0016

ˇ SKA ´ S ˇ KOLA BA Ń ´ – TECHNICKA ´ UNIVERZITA OSTRAVA VYSOKA

´ LNI´ POCˇET FUNKCI´ INTEGRA ˇ NNE´ JEDNE´ PROME ˇ a´rka Hosˇkova´ S Jaromı´r Kuben Pavlıńa Racˇkova´

Vytvorˇeno v ra´mci projektu Operacˇnı´ho programu Rozvoje lidskyćh zdroju˚ CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 Studijnı´ opory s prˇevazˇujıćı´mi distancˇnı´mi prvky pro prˇedmeˇty teoreticke´ho za´kladu studia. Tento projekt je spolufinancovań Evropsky´m socia´lnı´m fondem ˇ eske´ republiky a sta´tnı´m rozpocˇtem C

ESF - ROVNE´ PRˇÍLEZˇITOSTI PRO VSˇECHNY

Hosˇkova´ Sˇa´rka, Kuben Jaromı´r, Racˇkova´ Pavlıńa Integra´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´

c Sˇa´rka Hosˇkova´, Jaromı´r Kuben, Pavlıńa Racˇkova´ 2006

ISBN 80-248-1191-X

Obsah Prˇedmluva

vi

1

´ vod U 1.1 Co je to integra´lnı´ pocˇet a cˇ´ım se zaby´va´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Co budete po prostudovańı´ tohoto textu umeˇt . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Orientace v textu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 2

2

Neurcˇity´ integra´l 2.1 Primitivnı´ funkce a neurcˇity´ integra´l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Za´kladnı´ integracˇnı´ metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Tabulkove´ integra´ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Metoda per partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Substitucˇnı´ metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Rozklad na parcia´lnı´ zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Integrace raciona´lnı´ lomene´ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Integrace parcia´lnıćh zlomku˚ s rea´lny´mi korˇeny ve jmenovateli . 2.4.2 Integrace parcia´lnıćh zlomku˚ s komplexnı´mi korˇeny ve jmenovateli 2.4.3 Integrace parcia´lnıćh zlomku˚ s rea´lny´mi a komplexnı´mi korˇeny ve jmenovateli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Integrace neˇkteryćh specia´lnıćh typu˚ funkcı´ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Integra´ly obsahujıćı´ goniometricke´ funkce . . . . . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Integra´ly obsahujıćı´ odmocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Za´veˇrecˇne´ pozna´mky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6 10 10 15 18 19 26 27 28 37 39 40 45 45 49

iii

54 56 58 60 60 69 71 72 79

2.6.1 Dostaneme integracı´ elementa´rnı´ funkce opeˇt elementa´rnı´ funkci? 2.6.2 Vyuzˇitı´ syste´mu˚ pocˇ´ıtacˇove´ algebry prˇi vy´pocˇtu integra´lu˚ . . . . . 2.6.3 Technika slepovańı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Za´veˇrecˇna´ cvicˇenı´ ke kapitole 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autotest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k autotestu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4

79 81 83 87 88 90 92 94 95

Urcˇity´ integra´l 3.1 Od vy´pocˇtu obsahu˚ a objemu˚ k integra´lnı´mu pocˇtu 3.2 Konstrukce urcˇite´ho integra´lu . . . . . . . . . . . . 3.3 Existence urcˇite´ho integra´lu . . . . . . . . . . . . 3.4 Za´kladnı´ vlastnosti urcˇite´ho integra´lu . . . . . . . 3.5 Vy´pocˇet urcˇite´ho integra´lu . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Metoda per partes pro urcˇity´ integra´l . . . . 3.5.2 Substitucˇnı´ metoda pro urcˇity´ integra´l . . . 3.5.3 Urcˇity´ integra´l jako funkce mezı´ . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . 3.6 Aplikace urcˇite´ho integra´lu . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Geometricke´ aplikace . . . . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . 3.6.2 Fyzika´lnı´ aplikace . . . . . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . 3.7 Pocˇa´tky infinitezima´lnı´ho pocˇtu . . . . . . . . . . Autotest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k autotestu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 96 104 110 113 117 122 123 130 132 134 135 135 149 151 153 160 161 162 169 170

Nevlastnı´ integra´l 4.1 Nevlastnı´ integra´l na neohranicˇene´m intervalu . . 4.2 Nevlastnı´ integra´l z neohranicˇene´ funkce . . . . . 4.3 Zobecneˇnı´ nevlastnı´ho integra´lu . . . . . . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . 4.4 Krite´ria konvergence nevlastnıćh integra´lu˚ . . . . 4.4.1 Krite´ria konvergence neza´pornyćh funkcı´ 4.4.2 Absolutnı´ a relativnı´ konvergence . . . . Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

171 171 177 182 192 193 194 195 199 201 203

iv

. . . . . . . . . .

Autotest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Klıćˇ k autotestu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5

Numericke´ metody rˇesˇenı´ urcˇite´ho integra´lu 5.1 Obde´lnı´kova´ metoda . . . . . . . . . . . 5.2 Lichobeˇzˇnı´kova´ metoda . . . . . . . . . . 5.3 Simpsonova metoda . . . . . . . . . . . . 5.4 Cvicˇenı´ ke kapitole 5 . . . . . . . . . . . Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

204 205 207 208 213 214

Literatura

216

Rejstrˇ´ık

218

v

Prˇedmluva STUDIJNI´ OPORY S PRˇEVAZˇUJIĆI´MI DISTANCˇNI´MI PRVKY PRO PRˇEDMEˇTY ´ KLADU STUDIA je na´zev projektu, ktery´ uspeˇl v ra´mci prvnı´ TEORETICKE´HO ZA vy´zvy Operacˇnı´ho programu Rozvoj lidskyćh zdroju˚. Projekt je spolufinancovań sta´tnı´m rozpocˇtem CˇR a Evropsky´m socia´lnı´m fondem. Partnery projektu jsou Regiona´lnı´ strˇedisko vyćhovy a vzdeˇla´vańı´, s. r. o. v Mosteˇ, Univerzita obrany, Brno a Technicka´ univerzita v Liberci. Projekt byl zaha´jen 5. 1. 2006 a bude ukoncˇen 4. 1. 2008. Cı´lem projektu je zpracovańı´ studijnıćh materia´lu˚ z matematiky, deskriptivnı´ geometrie, fyziky a chemie tak, aby umozˇnily prˇedevsˇ´ım samostatne´ studium a tı´m minimalizovaly pocˇet kontaktnıćh hodin s ucˇitelem. Je zrˇejme´, zˇe vytvorˇene´ texty jsou urcˇeny studentu˚m vsˇech forem studia. Studenti kombinovane´ a distancˇnı´ formy studia je vyuzˇijı´ k samostudiu, studenti v prezencˇnı´ formeˇ si mohou doplnit zı´skane´ veˇdomosti. Vsˇem studentu˚m texty pomohou prˇi procvicˇenı´ a oveˇrˇenı´ zı´skanyćh veˇdomostı´. Nezanedbatelny´m cı´lem projektu je umozˇnit zvy´sˇenı´ kvalifikace sˇiroke´mu spektru osob, ktere´ nemohly ve studiu na vysoke´ sˇkole z ru˚znyćh du˚vodu˚ (socia´lnıćh, rodinnyćh, politickyćh) pokracˇovat bezprostrˇedneˇ po maturiteˇ. V ra´mci projektu jsou vytvorˇeny jednak standardnı´ ucˇebnı´ texty v tisˇteˇne´ podobeˇ, koncipovane´ pro samostatne´ studium, jednak e-learningove´ studijnı´ materia´ly, prˇ´ıstupne´ prostrˇednictvı´m Internetu. Soucˇa´stı´ vy´stupu˚ je rovneˇzˇ banka testovyćh u´loh pro jednotlive´ prˇedmeˇty, na nı´zˇ si studenti oveˇrˇ´ı, do jake´ mı´ry zvla´dli prostudovane´ ucˇivo. Blizˇsˇ´ı informace o projektu mu˚zˇete najı´t na adrese http://www.studopory.vsb.cz/. Prˇejeme va´m mnoho u´speˇchu˚ prˇi studiu a budeme mı´t radost, pokud va´m prˇedlozˇeny´ text pomu˚zˇe prˇi studiu a bude se va´m lı´bit. Protozˇe nikdo nenı´ neomylny´, mohou se i v tomto textu objevit nejasnosti a chyby. Prˇedem se za neˇ omlouva´me a budeme va´m vdeˇcˇni, pokud na´s na neˇ upozornı´te.

ESF - ROVNE´ PRˇI´LEZˇITOSTI PRO VSˇECHNY

vi

1

Kapitola 1 ´ vod U 1.1. Co je to integra´lnı´ pocˇet a cˇ´ım se zaby´va´ Integra´l je jednı´m z u´strˇednıćh pojmu˚ matematicke´ analy´zy a matematiky vu˚bec. Jeho vznik motivovaly mimo jine´ dveˇ u´lohy: 1. urcˇenı´ funkce, je-li zna´ma jejı´ derivace, 2. vy´pocˇet plochy, ktera´ je vymezena grafem funkce f na intervalu ha, bi a osou neza´visle´ promeˇnne´ x. Tyto dveˇ u´lohy vedou k pojmu neurcˇite´ho a urcˇite´ho integra´lu. Vysˇetrˇovańı´ vlastnostı´ a vy´pocˇet teˇchto spolu souvisejıćıćh podob integra´lu je obsahem integra´lnı´ho pocˇtu. S rozvojem matematiky a v souvislosti s potrˇebami prˇ´ırodnıćh veˇd a techniky se pojem integra´lu vyvı´jel, byl prˇedmeˇtem mnoha zobecneˇnı´ a prosˇel rˇadou zmeˇn. Postupneˇ vznikala rˇada neusta´le obecneˇjsˇ´ıch integra´lu˚, ktere´ cˇ´ım da´l tı´m le´pe rˇesˇily dveˇ vy´sˇe uvedene´ u´lohy. Podı´va´me-li se do dnesˇnıćh ucˇebnic diferencia´lnı´ho a integra´lnı´ho pocˇtu, veˇtsˇinou vy´klad zacˇ´ına´ sezna´menı´m s rea´lny´mi cˇ´ısly, na´sleduje pojem limita, pomocı´ limity se definuje derivace, pak neurcˇity´ integra´l a nakonec integra´l urcˇity´. Historicky ovsˇem tyto pojmy nevznikaly v tomto porˇadı´. Ve skutecˇnosti se nejdrˇ´ıve vyvı´jel pojem urcˇite´ho integra´lu (vy´pocˇty obsahu˚ a objemu˚), pak derivace a neurcˇity´ integra´l (v 17. stol.), ktere´ byly zalozˇeny na intuitivnı´m cha´pańı´ nekonecˇneˇ male´ a velke´ velicˇiny a tudı´zˇ limitnı´ho procesu, a o 100 let pozdeˇji se uprˇesnˇoval pojem limity a teprve v 19. stoletı´ byla vybudovańa teorie rea´lnyćh cˇ´ısel.

1.2. Co budete po prostudovańı´ tohoto textu umeˇt Obsahem skripta je vy´klad integra´lnı´ho pocˇtu funkcı´ jedne´ rea´lne´ promeˇnne´, ktery´ spolecˇneˇ s diferencia´lnı´m pocˇtem tvorˇ´ı za´klad matematicke´ho vzdeˇlańı´ inzˇeny´ra. Znalost integra´lnı´ho pocˇtu funkcı´ jedne´ promeˇnne´ je nezbytny´m prˇedpokladem pro studium dalsˇ´ıch matematickyćh partiı´, jako diferencia´lnıćh rovnic, integra´lnı´ho pocˇtu funkcı´ vıće promeˇnnyćh, vektorove´ analy´zy, integra´lnıćh transformacı´ a rˇady dalsˇ´ıch. Neobejde se bez neˇho ani mechanika, fyzika a mnoho dalsˇ´ıch technickyćh disciplıń.

U´vod

2

1.3. Orientace v textu Text je rozdeˇlen do cˇtyrˇ kapitol. Prvnı´ je veˇnovańa neurcˇite´mu integra´lu a druha´ Riemannovu urcˇite´mu integra´lu. Z hlediska vy´kladu je tento prˇ´ıstup snazsˇ´ı a prˇehledneˇjsˇ´ı. Pro vyúku je vsˇak mozˇne´ probrat pouze prvnı´ dveˇ sekce prvnı´ kapitoly, pak zave´st urcˇity´ integra´l, vysveˇtlit jeho za´kladnı´ vlastnosti a Newtonovu-Leibnizovu formuli, potom se vra´tit ke zbytku prvnı´ kapitoly a na za´veˇr dokoncˇit druhou kapitolu, zejmeńa ru˚zne´ aplikace. Zvoleny´ prˇ´ıstup umozˇnı´ dojı´t na cvicˇenıćh drˇ´ıve k urcˇite´mu integra´lu a pru˚beˇzˇneˇ procvicˇovat i jeho vy´pocˇet. Trˇetı´ kapitola je pak ty´ka´ zobecneˇnı´ na nevlastnı´ integra´l. Cˇtvrta´, nejkratsˇ´ı, uva´dı´ informativneˇ za´kladnı´ numericke´ metody vy´pocˇtu urcˇite´ho integra´lu. Vzhledem k tomu, pro koho je text urcˇen, nenı´ rˇada tvrzenı´ dokazovańa. Prakticky vsˇe je doka´zańo v prvnı´ kapitole, kde du˚kazy nejsou prˇ´ılisˇ obtı´zˇne´. Naopak ve druhe´ kapitole du˚kazy te´meˇrˇ nejsou, protozˇe jsou technicky veˇtsˇinou dost obtı´zˇne´. Ve zby´vajıćıćh kapitolaćh jsou doka´zańa jen neˇktera´ jednodusˇsˇ´ı tvrzenı´. V dnesˇnı´ dobeˇ totizˇ klesa´ vy´znam „drilovańı´ “ mechanicke´ho integrovańı´, protozˇe na´m mohou podstatneˇ pomocı´ tzv. programy symbolicke´ neboli pocˇ´ıtacˇove´ algebry. Pro jejich spra´vne´ pouzˇ´ıvańı´ je ovsˇem trˇeba dobrˇe rozumeˇt pojmu˚m, se ktery´mi tyto programy pracujı´, jinak nedoka´zˇeme odhalit chyby, ktere´ nutneˇ tyto programy prˇi nespra´vne´m pouzˇitı´ deˇlajı´. Proto je veˇnovańa velka´ pozornost du˚kladne´mu zava´deˇnı´ pojmu˚, jejich spra´vne´mu pochopenı´ a prˇesne´ formulaci matematickyćh veˇt. Pro veˇtsˇ´ı na´zornost je text doplneˇn rˇadou obra´zku˚. Skriptum obsahuje spoustu velmi podrobneˇ rˇesˇenyćh prˇ´ıkladu˚, ktere´ by cˇtena´rˇi meˇly pomoci porozumeˇt probı´rane´ la´tce. Za jednotlivy´mi tematicky´mi celky jsou da´le zarˇazena cvicˇenı´. Samostatne´ rˇesˇenı´ v nich obsazˇenyćh prˇ´ıkladu˚ tvorˇ´ı nedı´lnou soucˇa´st studia. Jen tak mohou studenti zı´skat potrˇebne´ pocˇetnı´ na´vyky a hloubeˇji si osvojit nove´ pojmy. Pro usnadneˇnı´ kontroly jsou vsˇechna cvicˇenı´ opatrˇena vy´sledky. Pro lepsˇ´ı orientaci v textu jsou konce du˚kazu˚ oznacˇeny symbolem a konce cvicˇenı´ symbolem N. Existuje rˇada ucˇebnic a skript, ktere´ jsou veˇnovańy problematice integra´lu funkcı´ jedne´ promeˇnne´. V textu [18] naleznete vsˇechny du˚kazy neuvedene´ v teˇchto skriptech, pokud nenı´ explicitneˇ uveden jiny´ pramen. Mezi klasicke´ cˇeske´ ucˇebnice patrˇ´ı [8]. Poucˇne´ je cˇ´ıst rovneˇzˇ knihu [19], ktera´ byla prvnı´ modernı´ cˇeskou ucˇebnicı´ integra´lnı´ho pocˇtu. Prˇestozˇe jejı´ jazyk zastaral, jejı´ obsah je pozoruhodny´ a je zajı´mave´ srovnat, na co se kladl prˇi vy´kladu te´to partie du˚raz prˇed te´meˇrˇ sto lety a na co se klade dnes. Rovneˇzˇ lze doporucˇit ucˇebnici [16] a pro ty, kterˇ´ı hovorˇ´ı rusky, take´ klasickou knihu [5]. S Z

V J

ó

Pru˚vodce studiem Prostrˇednictvı´m pru˚vodce studiem va´s chceme sezna´mit s tı´m, co va´s v dane´ kapitole cˇeka´, ktere´ cˇa´sti by meˇly by´t pro va´s opakovańı´m, na co je trˇeba se obzvla´sˇteˇ zameˇrˇit atd.

Cı´le V cˇa´sti cı´le se dozvı´te, co vsˇechno zvla´dnete a budete umeˇt po prostudovańı´ dane´ kapitoly.

1.3 Orientace v textu

Touto ikonou jsou oznacˇeny vsˇechny rˇesˇene´ prˇ´ıklady. Konec rˇesˇenyćh prˇ´ıkladu˚ je oznacˇen plny´m troju´helnıćˇkem.

Pojmy k zapamatovańı´

+

Prˇ´ıklad

3

X

Pojmy zde uvedene´ jsou veˇtsˇinou nove´ a zcela za´sadnı´ pojmy, ktere´ je trˇeba umeˇt prˇesneˇ definovat. To znamena´ pojem nejen pochopit a umeˇt ilustrovat na prˇ´ıkladech, ale take´ umeˇt vyslovit jeho prˇesnou definici.

Kontrolnı´ ota´zky Teˇmito ota´zkami si oveˇrˇ´ıte, zda jste dany´m pojmu˚m porozumeˇli, zda si uveˇdomujete rozdı´ly mezi zdańliveˇ podobny´mi pojmy, zda dovedete uve´st prˇ´ıklad ilustrujıćı´ danou situaci atd.

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ Tyto prˇ´ıklady slouzˇ´ı k tomu, abyste si du˚kladneˇ procvicˇili probranou la´tku.

Autotest Pomocı´ autotestu si otestujete sve´ znalosti a pocˇetnı´ dovednosti z urcˇite´ho objemu ucˇiva.

Pro za´jemce Tato cˇa´st obsahuje komenta´rˇe, prˇ´ıp. rozsˇ´ırˇenı´ ucˇiva. Je nepovinna´ a je od ostatnı´ho textu odlisˇena mensˇ´ım typem pı´sma.

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ Za kazˇdy´m oddı´lem s prˇ´ıklady k procvicˇenı´ je uveden klıćˇ ke cvicˇenı´m, ktery´ obsahuje vy´sledky nerˇesˇenyćh prˇ´ıkladu˚.

Literatura Jedna´ se o literaturu pouzˇitou autory prˇi vytva´rˇenı´ tohoto studijnı´ho materia´lu, nikoliv o literaturu doporucˇenou k dalsˇ´ımu studiu. Pokud neˇkterou z uvedenyćh publikacı´ doporucˇujeme za´jemcu˚m, pak je to v textu spolu s odkazem na dany´ titul jasneˇ uvedeno.

?

! -

U´vod

4

Rejstrˇ´ık Rejstrˇ´ık, uvedeny´ na konci skript, poslouzˇ´ı ke snadne´ orientaci v textu.

Za´veˇrem Cely´ text vycha´zı´ z koncepce vyúky matematicke´ analy´zy pro prvnı´ rocˇnı´k na Fakulteˇ elektrotechniky a informatiky VSˇB–TU v Ostraveˇ a na Fakulteˇ vojenskyćh technologiı´ Univerzity obrany. Jako podklad k vytvorˇenı´ tohoto textu poslouzˇila skripta [7]. Vy´klad i graficka´ podoba byly uzpu˚sobeny potrˇeba´m studentu˚ v distancˇnı´ a kombinovane´ formeˇ studia. Text existuje ve dvou verzıćh — tisˇteˇne´ a interaktivnı´. U interaktivnı´ verze se jedna´ o multimedia´lnı´ vyúkovy´ text obsahujıćı´ animace a interaktivnı´ testy. Oba studijnı´ materia´ly byly vytvorˇeny v ra´mci projektu Operacˇnı´ho programu Rozvoje lidskyćh zdroju˚ CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 Studijnı´ opory s prˇevazˇujıćı´mi distancˇnı´mi prvky pro prˇedmeˇty teoreticke´ho za´kladu studia. Tento projekt je spolufinancovań Evropsky´m socia´lnı´m fondem a sta´tnı´m rozpocˇtem Cˇeske´ republiky ´ stavu matematiky Deˇkujeme recenzentu˚m prof. RNDr. Josefu Diblı´kovi, DrSc. z U ˇ ´ stavu a deskriptivnı´ geometrie FAST VUT v Brneˇ a doc. RNDr. Zdenˇku Smardovi, CSc. z U matematiky FEKT VUT v Brneˇ za rˇadu prˇipomıńek, ktere´ napomohly ke zlepsˇenı´ textu. ´ Da´le bychom chteˇli take´ podeˇkovat prof. RNDr. Sˇtefanu Schwabikovi, DrSc. z MU AV CˇR a RNDr. Petrˇe Sˇarmanove´, Ph.D. z FEI VSˇB–TU Ostrava za poskytnutı´ materia´lu ty´kajıćı´ho se historie integra´lnı´ho pocˇtu. Za pomoc se zarˇazenı´m animacı´ do interaktivnı´ verze a vytvorˇenı´ u´vodnıćh strańek vyúkove´ho CD deˇkujeme Ing. Mgr. Michalovi Halecke´mu. Text byl prˇipraven sa´zecı´m syste´mem pdf TEX ve forma´tu LATEX 2ε , veˇtsˇina obra´zku˚ byla vytvorˇena programem METAPOST s pouzˇitı´m balı´ku TEXovskyćh maker mfpic. Dva obra´zky byly prˇipraveny v programu Maple.

Brno, za´rˇ´ı 2006

Autorˇi

5

Kapitola 2 Neurcˇity´ integra´l Pru˚vodce studiem V prˇedcha´zejıćı´m studiu jste se sezna´mili s du˚lezˇity´m pojmem, a to derivacı´ funkce. Funkci f byla prˇirˇazena jisty´m zpu˚sobem definovana´ nova´ funkce f 0 . Prˇitom pro konkre´tnı´ hodnotu x cˇı´slo f 0 (x) mohlo mı´t ru˚znou interpretaci podle toho, co vyjadrˇovala funkce f . Naprˇ. geometricky hodnota f 0 (x) meˇla vy´znam smeˇrnice tecˇny ke grafu funkce f v bodeˇ [x, f (x)], tj. byla to tangenta u´hlu, ktery´ svı´rala tecˇna s kladnou cˇa´stı´ osy x. Vyjadrˇovala-li funkce f polohu bodu pohybujıćı´ho se po prˇ´ımce v za´vislosti na cˇase, uda´valo cˇı´slo f 0 (x) okamzˇitou rychlost tohoto bodu v cˇase x, vyjadrˇovala-li funkce f okamzˇitou rychlost takove´ho bodu v za´vislosti na cˇase, uda´valo cˇı´slo f 0 (x) okamzˇite´ zrychlenı´ tohoto bodu v cˇase x, atd. Obecneˇ hodnota f 0 (x) vyjadrˇovala „mı´ru“ velikosti zmeˇny funkce f v za´vislosti na zmeˇneˇ neza´visle promeˇnne´ x. Cˇ´ım veˇtsˇ´ı byla hodnota f 0 (x), tı´m prudcˇeji funkce f naru˚stala v okolı´ bodu x a naopak. U´loha, kterou se v te´to kapitole budeme zaby´vat, je v podstateˇ opacˇna´. K zadane´ funkci f budeme hledat funkci F takovou, aby platilo F 0 = f . Budeme se tedy pta´t, jakou funkci je nutne´ derivovat, abychom dostali zadanou funkci f . Tudı´zˇ ze znalosti smeˇrnic tecˇen ke grafu funkce budeme chtı´t najı´t tuto funkci, ze znalosti okamzˇite´ rychlosti bodu budeme chtı´t zjistit polohu tohoto bodu, ze znalosti okamzˇite´ho zrychlenı´ bodu budeme chtı´t urcˇit jeho okamzˇitou rychlost apod. V te´to kapitole si mimo jine´ho postupneˇ vsˇimneme zejmeńa na´sledujıćıćh ota´zek: • Zda vu˚bec takova´ funkce F existuje. • Zda takovyćh funkcı´ mu˚zˇe by´t vıće. • Jak neˇjakou takovou funkci najı´t ke konkre´tneˇ zadane´ elementa´rnı´ funkci f . Zatı´mco odpoveˇdi na prvnı´ dveˇ ota´zky budou mı´t teoreticˇteˇjsˇ´ı charakter, u trˇetı´ ota´zky, ktere´ bude veˇnovańo nejvıć mı´sta, na´m pu˚jde o prakticke´ nalezenı´ takove´ funkce F .

S Z

V J

Neurcˇity´ integra´l

6

ó

Cı´le Po prostudovańı´ te´to kapitoly budete schopni: • • • • • • •

objasnit pojem primitivnı´ funkce, objasnit pojem neurcˇity´ integra´l, prakticky integrovat neˇktere´ jednoduche´ funkce, pouzˇ´ıt metodu per partes a substitucˇnı´ metodu, integrovat raciona´lnı´ lomenou funkci, integrovat integra´ly obsahujıćı´ goniometricke´ funkce, integrovat integra´ly obsahujıćı´ odmocniny.

2.1. Primitivnı´ funkce a neurcˇity´ integra´l Definice 2.1. Necht’funkce f (x) je definovana´ na intervalu I . Funkce F (x) se nazy´va´ primitivnı´ k funkci f (x) na I , jestlizˇe platı´ F 0 (x) = f (x) pro kazˇde´ x ∈ I . Mnozˇina vsˇech primitivnı Rćh funkcı´ k funkci f (x) na I se nazy´va´ neurcˇity´ integra´l z funkce f (x) a znacˇ´ı se f (x) dx. Tedy Z f (x) dx = {F (x) : F (x) je primitivnı´ k f (x) na I }. (2.1) Pokud v prˇedchozı´ definici nenı´ interval I otevrˇeny´, v krajnıćh bodech ma´me na mysli jednostranne´R derivace. Symbol pro neurcˇity´ integra´l vznikl protazˇenı´m pı´smene S, ktery´m zacˇ´ına´ slovo suma (jakou to ma´ souvislost, bude patrne´ v kapitole 3). Funkci f (x) nazy´va´me integrandem. Vy´raz dx je diferencia´l promeˇnne´ x a v tuto chvı´li je jeho vy´znam jen v tom, zˇe na´m rˇ´ıka´, jak je oznacˇena´ promeˇnna´. Pozdeˇji ale uvidı´me, zˇe na´m usnadnı´ naprˇ. vy´pocˇetnı´ mechanismus prˇi tzv. substitucˇnı´ metodeˇ. Zkusme nynı´ najı´t neˇjakou primitivnı´ funkci naprˇ. k funkci cos x, x ∈ R. Nenı´ teˇzˇke´ uhodnout, zˇe takova´ funkce je naprˇ. F (x) = sin x, protozˇe (sin x)0 = cos x. Ale take´ pro funkci sin x + 3 platı´ (sin x + 3)0 = cos x, tudı´zˇ i funkce sin x + 3 je primitivnı´ k funkci cos x. Podobneˇ obecneˇji vsˇechny funkce sin x + c, kde c ∈ R je libovolna´ konstanta, jsou primitivnı´ k funkci cos x. Obecneˇ platı´: Je-li F (x) primitivnı´ k f (x) na intervalu I , jsou take´ funkce F (x) + c, kde c ∈ R je libovolna´ konstanta, rovneˇzˇ primitivnı´ k f (x) na I . Ma´-li tedy funkce f (x) asponˇ jednu primitivnı´ funkci, ma´ jich pak nekonecˇneˇ mnoho. Nasky´ta´ se ota´zka, zda toto uzˇ jsou vsˇechny primitivnı´ funkce k funkci f (x). Odpoveˇd’ da´va´ na´sledujıćı´ veˇta. Veˇta 2.2. Necht’ funkce F (x) je primitivnı´ k funkci f (x) na intervalu I . Pak kazˇda´ jina´ primitivnı´ funkce k funkci f (x) na I ma´ tvar F (x) + c, kde c ∈ R.

2.1 Primitivnı´ funkce a neurcˇity´ integra´l

7

Du˚kaz. Necht’ F (x) a G(x) jsou dveˇ primitivnı´ funkce k f (x). Tedy F 0 (x) = G0 (x) = = f (x). Protozˇe I je interval, platı´ podle du˚sledku Lagrangeovy1 veˇty o strˇednı´ hodnoteˇ — viz [12, str. 233], zˇe tyto funkce se lisˇ´ı o konstantu, tj. existuje c ∈ R tak, zˇe G(x) = = F (x) + c, cozˇ jsme meˇli doka´zat. Jiny´mi slovy, prˇedchozı´ veˇta rˇ´ıka´, zˇe zna´me-li jednu primitivnı´ funkci, zna´me vsˇechny. Rozdı´l dvou takovyćh primitivnıćh funkcı´ je na intervalu I konstantnı´.

Pro za´jemce: Zdu˚razneˇme vsˇak, zˇe je podstatne´, zˇe I je interval. Pokud I nenı´ interval, mu˚zˇe se sta´t, zˇe F 0 (x) = G0 (x), ale F (x) − G(x) nenı´ na I konstantnı´. Naprˇ. funkce F (x) = sgn x uvazˇovana´ na mnozˇineˇ R r {0} je rovna −1 na intervalu (−∞, 0) a 1 na intervalu (0, +∞), a ma´ tedy v kazˇde´m bodeˇ mnozˇiny R r {0} nulovou derivaci — viz obr. 2.2. Jinou takovou funkcı´ majıćı´ vsˇude nulovou derivaci je naprˇ. G(x) = 0. Prˇitom jejich rozdı´l F (x) − G(x) = sgn x nenı´ na mnozˇineˇ R r {0} konstantnı´. Je ovsˇem konstantnı´ na kazˇde´m z intervalu˚ (−∞, 0) resp. (0, +∞), jsou-li uvazˇovańy samostatneˇ, cozˇ je ve shodeˇ s veˇtou 2.2. (Prˇipomenˇme, zˇe pojem primitivnı´ funkce jsme zavedli jen na intervalu.)

Vzhledem k prˇedchozı´ veˇteˇ mu˚zˇeme nynı´ upravit vzorec (2.1). Je-li F (x) neˇjaka´ primitivnı´ funkce k f (x), pak Z f (x) dx = F (x) + c, kde c ∈ R. (2.2) Cˇ´ıslo c nazy´va´me integracˇnı´ konstanta. Rˇ´ıka´me, zˇe neurcˇity´ integra´l je urcˇen azˇ na konstantu. Prˇesneˇji by vy´raz na prave´ straneˇ rovnosti (2.2) meˇl by´t ve slozˇenyćh za´vorkaćh, protozˇe jde o mnozˇinu, ale tento za´pis se nepouzˇ´ıva´. Rovnost (2.2) tedy znamena´, zˇe vsˇechny primitivnı´ funkce k funkci f (x) majı´ tvar F (x) + c, kde F (x) je jedna konkre´tnı´ pevneˇ zvolena´ primitivnı´ funkce k f (x) a c je libovolna´ konstanta. Je-li naprˇ. f (x) = cos x, za pevneˇ zvolenou primitivnı´ funkci mu˚zˇeme volit trˇeba F (x) = sin x. Pak Z cos x dx = sin x + c,

kde c ∈ R.

Situace je zna´zorneˇna na obr. 2.1. Grafy jednotlivyćh primitivnıćh funkcı´ jsou vu˚cˇi sobeˇ rovnobeˇzˇneˇ posunuty ve smeˇru osy y. Pro kazˇde´ pevneˇ zvolene´ x jsou tecˇny ke grafu˚m funkcı´ F (x) + c v bodech [x, F (x) + c] pro libovolne´ c ∈ R navza´jem rovnobeˇzˇne´, tedy majı´ stejne´ smeˇrnice, cozˇ odpovı´da´ tomu, zˇe vsˇechny primitivnı´ funkce F (x)+c majı´ touzˇ derivaci f (x). Situace je zna´zorneˇna na zmıńeˇne´m obra´zku pro konkre´tnı´ body x0 a x1 . 1 Joseph

Louis Lagrange (1736–1813) (cˇti lagranzˇ) — vy´znamny´ francouzsky´ matematik a mechanik. Zaby´val se mnoha oblastmi matematiky. Mimo jine´ ovlivnil rozvoj matematicke´ analy´zy a polozˇil za´klady variacˇnı´ho pocˇtu.


8

y y = F (x) + 2,5 y = F (x) + 1,5

y = F (x) = sin x x x0

O

x1

y = F (x) − 1,4

Obr. 2.1: Primitivnı´ funkce k funkci cos x

y

y = sgn x 1

O

x

Nynı´ si vsˇimneme ota´zky, zda k dane´ funkci f (x) vu˚bec neˇjaka´ primitivnı´ funkce existuje. Obecneˇ tomu tak nenı´. Naprˇ. o funkci sgn x definovane´ vztahem   −1 pro x < 0, sgn x = 0 pro x = 0,   1 pro x > 0,

−1

jejı´zˇ graf je na obr. 2.2, lze uka´zat, zˇe k nı´ neexistuje primitivnı´ funkce na intervalu (−∞, +∞). Tuto skutecˇnost nebudeme dokazovat (funkce sgn x nenı´ na R tzv. darbouObr. 2.2 xovska´ — viz naprˇ. [4, str. 187]). Nasˇteˇstı´ ale existuje velmi jednoducha´ postacˇujıćı´ podmıńka existence primitivnı´ funkce, ktera´ je obsahem na´sledujıćı´ veˇty. Veˇta 2.3. Je-li funkce f spojita´ na intervalu I , pak na tomto intervalu existuje alesponˇ jedna primitivnı´ funkce k funkci f . Veˇtu nebudeme dokazovat, protozˇe k tomu nema´me potrˇebne´ na´stroje. V kapitole 3 se zmıńı´me, jak se takova´ primitivnı´ funkce konstruuje (du˚sledek 3.29). Prˇedchozı´ veˇta je typicky´m prˇ´ıkladem tzv. existencˇnı´ veˇty. Rˇ´ıka´, zˇe neˇco existuje, ale nerˇ´ıka´, jak se to najde. (Ani du˚kaz, ktery´ jsme neuvedli, nenı´ v tomto smyslu konstruktivnı´.) Pozdeˇji se o tomto proble´mu, ktery´ znacˇneˇ komplikuje situaci kolem hledańı´ primitivnıćh funkcı´, jesˇteˇ zmıńı´me — viz kapitola 2.6. Na za´veˇr uvedeme jednoduchou, ale velmi du˚lezˇitou veˇtu, kterou budeme v dalsˇ´ım textu prˇi vy´pocˇtu neurcˇityćh integra´lu˚ neusta´le pouzˇ´ıvat.

2.1 Primitivnı´ funkce a neurcˇity´ integra´l

9

R R Veˇta 2.4. Necht’na intervalu I existujı ´ integra ´ ly f (x) dx a g(x) dx. Pak na I existujı´ R R take´ integra´ly (f (x) ± g(x)) dx a αf (x) dx, kde α ∈ R je libovolna´ konstanta, a platı´: Z

Z Z f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx, Z Z αf (x) dx = α f (x) dx.

(2.3) (2.4)

Du˚kaz. Plyne prˇ´ımo ze za´kladnıćh vlastnostı´ derivace. Je-li F (x) primitivnı´ funkce k f (x) a G(x) primitivnı´ funkce ke g(x), platı´ (F (x) ± G(x))0 = F 0 (x) ± G0 (x) = f (x) ± g(x), takzˇe F (x) ± G(x) je primitivnı´ funkce k f (x) ± g(x) a podobneˇ platı´ (αF (x))0 = = αF 0 (x) = αf (x), takzˇe αF (x) je primitivnı´ funkce k αf (x). Strucˇneˇ rˇ´ıka´me, zˇe „neurcˇity´ integra´l ze soucˇtu (rozdı´lu) je soucˇtem (rozdı´lem) neurcˇityćh integra´lu˚“ a zˇe „konstantu, kterou se na´sobı´ (tzv. multiplikativnı´ konstantu), smı´me z neurcˇite´ho integra´lu vytknout“. Prvnı´ tvrzenı´ lze pochopitelneˇ snadno rozsˇ´ırˇit ze dvou na libovolny´ konecˇny´ pocˇet scˇ´ıtancu˚. Vsˇimneˇte si rovneˇzˇ, zˇe z hlediska existence musı´me cˇ´ıst vzorce (2.3) a (2.4) zprava doleva — integra´ly na pravyćh stranaćh musı´ existovat; pak existujı´ i integra´ly nalevo a platı´ prˇ´ıslusˇne´ rovnosti. Konecˇneˇ jesˇteˇ prˇipomenˇme, zˇe prˇ´ımo z definice neurcˇite´ho integra´lu vyply´va´ platnost rovnostı´ Z 0 Z f (x) dx = f (x) a F 0 (x) dx = F (x) + c, c ∈ R, takzˇe operace derivovańı´ a integrace jsou navza´jem komplementa´rnı´. O spra´vnosti vy´sledku integrace se tudı´zˇ vzˇdy mu˚zˇeme prˇesveˇdcˇit derivovańı´m vy´sledku — musı´ na´m vyjı´t zadana´ funkce. Pozna´mka 2.5. Vsˇimneˇme si jesˇteˇ vztahu (2.3). Na jeho prave´ straneˇ stojı´ ve skutecˇnosti soucˇet dvou nekonecˇnyćhRmnozˇin. Uprˇesnı´me si, co se takovy´m souc R ˇ tem myslı´. Secˇteme libovolny´ prvek mnozˇiny f (x) dx s libovolny´m prvkem mnozˇiny g(x) dx. Vy´sledkem je mnozˇina vsˇech takovyćh soucˇtu˚. Avsˇak vsˇechny prvky prvnı´ho neurcˇite´ho integra´lu majı´ tvar F (x) + c1 , c1 ∈ R, a vsˇechny prvky druhe´ho neurcˇite´ho integra´lu majı´ tvar G(x) + c2 , c2 ∈ R. Zde F (x) a G(x) jsou pevneˇ zvolene´ primitivnı´ funkce k f (x) a g(x). Tedy vy´sledna´ mnozˇina je tvorˇena funkcemi tvaru F (x) + G(x) + c1 + c2 , kde c1 a c2 probı´hajı´ neza´visle vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla. Jde tedy o mnozˇinu tvorˇenou funkcemi F (x) + G(x) + c, kde c je libovolne´ rea´lne´ cˇ´ıslo. Ale to je prˇesneˇ leva´ strana zmıńeˇne´ho vztahu. R Podobneˇ ve vztahu (2.4) na´sobek mnozˇiny f (x) dx konstantou α na prave´ straneˇ tohoto vztahu provedeme tak, zˇe na´sobı´me konstantou α kazˇdy´ prvek te´to mnozˇiny. Prvky takto vytvorˇene´ mnozˇiny jsou pak vsˇechny funkce tvaru αF (x) + αc, kde c je libovolne´ rea´lne´ cˇ´ıslo, cozˇ je (pro α 6= 0) tote´zˇ, co vsˇechny funkce tvaru αF (x) + c.


10

2.2. Za´kladnı´ integracˇnı´ metody S Z

V J

Pru˚vodce studiem Obsahem tohoto oddı´lu bude naucˇit se prakticky integrovat neˇktere´ jednoduche´ funkce, se ktery´mi se v beˇzˇnyćh aplikacıćh setka´va´me. Prˇipomenˇme, zˇe tzv. elementa´rnı´mi funkcemi rozumı´me mocninne´ funkce, exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce, goniometricke´ a cyklometricke´ funkce, hyperbolicke´ a hyperbolometricke´ funkce a vsˇechny dalsˇ´ı funkce, ktere´ z nich mu˚zˇeme vytvorˇit konecˇny´m pocˇtem aritmetickyćh operacı´ secˇı´tańı´, odcˇı´tańı´, na´sobenı´ a deˇlenı´ a skla´dańı´m.

2.2.1. Tabulkove´ integra´ly Prvnı´ skupinu vzorcu˚ dostaneme, obra´tı´me-li za´kladnı´ vzorce pro derivovańı´. Po malyćh u´pravaćh z nich dostaneme vzorce cˇ. 1–10, 12 a 13 na´sledujıćı´ tabulky, ktera´ je doplneˇna o dva uzˇitecˇne´ vzorce 11 a 14. Vzorce z tabulky 2.1 se obvykle nazy´vajı´ tabulkove´ integra´ly. O spra´vnosti vsˇech na´sledujıćıćh vzorcu˚ se lze snadno prˇesveˇdcˇit derivovańı´m. Nezˇ si uka´zˇeme pouzˇitı´ vzorcu˚ na prˇ´ıkladech, uvedeme neˇkolik komenta´rˇu˚. R i) Vzorec 2 je zkraćeny´m za´pisemRpro 1 dx. Podobne R dx ˇ se ve vzorci 4 a dalsˇ´ıch obdob1 nyćh integra´lech pouzˇ´ıva´ mı´sto x dx za´pis x apod. ii) Vzorec 3 umozˇnˇuje integraci obecne´ mocniny, tj. i nejru˚zneˇjsˇ´ıch odmocnin. iii) Protozˇe derivace funkcı´ arkustangens a arkuskotangens se lisˇ´ı pouze znameńkem ´ zˇ platı´ pro arkussinus a arkuskosinus, je mozˇne´ ve vzorci 9 resp. 10 psa´t Ra tote R 1 1 dx = − arccotg x + c resp. √ 2 dx = − arccos x + c a analogicky v obecx 2 +1 1−x

nyćh verzıćh. iv) Ve vsˇech vzorcıćh je neza´visle promeˇnna´ oznacˇena´ pı´smenem x. Prˇi prakticke´m pouzˇitı´ tomu tak pochopitelneˇ nemusı´ vzˇdy by´t. Jak je promeˇnna´ Roznacˇena´, se dozvı´me zR diferencia´lu. Pak je trˇReba vzorec adekva´tneˇ „upravit“. Naprˇ. cos x dx = sin x + c, cos t dt = sin t + c, cos u du = sin u + c atd. Tato jednoducha´ za´meˇna neˇkdy deˇla´ studentu˚m proble´my. Zkuste se proto ucˇit vzorce z tabulky 2.1 bez promeˇnne´ (pokud je to asponˇ trochu mozˇne´). Naprˇ. — integra´l ze sinu je mıńus kosinus (vzorec 7), — integra´l z e na promeˇnnou je „to samo“ (vzorec 5), — integra´l z jedna lomeno promeˇnna´ je prˇirozeny´ logaritmus absolutnı´ hodnoty promeˇnne´ (vzorec 4), — integra´l z promeˇnne´ na entou je promeˇnna´ na en plus prvou lomeno tı´m samy´m cˇ´ıslem (vzorec 3). I kdyzˇ je to obcˇas trochu krkolomne´, uvidı´te, zˇe se va´m to vyplatı´. v) Domluvı´me se, zˇe vsˇude v dalsˇ´ım textu bude c prˇipsane´ na konci vy´pocˇtu neurcˇite´ho integra´lu znamenat integracˇnı´ konstantu. vi) Vzorce z prˇedchozı´ tabulky byste meˇli umeˇt bezpecˇneˇ zpameˇti. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ, i kdyzˇ budete mı´t tabulku k dispozici, nedoka´zˇete u trochu slozˇiteˇjsˇ´ıch prˇ´ıpadu˚ vybrat

2.2 Za´kladnı´ integracˇnı´ metody

11

Z 1.

0 dx = c, Z

2.

dx = x + c, Z

3. Z 4. Z 5.

x n dx =

x n+1 + c, n+1

kde n ∈ R, n 6= −1,

1 dx = ln |x| + c, x x

6.

x

a x dx =

ax + c, ln a

obecneˇji

Z 10.

sin ax dx = − Z

cos x dx = sin x + c,

9.

1 ax e + c, a

Z

Z Z

eax dx =

a > 0,

sin x dx = − cos x + c,

8.

Z obecneˇji

Z 7.

1 dx = ln |x + a| + c, x+a

obecneˇji

e dx = e + c, Z

Z

1 dx = arctg x + c, x2 + 1 1

obecneˇji

cos ax dx = Z

obecneˇji

√

Z Z

1 sin ax + c, a

1 1 x dx = arctg + c, x 2 + a2 a a

Z

dx = arcsin x + c, obecneˇji √ 1 − x2 Z p 1 11. dx = ln x + x 2 + a + c, √ x2 + a Z 1 12. dx = tg x + c, obecneˇji cos2 x Z 1 13. dx = − cotg x + c, obecneˇji sin2 x Z 0 f (x) 14. dx = ln |f (x)| + c. f (x)

1 cos ax + c, a

1 a2 − x 2

dx = arcsin

x + c, a

1 1 dx = tg ax + c, 2 cos ax a 1 sin2 ax

dx = −

1 cotg ax + c, a

Tab. 2.1: Tabulka neurcˇityćh integra´lu˚ V prˇedchozı´ tabulce a znamena´ s vy´jimkou vzorce 6 libovolne´ nenulove´ cˇ´ıslo, tj. a ∈ R r {0}. Cˇ´ıslo c ∈ R je integracˇnı´ konstanta. Vzorce platı´ na intervalech, na nichzˇ jsou vzˇdy obeˇ strany definovańy.


12

+

spra´vny´ vzorec. U prˇ´ıkladu˚, kde je nutna´ neˇjaka´ u´prava, va´s nenapadne, jakou zvolit, protozˇe nebudete ve vzniklyćh vy´razech videˇt prˇ´ıslusˇne´ vzorce. Rozhodneˇ neveˇrˇte, zˇe k u´speˇsˇne´mu integrovańı´ stacˇ´ı mı´t tabulku vzorcu˚ prˇed ocˇima a nenı´ trˇeba vzorce zna´t zpameˇti. Prˇ´ıklad 2.6. Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ neurcˇite´ integra´ly: Z Z 1 a) x dx, b) dx, x2 Z Z 1 d) dx, e) e−x dx, √ 3 x Z Z 1 1 dx, h) g) dx, √ √ 2 2 4−x x −7

Z

√ x dx,

Z

1 dx, x2 + 3

Z

3x 2 + 1 dx. x3 + x + 2

c) f) i)

Rˇesˇenı´. K rˇesˇenı´ prvnıćh cˇtyrˇ prˇ´ıkladu˚ vyuzˇijeme 3. vzorec. Z x2 a) x dx = + c (zde bylo n = 1), 2 Z Z 1 x −1 1 −2 b) dx = x dx = + c = − + c (zde bylo n = −2), x2 −1 x Z Z √ x 3/2 2p 3 c) x dx = x 1/2 dx = +c = x + c (zde bylo n = 1/2 ), 3/2 3 Z Z x 2/3 3p 1 3 −1/3 dx = x dx = +c = d) x 2 + c (zde bylo n = −1/3 ). √ 3 2/3 2 x e) Dalsˇ´ı prˇ´ıklad je na vzorec 5, kde a = −1. Dostaneme Z e−x e−x dx = + c = −e−x + c. −1 2 f) V tomto prˇ´ıkladu √ pouzˇijeme vzorec 9. Zde je a = 3, tedy a = volit i a = − 3, ale procˇ si komplikovat zˇivot). Potom vyjde Z 1 x 1 dx = √ arctg √ + c. 2 x +3 3 3

√ 3 (mohli bychom

g) V tomto prˇ´ıkladu pouzˇijeme vzorec 10. Zde je a 2 = 4, tedy a = 2. Vyjde tudı´zˇ Z 1 x dx = arcsin + c. √ 2 4 − x2 h) V tomto prˇ´ıkladu pouzˇijeme vzorec 11. Zde je a = −7, takzˇe po dosazenı´ vyjde Z p 1 dx = ln x + x 2 − 7 + c. √ x2 − 7 i) V poslednı´m prˇ´ıkladu pouzˇijeme vzorec 14. Nenı´ totizˇ teˇzˇke´ vsˇimnout si, zˇe derivace jmenovatele je (x 3 + x + 2)0 = 3x 2 + 1, cozˇ je pra´veˇ cˇitatel. Tedy

2.2 Za´kladnı´ integracˇnı´ metody Z

13

3x 2 + 1 dx = ln |x 3 + x + 2| + c. x3 + x + 2

N

Prˇ´ıklad 2.7. Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ neurcˇite´ integra´ly: Z Z 2 3 5 4 3 2 −√ dx, a) (2x − x + 3x − 3x + 2) dx, b) √ 4 − 3x 2 4 + 3x 2 Z 2 x 7 4 2 x 2x/3 c) − 3 sin 5x + 2 cos + 3 − x + − + 2e dx. cos2 x 2 2 3 − x 3x + 2 Rˇesˇenı´. a) Jde o integraci mnohocˇlenu, cozˇ je s pomocı´ vzorce 3 a vztahu (2.4) snadne´: Z (2x 5 − x 4 + 3x 3 − 3x 2 + 2) dx = Z Z Z Z Z 5 4 3 2 = 2 x dx − x dx + 3 x dx − 3 x dx + 2 dx = =2

x6 x5 x4 x3 x 6 x 5 3x 4 − +3 −3 + 2x + c = − + − x 3 + 2x + c. 6 5 4 3 3 5 4

b) Integra´l rozdeˇlı´me na dva a pouzˇijeme vzorce 10 a 11. Z Z Z 3 2 dx dx −√ −2 √ . dx = 3 √ √ 4 − 3x 2 4 + 3x 2 4 − 3x 2 4 + 3x 2

(2.5)

Protozˇe prˇed pouzˇitı´m zmıńeˇnyćh vzorcu˚ je trˇeba integrandy upravit, spocˇ´ıta´me kazˇdy´ integra´l pro veˇtsˇ´ı prˇehlednost samostatneˇ (integracˇnı´ konstantu doplnı´me azˇ na za´veˇr): Z Z Z dx 1 dx dx p p = =√ = √ 3 4 − 3x 2 3(4/3 − x 2 ) 4/3 − x 2 √ √ √ 1 x 1 x 3 3 x 3 = √ arcsin 2 = √ arcsin = arcsin 2 3 2 √ 3 3 3

√ (ve vzorci 10 bylo a 2 = 4/3, tj. a = 2/ 3) a Z Z Z dx dx 1 dx p p = =√ = √ 3 4 + 3x 2 3(4/3 + x 2 ) 4/3 + x 2 q 1 = √ ln x + 4/3 + x 2 . 3

+

V dalsˇ´ıch prˇ´ıkladech pouzˇijeme navıć i veˇtu 2.4, s jejı´zˇ pomocı´ prˇevedeme slozˇiteˇjsˇ´ı integra´l na vy´pocˇet neˇkolika jednodusˇsˇ´ıch.


14

Vsˇimneˇte si, zˇe funkce se lisˇ´ı v jedine´m znameńku, ale jejich integra´ly jsou zcela odlisˇne´. Dosazenı´m do (2.5) dostaneme √ Z q √ 3 2 x 3 2 −√ dx = 3 arcsin − √ ln x + 4/3 + x 2 + c. √ 2 3 4 − 3x 2 4 + 3x 2 Integracˇnı´ konstantu jsme doplnili azˇ k celkove´mu vy´sledku. c) Integra´l rozdeˇlı´me na neˇkolik jednodusˇsˇ´ıch a pouzˇijeme (po prˇ´ıpadnyćh malyćh u´pravaćh) potrˇebne´ vzorce. Z

2 x 7 4 2 x 2x/3 − 3 sin 5x + 2 cos + 3 − x + − + 2e dx = cos2 x 2 2 3 − x 3x + 2 Z Z Z Z dx x =2 − 3 sin 5x dx + 2 cos dx + 3x dx − cos2 x 2 Z Z Z Z x dx dx 1 2 dx − 4 − + 2 e2x/3 dx = −7 2 x−3 3 x + 2/3 1 x sin x2 − cos 5x 3x = 2 tg x − 3 +2 1 + − 7 2 1 − 4 ln |x − 3| − 5 ln 3 ln 2 2 −

e2x/3 2 ln |x + 2/3| + 2 2 + c = 3 3

= 2 tg x + −

3 x 3x 7 cos 5x + 4 sin + + x − 4 ln |x − 3| − 5 2 ln 3 2 ln 2

2 ln |x + 2/3| + 3 e2x/3 + c. 3

N

+

Vsˇimneˇte si, zˇe integracˇnı´ konstantu prˇi vy´pocˇtu neurcˇite´ho integra´lu musı´me napsat v okamzˇiku, kdy byl urcˇen poslednı´ integra´l. Prˇi na´sledujıćıćh u´pravaćh ji pak opisujeme. Prˇ´ıklad 2.8. Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ neurcˇite´ integra´ly: Z Z 2 a) tg au du, a 6= 0, b) tg bs ds,

Z b 6= 0,

c)

dt . sin t

Rˇesˇenı´. Vsˇechny trˇi prˇ´ıklady prˇevedeme vhodny´mi u´pravami na tabulkove´ integra´ly. Musı´me da´vat pozor, jak je oznacˇena´ promeˇnna´, tentokra´t to nenı´ x. ´ prava je velmi jednoducha´, pouzˇijeme vztah sin2 α +cos2 α = 1, platny´ pro libovolne´ a) U α ∈ R, a vzorec 12. Z Z Z sin2 au 1 − cos2 au 2 tg au du = du = du = cos2 au cos2 au Z Z 1 cos2 au 1 1 = − du = − 1 du = tg au − u + c. cos2 au cos2 au cos2 au a


15

sin bs b) V tomto prˇ´ıkladu pouzˇijeme vzorec 14. Platı´ tg bs = cos bs a derivace (podle pro0 meˇnne´ s) jmenovatele je (cos bs) = −b sin bs. V cˇitateli na´m tudı´zˇ chybı´ −b. Protozˇe jde o konstantu, snadno to napravı´me s ohledem na vzorec (2.4). Vyjde

Z

Z tg bs ds =

sin bs 1 ds = − cos bs b

Z

−b sin bs 1 ds = − ln | cos bs| + c. cos bs b

c) I tentokra´t pouzˇijeme vzorec 14 (hned dvakra´t), ale azˇ po neˇkolika u´pravaćh pomocı´ vzorcu˚ pro goniometricke´ funkce sin2 α + cos2 α = 1 a sin 2α = 2 sin α cos α, ktere´ platı´ pro libovolne´ α ∈ R. Prˇitom zvolı´me α = t/2. Z

Z sin2 2t cos2 2t sin2 2t + cos2 2t dt = + dt = 2 sin 2t cos 2t 2 sin 2t cos 2t 2 sin 2t cos 2t Z Z Z 1 t sin 2t cos 2t − 12 sin 2t 2 cos 2 dt = − = + dt + dt = 2 cos 2t 2 sin 2t cos 2t sin 2t t t sin 2t t = − ln cos + ln sin + c = ln t + c = ln tg + c, 2 2 2 cos 2

dt = sin t

Z

kde jsme v pru˚beˇhu u´prav do cˇitatele doplnili chybeˇjıćı´ −1 obdobneˇ jako v prˇedchozı´m prˇ´ıkladu. N V dosud rˇesˇenyćh prˇ´ıkladech jsme se u´myslneˇ nezaby´vali definicˇnı´m oborem, abychom neodva´deˇli pozornost od vlastnı´ho integrovańı´. V neˇkteryćh prˇ´ıkladech by bylo jeho urcˇenı´ jednoduche´, v jinyćh slozˇiteˇjsˇ´ı. Nikdy nesmı´me zapomıńat, zˇe nasˇe vy´sledky platı´ jen na intervalech, na nichzˇ jsou vsˇechny funkce definovańy. Upozorneˇme, zˇe ve vy´sledcıćh vsˇech cvicˇenı´ ty´kajıćıćh se neurcˇityćh integra´lu˚ v teˇchto skriptech pro strucˇnost nejsou uva´deˇny integracˇnı´ konstanty.

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Integrujte dane´ funkce: Z a) 3x −1 dx, Z d)

5x dx,

g)

2,4x Z

j)

Z b) Z

7

Z

!

−0,16

1,5 dx, x

e) Z dx,

h) k)

√ 4 1 x x − + dx, x 2 3

3 dx, 4 −3

4x dx, Z 3,4 6 + dx, √ 3 x3 x2

Z c) Z f) Z i) Z l)

x 12 dx, (x + 2)3 dx, x3 x −a dx, a 6= 1, 4 du. u2


16

2. Integrujte dane´ funkce: Z a) Z d)

Z

4x 3 dx, u

−5

b)

du,

e)

j)

Z c)

√

Z

Z

g)

x 5 + 2x 4 − x 2 dx, x3 z

2

dz,

f)

Z

5 dR, R6 Z 3 dt, t

h) k)

8m3/5 dm, Z 3 1 + dz, √ z4 z

i)

3z dz, 4 Z √ 3 ρ dρ, Z x −t dt,

Z l)

√ (3 5 η − 7η) dη.

3. Integrujte dane´ funkce: Z a) Z c) Z e)

x3 − 2 x + 1 dx, x3

b)

5 dy, y 2/7

d)

(4 x 5 + x 3 − 5) dx,

f)

(R + 1)2 dR, √ R Z 50 dt, (5t)3 Z √ 1 1 dK, K+ + K+√ K K

Z

Z

g) i) k)

h) j) l)

5 √ dM, M Z q√ 3 4 x 2 dx, Z 1 dh, g 6= 0, √ 2gh Z 1−x 2 dx, x Z √ τ dτ, τ2 Z √ 3 14 u 4 11 du. − 5/3 − 3 u 3 u2

4. Integrujte dane´ funkce: Z

3

2

(x − 3x + 4x − 7) dx,

a)

Z b)

Z c) e) g)

k)

x 4 − 10x 2 + 5 dx, x2 √ Z 4x − 2 x dx, x Z √ 2 1 + x dx, Z

x(2x − 5) dx, r Z √ 2 2x + dx, x Z √ √ x + 1 x − x + 1 dx, 1 2 1− √ dx, 3 x Z √ 4 x + 2 + x −4 dx, x3

d) f) h)

Z

i)

4x 2 √ + (3 − 2x) dx, 3x

Z

√ x(1 − x 2 ) dx,

Z

2 − x2 √ dx. x+ 2

j)

l)


17

5. Integrujte dane´ funkce: Z a) c) e)

(8 cos α − 3 sin α) dα, Z 1 sin x − dx, cos2 x Z a dθ, b · sin2 θ Z

g)

k)

d) f)

5 sin2 + 3 cos2 d, 2 sin2 cos2

Z i)

b)

Z √ (2 σ + 1)2 −2 + cos σ dσ, σ2 Z 1 dx, 3 cos2 x Z cos3 φ − 0,8 dφ, cos2 φ 3 − 2 tg−2 x dx, cos2 x

Z h) Z

x

R · 10 dx,

j)

Z √ x T dx, T > 0,

4λ dλ,

Z l)

0,5

√ eρ dρ.

6. Integrujte dane´ funkce: 3 − 2 cotg2 x dx, cos2 x Z e−u u e 1+ du, cos2 u Z 4 dx, √ 4 − 4x 2 Z 5 dt, 9 + 9 t2 Z

a) d) g) j)

Z b)

Z

3 · 8τ dτ,

c)

e2t − 1 dt, et − 1

f)

Z e)

sin2

e3ρ + 1 dρ, eρ + 1 √ Z 3 − 1 − z2 dz, √ 1 − z2 Z (2x + 3x )2 dx.

Z

Z

1 dθ, √ 3 − 3θ 2 Z 1 dx, x ln x

h) k)

dx , x · cos2 x

i) l)

7. Integrujte dane´ funkce: Z a)

2 · 7 dx, Z

d) Z g) j)

Z

x

b)

−x

3 + e sin x dx, e−x −4

dx, √ 16 − 16 x 2 Z 2 x +3 dx, x2 + 1

e

ex 1+ 3

Z dx,

e

−1 dx, ex 2 2x − 3x dx, 6x

e) Z h) Z

c)

a

4 (2 u2 + 2)−1 du,

x

a −x 1+ √ dx, x3

a > 0, Z B 3 x dx, B > 0,

2x

Z

k)

x

f)

Z √ 1 + x2 dx, √ 1 − x4 Z 2 h −1 dh. h2 + 1

i) l)


x4 dx, x2 + 1

Z b)

sin 2υ dυ, sin υ

Z c)

1 dw, w 2 (1 + w2 )


18 Z d) Z g) Z j)

Z

cos 2β dβ, 1 − sin2 β

e)

Z

1 dω, 1 + cos 2ω

f)

tg 9 d9,

h)

t dt, t +4

k)

φ 2

dφ,

(x + 1)2 dx, x(x 2 + 1) Z η+2 dη. 2η − 1

Z

2

sin2

Z

1 dτ, sin2 2τ Z 3+U dU, 3−U

i) l)

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ 1. a) 3 ln |x|, e)

3 x, 4

i)

x 1−a , 1−a

2. a) x 4 , e)

z1+

j)

4. a) d) g) j)

g) k)

b)

x3 + x 2 − ln |x| , 3

c)

f)

2ρ 3/2 ,

g)

j) 3 ln |t|,

1 2 + , 2 x2 x

2 6 1 4 e) x + x − 5x, 3 4 1 h) x − 2 ln |x| − , x k)

c)

1,5 ln |x|,

√ 2

√ , 1+ 2 x −t i) − , ln |x|

3. a) x −

x4 2 √ − ln |x| + x 4 x, 4 5 12 4 f) x + 6 ln |x| − − 2, x x

b)

k) b)

10

√ M,

x 13 , 13 20 0,84 x , 7 −

√ 1,7 3 + 18 x, 2 x

3z2 , 8 1 − 5, R √ 1 − 3 +2 z, z c)

7 y 5/7 ,

g)

2

s f) i)

2h , g 1 − 2, 5t

j)

d)

5 8 x , 8

h)

−2x −2 ,

l)

4 − . u

1 , 4u4

d)

−

h)

5m8/5 ,

l)

5 η6/5 − 7η2 . 2 d)

3 x 4/3 ,

√ 2 R 5/2 4 R 3/2 R+ + , 5 3 2 −√ , τ

√ √ K2 2K K 28u5/2 33 4 + ln |K| + + 2 K, l) + + . 2/3 2 3 15 2u 3u x4 4 8p 3 2 5 3x + 9x − 6x 2 + x 3 , c) x 3 − x 2 , − x 3 + 2x 2 − 7x, b) 4 9 3 3 2 √ √ x3 5 x − 10x − , e) 2 2x +1 , f) 4(x − x), 3 x 3 x2 2 5/2 4 √ x + x, h) x + x x + , i) x − 3x 2/3 + 3x 1/3 , 5 3 2 √ 2 3/2 2 7/2 1 x2 x − x , k) ln |x| − 4 , l) 2x − . 3 3 4x 2


5. a) d) g) j) 6. a)

8 sin α + 3 cos α, 1 tg x , 3 5 tg − 3 cotg , 2 4λ , ln 4

eu + tg u ,

g)

2 arcsin x,

j)

5 arctg t, 9

7. a)

8 1 b) 4 ln |σ | − √ − + tg σ, σ σ a e) − cotg θ , b h)

2 · 7x , ln 7

d)

3ex − cos x,

g)

arccos x,

j)

x + 2 arctg x,

f)

3 · 8τ , ln 8 e) et + t, 1√ h) 3 arcsin θ, 3

i) l)

b)

c)

k) ln | ln x|,

l)

b)

b)

d)

2β − tg β,

e)

e2x e + , 6

g)

tg 9 − 9,

h)

j)

t − 4 ln |t + 4|,

k)

1 tg ω, 2 1 − tg 2τ, 2 −U − 6 ln |U − 3|,

R · 10x , ln 10 √ eρ .

12e2x 9e2x 2e2x + + . ln 6 2 ln 3 ln 2

x

2 sin υ,

sin φ − 0,8 tg φ,

tg x − cotg x, 1 2ρ e − eρ + ρ, f) 2 i) −z + 3 arcsin z,

c)

e) ex + e−x , x 2 x − 32 3 h) − 2x, ln 23 k) 2 arctg u,

x3 − x + arctg x, 3

8. a)

c) − cos x − tg x,

3 tg x + 2 cotg x, √ x T √ , ln T

k)

3 tg x + 2 cotg x,

d)

19

f)

ax 2 −√ , ln a x 3x B , 3 ln B

i)

arcsin x,

l)

h − 2 arctg h.

1 , w φ φ φ f) − cos sin + , 2 2 2

c) − arctg w −

i)

ln |x| + 2 arctg x,

l)

η 5 + ln |2η − 1|. 2 4

2.2.2. Metoda per partes Doposud jsme se naucˇili pocˇ´ıtat tzv. tabulkove´ integra´ly a integra´ly, ktere´ na neˇ lze prˇeve´st vhodnou u´pravou. Z prˇedchozı´ho textu vı´me, zˇe integra´l ze soucˇtu resp. rozdı´lu je soucˇtem resp. rozdı´lem integra´lu˚. Bohuzˇel nic podobne´ho vsˇak neplatı´ pro soucˇin resp. podı´l. Rozhodneˇ tedy nenı´ obecneˇ pravda, zˇe integra´l ze soucˇinu resp. podı´lu je roven soucˇinu resp. podı´lu integra´lu˚. To na´s nemu˚zˇe prˇekvapit, protozˇe ani derivace soucˇinu resp. podı´lu nenı´ obecneˇ soucˇinem resp. podı´lem derivacı´. Nicmeńeˇ integracı´ rovnosti ze vzorce pro derivaci soucˇinu dostaneme velmi uzˇitecˇny´ vztah pro integraci soucˇinu.


20

Veˇta 2.9. Necht’ funkce u(x) a v(x) majı´ derivaci na intervalu I . Pak platı´ Z Z 0 u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − u0 (x)v(x) dx,

(2.6)

pokud asponˇ jeden z integra´lu˚ v prˇedchozı´m vztahu existuje. Du˚kaz. Pro funkce u(x) a v(x) majıćı´ derivaci platı´ vztah (u(x)v(x))0 = u0 (x)v(x) + + u(x)v 0 (x). Jeho integracı´ dostaneme Z Z 0 u(x)v(x) dx = u(x)v(x) + c = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) dx. R R 0 0 + u0 v) dx tedy existuje. Pokud existuje aspon Integra ´ l (uv ˇ jeden z integra ´ lu ˚ uv dx, R 0 R 0 u v dx, necht’ je to napr ˇ . uv dx, musı ´ podle ve ˇ ty 2.4 existovat i integra ´ l z rozdı´lu R 0 R 0 0 0 (uv + u v) − uv dx = u v dx, cozˇ je druhy´ uvazˇovany´ integra´l, takzˇe Z Z 0 u(x)v(x) + c = u (x)v(x) dx + u(x)v 0 (x) dx a odtud jizˇ dosta´va´me vztah (2.6).

+

V prˇ´ıkladech, ktere´ budeme rˇesˇit, budou mı´t funkce spojite´ derivace, takzˇe existence integra´lu˚ bude zarucˇena veˇtou 2.3. Integracˇnı´ metoda zalozˇena´ na vztahu (2.6) se nazy´va´ metoda per partes (cˇesky po cˇa´stech). Strucˇneˇ ji zapisujeme Z Z 0 uv dx = uv − u0 v dx. Hodı´ se na integra´ly, jejichzˇ integrand ma´ tvar soucˇinu. Abychom doka´zali napsat pravou stranu vztahu (2.6), musı´me jeden cˇinitel v leve´ straneˇ (v nasˇem oznacˇenı´ u) umeˇt derivovat (abychom zı´skali u0 ), cozˇ neby´va´ proble´m, a druhy´ cˇinitel (v nasˇem oznacˇenı´ v 0 ) musı´me umeˇt integrovat (abychom zı´skali v), cozˇ uzˇ mu˚zˇe by´t proble´m. A konecˇneˇ integra´l na prave´ straneˇ by meˇl by´t jednodusˇsˇ´ı z hlediska dalsˇ´ı integrace. Postup si uka´zˇeme na prˇ´ıkladu. Z Prˇ´ıklad 2.10. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l x sin x dx, x ∈ R. Rˇesˇenı´. Soucˇin v zadańı´ je zrˇejmy´. Mu˚zˇeme si zvolit bud’u = x a v 0 = sin x, nebo naopak u = sin x a v 0 = x. 0 0 Zkusı R ´me nejprve prvnı´ volbu. Je-li u = x, bude u = 1. Da´le v = sin x, tedy v = sin x dx = − cos x (integracˇnı´ konstantu volı´me rovnu nule, stacˇ´ı na´m jedna konkre´tnı´ primitivnı´ funkce). Ze vzorce (2.6) dostaneme Z Z x sin x dx = x(− cos x) − 1 · (− cos x) dx = Z = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + c.


Tato volba tedy vedla k cı´li. Vy´pocˇet obvykle zapisujeme do jake´si tabulky, takzˇe za´pis vypada´ na´sledovneˇ: Z Z 0 =1 u=x u = x(− cos x) − 1 · (− cos x) dx = x sin x dx = 0 v = sin x v = − cos x Z = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + c. Prˇi rucˇnı´m za´pisu pı´sˇeme tabulku bud’ pod integra´l nebo vedle neˇho, zde budeme s ohledem na mı´sto da´vat prˇednost za´pisu vedle integra´lu a od zbytku vy´pocˇtu ji oddeˇlı´me svisly´mi cˇarami. Je dobre´ zvyknout si psa´t tuto pomocnou tabulku porˇa´d stejneˇ co do umı´steˇnı´ u, u0 , v a v 0 . Tento na´vyk va´m umozˇnı´ vyhnout se zbytecˇny´m chyba´m. Tedy v leve´m sloupci jsou funkce u a v 0 ze zadane´ho integra´lu, na „hlavnı´ diagona´le“ tabulky ma´me u a v a v prave´m sloupci ma´me funkce u0 a v nove´ho integra´lu. Prˇ´ıslusˇne´ dvojice jsou ve vzorci (2.6) spolu vzˇdy vyna´sobeny. Zkusı´me nynı´ jesˇteˇ druhou volbu. Dostaneme Z Z u = sin x u0 = cos x x 2 x2 x sin x dx = 0 = sin x − (cos x) dx = 2 v =x v = x2 2 2 Z x2 1 = sin x − x 2 cos x dx. 2 2 Prˇedchozı´ rovnost je sice spra´vna´, ale novy´ integra´l je ocˇividneˇ slozˇiteˇjsˇ´ı nezˇ vyćhozı´, takzˇe tato volba nevede k cı´li. N Nezˇ si uka´zˇeme dalsˇ´ı prˇ´ıklady, uvedeme si tabulku typickyćh funkcı´, jejichzˇ neurcˇite´ integra´ly lze spocˇ´ıtat metodou per partes. Za´rovenˇ bude rˇecˇeno, kterou funkci derivujeme a kterou integrujeme. Vyćˇet pochopitelneˇ nenı´ vycˇerpa´vajıćı´, existujı´ i dalsˇ´ı integra´ly, ktere´ lze vyrˇesˇit pomocı´ metody per partes. Nicmeńeˇ je du˚lezˇite´ tyto za´kladnı´ typy zna´t, abyste se bez va´hańı´ doka´zali spra´vneˇ rozhodnout. Integra´ly rˇesˇitelne´ metodou per partes V na´sledujıćıćh tabulkaćh je P (x) mnohocˇlen a a je nenulova´ konstanta. V prvnı´m sloupci je uveden integrand, ve druhe´m sloupci je uvedeno, kterou funkci budeme derivovat, a ve trˇetı´m, kterou funkci budeme integrovat. Prˇehled rozdeˇlı´me do dvou cˇa´stı´. U prvnı´ skupiny derivujeme mnohocˇlen a integrujeme druhy´ cˇinitel. Novy´ integra´l bude soucˇinem mnohocˇlenu, jehozˇ stupenˇ bude o jednicˇku mensˇ´ı, a druhe´ funkce, ktera´ bude obdobna´ jako ve vyćhozı´m integra´lu (exponencia´lnı´ funkce eax se zachova´, funkce sinus a kosinus se prohodı´). U druhe´ skupiny integrujeme mnohocˇlen a derivujeme druhy´ cˇinitel. Opacˇna´ volba by ani nebyla mozˇna´, protozˇe logaritmickou funkci, funkci arkussinus atd. ani neumı´me (zatı´m) integrovat. Derivacı´ se naopak teˇchto „neprˇ´ıjemnyćh“ funkcı´ zbavı´me. Jejich

21


22

Integrand

v0

u

P (x) eax

P (x)

eax

P (x) sin ax

P (x)

sin ax

P (x) cos ax

P (x)

cos ax

Tab. 2.2: Metoda per partes — prvnı´ cˇa´st Integrand

u

v0

P (x) ln x

ln x

P (x)

P (x) arcsin ax

arcsin ax

P (x)

P (x) arccos ax

arccos ax

P (x)

P (x) arctg ax

arctg ax

P (x)

P (x) arccotg ax

arccotg ax

P (x)

+

Tab. 2.3: Metoda per partes — druha´ cˇa´st √ derivace jsou totizˇ pro integraci „jednodusˇsˇ´ı“ ((ln x)0 = 1/x, (arcsin x)0 = 1/ 1 − x 2 , (arctg x)0 = 1/(x 2 + 1) atd.). Z Prˇ´ıklad 2.11. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l (x 2 + 1) e−x dx, x ∈ R. Rˇesˇenı´. Jde o funkci typu „mnohocˇlen kra´t exponencia´lnı´ funkce“, kterou najdeme v tabulce 2.2. Mnohocˇlen x 2 +1 tedy budeme derivovat a exponencia´lnı´ funkci e−x integrovat. Za´rovenˇ si v tomto prˇ´ıkladu uka´zˇeme typicky´ rys metody per partes, a to opakovane´ pouzˇitı´. Jak uvidı´me, dostaneme integra´l obdobne´ho typu „mnohocˇlen kra´t exponencia´lnı´ funkce“, ale mnohocˇlen bude mı´t nizˇsˇ´ı stupenˇ. Pouzˇijeme tedy metodu per partes jesˇteˇ jednou. Obecneˇ u te´to prvnı´ skupiny funkcı´ uvedene´ v tabulce 2.2 pokracˇujeme tak dlouho, azˇ se derivovańı´m mnohocˇlen prˇevede na konstantu (je-li jeho stupenˇ n, bude to po n-te´ derivaci). V nasˇem prˇ´ıpadeˇ postupneˇ dostaneme Z u = x 2 + 1 u0 = 2x 2 −x = (x + 1) e dx = 0 v = e−x v = −e−x 2

−x

= (x + 1)(−e 2

−x

2

−x

= −(x + 1) e

= −(x + 1) e

Z

2x(−e−x ) dx = Z u=x u0 = 1 −x + 2 x e dx = 0 v = e−x v = −e−x

)−

Z −x −x + 2 x(−e ) − 1 · (−e ) dx =

=


= −(x + 1) e

−x

− 2x e

Z +2

e−x dx =

= −(x 2 + 1) e−x − 2x e−x − 2e−x + c = −(x 2 + 2x + 3) e−x + c. N Z Prˇ´ıklad 2.12. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l (2x − 1) ln x dx, x ∈ (0, +∞). Rˇesˇenı´. Jde o integra´l z tabulky 2.3, mnohocˇlen 2x − 1 tudı´zˇ budeme integrovat a logaritmickou funkci budeme derivovat. Na´sledneˇ vyjde Z u = ln x u0 = x1 (2x − 1) ln x dx = 0 = 2 v = 2x − 1 v = x − x Z 1 2 2 = (ln x)(x − x) − (x − x) dx = Z x 1 = (x 2 − x) ln x − (x − 1) dx = (x 2 − x) ln x − x 2 + x + c. 2 N Z Prˇ´ıklad 2.13. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l arccotg x dx, x ∈ R. Rˇesˇenı´. Tento integra´l zdańliveˇ nema´ tvar soucˇinu. Ale za druhy´ cˇinitel si vzˇdy mu˚zˇeme prˇedstavit jednicˇku, cozˇ je vlastneˇ mnohocˇlen stupneˇ nula. Jde tedy o integra´l uvedeny´ v tabulce 2.3. Derivovat tudı´zˇ budeme funkci arkuskotangens a integrovat jednicˇku. Vyjde tedy Z u = arccotg x u0 = − 21 x +1 = arccotgx dx = 0 v =1 v=x Z Z 1 x = (arccotg x)x − − 2 x dx = x arccotg x + dx = 2 x +1 x +1 Z 1 2x 1 = x arccotg x + dx = x arccotg x + ln(x 2 + 1) + c. 2 2 x +1 2 K vy´pocˇtu poslednı´ho integra´lu jsme pouzˇili vzorec 14.

N

V na´sledujıćıćh prˇ´ıkladech si uka´zˇeme dalsˇ´ı obrat, ktery´ se v souvislosti s metodou per partes cˇasto pouzˇ´ıva´. Tento obrat spocˇ´ıva´ v tom, zˇe po integraci per partes (prˇ´ıpadneˇ opakovane´) a u´pravaćh se na´m znovu objevı´ vyćhozı´ integra´l, ktery´ ma´me urcˇit. Tı´m dostaneme pro tento integra´l rovnici Z Z f (x) dx = h(x) + α f (x) dx, α ∈ R, α 6= 0 (jejı´ leva´ strana je vyćhozı´ integra´l a prava´ strana je za´veˇrecˇny´ vy´raz), z nı´zˇ ho mu˚zˇeme vypocˇ´ıtat (pokud se nezrusˇ´ı, tj. pokud α 6= 1).

+

−x

+

2

23


+

24

Z Prˇ´ıklad 2.14. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l

ex sin x dx,

x ∈ R.

Rˇesˇenı´. Nejde o zˇa´dny´ z typu˚ uvedenyćh v tabulkaćh 2.2 a 2.3. Pouzˇijeme postupneˇ dvakra´t metodu per partes, prˇicˇemzˇ vzˇdy budeme exponencia´lnı´ funkce derivovat a druhy´ cˇinitel integrovat (jinak bychom se vra´tili zpa´tky k samotne´mu zadane´mu integra´lu). Dostaneme Z u = ex u0 = ex x = e sin x dx = 0 v = sin x v = − cos x Z Z x x x = e (− cos x) − e (− cos x) dx = −e cos x + ex cos x dx = Z u = ex u0 = ex x x = 0 = −e cos x + e sin x − ex sin x dx. v = cos x v = sin x

+

Dostali jsme tedy rovnici Z Z x x x e sin x dx = −e cos x + e sin x − ex sin x dx, z nı´zˇ jizˇ snadno vypocˇ´ıta´me, zˇe Z 2 ex sin x dx = −ex cos x + ex sin x + c, Z 1 ex sin x dx = ex (sin x − cos x) + c. 2 Neˇkdo mozˇna´ cˇekal ve vy´sledku hodnotu 2c , ale je-li c libovolna´ konstanta, je 2c take´ libovolna´ konstanta (vlastneˇ jsme provedli prˇeznacˇenı´ zlomku 2c a pro novou hodnotu jsme pouzˇili tote´zˇ pı´smeno). V dalsˇ´ım textu uzˇ tento obrat nebudeme komentovat. N Z p Prˇ´ıklad 2.15. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l 1 − x 2 dx, x ∈ (−1, 1). Rˇesˇenı´. Opeˇt nalezneme rovnici pro hledany´ integra´l. Za jeden cˇinitel volı´me jednicˇku. Vyjde tudı´zˇ √ Z p u = 1 − x 2 u0 = − √ x 1−x 2 = 1 − x 2 dx = 0 v =1 v=x Z Z p p −x 2 1 − x2 − 1 2 2 =x 1−x − √ dx = x 1 − x − dx = √ 1 − x2 1 − x2 Z p 1 − x2 1 2 dx = =x 1−x − −√ √ 2 2 1 − x 1 − x Z p Z p dx 2 2 =x 1−x − 1 − x dx + √ = 2 1 − x Z p p 2 =x 1−x − 1 − x 2 dx + arcsin x.


25

Dostali jsme rovnici Z p Z p p 2 2 1 − x dx = x 1 − x − 1 − x 2 dx + arcsin x,

Tento prˇ´ıklad nenı´ typicky´ pro pouzˇitı´ metody per partes a lze pouzˇ´ıt i jiny´ postup — viz prˇ´ıklad 2.30 a text pro za´jemce na str. 77. N Z Prˇ´ıklad 2.16. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l cos2 x dx, x ∈ R. Rˇesˇenı´. Opeˇt najdeme rovnici pro hledany´ integra´l. Za u i v 0 budeme tentokra´t volit kosinus. Dostaneme Z Z u = cos x u0 = − sin x 2 2 cos x dx = 0 = cos x sin x + sin x dx = v = cos x v = sin x Z = cos x sin x + (1 − cos2 x) dx = Z Z Z 2 = cos x sin x + dx − cos x dx = cos x sin x + x − cos2 x dx, cozˇ vede k rovnici Z

2

Z

cos x dx = cos x sin x + x −

cos2 x dx,

z nı´zˇ vyjde Z

cos2 x dx =

1 x cos x sin x + + c. 2 2

Prˇi u´pravaćh jsme pouzˇili zna´my´ vzorec cos2 x + sin2 x = 1. I tento integra´l se cˇasto pocˇ´ıta´ jiny´m zpu˚sobem — viz prˇ´ıklad 2.46. N Shrnˇme si na´vody, ktere´ se vyskytujı´ v souvislosti s metodou per partes: • Existuje jista´ skupina neurcˇityćh integra´lu˚ ze soucˇinu dvou funkcı´, pro jejichzˇ vy´pocˇet je (asponˇ jako vyćhozı´ krok) typicke´ pouzˇitı´ metody per partes — viz tabulky 2.2 a 2.3. • Za jeden z cˇinitelu˚ se volı´ jednicˇka. • Pro hledany´ integra´l zı´ska´me po pouzˇitı´ metody per partes a na´slednyćh u´pravaćh rovnici, z nı´zˇ lze tento integra´l urcˇit. • Pomocı´ te´to metody se odvozujı´ rekurentnı´ vzorce — viz naprˇ. vztah (2.15). • Metoda se cˇasto pouzˇ´ıva´ opakovaneˇ.

+

z nı´zˇ po jednoduche´ u´praveˇ obdrzˇ´ıme, zˇe Z p xp 1 1 − x 2 dx = 1 − x 2 + arcsin x + c. 2 2


26

+

Samozrˇejmeˇ existujı´ i jine´ integra´ly nezˇ typy uvedene´ v tabulkaćh 2.2 a 2.3, ktere´ lze s u´speˇchem rˇesˇit metodou per partes anizˇ se pouzˇijı´ prˇedchozı´ obraty. Uka´zkou je na´sledujıćı´ prˇ´ıklad. Rozhodnout, kdy tuto metodu pouzˇ´ıt, je pochopitelneˇ veˇcı´ cviku. Z

x dx, cos2 x

Prˇ´ıklad 2.17. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l

x ∈ (−π/2, π/2).

Rˇesˇenı´. Budeme derivovat mnohocˇlen x a integrovat zlomek 1/ cos2 x. Vyjde Z

u=x x u0 = 1 0 dx = 1 v = 2 v = tg x cos2 x cosZ x − sin x dx = x tg x + cos x

Z = x tg x − tg x dx = = x tg x + ln | cos x| + c.

Absolutnı´ hodnotu v logaritmu je mozˇne´ vynechat, protozˇe funkce kosinus je na uvazˇovane´m intervalu kladna´. Prˇi vy´pocˇtu jsme pouzˇili vzorec 14 stejneˇ jako v prˇ´ıkladu 2.8 b). N

S Z

V J

!

Pru˚vodce studiem Uveˇdomte si, zˇe prˇedchozı´ prˇ´ıklad nenı´ typem uvedeny´m v tabulce 2.2. Tam je zmıńeˇn typ „mnohocˇlen kra´t cos ax“, kde a je konstanta. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ ma´me „mnohocˇlen lomeno cos2 x“. Mı´sto soucˇinu je tedy podı´l a navıć kosinus je umocneˇn na druhou. Posluchacˇi si cˇasto zmıńeˇne´ typy pamatujı´ jen prˇiblizˇneˇ, veˇdı´, zˇe je tam „neˇjaky´ mnohocˇlen“ a „neˇjaky´ kosinus“, zameˇnı´ soucˇin a podı´l a pod. To 2 pak mu˚zˇe ve´st k naprosto nevhodne´ volbeˇ integracˇnı´ metody. Naprˇ. vy´raz x ex nenı´ typ z tabulky 2.2. Jeden cˇinitel je sice mnohocˇlen, ale exponencia´lnı´ funkce ma´ by´t tvaru eax , kde a je konstanta, cozˇ v tomto prˇ´ıpadeˇ nenı´ pravda. Pouzˇitı´ per partes zde k nicˇemu nevede. V na´sledujıćı´m oddı´lu se dozvı´me, zˇe na integra´l z tohoto vy´razu je trˇeba pouzˇ´ıt zcela jiny´ postup.

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Integrujte dane´ funkce: Z a) x arctg x dx, Z d) R 3R dR, Z g) B 2 sin B dB, Z j) x 3 ex dx,

Z b)

2t

Z

t e dt,

c)

θ sin θ dθ,

f)

Z e) Z h) Z k)

x cos x dx, Z (3n + 2) cos n dn, Z

ε ε sin dε, 2

i)

x 2 cos x dx,

l)

Z

r sin2 r dr, t 2 sin 2t dt.


2. Integrujte dane´ funkce: Z a) φ 2 e−2φ dφ, Z d) V ln(V − 1) dV , Z √ g) w ln2 w dw, Z j)

ln3 t dt, t2

3. Integrujte dane´ funkce: Z a) z3 arctg z dz, Z d) t arcsin t dt, Z g) Z

sin φ2 dφ, e−φ x

2

e sin x dx,

j)

27

Z

2

b)

Z

2

T cos T dT , Z

e) h)

c)

m2 ln m dm, Z H ln(H + 1) dH,

Z f)

(ρ 2 − 3ρ + 2) eρ dρ, ln R dR, R2 Z i) x ln x dx, Z

Z k)

5V arctg V dV ,

l)

Z b) e)

c)

k)

dK.

arctg θ dθ, Z

arcsin y p dy, 1 − y2

f)

Z

h)

2

Z 4 ln 2 d,

Z

ln K K

Z

ln K dK, K Z r e−r/3 sin dr, 3

i) Z l)

eT cos T dT , e−2h sin 3h dh, e3x cos2 3x dx.

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´

e)

sin θ − θ cos θ,

e2t b) (2t − 1), 4 3ReR 3eR d) − 2 , ln 3 ln 3 f) 3 cos n + (3n + 2) sin n,

g)

(−B 2 + 2) cos B + 2B sin B,

h)

i)

−

k)

x 2 sin x − 2 sin x + 2x cos x,

1. a)

(x 2 + 1) x arctg x − , 2 2

c) x sin x + cos x,

2. a) −

r 2 cos2 r r sin 2r + − , 4 4 8

e−2φ (2φ 2 + 2φ + 1), 4

4 sin

ε ε − 2ε cos , 2 2

j) x 3 ex − 3x 2 ex + 6xex − 6ex , t 2 cos 2t cos 2t t sin 2t + + . 2 4 2 2 T3 T 1 T + − sin 2T + cos2 T , 6 4 8 4 2 1 2 V V (V − 1) ln(V − 1) − − , 2 4 2 ln R 1 − − , R R l) −

b)

c)

eρ (ρ 2 − 5ρ + 7),

d)

e)

1 3 m3 m ln m − , 3 9

f)


28

g) i) k) 3. a)

w 3/2 (18 ln2 w − 24 ln w + 16), 27 x2 1 2 x ln x − , 2 4 5 2 (V arctg V − V + arctg V ), 2 arctg z 4 z3 − 3z (z − 1) − , 4 12

c) θ arctg θ − e) g) i) k)

1 ln(θ 2 + 1), 2

1 arcsin2 y, 2 2 φ 4 φ − eφ cos + eφ sin , 5 2 5 2 e−2h − (3 cos 3h + 2 sin 3h), 13 3 −r/3 r r , − e cos + sin 2 3 3

h) j)

b) d) f) h) j) l)

1 H2 H (H 2 + 1) ln(H + 1) − + , 2 4 2 1 − (ln3 t + 3 ln2 t + 6 ln t + 6), t 1 l) − (ln2 K + 2 ln K + 2K). K 4 ln 2 − 4, √ t 2 arcsin t t 1 − t 2 arcsin t + − , 2 4 4 1 T e (cos T + sin T ), 2 1 2 ln K, 2 (sin x − 2 cos x) ex sin x 2ex + , 5 5 e3x (cos 3x + 2 sin 3x) cos 3x + 2 . 15

2.2.3. Substitucˇnı´ metoda V tomto oddı´lu se sezna´mı´me s dalsˇ´ı vy´znamnou metodou, ktera´ vznikne integracı 0 ´ rovnosti ze vzorce pro derivaci slozˇene´ funkce. Prˇipomenˇme, zˇe platı´ F [ϕ(x)] = = F 0 [ϕ(x)] ϕ 0 (x) = f [ϕ(x)] ϕ 0 (x), kde jsme oznacˇili F 0 (u) = f (u) a u = ϕ(x). Princip je popsań v na´sledujıćı´ veˇteˇ. Veˇta 2.18. Necht’funkce f (u) ma´ na otevrˇene´m intervalu J primitivnı´ funkci F (u), funkce ϕ(x) ma´ derivaci na otevrˇene´m intervalu I a pro libovolne´ x ∈ I je ϕ(x) ∈ J . Pak ma´ slozˇena´ funkce f [ϕ(x)] ϕ 0 (x) na intervalu I primitivnı´ funkci a platı´ Z f [ϕ(x)] ϕ 0 (x) dx = F [ϕ(x)] + c. (2.7) Du˚kaz. Vsˇe bezprostrˇedneˇ plyne z vy´sˇe prˇipomenute´ho vzorce pro derivaci slozˇene´ funkce. Derivace prave´ strany rovnosti (2.7) totizˇ da´va´ integrand z leve´ strany te´to rovnosti. Integracˇnı´ metoda zalozˇena´ na prˇedchozı´ veˇteˇ se nazy´va´ prvnı´ substitucˇnı´ metoda. Popı´sˇeme si, jak vypada´ jejı´ prakticke´ pouzˇitı´. Prˇedpoklad o existenci primitivnı´ funkce k funkci f (u) lze zapsat takto: Z f (u) du = F (u) + c.


Tvrzenı´ veˇty potom zapisujeme na´sledovneˇ: Z Z 0 f [ϕ(x)] ϕ (x) dx = f (u) du,

29

(2.8)

kde do vy´razu na prave´ straneˇ za u dosadı´me ϕ(x). Vy´pocˇet prova´dı´me na´sledovneˇ: • Oznacˇ´ıme si substituci ϕ(x) = u (oznacˇenı´ nove´ promeˇnne´ je nepodstatne´, jen to musı´ by´t jine´ pı´smeno nezˇ stara´ promeˇnna´, tj. v nasˇem prˇ´ıpadeˇ x). • Rovnost ϕ(x) = u diferencujeme. (Prˇipomenˇme, zˇe diferencia´l neˇjake´ funkce h(z) je roven soucˇinu derivace te´to funkce a prˇ´ıru˚stku dz, kde z je neza´visle promeˇnna´ te´to funkce, tj. dh(z) = h0 (z) dz.) V nasˇem prˇ´ıpadeˇ je na leve´ straneˇ neza´visle promeˇnna´ du 0 oznacˇena x a na prave´ straneˇ u, tudı´zˇ ϕ 0 (x) = dϕ(x) dx a u = du = 1. Dostaneme tedy 0 0 rovnost ϕ (x) dx = 1 · du, tj. ϕ (x) dx = du.

kde do vy´sledne´ prave´ strany musı´me dosadit pu˚vodnı´ promeˇnnou, tj. u = ϕ(x). Opeˇt je rozumne´ tento za´pis dodrzˇovat a zmechanizovat si popsany´ postup. Z cos x dx , x ∈ R. Prˇ´ıklad 2.19. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l √ 1 + sin2 x √ Rˇesˇenı´. V zadańı´ je zrˇetelneˇ videˇt slozˇenou funkci 1 1 + sin2 x. Jejı´ vneˇjsˇ´ı slozˇka je √ f (u) = 1 1 + u2 a vnitrˇnı´ slozˇka je ϕ(x) = sin x. Da´le ϕ 0 (x) = cos x. Tedy f [ϕ(x)] ϕ 0 (x) = p

1

cos x 1 cos x = √ , ϕ 0 (x) = √ 2 1 + sin x 1 + sin2 x 1 + ϕ 2 (x)

cozˇ je zadany´ integrand. Je proto mozˇne´ pouzˇ´ıt substitucˇnı´ metodu. Substituci zvolı´me sin x = u a diferencovańı´m te´to rovnosti dostaneme vztah cos x dx = du. Vy´pocˇet zapı´sˇeme na´sledovneˇ: Z Z cos x dx du sin x = u = = = √ √ 2 cos x dx = du 1 + sin x 1 + u2 p p = ln u + 1 + u2 + c = ln sin x + 1 + sin2 x + c. Prˇi vy´pocˇtu jsme pouzˇili vzorec 11 z tabulky 2.1.

N

+

• V leve´m integra´lu rovnosti (2.8) tedy nahradı´me za funkci ϕ(x) promeˇnnou u a za vy´raz ϕ 0 (x) dx diferencia´l du. Prakticky vy´pocˇet zapisujeme podobneˇ jako u metody per partes do jake´si tabulky. Vzorec (2.8) pak vypada´ takto: Z Z ϕ(x) = u 0 f [ϕ(x)] ϕ (x) dx = 0 = f (u) du, (2.9) ϕ (x) dx = du


30

S Z

V J

Pru˚vodce studiem Nezˇ si uka´zˇeme dalsˇ´ı prˇ´ıklady, zamyslı´me se nad tı´m, jak musı´ integrand vypadat, abychom mohli substitucˇnı´ metodu pouzˇ´ıt. Rozhodneˇ to nemu˚zˇe by´t libovolny´ vy´raz, naopak tvar integrandu je dost striktneˇ vymezen. Musı´ jı´t o vy´raz, ktery´ je soucˇinem neˇjake´ slozˇene´ funkce a derivace jejı´ vnitrˇnı´ slozˇky. Oznacˇme jako v prˇedchozı´m vneˇjsˇ´ı slozˇku f (u) a vnitrˇnı´ slozˇku ϕ(x). Vy´raz pak musı´ mı´t tvar f [ϕ(x)] ϕ 0 (x). Uved’me si v na´sledujıćı´ tabulce neˇkolik takovyćh funkcı´. V prvnı´m sloupci je dańa slozˇena´ funkce, ve druhe´m jejı´ vneˇjsˇ´ı slozˇka, ve trˇetı´m jejı´ vnitrˇnı´ slozˇka, ve cˇtvrte´m derivace vnitrˇnı´ slozˇky a v pa´te´m pak, jak by meˇl integrand vypadat. f (u)

ϕ(x)

ϕ 0 (x)

√ u

x2 − 3

2x

eu

−x 2

−2x

e−x · (−2x)

sin6 x

u6

sin x

cos x

sin6 x · cos x

(4 − 7x)10

u10

4 − 7x

(1 + ln x)4

u4

1 + ln x

ln arctg x

ln u

arctg x

−7 1 x 1 2 x +1

(4 − 7x)10 · (−7) 1 (1 + ln x)4 · x 1 ln arctg x · 2 x +1

f [ϕ(x)] p

x2 − 3 e−x

2

f [ϕ(x)] · ϕ 0 (x) p

x 2 − 3 · 2x 2

Tab. 2.4: Prˇ´ıklady integrandu˚ vhodnyćh pro substitucˇnı´ metodu Nemu˚zˇeme ovsˇem vzˇdy ocˇeka´vat, zˇe zadańı´ bude „naservı´rovańo na talı´rˇi“ tak, jak by se na´m to nejvıće lı´bilo. Naprˇ. poslednı´ dva vy´razy z prˇedchozı´ tabulky by urcˇiteˇ byly zapsańy spı´sˇe takto: (1 + ln x)4 x

ln arctg x . x2 + 1 √ 2 Podobneˇ prvnı´ dva vy´razy by asi spı´sˇe vypadaly takto: 2x x 2 − 3 resp. −2x e−x . Musı´te by´t schopni „videˇt“ v zadane´m vy´razu prˇ´ıslusˇnou slozˇenou funkci a „hledat“ k nı´ v tomto vy´razu derivaci jejı´ vnitrˇnı´ slozˇky. Pra´veˇ tato veˇc cˇinı´ posluchacˇu˚m nejveˇtsˇ´ı potı´zˇe. Proto je du˚lezˇite´ zna´t bezpecˇneˇ zpameˇti derivace a neurcˇite´ integra´ly za´kladnıćh funkcı´, abyste ihned veˇdeˇli, co hleda´te (ma´me na mysli derivaci vnitrˇnı´ slozˇky), a doka´zat prˇehodit porˇadı´ cˇinitelu˚ a pod., abyste zva´zˇili, zda tam potrˇebny´ vy´raz je nebo nenı´. Je to veˇc cviku. Musı´te-li hledat derivace v neˇjake´ tabulce, sotva v zadane´m vy´razu neˇco „uvidı´te“. Konecˇneˇ upozorneˇme jesˇteˇ na jednu veˇc. Cˇasto se stane, zˇe √ na´m bude „chybeˇt“ multiplikativnı´ konstanta. Naprˇ. budeme mı´t zadany´ vy´raz x x 2 − 3, ale my resp.


31

√ bychom potrˇebovali, jak jsme si pra´veˇ vysveˇtlili, 2x x 2 − 3. To ovsˇem nenı´ proble´m, protozˇe konstantu snadno doplnı´me dı´ky vlastnosti (2.4) z veˇty 2.4. Je totizˇ Z p Z p 1 2 x x − 3 dx = 2x x 2 − 3 dx, 2 cozˇ jsme chteˇli. Prakticky budeme postupovat tak, zˇe v pomocne´ tabulce, v nı´zˇ si znacˇı´me substituci a pocˇı´ta´me diferencia´ly, prˇida´me dalsˇ´ı rˇa´dek, ktery´ dostaneme tak, zˇe rˇa´dek uda´vajıćı´ rovnost mezi diferencia´ly vhodneˇ upravı´me jako rovnici, abychom√nalevo dostali prˇesneˇ vy´raz, ktery´ ma´me k dispozici. Naprˇ. v prˇ´ıpadeˇ funkce x x 2 − 3 by tabulka vypadala takto: 2 x −3=u 2x dx = du x dx = 1 du 2


(1 + ln x)4 dx, x

+

Zdu˚razneˇme ale, zˇe tı´mto zpu˚sobem mu˚zˇeme doplnit pouze multiplikativnı´ konstantu (tj. konstantu, kterou se na´sobı´). Pokud na´m chybı´ skutecˇneˇ (nekonstantnı´) funkce, takto postupovat nelze. K tomu se jesˇteˇ vra´tı´me nı´zˇe. x ∈ (0, +∞).

Rˇesˇenı´. Jde o prˇedposlednı´ vy´raz z tabulky 2.4. Substituce tedy bude u = 1 + ln x. Dostaneme Z Z 1 + ln x = u 1 5 (1 + ln x)5 (1 + ln x)4 4 dx = = u du = u + c = + c. 1 x 5 5 x dx = du


sin x cos5 x dx,

+

N

O spra´vnosti vy´pocˇtu se snadno mu˚zˇeme prˇesveˇdcˇit derivacı´. x ∈ R.

Rˇesˇenı´. Zde se nabı´zı´ slozˇena´ funkce cos5 x s vnitrˇnı´ slozˇkou cos x. Jejı´ derivace je − sin x, cozˇ je vy´raz, ktery´ v integrandu azˇ na na´sobek −1 ma´me. Tedy Z

Z cos x = u cos6 x u6 5 . sin x cos x dx = − sin x dx = du = u5 (−1) du = − + c = − 6 6 sin x dx = −du

Bylo jen trˇeba uveˇdomit si, zˇe sin x cos5 x dx = cos5 x sin x dx.

N


+

32


2

x e−x dx, x ∈ R.

Rˇesˇenı´. Jde o modifikaci druhe´ho prˇ´ıkladu z tabulky 2.4. Volı´me substituci u = −x 2 a „doplnı´me“ chybeˇjıćı´ konstantu −2. Dostaneme 2 =u Z Z −x 1 1 1 2 −x 2 u du = − eu + c = − e−x + c. xe dx = −2x dx = du = e − 2 2 2 x dx = − 12 du

+

2

2

Prˇi rˇesˇenı´ opeˇt stacˇilo „umeˇt si prˇedstavit“, zˇe x e−x dx = e−x x dx. Z 2 Prˇ´ıklad 2.23. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l x 3 e−x dx, x ∈ R.

N

Rˇesˇenı´. Zvolı´me substituci s = x 2 a vyjde na´m: Z Z Z x2 = s 1 −s 1 3 −x 2 x e dx = 2x dx = ds = s e · ds = s e−s ds = 2 2 1 x dx = ds 2 (vznikly´ integra´l budeme rˇesˇit metodou per partes — viz tabulka 2.2; jde o typ mnohocˇlen kra´t exponencia´la eas , kde a = −1) Z u=s 1 u0 = 1 −s −s −s e − (−e ) ds = = 0 = v = e−s v = −e−s 2 =

1 1 1 2 −s e−s − e−s + c = − (s + 1) e−s + c = − (x 2 + 1) e−x + c. 2 2 2

N

Pro za´jemce: Zadańı´ prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu je podobne´ jako v prˇ´ıkladu 2.22, takzˇe bychom mohli opeˇt „videˇt“ 2 slozˇenou funkci e−x a zkusit substituci u = −x 2 . Avsˇak (−x 2 )0 = −2x, takzˇe (kdyzˇ pomineme 2 2 konstantu −2) na´m prˇeby´va´ v zadańı´ x 3 e−x = x 2 e−x x jesˇteˇ vy´raz x 2 . 2 Lepsˇ´ı na´pad tedy bude „videˇt“ v zadańı´ slozˇenou funkci f (x 2 ) = x 2 e−x , kde f (s) = s e−s , s vnitrˇnı´ slozˇkou x 2 . Pak zvolı´me substituci s = x 2 a vsˇe jizˇ probeˇhne hladce, kdyzˇ si prˇedstavı´me, 2 2 zˇe x 3 e−x dx = x 2 e−x x dx. Vsˇimneˇte si, zˇe v zadańı´ by bylo rovneˇzˇ mozˇne´ „videˇt“ jinou slozˇenou funkci, a to g(−x 2 ) = 2 = x 2 e−x , kde g(s) = −s es , s vnitrˇnı´ slozˇkou −x 2 a volit substituci s = −x 2 . Vy´pocˇet by byl obdobny´ a vy´sledek samozrˇejmeˇ stejny´. Zkuste si sami tuto variantu.

V na´sledujıćıćh dvou prˇ´ıkladech si vsˇimneme velice jednoduche´ho, ale du˚lezˇite´ho prˇ´ıpadu substituce. Jde o tzv. linea´rnı´ substituci tvaru u = ax + b, kde a, b ∈ R, a 6= 0. Protozˇe (ax + b)0 = a, bude platit a dx = du. Pokud na´m konstanta chybı´, vzˇdy ji snadno jizˇ zna´my´m postupem doplnı´me.



+

33

(4 − 7x)10 dx, x ∈ R.

Rˇesˇenı´. I tento prˇ´ıklad byl uveden v tabulce 2.4. Zvolı´me substituci u = 4−7x. Dostaneme Z 4 − 7x = u Z Z 1 1 10 10 = u − du = − u10 du = (4 − 7x) dx = −7 dx = du 7 7 dx = − 17 du

Rˇesˇenı´. Opeˇt pouzˇijeme linea´rnı´ substituci u = 2x − 5. Vyjde Z 2x − 5 = u Z Z √ √ 1 1 u1/2 du = 2x − 5 dx = 2 dx = du = u · du = 2 2 dx = 21 du 1 u3/2 1p 3 1p = +c = u +c = (2x − 5)3 + c. 2 3/2 3 3

N

+

1 u11 1 + c = − (4 − 7x)11 + c. 7 11 77 Z √ Prˇ´ıklad 2.25. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l 2x − 5 dx, x ∈ h5/2, +∞). =−

N

Pozna´mka 2.26. U jednodusˇsˇ´ıch prˇ´ıkladu˚ lze prˇi trosˇe cviku linea´rnı´ substituci prova´deˇt te´meˇrˇ zpameˇti, cˇ´ımzˇ se vy´pocˇet vy´razneˇ urychlı´. Jestlizˇe ma´ funkce f (u) primitivnı´ funkci F (u), tj. Z f (u) du = F (u) + c, platı´, zˇe Z f (ax + b) dx =

1 F (ax + b) + c, a

a, b ∈ R, a 6= 0.

Du˚kaz se provede bud’ substitucı´ ax + b = u, a dx = du, tj. dx = a1 du, anebo prˇ´ımy´m derivovańı´m prave´ strany, protozˇe F 0 (u) = f (u). Vzorec samozrˇejmeˇ platı´ na intervalech, kde je funkce f (ax + b) definovana´. Ukazˇme si pouzˇitı´ na neˇkolika prˇ´ıkladech (nepı´sˇeme integracˇnı´ konstanty): Z Z 1 u u e du = e ⇒ e2x−3 dx = e2x−3 (a = 2, b = −3), 2 Z Z du dx 1 = ln |u| ⇒ = ln |3x + 4| (a = 3, b = 4), u 3x + 4 3 Z Z 1 1 u4 du = u5 ⇒ (x + 7)4 dx = (x + 7)5 (a = 1, b = 7), 5 5


34 Z

Z sin u du = − cos u

sin(3 − 5x) dx = −

⇒

= Z

Z cos u du = sin u

⇒

1 cos(3 − 5x) 5

1 − cos(3 − 5x) = 5

(a = −5, b = 3),

Z 2 1 2x − 1 dx = cos x− dx = cos 3 3 3 1 2x − 1 3 2x − 1 = sin = sin 2/3 3 2 3 (a = 2/3, b = −1/3).

Vsˇimneˇte si, zˇe jako specia´lnı´ prˇ´ıpad tohoto obratu dostaneme pro b = 0 obecneˇjsˇ´ı verze vzorcu˚ 4, 5, 7, 8, 12 a 13 z tabulky 2.1 (pravy´ sloupec). S Z

V J

Pru˚vodce studiem Vrat’me se jesˇteˇ k mechanismu u´pravy diferencia´lu, ktery´ byl popsań na str. 30. Posluchacˇi cˇasto mechanicky postupujı´ takto: ϕ(x) = u . . . volba substituce ϕ 0 (x) dx = du . . . diferencovańı´ prˇedchozı´ rovnosti du dx = ϕ 0 (x) . . . osamostatneˇnı´ diferencia´lu stare´ promeˇnne´

(2.10)

Pak bez prˇemy´sˇlenı´ automaticky za ϕ(x) dosadı´ novou promeˇnnou u a za dx dosadı´ vy´raz du/ϕ 0 (x). Pokud je substituce dobrˇe zvolena, nestane se nic hrozne´ho, jak ukazuje na´sledujıćı´ prˇ´ıklad. 2 + sin x = u Z Z Z cos x du du cos x dx = cos x dx = du = = = 2 2 2 (2 + sin x) u cos x u du dx = Z =

u−2 du =

cos x u−1

1 1 +c =− +c =− + c. −1 u 2 + sin x

Ve vy´pocˇtu se na´m na chvı´li objevila v jednom integra´lu jak stara´ promeˇnna´ x tak nova´ promeˇnna´ u, prˇicˇemzˇ diferencia´l uzˇ byl du. Protozˇe se vsˇak vy´raz obsahujıćı´ x (v nasˇem prˇ´ıkladu to byl cos x) zkra´til, vsˇe dobrˇe dopadlo. Katastrofa vsˇak obvykle nastane, pokud substituce nenı´ dobrˇe zvolena´. Uka´zˇeme si to na na´sledujıćı´m odstrasˇujıćı´m postupu „vy´pocˇtu“ neurcˇite´ho integra´lu 2 z funkce ex . 2 =u Z Z x du x2 e dx = 2x dx = du = eu . 2x du dx = 2x


35

Nynı´ posluchacˇi obvykle povazˇujı´ x za konstantu neza´vislou na u, kterou lze prˇi integraci vzhledem k promeˇnne´ u vytknout, a pocˇı´tajı´ da´le Z

du 1 e = 2x 2x u

Z

2

1 u ex e du = e +c = + c, 2x 2x u

!

cˇı´mzˇ je katastrofa dokonańa. Prˇedchozı´ postup je naprosto chybny´! Autorˇi takove´ho postupu totizˇ zcela ignorujı´, zˇe mezi starou a novou promeˇnnou je vazba dana ´ rovnicı´ u = ϕ(x), tj. v nasˇem prˇ´ıpadeˇ u = x 2 , z cˇehozˇ (pro √ x > 0) ma´me x = u. Integra´l vznikly´ po substituci ma´ tedy tvar Z Z Z 1 u eu 1 u e du = √ e du = √ du, 2x 2 u 2 u √ takzˇe prˇed integra´l byla vlastneˇ vytknuta funkce 1 (2 u )! Bohuzˇel te´to hrube´ chyby se posluchacˇi cˇasto dopousˇteˇjı´. Abyste se neˇcˇemu takove´mu vyhnuli, nepouzˇ´ıvejte postup naznacˇeny´ v (2.10), pokud je ϕ(x) funkce. Vzˇdy se snazˇte mı´t prˇed ocˇima, jaky´ tvar musı´ integrand mı´t, aby bylo mozˇne´ pouzˇ´ıt substitucˇnı´ metodu, tj. f [ϕ(x)] ϕ 0 (x). Rozhodneˇte se, co budete povazˇovat za slozˇenou funkci f [ϕ(x)], a hledejte derivaci vnitrˇnı´ slozˇky ϕ 0 (x). Kdyzˇ derivaci nemu˚zˇete najı´t, asi nema´te substituci dobrˇe vybrańu. Mozˇna´ prˇ´ıklad na substituci vu˚bec nenı´ vhodny´, rozhodneˇ ne na tu, kterou jste si zvolili. Na za´veˇr si vsˇimneme toho, zˇe vzorec (2.8) se neˇkdy (meńeˇ cˇasto, ale zato jde o du˚lezˇite´ prˇ´ıpady) pouzˇ´ıva´ zprava doleva. Tedy jako bychom do „jednoduche´“ funkce vlozˇili vnitrˇnı´ slozˇku a dostali integra´l ze slozˇene´ funkce, ktery´ je zdańliveˇ komplikovaneˇjsˇ´ı. V konkre´tnıćh prˇ´ıpadech vsˇak tento integra´l mu˚zˇe by´t pro dalsˇ´ı vy´pocˇet jednodusˇsˇ´ı. Pouzˇitı´ je obdobne´, jen prˇ´ıslusˇna´ veˇta ma´ trochu jine´ prˇedpoklady a du˚kaz je technicky slozˇiteˇjsˇ´ı. Prˇipomenˇme, zˇe ϕ −1 znacˇ´ı inverznı´ funkci k funkci ϕ. Veˇta 2.27. Necht’funkce f (x) je definovana´ na otevrˇene´m intervalu J . Necht’funkce ϕ(t) ma´ nenulovou derivaci na otevrˇene´m intervalu I a zobrazuje tento interval na interval J . Da´le prˇedpokla´dejme, zˇe funkce f [ϕ(t)] ϕ 0 (t) ma´ na intervalu I primitivnı´ funkci F (t). Pak funkce f (x) ma´ na intervalu J primitivnı´ funkci F [ϕ −1 (x)]. Platı´ tudı´zˇ Z Z f (x) dx = f [ϕ(t)] ϕ 0 (t) dt, (2.11) jestlizˇe do primitivnı´ funkce na prave´ straneˇ dosadı´me za t funkci ϕ −1 (x). Integracˇnı´ metoda zalozˇena´ na prˇedchozı´ veˇteˇ se nazy´va´ druha´ substitucˇnı´ metoda.

Pro za´jemce: Du˚kaz. Protozˇe ϕ 0 (t) 6= 0 na I , je podle Darbouxovy veˇty (viz [4, str. 188]) bud’ ϕ 0 (t) > 0 pro t ∈ I , nebo ϕ 0 (t) < 0 pro t ∈ I , takzˇe funkce x = ϕ(t) je ryze monotońnı´ na I , a tudı´zˇ k nı´


36

existuje inverznı´ funkce t = ϕ −1 (x). Ta ma´ derivaci na J , prˇicˇemzˇ platı´ (viz [12]) (ϕ −1 )0 (x) =

1 ϕ 0 (t)

=

1 ϕ 0 [ϕ −1 (x)]

,

x ∈ J.

Da´le podle prˇedpokladu platı´ F 0 (t) = f [ϕ(t)] ϕ 0 (t) pro t ∈ I , takzˇe podle vzorce pro derivaci slozˇene´ funkce a prˇedchozı´ho vztahu dostaneme pro x ∈ J a x = ϕ(t), zˇe 0 F [ϕ −1 (x)] = F 0 [ϕ −1 (x)] · (ϕ −1 )0 (x) = f ϕ[ϕ −1 (x)] ϕ 0 [ϕ −1 (x)] ·

1 ϕ 0 [ϕ −1 (x)]

= f (x),

+

cozˇ jsme meˇli doka´zat.

Pouzˇitı´ je obdobne´. Zvolı´me substituci x = ϕ(t), diferencovańı´m dostaneme dx = = ϕ 0 (t) dt a dosadı´me do leve´ strany (2.11) (tentokra´t nemusı´me deˇlat zˇa´dne´ u´pravy se vztahem dx = ϕ 0 (t) dt). Do vy´sledku dosadı´me za t inverznı´ funkci ϕ −1 (x) (neˇkdy tento vztah rovneˇzˇ napı´sˇeme pro prˇehlednost do pomocne´ tabulky). Z √ Prˇ´ıklad 2.28. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l e x dx, x ∈ (0, +∞). Rˇesˇenı´. Zvolı´me substituci x = t 2 , cˇ´ımzˇ odstranı´me neprˇ´ıjemnou odmocninu v exponentu. Protozˇe x > 0, je v nasˇem prˇ´ıpadeˇ J = (0, +∞). Funkci ϕ(t) = t 2 tedy budeme uvazˇovat na intervalu I = (0, +∞) (je samozrˇejmeˇ na´hoda, zˇe na´m vysˇlo J = I ). Funkce ϕ(t) = t 2 je prosta ´ na intervalu I a zobrazı´ ho na interval J (grafem je cˇa´st paraboly). √ √ 2 Protozˇe t > 0, je√ x = t = |t| = t. Inverznı´ funkce k funkci x = ϕ(t) = t 2 je tudı´zˇ t = ϕ −1 (x) = x. Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme vypocˇ´ıtat dany´ integra´l. Dostaneme (na vy´pocˇet vznikle´ho integra´lu pouzˇijeme metodu per partes) Z Z √ Z √ x = t2 x t2 e dx = = 2t e dt = 2t et dt = dx = 2t dt Z u = 2t u0 = 2 t = 2t e − 2et dt = 2t et − 2et + c = = 0 v = et v = et √ √ = 2(t − 1) et + c = 2( x − 1) e x + c. N Je mozˇne´ doka´zat, zˇe vy´sledek prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu platı´ i na intervalu h0, +∞). Pokud bychom to ale chteˇli oveˇrˇit z definice primitivnı´ funkce, tj. derivovali bychom √ √ vy´sledek, museli bychom by´t dost opatrnı´, protozˇe funkce x a e x majı´ v bodeˇ x = 0 pouze derivaci zprava a navıć nevlastnı´. Nenı´ tudı´zˇ mozˇne´ pouzˇ´ıt v tomto bodeˇ standardnı´ vzorec pro derivovańı´ soucˇinu. Protozˇe tato situace se v souvislosti se substitucˇnı´ metodou dost cˇasto vyskytuje, uvedeme si jednoduchou veˇtu, ktera´ ve veˇtsˇineˇ prˇ´ıpadu˚ tuto komplikaci snadno vyrˇesˇ´ı. Formulace je uvedena pro ohranicˇene´ uzavrˇene´ intervaly, analogicke´ tvrzenı´ vsˇak platı´ i pro polouzavrˇene´ (ohranicˇene´ i neohranicˇene´) intervaly.


37

Veˇta 2.29. Necht’ funkce f (x) a F (x) jsou spojite´ na intervalu hα, βi, α, β ∈ R, a F (x) je primitivnı´ k f (x) na otevrˇene´m intervalu (α, β), tj. F 0 (x) = f (x) pro x ∈ (α, β). Pak je F (x) primitivnı´ k f (x) i na uzavrˇene´m intervalu hα, βi.

+

Du˚kaz. Plyne z [4, str. 111, cvicˇenı´ 9]. K du˚kazu lze uzˇ´ıt i l’Hospitalovo pravidlo. Z p Prˇ´ıklad 2.30. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l 1 − x 2 dx, x ∈ (−1, 1). Rˇesˇenı´. Tento integra´l jsme jizˇ jednou spocˇ´ıtali metodou per partes — viz prˇ´ıklad 2.15. Tentokra´t k jeho vy´pocˇtu pouzˇijeme substituci x = sin t. Protozˇe platı´ J = (−1, 1), zvolı´me I = (−π/2, π/2). Pak funkce ϕ(t) = sin t zobrazı´ interval I na interval J . Funkce ϕ(t) = sin t je na intervalu (−π/2, π/2) prosta´ a jejı´ inverznı´ funkce je ϕ −1 (x) = = arcsin x, tj. t = arcsin x. √ √ 2 1 − sin2 t = √Prˇipravı´me si jesˇteˇ integrand po substituci. Vyjde 1 − x = 2 = cos t = | cos t| = cos t, protozˇe kosinus je na intervalu I kladny´. Dostaneme Z p Z p x = sin t 2 = 1 − x dx = 1 − sin2 t cos t dt = dx = cos t dt Z 1 t = cos2 t dt = sin t cos t + + c = 2 2 (pouzˇili jsme vy´sledek prˇ´ıkladu 2.16) p 1 t xp 1 sin t 1 − sin2 t + + c = 1 − x 2 + arcsin x + c, 2 2 2 2 √ cozˇ je stejny´ vy´sledek jako v prˇ´ıkladu 2.15. Protozˇe jak integrand 1 − x 2 , tak vy´sledna´ primitivnı´ funkce jsou spojite´ na uzavrˇene´m intervalu h−1, 1i, platı´ podle veˇty 2.29 vy´sledek i na uzavrˇene´m intervalu. Zkontrolovat to prˇ´ımo vy´pocˇtem derivace by bylo √ opeˇt obtı´zˇne´, protozˇe funkce 1 − x 2 a arcsin x majı´ v bodech x = ±1 jednostranne´ nevlastnı´ derivace. N =

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Integrujte dane´ funkce: Z a) sin3 ω cos ω dω, Z p d) cos β sin β dβ, Z g)

2e Z

j)

2 sin t

! Z b)

6t sin 3t dt, Z

e)

2C dC, (1 + C 2 )2

−2 ρ 2

−4ρ e Z

cos t dt,

h)

c) Z

dρ,

f)

3 ln2 W dW, W 8s 2 ds

Z k)

Z

2

p 3

(8s 3 + 27)2

l)

3

6r 2 e−2r dr, √ ln y dy, y

Z

3

Z

5W 4 dW . √ 2 4 + W5

i) ,

4 tg3 φ dφ, cos2 φ


38

2. Integrujte dane´ funkce: Z (6p − 5) dp p a) , 2 3p2 − 5p + 6 Z 4 cos t d) dt, √ 3 1 + 2 sin t Z 6v dv, g) √ 4 − 9v 4 Z 1 p j) dx, x 1 − ln2 x 3. Integrujte dane´ funkce: Z −2 dθ a) , tg θ sin2 θ Z 2 arctg ρ dρ, d) 1 + ρ2 Z 3x dx , g) (x 2 + 1)2 Z 4x dx , j) √ 3 8 − x2 Z n m) dn, 2 n −1 4. Integrujte dane´ funkce: Z dx , a) √ 1 − x 2 arcsin x Z d) (4ρ − 3)4 dρ, Z 12 dx, g) (3x − 7)5 Z √ 3 j) 5 − 6x dx, 5. Integrujte dane´ funkce: Z a) sin(2ω − 5) dω, Z 1 c) dt, cos2 8t Z e) 14e7r−8 dr, Z g)

e2s − 1 ds, es

Z b)

Z

3 cos φ dφ, sin4 φ

c)

Z

e) h) k)

sin 2r dr , √ 2 1 + cos2 r Z 2 et dt, √ 2 − 4 e2 t Z 30k dk, 3k 4 + 5

Z b) Z e)

i) l)

Z

3

4 sin x cos x dx,

c)

√ 1 + 2x dx,

f)

Z h)

f)

x

p

2x 2 + 7 dx,

i)

Z

k) n)

7 dx , (1 + 2x)3 Z dφ , 2 cos (1 − φ)

Z b) Z e)

l) o)

k)

c)

(2x + 1)3 dx,

f)

dp , − 6p + 9 Z 1 dm, √ 4m + 9

i)

p2

Z b) Z Z f) Z h)

l)

dφ sin2 (3φ

d)

2 ln x dx, x Z dx , √ 5 − 4x Z p 3 9x 2 x 3 + 10 dx, Z 3 cos4 t sin t dt, Z cos y dy . 3 sin2/3 y

Z

x − arctg x dx, 1 + x2

Z h)

sin u du, √ 2 cos3 u Z dx , x ln x ln ln x Z 6 tg 3x dx, Z 18q dq . 9 + (3q 2 + 1)2

− 7)

,

4 dv , 1 − cos 4v 3e−3h+1 dh, eq/2 − e−q/2 dq, 2

dx , x(1 + ln2 x) Z 1 τ −2 1− dτ, 6 6 Z 33(8 − 3x)6/5 dx, Z 1 dl. √ 3 − 2l


39

Z i) k) m)

Z

1 dT , 2 T + 4T + 5 Z 2 dx , 1 − 3x + 3x 2 − x 3 Z 10 dv, 2v 2 + 8v + 58

j) l) n)

6. Integrujte dane´ funkce: Z dx p a) , 1 − (2x + 3)2 Z dx , d) √ −2x − x 2 Z 1 g) dx, 1 + (x + 1)2

Z b) e) h)

3 dx, + 3x + 3 Z 2 db, 2 b − 2b + 5 Z √ 3 3e−3θ − 8 5 − 6θ dθ. x2

Z

50 dx

c)

p , 1 − (25x)2 Z 3 dx , √ 2x − x 2 Z 2 dy, 2 y − 2y + 5

f) i)

2 p dy, 3 + 2y − y 2 Z 5 dx p , 36 − (5x)2 Z 5 dz . 1 + (2 − 5z)2

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ 1 4 sin ω , 4 2(sin β)3/2 , 3 e2 sin t ,

c)

tg4 φ,

e) e−2 ρ ,

f)

−e−2 r ,

h)

ln3 W,

i)

2 ln3/2 y,

j)

k)

(8 s 3 + 27)1/3 ,

l)

p 4 + W 5.

d)

3 (1 + 2 sin t)2/3 ,

1 b) − 3 , sin φ p e) − 1 + cos2 r,

g)

arcsin

1. a) d) g)

−1 , 1 + C2 q 2. a) 3 p2 − 5 p + 6,

3v 2 , 2

b)

− cos 3 t 2 , 2

h) arcsin

arcsin ln x, 1 , sin2 θ

b)

d)

arctg2 ρ,

e)

g)

−

3. a)

3 , 2 (x 2 + 1)

h)

f)

√ t 2e ,

√ k2 15 arctg k)

j)

c)

i) √ 15 , 5

− cos4 x, (1 + 2x)3/2 , 3 (2x 2 + 7)3/2 , 6

l)

3

1 , √ cos u ln ln ln x , −2 ln cos 3x , 1 2 arctg q + . 3

ln2 x, √ 5 − 4x f) − , 2 9 (x 3 + 10)4/3 i) , 4

c)


40

j) −3 (8 − x 2 )2/3 , m) 4. a) d) g) j)

1 ln |n2 − 1| , 2 ln | arcsin x|, (4ρ − 3)5 , 20 1 , − (3x − 7)4 (5 − 6x)4/3 − , 8

5. a) −

− cotg 2v,

g)

es +

j)

√ 2 3 arctg

m)

−7 , 4 (1 + 2 x)2

l)

−

n)

tg(φ − 1),

o)

sin1/3 y.

c)

arctg ln x,

f)

6 , 6−τ

i)

−5 (8 − 3x)11/5 ,

l)

√ − 3 − 2l.

− arctg2 x + ln(1 + x 2 ) , b) 2 (2x + 1)4 e) , 8 1 h) − , p−3 √ 4m + 9 k) , 2

cos(2ω − 5) , 2

d)

arctg

1 , es

√ 3 (2x + 3) , 3

v+2 , 5

1 cotg(3φ − 7), 3

c)

1 tg 8 t, 8

b)

−

e)

2 e7r−8 ,

f) −e−3h+1 ,

h)

eq/2 + e−q/2 ,

i)

arctg(T + 2),

k)

1 , (1 − x)2

l)

arctg

n)

−e−3 θ + (5 − 6 θ)4/3 .

1 arcsin(2x + 3) , 2

b)

2 arcsin 25x,

c)

d)

arcsin(x + 1),

e)

3 arcsin(x − 1),

f)

g)

arctg(x + 1),

h)

arctg

6. a)

3 cos5 t , 5

k)

y−1 , 2

i)

b−1 , 2

y−1 , 2 5x arcsin , 6 2 arcsin

arctg(5z − 2).

2.3. Rozklad na parcia´lnı´ zlomky S Z

V

Pru˚vodce studiem

J

U mnohocˇlenu˚ hra´l du˚lezˇitou roli rozklad na soucˇin jednodusˇsˇ´ıch (linea´rnıćh nebo kvadratickyćh) cˇinitelu˚. Podobneˇ u raciona´lnıćh lomenyćh funkcı´ je v rˇadeˇ aplikacı´ du˚lezˇite´ neˇco podobne´ho. Na rozdı´l od mnohocˇlenu˚, kde jde o rozklad na soucˇin, zde vsˇak pu˚jde o rozklad na soucˇet jednodusˇsˇ´ıch raciona´lnıćh lomenyćh funkcı´, tzv. parcia´lnıćh zlomku˚.

2.3 Rozklad na parcia´lnı´ zlomky

41

Prˇipomenˇme ve strucˇnosti za´kladnı´ poznatky, ktere´ budeme da´le potrˇebovat: • Raciona´lnı´ lomena´ funkce je podı´l dvou mnohocˇlenu˚. • Kazˇdou neryze lomenou raciona´lnı´ funkci (stupenˇ cˇitatele je veˇtsˇ´ı nezˇ stupenˇ jmenovatele nebo je mu roven) lze deˇlenı´m prˇeve´st na soucˇet mnohocˇlenu a ryze lomene´ raciona´lnı´ funkce (stupenˇ cˇitatele je mensˇ´ı nezˇ stupenˇ jmenovatele). • Stupenˇ polynomu P budeme znacˇit symbolem st(P ). Parcia´lnı´ zlomky jsou specia´lnı´ raciona´lnı´ lomene´ funkce. Rozlisˇujeme dva typy: A , (x − α)k

kde k ∈ N, α, A ∈ R,

a (x 2

Mx + N , + px + q)k

kde k ∈ N, M, N, p, q ∈ R, p2 − 4q < 0.

U prvnı´ho typu je ve jmenovateli neˇjaka´ mocnina (trˇeba i prvnı´) linea´rnı´ho mnohocˇlenu tvaru x − α a v cˇitateli je konstanta. U druhe´ho typu je ve jmenovateli neˇjaka´ mocnina (trˇeba i prvnı´) kvadraticke´ho mnohocˇlenu tvaru x 2 + px + q majıćı´ho komplexnı´ korˇeny (za´porny´ diskriminant) a v cˇitateli je linea´rnı´ mnohocˇlen (nebo konstanta, pokud M je nula). Parcia´lnı´ zlomky jsou vzˇdy ryze lomene´. P (x) Veˇta 2.31. Necht’ R(x) = Q(x) je raciona´lnı´ ryze lomena´ funkce s rea´lny´mi koeficienty. Necht’ rozklad jmenovatele Q(x) na ireducibilnı´ cˇinitele v rea´lne´m oboru ma´ tvar

Q(x) = a(x − α1 )k1 · · · (x − αr )kr (x 2 + p1 x + q1 )l1 · · · (x 2 + ps x + qs )ls . Pak R(x) lze napsat jako soucˇet parcia´lnıćh zlomku˚. Prˇitom k-na´sobne´mu rea´lne´mu korˇenu jmenovatele α odpovı´da´ k parcia´lnıćh zlomku˚ tvaru A1 A2 Ak , , . . . , x − α (x − α)2 (x − α)k a l-na´sobne´ dvojici komplexneˇ sdruzˇenyćh korˇenu˚ jmenovatele prˇ´ıslusˇejıćıćh trojcˇlenu x 2 + px + q odpovı´da´ l parcia´lnıćh zlomku˚ tvaru M1 x + N1 M2 x + N2 Ml x + Nl , 2 ,..., 2 . 2 2 x + px + q (x + px + q) (x + px + q)l V prˇedcha´zejıćı´ veˇteˇ je podstatne´, zˇe raciona´lnı´ lomena´ funkce je ryze lomena´. Pokud tomu tak nenı´, je trˇeba ji nejprve prˇeve´st na soucˇet mnohocˇlenu a raciona´lnı´ ryze lomene´ funkce. Tu pak lze teprve rozkla´dat. Pozna´mka 2.32. i) Lze uka´zat, zˇe rozklad z prˇedchozı´ veˇty je azˇ na porˇadı´ scˇ´ıtancu˚ jednoznacˇny´, tj. nezna´me´ koeficienty jsou jedine´.


42

ii) V komplexnı´m oboru (tj. koeficienty zadane´ raciona´lnı´ lomene´ funkce mohou by´t i komplexnı´) lze doka´zat obdobnou veˇtu, v nı´zˇ ale vystacˇ´ıme jen s parcia´lnı´mi zlomky prvnı´ho typu. To je dańo tı´m, zˇe v komplexnı´m oboru lze mnohocˇlen vzˇdy rozlozˇit na soucˇin mocnin linea´rnıćh mnohocˇlenu˚. Samozrˇejmeˇ koeficienty v rozkladu jsou obecneˇ take´ komplexnı´ cˇ´ısla. Postup nalezenı´ koeficientu˚ rozkladu

+

1. Nejprve se prˇesveˇdcˇ´ıme, zˇe zadana´ funkce je ryze lomena´. Pokud tomu tak nenı´, prˇevedeme ji deˇlenı´m na soucˇet mnohocˇlenu a raciona´lnı´ ryze lomene´ funkce. Tu pak teprve rozkla´da´me. 2. Rozlozˇ´ıme jmenovatel na soucˇin ireducibilnıćh cˇinitelu˚ v rea´lne´m oboru. 3. Podle tohoto rozkladu napı´sˇeme prˇedpokla´dany´ tvar rozkladu na parcia´lnı´ zlomky s nezna´my´mi koeficienty. Ten polozˇ´ıme roven zadane´ raciona´lnı´ ryze lomene´ funkci, jejı´zˇ jmenovatel si napı´sˇeme ve tvaru soucˇinu zı´skane´ho v bodeˇ 2. 4. Vzniklou rovnici vyna´sobı´me jmenovatelem zadańı´. Dostaneme rovnost dvou mnohocˇlenu˚. Na jedne´ straneˇ rovnice je mnohocˇlen se zna´my´mi koeficienty, na druhe´ straneˇ mnohocˇlen s nezna´my´mi koeficienty. 5. Dva mnohocˇleny se rovnajı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ jsou stejne´ho stupneˇ a u stejnyćh mocnin nezna´me´ majı´ tyte´zˇ koeficienty. Rozna´sobı´me tedy mnohocˇleny na obou stranaćh a sloucˇ´ıme cˇleny se stejny´mi mocninami nezna´me´. Pak porovna´me koeficienty u stejnyćh mocnin nezna´me´ na leve´ a prave´ straneˇ rovnice. Dostaneme soustavu linea´rnıćh rovnic, ktera´ ma´ vzhledem k jednoznacˇnosti rozkladu pra´veˇ jedno rˇesˇenı´. 6. Jestlizˇe ma´ jmenovatel rea´lne´ korˇeny, je vy´hodne´ dosadit je do vznikle´ rovnice jesˇteˇ prˇed rozna´sobenı´m. Vsˇechny cˇleny s nezna´my´mi koeficienty azˇ na jeden totizˇ vymizı´, a tak snadno dostaneme za kazˇdy´ takovy´ korˇen jeden nezna´my´ koeficient. Pak stacˇ´ı porovnat koeficienty jen u neˇkteryćh mocnin nezna´me´ (tak, abychom dostali potrˇebny´ pocˇet rovnic pro ty koeficienty, jejichzˇ hodnoty jesˇteˇ nema´me). 7. Jinou metodou nalezenı´ koeficientu˚ je do vznikle´ rovnice dosadit libovolnyćh n + 1 ru˚znyćh cˇ´ısel, kde n je nejvysˇsˇ´ı mocnina nezna´me´, ktera´ se v rovnici vyskytuje. Dostaneme opeˇt soustavu linea´rnıćh rovnic, ktera´ ma´ jedine´ rˇesˇenı´. Prˇ´ıklad 2.33. Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky raciona´lnı´ lomenou funkci x . R(x) = 2 x −1 Rˇesˇenı´. Funkce je ryze lomena´, takzˇe nenı´ trˇeba deˇlit. Rozklad jmenovatele je x 2 − 1 = = (x + 1)(x − 1). Jmenovatel ma´ tedy jednoduche´ korˇeny −1 a 1, ktery´m odpovı´dajı´ jednocˇlenne´ rˇeteˇzce parcia´lnıćh zlomku˚ prvnı´ho typu. Tvar rozkladu bude x A B = + . (x + 1)(x − 1) x+1 x−1 Po vyna´sobenı´ jmenovatelem (x + 1)(x − 1) obdrzˇ´ıme rovnici x = A(x − 1) + B(x + 1).

2.3 Rozklad na parcia´lnı´ zlomky

43

Dosadı´me postupneˇ oba rea´lne´ korˇeny. Vyjde: x = −1

=⇒

−1 = −2A

=⇒

x=1

=⇒

1 = 2B

=⇒

1 , 2 1 B= . 2 A=

Rozklad tedy je 1 1 x 2 = + 2 . x2 − 1 x+1 x−1

N

R(x) =

+

Prˇ´ıklad 2.34. Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky raciona´lnı´ lomenou funkci 2x 3 − x 2 + x − 2 . x4 + x2

Rˇesˇenı´. Funkce je ryze lomena´, takzˇe nenı´ trˇeba deˇlit. Rozklad jmenovatele je zrˇejmeˇ x 4 + x 2 = x 2 (x 2 + 1). Jmenovatel ma´ tedy dvojna´sobny´ korˇen 0 a dvojici jednoduchyćh komplexneˇ sdruzˇenyćh korˇenu˚ i a −i, ktery´m odpovı´da´ mnohocˇlen x 2 + 1. Korˇenu 0 odpovı´da´ dvojcˇlenny´ rˇeteˇzec parcia´lnıćh zlomku˚ prvnı´ho typu, mnohocˇlenu x 2 + 1 odpovı´da´ jednocˇlenny´ rˇeteˇzec parcia´lnıćh zlomku˚ druhe´ho typu. Tvar rozkladu bude A B Cx + D 2x 3 − x 2 + x − 2 = + 2+ 2 . 2 2 x (x + 1) x x x +1 Po vyna´sobenı´ jmenovatelem x 2 (x 2 + 1) obdrzˇ´ıme rovnici 2x 3 − x 2 + x − 2 = Ax(x 2 + 1) + B(x 2 + 1) + (Cx + D)x 2 . Pravou stranu rozna´sobı´me a secˇteme. Vyjde: 2x 3 − x 2 + x − 2 = (A + C)x 3 + (B + D)x 2 + Ax + B. Porovna´me koeficienty u stejnyćh mocnin x na leve´ a prave´ straneˇ rovnice. x3 :

2 = A + C,

x :

1 = A,

x2 :

−1 = B + D,

x0 :

−2 = B.

Je tedy A = 1, B = −2, C = 1 a D = 1. Rozklad pak je 2x 3 − x 2 + x − 2 1 2 x+1 = − + . x4 + x2 x x2 x2 + 1

N


+

44

Prˇ´ıklad 2.35. Rozlozˇte na parcia´lnı´ zlomky raciona´lnı´ lomenou funkci R(x) =

x 3 + 3x 2 + 4 . x3 + x − 2

Rˇesˇenı´. Funkce nenı´ ryze lomena´, takzˇe je ji trˇeba nejprve vydeˇlit. Podı´l vyjde 1 a zbytek 3x 2 − x + 6, cozˇ zapı´sˇeme takto: R(x) = 1 +

3x 2 − x + 6 . x3 + x − 2

Nynı´ musı´me rozlozˇit jmenovatel, tj. najı´t korˇeny rovnice x 3 + x − 2 = 0. Je zrˇejme´, zˇe cˇ´ıslo 1 je korˇenem te´to rovnice. Platı´ tedy x 3 + x − 2 = (x − 1)(x 2 + x + 2). Protozˇe kvadraticky´ trojcˇlen x 2 + x + 2 ma´ komplexnı´ korˇeny (diskriminant je D = −7 < 0), je to jizˇ rozklad na ireducibilnı´ cˇinitele v rea´lne´m oboru. Jednoduche´mu korˇenu 1 odpovı´da´ parcia´lnı´ zlomek prvnı´ho typu, trojcˇlenu x 2 + x + 2 parcia´lnı´ zlomek druhe´ho typu. Tvar rozkladu bude A Bx + C 3x 2 − x + 6 = + . (x − 1)(x 2 + x + 2) x − 1 x2 + x + 2 Po vyna´sobenı´ dostaneme rovnici 3x 2 − x + 6 = A(x 2 + x + 2) + (Bx + C)(x − 1). Dosadı´me rea´lny´ korˇen x = 1. Vyjde na´m 8 = 4A, tj. A = 2. Pro zby´vajıćı´ dveˇ cˇ´ısla dostaneme rovnice porovnańı´m koeficientu˚ u stejnyćh mocnin x na leve´ a prave´ straneˇ rovnice. Po rozna´sobenı´ a sloucˇenı´ cˇlenu˚ se stejny´mi mocninami nezna´me´ obdrzˇ´ıme 3x 2 − x + 6 = (A + B)x 2 + (A − B + C)x + 2A − C. Vybereme libovolneˇ dveˇ rovnice obsahujıćı´ B a C. x2 :

3 = A + B,

x0 :

6 = 2A − C.

Tedy B = 1 a C = −2. Rozklad ma´ tvar 2 x−2 3x 2 − x + 6 = + . x3 + x − 2 x − 1 x2 + x + 2 Pro zadanou neryze lomenou raciona´lnı´ funkci tedy vyjde x 3 + 3x 2 + 4 2 x−2 = 1 + + . x3 + x − 2 x − 1 x2 + x + 2

N

2.4 Integrace raciona´lnı´ lomene´ funkce

45

2.4. Integrace raciona´lnı´ lomene´ funkce Pru˚vodce studiem

S Z

V J

Du˚lezˇitou skupinu funkcı´, ktere´ mu˚zˇeme (asponˇ teoreticky) integrovat v mnozˇineˇ elementa´rnıćh funkcı´, tvorˇ´ı raciona´lnı´ lomene´ funkce. K u´speˇsˇne´ integraci potrˇebujeme neˇktere´ vy´sledky z algebry, se ktery´mi jste se sezna´mili v prˇedchozı´m studiu. Z toho, co jizˇ bylo v prˇedcha´zejıćı´ kapitole rˇecˇeno, vyply´va´, zˇe kazˇdou raciona´lnı´ lomenou funkci P (x)/Q(x), kde P (x) a Q(x) jsou mnohocˇleny, lze vyja´drˇit ve tvaru P (x) = S(x) + R1 (x) + · · · + Rs (x), Q(x) kde S(x) je mnohocˇlen a R1 (x), . . . , Rs (x) jsou parcia´lnı´ zlomky. Na libovolne´m intervalu, ktery´ neobsahuje korˇeny jmenovatele Q(x), jsou tyto funkce spojite´, takzˇe k nim existujı´ primitivnı´ funkce a platı´: Z

P (x) dx = Q(x)

Z

Z S(x) dx +

Z R1 (x) dx + · · · +

Rs (x) dx.

Protozˇe integrace mnohocˇlenu S(x) je bezproble´mova´, stacˇ´ı umeˇt integrovat parcia´lnı´ zlomky.

2.4.1. Integrace parcia´lnıćh zlomku˚ s rea´lny´mi korˇeny ve jmenovateli Nejprve si vsˇimneme parcia´lnıćh zlomku˚ prvnı´ho typu, jejichzˇ jmenovatele majı´ rea´lne´ korˇeny. Jejich integrace je snadna´. Pro k = 1 dostaneme podle vzorce 4 z tabulky 2.1 Z

A dx = A ln |x − α| + c. x−α

Pro k = 2 pouzˇijeme substituci a vzorec 3 z tabulky 2.1. Vyjde na´m Z

x−α =t A dx = dx = dt (x − α)k =A

Z Z dt =A = A t −k dt = tk

t −k+1 A A +c = +c = + c. k−1 −k + 1 (1 − k)t (1 − k)(x − α)k−1

Pouzˇitı´ si uka´zˇeme na prˇ´ıkladech.


+

46


3x + 16 dx. −x−6

x2

Rˇesˇenı´. Jde o raciona´lnı´ funkci, ktera´ je ryze lomena´, protozˇe platı´ st(3x + 16) = 1 < < st(x 2 − x − 6) = 2. Rozlozˇ´ıme ji na parcia´lnı´ zlomky. K tomu potrˇebujeme korˇeny jmenovatele: ( √ 1 + 24 1 ± 5 1 ± −2, = = x2 − x − 6 = 0 ⇒ x1,2 = 2 2 3. Platı´ tedy x 2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2). Oba korˇeny jsou rea´lne´ a jednoduche´. Ke kazˇde´mu korˇenu tudı´zˇ prˇ´ıslusˇ´ı jednocˇlenny´ rˇeteˇzec parcia´lnıćh zlomku˚. Tvar rozkladu je 3x + 16 A B 3x + 16 = = + , x2 − x − 6 (x − 3)(x + 2) x−3 x+2 kde A a B jsou vhodne´ konstanty. Rovnost vyna´sobı´me jmenovatelem (x − 3)(x + 2) a dostaneme rovnost dvou mnohocˇlenu˚: 3x + 16 = A(x + 2) + B(x − 3). Pro urcˇenı´ konstant A a B je nynı´ nejrychlejsˇ´ı do rovnosti dosadit postupneˇ oba korˇeny. Vyjde: x = −2 : x=3:

10 = −5B 25 = 5A

⇒ ⇒

B = −2, A = 5.

+

Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme vypocˇ´ıtat integra´l. Dostaneme: Z Z 5 2 3x + 16 dx = dx = − x2 − x − 6 x−3 x+2 Z Z dx dx =5 −2 = 5 ln |x − 3| − 2 ln |x + 2| + c. x−3 x+2 Vy´sledek platı´ na ktere´mkoli z intervalu˚ (−∞, −2), (−2, 3) a (3, +∞). Z 1 Prˇ´ıklad 2.37. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l dx. x5 − x3

N

Rˇesˇenı´. Jde o raciona´lnı´ ryze lomenou funkci, protozˇe st(1) = 0 < st(x 5 − x 3 ) = 5. Jmenovatel snadno rozlozˇ´ıme na soucˇin korˇenovyćh cˇinitelu˚. Platı´: x 5 − x 3 = x 3 (x 2 − 1) = = x 3 (x − 1)(x + 1). Vsˇechny korˇeny jsou rea´lne´: trojna´sobny´ korˇen 0, jemuzˇ odpovı´da´ trojcˇlenny´ rˇeteˇzec parcia´lnıćh zlomku˚, a jednoduche´ korˇeny 1 a −1, jimzˇ odpovı´dajı´ jednocˇlenne´ rˇeteˇzce parcia´lnıćh zlomku˚. Prˇedpokla´dany´ tvar rozkladu je tudı´zˇ x5

1 1 A B C D E = 3 = 3+ 2+ + + . 3 −x x (x − 1)(x + 1) x x x x−1 x+1

(2.12)


47

Abychom urcˇili nezna´me´ konstanty A, B, C, D, E, vyna´sobı´me prˇedchozı´ rovnost jmenovatelem x 3 (x − 1)(x + 1). Dostaneme 1 = A(x 2 − 1) + Bx(x 2 − 1) + Cx 2 (x 2 − 1) + Dx 3 (x + 1) + Ex 3 (x − 1).

(2.13)

Dosadı´me rea´lne´ korˇeny jmenovatele a urcˇ´ıme trˇi konstanty: x=0: x=1: x = −1 :

1 = −A 1 = 2D 1 = 2E

⇒ ⇒ ⇒

A = −1, D = 1/2, E = 1/2.

Zby´va´ urcˇit jesˇteˇ konstanty B a C. K tomu porovna´me koeficienty u stejnyćh mocnin promeˇnne´ x na leve´ a prave´ straneˇ rovnosti (2.13). Po rozna´sobenı´ a u´pravaćh dostaneme 1 = (C + D + E)x 4 + (B + D − E)x 3 + (A − C)x 2 − Bx − A. Stacˇ´ı sestavit dveˇ vhodne´ rovnice: x1 :

0 = −B

⇒

B = 0,

x2 :

0=A−C

⇒

C = −1.

Samozrˇejmeˇ je mozˇne´ urcˇit vsˇechny konstanty porovnańı´m koeficientu˚, ale kombinace te´to metody a dosazenı´ rea´lnyćh korˇenu˚ je obvykle rychlejsˇ´ı. Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme prˇistoupit k vy´pocˇtu integra´lu. Z (2.12) dostaneme Z

1 1 1/2 1/2 − 3− + + dx = x x x−1 x+1 Z Z Z Z dx dx 1 dx 1 dx =− − + + = 3 x x 2 x−1 2 x+1

1 dx = 5 x − x3

=

Z

1 1 1 − ln |x| + ln |x − 1| + ln |x + 1| + c. 2x 2 2 2

(U prvnı´ho integra´lu si uveˇdomte, zˇe 1/x 3 = x −3 .) Vy´sledek platı´ na libovolne´m intervalu, ktery´ neobsahuje rea´lne´ korˇeny jmenovatele, tj. cˇ´ısla 0, 1 a −1. N


+

48


x 5 + x 4 − 2x 3 − x 2 + 1 dx. x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Rˇesˇenı´. Tentokra´t nejde o ryze lomenou raciona´lnı´ funkci (stupenˇ cˇitatele je 5 a stupenˇ jmenovatele je 3), takzˇe nejprve musı´me mnohocˇleny vydeˇlit. Vyjde na´m: (x 5 + x 4 − 2x 3 − x 2 + 1) : (x 3 + 3x 2 + 3x + 1) = x 2 − 2x + 1 −(x 5 + 3x 4 + 3x 3 + x 2 ) −2x 4 − 5x 3 − 2x 2 + 1 −(−2x 4 − 6x 3 − 6x 2 − 2x) x 3 + 4x 2 + 2x + 1 −(x 3 + 3x 2 + 3x + 1) x2 − x Platı´ tedy, zˇe x2 − x x 5 + x 4 − 2x 3 − x 2 + 1 2 = x − 2x + 1 + . x 3 + 3x 2 + 3x + 1 x 3 + 3x 2 + 3x + 1 Vzniklou ryze lomenou funkci musı´me rozlozˇit na soucˇet parcia´lnıćh zlomku˚. K tomu potrˇebujeme najı´t korˇeny jmenovatele. Je zrˇejme´, zˇe platı´ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = (x + 1)3 . Tedy jmenovatel ma´ jediny´ korˇen −1, a to trojna´sobny´. Odpovı´da´ mu rˇeteˇzec trˇ´ı parcia´lnıćh zlomku˚. Tvar rozkladu bude x2 − x x2 − x A B C = = + + . 3 2 3 3 2 x + 3x + 3x + 1 (x + 1) (x + 1) (x + 1) x+1 Po vyna´sobenı´ jmenovatelem (x + 1)3 a rozna´sobenı´ prave´ strany postupneˇ dostaneme: x 2 − x = A + B(x + 1) + C(x + 1)2 , x 2 − x = Cx 2 + (2C + B)x + (A + B + C). Porovnańı´m koeficientu˚ u stejnyćh mocnin vyjde: x2 : 1

x : x0 :

1=C −1 = 2C + B 0=A+B +C

⇒

C = 1,

⇒

B = −3,

⇒

A = 2.

Platı´ tedy: x2 − x 2 3 1 = − + . 3 3 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) x+1


49

Dohromady ma´me x 5 + x 4 − 2x 3 − x 2 + 1 2 3 1 = x 2 − 2x + 1 + − + , 3 3 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) x+1 takzˇe Z

x 5 + x 4 − 2x 3 − x 2 + 1 dx = x 3 + 3x 2 + Z3x + 1 =

2

Z

(x − 2x + 1) dx + 2

dx −3 (x + 1)3

Z

dx + (x + 1)2

Z

dx . x+1

Vypocˇ´ıta´me a upravı´me integra´ly z prvnıćh dvou parcia´lnıćh zlomku˚ (trˇetı´ je zrˇejmy´). Z Z x+1=u dx u−2 1 1 du = = = =− 2 =− , 3 3 dx = du (x + 1) u −2 2u 2(x + 1)2 Z Z x+1=u dx du u−1 1 1 = = =− =− . = 2 2 dx = du (x + 1) u −1 u x+1 Celkovy´ vy´sledek, platny´ na intervalech (−∞, −1) a (−1, +∞), je tudı´zˇ Z

x 5 + x 4 − 2x 3 − x 2 + 1 dx = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 1 1 3 = x3 − x2 + x − + + ln |x + 1| + c. 2 3 (x + 1) x+1 N

2.4.2. Integrace parcia´lnıćh zlomku˚ s komplexnı´mi korˇeny ve jmenovateli Nynı´ si vsˇimneme parcia´lnıćh zlomku˚ druhe´ho typu. Ty majı´ ve jmenovateli mocninu kvadraticke´ho trojcˇlenu x 2 + px + q, ktery´ ma´ za´porny´ diskriminant p2 − 4q < 0, tj. ma´ komplexnı´ korˇeny. Nejprve si vsˇimneme prˇ´ıpadu, kdy p = 0. Pak musı´ by´t q > 0, a mu˚zˇeme polozˇit q = a 2 , kde a > 0. Pu˚jde tedy o parcia´lnı´ zlomek tvaru Mx + N n , (x 2 + a 2 )

kde M, N, a ∈ R, a > 0, n ∈ N.

Pak Z

Mx N n + n dx = (x 2 + a 2 ) (x 2 + a 2 ) Z Z x 1 =M dx + N n n dx. (x 2 + a 2 ) (x 2 + a 2 )

Mx + N n dx = (x 2 + a 2 )

Z

(2.14)


50

Prvnı´ integra´l zvla´dneme snadno. Pro n = 1 vyjde podle vzorce 14 z tabulky 2.1 Z Z x 1 2x 1 1 dx = dx = ln x 2 + a 2 + c = ln x 2 + a 2 + c, 2 2 2 2 x +a 2 x +a 2 2 protozˇe pro libovolne´ x ∈ R je x 2 + a 2 > 0. Pro n = 2 pouzˇijeme substituci. Dostaneme 2 Z x + a2 = u Z Z 1 du x 1 · = u−n du = n dx = 2x dx = du = n u 2 2 (x 2 + a 2 ) x dx = 21 du 1 u−n+1 1 1 · +c = · n−1 + c = 2 −n + 1 2(1 − n) u 1 1 = · + c. 2(1 − n) (x 2 + a 2 )n−1

=

Druhy´ integra´l z (2.14) na´m da´ vıće praće. Oznacˇme Z 1 Jn (x, a) = n dx, 2 (x + a 2 )

a > 0.

Metodou per partes odvodı´me rekurentnı´ vztah Jn (x, a) =

1 x 2n − 3 · + Jn−1 (x, a), (2n − 2)a 2 (x 2 + a 2 )n−1 (2n − 2)a 2

(2.15)

ktery´ vyjadrˇuje pro n = 2 integra´l Jn (x, a) pomocı´ Jn−1 (x, a). To na´m umozˇnı´ prˇeve´st postupneˇ Jn (x, a) azˇ na zna´my´ integra´l J1 (x, a), uvedeny´ v tabulce 2.1 pod cˇ´ıslem 9: Z 1 1 x J1 (x) = dx = arctg + c. x 2 + a2 a a Ukazˇme platnost vztahu (2.15). Metodou per partes vyjde, zˇe pro n = 2 je Z 1 u= u0 = −(n−1)2x 1 n−1 2 +a 2 )n 2 2 (x (x +a ) Jn−1 = dx = = v0 = 1 v=x (x 2 + a 2 )n−1 Z x x2 = + (2n − 2) dx = (x 2 + a 2 )n (x 2 + a 2 )n−1 Z 2 x x + a2 − a2 = + (2n − 2) dx = (x 2 + a 2 )n (x 2 + a 2 )n−1 Z Z x 1 1 2 = + (2n − 2) dx − (2n − 2)a dx = n−1 n−1 2 + a 2 )n 2 2 2 2 (x (x + a ) (x + a ) x = + (2n − 2)Jn−1 − (2n − 2)a 2 Jn . n−1 2 2 (x + a )


51

Dostali jsme rovnici Jn−1 =

x (x 2

+

a 2 )n−1

+ (2n − 2)Jn−1 − (2n − 2)a 2 Jn ,

z nı´zˇ vypocˇ´ıta´me (2n − 2)a 2 Jn =

x (x 2

+ a 2 )n−1

+ (2n − 3)Jn−1 ,

a odtud jizˇ po vydeˇlenı´ (2n − 2)a 2 plyne vztah (2.15).


3x − 8 dx, x ∈ (−∞, +∞). (x 2 + 2)3

Rˇesˇenı´. Jde o parcia´lnı´ zlomek druhe´ho typu, kde p = 0 a q = a 2 = 2, tj. a = Budeme postupovat podle prˇedchozı´ho na´vodu. Nejprve Z Z Z 3x − 8 x 1 dx = 3 dx − 8 dx. 2 3 2 3 2 (x + 2) (x + 2) (x + 2)3

+

Z

√ 2.

Pro prvnı´ integra´l ma´me Z

2 x +2=u Z Z 1 du 1 x dx = 2x dx = du = · = u−3 du = 3 (x 2 + 2)3 u 2 2 1 x dx = du 2 =

1 u−2 1 1 =− 2 =− . 2 −2 4u 4(x 2 + 1)2

Na druhy´ integra´l pouzˇijeme dvakra´t vzorec (2.15) — nejprve pro n = 3 a pak pro n = 2: Z √ √ 1 1 x 3 dx = J x, 2 = · + J x, 2 = 3 2 (x 2 + 2)3 4 · 2 (x 2 + 2)2 4 · 2 √ x 3 1 x 1 = + · + J1 x, 2 = 8(x 2 + 2)2 8 2 · 2 x 2 + 2 2 · 2 x 3x 3 1 x = + + √ arctg √ . 2 2 2 8(x + 2) 32(x + 2) 32 2 2 Celkoveˇ tedy vyjde Z 3x − 8 3 x 3x 3 x dx = − − 2 − − √ arctg √ + c. 2 3 2 2 2 2 (x + 2) 4(x + 1) (x + 2) 4(x + 2) 4 2 N 2 Na za´veˇr si vsˇimneme parcia´lnıćh zlomku˚ druhe´ho typu v prˇ´ıpadeˇ, zˇe p 6= 0. Postup bude obdobny´ jako v prˇ´ıpadeˇ p = 0, tj. parcia´lnı´ zlomek rozdeˇlı´me na dveˇ vhodne´ cˇa´sti, jen u´pravy budou trochu slozˇiteˇjsˇ´ı. Cˇitatel prvnı´ho zlomku vytvorˇ´ıme tak, aby byl na´sobkem derivace trojcˇlenu x 2 + px + q, tj. dvojcˇlenu 2x + p. Najdeme tudı´zˇ vhodna´ cˇ´ısla r a s tak, aby (x 2

Mx + N r(2x + p) + s 2x + p 1 = 2 =r 2 +s 2 . n n n + px + q) (x + px + q) (x + px + q) (x + px + q)n


52

Pro cˇ´ısla r a s musı´ platit Mx + N = r(2x + p) + s = 2rx + (pr + s)

M = 2r,

⇒

N = pr + s,

z cˇehozˇ dosta´va´me r = M/2, s = N − pM/2. Tyto vztahy si pochopitelneˇ nebudeme pamatovat, na kazˇde´m konkre´tnı´m prˇ´ıkladeˇ cˇ´ısla r a s porovnańı´m koeficientu˚ snadno urcˇ´ıme. Bude tedy Z

Mx + N dx = r (x 2 + px + q)n

Z

2x + p dx + s (x 2 + px + q)n

Z

1 dx. (x 2 + px + q)n

Prvnı´ integra´l vypocˇ´ıta´me obdobneˇ jako prvnı´ integra´l v (2.14). Pro n = 1 je Z

2 2x + p x + px + q + c = ln x 2 + px + q + c, dx = ln x 2 + px + q

protozˇe jmenovatel je vzˇdy kladny´ (grafem funkce y = x 2 + px + q je parabola rozevrˇena´ nahoru, ktera´ neprotne osu x, tedy prˇ´ıslusˇna´ kvadraticka´ rovnice ma´ komplexnı´ korˇeny). Pro n = 2 pouzˇijeme substituci: Z

2 Z x + px + q = u du 2x + p = dx = = 2 n (2x + p) dx = du (x + px + q) un =

1 1 1 1 · n−1 + c = · 2 + c. 1−n u 1 − n (x + px + q)n−1

Druhy´ integra´l prˇevedeme substitucı´ na vy´pocˇet integra´lu Jn . Nejprve doplnı´me trojcˇlen x 2 + px + q na u´plny´ cˇtverec: p 2 4q − p2 p 2 p2 − + x 2 + px + q = x + +q = x+ . 2 4 2 4 Vzhledem k prˇedpokladu, zˇe diskriminant p2 − 4q je za´porny´, platı´ (4q − p2 )/4 > 0, takzˇe mu˚zˇeme polozˇit (4q − p2 )/4 = a 2 , kde a > 0. Nynı´ Z

1 dx = 2 (x + px + q)n

Z

x+p =u 1 2 = n dx = dx = du [(x + p/2)2 + a 2 ]

Z = Postup si uka´zˇeme na prˇ´ıkladu.

(u2

1 n du = Jn (u, a). + a2)


53


5x + 1 dx, x ∈ (−∞, +∞). +x+1

+

Z

x2

Rˇesˇenı´. Trojcˇlen x 2 + x + 1 ve jmenovateli ma´ diskriminant 12 − 4 · 1 · 1 = −3, ktery´ je za´porny´, takzˇe jeho korˇeny jsou komplexnı´. Jde tudı´zˇ o parcia´lnı´ zlomek druhe´ho typu. Derivace jmenovatele je 2x + 1. Cˇitatel 5x + 1 proto upravı´me na tvar r(2x + 1) + s. Musı´ tedy platit 5x + 1 = r(2x + 1) + s = 2rx + (r + s)

5 = 2r, 1 = r + s.

⇒

To znamena´, zˇe r = 5/2 a s = −3/2. Zadańı´ bude mı´t po rozdeˇlenı´ tvar 5x + 1 = x2 + x + 1

5 2

(2x + 1) − x2 + x + 1

3 2

=

1 5 2x + 1 3 − , 2 x2 + x + 1 2 x2 + x + 1

a tedy Z

5 5x + 1 dx = 2 x +x+1 2

Z

2x + 1 3 dx − 2 x +x+1 2

Z x2

1 dx. +x+1

(2.16)

Prvnı´ ze vzniklyćh integra´lu˚ je snadny´ (v cˇitateli je derivace jmenovatele): Z 2x + 1 dx = ln(x 2 + x + 1). 2 x +x+1 Prˇed vy´pocˇtem druhe´ho integra´lu doplnı´me trojcˇlen x 2 + x + 1 na u´plny´ cˇtverec: 1 2 3 1 2 1 − +1= x+ + . x2 + x + 1 = x + 2 4 2 4 √ Nynı´ dostaneme s pouzˇitı´m vzorce 9 z tabulky 2.1, kde a = 3/2: Z Z Z x+1 =u 1 1 1 dx = du = 2 3 dx = dx2 = du = 2 2 1 x +x+1 u + 34 x+2 +4 2 x + 12 2 2x + 1 1 u 2 = √ arctg √ . = √ arctg √ = √ arctg √ 3 3 3 3 3 3 2

2

Dosazenı´m dı´lcˇ´ıch vy´sledku˚ do (2.16) dostaneme celkem, zˇe Z 5 3 2 2x + 1 5x + 1 2 dx = ln(x + x + 1) − arctg +c = √ √ x2 + x + 1 2 2 3 3 √ 5 2x + 1 = ln(x 2 + x + 1) − 3 arctg √ + c. 2 3

N


54

+

2.4.3. Integrace parcia´lnıćh zlomku˚ s rea´lny´mi a komplexnı´mi korˇeny ve jmenovateli Z Prˇ´ıklad 2.41. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l

x 3 + 3x 2 + 4 dx. x3 + x − 2

Rˇesˇenı´. Z prˇ´ıkladu cˇ´ıslo 2.35 vı´me, zˇe rozklad na parcia´lnı´ zlomky bude vypadat na´sledovneˇ: x 3 + 3x 2 + 4 2 x−2 =1+ + 2 . 3 x +x−2 x−1 x +x+2 x−2 Zlomek 2 prˇed integracı´ upravı´me na´sledovneˇ: x +x+2 1 5 x−2 2 (2x + 1) 2 = − x2 + x + 2 x 2 + x + 2 (x + 12 )2 +

7 4

.

Po integraci obdrzˇ´ıme: Z

x 3 + 3x 2 + 4 1 5 2x + 1 dx = x + 2 ln |x − 1| + ln(x 2 + x + 2) + √ arctg √ + c. 3 x +x−2 2 7 7

+

N Z Prˇ´ıklad 2.42. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l

2x 3 + 8x 2 − 8x − 22 dx. (x + 3)2 (x 2 + 1)

Rˇesˇenı´. Jmenovatel ma´ dvojna´sobny´ rea´lny´ korˇen −3 a v rea´lne´m oboru nerozlozˇitelny´ cˇinitel x 2 + 1. Rozklad ma´ tedy tvar: A B Cx + D 2x 3 + 8x 2 − 8x − 22 = + + 2 . 2 2 2 (x + 3) (x + 1) (x + 3) x+3 x +1 Po vyna´sobenı´ vyjde: 2x 3 + 8x 2 − 8x − 22 = A(x 2 + 1) + B(x + 3)(x 2 + 1) + (Cx + D)(x + 3)2 , 2x 3 + 8x 2 − 8x − 22 = Ax 2 + Ax + Bx 3 + 3Bx 2 + Bx + 3B + Cx 3 + 6Cx 2 + + 9Cx + Dx 2 + 6Dx + 9D, 2x 3 + 8x 2 − 8x − 22 = x 3 (B + C) + x 2 (A + 3B + 6C + D) + + x(A + B + 9C + 6D) + 3B + 9D. Porovnańı´m koeficientu˚ obdrzˇ´ıme: A = 2, B = 1, C = 1, D = −3. Tedy 2x 3 + 8x 2 − 8x − 22 2 1 x−3 = + + 2 . 2 2 2 (x + 3) (x + 1) (x + 3) x+3 x +1


55

Z Z Z 2x 3 + 8x 2 − 8x − 22 2 1 x−3 dx = dx + dx + dx. 2 2 2 (x + 3) (x + 1) (x + 3) x+3 x2 + 1 Trˇetı´ integra´l je trˇeba jesˇteˇ upravit takto: Z Z Z x−3 1 2x 1 dx = dx − 3 dx. 2 2 2 x +1 2 x +1 x +1 Z

Po integraci obdrzˇ´ıme Z 2x 3 + 8x 2 − 8x − 22 −2 1 dx = + ln |x + 3| + ln |x 2 + 1| − 3 arctg x + c. 2 2 (x + 3) (x + 1) (x + 3) 2 N

Pru˚vodce studiem

S Z

V J

1) Integrace raciona´lnı´ lomene´ funkce sesta´va´ ze dvou cˇa´stı´: • z rozkladu na parcia´lnı´ zlomky (a prˇ´ıpadneˇ deˇlenı´ u neryze lomene´ funkce), • z integrace jednotlivyćh zlomku˚ (a prˇ´ıpadneˇ mnohocˇlenu u neryze lomene´ funkce). Tyto cˇa´sti mohou by´t ru˚zneˇ dlouhe´. Cˇasto zabere prvnı´ cˇa´st veˇtsˇinu doby rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu a vlastnı´ integrace je velmi rychla´. Je to typicke´, pokud ma´ jmenovatel jen rea´lne´ korˇeny. V prˇ´ıpadeˇ komplexnıćh korˇenu˚, zejmeńa pokud jsou na´sobne´, mu˚zˇe by´t integrace velmi zdlouhava´. 2) Uveˇdomte si, zˇe prakticky mu˚zˇeme integraci prove´st, jen kdyzˇ doka´zˇeme najı´t rozklad na parcia´lnı´ zlomky, k cˇemuzˇ potrˇebujeme korˇeny jmenovatele. Avsˇak nale´zt korˇeny mnohocˇlenu˚ vysˇsˇ´ıch stupnˇu˚ obecneˇ neumı´me (umı´me rˇesˇit kvadratickou rovnici, pro rovnice trˇetı´ho a cˇtvrte´ho stupneˇ existujı´ vzorce, ktere´ jsou ale pro prakticke´ pouzˇitı´ prˇ´ılisˇ slozˇite´, pro rovnice stupneˇ peˇt a vıće obecneˇ tzv. rˇesˇenı´ pomocı´ radika´lu˚ neexistuje — viz [12]). Uzˇivatele´ na tuto skutecˇnost cˇasto zapomıńajı´ a povazˇujı´ integraci raciona´lnıćh lomenyćh funkcı´ za bezproble´movou (maxima´lneˇ zdlouhavou) za´lezˇitost. Pokud vsˇak nejde o sˇkolske´ u´lohy nachystane´ tak, aby „peˇkneˇ vysˇly“, ale o u´lohy z praxe, kde koeficienty mnohocˇlenu˚ jsou zı´skańy naprˇ. meˇrˇenı´m, je opak pravdou. 3) Z prˇedchozı´ho je videˇt, zˇe vy´sledek neurcˇite´ho integra´lu z raciona´lnı´ lomene´ funkce dostaneme prˇi vy´sˇe popsanyćh postupech ve tvaru soucˇtu, kde jako scˇı´tance se mohou objevit pouze urcˇite´ funkce (pokud nesloucˇı´me logaritmy a pod. nebo pokud neudeˇla´me neˇjakou umeˇlou u´pravu, jako zˇe naprˇ. mı´sto x budeme psa´t eln x ). Jsou to • mnohocˇleny, • raciona´lnı´ lomene´ funkce,


56

• logaritmy linea´rnıćh a kvadratickyćh mnohocˇlenu˚, • arkustangenty linea´rnıćh mnohocˇlenu˚. 4) Nezapomıńejte oveˇrˇit, zda trojcˇleny x 2 + px + q ze jmenovatelu˚ majı´ opravdu komplexnı´ korˇeny, tj. p2 − 4q < 0 (a tudı´zˇ nejdou rozlozˇit na soucˇin dvou linea´rnıćh mnohocˇlenu˚ majıćıćh rea´lne´ korˇeny). Pokud to prˇehle´dnete a budete takovy´ „parcia´lnı´ zlomek“ upravovat postupy urcˇeny´mi pro parcia´lnı´ zlomky s komplexnı´mi korˇeny ve jmenovateli, projde vsˇe azˇ na jeden krok. Po doplneˇnı´ na u´plny´ cˇtverec a substituci dostanete mı´sto dvojcˇlenu u2 +a 2 dvojcˇlen u2 −a 2 , a > 0. Integra´l Z du n 2 (u − a 2 ) nelze rˇesˇit pomocı´ rekurentnı´ho vzorce (2.15) a nezby´va´ nezˇ pouzˇ´ıt na neˇho rozklad na parcia´lnı´ zlomky, cozˇ se meˇlo udeˇlat rovnou. Takto se sice dopracujete ke spra´vne´mu vy´sledku, ale zbytecˇnou oklikou, kterou jste si prˇidali praći. Sˇlo by sice Rodvodit analogii vzorce (2.15) pro tento prˇ´ıpad a vypocˇı´tat, zˇe pro na dva logaritmy, ale to nenı´ vy´hodne´, integrace parcia´lnıćh n = 1 vede u2du −a 2 zlomku˚ majıćıćh ve jmenovateli rea´lne´ korˇeny je mnohem rychlejsˇ´ı. A 5) U parcia´lnıćh zlomku˚ prvnı´ho typu tvaru x−α je v prˇ´ıpadeˇ, zˇe α je raciona´lnı´ cˇı´slo, ktere´ nenı´ cele´, neˇkdy vy´hodneˇjsˇ´ı napsat zlomek v nepatrneˇ odlisˇne´m tvaru. Naprˇ. je-li korˇen α = 21 , tj. korˇenovy´ cˇinitel je x − 12 , hleda´me parcia´lnı´ zlomek ve tvaru A A mı´sto . 2x − 1 x − 12

Pozor, uveˇdomte si, zˇe A vyjde pokazˇde´ jine´! Vlastneˇ jsme druhy´ zlomek prˇedchozı´ho rˇa´dku rozsˇ´ırˇili dveˇma. Musı´me vsˇak pak da´t pozor, zˇe prˇi integraci se pouzˇije vzorec 14 z tabulky 2.1: Z

!

A dx = A 2x − 1

Z

1 A dx = 2x − 1 2

Z

2 A dx = ln |2x − 1|. 2x − 1 2

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Integrujte dane´ funkce: Z x a) dx, (x + 1)(2x + 1) Z 5x − 14 c) dx, 3 x − x 2 − 4x + 4 Z dx e) , x(2 + x)

Z b) d) f)

u du, − 3u − 2 Z 33 dh, 3 6h − 7h2 − 3h Z 12(y − 1) dy, (y + 1)(y 2 − 4) 2u2

2.4 Integrace raciona´lnı´ lomene´ funkce Z g) Z i) Z k) Z m)

32s ds, (2s − 1)(4s 2 − 16s + 15) dx , 6 + x − x2 x 2 − 3x + 2 dx, x 3 + 2x 2 + x 2(x 2 − 4x + 5) dx, x+3

2. Integrujte dane´ funkce: Z dx a) , (3 + x)(1 + 2x + x 2 ) Z dx c) , x(16 − 24x + 9x 2 ) Z 2x 2 + 41x − 91 e) dx, (x − 1)(x 2 − x − 12) Z 3x 3 − 5x 2 + 8x g) dx, (x 2 − 2x + 1)(x 2 − 1) Z 5 x + x 4 + 3x 3 + x 2 − 2 i) dx, x4 − 1 Z x+3 dx, k) 2 (x − x + 1)2 Z 5x + 3 m) dx, 2 (x − 2x + 5)3 3. Integrujte dane´ funkce: Z x 2 dx a) , x 3 + 5x 2 + 8x + 4 Z 4z2 dz, c) 1 − z4 Z 6r e) dr, r3 + 1 Z x+1 2 x−1 g) dx, x Z 4 i) dx, 4 x(x + 1)

57 Z

6(x 3 + 1) dx, x 3 − 5x 2 + 6x

Z

18(3x 2 + 1) dx, x 4 − 3x 2 + 2x

Z

4(3x 2 + 1) dx, (x 2 − 1)3

h) j) l) Z n)

x2

x dx . −x−2

Z

x dx, 4 − 4x + x 2

Z

x2 dx, (x + 2)2 (x + 4)2

b) d) Z f)

2x 2 Z

h)

1 dx, + 9x − 5

9x − 5 dx, − 6x + 1

9x 2

x 4 + x 3 − 2x 2 + 2x + 3 dx, x2 + x − 2 Z 3x + 1 dx, (x 2 + 2)3 Z 2x + 2 dx. (x − 1)(x 2 + 1)2 Z

j) l) n)

Z b)

x3

5x − 1 dx, − 3x − 2

Z

10(7x 2 + 1) dx, x 4 + 4x 2 − 5

Z

4t 3 dt, t4 + 1

d) f) Z

2x dx, 4+1 x Z 8 j) dy, 4 y +1 √ √ Na´poveˇda: x 4 + 1 = (x 2 + 1)2 − 2x 2 = (x 2 − 2 x + 1)(x 2 + 2 x + 1). Z Z v2 x3 + 1 k) dv, l) dx, v 3 + 5v 2 + 8v + 4 x3 − x2 Z Z x2 3x 4 m) dx, n) dx. x2 + 2 x2 + 2 h)


58

4. Integrujte dane´ funkce: Z 1 a) dx, 3 x − x2 Z 6m dm, c) 3 m −1 Z 4 e) dz, 2 (z + 1)(z2 + z) Z 2(p3 − 6) g) dp, p4 + 6p2 + 8 Z 6(3x + 8) i) dx, 2 x + 2x + 10 Z 28(−5u + 16) du, k) 2u2 + 7 Z 30 m) dx, 4x 2 + 4x + 16

Z b)

2 dx, + 1)

x(x 2

6x 2 − x + 1 dx, x3 − x Z 4 dx, 2 (x + 1) (x 2 + 1) Z 6b db, 2 b + 2b + 4 Z 10 dx, (5x + 4)3 Z 28 dy, 2 2y + 4y + 6 Z 4p dp. (p 2 − 1)(p2 + 1) Z

d) f) h) j) l) n)

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ 1 ln |2x + 1|, 2 c) − ln |x − 2| + 3 ln |x − 1| − 2 ln |x + 2|,

1. a)

ln |x + 1| −

d)

9 ln |3h + 1| − 11 ln |h| + 2 ln |2h − 3|,

f)

ln |y − 2| + 8 ln |y + 1| − 9 ln |y + 2|,

g)

ln |2s − 1| + 5 ln |2s − 5| − 6 ln |2s − 3|,

b)

2 1 ln |u − 2| + ln |2u + 1| , 5 10

e)

1 x ln , 2 2 + x

h)

6x − 27 ln |x − 2| + ln |x| + 56 ln |x − 3|, 1 2 + x i) ln , 5 3 − x 6 k) 2 ln |x| − ln |x + 1| + , x+1

j) l)

m) x 2 − 14x + 52 ln |x + 3|, 2. a) c)

−1 1 3 + x + ln , 2(1 + x) 4 1 + x x 1 4 , + ln 16 4 − 3x 3x − 4

n)

−24 |x|9 · |x − 1|4 + ln , x−1 |x + 2|13 1 1 − + , 2 (x − 1) (x + 1)2 1 2 ln |x + 1| + ln |x − 2|. 3 3

2 + ln |2 − x|, 2−x x + 4 −1 − 4 , d) + 2 ln x+2 x + 2 x + 4 b)


e)

(x − 1)4 (x − 4)5 , ln (x + 3)7

g) − h) j) l) m) n)

59 1 2x − 1 f) ln , 11 x + 5

2 3 − + ln |(x − 1)(x + 1)2 |, 2 2(x − 1) x−1

2 + ln |3x − 1|, 3(3x − 1) p x3 3 + ln |x − 1|5 · |x + 2|, 3

i)

p x2 + x + ln |x 2 − 1| · x 2 + 1 + arctg x, 2

7x − 5 14 2x − 1 + arctg √ √ , 3(x 2 − x + 1) 3 3 3 3x 3 x−6 x + + √ arctg √ , 2 2 2 8(x + 2) 32(x + 2) 32 2 2 3x − 3 2x − 7 3 x−1 + + arctg , 2 2 2 4(x − 2x + 5) 16(x − 2x + 5) 32 2 k)

1 (x − 1)2 1 ln 2 + 2 − arctg x. 2 x +1 x +1

d)

x − 2 − 2 , b) ln x + 1 x + 1 √ x − 1 x , d) 12 5 arctg √ + 5 ln x + 1 5 √ 2r − 1 −2 ln |r + 1| + ln(r 2 − r + 1) + 2 3 arctg √ , 3 4 4 ln(t + 1), g) ln |x| − , x−1 arctg x 2 , i) 4 ln |x| − ln(x 4 + 1), √ √ √ √ √ √ y2 + y 2 + 1 + 2 2 arctg y 2 + 1 + 2 2 arctg y 2 − 1 , 2 ln √ y2 − y 2 + 1 1 4 ln |v + 1| + v + 2 , l) x − ln |x| + + 2 ln |x − 1|, x √ √ x x x − 2 arctg √ , n) x 3 − 6x + 6 2 arctg √ . 2 2 x − 1 1 , + ln b) 2 ln |x| − ln(x 2 + 1), x x √ 2m + 1 2 ln |m − 1| − ln(m2 + m + 1) + 2 3 arctg √ , 3 4 ln |x + 1| − ln |x| + 3 ln |x − 1| ,

e)

4 ln |z| − 2 ln |z + 1| − ln(z2 + 1) − 2 arctg z,

4 3. a) ln |x + 1| + , x + 2 z + 1 z − 1 − 2 arctg z, c) ln e) f) h) j) k) m) 4. a) c)


60

f) g) h) i) k) m)

2 − ln(x 2 + 1), x+1 √ p p 3 arctg − ln(p2 + 2) − 3 2 arctg √ + 2 ln(p 2 + 4), 2 2 √ b+1 3 ln(b2 + 2b + 4) − 2 3 arctg √ , 3 x+1 1 9 ln(x 2 + 2x + 10) + 10 arctg , j) − , 3 (5x + 4)2 √ √ 2u y+1 l) 7 2 arctg √ , 32 14 arctg √ − 35 ln(2u2 + 7), 14 2 2 √ p − 1 2x + 1 15 arctg √ , n) ln 2 . p + 1 15 2 ln |x + 1| −

2.5. Integrace neˇkteryćh specia´lnıćh typu˚ funkcı´ V tomto oddı´lu se budeme zaby´vat integra´ly, ktere´ lze pomocı´ vhodnyćh substitucı´ prˇeve´st na integra´ly z raciona´lnı´ lomene´ funkce. Jde o jiste´ vy´razy s goniometricky´mi funkcemi resp. s odmocninami. Vesmeˇs jde o integra´ly, ktere´ se cˇasto vyskytujı´ v aplikacıćh. Abychom mohli popsat, o jake´ integra´ly jde, budeme potrˇebovat pojem raciona´lnı´ funkce dvou a vıće promeˇnnyćh. Zavedeme si proto na´sledujıćı´ oznacˇenı´: Symbolem R(u, v) budeme rozumeˇt zlomek, v jehozˇ cˇitateli i jmenovateli jsou pouze konecˇne´ soucˇty vy´razu˚ tvaru aum v n , kde a je rea´lna´ konstanta a m a n jsou neza´porna´ cela´ cˇ´ısla, tj. a ∈ R, m, n ∈ N ∪ {0}. Zobrazenı´ (u, v) → R(u, v) se nazy´va´ raciona´lnı´ funkce dvou promeˇnnyćh. Raciona´lnı´ funkce dvou promeˇnnyćh u a v jsou naprˇ. uv − 4,

u+v , u−v

uv + 2 , u2 − v 2

u2 v 3 − 2uv + 1 . uv − u4 v 2 − 3

Obdobneˇ postupujeme pro trˇi a vıće promeˇnnyćh. Promeˇnne´ mu˚zˇeme znacˇit ru˚zny´mi pı´smeny. Tak naprˇ. xy 2 z3 − xy − xz + 2x − 3z + 5 R(x, y, z) = x 5 z7 − xyz + y − 4z je raciona´lnı´ funkce trˇ´ı promeˇnnyćh x, y a z.

2.5.1. Integra´ly obsahujıćı´ goniometricke´ funkce V tomto oddı´lu se budeme zaby´vat neurcˇity´mi integra´ly tvaru Z R(cos x, sin x) dx.

(2.17)

2.5 Integrace neˇkteryćh specia´lnıćh typu˚ funkcı´

61

Jde naprˇ. o integra´ly na´sledujıćıćh funkcı´: R(cos x, sin x) = cos2 x sin3 x, cos2 x , sin3 x 1 + 3 cos2 x R(cos x, sin x) = . 2 − cos x sin x R(cos x, sin x) =

Pozna´mka 2.43. 1) Integrujeme tedy funkce, ktere´ dostaneme z funkcı´ cos x, sin x a rea´lnyćh cˇ´ısel pomocı´ konecˇne´ho pocˇtu aritmetickyćh operacı´ (secˇ´ıtańı´, odcˇ´ıtańı´, na´sobenı´ a deˇlenı´). 2) Pokud bychom mezi vyćhozı´ funkce prˇidali i tg x a cotg x, nedostali bychom nic nove´ho. cos x sin x ´ praveˇ opeˇt raciona´lnı´ vy´raz Dosadı´me-li totizˇ tg x = cos x a cotg x = sin x , vyjde po u vytvorˇeny´ ze sinu˚ a kosinu˚. 3) Obecneˇji bychom mohli pouzˇ´ıt funkce cos ax a sin ax, kde a 6= 0. Postup prˇi integraci je ale naprosto obdobny´, proto se omezı´me na prˇ´ıpad a = 1. Nejprve si vsˇimneme velice cˇasto se vyskytujıćı´ho prˇ´ıpadu integra´lu˚ Z cosm x sinn x dx, kde m, n ∈ Z.

(2.18)

Situace je jednoducha´, pokud je asponˇ jedno z cˇ´ısel m, n liche´. Substituce je-li m liche´, je-li n liche´,

prˇevede integra´l (2.18) na integra´l z raciona´lnı´ lomene´ funkce. Pokud jsou samozrˇejmeˇ obeˇ cˇ´ısla licha´, mu˚zˇeme si vybrat. Jeden takovy´ integra´l uzˇ jsme pocˇ´ıtali — viz prˇ´ıklad 2.21. Uka´zˇeme si dalsˇ´ı. Z Prˇ´ıklad 2.44. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l cos5 x sin2 x dx, x ∈ R. Rˇesˇenı´. V tomto prˇ´ıpadeˇ je m = 5, n = 2, takzˇe budeme volit substituci sin x = t. Pro diferencia´l dostaneme cos x dx = dt. Z integrandu si „pu˚jcˇ´ıme“ tedy jeden kosinus a zbytek upravı´me tak, aby obsahoval jen siny a bylo mozˇne´ snadno dosadit. K tomu pouzˇijeme vzorec cos2 x + sin2 x = 1. Dostaneme 2

2

cos4 x sin2 x = (cos2 x) sin2 x = (1 − sin2 x) sin2 x. Cely´ vy´pocˇet bude vypadat takto: Z Z 2 sin x = t 5 2 2 2 cos x sin x dx = (1 − sin x) sin x cos x dx = cos x dx = dt Z Z 2 = (1 − t 2 ) t 2 dt = (t 6 − 2t 4 + t 2 ) dt = =

=

1 2 1 t 7 2t 5 t 3 − + + c = sin7 x − sin5 x + sin3 x + c. 7 5 3 7 5 3

N

+

sin x = t, cos x = t,


+

62

Na´sledujıćı´ integra´l jsme jizˇ jednou pocˇ´ıtali — viz prˇ´ıklad 2.8 c). Tentokra´t zvolı´me jiny´ postup. Z dx Prˇ´ıklad 2.45. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l , x ∈ (0, π). sin x Rˇesˇenı´. Tentokra´t ve vztahu (2.18) ma´me m = 0, n = −1. Substituce tudı´zˇ bude cos x = = t. Po u´praveˇ dostaneme Z Z Z Z cos x = t dx sin x dx sin x dx dt − sin x dx = dt = = = = . sin x sin2 x 1 − cos2 x sin x dx = −dt t2 − 1 Vzniklou raciona´lnı´ lomenou funkci rozlozˇ´ıme na parcia´lnı´ zlomky. Jmenovatel ma´ dva jednoduche´ korˇeny t = 1 a t = −1. Rozklad bude mı´t proto tvar A B 1 = + . t2 − 1 t −1 t +1 Po vyna´sobenı´ jmenovatelem t 2 − 1 = (t − 1)(t + 1) dostaneme rovnici 1 = A(t + 1) + B(t − 1), do nı´zˇ dosadı´me korˇeny jmenovatele: t = −1 :

1 = −2B

⇒

t =1:

1 = 2A

⇒

1 B=− , 2 1 A= . 2

Nynı´ mu˚zˇeme dokoncˇit vy´pocˇet integra´lu: Z Z 1/2 1 dx 1/2 1 = − dt = ln |t − 1| − ln |t + 1| + c = sin x t −1 t +1 2 2 1 1 1 cos x − 1 = ln |cos x − 1| − ln |cos x + 1| + c = ln + c. 2 2 2 cos x + 1 Rozmyslete si, jak by se vy´sledek upravil na tvar, ktery´ na´m vysˇel v prˇ´ıkladu 2.8 c).

N

Zby´va´ vyrˇesˇit prˇ´ıpad, kdy v integra´lu (2.18) jsou oba exponenty sude´. Obecny´ prˇ´ıpad uvedeme nı´zˇe na straneˇ 67. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe jsou obeˇ cˇ´ısla m, n neza´porna´, je nejrychlejsˇ´ı u´prava pomocı´ vzorcu˚ pro dvojna´sobny´ u´hel. Ty majı´ tvar sin2 α =

1 − cos 2α , 2

cos2 α =

Jejich pouzˇitı´ si uka´zˇeme na dvou prˇ´ıkladech.

1 + cos 2α , 2

α ∈ R.

(2.19)


cos2 x dx,

+


x ∈ R.

Rˇesˇenı´. Jde o integra´l velice cˇasto se vyskytujıćı´ v aplikacıćh, ktery´ jsme jizˇ jednou pocˇ´ıtali — viz prˇ´ıklad 2.16. Jeho vy´pocˇet s pomocı´ prˇedchozı´ho vzorce je rychlejsˇ´ı. Dostaneme Z Z Z Z 1 + cos 2x 1 1 2 cos x dx = dx = dx + cos 2x dx = 2 2 2 1 1 sin 2x x 1 = x+ · + c = + sin 2x + c. 2 2 2 2 4 N Z Prˇ´ıklad 2.47. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l sin2 x cos4 x dx, x ∈ R. Rˇesˇenı´. Nejprve si integrand upravı´me s pomocı´ vzorcu˚ (2.19), v nichzˇ volı´me α = x: 1 + cos 2x 2 1 − cos 2x 2 4 · = sin x cos x = 2 2 1 1 = (1 − cos2 2x)(1 + cos 2x) = (1 + cos 2x − cos2 2x − cos3 2x). 8 8 Odtud Z Z 1 2 4 sin x cos x dx = (1 + cos 2x − cos2 2x − cos3 2x) dx = 8 Z Z sin 2x 1 2 3 x+ = − cos 2x dx − cos 2x dx . 8 2 Spocˇ´ıta´me vznikle´ dva integra´ly. Na prvnı´ opeˇt pouzˇijeme vzorec (2.19), v neˇmzˇ zvolı´me tentokra´t α = 2x. Vyjde na´m Z Z 1 + cos 4x 1 sin 4x x 1 2 cos 2x dx = dx = x+ = + sin 4x. 2 2 4 2 8 U druhe´ho integra´lu jde o typ (2.18), kde m = 3, n = 0. Dostaneme Z Z sin 2x = t cos3 2x dx = (1 − sin2 2x) cos 2x dx = 2 cos 2x dx = dt = cos 2x dx = 1 dt 2 Z 3 1 1 t 1 1 (1 − t 2 ) dt = t− = sin 2x − sin3 2x. = 2 2 3 2 6 Celkovy´ vy´sledek je tudı´zˇ Z x 1 x 1 1 sin2 x cos4 x dx = + sin 2x − − sin 4x − sin 2x + 8 16 16 64 16 1 x 1 1 + sin3 2x + c = − sin 4x + sin3 2x + c. 48 16 64 48

N

+

Z

63


64

S Z

V J

Pru˚vodce studiem R Nynı´ jizˇ od specia´lnıćh prˇ´ıpadu˚ integra´lu R(cos x, sin x) dx prˇejdeme k jeho obecne´mu vy´pocˇtu. Nejprve uvedeme univerza´lnı´ substituci. Da´le pak vycˇlenı´me trˇi specia´lnı´ typy, ktere´ jsou obvykle rychleji rˇesˇitelne´ pomocı´ jinyćh vhodnyćh substitucı´. Ve vsˇech prˇ´ıpadech prˇejde zkoumany´ integra´l v integra´l z raciona´lnı´ lomene´ funkce.

Univerza´lnı´ substituce tg x2 Uka´zˇeme, zˇe substituce tg

x = t, 2

x = 2 arctg t, sin x = t

√

1 x 2

1 + t2

Obr. 2.3

2t , 1 + t2

x ∈ (−π, π), 2 dt, 1 + t2 1 − t2 cos x = . 1 + t2

dx =

(2.20)

prˇevede integra´l (2.17) na integra´l z raciona´lnı´ lomene´ funkce. Uvedeme si mnemotechnickou pomu˚cku, jak tyto vztahy rychle odvodit. Pouzˇijeme k tomu pravou´hly´ troju´helnı´k, jehozˇ jeden u´hel bude mı´t velikost x/2. Velikost prˇilehle´ odveˇsny zvolı´me rovnu jedne´. Z definice funkce tangens (pomeˇr velikostı´ protilehle´ a prˇilehle´ odveˇsny) vyply´va´, zˇe protilehla´ odveˇsna ma´ velikost √ t. Z Pythagorovy veˇty konecˇneˇ dostaneme, zˇe prˇepona ma´ velikost 1 + t 2 — viz obr. 2.3. Z definice funkcı´ sinus a kosinus (pomeˇr velikostı´ protilehle´ resp. prˇilehle´ odveˇsny a prˇepony) dostaneme sin

x t , =√ 2 1 + t2

cos

x 1 . =√ 2 1 + t2

(2.21)

S pouzˇitı´m vzorcu˚ pro polovicˇnı´ u´hel a vzorcu˚ (2.21), v nichzˇ vsˇude nahradı´me x polovicˇnı´ hodnotou x2 , dostaneme hledane´ vztahy: x x t 1 2t · cos = 2 √ ·√ = , 2 2 2 2 1 + t2 1+t 1+t 2 2 1 t 1 − t2 2 x 2 x cos x = cos − sin = √ − √ = . 2 2 1 + t2 1 + t2 1 + t2 sin x = 2 sin

Nynı´ integra´l (2.17) obsahujıćı´ sinus a kosinus prˇevedeme pomocı´ veˇty 2.27 na integra´l z raciona´lnı´ lomene´ funkce. Dostaneme Z Z 1 − t2 2 2t R(cos x, sin x) dx = R , · dt. 2 2 1+t 1+t 1 + t2 Pouzˇitı´ si uka´zˇeme na prˇ´ıkladu.



5 dx na intervalu x ∈ (−π, π). 4 + sin x

+

Z

65

Rˇesˇenı´. Pouzˇijeme substituci tg x2 = t. tg x 2 Z x 5 dx = dx 4 + sin x sin x 5 = 2

Z

=t = 2 arctg t 2 = 1+t 2 dt 2t = 1+t 2

Z 5 2 dt = · = 2t 1 + t2 4 + 2 1+t

dt 5 = t 2 t2 + 2 + 1

Z t+

dt 1 2 4

+

15 16

=

1

=

4 t+ 4 10 4t + 1 5 · √ arctg √ 4 + c = √ arctg √ +c = 2 15 15 15 15

4 tg x2 + 1 10 = √ arctg √ + c. 15 15

N

Specia´lnı´ typy substitucı´ sin x, cos x a tg x Univerza´lnı´ substitucı´ (2.20) lze sice rˇesˇit kazˇdy´ integra´l typu (2.17), vznikle´ raciona´lnı´ funkce jsou vsˇak cˇasto dost komplikovane´. Neˇkdy lze integrand upravit na specia´lnı´ tvar a je mozˇne´ pouzˇ´ıt jinou substituci vedoucı´ na integra´l z raciona´lnı´ lomene´ funkce. Jde zejmeńa o na´sledujıćı´ prˇ´ıpady (S(w) je neˇjaka´ raciona´lnı´ lomena´ funkce jedne´ promeˇnne´): R(cos x, sin x) = S(sin x) · cos x

volı´me substituci

sin x = t,

(2.22)

R(cos x, sin x) = S(cos x) · sin x


cos x = t,

(2.23)

R(cos x, sin x) = S(tg x)


tg x = t.

(2.24)


sin3 x dx, x ∈ R. 1 + 4 cos2 x + 3 sin2 x

Rˇesˇenı´. Jedna´ se o integra´l typu (2.23). Po u´praveˇ s pouzˇitı´m vzorce sin2 x + cos2 x = 1

+

U typu˚ (2.22) a (2.23) se pouzˇije veˇta 2.18 a s na´hradou nejsou proble´my. U typu (2.24) se vsˇak pouzˇije veˇta 2.27. Univerza´lnı´ na´vod, jak rozhodnout, kdy je mozˇne´ kterou substituci pouzˇ´ıt, najdete v oddı´lu „Pro za´jemce“ na konci te´to kapitoly. Pouzˇitı´ si uka´zˇeme na prˇ´ıkladech.


66

dostaneme Z

cos x = t − sin x dx = dt = dx = dx = 1 + 4 cos2 x + 3 sin2 x 4 + cos2 x sin x dx = −dt Z 2 Z Z 2 t +4−5 5 t −1 dt = dt = 1− 2 dt = = t2 + 4 t2 + 4 t +4 1 t 5 cos x = t − 5 · arctg + c = cos x − arctg + c. 2 2 2 2 Vznikla´ raciona´lnı´ funkce byla neryze lomena´, proto jsme ji prˇevedli na soucˇet mnohocˇlenu (v nasˇem prˇ´ıpadeˇ to byla konstanta 1) a ryze lomene´ raciona´lnı´ funkce. Pouzˇili jsme rovneˇzˇ N vzorec 9 z tabulky 2.1. sin3 x

Z

(1 − cos2 x) sin x

Substituce tg x U substituce (2.24) je trˇeba prˇed vy´pocˇtem diferencia´lu vyja´drˇit starou promeˇnnou pomocı´ nove´. Da´le je trˇeba umeˇt vyja´drˇit sinus a kosinus pomocı´ tangens — viz na´sledujıćı´ tabulka. tg x = t, x = arctg t,

+

t sin x = √ , 1 + t2

x ∈ (−π/2, π/2), 1 dx = dt, 1 + t2 1 cos x = √ . 1 + t2

(2.25)

Pro odvozenı´ teˇchto vzorcu˚ je opeˇt mozˇno pouzˇ´ıt mnemotechnickou pomu˚cku — pravou´hly´ troju´helnı´k jako u substituce typu tg x2 = t (2.20) s tı´m rozdı´lem, zˇe velikost u´hlu bude x. Z dx Prˇ´ıklad 2.50. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l , x ∈ (−π/2, π/2). 1 + sin2 x Rˇesˇenı´. Jedna´ se o integra´l typu (2.24). Nejprve integrand upravı´me. Vyjde na´m 1 sin2 x + cos2 x = · 1 + sin2 x 2 sin2 x + cos2 x

1 cos2 x 1 cos2 x

=

sin2 x +1 cos2 x sin2 x 2 cos 2x + 1

Jde tedy o integra´l typu (2.24). Dostaneme tg x = t Z Z 2 dx tg x + 1 = dx = x = arctg t 2 2 1 + sin x 2 tg x + 1 dx = 2dt t +1 Z Z dt 1 dt 1 = = = · 2 2 2t + 1 2 t + 1/2 2

tg2 x + 1 = . 2 tg2 x + 1

Z 2 dt t +1 = · 2 = 2 2t + 1 t + 1 1 √1 2

arctg

√ √ 1 1 = √ arctg 2 t + c = √ arctg 2 tg x + c. 2 2

t √1 2

+c =


67

Mezi integra´ly typu (2.24) patrˇ´ı i integra´l (2.18), v neˇmzˇ jsou m i n suda´ cˇ´ısla. Sude´ mocniny sinu a kosinu lze vyja´drˇit pomocı´ raciona´lnıćh funkcı´ promeˇnne´ t. Jak jsme jizˇ konstatovali, pokud jsou cˇ´ısla m, n neza´porna´, je rychlejsˇ´ı pouzˇitı´ vzorcu˚ (2.19). Je-li asponˇ jedno z nich za´porne´, pouzˇijeme substituci tg x = t. Z sin4 x Prˇ´ıklad 2.51. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l dx, x ∈ (−π/2, π/2). cos4 x

+

Opeˇt jsme pouzˇili vzorec 9 z tabulky 2.1. Funkce ϕ(t) = arctg t splnˇuje na intervalu (−∞, +∞) prˇedpoklady veˇty 2.27. Vy´sledna´ primitivnı´ funkce je definovana´ jen na intervalu (−π/2, π/2). Avsˇak integrand je spojita´ funkce na R. Jak lze zkonstruovat primitivnı´ funkci na cele´ rea´lne´ ose si N uka´zˇeme v podkapitole 2.6.3.

Rˇesˇenı´. Z

tg x = t Z t4 Z 2 +1)2 dt t4 (t x = arctg t dx = = · = dt = 1 cos4 x t2 + 1 t2 + 1 dx = 2dt 2 2 (t +1) t +1 Z 2 Z 2 1 (t + 1)(t − 1) + 1 2 t −1+ 2 dt = = dt = t2 + 1 t +1 t3 1 = − t + arctg t + c = tg3 x − tg x + arctg(tg x) + c = 3 3 1 3 = tg x − tg x + x + c. 3 sin4 x

Neryze lomenou raciona´lnı´ funkci jsme prˇevedli na soucˇet mnohocˇlenu a ryze lomene´ raciona´lnı´ funkce. (Stejny´ vy´sledek jsme mohli dostat vydeˇlenı´m t 4 : (t 2 + 1).) Da´le jsme vyuzˇili toho, zˇe na intervalu (−π/2, π/2) jsou funkce tangens a arkustangens vza´jemneˇ inverznı´, takzˇe platı´ arctg(tg x) = x. Mohli jsme si vsˇimnout, zˇe integrand je vlastneˇ tg4 x a prvnı´ u´prava mohla by´t poneˇkud kratsˇ´ı. Na zbytek vy´pocˇtu by to ovsˇem nemeˇlo vliv. N

Pru˚vodce studiem Cˇasto se sta´va´, zˇe konkre´tnı´ integra´l odpovı´da´ vıće typu˚m. Du˚lezˇite´ je pak zvolit ten, ktery´ vede na pokud mozˇno co nejkratsˇ´ı vy´pocˇet. Obecna´ za´sada je volit (pokud je to mozˇne´) — nejprve typ (2.22) resp. (2.23), tj. substituci za sinus resp. kosinus, — pak typ (2.24), tj. substituci za tangens, — nakonec univerza´lnı´ substituci (2.20) za tangens polovicˇnı´ho u´hlu. Samozrˇejmeˇ zˇa´dne´ takove´ pravidlo neplatı´ absolutneˇ a mohou nastat vy´jimky, jak ukazuje na´sledujıćı´ prˇ´ıklad.

S Z

V J


+

68


dx , sin x

x ∈ (0, π).

Rˇesˇenı´. Tento integra´l jsme jizˇ dvakra´t rˇesˇili — viz prˇ´ıklady 2.8 c) a 2.45. Nynı´ pouzˇijeme univerza´lnı´ substituci (2.20) a dostaneme x Z tg 2 = t Z Z 1 dt dx 2 dt = = x = 2 arctg t = · = 2t 2 sin x dx = 2 dt 1+t t 2 1+t 1+t 2 x = ln |t| + c = ln tg + c. 2 Ocˇividneˇ ze vsˇech trˇ´ı postupu˚ byl tento nejrychlejsˇ´ı.

N

Pro za´jemce: U slozˇiteˇjsˇ´ıch raciona´lnıćh vy´razu˚ R(cos x, sin x) obsahujıćıćh siny a kosiny neˇkdy nemusı´ by´t na prvnı´ pohled jasne´, zda jde o neˇktery´ ze specia´lnıćh typu˚ (2.22)–(2.24), ktere´ obvykle vedou na jednodusˇsˇ´ı integraci. Tuto skutecˇnost lze urcˇit z vlastnostı´ raciona´lnı´ funkce R(u, v). Rˇekneme, zˇe raciona´lnı´ funkce funkce R(u, v) je licha´ vzhledem k promeˇnne´ u, jestlizˇe R(−u, v) = −R(u, v), licha´ vzhledem k promeˇnne´ v, jestlizˇe R(u, −v) = −R(u, v), suda´ vzhledem k promeˇnny´m u, v, jestlizˇe R(−u, −v) = R(u, v). Rovnost musı´ platit pro vsˇechny hodnoty u, v, pro neˇzˇ je funkce R(u, v) definovana´. Lze uka´zat (viz [17, str. 25]), zˇe integrand R(cos x, sin x) je typu (2.22), jestlizˇe je funkce R(u, v) licha´ vzhledem k promeˇnne´ u (volı´me sin x = t), (2.23), jestlizˇe je funkce R(u, v) licha´ vzhledem k promeˇnne´ v (volı´me cos x = t), (2.24), jestlizˇe je funkce R(u, v) suda´ vzhledem k promeˇnny´m u, v (volı´me tg x = t). Naprˇ. v prˇ´ıkladu 2.49 bylo R(u, v) =

v3 , 1 + 4u2 + 3v 2

tedy R(u, −v) =

(−v)3 −v 3 = = −R(u, v). 1 + 4u2 + 3(−v)2 1 + 4u2 + 3v 2

Sˇlo tudı´zˇ o funkci lichou vzhledem k promeˇnne´ v a mohla se pouzˇ´ıt substituce cos x = t. Podobneˇ v prˇ´ıkladu 2.50 bylo 1 R(u, v) = 1 + v2 (na u funkce prˇ´ımo vu˚bec neza´visı´), takzˇe R(−u, −v) =

1 1 = = R(u, v). 1 + (−v)2 1 + v2

Sˇlo tedy o funkci sudou vzhledem k promeˇnny´m u, v a mohla se pouzˇ´ıt substituce tg x = t.


69

Na za´veˇr tohoto oddı´lu se zmıńı´me o integraci vy´razu˚ obsahujıćıćh rovneˇzˇ goniometricke´ funkce, ktere´ vsˇak nejsou typu (2.17) na str. 60. Jde o integra´ly tvaru Z

Z sin ax cos bx dx,

Z sin ax sin bx dx,

cos ax cos bx dx,

kde a, b ∈ R, a 6= 0, b 6= 0. Integrand se upravı´ pomocı´ vzorcu˚ 1 sin(α + β) + sin(α − β) , 2 1 sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β) , 2 1 cos α cos β = cos(α − β) + cos(α + β) . 2 Z √ Prˇ´ıklad 2.53. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l sin 2 x cos 3x dx, x ∈ (−∞, +∞).

+

sin α cos β =

√ √ Rˇesˇenı´. S pouzˇitı´m prˇ´ıslusˇne´ho vzorce (a = 2, b = 3, tj. volı´me α = 2 x, β = 3x) dostaneme Z Z √ √ √ 1 sin 2 x cos 3x dx = sin 2 x + 3x + sin 2 x − 3x dx = 2 Z Z √ √ 1 1 sin 2 + 3 x dx + sin 2 − 3 x dx = = 2 2 √ √ cos 2 + 3 x cos 2 − 3 x =− √ √ − + c. 2 2+3 2 2−3 N

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Integrujte dane´ funkce: Z β a) cos2 dβ, 2 Z c) sin2 x dx, Z e) cos5 x dx, Z g)

sin3 ε dε, cos2 ε + 1

! Z b) Z d) Z f) Z h)

sin3 u du, sin5 x dx, sin6 x dx, du . (2 + cos u) sin u


70

2. Integrujte dane´ funkce: Z a) Z c) Z e) Z g) Z i)

Z

2 dx, sin x cos3 x

b)

15 sin2 θ cos3 θ dθ,

d)

cos3 x dx, sin2 x

f)

sin3 y + 1 dy, cos2 y

h)

Z Z Z Z

4

8 cos x dx,

j)

12 sin3 x cos3 x dx, cos6 ρ sin5 ρ dρ, 3 sin3 h dh, cos4 h 32 sin4 u cos2 u du, 32 cos6 x dx.


4

4

128 cos β sin β dβ,

a) Z c) Z e) Z g) Z i) Z k)

dx dx, 5 + 4 cos x 1 dx, 1 − cos x 1 dx, sin x − 1 3 dx, 5 + 4 sin x 2 dx, 5 − 3 cos x

Z b) Z d) Z f) Z h) Z j) Z l)

60 sin5 α cos5 α dα, 1 + sin u du, 1 − sin u 1 dα, 1 + sin α 5 dx , 3 sin x − 4 cos x 8 dx , sin 2x − 2 sin x 2 − sin x dx. 2 + cos x


Z

a) c) e) g) i) k)

3 dx , 5 − 4 cos x + 3 sin x Z 1 − tg z dz, 1 + tg z Z sin 2ω dω, cos4 ω Z sin 2x dx, sin4 x + cos4 x Z 4 dx, 1 + tg x Z 3 dα, cos4 α

b) d) f) h) j) l)

5 dx , 2 sin x − cos x + 5 Z 2(1 + tg u) du, sin 2u Z 3 cos2 x dx, sin4 x Z 6 cos x dx, (1 − cos x)2 Z 1 dx, (sin x + cos x)2 Z 1 dx. 1 + 3 cos2 x


71


x 3x sin · cos dx, 4 4

Z b)

sin 3x sin x dx,

Z c)

Z cos 3x cos 4x dx,

Z e)

sin

√ 3 x cos x dx,

d)

sin 5x cos 7x dx, Z

f)

cos

3 1 x · cos x dx. 2 2

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ sin β β + , 2 2 x 1 c) − sin 2x , 2 4 sin5 x 2 3 e) − sin x + sin x, 5 3 g) cos ε − 2 arctg cos ε ,

cos3 u − cos u, 3 2 cos5 x cos3 x − − cos x, 3 5 5x sin 2x 3 sin 4x sin3 2x − + + , 16 2 64 48 u 1 2 u ln tg + 3 tg . 3 2 2

b)

1. a)

d) f) h)

2. a)

tg2 x + 2 ln | tg x|,

b)

c)

5 sin3 θ − 3 sin5 θ,

1 1 2 cos9 ρ − cos11 ρ − cos7 ρ , 9 11 7 1 − 3 cos2 h f) , cos3 h sin 4u 2 3 h) 2u − − sin 2u, 2 3 3 2 3 j) sin 4x − sin 2x + 10x + 8 sin 2x. 2 3

1 + sin2 x , sin x 1 + sin y + cos2 y g) , cos y sin 4x , i) 2 sin 2x + 3x + 4 e) −

sin 8β 3β − sin 4β + , 8 2 1 x c) arctg tg , 3 3 2 1 e) − x , tg 2 2 g) , x tg 2 − 1

3. a)

3 sin4 x − 2 sin6 x,

d)

b)

10 sin6 α − 15 sin8 α + 6 sin10 α,

4 − u, tg − 1 2 f) − α , tg 2 + 1 x x h) ln 2 tg − 1 − ln tg + 2 , 2 2 d)

−

u 2


72 5 x 4 i) 2 arctg , j) tg + 3 2 3 x , k) arctg 2 tg 2 √ x x 4 3 x 2 2 . l) ln tg + 3 − ln tg + 1 + √ arctg tg 2 2 3 2 3 4. a) −

2 3 tg x2 + 1

, 1 ln(1 + tg2 z), 2

b)

√ √ 5 x 5 arctg 3 tg + 1 , 5 2

d)

tg u + ln | tg u|,

c)

ln |1 + tg z| −

e)

1 , cos2 ω

f) −

g)

− arctg(2 cos2 x − 1) resp. arctg tg2 x,

h)

i)

2 ln |1 + tg x| − ln(1 + tg2 x) + 2x,

j)

k)

tg3 α + 3 tg α,

l)

− cos x x + cos , 2 2 1 c) (sin 7x + 7 sin x), 14 √ √ cos 3 + 1 x cos 3 − 1 x e) − √ √ − , 2 3+1 2 3−1

5. a)

x 1 − 2 ln tg , tg2 x2 2

b) d) f)

1 , tg3 x 1 3 x − 3 x , tg 2 tg 2 −1 , tg +1 1 1 arctg tg x . 2 2

1 (2 sin 2x − sin 4x), 8 cos 12x cos 2x − + , 24 4 1 (2 sin x + sin 2x). 4

2.5.2. Integra´ly obsahujıćı´ odmocniny Jako prvnı´ho si vsˇimneme integra´lu tvaru Z

√ R x, s x dx,

kde s ∈ N, s = 2.

(2.26)

Ukazˇme si neˇkolik prˇ´ıkladu˚ takovyćh integra´lu˚. √ √ x+ x R x, x = √ , x− x

√ √ x4 x 4 R x, x = √ , 1+ 4 x

√ R x, 3 x =

√ 3 x √ . x+3 x

√ Pozna´mka 2.54. Na´zorneˇ rˇecˇeno, jde o funkce, ktere´ dostaneme z funkcı´ x a s x a rea´lnyćh cˇ´ısel pomocı´ konecˇneˇ mnoha aritmetickyćh operacı´ (secˇ´ıtańı´, odcˇ´ıtańı´, na´sobenı´ a deˇlenı´).

Substituce x = t s prˇevede integra´l (2.26) na integra´l z raciona´lnı´ lomene´ funkce. Postup si uka´zˇeme na prˇ´ıkladu. Z 2 √ x + x+1 Prˇ´ıklad 2.55. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l dx , x ∈ (0, ∞). √ x+ x √ Rˇesˇenı´. Zvolı´me tedy substituci x = t 2 , tj. t = x. Vyjde na´m: Z 4 Z 2 √ Z 4 x = t2 t +t +1 x + x+1 t +t +1 dx = = · 2t dt = 2 dt, √ 2 dx = 2t dt t +t t +1 x+ x

73

+


cozˇ je integra´l z raciona´lnı´ neryze lomene´ funkce. Je tedy potrˇeba ji upravit na soucˇet mnohocˇlenu a ryze lomene´ raciona´lnı´ funkce. To je mozˇne´ udeˇlat beˇzˇny´m algoritmem pro deˇlenı´ mnohocˇlenu˚. Tedy 1 t4 + t + 1 = t3 − t2 + t + . t +1 t +1 Celkovy´ vy´sledek bude √ Z x2 + x + 1 1 3 2 dt = dx = 2 t −t +t + √ t +1 x+ x 4 √ t t3 t2 x2 2 √ =2 − + + ln |t + 1| + c = − x x + x + 2 ln x + 1 + c. 4 3 2 2 3 N

Z

kde k ∈ N, s1 = 2, . . . , sk = 2 jsou prˇirozena´ cˇ´ısla a S je raciona´lnı´ funkce k + 1 promeˇnnyćh. Tento integra´l budeme rˇesˇit pomocı´ na´sledujıćı´ substituce. Oznacˇ´ıme-li s nejmensˇ´ı spolecˇny´ na´sobek cˇ´ısel s1 , . . . , sk , je kazˇda´ si -ta´ odmocnina √ √ s/s prˇirozenou mocninou s-te´ odmocniny: si x = s x i , kde i = 1, . . . , k. Je tedy integra´l typu (2.27), ktery´ je zdańliveˇ obecneˇjsˇ´ı, protozˇe obsahuje vıće ru˚znyćh odmocnin, ve skutecˇnosti naprosto rovnocenny´ integra´lu typu (2.26) a lze ho opeˇt rˇesˇit obdobnou substitucı´ x = t s , kde s je zmıńeˇny´ nejmensˇ´ı spolecˇny´ na´sobek cˇ´ısel s1 , . . . , sk (nebo jaky´koli veˇtsˇ´ı celocˇ´ıselny´ na´sobek cˇ´ısla s, ale tı´m bychom dostali zbytecˇneˇ vysoke´ mocniny nove´ promeˇnne´ t a integrace vznikle´ raciona´lnı´ lomene´ funkce by pravdeˇpodobneˇ byla daleko obtı´zˇneˇjsˇ´ı). √ √ Z 1+ x− 3 x Prˇ´ıklad 2.56. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l dx, x ∈ (0, +∞). √ 6 x + x5

+

V prˇedchozı´m prˇ´ıkladu figuroval pouze jeden typ odmocniny. V integrandu se vsˇak mohou vyskytnout odmocniny ru˚znyćh typu˚. Ty se vsˇak dajı ˇit jako mocniny o stejR ´ vyja´dr √ s ne´m za´kladu. Proto se integra´l (2.26), tj. integra´l typu R x, x dx, neˇkdy pı´sˇe ve tvaru Z s√ s√ (2.27) S x, 1 x, . . . , k x dx,


74

Rˇesˇenı´. Jedna´ se o integra´l typu (2.27). Zvolı´me tedy substituci x = t 6 , tj. t = splnˇujıćı´ prˇedpoklady veˇty 2.27. Vyjde Z √ √ Z x = t6 1+ x− 3 x 1 + t3 − t2 5 = dx = 6t dt = √ 6 dx = 6t 5 dt t6 + t5 x + x5 Z Z 6t 5 (t 3 − t 2 + 1) 6t 3 − 6t 2 + 6 = dt = dt, t 5 (t + 1) t +1

√ 6 x,

cozˇ je integra´l z raciona´lnı´ neryze lomene´ funkce. Je tudı´zˇ potrˇeba upravit ji na soucˇet mnohocˇlenu a ryze lomene´ raciona´lnı´ funkce. Beˇzˇny´m algoritmem pro deˇlenı´ mnohocˇlenu˚ dostaneme 6t 3 − 6t 2 + 6 6 = 6t 2 − 12t + 12 − , t +1 t +1 cozˇ je funkce, kterou mu˚zˇeme rovnou integrovat. Celkovy´ vy´sledek bude √ √ Z Z 6 1+ x− 3 x 2 6t − 12t + 12 − dx = dt = √ 6 t +1 x + x5 = 2t 3 − 6t 2 + 12t − 6 ln |t + 1| + c = √ √ √ √ = 2 x − 6 3 x + 12 6 x − 6 ln 6 x + 1 + c. N Dalsˇ´ı typ, ktery´m se budeme zaby´vat, ma´ tvar Z

√ s R x, ax + b dx,

(2.28)

kde s ∈ N, s = 2, a, b ∈ R. Vsˇimneˇme si, zˇe pokud a = 1 a b = 0 dosta´va´me integra´l typu (2.26). Substituce urcˇena´ rovnostı´ t s = ax + b prˇevede tento integra´l na integra´l z raciona´lnı´ lomene´ funkce. Musı´me z te´to rovnosti nejprve osamostatnit promeˇnnou x a pak vypocˇ´ıtat diferencia´l. Tedy t s = ax + b ⇒ x =

ts − b a

a

dx =

st s−1 dt. a

+

Pouzˇitı´ si opeˇt uka´zˇeme na prˇ´ıkladu. Z √ x+1+1 Prˇ´ıklad 2.57. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l dx, x ∈ (0, ∞). √ x+1−1 √ Rˇesˇenı´. Zavedeme substituci x + 1 = t 2 , tj. t = x + 1. Dostaneme Z Z √ x + 1 = t2 x+1+1 t +1 = dx = · 2t dt, √ dx = 2t dt t −1 x+1−1


75

cozˇ je integra´l z raciona´lnı´ neryze lomene´ funkce. Po vydeˇlenı´ obdrzˇ´ıme t2 + t 2 =t +2+ . t −1 t −1 Vy´sledek bude Z Z √ t2 x+1+1 2 dx = 2 t +2+ dt = 2 + 2t + 2 ln(t − 1) + c = √ t −1 2 x+1−1 √ √ N = x + 1 + 4 x + 1 + 4 ln x + 1 − 1 + c. Dalsˇ´ı typ, ktery´m se budeme zaby´vat, ma´ tvar Z

R x,

r s

ax + b cx + d

dx,

(2.29)

kde s ∈ N, s = 2, a, b, c, d ∈ R, ad − bc 6= 0. ´ tı´ na konstantu jako naprˇ. Podmıńka ad − bc 6= 0 zarucˇuje, zˇe se zlomek ax+b cx+d nevykra 4x−2 2x−1 = 2 . Da´le si vsˇimneˇte, zˇe pro a = d = 1 a b = c = 0 dosta´va´me integra´l typu (2.26), jde tedy o jeho zobecneˇnı´. Substituce urcˇena´ rovnostı´ t s = ax+b ´ l (2.29) na integra´l z raciona´lnı´ cx+d prˇevede integra lomene´ funkce. Jde o substituci ve smyslu veˇty 2.27. Musı´me tedy z te´to rovnosti nejprve osamostatnit starou promeˇnnou x a pak teprve pocˇ´ıtat diferencia´l: ts =

ax + b cx + d

⇒

cxt s + dt s = ax + b

⇒

b − dt s ϕ: x = s , ct − a

⇒

x(ct s − a) = b − dt s

takzˇe dx =

b − dt s ct s − a

0

−sdt s−1 (ct s − a) − (b − dt s )sct s−1 dt = (ct s − a)2 s(ad − bc)t s−1 = dt. (ct s − a)2

dt =

Vy´sledek si samozrˇejmeˇ nebudeme pamatovat, ale na kazˇde´m konkre´tnı´m zadańı´ osamostatnı´me starou promeˇnnou x a spocˇ´ıta´me jejı´ diferencia´l. Do vy´sledne´ho integra´lu musı´me dosadit za t inverznı´ funkci ϕ −1 (x), jejı´zˇ urcˇenı´ je vsˇak snadne´: r ax + b −1 ϕ :t=s . cx + d


+

76


1 x

r

x+1 dx, x−1

x ∈ (1, +∞).

Rˇesˇenı´. Jde o integra´l typu (2.29). Zvolı´me substituci, jezˇ je urcˇena rovnostı´ a osamostatnı´me x, tj. urcˇ´ıme funkci ϕ(t): x+1 = t2 x−1

2

2

xt − t = x + 1

⇒

⇒

2

2

x(t − 1) = t + 1

⇒

x+1 x−1

= t 2,

t2 + 1 ϕ: x = 2 . t −1

Da´le si prˇipravı´me diferencia´l: dx =

t2 + 1 t2 − 1

0 dt =

−4t 2t (t 2 − 1) − (t 2 + 1)2t dt = dt. (t 2 − 1)2 (t 2 − 1)2

Urcˇ´ıme jesˇteˇ inverznı´ funkci ϕ −1 (x) potrˇebnou pro pouzˇitı´ veˇty 2.27: r x+1 −1 ϕ :t= . x−1 (Podrobneˇjsˇ´ım rozborem pru˚beˇhu funkce ϕ(t) lze oveˇrˇit, zˇe prˇi oznacˇenı´ z veˇty 2.27 jsme volili J = I = (1, +∞). Jina´pvarianta by byla J = (1, +∞), I = (−∞, −1), pak by ovsˇem platilo, zˇe ϕ −1 (x) = − (x + 1)/(x − 1). ) Nynı´ provedeme substituci. Dostaneme: r Z Z Z 1 x+1 1 −4t −4t 2 dx = · t · dt = dt, 2 − 1)2 2 − 1)(t 2 + 1) t 2 +1 x x−1 (t (t 2 t −1

cozˇ je integra´l z ryze lomene´ raciona´lnı´ funkce. Integrand rozlozˇ´ıme na parcia´lnı´ zlomky. Rozklad jmenovatele na soucˇin ireducibilnıćh cˇinitelu˚ v rea´lne´m oboru je zrˇejmeˇ (t − 1)(t + 1)(t 2 + 1), takzˇe tvar rozkladu na soucˇet parcia´lnıćh zlomku˚ bude −4t 2 A B Ct + D = + + 2 , 2 (t − 1)(t + 1)(t + 1) t −1 t +1 t +1 kde A, B, C a D jsou vhodne´ konstanty. Po vyna´sobenı´ jmenovatelem obdrzˇ´ıme −4t 2 = A(t + 1)(t 2 + 1) + B(t − 1)(t 2 + 1) + (Ct + D)(t 2 − 1). Nejprve dosadı´me rea´lne´ korˇeny 1 a −1, cˇ´ımzˇ urcˇ´ıme dveˇ konstanty: t =1: t = −1 :

− 4 = 4A − 4 = −4B

⇒ ⇒

A = −1, B = 1.


77

Da´le sestavı´me jesˇteˇ dveˇ rovnice porovnańı´m koeficientu˚ u vhodnyćh mocnin. I bez rozna´sobenı´ je videˇt, zˇe platı´: t3 :

0=A+B +C

⇒

C = 0,

0

0=A−B −D

⇒

D = −2.

t :

Dosta´va´me r Z Z 1 x+1 1 1 2 dt = dx = − + − x x−1 t − 1 t + 1 t2 + 1 = − ln |t − 1| + ln |t + 1| − 2 arctg t + c = r r r x+1 x+1 x+1 = − ln − 1 + ln + 1 − 2 arctg + c. x−1 x−1 x−1 Vy´sledek je mozˇne´ zjednodusˇit. Zkuste si jako cvicˇenı´ oveˇrˇit, zˇe platı´ r r Z √ √ x+1 1 x+1 dx = 2 ln x + 1 + x − 1 − 2 arctg +c x x−1 x−1 (konstanty c nejsou v obou vy´sledcıćh stejne´, lisˇ´ı se o ln 2). Prvnı´ vy´sledek je platny´ i na intervalu (−∞, −1). Zkuste si rozmyslet, jak by na tomto intervalu vypadala upravena´ verze. N I integra´ly typu (2.28) a (2.29) je mozˇne´ zobecnit na prˇ´ıpad, kdy integrand obsahuje vıće ru˚znyćh odmocnin z te´hozˇ linea´rnı´ho cˇlenu resp. zlomku. O skutecˇne´ zobecneˇnı´ ale nejde, situace je stejna´ jako u dvojice typu˚ (2.26) a (2.27). Dalsˇ´ım typem integra´lu˚ s odmocninami, ktere´ lze prˇeve´st na integra´ly z raciona´lnıćh lomenyćh funkcı´, je Z p R x, ax 2 + bx + c dx, kde a, b, c ∈ R, a 6= 0. (2.30) Zde R je raciona´lnı´ funkce dvou promeˇnnyćh. Prˇitom prˇedpokla´da´me, zˇe kvadraticky´ trojcˇlen nema´ dvojna´sobny´ korˇen, tj. zˇe platı´ b2 − 4ac 6= 0 (jinak by se odmocnina zrusˇila). Omezı´me se na prˇ´ıpad, kdy b = 0 (pak je nutneˇ c 6= 0), a uka´zˇeme si rˇesˇenı´ pomocı´ goniometrickyćh substitucı´.

Pro za´jemce: Integra´ly typu (2.30) se obvykle rˇesˇ´ı pomocı´ tzv. Eulerovyćh1 substitucı´ — viz naprˇ. [8, 17]. Z cˇasovyćh du˚vodu˚ se jimi nebudeme zaby´vat. Pro nasˇe ućˇely z hlediska aplikacı´ postacˇ´ı da´le 1 Leonard

Euler (1707–1783) (cˇti ojler) — sˇvyćarsky´ matematik, fyzik, mechanik a astronom. Pu˚sobil prˇeva´zˇneˇ v Petrohradeˇ. Jeden z nejveˇtsˇ´ıch matematiku˚ vsˇech dob. Napsal kolem 850 pracı´ (vcˇetneˇ mnohodı´lnyćh monografiı´). Ovlivnil vsˇechny za´kladnı´ matematicke´ disciplıńy . Od r. 1766 byl slepy´ (diktoval svy´m zˇa´ku˚m).

78


uvedene´ specia´lnı´ prˇ´ıpady. Navıć obvykle pu˚jde pouze o integra´ly ze samotnyćh odmocnin, kdy goniometricke´ substituce vedou pomeˇrneˇ rychle k cı´li. Mimoto doplneˇnı´m kvadraticke´ho trojcˇlenu ax 2 + bx + c na u´plny´ cˇtverec a pomocnou substitucı´ lze obecny´ prˇ´ıpad prˇeve´st na prˇ´ıpad b = 0 — srv. postup prˇi integraci parcia´lnı´ho zlomku 1/(x 2 + px + q)n na str. 52. Uvedeme jen pro prˇedstavu, jak Eulerovy substituce vypadajı´. Jde o trˇi substituce (prvnı´ dveˇ pokry´vajı´ vsˇechny prˇ´ıpady, ale trˇetı´ je neˇkdy vy´hodneˇjsˇ´ı). Novou promeˇnnou oznacˇ´ıme t. p p ax 2 + bx + c = |a| t (x − α), kdyzˇ b2 − 4ac > 0 (α je korˇen ax 2 + bx + c = 0), p √ ax 2 + bx + c = ± a x ± t, kdyzˇ b2 − 4ac < 0, a > 0, p √ ax 2 + bx + c = ±xt ± c, kdyzˇ c > 0. Prˇ´ıslusˇny´ vztah se vzˇdy umocnı´ a osamostatnı´ se x (x 2 se zrusˇ´ı). Vztah mezi x a t je dań raciona´lnı´ funkcı´. Pak se teprve vypocˇ´ıta´ diferencia´l dx. Integra´l (2.30) prˇejde v integra´l z raciona´lnı´ lomene´ funkce. Uka´zky pouzˇitı´ viz naprˇ. [17, 18].

+

V prˇ´ıpadeˇ, zˇe v integra´lu typu (2.30) je b = 0, se (po vytknutı´ |a|) mohou podle znameńek koeficientu˚ vyskytnout celkem trˇi typy odmocnin. U kazˇde´ho typu soucˇasneˇ uvedeme, pomocı´ jake´ substituce lze dany´ integra´l prˇeve´st na integra´l typu S(cos x, sin x), kde S(u, v) je raciona´lnı´ funkce dvou promeˇnnyćh u, v, ktery´ uzˇ umı´me rˇesˇit. V dalsˇ´ım k > 0 znacˇ´ı konstantu. Z p R x, k 2 − x 2 dx x = k sin t, t ∈ (−π/2, π/2), (2.31) Z p R x, x 2 + k 2 dx x = k tg t, t ∈ (−π/2, π/2), (2.32) Z p k , t ∈ (−π/2, 0) nebo (2.33) x= R x, x 2 − k 2 dx sin t t ∈ (0, π/2). Jeden takovy´ integra´l typu (2.31) jsme jizˇ pocˇ´ıtali — viz prˇ´ıklad 2.30 na str. 37. Nynı´ si uka´zˇeme dalsˇ´ı. Z 1p 2 Prˇ´ıklad 2.59. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l x − 1 dx, x ∈ (1, +∞). x Rˇesˇenı´. Jedna´ se o integra´l typu (2.33), prˇicˇemzˇ k = 1. Po substituci a na´slednyćh u´pravaćh dostaneme r Z Z x= 1 1p 2 1 cos t 1 sin t x − 1 dx = · − 1 · dt = = − 1 2t 2t dx = − cos2 t dt x sin sin sin t sin t s Z Z | cos t| cos t 1 − sin2 t cos t = − sin t · 2 dt = − sin t · dt = 2 sin t sin t | sin t| sin2 t Z Z cos t cos t cos2 t = − sin t · 2 dt = − dt = sin t sin t sin2 t Z Z 1 − sin2 t 1 =− dt = 1− 2 dt = t + cotg t + c. sin2 t sin t

2.6 Za´veˇrecˇne´ pozna´mky

79

Protozˇe x ∈ (1, +∞), volı´me t ∈ (0, π/2). Na tomto intervalu je sin t i cos t kladny´, cˇehozˇ jsme vyuzˇili prˇi odstranˇovańı´ absolutnıćh hodnot. Da´le musı´me dosadit zpeˇt pu˚vodnı´ promeˇnnou x. K tomu musı´me vypocˇ´ıtat inverznı´ funkci. Vyjde na´m x=

1 sin t

⇒

sin t =

1 x

⇒

t = arcsin

1 . x

Prˇed dosazenı´m jesˇteˇ prˇedchozı´ vy´sledek upravı´me. Postupneˇ dostaneme √ Z 1p 2 1 − sin2 t x − 1 dx = t + cotg t + c = t + +c = x sin t q s 1 − x12 x2 − 1 1 1 + x +c = = arcsin + + c = arcsin 1 2 x x x x √ 1 x2 − 1 1 p = arcsin + x = arcsin + x 2 − 1 + c. x x x Podle veˇty 2.29 na str. 37 vy´sledek platı´ i na intervalu h1, +∞).

N

Vy´pocˇet i zdańliveˇ jednoduchyćh integra´lu˚ typu (2.30) by´va´ technicky pomeˇrneˇ na´rocˇny´ a zdlouhavy´, cozˇ ukazuje i prˇedchozı´ prˇ´ıklad. Nejinak je tomu prˇi pouzˇitı´ Eulerovyćh substitucı´. Navıć je potrˇeba upozornit, zˇe prˇi rˇesˇenı´ te´hozˇ integra´lu jednou Eulerovy´mi substitucemi a podruhe´ goniometricky´mi substitucemi (nebo dveˇma ru˚zny´mi Eulerovy´mi substitucemi) mu˚zˇeme dostat zdańliveˇ zcela odlisˇne´ vy´sledky. Cˇasto je dost netrivia´lnı´ uka´zat pomocı´ u´prav, zˇe tyto vy´sledky jsou stejne´ (azˇ na prˇ´ıpadnou konstantu).

2.6. Za´veˇrecˇne´ pozna´mky 2.6.1. Dostaneme integracı´ elementa´rnı´ funkce opeˇt elementa´rnı´ funkci? Na str. 10 jsme si prˇipomneˇli, co rozumı´me elementa´rnı´mi funkcemi. Nenı´ teˇzˇke´ si uveˇdomit, zˇe z pravidel pro derivaci plyne, zˇe derivovańı´m elementa´rnı´ funkce vzˇdy dostaneme opeˇt elementa´rnı´ funkci. Bohuzˇel u neurcˇite´ho integra´lu je situace komplikovaneˇjsˇ´ı. Protozˇe elementa´rnı´ funkce jsou na intervalech, na nichzˇ jsou definovane´, spojite´, existujı´ k nim podle veˇty 2.3 primitivnı´ funkce. Uzˇ ale nenı´ obecneˇ pravda, zˇe primitivnı´ funkce k elementa´rnı´m funkcı´m zase musı´ lezˇet v mnozˇineˇ elementa´rnıćh funkcı´. Tento poznatek vsˇak musı´me spra´vneˇ interpretovat. V zˇa´dne´m prˇ´ıpadeˇ nerˇ´ıka´me, zˇe primitivnı´ funkce k neˇjake´ elementa´rnı´ funkci neexistuje. Jen tvrdı´me, zˇe ji nelze vyja´drˇit vzorcem takove´ho tvaru, jak by se na´m lı´bilo, tj. nelze ji vytvorˇit z jakyćhsi prˇesneˇ vymezenyćh za´kladnıćh funkcı´ (mnohocˇleny, goniometricke´ funkce atd.) pomocı´ konecˇne´ho pocˇtu aritmetickyćh operacı´ a skla´dańı´.


80

Takove´to funkce (tj. primitivnı´ funkce k elementa´rnı´m funkcı´m, ktere´ jizˇ nejsou elementa´rnı´) se obvykle nazy´vajı´ vysˇsˇ´ı transcendentnı´ funkce. (Exponencia´lnı´, logaritmicke´, goniometricke´ a cyklometricke´ funkce jsou tzv. elementa´rnı´ transcendentnı´ funkce.) Nanesˇteˇstı´ neexistuje zˇa´dne´ jednoduche´ krite´rium, jak rozhodnout, zda konkre´tnı´ neurcˇity´ integra´l vede na vysˇsˇ´ı transcendentnı´ funkci. V praxi se na´m bud’podarˇ´ı konkre´tnı´ integra´l spocˇ´ıtat (tj. nale´zt primitivnı´ funkci v mnozˇineˇ elementa´rnıćh funkcı´) nebo ne. V prˇ´ıpadeˇ neu´speˇchu ale nevı´me, zda je to dańo jen nasˇ´ı nedostatecˇnou zkusˇenostı´, neznalostı´ neˇjakyćh metod, a tudı´zˇ ma´ cenu se snazˇit da´l, nebo zda to opravdu nejde, a proto nema´ cenu ztraćet s dany´m integra´lem cˇas. Uka´zat o konkre´tnı´m integra´lu, zˇe vede na vysˇsˇ´ı transcendentnı´ funkci, je obecneˇ velmi obtı´zˇne´. Na za´veˇr si uvedeme neˇkolik velmi prostyćh neurcˇityćh integra´lu˚, o nichzˇ je zna´mo, zˇe vedou na vysˇsˇ´ı transcendentnı´ funkce. Tato tvrzenı´ se vsˇeobecneˇ tradujı´ od 19. stoletı´, avsˇak jejich du˚kazy nenajdete v zˇa´dne´ z beˇzˇnyćh (i velmi rozsa´hlyćh) ucˇebnic integra´lnı´ho pocˇtu. Du˚kazy vycha´zejı´ z tzv. Liouvilleovy1 veˇty, uda´vajıćı´ nutnou a postacˇujıćı´ podmıńku integrovatelnosti ve trˇ´ıdeˇ elementa´rnıćh funkcı´. Pomeˇrneˇ prˇ´ıstupne´ du˚kazy, zˇe neˇktere´ z na´sledujıćıćh integra´lu˚ vedou na vysˇsˇ´ı transcendentnı´ funkce, lze nale´zt v [22, 23]. Neˇktere´ z uvedenyćh primitivnıćh funkcı´ (jednoznacˇneˇ urcˇenyćh prˇedepsańı´m hodnot v urcˇityćh bodech) majı´ vzhledem k cˇaste´mu vy´skytu vlastnı´ na´zvy. Z Z cos x sin x dx (integra´lsinus), dx (integra´lkosinus), x x Z Z Z 1 2 dx (logaritmusintegra´l), sin x dx, cos x 2 dx (Fresnelovy2 integra´ly), ln x Z Z p −x 2 e dx (Gaussova funkce), R x, P (x) dx (elipticke´ integra´ly). Prˇitom v poslednı´m integra´lu R(u, v) je raciona´lnı´ funkce a P (x) je mnohocˇlen stupneˇ trˇi nebo cˇtyrˇi, ktery´ nema´ na´sobne´ korˇeny (na´zev pocha´zı´ od toho, zˇe integra´lem tohoto typu je vyja´drˇena de´lka elipsy). Ve specia´lnıćh prˇ´ıpadech lze elipticke´ integra´ly vyrˇesˇit pomocı´ elementa´rnıćh funkcı´ (tzv. pseudoelipticke´ integra´ly), ale obecneˇ to nenı´ mozˇne´ (viz [9, 19, 22]). Du˚sledkem toho je, zˇe pro de´lku obecne´ elipsy neexistuje „peˇkny´“ vzorecˇek (na rozdı´l od kruzˇnice). Odhadnout podle „slozˇitosti“ R zadane´ funkce, zda je jejı´ primitivnı´ funkce elementa´rnı´ nebo ne,R je nemozˇne´. Naprˇ. cos2 x dx jsme snadno spocˇ´ıtali (prˇ´ıklad 2.16), zatı´mco integra´l cos x 2 dx nenı´ elementa´rnı´ funkce. Prˇitom v obou dvou prˇ´ıpadech jde o slozˇenou funkci se slozˇkami „druha´ mocnina“ a „kosinus“. Lisˇ´ı se jen porˇadı´m slozˇek. Obdobneˇ R 2 integra´l ex dx nevede (stejneˇ jako √Gaussova funkce) na elementa´rnı´ funkci, zatı´mco R zdańliveˇ komplikovaneˇjsˇ´ı integra´l e x dx jsme vyrˇesˇili (prˇ´ıklad 2.28). Ota´zka, kdy neurcˇity´ integra´l z elementa´rnı´ funkce vede zase na elementa´rnı´ funkci a kdy ne, je opravdu velmi slozˇita´. Stare´ vy´sledky z 19. stoletı´ neposkytujı´ dostatecˇneˇ 1 Joseph

Liouville (1809–1882) (cˇti liuvil) — vy´znamny´ francouzsky´ matematik. Zaby´val se mnoha oblastmi analy´zy. Praće o integraci elementa´rnıćh funkcı´ pocha´zejı´ z let 1833–1841. 2 Augustin Jean Fresnel (1788–1827) (cˇti frenel) — francouzsky ´ matematik, fyzik a inzˇeny´r.

uspokojive´ odpoveˇdi z hlediska dnesˇnıćh pozˇadavku˚ na prˇesnost a obecnost. Renesance za´jmu o tuto problematiku souvisı´ pra´veˇ s vy´vojem modernıćh matematickyćh programu˚ (tzv. programu˚ symbolicke´ algebry). Do takovyćh programu˚ je nutne´ zabudovat algoritmy, ktere´ doka´zˇou v konecˇne´m pocˇtu kroku˚ rozhodnout, zda dany´ integra´l vede na elementa´rnı´ funkci (poprˇ. na dalsˇ´ı typy funkcı´, ktere´ ma´ program ve sve´m repertoa´ru), a pokud ano, vyja´drˇit pomocı´ nich vy´sledek. Informace o te´to problematice lze nale´zt prˇeva´zˇneˇ v cˇasopisecke´ literaturˇe, naprˇ. [1, 2, 15, 21, 23]. Z x e Prˇ´ıklad 2.60. Ukazˇte, zˇe neurcˇity´ integra´l dx, x > 0, nenı´ elementa´rnı´ funkce. x Rˇesˇenı´. Zadany´ integra´l upravı´me pomocı´ substituce x = ln t, t > 1. Vyjde na´m Z ln t Z x Z Z x = ln t e e 1 t 1 1 = dx = · dt = · dt = dt, 1 dx = t dt x ln t t ln t t ln t cozˇ je integra´l, o neˇmzˇ jsme si rˇekli, zˇe nenı´ elementa´rnı´ funkcı´. Oznacˇme G(t) primitivnı´ funkci k 1/ ln t. Pokud by na´sˇ integra´l meˇl primitivnı´ funkci F (x), ktera´ by byla elementa´rnı´, platilo by F (x) = G(ex ). Tedy F (ln t) = G(t) by byla rovneˇzˇ elementa´rnı´, cozˇ je spor. N

2.6.2. Vyuzˇitı´ syste´mu˚ pocˇ´ıtacˇove´ algebry prˇi vy´pocˇtu integra´lu˚ Syste´my pocˇ´ıtacˇove´ algebry jako jsou Maple, Mathematica, Matlab nebo Mathcad na´m mohou prˇi vy´pocˇtech integra´lu˚ velmi usnadnit praći. Neˇkdy je na´m zcela jasne´, jak dany´ integra´l pocˇ´ıtat, ale cˇekajı´ na´s hodiny mechanicke´ praće. Na rozdı´l od na´s zmıńeˇne´ pocˇ´ıtacˇove´ programy zvla´dnou vy´pocˇet rˇa´doveˇ za sekundy. Je proto dobre´ mı´t takove´ programy k dispozici a umeˇt s nimi zacha´zet. Ale take´ neprˇecenˇovat jejich mozˇnosti a nedomnı´vat se, zˇe nenı´ nutne´ zna´t potrˇebnou teorii. Vy´sledky, ktere´ na´m da´vajı´, je nutno umeˇt spra´vneˇ interpretovat a kriticky hodnotit. Ukazˇme si na na´sledujıćıćh prˇ´ıkladech neˇktere´ proble´my, s nimizˇ se prˇi pouzˇ´ıvańı´ pocˇ´ıtacˇovyćh programu˚ mu˚zˇeme setkat. Uka´zka 1 Chceme-li naprˇ. po programu Maple, aby na´m vypocˇ´ıtal integra´l Z 2x(x 2 + 1)24 dx, dostaneme na´sledujıćı´ vy´sledek: 10 626 40 1 50 x + x 48 + 12 x 46 + 92 x 44 + 506 x 42 + x + 7 084 x 38 + 19 228 x 36 25 5 653 752 30 34 32 + 43 263 x + 81 719 x + x + 178 296 x 28 + 208 012 x 26 + 208 012 x 24 5

x2 +

81

+



82

+ 178 296 x 22 +

653 752 20 x + 81 719 x 18 + 43 263 x 16 + 19 228 x 14 + 7 084 x 12 5

10 626 10 x + 506 x 8 + 92 x 6 + 12 x 4 . 5 Nepomu˚zˇe ani zjednodusˇenı´, tj. uzˇitı´ prˇ´ıkazu factor: +

1 2 8 x (x + 5 x 6 + 10 x 4 + 10 x 2 + 5)(x 40 + 20 x 38 + 190 x 36 + 1 140 x 34 + 4 845 x 32 25 + 15 505 x 30 + 38 775 x 28 + 77 625 x 26 + 126 425 x 24 + 169 325 x 22 + 187 760 x 20 + 172 975 x 18 + 132 450 x 16 + 84 075 x 14 + 43 975 x 12 + 18 760 x 10 + 6 425 x 8 + 1 725 x 6 + 350 x 4 + 50 x 2 + 5). Kdybychom zadany´ integra´l vypocˇ´ıtali „rucˇneˇ“ (vy´pocˇet je velmi jednoduchy´), dostali bychom na´sledujıćı´ vy´sledek: 1 2 (x + 1)25 . 25 Jsou spra´vne´ oba vy´sledky? Zkusı´me-li od nasˇeho vy´sledku odecˇ´ıst vy´sledek, ktery´ na´m prˇedlozˇil Maple, dostaneme konstantu rovnu cˇ´ıslu 1/25. Z toho tedy plyne, zˇe oba vy´sledky prˇedstavujı´ ru˚zne´ primitivnı´ funkce k zadane´ funkci. Uka´zka 2 Chceme-li pomocı´ programu Maple vypocˇ´ıtat integra´l Z p p 1 − x 2 + x 2 − 4 dx, dostaneme na´sledujıćı´ vy´sledek p 1 p 1 1 p x 1 − x 2 + arcsin x + x x 2 − 4 − 2 ln x + x 2 − 4 . 2 2 2 Je spra´vny´? Odpoveˇd’ znı´ NE. Definicˇnı´ obor te´to funkce je pra´zdny´, tedy vy´sledek je nesmyslny´. Uka´zka 3 Chceme-li programem Maple vypocˇ´ıtat integra´l Z sin x 2 dx, dostaneme na´sledujıćı´ vy´sledek: √ 1√ √ 2x 2 π FresnelS √ . 2 π Jak si poradı´me s takovy´m vy´sledkem? Jedna´ se o Fresnelu˚v integra´l, o neˇmzˇ jsme se zmıńili v prˇedchozı´m odstavci. Jde o jeden ze zna´myćh integra´lu˚, jizˇ vedou na vysˇsˇ´ı transcendentnı´ funkce.


83

Uka´zka 4 Chceme-li spocˇ´ıtat programem Maple integra´l Z

dx , 2 − cos x

dostaneme vy´sledek √ x 2 √ arctg 3 tg . 2 3 Mu˚zˇe by´t uvedena´ funkce primitivnı´ funkcı´ k zadane´ funkci f : y =

1 2−cos x ?

Podı´vejme se nejprve na funkci f : Funkce f je definovańa a tudı´zˇ spojita´ na cele´ R. Dle veˇty 2.3 tedy existuje na cele´ R primitivnı´ funkce k f . Vzhledem k tomu, zˇe je kazˇda´ primitivnı´ funkce spojita´, musı´ tedy k nasˇ´ı funkci f existovat na cele´m R spojita´ primitivnı´ funkce. Nynı´ se podı´vejme na vy´slednou funkci, kterou si pracovneˇ oznacˇme G: √ x 2 G(x) = √ arctg 3 tg . 2 3 Funkce G je definovańa pro kazˇde´ x ∈ R r {. . . , −3π, −π, π, 3π, . . . }. Jedna´ se tedy o nespojitou funkci. Jako takova´ tedy nemu˚zˇe by´t primitivnı´ funkcı´ k funkci f . Prˇ´ıpady tohoto typu, kdy vı´me, zˇe primitivnı´ funkce existuje naprˇ. na cele´m R, ale nasˇe „vy´sledna´“ funkce nenı´ definovańa na cele´m R, rˇesˇ´ıme tzv. technikou slepovańı´, kterou si uka´zˇeme da´le. Z prˇedchozıćh prˇ´ıkladu˚ plyne, zˇe k tomu, abychom mohli efektivneˇ vyuzˇ´ıvat syste´my pocˇ´ıtacˇove´ algebry k vy´pocˇtu integra´lu˚, je trˇeba zna´t prˇesne´ definice pojmu˚, vlastnosti teˇchto pojmu˚ a vsˇ´ımat si intervalu˚, na nichzˇ jsou zadana´ a vy´sledna´ funkce definovańy. Obecneˇ nenı´ dobre´ tyto programy prˇecenˇovat a plneˇ se na neˇ spole´hat. Je du˚lezˇite´ umeˇt kriticky zhodnotit, zda vy´sledek, ktery´ na´m pocˇ´ıtacˇe vyrobı´, mu˚zˇe by´t spra´vny´.

Prˇ´ıklad 2.61. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l Z

dx . 2 − cos x

Rˇesˇenı´. Pouzˇijeme univerza´lnı´ substituci tg x2 = t — viz (2.20). Pomocı´ te´to substituce

+

2.6.3. Technika slepovańı´

84

Neurcˇity´ integra´l mu˚zˇeme dany´ integra´l vypocˇ´ıtat na kazˇde´m z intervalu˚ (−π + 2kπ, π + 2kπ), k ∈ Z. x tg 2 = t Z Z dx 1 2 = x = 2 arctg t = dt = · 2 2 1−t 2 − cos x dx = 2 dt 1 + t 2 − 1+t 2 1+t 2 Z Z 2 2 dt t 2 1 = dt = · arctg +c = = 3t 2 + 1 3 3 √1 √1 t 2 + 13 3 3 √ √ 2 2 x = √ arctg 3 t + c = √ arctg 3 tg . 2 3 3 1 Nalezena´ funkce G(x) je primitivnı´ funkcı´ k funkci f (x) = 2−cos ˇ de´m otevrˇene´m x na kaz intervalu (−π + 2kπ, π + 2kπ), k ∈ Z. Pokud chceme nale´zt primitivnı´ funkci na cele´ R, musı´me postupovat metodou „slepovańı´“, kterou si nynı´ uka´zˇeme. N

Zamysleme se nad tı´m, jak vypadajı ´ primitivnı´ funkce na jednotlivyćh otevrˇenyćh intervalech (2k − 1)π, (2k + 1)π , k ∈ Z, na nichzˇ je funkce G spojita´. • Pro kazˇde´ x ∈ (−π, π) platı´ G0 (x) = f (x). Na tomto intervalu jsou tedy vsˇechny primitivnı´ funkce tvaru G(x) + c0 , c0 ∈ R. Funkce f i funkce G jsou periodicke´ s periodou 2π. Stacˇ´ı se tedy zaby´vat teˇmito funkcemi na intervalu de´lky 2π, tj. naprˇ. na intervalu (−π, π). Grafy teˇchto funkcı´ na dalsˇ´ıch intervalech jsou kopiı´ cˇa´sti grafu z intervalu (−π, π). Tedy • Pro kazˇde´ x ∈ (−3π, −π) platı´ G0 (x) = f (x). Na tomto intervalu jsou tedy vsˇechny primitivnı´ funkce tvaru G(x) + c1 , c1 ∈ R. • Pro kazˇde´ x ∈ (π, 3π) platı´ G0 (x) = f (x). Na tomto intervalu jsou tedy vsˇechny primitivnı´ funkce tvaru G(x) + c2 , c2 ∈ R. Atd. Utvorˇme nynı´ z teˇchto primitivnıćh funkcı´ na jednotlivyćh intervalech funkci F , ktera´ bude primitivnı´ k f na cele´m R. Prˇedevsˇ´ım na´m jde o to, aby byla funkce F spojita´ na R. Zvolme tedy konstanty c0 , c1 , c2 , . . . tak, aby primitivnı´ funkce na jednotlivyćh intervalech na sebe navazovaly. • Vyjdeˇme od intervalu (−π, π) a polozˇme F (x) = G(x) pro kazˇde´ x ∈ (−π, π). (Zvolili jsme c0 = 0). • Podı´vejme se nynı´ na limitu funkce F v prave´m krajnı´m bodeˇ tohoto intervalu — to je bod, v neˇmzˇ budeme muset kvu˚li spojitosti dodefinovat hodnotu. Tato limita na´m take´ pomu˚zˇe zjistit konstantu c2 , abychom veˇdeˇli, kterou z primitivnıćh funkcı´ na intervalu (π, 3π) vybrat, aby „spojiteˇ navazovala“ na funkci F na intervalu (−π, π). √ π 2 x =√ , lim F (x) = lim √ arctg 3 tg 2 x→π− x→π− 3 3 √ 2 x π lim G(x) = lim √ arctg 3 tg = −√ . 2 x→π+ x→π− 3 3


85

Vidı´me, zˇe je trˇeba zvolit c2 = o

2π √ 3

2π √ . Posouva´me tedy funkci G(x) na intervalu (π, 3π) 3

nahoru.

• Prozatı´m tedy ma´me spojitou primitivnı´ funkci na intervalu (−π, 3π):  √ √2 arctg  3 tg x2 pro x ∈ (−π, π),    3 pro x = π, F (x) = √π3   √  2π  √2 arctg 3 tg x + √ pro x ∈ (π, 3π). 2 3

(2.34)

3

• Obdobneˇ se podı´va´me na limitu v bodeˇ x = −π. lim F (x) =

x→−π+

lim G(x) =

x→−π−

lim

x→−π+

lim

x→−π+

√ x π 2 = −√ , √ arctg 3 tg 2 3 3 √ 2 x π =√ . √ arctg 3 tg 2 3 3

2π . Posouva´me tedy funkci G(x) na intervalu Vidı´me, zˇe je trˇeba zvolit c1 = − √ 3

(−3π, −π) o

2π √ 3

dolu˚.

• Ma´me spojitou primitivnı´ funkci na intervalu (−3π, 3π):  2 √ x √ arctg 3 tg   2 − 3      − √π  3   √ 2 F (x) = √3 arctg 3 tg x2    π  √   3     √2 arctg √3 tg x + 2 3

2π √ 3

pro x ∈ (−3π, −π), pro x = −π, pro x ∈ (−π, π),

(2.35)

pro x = π, 2π √ 3

pro x ∈ (π, 3π).

Obdobneˇ bychom konstruovali funkci F na vsˇech intervalech (2k − 1)π, (2k + 1)π , k ∈ Z. Z veˇty 2.29 vyply´va´, zˇe takto zkonstruovana´ funkce bude mı´t derivaci i v bodech (2k + 1)π, k ∈ Z (tj. v bodech, kde jsme funkci „slepovali“) a zˇe i v nich bude platit, zˇe F 0 (x) = f (x). (Spocˇ´ıtat derivaci v teˇchto bodech standardneˇ pomocı´ veˇty o derivaci slozˇene´ funkce nelze, protozˇe vnitrˇnı´ slozˇka tg x2 v nich nenı´ definovana´; vy´pocˇet prˇ´ımo 1 z definice derivace by byl znacˇneˇ obtı´zˇny´.) Tato funkce je tedy primitivnı´ k funkci 2−cos x. Vy´sledek je zna´zorneˇn na obr. 2.4. Graf funkce F je zna´zorneˇn plnou cˇarou, graf funkce G(x), ktera´ nenı´ definovana´ v lichyćh na´sobcıćh π, je zna´zorneˇn cˇa´rkovaneˇ. Vsˇimneˇte si, zˇe na intervalu (−π, π) grafy F (x) a G(x) sply´vajı´. S podobnou situacı´ („slepovańı´m“ grafu˚) se u integra´lu˚ obsahujıćıćh goniometricke´ funkce setka´va´me velmi cˇasto. Pokud potrˇebujeme primitivnı´ funkci na veˇtsˇ´ım intervalu, musı´me by´t velmi opatrnı´. Jinak mu˚zˇeme dostat velmi snadno zcela nesmyslne´ vy´sledky (naprˇ. prˇi vy´pocˇtu urcˇite´ho integra´lu pomocı´ neurcˇite´ho — viz prˇ´ıklad 3.18).


86

y √ 3π/ 3 y = F (x)

√ 2π/ 3 √ π/ 3

x −π π

−3π 3π

O √ −π/ 3

π

2π

3π

y = G(x)

√ −3π/ 3

Obr. 2.4: Graf primitivnı´ funkce k funkci

1 2−cos x

Zamyslı´me-li se na tı´m, co v prˇedchozı´m prˇ´ıkladeˇ zpu˚sobilo nutnost slepovańı´, vidı´me zˇe je na vineˇ substituce tg x2 = t. Vy´hodou substituce tg x2 = t je jejı´ univerza´lnost, uvazˇovany´ integra´l prˇevede vzˇdy na integra´l z raciona´lnı´ funkce. Ma´ vsˇak dveˇ velke´ nevy´hody. Prvnı´ z nich spocˇ´ıva´ v tom, zˇe konkre´tnı´ vy´pocˇty pomocı´ te´to substituce by´vajı´ veˇtsˇinou dost pracne´, a druhou nevy´hodou je, zˇe k nalezenı´ integra´lu na maxima´lnıćh intervalech, na nichzˇ je integrovana´ funkce spojita´, musı´me cˇasto prova´deˇt „slepovańı´“ — viz prˇedchozı´ prˇ´ıklad. Proto, mu˚zˇeme-li se te´to obecne´ substituci vyhnout, radeˇji tak ucˇinı´me.

S Z

V

Pru˚vodce studiem

J

V te´to kapitole jsme si kromeˇ za´kladnıćh integracˇnıćh metod uka´zali, jak postupovat prˇi vy´pocˇtu rˇady typu˚ neurcˇityćh integra´lu˚, ktere´ vedou na elementa´rnı´ funkce. Takovy´ vyćˇet samozrˇejmeˇ zdaleka nemohl by´t vycˇerpa´vajıćı´. Pro beˇzˇne´ aplikace, ktere´ va´s cˇekajı´ v dalsˇ´ıch kapitolaćh a rovneˇzˇ v jinyćh matematickyćh disciplıńaćh cˇi prˇedmeˇtech na neˇ navazujıćıćh, vsˇak tento rozsah stacˇı´. Je to take´ dańo tı´m, zˇe na´m prˇi mechanicke´ integraci dnes mohou vy´razneˇ pomoci programy symbolicke´ algebry. O to vıć vzru˚sta´ vy´znam teorie a du˚kladne´ho pochopenı´ pojmu˚ a prˇedpokladu˚ veˇt, abychom doka´zali spra´vneˇ interpretovat vy´sledky teˇchto programu˚ a vyhnuli se cˇasto i hruby´m chyba´m, ktere´ jejich neopatrne´ a nekriticke´ pouzˇitı´ mu˚zˇe snadno prˇine´st.


87

Pojmy k zapamatovańı´ — — — — —

X

primitivnı´ funkce neurcˇity´ integra´l integrand integracˇnı´ konstanta parcia´lnı´ zlomky

Kontrolnı´ ota´zky

?

1. Definujte neurcˇity´ integra´l. 2. Vysveˇtlete pojem primitivnı´ funkce. 3. Uved’te za´kladnı´ vlastnosti neurcˇite´ho integra´lu. 4. Uved’te podmıńku existence primitivnı´ funkce. 5. Vysveˇtlete princip metody per partes pro neurcˇity´ integra´l. 6. Vysveˇtlete princip substitucˇnı´ metody pro neurcˇity´ integra´l. 7. Co jsou to parcia´lnı´ zlomky a kolik typu˚ teˇchto zlomku˚ zna´me? 8. Popisˇte rozklad raciona´lnı´ lomene´ funkce na soucˇet parcia´lnıćh zlomku˚. 9. Vysveˇtlete princip integrace raciona´lnı´ lomene´ funkce. 10. Diskutujte mozˇnosti integrace goniometrickyćh funkcı´ — uved’te za´kladnı´ substituce. 11. Diskutujte mozˇnosti integrace funkcı´ obsahujıćıćh odmocniny.

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Integrujte dane´ funkce: Z √ x a) dx, 1+x Z 1 c) dx, √ 1+ x+1 Z 35x 3 e) dx, √ x−1 √ Z 3 x g) √ √ dx, x x+3 x Z √ k+1+1 i) dk, √ k+1−1

! Z b) Z d) f) h)

j)

√ 15x a + x dx,

dp , √ (2 + p) p + 1 Z x+1 dx, √ 3 3x + 1 Z 1 √ √ dv, v+4 v Z dx . √ √ x+2+ 3 x+2


88

2. Integrujte dane´ funkce (pouzˇijte Eulerovy substituce): Z p Z p a) 2 b2 − 6 db, b) 6 9x 2 − 15 dx, c) e)

Z p Z p Z

g)

4 − 3x 2 + 2x dx, 5q 2

− 6q − 1 dq,

g) Z i) Z k) Z m)

p 4 p2 − 2p − 1 dp,

Z

p 8 2 + x − x 2 dx,

f)

p 4 3 + 2s − s 2 ds.

3. Integrujte dane´ funkce: Z 2x − 3 dx, a) √ 8 − 2x − x 2 Z 2 p dy, c) −4y 2 − 12y − 8 Z 2 e) dw, √ −5 + 12w − 4w 2 Z

Z d)

x

Z b)

√

4(x + 3) 3 + 4x − 4x 2

Z d)

√

35 2 − 49x 2

Z f)

Z

dx, √ √ x+1+ 3 x+1

h)

1 dx, √ 5 − 2x − x 2

j)

3 dk, √ 12k − 9k 2 + 4

l)

dx,

1 p

−2p − p 2

q

x 2−x

4

x2 Z √ Z √

q

dx,

dp,

+3 x 2−x

dx,

2n 10 − n − n2

dn,

u 27 − u2 + 6u

du,

8x − 3 dx. √ −4x 2 − 5 + 12x

Na´vod: V a), b), j), l) a m) postupujte podobneˇ jako prˇi integraci parcia´lnı´ho zlomku druhe´ho typu — upravte cˇitatel, aby obsahoval derivaci vy´razu pod odmocninou ve jmenovateli, a rozdeˇlte zlomek na dva.

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ √ √ x − 2 arctg x, √ √ c) 2 x + 1 − 2 ln 1 + x + 1 ,

6(a + x)5/2 − 10a(a + x)3/2 , p d) 2 arctg p + 1, √ e) 10(x − 1)7/2 + 42(x − 1)5/2 + 70(x − 1)3/2 + 70 x − 1,

1. a)

2

b)


89

√ √ (3x + 1)5/3 (3x + 1)2/3 + , g) 6 ln 6 x − 6 ln 6 x + 1 , 15 3 √ √ √ 4 4 h) 2 v − 4 v + 4 ln v + 1 , √ √ i) 4 k + 1 + k + 1 + 4 ln k + 1 − 1 , √ √ √ √ 3 6 6 j) 2 x + 2 − 3 x + 2 + 6 x + 2 − 6 ln x + 2 + 1 . p p 2. a) b b2 − 6 − 6 ln b + b2 − 6 , f)

b)

3x

p

p 9x 2 − 15 − 5 ln 9x + 3 (9x 2 − 15) ,

√ 4 − 3x 2 + 2x 13 √ 3x − 1 c) − 3 arcsin √ , + 6 18 13 q q 2 d) (−2 + 2p) p − 2p − 1 − 4 ln p − 1 + p2 − 2p − 1 , (−3x + 1)

p q (5q − 3) 5q 2 − 6q − 1 7 e) − ln 5q − 3 + 5(5q 2 − 6q − 1) , 10 25 p 2x − 1 f) (4x − 2) 2 + x − x 2 + 9 arcsin , 3 p s−1 . g) (2s − 2) 3 + 2s − s 2 + 8 arcsin 2 p x+1 3. a) −2 8 − 2x − x 2 − 5 arcsin , 3 p 1 2 b) − 3 + 4x − 4x + 7 arcsin x − , 2 c)

arcsin(2y + 3),

d)

7x 5 arcsin √ , 2

e)

3 arcsin w − , 2

f)

arcsin(p + 1),

g)

2(x + 1)3/2 3(x + 1)4/3 6(x + 1)7/6 6(x + 1)5/6 − + −x−1+ − 3 4 7 5 3(x + 1)2/3 , 2 s s 5 2 4 2−x 2−x 3 − − , 5 x x −

h)

i)

x+1 arcsin √ , 6


90 p 2n + 1 j) −2 10 − n − n2 − arcsin √ , 41 p u−3 , l) − 27 − u2 + 6u + 3 arcsin 6 p 3 9 2 m) −2 −4x − 5 + 12x + arcsin x − . 2 2

k)

√ 2 (3k − 2) arcsin , 4

2.7. Za´veˇrecˇna´ cvicˇenı´ ke kapitole 2

!

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Integrujte dane´ funkce: Z arcsin x dx, a) Z p c) 4 −x 2 + 2x + 3 dx, Z p e) 2 1 − x 2 − 2x dx, Z 4x − 1 g) dx, 2 x + 5x + 7 Z u i) du, √ 4 − 9u4 Z 1 dx, k) √ 3 − 9x 2 Z √ m) arctg x dx, Z o) ln 5x dx, Z q)

1 dx, √ √ 3 x 3 x−1

2. Integrujte dane´ funkce: Z a) cos ln x dx, Z p c) x 2 + 4 dx, Z e) g)

4x 2

dx, √ x2 + 9 Z W +2 dW, 2W − 1

Z

b) d) f) h) j) l) n) p) r)

cos η dη, 1 − sin η Z B dB, 8 − 3B 2 Z sin x dx, 1 + cos x Z 1 dx, 4−x Z cotg x dx, Z 1 dY, 1 + cos 4Y Z 1 dB, 5 + 3B 2 Z x+2 dx, x4 + x3 r Z 1 1+x dx. x2 x

Z b)

sin ln x dx, Z

d) Z f)

p 2 9 − x 2 dx, 9(3δ + 5)−1 dδ,

Z h)

(4 − cos 2α) dα,

2.7 Za´veˇrecˇna´ cvicˇenı´ ke kapitole 2

91

Z i) k) m)

1 du, 1 + cos u2 Z 144 dx, √ 144x 2 − 52 Z 2(sin2 ω + cos 2ω) dω, Z

o)

x 3 ln2 x 4 dx,

Z j) l) n)

21 dr, 9 + 7r 2 Z 3 dt, √ 3t 2 − 2 Z cos 2ψsin ψ cos ψ dψ, Z

p)

3x 2 + 2x − 3 dx. x3 − x

3. Integrujte dane´ funkce: Z a) Z c)

4

Z

8 sin x dx,

b)

√ x ln x dx,

d)

g) i) k) m)

1 + cos 2θ dθ, 1 − cos 2θ Z 9(2p − 1) p dp, 9p 2 − 4 Z 1 dz, √ z2 − 8 Z x dx, √ 8 − x2 Z 2(3w 2 − w + 7)(6w − 1) dw, Z

o)

5e2x + 4ex dx, e2x + ex + 4

t dt, 2

Z

Z e)

2 sin2

f) h) j) l) n) p)

1 dx, 1 − cos 2x Z 1 dy , √ y(1 − y) Z 2(3x − 1) dx, x2 + 9 Z x dx, √ x 2 − 32 Z x tg2 x dx, Z 4y − 8 dy, 2y 2 − 8y + 7 Z ln x dx. x2

4. Integrujte dane´ funkce: Z a) Z c) Z e) Z g) Z i)

(8 cos 2x − 3 sin 3x) dx,

b)

cos3 x − 1 dx, cos2 x

d)

3 − 2 cotg2 z dz, cos2 z

f)

3 sin2 x − 2 cos2 x + 5 dx, 4 cos2 x

h)

1 dz, (sin z cos z)2

j)

Z

1 dα, sin2 α

Z

5 sin2 β + 3 cos2 β dβ, 2(cos β sin β)2

Z

tg2 ε dε,

Z Z

sin

x x 2 − cos dx, 2 2

cos 2t dt, cos t − sin t


92 Z k) Z m)

4 cos 2α dα, sin2 2α

Z q)

1 + cos2 y dy, 1 + cos 2y

Z

ex dx, ex + 1

l)

10 dλ, tg 5λ

n)

Z o)

Z

Z arctg 3x dx,

p)

√ x √ dx, 1+ x

r)

1 √ dx. (x − 1) 3 x √ Z 3 x √ dx. x+ x

5. Dokazˇte, zˇe na´sledujıćı´ integra´ly vedou na vysˇsˇ´ı transcendentnı´ funkce: Z a)

e dx, Z

e) Z i)

Z

ex

b)

ex dx, x2

ln ln x dx, Z

f)

ln x dx, ln x + 1

Z j)

Z

sin x √ dx, x x

e ln x dx,

c) Z g) Z k)

sin x dx, x2

Z

cos x dx, x2

Z

ex √ dx, x

d)

cos x √ dx, x

h) Z

sin x dx, x3

l)

e1/x dx.

Na´vod: Vhodnou u´pravou prˇeved’te dany´ integra´l na integra´l, ktery´ nenı´ elementa´rnı´, nebo na vy´raz, ktery´ je soucˇtem elementa´rnı´ funkce a integra´lu, ktery´ nenı´ elementa´rnı´ — viz kapitola 2.6 a prˇ´ıklad 2.60.

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ 1. a) x arcsin x +

p

1 − x 2,

p x−1 c) (2x − 2) −x 2 + 2x + 3 + 8 arcsin , 2 p x+1 e) (x + 1) 1 − x 2 − 2x + 2 arcsin √ , 2 22 2x + 5 g) 2 ln(x 2 + 5x + 7) − √ arctg √ , 3 3 2 1 3u i) arcsin , 6 2 √ 1 k) arcsin 3 x, 3 √ √ √ m) x arctg x − x + arctg x,

b) − ln |1 − sin η|, 1 d) − ln |8 − 3B 2 |, 6 f) − ln |1 + cos x|, h) − ln |4 − x|, j) ln | sin x|, 1 tg 2Y, 4 √ √ 15 B 15 n) arctg , 15 5 l)

2.7 Za´veˇrecˇna´ cvicˇenı´ ke kapitole 2

93 x − 1 + 1 , p) ln x + 1 x2 x s 2 1+x 3 r) − . 3 x

o) x ln 5x − x, q) 3

√ √ 3 x + ln 3 x − 1

x x cos ln x + sin ln x, 2 2 √ p x x2 + 4 + 2 ln x + x 2 + 4 , c) 2 p p e) 2x x 2 + 9 − 18 ln x + x 2 + 9 ,

2. a)

f) 3 ln |3δ + 5|,

u , 4 p k) 12 ln 6x + 36x 2 − 13 ,

sin 2α , 2 √ √ 7r j) 7 arctg , 3 p √ √ l) 3 ln 3t + 3t 2 − 2 ,

1 m) ω + sin 2ω, 2 1 4 2 , o) x 4 ln |x| − 2 ln |x| + 2

cos4 ψ + sin4 ψ n) − , 4 3 x (x − 1) . p) ln x+1

g)

W 5 + ln |2W − 1|, 2 4

x x cos ln x + sin ln x, 2 2 p x d) x 9 − x 2 + 9 arcsin , 3 b) −

i) 2 tg

3. a) c) e)

1 3x − 2 sin 2x + sin 4x, 4 p 2 2 3 , x ln x − 3 3 − cotg θ − θ, q q 2 2 9p − 4 − 3 ln 3p + 9p2 − 4 , p ln z + z2 − 8 ,

h) 4α −

b) d) f)

− sin t + t, 1 − cotg x, 2 arcsin(2y − 1),

j)

2 x 3 ln(x 2 + 9) − arctg , 3 3 p x 2 − 32,

p k) − 8 − x 2 ,

l)

x tg x + ln | cos x| −

m) (3w 2 − w + 7)2 ,

n)

ln |2y 2 − 8y + 7|,

p)

−1 (ln x + 1). x

g) i)

o)

p

ln (e2x

√ 15 2ex + 1 + ex + 4)5 + arctg √ , 5 15

h)

x2 , 2


94

4. a) 4 sin 2x + cos 3x,

b)

− cotg α,

c)

sin x − tg x,

e)

3 tg z + 2 cotg z,

f)

tg ε − ε,

h)

x + cos x,

i)

tg z − cotg z,

sin t − cos t,

k)

−

2 , sin 2α

l)

1 y tg y + , 2 2

m) 2 ln | sin 5λ|,

n)

ln(ex + 1),

o)

x arctg 3x −

d) g) j)

5 3 tg β − cotg β, 2 2 5x 2 tg x − , 4

3 √ √ 1 3 x − 1 √ 23 x+1 ln p) + 3 arctg √ , q) 2 x−1 3 2 √ √ 6 √ √ x+1 26 x − 1 3 − 2 3 arctg √ r) 3 x + ln √ . √ 3 x −6 x + 1 3 5. a)

-

1 ln(1 + 9x 2 ), 6

√ √ x − 2 x + 2 ln x + 1 ,

sub. x = ln t,

b)

p. p. u = ln ln x,

c)

p. p. u = sin x,

d)

p. p. u = cos x,

e)

p. p. u = ex ,

f)

sub. x = t 2 ,

g)

sub.

x = t 2,

h)

sub.

x = t 2,

i)

sub. x = et−1 ,

j)

sub.

x = ln t,

k)

p. p. u = sin x,

l)

sub. x = 1/t.

Autotest 1. Vypocˇ´ıtejte na´sledujıćı´ neurcˇite´ integra´ly: Z Z Z 2 √ √ 3x − 5 1 3 3 a) b) x + x dx, dx, c) x+ dx. x2 + 1 x 2. Vypocˇ´ıtejte na´sledujıćı´ neurcˇite´ integra´ly: Z Z √ 5ex a) 3x + 1 dx, b) dx, ex + 1 Z Z p 5 2 c) sin x cos x dx, d) x 2 1 + x 3 dx, Z Z x ln x e) dx, f) e3x sin x dx, 4 Z Z x g) arctg dx, h) x tg2 x dx. 4 3. Integrujte a upravte: Z Z 3x + 1 dx a) dx, b) , 2 2 x − 3x + 2 x (x − 1) Z Z (x + 1) dx 7 − 3x c) , d) dx. 2 3 (x − 2)(x + 3) x + x 2 + 9x + 9

Autotest

95

4. Integrujte a upravte: Z sin x a) dx, (1 + cos x)2 Z √ 1−x dx, c) x

Z

b) d)

2 + sin x dx, sin x(1 + cos x) √ Z x dx. √ 3 x+1

Klıćˇ k autotestu

√ √ 6 3 x 2 12x x 5 3x x 2 1. a) + + , 2 11 5 1 x 4 + 6x 2 + 3 ln |x| − 2 . c) 4 2x √ 2 2. a) (3x + 1) 3x + 1 , 9 sin3 x c) , 3 x2 (2 ln x − 1) , e) 16 x g) x arctg − 2 ln(16 + x 2 ) , 4 3. a) c) d)

7 ln |x − 2| − 4 ln |x − 1| ,

b)

3 ln (x 2 + 1) − 5 arctg x, 2

b)

p 5 5 (1 + x 3 ) 1 + x 3 , 18 e3x (3 sin x − cos x) f) , 10 x h) x tg x + ln | cos x| − . 2 d)

b)

1 + ln |x − 1| − ln |x| , x

3 3 1 ln |x − 2| − ln(x 2 + 3) + √ , 7 14 7 3 1 2 x ln |x + 1| − ln(x 2 + 9) + arctg . 2 3 3

1 4. a) (1 + cos x)2 , b) 2 √ √ √ c) 2 1 − x + ln 1 − 1 − x − ln 1 + x − 1 , d)

5 ln (ex + 1),

6

1p 6 7

x7

√ √ 1p 1p 6 6 6 6 5 3 − x + x − x + arctg x . 5 3

x 1 2x x tg + tg + ln tg , 2 2 2 2

96

Kapitola 3 Urcˇity´ integra´l S Z

V

Pru˚vodce studiem

J

V prˇedchozı´ kapitole jsme se sezna´mili s pojmem neurcˇite´ho integra´lu, ktery´ funkci prˇirˇazoval opeˇt funkci (prˇesneˇji celou mnozˇinu funkcı´). Urcˇity´ integra´l, ktery´m se budeme zaby´vat v te´to kapitole, bude naproti tomu funkci prˇirˇazovat cˇı´slo. Podle toho, co bude vyjadrˇovat dana´ funkce, bude mı´t vy´sledne´ cˇı´slo ru˚zny´ vy´znam. Mu˚zˇe uda´vat naprˇ. • obsah rovinne´ho obrazce, • de´lku krˇivky, • obsah pla´sˇteˇ rotacˇnı´ho teˇlesa, • objem rotacˇnı´ho nebo obecneˇji libovolne´ho teˇlesa, • hmotnost rovinne´ho obrazce, • staticke´ momenty rovinne´ho obrazce, slouzˇ´ıcı´ k vy´pocˇtu jeho teˇzˇisˇteˇ, • moment setrvacˇnosti rovinne´ho obrazce, • celkovy´ elektricky´ na´boj rozlozˇeny´ na rovinne´m obrazci a hodnoty desı´tek dalsˇ´ıch geometrickyćh a fyzika´lnıćh velicˇin.

Pro za´jemce:

3.1. Od vy´pocˇtu obsahu˚ a objemu˚ k integra´lnı´mu pocˇtu Chceme-li naznacˇit historicky´ vy´voj integra´lnı´ho pocˇtu, musı´me zacˇ´ıt od vy´pocˇtu˚ obsahu˚ a objemu˚. Na na´sledujıćıćh stranaćh se pokusı´me uka´zat, kam azˇ sahajı´ korˇeny dnes pouzˇ´ıvanyćh postupu˚ vy´pocˇtu˚ a jak dlouhy´ byl jejich vy´voj.

3.1 Od vy´pocˇtu obsahu˚ a objemu˚ k integra´lnı´mu pocˇtu

ˇ ecku Matematika ve stare´m Egypteˇ a R Jizˇ starˇ´ı Egypt’ane´ byli nuceni vymeˇrˇovat pole, tj. pocˇ´ıtat obsahy. Znali obsah cˇtverce, obde´lnı´ku, troju´helnı´ka a tı´m i libovolne´ho mnohou´helnı´ka. Mnohou´helnı´k rozdeˇlili na troju´helnı´ky, spocˇ´ıtali jejich obsahy a ty potom secˇetli. Umeˇli pocˇ´ıtat i objemy krychle, va´lce nebo komole´ho jehlanu se cˇtvercovou za´kladnou (pyramidy). Velke´ho pokroku v meˇrˇenı´ obsahu˚ a objemu˚ bylo dosazˇeno ve staroveˇke´m Rˇecku v obdobı´ let 350–200 prˇed n. l. Z te´ doby pocha´zı´ i zna´me´ Eukleidovy Za´klady, ve kteryćh jsou shrnuty te´meˇrˇ vsˇechny v te´ dobeˇ zna´me´ matematicke´ poznatky. Rˇecky´mi matematiky tohoto obdobı´, kterˇ´ı se zaby´vali problematikou obsahu˚ a objemu˚ byli Hippokrates a De´mokritos. Hippokrates (asi 460–370 prˇed n. l.) vyslovil domneˇnku, zˇe kuzˇel mu˚zˇe by´t „vycˇerpa´vań“ jehlany s pravidelnou mnohou´helnı´kovou za´kladnou vepsanou do kruhove´ za´kladny kuzˇele. Domnı´val se, zˇe objem kuzˇele je jedna trˇetina va´lce s toute´zˇ za´kladnou a vy´sˇkou. K tomuto vy´sledku dospeˇl podobny´mi u´vahami i De´mokritos. Avsˇak ani ten jej neopatrˇil du˚kazem. Teprve o padesa´t let pozdeˇji byly tyto vy´sledky doka´zańy Eudoxem. De´mokritos z Abde´r (asi 460–370 prˇed n. l.) je prˇedstavitelem atomistu˚. Ve svyćh geometrickyćh pracıćh vycha´zel z toho, zˇe body jsou prostorove´ atomy majıćı´ konecˇny´ objem. Prˇedstavoval si, zˇe v kazˇde´ u´secˇce existuje konecˇny´, i kdyzˇ „veˇtsˇ´ı nezˇ lze smysly poznat“ pocˇet bodu˚. Te´to prˇedstavy vyuzˇil k urcˇovańı´ obsahu˚ a objemu˚ velke´ho pocˇtu u´tvaru˚. Teˇlesa si prˇedstavoval, jako by byla „slozˇena z rovnobeˇzˇnyćh desticˇek“ silnyćh jeden atom, a usuzoval z toho, zˇe dveˇ teˇlesa „slozˇena´ ze stejnyćh desticˇek“ ve stejnyćh vy´sˇkaćh od za´kladny by meˇla mı´t stejne´ objemy. Tento princip rozpracoval Cavalieri v 17. stoletı´. Rˇekove´ se snazˇili plochu nezna´me´ho obrazce vypocˇ´ıtat pomocı´ obsahu˚ mnohou´helnı´ku˚ P1 , P2 , azˇ Pn , ktery´mi obrazec „vycˇerpa´vali“. Podstatou jejich prˇ´ıstupu bylo to, zˇe obsah tohoto mnohou´helnı´ku snadno vypocˇ´ıtali tı´m, zˇe jej rozlozˇili na vza´jemneˇ se neprˇekry´vajıćı´ troju´helnı´ky. Obsah mnohou´helnı´ku je pak roven soucˇtu obsahu˚ jednotlivyćh troju´helnı´ku˚. Tuto metodu, ktera´ byla pozdeˇji nazvańa exhaustivnı´, rozpracoval Eudoxos (asi 408–355 prˇed n. l.). Exhaustivnı´ (vycˇerpa´vacı´) metoda umozˇnˇuje jizˇ pomeˇrneˇ prˇesne´ vy´pocˇty obsahu˚ a objemu˚ a je povazˇovańa za genia´lnı´ prˇedchu˚dkyni pozdeˇjsˇ´ıch infinitezima´lnıćh u´vah. Zpocˇa´tku se exhaustivnı´ metody vyuzˇ´ıvalo pouze k du˚kazu˚m veˇt, ke ktery´m se dosˇlo jiny´mi metodami. Exhaustivnı´ metoda je zalozˇena na nekonecˇne´m deˇlenı´ velicˇiny a jejı´m za´kladem je na´sledujıćı´ tvrzenı´: (?) Jestlizˇe od dane´ velicˇiny odecˇteme jejı´ cˇa´st veˇtsˇ´ı nezˇ jejı´ polovina a od zbytku opeˇt jeho cˇa´st veˇtsˇ´ı nezˇ jeho polovina a budeme tak cˇinit sta´le, zbude neˇjaka´ velicˇina, jezˇ bude mensˇ´ı nezˇ libovolna´ kladna´ velicˇina. Ilustrujme tuto metodu na vy´pocˇtu obsahu S(A) neˇjake´ho u´tvaru A. Ma´me-li najı´t obsah u´tvaru A, budeme do neˇj vepisovat jine´ u´tvary P1 , P2 , . . . , Pn , jejichzˇ obsahy jsou zna´me´. Tyto

97

Urcˇity´ integra´l

98

obsahy tvorˇ´ı monotońnı´ posloupnost S(P1 ) < S(P2 ) < . . . < S(Pn ), pro kterou platı´: S(A) , 2 S(A) − S(P1 ) S(A) S(A) − S(P2 ) < < , 2 4 .. .

S(A) − S(P1 ) <

S(A) − S(Pn ) <

S(A) . 2n

Prˇi dostatecˇneˇ velke´m n je podle (?) rozdı´l S(A) − S(Pn ) mensˇ´ı nezˇ libovolna´ kladna´ velicˇina. Dnes bychom napsali, zˇe S(A) = lim S(Pn ). Pro Eudoxa byl vsˇak pojem limity nezna´my´; hledal n→∞ tudı´zˇ takove´ B, aby rozdı´l B − S(Pn ) byl mensˇ´ı nezˇ libovolna´ kladna´ velicˇina. K nalezenı´ obsahu S(A) zby´va´ doka´zat, zˇe S(A) = B. Tady Eudoxos vyuzˇ´ıva´ du˚kazu sporem. Necht’ S(A) 6= B, tj. S(A) < B nebo S(A) > B. V obou prˇ´ıpadech dojdeme ke sporu. V prvnı´m prˇ´ıpadeˇ polozˇme B − S(A) = ε. Vı´me vsˇak, zˇe k ε lze najı´t takove´ n, zˇe platı´ B − S(Pn ) < ε. Odtud plyne B − S(Pn ) < B − S(A), tedy S(Pn ) > S(A), cozˇ je spor. Podobneˇ lze postupovat ve druhe´m prˇ´ıpadeˇ. Archime´des (asi 287–212 prˇed n. l.) byl nejveˇtsˇ´ım matematikem heleńisticke´ho obdobı´. Archime´dovy´m nejvy´znamneˇjsˇ´ım prˇ´ınosem v matematice jsou veˇty o obsahu rovinnyćh u´tvaru˚ a o objemu teˇles. Archime´dovy praće zaby´vajıćı´ se obsahy, objemy a de´lkami jsou: Meˇrˇenı´ kruhu, Kvadratura paraboly, O kouli a va´lci, O spira´laćh, O konoidech a sfe´roidech a Metoda. Prvnıćh peˇt pracı´ rozvı´jı´ exhaustivnı´ metodu, kterou Archime´des aplikoval na sˇirokou sˇka´lu proble´mu˚, ktere´ jsou dnes typicky´mi aplikacemi integra´lnı´ho pocˇtu. Sˇesta´ praće, nezna´ma´ do roku 1906, popisuje heuristickou infinitezima´lnı´ metodu — metodu, pomocı´ nı´zˇ objevoval nove´ vy´sledky drˇ´ıve, nezˇ je opatrˇil du˚kazem. Jedna´ se o tzv. metodu pa´ky, podle ktere´ je konecˇny´ syste´m bodu˚ o hmotnostech m1 , . . . , mp na jedne´ straneˇ pa´ky ve vzda´lenostech d1 , . . . , dp od podpeˇry O vyva´zˇen jiny´m syste´mem bodu˚ o hmotnostech m01 , . . . , m0q ve vzda´lenostech d10 , · · · , dq0 na druhe´ straneˇ pa´ky. Pak v souladu s prˇirozeny´mi za´kony mechaniky platı´ rovnost p X

mi di =

q X

m0j dj0 .

j =1

i=1

Na za´kladeˇ tohoto vztahu se na jednu stranu pa´ky umı´stı´ rovinny´ u´tvar (resp. teˇleso), jehozˇ obsah (resp. objem) urcˇujeme, a na druhou stranu pa´ky rovinny´ u´tvar (resp. teˇleso), jehozˇ obsah (resp. objem) a teˇzˇisˇteˇ zna´me. mp

m1

O d1

m01

m0q dq0

Obr. 3.1 Ilustrujme tuto metodu na jednoduche´m prˇ´ıkladeˇ urcˇenı´ obsahu oblasti ohranicˇene´ parabolou y = x 2 a prˇ´ımkami x = 1, y = 0, viz obra´zek 3.2 . Oznacˇme tuto oblast R. Budeme se snazˇit urcˇit


99

jejı´ obsah na za´kladeˇ znalosti obsahu a teˇzˇisˇteˇ troju´helnı´ka Tr s vrcholy (0, 0), 1, 21 , 1, − 12 . Jeho obsah S(Tr) = 12 a teˇzˇisˇteˇ ma´ v bodeˇ 23 , 0 . Nejprve umı´steˇme troju´helnı´k i parabolu na stejnou strany pa´ky se strˇedem O v bodeˇ (0, 0). Nynı´ vyuzˇijeme na´sledujıćı´ho Archime´dova principu: Prˇedpokla´dejme, zˇe existuje konstanta k tak, zˇe pro kazˇdou svislou prˇ´ımku vedenou ve vzda´lenosti x od strˇedu pa´ky O, vytıńajıćı´ na plosˇe R u´sek r a na plosˇe Tr u´sek t, platı´ (3.1)

k · r = x · t.

Umı´stı´me-li u´tvar R na druhou stranu pa´ky tak, zˇe teˇzˇisˇteˇ je ve vzda´lenosti k od strˇedu O, pak „vyva´zˇ´ı“ u´tvar Tr, ktery´ necha´me na pu˚vodnı´m mı´steˇ, a platı´ (3.2)

k · S(R) = xTr · S(Tr),

kde xTr je vzda´lenost teˇzˇisˇteˇ u´tvaru Tr od strˇedu O. Prˇitom vztah (3.1) znamena´, zˇe u´secˇka de´lky r, umı´steˇna´ svy´m teˇzˇisˇteˇm do vzda´lenosti k od strˇedu pa´ky, bude v rovnova´ze s u´secˇkou de´lky t umı´steˇnou na druhe´ straneˇ pa´ky ve vzda´lenosti x. Podobnou u´vahu lze prove´st pro vsˇechny rˇezy troju´helnı´ka Tr a u´secˇe R. Da´le Archime´des vycha´zı´ z toho, zˇe troju´helnı´k je vyplneˇn vsˇemi takovy´mi rˇezy t a u´secˇ paraboly vsˇemi takovy´mi rˇezy r. Nynı´ tedy vezmeme u´secˇ paraboly a umı´stı´me ji teˇzˇisˇteˇm do vzda´lenosti k od strˇedu pa´ky. Takto umı´steˇna´ u´secˇ paraboly je nynı´ vyva´zˇena troju´helnı´kem, ktery´ necha´me tam, kde je (vzda´lenost teˇzˇisˇteˇ od strˇedu pa´ky oznacˇ´ıme xT Tr ). Tı´m jsme se dostali k vztahu (3.2).

1/2

1/2 r

O x

k

1

O

t

1

k

a)

b)

Obr. 3.2 Aplikujme nynı´ tento princip na na´sˇ konkre´tnı´ prˇ´ıpad. Protozˇe troju´helnı´k Tr je rovnoramenny´, rˇez ve vzda´lenosti x od strˇedu O ma´ velikost x (t = x). Velikost rˇezu v oblasti R je x 2 (r = x 2 ). Dosazenı´m do vy´sˇe zmıńeˇne´ho vztahu dosta´va´me k · x 2 = x · x,

odkud vypocˇteme

k = 1.

Pak pomyslneˇ prˇesuneme oblast R na druhou stranu pa´ky tak, aby vzda´lenost teˇzˇisˇteˇ te´to oblasti od strˇedu O byla k. Pro obsahy obou oblastı´ pak platı´: k · S(R) = xTr · S(Tr), odkud dosta´va´me obsah oblasti R: S(R) =

2 1 1 · = . 3 2 3


100

Tı´mto zpu˚sobem Archime´des odvozuje nejenom obsahy plosˇnyćh u´tvaru˚, ale i objemy teˇles. Naprˇ. objem koule urcˇuje pomocı´ zna´myćh objemu˚ va´lce a kuzˇele. Ukazˇme si jeho postup. Umı´steˇme nejprve na jednu stranu pa´ky vsˇechny trˇi teˇlesa — kouli, kuzˇel i va´lec s osou soumeˇrnosti v sourˇadnicove´ ose x, podle na´sledujıćı´ho obra´zku.

2r

2r

k −2r 2r

k x

O

2r

−2r 2r

a)

O

2r

b)

Obr. 3.3 Ve vzda´lenosti x od strˇedu pa´ky ved’me rˇez teˇmito teˇlesy. Rˇezem koule A, kuzˇele B i va´lce C bude kruh. Obsah rˇezu oznacˇme pı´smenem „S“. Podle Archime´dova principu existuje k tak, zˇe platı´: k · (S(A) + S(B)) = x · S(C), k · π(r 2 − (r − x)2 ) + πx 2 = x · π(2r)2 , kπ(r 2 − r 2 + 2rx − x 2 + x 2 ) = 4πxr 2 , k = 2r. Da´le prˇesunˇme kouli a kuzˇel na druhou stranu pa´ky do vzda´lenosti k = 2r. Tato dveˇ teˇlesa nynı´ „vyva´zˇ´ı“ va´lec, ktery´ necha´me tam, kde je. Teˇzˇisˇteˇ va´lce je ve vzda´lenosti r od strˇedu pa´ky. Objem teˇlesa oznacˇme V . Tedy k · (V (A) + V (B)) = xT · V (C), 2r · (V (A) + V (B)) = r · V (C), 1 V (A) = V (C) − V (B), 2 1 1 V (A) = π(2r)2 2r − π(2r)2 2r, 2 3 4 3 V (A) = πr . 3 Uvedli jsme si dveˇ uka´zky toho, jak Archime´des objevoval sve´ vy´sledky mechanickou metodou pa´ky. Vyuzˇ´ıval prˇitom mysˇlenku rozrˇezańı´ plochy na da´le „nedeˇlitelne´ u´secˇky“, prˇ´ıpadneˇ rozrˇezańı´ teˇlesa na da´le „nedeˇlitelne´ vrstvicˇky“. Tato metoda mu vsˇak byla pouze prostrˇedkem,


ktery´ mu poma´hal objevovat nova´ tvrzenı´. Nepokla´dal ji za du˚kaz. Du˚kazy takto objevenyćh vy´sledku˚ prova´deˇl exhaustivnı´ metodou, kterou za tı´mto ućˇelem obohatil a vylepsˇil. Zavedl totizˇ kromeˇ vepsanyćh mnohou´helnı´ku˚ i mnohou´helnı´ky opsane´ a zkoumal jejich obsahy, ktere´ omezujı´ hledany´ obsah plochy. Jiny´mi slovy, zaby´val se zkoumańı´m dolnı´ho a hornı´ho soucˇtu omezujıćı´ho danou velicˇinu. Prˇi vy´pocˇtech objemu˚ pouzˇ´ıval stejny´m zpu˚sobem vepsanyćh a opsanyćh mnohosteˇnu˚. Archime´dovy praće znamenaly obrovsky´ krok ve vy´pocˇtech obsahu˚ a objemu˚. Prˇi vy´pocˇtech vsˇak vzˇdy vycha´zı´ z geometrickyćh vlastnostı´ dane´ plochy nebo teˇlesa. To je charakteristicke´ pro celou dalsˇ´ı etapu vy´voje vy´pocˇtu obsahu plochy. Prˇi urcˇovańı´ obsahu˚ a objemu˚ ru˚znyćh ploch a teˇles se vzˇdy vyuzˇ´ıvaly neˇjake´ charakteristicke´ vlastnosti studovane´ho u´tvaru. Nejednalo se tedy o jednotny´ postup, ktery´ by se dal pouzˇ´ıt k urcˇenı´ obsahu, prˇ´ıp. objemu, libovolne´ho u´tvaru.

Matematika v obdobı´ renesance Po plodne´m obdobı´ rˇecke´ veˇdy ve 2. stol. prˇ. n. l. na´sledovalo mnoho stoletı´ stagnace veˇdy, kdy se obzvla´sˇteˇ v Evropeˇ na poli matematiky nedeˇlo nic. Teprve ve 12. a 13. stoletı´ se zacˇ´ınajı´ prˇekla´dat stara´ rˇecka´ dı´la Eukleida, Archime´da, Apollońia atd. Zacˇaly vznikat prvnı´ univerzity. Ale teprve v 16. stoletı´ se novodoba´ matematika dosta´va´ nad ra´mec rˇecke´ matematiky. V druhe´ polovineˇ 15. stoletı´ zacˇ´ına´ obdobı´ renesance. Hlavnı´mi strˇedisky kultury a veˇdy jsou italska´ meˇsta. V te´to dobeˇ docha´zı´ hlavneˇ k rozvoji trigonometrie a algebry. Rozsˇ´ırˇenı´ matematiky velmi ovlivnil vyna´lez knihtisku, take´ bourˇlivy´ rozvoj architektury a rozkveˇt vy´tvarne´ho umeˇnı´ pomohl rozvoji a sˇ´ırˇenı´ matematiky. Jednı´m z malı´rˇu˚, jenzˇ byl za´rovenˇ matematikem, byl Leonardo da Vinci (1452–1519). Zachovaly se na´m jeho pozna´mkove´ sesˇity, ktere´ obsahujı´ matematicke´ a filozoficke´ u´vahy. Je naprˇ´ıklad pozoruhodne´, zˇe prˇi zkoumańı´ teˇzˇisˇt’ obrazcu˚ a teˇles a take´ prˇi urcˇovańı´ obsahu elipsy Leonardo pouzˇ´ıval Archime´dovu metodu, kterou matematikove´ prˇi rˇesˇenı´ podobnyćh u´loh zacˇali uzˇ´ıvat azˇ v 17. stoletı´. 16. a 17. stoletı´ bylo renesancı´ kultury a veˇdy, a tedy i matematiky. Popsat toto obdobı´ by bylo te´matem na samostatnou kapitolu. Prˇipomenˇme jen jmeńa neˇkteryćh matematiku˚, kterˇ´ı se zaby´vali urcˇovańı´m obsahu˚ a objemu˚ a tı´m vy´znamneˇ prˇispeˇli k dalsˇ´ımu vy´voji diferencia´lnı´ho a integra´lnı´ho pocˇtu. Byli to Johann Kepler, Galileo Galilei, Bonaventura Cavalieri, John Wallis, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, Georg Riemann, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Augustin-Louis Cauchy, aj. Johann Kepler (1571–1630) ve sve´m dı´le Nova´ stereometrie vinnyćh sudu˚ (1615) pocˇ´ıtal objemy teˇles, ktere´ vznikly rotacı´ cˇa´stı´ kuzˇelosecˇek kolem osy lezˇ´ıcı´ v jejich rovineˇ. Prˇi svyćh vy´pocˇtech postupoval metodou rozdeˇlenı´ teˇlesa na nekonecˇneˇ mnoho nekonecˇneˇ malyćh „kusu˚“, jejichzˇ objem lze jednodusˇe urcˇit. Pouzˇil tedy u´vahu, ktere´ se rˇ´ıka´ infinitezima´lnı´. Naprˇ. prˇi urcˇovańı´ objemu koule prˇi zna´me´m povrchu rozdeˇlil kouli na nekonecˇneˇ mnoho jehlanu˚ s vrcholy ve strˇedu koule a za´kladnou na povrchu koule a vy´sˇkou rovnou polomeˇru koule. Secˇetl objemy teˇchto jehlanu˚ a dostal V = 31 Sr, kde S = 4πr 2 je povrch koule. Odtud zı´skal objem koule V = 34 πr 3 . Jesˇteˇ zna´meˇjsˇ´ı je jeho urcˇovańı´ obsahu kruhu. Kazˇdou z (nekonecˇneˇ malyćh) cˇa´stı´ ohranicˇujıćı´ kruzˇnice povazˇuje za za´kladnu rovnoramenne´ho troju´helnı´ka s vrcholem ve strˇedu kruhu. Obsah kruhu je pak roven soucˇtu obsahu˚ vsˇech takovyćh troju´helnı´ku˚. Prˇedstavme si (viz obr. 3.4 a)), zˇe kruzˇnice se strˇedem S je rozvinuta do u´secˇky AC (jejı´ de´lka je rovna obvodu o kruhu) tak, zˇe polomeˇr SA je k nı´ kolmy´. Nekonecˇneˇ male´mu XY na kruzˇnici odpovı´da´ dı´lek X0 Y 0 na u´secˇce AC. Troju´helnı´ky XY S, X0 Y 0 S 0 majı´ vy´sˇku i za´kladnu stejne´ de´lky, a tedy majı´ stejny´ obsah (Kepler

101


102

zde povazˇuje de´lku oblouku XY a de´lku jemu odpovı´dajıćı´ u´secˇky X0 Y 0 za stejne´). Y X

S

A

S0

X0 Y 0

C

a)

S

A

X0 Y 0

C

b)

Obr. 3.4: Kepleru˚v vy´pocˇet obsahu kruhu Tyto troju´helnı´ky lze zameˇnit jiny´mi (viz obr. 3.4 b)), se stejny´mi za´kladnami a vy´sˇkou, prˇicˇemzˇ „hornı´“ vrcholy vsˇech troju´helnı´ku˚ se posunou do strˇedu kruzˇnice S. Takto vznikle´ troju´helnı´ky majı´ stejne´ obsahy jako pu˚vodnı´ troju´helnı´ky a dohromady vyplnˇujı´ troju´helnı´k ACS. Obsah kruhu je tedy roven obsahu pravou´hle´ho troju´helnı´ka s odveˇsnami AC a AS, kde velikost strany AC je rovna velikosti obvodu o kruhu. Odtud plyne 1 1 S = ro = r · 2πr = πr 2 . 2 2 Kepler podobnyćh u´vah pouzˇil k vy´pocˇtu˚m objemu˚ velke´ho mnozˇstvı´ teˇles pouzˇ´ıvanyćh v praxi. Z hlediska du˚kazovyćh metod se Kepler rozesˇel s archime´dovsky´m pozˇadavkem prˇesnosti. Prohla´sil, zˇe Archime´dovy du˚kazy jsou absolutneˇ prˇesne´, zˇe je vsˇak prˇenecha´va´ lidem, kterˇ´ı si chteˇjı´ doprˇa´t prˇesne´ du˚kazy. Za neprˇesnosti tohoto typu bylo Keplerovo dı´lo ve sve´ dobeˇ velmi kritizovańo. Dnes vidı´me, zˇe vsˇak znamenalo velky´ krok ke vzniku modernıćh integracˇnıćh metod. Kepler pro rˇesˇenı´ prakticke´ u´lohy vedl spra´vne´ u´vahy nove´ho typu, chybeˇla mu vsˇak jejich odpovı´dajıćı´ matematicka´ formalizace, a proto i rigoro´znı´ du˚kazy. Bonaventura Cavalieri (1598–1647) ve sve´m dı´le Geometria indivisibilibus continuorum (1635) vylozˇil jednoduchou formou metodu vy´pocˇtu objemu teˇlesa. Sve´ vy´sledky shrnul ve formulaci, ktere´ dnes rˇ´ıka´me „Cavalieriho princip“: „Kdyzˇ dveˇ teˇlesa majı´ stejnou vy´sˇku a kdyzˇ rˇezy rovinami, ktere´ jsou rovnobeˇzˇne´ s jejich podstavami a majı´ od nich stejnou vzda´lenost, jsou takove´, zˇe pomeˇr jejich obsahu˚ je vzˇdy stejny´, potom objemy teˇles majı´ ty´zˇ pomeˇr.“ Kdyzˇ budeme pomocı´ Cavalieriho principu urcˇovat objem kuzˇele s polomeˇrem podstavy r a s vy´sˇkou h, mu˚zˇeme jej porovnat s jehlanem o vy´sˇce h se cˇtvercovou podstavou, jejı´zˇ strana ma´ de´lku 1 (viz obr. 3.5.). Roviny, ktere´ jsou rovnobeˇzˇne´ s podstavami obou teˇles a jsou vedeny ve stejne´ vzda´lenosti od podstav, protıńajı´ tato teˇlesa v kruhu, resp. ve cˇtverci, jejichzˇ obsahy jsou


103

v konstantnı´m pomeˇru πr 2 : 1. Podle Cavalieriho principu tedy platı´

Vk Vj

= πr 2 , tedy Vk = πr 2 Vj ,

kde Vk je objem kuzˇele a Vj objem jehlanu, pro neˇjzˇ platı´ Vj = 31 h. Odtud plyne, zˇe objem kuzˇele je roven Vk = 13 πr 2 h. Cavalieriho metoda se lisˇ´ı od Keplerovyćh postupu˚ ve dvou aspektech. Za prve´, Kepler rozkla´dal teˇleso dane´ dimenze na nekonecˇneˇ mnoho cˇa´stı´ te´zˇe dimenze, kdezˇto Cavalieriho vrstvicˇky majı´ nizˇsˇ´ı dimenzi, nezˇ vysˇetrˇovany´ u´tvar. Za druhe´, Kepler rozkla´dal dane´ teˇleso na infinitezima´lnı´ cˇa´sti a secˇtenı´m jejich obsahu˚ (resp. objemu˚) obdrzˇel obsah (resp. objem) dane´ho teˇlesa. Cavalieri potrˇeboval k vy´pocˇtu dveˇ teˇlesa a pouzˇil metodu porovna´vańı´ nekonecˇneˇ malyćh cˇa´stı´ teˇles, jakyćhsi nedeˇlitelnyćh vrstvicˇek.

h

r 1

Obr. 3.5: Cavalieriho princip Prakticky´ efekt Cavalieriho principu prˇi vy´pocˇtu obsahu˚ (resp. objemu˚) spocˇ´ıva´ v tom, zˇe odvozuje spra´vne´ formule, anizˇ je nucen pouzˇ´ıt postupu, ktery´ dnes nazy´va´me vy´pocˇtem limity. I prˇes neˇktere´ nedostatky meˇla Cavalieriho metoda velky´ vliv na jeho soucˇasnı´ky i matematiky pozdeˇjsˇ´ıho obdobı´. Kromeˇ te´to metody pro vy´pocˇet objemu˚ dvou teˇles porovna´vańı´m jejich rˇezu˚ Cavalieri objevil i metodu pro vy´pocˇet obsahu˚ a objemu˚ jednoduchyćh u´tvaru˚ pomocı´ tzv. prˇ´ıcˇnyćh rˇezu˚. Ilustrujme tuto metodu na prˇ´ıkladu vy´pocˇtu objemu teˇlesa vznikle´ho rotacı´ paraboly y = x 2 kolem osy x na intervalu hA, Bi. Rˇezy ve vzda´lenosti x od bodu A majı´ plochu πx 4 . Objem tohoto rotacˇnı´ho teˇlesa je pak V =π

B X

x 4.

A

Proble´mem nynı´ zu˚sta´va´ vy´pocˇet teˇchto sum. Cavalieri odvodil soucˇty

B P

x n pro n = 1, 2, . . . , 9.

A

Jestlizˇe oznacˇ´ıme B − A = a, pak dosˇel ke vztahu B X A

xn =

1 a n+1 n+1

pro n = 1, 2, . . . , 9 .

Z teˇchto vy´sledku˚ Cavalieri usoudil, zˇe lze prˇedpokla´dat platnost vztahu pro libovolne´ n ∈ N, a tak mohl naprˇ. okamzˇiteˇ napsat vztah pro vy´pocˇet obsahu plochy pod krˇivkou y = x n na


104

intervalu h0, 1i s=

1 X

xn =

0

1 n+1

nebo vztah pro objem teˇlesa vznikle´ho rotacı´ te´to plochy kolem osy x V =π

1 X

x 2n =

0

π . 2n + 1

Jak uvidı´me, Cavalieriho vy´sledek je ekvivalentnı´ hodnoteˇ urcˇite´ho integra´lu Z

a

x n dx =

0

a n+1 , n+1

cozˇ znamenalo obrovsky´ krok v rozvoji algoritmickyćh procedur pro vy´pocˇty obsahu˚ a objemu˚. K historicky´m pozna´mka´m se jesˇteˇ vra´tı´me na konci te´to kapitoly. Znalosti pojmu˚, se ktery´mi se sezna´mı´me v te´to kapitole, na´m umozˇnı´ tyto pozna´mky le´pe cha´pat.

3.2. Konstrukce urcˇite´ho integra´lu S Z

V J

Pru˚vodce studiem Nezˇ popı´sˇeme forma´lneˇ obecnou konstrukci urcˇite´ho integra´lu, vysveˇtlı´me si na dvou prˇ´ıkladech mysˇlenku, ktera´ k te´to na prvnı´ pohled poneˇkud komplikovane´ konstrukci vede. Jeden prˇ´ıklad bude z geometrie, druhy´ z fyziky. Podobnyćh motivacˇnıćh u´loh, pocha´zejıćıćh z geometrie, fyziky a dalsˇ´ıch technickyćh oboru˚, bychom mohli uve´st mnoho. Geometricka´ motivace Prˇedstavme si, zˇe ma´me neza´pornou ohranicˇenou funkci f (x), definovanou na intervalu ha, bi, ktera´ je pro jednoduchost spojita´. Graf te´to funkce spolecˇneˇ se dveˇma svisly´mi prˇ´ımkami x = a a x = b a osou x ohranicˇuje jisty´ rovinny´ obrazec P — viz obr. 3.6 a). Nasˇ´ım u´kolem je urcˇit jeho obsah. Pomineme skutecˇnost, zˇe velicˇina obsah rovinne´ mnozˇiny nebyla prˇedem neˇjak matematicky prˇesneˇ definovana´. Ze strˇednı´ sˇkoly zna´me obsah troju´helnı´ka, obde´lnı´ku, kruhu a neˇkteryćh dalsˇ´ıch jednoduchyćh obrazcu˚. Pro slozˇiteˇjsˇ´ı mnozˇinu je asponˇ intuitivneˇ zrˇejme´, co by toto cˇ´ıslo meˇlo vyjadrˇovat. (Obecneˇ se touto problematikou zaby´va´ tzv. teorie mı´ry — viz naprˇ. [9].) Oznacˇ´ıme-li obsah neˇjake´ mnozˇiny A ⊂ R2 symbolem m2 (A) (m od slova mı´ra, dvojka v indexu, protozˇe jednotkami jsou de´lkove´ jednotky na druhou, naprˇ. cm2 ), rozhodneˇ by obsah meˇl mı´t na´sledujıćı´ vlastnosti: • Je to neza´porne´ cˇ´ıslo, tj. m2 (A) = 0.

3.2 Konstrukce urcˇite´ho integra´lu

x=a

105

x=b

x=a

x=b

y = f (x)

y = f (x)

P1

P

P3

P2

x a

b

x a = x0

ξ1

x1

ξ2

a)

x2

ξ3

x3 = b

b)

Obr. 3.6: Vy´pocˇet obsahu rovinne´ mnozˇiny • Rozdeˇlı´me-li mnozˇinu A na dveˇ disjunktnı´ cˇa´sti B a C, tj. A = B ∪ C, B ∩ C = ∅, je obsah A roven soucˇtu obsahu˚ B a C, tj. m2 (A) = m2 (B) + m2 (C). • Obsah obde´lnı´ku O o velikostech stran a a b je roven cˇ´ıslu ab, tj. m2 (O) = ab. Navrhneme zpu˚sob, jak by se dalo prˇi urcˇenı´ obsahu mnozˇiny P postupovat — viz obr. 3.6 b). 1. Rozdeˇlı´me mnozˇinu P rovnobeˇzˇkami s osou y na „pa´sky“ (na obra´zku 3.6 b) jsou trˇi, oznacˇene´ P1 , P2 a P3 ). Bude platit m2 (P ) = m2 (P1 ) + m2 (P2 ) + m2 (P3 ). 2. Spocˇ´ıta´me obsahy jednotlivyćh „pa´sku˚“. To vsˇak bohuzˇel obecneˇ neumı´me, nebot’ ze trˇ´ı stran jsou ohranicˇene´ sice u´secˇkami, ale ze cˇtvrte´ grafem funkce f (x). Udeˇla´me to tedy prˇiblizˇneˇ. Uvnitrˇ za´kladny kazˇde´ho „pa´sku“ zvolı´me bod (na nasˇem obra´zku jsou oznacˇene´ postupneˇ ξ1 , ξ2 a ξ3 ), vypocˇteme v neˇm funkcˇnı´ hodnotu a v te´to vy´sˇce ho zarovna´me rovnobeˇzˇkou s osou x na obde´lnı´k. Tı´m se samozrˇejmeˇ dopustı´me urcˇite´ chyby — neˇkde obde´lnı´k „pa´sek“ prˇesahuje, neˇkde ho zase nepokry´va´. Prˇi oznacˇenı´ z obr. 3.6 b) dostaneme prˇiblizˇnou hodnotu obsahu mnozˇiny P : . m2 (P ) = (x1 − x0 )f (ξ1 ) + (x2 − x1 )f (ξ2 ) + (x3 − x2 )f (ξ3 ).

(3.3)

(Uveˇdomte si, zˇe x1 − x0 je de´lka za´kladny prvnı´ho obde´lnı´ku, f (ξ1 ) je jeho vy´sˇka atd.) 3. U „rozumnyćh“ funkcı´ lze prˇedpokla´dat, zˇe cˇ´ım vıće „pa´sku˚“ udeˇla´me a cˇ´ım budou uzˇsˇ´ı, tı´m mensˇ´ı bude chyba, ktere´ se dopustı´me nahrazenı´m obde´lnı´ku˚ za „pa´sky“. Provedeme-li tedy jaky´si limitnı´ prˇechod, tj. budeme-li neomezeneˇ zveˇtsˇovat pocˇet „pa´sku˚“ a soucˇasneˇ je zuzˇovat, meˇla by se prˇiblizˇna´ hodnota (dana´ soucˇtem ploch obde´lnı´ku˚) cˇ´ım da´l vıć prˇiblizˇovat k prˇesne´ hodnoteˇ obsahu m2 (P ). Zda´ se tedy, zˇe prˇi


106

ˇresˇenı´ te´to u´lohy bude uzˇitecˇne´ vysˇetrˇovat soucˇty majıćı´ tvar prave´ strany (3.3), kde ovsˇem pocˇet scˇ´ıtancu˚ bude neomezeneˇ naru˚stat. Fyzika´lnı´ motivace Uvazˇujme nehomogennı´ tycˇ T zanedbatelne´ tlousˇt’ky a sˇ´ırˇky, ktera´ lezˇ´ı na ose x tak, zˇe pokry´va´ interval ha, bi. Necht’ ρ(x) je jejı´ de´lkova´ hustota v bodeˇ x. Nasˇ´ım u´kolem je urcˇit hmotnost tycˇe M(T ). Situace je zna´zorneˇna na obr. 3.7. Hmotnost ma´ na´sledujıćı´ vlastnosti (vsˇimneˇte si analogie s obsahem rovinne´ mnozˇiny): • Je neza´porna´, tj. M(T ) = 0. • Rozdeˇlı´me-li tycˇ na dveˇ disjunktnı´ cˇa´sti T1 a T2 , tj. T1 ∪ T2 = T , T1 ∩ T2 = ∅, je hmotnost cele´ tycˇe rovna soucˇtu hmotnostı´ jednotlivyćh cˇa´stı´, tj. M(T ) = M(T1 ) + + M(T2 ). • Je-li tycˇ homogennı´, tj. hustota je konstantnı´, rovna´ se hmotnost tycˇe soucˇinu jejı´ de´lky a hustoty, tj. M(T ) = (b − a)ρ. Opeˇt navrhneme postup, jak urcˇit hmotnost tycˇe T — viz obr. 3.7. 1. Rozdeˇlı´me tycˇ na neˇkolik disjunktnıćh mensˇ´ıch dı´lku˚ (na ilustracˇnı´m obra´zku jsou trˇi, oznacˇene´ T1 , T2 a T3 ). Bude platit M(T ) = M(T1 ) + M(T2 ) + M(T3 ). 2. Urcˇ´ıme hmotnosti jednotlivyćh dı´lku˚. To neumı´me udeˇlat prˇesneˇ, protozˇe hustota nenı´ konstantnı´. Udeˇla´me to tedy prˇiblizˇneˇ. Uvnitrˇ kazˇde´ho dı´lku zvolı´me bod (na nasˇem obra´zku jsou oznacˇeny ξ1 , ξ2 a ξ3 ) a budeme prˇedpokla´dat, zˇe hustota je na cele´m dı´lku konstantnı´ a rovna hustoteˇ ve zvolene´m pomocne´m bodeˇ. Tak dostaneme prˇiblizˇnou hodnotu hmotnosti tycˇe T : . M(T ) = (x1 − x0 )ρ(ξ1 ) + (x2 − x1 )ρ(ξ2 ) + (x3 − x2 )ρ(ξ3 ). (3.4) (Uveˇdomte si, zˇe x1 − x0 je de´lka prvnı´ho „homogenizovane´ho“ dı´lku, ρ(ξ1 ) jeho konstantnı´ hustota atd.) y = ρ(x)

x a = x0

ξ1 T1

x1

ξ2 T2

x2

ξ3

x3 = b

T3

Obr. 3.7: Urcˇenı´ hmotnosti tycˇe


107

3. Lze prˇedpokla´dat, zˇe cˇ´ım veˇtsˇ´ı bude pocˇet dı´lku˚ a cˇ´ım budou kratsˇ´ı, tı´m opra´vneˇneˇjsˇ´ı bude na´sˇ prˇedpoklad, zˇe hustota na takove´m male´m dı´lku je „te´meˇrˇ“ konstantnı´. Udeˇla´me-li tudı´zˇ jaky´si limitnı´ prˇechod, prˇi neˇmzˇ budeme neomezeneˇ zvysˇovat pocˇet dı´lku˚, na neˇzˇ rozdeˇlı´me tycˇ, a budou-li tyto dı´lky cˇ´ım da´l kratsˇ´ı, lze ocˇeka´vat, zˇe se prˇiblizˇna´ hodnota bude prˇiblizˇovat prˇesne´ hodnoteˇ hmotnosti tycˇe. Podobneˇ bychom mohli urcˇit naprˇ. celkovy´ elektricky´ na´boj rozlozˇeny´ na tycˇi, pokud bychom znali jeho hustotu ρ(x) v bodeˇ x. V tomto prˇ´ıpadeˇ by ovsˇem tato funkce mohla by´t i za´porna´. Vsˇimneˇte si, zˇe azˇ na oznacˇenı´ funkcı´ (f resp. ρ) jsou soucˇty z pravyćh stran (3.3) a (3.4) naprosto stejne´. Obeˇ dveˇ u´lohy, v nichzˇ sˇlo o urcˇenı´ zcela odlisˇnyćh velicˇin, vedly tedy na vysˇetrˇovańı´ naprosto stejnyćh soucˇtu˚. Podobnyćh prˇ´ıkladu˚ bychom mohli uve´st mnoho. Vsˇem by bylo spolecˇne´, zˇe urcˇovane´ velicˇiny by meˇly obdobne´ vlastnosti jako vy´sˇe uvedene´ vlastnosti obsahu resp. hmotnosti. Klıćˇova´ je zejmeńa druha´ vlastnost (celkova´ velicˇina je rovna soucˇtu velicˇin odpovı´dajıćıćh disjunktnı´m cˇa´stem). Tı´m je motivovańa na´sledujıćı´ obecna´ konstrukce a z nı´ vyply´vajıćı´ definice. Nejprve zavedeme neˇkolik potrˇebnyćh pojmu˚ a oznacˇenı´, abychom mohli definovat urcˇity´ integra´l. Uvazˇujme funkci f (x), ktera´ je definovana´ na ohranicˇene´m uzavrˇene´m intervalu ha, bi a ktera´ je na tomto intervalu ohranicˇena´. Musejı´ tedy existovat konstanty m a M takove´, zˇe pro vsˇechna x ∈ ha, bi platı´ m 5 f (x) 5 M . Graf funkce je tedy uzavrˇen v obde´lnı´ku, jehozˇ strany jsou urcˇeny prˇ´ımkami x = a, x = b, y = m a y = M — viz obr. 3.8. (Studenti cˇasto x = a zapomıńajı´ na prˇedpoklad ohranicˇenosti, ktery´ je pro konstrukci podstatny´.)

y y=M y = f (x) x O y=m x=b

Obr. 3.8 1. Posloupnost x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn , n ∈ N, kde x0 = a a xn = b, nazveme deˇlenı´m intervalu ha, bi. Deˇlenı´ budeme znacˇit pı´smenem D. Interval ha, bi tedy bude rozdeˇlen na n intervalu˚ hx0 , x1 i, hx1 , x2 i,. . . , hxn−1 , xn i, ktery´m rˇ´ıka´me intervaly deˇlenı´ D. 2. Normou deˇlenı´ D nazveme cˇ´ıslo max{x1 − x0 , x2 − x1 , . . . , xn − xn−1 }, ktere´ budeme znacˇit ν(D). Toto cˇ´ıslo na´m rˇ´ıka´, jaka´ je de´lka nejveˇtsˇ´ıho intervalu deˇlenı´. (Samozrˇejmeˇ intervalu˚ s touto maxima´lnı´ de´lkou mu˚zˇe by´t vıć; zejmeńa vsˇechny intervaly mohou by´t naprˇ. stejneˇ dlouhe´ — tzv. ekvidistantnı´ deˇlenı´.) Norma tudı´zˇ charakterizuje, jak jemne´ je deˇlenı´ D. 3. V kazˇde´m intervalu deˇlenı´ D vybereme jeden bod. Oznacˇ´ıme-li bod vybrany´ v i-te´m intervalu hxi−1 , xi i, i = 1, . . . , n, n ∈ N, pı´smenem ξi , bude platit x0 5 ξ1 5 x1 5 ξ2 5 x2 5 · · · 5 xn−1 5 ξn 5 xn . Mnozˇinu Ξ = {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn } teˇchto bodu˚ nazveme vy´beˇrem reprezentantu˚ deˇlenı´ D.


108

y = f (x)

... a = x0 ξ1

x1

xi−1

ξi xi

...

ξ2 x2

x xn−1

ξn

xn = b

Obr. 3.9: Zna´zorneˇnı´ integra´lnı´ho soucˇtu 4. Je-li D deˇlenı´ intervalu ha, bi a Ξ vy´beˇr reprezentantu˚ tohoto deˇlenı´, definujeme integra´lnı´ soucˇet S (f, D, Ξ ) odpovı´dajıćı´ funkci f , deˇlenı´ D a vy´beˇru reprezentantu˚ Ξ vztahem n X S (f, D, Ξ ) = f (ξi )(xi − xi−1 ), i=1

resp. rozepı´sˇeme-li sumu, S (f, D, Ξ ) = f (ξ1 )(x1 − x0 ) + f (ξ2 )(x2 − x1 ) + · · · + f (ξn )(xn − xn−1 ). Geometricky´ vy´znam integra´lnı´ho soucˇtu je zna´zorneˇn na obr. 3.9. Vlastneˇ jde o soucˇet ploch obde´lnı´ku˚ s de´lkami za´kladen xi − xi−1 a vy´sˇkami f (ξi ), kde i = 1, . . . , n, n ∈ N. Pochopitelneˇ pokud je f (ξi ) < 0, je prˇ´ıspeˇvek dane´ho obde´lnı´ku za´porny´. Integra´lnı´ soucˇet kromeˇ funkce f za´visı´ rovneˇzˇ na konkre´tnı´m deˇlenı´ a jeho vy´beˇru reprezentantu˚. Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme vyslovit definici urcˇite´ho integra´lu. Definice 3.1. Necht’ f (x) je funkce, ktera´ je definovana´ a ohranicˇena´ na ohranicˇene´m a uzavrˇene´m intervalu ha, bi, a < b. Rˇekneme, zˇe funkce f (x) je integrovatelna´ neboli zˇe ma´ urcˇity´ integra´l na intervalu ha, bi, jestlizˇe existuje cˇ´ıslo I ∈ R s na´sledujıćı´ vlastnostı´: K libovolne´mu cˇ´ıslu ε > 0 lze nale´zt cˇ´ıslo δ > 0 tak, zˇe pro libovolne´ deˇlenı´ D intervalu ha, bi takove ´ , zˇe ν(D) < δ, a pro libovolny´ vy´beˇr reprezentantu˚ Ξ tohoto deˇlenı´ platı´ S (f, D, Ξ ) − I < ε. Cˇ´ıslo I pak nazy´va´me hodnotou urcˇite´ho integra´lu a pı´sˇeme b

Z

f (x) dx = I.

(3.5)

a

Cˇ´ıslo a nazy´va´me dolnı´ mez, cˇ´ıslo b hornı´ mez, interval ha, bi integracˇnı´ obor a funkci f integrand. Hornı´ a dolnı´ mez nazy´va´me spolecˇneˇ integracˇnı´ meze.


109

Na´zorny´ vy´znam prˇedchozı´ definice je na´sledujıćı´: Vytva´rˇ´ıme-li integra´lnı´ soucˇty pro cˇ´ım da´l jemneˇjsˇ´ı deˇlenı´ intervalu ha, bi, pak se (prˇi libovolnyćh vy´beˇrech reprezentantu˚) hodnoty S (f, D, Ξ ) „ustalujı´“ kolem cˇ´ısla I . Pokud tomu tak nenı´ (integra´lnı´ soucˇty „oscilujı´“ i pro velmi jemna´ deˇlenı´), funkce na intervalu ha, bi urcˇity´ integra´l nema´. Zˇe tato situace mu˚zˇe nastat, uka´zˇeme nı´zˇe v prˇ´ıkladu 3.4. Pozna´mka 3.2. 1) Snadno se uka´zˇe, zˇe pokud cˇ´ıslo I s vlastnostı´ uvedenou v prˇedchozı´ definici existuje, Rb je jedine´. Urcˇity´ integra´l a f (x) dx je tudı´zˇ definovań jednoznacˇneˇ. 2) Integra´l z definice 3.1 se nazy´va´ Riemannu˚v1 . Ukazuje se, zˇe tento integra´l nema´ zcela idea´lnı´ vlastnosti a pro neˇktere´ teoreticˇteˇjsˇ´ı u´vahy jsou vhodne´ jine´, obecneˇjsˇ´ı, ale slozˇiteˇjsˇ´ı konstrukce. Takovyćh konstrukcı´ existuje cela´ rˇada. Nejveˇtsˇ´ı vy´znam a rozsˇ´ırˇenı´ ma´ asi Lebesgueu˚v2 integra´l — viz [9]. Nejobecneˇjsˇ´ı v tomto smeˇru je asi Henstocku˚v-Kurzweilu˚v integra´l — viz [13, 14, 24]. Pro beˇzˇne´ potrˇeby inzˇeny´ru˚ je vsˇak Riemannu˚v integra´l zcela dostacˇujıćı´. 3) Cˇasto se Riemannu˚v integra´l zava´dı´ jiny´m zpu˚sobem. Mı´sto integra´lnıćh soucˇtu˚ se pouzˇ´ıvajı´ hornı´ a dolnı´ soucˇty — viz naprˇ. [8, 17, 18]. Lze uka´zat, zˇe obeˇ definice jsou ekvivalentnı´ (viz naprˇ. [6], [17, str. 45]). 4) Diferencia´l dx v oznacˇenı´ urcˇite´ho integra´lu ve vztahu (3.5) na´m rˇ´ıka´, jak je oznacˇena neza´visle promeˇnna´. Z konstrukce urcˇite´ho integra´lu je zrˇejme´, zˇe oznacˇenı´ neza´visle Rb Rb Rb promeˇnne´ pı´smenem x nenı´ podstatne´. Tedy a f (x) dx = a f (y) dy = a f (t) dt. 5) Oznacˇenı´ urcˇite´ho a neurcˇite´ho integra´lu je velmi podobne´. U urcˇite´ho integra´lu jsou pouze navıć integracˇnı´ meze. Tato podobnost ma´ bohuzˇel za na´sledek, zˇe u studentu˚ cˇasto vznika´ dojem, zˇe oba tyto pojmy jsou v podstateˇ stejne´. To je vsˇak hrube´ zkreslenı´. Je trˇeba si uveˇdomit, zˇe neurcˇity´ a urcˇity´ integra´l se za´sadneˇ lisˇ´ı. Stacˇ´ı porovnat jejich definice 2.1 a 3.1. Oba integra´ly se sice deˇlajı´ z funkce, avsˇak vy´sledek je naprosto odlisˇny´: • U neurcˇite´ho integra´lu je to funkce (prˇesneˇji cela´ mnozˇina funkcı´). • U urcˇite´ho integra´lu je to cˇ´ıslo.

Prˇ´ıklad 3.3. Necht’ f (x) je konstantnı´ na intervalu ha, bi, tj. f (x) = c pro kazˇde´ Rb x ∈ ha, bi. Vypocˇteˇte a c dx. 1 Georg

Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) (cˇti rı´man) — vynikajıćı´ neˇmecky´ matematik. Zaby´val se teoriı´ funkcı´, geometriı´, matematickou a teoretickou fyzikou a diferencia´lnı´mi rovnicemi. Jeden z nejveˇtsˇ´ıch matematiku˚ vsˇech dob. Jeho tzv. Riemannova hypote´za o rozlozˇenı´ nul ζ -funkce je dodnes nevyrˇesˇena a je povazˇovańa za jeden z nejteˇzˇsˇ´ıch matematickyćh proble´mu˚. 2 Henri Leon Lebesgue (1875–1941) (cˇti lebeg) — vy ´znamny´ francouzsky´ matematik. Zaby´val se teoriı´ funkcı´ a integra´lu. Jı´m zavedena´ mı´ra a integra´l vy´znamneˇ ovlivnily modernı´ matematiku.

+

Nı´zˇe uvidı´me, zˇe mezi teˇmito zcela odlisˇneˇ definovany´mi pojmy je velice du˚lezˇity´ vztah (veˇta 3.14). Nic to vsˇak nemeˇnı´ na skutecˇnosti, zˇe jde o dva ru˚zne´ pojmy. R 6) Jizˇ drˇ´ıve jsme se zmıńili, zˇe symbol vznikl protazˇenı´m pı´smene S, znacˇ´ıcı´ho sumu. Nynı´ uzˇ je jasne´, o jakou sumu (integra´lnı´ soucˇet) vlastneˇ jde.


110

Rˇesˇenı´. Zvolme libovolne´ deˇlenı´ D : a = x0 < x1 < · · · < xn = b a libovolny´ vy´beˇr reprezentantu˚ Ξ tohoto deˇlenı´. Pak platı´ S = f (ξ1 )(x1 − x0 ) + f (ξ2 )(x2 − x1 ) + · · · + f (ξn )(xn − xn−1 ) = = c(x1 − x0 ) + c(x2 − x1 ) + · · · + c(xn − xn−1 ) = c(xn − x0 ) = c(b − a). Vsˇechny integra´lnı´ soucˇty te´to funkce jsou tedy stejne´ a majı´ hodnotu c(b − a). Z toho Rb ocˇividneˇ vyply´va´, zˇe funkce je integrovatelna´ a zˇe platı´ a c dx = c(b − a). Vsˇimneˇte si, zˇe pokud je c > 0, jde o obsah obde´lnı´ku o vy´sˇce c, sestrojene´ho nad intervalem ha, bi. N Oveˇrˇovat existenci a pocˇ´ıtat urcˇity´ integra´l prˇ´ımo z definice tak, jak tomu bylo v prˇedchozı´m prˇ´ıkladu, je obecneˇ velmi obtı´zˇne´. V dalsˇ´ım textu si uvedeme podstatneˇ ućˇinneˇjsˇ´ı a jednodusˇsˇ´ı na´stroje. V na´sledujıćıćh odstavcıćh si vsˇimneme v souvislosti s pojmem Riemannova urcˇite´ho integra´lu trˇ´ı okruhu˚ ota´zek: • Existence urcˇite´ho integra´lu. • Vlastnosti urcˇite´ho integra´lu. • Prakticky´ vy´pocˇet urcˇite´ho integra´lu.

3.3. Existence urcˇite´ho integra´lu

+

Zacˇneme prˇ´ıkladem, ktery´ na´m uka´zˇe, zˇe ne kazˇda´ funkce, ktera´ je ohranicˇena´ na ohranicˇene´m uzavrˇene´m intervalu, musı´ mı´t Riemannu˚v integra´l. Prˇ´ıklad 3.4. Ukazˇte, zˇe Dirichletova1 funkce ( 1 pro raciona´lnı´ x ∈ h0, 1i, χ (x) = 0 pro iraciona´lnı´ x ∈ h0, 1i nenı´ na intervalu h0, 1i riemannovsky integrovatelna´, tj. zˇe

R1 0

χ (x) dx neexistuje.

Pro za´jemce: Rˇesˇenı´. Protozˇe mezi libovolny´mi dveˇma ru˚zny´mi rea´lny´mi cˇ´ısly lezˇ´ı jak nekonecˇneˇ mnoho raciona´lnıćh cˇ´ısel, tak nekonecˇneˇ mnoho iraciona´lnıćh cˇ´ısel, je graf Dirichletovy funkce naprosto „roztrhań“ a nemu˚zˇeme ho namalovat. Uka´zˇeme, zˇe existuje libovolneˇ jemne´ deˇlenı´ (tj. s libovolneˇ malou normou) a k neˇmu vhodny´ vy´beˇr reprezentantu˚ takove´, zˇe prˇ´ıslusˇny´ integra´lnı´ soucˇet je roven prˇedem dane´mu cˇ´ıslu r, 0 5 5 r 5 1. To ovsˇem znamena´, zˇe prˇi zjemnˇovańı´ deˇlenı´ se integra´lnı´ soucˇty neprˇiblizˇujı´ zˇa´dne´ R1 pevne´ hodnoteˇ I , ale naopak „oscilujı´“ mezi hodnotami 0 a 1, tudı´zˇ integra´l 0 χ (x) dx neexistuje. 1 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) (cˇti dirikle ´ ) — vy´znamny´ neˇmecky´ matematik.

Zaby´val se teoriı´ cˇ´ısel, matematickou analy´zou a rovnicemi matematicke´ fyziky.

3.3 Existence urcˇite´ho integra´lu

Volme nejprve r = 0. Zvolı´me libovolne´ deˇlenı´ D : 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 a vybereme za vsˇechny reprezentanty iraciona´lnı´ cˇ´ısla, tj. χ (ξi ) = 0 pro i = 1, . . . , n. Pak S (χ , D, Ξ ) = f (ξ1 )(x1 − x0 ) + f (ξ2 )(x2 − x1 ) + · · · + f (ξn )(xn − xn−1 ) = = 0 · (x1 − x0 ) + 0 · (x2 − x1 ) + · · · + 0 · (xn − xn−1 ) = 0. Necht’nynı´ r = 1. Zvolı´me opeˇt libovolne´ deˇlenı´ D : 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 a vybereme za vsˇechny reprezentanty raciona´lnı´ cˇ´ısla, tj. χ (ξi ) = 1 pro i = 1, . . . , n. Pak S (χ, D, Ξ ) = f (ξ1 )(x1 − x0 ) + f (ξ2 )(x2 − x1 ) + · · · + f (ξn )(xn − xn−1 ) = = 1 · (x1 − x0 ) + 1 · (x2 − x1 ) + · · · + 1 · (xn − xn−1 ) = xn − x0 = 1. Necht’ konecˇneˇ 0 < r < 1 je libovolne´ cˇ´ıslo. Nejprve rozdeˇlı´me libovolny´mi deˇlıćı´mi body interval h0, ri, tj. x0 < x1 < · · · < xk = r. Pak libovolneˇ rozdeˇlı´me interval hr, 1i, tj. r = xk < xk+1 < · · · < xn = 1. V prvnıćh k intervalech deˇlenı´ vybereme raciona´lnı´ reprezentanty, ve zby´vajıćıćh iraciona´lnı´. Vyjde S (χ , D, Ξ ) = f (ξ1 )(x1 − x0 ) + f (ξ2 )(x2 − x1 ) + · · · + f (ξk )(xk − xk−1 ) + + f (ξk+1 )(xk+1 − xk ) + · · · + f (ξn )(xn − xn−1 ) = = 1 · (x1 − x0 ) + 1 · (x2 − x1 ) + · · · + 1 · (xk − xk−1 ) + + 0 · (xk+1 − xk ) + · · · + 0 · (xn − xn−1 ) = xk − x0 = r. Zrˇejmeˇ deˇlenı´ mohla by´t ve vsˇech prˇ´ıpadech libovolneˇ jemna´, cozˇ dokazuje, zˇe zmıńeˇny´ integra´l neexistuje. N

Potrˇebovali bychom tedy neˇjake´ jednoduche´, snadno oveˇrˇitelne´ podmıńky, ktere´ na´m zarucˇ´ı, zˇe Riemannu˚v integra´l existuje pro dostatecˇneˇ sˇirokou mnozˇinu funkcı´, se ktery´mi se v aplikacıćh beˇzˇneˇ setka´va´me. Ty jsou obsahem na´sledujıćı´ veˇty. Veˇta 3.5. Necht’ funkce f (x) je definovana´ na ohranicˇene´m uzavrˇene´m intervalu ha, bi. Necht’ je splneˇna na tomto intervalu ktera´koliv z na´sledujıćıćh podmıńek: (1) f (x) je monotońnı´. (2) f (x) je spojita´. (3) f (x) je ohranicˇena´ a ma´ nejvy´sˇe konecˇny´ pocˇet bodu˚ nespojitosti. Rb Pak existuje urcˇity´ integra´l a f (x) dx. Z podmıńky (2) prˇedchozı´ veˇty tedy vyply´va´, zˇe existujı´ naprˇ. urcˇite´ integra´ly R 1 x2 R2 1 Re ´ ho a cˇtvrte´ho prˇ´ıkladu to plyne 0 sin x dx, 1 x dx, −1 e dx, 1 ln x dx a pod. U druhe i z podmıńky (1), protozˇe jejich integrandy jsou monotońnı´. Rπ Z podmıńky (3) prˇedchozı´ veˇty dostaneme, zˇe existujı´ take´ integra´ly 0 f (x) dx R 4,5 a 0 g(x) dx, kde ( ( sin x pro x 6 = 0, sin 12 pro x 6= 0, x x g(x) = (3.6) f (x) = 0 pro x = 0, 0 pro x = 0. Rπ

111


112

Obeˇ funkce jsou ohranicˇene´ a majı´ jediny´ bod nespojitosti v nule — viz obr. 3.10. LH Pro f (x) totizˇ vyjde l’Hospitalovy´m pravidlem lim sinx x = 00 = lim cos1 x = x→0+

x→0+

1 1

= = 1 6= 0 = f (0). Tedy je nespojita´ v nule, ale ma´ zde konecˇnou limitu. Vsˇude jinde je spojita´, cozˇ s pouzˇitı´m Weierstrassovy veˇty (viz [12]) zarucˇuje ohranicˇenost. ˇ e je nespojita´ U funkce g(x) limita lim sin 12 x neexistuje (osciluje mezi ±1), takz x→0+ 12 v nule. Vsˇude jinde je spojita´. Ohranicˇenost plyne z toho, zˇe sin x 5 1 pro x 6= 0. R3 Podobneˇ existuje urcˇity´ integra´l −2 sgn x dx funkce signum, jejı´zˇ graf je na obr. 2.2. Funkce je zrˇejmeˇ ohranicˇena´ a je nespojita´ pouze v nule. y

y

y = g(x) y = f (x)

1

1 x

x π

O

O

4,5

−11 a) f (x) =

sin x x

b) g(x) = sin 12 x pro x > 0

pro x > 0

Obr. 3.10: Grafy nespojityćh integrovatelnyćh funkcı´ S existencı´ urcˇite´ho integra´lu souvisı´ rovneˇzˇ na´sledujıćı´ velmi uzˇitecˇna´ veˇta. Veˇta 3.6. Necht’ funkce f (x) a g(x) jsou definovane´ na intervalu ha, bi a necht’ se tyto funkce lisˇ´ı nejvy´sˇe v konecˇneˇ mnoha bodech. Jestlizˇe je funkce f (x) integrovatelna´ na ha, bi, je zde integrovatelna´ i funkce g(x) a platı´ Z b Z b f (x) dx = g(x) dx. a

a

Z prˇedchozı´ veˇty ihned vyply´va´, zˇe zmeˇnou funkce v konecˇneˇ mnoha bodech se nemeˇnı´ jejı´ urcˇity´ integra´l. Prˇesneˇji platı´: Necht’funkce g(x) vznikne z funkce f (x) zmeˇnou v konecˇneˇ mnoha bodech. • Je-li f (x) integrovatelna´ na intervalu ha, bi, je na tomto intervalu integrovatelna´ Rb Rb i funkce g(x) a platı´ a f (x) dx = a g(x) dx. • Nenı´-li f (x) integrovatelna´ na intervalu ha, bi, nenı´ na tomto intervalu integrovatelna´ ani funkce g(x). Prˇedchozı´ poznatek na´m dovoluje nestarat se o to, zˇe prˇi vy´pocˇtu urcˇite´ho integra´lu integrand nenı´ definovań v konecˇneˇ mnoha bodech. Funkcˇnı´ hodnoty v teˇchto bodech

3.4 Za´kladnı´ vlastnosti urcˇite´ho integra´lu

mu˚zˇeme stanovit libovolneˇ. Neza´lezˇ´ı na tom totizˇ ani vlastnost „mı´t urcˇity´ integra´l“, ani (pokud urcˇity´ integra´l existuje) jeho hodnota. Tato vlastnost je velmi prakticka´ prˇi vy´pocˇtech. Naprˇ. u funkcı´ z (3.6) mu˚zˇeme psa´t Z π Z 4,5 sin x 12 dx resp. dx sin x x 0 0 a nezateˇzˇovat se tı´m, zˇe ani jeden z integrandu˚ nenı´ definovań v nule.

Pro za´jemce: Ve veˇteˇ 3.5 jsme uvedli jednoduche´ postacˇujıćı´ podmıńky existence urcˇite´ho Riemannova integra´lu. Je mozˇne´ nale´zt i nutnou a postacˇujıćı´ podmıńku existence — viz naprˇ. [9]. Ukazuje se, zˇe urcˇity´ Riemannu˚v integra´l existuje pra´veˇ tehdy, kdyzˇ mnozˇina bodu˚, v nichzˇ je integrand nespojity´, je „mala´“. Prˇesny´ vy´znam slova „mala´“ je, zˇe ma´ tzv. Lebesgueovu mı´ru na prˇ´ımce nula (tato mı´ra je zobecneˇnı´m de´lky intervalu i pro mnohem slozˇiteˇjsˇ´ı mnozˇiny na prˇ´ımce). Naprˇ. Dirichletova funkce z prˇ´ıkladu 3.4 je nespojita´ v kazˇde´m bodeˇ integracˇnı´ho oboru h0, 1i. De´lka tohoto intervalu je 1, nenı´ to tudı´zˇ „mala´“ mnozˇina, cozˇ potvrzuje na´sˇ drˇ´ıveˇjsˇ´ı za´veˇr, zˇe Riemannu˚v integra´l te´to funkce neexistuje.

3.4. Za´kladnı´ vlastnosti urcˇite´ho integra´lu V tomto oddı´lu uvedeme za´kladnı´ vlastnosti urcˇite´ho integra´lu, ktere´ budeme v dalsˇ´ım beˇzˇneˇ vyuzˇ´ıvat prˇi prakticke´m vy´pocˇtu. Veˇta 3.7. Necht’funkce f (x) a g(x) jsou integrovatelne´ na intervalu ha, bi. Pak take´ funkce f (x) ± g(x) a cf (x), kde c je libovolna´ konstanta, jsou na tomto intervalu integrovatelne´ a platı´: Z b Z b Z b f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx, (3.7) a a a Z b Z b cf (x) dx = c f (x) dx. (3.8) a

a

Prvnı´ vlastnost se nazy´va´ aditivita vzhledem k integrandu, druha´ homogenita. Vsˇimneˇte si, zˇe obdobne´ vlastnosti ma´ i neurcˇity´ integra´l — viz veˇta 2.4. Prvnı´ tvrzenı´ se snadno rozsˇ´ırˇ´ı na libovolny´ konecˇny´ pocˇet scˇ´ıtancu˚. Z hlediska existence opeˇt musı´me cˇ´ıst vzorce zprava doleva.

Pro za´jemce: Lze uka´zat, zˇe z integrovatelnosti funkcı´ f (x) a g(x) na intervalu ha, bi plyne i integrovatelnost jejich soucˇinu f (x)g(x) na tomto intervalu.

113


114

Slozˇiteˇjsˇ´ı je situace s podı´lem. Prˇedneˇ musı´ by´t g(x) 6= 0 pro x ∈ ha, bi s prˇ´ıpadnou vy´jimkou konecˇneˇ mnoha bodu˚ — viz veˇta 3.6, podle nı´zˇ mu˚zˇeme g(x) v teˇchto bodech podle potrˇeby prˇedefinovat, anizˇ se cokoli zmeˇnı´ z hlediska integrovatelnosti a hodnoty integra´lu. Avsˇak funkce f (x)/g(x) nemusı´ by´t ohranicˇena´ (naprˇ. f (x) = 1 pro x ∈ h0, 1i a g(x) = x pro x ∈ (0, 1i, g(0) = 1; pak f (0)/g(0) = 1 a f (x)/g(x) = 1/x pro x ∈ (0, 1i, cozˇ je shora neohranicˇena´ funkce — jejı´m grafem na (0, 1i je cˇa´st hyperboly). Pokud vsˇak ohranicˇena´ bude, plyne z integrovatelnosti f (x) a g(x), zˇe bude integrovatelny´ na intervalu ha, bi i podı´l f (x)/g(x) (du˚kaz lze prove´st s pouzˇitı´m nutne´ a postacˇujıćı´ podmıńky existence z textu pro za´jemce na str. 113). Bohuzˇel na rozdı´l od soucˇtu, rozdı´lu a na´sobenı´ konstantou ani pro soucˇin ani pro podı´l neexistuje zˇa´dny´ jednoduchy´ vztah, jak obecneˇ vyja´drˇit urcˇity´ integra´l z f (x)g(x) resp. f (x)/g(x) pomocı´ integra´lu˚ z f (x) a g(x).

Dalsˇ´ı skupina vlastnostı´ se ty´ka´ zmeˇny integracˇnı´ho oboru. Veˇta 3.8. Necht’ funkce f (x) je integrovatelna´ na intervalu ha, bi. Pak je integrovatelna´ i na libovolne´m podintervalu hc, di, kde a 5 c < d 5 b. Zmensˇenı´m integracˇnı´ho oboru se tedy vlastnost funkce „by´t integrovatelna´“ zachova´va´. Veˇta 3.9. Necht’ funkce f (x) je definovana´ na intervalu ha, bi a a < c < b. Pak funkce f (x) je integrovatelna´ na intervalu ha, bi pra´veˇ tehdy, kdyzˇ je integrovatelna´ na obou intervalech ha, ci a hc, bi. Prˇitom platı´ b

Z

Z

c

f (x) dx = a

Z f (x) dx +

a

b

f (x) dx.

(3.9)

c

Tato vlastnost se nazy´va´ aditivita vzhledem k integracˇnı´mu oboru. Prˇedchozı´ veˇta bude v dalsˇ´ım uzˇitecˇna´ zejmeńa v prˇ´ıpadech, kdy integrand nebude mı´t na cele´m intervalu ha, bi jednotny´ analyticky´ prˇedpis. Navıć se jejı´ tvrzenı´ snadno indukcı´ zobecnı´. Je-li a < c1 < c2 < · · · < cn < b, n ∈ N, bude platit, zˇe b

Z

Z f (x) dx =

c1

Z

c2

f (x) dx +

a

a

Z

b

f (x) dx + · · · + c1

f (x) dx. cn

+

Prˇitom integrovatelnost na cele´m intervalu ha, bi je rovnocenna´ integrovatelnosti na vsˇech intervalech vyskytujıćıćh se v integra´lech na prave´ straneˇ prˇedchozı´ rovnosti. Prˇ´ıklad 3.10. Vypocˇteˇte

R4

−2 f (x) dx,

kde

   2 pro x ∈ h−2, 1i, f (x) = −1 pro x ∈ (1, 3),   1 pro x ∈ h3, 4i.

3.4 Za´kladnı´ vlastnosti urcˇite´ho integra´lu

115

Rˇesˇenı´. Podle veˇty 3.9 a jejı´ho zobecneˇnı´ bude platit Z 4 Z 1 Z 3 Z f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + −2

1

−2 Z 1

Z 2 dx +

=

3

f (x) dx =

3 4

Z (−1) dx +

1 dx.

1

−2

4

3

Integra´ly na prave´ straneˇ prˇedchozı´ rovnosti existujı´, cozˇ jsme uka´zali v prˇ´ıkladu 3.3, takzˇe zmıńeˇnou veˇtu je mozˇne´ pouzˇ´ıt. (Vsˇimneˇte si, zˇe u druhe´ho z teˇchto integra´lu˚ jsme mlcˇky zmeˇnili hodnoty f (x) v krajnıćh bodech na −1; podle veˇty 3.6 a komenta´rˇu˚ za nı´ to nema´ z hlediska existence integra´lu a jeho hodnoty na nic vliv.) Jiny´ zpu˚sob, jak oveˇrˇit integrovatelnost, spocˇ´ıva´ v pouzˇitı´ veˇty 3.5 — nasˇe funkce je ohranicˇena´ a spojita´ s vy´jimkou dvou bodu˚ x = 1 a x = 3. Celkoveˇ tedy dostaneme s pouzˇitı´m vy´sledku prˇ´ıkladu 3.3, zˇe Z 4 f (x) dx = 2 · (1 − (−2)) + (−1) · (3 − 1) + 1 · (4 − 3) = 5. −2

Graf funkce f (x) je zna´zorneˇn na obr. 3.11. Vy´sledek je soucˇtem ploch trˇ´ı rovnobeˇzˇnı´ku˚ (dvou obde´lnı´ku˚ a jednoho cˇtverce), plocha prostrˇednı´ho je ovsˇem brańa za´porneˇ. N y 2

y = f (x)

1 x −2 2

1

3

4

−1

Obr. 3.11: Graf po cˇa´stech konstantnı´ funkce Da´le si vsˇimneme nerovnostı´, ktere´ platı´ pro urcˇity´ integra´l. Veˇta 3.11. Necht’ funkce f (x) a g(x) jsou integrovatelne´ na intervalu ha, bi a pro kazˇde´ x ∈ ha, bi platı´ f (x) 5 g(x). Pak platı´ Z b Z b f (x) dx 5 g(x) dx. a

a

Rb

Protozˇe podle prˇ´ıkladu 3.3 je a 0 dx = 0, plyne z prˇedchozı´ veˇty, zˇe pro neza´pornou Rb integrovatelnou funkci g(x) platı´, zˇe a g(x) dx = 0. Tuto skutecˇnost mu˚zˇeme cˇasto vyuzˇ´ıt k jiste´ hrube´ kontrole vy´sledku. Je-li integrand ocˇividneˇ neza´porny´, nemu˚zˇe vyjı´t vy´sledek za´porny´.


116

Veˇta 3.12. Necht’ funkce f (x) je integrovatelna´ na intervalu ha, bi. Pak je na tomto intervalu integrovatelna´ rovneˇzˇ funkce |f (x)| a platı´ Z

b

Z f (x) dx 5

a

b

|f (x)| dx.

a

Strucˇneˇ rˇecˇeno: Absolutnı´ hodnota z urcˇite´ho integra´lu je mensˇ´ı nebo rovna nezˇ urcˇity´ integra´l z absolutnı´ hodnoty. Veˇta 3.13 (Veˇta o strˇednı´ hodnoteˇ integra´lnı´ho pocˇtu). Necht’ funkce f (x) je integrovatelna´ na intervalu ha, bi a necht’ pro vsˇechna x ∈ ha, bi platı´ m 5 f (x) 5 M, kde m a M jsou konstanty. Pak existuje cˇ´ıslo c takove´, zˇe m 5 c 5 M a zˇe platı´ Z

b

f (x) dx = c(b − a). a

Je-li funkce f (x) dokonce spojita´, lze za c volit vhodnou funkcˇnı´ hodnotu, tj. existuje x0 ∈ ha, bi takove´, zˇe Z b f (x) dx = f (x0 )(b − a). a

Cˇ´ıslo c se nazy´va´ strˇednı´ hodnota funkce f (x) na intervalu ha, bi. Rb Rb Rb Du˚kaz. Z veˇty 3.11 plyne, zˇe a m dx 5 a f (x) dx 5 a M dx, tj. m(b − a) 5 Rb Rb 1 ˇ e stacˇ´ı polozˇit 5 a f (x) dx 5 M(b − a). Platı´ tedy m 5 b−a a f (x) dx 5 M, takz Rb 1 c = b−a a f (x) dx. Je-li funkce f (x) spojita´, naby´va´ podle Weierstrassovy veˇty na intervalu ha, bi sve´ nejveˇtsˇ´ı a nejmensˇ´ı hodnoty, tj. existujı´ x1 , x2 ∈ ha, bi takova´, zˇe f (x1 ) 5 f (x) 5 f (x2 ) pro libovolne´ x ∈ ha, bi. Mu˚zˇeme tedy zvolit m = f (x1 ) a M = f (x2 ), takzˇe f (x1 ) 5 5 c 5 f (x2 ). Podle Cauchyovy-Bolzanovy veˇty proto lze najı´t x0 lezˇ´ıcı´ mezi x1 a x2 tak, zˇe f (x0 ) = c. Prˇedchozı´ veˇta ma´ na´zorny´ geometricky´ vy´znam. Prˇedpokla´dejme pro jednoduchost, zˇe funkce f (x) je spojita´ a neza´porna´. Z drˇ´ıveˇjsˇka (geometricka´ motivace definice urcˇite´ho Rb integra´lu) jizˇ vı´me, zˇe a f (x) dx vyjadrˇuje obsah obrazce omezene´ho grafem funkce f (x), osou x a rovnobeˇzˇkami s osou y procha´zejıćı´mi body a a b. Veˇta pak rˇ´ıka´, zˇe nad intervalem ha, bi lze sestrojit obde´lnı´k o stejne´m obsahu (cozˇ samo o sobeˇ je trivia´lnı´ konstatovańı´), jehozˇ vy´sˇka je rovna funkcˇnı´ hodnoteˇ ve vhodne´m bodeˇ x0 — viz obr. 3.12. Rb 1 Vlastneˇ jde o graf konstantnı´ funkce y = f (x0 ), kde f (x0 ) = b−a ´ zku a f (x) dx. Z obra je videˇt, zˇe bod x0 nenı´ obecneˇ urcˇen jednoznacˇneˇ. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ prˇ´ımka o rovnici Rb 1 y = b−a ´ graf funkce f (x) dvakra´t. a f (x) dx protıńa

3.5 Vy´pocˇet urcˇite´ho integra´lu

117

y

y

M y = f (x) y=

1 b−a

Rb a

f (x) dx

f (x0 )

f (x0 ) m x a

x0

b

x a

b

Obr. 3.12: Geometricky´ vy´znam veˇty o strˇednı´ hodnoteˇ integra´lnı´ho pocˇtu

3.5. Vy´pocˇet urcˇite´ho integra´lu V prˇedchozıćh oddı´lech jsme uvedli rˇadu vlastnostı´ urcˇite´ho integra´lu, ale kromeˇ konstantnı´ funkce (cozˇ je vlastneˇ obsah obde´lnı´ku) jsme nebyli dosud schopni zˇa´dny´ urcˇity´ integra´l spocˇ´ıtat. To nynı´ napravı´me. Klıćˇovy´m prostrˇedkem je na´sledujıćı´ veˇta. Ta obsahuje formuli pojmenovanou podle dvou matematiku˚, kterˇ´ı se velkou meˇrou zaslouzˇili o vybudovańı´ za´kladu˚ diferencia´lnı´ho a integra´lnı´ho pocˇtu funkcı´ jedne´ promeˇnne´ — Newtona1 a Leibnize2 . Tato formule je slı´beny´m vztahem mezi neurcˇity´m a urcˇity´m integra´lem. Veˇta 3.14 (Newtonova-Leibnizova formule). Necht’ funkce f (x) je integrovatelna´ na intervalu ha, bi a necht’ F (x) je jejı´ primitivnı´ funkce. Pak platı´, zˇe Z

b

f (x) dx = F (b) − F (a).

(3.10)

a

Du˚kaz. Uka´zˇeme, zˇe rozdı´l F (b)−F (a) je pro libovolne´ deˇlenı´ D : a = x0 < x1 < · · · < < xn = b intervalu ha, bi roven integra´lnı´mu soucˇtu S (f, D, Ξ ) s vhodny´m vy´beˇrem reprezentantu˚. Funkce F (x) splnˇuje na libovolne´m intervalu hxi−1 , xi i, i = 1, . . . , n, prˇedpoklady Lagrangeovy veˇty o strˇednı´ hodnoteˇ. Existujı´ tedy cˇ´ısla ξi , ξi ∈ hxi−1 , xi i, takova´, zˇe F (xi ) − F (xi−1 ) = F 0 (ξi )(xi − xi−1 ). Protozˇe vsˇak F 0 (x) = f (x), platı´, zˇe F (xi ) − 1 Isaac

Newton (1643–1727) (cˇti nju´tn) — anglicky´ matematik, fyzik, mechanik a astronom. Polozˇil za´klady diferencia´lnı´ho a integra´lnı´ho pocˇtu, ktery´ potrˇeboval pro vybudovańı´ klasicke´ mechaniky. 2 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) (cˇti lajbnyc) — ne ˇ mecky´ matematik, fyzik, filosof, vyna´lezce, pra´vnı´k, historik a jazykoveˇdec. Polozˇil za´klady diferencia´lnı´ho a integra´lnı´ho pocˇtu.


118

− F (xi−1 ) = f (ξi )(xi − xi−1 ). Secˇtenı´m teˇchto rovnostı´ dostaneme F (b) − F (a) = [F (x1 ) − F (x0 )] + [F (x2 ) − F (x1 )] + · · · + [F (xn ) − F (xn−1 )] = = f (ξ1 )(x1 − x0 ) + f (ξ2 )(x2 − x1 ) + · · · + f (ξn )(xn − xn−1 ) = = S (f, D, Ξ ), kde Ξ = {ξ1 , . . . , ξn }. Funkce f (x) je podle prˇedpokladu integrovatelna´, cozˇ znamena´, zˇe pro zjemnˇujıćı´ se deˇlenı´ jsou integra´lnı´ soucˇty prˇi libovolnyćh vy´beˇrech reprezentantu˚ cˇ´ım da´l blizˇsˇ´ı jiste´ Rb konstanteˇ I (hodnoteˇ integra´lu a f (x) dx). Deˇlenı´ v prˇedchozı´ konstrukci vsˇak mohlo by´t libovolneˇ jemne´, prˇicˇemzˇ hodnota prˇ´ıslusˇne´ho integra´lnı´ho soucˇtu byla vzˇdy F (b)−F (a). To je mozˇne´ jedineˇ tak, zˇe F (b) − F (a) = I . Pozna´mka 3.15. 1. Pro rozdı´l F (b) − F (a) se vzˇilo oznacˇenı´ [F (x)]ba , takzˇe rovnost (3.10) obvykle zapisujeme jako Z b f (x) dx = [F (x)]ba . a

+

2. Z prvnı´ kapitoly vı´me, zˇe pokud k funkci f (x) existuje primitivnı´ funkce F (x), nenı´ jedina´. Na prvnı´ pohled by se tedy mohlo zda´t, zˇe by vzorec (3.10) pro ru˚zne´ primitivnı´ funkce mohl da´t ru˚zne´ vy´sledky. Z veˇty 2.2 plyne, zˇe tomu tak nenı´, a tudı´zˇ vzorec da´va´ stejny´ vy´sledek neza´visle na vy´beˇru konkre´tnı´ primitivnı´ funkce. Je-li totizˇ G(x) neˇjaka´ dalsˇ´ı primitivnı´ funkce k f (x), existuje konstanta c takova´, zˇe G(x) = F (x) + c. Tedy G(b) − G(a) = [F (b) + c] − [F (a) + c] = F (b) − F (a). Z toho du˚vodu nebudeme v dalsˇ´ıch prˇ´ıkladech na urcˇity´ integra´l prˇipisovat k vypocˇtene´mu neurcˇite´mu integra´lu obliga´tnı´ konstantu c. 3. Na obr. 3.13 je zna´zorneˇna Newtonova-Leibnizova formule geometricky. Integra´l Rb ˚ stku primitivnı´ funkce F (x) na intervalu ha, bi (obeˇ funkce a f (x) dx je roven prˇ´ıru mohou by´t definovańy na sˇirsˇ´ım intervalu, nezˇ je ha, bi, jako je tomu naprˇ. v tomto prˇ´ıpadeˇ). Vsˇimneˇte si, zˇe du˚sledkem toho, zˇe v tomto prˇ´ıpadeˇ je f (x) kladna´, je, zˇe primitivnı´ funkce F (x) je rostoucı´. Platı´ totizˇ F 0 (x) = f (x) > 0 a z diferencia´lnı´ho pocˇtu vı´me, zˇe kladna´ derivace na intervalu znamena´, zˇe funkce F (x) roste. To je ve shodeˇ s na´zorem, ktery´ na´m rˇ´ıka´, zˇe prˇi zafixovane´ dolnı´ mezi a a zveˇtsˇujıćı´ se hornı´ mezi b se plocha pod grafem musı´ zveˇtsˇovat, tj. F (x) musı´ ru˚st, aby se zveˇtsˇoval prˇ´ıru˚stek F (b) − F (a). Prˇ´ıklad 3.16. S vyuzˇitı´m Newtonovy-Leibnizovy formule vypocˇteˇte urcˇite´ integra´ly: Z 2 Z 4 Z π Z 1 √ dt 2 a) x dx, b) x dx, c) sin u du, d) , 2 1 0 0 −2 t + 1 Z 1 1 2 4 x e) − + + dx. √ x2 + 3 x + 1 x2 + 2 x2 + 2 0


119

y

y F (b)

y = F (x)

y = f (x)

F (b) − F (a)

F (a)

x a

x

b

a

b

Obr. 3.13: Newtonova-Leibnizova formule Rˇesˇenı´. Urcˇite´ integra´ly existujı´, protozˇe integrandy jsou spojite´. Ve vsˇech prˇ´ıpadech vystacˇ´ıme prˇi urcˇovańı´ neurcˇityćh integra´lu˚ se vzorci z tabulky 2.1 na str. 11. a) Pomocı´ vzorce 3 vyjde: 2

Z 1

1 3 x x dx = 3 2

2 = 1

8 1 7 − = . 3 3 3

b) Pomocı´ vzorce 3 vyjde: 4√

Z

Z

x dx = 0

4

x 0

1/2

x 3/2 dx = 3/2

4 0

p 4 2 16 2p 3 = x3 = 4 −0= . 3 3 3 0

c) Pomocı´ vzorce 7 vyjde: Z π sin u du = [− cos u]π 0 = − cos π − (− cos 0) = −(−1) + 1 = 2. 0

d) Pomocı´ vzorce 9 vyjde (prˇipomenˇme, zˇe arkustangens je licha´ funkce): Z

1

−2

t2

dt π = [arctg t]1−2 = arctg 1 − arctg(−2) = + arctg 2. +1 4

e) Nejprve dany´ integra´l pomocı´ vztahu˚ (3.7) a (3.8) prˇevedeme na neˇkolik urcˇityćh integra´lu˚. Ty pak vypocˇ´ıta´me pomocı´ Newtonovy-Leibnizovy formule s pouzˇitı´m vzorcu˚ 11, 4, 9 a 14.


120

Z 1 0

2 4 x dx = − + + √ x2 + 3 x + 1 x2 + 2 x2 + 2 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 dx dx x dx = +4 + dx = −2 √ 2 2 x2 + 3 0 0 x +2 0 x +2 0 x+1 1 p 1 1 x 1 2 = ln x + x + 3 0 − 2 ln |x + 1| 0 + 4 √ arctg √ + 2 2 0 √ 1 1 + ln(x 2 + 2) 0 = ln 3 − ln 3 − 2(ln 2 − ln 1) + 2 1 1 1 1 + 4 √ arctg √ − √ arctg 0 + (ln 3 − ln 2) = 2 2 2 2 √ 5 1 = ln 3 − ln 2 + 2 2 arctg √ . 2 2 1

Jinou mozˇnostı´, jak postupovat prˇi vy´pocˇtu, bylo nedeˇlit urcˇity´ integra´l na soucˇet cˇtyrˇ integra´lu˚, ale urcˇit prˇ´ımo primitivnı´ funkci. Vy´pocˇet by pak vypadal takto: Z 1

+

0

2 4 x dx = − + + √ x2 + 3 x + 1 x2 + 2 x2 + 2 1 p 4 x 1 2 2 = ln x + x + 3 − 2 ln |x + 1| + √ arctg √ + ln(x + 2) = 2 2 2 0 √ 1 5 = · · · = ln 3 − ln 2 + 2 2 arctg √ . 2 N 2 1

Prˇ´ıklad 3.17. S vyuzˇitı´m Newtonovy-Leibnizovy formule vypocˇteˇte urcˇite´ integra´ly: Z π Z 1 p a) (x − 1) sin x dx, b) x 1 − x 2 dx. 0

−π/2

Rˇesˇenı´. Urcˇite´ integra´ly existujı´, protozˇe integrandy jsou spojite´. Tentokra´t vsˇak nedoka´zˇeme urcˇit primitivnı´ funkce tak snadno, jako v prˇedchozıćh prˇ´ıkladech. Spocˇ´ıta´me proto nejprve samostatneˇ neurcˇite´ integra´ly. a) Pouzˇijeme metodu per partes. Z

u = x − 1 u0 = 1 = (x − 1) sin x dx = 0 v = sin x v = − cos x Z = −(x − 1) cos x + cos x dx = (1 − x) cos x + sin x.


Tedy Z

π

−π/2

121

π (x − 1) sin x dx = (1 − x) cos x + sin x −π/2 = π π π i = (1 − π) cos π + sin π − 1 − − cos − + sin − = 2 2 2 π = (1 − π) · (−1) + 0 − 1 + · 0 − (−1) = π. 2 h

b) Pouzˇijeme substitucˇnı´ metodu. Z

1 − x 2 = u2 Z 2 x 1 − x dx = −2x dx = 2u du = − u · u du = x dx = −u du p

1 1p = − u3 = − (1 − x 2 )3 . 3 3 Tedy 1

x 0

p

1 − x 2 dx

1 1p 1 1 2 3 = − (1 − x ) = . =0− − 3 3 3 0

N

Ukazuje se, zˇe postup z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu, kdy prˇi urcˇovańı´ primitivnı´ funkce bylo nutne´ pouzˇ´ıt metodu per partes nebo substitucˇnı´ metodu, nenı´ vy´hodny´. Vhodneˇjsˇ´ı je zmıńeˇne´ metody modifikovat prˇ´ımo pro urcˇity´ integra´l. Vy´pocˇet je pak obvykle podstatneˇ rychlejsˇ´ı. Zmıńeˇne´ u´pravy budou obsahem na´sledujıćıćh oddı´lu˚. Prˇedtı´m vsˇak jesˇteˇ uka´zˇeme jeden prˇ´ıklad, ktery´ ilustruje situaci, v nı´zˇ se prˇi pouzˇitı´ Newtonovy-Leibnizovy formule cˇasto deˇlajı´ chyby. Z 2π dx Prˇ´ıklad 3.18. Vypocˇteˇte urcˇity´ integra´l . 2 − cos x 0 1 Rˇesˇenı´. Integra´l existuje, protozˇe integrand 2−cos ´ funkce. Prˇ´ıslusˇnou primitivnı´ x je spojita funkci na intervalu (−π, π) jsme nalezli v prˇ´ıkladu 2.61. Jejı´ tvar byl

√ x 2 F (x) = √ arctg 3 tg , 2 3

x ∈ (−π, π).

(3.11)

My vsˇak pro pouzˇitı´ Newtonovy-Leibnizovy formule potrˇebujeme primitivnı´ funkci alesponˇ na uzavrˇene´m intervalu h0, 2πi. Musı´me tudı´zˇ pouzˇ´ıt konstrukci z kapitoly 2.6.3. Z 0

2π

√ √ 2π dx 2 2π 2 = F (x) 0 = √ arctg 3 tg π + √ − √ arctg 3 tg 0 = 2 − cos x 3 3 3 2π 2 2π 2π 2 = √ arctg 0 + √ − √ arctg 0 = 0 + √ − 0 = √ . 3 3 3 3 3

+

Z


122

√ Srovnejte vy´sledek s obra´zkem 2.4. Z neˇho je ihned videˇt, zˇe F (0) = 0 a F (2π) = 2π/ 3. Kdybychom neda´vali pozor a „slepeˇ“ pouzˇili vzorec (3.11) i pro hodnotu 2π, dostali bychom √ √ 2 2 √ arctg 3 tg π − √ arctg 3 tg 0 = 0 − 0 = 0. 3 3 Vlastneˇ jsme pouzˇili funkci G(x) z obra´zku 2.4, shodujıćı´ se s F (x) jen na (−π, π), 1 a vypocˇ´ıtali G(2π) − G(0). Vy´sledek je ocˇividneˇ chybny´, protozˇe integrand 2−cos x je kladna´ funkce, takzˇe na´sˇ integra´l musı´ mı´t kladnou hodnotu. N

3.5.1. Metoda per partes pro urcˇity´ integra´l Veˇta 3.19. Necht’ funkce u(x) a v(x) majı´ na intervalu ha, bi, a < b, derivace u0 (x) a v 0 (x), ktere´ jsou na tomto intervalu integrovatelne´. Pak platı´ Z a

b

b u(x)v (x) dx = u(x)v(x) a − 0

Z

b

u0 (x)v(x) dx.

(3.12)

a

Du˚kaz. Z existence derivacı´ vyply´va´, zˇe funkce u(x) a v(x) jsou spojite´. Podle textu pro za´jemce na str. 113 jsou tudı´zˇ funkce u(x)v 0 (x) a u0 (x)v(x) integrovatelne´, takzˇe podle veˇty 3.7 je integrovatelna´ i funkce u(x)v 0 (x) + u0 (x)v(x). K nı´ primitivnı´ funkce je u(x)v(x). Podle Newtonovy-Leibnizovy formule platı´ b

Z a

b [u(x)v 0 (x) + u0 (x)v(x)] dx = u(x)v(x) a .

+

Odsud s pouzˇitı´m veˇty 3.7 dostaneme po u´praveˇ tvrzenı´. Pozdeˇji ve veˇteˇ 3.30 uvedeme metodu per partes za obecneˇjsˇ´ıch prˇedpokladu˚. Prakticke´ pouzˇitı´ je zcela analogicke´ jako v prˇ´ıpadeˇ neurcˇite´ho integra´lu. Zejmeńa platı´ na´vody, pro ktere´ funkce je metoda per partes vhodna´. Vy´hoda oproti postupu popsane´mu v prˇ´ıkladu 3.17 a) spocˇ´ıva´ v tom, zˇe meze pru˚beˇzˇneˇ dosazujeme do cˇa´stecˇneˇ urcˇene´ primitivnı´ funkce a nemusı´me ji neusta´le opisovat azˇ do konce vy´pocˇtu. Vy´pocˇet se tı´m zkra´tı´ a zprˇehlednı´, jak uka´zˇ´ı na´zorneˇ na´sledujıćı´ prˇ´ıklady. Z 2 Prˇ´ıklad 3.20. Vypocˇteˇte urcˇity´ integra´l (x 2 + 1) ln x dx. 1

Rˇesˇenı´. Integrovat budeme mnohocˇlen x 2 + 1. Dostaneme Z 2 0 = 1 u = ln x u x (x 2 + 1) ln x dx = = v0 = x 2 + 1 v = 1 x 3 + x 1 3 2 Z 2 1 3 1 1 3 = x + x ln x − x + x dx = 3 1 x 3 1


123

Z 2 1 1 2 8 + 2 ln 2 − +1 ·0− x + 1 dx = = 3 3 3 1 2 14 1 3 = ln 2 − x +x = 3 9 1 14 8 1 14 16 = ln 2 − +2 − +1 = ln 2 − . 3 9 9 3 9 Funkce (x 2 + 1) ln x je na intervalu h1, 2i kladna´ (kromeˇ bodu x = 1), takzˇe vy´sledek musı´ by´t kladny´. Na kalkulacˇce si mu˚zˇete oveˇrˇit, zˇe jeho hodnota je prˇiblizˇneˇ 1,46. N Z π Prˇ´ıklad 3.21. Vypocˇteˇte urcˇity´ integra´l x 2 cos x dx. 0

Rˇesˇenı´. Derivovat budeme mnohocˇlen x 2 a metodu budeme muset pouzˇ´ıt dvakra´t. Postupneˇ dostaneme (pozor na zmeˇny znameńek) Z π Z π u = x2 π u0 = 2x 2 2 x cos x dx = 0 = x sin x 0 − 2x sin x dx = v = cos x v = sin x 0 0 0 =2 u = 2x u = = 0 v = sin x v = − cos x Z π π 2 = π · 0 − 0 − −2x cos x 0 + 2 cos x dx = 0 π = − −2π · (−1) − 0 − 2 sin x 0 = −2π − (0 − 0) = −2π. Zkuste nejprve spocˇ´ıtat celou primitivnı´ funkci k x 2 cos x a pak teprve pouzˇijte Newtonovu-Leibnizovu formuli. Porovnejte, o kolik je takovy´ vy´pocˇet delsˇ´ı. N

3.5.2. Substitucˇnı´ metoda pro urcˇity´ integra´l Nezˇ zformulujeme prˇ´ıslusˇnou veˇtu, musı´me rozsˇ´ırˇit definici urcˇite´ho integra´lu. Doposud jsme prˇedpokla´dali, zˇe integracˇnı´ obor je interval ha, bi, tj. zˇe a, b ∈ R a a < b. Tento prˇedpoklad nynı´ odboura´me a prˇipustı´me, zˇe mu˚zˇe by´t i a = b. Prˇitom klademe Z a f (x) dx = 0, (3.13) a Z b Z a f (x) dx = − f (x) dx pro a > b. (3.14) a

b

V prˇ´ıpadeˇ a > b musı´ by´t samozrˇejmeˇ funkce integrovatelna´ na intervalu hb, ai. Strucˇneˇ si zapamatujme, zˇe obraćenı´ mezı´ znamena´ zmeˇnu znameńka urcˇite´ho integra´lu. Vsˇimneˇte si, zˇe platnost Newtonovy-Leibnizovy formule (3.10) se zachova´ i pro takto rozsˇ´ırˇenou definici urcˇite´ho integra´lu. Rovneˇzˇ platı´ veˇta 3.7 a metoda per partes pro urcˇity´ integra´l.

+


124

Veˇta 3.22. Necht’funkce f (t) je spojita´ na intervalu ha, bi, a < b. Necht’funkce ϕ(x) ma´ derivaci ϕ 0 (x) na intervalu hα, βi, α < β, ktera´ je na tomto intervalu integrovatelna´. Da´le necht’ platı´ a 5 ϕ(x) 5 b pro x ∈ hα, βi (tedy ϕ zobrazuje interval hα, βi do intervalu ha, bi). Pak platı´, zˇe Z β Z ϕ(β) 0 f [ϕ(x)]ϕ (x) dx = f (t) dt. (3.15) α

ϕ(α)

+

Vzorec (3.15) prˇipomıńa´ substituci do neurcˇite´ho integra´lu ve tvaru (2.8). Prˇedpoklady jsou samozrˇejmeˇ odlisˇne´. Oba dva integra´ly jsou vsˇak nynı´ urcˇite´ a obecneˇ majı´ ru˚zne´ meze. Kromeˇ zavedenı´ spra´vne´ substituce ϕ(x) = t a vypocˇtenı´ diferencia´lu˚ ϕ 0 (x) dx = dt musı´me tedy tentokra´t jesˇteˇ urcˇit nove´ meze. „Stare´“ meze α a β jsou pro pu˚vodnı´ promeˇnnou x, „nove´“ meze ϕ(α) a ϕ(β) jsou pro novou promeˇnnou t. V konkre´tnı´m prˇ´ıpadeˇ se mu˚zˇe sta´t, zˇe ϕ(α) = ϕ(β), cozˇ je vyrˇesˇeno rozsˇ´ırˇenı´mi (3.13) a (3.14). Postup vy´pocˇtu a za´pis je obdobny´ jako u neurcˇite´ho integra´lu, jen prˇibude urcˇenı´ novyćh mezı´. To vyznacˇ´ıme v nasˇ´ı pomocne´ tabulce jako α ; ϕ(α) (stare´ dolnı´ mezi α odpovı´da´ nova´ dolnı´ mez ϕ(α)) resp. β ; ϕ(β) (stare´ hornı´ mezi β odpovı´da´ nova´ hornı´ mez ϕ(β)). Vy´hodou oproti postupu z prˇ´ıkladu 3.17 b) je, zˇe se nemusı´me po substituci vracet k pu˚vodnı´ promeˇnne´, cozˇ bylo neˇkdy dost neprˇ´ıjemne´, jak jsme videˇli drˇ´ıve — srovnejte trˇeba prˇ´ıklad 2.30. Vzorec (3.15) je mozˇne´ pouzˇ´ıt v obou smeˇrech. V na´sledujıćı´m prˇ´ıkladu ho pouzˇijeme zleva doprava. Prˇ´ıklad 3.23. Vypocˇteˇte urcˇite´ integra´ly: Z 1 Z 2π 3 2 a) x(x − 1) dx, b) esin x cos x dx, 0

π

π/2

Z c) 0

sin x cos2 x dx. √ 4 1 + cos3 x

Rˇesˇenı´. a) Prˇ´ıklad budeme rˇesˇit substitucı´ x 2 − 1 = t. Stare´ meze jsou pro promeˇnnou x, takzˇe je do te´to rovnice dosadı´me postupneˇ za x a dostaneme hodnoty novyćh mezı´ pro promeˇnnou t (pokud by byl vztah slozˇiteˇjsˇ´ı, muselo by se t osamostatnit). Pro dolnı´ mez to bude 02 − 1 = −1, pro hornı´ 12 − 1 = 0. Vznikly´ integra´l vypocˇ´ıta´me pomocı´ Newtonovy-Leibnizovy formule. Cely´ vy´pocˇet bude vypadat takto: 2 x −1=t Z 0 Z 1 2x dx = dt 1 3 1 t4 0 1 3 2 x(x − 1) dx = = t dt = =− . 1 2 4 −1 8 0 −1 2 x dx = 2 dt 0 ; −1, 1 ; 0 b) Tentokra´t pouzˇijeme substituci sin x = t. Pro novou dolnı´ mez vyjde sin π = 0 a pro novou hornı´ mez vyjde sin 2π = 0. Vy´pocˇet tedy bude velmi kra´tky´: Z 0 Z 2π sin x = t sin x = e cos x dx = cos x dx = dt et dt = 0. π 0 π ; 0, 2π ; 0


125

Vzˇdy, kdyzˇ nastane tato situace, tj. kdyzˇ nove´ meze splynou, nemusı´me uzˇ ani upravovat novy´ integrand, vy´sledek je automaticky bez dalsˇ´ıho pocˇ´ıtańı´ nula, cozˇ na´s veˇtsˇinou poteˇsˇ´ı. V tomto prˇ´ıpadeˇ je zvla´sˇt’ markantnı´ zkraćenı´ vy´pocˇtu oproti metodeˇ z prˇ´ıkladu 3.17 b). c) Zvolı´me substituci 1+cos3 x. Pro novou dolnı´ mez vyjde 1+cos3 0 = 1+13 = 2 a pro novou hornı´ mez vyjde 1 + cos3 π2 = 1 + 03 = 1, takzˇe nova´ dolnı´ mez je veˇtsˇ´ı nezˇ nova´ hornı´ mez. Pouzˇijeme tudı´zˇ rozsˇ´ırˇenı´ ze vztahu (3.14) a obra´tı´me meze. Postupneˇ dostaneme 1 + cos3 x = u Z 1 π/2 sin x cos2 x −3 cos2 x sin x dx = du −1/3 = du = dx = √ √ 1 2 4 4 cos x sin x dx = − 3 du u 1 + cos3 x 0 2 0 ; 2, π/2 ; 1 Z 2 2 4 √ 1 1 u3/4 2 1 4 p 4 4 −1/4 =− − = · u3 1 = 8−1 . u du = 3 1 3 3/4 1 3 3 9

Z

Prˇi u´pravaćh jsme vyuzˇili jednodusˇe oveˇrˇitelne´ skutecˇnosti, zˇe pro libovolnou konstantu c b b platı´ cF (x) a = c F (x) a . V dalsˇ´ım budeme tento obrat jizˇ bez komenta´rˇe pouzˇ´ıvat, protozˇe se tı´m cˇasto vy´pocˇty znacˇneˇ zprˇehlednı´. N

Prˇ´ıklad 3.24. Vypocˇteˇte urcˇite´ integra´ly: Z 4√ Z 1 x−1 dx a) dx, b) , √ √ x+1 x2 + 1 − x 1 0

1p

Z c)

+

V na´sledujıćı´m prˇ´ıkladu si uka´zˇeme pouzˇitı´ vzorce (3.15) zprava doleva. To odpovı´da´ spı´sˇe substituci do neurcˇite´ho integra´lu typu (2.11). V tomto prˇ´ıpadeˇ vlastneˇ zna´me hodnoty ϕ(α) a ϕ(β) (to jsou ted’ „stare´ meze“) a musı´me spra´vneˇ zvolit α a β tak, aby byly splneˇny prˇedpoklady veˇty 3.22. V praxi by´va´ funkce ϕ(x) v teˇchto prˇ´ıpadech obvykle takova´, zˇe lze zvolit interval hα, βi tak, aby na neˇm byla ryze monotońnı´, tj. aby ho prosteˇ zobrazila na zadany´ integracˇnı´ obor hϕ(α), ϕ(β)i. Take´ je trˇeba smı´rˇit se s tı´m, zˇe pokud je v zadańı´, tj. v prave´ straneˇ vzorce (3.15), pouzˇita promeˇnna´ x (cozˇ cˇasto by´va´), jsou pı´smenka v tomto vzorci jina´. Je to ale jen veˇc zvyku.

x 2 + 1 dx.

0

Rˇesˇenı´. a) Integrand je na dane´m intervalu spojity´, takzˇe urcˇity´ integra´l existuje. Prˇ´ıslusˇny´ neurcˇity´ integra´l je typu (2.26), takzˇe pouzˇijeme substituci x = u2 . Funkce ϕ(u) = u2 , jejı´mzˇ grafem je parabola, tedy nenı´ prosta´. Musı´me najı´t α a β tak, aby ϕ(α) = α 2 = 1 a ϕ(β) = β 2 = 4. Omezı´me-li se na interval h0, +∞), kde je funkce ϕ(u) rostoucı´,


126

vyjde α = 1, β = 2. Prˇitom pro u ∈ h1, 2i je

Z 1

4

√ u2 = |u| = u. Celkoveˇ vyjde:

x = u2 Z 2 √ Z 2 2 u−1 2u − 2u x−1 dx = dx = 2u du = 2u du = du = √ u+1 x+1 1 u+1 1 1 ; 1, 4 ; 2 Z 2 2 4 du = u2 − 4u + 4 ln |u + 1| 1 = = 2u − 4 + u+1 1 = (4 − 8 + 4 ln 3) − (1 − 4 + 4 ln 2) = 4 ln 3 − 4 ln 2 − 1.

Vzniklou neryze lomenou raciona´lnı´ funkci lomenou:

2u2 −2u u+1

bylo trˇeba prˇeve´st na ryze

2u2 − 2u 4 = 2u − 4 + . u+1 u+1 Jina´ mozˇnost prˇi urcˇovańı´ novyćh mezı´ by byla omezit se na interval (−∞, 0i, kde je funkce √ ϕ(u) klesajıćı´, a zvolit α = −1, β = −2. Pak by ovsˇem pro u ∈ h−2, −1i bylo u2 = |u| = −u. b) Integrand je na dane´m intervalu spojity´, takzˇe urcˇity´ integra´l existuje. Prˇ´ıslusˇny´ neurcˇity´ integra´l je√typu (2.32). Nejrychleji ho vyrˇesˇ´ıme pomocı´ substituce, kterou urcˇ´ıme ´ pravou a umocneˇnı´m z rovnice x 2 + 1 − x = t (jde o druhou Eulerovu substituci). U z tohoto vztahu dostaneme p

x2 + 1 = x + t

⇒

x 2 + 1 = x 2 + 2tx + t 2

⇒

x=

1 − t2 . 2t

Da´le si prˇipravı´me derivaci:

ϕ(t) =

1 − t2 2t

⇒

ϕ 0 (t) =

−2t · 2t − (1 − t 2 ) · 2 t2 + 1 = − . 4t 2 2t 2

√ Konecˇneˇ nalezneme nove´ meze. Do vztahu x 2 + 1 − x = t dosadı´me √ stare´ meze (jsou pro prome √ ˇ nnou x). Pro x = 0 vyjde t = 1, pro x = 1 vyjde t = 2 − 1. Tedy α = 1, β = 2−1 ve vzorci (3.15) (ktery´ pouzˇ´ıva´me zprava doleva — zadany´ integra´l cha´peme jako pravy´ — a oznacˇenı´ promeˇnnyćh x a t je zameˇneˇno). Vysˇlo α > β. Funkce ϕ(t) nenı´ definovana´ pro t = 0. Ze vztahu pro ϕ 0 (t) je na prvnı´ pohled videˇt, zˇe ϕ 0 (t) < 0 pro t 6= 0. Tedy √ funkce ϕ(t) je na intervalu (0, +∞) klesajıćı´, a tudı´zˇ prosteˇ zobrazuje interval h 2 − 1, 1i na interval h0, 1i. Postupneˇ dostaneme (vsˇimneˇte si za´meˇny porˇadı´ mezı´, cˇ´ımzˇ se zmeˇnı´ znameńko):


Z

1−t 2 x = Z √2−1 2 2t 1 1 t + 1 dx 2 = · − dt = = dx = − t +1 √ dt 2t 2 √ t 2t 2 x2 + 1 − x 1 0 0 ; 1, 1 ; 2 − 1 Z 1 Z 1 1 1 1 1 1 t2 + 1 1 = √ dt = + 3 dt = ln |t| − 2 √ = 3 2 √2−1 t t 2 2t 2−1 2t 2−1 √ 1 1 1 1 ln 1 − − ln 2 − 1 − √ = 2 = 2 2 2 2 2−1 √ √ √ 1 1 1 1+ 2 1 = − − ln 2 − 1 + − ln 2 − 1 . √ = 4 2 2 2 4 3−2 2

c) Integrand je na dane´m intervalu spojity´, takzˇe urcˇity´ integra´l existuje. Prˇ´ıslusˇny´ neurcˇity´ integra´l je typu (2.32). Doporucˇenou substitucı´ bylo x = tg v. Stejneˇ tak lze ale pouzˇ´ıt substituci x = cotg v, ktera´ se uka´zˇe v nasˇem prˇ´ıpadeˇ vhodneˇjsˇ´ı. Urcˇ´ıme nove´ meze. Funkce ϕ(v) = cotg v je klesajıćı´ na intervalu (0, π). Ma´ platit cotg α = 0, cotg β = 1. Mu˚zˇeme tedy zvolit α = π/2, β = π/4. Pak bude interval hπ/4, π/2i funkcı´ ϕ(v) prosteˇ zobrazen na interval h0, 1i. Na intervalu hπ/4, π/2i je sin v > 0 , takzˇe | sin v| = sin v. Provedenı´m substituce dostaneme (opeˇt se zmeˇnı´ porˇadı´ mezı´, cˇ´ımzˇ se zmeˇnı´ znameńko):

Z 0

s Z x = cotg v π/4 cos2 v −1 x 2 + 1 dx = dx = − sin12 v dv = + 1 · 2 dv = 2 sin v sin v π/2 0; π, 1; π 2 4 Z π/2 Z π/2 1 1 1 · 2 dv = dv. = 3 π/4 sin v π/4 | sin v| sin v

1p

Vznikly´ integra´l budeme rˇesˇit opeˇt substitucˇnı´ metodou. Jde o integra´l typu (2.18), kde m = 0 a n = −3. Doporucˇena´ substituce je t = cos v. My vsˇak da´me prˇednost univerza´lnı´ substituci t = tg v2 — viz (2.20), ktera´ bude rychlejsˇ´ı, protozˇe vede na jednodusˇsˇ´ı raciona´lnı´ lomenou funkci. (Pra´veˇ proto jsme zvolili vyćhozı´ substituci x = cotg v; prˇesveˇdcˇte se, zˇe substituce x = tg v by vedla na integra´l z 1/ cos3 v, jehozˇ vy´pocˇet je o neˇco pracneˇjsˇ´ı.) V prˇ´ıpadeˇ substituce t = tg v2 jde opeˇt o pouzˇitı´ vzorce (3.15) zprava doleva — nezapomenˇte, zˇe pro vy´pocˇet diferencia´lu vycha´zı´me ze vztahu v = 2 arctg t. Avsˇak funkce tg v2 je prosta´ na intervalu (−π, π), takzˇe urcˇenı´ novyćh mezı´ je proto snadne´. Dosazenı´m za v vyjde, zˇe dolnı´ mez bude tg π8 , hornı´ mez bude tg π4 = 1. S pouzˇitı´m

127


128

vztahu˚ (2.20) tudı´zˇ dostaneme: v tg = t 2 Z Z π/2 v = 2 arctg t 1 1 1 2 dv = = · dt = 2 3 3 2 2t π dv = 1+t 2 dt 1 + t π/4 sin v tg 8 π t 2 +1 ; tg π , π ; 1 4 8 2 Z 1 4 Z t + 2t 2 + 1 2 1 1 1 t + + 3 dt = = dt = 4t 3 4 tg π8 t t tg π8 1 t2 1 1 = = + 2 ln |t| − 2 4 2 2t tg π 8 1 1 1 1 2π 1 π 1 2 π = − = + 2 ln 1 − tg + 2 ln tg − cotg 4 2 2 4 2 8 8 2 8 1 π π 1 π 1 = cotg2 − tg2 − ln tg . 8 8 8 8 2 8 Vy´sledek vypada´ ovsˇem dost „divoce“. Pokusı´me se ho poneˇkud upravit. Hodnotu tg je mozˇne´ vyja´drˇit jednodusˇeji. Ze vzorce pro tangens polovicˇnı´ho u´hlu π 8

x tg = 2

r

1 − cos x , 1 + cos x

platne´ho pro x ∈ h0, π), dostaneme: v s √ s√ s 2 u 1 π √ 1 − u √ 1 − cos 4 2−1 π 2−1 2 t = = tg = = 2 − 1. √ π = 8 1 + cos 4 2−1 1 + √1 2+1 2

Po dosazenı´ te´to hodnoty vyjde 1p

Z 0

√ 2 √ 2 − 1 1 x 2 + 1 dx = √ − ln 2 − 1 = 2 − 8 2 8 2−1 √ √ 2 1 = − ln 2 − 1 . 2 2 1

Kdybychom pro vy´pocˇet integra´lu z 1/ sin3 x pouzˇili substituci t = cos v, vysˇla by na´m slozˇiteˇjsˇ´ı raciona´lnı´ lomena´ funkce, ale po jejı´ integraci bychom prˇ´ımo dostali prˇedchozı´ vy´sledek a vyhnuli se urcˇovańı´ hodnoty tg π8 . Rovneˇzˇ by bylo mozˇne´ pouzˇ´ıt tute´zˇ Eulerovu substituci jako u integra´lu z cˇa´sti b) tohoto prˇ´ıkladu. Navıć si vsˇimneˇte, zˇe √ p 1 x2 + 1 + x = √ √ √ = x 2 + 1 + x. x2 + 1 − x x2 + 1 + x x2 + 1 − x


129

Protozˇe oba integra´ly b) a c) tohoto prˇ´ıkladu majı´ tenty´zˇ integracˇnı´ obor h0, 1i, musı´ R1 1 se vy´sledky lisˇit o 0 x dx = 12 x 2 0 = 12 , cozˇ lze jejich porovnańı´m snadno oveˇrˇit. Kazˇdopa´dneˇ na´m ale tento prˇ´ıklad ukazuje, zˇe vy´pocˇet urcˇite´ho integra´lu i ze zdańliveˇ velmi jednoduche´ funkce mu˚zˇe by´t technicky znacˇneˇ komplikovany´ a zdlouhavy´. Je veˇcı´ cviku zvolit pokud mozˇno co neju´sporneˇjsˇ´ı postup. Pra´veˇ u takovyćh prˇ´ıkladu˚ na´m mohou hodneˇ pomoci vhodne´ pocˇ´ıtacˇove´ programy. N

Pro za´jemce: Na za´veˇr tohoto oddı´lu se jesˇteˇ zmıńı´me o jiste´m zobecneˇnı´ Newtonovy-Leibnizovy formule. Ve veˇteˇ 3.14 se prˇedpokla´dala existence primitivnı´ funkce k integrandu na cele´m integracˇnı´m oboru ha, bi. Ukazuje se, zˇe tento pozˇadavek je pomeˇrneˇ silny´. Naprˇ. pokud je integrand f (x) v neˇktere´m vnitrˇnı´m bodeˇ nespojity´ a ma´ ru˚zne´ jednostranne´ limity, primitivnı´ funkce nemu˚zˇe existovat — viz naprˇ. funkce signum na obr. 2.2 na str. 8. Prˇitom pokud je tento bod jediny´m bodem nespojitosti (nebo je takovyćh bodu˚ pouze konecˇneˇ mnoho), urcˇity´ Riemannu˚v integra´l podle veˇty 3.5 existuje. Situaci obvykle rˇesˇ´ıme rozdeˇlenı´m integracˇnı´ho oboru na neˇkolik cˇa´stı´ podle veˇty 3.9. Neˇkdy je vsˇak vy´hodneˇjsˇ´ı zobecnit Newtonovu-Leibnizovu formuli. Definice 3.25. Funkce F (x) se nazy´va´ zobecneˇnou primitivnı´ funkcı´ k funkci f (x) na intervalu I , jestlizˇe • F (x) je spojita´ na intervalu I , • platı´ F 0 (x) = f (x) na intervalu I s vy´jimkou nejvy´sˇe konecˇneˇ mnoha bodu˚. Tedy zobecneˇna´ primitivnı´ funkce nemusı´ mı´t v neˇkteryćh bodech derivaci nebo se tato derivace nemusı´ rovnat funkci f (x). Podstatna´ je ale jejı´ spojitost. Lze uka´zat, zˇe spojitost zarucˇuje, zˇe zobecneˇna´ primitivnı´ funkce je podobneˇ jako „norma´lnı´“ primitivnı´ funkce urcˇena jednoznacˇneˇ azˇ na aditivnı´ konstantu. Veˇta 3.26 (Newtonova-Leibnizova formule). Necht’ funkce f (x) je integrovatelna´ na intervalu ha, bi a necht’ F (x) je jejı´ zobecneˇna´ primitivnı´ funkce. Pak platı´, zˇe Z b f (x) dx = F (b) − F (a). (3.16) a

Prˇ´ıklad 3.27. Vypocˇteˇte urcˇity´ integra´l z prˇ´ıkladu 3.10 pomocı´ zobecneˇne´ Newtonovy-Leibnizovy formule. Rˇesˇenı´. Graf integrandu f (x) je zna´zorneˇn na obra´zku 3.11. Jde o funkci, ktera´ je na kazˇde´m ze trˇ´ı navazujıćıćh intervalu˚ konstantnı´, avsˇak konstanty jsou navza´jem ru˚zne´. Nale´zt zobecneˇnou primitivnı´ funkci F (x) je jednoduche´. Stacˇ´ı na kazˇde´m intervalu nale´zt „norma´lnı´“ primitivnı´ funkce, pak jednu zafixovat a ostatnı´ posunout ve smeˇru osy y (tj. zvolit vhodneˇ integracˇnı´ konstanty) tak, abychom dostali spojitou funkci. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ dostaneme      2 pro x ∈ h−2, 1i,  2x + c1 pro x ∈ h−2, 1i, f (x) = −1 pro x ∈ (1, 3), ⇒ F (x) = −x + c2 pro x ∈ (1, 3),     1 pro x ∈ h3, 4i, x + c3 pro x ∈ h3, 4i.

+

Du˚kaz je zcela analogicky´ jako u veˇty 3.14. Uvazˇujı´ se pouze ta deˇlenı´, ktera´ obsahujı´ vsˇechny body, v nichzˇ neplatı´ F 0 (x) = f (x), jichzˇ je podle prˇedpokladu pouze konecˇneˇ mnoho.


130

y = F (x)

y 2 F (4) = 1

x −2 2

1

3

Zby´va´ jen urcˇit integracˇnı´ konstanty c1 , c2 , c3 tak, aby F (x) byla spojita´. Zvolı´me naprˇ. c1 = 0. Vzorce musı´ da´vat v krajnıćh bodech sousednıćh intervalu˚ touzˇ hodnotu. Dosazenı´m x = 1 dostaneme 2 · 1 = −1 + c2 , tedy c2 = 3 a na´sledneˇ dosazenı´m x = 3 dostaneme, zˇe je −3 + 3 = 3 + c3 , takzˇe c3 = −3. Platı´ tudı´zˇ

4

  2x  F (x) = −x + 3   x−3

pro x ∈ h−2, 1i, pro x ∈ (1, 3), pro x ∈ h3, 4i.

Jaka´koli dalsˇ´ı zobecneˇna´ primitivnı´ funkce se od te´to lisˇ´ı o konstantu. Graf funkce F (x) je na obra´zku 3.14. Pro na´sˇ integra´l dosta´va´me

−4 = F (−2)

Z

4

Obr. 3.14

f (x) dx = F (4) − F (−2) = 1 − (−4) = 5, −2

cozˇ je stejny´ vy´sledek jako v prˇ´ıkladu 3.10.

N

3.5.3. Urcˇity´ integra´l jako funkce mezı´ Pro za´jemce: Prˇedpokla´dejme, zˇe funkce f (x) je riemannovsky integrovatelna´ na intervalu ha, bi. Zvolme libovolneˇ c ∈ ha, bi, ktere´Rale bude v dalsˇ´ıch u´vahaćh pevne´. Pro kazˇde´ x ∈ ha, bi je pak korektneˇ x definovań urcˇity´ integra´l c f (t) dt. Pro c < x to plyne z veˇty 3.8, pro c = x je trˇeba vzı´t navıć v u´vahu vztahy (3.13) a (3.14). Vsˇimneˇte si rovneˇzˇ, zˇe vzhledem k tomu, zˇe jsme hornı´ mez oznacˇili pı´smenem x, v integrandu jsme museli pouzˇ´ıt jine´ pı´smeno, naprˇ. t. Jak vı´me, na hodnotu urcˇite´ho integra´lu to nema´ vu˚bec vliv. Takto zı´skana´ hodnota ovsˇem za´visı´ na volbeˇ x. Dosta´va´me tudı´zˇ novou funkci, oznacˇme ji naprˇ. F , ktera´ cˇ´ıslu x z intervalu ha, bi prˇirˇazuje hodnotu urcˇite´ho integra´lu funkce f prˇes interval s koncovy´mi body c a x, prˇicˇemzˇ c povazˇujeme za dolnı´ mez a x za hornı´ mez. Funkce F je tedy dańa vztahem Z x

f (t) dt,

F (x) =

x ∈ ha, bi.

(3.17)

c

O tomto urcˇite´m integra´lu rˇ´ıka´me, zˇe je funkcı´ sve´ hornı´ meze. Funkci F (x) lze zave´st vztahem (3.17) nejen pro ohranicˇeny´ uzavrˇeny´ interval I = ha, bi, ale pro libovolny´ interval I (otevrˇeny´, uzavrˇeny´, polootevrˇeny´, ohranicˇeny´, neohranicˇeny´), pokud budeme prˇedpokla´dat, zˇe funkce f (x) je riemannovsky integrovatelna´ na kazˇde´m jeho uzavrˇene´m ohranicˇene´m podintervalu hd, ei ⊂ I .


131

Je-li naprˇ. f (x) = cos x, mu˚zˇeme vzı´t I = (−∞, ∞), protozˇe funkce kosinus je spojita´, a tudı´zˇ integrovatelna´ na libovolne´m ohranicˇene´m uzavrˇene´m intervalu. Ze vztahu (3.17) dostaneme, zˇe v tomto prˇ´ıpadeˇ je Z x x F (x) = cos t dt = sin t c = sin x − sin c, x ∈ (−∞, ∞). c

Vsˇimneˇte si, zˇe vy´sledna´ funkce F (x) je jednou z primitivnıćh funkcı´ ke kosinu, tj. integrandu, a to tou, pro nizˇ platı´ F (c) = 0. Lze doka´zat na´sledujıćı´ du˚lezˇitou veˇtu. Veˇta 3.28. Necht’ funkce f (x) je definovana´ na intervalu I a je riemannovsky integrovatelna´ na kazˇde´m jeho ohranicˇene´m uzavrˇene´m podintervalu. Necht’ c ∈ I . Pak platı´: 1. Funkce F (x) definovana´ vztahem (3.17) je spojita´ na intervalu I . 2. Je-li navıć f (x) spojita´ v neˇktere´m bodeˇ x0 ∈ I , ma´ v tomto bodeˇ funkce F (x) derivaci, prˇicˇemzˇ platı´ F 0 (x0 ) = f (x0 ). Pokud ma´ interval I krajnı´ body, jde o jednostrannou spojitost resp. derivaci. Z druhe´ho tvrzenı´ prˇedchozı´ veˇty okamzˇiteˇ dosta´va´me na´sledujıćı´ du˚sledek. Du˚sledek 3.29. Je-li funkce f (x) spojita´ na intervalu I , pak funkce F (x) definovana´ vztahem (3.17) je k nı´ primitivnı´. Tı´m je vlastneˇ doka´zańa veˇta 2.3 o existenci primitivnı´ funkce ke spojite´ funkci. Vsˇimneˇte si, zˇe ke konstrukci primitivnı´ funkce, tj. v podstateˇ neurcˇite´ho integra´lu, se pouzˇil urcˇity´ integra´l. Tento vy´sledek ma´, jak jizˇ bylo zmıńeˇno za veˇtou 2.3, existencˇnı´ charakter a neumozˇnˇuje na´m konstruktivneˇ v obecne´m prˇ´ıpadeˇ neˇjakou primitivnı´ funkci najı´t. Pro vy´pocˇet urcˇite´ho integra´lu ma´me totizˇ jediny´ prostrˇedek — Newtonovu-Leibnizovu formuli. Jejı´ pouzˇitı´ vsˇak prˇedpokla´da´ znalost primitivnı´ funkce k integrandu, cˇ´ım se dosta´va´me do kruhu. Analogicky je mozˇne´ zave´st urcˇity´ integra´l jako funkci dolnı´ meze vztahem Z c G(x) = f (t) dt, x ∈ I. x

Funkce G(x) ma´ obdobne´ vlastnosti jako funkce F (x), jen v bodech spojitosti integrandu f (x) platı´ G0 (x) = −f (x). Tedy je-li integrand f (x) spojity´ na I , je −G(x) jeho primitivnı´ funkcı´. Urcˇity´ integra´l, ktery´ je funkcı´ sve´ hornı´ resp. dolnı´ meze, budeme potrˇebovat v na´sledujıćı´ kapitole 4 o nevlastnı´m integra´lu. Ma´ ale du˚lezˇite´ pouzˇitı´ i v rˇadeˇ jinyćh partiı´ matematiky, naprˇ. v teorii vıćena´sobne´ho integra´lu, ktery´ je zobecneˇnı´m jednoduche´ho urcˇite´ho integra´lu pro funkce vıće promeˇnnyćh. Neˇkterˇ´ı z va´s se s nı´m setkajı´ rovneˇzˇ prˇi studiu Laplaceovy integra´lnı´ transformace prˇi zava´deˇnı´ tzv. konvoluce — viz [10]. My ho jesˇteˇ vyuzˇijeme v na´sledujıćı´m zobecneˇnı´ metody per partes pro urcˇity´ integra´l, ktere´ je cˇasto potrˇeba naprˇ. v du˚kazech z teorie integra´lnıćh transformacı´. Veˇta 3.30. Necht’ funkce f (x) a g(x) jsou integrovatelne´ na intervalu ha, bi a A, B ∈ R jsou konstanty. Polozˇme Z x Z x F (x) = f (t) dt + A, G(x) = g(t) dt + B. a

a


132

Pak platı´, zˇe Z

b

a

b F (x)g(x) dx = F (x)G(x) a −

Z

b

f (x)G(x) dx.

(3.18)

a

Du˚kaz viz [8, str. 195]. Skutecˇneˇ jde o zobecneˇnı´ metody per partes pro urcˇity´ integra´l z veˇty 3.19. Jejı´ prˇedpoklady totizˇ zajisˇt’ujı´, zˇe mu˚zˇeme (prˇi oznacˇenı´ ze zmıńeˇne´ veˇty) polozˇit f (x) = u0 (x), g(x) = v 0 (x). Zvolı´me-li jesˇteˇ A = u(a), B = v(a), dostaneme s pouzˇitı´m Newtonovy-Leibnizovy formule, zˇe Z x x F (x) = u0 (t) dt + u(a) = u(t) a + u(a) = u(x) − u(a) + u(a) = u(x) a

a analogicky G(x) = v(x). Dosazenı´m do rovnosti (3.18) okamzˇiteˇ dostaneme na´m zna´my´ vzorec per partes pro urcˇity´ integra´l (3.12). Pozna´mka 3.31. Kromeˇ Riemannova integra´lu se zava´dı´ jesˇteˇ tzv. Newtonu˚v integra´l — viz [18]. V jeho definici se prˇedpokla´da´ mimo jine´ existence primitivnı´ funkce. Newtonova-Leibnizova formule pak rˇ´ıka´, zˇe pokud ma´ funkce Riemannu˚v i Newtonu˚v integra´l, jsou jejich hodnoty stejne´. Metoda per partes z veˇty 3.30 se ty´ka´ cˇisteˇ Riemannova integra´lu, zatı´mco v prˇedpokladech veˇty 3.19 se vyzˇaduje neprˇ´ımo i existence Newtonova integra´lu jiste´ funkce.

!

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Vypocˇteˇte urcˇite´ integra´ly: Z π/2 a) sin x dx,

Z

cos x dx,

5 sin 4φ dφ, 0

Z g)

2

2 sin 2x dx,

Z

1 dx, x2

j) 0,5 3

Z m)

1

V 2 + V dV ,

−1 2

n)

b)

−π/4 Z 4 √

3

x dx,

−1 Z 10

e)

1

3. Vypocˇteˇte urcˇite´ integra´ly: Z π a) 2ω sin2 ω dω, 0

1

1

Z b) 0

1

1

1 dx, x−4

l) −1 π

Z

6 dt, 8 + 3t 2

Z

4 dx, x

2

Z

2x 3 dx,

Z

5

i)

1

−2

2. Vypocˇteˇte urcˇite´ integra´ly: Z π/4 a) 4 sin2 x dx,

Z

x−1 dx, x+1

k)

2

d)

4

0

Z

z2 + 9 dz,

0

h)

−π/2 2

Z

12

f)

0 π/2

(x 3 − 3x 2 + 1) dx,

−1 Z 3

e 3 du,

e)

3

c)

−π/2 Z 3 u

π

d)

Z

b)

0

Z

π/2

o)

2 cos y sin y dy. −π

Z

1 dα, cos 2α

c)

6 dp, 9p

f)

− V2

V 2e

dV ,

0,5

tg β dβ, −0,5 Z 2 −2

n2 dn. n2 + 1

Z

3

c)

− x2

xe 0

dx,


133

1

Z

2 −2x

d)

4x e

Z dx,

x cos x dx,

f)

0

Z arctg w dw,

x 2 sin x dx,

0 1

1

Z

h)

4y arctg 2y dy,

0

π

Z

e)

−1 Z 2

g)

π

i)

6 arcsin 0

−1

t dt. 2

4. Vypocˇteˇte urcˇite´ integra´ly: 1

Z a) 0

g)

1

3

Z

eu

b) 2

2

Z d)

√ 2 x dx, 1+x

2(1 + ln Q) dQ, Q 1 Z π p sin t 1 + cos2 t dt,

e) 2

h)

0

1

3r dr, √ 4r + 4 0 Z 4 r 1 12 x + dx, 4 0 Z 4 1 √ dx. x 0 1+

c)

dS, √ S−1 dx p , x 1 − ln2 x

2

Z

u du, √ S

4

Z

3

Z

2

f) i)

5. Vypocˇteˇte urcˇite´ integra´ly: Z

π

a)

2

8 cos φ sin φ dφ,

b)

√ 12 s

0 π/2

g)

r

4s + 1 ds, 4s

cos2 α sin 2α dα, 4 sin φ cos3 φ dφ,

k)

m) 0 1

p) −1

2

16 sin4 x dx,

i)

2(1 + r ) dr, 1 − r2

3 sin3 x dx,

2 dR , √ 16 − 4R 2 −1 Z 3 √ 3 x + 1 dx,

l)

1 dk, 3 0 (5 + 4k) Z 2 e−t t dt, e 1+ t 1

n)

2 dx, 2 x −4

q)

1

Z

2

Z

1

Z

0 1/2

x dx, √ 4 − x2 16 dx, 8 − 4x 2

0 π

Z

1

f) 0

π/2

h)

0

Z

1 − cos β dβ,

0 π/2

j) Z

Z

0

0

Z

p

e) Z

6 dx, 6x − 1

1 2π

Z

2

c)

0 1

d) Z

Z

3

2(1 − cos α) dα,

0

Z

π

Z

2

o)

0 5

Z

2 ln y dy. y

r) 1

6. Vypocˇteˇte urcˇite´ integra´ly: Z

1

a) 0

Z

9

d) 4

Z g) 0

Z

2

m−1 dm, m+1 3(z − 1) dz, √ z+1 2x dx, 1 + x4

π/2

j) 0

Z m) 0

π/2

10 dδ , 2 cos δ + 3 cos α dα, 5 + sin α

Z

π/8

b)

Z (1 + tg 2β) dβ,

0

Z

π sin

0 2

h)

2

2πt T

K + K 3 dK,

Z dt,

f) i)

1

Z 0

n) 0

π/2

dε , 1 + cos ε 0 Z 1 p 2 2p + p2 dp, 0

2π

k) Z

6p dp, −1

p2

2 T /2

e) Z

3

c)

π

2 dw , 5 + 3 cos w

10 dt, 4 + cos2 t

Z

π

l) 0

Z

2

o) −2

2 sin ω dω, 5 + 4 cos ω 2

(4 − y 2 ) dy.


134

7. Urcˇete zobecneˇne´ primitivnı´ funkce a pomocı´ nich vypocˇteˇte urcˇite´ integra´ly: Z

2

a)

Z sgn x dx,

4

b)

f (x) dx,

−1

3

Z c)

e

−1

−|x|

Z dx,

5

d)

−2

g(x) dx, −3

kde   x f (x) = x 2   1

  2 pro x ∈ h−3, −1i, g(x) = 4 pro x ∈ (−1, 2),   1 pro x ∈ h2, 5i.

pro x ∈ h−1, 0i, pro x ∈ (0, 1), pro x ∈ h1, 4i,

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ 1. a)

1,

b) 2,

f) π,

g)

π,

k)

l)

ln

0,

2. a) −2 + π,

d) g)

2 arctg 2 −

4. a)

d)

0,

h)

4 − 2 ln 5,

i)

4 ln

m) −3 ln 2 + 2 ln 3,

n)

b) 2 tg 1,

1 2 π , 2 −5 e−2 + e2 ,

3. a)

3 , 5

c) −4,

c) 0,

ln2 2 + 2 ln 2, √ √ g) 2 + ln 1 + 2 ,

d)

5. a) π, √ d) 5 5 − 1, 1 g) , 2 j) 1,

e)

2 ln 10, 3

−26 e−1/2 + 16,

b)

h)

3e − 3,

j)

1, 5,

o)

0.

f) 4 − 2 arctg 2. c) −10 e−3/2 + 4, f) π2 − 4, √ i) π + 6 3 − 12.

e) −2,

1 ln 5, 2

4 − π,

d) 14,

5 , 2 √ √ 6 6 arctg , 2

e)

5 arctg 2 − 2,

b) −e1/3 + e1/2 , √ √ e) 6 − 2 ln 2 − 1 − 2 2,

c)

4,

f)

√ 17 17 − 1,

h)

arcsin ln 2,

i)

4 − 2 ln 3.

b) e)

5π, √ 4 2,

h)

3π,

k)

4,

m) −1 + 2 ln 3,

n)

p) − ln 3,

q)

18 , 4225 e2 + ln 2 − e,

11 , 5√ f) 2 − 3, √ √ 2 ln 3 + 2 2 , i) π l) , 3

c)

ln

o)

14,

r)

ln2 5.

3.6 Aplikace urcˇite´ho integra´lu

6. a)

135

c)

9 ln 2 − 3 ln 3,

23,

e)

π 1 + ln 2, 8 4 T,

f)

arctg 4, √ √ 5 4 5 arctg , 5

h) 3 ln 2 − ln 5,

i)

1, √ √ 2 3 − ln 2 + 3 ,

l)

ln 3,

ln 6 − ln 5,

n)

o)

512 . 15

1 − 2 ln 2,

b)

d) g) j) m)

k)

7. a) |x|,

b) F (x) =

( ex c) H (x) = 2 − e−x

pro x 5 0, pro x > 0,

a)

17 , 6

1,

π, √ 5 π,

b)

 2 x   2

pro x ∈ h−1, 0i,

x3

pro x ∈ (0, 1), 3   x − 2 pro x ∈ h1, 4i, 3   2x pro x ∈ h−3, −1i,  d) G(x) = 4x + 2 pro x ∈ (−1, 2),   x + 8 pro x ∈ h2, 5i, c)

2 − e−2 − e−3 ,

d)

19.

3.6. Aplikace urcˇite´ho integra´lu V za´veˇrecˇne´m oddı´lu te´to kapitoly si uvedeme neˇkolik uka´zek pouzˇitı´ urcˇite´ho integra´lu. Pu˚jde o nejjednodusˇsˇ´ı geometricke´ a fyzika´lnı´ aplikace.

3.6.1. Geometricke´ aplikace Vsˇimneme si vy´pocˇtu de´lek, obsahu˚ a objemu˚. Kazˇdy´ z va´s ma´ urcˇiteˇ prˇedstavu, co tyto pojmy znamenajı´ pro neˇktere´ jednoduche´ u´tvary. Naprˇ. de´lka u´secˇky nebo kruzˇnice, obsah cˇtverce, obde´lnı´ku, lichobeˇzˇnı´ku nebo kulove´ plochy, objem kva´dru, kuzˇele nebo koule atd. Podobneˇ asi ma´te intuitivnı´ prˇedstavu, co je to de´lka naprˇ. neˇjake´ prostorove´ spira´ly a doka´zˇete si prˇedstavit, jak by se zmeˇrˇila prˇilozˇenı´m ohebne´ho krejcˇovske´ho metru. Obdobneˇ ma´te jisteˇ prˇedstavu, zˇe naprˇ. elipsa ma´ neˇjaky´ obsah, i kdyzˇ trˇeba nevı´te, jak by se urcˇil. Pokud bychom se vsˇak zeptali, jaka´ je trˇeba de´lka mnozˇiny raciona´lnıćh cˇ´ısel lezˇ´ıcıćh mezi nulou a jednicˇkou, asi byste s odpoveˇdı´ hodneˇ va´hali. Potı´zˇ je v tom, zˇe pojmy de´lka, obsah a objem nebyly nijak precizneˇ zavedeny. Vzhledem k rozsahu a urcˇenı´ teˇchto skript nenı´ mozˇne´ potrˇebne´ pojmy prˇesneˇ zava´deˇt. Sˇlo by o pomeˇrneˇ komplikovany´ a rozsa´hly´ vy´klad z teorie mı´ry a dalsˇ´ıch na´rocˇnyćh matematickyćh partiı´. Pro nasˇe potrˇeby se bez teˇchto preciznıćh matematickyćh definic obejdeme, jelikozˇ se omezı´me na jednoduche´ objekty, u nichzˇ bude intuitivneˇ jasne´, zˇe majı´ neˇjakou de´lku, obsah resp. objem. Nı´zˇe uvedene´ vzorce na´m rˇeknou, jak se potrˇebna´ hodnota urcˇ´ı. Je-li A neˇjaka´ mnozˇina, oznacˇ´ıme jı´ prˇ´ıslusˇnou hodnotu m(A), kde pı´smeno m jsme


136

y y

y = f (x)

x=a

x=b

x

y = f (x)

a

b B

y = g(x)

A −c

x a

b

x=a

y = −c

a)

x=b

b)

Obr. 3.15: Vy´pocˇet obsahu mnozˇiny pouzˇili, aby na´m prˇipomıńalo slovo „mı´ra“. Musı´me vsˇak jesˇteˇ rozlisˇit, zda jde o de´lku, obsah nebo objem. K tomu pouzˇijeme index, ktery´ odpovı´da´ tomu, v jakyćh jednotkaćh (de´lkovyćh, plosˇnyćh, objemovyćh) se dana´ velicˇina meˇrˇ´ı. Tedy m1 (A) bude znacˇit de´lku, m2 (A) obsah a m3 (A) objem mnozˇiny A (samozrˇejmeˇ pokud ma´ prˇ´ıslusˇna´ velicˇina pro danou mnozˇinu A rozumny´ smysl — u krˇivek budeme pocˇ´ıtat de´lku, u ploch obsah a u teˇles objem; avsˇak co je to krˇivka, plocha resp. teˇleso cha´peme pouze intuitivneˇ, prˇesne´ definice nema´me k dispozici). Obsah rovinne´ mnozˇiny Vy´pocˇet obsahu rovinne´ mnozˇiny jako specia´lnı´ho prˇ´ıpadu plochy patrˇ´ı k nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ım aplikacı´m urcˇite´ho integra´lu. Pouzˇili jsme ho take´ jako hlavnı´ motivaci. Necht’ f (x) je neza´porna´ funkce definovana´ na ohranicˇene´m uzavrˇene´m intervalu ha, bi. Mnozˇina v rovineˇ definovana´ vztahem A = {(x, y) ∈ R2 | a 5 x 5 b, 0 5 y 5 f (x)} se obvykle nazy´va´ podgrafem funkce f (x) na intervalu ha, bi. Vlastneˇ jde o mnozˇinu bodu˚ v rovineˇ, ktera´ je ohranicˇena´ osou x, rovnobeˇzˇkami s osou y o rovnicıćh x = a a x = b a grafem funkce f (x). Funkce nemusı´ by´t spojita´ — viz obr. 3.15 a). Veˇta 3.32. Necht’ funkce f (x) je integrovatelna´ na intervalu ha, bi a je zde neza´porna´. Pak pro obsah mnozˇiny A platı´: Z m2 (A) =

b

f (x) dx. a

(3.19)


137

Zdu˚razneˇme, zˇe funkce musı´ by´t na intervalu ha, bi neza´porna´. Je vsˇak celkem zrˇejme´, Rb zˇe pro funkci f (x), ktera´ je naopak nekladna´, bude integra´l a f (x) dx roven obsahu mnozˇiny omezene´ grafem funkce f (x), osou x a prˇ´ımkami x = a a x = b (lezˇ´ıcı´ tentokra´t pod osou x), avsˇak opatrˇene´mu znameńkem mıńus. K du˚kazu stacˇ´ı zameˇnit f (x) funkcı´ −f (x), ktera´ bude neza´porna´ (mnozˇina A se prˇeklopı´ kolem osy x), a vytknout cˇ´ıslo −1. Z prˇedchozı´ u´vahy a aditivity urcˇiy te´ho integra´lu vzhledem k integracˇnı´mu y = f (x) oboru vyply´va´, zˇe v obecne´m prˇ´ıpadeˇ, kdy funkce f (x) mu˚zˇe libovolneˇ meˇRb nit znameńko, je a f (x) dx na´zorneˇ + + + x rˇecˇeno roven plosˇe omezene´ grafem a b funkce f (x), osou x a prˇ´ımkami x = a − − a x = b, prˇicˇemzˇ cˇa´sti lezˇ´ıcı´ nad osou x se berou kladneˇ, zatı´mco cˇa´sti lezˇ´ıcı´ pod osou x se berou za´porneˇ — viz obr. 3.16. Obr. 3.16 Tudı´zˇ naprˇ. z tvaru grafu funkce sinus resp. kosinus je zrˇejme´, zˇe musı´ plaR 2π R 2π tit 0 sin x dx = 0 resp. 0 cos x dx = 0. Nakreslete si prˇ´ıslusˇne´ obra´zky. Prˇedchozı´ veˇtu 3.32 lze snadno zobecnit na prˇ´ıpad mnozˇiny zna´zorneˇne´ na obr. 3.15 b). Prˇedpokla´dejme, zˇe graf funkce f (x) lezˇ´ı na intervalu ha, bi nad grafem funkce g(x) (prˇipousˇtı´ se i rovnost, tj. musı´ by´t g(x) 5 f (x)). Oznacˇme B = {(x, y) ∈ R2 | a 5 x 5 b, g(x) 5 y 5 f (x)}. Jde tedy o mnozˇinu ohranicˇenou prˇ´ımkami x = a a x = b a dvojicı´ grafu˚ funkcı´. Neˇkdy se pro ni pouzˇ´ıva´ na´zev krˇivocˇary´ obde´lnı´k nebo krˇivocˇary´ lichobeˇzˇnı´k. Veˇta 3.33. Necht’ funkce f (x) a g(x) jsou integrovatelne´ na intervalu ha, bi a platı´ g(x) 5 f (x) pro kazˇde´ x ∈ ha, bi. Pak pro obsah mnozˇiny B platı´: b

Z m2 (B) =

[f (x) − g(x)] dx.

(3.20)

a

Platnost vzorce je celkem zrˇejma´. Stacˇ´ı mnozˇinu B posunout o vhodnou konstantu nahoru tak, aby funkce g(x) + c (a tudı´zˇ samozrˇejmeˇ i funkce f (x) + c) byla na intervalu ha, bi neza´porna´. To je urcˇiteˇ mozˇne´, protozˇe funkce g(x) je integrovatelna´, a tedy i zdola ohranicˇena´. Obsah se tı´m nezmeˇnı´. Prˇ´ımka y = −c v obr. 3.15 b) pak hraje roli nove´ osy x. Nynı´ je jasne´, zˇe posunuta´ mnozˇina B je mnozˇinovy´m rozdı´lem podgrafu funkce f (x) + c a podgrafu funkce g(x) + c (je sˇrafovań). Jejı´ obsah bude proto rozdı´lem obsahu˚ Rb Rb Rb teˇchto podgrafu˚. Tedy m2 (B) = a [f (x)+c] dx− a [g(x)+c] dx = a [f (x)−g(x)] dx. Veˇta 3.32 je specia´lnı´m prˇ´ıpadem pro g(x) = 0.


+

138

Prˇ´ıklad 3.34. Vypocˇteˇte obsah mnozˇiny K ohranicˇene´ grafy funkcı´ g : y = x 2 + x − 3 a f : y = −x 2 − 2x + 2. Rˇesˇenı´. U prˇ´ıkladu˚ tohoto typu se cˇasto neobejdeme bez naćˇrtku. Nejprve musı´me urcˇit meze. K tomu musı´me najı´t pru˚secˇ´ıky grafu˚ zadanyćh funkcı´, tj. musı´me rˇesˇit rovnici f (x) = g(x). V nasˇem prˇ´ıpadeˇ je x 2 + x − 3 = = −x 2 − 2x + 2, odkud ( −3 ± 7 − 25 , = 2x 2 + 3x − 5 = 0 ⇒ x1,2 = 4 1.

y f : y = −x 2 − 2x + 2

K 1

x

− 52

Protozˇe jde o kvadraticke´ funkce, grafy jsou paraboly. Podle znameńka u x 2 rozhodneme, ktera´ parabola je otocˇena´ nahoru a ktera´ dolu˚. Vy´sledek je na obr. 3.17. Na intervalu h−5/2, 1i je skutecˇneˇ f (x) = g(x). Pokud by tomu tak nebylo, museli bychom ve vzorci (3.20) funkce prohodit.

g : y = x2 + x − 3

Obr. 3.17 Z m2 (K) =

Pro obsah mnozˇiny K tudı´zˇ platı´: 1

(−x 2 − 2x + 2) − (x 2 + x − 3) dx =

−5/2

1 2 3 3 2 = (−2x − 3x + 5) dx = − x − x + 5x = 3 2 −5/2 −5/2 250 75 25 343 2 3 = = − − +5 − − − . 3 2 24 8 2 24 Z

1

2

N

+

Na za´kladnı´ a strˇednı´ sˇkole jste se sezna´mili se vzorci pro de´lku kruzˇnice, obsah kruhu a kulove´ plochy a objem koule. Vzhledem k tomu, jaky´ apara´t jste meˇli k dispozici, jste nemohli tyto vzorce pochopitelneˇ doka´zat. V tomto oddı´lu si zmıńeˇne´ vzorce postupneˇ vsˇechny doka´zˇeme. Prvnı´ na rˇadeˇ bude obsah kruhu. Prˇ´ıklad 3.35. Vypocˇteˇte obsah kruhu K o polomeˇru r > 0. Rˇesˇenı´. Strˇed kruhu si umı´stı´me do pocˇa´tku, na obsah to nema´ vliv. Rovnice hranicˇnı´ √ kruzˇnice pak je x 2 + y 2 = r 2 . Odtud ma´me y = ± r 2 − x 2 . Oznacˇ´ıme si p p f (x) = r 2 − x 2 a g(x) = − r 2 − x 2 , x ∈ h−r, ri — viz obr. 3.18. Pro obsah kruhu tudı´zˇ platı´


Z

139

r

m2 (K) =

y

[f (x) − g(x)] dx = Z

=

−r r p

√ f:y=

p r 2 − x 2 − − r 2 − x 2 dx =

K

−r

Z

r

=2

p

−r

r 2 − x 2 dx.

r 2 − x2

x r

−r

√ g : y = − r 2 − x2

Podobny´ neurcˇity´ integra´l jsme jizˇ pocˇ´ıtali — srovnejte prˇ´ıklad 2.30. Sˇlo o typ (2.31). Pouzˇijeme proto substitucˇnı´ metodu z veˇty 3.22 (jde opeˇt o smeˇr zprava doleva). ZvoObr. 3.18 lı´me ϕ(t) = r sin t, tudı´zˇ x = r sin t. Funkce sin t zobrazuje prosteˇ interval h−π/2, π/2i na interval h−1, 1i, takzˇe funkce ϕ(t) zobrazı´ interval h−π/2, π/2i na interval h−r, ri. Pro hledanou hodnotu m2 (K) tedy dostaneme x = r sin t Z rp = m2 (K) = 2 r 2 − x 2 dx = dx = r cos t dt π π −r −r ; − , r ; 2 2 Z π/2 p Z π/2 2 2 2 =2 r − r sin t · r cos t dt = 2 r| cos t| · r cos t dt = −π/2 Z π/2 2

−π/2

1 sin 2t π/2 2 (1 + cos 2t) dt = r t + = = 2r cos t dt = 2r 2 −π/2 −π/2 −π/2 2 π sin(−π) π sin π 2 =r + − − + = πr 2 . 2 2 2 2 2

2

π/2

Z

Prˇi u´praveˇ jsme vyuzˇili toho, zˇe na intervalu h−π/2, π/2i je cos t = 0, a pouzˇili jsme vzorec (2.19). Vzhledem k symetrii bylo rovneˇzˇ mozˇne´ urcˇit obsah cˇtvrtiny kruhu v prvnı´m kvadrantu a vy´sledek vyna´sobit cˇtyrˇmi. Dolnı ´ ohranicˇujıćı´ funkce by byla g(x) = 0 a integracˇnı´ obor Rr √ by byl h0, ri, tedy m2 (K) = 4 0 r 2 − x 2 dx. N Pozna´mka 3.36. Neˇkdy mnozˇina C, jejı´zˇ obsah ma´me urcˇit, nenı´ ohranicˇena dveˇma vhodny´mi grafy funkcı´ neza´visle promeˇnne´ x, abychom mohli pouzˇ´ıt vzorec (3.20). Mu˚zˇe mı´t ale vhodny´ tvar, kdyzˇ otocˇ´ıme obra´zek o 90◦ , tj. zameˇnı´me x a y. Jiny´mi slovy existujı´ funkce x = h(y), x = k(y), h(y) 5 k(y) pro y ∈ hc, di, takove´, zˇe C = {(x, y) ∈ R2 | c 5 y 5 d, h(y) 5 x 5 k(y)}. Tedy mnozˇina C je ohranicˇena grafy funkcı´ h(y) a k(y) a rovnobeˇzˇkami s osou x o rovnicıćh y = c a y = d — viz obr. 3.19. Pro jejı´ obsah platı´: Z m2 (C) =

d

[k(y) − h(y)] dy. c

(3.21)


140

y y=d

d

x = h(y)

C

x = k(y)

y=c

c

x

Obr. 3.19 U jesˇteˇ slozˇiteˇjsˇ´ıch mnozˇin je obvykle mozˇne´ rozdeˇlit je na jednodusˇsˇ´ı disjunktnı´ cˇa´sti (prˇesneˇji rˇecˇeno, prˇekry´vajı´ se krˇivkami, ktere´ je ohranicˇujı´), jejichzˇ obsah lze urcˇit pomocı´ neˇktere´ho ze vzorcu˚ (3.20) nebo (3.21).

De´lka krˇivky Dalsˇ´ı du˚lezˇitou aplikacı´ urcˇite´ho integra´lu je vy´pocˇet de´lky rovinne´ krˇivky (definice de´lky viz naprˇ. [11, str. 22]). Omezı´me se nejprve na prˇ´ıpad, kdy jde o graf funkce y = f (x). Veˇta 3.37. Necht’funkce f (x) je definovana´ na intervalu ha, bi a ma´ zde spojitou derivaci. Pak pro de´lku jejı´ho grafu G platı´: Z m1 (G) =

bq

1 + [f 0 (x)]2 dx.

(3.22)

+

a

Prˇ´ıklad 3.38. Urcˇete de´lku grafu G funkce f : y = ln x, x ∈

√ √ 3, 15 .

Rˇesˇenı´. Zadana´ funkce ma´ derivaci, prˇicˇemzˇ platı´ f 0 (x) = x1 . Podle vzorce (3.22) platı´: Z m1 (G) =

√ r 15

√ 3

1 1 + 2 dx = x

2 x + 1 = t2 dt = √x dx = t √ 3 ; 2, 15 ; 4

√ Z √15 √ 2 x2 + 1 x +1 dx = √ · x dx = √ x x2 3 3 Z 4 √2 Z 4 t t2 = · t dt = dt. 2 2 2 t −1 2 t −1 Z

√ 15

√ 2 + 1 = t 2 , tj. t = Prˇi vy´pocˇtu jsme pouzˇili substituci urc ˇ enou vztahem x x 2 + 1.

√ √ Tato funkce je rostoucı´ na intervalu 3, 15 a prˇeva´dı´ ho na interval h2, 4i. Obdrzˇeli


141

jsme urcˇity´ integra´l z raciona´lnı´ neryze lomene´ funkce. Platı´ t2 t2 − 1 + 1 1 = =1+ 2 . 2 2 t −1 t −1 t −1 Vyniklou ryze lomenou funkci musı´me rozlozˇit na parcia´lnı´ zlomky. Jmenovatel ma´ jednoduche´ rea´lne´ korˇeny ±1, takzˇe A B 1 = + ⇒ −1 t −1 t +1 Dosazenı´m korˇenu˚ urcˇ´ıme konstanty A a B: t2

1 = A(t + 1) + B(t − 1).

t =1:

1 = 2A

⇒

t = −1 :

1 = −2B

⇒

1 , 2 1 B=− . 2

A=

Celkem dostaneme 4 Z 4 1/2 1/2 1 1 − dt = t + ln |t − 1| − ln |t + 1| = m1 (G) = 1+ t −1 t +1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 = 4 + ln 3 − ln 5 − 2 + ln 1 − ln 3 = 2 + ln 3 − ln 5. 2 2 2 2 2

N Nynı´ si vsˇimneme obecneˇjsˇ´ıho prˇ´ıpadu, kdy krˇivka nemusı´ by´t grafem funkce. Vzhledem k rozsahu nemu˚zˇeme obecneˇ zava´deˇt pojem krˇivky, za´jemcu˚m o tuto problematiku doporucˇujeme naprˇ. [11, str. 15]. Pro na´zornost na´m postacˇ´ı prˇedstava, zˇe jde vlastneˇ o trajektorii, kterou nakreslı´ bod, jenzˇ se v cˇase spojiteˇ pohybuje v rovineˇ. Musı´me tedy zadat polohu bodu v rovineˇ v dany´ okamzˇik. To udeˇla´me pomocı´ dvou spojityćh funkcı´ ϕ(t) a ψ(t), uda´vajıćıćh x-ovou a y-ovou sourˇadnici pohybujıćı´ho se bodu. Dostaneme tzv. parametricke´ rovnice krˇivky. Ty majı´ tedy tvar x = ϕ(t), y = ψ(t),

t ∈ hα, βi.

(3.23)

Promeˇnnou t nazy´va´me parametr (nemusı´ mı´t nutneˇ vy´znam cˇasu, mu˚zˇe to by´t naprˇ. de´lka). Specia´lnı´ prˇ´ıpad — parametricke´ rovnice u´secˇky — zna´te z analyticke´ geometrie. Z fyzika´lnı´ho pohledu je de´lka krˇivky vlastneˇ drahou, kterou bod urazı´ od okamzˇiku α do okamzˇiku β. Pro de´lku krˇivky lze doka´zat na´sledujıćı´ tvrzenı´. Veˇta 3.39. Necht’krˇivka C je dańa parametricky´mi rovnicemi (3.23), prˇicˇemzˇ funkce ϕ(t) a ψ(t) majı´ spojite´ derivace na intervalu hα, βi. Pak platı´: Z βq m1 (C) = [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt. (3.24) α

Graf libovolne´ funkce f (x), x ∈ ha, bi lze parametrizovat naprˇ. rovnicemi x = t, y = f (t), t ∈ ha, bi, takzˇe ϕ 0 (t) = 1, ψ 0 (t) = f 0 (t). Po dosazenı´ do (3.24) ihned vidı´me, zˇe jde skutecˇneˇ o zobecneˇnı´ vztahu (3.22).


+

142

Prˇ´ıklad 3.40. Vypocˇteˇte de´lku kruzˇnice C o polomeˇru r > 0. Rˇesˇenı´. Bez u´jmy na obecnosti lze kruzˇnici umı´stit strˇedem do pocˇa´tku. Na de´lku to nema´ vliv. Jejı´ rovnice je pak x 2 + y 2 = r 2 . Nynı´ bychom mohli urcˇit vzorec √ naprˇ. hornı´ pu˚lr 2 − x 2 , prˇicˇemzˇ kruzˇnice, cozˇ je y = x ∈ h−r, ri, pomocı´ vzorce (3.22) spocˇ´ıtat jejı´ de´lku a vy´sledek vyna´sobit dveˇma. Potı´zˇ ovsˇem je, zˇe derivace te´to funkce ma´ tvar y 0 = √ −x , a nenı´ tudı´zˇ definovana´ pro 2 2

y r C

A r

r sin t

t −r

O

r

r cos t

x

r −x

x = −r a x = r (v teˇchto bodech existujı´ nevlastnı´ jednostranne´ derivace). Prˇedpoklady veˇty 3.37 nejsou tedy splneˇny. Dokonce funkce p 1 + y 02 = √ 2r 2 nenı´ na intervalu (−r, r)

−r

r −x

ohranicˇena´. Obr. 3.20 Zkusı´me tedy najı´t parametricke´ rovnice kruzˇnice C. To nenı´ nijak obtı´zˇne´. Z definice funkcı´ sinus a kosinus je videˇt (viz obr. 3.20), zˇe poloha libovolne´ho bodu A = (x, y) je dańa takto: A = (r cos t, r sin t), kde t je u´hel, ktery´ svı´ra´ pru˚vodicˇ bodu A s kladnou cˇa´stı´ osy x. Meˇnı´me-li u´hel t od nuly do 2π, probeˇhne bod A celou kruzˇnici. Oznacˇme ϕ(t) = r cos t, ψ(t) = r sin t. Hledane´ parametricke´ rovnice jsou: x = r cos t, y = r sin t,

C:

t ∈ h0, 2πi.

Protozˇe ϕ 0 (t) = (r cos t)0 = −r sin t a ψ 0 (t) = (r sin t)0 = r cos t, vyjde ze vzorce (3.24), zˇe platı´: Z m1 (C) =

2π p

(−r

sin t)2

+ (r

cos t)2 dt

0

Z = 0

2π p

Z =

r 2 sin2 t + r 2 cos2 t dt =

0 2π

2π r dt = r t 0 = 2πr.

N

Pozna´mka 3.41. 1. Zcela analogicky je mozˇne´ postupovat v prˇ´ıpadeˇ prostorove´ krˇivky, prˇibude jen trˇetı´ sourˇadnice polohy bodu. Parametricke´ rovnice krˇivky K budou mı´t tvar x = ϕ(t), y = ψ(t), z = ω(t),

t ∈ hα, βi,


143

a pro jejı´ de´lku bude platit (za prˇedpokladu existence spojityćh derivacı´ ϕ 0 (t), ψ 0 (t) a ω0 (t)) Z βq m1 (K) = [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 + [ω0 (t)]2 dt. α

2. Prˇi fyzika´lnı´ interpretaci, kdy rovnice (3.23) popisujı´ polohu hmotne´ho bodu, ma´ (ϕ 0 (t), ψ 0 (t)) p vy´znam vektoru okamzˇite´ rychlosti v cˇase t. Z analyticke´ geometrie vı´me, zˇe [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 je velikost tohoto vektoru. Vzorec (3.24) tudı´zˇ vyjadrˇuje, zˇe urcˇity´ integra´l z velikosti okamzˇite´ rychlosti prˇes interval hα, βi uda´va´ dra´hu, kterou tento bod urazı´ od cˇasove´ho okamzˇiku α do cˇasove´ho okamzˇiku β. Tote´zˇ platı´ v prˇ´ıpadeˇ prostorove´ krˇivky. 3. Integra´l pro vy´pocˇet de´lky krˇivky obsahuje odmocninu. Proto i pro velmi jednoduche´ funkce se cˇasto stane, zˇe neumı´me prˇ´ıslusˇny´ neurcˇity´ integra´l spocˇ´ıtat pomocı´ elementa´rnıćh funkcı´. Pak nezby´va´ nezˇ pouzˇ´ıt neˇjakou prˇiblizˇnou metodu — viz kapitola 5. To je naprˇ. prˇ´ıpad elipsy, kdy lze uka´zat, zˇe jejı´ de´lka je vyja´drˇena pomocı´ tzv. elipticke´ho integra´lu — viz str. 80. Objem rotacˇnı´ho teˇlesa a obsah pla´sˇteˇ rotacˇnı´ho teˇlesa Uvazˇujme spojitou neza´pornou funkci f (x), ktera´ je definovana´ na intervalu ha, bi. Ta na´m urcˇ´ı krˇivocˇary´ obde´lnı´k (podgraf funkce f ) P = {(x, y) ∈ R2 | a 5 x 5 b, 0 5 y 5 f (x)}.

(3.25)

Jeho rotacı´ kolem osy x vznikne rotacˇnı´ teˇleso V — viz obr. 3.21. Povrch tohoto teˇlesa je tvorˇen pla´sˇteˇm Q a dveˇma postrannı´mi kruhy. Nasˇ´ım cı´lem je vypocˇ´ıtat objem rotacˇnı´ho teˇlesa V a obsah jeho pla´sˇteˇ Q.

y y = f (x)

P a

b x

O z

Obr. 3.21: Rotacˇnı´ teˇleso


144

Pro objem rotacˇnı´ho teˇlesa platı´ na´sledujıćı´ veˇta: Veˇta 3.42. Necht’ funkce f (x) je spojita´ a neza´porna´ na intervalu ha, bi. Pak pro objem rotacˇnı´ho teˇlesa V , ktere´ vznikne rotacı´ krˇivocˇare´ho obde´lnı´ku P dane´ho vztahem (3.25), platı´: Z b m3 (V ) = π (3.26) f 2 (x) dx. a

V prˇ´ıpadeˇ obsahu pla´sˇteˇ nestacˇ´ı prˇedpokla´dat spojitost funkce f (x), prˇedpoklady na tuto funkci je trˇeba zesı´lit, aby existovala dvourozmeˇrna´ mı´ra pla´sˇteˇ. Platı´ tato veˇta: Veˇta 3.43. Necht’funkce f (x) je neza´porna´ na intervalu ha, bi a ma´ zde spojitou derivaci. Pak pro obsah pla´sˇteˇ Q rotacˇnı´ho teˇlesa V , ktere´ vznikne rotacı´ krˇivocˇare´ho obde´lnı´ku P dane´ho vztahem (3.25), platı´: Z m2 (Q) = 2π

b

q f (x) 1 + [f 0 (x)]2 dx.

(3.27)

a

Vsˇimneˇte si pro zajı´mavost, zˇe v prˇedchozı´m vzorci pro obsah pla´sˇteˇ se vyskytuje odmocnina ze stejne´ho vy´razu, jako ve vzorci (3.22) pro vy´pocˇet de´lky krˇivky. Chceme-li urcˇit obsah cele´ho povrchu, stacˇ´ı k obsahu pla´sˇteˇ prˇicˇ´ıst obsah obou postrannıćh „poklicˇek“, cozˇ jsou kruhy o polomeˇrech f (a) a f (b). Nynı´ si pouzˇitı´ obou veˇt ilustrujeme na prˇ´ıkladech. Zatı´mco objem lze spocˇ´ıtat pro pomeˇrneˇ slozˇite´ funkce urcˇujıćı´ krˇivocˇary´ obde´lnı´k, u obsahu pla´sˇteˇ i v prˇ´ıpadeˇ velmi jednoduchyćh funkcı´ mohou nastat proble´my s integracı´ vy´razu obsahujıćı´ho odmocninu (podobna´ je situace u de´lky krˇivky — srovnejte pozna´mku 3.41). Vy´sledek pak musı´me urcˇit pouze prˇiblizˇneˇ — viz kapitola 5. Pozna´mka 3.44. V na´sledujıćıćh prˇ´ıkladech vyuzˇijeme jednoduchou, ale velmi uzˇitecˇnou vlastnost, ktera´ platı´ pro urcˇite´ integra´ly ze sudy funkcı´. Je-liRfunkce f (t) suda´ na Rćh r r symetricke´m intervalu h−r, ri, r > 0, platı´, zˇe −r f (t) dt = 2 0 f (t) dt. Tento fakt je zrˇejmy´ — prava´ a leva´ polovina grafu jsou soumeˇrne´ podle osy x. Prˇesny´ du˚kaz se provede rozdeˇlenı´m na dva integra´ly a substitucı´ do prvnı´ho z nich: t = −s Z r Z 0 Z r = f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt = dt = −ds −r −r 0 −r ; r, 0 ; 0 Z 0 Z r =− f (−s) ds + f (t) dt = r 0 Z r Z r Z r = f (s) ds + f (t) dt = 2 f (t) dt, 0

0

0

protozˇe f (−s) = f (s) a na oznacˇenı´ integrac R r ˇ nı´ promeˇnne´ neza´lezˇ´ı. Analogicky pro liche´ funkce platı´, zˇe −r f (t) dt = 0. Geometricky pravou polovinu grafu dostaneme z leve´ prˇeklopenı´m kolem osy x a pak jesˇteˇ kolem osy y.


145

y

y =1+

1 2

sin 3x

P a

b x

O z

Prˇ´ıklad 3.45. Urcˇete objem

rotacˇnı´ho teˇlesa V , ktere´ vznikne rotacı´ podgrafu P funkce f (x) = 1 + 21 sin 3x, x ∈ π3 , 13π 6 , kolem osy x. Rˇesˇenı´. Teˇleso V je zna´zorneˇno na obr. 3.22, kde a = pro jeho objem dostaneme: m3 (V ) = π

Z

13π/6

π/3

1 1 + sin 3x 2

2

dx = π

Z

π 3

ab=

13π 6

+

Obr. 3.22

. Podle vzorce (3.26)

13π/6

π/3

1 2 1 + sin 3x + sin 3x dx = 4

13π/6

1 =π 1 + sin 3x + (1 − cos 6x) dx = 8 π/3 13π/6 1 1 1 = π x − cos 3x + x − sin 6x = 3 8 48 π/3 13π 1 13π 13π 1 =π − cos + − sin 13π − 6 3 2 48 48 π 1 π 1 −π − cos π + − sin 2π = 3 3 24 48 13π 13π π 1 π 33π2 π =π + − − − = − . 6 48 3 3 24 16 3 Prˇi u´pravaćh jsme pouzˇili vzorec sin2 3x = 21 (1 − cos 6x).

N

Prˇ´ıklad 3.46. Urcˇete objem rotacˇnı´ho teˇlesa V a obsah jeho pla´sˇteˇ Q. Teˇleso vznikne rotacı´ podgrafu P funkce f (x) = 2| sin x|, x ∈ h0, 2πi, kolem osy x. Rˇesˇenı´. Teˇleso V je zna´zorneˇno na obr. 3.23. Vzhledem ke tvaru funkce sinus je zrˇejme´, zˇe stacˇ´ı uvazˇovat interval h0, πi, kde sin x = 0, tj. | sin x| = sin x, a vy´sledek vyna´sobit dveˇma.

+

Z


146

y

y = 2| sin x|

P 0

2π x

z

Obr. 3.23 Pro objem teˇlesa V dostaneme pouzˇitı´m vzorce (3.26), zˇe m3 (V ) = 2 · π

π

Z

2

π

Z

4 sin x dx = 8π 0

0

1 (1 − cos 2x) dx = 2

π 1 = 4π x − sin 2x = 4π(π − 0) − 4π(0 − 0) = 4π2 . 2 0 Pro obsah pla´sˇteˇ Q dostaneme pouzˇitı´m vzorce (3.27), zˇe 2 cos x = t Z π p −2 sin x dx = dt m2 (Q) = 2 · 2π 2 sin x 1 + 4 cos2 x dx = 0 2 sin x dx = −dt 0 ; 2, π ; −2 Z 2p Z −2 p 2 1 + t dt = 8π 1 + t 2 dt. = −4π 2

=

0

Integra´l, ktery´ vznikl po substituci, jsme upravili. Prˇedne √ˇ jsme zameˇnili meze, cˇ´ımzˇ se zmeˇnilo znameńko. Da´le jsme vyuzˇili toho, zˇe funkce 1 + t 2 je suda´ na intervalu h−2, 2i, takzˇe podle pozna´mky 3.44 je mozˇne´ vzı´t dvakra´t integra´l na intervalu h0, 2i. Vznikly´ integra´l mu˚zˇeme rˇesˇit substitucı´ podobneˇ jako v prˇ´ıkladu 3.24 c) na str. 127. Abychom si vsˇak procvicˇili i jiny´ postup, integra´l upravı´me, rozdeˇlı´me na dva integra´ly a na druhy´ z nich pouzˇijeme metodu per partes pro urcˇity´ integra´l (srovnejte postup vy´pocˇtu neurcˇite´ho integra´lu z obdobne´ho integrandu v prˇ´ıkladu 2.15). Postupneˇ dostaneme (s pouzˇitı´m vzorce 11 z tabulky 2.1):


Z

2p

1 + t 2 dt

0

Z = 0

2

147

1 + t2 dt = √ 1 + t2

u=t = 0 √t v =

1+t 2

Z

2

2

Z

1

dt + √ 1 + t2 0 u0 = 1 √ = v = 1 + t 2

t·√ 0

= ln 2 +

0

√ √ 5 − ln 1 + 2 5 − 0 −

Z

1 + t2

dt =

2p

i2 Z h p i2 h p 2 2 + t 1+t − = ln t + 1 + t 0

t

1 + t 2 dt =

0 2p

1 + t 2 dt.

0

Z te´to rovnice vypocˇ´ıta´me: Z 2p √ √ 1 + t 2 dt = ln 2 + 5 + 2 5 2

Z ⇒

0

2p

1 + t 2 dt =

0

√ √ 1 ln 2 + 5 + 5. 2

Tento postup je urcˇiteˇ rychlejsˇ´ı nezˇ substituce pouzˇita´ v prˇ´ıkladu 3.24 c). Celkoveˇ tedy platı´ Z 2p √ √ 1 + t 2 dt = 4π ln 2 + 5 + 8π 5. m2 (Q) = 8π

N

0

Na za´veˇr si doka´zˇeme poslednı´ dva slı´bene´ vzorce — objem koule a obsah kulove´ plochy.

Rˇesˇenı´. Rovnice kruzˇnice se strˇedem v pocˇa´tku a polomeˇrem r je x 2 +y 2 = r 2 . Rotacı´ hornı´ho pu˚lkruhu P kolem osy x dostaneme kouli — viz obr.√3.24. Rovnice hornı´ pu˚lkruzˇnice je y = r 2 − x 2 , x ∈ h−r, ri. Podle vzorce (3.26) tedy pro objem koule V platı´: Z r p 2 m3 (V ) = π r 2 − x 2 dx = =π

−r r

Z

−r

(r 2 − x 2 ) dx =

y

√ y=

+

Prˇ´ıklad 3.47. Vypocˇteˇte objem koule a obsah kulove´ plochy o polomeˇru r > 0.

r 2 − x2

P −r

r x

z

1 3 r 2 =π r x− x = 3 −r 1 3 1 3 4 3 3 = π r − r − π −r + r = πr 3 . 3 3 3

Obr. 3.24


148 Prˇed dalsˇ´ım vy´pocˇtem si prˇipravı´me vy´raz 1 + y 02 : y0 =

1 2 −x (r − x 2 )−1/2 (−2x) = √ 2 r 2 − x2

⇒

1 + y 02 = 1 +

x2 r2 = . r 2 − x2 r 2 − x2

Nynı´ podle vzorce (3.27) pro obsah pla´sˇteˇ Q, tj. pro obsah kulove´ plochy, vyjde Z

r

m2 (Q) = 2π −r

p

r2

− x2

r

Z

dx = 2πr ·√ r 2 − x2

r −r

r dx = 2πr x −r = 4πr 2 .

Prˇedchozı´ vy´pocˇet nebyl korektnı´. Derivace y 0 nenı´ definovana´ pro ±r (v tomto bodeˇ existujı´ nevlastnı´ jednostranne´ derivace). Po zkraćenı´ sice vznikl integrand, ktery´ uzˇ byl definovany´ i v teˇchto bodech (zbyla jednicˇka), nicmeńeˇ prˇedpoklady veˇty 3.43 nebyly splneˇny. Mohli bychom ale vypocˇ´ıtat integra´l na intervalu h−r + δ, r − δi, kde δ > 0 je male´ (vlastneˇ bychom odrˇ´ızli po stranaćh dva male´ kulove´ vrchlı´ky). Jeho hodnota by byla 4πr(r − δ). Pak bychom provedli limitnı´ prˇechod pro δ → 0+ . Dostali bychom stejny´ vy´sledek. Pro nasˇe ućˇely to vsˇak takto stacˇ´ı. N

Pro za´jemce: Uvedeme neˇkolik mozˇnyćh zobecneˇnı´ prˇedchozıćh vy´sledku˚. 1. Uvazˇujme zobecneˇny´ obde´lnı´k urcˇeny´ funkcemi f (x) a g(x), lezˇ´ıcı´ nad osou x. Tedy 0 5 5 g(x) 5 f (x), x ∈ ha, bi. Rotacı´ kolem osy x vznikne prstencovite´ teˇleso V , majıćı´ pla´sˇt’Q. Oznacˇme Vf resp. Vg rotacˇnı´ teˇleso urcˇene´ podgrafem funkce f (x) resp. g(x) a Qf resp. Qg jeho pla´sˇt’. Z na´zoru je zrˇejme´, zˇe platı´ (prˇedstavte si trˇeba zaćhranne´ kolo, ktere´ vznikne rotacı´ kruzˇnice; f (x) odpovı´da´ hornı´ pu˚lkruzˇnici a g(x) dolnı´ pu˚lkruzˇnici): m3 (V ) = m3 (Vf ) − m3 (Vg ),

m2 (Q) = m2 (Qf ) + m2 (Qg ).

Chceme-li urcˇit velikost cele´ho povrchu teˇlesa V, musı´me k obsahu pla´sˇteˇ prˇicˇ´ıst jesˇteˇ obsah dvou postrannıćh mezikruzˇ´ı. 2. Cˇasto se vyskytuje situace, kdy graf G neza´porne´ funkce f (x), x ∈ ha, bi, je popsań parametricky´mi rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi. Uka´zˇeme, jak lze pro tuto situaci upravit vzorce (3.19), (3.26) a (3.27). Budeme prˇedpokla´dat, zˇe funkce ψ(t) je spojita´ a neza´porna´ a funkce ϕ(t) je ryze monotońnı´ a ma´ spojitou derivaci na hα, βi. K funkci ϕ(t) pak existuje inverznı´ funkce t = ϕ −1 (x), x ∈ ha, bi. Vyloucˇenı´m parametru t dostaneme explicitnı´ vyja´drˇenı´ funkce f (x) = ψ[ϕ −1 (x)]. Do uvedenyćh vzorcu˚ nynı´ zavedeme substituci x = ϕ(t), dx = ϕ 0 (t) dt (v prˇ´ıpadeˇ poslednı´ho vzorce je trˇeba navıć prˇedpokla´dat, zˇe = ϕ 0 (t) 6= 0 a ψ(t) ma´ spojitou derivaci, protozˇe prˇi vy´pocˇtu f 0 (x) musı´me pouzˇ´ıt vzorec pro derivaci inverznı´ funkce). Po u´pravaćh dostaneme na´sledujıćı´ zobecneˇnı´ vzorcu˚ pro vy´pocˇet obsahu podgrafu P funkce f (x), objemu rotacˇnı´ho teˇlesa V a obsahu jeho pla´sˇteˇ Q, kde teˇleso V vznikne rotacı´ podgrafu P kolem osy x:


149

β

Z

ψ(t) · |ϕ 0 (t)| dt,

m2 (P ) = α

m3 (V ) = π

Z

β

ψ 2 (t) · |ϕ 0 (t)| dt,

α

Z m2 (Q) = 2π

β

p ψ(t) [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt.

α

Spocˇ´ıtejme pomocı´ teˇchto vzorcu˚ jesˇteˇ jednou obsah kruhu, objem koule a obsah kulove´ plochy. Uvidı´me, zˇe vy´pocˇet je rychlejsˇ´ı. Hornı´ pu˚lkruzˇnice kruhu K se strˇedem v pocˇa´tku a polomeˇrem r > 0 ma´ (viz prˇ´ıklad 3.40) parametricke´ rovnice x = r cos t, y = r sin t, t ∈ h0, πi. Podgrafem P je hornı´ pu˚lkruh. Protozˇe na intervalu h0, πi je sin t = 0, je |ϕ 0 (t)| = = | − r sin t| = r sin t. Postupneˇ dostaneme: Z π Z π 2 m2 (K) = 2 m2 (P ) = 2 r sin t · r sin t dt = 2r sin2 t dt = 0

0

π π 1 2 2 =r (1 − cos 2t) dt = r t − sin 2t = πr 2 , 2 0 0 Z π Z π Z π 2 2 3 3 3 m3 (V ) = π r sin t · r sin t dt = πr sin t dt = πr (1 − cos2 t) sin t dt = Z

0

0

0

cos t = u Z −1 − sin t dt = du 1 3 1 4 3 2 3 = (1 − u ) du = πr u − u = πr 3 , = −πr sin t dt = −du 3 3 1 −1 0 ; 1, π ; −1 Z m2 (Q) = 2π

π

p

r sin t (−r

sin t)2

+ (r

cos t)2

dt = 2πr

0

2

Z

π

sin t dt = 0

π = 2πr 2 − cos t 0 = 4πr 2 .

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´

!

1. Urcˇete obsah rovinne´ plochy ohranicˇene´ krˇivkami: a)

y = 0, x = −1, y = x 2 ,

b)

y = ex , y = e−x , x = 1,

c)

y = 4 − x 2 , y = 0,

d)

yx = 1, x = 1, x = 3, y = 0

e)

y 2 = 2x + 1, x − y − 1 = 0,

f)

y(1 + x 2 ) = 1, y =

g)

y = ln x, x = 5, x = 7, y = 0,

h)

i)

y = −x 2 + 4x − 2, x + y = 2,

j)

k)

y = x 3 − 4x 2 − x + 4, x = −1, x = 2, y = 0,

l)

x=

n)

4 , y = 1, y = 4, x = 0, y y = x sin x, x ∈ hkπ, (k + 1)πi, y = 0.

m)

x2 , 2

1 , x = 10, y = 0, 10 y = arcsin x, x = 0, x = 1, y = | log x|, x =

y = ln x, y = ln 9, y = ln 3, x = 0,


150

2. Urcˇete obsah rovinne´ plochy ohranicˇene´ krˇivkami: a)

y = 1 − x, y 2 + x 2 = 1, 0 5 x, y > 0,

b)

x 2 = y, y 2 = x,

c)

y = x 2 − x − 6, y = −x 2 + 5x + 14,

d)

yx = 4, x + y = 5,

f)

y = ln2 x, y = ln x,

h)

y=

e)

−x

y = 0, y = e

sin x, x ∈ h0, πi,

i)

1 y = | ln x|, x = , x = e2 , y = 0, e y = x 3 + x 2 − 6x, y = 0, x ∈ h−3, 3i,

k)

y=

g)

j)

2 , y = x 2, 2 1+x 4x 2 + 9y 2 = 36,

l)

y = 6x − x 2 , y = 0,

m)

x 2 − 10x + 34 10 − 3x 2 + 18x , y= , 5 5 x 2 + y 2 = 16, y 2 = 6x, x = 0,

n)

y = x 2 + 4x, y = x + 4,

o)

y 2 = 2x + 1, x − y − 1 = 0,

p)

y 2 = x 3 , y = 8.

3. Urcˇete de´lku oblouku rovinne´ krˇivky:

c)

5(ex/5 + e−x/5 ) , x ∈ h0, 10i, 2 p √ y = x − x 2 − arcsin x, x ∈ h0, 1i,

e)

x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), a > 0, (cykloida),

f)

x = r(cos t + t sin t), y = r(sin t − t cos t), r > 0, t ∈ h0, πi,

g)

x = a cos3 t, y = a sin3 t, a > 0,

a)

y=

(asteroida),

k)

(kardioida), l)

x=

t6 t4 , y = 2 − , mezi pru˚secˇ´ıky s osami sourˇadnic. 6 4

4. Urcˇete de´lku oblouku prostorove´ krˇivky: a)

b) c) d)

y 3 = x 2 , x ∈ h0, 1i,

d)

y = arcsin e−x , x ∈ h0, 1i,

h)

y 2 = (x + 1)3 , x 5 4,

(semikubicka´ parabola), π π e +1 y = ln x , x ∈ h1, 2i, j) y = ln sin x, x ∈ , , e −1 3 2 x = 2a(1 + cos t) cos t, y = 2a(1 + cos t) sin t, t ∈ h0, 2πi, a > 0, x

i)

b)

x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ h0, 2πi, a, b > 0, (jeden za´vit sˇroubovice), 1√ 3 1 x = t, y = 8t , z = t 2 , t ∈ h0, 1i, 3 2 t x = t − sin t, y = 1 − cos t, z = 4 sin , t ∈ h0, πi, 2 √ x = et , y = e−t , z = t 2, t ∈ h0, 1i.


151

5. Urcˇete objem teˇlesa, ktere´ vznikne rotacı´ podgrafu dane´ funkce k cˇi plochy P kolem osy x:

b)

a x/a e + e−x/a , a > 0, y = 0, x ∈ h−4, 4i, (rotace rˇeteˇzovky), 2 P : xy = 4, x = 1, x = 4, y = 0, c) P : y = −x 2 + 1, y = −2x 2 + 2,

d)

P : b2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b2 , a, b > 0, y = 0,

e)

k : x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), a > 0, t ∈ h0, 2πi, (cykloida),

f)

P : x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 , y = 0, (asteroida),

g)

k: y =

a)

k: y =

i)

1 , x = −1, x = 1, 1 + x2 k : x = t 2 − 1, y = t − t 3 , t ∈ h0, 1i,

k)

k : x 2 + y 2 = 25, y = 0,

h)

P : y 2 = 5x, x = 8,

j)

k : y = sin x, x ∈ h0, πi,

l)

P : y 2 = x, y = x 2 , y = 0.

6. Urcˇete obsah pla´sˇteˇ teˇlesa, ktere´ vznikne rotacı´ podgrafu dane´ funkce k cˇi plochy P kolem osy x: a)

P : y 2 = 4ax, y = 0, x = 3a, a > 0,

b)

P : y 2 = x, y = x 3 ,

c)

k : y = 4 + x, x ∈ h−4, 2i,

d)

k: y =

e)

P : (y − 1)2 + x 2 = 1, (povrch anuloidu),

f)

P : 9ay 2 = x(3a − x)2 , a > 0, y = 0, (mezi pru˚secˇ´ıky s osou x).

1 x (e + e−x ), x ∈ h0, 1i, 2

7. Vypocˇteˇte obsah pla´sˇteˇ a objem na´sledujıćıćh rotacˇnıćh teˇles: a)

rotacˇnı´ va´lec o polomeˇru podstavy r > 0 a vy´sˇce v > 0,

b)

rotacˇnı´ kuzˇel o polomeˇru podstavy r > 0 a vy´sˇce v > 0,

c)

rotacˇnı´ komoly´ kuzˇel o polomeˇrech podstav r1 > r2 > 0 a vy´sˇce h > 0,

d)

kulova´ u´secˇ o vy´sˇce v > 0 z koule o polomeˇru r > 0, 0 < v < 2r,

e)

duty´ va´lec o vneˇjsˇ´ım polomeˇru r1 a vnitrˇnı´m polomeˇru r2 , r1 > r2 > 0, a vy´sˇce v > 0,

f)

anuloid (vznikne rotacı´ kruhu o polomeˇru r a strˇedu [0, R], R > r > 0, kolem osy x).

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ 1 , 3 16 e) , 3 9 i) , 2 m) 6,

1. a)

b) f) j) n)

1 − 2, e π 1 − , 2 3 π − 1, 2 (2k + 1)π.

e+

c)

32 , 3

d)

ln 3,

g)

7 ln 7 − 5 ln 5 − 2,

h)

9,9 ln 10 − 8,1 , ln 10

k)

9 , 4

l)

8 ln 2,


152

2. a) e) i) m)

π−2 , 4 1 + e−π , 2

b)

1 , 3

f)

3 − e,

18,

j)

6π,

4 √ 3 + 4π , 3

n)

125 , 6

d)

5 2 (e − e−2 ) , 2 p ln e + e2 − 1 ,

g)

6a,

3. a)

j) 4. a) 5. a)

1 ln 3, 2 p 2π a 2 + b2 ,

b) e)

b)

6. a) d)

56πa 2 , 3 π 2 (e − e−2 + 4), 4

h) l)

36,

p)

19,2. c) f)

i)

k)

16a,

l)

3 , 2

j)

c) 12π, 32a 3 π, 105 π2 , 2

2,

π2 r , 2 e2 + 1 ln , e 13 . 3

8a, 670 , 27

f)

π , 12

15 − 8 ln 2, 2 2 π− , 3

d)

h)

πa 3 8/a e − e−8/a + 4πa 2 , b) 4

e) 5π2 a 3 , i)

343 , 3 2 g) 2 − + e2 , e 50 k) , 3 16 o) , 3 √ 8 13 13 −1 , 27 8 c)

c) g) k)

2π, 16 π, 15 π (π + 2), 4 500 π, 3

d)

e − e−1 .

d)

4 πab2 , 3

h)

160π,

l)

3 π. 10

b)

√ √ π 20 10 + 45 5 − 11 , 54

c)

√ 36 2π ,

e)

4π2 ,

f)

3πa 2 .

7. a) f (x) = r, x ∈ h0, vi, m2 (Q) = 2πrv, m3 (V ) = πr 2 v, p p r b) f (x) = x, x ∈ h0, vi, m2 (Q) = πr r 2 + v 2 = πrs, kde s = r 2 + v 2 , v 1 m3 (V ) = πr 2 v, 3 r1 − r2 c) f (x) = x + r2 , x ∈ h0, vi, m2 (Q) = π(r1 + r2 )s, kde v p πv 2 s = v 2 − (r1 − r2 )2 , m3 (V ) = (r + r1 r2 + r22 ), 3 1 p 1 d) f (x) = r 2 − v 2 , x ∈ hr − v, ri, m2 (Q) = 2πrv, m3 (V ) = πv 2 (3r − v), 3


153

e) f (x) = r1 , g(x) = r2 , x ∈ h0, vi, m2 (Q) = 2πv(r1 + r2 ), m3 (V ) = πv(r12 − r22 ), p p f) f (x) = R + r 2 − x 2 , g(x) = R − r 2 − x 2 , m2 (Q) = 4π2 rR, m3 (V ) = 2π2 Rr 2 . Pro lepsˇ´ı geometrickou prˇedstavu uva´dı´me obra´zky neˇkteryćh krˇivek a jedne´ plochy, ktere´ se vyskytly v prˇedchozıćh cvicˇenıćh a nejsou zna´me´ ze strˇednı´ sˇkoly — viz obr. 3.25. Oznacˇenı´ v obra´zcıćh odpovı´da´ rovnicı´m v zadańıćh.

3.6.2. Fyzika´lnı´ aplikace Jak jizˇ bylo rˇecˇeno v u´vodu kapitoly je mozˇne´ uve´st stovky prˇ´ıkladu˚, kdy se pomocı´ urcˇite´ho integra´lu z jistyćh „loka´lnıćh“ velicˇin urcˇujı´ velicˇiny „globa´lnı´ “ (naprˇ. z hustoty hmotnost). V obecne´m prˇ´ıpadeˇ, kdy loka´lnı´ velicˇiny za´visı´ na dvou nebo trˇech sourˇadnicıćh (rovinne´ nebo prostorove´ prˇ´ıpady), je k vy´pocˇtu trˇeba dvojny´ nebo trojny´ integra´l, se ktery´m se sezna´mı´te azˇ pozdeˇji. Proto se omezı´me pouze na jednoduche´ uka´zky z mechaniky. Pu˚jde o vy´pocˇet hmotnosti a urcˇenı´ sourˇadnic teˇzˇisˇteˇ. Rovneˇzˇ nemu˚zˇeme potrˇebne´ fyzika´lnı´ velicˇiny neˇjaky´m zpu˚sobem zava´deˇt, to je u´kolem jinyćh prˇedmeˇtu˚. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ ovsˇem jde o velicˇiny a pojmy, ktere´ jsou absolventu˚m strˇednıćh sˇkol dobrˇe zna´me´. S rˇadou dalsˇ´ıch uka´zek pouzˇitı´ urcˇite´ho integra´lu se setka´te v mnoha prˇedmeˇtech beˇhem dalsˇ´ıho studia. Hmotnost a sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ rovinne´ krˇivky Prˇedstavme si, zˇe ma´me kus dra´tu, ktery´ je v obecne´m prˇ´ıpadeˇ nehomogennı´. Nasˇ´ım cı´lem bude vypocˇ´ıtat jeho hmotnost a urcˇit sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ. Matematicky´m modelem dra´tu je krˇivka. Budeme prˇedpokla´dat, zˇe ma´me neza´pornou funkci ρ, definovanou v bodech krˇivky, ktera´ kazˇde´mu bodu prˇirˇazuje de´lkovou hustotu v tomto bodeˇ. Oznacˇme T = [ξ, η] teˇzˇisˇteˇ te´to krˇivky. Nejprve si vsˇimneme prˇ´ıpadu, kdy krˇivka C je dańa parametricky´mi rovnicemi C:

x = ϕ(t), y = ψ(t),

t ∈ hα, βi.

(3.28)

Funkce ρ(t) uda´va´ de´lkovou hustotu v bodeˇ krˇivky [ϕ(t), ψ(t)]. Veˇta 3.48. Necht’ funkce ϕ(t) a ψ(t) majı´ spojite´ derivace na intervalu hα, βi a funkce ρ(t) je na tomto intervalu spojita´ a neza´porna´. Pak krˇivka C majıćı´ parametricke´ rovnice (3.28) a de´lkovou hustotu ρ(t) ma´ hmotnost Z M(C) = α

β

q

ρ(t) [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt.

(3.29)


154

y y

a

2a x 0

x −aa

2πa

a

O

−a a) cykloida

b) asteroida

y

y

2a x O

x

4a

−11

−2a

c) kardioida

d) semikubicka´ parabola

R

z

z 0 2πb

−R

x

−R

a

y

y

0 R f) anuloid

e) sˇroubovice

Obr. 3.25

r −r 0 x


155

Pro sourˇadnice jejı´ho teˇzˇisˇteˇ platı´

Sy (C) Sx (C) T = , , M(C) M(C)

(3.30)

kde β

Z

q

ψ(t)ρ(t) [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt,

Sx (C) =

(3.31)

α β

Z

q

ϕ(t)ρ(t) [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt.

Sy (C) =

(3.32)

α

Velicˇiny Sx (C) a Sy (C) se ve statice neˇkdy nazy´vajı´ staticke´ momenty krˇivky C vzhledem k ose x resp. y.

Pro za´jemce: Oznacˇ´ıme-li 1t = ti − ti−1 interval de pˇ lenı´ pouzˇity´ v konstrukci urcˇite´ho integra´lu, z kon2 strukce tohoto pojmu plyne, zˇe vy´raz [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)] p 1t, kde ti−1 5 t 5 ti , vyjadrˇuje prˇiblizˇneˇ de´lku male´ho kousku krˇivky. Tedy vy´raz ρ(t) [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 1t v integra´lu pro hmotnostpje soucˇinem hustoty a de´lky, tj. uda´va´ prˇiblizˇneˇ hmotnost tohoto kousku. Pak vy´raz ψ(t)ρ(t) [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 1t v integra´lu pro Sx (C) je soucˇinem hmotnosti tohoto kousku a jeho vzda´lenosti od osy x (ψ(t) je y-ova´ sourˇadnice bodu krˇivky, tj. orientovana´ vzda´lenost tohoto bodu od osy x). Odtud na´zev staticky´ moment vzhledem k ose x. Analogicky je tomu v integra´lu pro Sy (C) (ϕ(t) je x-ova´ sourˇadnice bodu krˇivky, tj. orientovana´ vzda´lenost tohoto bodu od osy y). Podrobneˇji o podobnyćh u´vahaćh viz text pro za´jemce na str. 158.

Je-li specia´lneˇ krˇivka C grafem funkce f (x) a ρ(x) uda´va´ jejı´ de´lkovou hustotu v bodeˇ [x, f (x)], dostaneme z prˇedchozı´ veˇty na´sledujıćı´ zjednodusˇenou verzi. Du˚sledek 3.49. Necht’funkce f (x) ma´ spojitou derivaci na intervalu ha, bi a funkce ρ(x) je na tomto intervalu spojita´ a neza´porna´. Pak pro sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ grafu G funkce f (x) s de´lkovou hustotou ρ(x) platı´ vzorec (3.30), kde: Z b q M(G) = ρ(x) 1 + [f 0 (x)]2 dx, (3.33) a

Z

b

q

f (x)ρ(x) 1 + [f 0 (x)]2 dx,

Sx (G) =

(3.34)

a

Z Sy (G) =

b

q

xρ(x) 1 + [f 0 (x)]2 dx.

(3.35)

Prˇ´ıklad 3.50. Urcˇete hmotnost a sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ homogennı´ hornı´ pu˚lkruzˇnice K : x 2 + y 2 = r 2 , y = 0, r > 0.

+

a


156

Rˇesˇenı´. Parametricke´ rovnice pu˚lkruzˇnice K jsou x = r cos t, y = r sin t, t ∈ h0, πi (viz prˇ´ıklad 3.40). Protozˇe krˇivka je homogennı´, bude hustota konstantnı ´, tj. ρ(t) = c, p 0 2 0 2 c > 0. Pouzˇijeme vzorce z p veˇty 3.48. Pro urychlenı´ vy´poc √ˇ tu si vy´raz [ϕ (t)] + [ψ (t)] prˇipravı´me prˇedem. Vyjde [−r sin t]2 + [r cos t]2 = r 2 = r. Dostaneme tedy: Z π π M(K) = cr dt = rc t 0 = πrc, Z0 π π Sx (K) = cr sin t · r dt = cr 2 − cos t 0 = 2r 2 c, Z0 π π Sy (K) = cr cos t · r dt = cr 2 sin t 0 = 0, 0

takzˇe sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ jsou 2r 0 2r 2 c = 0, . , T = πrc πrc π

+

N

Prˇ´ıklad 3.51. Urcˇete hmotnost a sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ krˇivky G, ktera´ je grafem funkce y = 21 x 2 , x ∈ h0, 1i, je-li de´lkova´ hustota ρ(x) = x. Rˇesˇenı´. Tentokra´t jde o graf funkce takzˇe pouzˇijeme vzorce z du˚p (oblouk paraboly), √ sledku 3.49. Je y 0 = x, takzˇe 1 + y 02 = 1 + x 2 . Pro √ hmotnost a prvnı´ staticky´ 2 2 moment dostaneme s pouzˇitı´m substituce x + 1 = t , tj. x 2 + 1 = t, zˇe 1 + x2 = t 2 Z √2 Z 1 p M(G) = x 1 + x 2 dx = x dx = t dt √ = t · t dt = 0 1 0 ; 1, 1 ; 2 √ 1 3 √2 2 2 − 1 = t 1 = , 3 3 1 + x2 = t 2 Z 1 Z √2 2 p 1 x Sx (G) = x· 1 + x 2 dx = x dx = t dt √ = (t 2 − 1)t · t dt = 2 0 0 ; 1, 1 ; 2 2 1 √ √ √ √ 1 1 1 2+1 1 t5 t3 2 1 4 2 2 2 − = − − − = . = 2 5 3 1 2 5 3 2 5 3 15 Zby´vajıćı´ staticky´ moment na´m da´ vıće praće. Vy´pocˇet integra´lu bude te´meˇrˇ analogicky´ jako v prˇ´ıkladu 3.24 c) na str. 127, takzˇe jednotlive´ kroky nebudeme √ detailneˇ komentovat. Vyuzˇijeme i rovnost, kterou jsme tam odvodili, a to, zˇe tg π8 = 2 − 1. Dostaneme x = cotg v Z 1 Z 1 p p Sy (G) = x · x 1 + x 2 dx = x 2 1 + x 2 dx = dx = − sin12 v dv = 0 0 0; π, 1; π 2 4


157

s

Z π/2 −1 cos2 v cos2 v 1 + 1 · 2 dv = · dv = = 4 sin2 v sin v π/4 | sin v| sin v π/2 v tg = t Z 2 Z π/2 1−t 2 2 v = 2 arctg t 1 cos2 v 2 2 t +1 = = · dv = dt = 2 √ 5 2t 5 1 + t 2 dv = 1+t 2 dt π/4 sin v 2−1 π √ t 2 +1 ; 2 − 1, π ; 1 4 2 Z 1 Z 1 4 8 1 1 2 1 − 2t + t 3 dt = − + t dt = = √ 16t 5 16 √2−1 t 5 t 2−1 √ √ 1 1 t4 1 3 2 1 = − 4 − 2 ln t + = + ln 2 − 1 . 16 4t 4 √2−1 8 8 Z

π/4

cos2 v · sin2 v

Sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ tudı´zˇ jsou: √ √ √ Sy (C) Sx (C) 3 3 2 + ln 2 − 1 1 2−1 = . , · , · √ T = √ M(C) M(C) 8 5 2 2−1 2 2−1

N

Pozna´mka 3.52. Obdobny´m zpu˚sobem lze postupovat i u prostorove´ krˇivky. Prˇi oznacˇenı´ z pozna´mky 3.41 bude platit Syz (K) Sxz (K) Sxy (K) T = , , , M(K) M(K) M(K) kde Z

β

q

ρ(t) [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 + [ω0 (t)]2 dt,

M(K) = α

Z

β

Syz (K) =

q ϕ(t)ρ(t) [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 + [ω0 (t)]2 dt,

α

Z

β

q

ψ(t)ρ(t) [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 + [ω0 (t)]2 dt,

Sxz (K) = α

Z Sxy (K) =

β

q ω(t)ρ(t) [ϕ 0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 + [ω0 (t)]2 dt.

α

Velicˇiny Syz , Sxz a Sxy se po rˇadeˇ nazy´vajı´ staticke´ momenty vzhledem k sourˇadny´m rovina´m x = 0, y = 0 a z = 0. Hmotnost a sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ rovinne´ mnozˇiny Obdobneˇ nynı´ popı´sˇeme, jaky´m zpu˚sobem lze urcˇit sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ T = [ξ, η] nehomogennı´ rovinne´ desky. Obecny´ prˇ´ıpad vsˇak urcˇity´m integra´lem, ktery´ ma´me k dispozici


158

(tzv. jednoduchy´m urcˇity´m integra´lem) nezvla´dneme. Musı´me se omezit na specia´lnı´ prˇ´ıpad, kdy plosˇna´ hustota ρ v bodeˇ [x, y] za´visı´ jen na sourˇadnici x. Tedy v bodech, ktere´ majı´ touzˇ x-ovou sourˇadnici, tj. lezˇ´ı na rovnobeˇzˇce s osou y, je hustota stejna´. Da´le budeme prˇedpokla´dat, zˇe uvazˇovana´ deska ma´ tvar zobecneˇne´ho obde´lnı´ku (viz obr. 3.15 b)) B = {(x, y) ∈ R2 | a 5 x 5 b, g(x) 5 y 5 f (x)}. (3.36) Veˇta 3.53. Necht’funkce f (x), g(x) a ρ(x) jsou spojite´ na intervalu ha, bi a platı´ f (x) = = g(x) pro x ∈ ha, bi. Pak hmotnost krˇivocˇare´ho obde´lnı´ku B popsane´ho v (3.36) s plosˇnou hustotou ρ(x) je Z b M(B) = ρ(x) f (x) − g(x) dx. (3.37) a

Pro sourˇadnice jeho teˇzˇisˇteˇ platı´ Sy (B) Sx (B) , , T = M(B) M(B)

kde tzv. staticke´ momenty vzhledem k osa´m x a y jsou dańy vzorci Z 1 b Sx (B) = ρ(x) f 2 (x) − g 2 (x) dx, 2 a Z b Sy (B) = xρ(x) f (x) − g(x) dx.

(3.38)

(3.39) (3.40)

a

Pro za´jemce: Vysveˇtlı´me si z fyzika´lnı´ho pohledu, jak se k prˇedchozı´m vzorcu˚m dojde. Oznacˇ´ıme-li 1x = xi − −xi−1 interval deˇlenı´ pouzˇity´ v konstrukci urcˇite´ho integra´lu, vyjadrˇuje hodnota f (x)−g(x) 1x, kde xi−1 5 x 5 xi , prˇiblizˇneˇ obsah u´zke´ho krˇivocˇare´ho obde´lnı´ku, ktery´ je shora resp. zdola ohranicˇen grafy funkcı´ f (x) resp. g(x) a ma´ za´kladnu 1x. Protozˇe obde´lnı´k je ve vertika´lnı´m smeˇru homogennıá v horizonta´lnı ´m smeˇru je u´zky´, je na neˇm plosˇna´ hustota ρ(x) zhruba konstantnı´. Pak vy´raz ρ(x) f (x) − g(x) 1x (tj. soucˇin hustoty a obsahu) je prˇiblizˇneˇ jeho hmotnostı´. Limitnı´m prˇechodem (udeˇla´me integra´lnı´ soucˇty a zjemnˇujeme neomezeneˇ deˇlenı´) dojdeme forma´lneˇ ke vzorci pro hmotnost M(B). Prˇedstavme si, zˇe tento krˇivocˇary´ obde´lnı´k nahradı´me jeho teˇzˇisˇteˇm, do neˇhozˇ soustrˇedı´me celou jeho hmotnost. Vzda´lenost bodu˚ tohoto krˇivocˇare´ho obde´lnı´ku (a tedy i teˇzˇ isˇteˇ) od osy y je prˇiblizˇneˇ x, protozˇe obde´lnı´k je u´zky´, cozˇ znamena´, zˇe xρ(x) f (x) − g(x) 1x je soucˇin hmotnosti a vzda´lenosti teˇzˇisˇteˇ od osy y. Protozˇe staticky´ moment bodu vzhledem k prˇ´ımce se definuje jako soucˇin hmotnosti soustrˇedeˇne´ v tomto bodeˇ a vzda´lenosti bodu od te´to prˇ´ımky, zdu˚vodnˇuje prˇedchozı´ u´vaha vzorec pro staticky´ moment Sy (B). V prˇ´ıpadeˇ osy x musı´me uvazˇovat jinak. Na´sˇ krˇivocˇary´ obde´lnı´k je ve vertika´lnı´m smeˇru homogennı´, teˇzˇisˇteˇ bude proto zhruba uprostrˇed, tedy ve vzda´lenosti f (x)+g(x) od osy x. Soucˇin 2 f (x)+g(x) hmotnosti a te´to vzda´lenosti proto bude · ρ(x) f (x) − g(x) 1x = 12 ρ(x) f 2 (x) − 2 − g 2 (x) 1x, cozˇ vysveˇtluje vzorec pro staticky´ moment Sx (B).


159

Prˇ´ıklad 3.54. Urcˇete hmotnost a sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ podgrafu funkce y = 4x(1 − x), je-li plosˇna´ hustota ρ(x) = x 2 . Rˇesˇeni. Oznacˇme dany´ podgraf B. Jde o u´secˇ paraboly — viz obr. 3.26. Pouzˇijeme vzorce z veˇty 3.53. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ je f (x) = 4x(1 − x), g(x) = 0. Pro hmotnost dostaneme: Z 1 Z 1 2 M(B) = x · 4x(1 − x) dx = 4 (x 3 − x 4 ) dx = 0

y y = 4x(1 − x)

1

B T

η

0

4 x 1 1 1 x5 1 = . =4 − =4 − 4 5 0 4 5 5

x 0

ξ

1

Da´le vypocˇteme staticke´ momenty: Obr. 3.26 Z 1 Z 1 1 Sx (B) = x 2 · [4x(1 − x)]2 dx = 8 x 4 (1 − 2x + x 2 ) dx = 2 0 0 5 Z 1 x x6 x7 1 4 5 6 =8 (x − 2x + x ) dx = 8 − + = 5 3 7 0 0 1 1 1 8 =8 − + = , 5 3 7 105 Z 1 Z 1 2 Sy (B) = x · x · 4x(1 − x) dx = 4 (x 4 − x 5 ) dx = 0

0

5 x x6 1 1 1 2 =4 − =4 − = . 5 6 0 5 6 15 Pro sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ T = [ξ, η] tedy platı´: " # 2 8 2 8 15 105 T = 1 , 1 = , . 3 21 5 5 Vsˇimneˇte si, zˇe teˇzˇisˇteˇ je posunuto doprava od osy soumeˇrnosti podgrafu B. To je du˚sledek toho, zˇe podgraf B nenı´ homogennı´. Jinak by muselo by´t ξ = 12 . N

+

Ve fyzice, ale i v jinyćh disciplıńaćh, se cˇasto uvazˇuje podobny´m zpu˚sobem. Z fyzika´lnıćh za´konu˚ se forma´lneˇ odvodı´ vztah, ktere´ platı´ prˇiblizˇneˇ pro „male´“ rozmeˇry. Vy´sledek se pak integracı´ globa´lneˇ rozsˇ´ırˇ´ı. Z matematicke´ho hlediska jde o limitnı´ prˇechod v integra´lnı´m soucˇtu, ktery´ vede na prˇ´ıslusˇny´ urcˇity´ integra´l. Symbol diferencia´lu dx ma´ pak vy´znam jake´hosi „nekonecˇneˇ male´ho“ prˇ´ıru˚stku. Takovy´m zpu˚sobem postupovali tvu˚rci integra´lnı´ho pocˇtu Newton a Leibniz. Teprve pozdeˇji byla cela´ konstrukce zbavena tajemnyćh „nekonecˇneˇ malyćh velicˇin“ a zprˇesneˇna pouzˇitı´m limit. Z motivacˇnı´ho hlediska jsou nicmeńeˇ podobne´ u´vahy cenne´ a i my jsme je pouzˇili v u´vodu te´to kapitoly jako motivaci zavedenı´ urcˇite´ho integra´lu. Informace o vzniku a historii integra´lu a ru˚znyćh zajı´mavostech s tı´m spjatyćh mu˚zˇete najı´t v oddı´lech 3.1 a 3.7. Za´jemcu˚m lze rovneˇzˇ doporucˇit knihy [25, 26].


160

!

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Vypocˇteˇte hmotnost a sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ krˇivky s de´lkovou hustotou ρ: a)

polovina asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t, a > 0, ktera´ lezˇ´ı nad osou x, ρ(t) = 1,

b)

pu˚lkruzˇnice o polomeˇru r > 0 se strˇedem v pocˇa´tku, ρ(x) = 1, 1 oblouk rˇeteˇzovky y = ex + e−x mezi body x = −1, x = 1, ρ(x) = 1, 2 oblouk cykloidy x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), a > 0, t ∈ h0, 2πi, ρ(t) = 1,

c) d) e) f)

x2 1 − ln x, 1 5 x 5 2, ρ(x) = 1, 4 2 2 y = x , x ∈ h−4, 4i, ρ(x) = |x|, y=

g)

oblouk asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t, a > 0, x, y = 0, kde de´lkova´ hustota ρ(t) je v bodeˇ [x(t), y(t)] prˇ´ımo u´meˇrna´ x-ove´ sourˇadnici tohoto bodu,

h)

x 2 + y 2 = r 2 , r > 0, x = 0, y = 0, kde de´lkova´ hustota oblouku je v bodeˇ [x, y] rovna soucˇinu jeho sourˇadnic.

2. Vypocˇteˇte hmotnost a sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ prostorove´ krˇivky s de´lkovou hustotou ρ(t): a)

jednoho za´vitu sˇroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ h0, 2πi, a, b > 0, ρ(x) = 1,

b)

jednoho za´vitu sˇroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ h0, 2πi, a, b > 0, ρ(x) = 2π − t.

3. Vypocˇteˇte hmotnost a sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ rovinne´ homogennı´ plochy omezene´:

b)

x2 , osou x a prˇ´ımkou x = 8, 8 krˇivkami y 2 = 4x, x 2 = 4y,

c)

krˇivkou y = 4 − x 2 a osou x,

d)

krˇivkami y 2 = x, y = x 3 .

a)

krˇivkou y =

4. Vypocˇteˇte hmotnost a sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ nehomogennı´ rovinne´ plochy A, majıćı´ hustotu ρ: a)

A : 0 5 y 5 sin x, 0 5 x 5 π, ρ(x) = | cos x|,

b)

A : x 2 + y 2 5 4, 0 5 x 5 y, ρ(x) = x,

c)

A : x 2 + y 2 = ay, a = 0, ρ(y) = y,

d)

A : − 1 5 x 5 |y − 1|, 0 5 y 5 2, ρ(y) = y 2 .


Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´

1. a) c) e) f) g) h) 2. a) b) 3. a) c)

4. a) c)

2a 2r M = 3a, T = 0, , b) M = πr, T = 0, , 5 π 1 4 e4 + 4e2 − 1 M = e − , T = 0, , d) M = 8a, T = πa, a , e 4e(e2 − 1) 3 3 1 20 27 − 4 ln2 2 − 16 ln 2 . = [1,52; 0,40], M = + ln 2, T = , 4 2 6 ln 2 + 9 16 ln 2 + 24 √ √ 65 65 − 1 6 175 65 − 1 . = [0; 9,52], M= , T = 0, √ 6 650 65 − 10 3ka 2 5a 15πa M= ,T = , , ρ(t) = ka cos3 t, k > 0, 5 8 256 p r3 2r 2r M= ,T = , , ρ(x) = x r 2 − x 2 . 2 3 3 p M = 2π a 2 + b2 , T = [0, 0, πb], p 2 2 2 2 M = 2π a + b , T = 0, 0, bπ . 3 12 16 9 9 64 , b) M = M= , T = 6, ,T = , , 3 5 3 5 5 32 8 5 12 3 M= d) M = , T = 0, , ,T = , . 3 5 12 25 7 √ 8−4 2 3(π − 2) 3 π 1 b) M = M = 1, T = , , ,T = √ , √ , 2 3 3 8 2− 2 4 2− 2 πa 3 5a 25 24 39 M= , T = 0, , d) M = ,T = − , . 8 8 6 125 25

Pro za´jemce: Vrat’me se k historii a navazˇme na str. 96. Pojd’me se nynı´ podı´vat na obdobı´, ktere´ znamenalo prˇechod od jednotlivyćh vzorcu˚ na vy´pocˇet obsahu˚ a objemu˚ konkre´tnıćh ploch a teˇles k ucelene´ teorii vy´pocˇtu integra´lu. Prakticky vsˇichni autorˇi formulı´ pro vy´pocˇty obsahu˚, objemu˚ a prˇ´ıpadneˇ teˇzˇisˇt’ se v letech 1630–1660 zameˇrˇujı´ na proble´my ty´kajıćı´ se tzv. algebraickyćh krˇivek, zvla´sˇteˇ teˇch, jejichzˇ rovnice ma´ tvar a m y n = bn x m , kde a, b ∈ RR. Kazˇdy´ dosˇel svy´m vlastnı´m zpu˚sobem k vy´sledku˚m, ktere´ m+1 a jsou ekvivalentnı´ vy´pocˇtu integra´lu 0 x m dx = am+1 . Tato rˇesˇenı´ byla nalezena nejprve pro kladna´ celocˇ´ıselna´ m, pozdeˇji i pro za´porne´ a raciona´lnı´ exponenty.

161


162

Pro za´jemce:

3.7. Pocˇa´tky infinitezima´lnı´ho pocˇtu Praći matematiku˚ te´ doby ilustrujme na dı´le Pierra de Fermata (1601–1665). Stejneˇ jako vsˇichni matematikove´ te´to doby se i Fermat veˇnoval kvadratura´m hyperbol a parabol zadanyćh rovnicemi y n = kx ±m , kde m, n ∈ N, k ∈ R. Ukazˇme, jak Fermat postupoval prˇi vy´pocˇtu obsahu plochy ohranicˇene´ parabolou y = x 2 , osou x a prˇ´ımkou x = 1.

α4 α3 α2

α

1

Obr. 3.27 Nejdrˇ´ıve zvolil libovolne´ cˇ´ıslo α ∈ (0, 1) a sestrojil posloupnost cˇ´ısel 1, α, α 2 , α 3 , . . . . Uvazˇovanou plochu pokryl nekonecˇneˇ mnoha obde´lnı´ky s vy´sˇkami rovny´mi funkcˇnı´m hodnota´m funkce y = x 2 v bodech 1, α, α 2 , α 3 , . . . , tj. s vy´sˇkami 1, α 2 , α 4 , α 6 , . . . a sˇ´ırˇkami 1 − α, α − α 2 , α 2 − α 3 , . . . . Soucˇet obsahu˚ teˇchto obde´lnı´ku˚ je 1(1 − α) + α 2 (α − α 2 ) + α 4 (α 2 − α 3 ) + · · · = = 1 − α + α 3 (1 − α) + α 6 (1 − α) + · · · = = (1 − α)(1 + α 3 + α 6 + · · · ) = 1−α 1−α 1 = = = . 1 − α3 (1 − α)(1 + α + α 2 ) 1 + α + α2 Jestlizˇe nynı´ zmensˇujeme za´kladny obde´lnıćˇku˚, tj. cˇ´ıslo α se prˇiblizˇuje k cˇ´ıslu jedna, pak se podı´l 1 bude blı´zˇit k 31 . 1+α+α 2 p

Obdobneˇ Fermat postupoval prˇi urcˇovańı´ kvadratury paraboly y = x q pro p > 0 a q > 0 na intervalu h0, bi. Zapsańo dnesˇnı´m matematicky´m jazykem, dospeˇl k vy´sledku Z

b

p

x q dx = 0

p+q q b q . p+q

3.7 Pocˇa´tky infinitezima´lnı´ho pocˇtu

Fermat i kvadraturami hyperbol, urcˇovańı´m tecˇen ke krˇivka´m, vypocˇ´ıtal nevlastnı´ R ∞ sedxzaby´val 1 integra´l x0 x 2 = x0 , vyuzˇ´ıval za´meˇny promeˇnnyćh a integrace po cˇa´stech. On i dalsˇ´ı matematikove´ te´to doby jizˇ tusˇili, zˇe existuje souvislost mezi derivovańı´m a integrovańı´m. Doka´zat tuto souvislost se vsˇak podarˇilo azˇ Issacu Newtonovi a Gottfriedu Wilhelmu Leibnizovi, kterˇ´ı jsou proto povazˇovańi za zakladatele diferencia´lnı´ho a integra´lnı´ho pocˇtu. Neza´visle na sobeˇ a kazˇdy´ jinou cestou nalezli propojenı´ mezi integrovańı´m a derivovańı´m. Vybudovali ucelenou teorii, do ktere´ zahrnuli vsˇechny roztrˇ´ısˇteˇne´ objevy svyćh prˇedchu˚dcu˚.

Newton a Leibniz — zakladatele´ infinitezima´lnı´ho pocˇtu Vsˇimneˇme si, co vytvorˇenı´ te´to teorie prˇedcha´zelo. V 16. a 17. stoletı´ byla velka´ pozornost veˇnovańa studiu krˇivek. Byly zkoumańy plosˇne´ i prostorove´ krˇivky (spira´ly, rˇeteˇzovky, . . . ), tvary cˇocˇek a zrcadel s pozˇadovany´mi vlastnostmi a mnoho dalsˇ´ıch objektu˚. Pomocı´ infinitezima´lnıćh metod se studovaly konstrukce tecˇen, obsahy u´secˇ´ı, objemy a povrchy teˇles vzniklyćh rotacı´ u´secˇ´ı, byla urcˇovańa teˇzˇisˇteˇ teˇchto u´tvaru˚. Vy´znamnou roli v pohledu na krˇivky sehra´lo v 17. stoletı´ ozˇivenı´ kinematickyćh prˇedstav. Zkoumaly se dra´hy pohybujıćıćh se bodu˚ a vrzˇenyćh teˇles, studovaly se pojmy rychlosti, zrychlenı´, dra´hy, cˇasu a vznikaly i za´kladnı´ prˇedstavy o promeˇnne´ velicˇineˇ a funkci. V roce 1638 studoval G. Galilei stejnomeˇrneˇ zrychleny´ prˇ´ımocˇary´ pohyb a dosˇel ke vztahu pro dra´hu tohoto pohybu (x = 21 gt 2 , kdyzˇ dx = gt), a tı´m vlastneˇ k vy´pocˇtu jiste´ho neurcˇite´ho integra´lu. dt ´ loha meˇrˇenı´ dra´hy v za´vislosti Torricelli uvazˇoval obecneˇji; urcˇil dra´hu jako „integra´l“ rychlosti. U na cˇase si vynutila prˇenesenı´ integra´lnıćh postupu˚ ze statickyćh u´loh na u´lohy dynamicke´ a posle´ze poskytla i ideu a metodu, jak sva´zat pojem derivace (tecˇny, rychlosti) s pojmem integra´lu (obsahu, dra´hy). Isaac Newton (1643–1727) vytvorˇil svou teorii v letech 1665–1666, avsˇak publikoval ji daleko pozdeˇji. V pozadı´ Newtonovy analy´zy byly mechanicke´ prˇedstavy o krˇivce, kterou cha´pal jako dra´hu pohybujıćı´ho se bodu. Newton formuloval za´kladnı´ u´lohy sve´ matematicke´ analy´zy takto: • ze znalosti dra´hy pohybu hmotne´ho bodu v kazˇde´m okamzˇiku nale´zt rychlost tohoto pohybu v urcˇite´m cˇase, • ze znalosti rychlosti hmotne´ho bodu v kazˇde´m okamzˇiku urcˇit dra´hu, kterou tento bod urazı´ za urcˇity´ cˇas. Prvnı´ z teˇchto u´loh je vy´pocˇtem derivace, druha´ vede k vy´pocˇtu integra´lu. Newton tyto u´lohy vyrˇesˇil a odvodil formuli, ktera´ svazuje integra´l s derivacı´ a da´va´ do souvislosti proble´my kvadratur s urcˇovańı´m tecˇen ke krˇivka´m. Ukazˇme, jak Newton prˇistupoval k rˇesˇenı´ druhe´ u´lohy. ´ loha spocˇ´ıva´ v nalezenı´ funkce y dane´ rovnicı´ f (x, y) = 0, je-li zna´m naprˇ. pomeˇr y˙ = dy . U x˙ dx Ze soucˇasne´ho pohledu se jedna´ o vyrˇesˇenı´ diferencia´lnı´ rovnice typu g(x, y, xy˙˙ ) = 0. Tato u´loha v sobeˇ skry´va´ proble´m hledańı´ primitivnı´ funkce. Je-li zna´m naprˇ´ıklad vztah y˙ dy = = f (x), dx x˙ jde o urcˇenı´ y(x) = F (x), tj. o urcˇenı´ primitivnı´ funkce F k funkci f . V te´to souvislosti pak Newton diskutoval vy´pocˇet obsahu˚ ploch neˇkteryćh u´tvaru˚ pomocı´ „antiderivovańı´“, tj. pomocı´ primitivnı´ funkce.

163


164

Jestlizˇe pro danou kladnou funkci y = f (x) na intervalu ha, bi oznacˇ´ıme F (z) obsah u´tvaru vymezene´ho grafem funkce f na intervalu ha, zi, osou x a prˇ´ımkami x = a, x = z, pak mu˚zˇeme Newtonu˚v vy´sledek z r. 1666 zapsat tak, zˇe pro vy´sˇe popsanou funkci F platı´ dF = f neboli F 0 (x) = f (x). dx (Zde dnes musı´me by´t trochu opatrnı´ a zjisˇt’ovat, pro ktere´ hodnoty x ∈ ha, bi poslednı´ vztah platı´. Pro spojitou funkci f , a jine´ si patrneˇ Newton ani neprˇipousˇteˇl, proble´m nenastane a vztah F 0 (x) = f (x) platı´ vsˇude na intervalu ha, bi.) Rz Uzˇijeme-li dnesˇnı´ symboliky, pak pro vy´sˇe zmıńeˇny´ obsah platı´ F (z) = a f (x) dx. Pokud lze neˇjaky´m jiny´m zpu˚sobem urcˇit funkci F , pro nı´zˇ je F 0 (x) = f (x) na ha, bi, pak lze s jejı´ pomocı´ vyja´drˇit i plosˇnou velikost u´tvaru Rvymezene´ho grafem funkce f na intervalu ha, bi, osou Rb b x a prˇ´ımkami x = a, x = b, tj. integra´l a f (x) dx. V te´to situaci pak je a f (x) dx = F (b), poneˇvadzˇ je mozˇne´ prˇedpokla´dat, zˇe je F (a) = 0. Napsańo dnesˇnı´m jazykem, Newton dospeˇl k na´sledujıćı´mu vy´sledku: 0 Je-li f : ha, bi → R funkce, ktera´ ma´ primitivnı´ funkci F : ha, R b bi → R, tj. platı´-li F (x) = = f (x) pro kazˇde´ x ∈ ha, bi, pak existuje Newtonu˚v integra´l (N ) a f (x) dx funkce f v intervalu ha, bi a je definovań vztahem Z

b

f (x) dx = F (b) − F (a).

(N )

(3.41)

a

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) zformuloval za´klady sve´ho infinitezima´lnı´ho pocˇtu v roce 1675. Prˇedlozˇil pravidla pro rˇesˇenı´ u´loh tecˇen a kvadratur, vztah mezi integrovańı´m a derivovańı´m a zavedl novou symboliku. Svoji teorii zalozˇil na mysˇlence charakteristicke´ho troju´helnı´ka. Vycha´zel z analyticko-geometrickyćh prˇedstav, ktere´ vyjadrˇoval aritmeticky´m a algebraicky´m jazykem. Veˇnujme se Leibnizoveˇ konstrukci podrobneˇji. Necht’ je dańa krˇivka pomocı´ funkce y = f (x) a necht’ je na nı´ dań bod A, ktery´m procha´zı´ tecˇna ke grafu zmıńeˇne´ funkce. Utvorˇme pravou´hly´ troju´helnı´k ABC, jehozˇ jeden vrchol je dań bodem A, prˇepona ds je dańa u´secˇkou s krajnı´m bodem A a lezˇ´ı na tecˇneˇ ke krˇivce (ds = |AC|), odveˇsny dx a dy jsou rovnobeˇzˇne´ s odpovı´dajıćı´mi osami sourˇadnic (dx = |AB|, dy = |BC|). V bodeˇ dotyku A tecˇny ke krˇivce uvazˇujme kolmici k te´to tecˇneˇ. Touto kolmicı´, osou x a prˇ´ımkou procha´zejıćı´ bodem A, ktera´ je rovnobeˇzˇna´ s osou y, je vytvorˇen pravou´hly´ troju´helnı´k AP R (|AP | = y, |P R| = m a |AR| = n), ktery´ je podobny´ troju´helnı´ku ABC, viz obr. 3.28. Troju´helnı´k AP R je pra´veˇ onen charakteristicky´ troju´helnı´k, ktery´ byl prˇedmeˇtem mnoha spekulacı´ v souvislosti s infinitezima´lnı´mi velicˇinami. Uzˇ oznacˇenı´m dx, dy a ds pro strany troju´helnı´ka ABC je svy´m zpu˚sobem naznacˇeno, zˇe na neˇ budeme hledeˇt jako na infinitezima´lnı´ velicˇiny; mu˚zˇeme si naprˇ´ıklad prˇedstavit, zˇe strana dx bude konvergovat k nule, troju´helnı´k ABC se tak bude zmensˇovat a prˇitom se sta´le zachova´ jeho podobnost s charakteristicky´m troju´helnı´kem AP R. Z podobnosti vy´sˇe popsanyćh troju´helnı´ku˚ dostaneme vztah m dy = neboli m dx = y dy. y dx

(3.42)

Leibniz zkoumal i vy´znam dalsˇ´ıch vztahu˚ plynoucıćh z podobnosti zmıńeˇnyćh troju´helnı´ku˚. My vsˇak zu˚staneme jen u vztahu (3.42). Leibnizova prˇedstava skutecˇneˇ vycha´zela z prˇedstavy,


165 y = f (x)

y

C ds

dy

A dx

B n

y

x P

m

R

Obr. 3.28: Leibnizu˚v charakteristicky´ troju´helnı´k zˇe troju´helnı´k je infinitezima´lnı´, tj. zˇe naprˇ. dx je nekonecˇneˇ male´ (dnes bychom mohli rˇ´ıci, zˇe velicˇina dx konverguje k nule). Situaci popsanou vy´sˇe si prˇedstavil v kazˇde´m bodeˇ krˇivky a velicˇiny vystupujıćı´ na obou stranaćh vztahu (3.42) secˇetl. Teˇmto soucˇtu˚m (nekonecˇneˇ mnoha nekonecˇneˇ malyćh) velicˇin rˇ´ıkal integra´l a dospeˇl tak ke vztahu Z Z m dx = y dy. (3.43) dy dx

Da´le z (3.42) dostal rovnost m = y

a vztah (3.43) prˇepsal do tvaru

Z y

dy dx = dx

Z y dy.

(3.44)

Ve formeˇ urcˇite´ho integra´lu pak platı´ Z a

b

dy y dx = dx

Z

y(b)

y(a)

1 2 y(b) 1 ydy = y = y(b)2 − y(a)2 . y(a) 2 2

Rb Kdyzˇ v te´to situaci chteˇl Leibniz naprˇ´ıklad urcˇit integra´l a x n dx, vedl u´vahy tak, aby urcˇil dy funkci y, pro kterou by bylo y dx = x n . Za tı´m ućˇelem polozˇil y(x) = αx k a hledal odpovı´dajıćı´ hodnoty α a k. Po dosazenı´ dostal y(x)

dy (x) = αx k · αkx k−1 = α 2 kx 2k−1 = x n dx

a odtud pak α 2 k = 1, 2k − 1 = n, tj. k = y(x) = vztah

√ √ 2 n+1

Z a

x

n+1 2

n+1 2

aα =

√ √ 2 n+1

. Hledana´ funkce y ma´ proto tvar

. S touto funkcı´ pak Leibniz z vy´sˇe uvedene´ho vztahu pro integra´l dostal zna´my´

b

x n dx =

1 2 y(b) 1 2 2 1 bn+1 − a n+1 = (bn+1 − a n+1 ). y y(a) = 2 2 n+1 n+1 n+1

Uvedene´ „leibnizovske´“ u´vahy jsou z dnesˇnı´ho hlediska velmi neprˇesne´, i kdyzˇ jsme se zde snazˇili uzˇ´ıvat dnesˇnıćh symbolu˚ a zpu˚sobu vyjadrˇovańı´.


166

V praći z roku 1693 Leibniz uka´zal, zˇe proble´m kvadratur se prˇeva´dı´ na proble´m nalezenı´ funkce, ktera´ ma´ dań „za´kon sklonu“, tj. strany jejı´ho charakteristicke´ho troju´helnı´ka jsou v dane´m pomeˇru. Odvodil tedy vztah Z x dF (x) f (s) ds = F (x), kdyzˇ = f (x) dx 0 za prˇedpokladu, zˇe F (0) = 0. V tomto tvrzenı´ se skry´vajı´ dveˇ du˚lezˇita´ fakta: souvislost mezi integra´lem a derivacı´ a vztah pro vy´pocˇet urcˇite´ho integra´lu jako rozdı´lu funkcˇnıćh hodnot primitivnı´ funkce. V souvislosti s vy´pocˇtem neurcˇite´ho integra´lu rˇesˇil Leibniz diferencia´lnı´ rovnici y 0 = f (x) a uka´zal, zˇe rˇesˇenı´m je nekonecˇneˇ mnoho krˇivek, z nichzˇ lze vybrat jednu procha´zejıćı´ dany´m bodem, tj. splnˇujıćı´ pocˇa´tecˇnı´ podmıńku y(x0 ) = y0 . Na za´kladeˇ souvislosti mezi diferencovańı´m a integrovańı´m vypracoval Leibniz tzv. teorii transmutace, ktera´ v sobeˇ obsahuje integrovańı´, rozklad do rˇad i metodu charakteristicke´ho troju´helnı´ka. Obsahem transmutacˇnı´ veˇty je rovnost Z b Z f (b) b y dx = [xy]a − x dy, a

f (a)

jenzˇ je za´rodkem metody integrace per partes. Leibniz kladl velky´ du˚raz na symboliku; vytva´rˇel ji tak, aby usnadnˇovala pochopenı´ podstaty jeho algoritmu˚ a podporˇila algoritmizaci novyćh poznatku˚. VR Parˇ´ızˇi dne R 29. rˇ´ıjna 1675 napsal, zˇe bude uzˇitecˇne´ mı´sto „soucˇtu vsˇech l“ psa´t od nyneˇjsˇka l (znak je odvozen z prvnı´ho pı´smene slova summa), a zˇe vznika´ novy´ druh pocˇtu, nova R ´ pocˇetnı´ operace, ktera´ odpovı´da´ scˇ´ıtańı´ a na´sobenı´. Druhy´ druh pocˇtu vznika´,Rkdyzˇ z vy´razu l = a zı´ska´me l = a yd (d jeRprvnı´ pı´smeno slova differentia). Jako totizˇ operace zveˇtsˇuje rozmeˇr, tak jej d zmensˇuje. Znak znamena´ pak soucˇet, d diferenci. Svou symboliku Leibniz neusta´le vylepsˇoval, naprˇ. uzˇ v dopise z 11. listopadu 1675 zmeˇnil yd na dy. V pozdeˇjsˇ´ım obdobı´ uzˇ uzˇ´ıva´ na´m velmi blı´zke´ho za´pisu, naprˇ. v praći z roku R 2 2 1686 cˇteme . . . jestlizˇe x dx = x2 , pak d x2 = x dx . . . Leibniz sice zavedl operacˇnı´ symbol pro integrovańı´, na´zev integra´l vsˇak pocha´zı´ od Jakoba Bernoulliho. Cele´ toto obdobı´ lze strucˇneˇ charakterizovat teˇmito nejvy´znamneˇjsˇ´ımi vy´sledky: • Dosˇlo k vza´jemne´mu propojenı´ metod integrovańı´ a diferencovańı´. Diferencia´lnı´ metody se staly prvotnı´mi, z nich se prˇi infinitezima´lnıćh u´vahaćh nada´le vycha´zelo. Integra´l funkce f : ha, bi → R se zacˇal pocˇ´ıtat na za´kladeˇ fundamenta´lnı´ho vztahu Z b f (x) dx = F (b) − F (a), a

kde F : ha, bi → R je funkce primitivnı´ k funkci f na intervalu ha, bi, tj. takova´, zˇe platı´ F 0 (x) = f (x) pro kazˇde´ x ∈ ha, bi. • „Staticky´“ urcˇity´ integra´l se propojil s „dynamicky´m“ neurcˇity´m integra´lem zejmeńa pod vlivem mechanickyćh prˇedstav o pohybu. • Matematicke´ metody byly prˇ´ımo odvozeny z potrˇeb fyziky a byly s nı´ teˇsneˇ sva´zańy. • Vytvorˇil se za´kladnı´ na´zor na pojem funkce, ktera´ se tak stala hlavnı´m objektem zkoumańı´ nove´ veˇdnı´ disciplıńy (matematicke´ analy´zy).


167

• Byla vytvorˇena promysˇlena´ symbolika a bohaty´ algoritmicky´ apara´t. V souvislosti s teˇmito vy´sledky zavla´dlo vsˇeobecne´ prˇesveˇdcˇenı´, zˇe drˇ´ıve cˇi pozdeˇji bude dorˇesˇeno vsˇe, co s matematickou analy´zou souvisı´. Projevilo se to naprˇ´ıklad v prˇesveˇdcˇenı´, zˇe funkci bude vzˇdy mozˇne´ derivovat a zˇe ji bude mozˇne´ vzˇdy integrovat tak, zˇe se uzˇije vy´sˇe uvedene´ho fundamenta´lnı´ho vztahu. Jestlizˇe se na´m dnes takove´ prˇesveˇdcˇenı´ zda´ by´t poneˇkud prˇehnane´, je to zejmeńa tı´m, zˇe ma´me jinou prˇedstavu o tom, co je to funkce. Newtonovo prˇesveˇdcˇenı´ se opı´ralo o to, zˇe „jeho“ funkce byly v podstateˇ polynomy. 18. stoletı´ bylo obdobı´m nakupenı´ velke´ho mnozˇstvı´ novyćh poznatku˚, ktere´ vsˇak nesta´ly na pevne´m za´kladeˇ. Nejasnosti a proble´my se objevily kolem nekonecˇneˇ malyćh velicˇin, konvergence rˇad, limity, ale i derivace a integra´lu. V 19. stoletı´ nastupuje obdobı´ zprˇesnˇovańı´ matematicke´ analy´zy, jejı´mizˇ prˇedstaviteli byli B. Bolzano, A.-L. Cauchy, N. H. Abel, P. G. L. Dirichlet a pozdeˇji R. Dedekind a K. Weierstrass. Toto obdobı´ bylo zavrsˇeno vybudovańı´m zna´me´ho „ε–δ“ jazyka soucˇasne´ matematicke´ analy´zy. Klıćˇove´ bylo prˇedevsˇ´ım zavedenı´ pojmu limita (kolem r. 1820). Vrat’me se ale k pojmu integra´lu. Azˇ do zacˇa´tku 19. stoletı´ bylo integrovańı´ povazˇovańo za inverznı´ operaci k derivovańı´ a funkce se integrovaly pomocı´ Newtonova fundamenta´lnı´ho vztahu. Tento vztah byl vsˇak do jiste´ mı´ry pouze zavedenı´m symbolu na leve´ straneˇ rovnosti (3.41). Na Eudoxovu exhaustivnı´ metodu se jakoby zapomneˇlo, byla vsˇak obcˇas uzˇita prˇi aproximaci velikosti plochy pod krˇivkou v karte´zske´m syste´mu sourˇadnic v rovineˇ, kdyzˇ k dane´ funkci nebylo mozˇne´ urcˇit primitivnı´ funkci. Jednı´m z matematiku˚, kterˇ´ı se veˇnovali uprˇesneˇnı´ pojmu integra´lu, byl Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), ktery´ polozˇil za´klady matematicke´ analy´zy v dnesˇnı´ podobeˇ. Ucˇinil tak zejmeńa ve svyćh ucˇebnicıćh Cours d’Analyse z roku 1821 a Re´sume´ des leçons donneés sur le calcul infinite´simal z roku 1823. Definovane´ pojmy a matematicke´ metody buduje na analyticke´m za´kladeˇ. V roce 1823 Cauchy formuloval novou definici integra´lu a zaby´val se jeho existencı´ pro pomeˇrneˇ sˇiroku trˇ´ıdu funkcı´. Cauchy se snazˇil pro funkci f : ha, bi → R urcˇit obsah plochy vymezene´ osou x, prˇ´ımkami x = a, x = b a grafem funkce f . Pro spojitou funkci f : ha, bi → R postupoval Cauchy takto: Rozdeˇlil interval ha, bi na n cˇa´stı´ pomocı´ bodu˚ a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b. Tomuto deˇlenı´ D intervalu ha, bi prˇirˇadil aproximujıćı´ soucˇet S=

n X

f (xi−1 )(xi − xi−1 ),

(3.45)

i=1

ktery´m vyja´drˇil soucˇet obsahu˚ obde´lnı´ku˚ se za´kladnou hxi−1 , xi i a Rvy´sˇkou, ktera´ je dańa funkcˇnı´ b hodnotou f (xi−1 ). Cauchyovy´m u´myslem bylo definovat integra´l a f (x) dx jako limitu soucˇtu˚ tvaru (3.45), kdyzˇ maximum de´lek „deˇlicıćh“ intervalu˚ hxi−1 , xi i bude konvergovat k nule. Jde tedy o aproximaci integra´lu, tj. obsahu vy´sˇe vymezene´ plochy v rovineˇ, pomocı´ soucˇtu ploch obde´lnı´ku˚. Za pozornost stojı´ i ta skutecˇnost, zˇe prˇi vytva´rˇenı´ soucˇtu S pouzˇil Cauchy pro interval hxi−1 , xi i funkcˇnı´ hodnoty funkce f v leve´m bodeˇ tohoto intervalu. Podobneˇ lze pouzˇ´ıt funkcˇnı´ hodnoty f (xi ) v prave´m koncove´m bodeˇ. Obdobne´ pojmy se uzˇ´ıvajı´ dodnes pod na´zvem levy´ resp. pravy´ Cauchyu˚v integra´l. Vcelku lze konstatovat, zˇe Cauchy zavrsˇil teorii integra´lu pro spojite´ funkce jedne´ promeˇnne´. Dalsˇ´ı vy´znamny´ pokrok v teorii integra´lu znamenala Riemannova praće z roku 1854.


168

R b Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) znovu nastolil ota´zku, co vlastneˇ je ´ cha´pat to, s cˇ´ım se uzˇ vıće nezˇ jedno stoletı´ pracovalo a co a f (x) dx. Ptal se, jak se ma prˇina´sˇelo uzˇitecˇne´ poznatky a bylo beˇzˇneˇ uzˇ´ıvańo ve fyzice. Riemann volı´ libovolny´ bod ξi = xi−1 + εi δi v i-te´m intervalu hxi−1 , xi i v deˇlenı´ D intervalu ha, bi a podobneˇ jako Cauchy definuje integra´l vztahem Z b n X f (x) dx = lim f (ξi )(xi − xi−1 ), δ→0+

a

i=1

kde δ znamena´ maximum de´lek δi intervalu˚ hxi−1 , xi i v deˇlenı´ D. Na rozdı´l od Cauchyho, ktery´ potrˇeboval spojitost funkce f , Riemann na funkci f nema´ zˇa´dne´ pozˇadavky. Tı´m prˇ´ımo zobecnil to, jak integra´l cha´pal Cauchy. V Cauchyoveˇ prˇ´ıpadeˇ totizˇ bylo Z b n X f (x) dx = lim f (xi−1 )(xi − xi−1 ), δ→0+

a

i=1

a to, co Cauchy potrˇeboval k vy´kladu sve´ definice (pracoval se spojitou funkcı´!), se sta´va´ pro Riemanna definicı´. y = f (x)

y = f (x)

x x0

x1

x2 xi−1

xi xn−1

x

xn

x0 ξ1 x1 ξ2 x2 xi−1

a) Cauchyu˚v prˇ´ıstup

ξi xi xn−1 ξn xn

b) Riemannu˚v prˇ´ıstup

Obr. 3.29 Riemann ve sve´m spise pı´sˇe: Vysˇetrˇujme nynı´ za druhe´ rozsah platnosti tohoto pojmu (rozumeˇj pojmu integra´lu) neboli ota´zku: ve kteryćh prˇ´ıpadech prˇipousˇtı´ funkce integraci, a ve kteryćh nikoli? Zpu˚sob, jaky´m tuto ota´zku Riemann polozˇil, je typicky´ pro novou matematiku, ktera´ se v 19. stoletı´ formovala. Riemannova definice se totizˇ ty´ka´ libovolne´ funkce a jı´m polozˇena´ ota´zka smeˇrˇuje k vymezenı´ trˇ´ıdy funkcı´, pro ktere´ ma´ jı´m zavedena´ definice integra´lu smysl, tj. pta´ se po dosahu nove´ho pojmu. Riemann ve sve´ definici nikterak nespecifikoval funkce, pro ktere´ svu˚j integra´l definoval. Hovorˇ´ı o funkcıćh, ktere´ prˇipousˇteˇjı´ integraci; rˇecˇeno dnesˇnı´mi slovy, o integrovatelnyćh funkcıćh. Zava´dı´ tak novou trˇ´ıdu funkcı´, ktere´ je vhodne´ a ućˇelne´ zkoumat. Sa´m k tomu rˇ´ıka´ toto: Pote´, co jsme vysˇetrˇili podmıńky pro mozˇnost urcˇite´ho integra´lu obecneˇ, tj. bez zvla´sˇtnıćh prˇedpokladu˚ o povaze integrovane´ funkce, budizˇ nynı´ toto vysˇetrˇovańı´ ve zvla´sˇtnıćh prˇ´ıpadech zcˇa´sti pouzˇito, zcˇa´sti da´le rozvinuto, a sice pro funkce, ktere´ jsou mezi dveˇma jakkoli blı´zky´mi hranicemi (body) nekonecˇneˇ cˇasto nespojite´. Da´le uva´dı´ prˇ´ıklad pomeˇrneˇ divoce nespojite´ funkce a ukazuje, zˇe integra´l z te´to funkce existuje prˇes kazˇdy´ omezeny´ interval. Tı´mto prˇ´ıkladem Riemann uka´zal, zˇe dosah jı´m zavedene´ho

Autotest

169

integra´lu jde dosti za trˇ´ıdu spojityćh funkcı´, tj. zˇe do trˇ´ıdy riemannovsky integrovatelnyćh funkcı´ patrˇ´ı i „velmi silneˇ“ nespojite´ funkce. Tı´m se dostal daleko za Cauchyovy prˇedstavy o tom, zˇe je rozumne´ integrovat jenom funkce po cˇa´stech spojite´. Z dalsˇ´ıch teoriı´ integra´lu jmenujme Lebesgueu˚v integra´l, Perronu˚v integra´l nebo Kurzweilu˚v integra´l, ktere´ byly vytvorˇeny ve 20. stoletı´. Jejich popis vsˇak prˇekracˇuje mozˇnosti tohoto textu. Podrobneˇjsˇ´ı informace o historicke´m vy´voji integra´lnı´ho pocˇtu od stare´ho Egypta azˇ po soucˇasnost lze nale´zt naprˇ. v publikaci [25].

Pojmy k zapamatovańı´ — — — — — —

X

Urcˇity´ integra´l Newton-Leibnizova formule norma deˇlenı´ integra´lnı´ soucˇet integracˇnı´ meze podgraf

Kontrolnı´ ota´zky 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Popisˇte konstrukci urcˇite´ho integra´lu. Uved’te podmıńky integrovatelnosti funkce. Uved’te za´kladnı´ vlastnosti urcˇite´ho integra´lu. Vysveˇtlete princip metody per partes pro urcˇity´ integra´l. Vysveˇtlete princip substitucˇnı´ metody pro urcˇity´ integra´l. Popisˇte mozˇnosti geometrickyćh aplikacı´ urcˇite´ho integra´lu. Popisˇte mozˇnosti fyzika´lnıćh aplikacı´ urcˇite´ho integra´lu.

Autotest 1. Vypocˇ´ıtejte na´sledujıćı´ urcˇite´ integra´ly: Z 1 2 a) xe2x dx,

-

π

sin t

dt, √ 1 + cos2 t

c) 0

2. Vypocˇ´ıtejte na´sledujıćı´ urcˇite´ integra´ly: Z 1 a) arcsin x dx,

b)

π 4

Z

b)

c)

2 1

Z ln (x + 1) dx,

0

d) 0

dx . +x

x2

1

Z

sin3 x cos x dx,

3

d)

0

Z

π 2

Z

0

Z

?

5

x−1 dx, √ 4x − 2

√ 3

x dx. 4 − x2


170

x x2 a y = + 2. 4 2 3 12 Urcˇete de´lku oblouku rovinne´ krˇivky y = ln x na intervalu 5 x 5 . 4 5 Urcˇete objem teˇlesa, ktere´ vznikne rotacı´ podgrafu funkce k : 3y − x 3 okolo osy x, pro x ∈ h0, 1i. Urcˇete obsah pla´sˇteˇ teˇlesa, ktere´ vznikne rotacı´ plochy P ohranicˇene´ krˇivkami y 2 = 2x a 2x = 3 okolo osy x. Vypocˇteˇte hmotnost a sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ homogennı´ rovinne´ plochy, ktera´ je ohranicˇena´ parabolou y = 2x − x 2 a osou x.

3. Urcˇete obsah rovinne´ plochy ohranicˇene´ krˇivkami y = 4. 5. 6. 7.

Klıćˇ k autotestu 1. a)

1 2 (e − 1) , 4

2. a)

π − 1, 2

3.

9,

4.

27 + ln 2 , 20

3 b) , 16 √ 3 2 b) , 2 5.

π , 63

c)

√2 + 1 , ln √ 2−1 c)

6.

14π , 3

ln

4 , e

7.

d)

ln

d)

3 . 2 1.

4 2 M = , T = 1, . 3 5

171

Kapitola 4 Nevlastnı´ integra´l Prˇi definici Riemannova urcˇite´ho integra´lu jsme kladli na funkci, kterou jsme integrovali, dveˇ podstatna´ omezenı´: • integracˇnı´ obor byl ohranicˇeny´ uzavrˇeny´ interval, • integrand byla funkce, ktera´ byla na tomto intervalu (oboustranneˇ, tj. shora i zdola) ohranicˇena´. Nasˇ´ım cı´lem bude asponˇ cˇa´stecˇneˇ tato omezenı´ oslabit a pojem urcˇite´ho integra´lu zobecnit. To provedeme ve dvou smeˇrech. Nejprve prˇipustı´me, zˇe integracˇnı´ obor bude jednostranneˇ neohranicˇeny´ uzavrˇeny´ interval, tj. (−∞, bi nebo ha, +∞). Pak budeme uvazˇovat prˇ´ıpad, kdy interval bude ohranicˇeny´ a polootevrˇeny´. Na za´veˇr popı´sˇeme urcˇite´ zobecneˇnı´, ktere´ vznikne kombinacı´ obou prˇedchozıćh prˇ´ıpadu˚. Tyto zobecneˇne´ urcˇite´ integra´ly se nazy´vajı´ nevlastnı´. Ve zby´vajıćıćh oddı´lech te´to kapitoly se pak budeme zaby´vat tzv. krite´rii konvergence a ota´zkou absolutnı´ a relativnı´ konvergence.

4.1. Nevlastnı´ integra´l na neohranicˇene´m intervalu Uvazˇujme funkci f definovanou R c na intervalu ha, +∞), a ∈ R, takovou, zˇe pro kazˇde´ c > a existuje urcˇity´ integra´l a f (x) dx. Pak mu˚zˇeme definovat funkci F vztahem Z

c

f (x) dx,

F (c) =

c = a.

a

Podle veˇty 3.28 je tato funkce spojita´ na intervalu ha, +∞), ale tento fakt nenı´ pro na´sledujıćı´ definici podstatny´. Nynı´ budeme prˇedpokla´dat, zˇe hornı´ mez c se neomezeneˇ zveˇtsˇuje, a budeme sledovat chovańı´ velicˇiny F (c).

Nevlastnı´ integra´l

172

y y = f (x)

F (c) x a

c → +∞

Obr. 4.1: Definice nevlastnı´ho integra´lu na neohranicˇene´m intervalu Definice 4.1. Necht’ za uvedenyćh prˇedpokladu˚ existuje lim F (c) = I , I ∈ R. Pak c→+∞ R +∞ rˇekneme, zˇe nevlastnı´ integra´l a f (x) dx konverguje a jeho hodnota je I . Tedy +∞

Z

c

Z f (x) dx = lim F (c) = lim c→+∞

a

c→+∞ a

f (x) dx.

(4.1)

V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ, tj. kdyzˇ lim F (c) je nevlastnı´ nebo neexistuje, rˇ´ıka´me, zˇe nevlastnı´ c→+∞ R +∞ integra´l a f (x) dx diverguje.

+

Rc Situace je zna´zorneˇna na obr. 4.1. Sˇeda´ plocha zna´zornˇuje hodnotu integra´lu a f (x) dx. Hornı´ mez c pak neomezeneˇ zveˇtsˇujeme a zajı´ma´ na´s, zda se hodnota tohoto integra´lu v za´vislosti na c blı´zˇ´ı k neˇjake´mu konecˇne´mu cˇ´ıslu I (tj. zda existuje konecˇna´ limita), nebo se nekonecˇneˇ zveˇtsˇuje resp. zmensˇuje (limita je ±∞), nebo osciluje (limita neexistuje). V prvnı´m prˇ´ıpadeˇ rˇ´ıka´me, zˇe integra´l konverguje (tj. ma´ konecˇnou hodnotu, a to cˇ´ıslo I ), ve zby´vajıćıćh dvou prˇ´ıpadech rˇ´ıka´me, zˇe integra´l diverguje (nema´ konecˇnou hodnotu). Prˇ´ıklad 4.2. Vysˇetrˇete na´sledujıćı´ nevlastnı´ integra´ly: Z +∞ Z +∞ dx dx a) , , b) 2 x +1 x 0 1

Z

+∞

c)

sin x dx. 0

Rˇesˇenı´. Budeme postupovat podle definice 4.1. Nejprve najdeme vzorec pomocne´ funkce F (c), ktera´ je funkcı´ hornı´ meze, a pak spocˇ´ıta´me jejı´ limitu pro c → +∞. a) Dostaneme Z F (c) = 0

c

c dx = arctg x = arctg c − arctg 0 = arctg c, 0 x2 + 1

takzˇe lim F (c) = lim arctg c =

c→+∞

c→+∞

π . 2

4.1 Nevlastnı´ integra´l na neohranicˇene´m intervalu

173

Integra´l tedy konverguje a platı´: +∞

Z 0

b) Tentokra´t je Z

c

F (c) = 1

π dx = . +1 2

x2

c dx = ln x 1 = ln c − ln 1 = ln c, x

takzˇe lim F (c) = lim ln c = +∞.

c→+∞

c→+∞

Integra´l tedy diverguje. c) V tomto prˇ´ıpadeˇ je Z c c F (c) = sin x dx = − cos x 0 = − cos c + cos 0 = 1 − cos c, 0

takzˇe lim F (c) = lim (1 − cos c)

c→+∞

c→+∞

neexistuje.

Integra´l tudı´zˇ rovneˇzˇ diverguje. Pru˚beˇh funkcı´ f i F je zna´zorneˇn na obr. 4.2. V kazˇde´ dvojici vzˇdy hornı´ obra´zek zna´zornˇuje integrand f , dolnı´ pak funkci F , ktera´ uda´va´ hodnotu urcˇite´ho integra´lu z funkce f v za´vislosti na hornı´ mezi. Rc Obsah sˇede´ plochy uda´va´ hodnotu integra´lu a f (x) dx. Vsˇimneˇte si, zˇe zatı´mco v prvnıćh dvou prˇ´ıkladech, kdy je integrand f kladna´ funkce, hodnota F (c) s rostoucı´m c evidentneˇ musı´ naru˚stat, ve trˇetı´m prˇ´ıkladeˇ tomu tak nenı´. Na obr. 4.2 a) je videˇt, zˇe s rostoucı´m c se hodnota F (c) = arctg c zveˇtsˇuje a blı´zˇ´ı se k cˇ´ıslu π/2, cozˇ je hodnota tohoto nevlastnı´ho integra´lu. Situace na obr. 4.2 b) je obdobna´, avsˇak tentokra´t hodnota F (c) = ln c neomezeneˇ roste nad vsˇechny meze (i kdyzˇ velmi pomalu). Na obr. 4.2 c) integrand f (x) = sin x meˇnı´ znameńko. V tomto prˇ´ıpadeˇ je tedy velicˇina F (c) rovna rozdı´lu obsahu sˇede´ plochy lezˇ´ıcı´ nad osou x a obsahu sˇede´ plochy R0 lezˇ´ıcı´ pod osou x. ProRc = 0 je hodnota F (0) = 0 = 0 sin x dx. Pak tato hodnota naru˚sta´ π azˇ do F (π) = 2 = 0 sin x dx. Potom se zacˇne zmensˇovat, protozˇe se bude odecˇ´ıtat R 2π obsah plochy lezˇ´ıcı´ pod osou x. Klesa´ azˇ na hodnotu F (2π) = 0 = 0 sin x dx. Pak se cely´ pru˚beˇh opakuje. Tedy hodnota 1 − cos c „osciluje“ pro c jdoucı´ do +∞. N Naprosto analogicky se zava´dı´ nevlastnı´ integra´l na intervalu (−∞, bi, kde b ∈ R. Rb Funkce f (x) musı´ by´t takova´, aby pro kazˇde´ c < b existoval urcˇity´ integra´l c f (x) dx. Pak oznacˇ´ıme Z b

f (x) dx,

G(c) = c

c 5 b,


174

y

y arctg c

1

ln c

1 y= 0

y=

1 x 2 +1

1 x

x

x 1

c → +∞

y

c → +∞

y

π/2

y = ln x y = arctg x

arctg c

ln c

arctg c → π/2

ln c → +∞ x

0

x 0

c → +∞ a)

c → +∞ b)

y 1 − cos c

y = sin x

1 + c → +∞ π

0

x 2π

−

y 2 y = 1 − cos x 1 − cos c 1 − cos c x π

0

c → +∞

2π

c)

Obr. 4.2 a vysˇetrˇujeme limitu lim G(c). Terminologie je stejna´ jako v definici 4.1. Tento integra´l c→−∞

znacˇ´ıme Z

b

f (x) dx. −∞

4.1 Nevlastnı´ integra´l na neohranicˇene´m intervalu

0

Prˇ´ıklad 4.3. Vysˇetrˇete nevlastnı´ integra´l

+

Z

175

ex dx.

−∞

Rˇesˇenı´: Urcˇ´ıme funkci G(c), ktera´ za´visı´ na dolnı´ mezi, a pak spocˇ´ıta´me jejı´ limitu pro c → −∞. Postupneˇ dostaneme: Z 0 0 G(c) = ex dx = ex c = c 0

c

c

=e −e =1−e ,

y 1 − ec

1

y = ex −∞ ← c

x 0 y

takzˇe lim G(c) = lim (1 − ec ) = 1 − 0 = 1.

c→−∞

y=

1 − ex

1 1 − ec

c→−∞

Integra´l proto konverguje a platı´ Z 0 ex dx = 1. −∞

1 ← 1 − ec −∞ ← c

x 0

Obr. 4.3

Situace je zna´zorneˇna na obr. 4.3. Protozˇe integrand f (x) = ex je kladny´, se zmensˇujıćı´m se c se hodnota G(c) = 1 − ec zveˇtsˇuje a prˇiblizˇuje se k cˇ´ıslu 1, cozˇ je hodnota nevlastnı´ho integra´lu. N Ze vsˇech dosavadnıćh prˇ´ıkladu˚ na nevlastnı´ integra´l je zrˇejme´, zˇe prˇi jejich vysˇetrˇovańı´ kromeˇ znalosti urcˇite´ho integra´lu je trˇeba umeˇt pocˇ´ıtat limity. Je potrˇeba spolehliveˇ zna´t grafy beˇzˇnyćh elementa´rnıćh funkcı´ a z nich umeˇt tyto limity urcˇit. Ve slozˇiteˇjsˇ´ıch prˇ´ıpadech samozrˇejmeˇ dojde naprˇ. i na pouzˇitı´ l’Hospitalova pravidla. R +∞ Pozna´mka 4.4. Uvazˇujme nevlastnı´ integra´l a f (x) dx a necht’ d > a. Protozˇe Rc Rd Rc pro c > d je f (x) dx = f (x) dx + a a d f (x) dx, bude existovat konec Rc R cˇ na´ limita lim f (x) dx pra´veˇ tehdy, kdyzˇ bude existovat konecˇna´ limita lim d f (x) dx. c→+∞ a c→+∞ R +∞ Z toho plyne, zˇe integra´l a f (x) dx bude konvergentnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ bude konverR +∞ Rd gentnı´ integra´l d f (x) dx. Jejich hodnoty se budou pochopitelneˇ lisˇit o a f (x) dx. R +∞ Z te´to u´vahy vyply´va´, zˇe o konvergenci resp. divergenci integra´lu a f (x) dx nerozhoduje, jak vypada´ funkce f (x) na sebedelsˇ´ım konecˇne´m pocˇa´tecˇnı´m intervalu ha, di, ale to, jak se chova´ pro x → +∞. (Samozrˇejmeˇ ma´me na mysli, zˇe funkce f (x) splnˇuje prˇedpoklady uvedene´ prˇed definicı´ 4.1.) Naprˇ. zmeˇnı´me-li funkci f (x) na neˇjake´m intervalu ha, di (tak, R +∞aby se na neˇm zachovala jejı´ integrovatelnost), nezmeˇnı´ se vlastnost, zda integra´l a f (x) dx konverguje nebo diverguje. Rb Obdobne´ tvrzenı´ platı´ pro integra´l −∞ f (x) dx — o jeho konvergenci resp. divergenci rozhoduje jen chovańı´ funkce f (x) pro x → −∞.


176

V prˇ´ıkladu 4.3 jsme zjistili, zˇe integra´l

+

zˇe konvergovat budou take´ naprˇ. integra´ly vsˇak budou lisˇit.

R0

ex dx konverguje. −∞ R2 x R −3 x −∞ e dx nebo −∞ e

Z prˇedchozı´ho plyne, dx. Jejich hodnoty se

Na´sledujıćı´ prˇ´ıklad bude velmi du˚lezˇity´ v souvislosti s tzv. krite´rii konvergence. Z +∞ dx Prˇ´ıklad 4.5. Rozhodneˇte, pro ktera´ k ∈ R je integra´l konvergentnı´. xk 1 Rˇesˇenı´. V prˇ´ıkladu 4.2 b) jsme zjistili, zˇe integra´l je divergentnı´ pro k = 1. Necht’ tedy k 6= 1. Pak c

Z F (c) = 1

dx = xk

c

Z

x

−k

1

x −k+1 dx = −k + 1

c = 1

1 1 − c−k+1 (c−k+1 − 1) = . −k + 1 k−1

Musı´me tedy urcˇit limitu lim c−k+1 . Jde o mocninnou funkci s exponentem −k + 1. c→+∞

Prˇipomenˇme si grafy mocninne´ funkce y = x s v za´vislosti na exponentu s. y s>1

s=1

0<s<1 s=0

1

s<0 O

1

x

Obr. 4.4: Graf funkce y = x s , s ∈ R, x > 0 Z pru˚beˇhu te´to funkce vyply´va´, zˇe limita je nulova´ pro za´porny´ exponent, tj. pro −k + 1 < 0, a je rovna +∞ pro kladny´ exponent, tj. pro −k + 1 > 0. Celkoveˇ tedy vyjde: 1−0 1 1 − c−k+1 = = c→+∞ c→+∞ k−1 k−1 k−1 −k+1 1−c 1−∞ lim F (c) = lim = = +∞ c→+∞ c→+∞ k−1 k−1 lim F (c) = lim

Vezmeme-li v u´vahu i prˇ´ıpad k = 1, dostaneme, zˇe ( Z +∞ dx konverguje pro k > 1, k x diverguje pro k 5 1. 1

pro k > 1, pro k < 1.

(4.2)

4.2 Nevlastnı´ integra´l z neohranicˇene´ funkce

V konvergentnı´m prˇ´ıpadeˇ k > 1 platı´ Z +∞ 1

177

dx 1 = , xk k−1

ale tento vy´sledek nenı´ zdaleka tak du˚lezˇity´, jako skutecˇnost, zˇe hranicı´ mezi konvergencı´ a divergencı´ tohoto integra´lu je hodnota k = 1. Z pozna´mky 4.4 navıć plyne, zˇe odpoveˇd’ bude stejna´, kdyzˇ v (4.2) nahradı´me dolnı´ mez 1 libovolny´m kladny´m cˇ´ıslem d. Ze srovna´vacı´ho krite´ria — viz du˚sledek 4.19 — uvidı´me, zˇe tvrzenı´ o divergenci je v prˇ´ıpadeˇ k 5 0, tj. kdyzˇ integrand f (x) = 1/x k je kladny´ a neklesajıćı´ (pro k < 0 dokonce rostoucı´), trivia´lnı´. Zajı´mavy´ je proto pouze prˇ´ıpad k > 0, kdy je tento integrand kladny´ a klesajıćı´. N

4.2. Nevlastnı´ integra´l z neohranicˇene´ funkce Uvazˇujme funkci f definovanou na intervalu R c ha, b), a, b ∈ R, a < b, takovou, zˇe pro kazˇde´ c ∈ (a, b) existuje urcˇity´ integra´l a f (x) dx. Da´le budeme prˇedpokla´dat, zˇe funkce f nenı´ na intervalu ha, b) ohranicˇena´. Pak rˇ´ıka´me, zˇe bod b je singula´rnı´m bodem funkce f . Tedy v zˇa´dne´m leve´m δ-okolı´ (b − δ, b) bodu b, 0 < δ < b − a, nenı´ funkce f ohranicˇena´. Nynı´ mu˚zˇeme opeˇt definovat funkci F vztahem Z c F (c) = f (x) dx, a 5 c < b, a

a vysˇetrˇovat, co se deˇje s hodnotou F (c), kdyzˇ se c neomezeneˇ prˇiblizˇuje zleva k b — viz obr. 4.5. Definice 4.6. Necht’ za uvedenyćh prˇedpokladu˚ existuje lim F (c) = I , I ∈ R. Pak c→b− Rb rˇekneme, zˇe nevlastnı´ integra´l a f (x) dx konverguje a jeho hodnota je I . Tedy b

Z

Z f (x) dx = lim F (c) = lim

a

c→b−

c→b− a

c

f (x) dx.

(4.3)

Protozˇe situace je velmi podobna´ jako u nevlastnı´ho integra´lu na neohranicˇene´m intervalu, ktery´ byl zaveden v definici 4.1, budeme v dalsˇ´ım vy´kladu postupovat rychleji. Z 1 x dx Prˇ´ıklad 4.7. Vysˇetrˇete nevlastnı´ integra´l . √ 1 − x2 0

+

V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ, tj. kdyzˇ lim F (c) je nevlastnı´ nebo neexistuje, rˇ´ıka´me, zˇe nevlastnı´ c→b− Rb integra´l a f (x) dx diverguje.


178

y

y = f (x)

F (c) x c → b−

a

b

Obr. 4.5: Definice nevlastnı´ho integra´lu z neohranicˇene´ funkce Rˇesˇenı´: Integrand je funkce spojita´ na intervalu h0, 1). V bodeˇ x = 1 nenı´ definovana´. Da´le 1 x = = +∞. lim √ +0 x→1− 1 − x2

y y = √x

1−x 2

√ 1−

1 − c2

Jedna´ se tedy skutecˇneˇ o nevlastnı´ integra´l z neohranicˇene´ funkce. (Funkce ma´ asymptotu bez smeˇrnice x = 1.) Nejprve proto vypocˇteme urcˇity´ integra´l na intervalu h0, ci, 0 5 c < 1: 1 − x2 = t Z c −2x dx = dt x dx = = F (c) = √ 1 2 dt x dx = − 1−x 0 2 0 ; 1, c ; 1 − c2 Z Z 2 2 1 1−c dt 1 1−c −1/2 =− t dt = √ =− 2 1 2 1 t 2 √ 1 1 t 1/2 1−c =− = t 1−c2 = 2 1/2 1 p = 1 − 1 − c2 .

x 0

c→

1−

1

y 1 y =1−

√ 1 − x2

F (c)

√ 1− 0

c → 1−

1 − c2 x

Da´le vypocˇteme limitu pro c → 1− : p lim F (c) = lim 1 − 1 − c2 = 1 − 0 = 1.

1

Obr. 4.6 Integra´l je tedy konvergentnı´ a platı´: Z 0

Situace je zna´zorneˇna na obr. 4.6.

c→1−

1

c→1−

x dx = 1. √ 1 − x2 N


179

Obdobneˇ se postupuje, je-li funkce f definovana´ na intervalu (a, bi, a, b ∈ R, a < b, a je integrovatelna´ na kazˇde´m intervalu hc, bi, kde c ∈ (a, b). Opeˇt budeme prˇedpokla´dat, zˇe funkce f nenı´ ohranicˇena´ na intervalu (a, bi. Tedy a je jejı´ singula´rnı´ bod. Definujeme funkci Z b G(c) = f (x) dx, a < c 5 b, c

Z Prˇ´ıklad 4.8. Vysˇetrˇete nevlastnı´ integra´l 0

2

+

a vysˇetrˇujeme limitu pro c → a + . Terminologie a oznacˇenı´ jsou stejne´ jako v definici 4.6. dx . x

Rˇesˇenı´: Integrand je funkce spojita´ na intervalu (0, 2i. V bodeˇ x = 0 nenı´ definovana´. Protozˇe 1 lim = + x→0 x

1 +0

y y=

1 x

= +∞, ln 2 − ln c

jde skutecˇneˇ o nevlastnı´ integra´l. (Funkce, jejı´mzˇ grafem je rovnoosa´ hyperbola, ma´ asymptotu bez smeˇrnice x = 0.) Nejprve vypocˇteme urcˇity´ integra´l na intervalu hc, 2i, 0 < c 5 2: 2

Z c

x 0+ ←

0

2 dx = ln x c = ln 2 − ln c. x

c

2

y y = ln 2 − ln x

Da´le vypocˇteme limitu pro c →

0+ : G(c)

lim (ln 2 − ln c) = ln 2 − (−∞) = +∞.

ln 2 − ln c

c→0+

Integra´l je tedy divergentnı´. Situace je zna´zorneˇna na obr. 4.7. Hodnota G(c) = ln 2 − ln c se neomezeneˇ zveˇtsˇuje pro c → 0+ . N

x 0

0+ ←

c

2

Obr. 4.7

Pozna´mka 4.9. 1. Nevlastnı´ integra´l z neohranicˇene´ funkce ma´ obdobne´ vlastnosti jako nevlastnı´ integra´l na neohranicˇene´m intervalu. Zejmeńa o konvergenci resp. divergenci rozhoduje pru˚beˇh funkce v okolı´ singula´rnı´ho bodu.


180

2. Nevlastnı´ integra´l z neohranicˇene´ funkce ma´ pro studenty jednu velmi neprˇ´ıjemnou vlastnost. Zatı´mco nevlastnı´ integra´l na neohranicˇene´m intervalu na prvnı´ pohled poznajı´,protozˇe v mezıćh figuruje symbol +∞ nebo −∞, oznacˇenı´ nevlastnı´ho integra´lu z neohranicˇene´ funkce je stejne´ jako oznacˇenı´ obycˇejne´ho urcˇite´ho integra´lu. V du˚sledku toho studenti cˇasto prˇehle´dnou, zˇe jde o nevlastnı´ integra´l, a prˇi vy´pocˇtu postupujı´, jako by sˇlo o obycˇejny´ urcˇity´ integra´l, cozˇ mu˚zˇe ve´st k fata´lnı´m nesmyslu˚m. V na´sledujıćı´m oddı´lu — viz prˇ´ıklad 4.13 — si uka´zˇeme, k cˇemu takove´ prˇehle´dnutı´ mu˚zˇe ve´st. Rb Uvidı´me-li proto od te´to chvı´le symbol a f (x) dx, musı´me zvazˇovat, zda je funkce f (x) na intervalu ha, bi ohranicˇena´ a jde tudı´zˇ o obycˇejny´ urcˇity´ integra´l, nebo zda ohranicˇena´ nenı´, ma´ singula´rnı´ bod a jde o nevlastnı´ integra´l. Typicky´m prˇ´ıznakem je, zˇe funkce nenı´ v neˇktere´m bodeˇ definovana´. Nejcˇasteˇji jde o deˇlenı´ Rnulou. To ovsˇem porˇa´d neznamena´, zˇe musı´ jı´t o nevlastnı´ integra´l. Srovnejte π integra´l 0 sinx x dx — viz obr. 3.10 a) na str. 112. Funkce sinx x sice nenı´ definovana´ pro x = 0, ale je ohranicˇena´, takzˇe jak jsme uka´zali na str. 112, jde o beˇzˇny´ urcˇity´ integra´l. Obdobneˇ je tomu s integra´lem z funkce na obr. 3.10 b). 3. Polozˇme si ota´zku, co se naopak stane, kdyzˇ prˇi vy´pocˇtu beˇzˇne´ho urcˇite´ho integra´lu omylem postupujeme, jako by sˇlo o nevlastnı´ integra´l. Ukazuje se, zˇe nasˇteˇstı´ se nestane nic. To plyne z vlastnostı´ urcˇite´ho integra´lu jako funkce mezı´ — viz oddı´l 3.5.3. Prˇedpokla R c ´ dejme, zˇe naprˇ. bod b omylem povazˇujeme za singula´rnı´ bod. Pak funkce F (c) = a f (x) dx je podle veˇty 3.28 spojita´ na cele´m intervalu ha, bi. Protozˇe u spojite´ funkce je limita rovna funkcˇnı´ hodnoteˇ, platı´ Z b f (x) dx, lim F (c) = F (b) = c→b−

a

cozˇ je spra´vny´ vy´sledek. Dokonce je neˇkdy vy´hodne´ takto postupovat. Typicky´m prˇ´ıkladem je trˇeba urcˇity´ R1 integra´l 0 x ln x dx. Funkce x ln x je spojita´ na intervalu (0, 1i. Pomocı´ l’Hospitalova pravidla urcˇ´ıme limitu zprava v bodeˇ x = 0. Vyjde 1 ln x −∞ LH = lim x 1 = − lim x = 0. lim x ln x = lim 1 = +∞ x→0+ x→0+ x→0+ − 2 x→0+ x x Funkce je tedy ohranicˇena´ na intervalu (0, 1i, takzˇe je riemannovsky integrovatelna´ na intervalu h0, 1i. Hodnotu v bodeˇ x = 0 mu˚zˇeme zvolit libovolneˇ, na vy´sledek to nema´ vliv (srovnejte prˇ´ıklady z obr. 3.10 na str. 112). Chceme-li nynı´ pouzˇ´ıt Newtonovu-Leibnizovu formuli na cely´ integracˇnı´ obor h0, 1i, budeme mı´t proble´m s nalezenı´m primitivnı´ funkce v bodeˇ x = 0. Sˇlo by naprˇ. pouzˇ´ıt veˇtu 2.29. Jina´ mozˇnost je postupovat podle prˇedchozı´ho na´vodu. Tı´mto zpu˚sobem dostaneme: Z 1 Z u = ln x u0 = 1 1 1 1 1 2 x G(c) = x ln x dx = 0 x ln x c − x dx = = v =x 2 c v = 21 x 2 2 c 1 1 1 1 1 c2 = − c2 ln c − x 2 c = − c2 ln c − + . 2 4 2 4 4


181

Nynı´ vypocˇteme limitu. Po u´praveˇ a pouzˇitı´ l’Hospitalova pravidla vyjde: 1 2 1 c2 1 1 lim G(c) = lim − c ln c − + = − lim c2 ln c − + 0 = + + + 2 4 4 2 c→0 4 c→0 c→0 1 1 1 ln c 1 1 =− − lim 1 = − − lim c 2 = 4 2 c→0+ 2 4 2 c→0+ − 3 c c

1 1 1 1 =− + lim c2 = − + 0 = − , 4 4 c→0+ 4 4 takzˇe Z

1

Na za´veˇr uvedeme prˇ´ıklad, jehozˇ vy´sledek opeˇt podstatneˇ vyuzˇijeme v souvislosti s krite´rii konvergence. Z 1 dx Prˇ´ıklad 4.10. Rozhodneˇte, pro ktera´ k ∈ R, k > 0, je integra´l konvergentnı´. k 0 x Rˇesˇenı´. Funkce 1/x k = x −k je spojita´ na intervalu (0, 1i. Z grafu˚ mocninnyćh funkcı´ na obr. 4.4 je videˇt, zˇe pro k > 0 platı´ lim = x −k = +∞, takzˇe jde o nevlastnı´ integra´l. x→0+

(Pro k 5 0 jde naopak o norma´lnı´ urcˇity´ integra´l.) Z prˇ´ıkladu 4.8 vı´me, zˇe integra´l diverguje pro k = 1. Necht’ tedy k 6= 1. Postupneˇ dostaneme: −k+1 1 Z 1 Z 1 dx x 1 1 − c−k+1 −k −k+1 G(c) = = x dx = = (1 − c )= . k −k + 1 c −k + 1 1−k c x c Nynı´ vypocˇ´ıta´me limitu. S pomocı´ obr. 4.4 je snadno videˇt, zˇe 1 − c−k+1 1−0 1 = = + + 1−k 1−k 1−k c→0 c→0 −k+1 1−c 1−∞ lim G(c) = lim = = +∞ 1−k 1−k c→0+ c→0+ lim G(c) = lim

Zahrneme-li i prˇ´ıpad k = 1, dostaneme, zˇe ( Z 1 dx konverguje k diverguje 0 x

pro 0 < k < 1, pro k > 1.

pro 0 < k < 1, pro k = 1.

(4.4)

V konvergentnı´m prˇ´ıpadeˇ 0 < k < 1 platı´ Z 1 dx 1 = , k 1−k 0 x ale opeˇt tento vy´sledek nenı´ tak du˚lezˇity´, jako skutecˇnost, zˇe hranicı´ mezi konvergencı´ a divergencı´ tohoto integra´lu je hodnota k = 1. N

+

1 x ln x dx = − . 4 0 Jesˇteˇ jednou vsˇak zdu˚razneˇme, zˇe tento integra´l nenı´ nevlastnı´.


182

Posunutı´m funkce 1/x k o cˇ´ıslo α vpravo nebo vlevo a prˇ´ıpadny´m prˇeklopenı´m kolem prˇ´ımky x = α se snadno zva´zˇ´ı, zˇe rovneˇzˇ integra´ly Z α Z d dx dx , d < α, resp. , d > α, (4.5) k k d (α − x) α (x − α) konvergujı´ pro 0 < k < 1 a divergujı´ pro k = 1 — viz obr. 4.8 a) a 4.8 b). Konecˇneˇ z prˇ´ıkladu˚ 4.5 a 4.10 je videˇt, zˇe nevlastnı´ integra´ly Z +∞ Z d dx dx a , k xk d 0 x kde d > 0, pro k = 1 oba divergujı´ a pro k > 0, k 6= 1 pra´veˇ jeden z nich konverguje a pra´veˇ jeden diverguje — viz obr. 4.8 c). Konkre´tneˇ platı´: d

Z 0

dx xk

Z

+∞

d

dx xk

0 < k < 1 konverguje diverguje k=1 diverguje diverguje k>1 diverguje konverguje

4.3. Zobecneˇnı´ nevlastnı´ho integra´lu Prˇi zava´deˇnı´ nevlastnı´ho integra´lu z funkce f jsme doposud prˇedpokla´dali, zˇe interval, na neˇmzˇ jsme integrovali, obsahoval pra´veˇ jeden „sˇpatny´“ bod, tj. bod, ktery´ zpu˚soboval, zˇe neexistoval obycˇejny´ urcˇity´ integra´l. Navıć vzˇdy sˇlo o koncovy´ bod integracˇnı´ho oboru. Bud’ to byl symbol +∞ nebo −∞, nebo to byl tzv. singula´rnı´ bod, v jehozˇ zˇa´dne´m okolı´ nebyl integrand f ohranicˇeny´. Tento „sˇpatny´“ konec integracˇnı´ho oboru jsme „odrˇ´ızli“ prˇ´ımkou x = c a integrovali funkci f prˇes zby´vajıćı´ ohranicˇeny´ uzavrˇeny´ interval. Pak jsme limitnı´m prˇechodem zmensˇovali „odrˇ´ıznutou“ cˇa´st integracˇnı´ho oboru. Nynı´ dovolı´me, aby integracˇnı´ obor J (vzˇdy pu˚jde o interval) obsahoval takovyćh „sˇpatnyćh“ bodu˚ vıće, ale konecˇny´ pocˇet. Tedy naprˇ. mu˚zˇe by´t neohranicˇeny´ na obeˇ strany, y y=

1 (α−x)k

y=

1 (x−α)k

x d

α a)

y=

1 xk

x α

d b)

Obr. 4.8

x 0

d c)

4.3 Zobecneˇnı´ nevlastnı´ho integra´lu

183

y y = f (x)

x d1

a

d2

b

Obr. 4.9: Zobecneˇnı´ nevlastnı´ho integra´lu

tj. mu˚zˇe to by´t interval (−∞, +∞). Nebo mohou by´t v obou koncıćh singula´rnı´ body. Nebo mu˚zˇe by´t singula´rnı´ bod i uvnitrˇ integracˇnı´ho oboru; singula´rnı´m bodem v tomto prˇ´ıpadeˇ rozumı´me takovy´ bod, v jehozˇ zˇa´dne´m oboustranne´m okolı´ nenı´ integrand f ohranicˇeny´. V singula´rnıćh bodech integrand f obvykle nebude definovany´, to vsˇak nema´ na nic vliv. Tedy J bude interval s koncovy´mi body α a β, kde −∞ 5 α < β 5 +∞. Postupovat budeme tak, zˇe mezi „sˇpatne´“ body vlozˇ´ıme pomocne´ body a rozdeˇlı´me pomocı´ nich a singula´rnıćh bodu˚ integracˇnı´ obor J tak, aby jeho jednotlive´ dı´ly neobsahovaly uvnitrˇ uzˇ zˇa´dny´ singula´rnı´ bod, tj. vsˇechny singula´rnı´ body budou krajnı´mi body neˇkteryćh vzniklyćh podintervalu˚. Prˇitom kazˇdy´ podinterval bude mı´t „sˇpatny´“ pra´veˇ jeden konec. Pak budeme vysˇetrˇovat integra´ly na jednotlivyćh podintervalech. Budeme prˇedpokla´dat, zˇe pro libovolny´ ohranicˇeny´ uzavrˇeny´ interval ha, bi, ktery´ je cˇa´stı´ integracˇnı´ho Rb oboru J a neobsahuje zˇa´dny´ singula´rnı´ bod, existuje urcˇity´ integra´l a f (x) dx. Pu˚jde tudı´zˇ o nevlastnı´ integra´ly prˇedchozıćh dvou typu˚. Princip cele´ho postupu si uka´zˇeme na funkci f s integracˇnı´m oborem (−∞, +∞), jejı´zˇ graf je uveden na obr. 4.9. „Sˇpatne´“ body jsou zrˇejmeˇ ±∞ a body a a b, ktere´ jsou singula´rnı´ (prˇ´ımky x = a a x = b jsou asymptotami bez smeˇrnice ke grafu funkce f ). Vlozˇ´ıme tedy pomocny´ bod d1 mezi −∞ a a a pomocny´ bod d2 mezi a a b. Mezi b a +∞ pomocny´ bod vkla´dat nemusı´me, protozˇe v prave´m okolı´ bodu b je integrand f ohranicˇeny´. Dostaneme peˇt nevlastnıćh integra´lu˚

Z

d1

Z

a

f (x) dx, −∞

Z f (x) dx,

d1

d2

Z

b

f (x) dx, a

Z f (x) dx,

d2

+∞

f (x) dx. b


184

Definice 4.11. Za vy´sˇe uvedenyćh prˇedpokladu˚ rˇekneme, zˇe nevlastnı´ integra´l Rβ ´ veˇ tehdy, kdyzˇ konvergujı´ vsˇechny dı´lcˇ´ı nevlastnı´ integra´ly. α f (x) dx konverguje pra Jeho hodnota je potom soucˇtem hodnot jednotlivyćh integra´lu˚. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ, tj. pokud alesponˇ jeden dı´lcˇ´ı integra´l diverguje, rˇ´ıka´me, zˇe nevlastnı´ Rβ integra´l α f (x) dx diverguje. Pokud by tedy vsˇech pe dı´lcˇ´ıch integra´lu˚ v nasˇem ilustracˇnı´m prˇ´ıkladu konvergovalo, Rˇ t+∞ konvergoval by i integra´l −∞ f (x) dx a platilo by: Z +∞ Z d1 Z a Z d2 f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx + −∞

d1

−∞

Z

b

Z f (x) dx +

+ d2

a +∞

f (x) dx. b

+

Narazı´me-li prˇi vysˇetrˇovańı´ dı´lcˇ´ıch nevlastnıćh integra´lu˚ na divergentnı´, vy´pocˇet koncˇ´ı a vyćhozı´ integra´l je rovneˇzˇ divergentnı´. Proto je v konkre´tnı´m prˇ´ıpadeˇ vy´hodne´ zacˇ´ıt s teˇmi dı´lcˇ´ımi integra´ly, o nichzˇ si myslı´me, zˇe divergujı´. Pokud bude na´sˇ odhad spra´vny´, vy´pocˇet bude kratsˇ´ı. Na za´veˇr je trˇeba zmıńit se jesˇteˇ o tom, jakou roli hrajı´ pomocne´ deˇlıćı´ body. Proble´m by byl, kdyby prˇi jine´m vy´beˇru mohl by´t odlisˇny´ vy´sledek, tj. odpoveˇd’ na ota´zku, zda integra´l konverguje nebo diverguje a kolik je jeho hodnota v konvergentnı´m prˇ´ıpadeˇ, by mohla by´t jina´. Z aditivity urcˇite´ho integra´lu vzhledem k integracˇnı´mu oboru (veˇta 3.9) a pozna´mky 4.4 vyply´va´, zˇe nic takove´ho se nemu˚zˇe sta´t. Pomocne´ deˇlıćı´ body si tedy mu˚zˇeme vybrat libovolneˇ. Dokonce by ani nevadilo, kdybychom prˇidali neˇjake´ zbytecˇneˇ navıć, takzˇe by neˇktere´ dı´lcˇ´ı integra´ly nebyly nevlastnı´. Samozrˇejmeˇ, pokud je to mozˇne´, je vy´hodne´ je volit tak, aby se vyuzˇila prˇ´ıpadna´ symetrie integrandu (suda´ a licha´ funkce), soumeˇrnost grafu vzhledem k neˇjake´ rovnobeˇzˇce s osou y a pod., aby se vy´pocˇty co nejvıće usnadnily. Popsany´ postup si uka´zˇeme na neˇkolika prˇ´ıkladech. Prˇ´ıklad 4.12. Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ nevlastnı´ integra´ly: Z 1 Z +∞ x2 dx a) dx, b) , √ 6 1 − x2 −∞ x + 1 −1 Z +∞ Z 2 2 dx x −x+1 c) , d) dx. √ x−1 x (x + 1) 0 0 Rˇesˇenı´. 2 a) Integrand x 6x+1 je spojity´ na cele´ rea´lne´ ose, takzˇe stacˇ´ı vlozˇit jeden pomocny´ bod, ktery´ oddeˇlı´ −∞ a +∞. Vzhledem symetrii (funkce je suda´) je vhodne´ zvolit nulu — viz obr. 4.10 a). Dostaneme dva nevlastnı´ integra´ly na neohranicˇenyćh intervalech Z 0 Z +∞ x2 x2 dx a dx. (4.6) 6 x6 + 1 −∞ x + 1 0


185

Zacˇneme naprˇ. druhy´m z nich. „Odrˇ´ızneme“ pravy´ konec, tj. vypocˇ´ıta´me pro c = 0 s pouzˇitı´m substitucˇnı´ metody pro urcˇity´ integra´l, zˇe x3 = t Z c Z 2 2 1 c3 dt x 3x dx = dt F (c) = dx = 2 = 1 = 6 2 0 x +1 x dx = 3 dt 3 0 t + 1 0 ; 0, c ; c3 c 3 1 1 1 1 = arctg t 0 = arctg c3 − arctg 0 = arctg c3 . 2 3 3 3 Da´le urcˇ´ıme limitu pro c → +∞: Z +∞ 1 1 π π π x2 3 lim arctg c = · = ⇒ dx = . 6 c→+∞ 3 3 2 6 x +1 6 0 Protozˇe integrand je suda´ funkce, musı´ by´t nutneˇ vzhledem k symetrii i prvnı´ integra´l v (4.6) konvergentnı´ a naby´vat stejne´ hodnoty. Nemusı´me ho tedy pocˇ´ıtat. Celkoveˇ tudı´zˇ na´sˇ integra´l konverguje a platı´: Z +∞ Z 0 Z +∞ x2 x2 x2 π π π dx = dx + dx = + = . 6 6 6 x +1 6 6 3 −∞ x + 1 −∞ x + 1 0 b) Integrand √ 1

1−x 2

je spojity´ na intervalu (−1, 1). Jelikozˇ 1

1 +0

1

1 +0

lim √ = +∞, lim √ = +∞, = = x→1− 1 − x2 1 − x2 jsou oba konce singula´rnı´mi body (jsou zde asymptoty bez smeˇrnice). Vlozˇ´ıme mezi neˇ deˇlıćı´ bod, nejle´pe zase nulu, protozˇe integrand je sudou funkcı´. Dostaneme dva nevlastnı´ integra´ly z neohranicˇenyćh funkcı´ — viz obr. 4.10 b): Z 0 Z 1 dx dx a . (4.7) √ √ 1 − x2 1 − x2 −1 0 Opeˇt zacˇneme naprˇ. s druhy´m z nich. „Odrˇ´ızneme“ pravy´ konec, tj. vypocˇ´ıta´me pro 0 5 c < 1, zˇe Z c c dx = arcsin x 0 = arcsin c − arcsin 0 = arcsin c. F (c) = √ 1 − x2 0 x→−1+

Da´le urcˇ´ıme limitu pro c → 1− : π lim arcsin c = − 2 c→1

dx π = . √ 2 1 − x2 0 Dı´ky soumeˇrnosti musı´ by´t prvnı´ integra´l v (4.7) take´ konvergentnı´ a mı´t stejnou hodnotu. Celkoveˇ proto na´sˇ integra´l konverguje a platı´: Z 1 Z 0 Z 1 dx dx dx π π = + = + = π. √ √ √ 2 2 1 − x2 1 − x2 1 − x2 −1 −1 0 Z

⇒

1


186

y y= √1

1−x 2

y

y=

1

x2 x 6 +1

x

x −1 1

0

0

a)

1

b) y

y

3

y=

x 2 −x+1 x−1

√ 1 x (x+1)

y=

x 0 −1

x 0

1

2

1 c)

d)

Obr. 4.10: Nevlastnı´ integra´ly

c) Integrand

√ 1 x (x+1)

je spojity´ na intervalu (0, +∞). Jelikozˇ

1 lim √ = x (x + 1) x→0+

1 +0

= +∞,

je v leve´m konci singula´rnı´ bod (je zde asymptota bez smeˇrnice). Mezi neˇho a +∞ vlozˇ´ıme jeden deˇlıćı´ bod, naprˇ. jednicˇku. Dostaneme dva nevlastnı´ integra´ly, prvnı´ z neohranicˇene´ funkce a druhy´ na neohranicˇene´m intervalu — viz obr. 4.10 c):

Z 0

1

dx √ x (x + 1)

Z a 1

+∞

dx . √ x (x + 1)

(4.8)

Vysˇetrˇ´ıme prvnı´ z nich. „Odrˇ´ızneme“ levy´ konec, tj. vypocˇ´ıta´me pro 0 < c 5 1 s pouzˇitı´m substitucˇnı´ metody pro urcˇity´ integra´l, zˇe


187

x = t2 Z 1 dx 2t dt = G(c) = = dx = √ 2t dt √ √ t (t 2 + 1) = x (x + 1) c ; c, 1 ; 1 c c Z 1 1 √ dt =2 √ 2 = 2 arctg t √c = 2 arctg 1 − 2 arctg c = c t +1 Z

1

=2·

√ √ π π − 2 arctg c = − 2 arctg c. 4 2

Urcˇ´ıme limitu pro c → 0+ : √ π π π − 2 arctg c = − 2 arctg 0 = lim + 2 2 2 c→0

Z ⇒ 0

1

π dx = . √ 2 x (x + 1)

Nynı´ vysˇetrˇ´ıme druhy´ integra´l z (4.8). „Odrˇ´ızneme“ pravy´ konec, tj. vypocˇ´ıta´me pro c = 1, zˇe Z √c x = t2 Z c dx 2t dt F (c) = = dx = 2t dt √ = = √ t (t 2 + 1) x (x + 1) 1 ; 1, c ; c 1 1 √ c

√c √ dt = 2 arctg t =2 c − 2 arctg 1 = = 2 arctg 1 t2 + 1 1 √ √ π π = 2 arctg c − 2 · = 2 arctg c − . 4 2 Urcˇ´ıme limitu pro c → +∞: Z +∞ √ π π π π dx π =2· − = = . lim 2 arctg c − ⇒ √ c→+∞ 2 2 2 2 2 x (x + 1) 1 Z

Protozˇe oba dı´lcˇ´ı integra´ly konvergujı´, konverguje i na´sˇ integra´l a platı´ Z 1 Z +∞ Z +∞ dx dx dx π π = + = + = π. √ √ √ 2 2 x (x + 1) x (x + 1) x (x + 1) 0 0 1 2

−x+1 d) Integrand x x−1 je spojity´ na intervalu h0, 2i s vy´jimkou bodu x = 1, v neˇmzˇ nenı´ definovany´. Jelikozˇ x2 − x + 1 1 x2 − x + 1 1 lim = = −∞, lim = = +∞, −0 +0 x−1 x−1 x→1− x→1+

jde o singula´rnı´ bod (je zde asymptota bez smeˇrnice). Integracˇnı´ obor h0, 2i tedy rozdeˇlı´me v tomto singula´rnı´m bodeˇ. Dostaneme dva nevlastnı´ integra´ly z neohranicˇenyćh funkcı´ — viz 4.10 d): Z 1 2 Z 2 2 x −x+1 x −x+1 dx a dx. (4.9) x−1 x−1 0 1


188

Vysˇetrˇ´ıme naprˇ. druhy´ z nich. „Odrˇ´ızneme“ levy´ konec, tj. vypocˇ´ıta´me, zˇe pro 1 < c 5 2 je 2 2 Z 2 x2 − x + 1 x 1 G(c) = dx = dx = x+ + ln |x − 1| = x−1 x−1 2 c c c 2 2 c c = 2 + ln 1 − − ln |c − 1| = 2 − − ln |c − 1|. 2 2 Z

2

Urcˇ´ıme limitu pro c → 1+ : c2 1 lim 2 − − ln |c − 1| = 2 − − (−∞) = +∞. 2 2 c→1+ Tento dı´lcˇ´ı integra´l diverguje, takzˇe diverguje i na´sˇ integra´l. Na prvnı´m integra´lu z (4.9) uzˇ neza´lezˇ´ı (snadno se oveˇrˇ´ı, zˇe take´ diverguje). N

+

V podkapitole 3.6.1 jsme se zaby´vali geometricky´mi aplikacemi urcˇite´ho integra´lu. Ukazuje se, zˇe vzorce tam uvedene´ platı´, i kdyzˇ vedou na konvergentnı´ nevlastnı´ integra´ly. Naprˇ. integrandy v prvnıćh trˇech nevlastnıćh integra´lech z obr. 4.10 jsou neza´porne´. Protozˇe tyto integra´ly konvergovaly, uda´vajı´ jejich hodnoty obsahy prˇ´ıslusˇnyćh podgrafu˚. Naopak obr. 4.8 c) a za nı´m na´sledujıćı´ tabulka rˇ´ıkajı´, zˇe obsah podgrafu funkce 1/x k , kde k > 0, nenı´ na intervalu (0, +∞) nikdy konecˇny´. Podobne ˇ v prˇ´ıkladu 3.40 jsme zavrhli vy´pocˇet de´lky pu˚lkruzˇnice, vycha´zejıćı´ z funkce √ y = r 2 − x 2 , protozˇe vedl na integra´l z neohranicˇene´ funkce Z r r dx, √ 2 r − x2 −r a pouzˇili mı´sto toho parametricke´ vyja´drˇenı´ kruzˇnice. Nynı´ jizˇ vı´me, zˇe jde o nevlastnı´ integra´l, ktery´ ma´ singula´rnı´ body v obou koncıćh integracˇnı´ho oboru h−r, ri. Snadno si mu˚zˇete oveˇrˇit, zˇe tento integra´l konverguje a da´va´ spra´vny´ vy´sledek pro de´lku pu˚lkruzˇnice πr — v podstateˇ jde o integra´l zna´zorneˇny´ na obr. 4.10 b); tam bylo r = 1, takzˇe vy´sledek byl π. Nevlastnı´ integra´l ma´ znacˇny´ vy´znam i pro fyzika´lnı´ aplikace. Na za´veˇr spocˇ´ıta´me jeden jednoduchy´ prˇ´ıklad, na neˇmzˇ si uka´zˇeme hrubou chybu, ktere´ se studenti bohuzˇel neˇkdy dopousˇteˇjı´. Z 1 dx Prˇ´ıklad 4.13. Vypocˇteˇte integra´l . 2 −1 x Rˇesˇenı´: Integrand x12 je spojity´ na intervalu h−1, 1i s vy´jimkou bodu x = 0, kde nenı´ definovany´. Jelikozˇ 1 1 lim 2 = = +∞, + x→0 x 0


189

jde o singula´rnı´ bod (je zde asymptota bez smeˇrnice). Integracˇnı´ obor h−1, 1i rozdeˇlı´me v tomto singula´rnı´m bodeˇ a dostaneme dva nevlastnı´ integra´ly z neohranicˇenyćh funkcı´ — viz obr. 4.11: Z

0

−1

Z

dx x2

a 0

1

y

y=

dx . x2

Vysˇetrˇ´ıme prvnı´ integra´l. „Odrˇ´ızneme“ pravy´ konec, tj. vypocˇ´ıta´me pro −1 5 c < 0, zˇe Z c Z c 1 dx 1 c −2 = − = − 1. x dx = − 2 x −1 c −1 x −1

1 x2

x −11

0

1

Obr. 4.11

Urcˇ´ıme limitu pro c → 0− : lim

c→0−

1 − − 1 = −(−∞) − 1 = +∞, c

takzˇe integra´l je divergentnı´. Rychleji jsme to mohli zjistit ze vzorce (4.4). Ze symetrie je zrˇejme´, zˇe i druhy´ dı´lcˇ´ı integra´l da´ stejny´ vy´sledek, ale to uzˇ nehraje roli. Kazˇdopa´dneˇ na´sˇ integra´l na intervalu h−1, 1i diverguje. Studenti neˇkdy ignorujı´, zˇe jde o nevlastnı´ integra´l, a pouzˇijı´ forma´lneˇ Newtonovu-Leibnizovu formuli, jako by sˇlo o beˇzˇny´ urcˇity´ integra´l. Jejich vy´pocˇet pak vypada´ neˇjak takto: Z 1 Z 1 1 1 dx −2 = x dx = − = −1 − 1 = −2. 2 x −1 −1 x −1

!

To je samozrˇejmeˇ u´plneˇ sˇpatneˇ! Mı´sto spra´vne´ odpoveˇdi, zˇe integra´l je divergentnı´, autorˇi takove´ho „postupu“ dojdou k za´veˇru, zˇe se jedna´ o konvergentnı´ integra´l (prˇesneˇji rˇecˇeno, oni ho povazˇujı´ za obycˇejny´ urcˇity´ integra´l). Prˇitom by jim meˇlo prˇinejmensˇ´ım by´t divne´, zˇe z jasneˇ kladne´ funkce 1/x 2 , obsah jejı´hozˇ podgrafu tudı´zˇ musı´ by´t kladne´ cˇ´ıslo nebo +∞, dostali za´porny´ vy´sledek. N

Pro za´jemce: V definicıćh 4.1 a 4.6 jsme pod pojem divergentnı´ho integra´lu zahrnuli dveˇ mozˇnosti — bud’limita dane´ho vy´razu byla nevlastnı´, nebo neexistovala. Neˇkdy se tyto mozˇnosti jesˇteˇ podrobneˇji rozlisˇujı´ a pro prˇ´ıpad, kdy limita vyjde ±∞, se pouzˇ´ıva´ termıń urcˇiteˇ divergentnı´ integra´l. V prˇ´ıpadeˇ zobecneˇnı´ nevlastnı´ho integra´lu z definice 4.11 se tento nevlastnı´ integra´l nazy´va´ urcˇiteˇ divergentnı´, jestlizˇe nenı´ konvergentnı´ a vsˇechny dı´lcˇ´ı integra´ly, ktere´ divergujı´, divergujı´ urcˇiteˇ a da´vajı´ nekonecˇno te´hozˇ znameńka. Vy´sledny´ integra´l ma´ potom za hodnotu nekonecˇno stejne´ho znameńka. Pozna´mka 4.14. V rˇadeˇ du˚lezˇityćh aplikacı´, jako naprˇ. vy´pocˇet inverznı´ Laplaceovy nebo Fourierovy transformace — viz [10] — ma´ velky´ vy´znam jine´ rozsˇ´ırˇenı´ nevlastnı´ho integra´lu, nezˇ bylo


190

y y = f (x) y = f (x)

H (c)

d−

d+ ←

H (c) x

x −∞ ← −cc

0

a

c → +∞

d −c →

d

a)

d +c

b

b)

Obr. 4.12: Hlavnı´ hodnota integra´lu Rβ uvedene´ v definici 4.11. Jde o tzv. hlavnı´ hodnotu nevlastnı´ho integra´lu. Ta se znacˇ´ı v.p. α f (x) dx. Symbol v.p. je zkratkou francouzskyćh slov valeur principale (cˇti valer prensipal), ktera´ znamenajı´ pra´veˇ hlavnı´ hodnotu. Uka´zˇeme si dveˇ varianty tohoto pojmu. Nejprve budeme uvazˇovat funkci f (x) definovanou na intervalu (−∞, +∞), ktera´ zde nema´ zˇa´dny´ singula´rnı´ bod a je integrovatelna´ na kazˇde´m ohranicˇene´m uzavrˇene´m intervalu ha, bi. Pro libovolne´ c = 0 definujme funkci Z c H (c) = f (x) dx. −c

Z integracˇnı´ho oboru (−∞, +∞) jsme tedy „urˇ´ızli“ soumeˇrneˇ oba konce — viz obr. 4.12 a). Nynı´ budeme soucˇasneˇ posouvat stejneˇ rychle oba konce od sebe, tj. urcˇ´ıme limitu Z c lim H (c) = lim f (x) dx. c→+∞

c→+∞

−c

Pokud je tato limita konecˇna´ a rovna´ neˇjake´mu cˇ´ıslu I , rˇ´ıka´me, zˇe existuje hlavnı´ hodnota nevlastnı´ho integra´lu funkce f na intervalu (−∞, +∞), a pı´sˇeme Z +∞ v.p. f (x) dx = I. −∞

Jako druhou variantu budeme uvazˇovat funkci f (x) definovanou na intervalu ha, bi, ktery´ uvnitrˇ obsahuje jeden singula´rnı´ bod d, prˇicˇemzˇ f (x) je integrovatelna´ na kazˇde´m intervalu hα, βi ⊂ ha, bi, ktery´ neobsahuje d. Pro libovolne´ male´ c > 0 definujeme funkci Z d−c Z b H (c) = f (x) dx + f (x) dx. a

d+c

Z integracˇnı´ho oboru jsme tedy „vyrˇ´ızli“ symetricke´ okolı´ bodu d o de´lce 2c — viz obr. 4.12 b). Nynı´ budeme konce tohoto okolı´ posouvat stejneˇ rychle k sobeˇ, tj. urcˇ´ıme limitu Z d−c Z b f (x) dx + f (x) dx . lim+ H (c) = lim+ c→0

c→0

a

d+c


191

Pokud je konecˇna´ a rovna´ cˇ´ıslu I , rˇ´ıka´me, zˇe existuje hlavnı´ hodnota nevlastnı´ho integra´lu funkce f na intervalu ha, bi, a pı´sˇeme Z b v.p. f (x) dx = I. a

Snadno mu˚zˇeme oveˇrˇit, zˇe jestlizˇe nevlastnı´ integra´l konverguje ve smyslu definice 4.11, existuje i ve smyslu hlavnı´ hodnoty a oba vy´sledky jsou stejne´. Opak vsˇak obecneˇ neplatı´, pouze za jistyćh dodatecˇnyćh prˇedpokladu˚, naprˇ. nemeˇnı´-li integrand znameńko. Hlavnı´ hodnota je tedy zajı´mava´, kdyzˇ integrand nema´ porˇa´d stejne´ znameńko. Naprˇ. pro libovolnou lichou funkci f (x) definovanou na intervalu (−∞, +∞) existuje hlavnı´ hodnota nevlastnı´ho integra´lu na tomto intervalu (samozrˇejmeˇ prˇedpokla´da´me, zˇe existuje urcˇity´ integra´l f (x) na kazˇde´m intervalu ha, bi). Je totizˇ (viz pozna´mka 3.44) Z c Z +∞ H (c) = f (x) dx = 0 ⇒ lim H (c) = 0 ⇒ v.p. f (x) dx = 0. c→+∞

−c

−∞

R +∞ Ale naprˇ. pro funkci f (x) = x integra´l −∞ x dx diverguje, protozˇe, jak se lze snadno R0 R +∞ prˇesveˇdcˇit, divergujı´ oba dı´lcˇ´ı integra´ly: −∞ x dx = −∞ a 0 x dx = +∞. Zkusme jesˇteˇ urcˇit hlavnı´ hodnotu divergentnı´ho nevlastnı´ho integra´lu z prˇ´ıkladu 4.12 d), 2 −x+1 1 zna´zorneˇne´ho na obr. 4.10 d). Funkce x x−1 = x + x−1 ma´ na intervalu h0, 2i vnitrˇnı´ singula´rnı´ bod x = 1. Pro male´ c > 0 je: Z 2 1 1 H (c) = x+ dx + x+ dx = x−1 x−1 0 1+c 2 1−c 2 2 x x = + ln |x − 1| + + ln |x − 1| = 2 2 0 1+c Z

=

1−c

1 1 (1 − c)2 + ln | − c| − 0 − 0 + 2 + 0 − (1 + c)2 − ln |c| = 2 − 2c. 2 2

Tedy 1

x2 − x + 1 dx = 2. c→0 x−1 0 Rβ Rβ Pozna´mka 4.15. Uvazˇujme dva nevlastnı´ integra´ly α f (x) dx a α g(x) dx libovolnyćh typu˚, ale na te´mzˇ integracˇnı´m oboru, −∞ 5 α < β 5 +∞. Jsou-li oba dva konvergentnı´ (tento prˇedpoklad je podstatny´), snadno se odvodı´, zˇe i integra´ly ze soucˇtu f (x) + g(x) a na´sobku cf (x), kde c je konstanta, jsou konvergentnı´ a platı´: Z

lim+ (2 − 2c) = 2

Z α

β

v.p.

⇒

Z

β

Z

β

f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx, α α Z β Z β cf (x) dx = c f (x) dx. α

α

Tedy konvergentnı´ integra´ly jsou aditivnı´ a homogennı R β ´ vzhledem k integrandu˚m — srovnejte veˇtu 3.7 pro urcˇity´ integra´l. Podotkneˇme, zˇe integra´l α f (x) + g(x) dx nemusı´ by´t nevlastnı´.


192

!

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ nevlastnı´ integra´ly: Z +∞ 2 a) dx, b) x3 1 Z +∞ 1 d) dw, e) √ w 1 + w2 1 Z +∞ 2 g) dx, h) x 2 + 2x + 2 1 Z +∞ 3 dx, k) j) x+1 1 Z

−1

m) −∞

Z

0

p) −∞

Z

0

s) −∞

dx , (x − 1)(x 2 + 1) dx , 2 (x + 1)(x 2 + 4)

+∞

Z 1

+∞

Z 0

+∞

d) 0

Z

π 2

g) 0

Z

2

j) 0

Z m) 0

Z p) 1

1

9 dx, 1 + x3

3 e−0,3φ dφ,

i)

r e−r +∞

+∞

q) 1 +∞

t) 1

Z

2 /2

Z dr,

ln u du, u ln u du, u2 ln2 u du, u2

Z

1 dp, 2 p − 4p + 3

n)

2 arctg z dz, z3

+∞

4 e−2t sin 2t dt, +∞

l)

x sin x dx,

4−

Z

+∞

o) 1

Z

+∞

r)

y2

dy,

+∞

u) 2

0

Z

1

Z

1

Z q) 1

1 dx, 2−x

1

1 √ dx, x

2

1 ds, s ln s

l)

0

0 2

3x dx, √ x−1

+∞

4 dx, 2 x (1 + x 2 )

Z o) 1

Z r) 1

cos ln x dx, x

2

i) 0

ln x dx, Z

∞

f)

0

Z

2

2ρ 3 e−ρ dρ,

c)

2

(2r − 1) ln r dr,

du . u ln2 u

+∞

Z

1

2

2z dz, +3

2z2

0

Z

1 dx, + 1)

x 2 (x

Z

2 p

0

k)

+∞

2

e)

3t 3 dt, √ 4 − t2

Z

8 dx, 8 + 2x 2

1

2

h)

0

0

Z

+∞

2t dt, +1

0

n)

1 dα, cos2 α

Z f)

+∞

Z

t2

0

0

Z

+∞

c)

4 dx, 1 + x4

2. Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ nevlastnı´ integra´ly: Z +∞ Z +∞ 4 arctg x 2m dm, b) dx, a) 3 (1 + m) x2 1 0 Z

Z

+∞

Z

Z

x dx , 2 (x + 1)(x 2 + 3)

3 p dy, y5

+∞

cos ln x dx. x2


193

3. Vypocˇteˇte na´sledujıćı´ nevlastnı´ integra´ly: Z +∞ Z +∞ dx 1 a) , b) dβ, √ cos2 β x x−1 1 0 Z +∞ Z +∞ dx dx , e) , d) √ √ 2 x x2 − 1 2 −∞ x + 2x + 2 Z 1 1/x Z +∞ e dx g) dx, h) , 2 −1 x −∞ x(x + 1) Z +∞ Z 2 sin x 4x 3 j) dx, k) dx, 4 x2 −∞ −2 x − 1 Z +∞ Z +∞ dx a3 m) , n) dx, 2 2 x2 − 1 0 −∞ a + x

+∞

Z c)

−∞

Z

+∞

f) −∞

Z

2x dx, +1

x2

arctg2 x dx, 1 + x2

+∞

e−|x| dx,

i) −∞

Z

+∞

l) 0

Z

dx , √ 3 x(x + 1)

+∞

o)

|x| dx. +1

x4

−∞

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ Oznacˇenı´ D ve vy´sledcıćh znamena´, zˇe dany´ integra´l diverguje, ale ne urcˇiteˇ. 1. a)

1,

c) +∞,

d)

ln 1 +

f) π,

g) π − 2 arctg 2,

h)

10,

1,

j)

+∞,

k)

l)

D,

m)

2 ln 2 − π , 8

n)

+∞,

o) − ln 2 + 1,

p)

π , 12

q)

1,

r)

D,

s) −

t)

2,

e) π i)

u) − 2. a)

b) √ 2,

2,

1 . ln 2

1,

1,

1 ln 3, 4

√ 2 ,

b) π + 2 ln 2,

c)

1,

d)

√ 2π 3,

e)

π,

f)

D,

g) +∞,

h)

2 ln2 2 − 2,

i)

+∞,

j)

16,

k)

−1,

l)

2,

m) +∞,

n)

8,

o)

+∞,

p)

1,

q)

4 − π,

r)

1 . 2

3. a) π,

D,

d)

π , 4

e) π,

f)

2, π o) . 2

j)

D,

k)

l)

b)

nenı´ def.,

c)

g) +∞,

h)

D,

i)

m)

n)

πa 2 ,

D,

D,

π3 , 12 2π √ , 3


194

4.4. Krite´ria konvergence nevlastnıćh integra´lu˚ Chceme-li s nasˇimi dosavadnı´mi znalostmi rozhodnout, zda dany´ nevlastnı´ integra´l konverguje nebo diverguje, musı´me spocˇ´ıtat jisty´ pomocny´ urcˇity´ integra´l, ktery´ za´visı´ na dolnı´ resp. hornı´ mezi, a pak zkoumat jeho limitu, kdyzˇ se mez prˇiblizˇuje k jiste´ hodnoteˇ. Tento postup ma´ jedno podstatne´ u´skalı´. Urcˇity´ integra´l umı´me spocˇ´ıtat v podstateˇ jedineˇ pomocı´ Newtonovy-Leibnizovy formule. K tomu potrˇebujeme najı´t primitivnı´ funkci k integrandu. Jak uzˇ vı´me z prˇedchozı´ho textu, i v prˇ´ıpadeˇ pomeˇrneˇ jednoduche´ho integrandu z mnozˇiny elementa´rnıćh funkcı´ to mu˚zˇe by´t velice pracna´ za´lezˇitost, nebo, cozˇ je daleko horsˇ´ı, primitivnı´ funkce v mnozˇineˇ elementa´rnıćh funkcı´ vu˚bec neexistuje. V takovyćh prˇ´ıpadech pak nema´me analyticky´ vzorec vy´razu, jehozˇ limitu ma´me pocˇ´ıtat, a o zadane´m nevlastnı´m integra´lu nejsme schopni nic rˇ´ıci. V tomto oddı´lu se budeme zaby´vat ota´zkou, jak vysˇetrˇovat dany´ nevlastnı´ integra´l, anizˇ bychom k tomu potrˇebovali primitivnı´ funkci k integrandu. Zatı´mco prˇi zpu˚sobu popsane´m v prˇedchozı´m odstavci (pokud se na´m ho podarˇilo zrealizovat), jsme v prˇ´ıpadeˇ konvergentnı´ho integra´lu dostali i hodnotu nevlastnı´ho integra´lu, na´m nynı´ pu˚jde jen o odpoveˇd’ na ota´zku, zda integra´l konverguje, nebo diverguje. Zato vsˇak zı´skańı´ tohoto poznatku bude daleko snazsˇ´ı. Samozrˇejmeˇ je prˇirozene´ zamyslet se nad tı´m, zda na´m v prˇ´ıpadeˇ konvergentnı´ho integra´lu takova´to „slabsˇ´ı“ informace vu˚bec k neˇcˇemu je, kdyzˇ cı´lem je obvykle urcˇit jeho hodnotu. Ukazuje se, zˇe i tato informace je velmi R +∞ uzˇitecˇna´. Vysveˇtlı´me si to naprˇ. na nevlastnı´m integra´lu na neohranicˇene´m intervalu a f (x) dx, pro dalsˇ´ı typy nevlastnıćh integra´lu˚ je situace obdobna´. V pozna´mce 4.4 jsme si uka´zali, zˇe pro d R> a z konvergence zmıńeˇne´ho integra´lu R +∞ +∞ f (x) dx vyply´va´ i konvergence integra´lu d f (x) dx a zˇe platı´ a Z +∞ Z d Z +∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. (4.10) a

a

d

Z definice nevlastnı´ho integra´lu a prˇedchozı´ rovnosti vyply´va´, zˇe Z d Z +∞ Z lim f (x) dx = f (x) dx ⇒ lim d→+∞ a

d→+∞ d

a

+∞

f (x) dx = 0.

R +∞ Zvolı´me-li tedy d dostatecˇneˇ velke´, je integra´l d f (x) dx hodneˇ maly´, takzˇe jeho zanedbańı´m v (4.10) dostaneme, zˇe Z +∞ Z d . f (x) dx = f (x) dx. a

a

Je tedy mozˇne´ pro urcˇenı´ hodnoty nevlastnı´ho integra´lu pouzˇ´ıt s jistou chybou urcˇity´ integra´l, jehozˇ prˇiblizˇnou hodnotu (bez znalosti primitivnı´ funkce) lze nale´zt celkem snadno a prˇesneˇ — viz kapitola 5. R +∞ Je ale nutne´ zdu˚raznit, zˇe podstatny´ prˇedpoklad byl, zˇe integra´l a f (x) dx konR +∞ vergoval! To totizˇ zarucˇovalo, zˇe pro velka´ d byl integra´l d f (x) dx maly´. V prˇ´ıpadeˇ

4.4 Krite´ria konvergence nevlastnıćh integra´lu˚

urcˇiteˇ divergentnı´ho integra´lu ma´ rovnost (4.10) sice smysl, ale oba nevlastnı´ integra´ly R +∞ v nı´ prˇedstavujı´ symbol ∞ stejne´ho znameńka. Tedy zanedbańı´m d f (x) dx bychom Rd v (4.10) zanedbali „nekonecˇneˇ velike´ cˇ´ıslo“ vu˚cˇi konecˇne´ hodnoteˇ a f (x) dx. R +∞ Jestlizˇe integra´l a f (x) dx diverguje, ale ne urcˇiteˇ, pak tento integra´l ani inteR +∞ gra´l d f (x) dx vu˚bec nemajı´ prˇirˇazenou zˇa´dnou hodnotu (konecˇnou ani nekonecˇnou) a jejich symboly nelze v rovnosti podobne´ho typu pouzˇ´ıt. V dalsˇ´ım textu si uvedeme krite´ria, ktera´ na´m umozˇnı´ za jistyćh prˇedpokladu˚ rozhodnout, zda dany´ nevlastnı´ integra´l konverguje nebo diverguje. Je trˇeba rˇ´ıci, zˇe neexistuje zˇa´dne´ univerza´lnı´ krite´rium. Omezı´me se na nevlastnı´ integra´ly na neohranicˇene´m intervalu ha + ∞). Na ostatnı´ typy nevlastnıćh integra´lu˚ se prˇ´ıslusˇne´ vy´sledky snadno prˇenesou. Da´le abychom zkra´tili formulace prˇ´ıslusˇnyćh veˇt, budeme ve zbytku kapitoly prˇedpokla´dat, zˇe integrandy jsou funkce majıćı´ urcˇity´ integra´l na kazˇde´m intervalu ha, bi, kde b > a.

4.4.1. Krite´ria konvergence neza´pornyćh funkcı´ Situace je jednodusˇsˇ´ı u integrandu˚, ktere´ nemeˇnı´ znameńko na ha, +∞). Stacˇ´ı se omezit na neza´porne´ funkce (nekladnou funkci f nahradı´me funkcı´ −f ). Je-li f neza´porna´, pak Rc pomocna´ funkce F (c) = a f (x) dx je na intervalu ha, +∞) neklesajıćı´ a ma´ proto pro R +∞ c → +∞ vlastnı´ nebo nevlastnı´ limitu, takzˇe integra´l a f (x) dx bud’ konverguje, nebo urcˇiteˇ diverguje. Odpada´ tedy trˇetı´ mozˇnost, zˇe limita funkce F (c) neexistuje, tj. zˇe zmıńeˇny´ integra´l diverguje, ale ne urcˇiteˇ. Veˇta 4.16 (Srovna´vacı´ krite´rium). Necht’ na intervalu ha, +∞) jsou splneˇny nerovnosti 0 5 f (x) 5 g(x). Pak platı´: R +∞ R +∞ i) Jestlizˇe konverguje a g(x) dx, konverguje i a f (x) dx. R +∞ R +∞ ii) Jestlizˇe diverguje a f (x) dx, diverguje i a g(x) dx. O veˇtsˇ´ı funkci g z prˇedchozı´ veˇty rˇ´ıka´me, zˇe je majorantou funkce f . Podobneˇ o mensˇ´ı funkci f rˇ´ıka´me, zˇe je minorantou funkce g. Prˇedchozı´ tvrzenı´ pak lze zformulovat takto: i) Konverguje-li integra´l z majoranty, konverguje i integra´l z minoranty. ii) Diverguje-li integra´l z minoranty, diverguje i integra´l z majoranty. Situace je zna´zorneˇna na obr. 4.13. Podgraf majoranty g je vyznacˇen sˇedeˇ, podgraf minoranty f je sˇrafovany´. Na´zorneˇ rˇecˇeno: Je-li obsah veˇtsˇ´ı plochy (podgrafu funkce g) konecˇny´, musı´ by´t konecˇny´ i obsah mensˇ´ı plochy (podgrafu funkce f ). Naopak, je-li obsah mensˇ´ı plochy nekonecˇny´, musı´ by´t nekonecˇny´ i obsah veˇtsˇ´ı plochy.

195


196

Lze jesˇteˇ doplnit, zˇe je-li obsah mensˇ´ı plochy konecˇny´, nelze obecneˇ o obsahu veˇtsˇ´ı plochy nic rˇ´ıct, a je-li obsah veˇtsˇ´ı plochy nekonecˇny´, nelze zase nic rˇ´ıct o obsahu mensˇ´ı plochy (mohou by´t konecˇne´ i nekonecˇne´). Pro u´speˇsˇne´ pouzˇitı´ srovna´vacı´ho krite´ria je du˚lezˇite´ mı´t co nejveˇtsˇ´ı za´sobu funkcı´, o nichzˇ vı´me, zˇe jejich iny = g(x) tegra´ly konvergujı´ resp. divergujı´, abychom meˇli s cˇ´ım y = f (x) srovna´vat. Studentu˚m obvykle deˇla´ proble´m spra´vneˇ si „tipnout“, zda zadany´ integra´l konverguje nebo diverx O guje. Pokud si vyberou sˇpatneˇ, samozrˇejmeˇ se jim nedarˇ´ı a najı´t veˇtsˇ´ı funkci, jejı´zˇ integra´l konverguje, nebo mensˇ´ı funkci, jejı´zˇ integra´l diverguje. Take´ se nesmı´ zapomıńat, Obr. 4.13 zˇe funkce musı´ by´t neza´porne´. Z +∞ sin x e Prˇ´ıklad 4.17. Rozhodneˇte, zda integra´l dx konverguje nebo diverguje. x2 + 1 0

+

y

Rˇesˇenı´. Pomocı´ srovna´vacı´ho krite´ria uka´zˇeme, zˇe integra´l konverguje. Exponencia´la naby´va´ pouze kladnyćh hodnot, takzˇe integrand je kladny´. Pro libovolne´ x ∈ R je −1 5 sin x 5 1. Protozˇe exponencia´la eu roste a funkce x 21+1 je kladna´, postupneˇ dostaneme: sin x 5 1, esin x 5 e, 0<

esin x e 5 . x2 + 1 x2 + 1

Za majorantu tedy zvolı´me funkci g(x) = x 2e+1 . V prˇ´ıkladu 4.2 a) jsme zjistili, zˇe integra´l R +∞ 1 dx je konvergentnı´. Podle pozna´mky 4.15 je konvergentnı´ i integra´l ze zvolene´ 0 x 2 +1 R +∞ majoranty 0 x 2e+1 dx, z cˇehozˇ plyne, zˇe dany´ integra´l konverguje. Postup zalozˇeny´ na nalezenı´ primitivnı´ funkce a tudı´zˇ i urcˇenı´ prˇesne´ hodnoty by sin x N selhal, protozˇe primitivnı´ funkce k integrandu xe2 +1 urcˇiteˇ nenı´ elementa´rnı´. Na´sledujıćı´ limitnı´ podoba prˇedchozı´ho krite´ria je pro studenty obvykle snazsˇ´ı na pouzˇitı´. Veˇta 4.18 (Limitnı´ srovna´vacı´ krite´rium). Necht’funkce f (x) a g(x) jsou neza´porne´ na intervalu ha, +∞) a existuje limita f (x) = L, x→+∞ g(x) lim

0 5 L 5 +∞.

(4.11)

Potom platı´: R +∞ i) Je-li L < +∞ a integra´l a g(x) dx konverguje, pak konverguje i integra´l R +∞ f (x) dx. a


ii) Je-li L > 0 a

R +∞ a

197

g(x) dx diverguje, pak diverguje i integra´l

R +∞ a

f (x) dx.

Pokud je tedy v prˇedchozı´ veˇteˇ limita L kladna´ a konecˇna´, integra´ly z f (x) a g(x) soucˇasneˇ bud’ konvergujı´ nebo divergujı´. Ke srovnańı´ se cˇasto pouzˇ´ıvajı´ funkce 1/x k , o nichzˇ vı´me, pro ktera´ k konvergujı´ — viz (4.2). Podobneˇ se pro nevlastnı´ integra´ly z neohranicˇenyćh funkcı´ pouzˇ´ıvajı´ funkce 1/|x − α|k — viz (4.5). V tomto prˇ´ıpadeˇ je samozrˇejmeˇ v (4.11) limita uvazˇovańa v singula´rnı´m bodeˇ a je jednostranna´. Nezˇ si uka´zˇeme pouzˇitı´ na prˇ´ıkladech, uvedeme jeden uzˇitecˇny´ du˚sledek limitnı´ho srovna´vacı´ho krite´ria. R +∞ Du˚sledek 4.19 (Nutna´ podmıńka konvergence). Necht’ integra´l a f (x) dx konverguje a prˇedpokla´dejme, zˇe existuje limita lim f (x) = L. Pak platı´, zˇe L = 0. Du˚kaz. Prˇipust’me, zˇe naprˇ. L > 0. Z definice limity R +∞ vyply´va´, zˇe pro dostatecˇneˇ velke´ d > a je pak f (x) > 0 pro x = d. Integra´l d f (x) dx bude opeˇt konvergentnı´ (pozna´mka 4.4), a protozˇe integrand je na intervalu hd, +∞) kladny´, je mozˇne´ pouzˇ´ıt limitnı´ srovna´vacı´ krite´rium. Za funkci g(x) zvolı´me g(x) = 1. Pak lim f (x)/g(x) = x→+∞ R +∞ R +∞ = lim f (x) = L. Protozˇe a g(x) dx = a dx = +∞, musı´ podle limitnı´ho x→+∞ R +∞ srovna´vacı´ho krite´ria divergovat i a f (x) dx, cozˇ je spor. Je-li L < 0, budeme uvazˇovat funkci −f (x) a dostaneme obdobneˇ spor. Tı´m je tvrzenı´ doka´zane´. R +∞ Integrand konvergentnı´ho integra´lu a f (x) dx ale nemusı´ mı´t limitu pro x → +∞, jak ukazuje na´sledujıćı´ prˇ´ıklad. Z +∞ Prˇ´ıklad 4.20. Vypocˇteˇte f (x) dx, kde 0

( 0 f (x) = x

pro x = 0, x ∈ / N, pro x ∈ N.

Rˇesˇenı´. Pro c > 0 je funkce f (x) na intervalu h0, ci ohranicˇena´ a spojita´ s vy´jimkou prˇirozenyćh cˇ´ısel, kteryćh je v takove´m intervalu pouze konecˇneˇ mnoho. Existuje tedy jejı´ urcˇity´ integra´l a podle veˇty 3.6 platı´: Z c Z c F (c) = f (x) dx = 0 dx = 0 ⇒ lim F (c) = 0, 0

takzˇe

c→+∞

0 +∞

Z

f (x) dx = 0. 0

Integra´l tedy konverguje. Prˇitom lim f (x) ocˇividneˇ neexistuje, dokonce funkce f (x) x→+∞

nenı´ na integracˇnı´m oboru h0, +∞) shora ohranicˇena´.

N

+

x→+∞


+

198

Prˇ´ıklad 4.21. Rozhodneˇte o konvergenci resp. divergenci na´sledujıćıćh nevlastnıćh integra´lu˚: Z +∞ Z +∞ Z π/2 x2 + 1 sin x q a) dx, b) dx. arccotg x dx, c) √ π x (x 3 + x 2 + 1) 1 0 0 −x 2

Rˇesˇenı´. Ve vsˇech prˇ´ıpadech pouzˇijeme limitnı´ srovna´vacı´ krite´rium. a) Pro x = 1 jsou vsˇechny cˇleny cˇitatele i jmenovatele integrandu kladne´, tedy integrand je kladny´. V cˇitateli √ je mnohocˇlen stupneˇ 2. Ve jmenovateli je mnohocˇlen stupneˇ 3, ktery´ je vyna´sobeny´ x = x 1/2 , takzˇe nejvysˇsˇ´ı mocnina ve jmenovateli je 3 + 12 = 72 . Rozdı´l mezi nejvysˇsˇ´ı mocninou jmenovatele a cˇitatele je proto 72 − 2 = 32 . Zvolı´me tedy g(x) = x −3/2 . Vyjde: L=

=

2 √ x3 +12 x3 + x x (x +x +1) lim = lim x→+∞ x→+∞ x 3 + x 2 + 1 √1 x3 1 + x12 1+0 lim = = 1. x→+∞ 1 + 1 + 1 1 + 0 + 0 3 x x

=

R +∞ Protozˇe podle (4.2) je integra´l 1 x −3/2 dx konvergentnı´, je i zadany´ integra´l konvergentnı´. b) Funkce arccotg x je kladna´ dokonce pro vsˇechna x ∈ R. Na srovnańı´ zkusı´me pouzˇ´ıt funkci g(x) = x1 . S pouzˇitı´m l’Hospitalova pravidla vyjde: L = lim

arccotg x

x→+∞

1 x

− x 21+1 0 LH x 2 LH 2x = lim = lim = lim = 1. = 1 2 x→+∞ − x→+∞ x + 1 x→+∞ 2x 0 2 x

R +∞

Protozˇe podle (4.2) integra´l 1 x1 dx diverguje, diverguje i R +∞ take´ 0 arccotg x dx. c) Jedna´ se o nevlastnı´ integra´l z neohranicˇene´ funkce, protozˇe sin x 1 lim q = = +∞. +0 π x→π/2− 2 −x Vx = Vyjde:

π 2

R +∞ 1

arccotg x dx, a tedy

je tudı´zˇ singula´rnı´ bod. Pro srovnańı´ pouzˇijeme funkci g(x) =

lim

x→π/2−

Podle (4.5) integra´l

R π/2 0

√ dx π/2−x

√ sin x π/2−x √ 1 π/2−x

=

√ 1 π/2−x

.

lim sin x = 1.

x→π/2−

konverguje, konverguje tedy i zadany´ integra´l.

N


199

4.4.2. Absolutnı´ a relativnı´ konvergence Pro za´jemce: Rc V obecne´m prˇ´ıpadeˇ, kdy limita pomocne´ funkce F (c) = a f (x) dx nemusı´ pro c → +∞ existovat, je situace daleko slozˇiteˇjsˇ´ı a rozhodnout o konvergenci takove´ho integra´lu mu˚zˇe by´t neˇkdy dost obtı´zˇne´. Nejprve si uvedeme jednu du˚lezˇitou veˇtu. R +∞ R +∞ Veˇta 4.22. Necht’ a |f (x)| dx konverguje. Pak konverguje take´ integra´l a f (x) dx. Vysˇetrˇujeme-li tedy integra´l, jehozˇ integrand f (x) meˇnı´ znameńko, mu˚zˇeme ho zkusit nahradit absolutnı´ hodnotou |f (x)|, cozˇ je neza´porna´ funkce. Na takove´ integra´ly uzˇ lze pouzˇ´ıt krite´ria z prˇedchozı´ho oddı´lu. R +∞ R +∞ Ukazuje se, zˇe vztah konvergence integra´lu˚ a f (x) dx a a |f (x)| dx hraje du˚lezˇitou roli. V na´sledujıćı´ tabulce jsou uvedeny vsˇechny mozˇne´ kombinace konvergence resp. divergence, ktere´ mohou mezi teˇmito dveˇma integra´ly nastat (K znacˇ´ı konvergenci, D divergenci).

R +∞ a

f (x) dx

R +∞ a

K K D D

|f (x)| dx K D K D

oznacˇenı´

R +∞ a

f (x) dx

konverguje absolutneˇ konverguje relativneˇ nemu˚zˇe nastat podle veˇty 4.22 diverguje

Tab. 4.1: Absolutnı´ a relativnı´ konvergence nevlastnıćh integra´lu˚ Vzhledem k tomu, zˇe na´s nezajı´ma´ prˇ´ıpad, kdy oba integra´ly divergujı´, zby´vajı´ pouze dveˇ kombinace. Tı´m je motivovana´ na´sledujıćı´ definice.

Existence absolutneˇ konvergentnıćh integra´lu˚ je zrˇejma´. Je-li totizˇ integrand neza´porny´, rovna´ se sve´ absolutnı´ hodnoteˇ, takzˇe integra´ly jsou stejne´ a konvergence v tomto prˇ´ıpadeˇ znamena´ absolutnı´ konvergenci. Tote´zˇ platı´ pro nekladne´ integrandy. Oba pojmy zavedene´ v prˇedchozı´ definici jsou tudı´zˇ zajı´mave´ pro funkce meˇnıćı´ znameńko. Zˇe existujı´ i neabsolutneˇ konvergentnı´ integra´ly, uka´zˇeme pozdeˇji. Z +∞ cos ln x Prˇ´ıklad 4.24. Dokazˇte, zˇe integra´l dx konverguje absolutneˇ. x2 1 Rˇesˇenı´. Musı´me vysˇetrˇit integra´l z neza´porne´ funkce 5 1, platı´ 0 5 | cos ln x| 5 1

⇒

05

| cos ln x| x2

. Protozˇe pro libovolne´ u je | cos u| 5

| cos ln x| 1 5 2 2 x x

pro x = 1.

+

R +∞ Definice 4.23. Rˇekneme, zˇe integra´l a f (x) dx konverguje absolutneˇ, jestlizˇe konverguje R +∞ i integra´l a |f (x)| dx. R +∞ Rˇekneme, zˇe integra´l a f (x) dx konverguje neabsolutneˇ neboli relativneˇ, jestlizˇe on sa´m R +∞ konverguje, ale integra´l a |f (x)| dx diverguje.


200

Majoranta g(x) = x12 je podle (4.2) konvergentnı´, takzˇe ze srovna´vacı´ho krite´ria dosta´va´me, zˇe R +∞ | cos ln x| dx konverguje, cozˇ znamena´, zˇe zadany´ integra´l konverguje absolutneˇ. N 1 x2

+

Doposud na´m chybeˇl vhodny´ na´stroj, pomocı´ ktere´ho bychom mohli dokazovat neabsolutnı´ konvergenci. Nynı´ si takove´ krite´rium uvedeme. Veˇta 4.25 (Dirichletovo krite´rium). Necht’ pro funkce f (x) a g(x) definovane´ na intervalu ha, +∞) platı´: R b 1) Existuje konstanta K > 0 takova´, zˇe a f (x) dx 5 K pro libovolne´ b = a. 2) Funkce g(x) je monotońnı´ a lim g(x) = 0. x→+∞ R +∞ Pak integra´l a f (x)g(x) dx konverguje. Z +∞ sin x Prˇ´ıklad 4.26. Dokazˇte, zˇe integra´l dx neabsolutneˇ konverguje. x 0 Rˇesˇenı´. Prˇipomenˇme nejprve, zˇe v x = 0 nenı´ singula´rnı´ bod — viz obr. 3.10 a). Jedna´ se tedy o za´kladnı´ typ nevlastnı´ho integra´lu na neohranicˇene´m intervalu. V Dirichletoveˇ krite´riu zvolı´me f (x) = sin x, g(x) = x1 . Oveˇrˇ´ıme prˇedpoklady. Platı´: Z b b sin x dx = − cos x 0 = − cos b + cos 0 = 1 − cos b. 0

S vyuzˇitı´m tohoto vy´sledku dostaneme −1 5 cos b 5 1

⇒

1 = − cos b = −1

Tedy |1 − cos b| 5 2, takzˇe mu˚zˇeme zvolit K = 2. Funkce x1 je na intervalu (0, +∞) klesajıćı´ a platı´ lim

⇒

1 x→+∞ x

2 = 1 − cos b = 0. = 0. Vsˇechny prˇedpoklady jsou

proto splneˇny a zadany´ integra´l konverguje. R +∞ Abychom uka´zali, zˇe konverguje neabsolutneˇ, musı´me oveˇrˇit, zˇe integra´l 0 | sinx x| dx je divergentnı´. To je trochu obtı´zˇneˇjsˇ´ı a doka´zˇeme to sporem. R +∞ Prˇipust’me tedy, zˇe zmıńeˇny´ integra´l, a tudı´zˇ take´ integra´l 1 | sinx x| dx konverguje. Protozˇe pro libovolne´ cˇ´ıslo x ∈ R je 0 5 | sin x| 5 1, po vyna´sobenı´ neza´porny´m cˇ´ıslem | sin x| dostaneme, 2 zˇe 0 5 | sin x|2 = sin2 x 5 | sin x|. Pro x = 1 ma´me tudı´zˇ nerovnost 0 5 sinx x 5 | sinx x| . Ze R +∞ sin2 x srovna´vacı´ho krite´ria nynı´ vyply´va´, zˇe rovneˇzˇ integra´l 1 dx konverguje. Uka´zˇeme, zˇe to x nenı´ mozˇne´. R +∞ Platı´ sin2 x = 12 (1 − cos 2x). O integra´lu 1 cosx2x dx se naprosto analogicky jako na pocˇa´tku tohoto du˚kazu pomocı´ Dirichletova krite´ria oveˇrˇ´ı, zˇe konverguje. Podle pozna´mky 4.15 bude konvergentnı´ take´ integra´l Z +∞ 2 Z +∞ Z cos 2x cos 2x cos 2x sin x 1 1 +∞ 1 + − + dx, dx = dx = x 2x 2x 2x 2x 2 1 x 1 1 R +∞ cozˇ je vzhledem k (4.2) spor. Vyćhozı´ prˇedpoklad o konvergenci integra´lu 0 | sinx x| dx byl tudı´zˇ chybny´. R +∞ Je mozˇne´ uka´zat, zˇe hodnota integra´lu je 0 Rsinx x dx = π2 , tento vy´sledek ale nelze zı´skat elementa´rnı´mi metodami, protozˇe neurcˇity´ integra´l sinx x dx vede na vysˇsˇ´ı transcendentnı´ funkci — viz kapitola 2.6.


y y=

1

201

| sin x| x x π

0

2π

3π

4π

a) y y=

1

sin x x x π

0

2π

3π

4π

b)

Obr. 4.14: Neabsolutneˇ konvergentnı´ integra´l R +∞ Vy´sledek je zna´zorneˇn na obr. 4.14. Integra´l 0 | sinx x| dx diverguje, cozˇ znamena´, zˇe obsah podgrafu funkce | sinx x| na obr. 4.14 a) na intervalu h0, +∞) je nekonecˇneˇ velky´. R +∞ V prˇ´ıpadeˇ konvergentnı´ho integra´lu 0 sinx x dx je situace jina´. Funkce sinx x meˇnı´ na integracˇnı´m Roboru h0, +∞) znameńko — viz obr. 4.14 b). To ma´ za na´sledek, zˇe se hodnota funkce c F (c) = 0 sinx x dx s rostoucı´m c nemeˇnı´ monotońneˇ. Na intervalu h0, πi roste (graf funkce sinx x lezˇ´ı nad osou x, takzˇe plocha se prˇicˇ´ıta´), na intervalu hπ, 2πi klesa´ (graf funkce sinx x lezˇ´ı pod osou x, takzˇe plocha se odcˇ´ıta´), na intervalu h2π, 3πi opeˇt roste, na intervalu h3π, 4πi zase klesa´ atd. Ale jejı´ „rozkmit“ je cˇ´ım da´l mensˇ´ı, protozˇe podle Dirichletova krite´ria existuje limita lim F (c). Jak jizˇ bylo rˇecˇeno, lze doka´zat, zˇe hodnota F (c) se cˇ´ım da´l tı´m vıć prˇiblizˇuje k cˇ´ıslu

c→+∞ π . 2

N

Prˇ´ıklady k procvicˇenı´ 1. Rozhodneˇte o konvergenci resp. divergenci na´sledujıćıćh integra´lu˚: Z +∞ Z +∞ arctg x x+1 a) dx, b) dx, 2 x x +x+1 1 0 Z +∞ Z 0 x x d) dx, e) dx, √ 3 1 + x4 0 −∞ x − 1 Z +∞ Z +∞ √ 4 2 + sin x x+1 g) dx, h) √ √ dx, (x + 1) x x3 + 1 0 0 Z 1 Z 1 sin x ex j) k) dx, √ dx, √ 1 − x2 x3 0 0 Z π/2 Z π/2 p m) tg x dx, n) tg x dx, 0

0

! Z

+∞

c) 0

Z

−1

f) −∞

Z

cos x dx, x

1

ln x dx, x+1

0

x 2 e−x dx. √ x+1

0

l) 0

Z

(x 2 + 1) dx , √ x2 x4 + 1

1

i) Z

x−2 dx, x3 + 1

o) −1


202

2. Rozhodneˇte o konvergenci resp. divergenci na´sledujıćıćh integra´lu˚: Z

0

a) −1

Z

π

d) 0

Z

x 2 e−x dx, (x + 1)2 1 dx, sin x

+∞

g) 1

1 dx, ln x

+∞

Z b) 0

π

Z 0

+∞

h) −∞

+∞

Z c) 0

π

Z

1 dx, √ sin x

e) Z

e−x √ dx, x

f) 0

Z

1 dx, 2 + sin x

e−x dx, x

1 dx, sin2 x

+∞

2

x 2 e−x dx.

i) −∞

3. Dokazˇte, zˇe na´sledujıćı´ integra´ly konvergujı´ absolutneˇ: Z

+∞

a) 0

Z

sin x dx, 1 + x2

Z

sin x e−x dx,

e

e) 0

0

g) −1

1 x

cos dx , √ 1 − x2

Z

1

+∞

Z cos x dx,

2

cos x 2 e−x dx,

c)

−∞

Z

0

Z

−|x|

b)

+∞

d)

+∞

−∞ 1 x

sin dx, √ 3 x

+∞

h) 0

+∞

Z f)

−∞

sin ln x dx, √ x3 + 1

+∞

Z i)

−∞

cos ex dx, 1 + x4 √ cos |x| dx . x 4 + 2x 2 + 3

4. Dokazˇte, zˇe na´sledujıćı´ integra´ly konvergujı´: Z

+∞

a) 0

Z

Z

sin x √ dx, x

b)

sin x 2 dx,

e)

1

+∞

d)

Z

0

Z

+∞

Z

cos x dx, x

c)

cos x 2 dx,

f)

+∞

g) 1

(x − 1) sin x dx, x(x + 1)

sin3 x dx, x

+∞

cos x sin x dx, √ 1 + x2

+∞

sin x ecos x dx. √ 4 x2 + 1

0

+∞

Z

0

Z

+∞

0 +∞

h) 1

cos x dx , √ 3 x3 + 1

Z i) 0

Na´vod: V d) a e) nejprve integra´ly upravte substitucı´ x 2 = t. 5. Urcˇete hlavnı´ hodnotu integra´lu˚: Z

+∞

e−|x| + x 3 dx,

a)

Z

−∞

Z

2

d) −2

Z

−1

3 dx, x(x + 3)

Z

−∞

xe|x| + x 2 e−|x| dx,

dx , x3

Z 0

Z sgn x dx,

Z

Z x cos x dx,

−∞

x2

0

+∞

1 dx, x2 − 1

3

f)

−∞

h)

2

c)

∞

e)

+∞

g)

1

b)

1

i) −1

4 dx, −4

dx . x2

Autotest

203

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ Oznacˇenı´ D ve vy´sledcıćh znamena´, zˇe dany´ integra´l diverguje, K zˇe konverguje. 1. a)

D,

b)

D,

c)

K,

d)

K,

e)

D,

f)

K,

g)

K,

h)

K,

i)

D,

j)

K,

k)

K,

l)

K,

m)

D,

n)

K,

o)

K.

2. a)

D,

b)

K,

c)

D,

d)

D,

f)

D,

g)

D,

h)

D,

i)

K.

5. a)

2,

b)

0,

c)

−

f) − ln 5,

g)

4,

h)

0,

1 ln 3, 2

d)

− ln 5,

i)

neex.

e)

K,

e)

0,

Autotest

-

1. Vypocˇ´ıtejte nevlastnı´ integra´ly: Z 1 Z +∞ 1 1 a) b) dx, √ dx, x x 0 1 2. Vypocˇ´ıtejte nevlastnı´ integra´ly: Z 6 dx p a) dx, 3 2 (4 − x)2

+∞

Z c) 1

Z

+∞

b)

−x 2

xe

Z

1 dx, x2

1

d) −1

+∞

Z dx,

e−x dx.

c)

0

dx . √ 3 x2

0

3. Vypocˇ´ıtejte nevlastnı´ integra´ly: Z 1 2 Z +∞ dx x +3 a) b) , √ dx, 2 x +2 x 2 0 Z +∞ Z +∞ dx dx d) , e) , x 2 e 1 −∞ x + 2x + 2

Z

+∞

dx , x+2

+∞

a 3 dx . a2 + x 2

c) 0

Z f)

−∞

Klıćˇ k autotestu 1. a)

2,

2. a)

1 , 2

3. a) d)

32 , 5 −1 , e

b)

c)

∞, b)

1,

√ 3 6 2,

b)

√ π arctg 2 − √ , 2 2

c) ∞,

e)

π,

f) a 3 π.

d)

6.

c)

1.

204

Kapitola 5 Numericke´ metody rˇesˇenı´ urcˇite´ho integra´lu Jediny´m prostrˇedkem, ktery´ ma´me dosud k dispozici pro urcˇenı´ hodnoty urcˇite´ho integra´lu, je Newtonova-Leibnizova formule (3.10). Jak jsme se jizˇ ale v prˇedchozı´m textu neˇkolikra´t zminˇovali, jejı´ pouzˇitı´ ma´ rˇadu u´skalı´. Prˇipomenˇme si hlavnı´ z nich. • Primitivnı´ funkce k integrandu neexistuje v mnozˇineˇ elementa´rnıćh funkcı´. • Primitivnı´ funkci sice teoreticky umı´me nale´zt, ale prakticky´ vy´pocˇet je velice komplikovany´ a zdlouhavy´. • Primitivnı´ funkce i k jednoduche´mu integrandu nemusı´ vu˚bec existovat (vadı´ naprˇ. body, v nichzˇ existujı´ ru˚zne´ jednostranne´ limity). Neˇkdy to lze obejı´t rozdeˇlenı´m integracˇnı´ho oboru nebo pouzˇitı´m zobecneˇne´ Newtonovy-Leibnizovy formule (3.16). Konecˇneˇ je trˇeba vzı´t v u´vahu, zˇe v aplikacıćh je cˇasto integrand zı´skań meˇrˇenı´m naprˇ. v diskre´tnıćh cˇasovyćh okamzˇicıćh, takzˇe ma´me pouze konecˇnou tabulku hodnot funkce, kterou ma´me integrovat, tj. zna´me pouze neˇkolik bodu˚ grafu te´to funkce, ale vu˚bec nema´me jejı´ vzorec. Pak je pouzˇitı´ Newtonovy-Leibnizovy formule zcela vyloucˇene´. Cı´lem te´to kapitoly bude sezna´mit se s tzv. metodami numericke´ kvadratury, ktere´ na´m i za te´to situace (kdy eventuelneˇ nema´me vzorec integrandu) umozˇnı´ s jistou prˇesnostı´ urcˇit hodnotu urcˇite´ho integra´lu. V praxi na´m obvykle nebude vadit, zˇe vy´sledek nezna´me zcela prˇesneˇ, protozˇe cˇasto jsou nameˇrˇene´ hodnoty stejneˇ zatı´zˇeny jistou chybou, a tudı´zˇ uzˇ to, z cˇeho vycha´zı´me, nenı´ prˇesne´. V dnesˇnı´ dobeˇ, kdy ma´me beˇzˇneˇ k dispozici vy´konne´ pocˇ´ıtacˇe a kvalitnı´ programy jako jizˇ zminˇovane´ Maple, Mathematica, Matlab, Mathcad a rˇadu dalsˇ´ıch, ktere´ doka´zˇou s velkou prˇesnostı´ urcˇit prˇiblizˇnou hodnotu urcˇite´ho integra´lu, by se mohlo zda´t zbytecˇne´ mluvit o te´to problematice. Je vsˇak potrˇeba uveˇdomit si, zˇe tyto programy musı´ obsahovat neˇjake´ algoritmy, pomocı´ kteryćh se urcˇite´ integra´ly prˇiblizˇneˇ pocˇ´ıtajı´. Pro uzˇivatele je dobre´ mı´t asponˇ informativnı´ prˇedstavu, jak takove´ metody vypadajı´, aby veˇdeˇli, co od nich mohou ocˇeka´vat. Obecneˇ se jedna´ o dost slozˇitou problematiku, ktera´ tvorˇ´ı rozsa´hlou partii numericke´ matematiky. My si uvedeme jen trˇi jednoduche´ metody, ktere´ je mozˇne´

5.1 Obde´lnı´kova´ metoda

205

snadno pouzˇ´ıt i prˇi rucˇnı´m vy´pocˇtu na kalkulacˇce poprˇ. je naprogramovat. Za´jemci, kterˇ´ı naprˇ. potrˇebujı´ vytvorˇit program, jehozˇ soucˇa´stı´ je integrace „divoce“ se chovajıćıćh funkcı´, se musı´ obra´tit na specia´lnı´ literaturu. Rb Princip numericke´ho vy´pocˇtu integra´lu a f (x) dx je zalozˇen na tom, zˇe se funkce f (x) nahradı´ jinou funkcı´ g(x), ktera´ ma´ prˇiblizˇneˇ stejne´ funkcˇnı´ hodnoty jako integrand f (x), ale je jednoducha´ z hlediska vy´pocˇtu urcˇite´ho integra´lu. Protozˇe geometricky urcˇity´ integra´l vyjadrˇuje (asponˇ u neza´pornyćh funkcı´) obsah podgrafu, lze ocˇeka´vat, zˇe Rb integra´l a g(x) dx da´ prˇiblizˇneˇ stejny´ vy´sledek, tj. Z b Z b f (x) dx = g(x) dx + R, a

a

kde tzv. chyba R je male´ cˇ´ıslo, ktere´ lze zanedbat. Obecneˇ u numerickyćh vy´pocˇtu˚ je trˇeba mı´t na pameˇti, zˇe celkova´ chyba je dańa soucˇtem neˇkolika slozˇek: • chyba metody (pra´veˇ zmıńeˇne´ R) — te´ se veˇdomeˇ dopousˇtı´me, abychom u´lohu zjednodusˇili, • zaokrouhlovacı´ chyby — kalkulacˇka i pocˇ´ıtacˇ (pokud nepocˇ´ıtajı´ symbolicky) zaokrouhlujı´, • chyby vstupnıćh dat — pokud byly vstupnı´ hodnoty zı´skańy meˇrˇenı´m. Mezi funkce, ktere´ se snadno integrujı´, patrˇ´ı prˇedevsˇ´ım mnohocˇleny. Pokud je vsˇak integracˇnı´ obor ha, bi delsˇ´ı, je pozˇadavek, aby se hodnoty funkce g(x) nelisˇily prˇ´ılisˇ od hodnot funkce f (x) obvykle splnitelny´ jen za tu cenu, zˇe mnohocˇlen ma´ vysoky´ stupenˇ. To neprˇ´ızniveˇ ovlivnˇuje zejmeńa zaokrouhlovacı´ chyby. Proto se obvykle postupuje tak, zˇe se interval ha, bi rozdeˇlı´ na mensˇ´ı podintervaly a na kazˇde´m z nich se provede na´Rb hrada jiny´m mnohocˇlenem. Prˇi vy´pocˇtu se integra´l a g(x) dx pochopitelneˇ rozdeˇlı´ podle prˇ´ıslusˇnyćh podintervalu˚. Vzorce na dı´lcˇ´ıch intervalech se neˇkdy nazy´vajı´ jednoduche´ formule a celkove´ vzorce pak slozˇene´ formule. V dalsˇ´ım budeme prˇedpokla´dat, zˇe interval ha, bi rozdeˇlı´me na n stejneˇ dlouhyćh dı´lku˚, kde n ∈ N (takove´ deˇlenı´ se nazy´va´ ekvidistantnı´ ). De´lku jednoho dı´lku (vlastneˇ normu tohoto deˇlenı´) oznacˇ´ıme h > 0 a deˇlıćı´ body oznacˇ´ıme xi , i = 0, . . . , n (tzv. uzlove´ body). Funkcˇnı´ hodnoty integrandu v uzlovyćh bodech oznacˇ´ıme yi . Tedy h=

b−a , n

xi = a + ih,

i = 0, . . . , n.

yi = f (xi ),

5.1. Obde´lnı´kova´ metoda Nejjednodusˇsˇ´ım zpu˚sobem je volit funkci g(x) konstantnı´. Za tuto konstantu zvolı´me naprˇ. funkcˇnı´ hodnotu integrandu v leve´m konci intervalu hxi , xi+1 i, tedy bude g(x) = = f (xi ) = yi . Integracı´ dostaneme jednoduchou obde´lnı´kovou formuli Z xi+1 Z xi+1 Z xi+1 x . f (x) dx = g(x) dx = yi dx = yi x xi+1 = yi (xi+1 − xi ) = yi h, xi

xi

xi

i

Numericke´ metody rˇesˇenı´ urcˇite´ho integra´lu

206

kde xi+1 − xi = a + (i + 1)h − (a + ih) = h. Odtud vyjde Z b Z x1 Z x2 Z f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + · · · + a

x0

x1

xn

f (x) dx =

xn−1

= y0 h + y1 h + · · · + yn−1 h + R(h), takzˇe po u´praveˇ a zanedbańı´ chyby R(h) dostaneme slozˇenou obde´lnı´kovou formuli Z b . f (x) dx = h(y0 + y1 + · · · + yn−1 ). (5.1) a

Geometricke´ zna´zorneˇnı´ pro n = 6 je uvedeno na obr. 5.1. Vlastneˇ jde o soucˇet obsahu˚ obde´lnı´ku˚ o za´kladnaćh stejne´ de´lky h a vy´sˇkaćh y0 , y1 , . . . , yn−1 (obecneˇ mohou by´t neˇktere´ za´porne´). Obde´lnı´kova´ metoda je tzv. konvergentnı´ pro libovolnou integrovatelnou funkci f (x). Tı´m se myslı´, zˇe pro n → +∞, tj. pro h → 0 je lim R(h) = 0. To plyne z toho, zˇe prava´ h→0

strana v (5.1) je vlastneˇ integra´lnı´m soucˇtem. Obvykle chceme ale zna´t neˇjaky´ odhad chyby. Lze doka´zat, zˇe ma´-li funkce f na intervalu ha, bi spojitou prvnı´ derivaci, existuje cˇ´ıslo ξ ∈ ha, bi takove´, zˇe R(h) =

h (b − a)f 0 (ξ ). 2

(5.2)

Skutecˇnou hodnotu cˇ´ısla ξ ovsˇem nezna´me. Vzorec je tedy mozˇne´ pouzˇ´ıt jen tak, zˇe chybu v absolutnı´ hodnoteˇ odhadneme shora a to tak, zˇe |f 0 (ξ )| nahradı´me maximem absolutnı´ hodnoty derivace |f 0 (x)| na intervalu ha, bi. V konkre´tnıćh u´lohaćh mu˚zˇe by´t nalezenı´ maxima znacˇneˇ pracne´ a navıć se ukazuje, zˇe takovy´ odhad je velmi pesimisticky´, skutecˇna´ chyba by´va´ mnohem mensˇ´ı. Proto je prakticky´ vy´znam takove´ho odhadu maly´. Ze vzorce pro chybu (5.2) vyply´va´, zˇe obde´lnı´kova´ formule je zcela prˇesna´ pro konstantnı´ funkce. Pak je totizˇ f 0 (ξ ) = 0 pro libovolne´ ξ . Toto konstatovańı´ je ovsˇem jasne´ na prvnı´ pohled i bez tohoto vzorce. Pouzˇitı´ obde´lnı´kove´ formule je velice jednoduche´, ale prˇesnost je pochopitelneˇ mala´, proto se pouzˇ´ıvajı´ jine´, ućˇinneˇjsˇ´ı metody, jimizˇ se budeme zaby´vat da´le. y

y = f (x)

x a = x0

x1

x2

x3

x4

Obr. 5.1: Obde´lnı´kova´ metoda

x5

x6 = b

5.2 Lichobeˇzˇnı´kova´ metoda

207

5.2. Lichobeˇzˇnı´kova´ metoda U te´to metody nahradı´me funkci f (x) na intervalu hxi , xi+1 i linea´rnı´ funkcı´ g(x), majıćı´ za graf prˇ´ımku, ktera´ procha´zı´ body [xi , yi ] a [xi+1 , yi+1 ]. Ze zna´me´ho smeˇrnicove´ho tvaru prˇ´ımky vyply´va´, zˇe funkce g(x) bude mı´t rovnici g : y = yi +

yi+1 − yi (x − xi ), xi+1 − xi

tj.

yi+1 − yi (x − xi ). h

y = yi +

Integracı´ dostaneme jednoduchou lichobeˇzˇnı´kovou formuli Z xi+1 Z xi+1 Z xi+1 yi+1 − yi . f (x) dx = (x − xi ) dx = g(x) dx = yi + h xi xi xi x x yi+1 − yi (x − xi )2 xi+1 = yi (xi+1 − xi ) + = yi x xi+1 + i i 2h yi+1 − yi yi+1 − yi 2 h + (xi+1 − xi )2 = yi h + h = (yi + yi+1 ). 2h 2h 2 Tento vy´sledek je pro kladna´ yi a yi+1 ve shodeˇ se strˇedosˇkolsky´m vzorcem pro obsah lichobeˇzˇnı´ku, ktery´ rˇ´ıka´, zˇe obsah lichobeˇzˇnı´ku se rovna´ soucˇtu de´lek za´kladen na´sobene´mu polovicˇnı´ vy´sˇkou. Zmıńeˇny´ lichobeˇzˇnı´k vznikne na´hradou grafu funkce f (x) na intervalu hxi , xi+1 i prˇ´ımkou — viz obr. 5.2. Z prˇedchozı´ho vzorce dostaneme, zˇe b

Z

Z

x1

f (x) dx =

Z f (x) dx +

a

x0

=

x2

Z

xn

f (x) dx + · · · + x1

f (x) dx = xn−1

h h h (y0 + y1 ) + (y1 + y2 ) + · · · + (yn−1 + yn ) + R(h), 2 2 2

takzˇe po u´praveˇ a zanedbańı´ chyby R(h) dostaneme slozˇenou lichobeˇzˇnı´kovou formuli Z a

b

. h f (x) dx = (y0 + 2y1 + · · · + 2yn−1 + yn ). 2

(5.3)

Geometricke´ zna´zorneˇnı´ pro n = 6 je uvedeno na obr. 5.2. Vlastneˇ jde v prˇ´ıpadeˇ kladnyćh yi o soucˇet obsahu˚ lichobeˇzˇnı´ku˚ o stejnyćh vy´sˇkaćh h. y

y = f (x)

x a = x0

x1

x2

x3

x4

Obr. 5.2: Lichobeˇzˇnı´kova´ metoda

x5

x6 = b


208

Opeˇt lze snadno doka´zat, zˇe lichobeˇzˇnı´kova´ metoda je konvergentnı´ pro libovolnou integrovatelnou funkci f (x), tj. zˇe platı´ lim R(h) = 0. Prava´ strana v (5.3) je totizˇ h→0

aritmeticky´m pru˚meˇrem dvou specia´lnıćh integra´lnıćh soucˇtu˚ y0 h + y1 h + · · · + yn−1 h

a

y1 h + y2 h + · · · + yn h.

Pro odhad chyby lze doka´zat (viz [3, str. 643]), zˇe ma´-li funkce f na intervalu ha, bi spojitou druhou derivaci, existuje cˇ´ıslo ξ ∈ ha, bi takove´, zˇe R(h) = −

h2 (b − a)f 00 (ξ ). 12

(5.4)

O pouzˇitı´ tohoto vzorce platı´ stejny´ komenta´rˇ jako u obde´lnı´kove´ metody. Z prˇedchozı´ho vzorce vyply´va´, zˇe lichobeˇzˇnı´kova´ metoda je zcela prˇesna´ pro linea´rnı´ funkce f (x) = = kx + q. V prˇ´ıpadeˇ teˇchto funkcı´ je totizˇ f 00 (ξ ) = 0 pro libovolne´ ξ . To je vzhledem ke geometricke´mu vy´znamu te´to metody a skutecˇnosti, zˇe grafem linea´rnı´ funkce je prˇ´ımka, opeˇt jasne´ i bez tohoto vzorce.

5.3. Simpsonova metoda U te´to metody musı´ by´t pocˇet deˇlıćıćh intervalu˚ sudy´, protozˇe parabola, jezˇ bude f (x) nahrazovat, je urcˇena trojicı´ bodu˚. Oznacˇme proto n = 2m, kde m ∈ N. Funkci budeme nahrazovat na intervalech hx0 , x2 i, hx2 , x4 i,. . . , hx2m−2 , x2m i. Na kazˇde´m dı´lcˇ´ım intervalu hxi−1 , xi+1 i se strˇedem xi , kde i = 1, 3, . . . , 2m − 1, pu˚jde o kvadratickou funkci g(x) = = p +qx +rx 2 , jejı´mzˇ grafem je parabola, ktera´ musı´ procha´zet body [xi−1 , yi−1 ], [xi , yi ] a [xi+1 , yi+1 ]. Uka´zˇeme, zˇe takovy´ mnohocˇlen stupneˇ nejvy´sˇe dva existuje a zˇe je jediny´. V prˇ´ıpadeˇ specia´lnı´ polohy trojice bodu˚, kdyzˇ budou lezˇet na prˇ´ımce, totizˇ vyjde r = 0, takzˇe nepu˚jde o parabolu, ale o prˇ´ımku. Ukazuje se, zˇe je vy´hodne´ vyja´drˇit hledany´ mnohocˇlen vzhledem k mocnina´m x − xi (na´sledujıćı´ vy´pocˇty se podstatneˇ zkra´tı´). To lze udeˇlat pomocı´ Taylorova vzorce dostatecˇneˇ vysoke´ho stupneˇ, aby zbytek v Tayloroveˇ vzorci byl identicky nulovy´. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ je to stupenˇ dva. Platı´ 1 00 g (xi )(x − xi )2 = 2 = (p + qxi + rxi2 ) + (q + 2rxi )(x − xi ) + r(x − xi )2 .

g(x) = g(xi ) + g 0 (xi )(x − xi ) +

Oznacˇ´ıme p˜ = p + qxi + rxi2 , q˜ = q + 2rxi , r˜ = r a budeme hledat polynom ve tvaru g(x) = p˜ + q(x ˜ − xi ) + r˜ (x − xi )2 . Z podmıńek, zˇe jeho graf procha´zı´ body [xi−1 , yi−1 ], [xi , yi ] a [xi+1 , yi+1 ], dostaneme soustavu trˇ´ı rovnic pro nezna´me´ koeficienty p, ˜ q˜ a r˜ : p˜ − qh ˜ + r˜ h2 = yi−1 , p˜ = yi , 2 p˜ + qh ˜ + r˜ h = yi+1 .

5.3 Simpsonova metoda

209

Z nı´ snadno urcˇ´ıme, zˇe existuje pra´veˇ jedno rˇesˇenı´ p˜ = yi ,

q˜ =

yi+1 − yi−1 , 2h

r˜ =

yi−1 − 2yi + yi+1 , 2h2

takzˇe

yi+1 − yi−1 yi−1 − 2yi + yi+1 (x − xi )2 . (x − xi ) + 2 2h 2h Integracı´ na intervalu hxi−1 , xi+1 i dostaneme jednoduchou Simpsonovu1 formuli Z xi+1 Z xi+1 . f (x) dx = g(x) dx = g : y = yi +

xi−1

xi−1 xi+1

yi−1 − 2yi + yi+1 yi+1 − yi−1 2 (x − xi ) + (x − xi ) dx = = yi + 2h 2h2 xi−1 x x yi+1 − yi−1 yi−1 − 2yi + yi+1 3 xi+1 = yi x xi+1 + (x − xi )2 xi+1 + (x − x ) = i xi−1 i−1 i−1 4h 6h2 yi+1 − yi−1 2 yi+1 − 2yi + yi−1 3 = 2yi h + (h − h2 ) + (h + h3 ) = 4h 6h2 yi+1 − 2yi + yi−1 h = 2yi h + h = (yi−1 + 4yi + yi+1 ). 3 3 Z prˇedchozı´ho vzorce da´le dostaneme, zˇe Z b Z x1 Z x2 Z xn f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + · · · + f (x) dx = Z

a

x0

x1

xn−1

h h (y0 + 4y1 + y2 ) + (y2 + 4y3 + y4 ) + · · · + 3 3 h + (y2m−2 + 4y2m−1 + y2m ) + R(h), 3 takzˇe po u´praveˇ a zanedbańı´ chyby R(h) dostaneme slozˇenou Simpsonovu formuli Z b . h f (x) dx = (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 · · · + 2y2m−2 + 4y2m−1 + y2m ) = 3 a h = y0 + y2m + 4(y1 + · · · + y2m−1 ) + 2(y2 + · · · + y2m−2 ) . (5.5) 3 Geometricke´ zna´zorneˇnı´ pro n = 6 je uvedeno na obr. 5.3. Rovneˇzˇ lze doka´zat, zˇe lichobeˇzˇnı´kova´ metoda je konvergentnı´ pro libovolnou integrovatelnou funkci f (x), tj. zˇe platı´ lim R(h) = 0. Prava´ strana v (5.5) je totizˇ aritmeticky´m =

h→0

pru˚meˇrem trˇ´ı specia´lnıćh integra´lnıćh soucˇtu˚ y0 h + y1 h + · · · + y2m−1 h, y1 h + y2 h + · · · + y2m h, y1 2h + y3 2h + · · · + y2m−1 2h. 1 Thomas Simpson (1710–1761) — anglicky ´ matematik. Zaby´val se interpolacı´ a numerickou integracı´.


210

y

y = f (x)

x a = x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6 = b

Obr. 5.3: Simpsonova metoda Prˇitom norma deˇlenı´ v prvnıćh dvou integra´lnıćh soucˇtech je h, kdezˇto ve trˇetı´m je 2h. Pro odhad chyby lze doka´zat (viz [3, str. 645]), zˇe ma´-li funkce f na intervalu ha, bi spojitou cˇtvrtou derivaci, existuje cˇ´ıslo ξ ∈ ha, bi takove´, zˇe R(h) = −

h4 (b − a)f (4) (ξ ). 180

(5.6)

Tato vlastnost Simpsonovy metody je zna´zorneˇna na obr. 5.4. Funkce f (x) prˇedstavuje libovolny´ kubicky´ polynom a funkce g(x) je odpovı´dajıćı´ kvadratickou funkcı´, ktera´ nahrazuje f (x) na jednom dı´lcˇ´ım intervalu hx0 , x2 i. Platı´

y = g(x) y = f (x)

Z

x1

Z

x2

[f (x) − g(x)] dx = − x0

takzˇe x x0

x1

x2

[f (x) − g(x)] dx, x1

Z

x2

[f (x) − g(x)] dx = 0. x0

Pouzˇ´ıt tento vzorec pro odhad chyby je obecneˇ obtı´zˇne´, protozˇe cˇtvrta´ derivace mu˚zˇe by´t znacˇneˇ komplikovana´ a o to teˇzˇsˇ´ı by byla u´loha najı´t maximum jejı´ absolutnı´ hodnoty. Vy´sledek (5.6) ale stojı´ za povsˇimnutı´ z jine´ho du˚vodu. Neprˇekvapı´ na´s, zˇe vzorec bude prˇesny´ pro kvadraticke´ funkce f (x) = p + qx + rx 2 , protozˇe na kazˇde´m dı´lcˇ´ım intervalu splyne „na´hradnı´ “ funkce g(x), ktera´ je rovneˇzˇ kvadraticka´, s funkcı´ f (x). Ale vzorec pro chybu obsahuje cˇtvrtou derivaci, takzˇe formule bude prˇesna´ i pro kubicke´ mnohocˇleny f (x) = p + qx + rx 2 + sx 3 . Pro ty je totizˇ f (4) (ξ ) = 0 pro libovolne´ ξ . Z pra´veˇ uvedene´ho du˚vodu se Simpsonova formule cˇasto pouzˇ´ıva´. Je totizˇ jednoducha´ a i prˇi mensˇ´ım pocˇtu uzlovyćh bodu˚ pomeˇrneˇ prˇesna´. Obr. 5.4

Podobneˇ by bylo mozˇne´ pokracˇovat da´l a nahrazovat integrand kubicky´m mnohocˇlenem, ktery´ by procha´zel cˇtyrˇmi dany´mi body grafu integrandu atd. Cela´ skupina teˇchto kvadraturnıćh formulı´, jejichzˇ trˇi nejjednodusˇsˇ´ı prˇ´ıpady jsme uvedli, se nazy´va´

5.3 Simpsonova metoda

211

Newtonovy-Cotesovy1 formule. Odvozenı´ teˇchto formulı´ vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ je cˇ´ım da´l pracneˇjsˇ´ı a veˇtsˇinou se tyto formule vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ nepouzˇ´ıvajı´ a da´va´ se prˇednost slozˇene´ Simpsonoveˇ formuli s dostatecˇny´m pocˇtem uzlovyćh bodu˚. Existuje cela´ rˇada dalsˇ´ıch metod vy´pocˇtu urcˇite´ho integra´lu. Mezi nejvy´znamneˇjsˇ´ı patrˇ´ı Gaussovy kvadraturnı´ formule a Rombergova metoda. O nich a dalsˇ´ıch metodaćh se lze docˇ´ıst naprˇ. v [3, 20].

Pro za´jemce:

3p

Z Prˇ´ıklad 5.1. Urcˇete prˇiblizˇnou hodnotu urcˇite´ho integra´lu

x 3 − 1 dx pomocı´ obde´l-

1

nı´kove´, lichobeˇzˇnı´kove´ a Simpsonovy metody. Integracˇnı´ obor rozdeˇlte na osm cˇa´stı´. Rˇesˇenı´. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ bude n = 8, tj. budeme mı´t deveˇt uzlovyćh bodu˚ x0 , . . . , x8 . 3−1 Da´le oznacˇ´ıme a = 1, b = 3. Velikost kroku bude h = b−a ´ sledujıćı´ n = 8 = 0,25. V na tabulce jsou uvedeny s prˇesnostı´ na √ cˇtyrˇi desetinna´ mı´sta potrˇebne´ funkcˇnı´ hodnoty yi = = f (xi ), i = 0, . . . , 8, kde f (x) = x 3 − 1. 0

i

1

2

3

4

5

6

7

8

xi 1,0000 1,2500 1,5000 1,7500 2,0000 2,2500 2,5000 2,7500 3,0000 yi 0,0000 0,9763 1,5411 2,0879 2,6458 3,2235 3,8242 4,4494 5,0990

Oznacˇme InO , InL a InS prˇiblizˇnou hodnotu dane´ho integra´lu urcˇenou po rˇadeˇ obde´lnı´kovou, lichobeˇzˇnı´kovou a Simpsonovou metodou s pouzˇitı´m n + 1 uzlovyćh bodu˚. Ze vzorce (5.1) dostaneme po zaokrouhlenı´ na cˇtyrˇi desetinna´ mı´sta: . I8O = h(y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 ) = 4,6870. Podobneˇ ze vzorce (5.3) dostaneme: I8L = 1 Roger

h . (y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + 2y6 + 2y7 + y8 ) = 5,3244. 2

Cotes (1682–1716) (cˇti kouts) — anglicky´ astronom a experimenta´lnı´ filosof. Zaby´val se logaritmy, integra´lnı´m pocˇtem a interpolacı´.

+

Prˇedchozı´ metody prˇiblizˇne´ho vy´pocˇtu urcˇite´ho integra´lu umozˇnˇujı´ prˇiblizˇneˇ urcˇovat i neurcˇity´ integra´l. Vı´me, zˇe stacˇ´ı nale´zt jednu primitivnı´ funkci, ostatnı´ se lisˇ´ı o konstantu. Je-li R x integrand f (x) spojity´, je primitivnı´ funkce F (x) dańa podle du˚sledku 3.29 vztahem F (x) = c f (t) dt, kde c je neˇjaky´ pevneˇ zvoleny´ bod integracˇnı´ho oboru. Hodnoty funkce F (x) lze tedy v jednotlivyćh bodech pocˇ´ıtat prostrˇednictvı´m urcˇite´ho integra´lu. Ma´me-li teˇchto hodnot dostatecˇny´ pocˇet, mu˚zˇeme funkci F (x) aproximovat na cele´m integracˇnı´m oboru neˇkterou z mnoha metod, ktere´ poskytuje numericka´ matematika. Konecˇneˇ prˇipomenˇme, zˇe take´ hodnoty nevlastnıćh integra´lu˚ lze prˇiblizˇneˇ urcˇit pomocı´ vhodne´ho urcˇite´ho integra´lu — viz zacˇa´tek oddı´lu 4.4.


212

Konecˇneˇ ze vzorce (5.5) dostaneme: . h y0 + y8 + 4(y1 + y3 + y5 + y7 ) + 2(y2 + y4 + y6 ) = 5,3389. 3 √ Protozˇe primitivnı´ funkce k integrandu x 3 − 1 nenı´ elementa´rnı´, nemu˚zˇeme pouzˇ´ıt Newtonovu-Leibnizovu formuli a najı´t pro porovnańı´ prˇesnou hodnotu I dane´ho integra´lu. . Pouzˇijeme-li naprˇ. program Maple, dostaneme, zˇe I = 5,356 314 216. Je tedy videˇt, zˇe Simpsonova ale i lichobeˇzˇnı´kova´ formule daly i prˇi pomeˇrneˇ male´m pocˇtu uzlovyćh bodu˚ celkem slusˇny´ vy´sledek. N

+

I8S =

Na za´veˇr si vsˇimneme problematiky posouzenı´ prˇesnosti vy´sledku. Jak jsme uvedli, existujı´ pro dostatecˇneˇ hladke´ funkce vzorce pro urcˇenı´ chyby vsˇech trˇ´ı probı´ranyćh metod. V nich vsˇak figuruje nezna´me´ cˇ´ıslo ξ , lezˇ´ıcı´ neˇkde v integracˇnı´m oboru. Tedy konkre´tnı´ hodnotu chyby nezna´me. Vzorce lze pouzˇ´ıt jen pro hornı´ odhad absolutnı´ hodnoty chyby zpu˚sobem vysveˇtleny´m u obde´lnı´kove´ metody na str. 206. Vy´sledek je vsˇak cˇasto znacˇneˇ pesimisticky´, nebot’skutecˇna´ prˇesnost je mnohem lepsˇ´ı, nezˇ kolik vyjde odhad. V praxi se cˇasto zejmeńa v souvislosti s nasazenı´m pocˇ´ıtacˇu˚ pouzˇ´ıva´ na´sledujıćı´ postup. Zvolı´ se male´ kladne´ cˇ´ıslo ε > 0. Pak se pomocı´ slozˇene´ formule urcˇ´ı prˇiblizˇna´ hodnota integra´lu In pro neˇjaky´ konkre´tnı´ pocˇet deˇlıćıćh intervalu˚ n a hodnota I2n s dvojna´sobny´m pocˇtem deˇlıćıćh intervalu˚. Oveˇˇr´ı se, zda platı´, zˇe |In − I2n | < ε. Pokud tomu tak je, povazˇuje se cˇ´ıslo I2n za prˇiblizˇnou hodnotu integra´lu. Pokud tomu tak nenı´, urcˇ´ı se I4n se cˇtyrˇna´sobny´m pocˇtem deˇlıćıćh intervalu˚ a oveˇrˇ´ı se, zda je uzˇ |I2n − I4n | < ε. Pokud ano, povazˇuje se cˇ´ıslo I4n za prˇiblizˇnou hodnotu integra´lu. Pokud ne, opeˇt se zdvojna´sobı´ pocˇet deˇlıćıćh intervalu˚ a tı´mto zpu˚sobem se pokracˇuje tak dlouho, azˇ se takto zı´skane´ dveˇ po sobeˇ jdoucı´ prˇiblizˇne´ hodnoty integra´lu lisˇ´ı v absolutnı´ hodnoteˇ o meńeˇ nezˇ ε. Obecneˇ by stacˇilo jakkoli zveˇtsˇovat pocˇet deˇlıćıćh intervalu˚. Dvojna´sobky jsou vy´hodne´, protozˇe nenı´ nutne´ pocˇ´ıtat znovu vsˇechny funkcˇnı´ hodnoty integrandu, naopak se vsˇechny hodnoty z prˇedchozı´ho kroku vyuzˇijı´. Z 4,5 12 Prˇ´ıklad 5.2. Vypocˇteˇte Simpsonovou metodou hodnotu urcˇite´ho integra´lu sin dx. x 0 Zacˇneˇte s pocˇtem deˇlıćıćh intervalu˚ n = 30 a tento pocˇet zdvojna´sobujte tak dlouho, azˇ se budou poslednı´ dva vy´sledky lisˇit o meńeˇ nezˇ ε = 0,01. Rˇesˇenı´. Graf integrandu je zna´zorneˇn na obr. 3.10 b). Protozˇe jde o mimorˇa´dneˇ rychle oscilujıćı´ funkci, lze ocˇeka´vat, zˇe potrˇebny´ pocˇet uzlovyćh bodu˚ bude na dosazˇenı´ pozˇadovane´ prˇesnosti vysoky´. Integrand g(x) nenı´ definovań v nule. Zvolı´me naprˇ. g(0) = 0. Na skutecˇnou hodnotu integra´lu to nema´ vliv, u numericke´ho rˇesˇenı´ to vsˇak vy´sledek prˇi mensˇ´ım pocˇtu uzlovyćh bodu˚ mu˚zˇe ovlivnit. V podobne´m prˇ´ıpadeˇ je rozumne´ chybeˇjıćı´ funkcˇnı´ hodnotu doplnit tak, aby byla funkce spojita´, to ale zde nejde, protozˇe limita integrandu pro x → 0+ neexistuje. Je zrˇejme´, zˇe tento prˇ´ıklad nelze rˇesˇit bez programovatelne´ kalkulacˇky nebo pocˇ´ıtacˇe s vhodny´m softwarem. S pouzˇitı´m vzorce (5.5) urcˇ´ıme prˇiblizˇne´ hodnoty integra´lu pro

5.4 Cvicˇenı´ ke kapitole 5

213

n = 30, 60, 120, . . . . Prˇi pocˇ´ıtańı´ na sˇest platnyćh cifer dostaneme: S . I30 = −0,637 770 S . I60 = −0,672 977 . S = −0,705 837 I120

. S I240 = −0,714 130 . S I480 = −0,793 987 . S = −0,697 963 I960

. S I1920 = −0,720 183 . S I3840 = −0,727 127 . S = −0,715 383 I7680

S S Je videˇt, zˇe I120 − I240 = 0,008 287 < ε = 0,01. Avsˇak rozdı´ly mezi na´sledujıćı´mi S S dveˇma hodnotami se opeˇt zveˇtsˇujı´. Azˇ opeˇt I1920 − I3840 = 0,006 953 < ε = 0,01. Pak vsˇak zase docha´zı´ k mı´rne´mu na´ru˚stu. Je tedy videˇt, zˇe s numericky´m rˇesˇenı´m tohoto . integra´lu jsou potı´zˇe. Pro zajı´mavost si uved’me, jaky´ vy´sledek da´ Maple: I = −0,716 973. Protozˇe proble´my ocˇividneˇ pu˚sobı´ chovańı´ integrandu v prave´m okolı´ nuly, bylo by takticˇteˇjsˇ´ı rozdeˇlit integracˇnı´ obor na dveˇ cˇa´sti — mensˇ´ı levy´ interval, obsahujıćı´ nulu, kde by se pouzˇilo vıće uzlovyćh bodu˚, a veˇtsˇ´ı pravy´, kde by stacˇilo uzlovyćh bodu˚ relativneˇ meńeˇ. Oznacˇ´ıme-li InS (α; β) hodnotu zı´skanou pomocı´ Simpsonovy formule s n + 1 . S S deˇlıćı´mi body na intervalu hα, βi, lze urcˇit, zˇe I120 (0; 0,5) + I60 (0,5; 4,5) = −0,716 513, S cozˇ je v porovnańı´ s hodnotou zı´skanou z Maplu mnohem lepsˇ´ı vy´sledek nezˇ naprˇ. I7680 . To jasneˇ ukazuje, zˇe prˇi rˇesˇenı´ nelze postupovat bez prˇemy´sˇlenı´ a slepeˇ dosazovat do vzorce, ktery´ najdeme v neˇjake´ prˇ´ırucˇce. N

5.4. Cvicˇenı´ ke kapitole 5 Prˇ´ıklady k procvicˇenı´

!

1. Vypocˇ´ıtejte na´sledujıćı´ urcˇite´ integra´ly s pouzˇitı´m obde´lnı´kove´, lichobeˇzˇnı´kove´ a Simpsonovy metody s pocˇtem n + 1 uzlovyćh bodu˚: Z

1

a) −1 Z 2

c)

p x 4 + 1 dx,

Z n = 6,

p

x4

π

0

Z

5

sin x dx, x 2

e−x dx,

g)

dx,

n = 6,

d)

n = 6, n = 4,

f) h)

0

Z i) 2

x 3 + 1 dx,

n = 6,

3

ex dx, n = 4, 1 x Z π sin x √ dx, n = 6, x 0 Z 2 2 x 2 e−x dx, n = 8, Z

0

e)

p

0

x 1+ Z

1

b)

1 3

1 dx, ln x

Z n = 4,

j)

2

2

(x + 1) e−x dx,

n = 4.

1

Na´vod: V zadańıćh e) a f) dodefinujte funkcˇnı´ hodnotu v x = 0 tak, aby byl integrand f (x) spojity´.


214

2. S pouzˇitı´m Simpsonovy metody vypocˇteˇte hodnoty zadane´ho integra´lu pro n a 2n a rozhodneˇte, zda jejich rozdı´l je v absolutnı´ hodnoteˇ mensˇ´ı nezˇ zadane´ ε: Z 2p Z 3π cos x 3 4 a) dx, n = 4, ε = 0,05, x + 1 dx, n = 4, ε = 0,005, b) x 0 π/2 Z 4 Z 2 3x − 1 2 c) dx, n = 2, ε = 0,02, d) x 2 e−2x dx, n = 4, ε = 0,05. 1/3 ln 3x 1 Na´vod: V zadańı´ c) dodefinujte funkcˇnı´ hodnotu v x = 1/3 tak, aby byl integrand f (x) spojity´. 3. Vypocˇ´ıtejte na´sledujıćı´ urcˇite´ integra´ly a porovnejte zı´skane´ vy´sledky s vy´sledky zı´skany´mi s pouzˇitı´m obde´lnı´kove´, lichobeˇzˇnı´kove´ a Simpsonovy metody s pocˇtem uzlovyćh bodu˚ n + 1: Z π/2 Z 3 a) cos y dy, n = 4, b) (x 3 − 3x 2 + 1) dx, n = 6, −π/2 π/3

−1 3

Z c)

Z 5 sin 4x dx,

n = 6,

d)

0

Z

3

e) 0

Z

x/3

e

dx,

n = 4,

0

12 dx, 2 x +9

Z n = 6,

−1 Z 4

0

g)

2 sin 2x dx,

n = 4,

h) 0

−π/2 Z 1

i)

Z

ln(x + 2) dx,

n = 4,

Z n = 6,

x−1 dx, x+1

n = 8,

1 dx, +x

n = 6,

1

l)

−π

n = 6,

x2

2

2 cos y sin y dy,

1 dx, x−4

3

j)

−1 Z π/3

k)

1

f)

4y arctg 2y dy,

n = 4.

−1

4. S pouzˇitı´m vhodne´ho programu symbolicke´ algebry vypocˇteˇte na´sledujıćı´ integra´ly: Z 3 Z 3 2 a) sin x dx, b) cos x 2 dx, 2

Z

2 8π

c)

cos 0

Z e) 0

5π

1 dx, x

Z d)

p 5 (x − 3) x 3 − 7 dx,

2

2

sin x √ dx, x

8

Z f)

10

cos(x ln x) dx. 1

Klıćˇ k prˇ´ıkladu˚m k procvicˇenı´ Numericke´ vy´pocˇty byly provedeny pomocı´ programu Maple s nastavenı´m prˇesnosti (prˇi vsˇech vy´pocˇtech) na peˇt platnyćh cifer. Prˇi pouzˇitı´ jine´ho programu nebo kalkulacˇky se tedy mohou zı´skane´ vy´sledky podle nastavenı´ poneˇkud lisˇit. 1. V dalsˇ´ım znacˇ´ı po rˇadeˇ IO , IL , IS hodnotu integra´lu urcˇenou obde´lnı´kovou, lichobeˇzˇnı´kovou a Simpsonovou metodou. a) IO = 2,2051, IL = 2,2051, IS = 2,1786,

5.4 Cvicˇenı´ ke kapitole 5

b)

215

IO = 1,0794,

IL = 1,1139,

IS = 1,1114,

c) IO = 3,3732,

IL = 4,7476,

IS = 4,6473,

d)

IO = 7,1368,

IL = 8,1310,

IS = 8,0409,

e) IO = 2,1065,

IL = 1,8520,

IS = 1,8520,

IL = 1,9596,

IS = 1,9340,

f (0) = 1, f) IO = 2,2215, f (0) = 0, g)

IO = 1,5144,

IL = 0,88942,

IS = 0,76764,

h)

IO = 0,25138,

IL = 0,23296,

IS = 0,23325,

i)

IO = 1,1890,

IL = 1,1224,

IS = 1,1185,

j)

IO = 0,39988,

IL = 0,31478,

IS = 0,30989.

2. In znacˇ´ı vy´sledek s pouzˇitı´m n + 1 uzlovyćh bodu˚. a) I4 = 2,9111, I8 = 2,9109,

ano,

b)

I4 = −0,45116,

I8 = −0,45898,

ne,

c)

I2 = 10,499,

I4 = 10,529,

ne,

I8 = 0,040780,

ano.

f (1/3) = 1, d) 3. a)

I4 = 0,040673, 2,

IO = 1,8961,

IL = 1,8961,

IS = 2,0046,

b)

−4,

IO = −5,3333,

IL = −4,

IS = −4,

c)

1,8750,

IO = 2,1761,

IL = 1,7982,

IS = 1,8778,

d) 5,1549, e) 3,1416,

IO = 4,5373, IO = 3,3036,

IL = 5,1817, IL = 3,1370,

IS = 5,1549, IS = 3,1416,

f) −0,5108,

IO = −0,48926,

IL = −0,51148,

IS = −0,51083,

g)

−2,

IO = −1,8961,

IL = −1,8961,

IS = −2,0046,

h)

0,7812,

IO = 0,34206,

IL = 0,74206,

IS = 0,77831,

i)

1,2958,

IO = 1,0075,

IL = 1,2821,

IS = 1,2953,

j)

0,1178,

IO = 0,12494,

IL = 0,11799,

IS = 0,11778,

k)

0,75,

IO = 0,32166,

IL = 0,62395,

IS = 0,77037,

l)

3,5355,

IO = 3,7850,

IL = 3,7850,

IS = 3,5705.

4. a) −0,03130, d)

36,718,

b)

0,14967,

c)

23,582,

e)

0,67990,

f)

0,38210.

216

Literatura [1] Bronstein, M.: Symbolic Integration: toward Practical Algorithms. Computer Algebra and Differential Equations, E. Tournier (Ed.), Academic Press, 1989, str. 59–85. [2] Bronstein, M.: Integration of Elementary functions. J. Symbolic Computation (1990), str. 117–173. [3] Deˇmidovicˇ, B. P. – Maron, I. A.: Za´klady numericke´ matematiky. SNTL, Praha 1966. [4] Dosˇla´, Z. – Kuben, J.: Diferencia´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´. Skriptum. MU v Brneˇ, Brno 2003. [5] Fichtengol’c, G. M.: Kurs differencial’nogo i integral’nogo iscˇislenija, dı´l II. 7. vydańı´. Nauka, Moskva 1969. [6] Hildebrandt, T. H.: Definitions of Riemann-Stieltjes Integral. Amer. Math. Monthly, vol. 45 (1938), str. 265–278. [7] Hosˇkova´, Sˇ. – Kuben, J.: Integra´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´. Skriptum. 1. vydańı´. Vojenska´ akademie v Brneˇ, Brno 2004. [8] Jarnı´k, V.: Integra´lnı´ pocˇet (I). 5. vydańı´. Academia, Praha 1974. [9] Jarnı´k, V.: Integra´lnı´ pocˇet (II). 2. vydańı´. Academia, Praha 1976. [10] Kropaćˇ, J. – Kuben, J.: Funkce gama a beta, transformace Laplaceova, Z a Fourierova. Skriptum, 3. vydańı´. Vojenska´ akademie v Brneˇ, Brno 2002. [11] Kropaćˇ, J. – Kuben, J.: Skala´rnı´ a vektorove´ pole, krˇivkovy´ a plosˇny´ integra´l. Skriptum. Vojenska´ akademie v Brneˇ, Brno 1999. [12] Kuben, J. – Sˇarmanova´, P.: Diferencia´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´. Studijnı´ opora. Soucˇa´st projektu Operacˇnı´ program Rozvoje lidskyćh zdroju˚ CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 Studijnı´ opory s prˇevazˇujıćı´mi distancˇnı´mi prvky pro prˇedmeˇty teoreticke´ho za´kladu studia. VSˇB–TU Ostrava, 2006. ISBN 80-248-1192-8 [13] Kurzweil, J.: Henstock-Kurzweil Integration: Its Relation to Topological Vector Spaces. World Scientific, Singapore 2000.

Literatura

[14] Kurzweil, J.: Integration between the Lebesgue Integral and the Henstock-Kurzweil Integral. Its Relation to Local Convex Vector Spaces. World Scientific, Singapore 2002. [15] Lazard, D.: Primitives des fonctions e´le´mentaires. Se´minaire BOURBAKI. 36 e` me anneé, 1983–84, n◦ 630. [16] Nagy, J. – Nova´kova´, E. – Vacek, M.: Integra´lnı´ pocˇet. MVSˇT, sesˇit VI, SNTL, Praha 1984. [17] Nova´k, V.: Integra´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´. Skriptum. UJEP Brno, Brno 1980. [18] Nova´k, V.: Integra´lnı´ pocˇet v R. Skriptum, 3. vydańı´. MU v Brneˇ, Brno 2001. [19] Petr, K.: Pocˇet integra´lnı´. JCˇMF, Praha 1915. [20] Ralston, A.: Za´klady numericke´ matematiky. Academia, Praha 1973. [21] Risch, R. H.: The Problem of Integration in Finite Terms. Trans. of the Am. Math. Soc. 139(1969), str. 167–189. [22] Ritt, J. F.: Integration in Finite Terms. Columbia Univ. Press, New York 1948. [23] Rosenlicht, M.: Integration in Finite Terms. Amer. Math. Monthly 79 (1972), str. 963–972. [24] Schwabik, Sˇ.: Integrace v R (Kurzweilova teorie). Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, Praha 1999. [25] Schwabik, Sˇ. – Sˇarmanova´, P.: Maly´ pru˚vodce historiı´ integra´lu. Deˇjiny matematiky, sv. 6, MU v Brneˇ. Prometheus, Praha 1996. [26] Vesely´, J.: Matematicka´ analy´za pro ucˇitele 1, 2. Druhe´ vydańı´. MATFYZPRESS, Praha 2001.

217

218

Rejstrˇ´ık A aditivita urcˇite´ho integra´lu vzhledem k integracˇnı´mu oboru, 114 vzhledem k integrandu, 113 B bod singula´rnı´, 177, 179, 183 uzlovy´, 205 D deˇlenı´ intervalu, 107 ekvidistantnı´, 107, 205 F formule Gaussovy, 211 jednoducha´ lichobeˇzˇnı´kova´, 207 obde´lnı´kova´, 205 Simpsonova, 209 Newtonova-Leibnizova, 117 zobecneˇna´, 129 Newtonovy-Cotesovy, 211 slozˇena´ lichobeˇzˇnı´kova´, 207 obde´lnı´kova´, 206 Simpsonova, 209 funkce elementa´rnı´, 10 integrovatelna´, 108 primitivnı´, 6 zobecneˇna´, 129 transcendentnı´ elementa´rnı´, 80 vysˇsˇ´ı, 80

H homogenita urcˇite´ho integra´lu, 113 I integracˇnı´ konstanta, 7 integracˇnı´ meze, 108 integracˇnı´ obor, 108 integra´l neurcˇity´, 6 nevlastnı´ divergentnı´, 172, 177, 184 hlavnı´ hodnota, 190 konvergentnı´, 172, 177, 184 konvergentnı´ absolutneˇ, 199 konvergentnı´ neabsolutneˇ, 199 konvergentnı´ relativneˇ, 199 urcˇiteˇ divergentnı´, 189 urcˇity´, 108 Henstocku˚v-Kurzweilu˚v, 109 Lebesgueu˚v, 109 Newtonu˚v, 132 Riemannu˚v, 109 integra´lnı´ soucˇet, 108 integrand, 6, 108 K konvergence nevlastnı´ho integra´lu absolutnı´, 199 neabsolutnı´, 199 relativnı´, 199 krite´rium konvergence Dirichletovo, 200 limitnı´ srovna´vacı´, 196 srovna´vacı´, 195 krˇivka

Rejstrˇ´ık

prostorova´ de´lka, 143 hmotnost, 157 parametricke´ rovnice, 142 sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ, 157 rovinna´ de´lka, 140, 141 hmotnost, 153, 155 parametricke´ rovnice, 141 sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ, 153, 155 krˇivocˇary´ lichobeˇzˇnı´k, 137 obde´lnı´k, 137 hmotnost, 158 obsah, 137 sourˇadnice teˇzˇisˇteˇ, 158 M majoranta, 195 metoda druha´ substitucˇnı´ pro neurcˇity´ integra´l, 35 per partes pro neurcˇity´ integra´l, 20 pro urcˇity´ integra´l, 122, 131 prvnı´ substitucˇnı´ pro neurcˇity´ integra´l, 28 substitucˇnı´ pro neurcˇity´ integra´l, 35 pro urcˇity´ integra´l, 124 mez dolnı´, 108 hornı´, 108 minoranta, 195 moment staticky´ vzhledem k sourˇadne´ ose, 155, 158 vzhledem k sourˇadne´ rovineˇ, 157 N norma deˇlenı´, 107 P podgraf funkce, 136 obsah, 136, 148

219

R Rombergova metoda, 211 rotacˇnı´ teˇleso, 143 objem, 144, 148 obsah pla´sˇteˇ, 144, 148 pla´sˇt’, 143 S strˇednı´ hodnota funkce, 116 substituce linea´rnı´, 32 U urcˇity´ integra´l jako funkce dolnı´ meze, 131 hornı´ meze, 130 V veˇta o strˇednı´ hodnoteˇ integra´lnı´ho pocˇtu, 116 vy´beˇr reprezentantu˚ deˇlenı´, 107

Na´zev: Autorˇi:

Integra´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´ RNDr. Sˇa´rka Hosˇkova´, Ph.D., Doc. RNDr. Jaromı´r Kuben, CSc., PhDr. Pavlıńa Racˇkova´ Rok vydańı´: 2006 Pocˇet stran: 225 Pocˇet obra´zku˚: 71 ISBN 80-248-1191-X

9 788024 811918

0016

Recommend Documents