Domácí úkol – DU01_2p – MAT – 4AE, 4AC, 4AI Příklad 1: Osm spolužáků (Adam, Bára, Cyril, Dan, Eva, Filip, Gábina a Hana) se má seřadit za sebou tak, aby Eva byly první a Dan předposlední. Příklad 2: V dodávce 150 osvětlovacích těles je 9 vadných. a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané těleso je vadné? b) Jaká je pravděpodobnost, že ve vybrané skupině 5 těles se nenalézá žádné vadné? Příklad 3 V samoobsluze mají čtyři druhy kávy, každý po padesáti gramech. Urči, kolika způsoby lze koupit 250 gramů kávy, jestliže: a) balíčků každého druhu je dostatek b) od dvou druh ů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích. Příklad 4:
Příklad 5: Ve třídě je 29 žáků, z nichž 9 je nepřipraveno na hodinu. V hodině budou vyvoláni dva žáci. Určete pravděpodobnost, že všichni vyvolaní žáci budou připraveni na vyučování. Počet stránek: 9
Stránka 1
Příklad 6: K ozdobení vánočního stromečku máme k dispozici na výběr ze tří špicí, šesti kolekcí čokoládových vánočních koulí a pěti kolekcí čokoládových figurek. Aby byl stromeček ozdoben, použijeme jednu špici, dvě kolekce čokoládových vánočních koulí a jednu kolekci čokoládových figurek. Kolika způsoby můžeme stromeček ozdobit za předpokladu, že než jste se dopočítali k tomuto příkladu, jednu kolekci jste snědli. Příklad 7: V osudí je 16 červených a 15 modrých lístků. Náhodně vybereme 4 lístky. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny tažené lístky budou modré, b) dva lístky budou modré, c) aspoň jeden lístek bude modrý, d) aspoň dva lístky budou modré. Příklad 8: Krychle a = 7 cm, která má všechny strany obarveny je rozřezána na 1 cm krychličky. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná krychlička: a) má jednu stranu obarvenou b) je neobarvená. Příklad 9: Hodíme dvěma kostkami, černou a bílou. Určete pravděpodobnost, že padne na černé kostce větší číslo než na bílé: Příklad 10: Zkouška má 20 otázek, z nichž se losují 2. Josef se naučil prvních 7. Jaká je pravděpodobnost jevu, že aspoň jednu otázku bude umět? Příklad 11: Určete pravděpodobnost, a) že při třech hodech kostkou padne aspoň jednou 6. b) že při třech hodech kostkou padne aspoň jednou 1. c) že součet bude menší než 17. d) že součet bude aspoň 5. e) že při dvou hodech kostkou padne aspoň jednou 6. Příklad 12: Ve třídě je 28 žáků, z nichž 5 nevypracovalo domácí cvičení. V hodině budou kontrolováni 4 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň jeden žák bez domácího cvičení? Příklad 13: V krabici je 12 bílých a 17 zelených míčků. Náhodně vybereme 4 míčky. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny míčky budou zelené, b) dva míčky budou zelené, c) aspoň jeden míček bude zelený, d) aspoň dva míčky budou zelené.
Počet stránek: 9
Stránka 2
Řešení DU01_2p Řešení př. 1 Osm spolužáků se má seřadit, přičemž dva mají přesně udanou pozici. /přesouvat se tedy dá pouze šest dětí na 6 míst/. Jedná se o permutaci.
P ( n) n !
P (6) 6! 6 5 4 3 2 1 720 Řešení př. 2 V dodávce 150 osvětlovacích těles je 9 vadných. a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané těleso je vadné? b) Jaká je pravděpodobnost, že ve vybrané skupině 5 těles se nenalézá žádné vadné?
Ad a) n = 150 m=9
P ( A)
m 9 3 0,06 (6%) n 150 50
Ad b)
150 149 148 147 146 10 149 37 147 73 591600030 1 2 3 4 5 141 141 140 139 138 137 m C 5 (141) 47 7 139 69 137 432295143 1 2 3 4 5 5
n C5 (150)
141 5 432295143 m P ( A) 0,73072197613 73% n 150 591600030 5
Počet stránek: 9
Stránka 3
Řešení př. 3 V samoobsluze mají čtyři druhy kávy, každý po padesáti gramech. Urči, kolika způsoby lze koupit 250 gramů kávy, jestliže: a) balíčků každého druhu je dostatek 4 druhy kávy = n 250 gramů tvoří 5 balíčků po 50 gramech. 5 balíčků se rovná k Jedná se o kombinaci s opakováním tj. n k 1 C k ( n) k
4 5 1 8 8 7 6 5 4 C 5 (4) 56 5 5 1 2 3 4 5 b) od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích.
Platí stejné řešení jako v případě a) s tím, že odečteme ty možnosti, kde jsme chtěli koupit 5 balíčků stejného druhu a ty nejsou, tyto možnosti jsou 2. Celkem bude 54 možností tj. 4 5 1 8 8 7 6 5 4 C5 (4) 2 2 56 2 54 2 2 5 1 2 3 4 5 5
Řešení př. 4:
Řešení př. 5: Ve třídě je 29 žáků, z nichž 9 je nepřipraveno na hodinu. V hodině budou vyvoláni dva žáci. Určete pravděpodobnost, že všichni vyvolaní žáci budou připraveni na vyučování. Počet všech možných dvojic:
29 29 28 n C 2 29 406 1 2 2 Počet dvojic, které jsou připraveni na vyučování
20 20 19 m C 2 20 190 1 2 2 20 m 2 190 P ( A) 0, 468 n 29 406 2
Počet stránek: 9
Stránka 4
Řešení př. 6 Uvažujme nejprve ten případ, že jste snědli kolekci čokoládových figurek. Kolekce se neopakují, jedná se o kombinace bez opakování. Špici vybereme třemi způsoby.
3 3 1 Dvě ze šesti kolekcí vánočních koulí vybereme
6 65 15 2 1 2 Jednu ze čtyř čokoládových kolekcí figurek vybereme:
4 4 1 3 6 4 1 2 1
Celkem bude 3 15 4 180 možností Pokud byste snědli kolekci čokoládových vánočních koulí, bylo by možností:
3 5 5 3 10 5 150 možností 1 2 1 Řešení př. 7 Ad a) Celkem je 16 + 15 = 31 lístků V osudí je 16 červených a 15 modrých lístků. Náhodně vybereme 4 lístky. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny tažené lístky budou modré, b) dva lístky budou modré, c) aspoň jeden lístek bude modrý, d) aspoň dva lístky budou modré.
31 31 30 29 28 n 31465 1 2 3 4 4 Vybrané 4 lístky – jsou modré tj. počet možností výběru:
15 15 14 13 12 m 1365 1 2 3 4 4 m 1365 P ( A) 0, 0434 n 31456 Ad c) Celkem je 16 + 15 = 31 lístků
Ad b) Celkem je 16 + 15 = 31 lístků
31 31 30 29 28 n 31465 1 2 3 4 4 Vypočet možností vyhovující zadání: 2 lístky jsou modré, 2 lístky jsou červené
16 15 m 120 105 12600 2 2 m 12600 P ( A) 0, 4004 n 31465
31 31 30 29 28 n 31465 1 2 3 4 4 Aspoň 1 modrý lístek znamená: 1 modrý + 3 červené:
15 16 15 560 8400 1 3 2 modré + 2 červené:
15 16 105 120 12600 2 2 3 modré + 1 červený:
15 16 455 16 7280 3 1 4 modré + 0 červených:
Počet stránek: 9
Stránka 5
15 16 1365 1 1365 4 0 Celkem m = 29645 možností
P ( A)
m 29645 0, 9222 n 31465
- 3 modré lístky + 1 červený lístek: Ad d) Celkem je 16 + 15 = 31 lístků
31 31 30 29 28 n 31465 1 2 3 4 4 Aspoň 2 modré lístky znamená: - 2 modré lístky + 2 červené lístky:
15 16 105 120 12600 2 2
15 16 455 16 7280 3 1 4 modré lístky + 0 červený lístek:
15 16 1365 1 1365 4 0 Celkem m = 21245 možností
P ( A)
m 21245 0, 6752 n 31465
Řešení př. 8 Krychle a = 7 cm, která má všechny strany obarveny, je rozřezána na 1 cm krychličky. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraná krychlička: a) má jednu stranu obarvenou b) je neobarvená. n = počet všech krychliček tj. 7 343 Počet krychliček, které mají obarveny více stran je: 2 x 24 = 48 + 20 (rohové ve 2. až 6. řadě x 4 ) = 68 Počet krychliček, které mají obarvenou jednu stranu: m = 6 x 25 = 150 Počet neobarvených krychliček: 5 x 25 = 125 Ad a) Ad b) 3
P ( A)
m 150 0, 4373 n 343
P ( A)
m 125 0, 3644 n 343
Řešení př. 9 Hodíme dvěma kostkami, černou a bílou. Určete pravděpodobnost, že padne na černé kostce větší číslo než na bílé. Počet všech možností, které nám padnou na kostce: n 6 36 Černá kostka: Bílá kostka: 1 -2 1 3 1,2 4 1,2,3 Celkem 15 možností = m 5 1,2,3,4 6 1,2,3,4,5 2
m 15 0,41666666667 n 36 P ( A) 0, 41667
P ( A)
Počet stránek: 9
Stránka 6
Řešení př. 10 Zkouška má 20 otázek, z nichž se losují 2. Josef se naučil prvních 7. Jaká je pravděpodobnost jevu, že aspoň jednu otázku bude umět? n = počet všech možností vytažení 2 otázek
20 20 19 n 190 1 2 2 m: Aspoň 1 otázku, bude Josef umět, znamená:
Bude vytažena: 1 otázka, kterou bude Josef umět a 1 otázka, kterou nebude umět:
7 13 m1 7 13 91 1 1 Bude vytaženo: 2 otázky, které bude Josef umět a 0 otázek, které nebude umět:
7 13 7 6 m2 1 21 2 0 1 2
P A
m m1 m2 91 21 112 = 0,589 n n 190 190
Řešení př. 11 Určete pravděpodobnost, a) že při třech hodech kostkou padne aspoň jednou 6. b) že při třech hodech kostkou padne aspoň jednou 1. c) že při třech hodech součet bude menší než 17. d) že při třech hodech součet bude aspoň 5. e) že při dvou hodech kostkou padne aspoň jednou 6. Případy a) i b) jsou stejné. Budeme řešit případ, že nepadne 6 ani na jedné kostce. n 63 216 počet případů kdy padne jiné číslo než 6 (nebo v b) 1): m 5 3 125 Pravděpodobnost, že nepadne 6 (nebo v b) 1) je:
P A
m 125 0,5787 n 216
Opačný jev: (padne 6 (nebo v b) 1): 1
125 91 0, 4213 216 216
Ad c) Počet nepříznivých jevů (tj. padne součet větší nebo rovno 17): 17: 6 + 6 + 5; 6 + 5 + 6; 5 + 6 + 6 18: 6 + 6 + 6 Celkem 4x tj. m 4
m 4 1 0, 01852 n 216 54 1 53 P ( A) 1 P ( A) 1 0, 9815 54 54
P A
Úlohu lze i řešit tak, že si určíme m tak, m n m 216 4 212 . Pak
P ( A) 1 P ( A)
Počet stránek: 9
212 0, 9815 216
Stránka 7
Ad d) Je to opět podobný případ, jako byl případ Ad c) Mohou nastat případy, že v součet hodnot na 3 kostkách bude 5 Určíme opět m tj . případy kdy padne v součtu max součet 4 : 3: 1 + 1 + 1 4: 1 + 1 + 2; 1 + 2 + 1; 1 + 1 + 2
Celkem 4x tj. m 4
m 4 1 0, 01852 n 216 54 1 53 P ( A) 1 P ( A) 1 0, 9815 54 54
P A
Ad e) Házíme pouze 2 kostkami tj. n 62 36 Opět určíme počet případů, kdy nepadne 6, tj. bude padat pouze 1 až 5 tj. m 5 2 25
m 25 0, 6944 n 36 25 11 P ( A) 1 P ( A) 1 0, 3056 36 36 P A
Řešení př. 12 Ve třídě je 28 žáků, z nichž 5 nevypracovalo domácí cvičení. V hodině budou kontrolováni 4 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň jeden žák bez domácího cvičení? Určíme počet čtveřic, kterým budou kontrolovány domácí cvičení:
28 28 27 26 25 n 20475 1 2 3 4 4 Jev A - alespoň jeden žák bez domácího cvičení. Jev A’ - žádný žák bez domácího cvičení.
28 = 20475 4
Počet všech možností, jak vybrat 4 žáky z dvaceti osmi je: n =
23 m A 8855 4
P ( A) 1 P ( A) 1
Počet stránek: 9
8855 20475 8855 11620 0, 5675 20475 20475 20475
Stránka 8
Řešení př. 13 V krabici je 12 bílých a 17 zelených míčků. Náhodně vybereme 4 míčky. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny míčky budou zelené, b) dva míčky budou zelené, c) aspoň jeden míček bude zelený, d) aspoň dva míčky budou zelené. Ad a)
29 23751 4
4 zelené míčky a žádný bílý míček: n
12 17 0 4 2380 P ( A) 0,1002 23751 29 4 Ad b)
29 23751 4
2 zelené míčky + 2 bílé míčky: n
12 17 2 2 66 136 8976 P ( A) 0, 3779 23751 23751 29 4 Ad c) Jev A - alespoň jeden zelený míček. Jev A’ – žádný zelený míček.
29 n 23751 4
12 m 495 4 495 23751 495 23751 495 23256 P ( A) 1 P ( A) 1 = 0,97916 23751 23751 23751 23751
Ad d) Aspoň dva míčky budou zelené znamená, že počet zelených míčků bude 2, 3, nebo 4 2 zelené míčky + 2 bílé míčky:
12 17 m1 66 136 8976 2 2 3 zelené míčky + 1 bílý míček:
12 17 m2 12 680 8160 1 3 4 zelené míčky a žádný bílý míček:
12 17 m3 1 2380 2380 0 4 m m1 m2 m3 19516
P ( A)
m 19516 0,8217 n 23751
Počet stránek: 9
Stránka 9
