DINAMIK SISTEM DISKRIT DIMENSI-2 YANG DITURUNKAN DARI SEBUAH KELUARGA PEMETAAN 12-PARAMETER QRT. Lazakaria 1)

Seminar Nasional Sains & Teknologi VI Lembaga Penelitian dan Pengabdian Universitas Lampung 3 November 2015 DINAMIK SISTEM DISKRIT DIMENSI-2 YANG DITURUNKAN DARI SEBUAH KELUARGA PEMETAAN 12-PARAMETER QRT Lazakaria1) 1)

Jurusan Matematia FMIPA Universitas Lampung Jl. Prof. Dr. Soemantri Brodjonegoro No. 1 Bandar Lampung 35145 Surel: [email protected] ABSTRACT The discussion of two-dimensional mapping in this paper is based on a member of a family of system derived from a family 12-parameters QRT mappings. By replacing the role of integral and parameter in a system of difference equations, we will generate a new mapping and show the properties of the new mapping, i.e. measure preserving property and reversing symmetry properties. Keywords: measure preserving, QRT mapping, reversing dimensional mapping.

symmetric, Two-

ABSTRAK Sistem dinamik dimensi-2 yang didiskusikan dalam paper ini merupakan sebuah anggota keluarga sistem integrabel yang diturunkan dari suatu pemetaan yang dikenal dengan sebutan keluarga 12-parameter pemetaan QRT (Quispel-RobertsThomson Mapping). Dengan menggantikan sebuah parameter µ pada sistem yang integrabel tersebut dengan parameter µ yang ada pada integralnya akan diperoleh sebuah sistem baru. Sistem baru yang terbentuk diperlihatkan sifat-sifatnya dengan sistem lama. Adapun sifat-sifat yang dilihat adalah sifat mengawetkan ukuran dan kerkebalikan simetris. Kata kunci: mengawetkan ukuran, pemetaan dimensi-2, pemetaan QRT, simetris yang berkebalikan.

PENDAHULUAN Pemetaan QRT yang diperkenalkan oleh Quispel, Robert, dan Thomson di tahun 1989 merupakan sebuah pemetaan yang populer dengan sebutan pemetaan keluarga 12-parameter yang simetris, integrable, dan measure preserving. Pemetaan QRT ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan diskrit orde dua berikut:

792

Seminar Nasional Sains & Teknologi VI Lembaga Penelitian dan Pengabdian Universitas Lampung 3 November 2015 𝑥𝑛+2 =

𝑔1 (𝑥𝑛+1 ) − 𝑥𝑛 𝑔2 (𝑥𝑛+1 ) 𝑔2 (𝑥𝑛+1 ) − 𝑥𝑛 𝑔3 (𝑥𝑛+1 )

(1)

dengan 𝑔𝑗 , 𝑗 = 0, 1, 2 dinyatakan sebagai 𝑔0 (𝑥𝑛+1 ) 𝑥2 𝑥2 (𝑔1 (𝑥𝑛+1 )) = 𝐴0 ( 𝑥 ) × 𝐴1 ( 𝑥 ) 𝑔2 (𝑥𝑛+1 ) 1 1

(2)

dengan A0 dan A1 dalam persamaan (2) merupakan notasi untuk matriks simetris 3×3 yang didefinisikan sebagai berikut 𝛼𝑖 𝐴𝑖 = ( 𝛽𝑖 𝛾𝑖

𝛽𝑖 𝜖𝑖 𝜁𝑖

𝛾𝑖 𝜁𝑖 ) ; 𝑖 = 0,1. 𝜅𝑖

Persamaan diskrit (1) mempunyai

(3)

invarian/integral 𝐺 yang berarti

𝐺(𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 ) = 𝐺 (𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛+2 ) yang dinyatakan dalam sebuah rasio polinomial bikuadratik berikut ini 𝐺(𝑥, 𝑦) 𝛼0 𝑥 2 𝑦 2 + 𝛽0 (𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 ) + 𝛾0 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝜖0 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝜎0 (𝑥 + 𝑦) + 𝜅0 (4) = 𝛼1 𝑥 2 𝑦 2 + 𝛽1 (𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 ) + 𝛾1 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝜖1 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) + 𝜎1 (𝑥 + 𝑦) + 𝜅1 Perlu diketahui bahwa, sifat yang dimiliki pemetaan simetris QRT di atas antara lain reversible dan (anti) measure preserving. Pandang persamaan diskrit berikut ini 𝑥𝑛+2 =

𝑥𝑛+1 (1 − 𝜇𝑥𝑛+1 ) ;𝜇 ∈ ℝ 𝑥𝑛 (𝑥𝑛+1 − 𝜇)

(5)

Persamaan diskrit (5) merupakan bentuk khusus dari persamaan diskrit (1). Dalam hal ini matriks simetris A0 dan A1 masing-masing berbentuk −1 𝐴0 = ( 0 𝜇

0 0 0

𝜇 0 0 ) ; 𝐴1 = (0 −1 0

793

0 1 0

0 0) 0

(6)

Seminar Nasional Sains & Teknologi VI Lembaga Penelitian dan Pengabdian Universitas Lampung 3 November 2015 Akibatnya, fungsi gi , i = 0, 1, 2 dalam (2) berbentuk 3 𝑔0 (𝑥𝑛+1 ) 𝑥𝑛+1 − 𝜇𝑥𝑛+1 (𝑔1 (𝑥𝑛+1 )) = ( ) 0 3 𝜇𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛+1 𝑔2 (𝑥𝑛+1 )

(6)

Dapat diperiksa bahwa persamaan diskrit (4) merupakan sebuah sistem dinamik yang diturunkan dari persamaan generalized ∆∆-sine Gordon ( Zakaria dkk, 2013). Pandang matriks simetris A0 dan A1 masing-masing berbentuk 0 𝐴0 = (−1 𝜇

−1 1 −1

𝜇 0 −1) ; 𝐴1 = (0 1 0

0 1 0

0 0) 0

(7)

Dengan matriks simetris (7), fungsi gi , i = 0, 1, 2 berbentuk 3 2 𝑔0 (𝑥𝑛+1 ) 𝑥𝑛+1 − 𝜇𝑥𝑛+1 (𝑔1 (𝑥𝑛+1 )) = ( ) 0 2 𝜇𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛+1 𝑔2 (𝑥𝑛+1 )

(8)

Dari bentuk matriks simetris (7) dan vektor fungsi (8) maka bentuk khusus persamaan diskrit (1) adalah 𝑥𝑛+2 = Dalam

artikel

𝑥𝑛+1 (1 − 𝜇𝑥𝑛+1 ) ; 𝜇, 𝜆 ∈ ℝ 𝑥𝑛 (𝑥𝑛+1 − 𝜇)

(Zakaria dkk, 2013), sebuah

studi

(9) tentang

pemetaan

keluarga 3-parameter yang diturunkan dari suatu persamaan generalized ∆∆-sine Gordon telah dibahas. Pemetaan keluarga 3-parameter yang dimaksud dinyatakan dalam bentuk persamaan beda parsial berikut ini : 𝜃1 (𝑉(𝑙,𝑚+1)  𝑉(𝑙+1,𝑚) − 𝑉(𝑙+1,𝑚+1) 𝑉(𝑙,𝑚) ) + 𝜃2 (𝑉(𝑙+1,𝑚+1) 𝑉(𝑙,𝑚+1)  𝑉(𝑙+1,𝑚) 𝑉(𝑙,𝑚) ) = 𝜃3

(10)

Persamaan beda parsial (10) dapat direduksi kedalam beda ordiner dengan menggunakan kondisi traveling wave solution, yakni dengan memilih hubungan

794

Seminar Nasional Sains & Teknologi VI Lembaga Penelitian dan Pengabdian Universitas Lampung 3 November 2015 𝑉(𝑙,𝑚) = 𝑉(𝑛) , 𝑛 = 𝑧1 𝑙 + 𝑧2 𝑚

(11)

dimana 𝑧1 dan 𝑧2 adalah bilangan bulat relatif prima. Dengan mensubsitusikan (11) ke dalam (10), kita mempunyai persamaan beda ordiner berikut ini:

𝜃1 (𝑉(𝑛+𝑧2 )  𝑉(𝑛+𝑧1 ) − 𝑉(𝑛+𝑧1 +𝑧2 ) 𝑉(𝑛) ) + 𝜃2 (𝑉(𝑛+𝑧1 +𝑧2 ) 𝑉(𝑛+𝑧2 )  𝑉(𝑛+𝑧1 ) 𝑉(𝑛) ) = 𝜃3

(12)

Persamaan (12) dinamakan persamaan beda ordiner generalized ∆∆-Sine Gordon yang merepresentasikan sebuah proses rekursif tak berhingga dari suatu pemetaan yang dilabelkan dengan 𝑧1 dan 𝑧2 . Untuk 𝑧1 dan 𝑧2 yang ditetapkan, persamaan (12) merupakan sebuah pemetaan dari ℝ𝑧1 +𝑧2 ⟶ ℝ𝑧1+𝑧2 . Dapat dicatat bahwa bentuk standar persamaan (12) yang dinyatakan di dalam ( Q u i s p e l d k k , 1 9 9 1 ) diperoleh dengan memilih nilai paremeter 𝜃1 = 𝑝𝑞, 𝜃2 = 1 , dan 𝜃3 = 1. Pilih nilai 𝑧1 = 1 dan 𝑧2 = 2 pada persamaan (12) diperoleh 𝜃1 (𝑉(𝑛+2)  𝑉(𝑛+1) − 𝑉(𝑛+3) 𝑉(𝑛) ) + 𝜃2 (𝑉(𝑛+3) 𝑉(𝑛+2)  𝑉(𝑛+1) 𝑉(𝑛) ) = 𝜃3

(13)

Persamaan (13) dapat ditulis sebagai suatu sistem persamaan berikut: 𝑉(𝑛+3) =

(𝜃3 − 𝜃1 𝑉(𝑛+1) 𝑉(𝑛+2) ) 𝑉𝑛 (𝜃2 𝑉(𝑛+1) 𝑉(𝑛+2) − 𝜃1 ) 𝑉(𝑛+2) = 𝑉(𝑛+1) 𝑉(𝑛+1) = 𝑉𝑛

(14)

Misalkan 𝜁 0 = 𝑉(𝑛+1) 𝑉𝑛 dan 𝜁1 = 𝑉(𝑛+2) 𝑉(𝑛+1) . Subsitusikan 𝜁 0 dan 𝜁1 ke dalam persamaan (14) diperoleh i.

𝜁𝑛0 = 𝜁𝑛1

ii.

𝑉(𝑛+3) = 𝑉

𝜁𝑛0 (𝑛+1)

(𝑉(𝑛+2) ) (𝑉(𝑛+2) )

𝜁0

(𝜃3 −𝜃1 𝜁𝑛1 )

𝑛

(𝜃2 𝜁𝑛1 −𝜃1 )

= 𝑉(𝑛+3) 𝑉(𝑛+2) 𝜁𝑛1 =

0 1 Kemudian misalkan 𝜁𝑛+1 = 𝜁𝑛1 dan 𝜁𝑛+1 = 𝑉(𝑛+3) 𝑉(𝑛+2) , maka dari (i) dan (ii)

diperoleh

795

Seminar Nasional Sains & Teknologi VI Lembaga Penelitian dan Pengabdian Universitas Lampung 3 November 2015 0 𝜁𝑛+1 = 𝜁𝑛1

1 𝜁𝑛+1 =

𝜁𝑛1 (𝜃3 − 𝜃1 𝜁𝑛1 ) 𝜁𝑛0 (𝜃2 𝜁𝑛1 − 𝜃1 )

(15)

atau 𝜁𝑛+1 = 𝑔𝜃 (𝜁𝑛 )

(16)

dimana 𝑔𝜃 : ℝ2 ⟶ ℝ2 𝑥(𝜃3 − 𝜃1  𝑥) (𝑥, 𝑦) ↦ ( , 𝑥) .  𝑦(𝜃2  𝑥 − 𝜃1 ) Persamaan (16) merupakan sebuah keluarga sistem dinamik Dimensi-2 berparameter tiga. Dengan kata lain, pemetaan (15) yang diturunkan dari sebuah persamaan generalized ∆∆-sine Gordon Dimensi-3 dapat direduksi menjadi pemetaan Dimensi-2.

HASIL DAN PEMBAHASAN Sifat Sistem Diskrit (𝒙𝒏+𝟏 , 𝒚𝒏+𝟏 ) =

𝒙𝒏 (𝟏−𝝁 𝒙𝒏 ) 𝒚𝒏 (𝒙𝒏 −𝝁)

Pilih nilai parameter 𝜃1 = 𝜇𝜃2 dan nilai parameter 𝜃1 = 𝜃2 , maka sistem dinamik (17) tidak

lain adalah

sebuah keluarga sistem dinamik dimensi-2

berparameter satu, yakni 𝜁𝑛+1 = 𝑔̃𝜇 (𝜁𝑛 )

(17)

dimana 𝑔̃𝜇 : ℝ2 ⟶ ℝ2 𝑥(1 − μ 𝑥) (𝑥, 𝑦) ↦ ( , 𝑥)  𝑦( 𝑥 − μ) Pemetaan (17) mempunyai integral/invarian (terdapat sebuah fungsi G: ℝ2 ⟶ ℝ sedemikian sehingga G(𝜁𝑛+1 ) = G(𝜁𝑛 ) untuk semua bilangan asli n), yakni 𝑥 𝑦 1 1 G𝜇 (𝑥, 𝑦) = 𝜇 ( + ) − (𝑥 + 𝑦) − ( + ) 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥

796

(18)

Seminar Nasional Sains & Teknologi VI Lembaga Penelitian dan Pengabdian Universitas Lampung 3 November 2015 Integral/invarian ini bermakna untuk semua bilangan asli n, solusi dari (17) senantiasa berada pada level set G𝜇 (𝑥, 𝑦) (18).

 1, 1

Dapat diperiksa bahwa titik-titik

dan

 1, 1

masing-masing

merupakan titik-titik tetap yang dinotasikan dengan  x*, y * dan titik-titik periodik-2



yang dinotasikan dengan x p2 , y p2



dari sistem (17). Selain mempunyai integral (18),

sistem (17) mempunyai sifat yang lain diantaranya: 

Sistem (17) merupakan sistem measure preserving :

D g   x, y  

1  x 2   y 2 x2  





dimana   x, y  diberikan dalam bentuk

  x, y   

Terdapat sebuah reversing symmetry

  x, y 

 x 1   x     , x   yx   

.

1 . xy

L  x, y    y, x  sedemikian sehingga L g   x, y  L1  g 1  x, y  .

Dengan kata lain, sistem (17) reversible g   x, y  L g   x , y   L 

Terdapat sebuah involusi S  x, y    x,  y  sedemikian sehingga

S g   x, y  S 1   g   x, y  Hubungan antara (17) beserta involusi L dan (9), dapat dinyatakan sebagai U SG : x ' 

x 1   x  yx  

, y '  x; L : x '  y, y '  x

Ini artinya sistem (17) yang diturunkan dari persamaan generalized ∆∆-sine Gordon adalah kasus khusus dari keluarga 12-parameter pemetaan reversing symmeric integrable QRT. Dapat dicatat bahwa pemetaan (17) mempunyai garis singular (garis

797

Seminar Nasional Sains & Teknologi VI Lembaga Penelitian dan Pengabdian Universitas Lampung 3 November 2015 dimana involusi tidak terdefinisi) dan garis simetris (garis yang melalui titik tetap involusi), yakni :





Garis Singular :

yg 2  x   g1  x   0  y x  x3  0

Garis Simetris :

y  x; y 2 g 2  x   2 yg1  x   g 0  x   0





 x  y; x x  x 2   y 2   x     0

Reparameterisasi  Pada Sistem Diskrit (𝒙𝒏+𝟏 , 𝒚𝒏+𝟏 ) =

𝒙𝒏 (𝟏−𝝁 𝒙𝒏 ) 𝒚𝒏 (𝒙𝒏 −𝝁)

Roberts, J.A.G., et.al. (2002) memberikan jaminan bahwa pertukaran sebuah parameter dalam sistem diskrit yang integrable dengan parameter sejenis yang ada pada integral/invariannya dapat dilakukan dan menghasilkan sistem baru yang integrable pula. Menggunakan ide Roberts, J.A.G. et.al., sistem diskrit integrable (17) dengan menggantikan parameter µ yang ada dalam sistem dengan parameter µ yang ada pada integral (18) diperoleh sebuah sistem baru. Berikut langkah dan hasil penukaran parameter yang dimaksudkan tersebut. Pandang integral G  x, y  (18). Perlu dicatat bahwa G  x, y  adalah linear dalam  . Karena

 x 1   x   G  x, y   G  ,x  y  x       maka

 x 1   x   G  x, y   0  G  ,x 0  y  x       Oleh karena itu, kita mempunyai

  x, y  

 x  y  xy  1 x2  y 2

Dapat diperiksa bahwa

798

(19)

Seminar Nasional Sains & Teknologi VI Lembaga Penelitian dan Pengabdian Universitas Lampung 3 November 2015

 x 1   x 

 , x   yx    Akibatnya, sistem (17), dengan menggantikan parameter  yang ada padanya dengan

  x, y    

  x, y  persamaan (19) diperoleh sebuah pemetaan baru yakni x  x3  x 2 y  x  y 

 x, y   g  x, y   

(20)

x3  x 2 y  x  y

Pemetaan (20) memiliki sifat-sifat: 

Memiliki

x 

fp

titik

tetap

(fp)





dan

titik

(tp2)

masing-masing



, y fp   1, 1 dan xtp2 , y tp2   1, 1

Integrable dengan integral G  x, y  



periodik-2

 x  y  xy  1

x2  y 2 Mengawetkan ukuran (measure preserving) :

D g   x, y  





2 x2 x4  1



 x3  x 2 y  x  y



2





  x, y 



 x x3  x 2 y  x  y    3 2 , x   x x yx y  

.

dengan 1 x  y2 yang berkebalikan

  x, y   

Terdapat

sebuah

semetris

2

(reversing

L  x, y    y, x  sedemikian sehingga

L g  x, y 

  1

L

Dengan kata lain, sistem (17) reversible.

799

 g

1

 x, y  .

symmetric)

Seminar Nasional Sains & Teknologi VI Lembaga Penelitian dan Pengabdian Universitas Lampung 3 November 2015 KESIMPULAN Dari hasil dan pembahasan yang telah disampaikan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa dengan melakukan parametrisasi ulang terhadap sebuah parameter pada sebuah pemetaan dimensi-2 yang diturunkan dari sebuah persamaan generalized ∆∆-sine Gordon menghasilkan pemetaan baru dengan titik tetap dan titik periodik-2 yang sama dengan pemetaan semula. Selain itu sifat reversing symmetric juga dipunyai oleh pemetaan semula dan pemetaan baru dengan sebuah involusi yang sama.

DAFTAR PUSTAKA Quispel GRW, Roberts JAG, & Thompson CJ. 1988. Integrable mappings and soliton equations. Physics Letters A. 126:419-421. Quispel GRW, Roberts JAG, & Thompson CJ. 1989. Integrable mappings and soliton equations II. Physica D. 34:183-192. Quispel GRW, Capel HW, Papageorgiou VG, & Nijhoff FW. 1991. Integrable mappings derived from soliton equations. Physica A 173 :243-266. Roberts JAG, Iatrou A, & Quispel GRW. 2002. Interchanging parameters and integrals in dynamical systems: the mapping case, J.Phys.A: Math. Gen 55: 2309-2325. Tanaka H, Matsukidaira J, Nobe A, & Tsuda T. 2009. Constructing two dimensional integrable mappings that posses invariants of high degreee. RIMS Kokyuroku Bessatsu 13 : 75-84. Zakaria L, Tuwankotta JM, & Budhi. 2013. The Normal Form For The Integral Of 3Dimensional Maps Derived From A ∆∆-Sine-Gordon Equation. The Proceeding of SEACMA 2013, Mathematics Department, ITS-Surabaya, ISBN: 978-97996152-8-2, page AM33

800