El˝ ozm´ enyek
Diophantosz, I.sz. 250 k¨or¨ul ´ er˝ol egy rejtv´eny(s´ır)vers Elet´ V´en Diophantoszt rejti e k˝ o. B´ar ˝ o maga szunnyad, Megtan´ıtotta a s´ırt, miondja el ´elte sor´at. ´ Evei egyhatod´at t¨ olt´e ki a gy¨ onge gyerekkor, M´eg feleannyi lefolyt, s ´alla szak´alla kin˝ ott. Egyheted eltelt m´eg, ´es n´asz´any v´arta a f´erfit, Elm´ ult u ´jta ¨ ot ´ev, ´es fia megsz¨ uletett. Ez feleannyi napig l´athatta a f´enyt idefennt, mint Atyja, mivel neki ´ıgy szabta az isteni sors. ˝ gy´aszolva a s´ır fel´e hajlott agg Diophantosz: Ot N´egy ´evvel k´es˝ obb ˝ o is el´erte a c´elt. Mondd, h´any esztend˝ ot ´elt h´at gy´aszban, ¨ or¨ omben, S itta az ´edes f´enyt, m´ıg hona lett ez a s´ır. (Poll´ak Gy¨ orgy ford´ıt´asa)
´ ja Az alexandriai Diophantosz Aritmetika Klukovits Lajos TTIK Bolyai Int´ ezet
2014. m´arcius 11.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
1 / 20
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
El˝ ozm´ enyek
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
2 / 20
El˝ ozm´ enyek
Legismertebb m˝uve
Legismertebb m˝uve Az Arab k¨onyvek” f¨olfedez´ese ”
Aritmetika Az Aritmetika, 13 k¨onyvb˝ ol ´allt a for´asok szerint, ´es
G. Toomer (Brown Univ.) 1973-ban ´ertes¨ ult a Mashad Shrine Library (Iran) egy frissen ¨ ossza´all´ıtott k´ezirat-katal´ ogus´ar´ ol.
hat´arozott, valamint hat´arozatlan egyenletekre vezet˝ o probl´em´akat taglalt.
Ebben f¨ olfedezett egy k´ezirat c´ımet, amely egy Diophantosz trakt´atus arab ford´ıt´asa lehetett, k´esz´ıt˝ oje a 912-ben meghalt Qusta ibn Luqa.
G¨or¨og¨ ul csak 6 k¨onyv maradt f¨ onn, ezeknek t¨ obb m´asolata ´es ford´ıt´asa l´etezik. Az egyik legismertebb Tartaglia a (harmadfok´ u egyenletek megold´ oja) latin ford´ıt´asa a XVI. sz´azadb´ ol.
I
E ford´ıt´as egy XVII. sz´azadi kiad´as´aban szerepel (a marg´ on) P. Fermat elh´ıres¨ ult mondata.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
Els˝ o l´at´asra az Aritmetika egy r´esz´enek t˝ unt. Toomer doktorandusza J. Sessiano alaposan megvizsg´alta a k´eziratot, ´es u ´gy v´elte I
az az Aritmetika egy hi´anyz´ o r´esze, amely 4 k¨ onyvb˝ ol ´all.
Megoldand´ o probl´ema ezen 4 arab k¨ onyv ´es a m´ar ismert 6 g¨ or¨ og k¨ onyv viszonya.
3 / 20
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
4 / 20
El˝ ozm´ enyek
G¨ or¨ og k¨ onyvek
A sorrend
Az elrendez´es indokl´asa.
Sessiano megold´asi javaslata 1
A 4 arab k¨onyv a g¨or¨og k¨onyvek k¨ oz¨ ott helyezend˝ o el ¨ osszef¨ ugg˝ oen. 1 2
2
Probl´em´ak az A k¨onyvb˝ol.
Ha a g¨ or¨ og k¨ onyveket rendre A, B, Γ, ∆, E , Z jel¨oli, az arabokat pedig 4, 5, 6, 7,
K´et tipikus probl´ema.
akkor a javasolt sorrend
1 2
A, B, Γ, 4, 5, 6, 7, ∆, E , Z .
Adjunk meg k´et olyan sz´amot, amelyek ¨ osszege ´es szorzata adott sz´am. Adjunk meg k´et olyan sz´amot, amelyek ¨ osszege ´es n´egyzeteik ¨ osszege adott sz´am.
Megjegyz´ es. Minden probl´ema megold´as´an´al konkr´et sz´amokb´ ol indul, nincs ´altal´anosan megfogalmazott elm´elet.
´ Ervek A k¨onyvek ilyet´en elrendez´ese a probl´em´ak elemz´es´en alapul.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
5 / 20
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
G¨ or¨ og k¨ onyvek
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
6 / 20
G¨ or¨ og k¨ onyvek
Az elrendez´es indokl´asa.
Az elrendez´es indokl´asa.
A 2. probl´ema megold´asa (mai szimbolik´aval).
Egy probl´ema a B k¨onyvb˝ol. Legyen egy adott sz´am k´et n´egyzet ¨ osszege. Bontsuk ezen ¨ osszeget k´et m´asik n´egyzet ¨ osszeg´ere.
Legyen az ¨osszeg 20, a n´egyzet¨ osszeg 208. Jel¨olje a k¨ ul¨onbs´eget 2s. Ekkor a nagyobb sz´am 10 + s, a kisebb 10 − s,
Megold´as.
a n´egyzet¨osszeg pedig 2s 2 + 200, amely 208.
Legyen az adott sz´am 13 = 22 + 32 .
Ebb˝ol s = 2, azaz a k´et sz´am 12 ´es 8. Megjegyz´ es. Az eredetileg k´ethat´arozatlanos probl´em´at u ´gy reduk´alja, hogy a sz´amtani k¨ oz´ept˝ ol val´ o elt´er´esre vezet be u ´j hat´arozatlant.
Tekints¨ unk egy s + 2 oldal´ u ´es egy m´asik n´egyzetet, amelynek oldala 3-mal kevesebb s valamely t¨ obbsz¨ or¨ os´en´el, mondjuk 2s − 3.
Ez megold´asi m´odszer ugyanaz, amint amelyet k¨ ozel k´et ´evezreddel kor´abban (Hammurapi kor´aban) m´ar alkalmaztak a mezopot´amiai ´ırnokok:
amib˝ ol 13 = 5s 2 + 13 − 8s, azaz s = 85 .
Az els˝ o n´egyzet s 2 + 4 + 4s, a m´asodik 4s 2 + 9 − 12s, Az els˝ o n´egyzet oldala s + 2 = 18 asodik´e 2s − 3 = 15 . 5 , a m´ ´ Erdekes (nyitott) k´erd´es: mi´ert ´ıgy v´alasztotta az u ´j n´egyzetek oldalait.
az ¨osszeg ´es k¨ ul¨onbs´eg m´ odszere. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
7 / 20
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
8 / 20
G¨ or¨ og k¨ onyvek
G¨ or¨ og k¨ onyvek
Az elrendez´es indokl´asa.
Az elrendez´es indokl´asa.
Egy probl´ema a Γ k¨onyvb˝ol. Hat´arozzunk meg h´arom olyan sz´amot, amelyek k¨ oz¨ ul b´armely kett˝ o szorzat´at egy adott sz´ammal n¨ ovelve n´egyzetsz´amot kapunk.
A megold´as folytat´asa. Megold´as (az eredeti, de mai jel¨ol´esekkel).
8. Kezdj¨ unk egy u ´jabb sz´amol´ast. Legyen x = 4s, y = 1s , z = 14 s, ahol s k´es˝ obb meghat´arozand´ o.
1. Legyen az adott sz´am (amivel n¨ ovel¨ unk) 12, a h´arom sz´amot lel¨olje x, y , z.
9. L´athat´ o, hogy csak azt kell m´ar el´ezni, hogy xz + 12 = legyen.
2. xy + 12 = 1 , legyen 1 = 25, amib˝ ol xy = 13, ´es legyen x = 13s, y = 1s . 3. yz + 12 = 2 , legyen 2 = 16, amib˝ ol yz = 4, ´ıgy y = z = 4s.
1 s
10. legyen e n´egyzet oldala” s + 3, ´ıgy a n´egyzet s 2 + 6s + 9, ” 11. azaz 6s + 9 = 12, ahonnan s = 12 .
l´ev´en
12. A keresett h´arom sz´am: x = 4s = 2, y =
1 s
= 2, z =
s 4
= 18 .
4. xz + 12 = 25 ahol xz = 13s · 4s = 52s 2 , ´ıgy olyan s-et kell keresni, amelyre 52s 2 + 12 = 3 . 5. Diophantosz megjegyz´ese: j´ o lenne, ha az 52 hely´en n´egyzetsz´am ´allna. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ melm´ elet m´ arcius 11. 6. Ez´ert k´et olyan n´egyzetsz´ amot akell keresni, amelyek2014. szorzat´ at 12-vel n¨ovelve n´egyzetsz´amot kapunk.
9 / 20
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
10 / 20
7. Ez egyszer˝ u, legyen e k´et sz´am 4 ´es 41 : 4 + 12 = 42 ´es 1 7 2 4 + 12 = 2 .
G¨ or¨ og k¨ onyvek
Arab k¨ onyvek
Az elrendez´es indokl´asa.
Arab k¨onyvek: n´eh´any form´alis k´erd´es
1. Megjegyz´es.
1
´ Erdekes, hogy azt az esetet, amikor 52s 2 + 12 n´egyzetsz´am az s = 1 esetben is, Diophantosz nem vette figyelembe. Ebb˝ ol r¨ ogt¨ on ad´ od´ ott volna az 1 x = 13s = 13, y = = 1, z = 4s = 4 s megold´as.
A 4 K¨ onyv preambuluma szerint a g¨ or¨ og k¨ onyvek nem ´erhet˝ ok el az egyszer˝ u moszlim olvas´ oknak.
3
Az alexandriai Diophantosz n´egyzetekr˝ ol ´es k¨ ob¨ okr˝ ol sz´ ol´ o trakt´atus´anak negyedik k¨ onyve, amelyet a baalbeki Qusta ibn Luqa ford´ıtott g¨ or¨ ogb˝ ol arabra.
4
A ford´ıt´ o id´ez(het) az eredeti nyelv˝ u 4 k¨ onyv el˝ oszav´ab´ ol, amely az A − Γ k¨ onyvek anyag´ara utal megeml´ıtve, hogy azokra ´ep´ıt a k´es˝ obbiekben.
5
Megeml´ıtve p´eld´aul, hogy a kor´abban n´egyzetekre vonatkoz´ okat most majd k¨ ob¨ okre ´altal´anos´ıtja.
2. Megjegyz´es. Megold´as´aban Diophantosz a hamis f¨ oltev´es” m´ odszer´et alkalmazta: tett ” egy f¨oltev´est, ´es amikor abb´ol nem kapta meg a k´ıv´ant eredm´enyt, m´odos´ıtotta f¨oltev´es´et, de ugyanazzal a m´ odszerrel dolgozott ism´et.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
11 / 20
¨ Osszesen 101 = 44 + 16 + 23 + 18 probl´em´at tartalmaznak.
2
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
12 / 20
Arab k¨ onyvek
Arab k¨ onyvek
A 4. K¨onyv
4. K¨onyv
1. Probl´ema
2. Probl´ema
K´et olyan k¨obsz´amot keres¨ unk, amelyek ¨ osszege n´egyzetsz´am.
K´et olyan k¨ obsz´amot keres¨ unk, amelyek k¨ ul¨ onbs´ege n´egyzetsz´am.
Az eredeti megold´as mai jel¨ol´esekkel.
N´emileg moderniz´alt megold´as.
Legyen a k´et k¨ob oldala x ´es 2x. A k¨ ob¨ ok ¨ osszege n´egyzetnek lennie.
9x 3 ,
Olyan a < b sz´amokat keres¨ unk, amelyekre b 3 − a3 = .
ennek kell
Ha a = x, b = mx; akkor
M´erj¨ uk a n´egyzet oldal´at x-ben, monjuk legyen 6x. ´Igy a n´egyzet 36x 2 , amelynek 9x 3 -bel kell egyenl˝ onek lennie.
(m3 − 1)x 3 =
Mivel a x 2 kisebb hatv´any, mint az x 3 , elosztjuk az eg´eszet x 2 -tel: az eredm´enyek 9x ´es 36, ´ıgy x = 4.
Legyen = (nx)2 , ´es ´ıgy (m3 − 1)x 3 = n2 x 2 ; amib˝ ol
A kisebb k¨ob oldala 4, a nagyobb´e 8, teh´at a k¨ ob¨ ok 64 ´es 512,
x=
ezek ¨osszege 574, amely n´egyzet, 242 .
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
13 / 20
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Arab k¨ onyvek
n2 −1
m3
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
14 / 20
Arab k¨ onyvek
4. K¨onyv
7. K¨onyv 8. Probl´ema Olyan n´egyzetsz´amot keres¨ unk, amelynek oldala k¨ obsz´am, ´es akkor is n´egyzetsz´amot kapunk, ha egy bizonyos sz´amot, valamint annak a k´etszeres´et hozz´aadjuk.
A megold´as folytat´asa. Ha m = 2, n = 7 akkor x = 7.
Modern formalizmussal.
a3 = x 3 = 343, b 3 = (2x)3 = 143 = 2744,
Olyan a, b sz´amokat keres¨ unk, amelyekre
= 2401 = 492 .
(a3 )2 + 2b = 1
Megjegyz´ es.
(a3 )2 + b = 2
A megold´asi m´odszer megegyezik egy, az A K¨ onyvben olvashat´ oval.
Megold´as 1 Ha (a3 )2 = 64 = (33 )2 , akkor 64 + 2b = 1 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
15 / 20
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
64 + b = 2
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
16 / 20
Arab k¨ onyvek
Arab k¨ onyvek
7. K¨onyv 8. Probl´ema
7. K¨onyv 8. Probl´ema
Megold´as 2 A megold´ast egy l´atsz´olag m´asik probl´ema megold´as´aval folytatta: keress¨ unk olyan u, v sz´amokat, amelyekre
Megold´as 3
2
u + 2v = 1
(1)
u 2 + v = 2
(2)
A keresett megold´ast (az eredeti probl´ema megold´as´at) 64-gyel val´ o szorz´as r´ev´en kapjuk ebb˝ ol: (a3 )2 = 64
Ha u 2 = x 2 ´es v = 2x + 1, akkor (2) azonosan teljes¨ ul. ´Igy (1)-b˝ol x 2 + 4x + 2 = , mondjuk (x − 2)2 ,
amib˝ ol 1 = 3136 = 562 ,
ez´ert x 2 + 4x + 2 = x 2 − 4x + 4, ´es x = 14 . Kapjuk, hogy u 2 = x 2 =
1 16 ,
b = 64 · 24 = 1536, 2 = 1600 = 402 .
v = 1 12 .
Legyen most t tetsz˝oleges ar´any(=racion´alis sz´am), ´es ekkor u 2 t 2 , vt 2 szint´en megold´asok, az u12 = 1, v1 = 24 eg´eszek pedig megold´asai az el˝obbi seg´edprobl´em´anak. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
17 / 20
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Arab k¨ onyvek
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
18 / 20
Arab k¨ onyvek
Az utols´o probl´ema ´altal´anos´ıt´asa
Az utols´o probl´ema ´altal´anos´ıt´asa
A megoldand´o egyenletrendszer A kv = 2nu + n2 , n tetsz˝ oleges v´alaszt´assal (3) teljes¨ ul.
(x 3 )2 + ky = A2
Ezut´an azt kell el´erni, hogy
(x 3 )2 + my = B 2
u2 +
k, m ∈ Z.
2mn m u + n2 = B 2 k k
legyen.
A seg´edegyenlet
Ez pedig egyszer˝ uen el´erhet˝ o.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
u 2 + kv = A2
(3)
u 2 + mv = B 2
(4)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
19 / 20
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Aritmetika - Sz´ amelm´ elet
2014. m´ arcius 11.
20 / 20
