1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK

Gyakorlat 08

Mechanika II. Szilárdságtan 2016 08 Segédlet

KÜLPONTOS HÚZÁS-NYOMÁS Tartalom 1.

ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK .......................................................................................................... 1

2.

GYAKORLATOK PÉLDÁI ............................................................................................................................. 2

3.

TOVÁBBI FELADATOK ................................................................................................................................. 3

3.1.

Külpontos húzás-nyomás ................................................................................................................ 3

3.2.

Hajlítás és húzás ............................................................................................................................. 9

Ez a Segédlet tartalmazza a 2015, 2016 évben a tanszéki gyakorlatokon egységesen tárgyalt példákat, a korábbi évek ZH és vizsgafeladatait.

1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK Külpontos húzás/nyomás esetében a húzó/nyomó erő nem a keresztmetszet súlypontjában hat, ezért hajlítónyomatékot is kifejt. Az erőrendszert redukálni kell a keresztmetszet súlypontjába. A redukálás eredményeképpen húzás/nyomás + hajlítás összetett feladathoz jutunk. A redukcióval keletkező nyomatékok előjele az F erő értelmétől (befelé vagy kifelé mutat) és az erő támadáspontjának a súlyponthoz viszonyított eltolódási irányától függően alakul ki (lásd alábbi ábrákat).

y tengely irányában külpontos húzóerő

x tengely irányában külpontos húzóerő

Navier képlet. A keresztmetszet valamely „P” pontjában ébredő feszültség a húzás/nyomás és a hajlítás szuperpozíciója: M N M  P , z   x y P  y xP A Ix Iy ahol

 P, z A „P” pontban ébredő feszültség ( z irányú) [MPa ] A Ix

keresztmetszet területe [mm2 ] keresztmetszet súlyponti x tengelyre vett másodrendű nyomatéka. ( x főtengely) [mm4 ]

Iy

keresztmetszet súlyponti y tengelyre vett másodrendű nyomatéka. ( y főtengely) [mm4 ]

N keresztmetszet normálerő igénybevétele [N ] M x x tengely körüli hajlító igénybevétel [Nmm] M y y tengely körüli hajlító igénybevétel [Nmm]

xP a „P” pont x koordinátája [mm] y P a „P” pont y koordinátája [mm]

2

2. GYAKORLATOK PÉLDÁI 2.1 Példa __________________________________________________________________________ [2] Mekkora lehet x maximális értéke, hogy csak nyomófeszültség ébredjen a tartóban? Adatok: a  10cm ; b  6cm

Megoldás: Az excentrikusan ható terhelő erőt első lépésben a keresztmetszet súlypontjába kell redukálni. A redukció eredményeképpen a súlypontban az F erő hat, valamint az M y  F  x redukált nyomaték. Redukálás előtt

Redukálás után

Axonometrikus nézet

y

y

F

y

M F

x

x

M

x

F

My  Fx

x

y

A nyomásból és a redukálás miatt megjelenő hajlításból eredő feszültségeloszlások a keresztmetszet mentén a következők:

b

x a





x

Nyomásból eredő normál feszültség: F  ny  a b

(1)



A hajlításból eredő normál feszültség M a F  x a 6 F  x x  h  y     (2) I y 2 b  a3 2 b  a 2 12 Csak nyomófeszültség akkor ébred a keresztmetszetben, amikor a keresztmetszet súlypontjába redukált vektorkettős nyomatéki igénybevételéből eredő húzófeszültség nagysága éppen egyenlő a nyomás hatására ébredő nyomófeszültség értékével. F 6 F  x  Behelyettesítve:  ny   h 2 a b  b  a   ny

h

Az egyszerűsítéseket elvégezve, majd x-et kifejezve: 1

6x a



x

a . 6

y

b

x a

3 Tehát az F erő támadáspontját az x tengely irányában maximum, x  a / 6 értékkel lehet áthelyezni ahhoz, hogy csak nyomófeszültségek ébredjenek. Ha x  a / 6 (nagyobb) külpontossággal terheljük, akkor   0 húzófeszültség is fellép. Az x  a / 6 pontban elhelyezett terhelés hatására fellépő feszültségeloszlás a baloldali ábrán látható.

 

x

3. TOVÁBBI FELADATOK 3.1. Külpontos húzás-nyomás

3.1-1 Példa __________________________________________________________ [Vizsga 2009.06.03.] Egy rövid, tömör hasábot külpontosan terhel az F erő. Határozza meg a kijelölt „A” pontban ébredő feszültséget. Adatok: a  8cm ; b  6cm ; F  72kN (File: m2-2009.06.03 vizsga_02_megoldas.pdf)

Megoldás:

A  a  b  80  60  4800mm2 N  F  72kN Az erő támadáspontjának helyvektora a keresztmetszet súlyponti koordinátarendszerében:  x  15  r F   F     mm  y F  30 M x  72 103 15 103  1080 Nm

M y  72 103  30 103  2160 Nm

b3  a 603  80 Ix    1,44 106 mm4 12 12

a 3  b 803  60 Iy    2,56 106 mm4 12 12

4

 x A   40 Az „A” pontba mutató helyvektor r A       mm .  y A    30  Navier képlet: M N M  A   x yA  y xA A Ix Iy

 72 103  1080 103  2160 103 A   (30)  (40)  15  22,5  33,75  26,25MPa 4800 1,44 106 2,56 106

 A  26,25MPa (nyomófeszültség) 3.1-2 Példa __________________________________________________________________ [3, 11.old] A változó keresztmetszetű rudat a rúdvégeken központosan ható F erő terheli. Számítsuk ki a vékony keresztmetszetben ébredő maximális húzó és nyomó feszültséget! Adjuk meg a semleges tengely helyét, és ábrázoljuk a feszültségeloszlást! ST  ?  max  ?  min  ? x0  ?

Megoldás: Keresztmetszeti adatok

Keresztmetszet igénybevétele

N  F  5000N 53  20 Iy   208,3mm4 12 N  5000 N  húzó    50MPa A 5  20mm2 ( P1 )  hajl 

My Iy

xP1 

 12500  2,5  150,0MPa 208,3

( P1 ) 1   húzó   hajl  50  150  100,0MPa (ny) Semleges tengely helyének számítása: N M    y  x0  0 A Iy

Ebből x0 

Iy My



N 208,3mm4 5000    0,8332mm . A  12500 100

( P2 )  hajl 

My Iy

xP2 

 12500  (2,5)  150,0MPa 208,3

( P2 )  2   húzó   hajl  50  150  200,0MPa (h)

5 3.1-3 Példa __________________________________________________________________ [3, 12.old] A változó keresztmetszetű rúd zavartalan B  B keresztmetszetében egyenletes  B húzófeszültség ébred. Ábrázolja a feszültségeloszlást a jellemző értékek kiszámításával a gyengített A  A keresztmetszetben! Adja meg a semleges tengely helyét! N N   B  AB  100  24  30  72000 N  72kN  B  AB Keresztmetszeti adatok: Keresztmetszet súlypont helye: (Az ábrán y0 a kikönnyítetlen B  B keresztmetszet szimmetriatengelye, a kikönnyített A A y keresztmetszet súlypontjának helye.) A x 0  (3)  6  30  540 xS  i i    1mm Ai 24  30  6  30 540 A kikönnyítés miatt a keresztmetszet másodrendű nyomatéka is megváltozik: 243  30 63  30 2 Iy    1  540  31860mm4 12 3 Keresztmetszet igénybevétele: Az y tengely körüli hajlító igénybevétel nyomatéka.

M y   N  xs  72000 1  72000 Nmm

Navier képlet alapján a feszültségeloszlás függvénye: N M 72000  72000  z ( x)   y x   x  133,3  2,294  x A Iy 540 31860 Feszültség értékek a keresztmetszet jellemző pontjaiban:  z (11mm)  133,3  2,294  (11)  108,1MPa  z (0)  133,3  2,294  (0)  133,3MPa  z (1mm)  133,3  2,294  (1)  135,6MPa  z (7mm)  133,3  2,294  (7)  149,4MPa  z (13mm)  133,3  2,294  (13)  163,1MPa Megjegyzés: Semleges tengely olyan értelemben nincs, hogy a keresztmetszet minden pontjában nullától különböző a feszültség. Az elméleti értelemben vett semleges tengely valahol a keresztmetszettől balra van, ahol a feszültségeloszlás ferde egyenese metszené az x tengelyt.

6 3.1-4 Példa __________________________________________________ [ZH II. 2015.04.20](15 pont) Számítsa ki a külpontosan nyomott hasáb P pontjában ébredő feszültség értékét! Húzó- vagy nyomófeszültségről van szó? Adatok: F  100kN

Megoldás:

 F F  30  100000 N 100000 N  30mm  45mm   45    MPa ,56 27  ,78   55  MPa  A Iy 90  40mm2 40  903 4 ( 5 pont ) ( 5 pont ) mm 12  P  27,78MPa húzófeszültség. (5 pont)

P 

3.1-5 Példa __________________________________________________ [ZH II. 2015.04.20.](15 pont) Számítsa ki a külpontosan húzott hasáb P pontjában ébredő feszültség értékét! Húzó- vagy nyomófeszültségről van szó? Adatok: F  200kN

Megoldás:

 F F  20 200000 N 200000 N  20mm  40mm   40     50 MPa 75 MPa       A Ix 50  80mm2 50  803 4 ( 5 pont ) ( 5 pont ) mm 12  P  50  75  25MPa nyomófeszültség.

P 

(5 pont)

3.1-6 Példa _________________________________________________________[m2-k040001vm.doc] Rajzolja meg axonometrikusan a keresztmetszet ABCD felületén a feszültség eloszlásának ábráját a jellemző értékekkel! 100kN y C Határozza meg a semleges tengely helyzetét is! D x 100mm A

B

50mm

Megoldás: Jelölések bevezetése: F  100kN ; a  50mm ; b  100mm Keresztmetszeti adatok: A  a  b  50mm 100mm  5000mm2 a  b3 50 1003 a 3  b 503 100 Ix    4,17 106 mm4 Iy    1,04 106 mm4 12 12 12 12 Nyomatéki igénybevételek: b 100mm M x  F   100000 N  5000000 Nmm  5 106 Nmm 2 2

7

a 50mm  100000 N  2500000 Nmm  2,5 106 Nmm 2 2 A következőkben a Navier képlet alapján kiszámítjuk a keresztmetszet négy sarokpontjában ébredő feszültségeket. A számítások megkönnyítéséhez előre kiszámítjuk a Navier képletnek az adott igénybevételre és keresztmetszetre konstans együtthatóit. My  F 

 ( x, y ) 

My F Mx  y x A Ix Iy    C0

Cy

 ( x, y)  C0  C y  y  Cx  x

Cx

Az együtthatók. C0 

F 100000 N N   20 A 5000 mm2 mm2

Cy 

Mx 5  106 Nmm N   1,199 6 4 Ix 4,17  10 mm mm3

Cx  

My Iy

xD  

2,5  10 6 Nmm 1,04  10 6 mm 4

 2,4039

N mm3

„D” pontban ébredő feszültség:  D  C0  C y  yD  Cx  xD  20  1,199  50mm  (2.4039)  (25mm)  20  59,95  60,09  140,04MPa „A” pontban ébredő feszültség:  A  C0  C y  y A  Cx  x A  20  1,199  (50)mm  (2.4039)  (25mm)  20  59,95  60,09  20,14MPa „B” pontban ébredő feszültség:  B  C0  C y  yB  Cx  xB  20  1,199  (50)mm  (2.4039)  (25mm)  20  59,95  60,09  100,04MPa „C” pontban ébredő feszültség:  C  C0  C y  yC  Cx  xC  20  1,199  (50)mm  (2.4039)  (25mm)  20  59,95  60,09  19,86MPa Semleges tengely helyzete: Keressük a semleges tengely és az AB egyenes metszéspontjának koordinátáit: b  ( xE , )  C0  C y  (50)  C x  xE  0 2 ebből kifejezve x E -t kapjuk a semleges tengely és a keresztmetszet alsó éle metszéspontjának x E koordinátáját:





1 1  C0  50  C y    20  50  1,199  16,618mm Cx  2,4039 Tehát az ábra szerinti E pont vízszintes koordinátája xE  16,618mm . (Az ábrán berajzolt x méret x  25  16,618  8,382mm ) xE  

Keressük a semleges tengely és az DC egyenes metszéspontjának x F koordinátáit: b  ( xF , )  C0  C y  (50)  C x  xF  0 2 ebből kifejezve x F -t kapjuk a semleges tengely és a keresztmetszet felső éle metszéspontjának x F koordinátáját: xF  





1 1  C0  50  C y    20  50  1,199  33.25mm Cx  2,4039

Ez a pont a keresztmetszeten kívüli pont. Keressük a semleges tengely és a BC egyenes metszéspontjának y F koordinátáját: a  ( , y F )  C0  C y  y F  C x  25  0 2 ebből kifejezve y F -t kapjuk a semleges tengely és a keresztmetszet jobboldali éle metszéspontjának y F koordinátáját: yF  

1 1  C0  25  C x     20  25  (2,4039)   33,44mm Cy 1,199

Tehát az ábra szerinti F pont vízszintes függőleges y f  33,44mm . (Az ábrán berajzolt y méret y  50  33,44  16,56mm )

8 3.1-7 Példa _________________________________________________________ [M2-k040003vm.doc] Határozza meg az M-M metszetben a keletkező feszültségek értékeit! Rajzolja meg ezek eloszlását is! A méretek mm-ben adottak. F  25 kN

Megoldás: Keresztmetszeti adatok: Súlypont:

Ai yi 5  50  25  5  50  25  5  40  2.5   18,57mm Ai 5  50  5  50  40  5 Másodrendű nyomaték: Először az x tengelyre írjuk fel (ami a yS 

keresztmetszet felső élénél van), mint két téglalap különbsége: I x 

50 4 40  453   868333 mm4 3 3

Ezt az értéket a Steiner tétel alkalmazásával transzformáljuk az összetett keresztmetszet súlypontjába: I xS  868333  (2  5  50  40  5)  31,432  0,176842  106 mm4

Feszültségek számítása a Navier képlet alapján:

25000 25000  (25  18,57)   31,43  35,71  28,57  64,28MPa 2  5  50  40  5 0,176842  106 25000  (25  18,57)  35,71   18,57  35,71  16,88  18,82MPa 0,176842  106

 max   min

3.1-8 Példa __________________________________________________________ [Vizsga 2015.06.08] Számítsa ki a külpontosan húzott szimmetrikus keresztmetszet P pontjában ébredő feszültség értékét! Húzó- vagy nyomófeszültségről van szó?

9 3.2. Hajlítás és húzás 3.2-1 Példa __________________________________________________________ [Vizsga 2015.05.26] Ellenőrizze a tartó kritikus keresztmetszetét szilárdsági szempontból! Csak a normálfeszültséget vegye figyelembe! Adatok:   2m ; p  3kN / m ; F  100 kN ;  meg  120 MPa Megoldás: Megrajzoljuk az igénybevételi ábrákat. Kritikus keresztmetszet a befogás keresztmetszete. Itt a normálerő igénybevétel: N  100 kN , a  2

hajlítónyomatéki

2 2

igénybevétel M hx  p     3  2   6 kNm Keresztmetszeti adatok: A  60  100  40  60  3600mm2

Ix 

1003  60 603  40   4,28  106 mm4 12 12

A súlyponton átmenő x és y tengelyek egyben másodrendű nyomatéki főtengelyek. A keresztmetszet súlypontjától legtávolabbi pontok a keresztmetszet alsó és felső élei, itt ébred a maximális  feszültség. A Navier képlet alkalmazásával a normálfeszültség: N Mx  100  103  6  106  yP    (50)  27,78  70,09  97,87 MPa A Ix 3600 4,28  106 Megfelel.   max   P   meg  120MPa

P 

Irodalomjegyzék [1] Csizmadia Béla - Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek. Szilárdságtan. Nemzeti tankönyvkiadó. Budapest, 1999. [2] Galambosi Frigyes: Mechanika II. Szilárdságtan gyakorlatokon egységesen tárgyalandó példák. 2015. BME KJK. Járműelemek és Járműszerkezetanalízis Tanszék. [3] Dóra Sándor: Mechanika II. Szilárdságtan. Egyenes hajlítás példák. 2009. BME KJK. Járműváz és könnyűszerkezetek Tanszék. (file: 05 BscEgyenesHajlitas.doc) -.-