02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací

02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentac´ı podle pˇrednáˇsky doc. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc 17. ˇcervence 2016

Obsah 1 Grupy 1.1 Algebraick´ y koncept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vlastnosti grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Homomorfismus a isomorfismus grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Podgrupy 2.1 Centraliz´ atory a normaliz´ atory 2.2 Cyklické grupy . . . . . . . . . 2.3 Svazy podgrup . . . . . . . . . 2.3.1 Hasseovy diagramy . . .

4 4 6 8

. . . .

9 9 10 11 12

. . . . . .

13 14 16 17 17 18 19

4 Akce grupy na mnoˇ zinˇ e 4.1 Stabiliz´ atory a orbity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Rovnice tˇr´ıd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 22

5 Sylowova vˇ eta

24

6 Pˇr´ım´ y a polopˇr´ım´ y souˇ cin grup 6.1 Klasifikace Abelovsk´ ych grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Polopˇr´ım´ y souˇcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 29

7 Reprezentace grup 7.1 Z´ akladn´ı definice . . . . . . . . . . . . 7.2 Reducibiln´ı a ireducibiln´ı reprezentace 7.2.1 Schurova lemmata . . . . . . . 7.3 Velk´ a vˇeta ortogonality . . . . . . . . 7.4 Tabulky charakter˚ u. . . . . . . . . . .

31 31 32 33 34 35

3 Faktor grupy 3.1 Levé a pravé tˇr´ıdy . . . . . . . 3.2 Norm´ aln´ı podgrupy . . . . . . . 3.3 Index grupy, Lagrangeova vˇeta 3.4 Souˇcinov´ a podgrupa . . . . . . 3.5 Vˇety o isomorfismech . . . . . . 3.6 Kompoziˇcn´ı ˇrady . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

Literatura

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

37

2

Pˇredmluva Toto wikiskriptum vzniklo podle pˇrednáˇsek prof. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc. k pˇredmˇetu Grupy a Reprezentace vyuˇcovaného pro 1. roˇcn´ık navazuj´ıc´ıho magisterského studia na FJFI ˇ CVUT v Praze v zimn´ım semestru roku 2012. Z velké ˇcásti vˇsak jen podle uˇcebnice [1], proto by bylo potˇreba ho dodˇelat a sjednotit s pˇrednáˇskou. V zimn´ım semestru roku 2015 doˇslo k prvn´ı velké u ´pravˇe tohoto wikiskripta, mnoho bylo doplnˇeno a opraveno a jednotlivé ˇca´sti byly seˇrazeny podle letoˇsn´ı pˇrednáˇsky. Stále vˇsak nen´ı wikiskriptum kompletn´ı, je tˇreba doplnit zejména posledn´ı kapitolu o reprezentac´ıch a pár dalˇs´ıch d˚ ukaz˚ u. Pˇr´ıpadné chyby je tˇreba opravit. Pros´ıme tedy posluchaˇce toho pˇredmˇetu, aby se chopili u ´prav tohoto wikiskripta, aby existoval nˇejak´ y uspoˇrádan´ y a spolehliv´ y doplnˇek k jinak neuspoˇr´ adané pˇredn´ aˇsce. :-)

3

1 Grupy 1.1 Algebraick´ y koncept Definice 1.1. Mˇejme libovolnou mnoˇzinu M . Potom n-´ arn´ı operac´ı na M nazveme zobrazen´ı f : M × M × . . . × M → M . Definice 1.2. Operaci f : M × M → M (binárn´ı operace) budeme naz´ yvat vnitˇ rn´ı souˇ cin a m´ısto f (x, y) = z ji budeme znaˇcit xy = z. ´ mka 1.3. Neplést vnitˇrn´ı souˇcin s pojmem skalárn´ı souˇcin (angl.: scalar product = Pozna inner product). Pˇr´ıkladem bin´ arn´ı operace na vektorovém prostoru je vektorov´ y souˇcin vektor˚ u. Definice 1.4. Dvojici {M, ·} naz´ yv´ ame grupoid. Dále pˇri splnˇen´ı dodateˇcn´ ych podm´ınek zavád´ıme: 1. (∀a, b, c ∈ M )((ab)c = a(bc)): pologrupa (asociativn´ı grupoid), 2. (∀a, b ∈ M )(ab = ba): komutativn´ı grupoid, 3. poˇcet prvk˚ u M je koneˇcn´ y: koneˇ cn´ y grupoid. Definice 1.5. Levou resp. pravou jednotkou v grupoidu naz´ yváme takov´ y prvek e, pro kter´ y plat´ı eg = g respektive ge = g pro kaˇzdé g z grupoidu. Vˇ eta 1.6. M´ a-li grupoid levou a pravou jednotku, pak jsou stejné. D˚ ukaz. el = el ep = ep Definice 1.7. Pologrupu s jednotkov´ ym prvkem naz´ yváme monoid. Nav´ıc pokud pro m ∈ M existuje m−1 ∈ M takov´ y, ˇze m−1 m = e, naz´ yváme m−1 inverzn´ım prvkem k m. (Pak plat´ı i mm−1 = e.) Vˇ eta 1.8. Kaˇzdý prvek monoidu m´ a nejvýˇse jeden inverzn´ı prvek. D˚ ukaz. Necht’ f, g, m ∈ M a plat´ı f m = e a gm = e, pak f = ef = gmf = ge = g. Definice 1.9. Zav´ ad´ıme: 1. grupoid s kr´ acen´ım, pokud (∀x, y, z ∈ M )(zx = zy ⇒ x = y), 2. grupoid s dˇ elen´ım, pokud (∀x, y ∈ M )(∃u, v ∈ M )(ux = xv = y). Definice 1.10. Monoid, ve kterém ke kaˇzdému prvku existuje inverzn´ı prvek naz´ yváme grupa. ´ mka 1.11. Grupa {M, ·} tedy splˇ Pozna nuje vlastnosti:

4

1 Grupy 1. (∀a, b, c ∈ M )((ab)c = a(bc)), 2. (∃e ∈ M )(∀m ∈ M )(em = m), 3. (∀m ∈ M )(∃m−1 ∈ M )(mm−1 = e). ˇ´ıklad 1.12. Pˇr´ıkladem grupy m˚ Pr uˇze b´ yt: 1. mnoˇzina vˇsech matic rozmˇeru n × n s maticov´ ym násoben´ım, 2. mnoˇzina ˇc´ısel {0, 1, 2, . . . , p − 2, p − 1} se sˇc´ıtán´ım modulo (znaˇcená Zp ≡ Z/pZ), tedy a ⊕modulo b ≡ a + b mod p, pro nˇejaké prvoˇc´ıslo p, 3. mnoˇzina kvaternion˚ u s n´ asoben´ım. Definice 1.13. Komutativn´ı grupu naz´ yváme abelovsk´ a. Definice 1.14. Mˇejme mnoˇzinu se dvˇema vnitˇrn´ımi souˇciny {M, ⊕, }. 1. Pokud je M Abelovsk´ a grupa v˚ uˇci ⊕ a pologrupa s distributivn´ım zákonem v˚ uˇci (tedy a (b ⊕ c) = ab ⊕ ac), naz´ yváme ji okruh. 2. Pokud je M Abelovsk´ a grupa v˚ uˇci ⊕ a M \ {0} grupa v˚ uˇci , naz´ yváme M okruh s dˇ elen´ım. 3. Pokud je M Abelovsk´ a grupa v˚ uˇci ⊕ a M \ {0} Abelovská grupa v˚ uˇci , naz´ yváme M tˇ eleso. ´ mka 1.15. Znaˇcku 0 pouˇz´ıv´ Pozna ame pro jednotkov´ y prvek v˚ uˇci operaci znaˇcené ⊕ a znaˇcku 1 pro jednotkov´ y prvek v˚ uˇci operaci znaˇcené nebo ⊗. √ √ ˇ´ıklad 1.16. Dalˇs´ım pˇr´ıkladem grupy je mnoˇzina Q[ p] = {m+n p|m, n ∈ Q} s normáln´ım Pr násoben´ım, kde Q jsou racion´ aln´ı ˇc´ısla a p je prvoˇc´ıslo. (Odmocnina z prvoˇc´ısla je vˇzdy ira√ √ cionáln´ı.) Jedn´ a se o urˇcitou analogii komplexn´ıch ˇc´ısel: a · b = (a1 + a2 p)(b1 + b2 p) = √ √ a1 b1 + a2 b1 p + a1 b2 p + a2 b2 p. Definice 1.17. Mˇejme mnoˇzinu M , tˇeleso T, vnitˇrn´ı souˇcin + : M × M → M a vnˇejˇs´ı souˇcin ˇ rici {M, T, +, ×} naz´ × : T × M → M . Ctveˇ yváme vektorov´ y prostor, pokud je grupou v˚ uˇci + a plat´ı: 1. (∀α ∈ T)(∀x, y ∈ M )(α × (x + y) = α × x + α × y), 2. (∀α, β ∈ T)(∀x ∈ M )((α + β) × x = α × x + β × x), 3. (∀x ∈ M )(1 × x = x), 4. (∀x ∈ M )(0 × x = 0). Definice 1.18. Mˇejme {M, T, +, ×, } vektorov´ y prostor s dodateˇcn´ ym vnitˇrn´ım souˇcinem . Zavád´ıme pojmy: 1. pro M grupoid s distributivn´ım zákonem v˚ uˇci line´ arn´ı algebra nad T, 2. pro M pologrupu s distributivn´ım zákonem v˚ uˇci asociativn´ı algebra nad T, 3. pro M pologrupu s distributivn´ım a komutativn´ım zákonem v˚ uˇci komutativn´ı algebra nad T.

5

1 Grupy

1.2 Vlastnosti grup Jednou z moˇznost´ı je klasifikace grup podle poˇctu prvk˚ u na koneˇcné, diskrétn´ı nekoneˇcné (spoˇcetné), nespoˇcetné. Definice 1.19. Mˇejme grupu G = {M, ·} a topologii na M . G naz´ yváme topologickou grupou, pokud pro ∀x, y ∈ M jsou zobrazen´ı fy (x) = x · y a g(x) = x−1 spojitá. ˇ´ıklad 1.20. Mˇejme grupu G = {{e, a, b}, } ≡ Z3 = {{0, 1, 2}, +mod3 }. Jej´ı strukturu Pr m˚ uˇzeme zobrazit pomoc´ı tabulky. e a b

e e a b

a a b e

b b e a

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

Pokud zvol´ıme topologii τ = {∅, e, a, {e, a}, G}, nedostaneme topologickou grupu, protoˇze vzor otevˇrené mnoˇziny {a} pˇri zobrazen´ı g(x) = x−1 je mnoˇzina {b}, která nen´ı otevˇrená. Definice 1.21. Topologick´ y prostor {M, {νi }} naz´ yváme homogenn´ı, pokud (∀x, y ∈ M ) existuje homeomorfismus (spojit´ a bijekce se spojitou inverz´ı) takov´ y, ˇze f (x) = y. Vˇ eta 1.22. Kaˇzd´ a topologick´ a grupa je homogenn´ı topologický prostor. D˚ ukaz. Mˇejme x, y ∈ G a necht’ a = yx−1 . Urˇcitˇe plat´ı a ∈ G a ax = yx−1 x = y. Hledan´ y homeomorfismus tedy bude f (x) = ax (spojitost operac´ı v topologické grupˇe). ´ mka 1.23. Topologick´ Pozna a grupa má lokáln´ı vlastnosti Rn . Definice 1.24. Topologickou grupu G naz´ yváme n-parametrick´ a, pokud: 1. (∃ systém souˇradnic {ϕ} v G)(ϕ : G → Rn : x → (α1 , α2 , . . . , αn )), 2. ϕ m˚ uˇze b´ yt i pouze lok´ aln´ı, ale pro kaˇzdé dva souˇradné systémy ϕ, ψ mus´ı b´ yt ϕ ◦ ψ −1 spojité (tam, kde je definované), 3. souˇradnice bodu c = a · b jsou spojitou funkc´ı a a b. ˇ´ıklad 1.25. Grupa G = GL(n, R) je mnoˇzina vˇsech nesingulárn´ıch (det = Pr 6 0) reáln´ ych 2 matic rozmˇeru n × n. Zavedeme n souˇradnic tak, ˇze prvku x ∈ G, kde x = I + x ˜ (I je jednotková matice), pˇriˇrad´ıme prvky matice x ˜, tedy {xi,j }ni,j=1 . ´ mka 1.26. I u grupového n´ Pozna asoben´ı pouˇz´ıváme mocniny jako u násoben´ı ˇc´ısel, tedy pro n g ∈ G p´ıˇseme g m´ısto g · g · . . . · g (n-krát). ˇ ad prvku a v grupˇe G je ˇc´ıslo n, pro které plat´ı (an = e)∧((∀m < n)(am 6= Definice 1.27. R´ e)). (Tedy nejmenˇs´ı mocnina a, kter´ a dá jednotku.)

6

1 Grupy

Obr´ azek 1.1: Zobrazen´ı grupy D6 . ˇ ad grupy je poˇcet jej´ıch prvk˚ Definice 1.28. R´ u (znaˇc´ıme |G|). Definice 1.29. Gener´ atory grupy jsou prvky minimáln´ıho souboru (s minimáln´ım poˇctem prvk˚ u), ze kterého je moˇzné z´ıskat celou grupu pomoc´ı vzájemného násoben´ı. Poˇcet generátor˚ u naz´ yváme rank grupy (Rank(G)). ˇ´ıklad 1.30. Dihedr´ Pr aln´ı grupa D6 je grupa symetri´ı rovnostranného troj´ uheln´ıku, viz Obr. 1.1. E A B C D F

E E A B C D F

A A E F D C B

B B D E F A C

C C F D E B A

D D B C A F E

F F C A B E D

Pravidla pro n´ asoben´ı je moˇzné popsat vztahy A2 = E, D3 = E, DA = AD2 (= AD−1 ). Generátory jsou napˇr´ıklad {A, D}, a tedy Rank(D6 ) = 2. ˇ´ıklad 1.31. Dihedr´ Pr aln´ı grupa D2n pˇredstavuj´ıc´ı symetrie pravidelného n-´ uheln´ıku (n rotac´ı a n zrcadlen´ı). Gener´ atory grupy jsou r (rotace o nejmenˇs´ı u ´hel) a s (libovolné zrcadlen´ı). Násoben´ı je zavedeno pomoc´ı vztah˚ u rn = e, s2 = e, rs = sr−1 . ˇ´ıklad 1.32. Cyklick´ Pr a grupa Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} se sˇc´ıtán´ım modulo n. Grupa je generována napˇr´ıklad prvkem 1 (v této grupˇe ˇc´ıslo 1 nen´ı jednotkov´ y prvek, to je 0) (Rank(Zn ) = n−1 i 2π 1). Ekvivalentnˇe je moˇzno tuto grupu zavést jako mnoˇzinu {e n k }k=0 s násoben´ım. ˇ´ıklad 1.33. Symetrick´ Pr a grupa SΩ na mnoˇzinˇe Ω 6= ∅ je grupa permutac´ı prvk˚ u mnoˇziny Ω. Tedy SΩ pˇredstavuje vˇsechny bijekce na Ω a v pˇr´ıpadˇe Ω = n ˆ plat´ı |Sn | = n!. ˇ´ıklad 1.34. Grupa kvaternion˚ Pr u Q8 = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}.

7

1 Grupy

1.3 Homomorfismus a isomorfismus grup Definice 1.35. Grupy {G, ·} a {H, ×} jsou homomorfn´ı, kdyˇz (∃ϕ : G → H)(∀x, y ∈ G)(ϕ(x · y) = ϕ(x) × ϕ(y)). Zobrazen´ı ϕ se naz´ yvá homomorfismus, popˇr. • monomorfismus, je-li prosté, • epimorfismus, je-li na H, • isomorfismus, je-li bijekc´ı (prosté i na H), • endomorfismus, je-li G = H (tj. zobrazuje do sebe), • automorfismus, je-li G = H a epimorfn´ı (tj. zobrazuje na sebe), Dále definujeme j´ adro homomorfismu: Ker ϕ = {x ∈ G|ϕ(x) = eH }. ´ mka 1.36. Neplést homomorfismus (zobrazen´ı zachovávaj´ıc´ı algebraickou strukturu) a Pozna homeomorfismus (spojité zobrazen´ı se spojitou inverz´ı)! ˇ´ıklad 1.37. Grupy GL(n, R) (nesingulárn´ı reálné matice) a G = {R+ , ·} (kladná reáln´ Pr a ˇc´ısla s násoben´ım) jsou homomorfn´ı pomoc´ı zobrazen´ı ϕ(A) = det A. ˇ´ıklad 1.38. Grupa (R, +) je izomorfn´ı grupˇe (R+ , ·) pˇres zobrazen´ı ϕ(x) = ex , jelikoˇz plat´ı Pr ex · ey = ex+y . ˇ´ıklad 1.39. Pro libovolnou grupu G je zobrazen´ı ϕ : G → G definované pro ∀f ∈ G jako Pr ϕ(f ) = gf g −1 (pro g ∈ G pevné) automorfismus, tj. ϕ ∈ Aut H. ´ mka 1.40. Nutné podm´ınky pro to, aby ϕ : G → H mohlo b´ Pozna yt isomorfismus: 1. |G| = |H|, 2. G je abelovsk´ a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz H je abelovská, 3. (∀x ∈ H)(|ϕ(x)| = |x|).

8

2 Podgrupy Definice 2.1. Mnoˇzina H 6= ∅ je podgrupa grupy G (znaˇc´ıme H ≤ G), pokud je grupou v˚ uˇci násoben´ı v G. (Tedy obsahuje jednotku z G a je uzavˇrená v˚ uˇci násoben´ı prvk˚ uzH a jejich inverzi.) ˇ´ıklad 2.2. Mnoˇzina {E, A} je podgrupou v D6 (A2 = E, A−1 = A). Pr Vˇ eta 2.3. Mnoˇzina ∅ = 6 H ⊂ G je podgrupa ⇔ (∀x, y ∈ H)(xy −1 ∈ H). D˚ ukaz. Implikace ⇒ plyne pˇr´ımo z definice podgrupy. Dokáˇzeme opaˇcnou implikaci. Z definice je H nepr´ azdn´ a, a tedy m˚ uˇzeme vz´ıt g ∈ H. Pokud nyn´ı poloˇz´ıme x = g a y = g, máme gg −1 ∈ H, tedy H obsahuje jednotku. Dále tedy vol´ıme x = 1 a y = g a dostáváme 1g −1 ∈ H, tedy H obsahuje inverzi g. Nakonec pro libovolné prvky f, g ∈ G vol´ıme x = f a y = g −1 , dostáváme f (g −1 )−1 ∈ H, tedy H obsahuje souˇcin f g. ´ mka 2.4. Pro koneˇcnou podgrupu H ≤ G plat´ı (∀x ∈ H)(|x| ≤ ∞). Pozna

2.1 Centraliz´ atory a normaliz´ atory Definice 2.5. Bud’ ∅ = 6 A ⊂ G. Definujeme centraliz´ ator mnoˇziny A v G jako: CG (A) = −1 {g ∈ G|gag = a pro ∀a ∈ A}. ´ mka 2.6. Jelikoˇz (gag −1 = a) ⇔ (ga = ag), je centralizátor mnoˇziny A mnoˇzina vˇsech Pozna prvk˚ u z G, které komutuj´ı se vˇsemi prvky z A. Vˇ eta 2.7. Mnoˇzina CG (A) je podgrupa v G. D˚ ukaz. V´ıme, ˇze CG (A) je nepr´ azdn´ a, jelikoˇz 1 ∈ CG (A) (z definice komutuje se vˇs´ım). Dále mˇejme x ∈ CG (A). Pak pro ∀a ∈ A plat´ı: x−1 |

xax−1 = a

|x

a = x−1 ax, tedy x−1 ∈ CG (A). Pro dva prvky x, y ∈ CG (A) pak máme: (xy)a(xy)−1 = x(yay −1 )x−1 = xax−1 = a, a tedy centraliz´ ator je uzavˇren´ y i v˚ uˇci násoben´ı. Definice 2.8. Definujeme centrum grupy G jako: Z(G) = {g ∈ G|gf g −1 = f pro ∀f ∈ G}. ´ mka 2.9. Plat´ı, ˇze Z(G) = CG (G), tedy je to mnoˇzina prvk˚ Pozna u G, které komutuj´ı se vˇsemi ostatn´ımi. Jako speci´ aln´ı pˇr´ıpad pˇredchoz´ı vˇety plat´ı Z(G) ≤ G.

9

2 Podgrupy Definice 2.10. Pro A ⊂ G a g ∈ G zavád´ıme znaˇcen´ı: gA = {ga|a ∈ A}. Obdobnˇe pro Ag, a tedy konkrétnˇe gAg −1 = {gag −1 |a ∈ A}. Definice 2.11. Bud’ ∅ = 6 A ⊂ G. Definujeme normaliz´ ator A v G jako: NG (A) = {g ∈ G|gAg −1 = A}. ´ mka 2.12. Normaliz´ Pozna ator se od centralizátoru liˇs´ı t´ım, ˇze m˚ uˇze prvky A zpermutovat (mnoˇzina A se t´ım nezmˇen´ı). Grupové vlastnosti NG (A) se ukáˇz´ı podobnˇe jako u CG (A). Tvrzen´ı 2.13. Plat´ı, ˇze CG (A) ≤ NG (A) ≤ G.

2.2 Cyklick´ e grupy Definice 2.14. Grupu naz´ yv´ ame cyklick´ a, pokud je generována jen jedn´ım prvkem a a n 0 znaˇc´ıme H = hai = {a |n ∈ Z, a = e}. ´ mka 2.15. Cyklick´ Pozna a grupa je vˇzdy abelovská (komutativn´ı). ´ mka 2.16. Dvˇe cyklické grupy hxi a hξi stejného ˇrádu jsou isomorfn´ı (ϕ(xn ) = ξ n ). Pozna Vˇ eta 2.17. Pro grupu G = hxi plat´ı |G| = |x|. D˚ ukaz. 1. Pro |x| = ∞ jsou vˇsechny prvky cα r˚ uzné pro ∀α ∈ N, tedy jich je nekoneˇcnˇe mnoho. 2. Necht’ |x| = n. Plat´ı (∀α ∈ Z)(α = kn + m), pro nˇejaké n ∈ Z a (m ∈ Z+ )(m ≤ n). Potom sα = xkn xm = exm . M´ ame tedy právˇe n prvk˚ u v G. ´ mka 2.18. Nejvˇetˇs´ı spoleˇcn´ Pozna y dˇelitel ˇc´ısel n a m znaˇc´ıme gcd (n, m). Vˇ eta 2.19. Mˇejme grupu G = hxi. Potom plat´ı: 1. |G| = ∞ ⇒ |xα | = ∞ a nav´ıc (xα 6= xβ )(∀α, β ∈ Z \ {0}), 2. |G| = n ⇒ |xα | =

n gcd (n,α)

pro α ∈ Z \ {0}.

D˚ ukaz. 1) |G| = ∞ znamen´ a, ˇze |x| = ∞, tedy (∀a ∈ N)((xα )n = xnα 6= e). D˚ ukaz druhé ˇcásti provedeme sporem, tedy necht’ xα = xβ . Potom xα−β = x0 = 1 (tedy |x| = α − β), coˇz je spor. 2) V´ıme tedy, ˇze |x| = n. Oznaˇcme si d = gcd (n, α). Mus´ı existovat celé ˇc´ıslo c takové, ˇze α = cd. Jelikoˇz α i n jsou pevn´ a, pak i c je pevnˇe urˇceno. Nyn´ı budeme hledat nejmenˇs´ı a ∈ N α a αa takové, aby (x ) = x = e. Mus´ı tedy platit αa = bn pro nˇejaké b ∈ N, které si m˚ uˇzeme volit. To d´ ale uprav´ıme: αa = bn cda = bn bn a= . cd V´ıme, ˇze nd je celé ˇc´ıslo. Jelikoˇz a mus´ı b´ yt také celé ˇc´ıslo a nav´ıc chceme, nejmenˇs´ı moˇzné, zvol´ıme b = c. Nem˚ uˇzeme volit b < c, protoˇze aby pak bylo a celé, muselo by m´ıt c a n spoleˇcného dˇelitele, coˇz je spor s definic´ı c. T´ım dostáváme tvrzen´ı vˇety. (Doporuˇcuji si to vyzkouˇset na konkrétn´ıch ˇc´ıslech, tˇreba n = 4 a α = 6.)

10

2 Podgrupy

Obrázek 2.1: Uspoˇr´ ad´ an´ı na G = {e, a, b|a2 = e, b2 = e} podle relace b´ yt podgrupou“. ” ´ mka 2.20. Kaˇzd´ Pozna a podgrupa grupy hxi je cyklická. Definice 2.21. Podgrupa generovan´ a podmnoˇ zinou M ⊂ G je nejmenˇs´ı podgrupa G obsahuj´ıc´ı vˇsechny prvky M . Tedy \ hM i = Hi . Hi ≤G M ⊂Hi

´ mka 2.22. Snadno se uk´ Pozna aˇze, ˇze pr˚ unik dvou podgrup je opˇet podgrupa.

2.3 Svazy podgrup Nyn´ı zavedeme relaci uspoˇr´ ad´ an´ı, abychom mohli zavést svazy podgrup a kreslit tzv. Hasseho diagramy. Definice 2.23. Relaci na mnoˇzinˇe M naz´ yváme ˇ c´ asteˇ cn´ e uspoˇ r´ ad´ an´ı, pokud plat´ı: 1. reflexivita: (∀x ∈ M )(x x), 2. tranzitivita: (∀x, y, z ∈ M )(x y ∧ y z ⇒ x z), 3. slabá antisymetrie: (∀x, y ∈ M )(x y ∧ y x ⇒ x = y). ˇ´ıklad 2.24. Mˇejme libovolnou mnoˇzinu A a jej´ı potenˇcn´ı mnoˇzinu P(A) = 2A . Zavedeme Pr uspoˇrádán´ı (∀M, N ∈ 2A )(M N ⇔ M ⊂ N ). ˇ´ıklad 2.25. Grupa G = {e, a, b|a2 = e, b2 = e} má podgrupy {e}, hai, hbi a G. M˚ Pr uˇzeme zavést uspoˇr´ ad´ an´ı pomoc´ı relace ”b´ yt podgrupou”, tedy zp˚ usobem: G1 G2 ⇔ G1 ≤ G2 . Obr. 2.1. Definice 2.26. Bud’ {M, } mnoˇzina s ˇcásteˇcn´ ym uspoˇrádán´ım a A ⊂ M jej´ı podmnoˇzina. Prvek x ∈ M nazveme • horn´ı z´ avora mnoˇziny A, pokud (∀a ∈ A)(x a), • doln´ı z´ avora mnoˇziny A, pokud (∀a ∈ A)(a x), • supremum mnoˇziny A (x = sup A), je-li x nejmenˇs´ı prvek mnoˇziny horn´ıch závor A, • infimum mnoˇziny A (x = inf A), je-li x nejvˇetˇs´ı prvek mnoˇziny doln´ıch závor A. Definice 2.27. Bud’ {M, } mnoˇzina s ˇcásteˇcn´ ym uspoˇrádán´ım. Pak ∀x, y ∈ M definujeme operace

11

2 Podgrupy

Obr´ azek 2.2: Svaz podgrup grupy Z/12Z. Pˇrevzato z [1]. • spojen´ı x ∨ y = sup {x, y}. • pr˚ usek x ∧ y = inf {x, y}, ´ mka 2.28. Neplést spojen´ı a pr˚ Pozna usek (∨, ∧) s operacemi sjednocen´ı a pr˚ unik (∪, ∩). Definice 2.29. Bud’ {M, } mnoˇzina s ˇcásteˇcn´ ym uspoˇrádán´ım a operacemi ∧, ∨. Potom {M, ∧, ∨} naz´ yv´ ame svaz, pokud (∀x, y ∈ M )((x ∨ y ∈ M ) a zároveˇ n (x ∧ y ∈ M )). Definice 2.30. Svaz {M, ∧, ∨} naz´ yváme modul´ arn´ı, pokud (∀x, y, z ∈ M )((z x) ⇒ a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ c).

2.3.1 Hasseovy diagramy Konstrukce Hasseova diagramu podgrup koneˇcné grupy G: ´ mka 2.31. Najdeme vˇsechny podgrupy G a seˇrad´ıme je podle jejich ˇrádu. Grupu G Pozna um´ıst´ıme nejv´ yˇse a grupu 1 nejn´ıˇze. Zbytek podgrup rozm´ıst´ıme podle jejich ˇrádu a ˇcarami spoj´ıme vˇsechny grupy A a B, pro nˇeˇz A ≤ B a neexistuje podgrupa C, pro kterou C < B (vlastn´ı podgrupa) a z´ aroveˇ n A < C. (Tedy spojujeme jen nejbliˇzˇs´ı“ podgrupy.) ” ´ mka 2.32. Mezi kaˇzd´ Pozna ymi dvˇema podgrupami A ≤ B existuje spojnice, ale m˚ uˇze vést pˇres cel´ y ˇretˇezec podgrup a tˇechto spojnic m˚ uˇze b´ yt i v´ıce. Pˇr´ıklad je na Obr. 2.2.

12

3 Faktor grupy ´ mka 3.1. Studium faktor grup dané grupy G nám umoˇzn Pozna ˇuje zkoumat jej´ı strukturu a je ekvivalentn´ı zkoum´ an´ı homomorfism˚ u G. Definice 3.2. Mˇejme homomorfismus ϕ : G → H. Vl´ aknem homomorfismu ϕ pˇr´ısluˇsej´ıc´ım prvku x ∈ H naz´ yv´ ame mnoˇzinu {y ∈ G|ϕ(y) = x}, tedy mnoˇzina vˇsech prvk˚ u, které se zobraz´ı na x. (Obr. 3.1).

Obr´ azek 3.1: Zn´ azornˇen´ı vláken homomorfismu. Pˇrevzato z [1]. Tvrzen´ı 3.3. Pro homomorfismus ϕ : G → H plat´ı: 1. ϕ(eG ) = eH 2. ϕ(g −1 ) = ϕ(g)−1 3. ϕ(g n ) = ϕ(g)n 4. Ker ϕ ≤ G 5. ϕ(G) ≤ H Definice 3.4. Mˇejme homomorfismus ϕ : G → H s jádrem Ker ϕ = K. Potom faktor grupa G/K (G mod K) je grupa na vl´ aknech ϕ s operac´ı definovanou pomoc´ı reprezentant˚ u: pokud X je vlákno nad a a Y je vl´ akno nad b, pak prvek XY ∈ G/K je vlákno nad ab. ´ mka 3.5. To, ˇze faktor grupa má skuteˇcnˇe vlastnosti grupy, se lehce ovˇeˇr´ı z platnosti Pozna tˇechto vlastnost´ı v G.

13

3 Faktor grupy

3.1 Lev´ e a prav´ e tˇr´ıdy Vˇ eta 3.6. Mˇejme homomorfismus ϕ : G → H s j´ adrem Ker ϕ = K a necht’ Xa ∈ G/K je −1 vl´ akno nad a ∈ H, tedy Xa = ϕ (a). Potom plat´ı: 1. ∀u ∈ Xa je Xa = {uk|k ∈ K}, 2. ∀u ∈ Xa je Xa = {ku|k ∈ K}. D˚ ukaz. Dok´ aˇzeme pouze prvn´ı bod (druh´ y se dokazuje analogicky). Oznaˇcme uK = {uk|k ∈ K}, mˇejme u ∈ Xa (tedy ϕ(u) = a) a ukáˇzeme, ˇze uK ⊂ Xa : ϕ(uk) = ϕ(u)ϕ(k) = ϕ(u)e = a. (Vyuˇzili jsme nejprve toho, ˇze ϕ je homomorfismus a pak toho, ˇze k je z jádra.) Pro d˚ ukaz opaˇcné inkluze mˇejme libovolné g ∈ Xa a vezmˇeme k = u−1 g. Jelikoˇz ϕ(k) = ϕ(u−1 g) = ϕ(u−1 )ϕ(g) = a−1 a = e, k patˇr´ı do j´ adra. Dále zˇrejmˇe g = uk, tedy g ∈ uK. Definice 3.7. Pro libovolnou H ≤ G a libovolné g ∈ G naz´ yváme mnoˇziny gH = {gh|h ∈ H} respektive Hg = {hg|h ∈ H} lev´ e respektive prav´ e tˇ r´ıdy H v G. Libovoln´ y prvek tˇr´ıdy naz´ yváme jej´ım reprezentantem. Vˇ eta 3.8. Bud’te G grupa a K j´ adro nˇejakého homomorfismu ϕ z G do nˇejaké grupy. Potom mnoˇzina levých tˇr´ıd K v G s operac´ı definovanou jako aK ⊗ bK = (ab)K je grupa G/K. Tedy tato operace je dobˇre definovan´ a (nez´ avis´ı na výbˇeru reprezentanta). (Obr. 3.2) D˚ ukaz. Mˇejme X, Y ∈ G/K, X = ϕ−1 (a), Y = ϕ−1 (b) a Z = XY ∈ G/K. Podle definice operac´ı v G/K je Z = ϕ−1 (ab). Z vˇety (3.6) v´ıme, ˇze prvky G/K jsou levé tˇr´ıdy K. Je tˇreba ukázat, ˇze i operace, kterou zde definuje pomoc´ı reprezentant˚ u odpov´ıdá p˚ uvodn´ı definici násoben´ı v G/K bez ohledu na v´ ybˇer reprezentanta. Mˇejme u ∈ X a v ∈ Y , tedy ϕ(u) = a, ϕ(v) = b a X = uK a Y = vK. Urˇc´ıme, zda uv ∈ Z. ϕ(uv) = ϕ(u)ϕ(v) = ab Odtud tedy plyne, ˇze uv ∈ Z, a tedy Z = uvK. Vˇ eta 3.9. Necht’ N ≤ G, potom mnoˇzina levých tˇr´ıd N v G tvoˇr´ı rozklad G (jejich sjednocen´ım je G a jednotlivé tˇr´ıdy maj´ı pr´ azdný pr˚ unik). D´ ale ∀u, v ∈ G plat´ı uN = vN pr´ avˇe tehdy, kdyˇz u−1 v ∈ N , tedy kdyˇz u a v jsou reprezentanty stejné tˇr´ıdy. D˚ ukaz. Nejprve uk´ aˇzeme, ˇze sjednocen´ım lev´ ych tˇr´ıd je celé G. Jelikoˇz N je grupa, pak e ∈ N , a tedy plat´ı: [ [ gN ⊂ ge = G. g∈G

g∈G

Pro d˚ ukaz druhé ˇc´ asti vezmeme uN ∩ vN 6= ∅ a ukáˇzeme, ˇze potom plat´ı uN = vN . Vezmˇeme x ∈ uN ∩ vN , tedy x m˚ uˇzeme napsat jako x = un1 = vn2 pro nˇejaká n1 , n2 ∈ N . Rovnost −1 vynásob´ıme zprava n−1 ejaké n3 ∈ N . Tedy vid´ıme, 1 a dostaneme u = vn2 n1 = vn3 pro nˇ ˇze u ∈ vN . D´ ale pro libovolné t ∈ uN plat´ı t = un4 = (vn3 )n4 = vn5 , takˇze t ∈ vN pro ∀t ∈ uN , tedy uN ⊂ vN . Opaˇcnou inkluzi dostaneme zámˇenou role u a v. Jelikoˇz v´ıme, ˇze u = vn3 , pak plat´ı v −1 u = n3 , tedy v −1 u ∈ N a to plat´ı pro libovolné reprezentanty tˇr´ıd.

14

3 Faktor grupy

Obrázek 3.2: Zn´ azornˇen´ı n´ asoben´ı v G/K pomoc´ı reprezentant˚ u lev´ ych tˇr´ıd. Pˇrevzato z [1]. Vˇ eta 3.10. Bud’ G grupa a N ≤ G. Potom: 1. Operace na levých tˇr´ıd´ ach definovan´ a jako uN vN = (uv)N je dobˇre definovan´ a pr´ avˇe −1 tehdy, kdyˇz (gng ∈ N )(∀g ∈ G a ∀n ∈ N ). 2. Je-li výˇse uveden´ a operace dobˇre definovan´ a, pak je mnoˇzina levých tˇr´ıd N grupou s jednotkou eN a inverzn´ım prvkem (gN )−1 = g −1 N . D˚ ukaz.

1. ⇒) Necht’ je operace na lev´ ych tˇr´ıdách dobˇre definovaná, tedy (∀u, v ∈ G)(u, u1 ∈ uN a v, v1 ∈ vN ⇒ uvN = u1 v1 N ).

(3.1)

Necht’ g ∈ G a n ∈ N libovolné. Poloˇz´ıme u = e, u1 = n a v = v1 = g −1 a z pˇredpokladu dostaneme g −1 N = ng −1 N

(3.2)

Protoˇze e ∈ N , ng −1 ∈ g −1 N . Tedy ng −1 = g −1 n1 , pro nˇejaké n1 ∈ N . Vynásoben´ım g zleva dost´ av´ ame poˇzadovanou rovnost gng −1 = n1 ∈ N . ⇐) Pˇredpokl´ ad´ ame (gng −1 ∈ N )(∀g ∈ G a ∀n ∈ N ) a vezmeme u, u1 ∈ uN a v, v1 ∈ vN . Pak m˚ uˇzeme ps´ at u1 = un a v1 = vm pro nˇejaké n, m ∈ N . Mus´ıme ukázat, ˇze u1 v1 ∈ uvN : u1 v1 = (un)(vm) = u(vv −1 )nvm = (uv)(v −1 nv)m = (uv)(n1 ) = uvn2 ∈ uvN, (3.3) kde n1 = v −1 nv = (v −1 )n(v −1 )−1 ∈ N z pˇredpokladu a n2 = n1 m ∈ N z definice. Protoˇze u1 v1 ∈ uvN ∩ u1 v1 N , plyne z pˇredchoz´ı vˇety rovnost uvN = u1 v1 N . 2. Je-li operace na lev´ ych tˇr´ıd´ ach dobˇre definovaná, axiomy grupy se pˇrenáˇsej´ı z G. Asociativita: (uN )(vN wN ) = uN (vwN ) = u(vw)N = (uv)wN = (uN vN )(wN ),

15

∀u, v, w ∈ G (3.4)

3 Faktor grupy Z definice n´ asoben´ı je vidˇet ˇze jednotka v G/N je N a g −1 N je inverze gN .

3.2 Norm´ aln´ı podgrupy Definice 3.11. Prvek m = gng −1 se naz´ yvá konjugovan´ y k n prvkem g. Definice 3.12. Bud’ A ⊂ G libovolná podmnoˇzina grupy. Mnoˇzina M = gAg −1 se naz´ yv´ a konjugovan´ a k A prvkem g. Definice 3.13. Pokud pro N ≤ G plat´ı NG (N ) = G (normalizátor N v G), pak N naz´ yváme norm´ aln´ı podgrupa. Znaˇc´ıme N E G ´ mka 3.14. Pro ovˇeˇren´ı, zda podgrupa N ≤ G je normáln´ı, staˇc´ı ovˇeˇrit, ˇze komutuje s Pozna generátory mnoˇziny G \ N (mnoˇzinov´ y rozd´ıl), pokud tyto generátory známe. Vˇ eta 3.15. Necht’ N ≤ G, potom n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı: 1. N E G 2. NG (N ) = G 3. gN = N g 4. Operace na tˇr´ıd´ ach je dobˇre definovan´ a. 5. gN g −1 ⊂ N D˚ ukaz. Pˇreps´ an´ı definic. Vˇ eta 3.16. Necht’ N ≤ G, potom N E G pr´ avˇe tehdy kdyˇz ∃ homomorfismus ϕ takový, ˇze N = Ker ϕ. D˚ ukaz. ⇐) Podle vˇety (3.6) v´ıme, ˇze levé a pravé tˇr´ıdy jsou stejné (gN = N g), coˇz je podle vˇety (3.15) ekvivalentn´ı norm´ alnosti grupy. ⇒) Nyn´ı m´ ame N E G a oznaˇc´ıme H = G/N (podle vˇety (3.10) je operace na lev´ ych tˇr´ıdách pro norm´ aln´ı grupu dobˇre definovaná). Definujeme zobrazen´ı π : G → G/N jako π(g) = gN pro ∀g ∈ G. Z definice operac´ı v G/N plat´ı pro ∀f, g ∈ G: π(f g) = (f g)N = f N gN = π(f )π(g), tedy π je homomorfismus. Jeho jádro je: Ker(π) = {g ∈ G|π(g) = eN } = {g ∈ G|gN = eN } = {g ∈ G|g ∈ N } = N . ´ mka 3.17. Nyn´ı m˚ Pozna uˇzeme faktorizovat podle normáln´ı podgrupy G/N , aniˇz bychom mˇeli homomorfismus. Definice 3.18. Bud’ N E G, pak zobrazen´ı π : G → G/N : π(g) = gN naz´ yváme pˇ rirozen´ a projekce G na G/N .

16

3 Faktor grupy

3.3 Index grupy, Lagrangeova vˇ eta Vˇ eta 3.19 (Lagrange). Necht’ G je koneˇcn´ a, H ≤ G, potom |H| dˇel´ı |G|. Nav´ıc poˇcet levých |G| tˇr´ıd H v G je roven |H| . D˚ ukaz. Nejprve uk´ aˇzeme, ˇze vˇsechny levé tˇr´ıdy maj´ı stejnˇe prvk˚ u. Oznaˇcme |H| = n a k poˇcet lev´ ych tˇr´ıd a pro ∀g ∈ G definujme zobrazen´ı z H do gH pˇriˇrazuj´ıc´ı h → gh. Podle definice lev´ ych tˇr´ıd je toto zobrazen´ı surjektivn´ı a jelikoˇz gh1 = gh2 právˇe, kdyˇz h1 = h2 , je i injektivn´ı. Odtud plyne |gH| = |H|. Jelikoˇz je tedy G rozdˇeleno na k lev´ ych tˇr´ıd o n prvc´ıch, plat´ı |G| = kn, a tedy k = |G| n . ´ mka 3.20. Komutativn´ı grupa prvoˇc´ıselného ˇrádu nem˚ Pozna uˇze m´ıt netriviáln´ı normáln´ı podgrupu. Definice 3.21. Bud’ G grupa (i nekoneˇcného ˇrádu) a H ≤ G. Potom poˇcet lev´ ych tˇr´ıd H v G naz´ yváme index H v G a znaˇc´ıme |G : H|. ´ mka 3.22. Pro koneˇcné grupy tedy plat´ı |G : H| = Pozna

|G| |H| .

D˚ usledek 3.23. Pro koneˇcnou grupu G a x ∈ G plat´ı |x| dˇel´ı |G|. D˚ usledek 3.24. Grupa prvoˇc´ıselného ˇr´ adu je cyklick´ a. Definice 3.25. Grupu G, jej´ıˇz jediné normáln´ı podgrupy jsou triviáln´ı (e a G), naz´ yváme prost´ a. ´ mka 3.26. Opaˇcné tvrzen´ı k Lagrangeovˇe vˇetˇe neplat´ı. Tedy koneˇcná grupa G, jej´ıˇz Pozna ˇrád má dˇelitele n, nemus´ı m´ıt podgrupu ˇrádu n. (Plat´ı to pro koneˇcné abelovské grupy.)

3.4 Souˇ cinov´ a podgrupa Definice 3.27. Zav´ ad´ıme souˇcin“ podgrup K, H ≤ G jako: KH = {kh|k ∈ K, h ∈ H}. ” ’ Vˇ eta 3.28. Necht H a K jsou podgrupy nˇejaké grupy, pak |HK| =

|H||K| . |H ∩ K|

D˚ ukaz. HK m˚ uˇzeme napsat jako sjednocen´ı lev´ ych tˇr´ıd K, [ HK = hK.

(3.5)

(3.6)

h∈H

Protoˇze vˇsechny levé tˇr´ıdy maj´ı stejn´ y poˇcet prvk˚ u |K|, staˇc´ı zjistit poˇcet r˚ uzn´ ych lev´ ych tˇr´ıd −1 tvaru hK, h ∈ H. Ale h1 K = h2 K pro h1 , h2 ∈ H, právˇe kdyˇz h2 h1 ∈ K. Tedy h1 K = h2 K ⇔ h−1 2 h1 ∈ H ∩ K ⇔ h1 (H ∩ K) = h2 (H ∩ K).

(3.7)

To znamen´ a, ˇze poˇcet r˚ uzn´ ych lev´ ych tˇr´ıd tvaru hK, h ∈ H je stejn´ y jako poˇcet lev´ ych tˇr´ıd |H| |H| . Tedy HK obsahuje |H∩K| tvaru h(H ∩ K), h ∈ H. A to je, z Lagrangeovy vˇety, rovno |H∩K| r˚ uzn´ ych lev´ ych tˇr´ıd K, kde kaˇzd´ a m´ a |K| prvk˚ u, ˇc´ımˇz dostáváme tvrzen´ı vˇety.

17

3 Faktor grupy Vˇ eta 3.29. Necht’ H, K ≤ G, pak HK ≤ G pr´ avˇe tehdy, kdyˇz HK = KH. D˚ ukaz. ⇐) Necht’ HK = KH a a, b ∈ HK. Ukáˇzeme, ˇze ab−1 ∈ HK, takˇze HK je podgrupa. M˚ uˇzeme ps´ at a = h1 k1 a b = h2 k2 pro nˇejaké h1 , h2 ∈ H a k1 , k2 ∈ K. Tedy −1 ab−1 = h1 k1 k2−1 h−1 2 = h1 k3 h2

(3.8)

kde k3 = k1 k2−1 ∈ K. Uˇzit´ım pˇredpokladu m˚ uˇzeme napsat k3 h−1 aváme 2 = h4 k4 a dost´ ab−1 = (h1 h4 )k4 ∈ HK.

(3.9)

⇒) Kdyˇz HK ≤ G, pak protoˇze K ≤ HK a H ≤ HK, plat´ı KH ⊂ HK. Pro d˚ ukaz opaˇcné inkluze vezmeme hk ∈ HK. Protoˇze HK je podgrupa, m˚ uˇzeme psát hk = a1 pro nˇejaké a ∈ HK. Ale taky a = h1 k1 pro nˇejaké h1 ∈ H, k1 ∈ K. Dostáváme tedy hk = (h1 k1 )−1 = k1−1 h−1 1 ∈ KH.

(3.10)

D˚ usledek 3.30. Necht’ H, K ≤ G a H ≤ NG (K), pak HK ≤ G. Speci´ alnˇe pokud K E G, pak HK ≤ G pro libovolnou H ≤ G. D˚ ukaz. Uk´ aˇzeme ˇze HK = KH. Necht’ h ∈ H, k ∈ K. Z pˇredpokladu máme hkh−1 ∈ K, tud´ıˇz hk = (hkh−1 )h ∈ KH.

(3.11)

Ukázali jsme tedy, ˇze HK ⊂ KH. Opaˇcná inkluze se ukáˇze analogicky a z pˇredchoz´ı vˇety uˇz plyne, co jsme chtˇeli dok´ azat.

3.5 Vˇ ety o isomorfismech Vˇ eta 3.31 (1. VOI). Pokud ϕ : G → H je homomorfismus, pak Ker ϕ E G a G/ Ker ϕ ∼ = ϕ(G). D˚ ukaz. Cviˇcen´ı. D˚ usledek 3.32. Bud’ ϕ : G → H homomorfismus. Potom plat´ı: 1. ϕ je monomorfn´ı, pr´ avˇe kdyˇz Ker ϕ = e, 2. |G : Ker ϕ| = |ϕ(G)|. Vˇ eta 3.33 (2. VOI, diamantov´ a“). Bud’ G grupa a A ≤ G, B ≤ G a A ≤ NG (B). Potom ” AB ≤ G, B E AB, A ∩ B E A a AB/B ∼ = A/A ∩ B. D˚ ukaz. Z pˇredchoz´ıho d˚ usledku plyne, ˇze AB ≤ G. Protoˇze A ≤ NG (B) z pˇredpokladu a B ≤ NG (b) trivi´ alnˇe, je taky AB ≤ NG (B), tedy B E AB a faktorgrupa AB/B je dobˇre definována. Definujeme proto homomorfismus ϕ : A → AB/B pˇredpisem ϕ(a) = aB: ϕ(a1 a2 ) = (a1 a2 )B = a1 Ba2 B = ϕ(a1 )ϕ(a2 ).

(3.12)

Z definice je vidˇet, ˇze ϕ je surjektivn´ı. Jednotkov´ y prvek v AB/B je B, tedy Ker ϕ = {a ∈ A, aB = B} = A ∩ B. Z 1. VOI uˇz plyne, ˇze A ∩ B E A a A/A ∩ B ∼ = AB/B.

18

3 Faktor grupy Vˇ eta 3.34 (3. VOI). Bud’ G grupa a H E G, K E G a H ≤ K. Potom K/H E G/H a (G/H)/(K/H) ∼ = G/K. Oznaˇc´ıme-li faktor grupu podle H pruhem, tvrzen´ı lze pˇrepsat ve ¯ K ¯ ∼ tvaru G/ = G/K. D˚ ukaz. Definujeme homomorfismus ϕ : G/H → G/K pˇredpisem ϕ(gH) = gK. Abychom ukázali ˇze ϕ je dobˇre definované, vezmeme g1 H = g2 H. Potom g1 = g2 h pro nˇejaké h ∈ H. Protoˇze H ≤ K, je taky h ∈ K, proto g1 K = g2 K. Tud´ıˇz ϕ(g1 H) = ϕ(g2 H) a ϕ je dobˇre definované. Protoˇze g m˚ uˇze b´ yt libovolné, je ϕ taky surjektivn´ı. Dále Ker ϕ = {gH ∈ G/H|ϕ(gH) = K} = {gH ∈ G/H|gK = K} = {gH ∈ G/H|g ∈ K} = K/H, (3.13) z 1. VOI uˇz plyne (G/H)(K/H) ∼ = G/K. ´ mka 3.35. N´ Pozna asleduj´ı vˇeta hovoˇr´ı o vztahu struktury podgrup p˚ uvodn´ı grupy G a faktorgrupy G/N . Vlastnˇe ˇr´ık´ a, ˇze struktura podgrup faktorgrupy je stejná jako struktura podgrup G, které obsahuj´ı N . Vˇ eta 3.36 (4. VOI, mˇr´ıˇzkov´ a“). Bud’ G grupa a N E G. Potom existuje bijekce z mnoˇziny ” podgrup G obsahuj´ıc´ıch N na mnoˇzinu podgrup G/N , kter´ a kaˇzdé podgrupˇe A z prvn´ı mnoˇziny pˇriˇrazuje podgrupu A/N ze druhé. D˚ ukaz. Str. 99/113.

3.6 Kompoziˇ cn´ı ˇrady Vˇ eta 3.37. Je-li G koneˇcn´ a Abelovsk´ a grupa a p prvoˇc´ıslo, které dˇel´ı |G|, pak G obsahuje prvek ˇr´ adu p. D˚ ukaz. D˚ ukaz se prov´ ad´ı pomoc´ı takzvané u ´plné indukce podle ˇrádu G. Tedy se pˇredpoklád´ a, ˇze tvrzen´ı plat´ı pro vˇsechny grupy ˇra´du ostˇre menˇs´ıho neˇz |G| a ukáˇze se platnost pro |G|. Pro |G| = 1 je tvrzen´ı trivi´ aln´ı. Mˇejme |G| > 1, tedy existuje x ∈ G, x 6= e. Pokud |G| = p je v d˚ usledku Lagrangeovy vˇety (3.19) G cyklick´ a a tedy generovan´ a nˇejak´ ym prvkem ˇrádu |G|. Dále tedy pˇredpokládejme |G| > p. Pokud bychom vzali prvek, jehoˇz ˇrád je dˇeliteln´ y ˇc´ıslem p (tedy |x| = pn), pak staˇc´ı vz´ıt n n prvek x , kter´ y je ˇr´ adu |x | = p. D´ ale tedy uvaˇzujeme p - |x|. |G| Bud’ N = hxi. Jelikoˇz G je abelovská, pak N E G a z Lagrangeovy vˇety máme |G/N | = |N |, respektive |G/N ||N | = |G|. Protoˇze |N | > 1, mus´ı platit |G/N | < |G|. Dále jelikoˇz p | |G|, ale p - |N |, mus´ı platit p | |G/N |. Z indukˇcn´ıho pˇredpokladu pak G/N obsahuje prvek y¯ = yN ˇrádu p. Jelikoˇz y ∈ / N , ale y p ∈ N , mus´ı b´ yt hy p i = 6 hyi, a tedy |y p | < |y|. Podle vˇety (2.19) tedy plat´ı p | |y| a dost´ av´ ame se k pˇredchoz´ımu pˇr´ıpadu. Definice 3.38. Grupa G (koneˇcn´ a i nekoneˇcná) se naz´ yvá jednoduch´ a, pokud |G| > 1 a jej´ımi jedin´ ymi norm´ aln´ımi podgrupami jsou e a G. Definice 3.39. V grupˇe G ˇradu podgrup e = N0 ≤ N1 ≤ . . . ≤ Nk−1 ≤ Nk = G naz´ yváme kompoziˇ cn´ı ˇ rada, pokud (∀i, 0 ≤ i ≤ k − 1)(Ni E Ni+1 ) a Ni+1 /Ni je jednoduchá. Faktor grupy Ni+1 /Ni se pak naz´ yvaj´ı kompoziˇ cn´ı faktory G.

19

3 Faktor grupy Vˇ eta 3.40 (Jordan-H¨ older). Bud’ G 6= e koneˇcn´ a grupa. Pak: 1. G m´ a kompoziˇcn´ı ˇradu, 2. kompoziˇcn´ı faktory této ˇrady jsou d´ any jednoznaˇcnˇe. Konkrétnˇe pokud e = N0 ≤ N1 ≤ . . . ≤ Nr = G a e = M0 ≤ M1 ≤ . . . ≤ Ms = G jsou dvˇe kompoziˇcn´ı ˇrady G, pak r = s a existuje permutace π r-tice (1, 2, . . . , r) takov´ a, ˇze Mπ(i) /Mπ(i)−1 ∼ = Ni /Ni−1

1 ≤ i ≤ r.

(3.14)

D˚ ukaz. 117 Vˇ eta 3.41. Existuje 18 (nekoneˇcných) rodin jednoduchých grup a 26 jednoduchých grup, které nepatˇr´ı do ˇz´ adné z tˇechto skupin (sporadické jednoduché grupy) takových, ˇze kaˇzd´ a koneˇcn´ a jednoduch´ a grupa je isomorfn´ı s nˇekterou z výˇse uvedených. D˚ ukaz. V´ ysledek cca 100 let pr´ ace mnoha matematik˚ u na 5000-10000 stránkách odborn´ ych ˇcasopis˚ u. Ponech´ ano ˇcten´ aˇri jako snadné cviˇcen´ı. Vˇ eta 3.42. Je-li G jednoduch´ a grupa prvoˇc´ıselného ˇr´ adu, pak G ∼ = Zp pro nˇejaké prvoˇc´ıslo p. D˚ ukaz. 255 stran...

20

4 Akce grupy na mnoˇ zinˇ e Definice 4.1. Akc´ı grupy G na mnoˇ zinˇ e A nazveme zobrazen´ı · : G × A → A (znaˇc´ıme g · a), které splˇ nuje: 1. (∀g1 , g2 ∈ G)(∀a ∈ A)(g1 · (g2 · a) = (g1 g2 ) · a), 2. (∀a ∈ A)(e · a = a). Vˇ eta 4.2. Bud’ · akce grupy G na mnoˇzinˇe A. Zaved’me pro pevnˇe zvolené g ∈ G zobrazen´ı σg : A → A vztahem (σg (a) = g · a)(∀a ∈ A). Potom plat´ı: 1. (∀g ∈ G) je zobrazen´ı σg permutac´ı mnoˇziny A, 2. zobrazen´ı ϕ : G → SA (permutace mnoˇziny A) definované ϕ(g) = σg je homomorfismus. D˚ ukaz. 1) Dok´ aˇzeme, ˇze σg m´ a oboustrannou inverzi, a to konkrétnˇe (σg )−1 = σg− 1 . Z vlastnost´ı akce plat´ı: (σg− 1 ◦ σg )(a) = g −1 · (g · a) = (g −1 g) · a = e · a = a. Zámˇenou g za g −1 dostaneme, ˇze také (σg ◦ σg− 1 )(a) = a. 2) Z bodu 1) v´ıme, ˇze skuteˇcnˇe σg ∈ SA . Nyn´ı jen ukáˇzeme, ˇze ∀a ∈ A a ∀f, g ∈ G plat´ı (ϕ(f ) ◦ ϕ(g))(a) = σf (σg (a)) = f · (g · a) = (f g) · a = σf g (a) = ϕ(f g)(a). Tvrzen´ı 4.3. Pro kaˇzdou grupu G a nepr´ azdnou mnoˇzinu A existuje bijekce mezi akcemi G na mnoˇzinˇe A a homomorfismy G do symetrické grupy SA .

4.1 Stabiliz´ atory a orbity Definice 4.4. Mˇejme grupu G a jej´ı akci · : G × S → S na mnoˇzinu S a necht’ s ∈ S je pevnˇe zvolen´ y prvek. Potom stabiliz´ ator s v G je: Gs = {g ∈ G|g · s = s}. Orbita s v G je Os = {g · s|g ∈ G}, obˇcas znaˇceno téˇz G · s. Vˇ eta 4.5. Plat´ı Gs ≤ G. D˚ ukaz. V´ıme, ˇze e ∈ Gs z axiomu akce (e · s = s). S vyuˇzit´ım akce pak máme pro libovolné y ∈ Gs : s = e · s = (y −1 y) · s = [axiom akce] = y −1 · (y · s) = y −1 · s, tedy y −1 ∈ Gs . Koneˇcnˇe pro x, y ∈ Gs plat´ı: (xy) · c = x · (y · s) = x · s = s, tedy i souˇcin xy patˇr´ı do Gs . Definice 4.6. Definujeme j´ adro akce jako: Ker(·) = {g ∈ G|g · s = s pro ∀s ∈ S}. Tvrzen´ı 4.7. Plat´ı, ˇze Ker(·) ≤ G, nav´ıc je pr˚ unikem vˇsech stabiliz´ ator˚ u, tedy \ Ker(·) = Ga .

(4.1)

a∈A

ˇ Definice 4.8. Rekneme, ˇze akce je vˇ ern´ a, pokud Ker(·) = e, respektive tranzitivn´ı, existujeli právˇe jedna orbita.

21

4 Akce grupy na mnoˇzinˇe Vˇ eta 4.9. Bud’ H ≤ G, akce G p˚ usob´ı na levých tˇr´ıd´ ach gi H i = A a πH permutaˇcn´ı reprezentace. Potom 1. G p˚ usob´ı tranzitivnˇe na A, 2. stabiliz´ ator eH v A je roven H, 3. j´ adro akce je nejvˇetˇs´ı norm´ aln´ı podgrupa H, tj. \ Ker(πH ) = xHx−1 . x∈G

D˚ ukaz. Ker(πH ) = {g ∈ G | gxH = xH, ∀x ∈ G} = {g ∈ G | x−1 gxH = H}, kde x−1 gx ∈ H, tj. g ∈ xHx−1 . Vˇ eta 4.10 (Cayley). Kaˇzd´ a grupa je isomorfn´ı nˇejaké podgrupˇe grupy permutac´ı. D˚ ukaz. Bez d˚ ukazu. D˚ usledek 4.11. Bud’ p nejmenˇs´ı prvodˇelitel |G| a podgrupa H ≤ G takov´ a, ˇze |G : H| = p. Potom H E G. D˚ ukaz. Je tˇreba doplnit. ´ mka 4.12. Bud’te G grupa a S = P(G). Pak G p˚ Pozna usob´ı na S konjugac´ı, tedy pˇriˇrazuje −1 B 7→ gBg pro ∀B ∈ S a g ∈ G. ´ mka 4.13. Normaliz´ Pozna ator NG (A) je tedy stabilizátor konjugace A v G.

4.2 Rovnice tˇr´ıd Vˇ eta 4.14. Necht’ G je grupa, A nepr´ azdn´ a mnoˇzina. Pak plat´ı: 1. Relace na A definovan´ a pˇres akci G jako a ∼ b ⇔ a = g · b pro g ∈ G je ekvivalence. 2. ∀a ∈ A je poˇcet prvk˚ u ve tˇr´ıdˇe ekvivalence obsahuj´ıc´ı a roven |G : Ga | (indexu stabiliz´ atoru a). D˚ ukaz. 1. Reflexivita je jasn´ a, pro ovˇeˇren´ı symetrie necht’ a ∼ b. Pak a = g · b, takˇze g −1 · a = g −1 · g · b = b, tedy b ∼ a. Nakonec pro d˚ ukaz tranzitivity mˇejme a ∼ b a b ∼ c, tedy a = g · b a b = h · c pro nˇejaké g, h ∈ G. Dostáváme a = g · b = g · (h · c) = (gh) · c, proto a ∼ c. 2. Sestroj´ıme bijekci mezi lev´ ymi tˇr´ıdami Ga v G a tˇr´ıdami ekvivalence a (orbitami a). Necht’ tedy Oa = {g · a|g ∈ G}. Pak zobrazen´ı g · a 7→ gGa zobrazuje Oa do mnoˇziny lev´ ych tˇr´ıd Ga v G a je oˇcividnˇe surjektivn´ı. Protoˇze g · a = h · a ⇔ h−1 g ∈ Ga ⇔ gGa = hGa je taky prosté. ´ mka 4.15. Konjugace splˇ Pozna nuje axiomy akce a plat´ı Gs = CG (s) = NG (s) pro akci G na S, s ∈ S.

22

4 Akce grupy na mnoˇzinˇe ´ mka 4.16. D´ Pozna ale budeme pod pojmem orbita rozumˇet pˇr´ısluˇsnou tˇr´ıdu ekvivalence konjugace. Vˇ eta 4.17 (rovnice tˇr´ıd). Necht’ G je koneˇcn´ a grupa a g1 , g2 , . . . gr reprezentanti r˚ uzných orbit neobsaˇzených v Z(G). Pak |G| = |Z(G)| +

r X

|G : CG (gi )|.

i=1

D˚ ukaz. Orbita x obsahuje jenom jeden prvek právˇe tehdy, kdyˇz x ∈ Z(G), protoˇze gxg −1 = x pro ∀g ∈ G. Necht’ Z(G) = {e, z2 , . . . , zm } a {O1 , O2 , . . . , Or } bud’ orbity neobsaˇzené v centru a gi reprezentant Oi pro ∀i. Potom vˇsechny orbity (tˇr´ıdy ekvivalence) jsou: {e}, {z2 }, . . . , {zm }, O1 , O2 , . . . , Or . Protoˇze tˇr´ıdy ekvivalence tvoˇr´ı disjunktn´ı rozklad G, máme d´ıky pˇredchoz´ı vˇetˇe |G| =

m X i=1

1+

r X

|Oi | = |Z(G)| +

i=1

r X i=1

23

|G : CG (gi )|.

5 Sylowova vˇ eta Definice 5.1. Bud’te G grupa a p prvoˇc´ıslo. 1. Grupu ˇr´ adu pα pro nˇejaké α ≥ 1 se naz´ yvá p-grupa. Podgrupy G ˇrádu pα naz´ yváme p-podgrupy G. 2. Je-li G ˇr´ adu pα m a p - m, pak podgrupu ˇrádu pα naz´ yváme Sylowova p-podgrupa G. 3. Mnoˇzinu vˇsech Sylowov´ ych p-podgrup znaˇc´ıme Sylp (G) a poˇcet tˇechto podgrup np (G) (nebo jen np , je-li grupa jasn´ a z kontextu). Lemma 5.2. Necht’ P ∈ Sylp (G) a Q libovoln´ a p-podgrupa G, pak NG (P ) ∩ Q = P ∩ Q. D˚ ukaz. Necht’ H = NG (P ) ∩ Q. Protoˇze P ≤ NG (P ), je jasné ˇze P ∩ Q ≤ H, mus´ıme tedy ukázat opaˇcnou inkluzi. Z definice je H ≤ Q, staˇc´ı proto ukázat, ˇze H ≤ P . Protoˇze H ≤ NG (P ), je P H podgrupa a plat´ı |P H| =

|P ||H| . |P ∩ H|

Vˇsechny ˇcleny na pravé stranˇe jsou mocniny p, proto P H je p-podgrupa a protoˇze P ≤ P H je p-podgrupa maxim´ aln´ıho ˇr´ adu, mus´ı platit |P H| = |P | = pα , tedy P H = P a H ≤ P . Vˇ eta 5.3 (Sylow). Bud’ G grupa ˇra ´du pα m, kde p je prvoˇc´ıslo a p - m. Pak: 1. Existuje Sylowova p-podgrupa, tedy Sylp (G) 6= ∅. 2. Je-li P Sylowova p-podgrupa G a Q libovoln´ a p-podgrupa G, pak existuje g ∈ G takové, ˇze Q ≤ gP g −1 , tedy Q je obsaˇzena v nˇejakém sdruˇzen´ı P . Speci´ alnˇe kaˇzdé dvˇe Sylowovy p-podgrupy G jsou vz´ ajemnˇe sdruˇzené v G. 3. Poˇcet Sylowových p-podgrup je tvaru 1 + kp, tedy np ≡ 1 mod p. D´ ale np je index grupy NG (P ) v G pro kaˇzdou Sylowovu p-podgrupu P , a tedy np |m. D˚ ukaz. 1. D˚ ukaz provedeme u ´plnou indukc´ı na |G|, pˇriˇcemˇz pro |G| = 1 nen´ı co dokazovat. ’ Necht tedy existuje Sylowova p-podgrupa pro vˇsechny grupy menˇs´ıho ˇrádu neˇz |G|. Kdyˇz p | |Z(G)|, pak podle vˇety (3.37) existuje N ≤ Z(G) ˇrádu p. Pak |G| = |G/N | = pα−1 m a z indukˇcn´ıho pˇredpokladu existuje P ≤ G ˇrádu pα−1 . Takˇze pro P podgrupu G obsahuj´ıc´ı N takovou, ˇze P/N = P , plat´ı |P | = |P/N ||N | = pα a P je Sylowova p-podgrupa G. Omez´ıme se proto na pˇr´ıpad p - |Z(G)|. Necht’ g1 , g2 , . . . , gr jsou reprezentanti r˚ uzn´ ych tˇr´ıd neobsaˇzen´ ych v centru G, pak plat´ı rovnice tˇr´ıd |G| = |Z(G)| +

r X i=1

24

|G : CG (gi )|.

(5.1)

5 Sylowova vˇeta Pokud by platilo p | |G : CG (gi )|, ∀i, pak by platilo taky p | |Z(G)|, protoˇze p | |G|. Proto pro nˇejaké i mus´ı platit p - |G : CG (gi )|. Oznaˇc´ıme H = CG (gi ) pro dané i a máme |H| = pα k,

kde p - k,

(5.2)

a jelikoˇz gi ∈ / Z(G), |H| < |G|. Z indukˇcn´ıho pˇredpokladu má H Sylowovu p-podgrupu P , kter´ a je taky podgrupou G. Nav´ıc |P | = pα , tak´ze P je Sylovova p-podgrupa G. 2. Necht’ Q je libovoln´ a p-podgrupa G a necht’ ozn.

S = {gP g −1 |g ∈ G} = {P1 , P2 , . . . , Pr } = S.

(5.3)

Z definice S m˚ uˇze G, tedy taky Q, p˚ usobit na S konjugac´ı. S lze proto zapsat jako sjednocen´ı orbit akce Q: S = O1 ∪ O2 ∪ · · · ∪ Os

(5.4)

kde r = |O1 |+|O2 |+· · ·+|Os |. Je potˇreba si uvˇedomit, ˇze r nezávis´ı na Q, ale poˇcet orbit s ano (G m´ a z definice jenom jednu orbitu na S, ale Q jich m˚ uˇze m´ıt v´ıc). Pˇreuspoˇrádáme prvky S tak, aby prvn´ıch s bylo reprezentanty Q-orbit: Pi ∈ Oi , 1 ≤ i ≤ s. Pak z vˇety (4.14) plyne |Oi | = |Q : NQ (Pi ). Z definice plat´ı NQ (Pi ) = NG (Pi ) ∩ Q a podle pˇredchoz´ıho lemmatu, NG (Pi ) ∩ Q = Pi ∩ Q. Celkem tedy máme |Oi | = |Q : Pi ∩ Q|,

1 ≤ i ≤ s.

(5.5)

Ted’ m˚ uˇzeme uk´ azat, ˇze r ≡ 1 mod p. D´ıky libovolnosti Q m˚ uˇzeme poloˇzit Q = P1 , takˇze |O1 | = 1,

(5.6)

a ∀i > 1, P1 6= Pi , tedy P1 ∩ Pi < P1 , proto |Oi | = |P1 : P1 ∩ Pi | > 1,

2 ≤ i ≤ s.

(5.7)

Protoˇze P1 je p-grupa, |P1 : P1 ∩ Pi | mus´ı b´ yt mocnina p, tedy p | |Oi |,

2 ≤ i ≤ s.

(5.8)

Odtud r = |O1 | + (|O2 | + · · · + |Os |) ≡ 1(mod p)

(5.9)

Nyn´ı bud’ Q libovoln´ a p-podgrupa G. Kdyby Q ∈ / Pi , ∀i ∈ rˆ, pak Q ∩ Pi < Q, ∀i, tedy |Oi | = |Q : Q ∩ Pi | > 1,

1 ≤ i ≤ s.

(5.10)

Tud´ıˇz p | |Oi |, ∀i a p | r, coˇz je spor s r ≡ 1 mod p. Proto Q ≤ gP g −1 , pro nˇejaké g ∈ G. Pro d˚ ukaz ekvivalence Sylowov´ ych p-podgrup staˇc´ı za Q volit libovolnou Sylowovu ppodgrupu. Pak Q ≤ gP g −1 a z´ aroveˇ n |gP g −1 | = |Q| = pα , proto gP g −1 = Q.

25

5 Sylowova vˇeta 3. Staˇc´ı si uvˇedomit ˇze S = Sylp (G) protoˇze kaˇzdá Sylowova p-podgrupa je konjugovan´ a k P , tedy np = r ≡ 1 mod p. Nakonec d´ıky (4.14) a tomu, ˇze vˇsechny Sylowovy ppodgrupy jsou konjugované, dostáváme np = |G : NG (P )|,

∀P ∈ Sylp (G).

(5.11)

D˚ usledek 5.4. Bud’ P Sylowova p-podgrupa grupy G. Potom n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı: 1. P je jedin´ a Sylowova p-podgrupa v G, tedy np = 1, 2. P E G.

26

6 Pˇr´ım´ y a polopˇr´ım´ y souˇ cin grup Jedná se o zp˚ usob konstrukce vˇetˇs´ıch grup z menˇs´ıch. Definice 6.1. Pˇr´ım´ y souˇcin definujeme pro koneˇcné a spoˇcetnˇe nekoneˇcné mnoˇziny grup (rozd´ıl definice je jen form´ aln´ı). 1. Pˇ r´ım´ ym souˇ cinem grup G1 × G2 × . . . × Gn s násoben´ım ∗1 , ∗2 , . . . ∗n po ˇradˇe, je mnoˇzina n-tic (g1 , g2 , . . . , gn ) (gi ∈ Gi ) s násoben´ım definovan´ ym po sloˇzkách. Tedy: (g1 , g2 , . . . , gn ) ∗ (h1 , h2 , . . . , hn ) = (g1 ∗1 h1 , g2 ∗2 h2 , . . . , gn ∗n hn ).

(6.1)

2. Pˇ r´ım´ ym souˇ cinem grup G1 × G2 × . . . s násoben´ım ∗1 , ∗2 , . . ., po ˇradˇe, je mnoˇzina posloupnost´ı (g1 , g2 , . . .) (gi ∈ Gi ) s násoben´ım definovan´ ym po sloˇzkách. Tedy: (g1 , g2 , . . .) ∗ (h1 , h2 , . . .) = (g1 ∗1 h1 , g2 ∗2 h2 , . . .).

(6.2)

Je zˇrejmé, ˇze v´ ysledkem pˇr´ımého souˇcinu grup je opˇet grupa a to ˇrádu |G| = |G1 ||G2 | . . . |Gn | nebo nekoneˇcného.

6.1 Klasifikace Abelovsk´ ych grup Definice 6.2. 1. Grupa G je koneˇ cnˇ e generovan´ a, pokud existuje koneˇcná mnoˇzina A ⊂ G takov´ a, ˇze G = hAi. 2. Pro kaˇzdé r ∈ Z, r ≥ 0, bud’ Zr = Z × Z × . . . × Z direktn´ı souˇcet r kopi´ı grupy Z, kde Z0 = e. Grupa Zr se naz´ yv´ a voln´ a Abelovsk´ a grupa ˇ r´ adu r. Vˇ eta 6.3 (z´ akladn´ı vˇeta Abelovsk´ ych grup). Bud’ G koneˇcnˇe generovan´ a Abelovsk´ a grupa. Pak: 1. G ∼ a cel´ a ˇc´ısla splˇ nuj´ıc´ı n´ asleduj´ıc´ı podm´ınky: = Zr × Zn1 × Zn2 × . . . × Zns pro nˇejak´ a) r ≥ 0 a nj ≥ 2 pro vˇsechna j, b) ni+1 |ni pro 1 ≤ i ≤ s − 1, 2. a rozklad je jednoznaˇcný. D˚ ukaz. Bez d˚ ukazu. ´ mka 6.4. Kaˇzd´ Pozna y prvoˇc´ıseln´ y dˇelitel |G| mus´ı dˇelit n1 . Vˇ eta 6.5. Bud’ G grupa ˇr´ adu n = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k . Potom α 1. G ∼ = A1 × A2 × . . . × Ak , kde |Ai | = pi i ,

27

6 Pˇr´ım´ y a polopˇr´ım´ y souˇcin grup 2. pro kaˇzdé A ∈ A1 , A2 , . . . , Ak , kde |A| = pα je A ∼ = Zpβ1 × Zpβ2 × . . . × Zpβt , kde β1 ≥ β2 ≥ . . . ≥ βt ≥ 1 a β1 + β2 + . . . + βt = α (t a βj z´ avis´ı na i) 3. a rozklad v 1) a 2) je jednoznaˇcný. D˚ ukaz. Bez d˚ ukazu. Vˇ eta 6.6. Necht’ m, n ∈ Z+ , pak Zm × Zn ∼ = Zmn ⇔ gcd (m, n) = 1 (tj. m a n jsou nesoudˇeln´ a). D˚ ukaz. ⇒) Necht’ Zm = hxi, Zn = hyi a l = lcm (m, n) (nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y násobek). a b ’ Vˇsimneme si, ˇze l = mn, pr´ avˇe kdyˇz gcd (m, n) = 1. Dále necht x y ∈ Zm × Zn libovolné, pak (xa y b )l = xla y lb = ea eb = e, protoˇze m | l a taky n | l. Pokud gcd (m, n) 6= 1, kaˇzd´ y element Zm ×Zn je ˇrádu nanejv´ yˇs l, tedy ostˇre menˇs´ıho neˇz mn, tedy Zm × Zn nem˚ uˇze b´ yt isomorfn´ı Zmn . ⇐) Naopak, pokud gcd (m, n) = 1, pak |xy| = lcm (|x|, |y|) = mn. Tud´ıˇz Zm × Zn = hxyi. Vˇ eta 6.7. Necht’ h, k ≤ G. Poˇcet r˚ uzných zp˚ usob˚ u, jak napsat libovolný element z HK ve tvaru hk pro nˇejaké h ∈ H a k ∈ K, je |H ∩ K|. Speci´ alnˇe kdyˇz H ∩ K = e, pak pro kaˇzdý element existuje pouze jeden zp˚ usob. D˚ ukaz. Necht’ x ∈ HK a y ∈ H ∩ K libovolné, pak x = yy −1 x = yz, kde z = y −1 x je element H nebo K. Takˇze existuje alespoˇ n |H ∩ K| moˇznost´ı, jak zvolit y. Kdyby existovalo x ∈ HK, které lze zapsat v´ıce zp˚ usoby neˇz H ∩ K, pak celkov´ y poˇcet zp˚ usob˚ u, jak zapsat vˇsechny prvky, by byl vˇetˇs´ı neˇz |HK||H ∩ K| =

|H||K| |H ∩ K| = |H||K| |H ∩ K|

a to by znamenalo spor s jednoznaˇcnost´ı zápisu. Vˇ eta 6.8. Necht’ H, K E G a H ∩ K = e, pak HK ∼ = H × K. D˚ ukaz. Protoˇze H, K E G, je HK ≤ G. Necht’ h ∈ H, k ∈ K. Protoˇze H E G, plat´ı −1 k hk ∈ H, tedy taky h−1 (k −1 hk) ∈ H. Analogicky, (h−1 k −1 h)k ∈ K. Dále d´ıky tomu, ˇze H ∩ K = e, m´ ame h−1 k −1 hk = e, tedy hk = kh, takˇze prvky H komutuj´ı s prvky K. Podle pˇredcházej´ıc´ı vˇety lze kaˇzd´ y prvek HK zapsat právˇe jedn´ım zp˚ usobem ve tvaru hk, kde h ∈ H a k ∈ K. Zobrazen´ı ϕ : HK → H × K : hk → (h, k) je proto dobˇre definované. Pro d˚ ukaz toho, ˇze ϕ je homomorfismus, vezmˇeme h1 , h2 ∈ H a k1 , k2 ∈ K. Pak d´ıky tomu, ˇze prvky H a K spolu komutuj´ı, plat´ı (h1 k1 )(h2 k2 ) = (h1 h2 )(k1 k2 ) a tento tvar je jednoznaˇcnˇe zaps´ an ve tvaru hk, kde h ∈ H, k ∈ K. Takˇze ϕ(h1 k1 h2 k2 ) = ϕ(H1 h2 k1 k2 ) = (h1 h2 , k1 k2 ) = (h1 , k1 )(h2 , k2 ) = ϕ(h1 k1 )ϕ(h2 k2 ), tedy ϕ je homomorfismus. Z´ aroveˇ n je to ale bijekce, proto ϕ je isomorfizmus.

28

6 Pˇr´ım´ y a polopˇr´ım´ y souˇcin grup

6.2 Polopˇr´ım´ y souˇ cin ´ mka 6.9. Polopˇr´ım´ Pozna y souˇcin je dalˇs´ı zp˚ usob, jak z menˇs´ıch grup vyrobit grupu vˇetˇs´ı. Ve v´ ysledku dostaneme z grup H a K grupu G, ve které bude platit H E G, ale K ≤ G nemus´ı b´ yt normáln´ı. Jako motivaci pˇredpokládejme, ˇze uˇz takovou G máme a plat´ı H ∩ K = e. Plat´ı, ˇze HK ≤ G a existuje bijekce mezi prvky HK a dvojicemi (h, k), kde h ∈ H a k ∈ K. Chceme-li souˇcin dvou prvk˚ u z HK opˇet napsat ve tvaru hk, postupujeme takto: (h1 k1 )(h2 k2 ) = h1 k1 h2 (k1−1 k1 )k2 = h1 (k1 h2 k1−1 )k1 k2 = h1 h3 k3 = h4 k3 , kde jsme vyuˇzili toho, ˇze H je normáln´ı podgrupa. C´ılem polopˇr´ımého souˇcinu je zavést grupu s obdobn´ ym n´ asoben´ım bez zastˇreˇsuj´ıc´ı“ grupy, která nám umoˇzn ˇuje násobit mezi ” sebou prvky z K a H. Vˇ eta 6.10. Bud’te H a K grupy a ϕ : K → Aut H je homomorfismus (kaˇzdému prvku k ∈ K pˇriˇrad´ı nˇejakou permutaci H). D´ ale bud’ · akce grupy K na H dan´ a vztahem ϕ(k)h = k · h. Bud’ G mnoˇzina dvojic (h, k), h ∈ H a k ∈ K a definuje n´ asoben´ı tˇechto dvojic jako: (h1 , k1 )(h2 , k2 ) = (h1 k1 · h2 , k1 k2 ). 1. G s takto definovanou operac´ı je grupa ˇr´ adu |G| = |K||H|. 2. Mnoˇziny {(h, 1)|h ∈ H} a {(1, k)|k ∈ K} jsou podgrupy G isomorfn´ı grup´ am H a K. (D´ ale mezi nimi nerozliˇsujeme.) 3. H E G. 4. H ∩ K = e. 5. (∀h ∈ H, k ∈ K)(khk −1 = k · h). D˚ ukaz.

1. Asociativita plat´ı, protoˇze pro libovolné (a, x), (b, y), (c, z) ∈ G plat´ı ((a, x)(b, y))(c, z) = (ax · b, xy)(c, z) = (ax · b(xy) · c, xyz) = (ax · bx · (y · c), xyz) = (ax · (by · c), xyz) = (a, x)(by · c, yz) = (a, x)((b, y)(c, z)).

Dále je z definice vidˇet, ˇze (1, 1) je jednotkov´ y prvek, (h, k)−1 = (k −1 · h−1 , k −1 ) je inverzn´ı prvek pro libovolné (h, k) ∈ G a |G| = |H||K|. ˜ = {(h, 1)|h ∈ H} a K ˜ = {(1, k)|k ∈ K}. Máme 2. Necht’ H (a, 1)(b, 1) = (a1 · b, 1) = (ab, 1),

∀a, b ∈ H.

Analogicky, (1, x)(1, y) = (1, xy), ˜ K ˜ ≤ G isomorfn´ı H, K. takˇze H,

29

∀x, y ∈ K,

6 Pˇr´ım´ y a polopˇr´ım´ y souˇcin grup ˜ ∩K ˜ = e. 4. Je jasné, ˇze H 5. Dále plat´ı (1, k)(h, 1)(1, k)−1 = ((1, k)(h, 1))(1, k −1 ) = (k · h, k)(1, k −1 ) = (k · hk · 1, kk −1 ) = (k · h, 1), tedy pˇriˇrazen´ım h ↔ (h, 1) a k ↔ (1, k) z bodu (2.) dostáváme khk −1 = k · h. 3. Nakonec, protoˇze K ≤ NG (H), plat´ı G = HK a zároveˇ n H ≤ NG (H), dostáváme NG (H) = G, tedy H E G. Definice 6.11. Grupu G z pˇredchoz´ı vˇety naz´ yváme polopˇ r´ım´ y souˇ cin grup H a K a znaˇc´ıme H oϕ K.

30

7 Reprezentace grup 7.1 Z´ akladn´ı definice Definice 7.1. Bud’te G grupa a V vektorov´ y prostor nad tˇelesem T . Potom line´ arn´ı reprezentac´ı grupy G na prostoru V naz´ yváme kaˇzd´ y homomorfismus T : G → GL(V ), kter´ y kaˇzdému prvku g ∈ G pˇriˇrazuje line´ arn´ı zobrazen´ı T (g) takové, ˇze (∀g, h ∈ G)(T (g)T (h) = T (gh)). • Prostor V naz´ yv´ ame reprezentativn´ı prostor a jeho dimenzi rozmˇ er reprezentace. • Je-li nav´ıc T isomorfismus, naz´ yváme takovou reprezentaci vˇ ern´ a. • Je-li dim V < ∞ (existuje tedy koneˇcná báze V ), mluv´ıme o maticov´ e reprezentaci. ´ mka 7.2. Pozna

• T je vˇzdy vˇernou reprezentac´ı faktor grupy G/ Ker T .

• Prost´ a grupa m´ a jen vˇerné reprezentace (kromˇe triviáln´ı). Definice 7.3. Je-li H Hilbert˚ uv prostor a T homomorfismus grupy G do mnoˇziny unitárn´ıch operátor˚ u na H, naz´ yv´ ame T unit´ arn´ı reprezentac´ı G na H. Definice 7.4. Dvˇe reprezentace T : G → V a T 0 : G → V 0 naz´ yváme ekvivalentn´ı, pokud 0 existuje line´ arn´ı isometrie A : V → V taková, ˇze ∀g ∈ G plat´ı T 0 (g) = AT (g)A−1 a kAϕk = kϕk, ∀ϕ ∈ V . Je-li nav´ıc A unit´ arn´ı, ˇr´ıkáme, ˇze reprezentace jsou unit´ arnˇ e ekvivalentn´ı. Lemma 7.5 (Hilbert). Kaˇzd´ a maticov´ a reprezentace grupy maticemi s nenulovým determinantem je ekvivalentn´ı unit´ arn´ı reprezentaci. D˚ ukaz. Konstrukc´ı: P Bud’ Ai matice reprezentuj´ıc´ı prvek gi ∈ G. Sestroj´ıme nejprve hermitovskou matici H = ri=1 Ai A†i . Hermitovské matice m˚ uˇzeme diagonalizovat pomoc´ı unitárn´ı ’ matice U . Necht tato diagon´ alizované matice je: X X X D = U −1 HU = U −1 Ai A†i U = U −1 Ai U U −1 A†i U = A0i A0† i , i

i

i

kde jsme oznaˇcili A0i = U −1 Ai U . Nav´ıc D je nejen diagonáln´ı, ale jej´ı prvky jsou reálné kladné 1 1 a proto m˚ uˇzeme vytvoˇrit matice D 2 a D− 2 . Potom z definice zˇrejmˇe plat´ı: 1 X − 12 I = D− 2 A0i A0† . i D i

31

7 Reprezentace grup 1

1

ych ukáˇzeme, ˇze jsou Nyn´ı jiˇz definujeme matice fin´ aln´ı reprezentace A00i = D− 2 A0i D 2 , o kter´ unitárn´ı: 1

1

1

1

−2 0 −2 A00j A00† Aj D 2 ID 2 A0† = j =D jD 1 1 X 1 1 − 12 − 12 A0i A0† D 2 A0† = = D− 2 A0j D 2 D− 2 i D jD i

=D

− 21

X

1 A0j A0i (A0j A0i )† D− 2

=

i 1

= D− 2

X

1

−2 A0k A0† = I. kD

k

T´ım je d˚ ukaz dokonˇcen.

7.2 Reducibiln´ı a ireducibiln´ı reprezentace Definice 7.6. V1 ⊂ V se naz´ yv´ a invariantn´ı podprostor pˇr´ısluˇsn´ y operátoru A, kdyˇz (∀ϕ ∈ V1 )(Aϕ ∈ V1 ), tedy A(V1 ) ⊂ V1 . Pokud se nejedná o triviáln´ı invariantn´ı podprostor, naz´ yv´ a se takov´ y podprostor vlastn´ı. ˇ ık´ Definice 7.7. R´ ame, ˇze T je ireducibiln´ı reprezentace grupy G na prostoru V , pokud neexistuje vlastn´ı invariantn´ı podprostor V pˇr´ısluˇsn´ y vˇsem operátor˚ um T (g) pro vˇsechna g ∈ G. Tedy (∀g ∈ G)(T (g)(V1 ) ⊂ V1 ) ⇒ (V1 = 0 ∨ V1 = V ). V opaˇcném pˇr´ıpadˇe se reprezentace naz´ yv´ a reducibiln´ı. ´ mka 7.8. Reprezentace je ireducibiln´ı, pokud neexistuje taková podobnostn´ı transforPozna mace, kter´ a by pˇrevedla souˇcasnˇe vˇsechny T (g) na blokovˇe diagonáln´ı tvar. Definice 7.9. Reducibiln´ı reprezentace, kterou je moˇzné napsat jako direktn´ı souˇcet ireducibiln´ıch reprezentac´ı se naz´ yv´ au ´ plnˇ e reducibiln´ı. Vˇ eta 7.10. Bud’ T u ´plnˇe reducibiln´ı reprezentace grupy G na Hilbertovˇe prostoru H. Potom: 1. Ortogon´ aln´ı doplnˇek k H1 (oznaˇcme H2 ) je invariantn´ı podprostor ⇔ H1 je invariantn´ı podprostor. 2. H1 ⊂ H je invariantn´ı podprostor ⇔ projektor E1 na H1 splˇ nuje podm´ınku: (T (g)E1 = E1 T (g))(∀g ∈ G). D˚ ukaz. 1. Necht’ ψ1 ∈ H1 a ψ2 ∈ H2 , pak z pˇredpokladu máme T (g)|ψ1 i ∈ H1 = H2⊥ a plat´ı hψ2 |T (g)ψ1 i = 0 = hT † (g)ψ2 |ψ1 i.

(7.1)

2. M˚ uˇzeme ps´ at H = H1 ⊕ H2 , tedy ∀|ψi ∈ H plat´ı |ψi = |ψ1 i + |ψ2 i, kde |ψ1 i ∈ H1 a |ψ2 i ∈ H2 . ⇒) Pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze H1 , a z pˇredchoz´ıho bodu téˇz H2 , jsou invariantn´ı. E1 T (g)|ψi = E1 T (g)|ψ1 i + E1 T (g)|ψ2 i = E1 T (g)E1 |ψi = T (g)E1 |ψi.

32

(7.2)

7 Reprezentace grup ⇐) Z rovnosti E1 T (g)|ψi = T (g)E1 |ψi plyne ˇze T (g)H1 ⊂ H1 . D˚ usledek 7.11 (Maschke). Reducibiln´ı unit´ arn´ı reprezentace je u ´plnˇe reducibiln´ı. Vˇ eta 7.12. Kaˇzd´ a unit´ arn´ı ireducibiln´ı reprezentace koneˇcné grupy m´ a koneˇcnou dimenzi. D˚ ukaz. Bez d˚ ukazu.

7.2.1 Schurova lemmata Vˇ eta 7.13 (1. Schurovo lemma). Kaˇzd´ a matice, kter´ a komutuje se vˇsemi maticemi ireducibiln´ı reprezentace je n´ asobkem jednotkové matice. D˚ ukaz. V´ıme, ˇze se m˚ uˇzeme omezit je na unitárn´ı matice. Mˇejme tedy matici M , pro kterou plat´ı M Ai = Ai M pro ∀i. Sdruˇzen´ım obou stran dostaneme M † A†i = A†i M † a vynásoben´ım matic´ı Ai zprava i zleva dostaneme Ai M † = M † Ai , tedy i M † komutuje se vˇsemi maticemi reprezentace. Nyn´ı m˚ uˇzeme vytvoˇrit hermitovské matice H1 = M + M † a H2 = i(M − M † ) a vyjádˇrit M = H1 − iH2 . Potom M je konstantn´ı právˇe tehdy, kdyˇz tyto hermitovské matice jsou konstantn´ı, a proto se m˚ uˇzeme omezit na hermitovské komutuj´ıc´ı matice. Hermitovskou matici m˚ uˇzeme diagonalizovat, tedy D = U −1 M U a definujeme A0i = U −1 Ai U . Potom plat´ı A0i D = DA0i d´ıky invarianci maticov´ ych rovnic v˚ uˇci unitárn´ım transformac´ım. Nyn´ı mus´ıme uk´ azat, ˇze D je nejen diagonáln´ı, ale pˇr´ımo násobkem jednotkové matice. Nap´ıˇseme po sloˇzk´ ach (A0i )µν dνν = dµµ (A0i )µν , tedy (A0i )µν (dνν − dµµ ) = 0. Pokud by pro nˇejaké µν bylo (dνν − dµµ ) 6= 0, muselo by b´ yt (A0i )µν = 0 pro ∀i, coˇz je spor s ireducibilitou reprezentace. Odtud dost´ av´ ame dνν = dµµ pro ∀µν. Vˇ eta 7.14 (2. Schurovo lemma). M´ ame-li dvˇe ireducibiln´ı reprezentace T1 a T2 rozmˇeru l1 a l2 jedné grupy G a d´ ale existuje obdéln´ıkov´ a matice M , pro kterou plat´ı: M T1 (g) = T2 (g)M pro ∀g ∈ G, pak 1. (l1 6= l2 ) ⇒ M = 0 (nulov´ a matice) 2. a pro l1 = l2 je bud’ M = 0, nebo det M 6= 0, a tedy existuje M −1 , z ˇcehoˇz dost´ av´ ame −1 M T1 (g)M = T2 (g) pro ∀g ∈ G, a tedy obˇe reprezentace jsou ekvivalentn´ı. D˚ ukaz. Opˇet uvaˇzujeme pouze unit´ arn´ı matice a bez u ´jmy na obecnosti necht’ l1 ≤ l2 . Nyn´ı † † † sdruˇzen´ım rovnice pro M dostaneme: T1 (g) M = M T2 (g)† , neboli T1 (g −1 )M † = M † T2 (g −1) . Nyn´ı obˇe strany vyn´ asob´ıme M a vyuˇzijeme toho, ˇze rovnost plat´ı pro vˇsechny gi−1 stejnˇe jako pro vˇsechna gi . Dostaneme (pouˇzit´ım základn´ı rovnosti) T2 (gi−1 )M M † = M M † T2 (gi−1 ). Tedy matice M M † komutuje se vˇsemi maticemi reprezentace a podle pˇredchoz´ıho lemmatu mus´ı platit M M † = cI. Uvaˇzujme nejprve l1 = l2 , tedy M je ˇctvercová matice. Pomoc´ı pravidel poˇc´ıtán´ı determinant˚ u m´ ame (det M )2 = cl1 . Nyn´ı pokud c 6= 0, mus´ y determinant. V P ı m´ıt M ∗ nenulov´ † = 0. Po sloˇ pˇr´ıpadˇe, ˇze c = 0 m´ ame M M z k´ a ch tedy M M = 0 pro ∀µν. Speciálnˇe µα να α P 2 volbou µ = ν dost´ av´ ame α |Mµα | = 0, a tedy Mµα = 0 pro ∀µα. V pˇr´ıpadˇe, ˇze l1 < l2 , tedy M m´ a l1 sloupc˚ u a l2 ˇrádk˚ u, dopln´ı M pˇridán´ım l2 − l1 sloupc˚ u na ˇctvercovou matici N . Plat´ı, ˇze N N † = M M † . Jelikoˇz N má zˇrejmˇe nulov´ y determinant, dostáváme pˇr´ıpad, kdy M = 0.

33

7 Reprezentace grup

7.3 Velk´ a vˇ eta ortogonality Vˇ eta 7.15 (velk´ a vˇeta ortogonality). Uvaˇzujme vˇsechny neekvivalentn´ı ireducibiln´ı unit´ arn´ı reprezentace grupy G. Plat´ı: X

Ti (g)∗µν Tj (g)αβ =

g∈G

|G| δij δµα δνβ , li

(7.3)

kde li je rozmˇer reprezentace Ti . D˚ ukaz. Nejprve uvaˇzujeme dvˇe neekvivalentn´ı reprezentace T1 a T2 . Zkonstruujeme matici: X M= T2 (g)XT1 (g −1 ), g

kde X je zat´ım zcela libovoln´ı obdéln´ıková matice, která odpov´ıdá rozmˇerem. Nyn´ı pouˇzijeme vˇetu 7.14, a proto uk´ aˇzeme potˇrebnou rovnost: X T2 (f )M = T2 (f )T2 (g)XT1 (g −1 ) = g

=

X

=

X

=

X

=

X

T2 (f )T2 (g)XT1 (g −1 )T1 (f −1 )T1 (f ) =

g

T2 (f g)XT1 (g −1 f −1 )T1 (f ) =

g

T2 (f g)XT1 ((f g)−1 )T1 (f ) =

g

T2 (h)XT1 (h−1 )T1 (f ) = M T1 (f ).

h

(7.4) Mus´ı tedy platit, ˇze M = 0, tedy Mαµ = 0 =

XX g

T2 (g)ακ Xκλ T1 (g −1 )λµ .

(7.5)

κλ

Nyn´ı si zvol´ıme konkrétn´ı matici X a to tak, ˇze Xβν = 1 (jeden prvek je jedna) a ostatn´ı prvky jsou nulové. Pak pˇredchoz´ı rovnost dává: X X 0= T2 (g)αβ T1 (g −1 )νµ = T2 (g)αβ T1 (g)∗µν , (7.6) g

g

kde posledn´ı u ´prava je z unitarity matice. To nám tedy dává ˇclen δij ve v´ ysledku (pro r˚ uzné reprezentace je skal´ arn´ı souˇcin vˇzdy 0). Nyn´ı mˇejme jednu reprezentaci a znovu zkonstruujeme matici M jako: X M= T1 (g)XT1 (g −1 ), g

34

7 Reprezentace grup a ze Schurova lemmatu m´ ame M = cI. Vezmˇeme prvek µµ0 , coˇz nám dá rovnici: XX T1 (g)µκ Xκλ T1 (g −1 )λµ0 = cδµµ0 . g

κλ

Opˇet zvol´ıme X jen s jedn´ım nenulov´ ym prvkem Xνν 0 = 1. Potom: X T1 (g)µν T1 (g −1 )ν 0 µ0 = cνν 0 δµµ0 , g

kde indexy u c znaˇc´ı, ˇze jeho hodnota závis´ı na volbˇe matice X. Nyn´ı zvol´ıme µ = µ0 a seˇcteme pˇres µ. X T1 (gg −1 )ν 0 ν = l1 cνν 0 , g

X

T1 (gg −1 )ν 0 ν =

X

|G|δνν 0 l1 .

T1 (e)ν 0 ν = |G|δνν 0 .

g

g

Odtud máme cνν 0 =

X

Zpˇetn´ ym dosazen´ım za c dostaneme:

T1 (g)µν T1 (g −1 )ν 0 µ0 =

g

X |G| δνν 0 δµµ0 = T1 (g)µν T1 (g)∗µ0 ν 0 , l1 g

coˇz dokazuje tvrzen´ı vˇety. ´ mka 7.16. Velk´ Pozna a vˇeta ortogonality tedy ˇr´ıká, ˇze pokud vytvoˇr´ıme vektory ˇc´ısel o poˇctu prvk˚ u |G| tak, ˇze si zvol´ıme jednu reprezentaci a v n´ı µ-t´ y ˇrádek a ν-t´ y sloupec a prvky vektoru jsou prvky matice reprezentace pro jednotlivé prvky grupy G, pak jsou tyto vektory vzájemnˇe kolmé pro r˚ uzné reprezentace nebo r˚ uzné pozice v matici. (Mus´ıme m´ıt stanovené poˇrad´ı prvk˚ u v G.) Oznaˇcme |G| = n. Vektory s n prvky tvoˇr´ı n-dimenzionáln´ı vektorov´ y prostor. V takov´ e m prostoru tedy m˚ u ˇ z e b´ y t maxim´ a lnˇ e n vz´ a jemnˇ e kolm´ y ch vektor˚ u , a proto plat´ı, P ˇze i li2 ≤ n, kde suma jde pˇres vˇsechny neekvivalentn´ı ireducibiln´ı reprezentace. (Pozdˇeji se zde ukáˇze, ˇze vˇzdy plat´ı rovnost.)

7.4 Tabulky charakter˚ u ´ mka 7.17. Pro maticové reprezentace zavedeme uˇziteˇcnou veliˇcinu nezávisej´ıc´ı na bázi Pozna – tzv. charakter reprezentace. Definice 7.18. Oznaˇcme stopu Tr (T (g)) = χ(g). Uspoˇrádanou n-tici stop matic T (g) nazveme charakter reprezentace. ´ mka 7.19. Charaktery ekvivalentn´ıch reprezentac´ı jsou zˇrejmˇe stejné. Pozna Tvrzen´ı 7.20. Velk´ a vˇeta ortogonality pro charaktery prvk˚ u grupy: X χ(µ) (g)∗ χ(ν) (g) = nδνµ . g∈G

´ mka 7.21. Charaktery vˇsech konjugovan´ Pozna ych prvk˚ u grupy jsou stejné.

35

(7.7)

7 Reprezentace grup Tvrzen´ı 7.22. Velk´ a vˇeta ortogonality pro charaktery konjugovaných prvk˚ u grupy: X ni χ(µ) (Ci )∗ χ(ν) (Ci ) = nδνµ ,

(7.8)

i

kde G = C1 ∪ · · · ∪ Ck a ni je poˇcet prvk˚ u v konjugované tˇr´ıdˇe. Prvky r ni (µ) 0(µ) χ (Ci ) = χ (Ci ) n

(7.9)

tvoˇr´ı ortonorm´ aln´ı systém, který je vˇetˇs´ı nebo roven poˇctu neekvivalentn´ıch reprezentac´ı. Vˇ eta 7.23. Mˇejme unit´ aL rn´ı reducibiln´ı reprezentaci T (g)P rozepsanou pomoc´ı ireducibiln´ıch reprezentac´ı jako T (g) = ν aν T (ν) (g). Oznaˇcme χ(Ci ) = ν aν χ(ν) (Ci ). Potom pro koeficienty rozkladu aµ plat´ı aµ =

1X ni χ(µ) (Ci )∗ χ(Ci ). n

(7.10)

i

D˚ ukaz. Rovnost χ(Ci ) =

P

ν

aν χ(ν) (Ci ) vynásobme ni χ(µ) (Ci ) a vysˇc´ıtáme pˇres i.

D˚ usledek 7.24. Z definice je T (g) ireducibiln´ı transformace, pr´ avˇe kdyˇz aµ = 1. Poté plat´ı X χ(µ) (gi )∗ χ(gi ) = n. (7.11) i

Tomuto vztahu se ˇr´ık´ a Frobeniova podm´ınka.

36

Literatura [1] David S. Dummit, Richard M. Foote Abstract Algebra, 2003.

37

02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací

Recommend Documents