x(t) = (y(t), y ′ (t), . . . , y (n−1) (t))T .
(6.19)
A stabilit´ as, instabilit´as ´es aszimptotikus stabilit´ as fogalm´at ´ertelemszer˝ uen megfogalmazhatjuk a skal´ aris magasabbrend˝ u line´ aris egyenletek eset´ere is. A (6.17) egyenlet y = 0 egyens´ ulyi helyzet´enek a (6.18) egyenlet x = 0 egyens´ ulyi helyzete felel meg. Azt mondjuk, hogy a (6.17) egyenlet y = 0 egyens´ ulyi helyzete stabil, ha a (6.18) egyenlet x = 0 egyens´ ulyi helyzete stabil, azaz b´ armely ε > 0-hoz l´etezik olyan δ > 0, hogy ha kzk < δ, akkor k(y(t; z), . . . , y (n−1) (t; z))T k <
108
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
ε minden t ≥ 0-ra. Ha p´eld´ aul az euklideszi norm´at haszn´aljuk, akkor speci´alisan teljes¨ ul az is, hogy |y(t; z)| < ε minden t ≥ 0-ra. Hasonl´oan defini´alhatjuk az aszimptotikus stabilit´ as ´es instabilit´ as fogalm´at a (6.17) egyenletre. Term´eszetesen nemline´aris skal´aris n-edrend˝ u egyenletekre is ´ertelmezhet˝ok a stabilit´ asi fogalmak. Legyen λ a (6.17) skal´ aris egyenlet karakterisztikus gy¨oke, azaz a p(λ) = an λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0
(6.20)
karakterisztikus polinom gy¨oke. L´ attuk, hogy ez azzal ekvivalens, hogy a (6.17) egyenletnek λt y(t) = e megold´ asa. De ekkor a (6.19) helyettes´ıt´est haszn´alva kapjuk, hogy x(t) = eλt ξ megold´ asa a (6.18) egyenletnek, ahol ξ = (1, λ, . . . , λn−1 )T , ´es λ saj´at´ert´eke az A m´ atrixnak. Ford´ıtva, ha r¨ ogz´ıtj¨ uk az A m´ atrix egy λ saj´at´ert´ek´et, akkor legyen ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) egy a λ-hoz tartoz´ o saj´atvektor, ´es ekkor x(t) = eλt ξ megold´ asa a (6.18) egyenletnek. De ekkor y(t) = λt e ξ1 megold´ asa lesz a (6.17) egyenletnek, azaz λ gy¨oke a (6.17) karakterisztikus polinomnak. Megjegyezz¨ uk, hogy direkt m´ odon is megmutathat´ o, hogy det(A − λI) = p(λ). Kapjuk teh´ at, hogy A saj´at´ art´ekei egybeesnek p gy¨okeivel, ´ıgy a 6.9. T´etelt erre az esetre megfogalmazva k¨ovetkezik az al´ abbi eredm´eny: 6.20. T´ etel. Legyen λ1 , . . . , λn a (6.20) k´eplettel defini´ alt p karakterisztikus polinom gy¨ okei. Ekkor a (6.17) egyenlet y = 0 egyens´ ulyi helyzete (a) akkor ´es csak akkor stabil, ha Re λi ≤ 0,
i = 1, . . . , n,
(b) akkor ´es csak akkor aszimptotikusan stabil, ha Re λi < 0,
i = 1, . . . , n.
A (6.20) alak´ u p polinomot stabil polinomnak nevezz¨ uk, ha minden gy¨ok´enek val´os r´esze negat´ıv. A k¨ovetkez˝ o t´etel sz¨ uks´eges felt´etelt ad a stabilit´asra. 6.21. T´ etel. Ha a (6.20) alak´ u p polinom stabil, akkor a0 > 0, an
a1 > 0, an
···,
an−1 > 0. an
(6.21)
A k¨ovetkez˝ o t´etel sz¨ uks´eges ´es elegend˝ o felt´etelt ad egy p polinom stabilit´ as´ ara. 6.22. T´ etel (Routh–Hurwitz-krit´ erium). Legyen p a (6.20) k´eplettel defini´ alt, ´es legyen a 1 a3 a5 a7 B = .. . 0 0 0
a0 0 0 a2 a1 a0 a4 a3 a2 a6 a5 a4
··· ··· ··· ···
0 0 0
· · · an−2 an−3 an−4 · · · an an−1 an−2 ··· 0 0 an
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
a polinom Routh–Hurwitz-m´ atrixa, amelynek defin´ıci´ oja a2i−j , ha 0 ≤ 2i − j ≤ n, bij = 0 egy´ebk´ent,
0 0 0 0
0 0 0 0 .. .
n×n
i, j = 1, . . . , n.
Ekkor a p polinom akkor ´es csak akkor stabil, ha (6.21) teljes¨ ul ´es a B m´ atrix pozit´ıv definit.
6. Stabilit´ aselm´elet
109
A B m´ atrixot pozit´ıv definitnek nevezz¨ uk, ha a hozz´ a tartoz´ o xT Bx kvadratikus f¨ uggv´eny pozit´ıv definit. Megjegyezz¨ uk, hogy erre a Sylvester-t´etel ad sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etelt. 6.23. P´ elda. Tekints¨ uk a p(λ) = 4λ5 + 12λ4 + 25λ3 + 30λ2 + λ + 1 polinomot. Mutassuk meg, hogy p minden gy¨oke negat´ıv val´os r´esz˝ u, azaz Ehhez ´ırjuk fel a Routh–Hurwitz-m´ atrixot: a1 a0 0 0 0 1 1 0 0 0 a3 a2 a1 a0 0 25 30 1 1 0 12 25 30 1 B= 3 a2 a1 = 4 a05 a04 a a5 a4 a3 0 0 4 12 25 0 0 0 0 a5 0 0 0 0 4
p stabil polinom!
Ennek f˝ominorai rendre 1,
1 1 0 25 30 1 4 12 25
1 1 25 30 = 5,
´es
= 117,
1 1 0 0 25 30 1 1 4 12 25 30 0 0 4 12
1 1 0 0 0 25 30 1 1 0 4 12 25 30 1 = 3344, 0 0 4 12 25 0 0 0 0 4
= 836
azaz a Routh-Hurwitz-krit´erium felt´etelei teljes¨ ulnek, ez´ert a polinom stabil.
6.8.
2
Alkalmaz´ asok
6.24. P´ elda. (ingamozg´ as surl´ od´ o k¨ ozegben) Tekints¨ uk a 4.28. P´eld´ aban levezetett ingamozg´ ast le´ır´ o egyenletet: γ g θ ′′ + θ ′ + sin θ = 0. (6.22) m L Feltessz¨ uk, hogy γ > 0, azaz olyan k¨ozegben t¨ort´enik a mozg´ as, ahol surl´od´ as hat az ing´ ara. Az x1 = θ, x2 = θ ′ helyettes´ıt´essel kapjuk az x′1 = x2 x′2 = −
g γ sin x1 − x2 L m
egyenletrendszert. Ennek egyens´ ulyi helyzetei az x2 = 0 γ g − sin x1 − x2 = 0 L m algebrai egyenletrendszer megold´ asai, azaz x1 = kπ ´es x2 = 0 lesznek. V´egtelen sok egyens´ ulyi helyzetet kaptunk, de ezek a forg´assz¨ ogekt˝ol eltekintve k´et poz´ıci´ot defini´alnak: az inga legals´ o illetve legfels˝o poz´ıci´ oj´aban, amikor az inga nyugalomban van. Lineariz´aci´ os m´ odszerrel vizsg´aljuk a (kπ, 0) egyens´ ulyi helyzetek stabilit´ as´ at. Sz´ am´ıtsuk ki ehhez az x2 F (x1 , x2 ) = − g sin x − γ x L
1
m 2
110
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
f¨ uggv´eny Jacobi-m´atrix´at: F ′ (x1 , x2 ) =
− Lg
0 1 γ cos x1 − m
.
K¨ ul¨ onb¨ oztess¨ unk meg k´et esetet: 1. Legyen k = 2j p´ aros (als´ o nyugalmi poz´ıci´ o). Ekkor 0 1 ′ . F (2jπ, 0) = − g − γ L
m
Sz´ am´ıtsuk ki a m´ atrix saj´at´ert´ekeit: λ1,2 =
γ −m ±
q
γ2 m2
−
4g L
2
.
(6.23)
H´arom esetet k¨ ul¨ onb¨ oztet¨ unk meg: 4g γ2 as esete). Ekkor komplex saj´at´ert´eket kapunk, amelynek val´ os (a) 0 < m2 < L (kis surl´od´ r´esze negat´ıv. Azaz ebben az esetben a lineariz´ alt egyenlet egyens´ ulyi helyzete aszimptotikusan stabil f´okusz. A nemline´aris egyenlet egyens´ ulyi helyzete is teh´ at szimptotikusan stabil lesz a lineariz´ alt2 stabilit´ as t´etele szerint. γ 4g (b) m od´ as esete). Ekkor k´etszeres val´os, negat´ıv saj´at´ert´eke van a 2 = L (kritikus surl´ Jacobi-m´atrixnak, azaz a lineariz´ alt egyenlet egyens´ ulyi helyzete aszimptotikusan stabil elfajult csom´ opont. A nemline´aris egyenlet egyens´ ulyi helyzete is teh´ at szimptotikusan stabil lesz. 4g γ2 (c) m2 > L (nagy surl´od´ as esete). Ekkor k´et val´os saj´at´ert´eke van a Jacobi-m´atrixnak. Ellen˝orizhetj¨ uk, hogy ekkor mindk´et saj´at´ert´ek negat´ıv. Ebben az esetben teh´ at aszimptotikusan stabil csom´ opont lesz a lineariz´ alt egyenlet egyens´ ulyi helyzete. A nemline´aris egyenlet egyens´ ulyi helyzete is teh´ at aszimptotikusan stabil lesz. 2. Legyen k = 2j + 1 p´ aratlan (fels˝ o nyugalmi poz´ıci´ o). Ekkor 0 1 γ g , F ′ ((2j + 1)π, 0) = − L
m
amelynek saj´at´ert´ekei λ1,2 =
γ −m ±
q
γ2 m2
+
4g L
. 2 K´et val´os saj´at´ert´eke van a Jacobi-m´atrixnak, ahol az egyik pozit´ıv, a m´ asik pedig negat´ıv. Ez´ert a lineariz´ alt egyenlet egyens´ ulyi helyzete nyeregpont, azaz instabil. Ekkor a nemline´aris egyenlet egyens´ ulyi helyzete is instabil lesz. ´ an l´athat´ A kis surl´od´ as eset´en n´eh´ any trajekt´ oria grafikonja a 6.33. Abr´ o. J´ ol l´athat´ o, hogy a lineariz´ alt egyenlet egyens´ ulyi helyzetei stabilit´ asi tulajdons´ agai meg˝ orz˝ odnek a nemline´aris esetben. Az als´ o egyens´ ulyi helyzetekben f´okuszpont, a fels˝o egyens´ ulyi helyzetekben pedig nyeregpontok nemline´aris deform´ aci´ oi l´athat´ ok. 2 6.25. P´ elda. (ingamozg´ as surl´ od´ as n´ elk¨ ul) Tekints¨ uk a (6.22) ingamozg´ as egyenlet´et abban az esetben, amikor nem hat surl´od´ as az ing´ ara, azaz γ = 0: θ ′′ +
g sin θ = 0. L
Rendszerr´e ´ at´ırva a skal´ aris egyenletet az x′1 = x2 x′2 = −
g sin x1 L
(6.24)
6. Stabilit´ aselm´elet
111 16 14 12 10 y8 6 4 2
–16
–12
–8 –6 –4
–2 –4 –6 –8 –10 –12 –14 –16
8 6 y
4 2
2 4 6 8 10 12 14 16 x
–16
–12
–8 –6 –4 –2
2 4 6 8 10 12 14 16 x
–2 –4 –6 –8
´ 6.34. Abra. m = 1, L = 1, γ = 0
´ 6.33. Abra. m = 1, L = 1, γ = 0.1
egyenletrendszert kapjuk. Most is, ahogy a 6.24. P´eld´ aban, a rendszer egyens´ ulyi helyzetei a (kπ, 0) pontok. A fels˝o egyens´ ulyi helyzetben γ = 0-ra is egy pozit´ıv ´es egy negat´ıv saj´at´ert´eke lesz a Jacobim´ atrixnak, azaz a line´ aris ´es ´ıgy a nemline´aris egyenlet egyens´ ulyi helyzete is instabil lesz. Az als´ o egyens´ ulyi helyzetben (p´ aros k esete) a (6.23) k´epletb˝ ol l´athat´ o, hogy a Jacobim´ atrixnak tiszta k´epzetes saj´at´ert´ekei vannak, azaz a lineariz´ alt egyenlet egyens´ ulyi helyzete centrum, azaz stabil az egyens´ ulyi helyzet. A lineariz´ alt stabilit´ as t´etele viszont nem alkalmazhat´ o erre az esetre. Alkalmazzuk a Ljapunov-m´odszert a (0,0) egyens´ ulyi helyzet stabilit´ asa eld¨ ont´es´ere. Ehhez egy Ljapunov-f¨ uggv´enyt kell tal´ alnunk. Mechanikai alkalmaz´ asokban konzervat´ıv rendszerek eset´en a test teljes energi´ aja haszn´alhat´ o Ljapunov-f¨ uggv´enyk´ent. Az m t¨omeg˝ u test helyzeti energi´ aja, azaz az a munka, amit a legals´ o poz´ıci´o magass´ag´ab´ ol a θ = x1 sz¨ ogh¨ oz tartoz´ o magass´agba emel´eshez sz¨ uks´eges mgL(1 − cos x1 ). A test kinetikus energi´ aja 12 mL2 (θ ′ )2 = 1 2 2 uk teh´ at a 2 mL x2 . Tekints¨ 1 V (x1 , x2 ) = mgL(1 − cos x1 ) + mL2 x22 2 f¨ uggv´enyt. Legyen U egy olyan ny´ılt k¨ornyezete (0, 0)-nak, amely nem tartalmaz m´ asik egyens´ ulyi helyzetet. Nyilv´an ekkor 1 − cos x1 > 0 teljes¨ ul x1 6= 0-ra U -ban, ´es ez´ert V pozit´ıv definit. Sz´ am´ıtsuk ki a rendszerre vonatkoz´ o deriv´altj´at: V ′ (x1 , x2 ) = mgL sin x1 · x′1 + mL2 x2 x′2 g = mgL sin x1 · x2 − mL2 x2 sin x1 L = 0. Kaptuk teh´ at, hogy speci´ alisan V ′ negat´ıv szemidefinit. A Ljapunov-f´ele stabilit´ asi t´etelb˝ ol k¨ovetkezik, hogy az orig´ o stabil egyens´ ulyi helyzet. Tekints¨ unk most egy (2jπ, 0) ´ altal´ anos als´ o egyens´ ulyi helyzetet. Vezess¨ uk be az y1 = x1 − g ′ ′ ′ ′ 2jπ ´es y2 = x2 v´altoz´ okat. Ekkor y1 = x1 = x2 = y2 , y2 = x2 = − L sin x1 = − Lg sin(y1 + 2jπ) = g − L sin y1 , ´es ´ıgy az y1′ = y2 y2′ = −
g sin y1 L
teljes¨ ul. Mivel bel´ attuk kor´ abban, hogy ennek a rendszernek az orig´ o stabil egyens´ ulyi helyzete, ez´ert az eredeti rendszer (2jπ, 0) egyens´ ulyi helyzete is stabil.
112
MAM143A el˝oad´ asjegyzet, 2008/2009
´ an surl´od´ A 6.34. Abr´ as n´elk¨ uli ingamozg´ as eset´enek trajekt´ ori´ ai l´athat´ ok. Az als´ o egyens´ ulyi helyzetekben centrum, a fels˝o egyens´ ulyi helyzetben pedig nyeregpont nemline´aris deform´ aci´oja l´athat´ o. Az ´ abr´ an megfigyelhet˝ o az is, hogy vannak olyan speci´alis trajekt´ ori´ ak, amelyek ¨osszek¨otik a fels˝o egyens´ ulyi helyzeteket. Azaz b´ armely poz´ıci´ohoz (sz¨ ogelfordul´ ashoz) l´etezik olyan sebess´eg, amellyel megl¨ okve az ing´ at, az a k¨ovetkez˝o ill. el˝oz˝o fels˝o egyens´ ulyi helyzethez tart t → ∞ eset´en. Ha enn´el a speci´ alis kezd˝ osebess´egn´el kisebb sebess´eget kap az inga, akkor periodikusan leng oda-vissza. Ha pedig enn´el nagyobb sebess´eggel l¨okj¨ uk meg, akkor forogni kezd a tengelye k¨or¨ ul meg´ all´ as n´elk¨ ul. 2
