Dosen prmbimbing. Bintang Wicaksono M.Pd.
BAHAN AJAR
DERET BILANGAN
Oleh : Junainah (13144100156) Siti Zumanah (13144100138)
Ayo belajar matematika a
DERET BILANGAN
SK 6. Memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah
KD 6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri
Indikator 6.3.1 Menjelaskan pengertian deret aritmatika dan deret geometri naik atau turun 6.3.2 Menentukan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri.
Tujuan 6.3.1 Siswa dapat menjelaskan pengertian deret aritmatika dan deret geometri naik atau turun. 6.3.2 Siswa dapat menentukan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri.
TOKOH PENEMU RUMUS BARISAN dan DERET Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175 – 1250), dikenal juga sebagai Fibonacci, adalah seorang matematikawan Italia yang dikenal sebagai penemu bilangan Fibonacci dan perannya dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa (algorisma). Leonardo adalah orang yang memperkenalkan deret. Bapak dari Leonardo, Guilielmo (William) mempunyai nama alias Bonacci (‘bersifat baik’ atau ‘sederhana’). Leonardo, setelah meninggal, sering disebut sebagai Fibonacci (dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci). William memimpin sebuah pos perdagangan (beberapa catatan menyebutkan ia adalah perwakilan dagang untuk Pisa) di Bugia, Afrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair), dan sebagai anak muda, Leonardo berkelana ke sana untuk menolong ayahnya. Di sanalah Fibonacci belajar tentang sistem bilangan Arab. Melihat sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien dibandingkan bilangan Romawi, Fibonacci kemudian berkelana ke penjuru daerah Mediterania untuk belajar kepada matematikawan Arab yang terkenal mada masa itu, dan baru pulang kembali sekitar tahun 1200-an. Pada 1202, di usia 27, ia menuliskan apa yang telah dipelajari dalam buku Liber Abaci, atau Buku Perhitungan. Buku ini menunjukkan kepraktisan sistem bilangan Arab dengan cara menerapkannya ke dalam pembukuan dagang, konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dan berbagai aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik oleh kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkan dampak yang penting kepada pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru menyebarluas setelah ditemukannya percetakan sekitar tiga abad berikutnya. (Contohnya, peta dunia Ptolemaus tahun 1482 dicetak oleh Lienhart Holle di Ulm.) Leonardo pernah menjadi tamu Kaisar Frederick II, yang juga gemar sains dan matematika. Tahun 1240 Republik Pisa memberi penghormatan kepada Leonardo, dengan memberikannya gaji.
PETA KONSEP DERET BILANGAN
DERET ARITMATIKA
DERET GEOMETRI
Cerita Singkat Bilangan yang Hilang Bilangan genap 1 – 20 ketika itu sedang berkumpul, tiba- tiba ketua bilangan riil meminta untuk bilangan genap berbaris. Para bilangan genappun segera berbaris. Saat itun sang ketua bilangan riil menghitung jumlah bilangan genap yang berbaris. Bilangan genap merasa ada kawannya yang hilang mereka bingung dan takut dimarahi oleh bilangan riil. Kemudian bilangan riil mulai menghitung. Ternyata setelah dihitung hanya ada 9 bilangan genap tanpa angka nol. Bilangan riilpun marah, dan segera menyuruh bilangan genap lain untuk mencari bilangan yang hilang. Mereka bingung bilangan berapa yang hilang sebenarnya. Tiba-tiba di tengah keributan perdebatan itu, bilangan 2 mengemukakan pendapat. Bagaimana kalau kita tentukan sebenarnya siapa yang tidak hadir. Idenya langsung disambut hangat, 2 meminta teman-temannya berjejer dari bilangan terkecil sampai terbesar. Ternyata urutan terakhir yang belum ada. Kemudian mereka menggunakan rumus baris dan deret. Untuk menentukan bilangan yang hilang adalah dengan cara Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua. Bilangan terakhir adalah 16 maka bilangan yang hilang itu adalah bilangan 16 + 2 = 18. Kabar itupun segera dilaporkan pada bilangan riil. Ternyata bilangan ril itu baru sadar kalau dia adalah bilangan yang hilang tersebut karna dia adalah bilangan 18 yang merupaka ketua himpunan bilangan riil. Bilangan genap 1 – 20 ketika itu sedang berkumpul, tiba- tiba ketua bilangan riil meminta untuk bilangan genap berbaris. Para bilangan genappun segera berbaris. Saat itun sang ketua bilangan riil menghitung jumlah bilangan genap yang berbaris. Bilangan genap merasa ada kawannya yang hilang mereka bingung dan takut dimarahi oleh bilangan riil. Kemudian bilangan riil mulai menghitung. Ternyata setelah dihitung hanya ada 9 bilangan genap tanpa angka nol. Bilangan riilpun marah, dan segera menyuruh bilangan genap lain untuk mencari bilangan yang hilang. Mereka bingung bilangan berapa yang hilang sebenarnya. Tiba-tiba di tengah keributan perdebatan itu, bilangan 2 mengemukakan pendapat. Bagaimana kalau kita tentukan sebenarnya siapa yang tidak hadir. Idenya langsung disambut hangat, 2 meminta teman-temannya berjejer dari bilangan terkecil sampai terbesar. Ternyata urutan terakhir yang belum ada. Kemudian mereka menggunakan rumus baris dan deret. Untuk menentukan bilangan yang hilang adalah dengan cara Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua. Bilangan terakhir adalah 16 maka bilangan yang hilang itu adalah bilangan 16 + 2 = 18. Kabar itupun segera dilaporkan pada bilangan riil. Ternyata bilangan ril itu baru sadar kalau dia adalah bilangan yang hilang tersebut karna dia adalah bilangan 18 yang merupaka ketua himpunan bilangan riil. By : Putri Kinanti A
Mari Berdiskusi
Gambar 1.1 Sumber : http://www.dwipuspita.com Setiap akhir minggu Nita selalu menyisihkan uang saku yang ia dapatkan untuk ditabung. Ia bertekad untuk dapat menabung uang lebih banyak pada minggu-minggu berikutnya. Pada akhir minggu pertama Nita menabung Rp.1.000,00, pada akhir minggu kedua Nita menabung Rp.2.000,00, pada akhir minggu ketiga Nita menabung Rp.3.000,00 begitu seterusnya Ia selalu menabung Rp.1.000,00 lebih banyak dari minggu sebelumnya. Tuliskan jumlah uang yang ditabung serta jumlah total uang tabungan Nita setiap akhir minggunya dengan melengkapi tabel di bawah ini. Akhir Minggu ke-
Uang yang Ditabung
Total Tabungan
1
1.000
1.000
2
2.000
3.000
3
3.000
....
4
....
....
5
....
....
6
....
....
7
....
....
Berapakah total uang tabungan Nita pada akhir minggu ke-10? Jelaskan! Jawab : ....................................................................................................... ........................................................................................................ Perhatikan bahwa uang yang ditabung oleh Nita membentuk suatu barisan. Banyaknya uang yang ditabung oleh Nita pada tiap akhir minggu menyatakan suku dari barisan bilangan tersebut. Total uang tabungan Nita tiap akhir minggu menyatakan jumlahan dari beberapa suku pertama dari barisan bilangan tersebut, yang selanjutnya disebut dengan deret bilangan. Jumlah n suku pertama dinotasikan dengan Sn. Dalam hal ini S2 = 3.000 menyatakan jumlah 2 suku pertama dari barisan bilangan tersebut. S3 = 6.000 menyatakan jumlah 3 suku pertama dari barisan bilangan tersebut. Sekarang coba jumlahkan 4 suku pertama dari barisan tersebut.
Mari Menyimpulkan
Deret dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan. Deret dinotasikan dengan Sn. Dengan demikian, jika diketahui barisan bilangan U1, U2, U3, ... , Un maka deret dari barisan tersebut adalah Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un. Seperti halnya barisan, deret pun dapat dibagi menjadi dua macam, yaitu deret aritmetika dan deret geometri .
A. DERET ARITMATIKA
Mari Berdiskusi
Gambar 2.1 Sumber : https://toelank.wordpress.com Pertambahan hasil produksi mobil pada suatu pabrik tiap bulannya selalu meningkat. Produksi mobil pada bulan pertama adalah 100 unit, bulan kedua adalah 120, bulan ketiga adalah 140. Begitu seterusnya hasil produksi pabrik tersebut menghasilkan 20 unit lebih banyak dari bulan sebelumnya. Tuliskan jumlah unit mobil yang dihasilkan tiap bulan serta jumlah total unit mobil setiap bulannya dengan melengkapi tabel di bawah ini. Bulan ke-
Mobil yang Dihasilkan
Total unit mobil
1
100
100
2
120
220
3
140
....
4
....
....
5
....
....
6
....
....
7
....
....
Perhatikan bahwa bayaknya unit mobil yang dihasilkan pabrik membentuk suatu barisan. Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan Sn, maka S4 menyatakan jumlah 4 suku pertama dari suatu barisan. Sekarang coba jumlahkan 4 suku pertama dari barisan tersebut.
Berikutnya coba jumlahkan 4 suku pertama dari barisan tersebut dengan cara menuliskan bentuk penjumlahan tersebut dalam urutan terbalik.
Coba jumlahkan
dan
melalui langah-langkah berikut ini dengan cara
mengisi bagian yang kosong.
+
4 suku
Mari Menyimpulkan n
Jumlah 4 suku pertama pada barisan di atas disimbolkan dengan .... Bilangan .... pada bagian
menunjukkan suku ke-1 dari barisan tersebut,
sedangkan bilangan .... menunjukkan suku ke-4 dari barisan tersebut. Penjumlahan suku-suku pertama pada barisan di atas disebut dengan deret barisan bilangan aritmatika atau biasa disingkat dengan deret aritmatika. Oleh karena pembeda pada deret tersebut positif (b = 20) maka deret tersebut termasuk deret naik. Berapakah jumlah 10 suku pertama barisan diatas? Temukan cara tercepat tanpa perlu menjumlahkan satu persatu semua sukunya. Perhatikan langkah-langkah yang telah kamu lakukan dalam menghitung jumlah 4 suku pertama barisan di atas dan coba kamu lengkapi langkah-langkah di bawah ini. Kamu telah mengetahui bahwa suku ke-n dari suatu barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1) b, dengan a adalah U1, b adalah pembeda, dan n bilangan asli. Maka suku ke-2. Ke-3, dan ke-(n-1) dapat dituliskan dalam bentuk seperti berikut: 𝑈
𝑎
𝑈3
𝑎
𝑈𝑛−1
𝑎
𝑛−
𝑏
Sekarang coba jumlahkan n suku pertama dari barisan tersebut. 𝑆𝑛
..
Suku ke-1
Suku ke-2
Suku ke-n-1
(i)
Suku ke-n
Berikutnya coba jumlahkan n suku pertama dari barisan tersebut dengan cara menuliskan bentuk penjumlahan tersebut dalam urutan terbalik. 𝑆𝑛
(ii)
Suku ke-n
Suku ke-n-1
Suku ke-2
Suku ke-1
Coba jumlahkan 𝑖 dan 𝑖𝑖 melalui langah-langkah berikut ini.
𝑆𝑛
..
(i)
𝑆𝑛
..
(ii) +
𝑆𝑛
𝑎
𝑛−
𝑏
𝑎
𝑛−
𝑏
𝑎
𝑛−
𝑏
𝑎
𝑛−
𝑏
n suku 𝑆𝑛 𝑆𝑛
𝑎 𝑎
𝑛− 𝑛−
𝑏 𝑏
Mari Menyimpulkan
Dari hasil melengkapi langkah-langkah di atas kita peroleh informasi sebagai berikut. Jika .... menunjukkan banyaknya suku dari suatu barisan aritmatika, .... menunjukkan suku pertama, .... suku ke-n dari barisan aritmatika, maka jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika yang disimbolkan dengan .... adalah .....
Contoh Soal 1 a) Misalnya, diberikan deret aritmetika 3 + 7 + 11 + 15 + .... Tentukanlah U34 dari deret tersebut. Penyelesaian :
Suku pertama dan pembeda deret tersebut dapat kamu temukan dengan mudah, yaitu a = 3 dan b = 4. Sehingga, Un = a + (n – 1)b U34 = a + (34 – 1)b = a + 33b = 3 + 33 (4) = 3 + 132 = 135 Jadi, U34 dari deret tersebut adalah 135. b) Tentukanlah S16 dari deret tersebut. Penyelesaian : Sn = n/2{2a + (n – 1)b} S16 = 16/2{2a + (16 – 1)b} = 8{2a + 15b} = 8{2(3) + 15(4)} = 8(6 + 60) = 8(66) = 528 c) Apakah deret tersebut merupakan deret naik atau deret turun? Penyelesaian : Oleh karena pembeda pada deret tersebut positif (b = 4) maka deret tersebut termasuk deret naik.
Mari Kita Berlatih 1
1. Misalnya, diberikan deret aritmetika 48 + 45 + 42 + 39 + .... a. Tentukanlah U26 dari deret tersebut. b. Tentukanlah S18 dan S27 dari deret tersebut. c. Apakah deret tersebut merupakan deret naik atau deret turun?
2. Pak Harun bekerja di sebuah perusahaan swasta. Setiap akhir tahun, perusahaan tersebut memberikan bonus akhir tahun pada karyawannya. Besaran bonus yang diberikan adalah 10% gaji pada tahun pertama. Pada akhir tahun kedua, karyawan berhak menerima.
B. DERET GEOMETRI
Mari Berdiskusi
Gambar 2.1 Sumber : https://www.rinso.co.id Amin memiliki hobi mengumpulkan kelereng. Tiap akhir minggu ia selalu membeli kelereng untuk dikoleksi. Pada akhir minggu pertama, ia membeli 3 buah kelereng. Pada akhir minggu kedua, ia membeli 6 buah kelereng. Pada akhir minggu ketiga, ia membeli 12 buah kelereng. Begitu seterusnya Ia selalu membeli kelereng sebanyak 2 kali lipat dari akhir minggu sebelumnya.
Tuliskan jumlah kelereng yang dibeli Amin serta jumlah total kelereng setiap akhir minggunya dengan melengkapi tabel di bawah ini. Akhir Minggu ke-
Kelereng yang dibeli
Total kelereng
1
3
3
2
6
9
3
12
....
4
....
....
5
....
....
6
....
....
7
....
....
Perhatikan bahwa bayaknya kelereng yang dibeli Amin membentuk suatu barisan geometri dengan r (rasio) = 2. Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan Sn, maka S5 menyatakan jumlah 5 suku pertama dari suatu barisan. Sekarang coba jumlahkan 5 suku pertama dari barisan tersebut.
Berikutnya coba kalikan dengan r = 2 pada masing-masing ruas sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.
Coba kurangkan
terhadap
.
+ − −
− − − −
Mari Menyimpulkan
Jumlah 5 suku pertama pada barisan di atas disimbolkan dengan .... Bilangan .... pada bagian menunjukkan suku ke-1 dari barisan tersebut, sedangkan bilangan .... menunjukkan rasio dari barisan tersebut. Penjumlahan suku-suku pertama pada barisan di atas disebut dengan deret barisan bilangan geometri atau biasa disingkat dengan deret ageometri. Berapakah jumlah 10 suku pertama barisan diatas? Temukan cara tercepat tanpa perlu menjumlahkan satu persatu semua sukunya. Perhatikan langkah-langkah yang telah kamu lakukan dalam menghitung jumlah 5 suku pertama barisan di atas dan coba kamu lengkapi langkah-langkah di bawah ini. Kamu telah mengetahui bahwa suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah Un = arn-1, dengan a adalah U1, r adalah rasio, dan n bilangan asli. Maka suku ke-2. Ke-3, dan ke-(n-1) dapat dituliskan dalam bentuk seperti berikut: 𝑈
𝑎𝑟
𝑈3
𝑎𝑟
𝑈𝑛
𝑎𝑟
−1
Secara umum jumlah n suku pertama baisan geometri dapat ditulis sebagai tersebut. 𝑆𝑛
𝑎
Suku ke-1
𝑖
...
Suku ke-2 Suku ke-3
Suku ke-n
Kemudian kalikan 𝑖 dengan r pada masing-masing ruas sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. 𝑟𝑆𝑛
𝑎𝑟
Suku ke-1
𝑖𝑖
...
Suku ke-2 Suku ke-3
Suku ke-n
Coba kurangkan 𝑖𝑖 terhadap 𝑖 . 𝑟𝑆𝑛 𝑆𝑛
𝑎𝑟
𝑖𝑖
...
𝑎
𝑖
... −
Sn– rSn = a – arn Sn(1 – ...) = a (... – ...n) Sn =
𝑎 ...– ...𝑛 1 – ...
Mari Menyimpulkan
Dari hasil melengkapi langkah-langkah di atas kita peroleh informasi sebagai berikut. Jika .... menunjukkan banyaknya suku dari suatu barisan geometri, .... menunjukkan suku pertama, .... menunjukkan rasio dari barisan tersebut, maka jumlah n suku pertama dari barisan geometri yang disimbolkan dengan .... adalah .....
PENTING Secara umum jumlah dari suatu deret geometri adalah sebagai berikut. 𝑆𝑛
𝑎
𝑟 𝑛 −1 𝑟−1
,
r >1
𝑆𝑛
𝑎
1−𝑟 𝑛 1−𝑟
,
r <1
Dengan a adalah suku pertama (U1) dan r adalah pembanding.
Contoh Soal 2 Diketahui deret geometri 3 + 9 + 27 + .... a. Tentukan suku ke-6 dari deret tersebut. b. Tentukan S6 dari deret tersebut. c. Apakah deret tersebut merupakan deret geometri naik atau geometri turun?
Penyelesaian : Dari deret tersebut, kamu peroleh a = 3 dan =
3
a. Oleh karena r = 3 > 1 maka, − − − − − − . b. Deret tersebut merupakan deret geometri naik karena r > 1
Mari Kita Berlatih 2 1) Tentukan pembanding dan suku ke-10 dari barisan geometri berikut jika diketahui: a. 88, 44, 22, 11, .... b. U3 = 18 dan U6 = 486 c. a = 9 dan U4 = 243 e. U4 = 64 dan U7 = –4096 d. a = 48 dan U4 = –6 2) Diketahui deret 2 – 4 + 8 – 16 + 32 – .... a. Tentukan pembanding dari deret tersebut b. Tentukan rumus suku ke-n c. Tentukan jumlah 8 suku pertama deret tersebut.
Rangkuman
1. Deret dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan. Deret dinotasikan dengan Sn. Dengan demikian, jika diketahui barisan bilangan U1, U2, U3, ... , Un maka deret dari barisan tersebut adalah Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un. Seperti halnya barisan, deret pun dapat dibagi menjadi dua macam, yaitu deret aritmetika dan deret geometri . 2. Deret aritmatika dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan aritmatika. 3. Secara umum jumlah dari suatu deret aritmatika adalah sebagai berikut
𝑆𝑛
𝑎
𝑛−
𝑏
4. Deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan geometri. 5. Secara umum jumlah dari suatu deret geometri adalah sebagai berikut. 𝑆𝑛
𝑎
𝑟 𝑛 −1 𝑟−1
,
r >1
𝑆𝑛
𝑎
1−𝑟 𝑛 1−𝑟
,
r <1
Dengan a adalah suku pertama (U1) dan r adalah pembanding.
Uji Kompetensi 1 1. Misalnya, diberikan deret aritmetika (t + 23) + (t + 17) + (t + 11) + .... a. Tentukan pembeda pada deret tersebut. c. Hitunglah jumlah enam suku pertama deret tersebut. 2. Tentukan jumlah 15 suku pertama dari deret 1 + 3+ 3 + 3 3+ .... 3. Pak Hardi membeli beras 635 kg untuk persediaan di tokonya. Pada hari pertama, terjual 5 kg beras. Pada hari kedua, terjual 10 kg beras. Pada hari ketiga, terjual 20 kg beras, begitu seterusnya. Tentukan dalam berapa hari beras Pak Hardi akan habis terjual.
4. Kartika bekerja pada sebuah perusahaan swasta. Setiap tahun, perusahaan memberikan Tunjangan Hari Raya (THR). Pada tahun pertama, diberikan THR sebesar 10% gaji. Pada tahun kedua, diberikan THR dua kali lipat daripada THR tahun pertama. Pada tahun ketiga, diberikan THR dua kali lipat daripada THR tahun kedua dan seterusnya. Apabila pada tahun 2005 Kartika menerima gaji Rp3.000.000,00 setiap bulan, tentukan: a. THR yang diterima Kartika pada tahun 2006; b. THR yang diterima Kartika pada tahun 2007; c. Jumlah THR yang diterima Kartika selama 5 tahun.
5. Bakteri berkembang biak dengan cara membelah diri setiap 30 menit. Jika banyaknya bakteri mula-mula adalah 200, hitung banyaknya bakteri yang akan tumbuh setelah: a. 12 jam; b. 23 jam.
DAFTAR PUSTAKA
Marsigit. 2011. Matematika kelas 9 SMP. Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Kementerian Pendidikan Nasional
