10

Měřicí a řídicí technika – magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

SIMULACE • numerické řešení diferenciálních rovnic • simulační program • identifikace modelu

Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic krokové metody pro řešení lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu s počátečními podmínkami

Eulerova metoda řešení lineární diferenciální rovnice 1. řádu s počáteční podmínkou

předpokládá diferenciální rovnici zapsanou ve tvaru:

dy = g ( x, y ) , y ( x 0 ) = y 0 dx ( x ... nezávisle proměnná, y ... závisle proměnná )

FTOP-09-P3-P

1/7


Eulerova metoda princip

• spojitý interval nezávisle proměnné x se rozdělí na n dílů (ekvidistatntně)

xi + 1 = xi + h

,

i = 1, 2, ... n

• hodnoty závisle proměnné podle vztahu

Y v bodech xi se vypočtou

Yi + 1 = Yi + h.g ( x i , Yi ) , i − 1, 2, ... n kde

lim Y ( x, h ) = y ( x )

Yi ≈ y ( x i )

h→ 0

konvergence numerického řešení

Eulerova metoda princip graficky

dy = g ( x, y ) , y(x0 ) = y 0 dx

xi + 1 = xi + h

Yi + 1 = Yi + h.g ( x i ,Yi )

y Y2

yanal

Y1

i 0

x Y x0 Y0 ≡ y0

1 2

x1 x2

Y1 Y2

y0 h x0

h x1

x

x2

Přesnost krokových metod chyby chyba

celková diskretizační

zaokrouhlovací hopt řád metody n ⇒

FTOP-09-P3-P

krok

řádová přesnost výsledku hn

2/7


Přesnost krokových metod praktický postup pro dosažení požadované přesnosti 1. Nalezneme řešení s krokem h1, jehož velikost jsme odhadli podle řádu použité metody a požadované přesnosti výsledků 2. Nalezneme řešení s krokem h2 = h1 / 2 3. Porovnáme výsledky obou řešení ve stejných bodech nezávisle proměnné: dekadická místa (od nejvyšších), která jsou v obou výsledcích stejná, jsou správně POZOR, porovnání je třeba provést v několika bodech intervalu řešení, protože chyba principiálně není všude stejná !

Stabilita numerického řešení nevhodný (obvykle příliš velký) krok řešení může způsobit nestabilitu výsledků: výsledky jsou vypočteny správně, ale řešení vzhledem k zadání úlohy nemá smysl ukázka: řešení diferenciální rovnice

dy + 2 xy = 0 , dx

y (0 ) = 1

Eulerovou metodou s různým krokem. rovnice má analytické řešení

y = e -x

2

Simulační program simulační blokově orientovaný programovací jazyk PSI

FTOP-09-P3-P

3/7


Simulační program PSI obecné schéma bloku počáteční podmínky vstupy

BLOK funkce

výstup proměnná

řídicí parametry funkce …identifikátor (vyhrazený) označující typ bloku a tím i jeho funkci vstupy …jeden nebo více, proměnné nebo aritmetické výrazy výstup …pouze jeden, obsahuje hodnotu výsledku činnosti bloku proměnná …identifikátor volený uživatelem, označuje výstup z bloku parametry …konstanty nebo proměnné označující konstanty • počáteční podmínky … určují počáteční stav modelu • řídicí parametry … řídí chování bloku

Simulační program PSI zápis příkazu v jazyku PSI proměnná = funkce ( i1, i2, … PAR: p1, p2, …) ; nebo proměnná = i1 ; i … vstup: číselná konstanta, proměnná, aritmetický výraz, logický výraz p … parametr: číselná konstanta, proměnná s konstantní hodnotou

Syntaxe

• identifikátor proměnné: libovolná posloupnost písmen a číslic (kromě jmen bloků PSI, identifikátorů funkcí a vyhrazených jmen)

• oddělovačem je čárka • před PAR musí být mezera a za PAR dvojtečka • na konci příkazu musí být středník

Identifikace matematického modelu využití optimalizačních metod

FTOP-09-P3-P

4/7


Úloha optimalizace obecně

účelová fce

hledání globálního extrému funkce (tzv. účelové nebo penalizační funkce nebo kriteria optimalizace) jedné nebo více proměnných (tzv. optimalizačních proměnných) v dané oblasti globální extrémy lokální extrémy

optimalizační proměnná

• optimalizační proměnné mohou nabývat hodnot

z celé množiny reálných čísel: hledání volného extrému • optimalizační proměnné mohou nabývat hodnot jen z části množiny reálných čísel: hledání vázaného extrému

Stanovení hodnot parametrů modelu na základě experimentálně zjištěných dat 1. na vstup reálného systému přivedeme definovaný signál u(t) a zaznamenáme časový průběh výstupu ze soustavy yE(t) 2. stejný signál u(t) přivedeme na vstup modelu a zaznamenáme časový průběh výstupu z modelu yM(t) 3. stanovíme kritérium, podle něhož budeme posuzovat shodu výstupu z reálného systému yE(t) a z modelu yM(t), S=

např.:

∑ [( y n

) j − (y E ) j

M

j=1

]

2

pro n diskrétních bodů

b

S=

∫ (y

M

− y E ) 2 dt

pro spojitý interval 〈 a,b〉

a

4. Vhodným postupem (např. optimalizací) měníme hodnoty hledaných parametrů tak dlouho, až je hodnota kritéria minimální (shoda obou výstupů je vyhovující)

Ukázka identifikace modelu ohřívače vody optimalizací matematický model:

d T2 M Q = (T1 − T2M ) + Pη , T2M (0) = T1 dt V Vρ c P naměřený průběh teploty (°C) po zapnutí topení (odečítáno 60 min po 5 min): 15, 25, 31, 35, 37, 39, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41 optimalizační kritérium: 60

krit =

∫ (T

2M

− T2 E )

2

dt

0

optimalizační proměnná: účinnost topení η , počáteční odhad η = 0.8 , meze 〈 0.5 , 1.0 〉

FTOP-09-P3-P

5/7


ŘÍZENÍ VÝROBNÍCH PROCESŮ • základní pojmy, struktura řídicích systémů • řízení technologických procesů: regulace ► logické řízení ►

Základní pojmy řízení zpracovává informace o stavu a chování řízeného objektu a o dějích v jeho okolí a na základě toho ovládá objekt tak, aby bylo dosaženo stanoveného cíle základní charakteristiky řízení

• •

zpracování informací zpětná vazba

objekt řízení z hlediska našeho zájmu

• •

výrobní podnik (v širším smyslu) technologický proces (v užším smyslu)

>

Základní pojmy součásti řízení výrobního podniku

• •

měření a ovládání (čidla, akční členy = polní instrumentace)

•

dohlížecí řízení a sběr dat (SCADA)

•

komunikace s operátorem (HMI)

•

Human Machine Interface

distribuované řízení (DCS)

• •

informační a řídicí systém výroby (MES)

Distributed Control System

základní řízení technologického procesu (regulace, logické řízení = řídicí smyčky)

strategické plánování a rozvrhování prostředků (ERP)

Supervisory Control and Data Acquisition

Manufacturing Execution System Enterprise Resource Planning

>

FTOP-09-P3-P

6/7


Základní pojmy hierarchická struktura řídicího systému výrobního podniku ERP

strategické řízení a plánování

MES

řízení výroby

SCADA

dohlížecí řízení

HMI

ekonomické řízení sběr dat, optimalizace, inteligentní řízení ...

komunikace s operátorem

DCS řídicí smyčky

distribuované řízení technologie

polní instrumentace TECHNOLOGICKÉ ZAŘÍZENÍ >

Hardwarová struktura moderních řídicích systémů HMI pracovní stanice operátorů

SCADA další pracovní stanice

ERP

Internet

MES digitální průmyslová sběrnice

smyčky procesní počítače

polní instrumentace

FTOP-09-P3-P

intranet

komunikační server >

7/7

10

Recommend Documents