DIPLOMOVÁ PRÁCE UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY

DIPLOMOVÁ PRÁCE Matematika úvěrů

Vedoucí diplomové práce: Mgr. Eva Bohanesová, Ph.D. Rok odevzdání: 2010

Vypracovala: Bc. Jana Pokorná AME, II. ročník

Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracovala samostatně pod vedením paní Mgr. Evy Bohanesové, Ph.D. s použitím uvedené literatury.

V Olomouci dne 8. dubna 2010

Poděkování Na tomto místě bych chtěla poděkovat především své vedoucí diplomové práce paní Mgr. Evě Bohanesové, Ph.D., že měla se mnou dostatek trpělivosti, aby mi pomohla dovést tuto práci ke zdárnému konci. Také bych ráda poděkovala své rodině a přátelům za to, že mě po celou dobu studia podporovali.

Obsah Úvod

4

1 Úvěry 1.1 Podstata a členění úvěrů . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Bankovní a nebankovní úvěry . . . . . . . . . 1.1.2 Krátkodobé, střednědobé a dlouhodobé úvěry 1.1.3 Úvěry členěné podle způsobu jejich zajištění . 1.1.4 Úvěry členěné z hlediska účelu . . . . . . . . . 1.2 Úrok, úroková míra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 RPSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

5 5 5 6 7 7 13 20

2 Důchody 2.1 Modelování RPSN v případě jediného dluhu . . . . . . . . . . . .

24 30

3 Splácení úvěrů 3.1 Anuitní metoda splácení . . . . . . . 3.2 Lineární metoda splácení . . . . . . . 3.3 Metoda postupného umořování dluhu 3.4 Porovnání metod splácení úvěru . . .

33 34 42 48 56

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . .

Závěr

58

Přílohy

59

Literatura

60

Úvod Tématem mé diplomové práce je matematika úvěrů. Úvěry jsou mezi lidmi stále aktuálním tématem, o čemž svědčí neustálý zájem o úvěrové produkty. Předmětem úvěru bývá nejen nutnost financovat životně důležité věci, např. bydlení, ale také nadstandardní záležitosti, např. drahé dary nebo dovolenou. Diplomová práce je zaměřena především na střednědobé a dlouhodobé úvěry a jejich splácení. První kapitola je zaměřena na obecnou charakteristiku úvěrů, kde se věnujeme základnímu členění úvěrů, možnosti zajištění úvěrů a účelovému členění úvěrů. Podrobně je zpracován především úvěr hypoteční, dále pak je uveden úvěr ze stavebního spoření, úvěr spotřebitelský, úvěr investiční a úvěr překlenovací. V této kapitole je také objasněn pojem cena úvěru, kde je podrobně zpracována podkapitola o úrokové míře a typech úročení. V závěru kapitoly je objasněn pojem a definice RPSN. Druhá kapitola je věnovaná důchodům, kde se zaměřujeme na některé speciální typy systémů finančních toků, které jsou důležité z hlediska splácení úvěrů. Samostatná podkapitola je pak věnovaná modelování RPSN v případě jediného dluhu. Třetí, poslední kapitola je věnovaná především metodám splácení úvěru, kde je uvedena anuitní metoda splácení, lineární metoda splácení a metoda postupného umořování dluhu. V úvodu této kapitoly je popsán obecný návod, jak postupovat při sestavování splátkového kalendáře, a to pro každou z výše uvedených metod splácení. U jednotlivých metod bude popsáno, jakým způsobem se určí výše splátky, případně výše úmoru, při zachování délky doby splácení nebo při jejím prodloužení o jedno výplatní období. Pro každý případ splácení bude sestavena hodnotová rovnice. U jednotlivých metod je pak odvozen splátkový kalendář obecně pomocí vzorců, stejně jako další potřebné vzorce pro praktické použití metody. Celá práce je doplněna několika obrázky a především příklady.

4

1. Úvěry Dříve než se dostaneme k modelování jednotlivých metod splácení úvěrů, pozastavíme se nad tím, co je to úvěr a jakým způsobem lze úvěry členit. V závěru této kapitoly se budeme zabývat cenou úvěru.

1.1. Podstata a členění úvěrů Úvěrem rozumíme dočasně poskytnutý peněžní kapitál, ke kterému věřitel přenechává dlužníkovi hospodářské právo disponovat se svěřenými prostředky, proti závazku dlužníka vrátit zapůjčený kapitál později a zaplatit věřiteli úrok jako odměnu za zapůjčení. Věřitel je tedy vystaven riziku, které spočívá v tom, že dlužník nebude schopen splnit své závazky, tj. vrátit peněžní prostředky v dohodnuté výši a v předem určeném čase. S úvěry se setkáváme na finančním trhu, kde dochází ke střetu poptávky a nabídky peněz, tj. úvěrů. Poptávkou po úvěrech je poptávka po volných peněžních prostředcích, které poptávající potřebuje ke svým transakcím. Nabídka volných peněžních prostředků je pak představována nabídkou úvěrů na tomto trhu. Úvěry mohou mít mnoho podob a každý z nich tvoří svou podstatou a svými specifickými podmínkami individuální produkt. Úvěry lze členit podle různých kritérií. Hlavním důvodem, proč banka člení úvěry do následujících kategorií, je snadnější posuzování žádostí o úvěr a diverzifikace rizika. 1.1.1. Bankovní a nebankovní úvěry Úvěry členíme na bankovní a nebankovní podle toho, zda úvěr poskytla bankovní nebo nebankovní společnost. U obou typů společností je možné najít výhody a nevýhody. Bankovní úvěr, jak název napovídá, je poskytován bankou. Je časově náročný na posouzení žádosti o úvěr, jelikož banka musí vyhodnotit požadavky klienta a úvěr mu schválit. Úvěry jsou pro ni zpravidla nejvýznamnějším produktem, jelikož v rozvaze banky představují nejdůležitější položku mezi aktivy a 5

generují nejvyšší část příjmů banky. (Rozvaha je účetní výkaz o stavu majetku, tj. aktiva, a finančních zdrojů jeho krytí, tj. pasiva.) Zároveň však představují největší část rizika, kterému je banka vystavena. Výhodou bankovního úvěru je silnější postavení banky na trhu. V případě velkých bankovních úvěrů, které obvykle není schopna či ochotna poskytnout jedna banka, se na poskytnutí podílí konsorcium bank a vzniká tak konsorciální úvěr. Toto konsorcium mohou tvořit až desítky bank. Nebankovní úvěr je poskytován společnostmi, které se specializují pouze na poskytování úvěrů a zpravidla nevyžadují tolik formálních náležitostí jako banka. Je pro ně charakteristická flexibilita a méně náročná byrokracie. Možnost čerpání nebankovního úvěru je tak dostupná i pro klienta, jehož žádost o úvěr byla bankou zamítnuta. Tento typ úvěru však bývá hodnocen vysokými úrokovými sazbami. Speciálním případem nebankovního úvěru je tzv. úvěr obchodní, který vzniká v důsledku dodavatelskoodběratelských vztahů. Poznámka 1. Z hlediska poskytovatele úvěru mohou úvěr poskytovat nejen bankovní a nebankovní společnosti, ale také stát, resp. státní fondy. V tomto případě mluvíme o úvěrech veřejných. Příkladem může být např. nízkoúročná půjčka na koupi nemovitosti ze státního fondu rozvoje bydlení v rámci programu „podpora mladýchÿ.  1.1.2. Krátkodobé, střednědobé a dlouhodobé úvěry Dalším kritériem pro členění úvěrů je časové hledisko. Úvěr považujeme za krátkodobý, jestliže doba splatnosti je menší než jeden rok. Mezi krátkodobé úvěry patří např. kontokorentní úvěr, eskontní úvěr nebo úvěr lombardní. Doba splatnosti střednědobých úvěrů se obvykle pohybuje od jednoho roku do pěti let a za dlouhodobý považujeme úvěr, u kterého je doba splatnosti delší než pět let. Mezi střednědobé a dlouhodobé úvěry patří např. investiční úvěr, hypoteční úvěr nebo úvěr ze stavebního spoření. O krátkodobých úvěrech je blíže pojednáno v Příloze A. 6

1.1.3. Úvěry členěné podle způsobu jejich zajištění Podle způsobu zajištění bankovního úvěru rozlišujeme úvěry kryté a nekryté. Nekrytý bankovní úvěr je úvěr, který banka poskytne na základě ohodnocení bonity klienta a nevyžaduje žádnou formu zajištění. Na tento typ úvěru, který bývá obvykle krátkodobý, přistupuje banka pouze výjimečně a zpravidla má stanovený limit, do kterého nekrytý bankovní úvěr poskytne. Krytý bankovní úvěr je úvěr, u kterého banka vyžaduje určitou formu zajištění. Rozlišujeme dvě formy zajištění, a to osobní a reálné. Osobní zajištění má tři podoby: - Ručení je forma zajištění, kde jedna, popř. více osob vystupuje jako ručitel. V případě platební neschopnosti klienta přechází veškeré závazky z poskytnutého úvěru na ručitele. - Dalším způsobem zajištění je vinkulace vkladu, tzn. že klient ručí vklady např. na terminovaném účtu. S těmito penězi v průběhu splácení úvěru nesmí být manipulováno. - Se směnečným zajištěním se setkáme u eskontního úvěru. Reálným zajištěním rozumíme zástavu movité nebo nemovité věci. Se zajištěním movité věci se setkáváme u lombardního úvěru, se zajištěním nemovité věci nejčastěji u hypotečního úvěru. 1.1.4. Úvěry členěné z hlediska účelu Každá banka při posuzování žádosti o úvěr se zajímá, o jaký typ úvěru z hlediska jeho účelu se jedná. Tato kategorie členění úvěru, stejně jako kategorie časového hlediska, úzce souvisí s diverzifikací úvěrového rizika. Mezi faktory, které úvěrové riziko snižují, patří nejen dokonalý schvalovací proces, pravidelné monitorování úvěrů, jejich řádné zajištění a pojištění, ale zejména rozložení úvěrů do více oblastí. Těmito oblastmi chápeme např. různá odvětví 7

národního hospodářství nebo větší počet jednotlivých klientů s malým objemem úvěrů. V souvislosti s tímto členěním dělíme úvěry na následující typy: • hypoteční úvěr, • úvěr ze stavebního spoření, • spotřebitelský úvěr, • investiční úvěr, • překlenovací úvěr.

Hypoteční úvěr je typický dlouhodobý úvěr, jehož doba splatnosti se pohybuje v rozmezí pěti až třiceti let. Patří mezi úvěry bankovní, neboť může být poskytován speciální hypoteční bankou nebo obchodní bankou, která má na poskytování hypotečního úvěru licenci od centrální banky. Je určen výhradně k investování do nemovitosti. Předmětem hypoteční smlouvy může být koupě, výstavba nebo rekonstrukce nemovitosti. Výjimkou není ani vypořádání spoluvlastnictví nebo koupě podílu na nemovitosti. Tento typ úvěru je vždy zajištěn zástavním právem ke konkrétní nemovitosti, na kterou je úvěr čerpán, ve prospěch úvěrující banky. Ze zastavené nemovitosti má banka právo uspokojit svoji pohledávku v případě, že dlužník řádně a včas nesplatí svůj závazek. Hypoteční úvěr může být poskytnut fyzickým osobám za účelem výše uvedené investice do bydlení, ale i podnikajícím fyzickým nebo právnickým osobám za účelem stejné investice do provozovny podnikání. Hypoteční úvěr je splácen konstantními měsíčními splátkami. Úrokové náklady na hypoteční úvěr jsou v porovnání s ostatními úvěry relativně nízké. To plyne z nízké rizikovosti úvěru, neboť zástavní právo k nemovitosti představuje velmi kvalitní způsob zajištění. Při sjednávání konkrétních finančních podmínek hypotečního úvěru hraje velkou roli, k jakému účelu má být úvěr použit. Rozlišujeme: 8

- hypoteční úvěr na bytové účely, - hypoteční úvěr na nebytové účely, - hypoteční úvěr podnikatelský, - hypoteční úvěr nepodnikatelský. Nejvýhodnější finanční podmínky jsou spjaty s hypotečním úvěrem nepodnikatelským, který je určen pro bytové účely. Tento typ hypotečního úvěru je nepřímým způsobem podporován státem ve formě daňové úlevy. Zaplacené úroky z hypotečního úvěru jsou nezdanitelnou částí základu daně z příjmu fyzických osob až do limitu, který stanovuje příslušný zákon (č. 586/1992 Sb., o daních z příjmů). Financování hypotečních úvěrů bankou je zajišťováno vydáváním a prodejem zvláštního druhu dluhopisů, tzv. hypotečních zástavních listů, zkráceně HZL. Jde o specifické úvěrové zdroje, jimiž jsou finanční prostředky veřejnosti, která si HZL zakoupí. Pro tento dluhopis je typické, že jeho jmenovitá hodnota včetně úroků je plně nebo z části pokryta pohledávkami z hypotečního úvěru a navíc je zajištěna zastavenými nemovitostmi, případně náhradním způsobem dle příslušného zákona (č. 190/2004 Sb., o dluhopisech). Obchodování s HZL je založeno na následujícím principu. Klient si zakoupí tento dluhopis za jeho jmenovitou hodnotu na předem sjednanou dobu splatnosti. V průběhu splácení úvěru je klientovi vyplácen úrok z HZL a příslušná jmenovitá hodnota je mu proplacena po uplynutí doby splatnosti. HZL patří mezi vysoce kvalitní cenné papíry, neboť jsou zajištěny především: - hypotečním úvěrem, za který ručí jeho příjemce zástavním právem k nemovitosti, - kvalitou hospodaření emitující banky, která má pro účely vydávání HZL povolení od centrální banky a která ručí za splnění závazků z emitovaných dluhopisů. 9

Od výše úrokových sazeb, které musí banka vyplácet svým věřitelům, se odvíjí výše úrokové sazby používané u hypotečních úvěrů. Tzv. úroková marže, tj. rozdíl úrokových sazeb, nesmí přesáhnout tři procentní body. Cena HZL je závislá na ceně střednědobých a dlouhodobých zdrojů na kapitálových trzích, které jsou ovlivňovány zejména poptávkou a nabídkou. Další složkou ceny hypotečního úvěru jsou náklady banky spojené s jeho provozem. Platí, že banky specializované na hypoteční úvěry, např. Hypoteční banka, a.s., dokáží snížit náklady téměř na polovinu oproti univerzálním bankám, viz [9]. Svoji roli hraje také míra rizika spjatá s poskytováním hypotečních úvěrů. Čím větší riziko hrozí při splácení hypotečního úvěru, tím větší úroková sazba bude stanovena pro tyto úvěry, jelikož banka bude tvořit rezervy pro případ platební neschopnosti klienta. Úvěr ze stavebního spoření slouží k pokrytí potřeb při koupi a realizaci bydlení. Dříve než se budeme věnovat úvěru ze stavebního spoření, podívejme se, na jakém principu je založeno stavební spoření. Stavební spoření poskytují zpravidla dceřinné společnosti bank, tzv. stavební spořitelny, nebo banky, které mají povolení od centrální banky. Stavební spoření se řídí příslušným zákonem (č. 96/1993 Sb., o stavebním spoření a státní podpoře stavebního spoření). Jedná se o spoření účelové, které spočívá v tom, že banka přijímá od klienta vklady, které se po dobu trvání stavebního spoření úročí. Po sjednané lhůtě je klientovi vyplacena naspořená částka a v případě, že je klientem fyzická osoba, je vyplacena také státní podpora. Výše státní podpory je závislá na výši naspořené částky, která je předem sjednána v úvěrové smlouvě, a je dána tabulkou. Smlouva o stavebním spoření je sjednána na tzv. cílovou částku. Ta zahrnuje veškeré vklady klienta, úroky za ně připsané, státní podporu, úroky ze státní podpory a úvěr. U úroků z vkladů a ze státní podpory se daň zatím neuplatňuje, přestože je uváděna ve všeobecných obchodních podmínkách. Klient má možnost po ukončení stavebního spoření požádat o úvěr, popř. při splnění specifických podmínek může požádat již v průběhu spoření o úvěr pře10

klenovací. Poskytnutý úvěr je stejně jako stavební spoření přísně účelový. Lze jej použít k výstavbě, koupi nebo rekonstrukci bydlení. Bývá zpravidla zajišten s výjimkou menších úvěrů. Ve smlouvě o stavebním spoření musí být uvedena úroková míra, za kterou bude úvěr poskytnut, stejně jako úroková míra, kterou se budou vklady úročit. Rozdíl těchto dvou úrokových měr může činit nejvíce tři procentní body. I zde se setkáváme s určitou formou státní podpory. Zaplacené úroky z úvěru ze stavebního spoření jsou stejně jako u hypotečního úvěru nezdanitelnou částí základu daně z příjmu fyzických osob. Spotřebitelský úvěr, někdy též úvěr spotřební, je rozšířený typ úvěru, který je určen pro fyzické osoby. Je možné ho čerpat u bankovní i nebankovní společnosti, popř. je nabízen zákazníkům obchodními společnostmi při koupi zboží. Pokud spotřebitelský úvěr poskytuje banka, mluvíme o přímém spotřebitelském úvěru, pokud je poskytnut obchodní společností, mluvíme o nepřímém spotřebitelském úvěru. Důvodem jeho čerpání bývá nejčastěji nákup spotřebních předmětů, proplacení zakoupených služeb, ale také pořízení či výstavba bytů a rodinných domů. Výjimku netvoří též dovolená nebo financování studia. Doba splatnosti, výše úvěru a úroku je zpravidla stanovena na základě osobních poměrů příjemce úvěru. Většinou se jejich výše pohybuje v desetitisících, popř. ve statisících, a doba splatnosti zpravidla nepřekračuje lhůtu šesti let. Spotřebitelský úvěr tedy řadíme mezi střednědobé až dlouhodobé úvěry. Lze se také setkat se situací, kdy je zakoupené zboží splaceno obchodní společnosti do jednoho roku. Náklady na úvěr jsou stanoveny na počátku a jsou spláceny v pravidelných měsíčních anuitních splátkách. Banka má většinou stanovený finanční limit, do kterého poskytuje úvěr bez zajištění. U krytých úvěrů se setkáváme především s osobním zajištěním, tj. nejčastěji s ručením, popř. s vinkulací vkladů. Pro spotřebitelský úvěr je charakteristické, že úvěrovaný předmět neprodukuje přímé zdroje ke splácení úvěru. Primárním zdrojem k jeho splácení je běžný příjem klienta. Banka proto vyžaduje potvrzení zaměstnavatele o výši pracovního 11

příjmu. Vyřízení tohoto úvěru obvykle není složité na administrativu. Investiční úvěr je typickým dlouhodobým úvěrem, který poskytuje banka k výstavbě, rozšíření nebo modernizaci výrobního zařízení podniku. Doba splatnosti tohoto úvěru se pohybuje v desítkách let. Můžeme se také setkat se střednědobou lhůtou splatnosti, např. v případě investice do cenných papírů. Investiční úvěr, který je určený k investování do výrobního zařízení podniku, je zpravidla náročný na vyřízení. Banku je nutné nejprve seznámit s investičním záměrem a předložit dokumenty, ve kterých jsou vyčíslené celkové náklady na investiční akci, a současně dokumenty mapující účel a cíle investování. Zároveň je nutné prokázat bonitu firmy, a tedy její schopnost splácet dluh v budoucnu. Předložená dokumentace pak slouží pro zajištění investičního projektu a na jeho základě je vypracován rozpočet. Pomocí rozpočtu investiční akce jsou sledovány čerpané finanční prostředky v průběhu stavby. Rozpočet zároveň slouží bance jako podklad pro sjednání výše úvěru a úvěrových podmínek. Investiční úvěr je ve většině případů splácen anuitně a je zpravidla zajištěn předmětem investice. Investiční úvěr, stejně jako ostatní dlouhodobé úvěry, představují pro banku větší riziko návratnosti, což je spojeno s rizikem likvidity banky. Z tohoto důvodu jsou poskytovány s maximální obezřetností. U finančně náročných investičních akcí pak dávají banky přednost podílovému úvěrování a slučují se do konsorcia bank. Překlenovací úvěr je speciálním typem úvěru, jehož úkolem je překlenout dobu, která je nutná pro splnění všech podmínek do přidělení řádného úvěru. S tímto typem úvěru se často setkáme u stavebního spoření. Jeho výhodou je rychlé zprostředkování finančních prostředků, avšak k jeho přidělení je nutné prokázat dostatečný příjem, který zajistí jeho pravidelné splácení. U stavebního spoření je totiž nutné splácet úrok z překlenovacího úvěru a nadále spořit. Nevýhodou je také poměrně vysoká úroková sazba a samotný schvalovací proces. 12

1.2. Úrok, úroková míra V souvislosti s úvěry mluvíme také o jejich ceně, tj. úroku, případně i dalších nákladech. Úrok je chápán odlišně ze strany veřitele a ze strany dlužníka. Pro věřitele je úrok odměnou za dočasnou ztrátu kapitálu a za podstoupené riziko, že jeho kapitál nebude splacen v dohodnuté době a výši. Pro dlužníka je úrok cenou za poskytnutý úvěr ve smyslu pronájmu peněžních prostředků. Dlužník je oprávněn vypůjčený kapitál ihned použít, ale musí jej v dohodnuté době vrátit zpět věřiteli a za tento pronájem musí zaplatit. Výši úroku vyjadřujeme pomocí úrokové míry, která je dána jako počet procent za určité úrokové období. Úrokovým obdobím je doba, za kterou je připsán úrok. Ve finančních výpočtech pracujeme s úrokovým obdobím ročním, výjimkou však nejsou ani úroková období področní, tj. kratší než jeden rok. Je-li úvěr splácen področně, např. měsíčně, pak je pro výpočet úroku zpravidla použita příslušná področní úroková míra. Úrokovou míru jsou banky povinny udávat v procentech za rok. Tuto roční úrokovou míru budeme značit symbolem i a bude mít formu desetinného čísla. U konkrétního finančního produktu mluvíme o úrokové míře jako o úrokové sazbě. Následující tabulka uvádí seznam zkratek, které se používají pro úroková období roční i področní. Úrokové období rok pololetí čtvrtletí měsíc den

Latinský název per annum per semestre per quartale per mensem per diem

Zkratka p.a. p.s. p.q. p.m. p.d.

Tabulka 1: Úroková období Je-li úrok připsán na začátku úrokového období, mluvíme o úročení předlhůtním. S tímto typem úročení se můžeme setkat např. u směnek. Je-li úrok připsán na konci úrokového období, mluvíme o úročení polhůtním. S polhůtním typem úročení se prakticky setkáme častěji než s úročením předlhůtním, např. u hypotečního úvěru, spotřebitelského úvěru nebo kontokorentního úvěru. 13

Dobu, po kterou je kapitál vypůjčen nebo uložen, nazýváme dobou splatnosti. Doba splatnosti nemusí být stejně dlouhá jako úrokové období. U střednědobých a dlouhodobých úvěrů je až několikanásobně delší. Podle doby splatnosti lze rozlišit následující typy úročení: • jednoduché polhůtní úročení, • diskont, • složené úročení, • področní složené úročení, • smíšené úročení.

U jednoduchého polhůtního úročení je úrokovým obdobím jeden rok a doba splatnosti nepřekročí jedno úrokové období. Úrok u vypočítáme podle vztahu: u = P · i · t,

t ∈ h0, 1i,

kde P je vypůjčený nebo uložený kapitál, i je úroková míra a t je doba vyjádřena v letech, po kterou je kapitál vypůjčen nebo uložen. Po čase t se tedy peněžní částka P zúročí a dostaneme částku S, tj. budoucí částku peněžní částky P . Platí tedy: S = P + u = P + P · i · t = P (1 + i · t).

(1)

Tento vztah využíváme při úročení krátkodobých úvěrů, např. kontokorentního úvěru nebo kreditní karty. Diskont je typický pro eskontní úvěr, jehož princip si nyní stručně popišme. Směnka představuje dlužnický závazek na částku uvedenou na směnce, tj. směnečnou částku. Již při samotném vystavení směnky je ve směnečné částce zohledněn úrok jako cena za směnečnou transakci. Tento úrok je úrokem předlhůtním. 14

V případě, že majitel směnky potřebuje peníze ještě před dobou splatnosti, má možnost požádat banku o tzv. eskont směnky, který spočívá v odkupu směnky bankou před datem splatnosti směnky. Banka tedy poskytuje majiteli směnky úvěr zvaný eskontní. Zvláštností eskontního úvěru je, že dluh je v případě potřeby vymáhán nejprve na směnečném dlužníkovi, nikoli na majiteli směnky, jemuž byly peníze zapůjčeny. Cenou eskontního úvěru, neexistují-li jiné náklady, je tzv. diskont. Diskont představuje úrok vypočítaný ze směnečné částky za dobu ode dne eskontu směnky včetně do jejího dne splatnosti. Samotný den splatnosti se již do doby, za kterou úrok ze směnečné částky počítáme, nezapočítává. Toto období nazýváme zbytková doba splatnosti, popř. doba do splatnosti. Při předčasném vyplacení směnky je tedy směnečná částka snížena o výši diskontu, který je odečten na začátku zbytkové doby splatnosti. Z tohoto důvodu je možné diskont chápat jako úrok předlhůtní. Diskont však zároveň přestavuje částečné odečtení úroku, který byl zahrnut do směnečné částky při vystavení směnky. Časovým intervalem, za který předlhůtní úrok odúročíme, je zbytková doba splatnosti. Výši diskontu D ze směnečné částky S vypočítáme dle vztahu: D = S · d · tz ,

tz ∈ h0, 1i,

kde d je roční diskontní míra vyjádřena v desetinném čísle a tz je zbytková doba splatnosti směnky vyjádřena v letech. Cenu směnky SD po odečtení diskontu lze vyjádřit následujícím vztahem: SD = S − D = S − S · d · tz = S(1 − d · tz ).

(2)

O směnce je blíže pojednáno v Příloze A. Příklad 1. Směnka vystavená na částku 60 000,- Kč s datem splatnosti 15.10.2009 byla eskontována v bance dne 15.6.2009. Jaká částka bude vyplacena majiteli směnky, je-li diskontní sazba 6 % p.a. a jestliže si banka účtuje eskontní provizi 0,2 % ze směnečné částky? Banka pro výpočet zbytkové doby splatnosti předpokládá konstantní počet dní v měsíci, tj. 30 dní, a konstantní počet dní v roce, tj. 360 dní. 15

Řešení: Nejprve určíme zbytkovou dobu splatnosti. Ta je dána jako podíl příslušného počtu dní v jednotlivých měsících počtem dní v roce: tz =

4 16 + 30 + 30 + 30 + 14 = . 360 12

Majiteli směnky bude proplacena částka SD , kterou vypočítáme dosazením do vztahu (2):   4 SD = 60 000 · 1 − 0, 06 · = 58 800,- Kč, 12 snížená o eskontní provizi, která je ve výši 60 000 · 0,002 = 120,- Kč. Majiteli směnky bude proplacena částka 58 680,- Kč.  Mezi úrokovou mírou i a diskontní mírou d platí vztah, který je možné odvodit z rovnic (1) a (2) za předpokladu t = tz a P = SD : P = S(1 − dt).

S = P (1 + it),

Sloučením těchto rovnic dostaneme vztah dit2 + dt − it = 0, ze kterého je možné jednotlivé proměnné vyjádřit: i=

d , 1 − dt

d=

i , 1 + it

t ∈ (0, 1i.

(3)

Z tohoto vztahu je zřejmé, že diskontní míra d je vždy menší než úroková míra i. Nyní se ještě pozastavme u diskontu a polhůtního úroku. Jejich připsaná výše je obecně různá. Uvažujme však následující případ. Klient si půjčí od banky částku ve výši C na dobu splatnosti jednoho roku, ze které hned zaplatí úrok ve výši dC, tj. obdržel půjčku ve výši C(1 − d) a na konci prvního roku musí splatit částku C. Úrok, který banka od klienta obdržela, dále reinvestuje a obdrží tak úrok ve výši d2 C, předpokládáme-li neměnnou diskontní míru. Úrok z reinvestice

16

rovněž reinvestuje a obdrží tak úrok d3 C. Na základě těchto do nekonečna uvažovaných reinvestic a za předpokladu neměnící se diskontní míry banka obdrží částku: dC + d2 C + d3 C + . . . Vytknutím dC z tohoto výrazu dostaneme geometrickou řadu, kterou můžeme sečíst. Na výsledný tvar pak aplikujeme vztah (3) pro úrokovou a diskontní míru: dC + d2 C + d3 C + ... = dC(1 + d + d2 + ...) =

dC = iC. 1−d

Dostali jsme se k následujícímu závěru. Celkový úrok získaný na tomto diskontním principu je roven polhůtnímu úroku i. Tedy efekt z nekonečného reinvestování úroků z téhož kapitálu je stejný jako z polhůtního úročení. Při součtu konečného počtu reinvestovaných úroků dostaneme výsledek vždy menší než roční polhůtní úrok z téhož počátečního kapitálu. Proto lze tvrdit, že diskontní míra d je vždy menší než polhůtní úroková míra i. Tento vztah je popsán v [3]. U složeného úročení uvažujeme počáteční kapitál K0 , který je úročen po dobu n let. Tato doba splatnosti je tvořena více úrokovými obdobími, jejichž celkový počet je roven celému číslu. Nechť tímto úrokovým obdobím je jeden rok. Složené úročení je založeno na následujícím principu. Na konci prvního roku je připsán úrok z počátečního kapitálu K0 . Na konci druhého roku je počáteční kapitál K0 společně s úrokem za první rok znovu úročen. Tímto způsobem se připisuje úrok na konci každého roku, to znamená, že v průběhu doby splatnosti vznikají úroky z úroků. Složeným úročením tedy vypočítáme, jak se změní počáteční kapitál K0 za dobu n let při neměnné úrokové míře i. Konečný kapitál značíme Kn : Kn = Ko (1 + i)n . Poznámka 2. Kapitál K0 lze úročit po dobu více let též jednoduchým úročením. Na rozdíl od složeného úročení však úročíme stále ze stejného základu K0 , takže 0

za n let bychom obdrželi částku Kn : 0

Kn = Ko (1 + in). 17

0

V porovnání s částkou Kn ze složeného úročení je Kn < Kn , neboť platí: 1 + in < (1 + i)n ,

n > 1.

Tento vztah je zřejmý, vyjádříme-li výraz (1 + i)n pomocí binomického rozvoje:         n n0 n n−1 1 n n 0n 1 n−1 (1 + i) = 1 i + 1 i + ... + 1i + 1i , 0 1 n−1 n n

(1 + i)n = 1 + in + z, kde z =

n(n−1) 2 i 2

+ ... + nin−1 + in , neboť n ∈ N a i > 0. Platí tedy z > 0.

Jiná situace ovšem nastane při úročení kapitálu K0 po dobu splatnosti do jednoho roku: 1 + in > (1 + i)n ,

n < 1.

Předpokládejme, že doba, po kterou je kapitál úročen, je dána jako n =

1 , m

kde

číslo m rozděluje rok rovnoměrně, viz dále področní složené úročení. Pro důkaz nerovnosti: 1 i > (1 + i) m , m  m i 1+ > 1 + i, m

1+

vyjádříme výraz (1 +

i m ) m

1 < 1, m 1 <1 m

pomocí binomického rozvoje:

m    0    1    m  m m i m m−1 i m 0 i i 1+ = 1 + 1 + ... + 1 , m 0 m 1 m m m  m i 1+ = 1 + i + z, m kde z =

m(m−1) i 2 (m) 2

+ ... + m( mi )m−1 + ( mi )m , m ∈ N a i > 0. Platí tedy z > 0.

Jednoduché úročení je tedy výhodnější v případě, kdy doba splatnosti n < 1. Pro n = 1 jsou výrazy totožné.  18

Na počáteční kapitál K0 lze pohlížet jako na současnou hodnotu (present value) P V budoucích peněz Kn . Částka Kn pak představuje budoucí hodnotu (future value) F V částky K0 . Mezi současnou hodnotou P V a budoucí hodnotou F V tedy existují následující vztahy: • Budoucí hodnotu F V lze vyjádřit pomocí současné hodnoty P V užitím úrokovacího faktoru 1 + i, který umocníme počtem úrokových období, přes která úročíme: F V = P V · (1 + i)n . • Stejně tak současnou hodnotu P V lze vyjádřit pomocí budoucí hodnoty F V užitím diskontního faktoru

1 , 1+i

který je opět umocněn počtem úrokových

období, přes která úročíme:  PV = FV ·

1 1+i

n .

Področní složené úročení je speciálním případem složeného úročení, kdy úrokové období je kratší než jeden rok, např. měsíční. Jejich počet v rámci jednoho roku je vyjádřen celým kladným číslem m. Úrok je tak připisován častěji na konci každé m-tiny roku a je vypočítán na principu složeného úročení. S tímto typem úročení se můžeme setkat zpravidla u každého střednědobého nebo dlouhodobého úvěru, který je splácen obvykle področně (nejčastěji měsíčně), např. u hypotečního nebo spotřebitelského úvěru. Področním složeným úročením tedy vypočítáme, jak se změní počáteční kapitál K0 za dobu mn področních období při neměnné področní úrokové míře (m)

i , m

který značíme Kn . Jedná se tedy o budoucí hodnotu počátečního kapitálu K0 v případě področního připisování úroků: Kn(m)

 = Ko

i 1+ m

19

mn .

V tomto případě má úrokovací faktor tvar 1 +

i . m

Področní úroková míra

i m

tak

odpovídá častějšímu připisování úroků. Následující tabulka popisuje, jaká čísla dosazujeme za m pro jednotlivé področní úrokové míry. Tato čísla vychází z toho, že rok je rozdělen rovnoměrně na příslušné části. Področní úroková období roční pololetní čtvrtletní měsíční týdenní denní

Frekvence úročení m 1 2 4 12 52 365 nebo 360

Tabulka 2: Nejčastější úroková období a odpovídající frekvence úročení

Smíšené úročení je kombinací složeného a jednoduchého úročení, u kterého budeme předpokládat roční úrokové období. Doba splatnosti n zde není celé kladné číslo jako v předchozím případě, ale je dána vztahem n = nm + l, kde nm vyjadřuje celočíselný počet úrokových období ročních nebo področních tak, aby jejich počet dával též celý počet roků, a l je období, které je kratší než jedno úrokové období. Smíšeným úročením tedy vypočítáme, jak se změní počáteční kapitál K0 za dobu nm + l, jestliže se vklad po dobu nm úročí na principu složeného úročení a po dobu l se úročí na principu jednoduchého úročení při neměnné úrokové míře (nm +l)

i a ročním úrokovém období. Budoucí hodnotu kapitálu K0 značíme Kn

a

vypočítáme ji dle vztahu: Kn(nm +l) = Ko (1 + i)nm (1 + il),

nm ∈ Z+ , l ∈ (0, 1).

1.3. RPSN V předchozí podkapitole jsme se zabývali úrokem, jako cenou úvěru. Nyní pojem cena úvěru upřesníme, neboť úrok není jediný náklad, který musí dlužník věřiteli zaplatit. K poskytnutí úvěru se zpravidla váží další náklady, jako jsou např. administrativní poplatky za podání žádosti o úvěr, za uzavření smlouvy, za 20

spravování úvěru a jiné. Důležitou položkou může být též pojistné za pojištění rizika neschopnosti splácet, pojištění rizika pro případ smrti, popř. jiných rizik pojistných událostí. Zkratkou RPSN rozumíme roční procentní sazbu nákladů. Tato sazba se udává pouze jako roční a představuje procentuální vyjádření všech nákladů na úvěr, nikoli jen úrokových. Úroková míra je součástí RPSN. Ukazatel RPSN tak svou konstrukcí umožňuje spotřebiteli kvalifikované a objektivní porovnání jednotlivých úvěrů nabízených na trhu. Říká, kolik skutečně zaplatíme nad rámec vypůjčené částky v přepočtu na rok. RPSN může být podstatně vyšší než úroková sazba, a to zejména u rizikových úvěrů, popř. úvěrů poskytovaných nebankovními společnostmi. V tomto posledním případě může sazba RPSN překročit až sto procent. Údaj o výši RPSN je ze zákona o spotřebitelském úvěru (č. 321/2001 Sb.) povinné uvádět na každé smlouvě o spotřebitelském úvěru. Existuje však několik výjimek, kdy hodnota RPSN být uvedena nemusí. Jedná se o úvěry, na které se tento zákon nevztahuje (výčet úvěrů je převzat z [10]): - smlouva, ve které je poskytován spotřebitelský úvěr na koupi, výstavbu, opravu nebo údržbu nemovitosti, - nájemní smlouva, která po uplynutí určité doby nezaručuje převod vlastnického práva nebo práva obsahově obdobného vlastnickému právu, - půjčka poskytnuta bez úroku nebo jakékoli úplaty, - spotřebitelský úvěr na průběžné poskytování služeb, za které spotřebitel může platit v průběhu jejich poskytování formou splátek, - smlouva, ve které je poskytován spotřebitelský úvěr na částky nižší než 5 000 Kč nebo vyšší než 800 000 Kč; je-li uzavřeno více smluv, ve kterých se sjednává spotřebitelský úvěr za stejným účelem, považuje se pro tyto účely za jediný spotřebitelský úvěr souhrn všech těchto smluv,

21

- spotřebitelský úvěr, jehož splatnost nepřesahuje 3 měsíce nebo je splatný nejvýše ve 4 splátkách ve lhůtě nepřesahující 12 měsíců. Poznámka 3. Ukazatel RPSN je definován zákonem o spotřebitelském úvěru, proto se povinnost uvádět jeho hodnotu na každé smlouvě o úvěr vztahuje pouze na spotřebitelské úvěry. Údaj o výši RPSN je však pro žadatele o úvěr praktický a z tohoto důvodu se zpravidla počítá i pro ostatní úvěry.  Zákon o spotřebitelském úvěru definuje RPSN následujícím vztahem: m X k=1

kde k k0 Ak A0k0 m m0 tk tk0

i

0

m X Ak A0k0 = , (1 + i)tk (1 + i)tk0 k0 =1

(4)

je pořadové číslo půjčky téže osoby, je číslo splátky, je výše půjčky čísla k, je výše splátky čísla k 0 , je číslo poslední půjčky, je číslo poslední splátky, je interval, vyjádřený v počtu roků (nebo ve zlomcích roku), ode dne půjčky č.1 do dnů následných půjček č.2 až č.m, je interval, vyjádřený v počtu roků (nebo ve zlomcích roku), ode dne půjčky č.1 do dnů splátek nebo úhrad poplatků č.1 až č.m0 , je hledaná RPSN.

Definice RPSN je založena na následující úvaze. Banka poskytne úvěry A1 , A2 , . . ., Am téže osobě, kde každý úvěr je v jiné výši a je poskytnut k jinému datu. Nechť datum přiznání prvního úvěru je referenčním datem, tj. datem, ke kterému budeme vztahovat, resp. diskontovat výši úvěrů Ak , pro k = 2, 3, ..., m, a všechny splátky jednotlivých úvěrů A010 , A020 , ..., A0m0 . Symboly A0k0 , pro k 0 = 1, 2, ..., m0 , obecně vyjadřují splátky jednotlivých úvěrů současně. Platí tedy, že počet všech splátek je větší než počet poskytnutých úvěrů, tj. k 0 > k. Vzhledem k tomu, že jednotlivé úvěry mohou mít odlišnou frekvenci splácení a jsou poskytnuty k různému datu, je zřejmé, že délka doby mezi dvěma po sobě jdoucími splátkami je obecně různá pro každé dvě po sobě jdoucí splátky. 22

Na levé straně vzorce je uveden součet výší jednotlivých úvěrů, přičemž všechny úvěry jsou diskontovány k referenčnímu datu. Výraz

1 (1+i)tk

tak představuje pří-

slušný diskontní faktor umocněný dobou tk , přes kterou diskontujeme částku úvěru Ak , pro k = 2, 3, ..., m, k datu přiznání prvního úvěru. Na pravé straně vzorce je uveden součet jednotlivých splátek, přičemž tyto splátky jsou diskontovány ke stejnému referenčnímu datu. Výraz

1 (1+i)tk0

pak představuje příslušný

diskontní faktor umocněný dobou tk0 , přes kterou dikontujeme splátky Ak0 , pro k 0 = 1, 2, ..., m0 , k referenčnímu datu. Následující obrázek objasňuje vzorec definovaného RPSN pro k = 3 a k 0 = 15.

Obrázek 1: Diskontování splátek Poznámka 4. Definici RPSN dle vzorce (4) lze chápat také tak, že peněžní částky v rámci spotřebitelského úvěru hrazené oběma smluvními stranami, tj. věřitelem a dlužníkem, mohou být poskytovány, resp. spláceny, v různých dobách, nemusí být všechny ve stejné výši a nemusí být hrazeny ve stejných intervalech, viz [4]. 

23

2. Důchody Splácení úvěru v pravidelných splátkách představuje určitý systém finančních toků. Tento systém spočívá v tom, že z celkové poskytnuté částky peněžních prostředků se věřiteli vrací jeho prostředky zpět formou: - pravidelných splátek, které jsou ve stále stejné výši a zahrnují v sobě navíc úrok, - plateb, které v sobě zahrnují konstantní splátku dluhu, a jsou navýšeny o úrok, jehož výše je závislá na skutečné výši dluhu, nebo - plateb, které v sobě zahrnují konstantní splátku dluhu, ale úrok být v platbě zahrnut nemusí, nýbrž se v průběhu doby splácení kumuluje a je dále splácen stejným způsobem jako samotný dluh. Tento vzniklý nakumulovaný úrok za celou dobu splatnosti dluhu je možné rovněž rozpočítat a splácet samostatně formou pravidelných splátek tak, aby nedošlo k prodloužení doby splatnosti. Ve finanční matematice se tento popsaný systém splátek nazývá důchodem. Jedná se tedy o systém periodicky splácených, popř. vyplácených plateb z určité sumy nashromážděných finančních prostředků. Poznámka 5. S důchody se lze též setkat v oblasti pojišťovnictví, kde se jedná např. o vyplácení penze z penzijního pojištění, popř. v oblasti investic. V bankovní oblasti se s důchody setkáváme při splácení střednědobých a dlouhodobých úvěrů. Proto dříve než se dostaneme k jednotlivým metodám splácení úvěru, objasníme několik základních pojmů z teorie důchodů.  U důchodů předpokládáme výplaty a ve stále stejné výši a zajímá nás především jejich současná hodnota (present value) P V . Současná hodnota důchodu je rovna součtu všech budoucích plateb diskontovaných k referenčnímu datu. Referenčním datem je zpravidla datum přiznání důchodu, resp. úvěru, popř. pořízení investice. Stejně tak můžeme zjistit budoucí hodnotu (future value) F V jako 24

součet budoucích hodnot všech výplat. Z tohoto hlediska lze do důchodů řadit též spořící produkty, kde pravidelnými úložkami a jejich úročením přispíváme k naspořené částce, tj. budoucí hodnotě důchodu. Systémy finančních toků jsou popisovány tzv. hodnotovou rovnicí, tj. rovnicí, v níž jsou všechny finanční částky vztaženy ke stejnému časovému okamžiku. Z nich pak lze spočítat jednotlivé proměnné, tj. konstantní výši splátky, úrokovou míru a dobu splatnosti. U důchodů se dále zavádí pojem výplatní období, tj. doba mezi dvěma výplatami. Výplatní období může být stejně dlouhé nebo kratší než jedno úrokové období. V případě střednědobých a dlouhodobých úvěrů se volí výplatní období shodné s úrokovým obdobím. K pojmenování výplat lze užít ozn. anuita. Důchody můžeme členit z několika hledisek: • podle celkové doby, po kterou jsou platby vypláceny - důchod dočasný (platby jsou vypláceny po dobu konečné délky), - důchod věčný (platby jsou vypláceny stále), • podle toho, kdy se začíná s platbami - důchod bezprostřední (s platbami se začíná ihned), - důchod odložený (k první platbě dochází až po určité době odkladu), • podle toho, v které části výplatního období jsou platby vypláceny - důchod předlhůtní (platba je vyplácena počátkem výplatního období), - důchod polhůtní (platba je vyplácena na konci výplatního období), • podle délky výplatního období - důchod roční (výplatní období je jeden rok), - důchod področní (výplatní období je kratší než jeden rok, nejčastěji jeden měsíc). Podívejme se nyní na některé typy důchodů, se kterými se ve finanční matematice setkáme nejčastěji. Jedná se o důchody, které mají praktické využití ve výše zmíněných oblastech, tj. při splácení úvěrů, placení pojistného, pravidelného vyplácení penze a v oblasti investic. 25

• Důchod dočasný, bezprostřední, polhůtní, roční Model tohoto důchodu popisuje např. úvěr, který je splácen ihned po dobu konečné délky n let, koncem každého roku při neměnné úrokové míře i. Tuto situaci popisuje následující hodnotová rovnice: PV =

a a a + + ... + , 2 (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

PV = a

1 n 1 − ( 1+i ) . i

(5)

Současnou hodnotu důchodu P V lze také vyjádřit pomocí tzv. zásobitele polhůtního an| , který má následující tvar:

an|

1 n 1 − ( 1+i ) = . i

Zásobitel je možné interpretovat jako současnou hodnotu jednotkového důchodu, tj. důchodu s platbami ve výši 1Kč, které jsou vypláceny koncem každého roku po dobu n let při neměnné úrokové míře i. Hodnotová rovnice má pak následující symbolický zápis: P V = aan| . • Důchod dočasný, odložený, polhůtní, roční Model tohoto důchodu popisuje např. úvěr, který je splácen až po určité době odkladu k po dobu konečné délky n let koncem každého roku při neměnné úrokové míře i. Symbolem k je tedy označen počet ročních výplatních období, po které je první splátka odložena. Uvažujme, že dluh D0 se po dobu odkladu k úročí úrokovou mírou iD0 . Současná hodnota důchodu k datu na konci doby odkladu je tedy dána vztahem P V (1 + iD0 )k . V tomto případě lze hodnotovou rovnici sestavit následujícím způsobem:

26

P V (1 + iD0 )k =

a a a + + ... + , 2 (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

1 n ) 1 − ( 1+i , P V (1 + iD0 ) = a i  k 1 n ) 1 − ( 1+i 1 PV = . a 1 + iD0 i k

Současnou hodnotu důchodu P V lze vyjádřit pomocí příslušného zásobitele an| , který má následující tvar:

k|

 an| =

k|

1 1+i

k

1 n 1 − ( 1+i ) . i

Tento zásobitel vyjadřuje současnou hodnotu jednotkového důchodu, jehož platby jsou vypláceny po příslušné době odkladu k koncem každého roku po dobu n let při neměnné úrokové míře i. Hodnotová rovnice má pak stručný symbolický zápis: P V = ak|an| . • Důchod dočasný, bezprostřední, polhůtní, področní Model tohoto důchodu popisuje např. úvěr, který je splácen ihned po dobu konečné délky n let koncem každé m-tiny roku při neměnné področní úrokové míře

i . m

Jedna m-tina roku tedy představuje výplatní i úrokové období.

Tuto situaci popisuje následující hodnotová rovnice: a a a , i + i 2 + ... + (1 + m ) (1 + m ) (1 + mi )mn  mn 1 1 1 − 1+ mi P V = ma . i m m PV =

(6)

Současnou hodnotu důchodu lze také vyjádřit ve zkráceném zápisu pomocí zásobitele polhůtního področního amn| , který má následující tvar:  mn 1 1 − i 1 1+ m amn| = . i m m 27

Zásobitel je možné interpretovat jako současnou hodnotu důchodu s področními platbami

1 m

Kč, které jsou vypláceny koncem každé m-tiny roku po

dobu n let při neměnné področní úrokové míře

i . m

Hodnotová rovnice má

pak tento symbolický zápis: P V = maamn| . V praxi se však při splácení úvěru setkáme nejčastěji s důchodem dočasným, bezprostředním, polhůtním, měsíčním, kde m = 12. Tuto situaci popisuje následující hodnotová rovnice: a a a + + ... + , (1 + 12i ) (1 + 12i )2 (1 + 12i )12n  12n 1 − 1+1 i 12 PV = a . i PV =

12

Model je používán při splácení hypotečního nebo spotřebitelského úvěru. • Důchod věčný, bezprostřední, polhůtní, roční Model tohoto důchodu popisuje např. úvěr, který je splácen ihned koncem každého roku při neměnné úrokové míře i, ale doba splácení je nekonečně dlouhá. Tento model se pro splácení úvěrů v praxi nepoužívá, neboť úvěr by se splácel do nekonečna, jak je vidět z následujících vztahů: PV =

a a + + ..., (1 + i) (1 + i)2

PV =

a . i

Přesto lze pro tento typ důchodu najít využití. - Konzola je věčný dluhopis, jehož doba splatnosti je nekonečně dlouhá. Systém finančních toků je popsán pomocí věčného důchodu, viz [12]. - Jednou z metod určení vnitřní hodnoty (ceny) akcie je dividendový diskontní model. Ten je založen na modelu věčného důchodu. Vnitřní hodnota akcie je dána jako počáteční hodnota akcie, viz [12], [13]. 28

S věčným důchodem se lze ve finanční matematice setkat ještě v následujícím případě. Uvažujme dluh D0 , který bude splácen pomocí modelu důchodu dočasného, bezprostředního, polhůtního, ročního, tj. uvažujme hodnotovou rovnici (5), kde současná hodnota PV je rovna výši dluhu D0 . Z této rovnice vyjádříme proměnnou n: ln(1 − Da0 i ) n=− . ln(1 + i)

(7)

Z definice logaritmu víme, že výraz, který je logaritmován, musí být kladný. Ze vztahu pro výpočet délky doby splatnosti (7), resp. z čitatele tohoto vzorce, plyne tzv. podmínka splatitelnosti dluhu, která má následující tvar: a > D0 i. Tato podmínka říká, že výše splátky a musí být větší než úrok z počátečního dluhu. Je-li tato podmínka splněna, potom je dluh D0 splacen za dobu konečné délky n let. V opačném případě: a ≤ D0 i je výše splátky a příliš malá a dluh D0 bychom tak nebyli schopni nikdy splatit. Doba splatnosti dluhu je nekonečně dlouhá a splátka úvěru D0 bude představovat důchod věčný, bezprostřední, polhůtní, roční. Platí tedy: 

D0 i lim ln 1 − a→0 a

 = −∞.

S využitím vztahu (7) lze tvrdit: lim n = +∞.

a→0

Při popisování jednotlivých metod splácení úvěrů se zaměříme na střednědobé a dlouhodobé úvěry, pro které budeme obecně uvažovat model důchodu dočasného, bezprostředního, polhůtního, področního. 29

2.1. Modelování RPSN v případě jediného dluhu Pomocí teorie důchodů lze namodelovat výši RPSN pro jediný úvěr. Uvažujme model důchodu dočasného, bezprostředního, polhůtního, ročního, neboť sazba RPSN je udávána pouze jako roční. Pro tento model sestavíme hodnotovou rovnici, ve které budeme uvažovat dluh ve výši D0 . Datum přiznání dluhu označme Dat0 . Nechť tento dluh je splácen anuitami a, které mohou být placeny nepravidelně vždy k určitému datu ozn. jako Dat1 , Dat2 , . . ., Datn . Poznámka 6. Nepravidelným splácením zde rozumíme drobné odchylky od splátkového kalendáře. Např. předpokládá-li splátkový kalendář splátku k patnáctému dni v měsíci, pak ve skutečnosti může dojít k úhradě buď o něco dříve, je-li patnáctý den v měsíci sobota, nebo o něco později, je-li patnáctý den v měsíci neděle. K těmto odchylkách může též docházet vlivem státních svátků.  Sestavená hodnotová rovnice pro takto popsaný důchod má pak následující tvar: D0 =

a (1 + i)

Dat1 −Dat0 360

a

+ ... + (1 + i)

Datn −Dat0 360

.

Ve jmenovateli exponentu, kterým je umocněn diskontní faktor, se udává počet dní v roce. Je možné ho vyjádřit čísly 360 (jak jsme zvolili), 365, 366 (v případě přestupného roku) popř. 365,25, viz [4]. Nyní k takto sestavené hodnotové rovnici uvažujme i náklady. Symbolem P0 označme jednorázové náklady na úvěr, např. poplatek za žádost o úvěr, a symbolem p označme náklady, které jsou spláceny současně s anuitou a, např. poplatek za vedení účtu nebo pojistné. Budeme-li předpokládat, že jednorázové náklady P0 jsou zaplaceny hned v den přiznání úvěru, hodnotová rovnice má potom tvar: D0 =

a+p (1 + i)

Dat1 −Dat0 360

+ ... +

a+p (1 + i)

30

Datn −Dat0 360

.

Pro takto sestavenou hodnotovou rovnici pak i představuje roční procentní sazba nákladů. Její hodnotu odhadneme za pomocí softwaru, např. MS Excel funkce XIRR. Je možné též předpokládat, že jednorázové náklady P0 jsou rozpočítány do nákladů splácených společně s anuitou a. V tomto případě má hodnotová rovnice tvar: D0 + P0 =

a+p (1 + i)

Dat1 −Dat0 360

a+p

+ ... +

(1 + i)

Datn −Dat0 360

.

Poznámka 7. Ve výše uvedených rovnicích je možné též uvažovat splátky aj , pro j = 1, 2, ..., n, v obecně různé výši. Sazba RPSN je odhadována pomocí softwaru, který je schopen pracovat s nekonstantními področními splátkami.  Příklad 2. Uvažujme spotřebitelský úvěr ve výši 200 000,- Kč, který bude splácen měsíčně při úrokové míře 9 % p.a. po dobu splatnosti šesti let. S úvěrem jsou spojeny jednorázové náklady: - zpracování a vyhodnocení žádosti o úvěr

1 600,- Kč

a měsíční náklady: - vedení účtu - pojistné

80,- Kč, 150,- Kč,

viz [15]. Určete výši RPSN za předpokladu, že jednorázové náklady jsou rozpočítány do měsíčních nákladů. Řešení: Předpokládejme, že úvěr bude splácen anuitní metodou splácení. ( Anuitní metoda splácení a způsob určení výše měsíční splátky viz dále.) Vypočítaná výše měsíční splátky činí 3 605,- Kč, výše poslední splátky 10,28 Kč. Sazbu RPSN vypočítáme pomocí programu MS Excel a funkce XIRR. Průběh výpočtu je popsán v Příloze B, RPSN - list 1. Sazba RPSN činí 11,79 %.  Příklad 3. Uvažujme hypoteční úvěr ve výši 1 800 000,- Kč, který bude splácen 31

měsíčně při úrokové míře 6 % p.a. po dobu splatnosti patnácti let. S úvěrem jsou spojeny jednorázové náklady: -

zpracování a vyhodnocení žádosti o úvěr 2 900,- Kč, vydání příslibu úvěru 2 000,- Kč, vyhodnocení rizik spojených s nemovitou zástavbou 3 500,- Kč, čerpání úvěru na návrh na vklad 1 500,- Kč

a měsíčními náklady: - vedení účtu - pojistné

150,- Kč, 450,- Kč,

viz [15]. Určete výši RPSN za předpokladu, že jednorázové náklady jsou rozpočítány do měsíčních nákladů. Řešení: Předpokládejme, že úvěr bude splácen anuitní metodou splácení. Vypočítaná výše měsíční splátky činí 15 189,- Kč, výše poslední splátky 123,60 Kč. Sazbu RPSN vypočítáme pomocí programu MS Excel a funkce XIRR. Průběh výpočtu je popsán v Příloze B, RPSN - list 2. Sazba RPSN činí 7,38 %.  Poznámka 8. V dalších příkladech se omezíme pouze na úrokové náklady. 

32

3. Splácení úvěrů V této kapitole se budeme věnovat splácení středněbobých a dlouhodobých úvěrů, pro které je typické složené úročení. Tyto úvěry bývají spláceny v pravidelných področních (zpravidla měsíčních) splátkách a jejich výši považujeme za současnou hodnotu důchodu. Předpokládejme, že splátky úvěru jsou hrazeny bez doby odkladu koncem každého výplatního období po dobu konečné délky. Splácení úvěru tedy popisujeme pomocí důchodu dočasného, bezprostředního, polhůtního, področního. V následujících podkapitolách ukážeme, jakými metodami lze dluh splácet. Objasníme anuitní metodu splácení, viz [1], lineární metodu splácení, viz [1] a metodu postupného umořování dluhu (zkráceně PUD), viz [2]. Průběh splácení dluhu budeme u každé metody zapisovat do tabulky zvané splátkový kalendář nebo též umořovací plán. Tato tabulka má obvykle pět sloupců, v nichž je uvedeno období j, pro j = 1, 2, ..., mn, výše splátky aj , výše úroku Uj a úmoru Mj v příslušném období a stav dluhu na konci j-tého období, pro j = 1, 2, ..., mn. Symbolem n značíme počet let, po které je dluh splácen a symbolem m rozumíme počet m-tin roku. Počet řádků tabulky je dán počtem období mn, po které je dluh splácen.

Postup sestavení splátkového kalendáře Splátkový kalendář se vyplňuje následujícím způsobem. Zvolíme si sloupec, u kterého mají všechny řádky stejnou hodnotu, a ten vyplníme. Zvolený sloupec závisí na metodě, pro kterou splátkový kalendář sestavujeme. U anuitní metody je předem známá výše splátky a, která je pro všechna období ve stejné výši, u lineární metody a u metody PUD je předem známá výše úmoru M , která je rovněž pro všechna období konstantní. Podle následujících vztahů je nutné dopočítat postupně pro jednotlivá období hodnoty ve zbývajících sloupcích. Máme-li vyplněný sloupec pro výši splátky, pak dopočítáme nejprve výši úroku, poté úmor a nakonec stav dluhu. Výše úroku Uj , pro j = 1, 2, ..., mn, je rovna součinu stavu dluhu v předchozím období Dj−1 a področní úrokové míry 33

i . m

Nechť symbol D0 značí počáteční výši dluhu. Pak platí: Uj = Dj−1

i , m

j = 1, 2, ..., mn.

(8)

Hodnota úmoru Mj , pro j = 1, 2, ..., mn, je dána jako rozdíl mezi splátkou a úrokem v témže období: Mj = a − Uj ,

j = 1, 2, ..., mn.

(9)

Stav dluhu v j-tém období Dj , pro j = 1, 2, ..., mn, je dán jako rozdíl stavu dluhu v předcházejícím období a úmoru v j-tém období, pro j = 1, 2, ..., mn: Dj = Dj−1 − Mj ,

j = 1, 2, ..., mn.

(10)

Známe-li výši úmoru M , pak pro každé období dopočítáme nejprve úrok podle vztahu (8), poté stav dluhu podle vztahu (10) a na konec celkovou výši splátky: aj = Uj + M,

j = 1, 2, ..., mn.

(11)

V posledním řádku splátkového kalendáře se uvádí souhrnné částky u výše splátky, úroku a úmoru. Součet úmorů za všechna období musí dát výši poskytnutého úvěru D0 . Dle tohoto popsaného postupu se vyplňují splátkové kalendáře pro konkrétní příklady u libovolné metody. U jednotlivých metod si však ukážeme, že každou hodnotu v tabulce je možné vypočítat samostatně pomocí vzorce. Poznámka 9. Pro sestavení splátkových kalendářů budeme vždy předpokládat, že výplatní období je shodné s úrokovým obdobím. Nebude-li uvedeno jinak, jednotlivé výsledky budeme zaokrouhlovat matematicky na dvě desetinná místa. 

3.1. Anuitní metoda splácení U této metody uvažujme následující předpoklady. Mějme dluh ve výši D0 , který bude splácen bezprostředně polhůtními področními splátkami a (anuitami), které jsou ve stále stejné výši. Dluh D0 je splácen po dobu n let, tj. mn období, při neměnné področní úrokové míře

i . m

34

Splátka v sobě zahrnuje úrok Uj i úmor Mj , pro j = 1, 2, ..., mn, jejichž hodnota je v každé splátce jiná: a = Uj + Mj ,

j = 1, 2, ..., mn.

Velikost úroku Uj , pro j = 1, 2, ..., mn, která je dána vztahem (8), je závislá na velikosti stavu dluhu. Vlivem postupně se zmenšujícího dluhu se budou úroky neustále snižovat a úmory Mj , pro j = 1, 2, ..., mn, se tak budou neustále zvyšovat. Anuitní metoda je založena na modelu důchodu dočasného, bezprostředního, polhůtního, področního, který je popsán vztahem (6). Jednotlivé splátky jsou diskontovány k počátku, tj. k datu přiznání úvěru, a výše dluhu je vyjádřena jako součet těchto diskontovaných anuit. Proces diskontování splátek pro področní splácení úvěru objasňuje následující obrázek.

Obrázek 2: Diskontování splátek Při splácení úvěru anuitní metodou vycházíme ze situace, kdy výše področní splátky a je po dohodě s bankou stanovena předem na základě osobních poměrů klienta a tomu je přizpůsobena doba splatnosti mn. Alternativní možností je také situace, kdy doba splatnosti úvěru mn je stanovena předem a k tomu je vypočtena výše področní splátky a, viz [8]. Určení délky doby splatnosti mn při známé anuitě a Předpokládejme nyní, že je dána výše področní splátky a. Na základě vztahu (6) pak odvodíme vzorec pro výpočet celkové doby splatnosti dluhu mn: i D0 m ) a . i ) m

ln(1 − mn = − ln(1 + 35

(12)

Doba splatnosti, resp. počet období, po které bude úvěr splácen, je přirozené číslo. Proto je výsledek nutné zaokrouhlit. Dobu splatnosti zaokrouhlíme nejdříve nahoru, tj. uvažujeme horní celou část ozn. dmne, neboť i v posledním období se uskuteční splátka. Vlivem zaokrouhlení doby splatnosti mn nahoru bude dluh splácen anuitou a po dmne − 1 období a v posledním období dmne nastane nižší splátka, kterou ozn. b. Systém finančních toků v rámci dluhu D0 je pak možné popsat následující hodnotovou rovnicí: D0 =

a a a b , i + i 2 + ... + i dmne−1 + (1 + m ) (1 + m ) (1 + m ) (1 + mi )dmne

ze které vypočítáme výši poslední splátky b: 

1−



 b = D 0 − a

1 i 1+ m i m

dmne−1 

dmne  i  .  1+ m

(13)

V případě, že bychom vypočítanou dobu splatnosti mn zaokrouhlili dolů, tj. uvažovali bychom dolní celou část ozn. bmnc, bude úvěr po bmnc období splácen stejnou anuitou a. Po této době však úvěr nebude zcela splacen. Vlivem zaokrouhlení se prodlouží doba splatnosti a dluh tak bude splacen v období bmnc+1 poslední, nižší splátkou b. Hodnotová rovnice by v tomto případě měla tvar: D0 =

a a a b i + i 2 + ... + i bmnc + i bmnc+1 . (1 + m ) (1 + m ) (1 + m ) (1 + m )

Prodloužená doba splatnosti zde vznikla vlivem jiného značení a je tak pouze formální. V tomto případě tedy úvěr prakticky nepodraží, tj. úrokové náklady na úvěr zůstanou stejné. Výši poslední, nižší splátky b dopočítáme ze vztahu:   b = D0 − a

1−



1 i 1+ m i m

bmnc 

 bmnc+1 i  .  1+ m

36

Příklad 4. Uvažujme dluh D0 ve výši 600 000,- Kč, který bude splácen měsíčně při úrokové míře 7 % p.a. Předpokládejme, že výše měsíční splátky a byla stanovena na 5 000,- Kč. Úkolem je sestavit splátkový kalendář dle postupu, který je popsaný na straně 33 (Postup sestavení splátkového kalendáře). Řešení: Nejprve vypočítáme dobu splatnosti 12n dle vztahu (12) a budeme uvažovat hodnotu d12ne, tj. d12ne = 207. Poté vypočítáme výši poslední splátky b dle vztahu (13), tj. b = 4 983,75 Kč. Splátkový kalendář je sestaven v Příloze B, Anuitní metoda splácení - list 1. Úvěr bude splacen za sedmnáct let a tři měsíce a celkové úrokové náklady na tento úvěr budou činit 434 983,75 Kč.  Vztah (12) je také důležitý z hlediska ověření splatitelnosti dluhu, kterým jsme se zabývali u důchodu věčného, bezprostředního, polhůtního, ročního. Jelikož předpokládáme področní splácení úvěru, podmínka splatitelnosti dluhu má následující tvar: a > D0

i . m

(14)

Z toho plyne, že stanovená výše področní splátky a musí být větší než področní úrok z počátečního dluhu. Příklad 5. Uvažujme dluh D0 ve výši 100 000,- Kč, který bude splácen měsíčně splátkou a = 450,- Kč při úrokové míře 6% p.a. Úkolem je ověřit podmínku splatitelnosti dluhu. Řešení: Podmínka splatitelnosti dluhu dle vztahu (14) zde splněna není, neboť: 100 000 ·

0, 06 = 500,- Kč 12

a výše měsíční splátky a = 450,- Kč je tak menší než minimální vypočítaná výše splátky 500,- Kč. Tento úvěr je tedy nesplatitelný a doba splatnosti úvěru bude nekonečně dlouhá. Naznačme nyní, jakým způsobem bude částka dluhu narůstat. Podívejme se na 37

situaci např. na konci pátého roku. Výši dluhu D0 = 100 000,- Kč budeme úročit úrokovou mírou 6% p.a. přes šedesát měsíců, abychom dostali budoucí hodnotu FV této částky na konci pátého roku. Obdobně budeme úročit jednotlivé splátky a = 450,- Kč. Rozdíl těchto částek pak bude představovat stav dluhu na konci pátého roku, tj. na konci šedesátého měsíce: 

D60

0, 06 = 100 000 1 + 12

12·5

1+

− 450

0,06 12·5 12 0,06 12




−1

= 103 488,51 Kč.

Tento vztah je možné zobecnit a použít pro výpočet stavu dluhu na konci kteréhokoli období v průběhu doby splatnosti dluhu:  j (1 + i Dj = D0 1 + −a m

i j ) m i m

−1

,

j = 1, 2, ..., mn.

Následující tabulka udává stav dluhu na konci příslušného roku. n-tý rok splácení 5 10 15 20

Splacená částka 103 488,51 Kč 108 193,96 Kč 114 540,94 Kč 123 102,05 Kč

Tabulka 3: Narůstání zůstatku dluhu  Určení anuity a při stanovené době splatnosti mn Nyní se podívejme na situaci, kdy máme předem stanovenou dobu splatnosti mn období a výši anuity a musíme vypočítat. Tato področní splátka je dána vztahem: a= 1−

D0 i  m mn .

(15)

1 i 1+ m

který plyne ze vztahu (6). Anuita a se zpravidla uvádí bez desetinných míst. Jeli nutné zaokrouhlovat, pak zaohrouhlujeme vždy dolů, resp. vezmeme hodnotu bac, tj. dolní celou část a. Pracujeme-li s hodnotou bac, pak bude nutně existovat 38

poslední, nižší splátka b, která se uplatní v období mn + 1. V tomto případě lze systém finančních toků v rámci dluhu D0 popsat následující hodnotovou rovnicí: D0 =

bac bac bac b i + i 2 + ... + i mn + i mn+1 . (1 + m ) (1 + m ) (1 + m ) (1 + m )

Z této rovnice pak odvodíme výši poslední, nižší splátky b: 

1−

b = D0 − bac



1 i 1+ m i m

mn 

mn+1  i  1+ . m

(16)

Příklad 6. Uvažujme úvěr z příkladu 4. a předpokládejme, že není daná anuita a, nýbrž doba splatnosti n= 10 let. Řešení: Nejprve vypočítáme výši měsíční anuity a dle vztahu (15) a budeme uvažovat hodnotu bac, tj. a = 6 966,51 Kč, resp. bac = 6 966,- Kč. Vlivem zaokrouhlení se prodlouží doba splatnosti a úvěr tak bude splacen až ve sto dvacátém prvním měsíci splátkou b = 88,57 Kč, kterou jsme vypočítali dle vztahu (16). Splátkový kalendář je sestaven v Příloze B, Anuitní metoda splácení - list 2. Celkové úrokové náklady na tento úvěr budou činit 236 008,57 Kč.  Chceme-li zachovat dobu splatnosti mn, za kterou bude úvěr splacen včetně úroků, pak postupujeme následujícím způsobem. Při výpočtu anuity a předpokládejme, že jí bude úvěr splácen pouze po mn − 1 období, přičemž doba splatnosti mn je známá. Anuitu a určíme ze vztahu: a= 1−

D0 mi  mn−1 ,

(17)

1 i 1+ m

který plyne ze vztahu (6) s tím, že celkový počet výplatních období je mn − 1. Vyjde-li splátka ve tvaru desetinného čísla, pak uvažujeme hodnotu bac. Poslední, nižší splátka b se tak uplatní již v období mn a doba splatnosti nebude prodloužena. V tomto případě jsou celkové úrokové náklady na úvěr nižší než v 39

předchozím případě, kdy se prodloužila doba splatnosti úvěru o jedno období. Systém finančních toků v rámci dluhu D0 je popsán hodnotovou rovnicí: D0 =

bac bac bac b . i + i 2 + ... + i mn−1 + (1 + m ) (1 + m ) (1 + m ) (1 + mi )mn

Splátku b vypočítáme ze vztahu:   b = D0 − bac

1−



1 i 1+ m i m

mn−1 

 mn i  .  1+ m

(18)

Příklad 7. Uvažujme úvěr z příkladu 6. a předpokládejme, že celý úvěr včetně úroků bude splacen za dobu splatnosti n = 10 let, aniž by se prodloužila doba splatnosti o jedno období. Řešení: Nejprve určíme výši měsíční anuity a ze vztahu (17) a budeme uvažovat hodnotu bac, tj. a = 7 006,99 Kč, resp. bac = 7 006,- Kč. Úvěr bude splacen již ve sto dvacátém měsíci splátkou b = 170,67 Kč, kterou jsme vypočítali ze vztahu (18). Splátkový kalendář je sestaven v Příloze B, Anuitní metoda splácení - list 3. Celkové úrokové náklady na tento úvěr budou činit 233 884,67 Kč.  Průběh splácení úvěru zapisujeme do splátkového kalendáře, jehož princip vyplnění jsme popsali v postupu na straně 33 (Postup sestavení splátkového kalendáře). Obecně je však možné každou hodnotu v tabulce vyjádřit pomocí vzorce. Princip konstrukce těchto vzorců si nyní objasníme. Vyjdeme z celkové hodnoty úvěru D0 , vyjádřeného ve tvaru (6) a budeme předpokládat, že splátka a, resp. bac je známá. Podívejme se na odvození vztahů pro první období, tj. pro j = 1. Nejprve vyjádříme úrok U1 užitím vztahu (8), přičemž ozn. diskontní faktor v =

40

1 i 1+ m

:

U1 = D0

i , m

1 1− U1 = ma m



1 i 1+ m i m

mn i , m

U1 = a(1 − v mn ). Poté vyjádříme úmor M1 užitím vztahu (9): M1 = a − U1 , M1 = a − a(1 − v mn ), M1 = av mn . Na konec vyjádříme stav dluhu D1 užitím vztahu (10), přičemž ozn. příslušný zásobitel amn−1| =

1 1−v mn−1 : i m m

D1 = D0 − M1 , D1 = a D1 = a

1 − v mn i m

− av mn ,

1 − v mn−1

D1 = ma

i m

,

1 1 − v mn−1 , i m m

D1 = maamn−1| . Stejným způsobem jsou zkonstruovány vzorce pro všechna období j = 1, 2, ..., mn, které jsou uvedeny v následujícím splátkovém kalendáři.

41

Období 0 1 2 3 .. .

Splátka a a a .. .

Úrok a(1 − v mn ) a(1 − v mn−1 ) a(1 − v mn−2 ) .. .

Úmor av mn av mn−1 av mn−2 .. .

Stav dluhu maamn| maamn−1| maamn−2| maamn−3| .. .

mn − 2 mn − 1 mn P

a a a mna

a(1 − v 3 ) a(1 − v 2 ) a(1 − v) mna − D0

av 3 av 2 av D0

maa2| maa1| 0 -

Tabulka 4: Splátkový kalendář Připomeňme, že výrazem:

amn−j|

1 1− = m



1 i 1+ m i m

mn−j ,

j = 1, 2, ..., mn,

rozumíme příslušný zásobitel, který vyjadřuje současnou hodnotu důchodu s področními platbami ve výši

1 m

Kč koncem každého področního období po dobu

mn − j področních období při neměnné področní úrokové míře

i , m

viz [14].

3.2. Lineární metoda splácení Nyní se dostáváme k druhé metodě splácení úvěru, které se také říká rovnoměrná metoda, popř. metoda umořování dluhu konstantním úmorem. U této metody uvažujme následující předpoklady. Mějme dluh ve výši D0 , který bude splácen bezprostředně polhůtními področními splátkami aj , pro j = 1, 2, ..., mn, při neměnné področní úrokové míře

i m

po dobu mn období. Tato

splátka v sobě zahrnuje úrok Uj , pro j = 1, 2, ..., mn, i úmor M , který je pro každé období stejně vysoký, tj. konstantní úmor: aj = Uj + M,

j = 1, 2, ..., mn.

Výše úmoru M se vypočítá jako podíl celkového dluhu D0 a počtu výplatních období, po která je dluh splácen: M =

D0 . mn

42

(19)

Velikost úroku Uj , pro j = 1, 2, ..., mn, která je daná vztahem (8), je závislá na velikosti stavu dluhu pro dané období a je tedy pro každé období jiná. Jelikož se úrok Uj , pro j = 1, 2, ..., mn, bude počítat z neustále se zmenšujícího dluhu, budou se splátky v průběhu doby splácení neustále snižovat. Říkáme proto, že lineární metoda je metodou degresivní. Snižování splátek je navíc rovnoměrné a diferenci, o kterou se budou splátky úvěru v každém období rovnoměrně snižovat, odvodíme s využitím vztahu (8). Vyjádříme dva po sobě jdoucí úroky: i , m mn − j + 1 i Uj = D0 , mn m Uj = Dj−1

i , m i mn − j D0 , = mn m

j = 1, 2, ..., mn, j = 1, 2, ..., mn,

Uj+1 = Dj

j = 1, 2, ..., mn − 1,

Uj+1

j = 1, 2, ..., mn − 1.

Jestliže tyto dva úroky od sebe odečteme, dostaneme diferenci mezi dvěma po sobě jdoucími splátkami: Uj − Uj+1 =

1 i D0 . mn m

(20)

Následující obrázek zobrazuje rovnoměrné umořování dluhu a neustále se zmenšující splátky.

43

Obrázek 3: Rovnoměrné umořování dluhu Při výpočtu úmoru M dle vztahu (19) budeme rozlišovat dva případy. Prvním případem bude situace, kdy počet období mn, po které je dluh splácen, je dělitelem dluhu D0 . Druhým případem bude situace, kdy počet období mn není dělitelem dluhu D0 a při výpočtu úmoru M tak bude vznikat periodické desetinné číslo. Počet období mn je dělitelem dluhu D0 Předpokládejme, že počet období mn, po které je dluh splácen, je dělitelem dluhu D0 . V tomto případě je úmor M vypočítán na konečný počet desetinných míst, ve speciálním případě je dán jako přirozené číslo. Systém finančních toků v rámci dluhu D0 lze pak popsat pomocí následující hodnotové rovnice: D0 =

a1 a2 amn , i + i 2 + ... + (1 + m ) (1 + m ) (1 + mi )mn

U1 + M U2 + M Umn + M + , i i 2 + ... + (1 + m ) (1 + m ) (1 + mi )mn  mn 1 mn 1 − 1+ i X Uj m D0 = + M . i i j (1 + ) m m j=1

D0 =

44

Příklad 8. Uvažujme dluh D0 ve výši 600 000,- Kč, který bude splácen měsíčně po dobu splatnosti n = 10 let při úrokové míře 7 % p.a. Úkolem je sestavit splátkový kalendář dle postupu, který je popsaný na straně 33 (Postup sestavení splátkového kalendáře). Řešení: Vypočítáme výši úmoru M dle vztahu (19), tj. M = 5 000,- Kč. Splátkový kalendář je sestaven v Příloze B, Lineární metoda splácení - list 1. Celkové úrokové náklady na tento úvěr budou činit 211 750,00 Kč.  Počet období mn není dělitelem dluhu D0 Uvažujme nyní situaci, že počet období mn, po které je dluh splácen, není dělitelem dluhu D0 . V tomto případě se výše úmoru M zaokrouhlí dolů, tj. uvažujeme hodnotu bM c, s tím důsledkem, že doba splácení se prodlouží o jedno období. Poslední splátka b, která se uplatní v období mn + 1, je dána vztahem:   i b = 1+ (D0 − mnbM c), m

(21)

kde D0 − mnbM c je zbytek dluhu na konci období mn. Systém finančních toků v rámci dluhu D0 lze popsat následující hodnotovou rovnicí: Umn + bM c (1 + mi )(D0 − mnbM c) U1 + bM c U2 + bM c + + ... + + . D0 = (1 + mi ) (1 + mi )2 (1 + mi )mn (1 + mi )mn+1 V tomto případě však úvěr vlivem prodloužené doby splatnosti podraží. Příklad 9. Uvažujme dluh D0 ve výši 700 000,- Kč, který bude splácen měsíčně po dobu splatnosti n = 10 let při úrokové míře 7 % p.a. Úkolem je sestavit splátkový kalendář dle postupu, který je popsaný na straně 33 (Postup sestavení splátkového kalendáře). Řešení: Nejprve vypočítáme výši úmoru M dle vztahu (19) a budeme uvažovat hodnotu bM c, tj. M = 5 833,33 Kč, resp. bM c = 5 833,- Kč. Vlivem zaokrouhlení úmoru 45

bude úvěr splacen ve sto dvacátém prvním měsíci poslední splátkou b = 40,23 Kč, kterou jsme vypočítali ze vztahu (21). Splátkový kalendář je sestaven v Příloze B, Lineární metoda splácení - list 2. Celkové úrokové náklady na tento úvěr budou činit 247 055,78 Kč.  Pakliže nechceme dobu splácení prodlužovat, je možné poslední splátku o rozdíl D0 − mnbM c navýšit nebo rozdíl D0 − mnbM c rovnoměrně rozpočítat do všech ostatních mn − 1 splátek. Označme splátku, která odpovídá budoucí hodnotě důchodu D0 − mnbM c, jako x. Tato úložka x požadovanou hodnotu důchodu během mn − 1 období naspoří:  mn−1  mn−2   i i i D0 − mnbM c = x 1 + +x 1+ + ... + x 1 + , m m m j mn−1 X  i D0 − mnbM c = x 1+ , m j=1   i (1 + D0 − mnbM c = x 1 + m

i mn−1 ) m i m

−1

.

Na základě těchto vztahů dostaneme vzorec pro výši úložky x, o kterou navýšíme prvních mn − 1 úmorů: x=

(1

i (D0 − mnbM c) m i + m )((1 + mi )mn−1 −

1)

.

(22)

Úložku x zaokrouhlujeme matematicky na dvě desetinná místa. V poslední splátce b, která se uplatní již v období mn, bude uhrazen poslední úmor bM c, rozdíl, který vznikl vlivem zaokrouhlení úložky x, a úrok v tomto období:   i b = 1+ [D0 − (mn − 1)bM c − (mn − 1)x]. m

(23)

Pro splátku b však neplatí diference vyjádřená vztahem (20). V tomto případě je

46

systém finančních toků v rámci dluhu D0 popsán následující hodnotovou rovnicí: D0 =

U1 + bM c + x U2 + bM c + x Umn−1 + bM c + x + + ... + + i i 2 (1 + m ) (1 + m ) (1 + mi )mn−1 +

(1 +

i )[D0 m

− (mn − 1)bM c − (mn − 1)x] . (1 + mi )mn

Úmor v období j = 1, 2, ..., mn − 1 má tvar bM c + x. Příklad 10. Uvažujme úvěr z příkladu 9. a předpokládejme, že celý úvěr včetně úroků bude splacen za sto dvacet měsíců. Pro sestavení splátkového kalendáře předpokládejme umořování dluhu částkou ve výši bM c + x. Řešení: Výše úmoru M je již známá, tj. bM c = 5 833,- Kč. Tímto úmorem bude úvěr splácen po 12n měsíců. Vypočítáme výši úložky x dle vztahu (22), tj. x = 0,23 Kč. Výši poslední splátky b vypočítáme ze vztahu (23), tj. b = 5 879,44 Kč. Splátkový kalendář je sestaven v Příloze B, Lineární metoda splácení - list 3. Celkové úrokové náklady na tento úvěr budou činit 247 045,87 Kč.  Poznámka 10. U lineární metody splácení úvěru není možné výše popsaným způsobem zaručit celočíselné splátky aj , pro j = 1, 2, ..., mn. Úroky jsou zpravidla počítány na dvě desetinná místa, stejně tak úmor, je-li počet období mn dělitelem dluhu D0 , může obsahovat desetinná místa. V praxi se však neceločíselné splátky nevyskytují. Banka by proto zvolila vhodný mechanismus, kterým by jednotlivé splátky zaokrouhlila.  Průběh splácení úvěru zapíšeme do splátkového kalendáře, jehož princip vyplnění jsme popsali v postupu na straně 33 (Postup sestavení splátkového kalendáře). Každou hodnotu v tabulce je však možné vyjádřit pomocí vzorce. Princip konstrukce těchto vzorců si nyní objasníme. Předpokládejme, že úmor M je vypočítán ze vztahu (19) za předpokladu, že doba splatnosti mn je dělitelem dluhu D0 . 47

Podívejme se na odvození vztahů pro první období, tj. pro j = 1. Nejprve vyjádříme úrok U1 užitím vztahu (8): U1 =

i mn D0 . mn m

Poté vyjádříme stav dluhu D1 užitím vztahu (10): mn 1 D0 − D0 , mn mn mn − 1 D1 = D0 . mn

D1 =

Nakonec vyjádříme splátku a1 dle vztahu (11): i mn 1 D0 + D0 , mn m mn   D0 i a1 = mn + 1 . mn m a1 =

Stejným způsobem jsou zkonstruovány vzorce pro všechna období j = 1, 2, ..., mn, které jsou uvedeny v následujícím splátkovém kalendáři pro případ, že doba splatnosti mn je dělitelem dluhu D0 . Období 0 1 2 .. .

Splátka D0 i (mn + 1) mn m D0 ((mn − 1) mi + 1) mn .. .

Úrok i mn D mn 0 m mn−1 D0 mi mn .. .

Úmor -

.. .

Stav dluhu D0 = mn D mn 0 mn−1 D 0 mn mn−2 D 0 mn .. .

m m+1 .. .

D0 ((mn − m + 1) mi + 1) mn D0 ((mn − m) mi + 1) mn

mn−m+1 D0 mi mn mn−m D0 mi mn

D0 mn D0 mn

mn−m D0 mn mn−m−1 D0 mn

mn − 1 mn P

D0 (2 mi + 1) mn D0 i ( + 1) mn m mn+1 i D0 ( 2 m + 1)

.. .

.. . 2 D i mn 0 m 1 D i mn 0 m mn+1 D0 mi 2

D0 mn D0 mn

.. .

D0 mn D0 mn

D0

.. . 1 D mn 0 0 -

Tabulka 5: Splátkový kalendář

3.3. Metoda postupného umořování dluhu Poslední metoda, kterou se budeme zabývat, je metoda postupného umořování dluhu. Svou konstrukcí je podobná metodě lineární, neboť výše úmoru M je stále 48

stejná po celou dobu splácení, tj. v každém období je umořena stejná část dluhu. Odlišným způsobem se však pracuje s úroky. Pro tuto metodu je typické, že úroky se počítají obvyklým způsobem na konci každého období, ale společně s úmorem se neplatí. Splátka je v každém období tvořena pouze úmorem a úroky se v průběhu roku kumulují. Na konci roku úroky sečteme a přičteme k tíži dluhu, tzn. že koncem každého roku se dluh navyšuje. Je zřejmé, že velikost navýšení dluhu se snižuje spolu s klesající výší dluhu, neboť se úroky počítají z neustále se zmenšujícího dluhu. U této metody uvažujme následující předpoklady. Mějme dluh ve výši D0 , který bude splácen bezprostředně polhůtními področními splátkami a při neměnné področní úrokové míře

i m

po dobu mn období. Tato področní splátka je

tvořena pouze úmorem, který je vypočten dle vztahu (19). Mějme dluh ve výši D0 , který bude umořován bezprostředně polhůtním področním úmorem M při neměnné področní úrokové míře

i m

po dobu mn období.

Předpokládejme, že výše úmoru M je celočíselná. Poznámka 11. Problematika výpočtu úmoru M dle vztahu (19) je zpracována v podkapitole Lineární metoda splácení.  Za n let se původní dluh zcela umoří a zůstane celkový nakumulovaný úrok, ozn. U . Příklad 11. Uvažujme dluh D0 ve výši 600 000,- Kč, který bude splácen měsíčně při úrokové míře 7 % p.a. po dobu splatnosti n=10 let. Úkolem je sestavit splátkový kalendář dle postupu, který je popsaný na straně 33 (Postup sestavení splátkového kalendáře) a určit výši úroku U . Řešení: Vypočítáme výši úmoru M dle vztahu (19), tj. M = 5 000,- Kč. Splátkový kalendář je sestaven v Příloze B, Metoda postupného umořování - list 1. Po deseti letech bude původní dluh splacen, avšak zůstal celkový nakumulovaný úrok U ve výši 324 707,27 Kč.  49

K celkovému nakumulovanému úroku U je možné přistupovat dvěma způsoby. V prvním případě budeme úrok U dále umořovat stejným způsobem jako samotný dluh. Ve druhém případě úrok U rozpočítáme pomocí úložky x tak, abychom zachovali dobu splatnosti a nedocházelo k jejímu prodloužení. Splácení úroku U při prodloužení doby splatnosti Úrok U je možné dále umořovat stejným způsobem jako samotný dluh až do úplného splacení. V tomto případě se však prodlouží doba splatnosti úvěru a úvěr výrazně podraží, neboť celkový nakumulovaný úrok U představuje nový dluh, který se v každém období znovu úročí. Příklad 12. Uvažujme úvěr z příkladu 11. a předpokládejme, že celkový nakumulovaný úrok U se bude dále umořovat stejným způsobem, jako samotný dluh. Řešení: Splátkový kalendář je sestaven v Příloze B, Metoda postupného umořování - list 2. Úvěr bude splacen za šestnáct let a devět měsíců a celkové úrokové náklady na úvěr činí 405 607,89 Kč.  Splácení úroku U při zachování doby splatnosti Aby doba splatnosti nebyla příliš dlouhá, lze výši úroku U rovnoměrně rozpočítat, obdobně jako u lineární metody splácení. Na částku U tedy pohlížíme jako na budoucí hodnotu důchodu, na jejiž výši se bude pravidelně spořit úložkou x. Úložku x, je-li to nutné, zaokrouhlíme dolů, tj. uvažujeme hodnotu bxc, neboť chceme zachovat celočíselné splátky. Jelikož chceme také zachovat dobu splatnosti mn období, předpokládejme, že úložka x naspoří požadovanou hodnotu důchodu během mn − 1 období. Dále předpokládejme, že v posledním n-tém roce budou úroky, které vznikly v průběhu tohoto roku, sečteny pouze za období m(n − 1) + 1, m(n − 1) + 2, ..., mn − 1. Jejich součet tak přičteme k tíži dluhu již v období mn − 1 a úvěr včetně úroků bude zcela splacen na konci n-tého roku. V posledním období mn bude uhrazen 50

poslední úmor, rozdíl, který vznikl vlivem zaokrouhlení úložky x, a úrok v tomto období. Tato poslední splátka je obecně neceločíselná. Výši úložky x zjistíme z následující hodnotové rovnice:

 mn−1  mn−2   i i i U = x 1+ +x 1+ + ... + x 1 + , m m m   i (1 + mi )mn−1 − 1 U = x 1+ . i m m Na základě tohoto vztahu dostaneme vzorec pro výši úložky x: x=

U mi . (1 + mi )((1 + mi )mn−1 − 1)

(24)

Příklad 13. Uvažujme úvěr z příkladu 11. a předpokládejme, že celkový nakumulovaný úrok U bude splacen v průběhu doby splatnosti n= 10 let pomocí úložky x. Řešení: Nejprve vypočítáme výši úložky x dle vztahu (24) a uvažujeme hodnotu bxc, tj. bxc = 1 886,- Kč. Měsíční splátku bude tedy tvořit úmor M = 5 000,- Kč společně s úložku bxc, tj. M + bxc = 6 886,- Kč. V posledním období bude úvěr splacen částkou 8 884,80 Kč. Splátkový kalendář je sestaven v Příloze B, Metoda postupného umořování - list 3. Úvěr včetně úroků tak bude splacen za sto dvacet měsíců a celkové úrokové náklady na úvěr budou činit 228 318,80 Kč.  Nyní se budeme zabývat sestavením splátkového kalendáře obecně tak, že každou hodnotu v tabulce vyjádříme pomocí vzorce. Princip konstrukce těchto vzorců si nyní objasníme za předpokladu, že na konci doby splatnosti zůstane celkový nakumulovaný úrok U . U metody PUD je sestavení splátkového kalendáře poněkud složitější a z tohoto důvodu jej sestavujeme pro každý rok zvlášť, tj. pro rok r = 1, 2, ..., n. 51

Každá tabulka bude na rozdíl od předcházejících splátkových kalendářů obsahovat pouze čtyři sloupce, ve kterých sledujeme období během roku, úrok, úmor a stav dluhu. Sloupec pro výši splátky je prozatím zbytečný, neboť področní splátka bude zahrnovat pouze úmor. Následující tabulka popisuje splátkový kalendář pro první rok. Je možné si všimnout, že stav dluhu během roku rovnoměrně klesá, neboť je v každém období snížen o stejný úmor

D0 . mn

Stav dluhu pro jednotlivá období počítáme podle vztahu

(10), výši úroků podle vztahu (8). Období 0 1 2 .. .

Úrok D0 mi mn−1 D0 mi mn .. .

Úmor -

.. .

Stav dluhu D D0 = mn mn 0 (mn−1) D0 mn mn−2 D 0 mn .. .

j .. .

mn−j+1 D0 mi mn

D0 mn

mn−j D0 mn

m−1 m P

mn−m+2 D0 mi mn mn−m+1 D0 mi mn 2mn−m+1 D0 mi 2n

D0 mn D0 mn mD0 mn

mn−m+1 D0 mn mn−m D0 mn

D0 mn D0 mn

.. .

.. .

.. .

-

Tabulka 6: Splátkový kalendář pro první rok V posledním řádku je uvedena souhrnná částka pro úrok, kterou ozn. U1∗ : i mn − 1 i mn − m + 2 i mn − m + 1 i + D0 + ... + D0 + D0 , m mn m mn m mn m 1 i U1∗ = D0 (mn + (mn − 1) + ... + (mn − m + 2) + (mn − m + 1)), mn m 2mn − m + 1 i U1∗ = D0 . 2n m U1∗ = D0

Úrok U1∗ přičteme na konci prvního roku k tíži dluhu. Tím dostaneme dluh D1∗ : D1∗ =

mn − m D0 + U1∗ . mn

Zůstatek dluhu D1∗ je tedy součtem neumořené části původního dluhu D0 a nakumulovaných úroků za první rok splácení. Následující tabulka popisuje splátkový kalendář pro druhý rok. 52

Období m+1 m+2 .. . 2m − 1 2m P

Úrok

Úmor

mn−m D0 mi + U1∗ mi mn mn−m−1 D0 mi + U1∗ mi mn

D0 mn D0 mn

.. . mn−2m+2 D0 mi + U1∗ mi mn mn−2m+1 D0 mi + U1∗ mi mn 2mn−3m+1 D0 mi + U1∗ i 2n

.. .

D0 mn D0 mn mD0 mn

Stav dluhu + U1∗ + U1∗ .. .

mn−m−1 D0 mn mn−m−2 D0 mn

mn−2m+1 D0 + U1∗ mn mn−2m D0 + U1∗ mn

-

Tabulka 7: Splátkový kalendář pro druhý rok V posledním řádku je opět uvedena souhrnná částka pro úrok. Část tohoto vzorce ozn. U2∗ . Tímto symbolem budeme rozumět součet nově vzniklých úroků v průběhu druhého roku, tj. úroky z částí nesplacených zbytků původního dluhu D0 v tomto roce bez započtených úroků U1∗ : i mn − m − 1 i mn − 2m + 1 i mn − m D0 + D0 + ... + D0 , mn m mn m mn m   −2m + 1 i −m −m − 1 U2∗ = D0 + + ... + m+ , m mn mn mn

U2∗ =

U2∗ =

i 2mn − 3m + 1 D0 . 2n m

Celkový nakumulovaný úrok za druhý rok, tj. U2∗ + U1∗ i, opět přičteme k tíži dluhu. Výše dluhu na konci druhého roku je tedy dána tímto vztahem: mn − 2m D0 + U1∗ + U2∗ + U1∗ i, mn mn − 2m D2∗ = D0 + U1∗ (1 + i) + U2∗ . mn D2∗ =

Je vidět, že v dluhu D2∗ jsou zahrnuty i úroky z úroků, tj. U1∗ i. Splátkový kalendář pro třetí rok bychom sestavili obdobným způsobem. Nově vzniklé úroky za třetí rok ozn. jako U3∗ : mn − 2m i mn − 2m − 1 i mn − 3m + 1 i D0 + D0 + ... + D0 , mn m mn m mn m   i −2m −2m − 1 −3m + 1 m+ + + ... + , U3∗ = D0 m mn mn mn U3∗ =

U3∗ =

2mn − 5m + 1 i D0 . 2n m 53

Celkový nakumulovaný úrok za třetí rok je tedy roven U3∗ + U2∗ i + U1∗ (1 + i)i. Stejným způsobem vyjádříme stav dluhu na konci třetího roku: D3∗ =

mn − 3m D0 + U1∗ (1 + i)2 + U2∗ (1 + i) + U3∗ . mn

Na základě výše odvozených vztahů pro nově vzniklé úroky v příslušném roce, tj. U1∗ , U2∗ , U3∗ , součet nakumulovaných úroků v příslušném roce a stav dluhu na konci příslušného roku, tj. D1∗ , D2∗ , D3∗ , lze odvodit obecné vztahy pro r-tý rok, kde r = 3, 4, ..., n, viz [2], [17]. Sestavený splátkový kalendář obecně pro r-tý rok, kde r = 3, 4, ..., n, má následující tvar.

Období m(r − 1) + 1 m(r − 1) + 2 .. . mr − 1 mr P

Úrok mn−m(r−1) i ∗ D0 mi + U1∗ (1 + i)r−2 mi + U2∗ (1 + i)r−3 mi + ... + Ur−1 mn m mn−m(r−1)−1 i ∗ D0 mi + U1∗ (1 + i)r−2 mi + U2∗ (1 + i)r−3 mi + ... + Ur−1 mn m

.. . i mn−mr+2 i r−2 i ∗ ∗ D0 m + U1 (1 + i) m + U2∗ (1 + i)r−3 mi + ... + Ur−1 mn m mn−mr+1 i ∗ D0 mi + U1∗ (1 + i)r−2 mi + U2∗ (1 + i)r−3 mi + ... + Ur−1 mn m 2mn−m(2r−1)+1 ∗ D0 mi + U1∗ (1 + i)r−2 i + U2∗ (1 + i)r−3 i + ... + Ur−1 i 2n

Období m(r − 1) + 1 m(r − 1) + 2 .. .

Úmor

mr − 1 mr P

D0 mn D0 mn mD mn

D0 mn D0 mn

.. .

mn−m(r−1)−1 D0 mn mn−m(r−1)−2 D0 mn

+ +

U1∗ (1 U1∗ (1

Stav dluhu ∗ + i)r−2 + U2∗ (1 + i)r−3 + ... + Ur−1 ∗ + i)r−2 + U2∗ (1 + i)r−3 + ... + Ur−1 .. .

mn−mr+1 ∗ D0 + U1∗ (1 + i)r−2 + U2∗ (1 + i)r−3 + ... + Ur−1 mn mn−mr ∗ D0 + U1∗ (1 + i)r−2 + U2∗ (1 + i)r−3 + ... + Ur−1 mn

-

Tabulka 8: Splátkový kalendář pro r-tý rok Pro sestavení hodnotové rovnice proveďme následující shrnutí. Na konci každého roku dostaneme nakumulované úroky Ur∗ , pro r = 1, 2, ..., n, které vznikají jako součet úroků v průběhu roku. Obecný tvar úroku Ur∗ , pro r = 1, 2, ..., n, který vznikl jako součet úroků v r-tém roce, je dán vztahem: Ur∗ =

2mn − m(2r − 1) + 1 i D0 , 2n m 54

r = 1, 2, ..., n,

přičemž dílčí úroky během roku jsou počítány vždy z příslušného stavu dluhu, tj. ze stavu dluhu v předchozím období. Následující tabulka popisuje vznik úroku Ur∗ , pro r = 1, 2, ..., n, jako soušet dílčích úroků v průběhu každého roku. Rok 1 2 .. .

Nakumulované úroky v každém roce U1∗ = U1 + U2 + ... + Um U2∗ = Um+1 + Um+2 + ... + U2m .. .

r .. .

Ur∗ = Um(r−1)+1 + Um(r−1)+2 + ... + Umr .. .

n

Un∗ = Um(n−1)+1 + Um(n−1)+2 + ... + Umn

Tabulka 9: Nakumulované úroky v daném roce Abychom získali konečnou sumu úroků, které se za n let nakumulovaly, musíme uvažovat i fakt, že v průběhu splácení vznikají úroky z úroků. Následující tabulka vyjadřuje celkový stav úroků, které vznikly ke konci příslušného roku. Rok 1 2 3 .. .

Celkové nakumulované úroky na konci roku U1∗ U1∗ (1 + i) + U2∗ U1∗ (1 + i)2 + U2∗ (1 + i) + U3∗ .. .

j .. .

∗ U1∗ (1 + i)j−1 + U2∗ (1 + i)j−2 + ... + Uj−1 (1 + i) + Uj∗ .. .

n

∗ U1∗ (1 + i)n−1 + U2∗ (1 + i)n−2 + ... + Un−1 (1 + i) + Un∗

Tabulka 10: Celkové úroky v daném roce Celkový nakumulovaný úrok U na konci n-tého roku lze vyjádřit také v následujícím tvaru, který plyne z posledního řádku tabulky 10 (důkaz viz [2]):

U =

n X

Uj∗ (1 + i)n−j .

j=1

Hodnotovou rovnici pro področní metodu splácení je pak možné vyjádřit dvěma způsoby. Pomocí úroku U nebo pomocí úroků U1∗ , U2∗ , ..., Un∗ . Hodnotová 55

rovnice vyjádřena pomocí celkového nakumulovaného úroku U má tvar: D0 =

mn X j=1

M U . i j + (1 + i)n (1 + m )

Hodnotová rovnice vyjádřena pomocí úroků Uj∗ , pro j = 1, 2, ..., n, má tvar: D0 =

mn X j=1

U2∗ U1∗ Un∗ M + + + ... + . (1 + i)n (1 + mi )j (1 + i) (1 + i)2

3.4. Porovnání metod splácení úvěru Budeme-li chtít porovnat sestavené splátkové kalendáře pro jednotlivé metody na konkrétním příkladě, je možné si povšimnout, že celkové úrokové náklady na poskytnutý úvěr se liší. Tyto náklady závisí nejen na úrokové míře a době splatnosti úvěru, ale také na tom, jakým způsobem se pracuje s úroky. Úrok je počítán v každém období dle vztahu (8). Z tohoto vztahu víme, že velikost úroku Uj , pro j = 1, 2, ..., mn, je závislá na velikosti stavu dluhu Dj−1 v příslušném období, pro j = 1, 2, ..., mn. Celkové úrokové náklady tedy závisí především na velikosti úmoru Mj , pro j = 1, 2, ..., mn, kterým bude dluh umořován. Čím větší bude úmor, tím rychleji bude dluh klesat a úroky Uj , pro j = 1, 2, ..., mn, se tak budou počítat z neustále se zmenšujícího dluhu. Jejich celková výše tak bude nižší. Uvažujme úvěr ve výši 600 000,- Kč, který bude splácen měsíčně při úrokové míře 7% p.a. po dobu splatnosti n = 10 let. V tabulce je uvedeno porovnání celkových úrokových nákladů pro jednotlivé metody splácení úvěru. Metoda splácení anuitní lineární

Celkové úrokové náklady 233 884,67 Kč 211 750,00 Kč

PUD

228 318,80 Kč

Výše měsíční splátky 7 006,- Kč 8 500,- Kč až 5 029,17 Kč s měsíční diferencí 29,17 Kč 6 886,- Kč

Tabulka 11: Srovnání úrokových nákladu Z tabulky je patrné, že celkové úrokové náklady jsou nejmenší při použití lineární metody splácení. U této metody je totiž dluh splácen poměrně vysokým 56

úmorem, což se projeví především zpočátku doby splatnosti, kdy dluh oproti ostatním případům klesá rychleji. Stejným úmorem je dluh splácen také u metody PUD, ale v tomto případě vznikají úroky z úroků a celkové úrokové náklady jsou tak vyšší než u metody lineární. Naopak u anuitní metody jsou úrokové náklady nejvyšší, jelikož zpočátku doby splatnosti je velká část anuity tvořena úrokem a dluh tak klesá ve srovnání s ostatními metodami nejpomaleji.

57

Závěr V této diplomové práci jsem se snažila objasnit nejčastější typy střednědobých a dlouhodobých úvěrů, aby čtenář pochopil, jaký je mezi nimi rozdíl, a vysvětlit základní pojmy, které se týkají ceny úvěru, tj. úrokové sazby a výpočtu RPSN. Nejvýznamnější je však kapitola věnovaná splácení úvěrů. Ta je zaměřena na sestavení splátkového kalendáře a na objasnění tří metod, které se používají při splácení úvěrů. Je zde popsána anuitní metoda splácení, lineární metoda splácení a metoda postupného umořování dluhu. U jednotlivých metod je objasněn základní princip, jak daná metoda pracuje s úroky a jakým úmorem je dluh umořován. Poslední podkapitola je věnovaná porovnání jednotlivých metod splácení úvěrů na konkrétním příkladu z hlediska celkových úrokových nákladů. Zjistili jsme, že nejvýznamnějším faktorem je velikost úmoru, kterým je dluh umořován. Věřím, že po přečtení mé diplomové práce by byl klient schopen vyhodnotit nabídky od bank tak, aby zvolil tu nejpřijatelnější. Nabízené úvěry bankami se mohou lišit právě v závislosti na tom, jakým způsobem se pracuje s úroky. Úvěrovou problematikou bych se chtěla zabývat i v budoucnu. Tato diplomová práce tak pro mě byla vhodným přínosem a prohloubila mé znalosti.

58

Přílohy Diplomová práce obsahuje též dvě přílohy, které jsou přiloženy na CD disku. Na tomto CD disku jsou uloženy dvě složky, tj. Příloha A a Příloha B. V Příloze A je soubor Příloha A.pdf, který doplňuje diplomovou práci po stránce teoretické. Je věnován především krátkodobým úvěrům, u kterých se používá jednoduché úročení. Jeho součástí je též úvěrový proces, úvěrové riziko, význam a funkce úvěrů. V Příloze B jsou soubory, které obsahují vypočítané příklady k jednotlivým metodám splácení úvěru v programu MS Excel stejně jako reálné příklady na výpočet RPSN pro hypoteční a spotřebitelský úvěr od Komerční banky, a.s.

59

Literatura [1] E. Bohanesová: Finanční matematika I, UP Olomouc, 2006 [2] E. Bohanesová: Method of Sequential Debt Amortization, In: Proceedings of the 7th International Conference Aplimat 2008, Bratislava, 2008, str. 429-436 [3] H. U. Gerber: Life Insurance Mathematics, Springer, 1995 [4] Dluhová problematika, Občanská poradna Plzeň, 2007 [5] kolektiv autorů: Bankovnictví, Bankovní institut, a.s., 2005 [6] Finanční analýza projektu a úvěrování, ČKAIT, Praha, 2004 [7] V. Liška: Finanční teorie 14, Bankovnictví, ČVUT, 1999 [8] D. Pánek: Bankovní služby, MU Brno, 2001 [9] F. Pavelka: Hypoteční úvěry, Hospodářská komora České republiky, 1995 [10] Zákon o spotřebitelském úvěru (č. 321/2001 Sb.) [11] Zákon o stavebním spoření a státní podpoře stavebního spoření (č. 96/1993 Sb.) [12] T. Cipra: Matematika cenných papírů, HZ Praha, 2000 [13] M. Máče: Finanční analýza obchodních a státních organizací, Grada Publishing, a.s., 2006 [14] S. Steigauf: Investiční matematika, Grada Publishing, a.s., 1999 [15] http://www.kb.cz [16] http://www.sfrb.cz [17] M. Hrabalová: Metoda postupného umořování dluhu, 2009 [18] L. Rusmichová, J. Soukup: Makroekonomie základní kurs, Melandrium, 2002 60