2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT Tomáš Novotný ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Katedra elektroenergetiky
1. Úvod Metody založené na lokalizaci poruch pomocí H-matic umožní rychlejší, se stále se zvyšujícím výpočetním výkonem počítačů, a přesnější určení místa poruchy, což značně zrychluje možnost nalezení a odstranění vzniklé závady. Způsob jakým danou H-matici vedení lze získat je buď „klasicky“ tzn. výpočtem z parametrů vedení nebo výpočtem z naměřených dat, což se jeví jako elegantnější varianta. 2. Naměřená data Předmětem analýzy se stala přenosová linka vvn. Měření bylo provedeno na vedení na napěťové hladině 110 kV při zátěži kolem 70 A. Měřilo se synchronně na „začátku“ a na „konci“ vedení po dobu asi 35 minut. Na obrázku 1 jsou zobrazeny hodnoty sdružených napětí během měření. Napětí měřená na začátku vedení jsou označena symboly v legendě u1L, u2L, u3L pro dané tři fáze, napětí měřená na konci vedení jsou označena u1R, u2R, u3R.
Obr. 1 Hodnoty sdružených napětí během měření.
Obr. 2 Hodnoty proudů během měření. Na obrázku 2 jsou zobrazeny hodnoty proudů měřené na začátku a na konci vedení. Proudy na začátku vedení jsou označeny i1L, i2L a i3L, proudy měřené na konci vedení jsou označeny i1R, i2R a i3R. 3. Identifikace H-matice Popis vedení Vedení lze modelovat článkem, tak jak je zobrazeno na obrázku 1, který je popsán Hˆ maticí. Vstup popisuje vektor x T , výstup vektor y T . Vzájemný vztah mezi vstupním a výstupním vektorem je dán rovnicí (1). Je uvažován případ, kdy na základě měření vstupních a výstupních sérií vektorů, mají být určeny parametry vedení, tj. stanovena matice Hˆ .
Obr. 3 Popis vedení.
Článek na obrázku 3 popisuje následující rovnice (1), kde Hˆ je matice systému, x = {i11 , i12 , Ki1n , u11 , u12 , Ku1n ,}T je vektor vstupních proměnných napětí a proudů a y T = {i 21 , i 22 , Ki 2n , u 21 , u 22 , Ku 2n ,}T vektor výstupních proměnných napětí a proudů. T
Hˆ . x T = y T
(1)
Jelikož z měření byly získány odpovídající si sady vstupních a výstupních vektorů, označme xkT a ykT pro k = 1, 2,...m , čímž rovnice (1) přejde v rovnici (2)
Hˆ . xkT = ykT
(2)
Matice Hˆ je čtvercová obecně komplexní, jejíž prvky odpovídají jednotlivým parametrům (popřípadě jejich kombinaci) vedení. Rozepsáním rovnice (2) obdržíme
⎛ h1,1 K h1,n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M O M ⎟ .⎜ M ⎟ = ⎜ M ⎟ ⎜h ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ n ,1 L hn , n ⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ yn ⎠
(3)
⎛ h1,1 K h1, n ⎞ ⎜ ⎟ ˆ H =⎜ M O M ⎟ ⎜h ⎟ ⎝ n ,1 L hn , n ⎠
(4)
kde
je H-matice, kterou je třeba určit. Výpočet prvků matice H
Neznámou je nyní matice Hˆ , sady vektorů xkT a ykT jsou známy z měření na začátku a na konci vedení. Je třeba provézt následující úpravu rovnice (3), což vede na
⎛ x1 ⎜ ⎜M ⎜0 ⎝
x2 K O 0L
⎛ h1,1 ⎞ 0⎞⎜ ⎟ ⎛ y1 ⎞ ⎟ ⎜ h1,2 ⎟ ⎜ ⎟ . M ⎟. = M ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ xn ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ yn ⎟⎠ ⎝ hn ,n ⎠
(5)
V maticovém zápisu vypadá rovnice (5) následovně
Xˆ . h T = y T
(6)
kde vektor h T nyní reprezentuje neznámé prvky matice. Vynásobením obou stran rovnice (6) maticí Xˆ T zleva dostáváme
Xˆ T . Xˆ . h T = Xˆ T . y T
(7)
kde součin Xˆ T . Xˆ je označen jako Bˆ x a Xˆ T . y T jako yxT , což vede na rovnici (8)
Bˆ x . h T = yxT
(8)
Bˆ x je již v tomto případě čtvercová matice. Tuto rovnici je třeba řešit pro vektor neznámých h T . Po vyřešení soustavy (8) obdržíme jednotlivé prvky požadované Hˆ matice. Tímto způsobem jsme schopni počítat matici z libovolně dlouhé série vzájemně si odpovídajících vstupních a výstupních vektorů. Tento postup odpovídá nalezení řešení přeurčené soustavy lineárních rovnic, kdy hledáme řešení „ve smyslu nejmenších čtverců“, tedy takové, že pokud bychom upravili rovnice tak, že bude například na pravé straně nulový vektor, pak výše uvedeným způsobem získané řešení splňuje podmínku minima euklidovské normy vektoru pravých stran rovnic. Výhodou tohoto postupu je, že vystačí s algebraickými operacemi a tudíž je výpočet velmi rychlý. Nevýhodou je, že jedinou možnou úpravou je váhování jednotlivých rovnic. Pokud bychom požadovali optimum s jinou než euklidovskou metrikou, musíme použít iterační hledání minima.
Výpočet prvků matice H ve 4 výpočetních krocích
Na následujícím obrázku 4 je zobrazena relativní změna jednotlivých prvků matice Hˆ v závislosti na výpočetních krocích. Zde byly provedeny 4 výpočetní kroky, v nichž se vždy počítalo se sérií vstupních a výstupních vektorů o počtu 500 z celkového počtu 2000 naměřených vzorků dat. Žádné váhování rovnic nebylo použito.
Obr. 4 Relativní změna jednotlivých prvků matice H ve 4 výpočetních krocích.
Je vidět, že prvky matice získané z naměřených hodnot vykazují značný a překvapivý rozptyl. Nejméně se mění prvky diagonální jak je zřejmé z následujícího obrázku 5.
Obr. 5 Relativní změna diagonálních prvků matice H ve 4 výpočetních krocích. Výpočet prvků matice H v 12 výpočetních krocích
Při zvýšení výpočetních kroků, tzn. v úvahu se bere menší počet vstupních a výstupních vektorů, v tomto případě 180 z celkového počtu 2000, se objevuje místo se značným rozptylem, naopak mimo něj jsou relativní změny minimální, jak je vidět na obrázku 6.
Obr. 6 Relativní změna jednotlivých prvků matice H v 12 výpočetních krocích.
Na obrázku 7 je zobrazena relativní změna diagonálních prvků matice H v 12 výpočetních krocích.
Obr. 7 Relativní změna diagonálních prvků matice H v 12 výpočetních krocích. 4. Závěr Z dosažených výsledků je zřejmé, že pro identifikaci matice z naměřených dat, bude třeba tato data před použitím k výpočtu jistým způsobem upravit (vyfiltrovat). Dále bude třeba se zaměřit na vhodnou volbu série vstupních a výstupních vektorů. Mnoho stavů je prakticky symetrických a tudíž nevnášejí novou informaci. 5. LITERATURA [1] Dohnálek, P.: Ochrany pro průmysl a energetiku. Praha, SNTL 1991. [2] Trojánek, Z., Hájek, J., Kvasnica, P.: Přechodné jevy v elektrizačních soustavách SNTL/ALFA, 1987.
