\8
~~<~
I N
DISCRETE
WISKUNDE
J.H. van Lint en J.J. Seidel
HerorH3nteringscursus 1972 te Eindhoven
Commissie Modernisering Leerplan Wiskunde Instituut voor Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs
r~til
.
~5
Programma Dinsdag 28 maart: 9.30 - 10.00 uur 10.00 - 11.00
1• lnleiding
Seidel
11.15- 12.15
2. Galois lichamen
Van Lint
12.15 - 13.30
Lunchpauze
13.30 - 15.30
Oefeningen
15.30 - 16.00
Theepauze
16.00 - 17.00
.-
Ontvangst met koffie
3. Latijrise vierkanten
Seidel
4. Orthogonale matrices
Seidel
Woensdag 29 maart: 9.00 - J 0.15 uur 10. 15 - 10.45
Koffiepauze
10.45 - J 2. 15
S. Block designs
12. IS - 13.30
Lunchpauze
13.30 - 15.30
Oefeningen
15.30 - 16.00
Theepauze
Seidel
6. Codes
Van Lint
Seidel
10.00 - 10.30
7. Eindige meetkunde Koffiepauze
10.30 - 12.30
8. Toepassingen
Van Lint
16.00 - 17.00 Donderdag 30 maart: 9.00 - 10.00 ·uur
,...
'"
,
12.35
Sluiting
12.45
Gelegenheid tot lunch.
Hoofdstuk 1.
Inl~iding.
I
v/)
}
J
",£ 6\-Mt ~k
1.1. Hadamard matrices
!iV'
Uit de 8 hoekpunten van een kubus kan men er vier kiezen die de hoekpunten zijn van een regelmatig viervlak. Inderdaad, neem de oorsprong van een coordinatenstelsel in het middelpunt van een kubus met ribbe 2, neem de assen evenwijdig aan de ribben, dan voldoen de punten ( I, I, I) -1
( 1,-1,-1)
(-I, 1, -I)
(-1,-1, 1)
-1
.
De matrix
-1
-1
,\,
-1 -1
I
/
bevat slechts de getallen I en -1 en is orthogonaal., Zo'n matrix heet een Hadamard matrix van de orde 4. Definitie.
Een Hadamard matrix H is een vierkante matrix van de orde r, r
waarvan aIle elementen 1 of -) zijn, die voldoet aan H H T .. r I r r r Nodige voorwaarden voor het bestaan van Hadamard matrices H zijn r
t.::: J)
r = 2,
r ::: 0 (mod 4).
Men vermoedt dat deze voorwaarden ook voidoende zijn. Dit vermoeden is bevestigd voor aIle r < 188 en voor oneindig veel andere waarden van r. Opgave 1.
Bewijs de nodige voorwaarden. Maak daartoe van een rij aIle eIementen 1, en bekijk nog twee rijen •
..
2.
1.2. De meetkunde van Fano 2
10
t;6
011 \
_0111
1
1z? . / ,
/
1',,::
0
/.
Xd(~OO-~~~/ ~D ~
\~, ~ ~3-._ ~
3
'1L)f
De meetkunde van Fano, aangeduid door PG(2,2), het binaire projectieve vlak, bevat zeven punten I, 2, 3, 4, 5, 6, 7 en zeven lijnen a, b, c, d, e, f, g. Elke lijn bevat drie punten, door elk punt gaan drie lijnen. Door elk tweetal punten gaat een lijn, en elk tweetal lijnen snijdt in een punt. De meetkunde wordt beschreven door de punt-lijn incidentie
~-~-~7
matrix N, met elementen
.A
als punt i op lijn J,
n.. ~J
= 0 als punt i niet op lijn j,
N = circul ( I I 0 I
o
0
o)
.
c;6
De verzameling {I, 2, 4} is een (perfect) difference 1set. Dit betekent, dat elke a 1. 0 (mod 7) op precies een manier te schrijven is als a :: x - y (mod 7), met x, y Opgave 2.
IE:
{I, 2,
4}
.
Construeer een Hadamard matrix van de orde 8, uitgaande van bovenstaande matrix N.
1. 3. Latijnse vierkanten
i
~( '),
2
, 3
)
'!:l
2
3
3
4
4
tJ
2
4
2 2
3
4
3
4
3
3
4
4
3
~
-<
..-'
2
/ '!
~
,4
2
2
Beide vierkanten hebben de eigenschap dat elk cij fer in elke rij en in elke kolom slechts eenmaal voorkomt.
3.
Een Latijns vierkant van de orde 4 bestaat uit 16 geordende drietallen uit 4 symbolen, zodat voor elk paar coordinaten elk paar symbolen precies eenmaal voorkomt. Er zijn twee (niet-isomorfe) Latijnse vierkanten van de orde 4, namelijk de hiervoren gegeven vierkanten. Opgave 3.
Maak twee (niet-isomorfe) Latijnse vierkanten van de orde 5.
.g~/\.
1.4. Error correcting codes
#A (
Zij V(4,3) de vectorruimte van dimensie 4 over GF(3). Het Galois lichaam (GF(3) is de verzameling {O, J , -]} met als afwijkende reken1• Schrijf + voor 1 en - voor -I. regels 1 + 1 = -) , -1-1 ;;;
De vectoren (0, +, +, +)
en
(+ , 0, +, -)
spannen een vlak op, dat 9 vectoren bevat:
..
(0, +, +, +)
(0, -
-)
(+, 0, +, -)
(-, 0, -
+)
0)
(-,
-
+, 0)
(-, +, 0, -)
(+,
-
0, +)
(+, +,
-
(0, 0, 0, 0).
Deze 9 vectoren hebben de eigenschap dat elk paar de afstand 3 heeft. Daarbij wordt onder de afstand van twee vectoren verstaan het aantal coordinaten waarin de vectoren verschillen. V(4,3) heeft 81 vectoren, genaamd woorden. Het vlak heet een lineaire code, en zijn 9 vectoren heten codewoorden.Onze code heeft de eigenschap dat hij een fout kan corrigeren, single-error-correcting is. Onze code is perfect, omdat de bollen met straal 1 om de 9 codewoorden disjunct zijn en de gehele V(4,3) uitputten. Opgave 4.
Construeer ]6 vectoren in V(S,2), waarvan elk paar afstand ~
..
4 heeft, uitgaande van de Hadamard matrix HS van opgave 2.
1.5. Gelij khoekige rechten
r~r~lif\\~
Een stelsel rechten heet gelijkhoekig als de hoek tussen elk paar rechten dezelfde is. De vier diagonalen van een kubus vormen een gelijk-
4.
hoekig stelsel met hoek arccos
1 3'
De zes diagonalen van een icosaeder ...
vormen een gelijkhoekig stelsel met hoek arccos 1/15.
\ I
/'-
--
Neem eenheidsvectoren p. langs de rechten en beschouw de matrix der 1
inproducten P = [(p.,p.)J. Voor J
1
A
cos
q>
[P-I]
hebben wij in de voorbeelden:
o
o +
+
+
+
+
+
+
+
o
+
+
+
+
+
0
~
+
+
+ A6
o
0
+
::
+
+
+
+
+ V~~r
+
0
+
+
0
o
+ +
+
deze matrices geldt:
Opgave 5.
Bepaal de eigenwaarden van A4 en A6 ·
Opgave 6.
Construeer 28 gelijkhoekige rechten 1n de 7-dimensionale ruimte. Gebruik hiertoe de matrix N van 1.2 en de vier punten van 1. 1.
Opgave 7.
Construeer een Hadamard matrix H , door gebruik te maken 12
van de matrix A • 6
"
5.
.
Hoofdstuk 2. Galoislichamen • We beschouwen verzamelingen V waarop een bewerking is gedefinieerd, dat is een voorschrift dat aan ieder geordend paar elementen (a,b) van V een element van V toevoegt. We schrijven het aan (a,b) toegevoegde element vaak als ab of a+b en spreken van product resp. som van a en b. 2.1
Definitie: Een verzameling met productoperatie (G, ) heet een groep als GI
VaE: G Vb E G VCE G [(ab)c
= a(bc)],
G2
= ba
G3 : ~aEG 3bEG Cab
=
e] •
Het element e heet de eenheid. Er is een eenheid. Als we de bewerking aanduiden met+ spreken we van een additieve groep.We schrijven dan LV·.v. e meestal 0 en noemen dit het nulelement. Het is eenvoudig in te zien
..
dat er bij iedere a precies een b is met ab b
= a-I.
= e.
We schrijven vaak
Als de groep additief geschreven wordt dan noemen we dit
element b de tegengestelde en schrijven (-a). 2.2
Definitie: Een groep (G, ) heet abels of commutatief als
VaEG 2.3
~bEG Cab
= baJ
•
Definitie: Is (G, ) een groep en H c G en (H, ) een groep dan noemen we (H, ) een ondergroep van (G, ).
2.4
Definitie: Is (G, ) een groep en het aantal elementen van G eindig dan noemen we dit aantal de orde van de groep.
Voorbeelden: a)
(~,+)
is een (additieve) groep.
b) (Rl\{O}, ) is een (multiplicatieve) groep. c) (Gh,+) is een groep. Deze groep is een ondergroep van (Rl,+). d) De matrices (~ ~) met ad - be ~ 0 en vermenigvuldiging als bewerking vormen.een groep. Hierin is
(b
~) de eenheid. Deze groep is niet abels.
6.
e) De gehele getallen mod m met optelling als bewerking vormen een groep. De orde van deze groep is m. f) De vectorruimte Rn met optelling als bewerking is een groep. In R3 is
iedere R2 een ondergroep. g) Het gereduceerde restklassensysteem mod 10, bestaande uit I, 3, 7 en 9, met vermenigvuldiging mod 10 als bewerking is een groep. De orde van de groep is 4. De vermenigvuldigingsregels kunnen in een tabel worden aangegeven:
~
1
3
7
1
1
3
7
3
3
9
1
7
7
7
1
9
3
9
9
7
3
1
h) zij (G, ) een groep. De eenheid schrijven we als I. Als a
€
G dan ook
a 2 , a 3 , ••• • Ais in deze rij een element meer dan een keer voorkomt is
er een kleinste n waarvoor an = 1 (de rij is periodiek). Dan vormen n 1 l,a,a 2 , ••• ,a - een ondergroep van (G, ). Is dit (G, ) zelf dan noemen we (G, ) een cyclische groep van de orde n. Het in
q)
genoemde voorbeeld is een cyclische groep van de orde 4.
We no~n a (in het voorbeeld~ kunnen we hiervoor 3 nemen) een voortbrenger van de groep. 2.5 Definitie:
d
Als (G, ) een groep .. n tLeve n waarvoor a
is~
=
a
E
G, dan heet de kleinste pos
1 (1 is de eenheid van de groep) de
orde van het element a. Voorbeeld: 1,2,4,7,8,11,13,14 is een gereduceerd restklassensysteem mod 15. Als we vermenigvuldiging mod 15 als bewerking nemen dan is dit een groep (van de orde 8). Deze groep is niet cyclisch omdat voor aIle elementen a geldt a4
=
(d.w.z. 15 heeft geen primitieve wortel). De groep heeft een aantal cyclische ondergroepen zoals bijv. (1,7,7 2 = 4,7 3 = 13) en (1,11). I
•
7. 2.6 Definitie: Een verzamelingmet twee bewerkingen (R,+, ) heet een ring als Rl
(R,+) is een abelse groep,
R2
VaER ~b€R 'tC€R [a{bc) = (ab)cJ,
R3
~a€ R Vb €R ~CE R [a{b+c)
= ab + acJ en
VaE R "'b ER'1CE R [{a+b)c
= ac
+ bcJ.
2.7 Definitie: (R,+, ) heet commutatieve ring als \t [ab = baJ. aER bER
\f
We noemen (R,+) de additieve groep van de ring. 2.8 Definitie: Is (R,+, ) een ring en S
c
R, dan heet Seen ideaal in de
ring als V V [a - b E SJ en aES bES V S & ba E SJ. aES "'bER [ab €
..
Het ideaal heet echt als Seen echte deelverzameling van R is • 2.9 Definitie: Eert lichaam is een ring (R,+, ) waarvoor {R \ {OJ, ) een abelse groep is. (Als we "abels" weglaten dan spreken we van een scheef lichaam.) (In de engelse literatuur: field.) Voorbeelden: a) (Ri,+, ) is een lichaam. b) (Gh,+, ) is een (commutatieve) ring. c) De 3-vouden vormen een ideaal in (Gh,+, ). d) De verzameling van alle polynomen met gehele coefficienten met optelling en vermenigvuldiging als bewerkingen is een ring. e) (Gh mod m,+, ) is een ring. Als m een priemgetal is dan is het een lichaam. Voor m = 2 hebben we een lichaam met 2 elementen (het kleinste lichaam) • Zij (G, ) een abelse groep, (H, ) een ondergroep. De verzamelingen {ah
Ih
€ H} heten nevenklassen van H. Twee nevenklassen van H zijn dis-
junct of identiek. AIle producten van elementen uit de nevenklasse aH met elementen uit bH behoren tot eenzelfde nevenklasse, namelijk de neven-
8.
klasse abH. We kunnen dus een vermenigvuldiging van nevenklassen definieren door abH het product van aH en bH te noemen. De nevenklassen vormen dan een groep met H, de nevenklasse vane, als eenheid. Deze groep wordt met G/H aangegeven en heetfactotgroep van G naar H. Voorbeelden: a) (Gh,+) met ondergroep H bestaande uit aIle 5-vouden. Er zijn 5 nevenklassen namelijk 0 + H, I + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H. De factorgroep is de groep (Gh mod 5,+). b) In het eerder gegeven voorbeeld van het gereduceerde restklassensysteem mod IS met H = (1,4,7,13) als ondergroep, is er naast H nog een nevenklasse, bestaande uit 2, 8, 11 en 14. De factorgroep is de cyclische groep van de orde 2. Is Seen ideaal in de r1ng (R,+, ) dan is (8,+) een ondergroep van de additieve groep (R,+). We kunnen hier weer de factorgroep beschouwen. De nevenklassen noemen we restklassen mod 8. Voor deze restklassen kunnen we naast de optelling ook vermenigvuldiging definieren op analoge wijze. Het is eenvoudig na te gaan dat (R/S,+, ) een ring is. We noemen dit de quotientring of restklassenring mod S. Van deze methode hebben we al voorbeelden gezien waaraan oak de gebruikte namen ontleend zijn. 2.10 Stelling: Als peen priemgetal is dan is (Gh mod p,+, ) een lichaam.
Bewijs: We weten reeds dat we met een commutatieve ring te maken hebben. Is a
~
met ax
0 een element van deze ring, dan is (a,p) = 1 en dus is er een x
=
(mod p)
v~
Dit wil zeggen dat (Gh mod p \ {O}, )
een abelse groep is, hetgeen we moesten bewijzen. We noemen deze lichamen priemlichamen. Ais n niet een priemgetal is dan is de ring (Gh mod n,+, ) geen lichaam. Eindige lichamen, d.w.z. lichamen met eindig veel elementen, zijn het eerst bestudeerd door Galois en worden daarom oak Galois lichamen genoemd (engels: Galois fields) en aangegeven als GF(n) (Galois lichaam met n elementen). Laat (K,+, ) een eindig lichaam zijn. De eenheid noemen we I. Het element I + 1 noemen we 2, 2 + 1 noemen we 3, enz. Daar het lichaam eindig is vormen deze veelvouden van 1 een eindige cyclische ondergroep van (K,+, ). Dit is zelfs een lichaam en weI een priemlichaam. Het lichaam K bevat dus
•
9.
een priemlichaam GF(p) als deellichaam. We beschouwen nu in Keen maximaal stelsel lineair onafhankelijke elementen (t.o.v. GF(p»
d.w.z. elementen
x ,x , ••• ,x uit K zo dat c]x] + c x + ••• + cmx (0 ~ c < p) aIleen 0 i m 1 2 2 2 m is als aIle c. = 0 zijn. Ieder element van K is eenduidig te schrijven als 1
lineaire combinatie van Xl tIm xm met coefficienten uit GF(p). Met x ,x "",x als basisvectoren is Keen vectorruimte van dimensie mover 1 2 m het lichaam GF(p). We hebben hiermee bewezen: 2.11 Stelling: Het aantal elementen van een eindig lichaam is een macht
van een priemgetal. m
We delen hier zonder bewijs mee dat er slechts een lichaam is met p
elementen. We geven het zoals eerder reeds gezegd is aan met GF(pm). (lets beter gezegd: twee lichamen met evenveel elementen zijn isomorf.) Voor een grondige behandeling van Galois lichamen verwijzen we naar: B.L. van der Waerden, Algebra. We volstaan hier met het vermelden van enige stellingen (zonder bewijs) en enige voorbeelden. 2.12 Stelling: AIle elementen
r
0 van GF(q) zijn machten van een zelfde
element (primitief element), d.w.z. de multiplicatieve groep van GF(q) is cyclisch (van de orde q-]). m We geven nu een methode om GF(p ) te construeren. Laat f(x) een polynoom zijn van de graad m met coefficienten in GF(p) en laat f(x)
~rreducibel_
zijn (f(x) is niet het product van 2 polynomen van lagere graad met coefficienten in GF(p». AIle polynomen met coefficienten in GF(p) vormen een ring (R,+, ) (notatie: (GF(p)[x],+,
».
De veelvouden van f(x) vormen een
De restklassenring Rls is op te vatten m-I als de verzameling polynomen Co + ctx + ••• + cm_Ix (0 ~ c < p) met opi telling en vermenigvuldiging mod p en mod fex) (notatie: (GF(p)[x] (mod({f(x)D,+, ). ideaal S in R (notatie: S
Ais g(x) een element van
= {fex)}).
Rls
is en c(x) doorloopt
g(x)c(x) de hele restklassenring daar g(x)cl(x)
Rls
dan doorloopt ook
= g(x)c 2 (x)
zou impliceren dat
g(x){cl(x) - c 2 (x)} = r(x)f(x) en dit kan niet als f(x) irreducibel is. Uit bovenstaande voIgt dat er bij iedere g(x) in Rls een c(x) is zo dat •
g(x)c(x)
=
I, m.a.w.
Rls
is een lichaam. Dit is het lichaam GF(pm) •
Het volgende voorbeeld illustreert deze methode en tevens stelling 2.12. We construeren GF(24) door uit te gaan van een primitief element x dat voldoet aan x4 +
X
+ 1
=0
(dan is xIS
=
1):
10.
(0 0 0 0)
0
==
xO
= (1
xl
=
x2
=
x3
=
x4
=1
x5
=
x6
==
x7
x
=
x2
x8
=
x9
=
x lO
=
xlI
=
xl2
= (0 0
=
+ x
x + x2 x2 + x 3 + x3 + x2
1 + x + x2
0)
(l
o 0 1) o 0)
(0
0)
(0 0
1)
(1 1 0 1) == (I
+ x3
x
0)
0 0)
(0
x 3 = (0
+ x
o0
o
= (0 =
1 0) 0 1)
(I
0)
x + x2 + x 3
(0
1)
=
+ x + x2 + x 3
(I
1)
x I3
=
+ x2 + x 3
(1 0
1)
x14
=
=
+ x 3 = (I
o0
1)
De representatie als machten van x geeft de structuur van de multiplicatieve groep van GF(2 4 ) en de representatie als vectoren (4-dimensionale vectorruimte over GF(2»
geeft de structuur van de additieve groep.
We merken nog op dat we analoog aan het bovenstaande een vectorruimte kunnen maken van de n-tallen (a ,a , ••• ,a ) waarbij aIle a uit een lichaam l 2 i n K gekozen zijn. Dit heet een n-dimensionale vectorruimte over het lichaamK. Ala oefening kan men GF(3 3) construeren door bovenstaande constructie uit te voeren m.b.v. een polynoom x 3 + ax 2 + bx + c dat deler is van x I3 + 1. Als we dan de machten van x schrijven als lineaire combinatie van 1, x en x 2 met coefficienten uit GF(3), dan is x 26 de kleinste macht die = I is, d.w.z. we vinden voor de multiplicatieve groep x als voortbrenger (x is primitief element).
..
II.
Opgave 8.
Zij f(x)
E
GF(5)[x] en a een element van GF(Sn) zo dat f(a)
= O.
Bewijs dat ook f(a 5 ) = O. Opgave 9.
Beschouw de polynomenx2 + alx + a 2 met a i = 0, 1 of 2 (i = 1,2). We rekenen mod 3. Welke van deze polynomen zijn niet in factoren te ontbinden? Geef de ontbinding in irreducibele factoren van x 8 - 1.
Opgave 10. Er zijn 16 matrices (~
:) met elementen 0 of I. Als we mod 2
rekenen (gewone matrix-optelling en vermenigvuldiging) dan vormen deze matrices een ring (ga na!). Bewijs dat er in deze ring een matrix X is met X2
=
X + I (hierin is I de eenheidsmatrix).
Bewijs dat 0, I, X en X + I een lichaam met 4 elementen vormen. Opgave 11. Toon aan dat x 2 + 1 in GF(3)[x] irreducibel is. We nemen (GF(3)[x] (mod({x2 + Il»,+, ) als model van GF(9). Bepaal in dit geval een primitief element a van GF(9). Toon aan dat het polynoom x4 + I product is van twee irreducibele
•
•
dat a nul punt is van een van deze polynomen •
in~~H
12.
Hoofdstuk 3.
3.1.
nse vietkanten.
Definitie
Een Latijns vietkant van de orde n is een vierkante matrix van de orde n, waarvan elke rij en elke kolom een permutatie is van n symbolen {1,2, .••
,~.
Twee Latijnse vierkanten van de orde n zijn orthogonaal, als hun superpositie elk van de n 2 geordende paren (i,j) met i,j
E
{1,2, ••• ,n} precies eenmaal be-
vat. Neem verder n > 2. Voorbeeld. 2
11
orthogonaal wegens 3
23 [
33J'\ ~~I J
22 31
32
13_~
-----_. Voorbeeld. Twee aan twee orthogonaal is het drietal 2
3
4
4
3
3
4
2
4
3
4 3
3
2
3
2
2
4
2
3
4
2
3
2
1
4
3
2
1
4
3
4 ,
...-~-.~-~---------------....-
2
--
Het volgende Latijnse vierkant echter bezit geen orthogonale collega:
4~ 2
3
3.2. Het vermoeden van Euler Stelling: Bij elke eindige groep van oneven orde nkan een paar orthogonale Latijnse vierkanten van de orde n worden geconstrueerd. Bewijs.
Zij G
= {a l ,a2 , ••• ,an }
een multiplicatieve groep van orde n.
De matrices [a. a. ] 1. J
en
[a. J
-1
a. ] 1.
a.,a.EG 1. J
zijn Latijnse vierkanten van de orde n. Inderdaad, in elk der matrices komt elk der groepselementen in elke rij en in elke kolom eenmaal voor. Uit
•
13.
voIgt echter a. 2 = a 2 • Verhef in de macht !(n+l) dan ~ k a.
n+1
n+1
= ~
~
omdat de n
e
=
,dus a i
,
~
macht van elk groepselementgelijk is aan het eenheidselement
(waarom?) •
~ }jel.I!-~~· 7
/#..
Euler formuleerde in 1782 het volgende: VtA/J/2-1.N-'1~ '.
Vermoeden. Er bestaat geen paar orthogonale Latijnse vierkanten van
=2
orde n
(mod 4), n > 2.
Dit vermoeden werd in 1900 voor n == 6 bevestigd door Tarry. Voor aIle andere n werd het echter in 1959 weerlegd door Bose, Shrikhande en Parker, die de volgende stelling bewezen: Stelling. Er bestaat een paar orthogonale Latijnse vierkanten van elke orde n
6.
=F
r~f L
3.3. Orthogonale Latijnse vierkartten
A.
~
~l AL
Stelling. Er bestaan ten hoogste n-I twee aan twee orthogonale Latijnse ~
vierkanten van de orde n
3.
Bewijs~
Stel AI' A , ••• , At vormen t twee aan twee orthogonale Latijnse 2 vierkanten van de orde n. Arrangeer de symbolen van elk der Latijnse vierkanten zo, dat de eerste rij van elke A. bestaat uit de symbolen 1,2, ••• ,n, 1.
in deze volgorde. De (2,1) plaatsen van de t Latijnse vierkanten zij.n alle verschillend, en bevatten niet het symbool I. Daarom is t m
Stelling. Als n = p
~
S
n-l.
3, p priem, dan bestaan er n-l twee aan twee ortho-
gonale Latijnse vierkanten van de orde n. Bewijs.
Zij GF(n) = {a
== 0, at == 1, a , ••• ,a - } het Galois lichaam van 2 O n l orde n. Definieer de n-l matrices
[a e a.1. + a.], i,j = O,l, ••• ,n-l, e = 1, ••• ,n-I"IES" J A zijn Latijnse vierkanten, wegens .) e
(a
(a
a. + a. = a
e
~
e
J
a. + a.
e
J
1.
e
V~~r
a
£
=F
JJ
= a e a.1. , + a.)
(a.
::;::.
J
1.
==
a.,)
==
a. ,)
J
J
e
a. , + a., 1.
J
,
a
f
a
i
!:\
1.
f zijn A en Af orthogonaal omdat uit e
a. + a. = a ~
a. + a.,) ==> (a.
e~
+ a.
J
A~
~ 4(,L3]_{\I
)
... 'i '
= a f a.1. , + a., voIgt dat a. ~ J
=0 a., 1.
en a. = a. , • J
J
14.
Hoofdstuk 4. Orthogonale matrices.
4. I. Ret Legendre symbool Ret Galois lichaam GF(q), q = pk, p " 2 priem, bevat, behalve het nulelement 0, nog
~(q-l)
kwadraten en
~(q-I)
niet-kwadraten. Dit is op twee
manieren in te zien: (i)
GF(q) \ {o}
(ii) x 2 DeL
= y 2 ddan
= {w,
? w-, w3 , ••• ,wq-l • I} , w primitief.
als x = + y in GF(q).
Ret Legendre symbool x(a) van a
X(a) :-
[~ -I
Eigenschap I. x(ab)
als a
E:
GF(q) is
'\
~~J
= 0,
als a is kwadraat, als a is niet-kwadraat.
= x(a)
X(b).
Bewijs: verifieer, voor a " 0, b " 0 met de primitieve w.
= 1, XC-I) = -1.
Eigenschap 2. Voor q - I (mod 4) is X(-I) voor q - -I (mod 4) is
Bewijs: zij w primitief in GF(q), dan wf(q-l) Eigenschap 3.
Ix(a) aEGF(q)
)
~/L
/
= -I.
o.
Bewijs: er zijn evenveel kwadraten als niet-kwadraten. Eigenschap 4.
I x(a) x(a+b) aEGF(q)
= -I,
voor b " 0.
Bewijs: Stel a+b=ca. Als a doorloopt GF(q) \ {OJ, dan c doorloopt GF(q) \ {I}. Inderdaad, a
1
+ b
= cal a 2 + b = ca 2 , dan (a t -a 2 )(t-c) = =
a 2 , omdat c " 1 wegens b ~ 0. Nu is
L x(a) xCa+b) a~O
0,
=
r x(c) - I X(c) - X(t) = o - 1 "" c,tl
c
-1.
,..
I Lj~
15.
1.
4.2. Paley-matrices "
Stelling. De q x q matrix S • [x(ar-ak)J, waar a
en a
r
de elementen van
k
GF(q) doorlopen, voldoet aan
SST Bewij 8. Elke
=q
I-J, Sj = j S
= O.
rij van S bevat een
=
q-J elementen +
)
.
.
-) is wegens eig.4 r X(a -a ) x(as-~) k r k s. Voorts is de 80m van elementen van elke rij
Het inproduct van de rijen r en voor r .; s en q-I voor r
o en
8
o C .,. [ j X (-1)
•
is symmetrisch voor q - 1 (mod 4), scheef voor q - -) (mod 4) en voldoet aan CCT .. q I . Bewijs. Met eigenschap 2 en de vorige stelling. Voorbeeld. GF(5) .. {a, 1, 2, 3, 4} met x(a) .. 0, 1, ";1, -1, 1 • GF(7) .. {Ot 1, 2, 3, 4, 5, 6}
= 0,
met x(a)
I, ), -1, ), -I, -) •
Daarom zijn de volgendematrices orthogonaal: 0
0
C 6
..
rI -I -1
-)
-]
-]
-1 -)
0
-]
!-1
-1 -I
0
-]
\l (A
-0 1.
-1
~
af/.,-I
-]
0
-1
0
-1
-)
0
-)
-I
-1
0
-1
-1
I
0
-I
-)
0
-)
)
0
1
'\ ~a. -,u. Ii ~~ 11--.;:" \.,
-1
1 -1
\-1: ]
-) ( -1 \-1
\
~
-]
-)
s=
C
-]
0
\
I
0
-1 -I
-) -)
1
16.
4.3. Conferentie-matrices !
/
Een conferentie-matrix C van orde v is een vierkante matrix van orde v met
/ 1-
diagonaal elementen 0 en overige elementen /+ 1, die voldoet aan
/
T C C = (v-l) 1. !
,I
Stelling. Nodige voorwaarde voor het bestaan van een symmetrische [scheve] l . van d e ord e v 1S . d at C-matr1x {
[v • 2 en/v:: 0 (mod 4)] •
v :: 2 (mod 4)
B~eWijs, Voor v ::
/
2 triviaal. Nee'
~
> 3, normaliseer en permuteer rijen
en kolonnnen zodat de eerste d ierijen zijn
o
+
o
+
I
;;
o
I
-L-
met 1, I het
I, x, Y
--'-'i-I-
~ u kolonnnen.
Symme\risch~nZ~et
Uit de inproducten concluderen wij in scheve geval respectievelijk:
I+X+~+~U-V-{ I + x + y
+ x I + x
=0
- u
+
/y -
4(X~ = 4y
z~
+ x + y + z + x + y - z -) + x - y + Z + X- Y- z
u • 0
z "\u :: 0 =
4z~
4u • v - 2 ,
+ u - v - 2 - U :: 0 - U :: 0 + U .. 0
= 4z
4(x+1) :: 4(y+1)
:: 4 (u+l) ... v.
Stelling. Nodige voorwaarde voor het bestaan van een symmetrische C-matrix van de orde v is v - )
= a2
+ b 2 , a en b geheel.
In 4.2 werden speciale C-matrices van de orde v
=
k
1 + p , p
~
2 priem,
geconstrueerd. zij heten Paley-matrices, naar R.E.A.C. Paley (1933). Er bestaan ook andere C-matrices, bijv. van de orde v :: 226,. Het kleinste onopgeloste geval is v :: 46. 4.4. Hadamard matrices Def. Een Hadamard matrix van de orde n is een vierkante matrix H, waarvan T
aIle elementen + 1 zijn en waarvoor geldt H H
=n
I.
17.
Stelling. Als H bestaat, dan is n - I, n ... 2, n _ 0 (mod 4). n
Bewijs: zie 1.1. Stelling. Als C een scheve conferentie matrix is, dan is H n
n
= Cn
+ I
n
een Hadamard matrix. T
= -C,
Bewijs. C
dus
(C+I)(CT+I)
= Cc T +
C + cT + I
= (n-I)
I + 0 + I - n I.
Stelling. Als C een symmetrische conferentie matrix is, dan is n
C + I n
cn -
n
I
n
H ... 2n
C - I n
n
-C - I n
n
een Hadamard matrix van de orde 2n. Bewij s. [C+I
C-I
r
C-I
.,.
-C-I
[~C+I)2
(C-I) (C+I) - (C+I) (C-I)
2 [ 2C
(C+I)(C-I) - (C-I)(C+I)
+ (C-I)2
0
: 21
2C 2 + 21
] [
(C-I)2 + (C+I)2
] ...
2nI
...
0
2:1 ]
4.5. Kronecker product Het Kronecker product A x B van de vierkante matrices A en B
= [bk1J
A x B
= [a1J .. ]
van orde m,
van orde n, is de matrix van orde mn gedefinieerd door:
•
= a
rom
B
18.
Eigenschappen:
(A x B) x C = A x (B x C), (A x B)T
=
AT x BT,
(A x B)(C x D)
= (AC)
(aA+BB) x (yC+OD)
x (BD),
= ayA
x C + aoA x D + ayB x C + BoB x D.
Stelling. Als H en H Hadamard matrices zijn, dan isH x H Hadamard matrix m n m n van de orde DDl. Bewijs. (H x H )(H m n m (H H T) mm
x
x
H )T = (H n m
(H H T) nn
= mn
H )(H T n m
x
I
m
x
I
n
x
H T) n
= mn
I
mn
=
J 9.
Hoofdstuk 5.
Block designs
5.1. Steiner tripel systemen Zij V een verzameling van v elementen, zeg punten. Een tripel is een deelverzameling van 3 punten. Bestaat er een collectie tripels zo,
d~~~
punten in precies een tripel zit? Dan meet v aan voorwaarden voldoen. 1nderdaad, elk punt zit met elk van de v-J andere punten in een tripel, dus zit in 6(v-l) tripels;
i
totaal zijn er ~ v • I(v-I) •
v(v-t) tripels.
Hieruit voIgt, dat v meet voldoen aan v
=I
of 3 (mod 6).
Omgekeerd kan men bewijzen dat deze voorwaarde voldoende is. Zo'n collectie
•
tripels heet een Steiner tripel systeem, naar Jacob Steiner (1853), en _lu::.e-f-t:-de-e1-gens-Ghap : Er 'i'ii,jn v puntel.n b = elk
t~p,el
bLt
! v(v-t) tripels,
KA~ t \8
k = 3 punten, door elk punt gaan r ...
~ten ligt in A = I tripel.
11.1)
! (v-J) tripels,
tlkraar (v, k
A)~-
b, r,
(v, 3,
6I
~tie ddan ~s v = 1,3
v(v-l),
Voorbeeld I. (v, k, b, r, A)
21
(v-l), I).
(mod 6).
=
(7, 3, 7, 3, 1).
Dit is de meetkunde van Fano, zie 1nleiding 1.2, met punt-tripel incidentie trtatrix
,,,A(} I\\)V
. J
/
~ ~ = circ
(I ] 0 1 0 0 0).
'\./
Deze matrix voldoet aan /
""
N NJ' /=. 3'J , '\"T j\
= 3,T J
T , NN
= 21
+ J •
20 .
,
./
Voorbeeld 2. (v,k, h, r,
(9, 3, 12, 4, 1).
i..) ==
/
De
punt-trip~l
incidentie matrix N voldoet aan
/
Nj == 4j ,/jTN
=
3jT , NN
T
== 31 + J.
Hieraan~oldoet
het tripel systeem aangegeven door de volgende 12 lijnen, / later'AG(2,3) te noemen.
Voorbeeld 3. (v,
/
~b,
Nj == 6j, j TN == 3j/ , NN
Hieraan
. !t/ )
0
eire
(0
0
==
T
.. 51 + J •
vOldoei~ = [N 1
Nt == cuc
N2
.
r, A) == (13, 3, 26, 6, 1).
./
0
o o 0 o
Voorbeeld 4. (v, k, b, r,
0 0 i..) =
o o
o
o
0
0
0
0) ,
0
0)
(15, 3, 35, 7, I).
Nj = 7j
Hieraan voldoen de 15 punten en 35 lijnen van PG(3,2). Opmerking. Voorbeeld 3 heeft 2 oplossingen, voorbeeld 4 heeft 80 oplossingen. 5.2. Block designs Lemma.
Zij M een (rechthoekige of vierkante) matrix. Dan hehben T T MM en M M dezelfde eigenwaarden ~ 0, met dezelfde multipliciteiten.
ft ) 'l
.~p I
_ \:1;
Bewij s.
~
s
! i
L
21.
Zij A
P0
T
eigenwaarde van MMT, met eigenvector T T T xa)'MTx
MM ~==A!.,M
~
P o.
~p.Q.,MMM
A is eigenwaarde van MTM, met eigenvector MT x •
Evenzo, als a~ + aZ p Q in de eigenruimte bij de eigenwaarde A P 0 ~an MMT , T dan is aM x + aMT y P Q in de eigenruimte bij de eigenwaarde A van MTM. Q.e.d.
Zij V een eindige verzameling van v punten. De delen van V heten blokken. Een IBD, incomplete block design, is een verzameling van, zeg b, blokken. Een BIBD, balanced IBD, is een IBD met (I)
elk blok heeft evenveel, zeg k, elementen,
(2) elk paar punten ligt in evenveel, zeg A, blokken, (3) 0 < A en k < v-l. Voor een BIBD gelden dan de volgende eigenschappen: (4) elk punt ligt in evenveel, zeg r, biokken,
~
r(k-I) = A(v-l), bk == vr,
die wij weldra zullen bewijzen.
e
\
/ /
~en BIBD, zeg block design, wordt beschreven door zijniv x b punt-blok incidentie matrix N == [n,.] gedefinieerd door lJ
\
n"
~
lJ
=
f I als punt
i ligt in blok j,
to als punt i
niet ligt in blok j.
Volgens definitie geldt dat
}(J) li2)
elke kolom van N heeft k enen,
J_rN_-r\-...::l~~~:':""'·-'---,
~
I,
_ _ _ .. _ _
t __- - - ' 1 ' ( - - - - -
~j
~ ~ -- --I
__--+-1 - - - - - - - -
J
elk paar rijen van N heeft inproduct A. e Stel de i rij van N heeft r enen. Tel het aantal paren (h,j) waarvoor geldt i (n."
n
,) == (1,1).
lJ .h J ~ Volgens (2) is dit aantal (v-I»),. Volgens (I) is dit aantal r.(k-I). 1 Hieruit voIgt: (4) elke rij van N heeft evenveel, zeg r, enen, en r(k-l) - ).(v-l). Tel nu op twee manieren het totale aantal enen in N, dan voIgt vr • bk.
t,v
22. I
/
/In termen van de punt-blok incidentie mat:r:ix N wordt 'i,een block design dus / gedefinieerd door
NNT _ (r-A) I + AJ , vr
= bk
,
.
NJ
= rJ.
r(k-l) •
.T
,
J N -
k:T
J ,
A(V-J) •
Voorbeeld J. Steiner tripel systemen. I
Voorbeeld 2. N = circ (1
a
a
0)
definieert een block design met (v, k, b, r, A) • (7, 4, 7, 4, 2). Voorbeeld 3. Een block design met (v, k, b, r, A) • (8, 4, 14, 7, 3) wardt gegeven door de 8 hoekpunten van een kubus en de volgende J4 blokken: de 6 zijvlakken, de 6 diagonaalvlakken, de 2 regelmatige viervlakken gevormd door de hoekpunten. Een betere voorstelling wordt verkregen door de 8 punten van de vectorruimte van dimensie 3 over GF(2), en de 14 vlakken
x x
= 0, y = 0, z = 0, x+y = 0, x+z - 0, y+z - 0, x+y+z - 0, = I, Y = I, z = I, x+y = I, x+z - I, y+z • I, x+y+z • I.
Stelling (Fisher '. In een block design geldt v ~ b. Bewijs.
De eigenwaarden van de v
x
v matrix
NNT _ (r-A) I + AJ zijn (v-I) maal (r-A) en eenmaal r - A + A v - rk. Deze eigenwaarden zijn ~ O. Volgens het Lemma heeft de b x b matrix NTN
\ \
tenminste deze v eigenwaarden, benevens eventueel b-v eigenwaarden O. Daarom is b ~ v. Een BIBD met b - v heet een symmetrisch block design. De matrix N is dan vierkant, en r = k, en we hebben Nj = kj, jTN = kjT, NNT = NTN = (k-A) I + AJ (det N)2 ".
= k2 (k-A)v-J ,
t-1
dus lk-,,] moet een kwadraat zijn. Een projectief vlak PG(2,n) van orde n > 1 is een symmetrisch block design met
b
= v - n2
+ n + I, r • k - n + I, A • J.
~
23.
/
Voorbeeld. De meetkunde van Fano, zie 1.2. t I Omtrent het bestaan van PG(2,n) is het volg~nde bekend. i
Stelling.
PG(2,pm), p priem, bestaat, zie 7.3.
Stelling.
Als PG(2,n) bestaat, en n = ) of 2 (mod 4), dan geldt n = a 2 + b2 , a en b gebeel.
Een gevolg hiervan is, dat PG(2,6) niet bestaat. Het bestaan van PG(2,IO) is een open probleem. 5.3. Block designs en orthogonale matrices Stelling.
Een genormaliseerde Hadamard matrix van de orde 4t ~ 8 is equivalent met een symmetrisch block design met parameters (v, k, 1)
Bewijs.
= (4t-t, 2t-l,
t-l)~
Schrijf de Hadamard matrix volgens
T
dan voldoet de vierkante R van orde 4t-1 we gens HH • 4tI aan S·" W., ~ '1 .T ..1' RRT • 4tI - J, Rj - -J, ;IJilt! - -J ~ /'" i, V U l II II v
De incidentie matrix N van het symmetrische block design voldoet aan NNT = tI + (t-l) J, Nj • (2t-l) j, jTN • (2t-l) jT. Het verband tussen R en N wordt gegeven door
Voorheeld: opgave 2 van de Inleiding. Stelling.
Als er een C-matrix van orde n bestaat, dan is er een block design met parameters (v, k, h, r, 1) - (n, jn, 2n-2, n-l, jn-I) •
Bewij s.
Normaliseer de C-matrix volgens
24.
dan voldoet de matrix S. van orde n-l, aan .
.
SST = (n-l) I - J
t
Sj ..
+r
'f' 1 ~'I''\ Ot;~t~UJJo~ '-
Het gevraagde block design wordt nu gegeven door .T N ..
[
~
J
OT
(J-S-I)
~(J-S+I)
1
25. Hieronder volgen enkele opgaven betreffende de hoofdstukken 3, 4 en 5. Opgave· 12.
a) Bepaal 7
met hoekpunten uit {1,2,3,4,5,6,7} zo,
dat elk paar driehoeken een hoekpunt gemeen heeft. b) Bepaal ]4 verschillende driehoeken met hoekpunten uit . {1,2,3,4,5,6,7} zo, dat elk paar punten in twee driehoeken ligt. Opgave 13. Gegeven
.
1
2
3
2
3
4
3
4
5
....
n-l
n
n
n
n 2
n-2
2
n-I
....
2
,
A :=
n
n-I
3 4
2 3
2
5
4
3
B :=
n-I
n-2
2
n
Bewijs dat A en B orthogonale Latijnse vierkanten zijn dan en aIleen dan als n oneven is. Opgave 14. De 9 elementen van GF(9) worden voorgesteld door aIle getallen van de vorm ax + b, waarbij a en b doorlopen GF(3) en x voldoet aan x2 + 1
=
O. +)
x+1
a) Welke elementen van GF(9) \ {a} zijn kwadraat? b) Welke van de 8 elementen I - y, Y
E GF~)
\ {I} zijn kwadraat?
c) Construeer een Conferentie matrix van de orde ]0.
26.
Opgave IS. De (0,1) matrix N heeft afmeting 6 x 10. Elke rij bevat 5 enen en 5 nullen. De Hamming afstand van elk paar rijen is
~
6 (zie
1.4 of 6.1).
a) Bewijs dat elk paar rijen ten hoogste 2 enen gemeen heeft. b) Bewijs dat elke kolom ten hoogste 3 enen heeft. c) Bewijs dat elke kolom precies 3 enen heeft. d) Bewijs dat N de incidentiematrix van een block design is en geef de parameters van dit block design. Opgave 16. Zij fen) het maximum aantal tripels, dat kan worden gekozen uit een verzameling van n symbolen, zodat elk paar tripels een symbool heeft. a) Wat is f(7)?
b) Bereken f(n) voor n = 3,4,5,6. ~~~ KAA" QJb c) Uit 15 symbolen ~neB twee totaal verschillend stelsel van '" 7 tripels worden gekozen, ~ elk paar tripels een symbool fj,J~"",
gemeen heeft. Geef deze stelsels aan. d) Bereken fen) voor n
~
7.
27.
Hoofdstuk
6~Codes •
• Beschouw een verzameling van q verschillende symbolen(alfabet) en vorm aIle rijtjes van n van deze symbolen(wootden). We noemen deze verzameling V(n,q). Een deelverzameling C 6.1. Definitie: Als x
c
V(n,q) heet een code.We definieren:
= (x1' ••• ,xn )
E
V(n,q) en"l
= (Y1, ••• ,Yn )
E
V(n,q)
dan is d(x,v) := het aantal indices i (I - ,
~
i
~
~
n) zo dat x.1
y 1.•
d(e'''l) heet Hamming-afstand van x en "l (zie 1.4).
We beschouwen nu het volgende model van een communicatiekanaal: 6.2. Definitie: Een binaitsymmetrisch kanaal met kans p op fout (0
o
•
~
p
~ ~)
o
is een systeem met 2 mogelijkeingangssignalen (0 en I) en dezelfde twee uitgangssigrtalen zo dat voor beide ingangssignalen de kans p is dat het verkeerde signaal uitgangssignaal is. 6.3. Voorbeeld van gebruikvan codes: Stel dat we een binair symmetrisch kanaal met kans p
= 0.02
op fout overkomen ter beschikking hebben en dat
dit kanaal 2 signalen per tijdseenheid kan verwerken. Via dit kanaal willen we de resultaten overbrengen van een experiment waarbij met constante snelheid, nl. een maal per tijdseenheid, met een munt kruis of munt wordt geworpen. Als we nu bij iedere keer kruis een 0 zenden en bij iedere keer munt een ] dan zal de ontvanger informatie ontvangen waarvan ongeveer 2% fout is. Stel dat we nu wachten tot twee keer is geworpen en steeds na elke twee worpen 4 signalen zenden als volgt: - munt
~
0 000
kruis - munt
~
1 0 0
munt
- kruis
~
0
kruis - kruis
~
munt
1 0
28.
De ontvanger wordt opgedragen bij ontvangst van een ander viertal een van de eerste drie plaatsen te veranderen zo dat een van de vier rijtjes ontI
staat. Merk op dat we door zo het kanaal te gebruiken in de tijd het experiment precies bijhouden. We hebben nu de volgende kansen: P(4 symbolen goed) = q4, P(I fout onder de eerste drie) en
= 3pq 3,
~n
beide gevallen zal de ontvanger na ':decoderen" 2 goede resultaten e hebben. Twee foute resultaten vindt de ontvanger als het 4 symbool goed ~
doorkomt en onder de eerste drie
Z fouten waren. De kans hierop is
p3q + 3p2q2. Blijft over een kans p dat de ontvanger althans een van de experimenten goed doorgegeven krijgt. Gevolg is dat ongeveer 1,12% van de totale informatie onjuist is. Dit is veelbeter dan eerst. Laten we nu wachten tot 3 worpen zijn voltooid en steeds na elke 3 zes signalen zenden. We kunnen weer
,.
h~t c
experiment in de tijd bijhouden! Nu
zenden we als voIgt: Laat (a ,a ,a ) het resultaat van de worpen zijn. l Z 3 Neem a := a + a , as := a + aI' a = at + a (aIle optellingen in GF(2». Z 4 2 3 3 6 Zend nu (a ,a , ••• ,a ). De ontva~ger decodeert als voIgt: Zoek een mogelijk 6 1 Z signaal met zo klein mogelijke Hamming-afstand tot het ontvangen signaal. Dit noemt men
maximum-likelihood~decoding~
De lezer control ere nu zelf dat
de ontvanger nu nog slechts 0,Z9% foute informatie ontvangt. Door steeds langere codes te gebruiken kan men de informatie willekeurig nauwkeurig over het als voorbeeld gekozen kanaal zenden! i
Het vinden van codes, de bestudering van deze codes en het ontwerpen van decodeerprocedures zijn de onderwerpen van de "coding theory". 6.4. Hadamard codes. Zij H een Hadamard matrix van de orde 4h. We construeren een code van· 8n woorden van de lengte 4n met {O,l} als a1fabet door
(al""'~n) als code-
woord te nemen als + (2a -l, 2a -1, ••• ,2a -1) een rij van His. Nu is voor l 2 ~n twee rijen van H het inproduct 0, dus hebben de door ons geconstrueerde woorden afstand Zn of 4n. Voorbeeld:
H
! ! -! -;] [ 1 -I 1-1 1 -I -) I
c
o
0
o
1
1
I
o
0
I
1
I 1 0
1
1 0
o o
1
o o 1 1
o
0 1 1
0 1 0 0
•
29.
Ais vorengenoemde code gebruikt wordt (bijv. voor een binair symmetrisch kanaal) en het kanaal introduceert e < n fouten dan leidt de reeds eerder genoemde maximum likelihood decoding tot een correcte interpretatie. Men spreekt nu van een e-fouten-verbeterende code. T Een decodeerprocedure kan als voIgt werken: We ontvangen ~ = (x , ••• ,x ). 1 4n T Bepaal nu H(2~-i) =: X. Als er geen fouten in x zitten zijn aIle componenten
van
X op
een na 0 en de andere component is + 4n. Bij e < n fouten geeft op
analoge wijze het inproduct met de gtootste absolute waarde eenduidig aan wat het gezonden woord geweest is.
+-
30.
Hoofdstuk 7. Eindige meetkunde
. • 1. Vectorruimten over Galois lichamen
efinitie. V(n,q) is de vectorruimte van de dimensie n, waarbij de getallen worden genomen uit het Galois lichaam GF(q). De lineaire algebra van V(n,q) heeft veel gemeen met de gewane lineaire algebra over R, het lichaam der reele getallen. Er zijn echter ook verschillen, bijvoorbeeld omdat het aantal vectoren van V(n,q) eindig is, nl. qn. ~;""'M'~
Voorbeeld. V(3,2) heeft 8 lineaire vectoren (x,y,z), met coordinaten 0 of I. Voorbeeld. V(2,3) heeft 9 ternaire vectoren (x,y), met coordinaten 0, I, -I. Zij A(s,n; q) het aantal lineaire deelruimten V(s,q) van V(n,q).
Bewijs. Elke rechte door ~bevat behalve Wnog q-I vectoren. Daarom zijn er (qn_I)/(q_l) rechten door ~, en evenveel ~en door 6. Het aantal der V(s+l,q) in V(n,q), die een gegeven V(s,q)
it ~1A 1/(/)/1) ~ ).P;. 1 I/{ 117- /1'1;) J
bevat~ --- •..._, ~
Daarom geldt
-q ,'-
r;;L· ,
-~c ,~1~?\ 1~) lI( '?+u
r,,-~ /.I/A{iJ.A ~uL-t0 V (
V(1lA16jt/
?
I
\., n-s q -I A(s,s+J; q) A(s+l,n; q) • A(s,n; q) q - J '
Wegens A(s,s+l; q) .. (q
s+.l
().
~il
')(~~o
' ,... .;..()2.1._\~~
qn_qs .. qn-s_ J . 8+1 s q-l .~_ q
'/(t-.'.-r
-J)/(q-J) voIgt het gestelde.
/
/
if
I
I-
(
,voorbeeld. V(3,2) bevat 7 rechten en 7 vlakken door W. Elk vlak door e' bevat 3 rechten door 8'.
V
~\
Voorbeeld. V(2,q) bevat q+1 rechten door W. Voorbeeld. V(3,q) bevat q2+q+l rechten, en q2+ q + ] vlakken door ~.
Voorbeeld. V(4,2) bevat 15 reehten, 3
".
~l~ en 15 drie-ruimten door d. 4
..
:z. - '2. J5' .. -r-._J '2..
-
2
2.
. 7.2. Block (Stelling.
De V(I,q) en de V(s,q) van V(n,q),
\
de blokken van een block design met ) b = A( s,n; q, ) v = A(J In; q ) 1k' = A(1 ,s; q,
\
r - A(s-I. n-I; q). A •
A(S~2.
<
r
s < n, vormen'de'punten en
0-2; q).
-J
I (Jt~ ~/f,1
i CL&WlJt~~ .g~ oil ,1.
!
I c~i4~. ~)'+
r
Dit block design is symmetr1Scb ddan al8 f .. n-I. v\.t,/i () 1J. l()
iJJl
Voorbeeld.
De
7 rechten en de 7 vlakken door Wvan V(3,2) vormen PG(2,2).
Voorbeeld.
De
15 rechten en de IS drie-ruimten door Wvan V(4,2) vormen
(v,k,A) •
= (IS,
7, 3) •
Voorbeeld. De 15 rechten en de 35 vlakken door d van V(4,2) vormen (v,k,b,r,l) - (J5, 3, 35, 7, J). 7.3. Het projectieve vlak PG(2,q) Stelling.
m
PG(2,q), q - p , p priem, met b
s
v
= q2
+ q + I,
r . k • q + I,
A· I,
bestaat. Bewijs. Pas de stelling uit 7.2 toe op V{3,q), namelijk op de (q3-1)/(q-l) rechten door ~ en de (q3-1)/)q-l) vlakken door ~. Elk vlak door ~ bevat q+1 rechten door ~ en door elk tweetal recbten door ~ gaat een vlak.
-----------~ ;.( Bij proJectieve vlakken/is men gewend om, /
in plaats van over punt en en blok-
ken, te sp~eken over prunten en lijnen. Blijkbaar geldt in PG(2,n)
/
\\
P ~ Door! elk paar punt en gaat een lijn. P2. paar lijnen heeft een punt gemeen.
' E.d
P3.~ /
ijn 4 verschillende punt en waarvan geen drietal op een
lijn
projecti~,fe vlakken
igt. 1
en zich ook omgekeerd uit deze 3 axioma's opbouwen.
11, -t<..:
: -t.. \ ~) ,~
32.
~ Wanneer ui~en prOj~ef vlak een lijn t
~ ~weggelaten, d~n\
~
*
en de punten van die lijn worden
bli5ven er over n 2 punten en n(n+l) lijnen, die het z.g. /
affiene vlak AG){~n) vormen. Twee lijnen heten evenwijdig, wanneer ze in de
oorspronkelijk/PG(2,n) een snijpunt op ~ hebben. De eigenschappen PI, P2, / \
P3 gaan oveY/in de\oekende axioma's van de vlakke meetkunde. / .
\
/
Voorbeet~: V~~r AG(2,~ zie voorbeeld 2 van 5.1. 7
7.4. Lineaire codes. Een lineaire (n,k) code over GF(q) is een lineaire deelruimte van dimensie k van de vectorruimte V(n,q) van dimensie n over GF(q). De codewoorden, dat zijn de vectoren van de lineaire deelruimte, hebben de volgende eigenschap: , et verschil van twee codewoorden is weer een codewoord. Daarom worden de Hamming-afstanden tussen de paren codewoorden bepaald door de Hammingafstanden van het codewoord
° tot de andere codewoorden.
Het gewiqht van een codewoord is het aantal coordinaten f
°van
co /woord. lak in V(4,3), opgespannen door (1,0,1,2)
lineaire (4,2) code; n = 4, k = 2, q = 3,
is een
Inleiding 1.4.
f Q hebben gewicht 3, dus de onderlinge Hamming-afstanden
AIle de
z~e
zijn 3.
9
Een lineaire code kan op verschillende manieren worden beschreven: Een generator matrix G van een lineaire (n,k) code is een k x n matrix, waarvan de rijen worden gevormd door k basisvectoren van de code. '. De qk codewoord en z~Jn
~TG, met ~T = (ul, ••• ,u ), u i k
€
GF(q).
Een parity check matrix H van een lineaire (n,k) code is een (n-k)
x
n
matrix over GF(q) zo, dat de qk codewoorden zijn de vectoren x
=
(xI' ••• ,xn )
T
met
Hx
=
°
33.
.
Voorbeeld:
o
2
2
o
duiden aan de generator en de parity check matrix van het vorige voorbeeld. 1nderdaad, er geldt T
GH
=0
•
Door geschikte basiskeuze kan de generator matrix van een lineaire (n,k) code worden gekozen als voIgt: G
= [Ik
NJ ,
met k x (n-k) matrix N
= [no . J lJ
Dan luidt de parity check matrix van die code:
omdat GH
T
= O.
De codewoorden zijn nu eenvoudig op te schrijven, immers kies k
E
i=l
x. n ..• 1
1J
opmerking;~""Xk heten de information symbols, xk + 1 , ••• ,xn heten de parit)/check SymbOIS· ~ ~ ~ ~; I
:
W
oc;?i
7.5. Hamming codes
110'
Binaire Hamming codes zijn lineaire codes met de volgende parity check matrix H van afmeting m x (2
m
- 1). De kolommen van H zijn I Q, verschillend,
en bevatten slechts de elementen 0 en I van GF(2). Voorbeeld, voor m = 3,
o o
1
o
o o 1 o o m
•
De lengte van de binaire Hamming code is n = 2 - I, en de dimensie is m k = 2 - I - m. Het minimum gewicht van de codewoorden lOis 3. Inderdaad, een codevector is een oplossing ! van Hx
=0
34.
= (x1' ••• ,x) n
T
-0 heeft tenminste 3 coordinaten ~ 0, omdat elk tweetal kolommen van H een som ~ 0 mod 2 heeft. Daarom zijn de Hamming
enelke x
~
.
codes l-error-correcting. Het corrigeren van een fout geschiedt als voIgt. Stel X
=x
+
e is het ontvangen woord, afkomstig van een codewoord
, d .. d'lnaat, e doch met een fout 1n e 'J-de coor
= (0
~,
•• 0 1 0 •• 0 )T • Dan wordt
door HX =
= j-de
H~ + H~ = H~
kolom van H
de plaats van de fout aangeduid, omdat de j-de kolom van H juist de binaire representatie van het getal j is. Opmerking.
m is de parity check matrix van een lineaire code van lengte 2 en dimensie 2m - m - 1, met d ~ 4. Inderdaad, elk drietal kolommen van H* heeft som ~ 0 mod 2. Deze lineaire code is dus 2-error-detecting. Voorbeeld.
is de H van een lineaire (8,4) code met d ~ 4. Deze code, die 24 = 16 codewoorden van lengte 8 bezit, is een Hadamard code volgens 6.4. Hamming codes over GF(q) zijn lineaire codes met een m x (qm - I)/(q - I) parity check matrix H. De kolommen van H zijn
~
Q,
twee aan twee onafhan-
kelijk, en bevatten de elementen van GF(q). Voorbeeld. H=
[~ ~ ~ ~
1 0
0
0
20
~21]-)
~._0_ _2__0______2~_____..-/
is de parity check matrix van een lineaire code met 3 10 codewoorden van lengte 13, die I-error-correcting is.
• •
1I
35 •
.I
"
7 i Opgave 17. Beschouw aIle polynomen l: a.x met a. ~ 1 : i=O
en
r~ken
daarmee mod 3 en mod (x 8 - I)
(GF (~)[xJ (mod (fx8 - I}»
=
0, 1 of 2 (i
=
0,1, •• ,7)
(d.w.z. beschouw
, +, ».
In deze ring vormen aIle veelvouden van x 2 + x + 2 een ideaal S (ga na!). Beschouw nu de S-dimensionale vectorruimte RS bestaande uit de vectoren (a ,a , •• ,a ) met a = 0,1,2 (i = 0, •• ,7) en opi O 1 7 telling etc. mod 3. Laat VcR gedefinieerd zijn door 7
(a ,a , •• ,a ) 1
O
7
E
V :
~
l:
i=O
a.x 1
i
E
S.
Toon aan dat V eenlineaire deelruimte van RS is (dimensie?). Toon aan dat uit (a ,a , •• ,a ) E V voIgt dat (a ,a ,a , •• ,a ) O l 7 7 O 1 6 (dit heet een cyclische deelruimte).
€
V
Opgave IS. Zij a een primitief element van GF(16). Beschouw de verzameling V van aIle polynomen C(x) l
= Co
+ ctx + •• + c
14
x 14 met coefficienten
in GF(2) waarvoor geldt
-
Zij V de code bestaande uit de woorden (c ,c ' •• ,c ) waarvoor O 1 14 Co + ctx + •• + c x 14 E V • Toon aan dat V een lineaire code is. 14 Hoeveel information symbols bevat elk woord? Bewijs dat dit een 3-error-correcting code is.
36. •
Hoofdstuk 8. Toepassirtgen.
. 8.]. Proefvelden. Op een vierkant stuk bouwland wil men n soorten graan zaaien, en de oogst vergelijken. Hiertoe verdeelt men het stuk land in n 2 subvierkanten. We nemen aan dat (misschien) de grond niet overal even vruchtbaar is maar dat de afhankelijkheid zo is dat E(y .. ) = gemiddelde oogst per m2 voor het k-de ~J k soort graan gezaaid in i-de rij en j-de kolom = P + ~. + v. + P waarbij k 1 J E ~. = E v. = E P = O. Hierin is p de gemiddelde oogst per m2 • Men wil k ~ J vragen van het type: ttzijn de graansoorten verschillend in kwaliteit", lIis er werkelijk verschil in vruchtbaarheid voor verschillende rijen resp. kolommen" enz. beantwoorden. Als men de k-de soort graan zo zaait dat in iedere rij en iedere kolom een subvierkant met deze soort voorkomt dan is de gemiddelde oogst over deze proefveldjes p + P omdat E ~i = E Vj = O. k D.w.z. de invloed van de plaats is geelimineerd. Om aIle soorten zo te zaaien moet men van het proefveld een Latijns vierkant maken. 8.2. Intensiteitsmetingen. Om de invloed van verschillen in lichtintensiteit op het oog te bestuderen
heeft men proeven gedaan met een televisiescherm waarop n verschillende intensiteiten voorkwamen. Het scherm werd verdeeld in n 2 vierkantjes. Weer gebruikte men een Latijns vierkant. De experimentatoren wilden graag dat ieder geordend paar verschillende intensiteiten (a,b) eenmaal horizontaal en eenmaal verticaal voorkwam. Als oefening kan de lezer proberen een dergelijk Latijns vierkant te construeren. 8.3. Statistische analyse van buizenfabricage. Dit voorbeeld is afkomstig van een plaatselijke fabriek waar radiobuizen worden gemaakt. Er zijn vier bewerkingen, te weten a) maken van de wolframdraad, b) maken van de spiraal, c) aanbrengen van de AI 0 -laag , d) buizen2 3 fabricage. De productie vertoonde een veel te grote spreiding in de gemiddelde gloeistroom. De 4 afdelingen gaven elkaar de schuld en door middel van een experiment moest worden uitgemaakt welke van de 4 factoren oorzaak van het verschijnsel was. I.v.m. tijd en kosten wilde men niet te veel buizen testen.
•
37.
Voor dit soort experimenten is een grieks-latijns vierkant het hulpmiddel. Beschouw een latijns vierkant van de or de 7 met elementen A, B, C, D, E, F, G en een met elementen a, b,c,d, e, f, g
ZQ
dat deze twee orthogonaal
zijn. Op 7 verschillende dagen wordt een partij wolframdraad gemaakt en van elke partij maakt men op 7 verschillende dagen spiralen. Een steekproef van 15 spiralen uit elke partij geeft een groep van 49 keer 15 spiralen. Deze plaatst men op het grieks-Iatijns vierkant en weI draad van de i-de dag in i-de rij, spiraal van j-de dag in j-de kolom. De 7 partijen op een A-plaats worden op een dag van de Al 0 -laag voorzien en teruggeplaatst etc. Daarna 2 3 worden de 7 partijen op een a-plaats op een dag in buizen gemonteerd, etc. Na 28 dagen heeft men 49 keer 15 buizen en aan elke groep worden dan gloeistroommetingen gedaan. Deze opzet heeft bereikt dat voor elke fase de productie van een dag voor iedere andere fase over 7 dagen is verspreid. Het experiment toonde duidelijk aan dat de spreiding (voor verschillende dagen) bij de buizenmontage te groot was. 8.4. Kleine experimertten. Het komt vaak voor dat men enkele factoren wil onderzoeken maar dat door tijdgebrek of hoge kosten het niet mogelijk is iedere mogelijkheid voor de eerste factor te'koppelen met iedere mogelijkheid voor de tweede. We nemen als voorbeeld een opject dat uit 7 verschillende soorten metaal kan worden gemaakt. Er zijn 7 verschillende processen mogelijk voor de fabricage. Het is te duur aIle 49 combinaties te onderzoeken. Hoe nu het experiment op te zetten? Voorbeeld 1.2 op bIz. 2 geeft een oplossing. De metalen nummeren we van 1 tIm 7 en aan ieder productieproces kennen we een biok toe. We bereiken dat het eindproduct door elk proces 3 keer is gemaakt, met elk metaal 3 keer is. gemaakt en dat er voor ieder tweetal processen een metaal is dat met be ide processen is verwerkt. Door middel van variantie-analyse bepaalt men daarna wat de beste keuze is. 8.5. Foto's van Mars. Voor het naar de aarde seinen van de foto's gemaakt door de Mariner Mars 1969 is een zg. (32,6) biorthogonale Reed-Muller code gebruikt. Dit komt neer op een speciale Hadamard code zoals in 6.4 behandeld. De code ontstaat uit (: ~) door vijf keer de stelling uit 4.5 toe te passen.
38.
8.6. Conferentietelefortie. De n directeuren van een concern wensen hun conferenties per telefoon te houden, zodanig dat elke directeur met elke collega kan spreken en dat de anderen hun discussies kunnen horen. De constructie van een daarvoor geschikt
cortfeterttie~rtetwerk
(een lineaire, verliesvrije, frequentie-onafhan-
kelijke, reciproke n-poort, met uniforme verdeling en zonder reflectie) is gelijkwaardig met de constructie van een symmetrische conferentie matrix.
8.7. Weegschema's. Stel dat v objecten gewogen moeten worden in v wegingen met een balans. We nemen aan dat aIle wegingen eenzelfde variantie hebben, onafhankelijk van de belasting van de schaal. We verlangen nu dat de wegingen zo worden uitgevoerd dat de gemiddelde variantie van de geschatte gewichten minimaal is. We geven het schema als voIgt aan: als bij de i-de weging het j-de object op de linkerschaal ligt, dan is a .. a .. 1J
= -1
1J
en verder nemen we a ..
1J
=0
=
1, terwijl voor de rechterschaal
als het j-de object bij de i-de weging
niet meedoet. Door Hotelling is bewezen dat als v weging gevonden wordt door te eisen dat A
=
=0
(mod 4) de beste
(a .. ) een Hadamard matrix is. 1J
De geschatte gewichten hebben dan gelijke varian ties en ze zijn niet gecorreleerd. Als v
=2
(mod 4) is een C-matrix het beste weegschema.
8.8. De voetbalpool. Het laatste voorbeeid in 7.5 geeft 3 10 kolommen van 13 getaIIen 0 (= 3), en 2 die we kunnen insturen voor de Nederlandse voetbalpool. We weten dan vooraf (!) dat we de Ie of 2 e prijs zullen winnen. 8.9. BCH-codes. Laat a een primitief element zijn van GF(16) (zie bIz. 111). De matrix H van 8 rijen en 15 kolommen gedefinieerd door
H waarin iedere a
[:
a 2 •••••••••• a 14 ]
a6
a 12
i een kolom van 4 elementen 0 resp. 1 voorstelt nemen we als
parity check matrix van een lineaire code C (dimensie 7, woordlengte 15, alfabet GF(2».
39.
Zij £
= (c O,c 1, ••• ,c I4 )
E
C.
Dan geldt voor het polynoom c(x) :=c
O
+
ctx + ••• + c
14
x 14
c(a) = c(a 3 ) = 0 •
Stel dat we het woord r := c + e
=
(e , ••• ,e ) met e O 14 k
~
ontvangen en dat hierin 2 fouten zitten;
11 =1, alle andere coordinaten O.
Zij r(x) Dan is e(a)
= ak+1 a = r(a)
(bekend aan de ontvanger!)
e(a 3 )
= a 3k
(
+ a
32
= r(a 3 )
fI
"
"
"
)
Oplossen van 2 vergelijkingen met twee onbekenden leert de ontvanger wat k en
. II
Q,
zijn. Dus 2 fouten worden verbeterd! .
40.
Literatuur M. Hall Jr., Combinatorial Theory, Blaisdell Comp., 1967. J.H. van Lint, Coding Theory, Lecture Notes in Mathematics 201, Springer, 1970. J.H. van Lint, J.J. Seidel, P.C. Baayen, Colloquium Discrete Wiskunde, M.C. Syllabus 5, Mathematisch Centrum, ]968. H.J. Ryser, Combinatorial Mathematics, Carus Monograph, Math. Assoc. Amer." Wiley, 1963.
;
