1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK

Gyakorlat 05

Mechanika II. Szilárdságtan 2016 05 Segédlet

CSAVARÁS Tartalom 1.

ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK ........................................................................................................ 1

2.

GYAKORLATOK PÉLDÁI ........................................................................................................................... 2

3.

TOVÁBBI FELADATOK: VIZSGÁK, ZH-K............................................................................................. 14

Ez a Segédlet tartalmazza a 2015 évben a tanszéki gyakorlatokon egységesen tárgyalt példákat, a korábbi évek példáit, ZH és vizsgafeladatokat. N N N 1Pa  1 2 1MPa  106 Pa  1 1GPa  109 Pa  1000 2 m mm mm2

1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK Csúsztatófeszültség



Mt   [ N / mm2 ] Ip

Szögelfordulás



Mt   [rad ] I p G

(1*), (2*)

ahol:  a vizsgált keresztmetszeti pont súlyponttól (nyírási középponttól) való távolsága. (Maximális érték keresésénél a szélső szál távolsága.) A csúsztatófeszültség iránya egy adott keresztmetszeti pontban a ponthoz tartozó sugárra merőleges, nagysága a súlyponttól való távolság függvényében lineárisan változik. A keresztmetszet sííkjában van. Kör keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka: D 4 D 4 I p  Ix  Iy  2  (3*) 64 32 Csúsztató rugalmassági modulusz: E G [MPa ] (4*) 2(1   ) ahol:  [] Poisson tényező (anyagjellemző). A Poisson-tényező dimenziónélküli mennyiség, nem jellemzi az anyag rugalmasságát vagy merevségét, csak azt a módot, ahogy alakváltozást szenved. Megjegyzés: A (2*) összefüggésben a  szögelfordulás azon két keresztmetszet relatív szögelfordulását jelenti, amely kereszmetszetek közötti távolság  , a csavarónyomatéki igénybevétel M t konstans, I p és

G konstans. Ha a vizsgált két keresztmetszet közötti szakaszon M t , I p és G valamelyike megváltozik, akkor szakaszonként kell a (2*) összefüggést számítani, és a szakaszokénti szögelfordulásokat előjelesen összegezni. (Szakaszhatárt jelent a keresztmetszeti jellemző változása, vagy a csavaró-nyomatéki ábrának a változása.) Deformációs munka: 1 W  M t  k 2 Teljesítmény: P  Mt 

(5*) (6*)

2 ahol 

2  n  rad   sec  forgási körfrekvencia (   60 [rad / sec] , n : percenkénti fordulatszám)

Vékonyfalú zárt szelvényű rúd tiszta, szabad csavarása [1, 388.o.]: Def: Vékonyfalú a szelvény, ha a falvastasága sokkal kisebb, mint bármely jellemző külső geometriai mérete (átmérő vagy élhosszúság), tehát, ha D  20 v Csúsztató feszültség: (7*) Mt   max Bredt-féle képlet: 2 Ak  vmin (8*) M   t Keresztmetszet szögelfordulása It  G (9*) 4  Ak2 Torziós másodrendű nyomaték: It  (nem egyezik meg a poláris 1  v ds másodrendű nyomatékkal) A falvastagságot felező középvonal által körülhatárolt terület. Ak

vmin

A keresztmetszet legkisebb falvastagságának értéke. Egyenes szakaszokból álló keresztmetszeti határvonal esetén s 1 (10*)  v ds   vii b si vi si ahol i -edik szakasz hossza vi i -edik szakasz falvastagsága

AK  a  b

a

Vékonyfalú nyitott keresztmetszetek: Nem tárgyaljuk.

2. GYAKORLATOK PÉLDÁI 2.1 Példa __________________________________________________________________________ [2] Az egyik végén befogott, kör keresztmetszetű rudat M t   2m nyomaték terheli. Mt Határozza meg a szabad véglap elfordulását és a rúdban D ébredő maximális feszültséget! D  5cm ; G  0,8 105 MPa Adatok: M t  200 Nm ; Megoldás: Elve: Statikailag határozott feladat. Első lépésben meghatározzuk a reakciónyomatékot és a csavarónyomatéki ábrát. A szögelfordulás (2*) és a csúsztatófeszültség (1*) alapképletébe közvetlen behelyettesítést végzünk. Részletes: Adatok átszámítása   2m  2 103 mm . M t  200 Nm  200 000 Nmm  2 105 Nmm ; D  5cm  50mm ;

3 y

M A  Mt

Mt

z

M



1. Kényszer helyettesítése M A reakciónyomatékkal. 2. Egyensúlyi egyenlet felírása.  Mt  0  M A  Mt  0 , melyből a reakciónyomaték M A  M t  200 Nm () . 3. Igénybevételi ábra megszerkesztése

M A  Mt



+

Mt

z

I. Szabad véglap szögelfordulása: Szögelfordulás alapképlete (2*): M   t I p G

(1)

Ahol I p a poláris másodrendű nyomaték, mely kör keresztmetszetre (3*):

D 4 D 4 504     613 592,32mm4  6,135 105 mm4 . 64 32 32 A megadott adatokat és az előbb számított másodrendű nyomatékot (1) összefüggésbe helyettesítve: M  2 105 Nmm  2 103 mm y  t   0,00815rad   0,4670 .  I p  G 6,135 105 mm4  0,8 105 N / mm2 I p  Ix  Iy  2

A rúdban ébredő maximális feszültség: A  csúsztatófeszültség (1*) alapján: M M D 2 105 Nmm  50mm  N   max  t    t    8,15   MPa  5 4 2 Ip Ip 2 6,135 10 mm  2  mm 

x

2.2 Példa _________________________________________________________________________ [2] Az egyik végén befogott csövet M t  2000 Nm nyomaték   2m d terheli. Mt Határozza meg a cső D külső és d belső átmérőjének D értékét úgy,  max  35MPa legyen, a rúd szabad végének elfordulása pedig   10 legyen. Adatok: G  0,8 105 MPa Megoldás: Elve: Statikailag határozott feladat. A csúsztatófeszültség (1*) és a szögelfordulás (2*) és alapképletébe a megadott adatokat behelyettesítve két egyenlethez jutunk a keresett D külső és d belső átmérőre. Részletes: Adatok átszámítása: M t  2000 Nm  2 106 Nmm ;   2m  2 103 mm . 1. Kényszer helyettesítése reakciónyomatékkal M A 2. Egyensúlyi egyenlet felírása. Mt +   Mt  0  M A  Mt  0 z melyből a reakciónyomaték M A  M t  2000 Nm () . 3. Igénybevételi ábra megszerkesztése. A baloldali befogást, mint kényszert koncentrált csavarással helyettesítjük. Az igénybevételi ábra megszerkesztése egyszerű, mert a tartó hossza mentén újabb terhelések nem lépnek fel. Csavarás esetére a nyíró feszültségek eloszlása a baloldali ábrán látható, mely szerint a legnagyobb csúsztatófeszültség a keresztmetszetnek a középponttól legtávolabbi pontjában van. Így a csavaró-feszültség (1*) alapján: M D  max  t   35MPa (1) Ip 2 M



M A  Mt

4 Ebben az összefüggésben mindkét ismeretlen ( D és d ) szerepel. A feladat másik előírása a szögelfordulásra vonatkozik, mely radiánban kifejezve: rad / fok   / 180 . M    max  t  0,017453 [rad ] . ____________ (2ab)  max  1   0,017453 [rad ]  I p G 180 Az (1) és (2) egyenletek két egyenletet jelentenek a D és d átmérőkre. Az egyenletrendszert úgy oldhatjuk meg, hogy első lépésben a (2) egyenletből kifejezzük és kiszámítjuk I p értékét, majd ezt behelyettesítve (1)-be, onnan kifejezzük és kiszámítjuk a cső D külső átmérőjét. Harmadik lépésben az ismert I p és ismert D értékeket a poláris másodrendű nyomatékra vonatkozó összefüggésbe helyettesítve kiszámítjuk a cső d átmérőjét. : (2)  I p 

Mt   2 106 Nmm  2 103 mm Ip    2 866 242,038 mm4 5 2  max  G 0,01744  0,8 10 N / mm : I p  (1)  D  D

2  I p  max

2  2 866 242,038mm4  35

N mm2  100,318mm .

 Mt 2 106 Nmm A cső keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka: D4  d 4   Ip  32 : (3)  d  32  I p 32  2866242,038mm4 d 4  D4   100,3184   72 076 047,18









(3)



d  92,14mm

Másik megoldás: A feladat megoldható másképpen is. Egyenletek: M D M   max  t   35MPa  max  t  0,017453 [rad ] (1) Ip 2 I p G

(2)

(2) egyenletből I p .-t kifejezve és (1)-be helyettesítve

Ip 

Mt    max  G



 max 

Mt D  G D   max  Mt   2  2  max  G

Ebből D számítható: 2    max 2  2000mm  35 N / mm2 140000 D    100,269mm 5 2 max  G 0,017453  0,8 10 N / mm 1396,24

Mt   2 106 Nmm  2 103 mm   2 866 242,038 mm4 értékét, végül a (3) 5 2  max  G 0,01744  0,8 10 N / mm egyenlet alapján a d  92,14mm értékét. Ezután kiszámítjuk I p 

2.3 Példa __________________________________________________________________________ [2] Az egyik végén befogott lépcsős tengelyt a rajzolt csavaród2 d1 nyomatékok terhelik. Határozza meg a tengelyben ébredő Mt 2M t legnagyobb csúsztatófeszültséget valamint a szabad véglap elfordulását.  2  0,9m  1  0,9m d1  0,1m ; d 2  0,06m Adatok: C A

B

G  0,8 105 MPa ;

M t  1000 Nm

Megoldás: Elve: Statikailag határozott feladat. A kényszer csavaró-nyomatéki vektorral történő helyettesítése. Csavarónyomatéki igénybevételi ábra megszerkesztése. Szakaszonként a csúsztató feszültség számítása. (Szakaszhatárt jelent a keresztmetszeti jellemző változása, vagy a csavaró-nyomatéki ábrának a változása.)

5 Keresztmetszet elfordulás számítása: Egyik módszer: Szakaszonként a szögelfordulásra vonatkozó (2*) képlet alkalmazása, majd a szögek előjelhelyes összegzése. Másik módszer: Szuperpozíció: terhelésenként az elfordulás számítása, majd összegzés. Részletes. Adatok átszámítása: d1  0,1m  100mm ; M t  1000 Nm  1106 Nmm ;

d 2  0,06m  60mm .

1   2  0,9m  9 102 mm ; d2

d1 MA

Mt

2M t

 2  0,9m

 1  0,9m

A

M

C

B

 Mt











M A  M t

z

1. Kényszer helyettesítése reakciónyomatékkal M A 2. Egyensúlyi egyenlet felírása.  Mt  0  M A  Mt  0 melyből a reakciónyomaték M A  M t  1106 Nmm () (jobbra mutat). Rajzoljuk meg a csavaró-nyomatéki igénybevételi ábrát. Ezen megfigyelhető, hogy a baloldali rúdszakaszon "M t " , a jobboldali rúdszakaszon " M t " a csavaró-nyomatéki igénybevétel.

A csúsztató feszültségek az (1*) általános képlettel számíthatók. M d  max  t  Ip 2 Ennek értéke a két rúdszakaszon: M d  16  M t M d 16  M 1  4 t  1  2  4 t  2  3 t 3 d1  2 d1  d2 2 d 2 32 32 A két  csúsztatófeszültség közül a  2 a nagyobb,  2  1 , mert d 2  d1 miatt ott kisebb az I p 2 poláris másodrendű nyomaték. Behelyettesítve az adatokat: 16  M t 16 1 106  N  2  3   23,59  MPa  3 2 d 2 60    mm  Keresztmetszet szögelfordulásainak számítása. A szögelfordulásokat kétféleképpen számíthatjuk. Első módszer szerint a rudat olyan szakaszokra bontjuk, ahol sem a csavaró-nyomaték értéke, sem pedig a keresztmetszeti adatok nem változnak. Szakaszonként számítjuk a szögelfordulásokat, majd ezeket előjelhelyesen összegezzük. Az ábrán láthatóan a baloldali tartószakaszon a "M t " M  Mt  konstans csavarás hatására létrejövő szögelfordulás a „   AB B ” keresztmetszetben, pontosabban az z  szakaszon: M A  M t  M t    1 106  9 102   AB    0,001146497rad . I p1  G 1004  5  0,8 10  AB  0,001146rad 32  BC  0,0088rad (A szögelfordulás az „A” keresztmetszettől a „B”  keresztmetszetig lineárisan változik.) A jobboldali tartószakaszon a " M t " konstans (pozitív előjelű) csavarás hatására létrejövő szögelfordulás a „  AC   AB   BC C ” keresztmetszetben ( BC szakaszon):





6

 M t    1 106  9 102   0,00884642rad . I p 2  G 604  5  0,8 10 32 (A szögelfordulás a „C” keresztmetszetig lineárisan változik) A véglap szögelfordulása a szakaszonkénti szögelfordulások előjeles összege.  AC   AB   BC  0,001146497rad  0,00884642rad  0,007699929rad

 BC 

A véglap szögelfordulásának számítása szuperpozíció módszerével: A szuperpozíció alkalmazásához a rudat érő terheléseket két részre választjuk, és az együttes terhelés hatására létrejövő szögelfordulást a külön-külön fellépő terhelések következtében létrejövő elfordulások összegeként állítjuk elő. A baloldali ábrán láthatóan először a rúd közepén ható 2  M t nagyságú terhelés hatására létrejövő szögelfordulást számítjuk, amely a véglapon  2M t  1  2 106  9 102  C1    0,002292994rad I p1  G 1004  5  0,8 10 32 Ezután a rúd jobbvégén ható M t nyomaték hatására létrejövő szögelfordulást számítjuk: C 2 

 M t  1  M t   2 1 106  9  10 2 1 106  9  10 2     0,001146497  0,008846426rad  0,009992922rad I p1  G I p2  G 100 4  60 4  5 5  0,8  10  0,8  10 32 32 2M t



M

M







Mt

Mt

2M t



 Mt

M A  Mt 

z



z

M A  2M t







 z

C 2



z

 C1

A véglap elfordulása a külön-külön ható terhelések hatására létrejövő szögelfordulások összege: C  C1  C 2  0,002292994  0,009992922  0,00769929rad 2.4 Példa __________________________________________________________________________ [2] Egy  hosszúságú d átmérőjű rudat két végén befogunk. A d /3 rajzon látható módon megterheljük M t  900 Nm csavaró Mt nyomatékkal. Határozza meg a rúdban ébredő maximális csavarófeszültséget, valamint a terhelt keresztmetszet elfordulását! Adatok:   1,2m d  6cm ; G  0,8 105 MPa . C B A Megoldás: Elv: Statikailag határozatlan feladat. Az egyensúlyi egyenletet felírjuk, a kényszereket csavarónyomatékkal helyettesítve. Geometriai egyenlet: a két rúdszakasz szögelfordulásának összege egyenlő zérussal. Az egyensúlyi egyenlet és a geometriai előírás két egyenlet a két reakciónyomatékra. Szakaszonként az (1*) és (2*) alapképletek segítségével a csúsztatófeszültség és a szögelfordulás számítható. Részletes: Adatok átszámítása:

7

d  6cm  60mm ;

M t  900 Nm  9 10 Nmm ; 5

  1,2m  1,2 103 mm . d

/3 M t1

Mt

M t2

  1,2m

A

A feladat statikailag határozatlan! Egyensúlyi egyenlet: (1) M t  0 M t  M t1  M t 2 Ahol M t1 a baloldali befogásnál ébredő reakciónyomaték, M t 2 pedig a jobboldali befogásnál ébredő reakciónyomaték.

C

B

A geometriai egyenletet a rúd két végének megfogása alapján írhatjuk fel. Az „A” és „C” keresztmetszet relatív elfordulása zérus, tehát az AB szakasz szögelfordulásának és a BC szakasz szögelfordulásának összege nulla.  AB   BC  0 (2) (Megjegyzés: A geometriai egyenletet megfogalmazhatjuk a következőképpen is: Mivel a terhelt keresztmetszet mindkét rúdoldalhoz tartozik, ezért az M t1 nyomaték által az  / 3 hosszúságú rúdszakaszon megvalósuló szögelfordulás egyenlő az M t 2 nyomaték által a 2 / 3 hosszúságú rúdszakaszon megvalósuló szögelfordulással.)

A (2*) összefüggést mindkét rúdszakaszra alkalmazva: M /3  AB  t1 , I p G

 BC 

 Mt2  2   / 3 . I p G

A szögelfordulások fenti kifejezését (2)-be helyettesítve és az egyszerűsítéseket elvégezve: M t1   / 3 M t 2  2   / 3   M t1  2 M t 2 . , I pG I pG

(3ab)

Az (1) és (3) egyenlet két lineáris egyenlet az ismeretlen M t1 , M t 2 torziós nyomatékokra. : M t1  (1)  M t 2 ,



M t  2M t 2  M t 2  3M t 2 , : M t 2  (3)  M t1 

M t 2  M t / 3  3 105 Nmm .

 M t1  2  M t 2  6 105 Nmm Mivel a rúd prizmatikus, a nagyobb feszültség ott keletkezik, ahol a nyomatéki igénybevétel nagyobb. Ez a baloldali tengelyszakasz. Tehát: M t1  d 6 105  60  N   1 max    14,17   MPa  4 2 Ip 2 60   mm  2 32 A szögelfordulás, az alapképletből számítva a baloldali rúdszakaszra: M t1   / 3 6 105  400   1   2   4  0,002358rad I p G 60  5  0,8 10 32

(xmcd)

Második megoldás. Szuperpozíció: Az M t nyomaték a rúd baloldali harmadán hat,

1 

Mt   / 3 I p G

Az M t 2 nyomaték a teljes rúdhosszon hatva:

2 

 Mt2   I p G

1  2  0 

Mt   / 3 Mt2    I p G I p G

Az egyensúlyi egyenletbe helyettesítve: M t  M t1  M t 2



Mt / 3  Mt2



 Mt2  Mt 3



9 105 Nmm  3 105 Nmm 3

M t1  600 Nm .

8 /3

 Mt

B

A 



M t2

B

A

C

C



Mt





z

 1







z



z





 /3

3

M t2





z

2

A csúsztatófeszültség számítása a terhelt keresztmetszetben. M d 6 105 60  1 max  t1   4   14,17 MPa I p 2 60  2 32 A terhelt keresztmetszet szögelfordulása a baloldali rúdrészre (tehát az AB szakaszra) az M t és az M t12 csavarónyomaték hatásának előjeles összegeként adódik: M   / 3 M t 2   / 3 ( M t  M t 2 )   / 3 (9 105  3 105 )  400   1  3  t     0,002359 [rad ] I p G I p G I p G 604  5  0,8 10 32 2.5 Példa __________________________________________________________________________ [2] A végig állandó merevségű rúd két vége befogott. A „ B ” A C B D I p G  állandó és „ C ” keresztmetszetekhez kapcsolódik a terhelés M t , 2M t Mt 2M t . Rajzolja meg a rúd csavaró nyomatéki ábráját! 

2



Megoldás: Elve: Statikailag határozatlan feladat. Az „A” és „D” pontokban a befogást reakciónyomatékkal helyettesítjük. Két ismeretlen nyomaték M A , M D jelenik meg. A szögelfordulásra vonatkozó geometriai egyenlet és a nyomatéki egyenlet két egyenletet jelent a két ismeretlenre. A balról jobbra haladva, sorra figyelembe vett három szakasz összegzett szögelfordulása a „D” keresztmetszetben zérus. A feladatot két féleképpen oldjuk meg. I. módszer: Szuperpozíció II. módszer: Egyensúlyi egyenlet + Geometriai egyenlet I. módszer: Szuperpozíció Részletezve: A „D” keresztmetszetben a befogás miatt az elfordulás zérus értékű. Szabadítsuk fel a befogást és helyettesítsük egy M D nyomatékkal. A csavaró-nyomatékok vektorai ekkor az alábbi ábra szerinti elhelyezkedésűek lesznek. Geometriai egyenlet: A C B D A „B”, „C”, „D” keresztmetszetekben működő nyomatékok által a véglapon okozott MD Mt MA 2M t szögelfordulásokat szuperponáljuk. (Mindegyik nyomaték esetén a baloldali  AD  0 befogástól az adott nyomatékig terjedő   2 szakasz hossza szerepel az összefüggésben.)

9

A „B” pontban ható M t nyomaték okozta szögelfordulás a „D” pontban:

 AB 

Mt   I p G

A „C” pontban ható  2M t nyomaték okozta szögelfordulás a „D” pontban:

 AC 

(2  M t )  (3  ) I p G

A „D” pontban ható M D nyomaték okozta szögelfordulás a „D” pontban:

 AD 

M D  ( 4  ) I p G

A három szögelfordulás összege egyenlő zérussal:

D 

Mt   2  Mt 3  M D  4     0 I p G I p G I p G      AB

 AC

(1)

 AD

Egyszerűsítünk , I p , G -vel, és azt kapjuk:

Mt  6  Mt  4  M D  0

(2)

: (2)  M D  5 M D  Mt . 4 A nyomatéki egyensúlyi egyenlet: (melyből M A -t határozzuk meg) M A  Mt  2  Mt  M D  0

(3)

: M D  (3)  M A  5 5 1  Mt  0 M A  M t  2  M t  M t   M t 4 4 4 Az „A” keresztmetszetben ébredő M A reakciónyomatékra negatív értéket kaptunk, ami azt jelenti, hogy ennek a nyomatéknak az iránya ellentétes az előzetesen felvett irányhoz képest. Tehát a csavaró nyomatéki ábra az alábbi (lásd a II, módszernél mutatott igénybevételi ábra: M A  Mt  2  Mt 

II. módszer: Igénybevételi ábrák Ez a hagyományos (szokásos) megoldási módszer. Első lépésben a kényszereket nyomatékokkal helyettesítjük. Megállapítjuk, hogy a feladat statikailag határozatlan, ezért az egyensúlyi egyenletek mellett geometriai (alakváltozásra vonatkozó) egyenleteket is fel kell írni. Igénybevételi ábra megrajzolása: Előjelkonvenció, a keresztmetszettől balra lévő nyomaték esetében a balra mutató nyomaték a pozitív előjelű. Az AB szakaszon a keresztmetszettől balra egyedül az M A nyomaték hat, ez az igénybevételi ábrán pozitív előjelű.

A

Mt

MA



 BC

D MD

2M t

2



MD M





MA





M A  Mt

Geometriai egyenlet (Igénybevételi ábra alapján) M   (M A  M t )  2   M D    AB   BC  CD  A   0 I p G I p G I p G     AB

C

B

(1)

 CD

Egyszerűsítünk , I p , G -vel, és azt kapjuk:

M A  2M A  2M t  M D  0 . (2) A nyomatéki egyensúlyi egyenlet: (Nyomatéki egyensúlyi egyenletben az előjeleket nem az igénybevételi ábra szerint, hanem a koordinátairány szerint állapítjuk meg.)

10

M cs  0  M A  Mt  2  Mt  M D  0 A (2) és (3) egyenletekben összevonjuk a tagokat: 3M A  2M t  M D  0  M A  Mt  M D  0

(3) (4) (5)

A (4) és (5) egyenletek alapján M A és M D számítható. A (2) egyenletből kivonva a (3) egyenletet: 4M A  M t  0 Ebből kifejezve M A -t 1 M A  Mt 4 A számított nyomaték előjele pozitív, ami azt jelenti, hogy a nyomaték iránya megegyezik az előzetesen felvett iránnyal. Az M D reakciónyomaték számítása az (5) 5 Mt 1 4 egyenlet alapján. Mt M  3 4  Mt 1 5 4 M D  M A  M t  M t  M t  M t  4 4 A csavaró nyomatéki igénybevételi ábra végeredményben a jobboldalon látható: 2.6 Példa __________________________________________________________________________ [2] Az fordulatszámmal járó tengelynek n  120 ford / perc Mt P  150kW teljesítményt kell átvinnie. Határozza meg a tengely d átmérőjét, ha az anyagára  meg  20MPa feszültséget engedünk meg! n  120 ford / perc

P  150 kW

Megoldás: Elv: A fordulatszám és a teljesítmény adatok alapján meghatározható a csavarónyomaték (6*). Ezt az értéket a nyírófeszültség (1*) képletébe helyettesítve kifejezhető a szükséges tengelyátmérő. Részletes: Adatok átszámítása: P  150kW  150 000W  1,5 105 Nm / sec ; 2  2  n n  120 ford / perc  120  rad / sec  [ rad / sec] 60 60 Első lépésben (6*) alapján P  M t   Nm / sec  Watt  . (1) : (1)  M t 

P 1,5 105 Nm / sec 1,5 105 Nm / sec 1,5 105    Nm . rad / sec  2  n 2 120 rad / sec 4   4  60 60 sec A csúsztatófeszültség (1*) képletéből a d tengelyátmérő kifejezve: 16  M t M M d 16  M d 3    t   4t   3 t  meg Ip d  2 d  32 : (2)  M t  (3)  d  Mt 

P



1,5 105 103 Nmm 16  16  M t 4  d 3 3  144,85mm N  meg 20  mm2

(2)

(3)

11 2.7 Példa _________________________________________________________________________ [2] Az egyik végén befogott   3m hosszú rúd szabad végét M t  1kNm nyomatékkal terheljük. A rúd keresztmetszeti adatai adottak. Határozza meg a rúdban ébredő feszültséget és a rúdvég elfordulását! G  0,8 105 N / mm2 Megoldás: Elv: Statikailag határozott feladat. A vékonyfalú zárt keresztmetszetekre érvényes (7*), (8*), (9*), (10) összefüggéseket alkalmazzuk közvetlenül. Részletesen: Adatok átszámítása: M t  1kNm  1106 Nmm ;   3m  3000mm Feszültség számítása: Mt Bredt-féle képlet a csúsztatófeszültség számítására (7*): (1)  max  2 Ak  vmin A keresztmetszet középvonala által közbezárt terület: Ak  54  84mm2  4536mm2 Behelyettesítve (1)-be: Mt 1106 Nmm  N   max    18,4  MPa  2 2 2 Ak  vmin 2  4536mm  6mm  mm  Szögelfordulás számítása: M   t It  G Másodrendű nyomaték: 4  Ak2 4  Ak2 4  (54  84) 2 mm4 4  (54  84) 2 It   4   mm4  1, 789 106 mm4 1 276 s  54 84 54 84  mm  v ds  vi  6  6  6  6  mm 6 i 1 i

(2)

: I t  (2)   



Mt   1106 Nmm  3 000mm   0,021rad I t  G 1,789 106 mm4  0,8 105 N / mm2

2.8 Példa _________________________________________________________________________ [2] Számítsa ki a szakaszonként változó keresztmetszetű és terhelésű csavart rúdban keletkező csúsztatófeszültség legnagyobb értékét. Mekkora a „ K ” keresztmetszet elcsavarodási szöge? Adatok:   500mm ; D  100mm ; d  80mm ; M1  15kNm ; M 2  23kNm ; G  8104 MPa Megoldás: Elv: A rúd jobb vége be van falazva, a bal végen M 1 terhelés hat, valamint a tartó közepén M 2 . Statikailag határozott feladat. Az egyensúlyi egyenlet alapján a nyomatéki igénybevételi ábra közvetlenül megrajzolható. (Geometriai egyenletek felírása nem szükségesek). Részletes:

12 M





 MB  8 





 M1  15

z

Egyensúlyi egyenlet: M1  M 2  M B  0 (1) M  0 : (1)  M B  M B  M 2  M1  23  15  8kNm ()

A poláris másodrendű nyomatékok számítása: D 4 1004  ( D 4  d 4 ) (1004  804 ) I p1    9 817 477mm4 I p2    5 796 000mm4 32 32 32 32 A nyomatéki ábra megszerkesztése után látható, az egyes keresztmetszetek igénybevétele. Baloldali tengelyszakaszra: M D 15 000kNmm 100mm kN N 1  1     0,07643  76,43 4 2 I p1 2 9817477mm 2 mm mm2 Jobboldali tengelyszakaszra: M D 8 000kNmm 100mm kN N 2  B     0,06905  69,05 4 2 I p 2 2 5796000mm 2 mm mm2 A keresztmetszet-elfordulás összefüggését két szemlélet alapján írhatjuk fel. Egyik szemlélet a szuperpozíció. Ekkor minden nyomatéki terhelésre külön-külön kiszámítjuk a véglap elfordulást. A K keresztmetszet szögelfordulása a két terhelési eset szögelfordulásának összege:  M  M     M2   , K   1  1     I p1G I p 2G   I p 2G      ahol az első tag az M 1 okozta szögelfordulás, második tag az M t okozta szögelfordulás. Másik szemlélet: A nyomatéki igénybevételi ábra metszetértékei alapján tengelyszakaszonként írjuk fel az elfordulási szöget. Majd ezeket előjelhelyesen összegezzük: M   (M  M 2 )   K  1  1 I p1G I p 2G Mindkét szemlélettel ugyanarra az eredményre jutunk. A véglap („K” keresztmetszet elfordulása): M   (M  M 2 )   K  1  1  9,549 10 3  8,626 103  9,23 10 4 rad  0,0530 I p1G I p 2G

2.9 Példa __________________________________________________________________________ [2] A két végén befogott vékonyfalú, négyzet keresztmetszetű rúdra a „K” keresztmetszetnél M t nagyságú csavaró-nyomaték hat. Számítsa ki a csavarásból származó  feszültség nagyságát és határozza meg a „K” keresztmetszet elcsavarodásának szögét! M t  900 Nm , G  0,8 105 MPa Megoldás: Elv: Statikailag határozatlan feladat. A kényszereket csavaró-nyomatékokkal helyettesítjük. Csavaró nyomatéki és geometriai egyenletet írunk fel a két reakciónyomaték meghatározására. Geometria egyenlet: balról jobbra összegezve a szögelfordulásokat, a szögelfordulások összege a „B” keresztmetszetig zérus. Két módszerrel oldjuk meg. Egyik módszer: Szuperpozíció. Másik módszer nyomatéki igénybevételi ábra alapján. Részletes: Mindkét módszernél az I t torziós másodrendű nyomaték számítása azonos.

13 Első lépésben a keresztmetszeti adatokat számítjuk: A középvonal által körülhatárolt keresztmetszet 2 Ak  38  38  1444mm . Vékonyfalú zárt szelvény másodrendű nyomatéka csavarásra: 4  Ak2 4 14442 It    109 744mm4 , 1 38  v ds 2  4 ahol v a keresztmetszet falvastagsága.

területe:

Egyik módszer: Szuperpozíció A feladat statikailag határozatlan, tehát az egyensúlyi egyenleten kívül a deformációkra vonatkozó előírást is figyelembe kell venni. A geometriai előírás:  Mt  2  MB   0 . K  B  0  It  G It  G Itt  K a K keresztmetszetben ható nyomaték okozta szögelfordulás. Itt  B a „B” keresztmetszetben ható nyomaték okozta szögelfordulás (teljes rúdhosszra). Ebből M B kifejezve: M MB  t . 2 Az egyensúlyi egyenlet: Mt  M A  M B Ebbe M B -t behelyettesítve, majd M A -t kifejezve: M MA  t 2 A csavaró nyomatéki ábra ezen adatok alapján a baloldalon látható. A „K” keresztmetszet elfordulása: Mt  900000 1200  4  2 2  0,03075rad  1,760 5 I t  G 109 744  0,8 10 II. módszer: Igénybevételi ábrák Ez a hagyományos (szokásos) megoldási módszer. Első lépésben a kényszereket nyomatékokkal helyettesítjük. Megállapítjuk, hogy a feladat statikailag határozatlan, ezért az egyensúlyi egyenletek mellett geometriai (alakváltozásra vonatkozó) egyenleteket is fel kell írni.

A

K

B

Mt

MA

/2

Igénybevételi ábra megrajzolása: M





MB

/2

MA

+

Mt

MB

 AK

Egyensúlyi egyenlet: M  0 Geometriai egyenlet (szögelfordulás):  AK   KB  0

 M A  Mt  M B  0

 KB

(1) (2)

14 Ahol  AK az AK szakasz csavarodása (elfordulása),  KB az KB szakasz csavarodása. (2) egyenletbe a szögelfordulás képletét behelyettesítve: ( M B előjele a képletben negatív az igénybevételi ábra konvenció alapján:)   MA   MB  2 2 0 (3)  AK   KB  It  G It  G (3) egyenletet egyszerűsítve  / 2 , I t , G -vel:

M A  MB  0 (4b)  M A  (1)  M B M t  2M B



MA  MB



MB 

(4)

Mt  450 Nm 2

(1) egyensúlyi egyenletből: M M A  t  450 Nm 2 A „K” keresztmetszet elfordulása:  MA  450000  Nmm  600mm 2  AK   0,03075rad  1,76180 4 5 2 I t  G 109744mm  0,8 10 N / mm (Itt M A a rúd baloldali részének csavaró-nyomatéki igénybevétele az igénybevételi ábra alapján.)

3. TOVÁBBI FELADATOK: VIZSGÁK, ZH-K 3.1 Példa _________________________________________________________ [Vizsga 2003.01.18. 4A] Az egyik végén befogott cső-tengelyt M c  1750 Nm nagyságú nyomaték terheli. o Mekkora lehet a „ d ” legnagyobb értéke, ha  meg  80MPa ? o Mekkora lesz ekkor a cső szabad végének elcsavarodása?  ?

Megoldás:

Ip 

D4  d 4  32

Kp 

Ip D/2



M D4  d 4  c 16  D  meg

A keresztmetszeti tényezőre vonatkozó összefüggésből kifejezzük a d 4 mennyiséget: Mc 1750 103 4 4 16 4 16 d  D  D  60   60   604  6 684 508  6 275 492 mm4   meg  80 d  4 6 275 492  50,05091mm A cső szabad vége elcsavarodási szögének számítása: D4  d 4 604  504 Ip     658752mm4 32 32 M   1750 103 1200  c   0,037504rad I p  G 658752  8,5 104

15 3.2 Példa _________________________________________________________ [Vizsga 1999.02.01 1B] A két végén befogott tengelyre a „K” keresztmetszetnél mekkora maximális csavaró-nyomatékot ( M t  ?) szabad működtetni? Mekkora ez esetben a „K” keresztmetszet szögelfordulása (k  ?) és a deformációs energia összege (W  ?) ? Adott:  , d , G ,  meg . Megoldás:

Egyszerűsítve: Mt  3 M B  3   MB; 16 16

Mt 3  M B 3  M    4 B 4 4 d  d  d  16   G 16  G G 32 32 32



3  M t  3  M B  16  M B

16  M t 32  M t 32  d  4 19 16  d  19  d 3   96  M t   M   3  M t  32   k  B   4 I p 2  6 19  d    G 19  d 4    G A deformációs munka: 48  M t2   1 W  M t  k  2 19  d 4    G

 MB 

2 

1 

3 Mt 19



MA 

16 Mt 19

3  M t 32 d 48  M t  4     max 19 d  2 19  d 3  

3.3 Példa ________________________________________________________ [Vizsga 2000.01.20. 1A]   100 ;  max  140MPa ; G  0,8 105 MPa d ?

Megoldás:



T  I p G





T d  G d    Ip 2  2



T  G  Ip  d

2    2 103 140   20,05mm   G 10    0,8 105 180

3.4 Példa ________________________________________________________ [Vizsga 2002.01.07. 1B] Mekkora legyen a D2 átmérő, hogy mindkét rúdszakasz palástfelületénél azonos nagyságú  feszültség keletkezzék? Mekkora lehet M c legnagyobb értéke, ha a megengedett nyírófeszültség  meg  120MPa ? Adott: D1  60mm ; M c  15kNm Megoldás:

16 A „ K ” keresztmetszet  szöggel csavarodik el. Ebből a palástfelületeken az egyes alkotók elferdülései:   R1   R2 1  2  a b   D1   D2 1  G   1 ; 2  G  2 ; 1   2   . G G 2a 2b ebből: b 500 D2  D1   60   75mm a 400 M 603   1  c1 M c1  1  K p1   meg  K p1  120   508,94 104 Nmm  K p1 16

D23 753   120   994,02 104 Nmm 16 16  508,994  994,02 104  150,296 105 Nmm  15,0296kNm

M c 2   meg  K p 2  120  M c  M c1  M c 2

3.5 Példa _________________________________________________________ [Vizsga 2002.01.31. 1B] Mekkora M cs csavaró-nyomatékkal terhelhető a szerkezet? Mekkora lesz ez esetben a „ K ” keresztmetszet szögelfordulása (elcsavarodása,  k )? Adatok: D1  68mm ; D2  80mm ; d  56mm ;  meg  55MPa ;

G  8104 MPa . Megoldás:

D24  D14 84  6,84      192,213cm 4 32 32 I p1 192,213 K p1  2   2  48,053cm 3 D2 8 M cs,1   meg  K p1  5500  48,053  264 292 Ncm I p1 

1. Külső cső:

A cső megengedett terhelése: 2. Belső tengely:

A tengely megengedett terhelése:

d 4 5,64    96,549cm 4 32 32 I p2 96,549 K p1  2   2  34,482cm 3 d 5,6 M cs, 2   meg  K p 2  5500  34,482  189 651Ncm I p2 

M cs, 2  M cs,1 , ezért a tengely teherbírása a mérvadó.

A „K” keresztmetszet elcsavarodási szöge:

M cs  1 M cs   2 M cs  1  2      I p1  G I p2  G G  I p1 I p 2  189 651Ncm  20cm 30cm       0,009832rad  0,5630 7 2 0,8 10 N / cm  192,213 96,55 

 k  1   2 

3.6 Példa ______________________________________________________________ [ZH 2003.10.20.] Mekkora M c nagyságú csavarónyomatékkal terhelhető az adott méretű, kör, ill. körgyűrű keresztmetszetű rúd, ha  meg  70MPa ? A kiszámított nyomaték hatására mekkora  szöggel csavarodik el a rúd szabad vége? Mekkora a rúdban felhalmozott alakváltozási energia összege?

17

D  20mm ; d  16mm ;   150mm ; G  80GPa Megoldás: Statikailag határozott feladat. A rúd csak a jobb végen terhelt, három szakaszra bontjuk a keresztmetszeti adatok változása miatt.

Geometriai adatok: I p1 9273,98mm4 D4  d 4 204  164 I p1     9273,98mm4 K p1    927,398mm3 32 32 D/2 10 4 4 I D 20 15707,96 p2 I p2     15707,96mm4 K p2    1570,79mm3 32 32 D/2 10 4 4 I p3 6433,98 d 16 I p3     6433,98mm4 K p3    804,24mm3 32 32 d /2 8 Az M c megengedhető legnagyobb értékét a leggyengébb keresztmetszetű szakasz határozza meg. K p, min  K p3

M c  K p, min  meg  804,24 mm3  70 N / mm2  56297 Nmm  56,297 Nm A tengely szabad végének elcsavarodása. A három szakasz elcsavarodásának összege. 3 M  M    56297  150  150 150    c i  c  1  2  3       345,08 10 4 rad  1,9770 4   I G G I I I 9273 , 98 15707 , 96 6433 , 98 8  10   p2 p3  i 1 pi  p1 Az egyes szakaszokban felhalmozott alakváltozási energia: Wi  3

W  Wi  i 1

M c 2 i 2 I pi G

i  1,2,3

M c 2  1  2   M   56297   3  c  345,08 10 4  971348 Nmm  0,9713Nm ( Joule )   2G  I p1 I p 2 I p3  2 2

3.7 Példa ___________________________________________________________ [PótZH 2007.12.10.] A mindkét végén befogott lépcsős tengelyt az M 1 nyomatékú erőpár terheli. Határozza meg az M A és M B kényszernyomatékokat! Számítsa ki a tengely A-C szakaszának  AC szögelfordulását! Adatok: d1  60mm ; d 2  50mm ;   1m ; G  80GPa ; M1  5kNm Megoldás: Számítási modell: Statikailag határozatlan feladat. Felrajzoljuk a számítási modellt. A kényszereket reakciónyomatékokkal helyettesítjük. Egyensúlyi egyenlet: M A  M B  M1  0 (1) Geometriai egyenlet: M A  2  M B    0  AC  CB1  0 (2) I p1G I p 2G        AC

A (2) geometriai egyenletből: I p1 M B d14 M B 604 M B 1,24 MA    4  4  M B  1,0368  M B I p2 2 2 2 d2 2 50

 BC

18 M A  (1)  M B

M1  1,0368  M B  M B  2,0368M B

M1  2,455kNm ; 2,0368 M A  1,0368  M B  2,545kNm MB 



Az AC szakasz szögelfordulása. M  2 M A  2 64  M A   64  2545 1  AC  A  4    0,050rad  2,8650 4 4 9 I p1G d1 d 1 G 0,06   80 10 G 32 3.8 Példa ____________________________________________________________ [PótZH 2015.05.22.] A furatos henger mindkét végén befogott. Számítsa ki a reakciónyomatékokat! Mekkora az alkatrészben ébredő legnagyobb feszültség? Adatok:  1  70mm ;  2  50mm ; D  40mm ; d  20mm ; G  80GPa ; M t  2kNm 3.9 Példa ____________________________________________________________ [PótZH 2015.05.22.] A változó keresztmetszetű hengeres alkatrész mindkét végén befogott. Számítsa ki a reakciónyomatékokat! Mekkora az alkatrészben ébredő legnagyobb feszültség? Adatok: 1  50mm ;  2  30mm ; d  15mm ; D  20mm ; G  80GPa ; M t  100 Nm 3.10 Példa ___________________________________________________________ [Vizsga 2015.06.11.] A változó keresztmetszetű, hengeres alkatrész mindkét végén befogott. Számítsa ki a reakciónyomatékokat! Mekkora feszültség ébred az egyes szakaszokban? Adatok: 1  150mm ;  2  100mm ; D  60mm ; d  30mm ; G  80GPa ; M t  3kNm

Megoldás: Számítási modell: Statikailag határozatlan feladat. Felrajzoljuk a számítási modellt. A kényszereket reakciónyomatékokkal helyettesítjük. D 4 60 4    1,272  106 mm4 32 32 M A  Mt  M B  0 M t  0  M A 1  M B  2 1  2  0  0 I p1G I p 2G I p1 

Egyensúlyi egyenlet: Geometriai egyenlet:

I p2 

d 4 30 4    79 522mm4 32 32

(1) (2)

Reakciónyomatékok számítása: Két egyenlet, két ismeretlen: M A , M B (1)  M B  (2) (első egyenletből kifejezzük M B -t és behelyettesítjük a második egyenletbe) M B  Mt  M A



 M A  1  ( M t  M A ) 2  0 I p1G I p 2G

(3b)  M A 

2 I p2 Mt 3000 Nm MA     2743Nm 1 2 I 150 79522  p2 1  1   1 100 1,272  10 6 I p1 I p 2  2 I p1 Mt

M A  (3a)  M B  M B  M t  M A  3000  2743  257 Nm

Feszültségek számítása:

(3)

19 1 

M A D 2743  10 Nmm 60mm     64,69MPa I p1 2 1,272  106 mm4 2 3

2 

M B d 257  10 Nmm 30mm     48,48MPa I p2 2 2 79522mm4 3

3.11 Példa __________________________________________________________ [Vizsga 2015.06.15.] Az (1) cső és a (2) henger bal oldali vége egyaránt hozzá van hegesztve a végtelen merevnek tekinthető (3) körlaphoz. Az (1) cső jobb oldali vége pedig a rögzített, szintén végtelen merevnek tekinthető (4) lemezhez van hegesztve. A henger szabad végére az M t csavarónyomaték hat. Mekkora az (1) csőben és a (2) hengerben ébredő maximális feszültség? Mekkora a (2) henger jobboldali végének elfordulása? Adatok: 1  100mm ; D1  80mm ; d1  70mm ;  2  150mm ; d 2  60mm ; G  80GPa ; M t  2kNm Megoldás: Keresztmetszeti adatok: I p1 

D

4 1







 d14  80 4  70 4    1,664  106 mm4 32 32

I p2 

d 24  60 4    1,272  106 mm4 32 32

Csúsztatófeszültségek: 1 

M t D1 2  106 80     48,08MPa 6 I p1 2 1,664  10 2

2 

M t d2 2  106 60     47,16MPa 6 I p 2 2 1,272  10 2

Szögelfordulás.   1   2 

M t  1 M t   2 2  106  100 2  106  150 3 3 3     1,502  10  2 ,948  10   4,45  10 rad  I p1  G I p 2  G 1,664  106  80  103 1,272  106  80  103  0 0 0, 086

 0,2550

0,1689

0

Irodalomjegyzék [1] Csizmadia Béla - Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek. Szilárdságtan. Nemzeti tankönyvkiadó. Budapest, 1999. [2] Galambosi Frigyes: Mechanika II. Szilárdságtan gyakorlatokon egységesen tárgyalandó példák. 2015. BME KJK. Járműelemek és Járműszerkezetanalízis Tanszék. -.-