18

Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

1 / 18

Tartalom

1

Sorozatok alapfogalmai

2

Sorozatok jellemz®i

3

Sorozatok határértéke

4

Konvergencia és korlátosság

5

Cauchy-féle konvergenciakritérium

Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

2 / 18



Deníció Egy valós sorozat egy többnyire vagy

N

N-b®l R-be képez® függvény. Értelmezési tartománya a(n) helyett általában an , pl. a1 , a2 , a3 , . . .

+ vagy N . Jelölés:

a0 , a1 , a2 , . . . megadja mindegyik elem képét.

Sorozat megadása Az els® néhány tag felsorolásával (ha abból ki lehet találni, mire gondolunk), pl. 1, 3, 5, 7, 9, . . . a pozitív páratlan számok.

√

n-t®l függ® képlettel, pl. an = n + n2 − 2, n ≥ 2 Rekurzióval, pl.: a Fibonacci-sorozat: a1 = a2 = 1, an+1 = an + an−1 , ha n ≥ 2 ⇒ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . Jelölés: an (n = 1, 2, . . .) vagy [an ] vagy [an ]n∈N . Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

3 / 18



Deníció Egy

[an ]

sorozat

an ≤ an+1 ∀n szigorúan monoton növ®, ha an < an+1 ∀n monoton fogyó (csökken®), ha an ≥ an+1 ∀n szigorúan monoton fogyó (csökken®), ha an > an+1 ∀n korlátos, ha ∃K ∈ R: |an | ≤ K ∀n monoton növ®, ha

Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

4 / 18


Példa A

(−1)n

sorozat korlátos, de nem

Az

an = n2 sorozat szigorúan mono-

ton növ®, nem korlátos.

monoton.

y

y

x Az 1 +

1

n

sorozat szigorúan mono-

ton fogyó, és korlátos.

y

x

x

Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

5 / 18


Sorozatok határértéke Deníció Egy

[an ]

sorozat határértéke (limesze):

lim a = A ∈ R, n→∞ n

ha

∀ε ∃n0 : (n ≥ n0 ⇒ |an − A| < ε), azaz

an tetsz®legesen közel kerül A-hoz, ha n elég nagy.

Deníció

∞ −∞

an > K an < K

lim a = , ha ∀K ∃n0 : n ≥ n0 ⇒ n→∞ n azaz an tetsz®legesen nagy (kicsi), ha n elég nagy.

,

Deníció Az

[an ]

sorozat konvergens, ha véges határértéke van, és divergens, ha nem

konvergens. Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

6 / 18


Tétel

 

lim a = n→∞ n 

A ∞ −∞

⇐⇒

minden

  (A − ε, A + ε) (K , ∞)  (−∞, K )

intervallumon kívül

a sorozatnak csak véges sok (index¶) eleme van.

Bizonyítás Nyilvánvalóan ekvivalens, hogy valamely tagjai egy

I

n0 -tól benne vannak a sorozat

intervallumban, illetve, hogy csak véges sok (index¶) tag van

rajta kívül. Pl. Az 1, 2, 1, 2, 1, 2, . . . sorozatnak nem limesze az 1, mert az

( 12 , 32 )

intervallumon kívül végtelen sok (2 érték¶) eleme van a sorozatnak. Könnyen látható, hogy ez a sorozat korlátos, de divergens.

Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

7 / 18


Sorozatok limeszére ugyanúgy érvényesek a m¶veleti tulajdonságok (a kiterjesztett

R ∪ {±∞}

aritmetikával), és a rend®relv, mint a függvények

határértékére. Tétel (Átviteli elv)

f

Legyen

valós függvény,

f (x ) = β x →α lim

α, β ∈ R ∪ {±∞}.

⇐⇒

xn valós sorozatra lim x = α esetén lim f (xn ) = β . n→∞ n n→∞ minden

Példa lim

n→∞

n n

ln

= 0,

mert

függvény limeszére.

lim

x →∞

ln

x

) x L0 H ( ∞ ∞

=

lim

x →∞

Sorozatok

1/

x

1

=0

igaz a megfelel®

2015.11.30. és 2015.12.02.

8 / 18


Az integrál deníciója sorozatokkal:

f (x ) függvény akkor és csak akkor integrálható [a, b ]-n, és integrálja I , ha minden [Pn ] felosztássorozatra a Az

[a, b]

intervallumon korlátos

reprezentánsrendszerek tetsz®leges választása mellett lim

n→∞

kPn k → 0 ⇒

lim I n→∞ P

Sorozatok

n

,cn

=I

2015.11.30. és 2015.12.02.

9 / 18



Tétel Minden konvergens sorozat korlátos.

Bizonyítás Legyen

lim a = A ∈ R. n→∞ n

Ekkor pl. az

sok tagja van a sorozatnak. Ha

|A + 1|-nek

és

|A − 1|-nek

K

(A − 1, A + 1)-en

kívül csak véges

a kimaradó tagok abszolút értékének,

a maximuma, akkor

|an | ≤ K

minden

n-re.

Megjegyzés Az állítás megfordítása nyilván nem igaz, pl. az 1, 2, 1, 2, 1, 2, . . . sorozat korlátos, de nem korvergens: bármely

(c −

1 2,

jelent.

c+

c ∈ R-re 1 vagy 2 nincs benne a

1 2 ) intervallumban, és ez végtelen sok index¶ kimaradó tagot

Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

10 / 18


Tétel Minden monoton és korlátos sorozat konvergens

R-ben.

Bizonyítás

[an ] sorozat monoton, és legyen |an | ≤ K ∀n. [−K , K ] intervallumot mindig az intervallum els® vagy

Tegyük fel, hogy az Felezgessük a

második zárt felét választva, úgy, hogy a kiválasztott fél intervallumban mindig végtelen sok (index¶) tagja legyen a sorozatnak:

I0 = [−K , K ] ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ · · · . Ugyanúgy, mint a Bolzano-tétel ∞ bizonyításában, ∩ Ii = {c } a Cantor-axióma és az intervallumok 0-hoz i =0

tartó hossza miatt. Ekkor lim a = c , n→∞ n

∀ε > 0 ∃i : Ii ⊂ (c − ε, c + ε) =: I . Így I tartalmaz végtelen sok an , an , . . . valamely n0 < n1 < · · · -ra. ∀n ≥ n0 -ra ∃nj : n0 ≤ n ≤ nj , és a monotonitás miatt an , an ∈ I ⇒ an ∈ I . Tehát c valóban limesze a sorozatnak. ugyanis

tagot:

0

1

0

Sorozatok

j

2015.11.30. és 2015.12.02.

11 / 18


Megjegyzés Az el®bbi tétel nyilván akkor is igaz, ha a korlátos sorozat csak az tagjától kezdve monoton valamely

N ∈ N-re.

N -edik

Példa

c > 0-ra deniáljuk rekurzívan a következ® sorozatot: a0 > 0 tetsz®leges, √ 1 c c. an + . Ekkor lim an = és an+1 = n→∞ 2 an Bizonyítás

a√n > 0 ∀n, és belátjuk, hogy a sorozat a1 -t®l kezdve monoton fogyóan tart c -hez.

Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

12 / 18


Bizonyítás (folytatás)

√

an+1 ≥ c ∀n ≥ 0 1 2

m

an + ac

n

≥

√

an ≥ an+1 ∀n ≥ 1 m

an ≥ 12 an + ac

c

n

m

√

m an ≥ ac m √ an ≥ c

an2 − 2 can + c ≥ 0 (an − Tehát a sorozat

n

m √

c )2 ≥ 0

n = 1-t®l kezdve monoton,

< an ≤ a1 ∀n ≥ 1), így konvergens. √ √ an ≥ c (n ≥ 1) ⇒ A ≥ c > 0,és (0

1 c A = nlim an+1 = nlim an + →∞ →∞ 2 an √ A2 − c = 0 ⇒ A = c . Pl.

√

2

=

c = 2, a0 = 1-re a sorozat eleje

1,

és korlátos is

Legyen

1 2

A+

lim a = A. n→∞ n

c A

3 17 577 2 , 12 , 408

⇒

≈ 1.4142156 . . .,

és

= 1.4142135 . . .. Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

13 / 18


Deníció

[an ] sorozat részsorozata egy an , an , an n1 < n2 < · · · .

Egy

1

2

3

végtelen sorozat, ahol

A deníciókból közvetlenül adódik: Állítás

lim a = α ∈ R ∪ {±∞}, n→∞ n lim a = α. k →∞ n

Ha

és

[an ] k

egy részsorozata

[an ]-nek,

akkor

k

Példa

Az [an ]n∈N+ : 1, 2, 1, 2, 1, 2, . . . divergens [a2k ] : 2, 2, 2, . . . konvergens sorozat.

Sorozatok

sorozatnak részsorozata az

2015.11.30. és 2015.12.02.

14 / 18


Tétel Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Bizonyítás Ha nincs monoton fogyó részsorozat, akkor részsorozat véget ér (azaz

an

k

≥ an

an

1

≥ . . . ≥ an

k

∀

véges monoton fogyó

-hoz nincs

nk +1 > nk , hogy

. De akkor a végtelen sok ilyen utolsó tag szigorúan monoton k +1

növ® részsorozatot alkot.

y

x

Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

15 / 18


Tétel (BolzanoWeierstrass) Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítás Az el®bbi tétel szerint van monoton részsorozata, ami nyilván korlátos, így konvergens is. A BolzanoWeierstrass-tétel segítségével be lehet bizonyítani a korábban tanult, folytonos függvények széls®értékér®l szóló Weierstrass-tételt.

Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

16 / 18


Tétel (Weierstrass-tétel) Ha az

f

függvény folytonos az

[a , b ]

intervallumon, akkor ott felveszi a

maximumát és a minimumát. Bizonyítás (vázlat)

f korlátos, különben ∃[xn ] sorozat [a, b]-ben, hogy f (xn ) > n ∀n, vagy [yn ], hogy f (yn ) < −n ∀n. Pl. az els® esetben [xn ]-nek van konvergens [xn ] → c ∈ [a, b ] részsorozata, és erre lim f (xn ) = ∞ = 6 f (c ). E k →∞ Intervallumfelezéssel beláthatjuk, hogy f -nek van egy M legkisebb fels® és egy m legnagyobb alsó korlátja. Van olyan [xn ] sorozat, amire lim f (xn ) = M , és xn -nek egy n→∞ konvergens [xn ] → c részsorozatára f folytonossága miatt f (c ) = lim f (xn ) = M . Mivel M fels® korlátja f -nek [a, b]-n, M az k →∞ f maximuma. Ugyanígy m a minimuma. k

k

k

k

Sorozatok

2015.11.30. és 2015.12.02.

17 / 18



Tétel

Egy [an ] valós sorozat akkor és csak akkor konvergens, ε > 0-hoz ∃n0 , hogy n, m ≥ n0 esetén |an − am | < ε.

Sorozatok

ha minden

2015.11.30. és 2015.12.02.

18 / 18

18

Recommend Documents