DIMENZIÓK. Dr. Gyarmati Péter emeritus professzor. Összefoglaló jegyzet Tudományos Önképző Köri előadások alapján

A tudományos gondolat kifejlődésének alapfeltétele, hogy folyton és minél többen gondoljanak rá: a köztudat a tudományos fejlődés melegágya. (Beke Manó).

DIMENZIÓK Összefoglaló jegyzet Tudományos Önképző Köri előadások alapján.

Dr. Gyarmati Péter emeritus professzor

TCC COMPUTER STUDIO Szentendre, 2015

Lektorálták: Dr. Dömölki Bálint, matematikus, kandidátus, Dr. Varga László, matematikus, az ELTE docense, Dr. Csörgő Tamás, fizikus, az Európa Akadémia tagja, Dr. Kádár György, fizikus, emeritus professzor, akiknek megkülönböztetett köszönetemet fejezem ki a magam és a reménybeli olvasók részéről. A grafikák a szerző rajzai.

Képzeljünk el egy olyan világot, amelyikben minden egyes ember osztozik az összes, lehetséges tudásban.

További részletek az alábbi weboldalakon találhatók: www.gyarmati.tk www.tudos.tk

ISBN 978-963-xx xxxx x Copyright © Gyarmati Péter, 2015

Tartalomjegyzék a Dimenziókhoz.

1 2 3 4

Bevezetés ................................................................................................ 5 A mérték ................................................................................................. 6 Az egy-dimenzió ..................................................................................... 7 A két-dimenzió........................................................................................ 9

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

A koordináta-rendszer megalkotása.................................................. 11 Átszámítás a derékszögű és a polár koordináták között .................. 12 Két pont távolsága derékszögű síkkoordináta-rendszerben ............ 13 Két pont távolsága polár síkkoordináta-rendszerben....................... 13 Koordináta-transzformáció ................................................................ 14 Néhány két-dimenziós alkalmazási példa.......................................... 15

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Henger-koordináta-rendszer.............................................................. 21 Két pont távolsága a térben ............................................................... 22 Koordináta-transzformáció ................................................................ 23 Néhány három-dimenziós alkalmazási példa .................................... 25 A felület egyenlete.............................................................................. 27 A vonal egyenlete ............................................................................... 27 A görbe vonalú koordináta-rendszer ................................................. 27

8.1 8.2 8.3 8.4

A térkép ............................................................................................... 35 A számítógép monitora ...................................................................... 38 Fizikai pont dinamikus helyzete ......................................................... 40 Következtetések.................................................................................. 50

9.1 9.2 9.3 9.4

A tér absztrakciója .............................................................................. 50 A valóság nem sík, csak mi egyszerűsítjük azzá! ............................... 51 Itt vannak az új geometriák ................................................................ 54 Két pont távolsága .............................................................................. 55

12.1

A koordináta-rendszer posztulátuma és a metrikus geometria. ...... 61

5 A három- dimenzió ............................................................................... 19

6 Kiterjesztés n-dimenzióra .................................................................... 28 7 Speciális eset, a szférikus geometria ................................................... 31 8 Példák.................................................................................................... 35

9 Nem euklideszi terek ............................................................................ 50

10 További matematikai absztrakt terek.................................................. 57 11 Összefoglalás ........................................................................................ 60 12 Függelék ................................................................................................ 61

12.2 12.3 12.4 12.5

Görbe vonalú koordináták. ................................................................ 64 Gauss koordináták. ............................................................................. 65 Gauss nem-euklideszi felfogása. ........................................................ 67 A görbület közelebbről, avagy a Theorema egregium...................... 68

13 Fogalomtár ............................................................................................71 14 Irodalom jegyzék...................................................................................89 15 Utószó ...................................................................................................93

Bevezetés ---------------------------------------------------------------------------------------------------

1 Bevezetés A dimenzió latin eredetű szó, jelentése méret, kiterjedés. Köznapi használatban egyes dolgaink, tárgyaink fizikai kiterjedésének mértékegységeit értjük alatta. Régi emberi törekvés, hogy ezeket az egységeket valamilyen földi mérettel arányosan fejezzük ki, lehetőleg közérthetően, hogy mindenki megérthesse, használhassa. A számos önállóan élő embercsoport a saját igényeinek megfelelő mértékegységeket alakított ki. Példaként néhány egykori magyar mértéket említek: öl, láb, rőf, négyszögöl, akó, pint, meszely, stb. Az emberi kapcsolatok nemzetközivé válása, a mértékek területén is igényli a közérthetőséget, ez a szabványosítási törekvés. Mára széles világegyetértés1 alakult ki az u.n. decimális mértékegységek alkalmazásában a köznapi és a tudományos életben egyaránt. Szokásos jelölése, hogy a mértékegység rövidítését szögletes zárójelek közé tesszük: [m/s], vagy [km/ó]. Ha nem félreérthető, akkor a zárójelet el szoktuk hagyni. Ez a dimenzió fogalom mértékekre vonatkozó értelme, tehát a dolgaink, tárgyaink valamilyen tulajdonságát fejezik ki „természethasonló” mértékekkel. Világméretű szabványosítása szükséglet a közérthetőség és a technikai eszközök csereszabatossága érdekében. Dolgainkról, tárgyainkról fontos tudnivaló azok helye is. Dimenzióval jelöljük a dolgok helyének megadását is, amelyet úgyszintén valamilyen mértékkel „mérünk”. Ezek a bevezetett és itt bemutatatásra kerülő dimenziók, koordinátarendszerek egyáltalán nem természetes dolgok, hanem matematikai, fizikai spekulációk eredményei. Ugyanakkor – és ez éppen a sikere – mégis alkalmas a természeti jelenségek leírására, lehetőséget ad tárgyak, dolgok, folyamatok térbeli és időbeli meghatározására. A 1

http://www.unc.edu/~rowlett/units/

5

Dr. Gyarmati Péter: Dimenziók --------------------------------------------------------------------------------------------------------

dimenziókra és koordináta-rendszerekre további hasznos spekulációk építhetők, mint például az analitikus geometria, vagy a vektorok, tenzorok elmélete. A természet áldása a szemünk, amely képes jobbra-balra, le-fel mozogni. Ez a képesség adja a hosszúság, magasság, fogalmainkat, amelyekhez ősidők óta – koronként változó – mértékeket rendeltünk. További természetes tulajdonságunk, hogy két szemmel rendelkezünk, amely lehetővé teszi a térbeli látást, azaz mértéket hozzárendelve adja a mélység fogalmunkat. Vegyük észre, hogy ez a térbeli látás ugyanannak a jelenségnek két különböző pontból való megfigyelését jelenti, és amelyet az agyunk egy képpé alakít, az eltéréseket harmadik dimenzióvá. Később ezt fel fogjuk használni, mint koordinátatranszformációt. Csodálatos eszközünk ez, evvel figyeljük a természetet és erre épülnek tudományos és művészi dolgaink. Ugyanakkor ennek a természet adta eszköznek korlátai vannak, méreteket torzít, részleteket tüntet el, „optikai csalódásokat” okoz. A problémákon spekulációink „javítanak”: pontos mértéket adunk, nézőponttól független tereket alkotunk, a mozgásnak exakt leírást adunk, stb. Később, további spekulációval kiterjesztjük a tér természetes fogalmát virtuális spekulációkká, amelyek a nem természetes felépítés ellenére hasznosnak bizonyulnak a természet-tudományok és a technika területén. Nézzük, hogyan történik ez!

2 A mérték Első, legfontosabb tényezőnk a mérték, amely lehetőség szerint független kell, legyen a mérés tárgyától – a mérés ne befolyásolja a mérendőket. Továbbá rendezett sorozatot alkosson akár folytonos, akár diszkrét módon van rá szükségünk. Tehát egy invariáns eszközre van szükségünk, amelynek nincsenek pontossági korlátai és természetes alkalmazásra térve könnyen hozzárendelhető valamilyen anyagi tulajdonság. Teljesen kézenfekvő a számok alkalmazása, nevezetesen a számegyenes, amely folytonos a valós számokra nézve. A számegyenes skálázható lineárisan és más matematikai trükkökkel úgymint, például 6

Az egy-dimenzió ---------------------------------------------------------------------------------------------------

logaritmikus skála, amely jelentős egyszerűsítéseket adhat az analitikus munkában. A számegyenes lesz tehát az egy-dimenziónk!

3 Az egy-dimenzió 1. A számegyenes kitüntetett pontja a nulla, vagy más néven origó, ettől jobbra a pozitív, balra a negatív számok vannak megegyezés szerint. 2. Bármely pont helyét a számegyenesen a nulla ponttól való „távolsága” határozza meg, pontosabban, azon számérték, amelyen az adott pont fekszik. 3. Két pont távolsága az egyes pontok origótól való távolságainak a különbsége, azaz a pontok által kijelölt két számérték különbségének az abszolút értéke (egy fizikai távolság csak pozitív érték lehet). 4. A számegyenes, mint egy-dimenziós rendszer mozgatásakor nyilvánvalóan csak az egyenes mentén lehetséges - az O nulla-

1. ábra. A számegyenes referenciapont arrébb vándorol éppen a mozgatás értékével az O’ pontba. Távolságuk az eltolás: = OO ' O ( e ) − O ' ( e ) Két pont távolsága ettől nem változik: P2 P1 = e2 − e1 = e2 '− e1 ' . 5. Az egyenesen irányítást is adhatunk úgy. hogy két tetszőleges pont sorrendjét megadjuk és pozitív az irány, ha ez a sorrend azonos a 0 ponttól az 1 pont felé iránnyal, negatív ellenkezőleg. 6. Ez az alkalmazás egyszerűen továbbfejleszthető, amennyiben az egyenes léptékét kicseréljük, például logaritmikus léptékűre: lesz és akkor 0 → log1; P2 → log P2 ; P1 → log P1 log P2 + log P1 = log ( P2 P1 ) , tehát

a

két szám szorzatát kapjuk. 7


P  Hasonlóképen log P2 − log P1 = log  2  , azaz a hányadost kapjuk. Tehát  P1  a logaritmikus léptékkel számokat szorozhatunk, oszthatunk. Ez az egykor közismert logarléc alapja. 7. Érdekes lehetőség két egyenes „egymás melletti” alkalmazása, amely lehetőséget ad számok összeadására, kivonására az ábra szerint:

2. ábra. Alkalmazások két egyenessel 8. Hasonlóképen más skálázás is lehetséges, ilyen például a logarléc, amely egykor fontos számítástechnikai eszköz volt. Mára a zsebszámológépek kiváltották. 9. Példa: hosszúság felosztása adott arányban. Legyen egy egyenesen adott két pont P2 , P1 . helyezzünk el az egyenesen tetszőleges helyen egy P pontot, amelynek osztásviszonyán a következőt P1 P e − e1 értjük: λ (= . A kifejezésből látszik, hogy ha a P pont a P) = P2 P e − e2

P1 , P2 közé esik, akkor λ ( P ) < 0 negatív, ha P egybe esik P1 -el, akkor

λ ( P ) = 0 , ha a pontokon kívül van, akkor λ ( P ) < 0 pozitív. Megállapítottuk tehát, hogy az egyenes minden pontjához egy meghatározott osztásviszony tartozik (kivéve a P2 pontban, mert 0-val 8

A két-dimenzió ---------------------------------------------------------------------------------------------------

nem lehet osztani). Ha P felezi P1 , P2 a távolságot, akkor λ ( P ) = −1 . e1 − λ e2 .A 1− λ e +e felezőpont koordinátái a λ = −1 behelyettesítésével: e = 1 2 . Legyen 2 a P ponttal keletkezett két szakasz hossza m,n. A λ éppen ezek aránya: e1 + λ e2 ne1 + me2 m . Fontos fizikai alkalmazás ez, λ = , és akkor = e = n 1+ λ n+m mert a két – n,m tömegű - pontból álló rendszer súlypontjának helye éppen ez.

Számítsuk ki az osztáspont koordinátáit a fenti képletből: e =

4 A két-dimenzió Az egy-dimenziós gondolatmenetet folytatva – az euklideszi geometria mentén haladva – a síkot vesszük két-dimenziósnak. Azt állítjuk, a sík bármely pontját, illetve azok távolságát – egymáshoz való helyzetét - egy rendezett számpárral le tudjuk írni.

3. ábra. Pont helye a síkon 1. Két pont távolságát úgy határozhatjuk meg, hogy rájuk helyezzük a számegyenest a nullával az egyik ponton, és a másik pontnál lévő számérték adja a távolságot, az egy-dimenziós esettel összhangban, OP = d . 2. Ha a P pont az e egyenesen kívül van, akkor az előbbi módszert követve: az e egyenes O pontjára és a P pontra helyezzük a számegyenesünket úgy, hogy az O pontja egybeessen az e egyenes O 9


pontjával. A P pontban leolvasott érték adja meg a P pont távolságát, az irányát, pedig a két egyenes által bezárt szög: P ( d ,ϕ ) . Az egyértékűség kedvéért kikötjük, hogy, amely mindig érvényes polárkoordináták esetén 3. Megkísérelhetjük a P pont helyét szögmérés nélkül is meghatározni. Tekintsük a P pont távolságát az e egyenestől, amely – Euklidesztől tudjuk – éppen a P pontból az e egyenesre bocsátott merőleges hossza. Jelöljük y-al! Lesz egy pont, ahol az y az e egyenest eléri, ennek az origótól mért távolságát jelöljük x-el. Azt állítjuk, hogy P ( d , ϕ ) = P ( x, y ) .

4. ábra. Pont helye távolsággal Vegyük észre, hogy a helymeghatározásunkban egy derékszögű háromszöghöz jutottunk x és y befogóval, d átfogóval, akkor a Pitagorasz-tétel alapján

= d

x 2 + y 2 és ϕ = arc tg

y x

4. Ha mindkét pont az e egyenesen kívülre esik: d = P2 P1 . Vegyük észre,hogy itt is egy derékszögű háromszöget kapunk: az egyik befogója a d szakasz vetülete az e egyenesen ( x2 − x1 ) , a másik a két pont e egyenestől való távolságának különbsége, pedig a keresett d = P2 P1 , akkor d =

ϕ = arc tg 10

y2 − y1 x2 − x1

( y2 − y1 ) , az átfogó

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 − y1 )

2

és

A két-dimenzió ---------------------------------------------------------------------------------------------------

5. ábra. Két pont távolsága

4.1

A koordináta-rendszer megalkotása

1. Az y mérése az e egyenesre merőleges számegyenesen történik úgy, hogy annak O pontja az e egyenesen fekszik. Célszerű a két számegyenes O pontjait egyesíteni. 2. Mostantól az egyeneseket x, illetve y tengelynek nevezzük el. 3. A közös origótól jobbra és felfelé – a rajz szerint – szoktuk a pozitív, ellenkezőleg a negatív értékeket felvenni.

6. ábra. Karteziánus-rendszer 4. A φ szöget az x tengelytől mérjük és az óramutató járásával szemben pozitív. 11


Az így meghatározott rendszert koordináta-rendszernek nevezzük, a tengelyek a koordináták. Az x tengelyt abszcisszának, az y tengelyt ordinátának is szokás nevezni. Külföldi irodalomban használatos a karteziánus elnevezés Descartes (1596-1650) után, akinek a rendszer kialakítását köszönhetjük. Használatos még a derékszögű-, vagy az ortogonális koordináta-rendszer elnevezés is. A P(d,φ) esetben polár-, vagy Gauss-féle koordináta-rendszernek nevezzük. A d hosszúságot a φ szöggel együttesen vektornak szoktuk nevezni, amely a vektoralgebra bázisa. A koordináta-rendszer „feltalálása” történelmi jelentőségű, mert: - összekapcsolja a geometriát és az algebrát, létrehozta az analitikus geometriát (kimutatható, hogy az ívelem, mint posztulátum elégséges az egész geometria felépítéséhez); - megteremtette a vektoralgebra alapjait; - a klasszikus fizika - Galilei és Newton - relatív térszemléletének a matematikai bázisa

4.2

Átszámítás a derékszögű és a polár koordináták között

Derékszögűből polárba: tgϕ =

y ;= d OP = x

x2 + y 2 .

7. ábra. Átszámítás Polárból derékszögűbe: x = d cos ϕ ; y = d sin ϕ . 12

A két-dimenzió ---------------------------------------------------------------------------------------------------

4.3

Két pont távolsága derékszögű síkkoordináta-rendszerben

A koordináta különbségek – befogók - és a távolság – átfogó derékszögű háromszöget alkotnak, ezért:

d = P1 P2 =

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2

2

=

∆x 2 + ∆y 2 , vagy mint

távolság négyzet: d 2 = ∆x 2 + ∆y 2 .

8. ábra. Ortogonális távolság

4.4

Két pont távolsága polár síkkoordináta-rendszerben

A két pont helyvektorai, d1 , d 2 alapján számoljuk ki a koszinusz tétel

alkalmazásával: d 2 = d12 + d 22 − 2d1d 2 cos (ϕ1 − ϕ 2 ) .

9. ábra. Poláris távolságmérés 13


A szögek az ábra szerint a helyvektorok hajlásszögei, a különbségük a háromszög távolsággal szembeni szöge.

4.5

Koordináta-transzformáció

Mindennapos fizikai gyakorlat, hogy egy koordináta-rendszerről egy másikra térünk át, azaz ugyanazt az eseményt egy másik – vonatkoztatási – rendszerből vizsgáljuk, akkor ugyanazt a pontot máshol látjuk, pedig az nem mozdult el! Azt mondjuk a pont helyzete relatív. Feladatunk, hogy meghatározzuk a két koordináta-rendszer egymáshoz képesti – relatív – elmozdulását. Az elmozdulás eltolással, vagy forgatással lehetséges. Az eltolást felbontjuk a tengelyek irányába a, b értékekkel, az elforgatást az origó körül φ szöggel tekintjük az x,y síkban. Tengelyekkel párhuzamos eltolás

x=x’+a; y=y’+b; x’=x-a; y’=y-b

10. ábra. Eltolás

Tengelyek elfordítása φ szöggel

x=x’cosφ-y’sinφ ; y=x’sinφ+y’cosφ x’=xcosφ+ysinφ ; y’=-xsinφ+ycosφ 14

A két-dimenzió ---------------------------------------------------------------------------------------------------

11. ábra. Forgatás Ezek a spekulációink nem változtatják meg a helyzetmeghatározásunkat, mivel semmi mást nem tettünk, csak a geometriai méréseket valós számokkal való műveletekre cseréltük fel: ( x, y, d , ϕ ) ∈  . Megállapítottuk tehát, hogy a sík bármely pontjának helyzete a fenti két koordináta-rendszer bármelyikének segítségével megadható, ezek léteznek és egyértelműek: (d, φ), vagy (x, y). A sík pedig e számpárok halmaza: {(d, φ)}, vagy {(x, y)}, mivel a számpárok képezte pontok a sík bármely pontját leírhatják, tehát azok összessége éppen a sík. Erre alapozva megnyílik az út geometriai alakzatok analitikus - algebrai definiálására, területszámítására, stb. Az analitikus geometria feladata a síkban - két-dimenziós eset - lehetséges pontok, egyenesek, görbék, síkidomok és azok függvényei leírása.

4.6

Néhány két-dimenziós alkalmazási példa

Hosszúság osztása adott arányban. A P1 P2 távolságot egy P pont két - m és n - részre osztja, azaz

P1 P m = = λ osztási arány. PP2 n Az arányossági tétel alkalmazásával: 15


= x

nx1 + mx2 x1 + λ x2 ny1 + my2 y1 + λ y2 ; y = = = n+m 1+ λ 1+ λ n+m

12. ábra. Arányok

Háromszög területe A csúcsok: P1 ( x1 , y1 ) ; P2 ( x2 , y2 ) ; P3 ( x3 , y3 ) . Az ábra szerinti négyszög területéből kivonjuk a háromszög körüli derékszögű háromszögek területét: a négyszög területe:

( x2 − x1 )( y3 − y2 ) ; a háromszögeké: <1> <2> <3>

16

1 ( x2 − x1 )( y2 − y1 ) ; 2 1 ( x3 − x2 )( y3 − y2 ) ; 2 1 ( x3 − x1 )( y3 − y1 ) . 2

A két-dimenzió ---------------------------------------------------------------------------------------------------

akkor T = ( x2 − x1 )( y3 − y2 ) − 1 − ( x2 − x1 )( y2 − y1 ) + ( x3 − x2 )( y3 − y2 ) + ( x3 − x1 )( y3 − y1 )  2 Az átalakításokat nem részletezve az alábbi kifejezéshez jutunk:

13. ábra. Háromszög terület

x1 T x2 = x3 =

y1 1 1 1 y2=  x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y= 2 )  2 y3 1

1 ( x1 − x2 )( y1 + y2 ) + ( x2 − x3 )( y2 + y3 ) + ( x3 − x1 )( y3 + y1 )  2

Ha a három pont egy egyenesen fekszik, akkor a determináns értéke nulla, vagyis nincs háromszög. Az előjelek változnak a pontok helyzetétől függően, amelyet itt nem részletezünk, mivel témánkon kívül esik. Sokszög területe A háromszög kiszámítására.

területe

kiterjeszthető

sokszögek

területének

A csúcsok: P1 ( x1 , y1 ) ; P2 ( x2 , y2 ) ; P3 ( x3 , y3 ) ;  Pn ( xn , yn ) , akkor a terület: 17


T=

1 ( x1 − x2 )( y1 + y2 ) + ( x2 − x3 )( y2 + y3 ) + . + ( xn − x1 )( yn + y1 )  . 2

A vonal egyenlete A fordított út is spekulációnk témája, azaz geometrikusan megmutathatunk bizonyos algebrai kifejezéseket a koordinátarendszerünkben. Tekintsük az F ( x, y ) = 0 alakú egyenleteket, amelyeket ha ábrázolunk, mindig egy vonalnak felelnek meg, hiszen minden x értékhez tartozik az egyenletben egy y érték és a vonal ezen értékpárok sorozata. Minden pont, amely a szóban forgó egyenletet kielégíti, rajta van a vonalon. Az F ( x, y ) = 0 , vagy kifejtve az Ax + By + C = 0 egyenlet a vonal egyenlete. A vonal lehet görbe is, akkor az F ( x, y ) polinom, ezt algebrai görbének nevezzük, fokszáma pedig a görbe rendszáma. Az egyenletnek lehetségesek képzetes gyökei, ezek természetszerűleg nincsenek rajta a síkon. Ilyen helyeken a vonalnak szakadása van. Például az

0 . A tárgyalt koordináta-rendszerek a számegyenesre x2 + y 2 + 1 = épülnek, amely a valós számok halmaza. A koordináta vonalak Koordináta vonalak a derékszögű rendszerben a koordinátákkal párhuzamos egyenesek, míg a polár rendszerben a pólusból - O pont, origó - kiinduló félegyenesek és a pólus középpontú körök. Meg kell jegyeznünk, hogy lehetséges nem derékszögű és görbevonalú koordináta-rendszer is, amelyeket valamilyen célszerűség miatt használunk. Egyszerűbb esetekben két vonalsereggel írjuk le – koordináta vonalak - oly módon, hogy a sík bármely pontján mindkét vonalseregnek páronként csak egy és csakis egy metszéspontja van. A hasonlóság miatt részletesebben a három-dimenziós részben foglakozunk vele, amelynek a síkbeli speciális – két változóra egyszerűsített - esete. 18

A három- dimenzió ---------------------------------------------------------------------------------------------------

A háló Érdekes eset a háló, vagy köznapi elnevezése a milliméter-papír. Itt egyenletes elosztású és a tengelyekkel párhuzamos koordináta vonal seregről van szó. A koordináta vonalakat a természetes számok szerint mind a két tengely mentén rajzoljuk fel. A milliméter-papír léptéke tulajdonképpen a természetes számok: 1mm, 2mm, … Ehhez valamilyen mértéket rendelünk, például itt a millimétert. Ettől eltérő lépték is lehetséges, így születik például log-lin, vagy a loglog papír, amelyeknél a tengelyt lineáris helyett logaritmikus léptékkel osztjuk fel. Például, 10-es alapú logaritmus esetén a tengelyre a log1log10 értékeket mérjük fel. Ha log1-log100 közötti értékeket is felvesszük, akkor a két skálát egymás mellé fektetve ezen a skálán az első skála négyzetét olvashatjuk le. Ez az egykor általános használatú logarléc egyik alap megoldása. A hálóképzést polár-koordináták mentén is elvégezhetjük és akkor értelemszerűen kördiagramokat kapunk.

5 A három- dimenzió A két-dimenziós síkbeli rendszert könnyedén kiterjeszthetjük térbelivé, három-dimenzióssá, hiszen van még egy merőleges – ortogonális irányunk, amelyet felhasználhatunk erre a célra. Nézzük meg tehát, hogy ez az állításunk a geometriai és algebrai feltételeknek megfelel-e, azaz leírja-e az euklideszi teret és abban ellentmondásmentes-e. Derékszögű koordináták:

P ( x, y, z ) → OP =

x2 + y 2 + z 2 = d

Polár koordináták:

= P

ϕ (ϕ ,θ , d ) → tg=

y x

;

tg= θ

x2 + y 2 z 19


14. ábra. Három-dimenziós tér Átszámítások:

x = d sin θ cos ϕ ;

y = d sin θ sin ϕ ; z = d cos θ

Az eredmények a Pitagorasz-tétel segítségével bizonyíthatók. Megállapítottuk tehát, hogy a tér bármely pontjának helyzete e rendezett számhármasok bármelyikével leírható P ( x, y, z ) , vagy

P (ϕ , θ , d ) , ahol ( x, y, z , d ) ∈  és 0 ≤ (ϕ , θ ) ≤ 2π . Két pont távolsága geometriailag egy x, y, z oldalhosszúságú téglatest testátlója. A háromdimenziós tér ezen P pontok, szám-hármasok halmaza: ( x, y, z ) , vagy (ϕ , θ , d ) .

{

}

{

}

A koordináta síkok A koordináta vonalak éppúgy értelmezhetők, mint a két-dimenziós esetben. Három-dimenzióban már síkokat – felületeket is értelmezhetünk: a koordináta síkok rendre az x,y majd az x,z és végül az y,z tengelypárokra fektetettek át. A tengelyek ezek metszésvonalai. Két sík találkozása, metszete mindig egyenes – tudjuk Euklidesz óta. 20

A három- dimenzió ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Meghatározunk pozitív és negatív irányokat: a koordinátasíkok segítségével a tér nyolc részre, térnyolcadokra osztható. Az előjel attól függ, hogy a pont melyik térnyolcadban van. Szokás szerint az ábrán jelölt irányok a pozitívak. Beszélünk még u.n. jobb-, illetve balsodrású rendszerről a tengelyek irányának és sorrendjének megfelelően. Az ábránk jobbsodrású. Polár koordináták esetén a koordinátavonalak az origóból kiinduló félegyenesek, a koordinátasík szerepét felület veszi át: az origó középpontú gömbfelületek. A gömb felületén az alakzatok nem követik az euklideszi-geometriát, részleteivel később foglalkozunk.

5.1

Henger-koordináta-rendszer

Szoktunk még henger-koordináta-rendszert is létrehozni és használni, amelyben a három érték rendre: h – az OP távolság x,y síkbeli vetülete, míg φ – a h és az x tengely közötti szög és végül a z – érték a z tengely irányában: a P(φ,h,z) számhármas.

15. ábra Henger koordináták

21


Tulajdonképpen egy z tengellyel azonos tengelyű, az x,y síkon álló hengert írunk le, amelynek sugara h, magassága z. A φ kijelöl egy pontot a henger „tetején” – a z érték magasságában.

OP = d =

h2 + z 2 =

x2 + y 2 + z 2

Az átszámítások:

x = h cos ϕ ; y = h sin ϕ ; z = z

= h 5.2

y x

y h

x 2 + y 2 ; tgϕ= = sin

Két pont távolsága a térben

Ha a pontok P ( x1 , y1 , z1 ) , P ( x2 , y2 , z2 ) , akkor d = P1 P2 =

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) = 2

2

∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 vagy

röviden: d 2 = ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2

16. ábra. Két pont távolsága Az eredmények a Pitagorasz-tétel segítségével bizonyíthatók.

22

A három- dimenzió ---------------------------------------------------------------------------------------------------

5.3

Koordináta-transzformáció

Mindennapos fizikai gyakorlat, hogy egy koordináta-rendszerről egy másikra térünk át, azaz ugyanazt az eseményt egy másik – vonatkoztatási – rendszerből vizsgáljuk, akkor ugyanazt a pontot máshol látjuk, pedig az nem mozdult el! Azt mondjuk a pont helyzete relatív, amint azt már láttuk a két-dimenziós esetben. Feladatunk, hogy meghatározzuk a két koordináta-rendszer – a vonatkoztatási rendszerek, ahogy a fizikusok mondják - egymáshoz képesti, relatív elmozdulását. Kétféle módon lehetséges: eltolás a tengelyek irányában a, b, c értékekkel, vagy elforgatás a három sík mentén - esetleg két, vagy három irányban is. Tengelyekkel párhuzamos eltolás Hasonlóan a két-dimenziós esethez, egyszerű összeadás az eltolás, csak itt most már három irányban lehetséges: x=x’+a; y=y’+b; z=z’+c és visszafelé x’=x-a;

y’=y-b; z’=z-c

17. ábra. Eltolás

Tengelyek elfordítása Az elforgatás algebrailag sokkal bonyolultabb, mert három irányban is lehetséges a koordináták által képezett síkok mentén, azaz valamelyik tengely körül. Tehát, ha például az x tengely körül forgatunk, akkor az 23


megfelel az {y, z} sík mentén történő elforgatással, stb. Ezek az esetek megfelelnek a két-dimenziós elforgatásnak értelemszerűen. Bonyolultabb, ha egyszerre két, sőt mindhárom tengely mentén forgatunk. Érzékelhető, hogy a megoldások szerteágazóak. A számítások megkönnyítéséhez szokás egy ponthoz mutató vektor irányszögeit meghatározni, amelyek a helyvektor és az egyes tengelyek által bezárt szögek.

18. ábra. Forgatás Nyilvánvaló, hogy ezek a szögek az egy-egy tengelyre és a pontra fektetett síkban vannak. Ha ez a vektor (az origóból a P pontba mutató) egyégnyi, akkor olyan derékszögű háromszögeket kapunk, amelyeknek átfogója egységnyi és a szög melletti befogója rendre x, y, z. Tehát x = cos α ; y = cos β és

1 z = cos γ , így x 2 + y 2 + z 2 = Könnyen belátható akkor, hogy egy d = P1 P2 távolság irányszögei:

cos α =

24

x2 − x1 y − y1 z −z ; cos β = 2 ; cos γ = 2 1 d d d

A három- dimenzió ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Az elforgatás determinánsa és más érdekességek – Euler-féle szögek, stb. - megtalálhatók az analitikus geometria kézikönyvekben. Általános transzformáció Még összetettebb a helyzet, ha eltolás és elforgatás egyszerre következik be. Az ilyeneket – az egyszerűbbek kivételével – egyedileg határozzuk meg, kihasználva az esetlegesen fennálló egyszerűsítéseket, mint például nem mozgó tengelyek, vagy ortogonális elfordítás, stb.

5.4

Néhány három-dimenziós alkalmazási példa

Hosszúság osztása adott arányban A P1 P2 távolságot egy P pont két - m és n - részre osztja, azaz

P1 P m = = λ osztási arány. PP2 n Az arányossági tétel alkalmazásával:

19. ábra. Arányosság a térben

= x

nx1 + mx2 x1 + λ x2 ; = n+m 1+ λ 25


ny1 + my2 y1 + λ y2 ; = n+m 1+ λ nz1 + mz2 z1 + λ z2 = z = n+m 1+ λ y =

Tetraéder (háromoldalú gúla) köbtartalma A csúcsok:

P ( x1 , y1 , z1 ) ; P ( x2 , y2 , z2 ) ; P ( x3 , y3 , z3 ) ; P ( x, y, z ) .

20. ábra. Gúla Az átalakításokat nem részletezve, a két-dimenziós gondolatmenetét követve, az alábbi kifejezéshez jutunk:

x1 1 x V= 2 6 x3 x

y1 y2 y3 y

z1 z2 z3 z

1 x − x1 1 1 = x − x2 1 6 x − x3 1

y − y1 y − y2 y − y3

z − z1 z − z2 z − z3

Ha a négy pont egy síkban fekszik, akkor a determináns értéke nulla, vagyis nincs gúla. A köbtartalom előjele változik a gúla helyzetétől függően, amelyet itt nem részletezünk, mivel témánkon kívül esik. 26

A három- dimenzió ---------------------------------------------------------------------------------------------------

5.5

A felület egyenlete

Minden F ( x, y, z ) = 0 alakú egyenlet a három-dimenziós térben egy felületet képez, amely bármely pontjának koordináta-hármasa kielégíti az egyenletet, illetve kölcsönösen az egyenletet kielégítő bármely számhármas rajta fekszik a felületen. Az F ( x, y, z ) = 0 a felület egyenlete. Speciális felületnek számít a henger, amelyről már szó volt. Ebből általánosíthatunk más forgásfelületeket a h=f(z) görbének a z tengely körüli forgatásával. A felület jellemzőinek – területe, görbülete, érintője, iránya, stb. - kiszámításával a differenciál-geometria foglalkozik.

5.6

A vonal egyenlete

Egy három-dimenziós térben az F1 ( x, y, z ) = 0 és az F2 ( x, y, z ) = 0 egyenletek által adott felületek metszete egy vonal lesz, azaz azon pontok koordinátái, amelyek mindkét egyenletet kielégítik, tehát a két felület találkozását, metszetét adják meg. Két felület metszete, pedig egy vonal, tudjuk Euklidesz óta. Tehát a három-dimenziós vonal két egyenletből áll a fenti módon. Ennek speciális esete, ha a felületek síkok – az egyik koordináta állandó -, akkor metszésvonaluk egyenes. A vonal jellemzőinek – hossza, görbülete, érintője, iránya, stb. - kiszámításával a differenciál-geometria foglalkozik.

5.7

A görbe vonalú koordináta-rendszer

Meg kell jegyeznünk, hogy lehetséges nem derékszögű és görbe vonalú koordináta-rendszer is, amelyeket valamilyen célszerűség miatt használunk. Derékszögű koordináta-rendszerben a tengelyeket leíró egyenes iránytangense nulla, vagy végtelen. Ha ezek valós értékűek, akkor nem derékszögű koordináta-rendszerről van szó.

27


Ha a koordináták olyan függvénnyel írhatók le, amelyek nem az egyenes függvényei, akkor görbevonalú koordináta-rendszert kapunk: 1 2 u f= ( x, y , z ) , v f = ( x, y, z ) , w f 3 ( x, y, z ) , ahol x, y, z a derékszögű koordináták, f 1 , f 2 , f 3 a függvények, amelyek az u , v, w görbe vonalakat írják le és evvel képezik a görbe vonalú koordinátarendszert. Az f 1 , f 2 , f 3 függvények szükségszerűen egyértékűek és folytonosak – folytonosan differenciálhatók. Megjegyezzük, ha a

∂ ( u , v, w ) = 0 differenciálegyenlet fennáll – a vonalak merőlegesek ∂ ( x, y , z )

egymásra -, akkor descartesi, párhuzamos a rendszer.

21. ábra. Görbe vonalak

6 Kiterjesztés n-dimenzióra Jelentősen megkönnyíti a dolgunkat, ha a koordináta-rendszerünk kezdőpontját és/vagy valamelyik koordinátát szabadon választhatjuk. Azt állítjuk, tehát, hogy ez lehetséges, amelyet az alábbiakban bizonyítunk: Egy tetszőleges koordináta-rendszerben két pont távolsága d 2 = ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 , ahol az egyes tényezők a távolság vetületei az adott koordinátára nézve. Ha a koordináta-rendszerünket eltoljuk 28

Kiterjesztés n-dimenzióra ---------------------------------------------------------------------------------------------------

bármelyik koordináta irányába, attól a vetület nem változik, csak arrébb tolódik. Ha a koordináta-rendszerünket elforgatjuk az origó körül, akkor az éppolyan, mintha helyette a távolságot – egyenes szakasz – forgatnánk el. Ettől az egyenes szakasz és ezáltal a távolság nem változik. További speciális esetek, amikor az egyes koordinátákat, akár többet, sőt az összeset egységnyinek tekintünk. Nézzük hogyan alakul a távolság ilyen esetekben! 1.

Egy-dimenzió: x = 1 ; d1 = 1

2. Két-dimenzió: x = 1; y = 1; d 2 =

x2 + y 2 =

2=

A d 2 távolság az egységnyi élhosszúságú négyzet átlója:

d12 + 1

2

Ha a négyzetet tetszőlegesen eltoljuk az origóból, mondjuk az ( x1 , y1 ) pontba,

akkor

d=

( x − x1 ) + ( y − y1 ) 2

2

vagy

röviden

d 2 = ∆x 2 + ∆y 2 .

22. ábra. Kocka, hiperkocka Ha az él hosszúság nem 1, hanem a, akkor d = a 2 .

29


3.

Három-dimenzió:

= x 1;= y 1;= z 1; d3 =

x2 + y 2 + z 2 =

3=

d 22 + 1

A d3 távolság az egységnyi élhosszúságú kocka testátlója:

3

Ha a kockát tetszőlegesen eltoljuk az origóból, mondjuk az ( x1 , y1 , z1 ) pontba, akkor

d3 =

( x − x1 ) + ( y − y1 ) + ( z − z1 ) 2

2

2

,

vagy

röviden

d 2 = ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 Ha az él hosszúság nem 1, hanem a, akkor d = a 3 4. További dimenziók? Ha eddig eljutottunk, akkor a spekulációnk nem hagy nyugodni és feltesszük a kérdést, folytatható ez a sor? Algebrailag kétségtelenül, semmi akadálya nincsen, így:

d4 = és

= d n2

( x − x1 ) + ( y − y1 ) + ( z − z1 ) + ( w − w1 ) 2

így

∑ ( ∆u )

2

általánosan:= dn

tovább,

n

i =1

2

2

n

∑ (u − u ) i =1

i

1

2

;

röviden

2

i

Érdekes számok adódnak ennek a rekurzív folyamatnak a során egységnyi ordinátákkal:

d1= x= 1

d= 2

x 2 + y 2=

d= 3

x 2 + y 2 + z 2=

d 4=

x 2 + y 2 + z 2 + w2 =

30

d12 + 1=

2

d 22 + 1=

3

d32 + 1=

4= 2

Speciális eset, a szférikus geometria ---------------------------------------------------------------------------------------------------

.

d n +1 =

d n2 + 1=

n +1

Tehát a rekurzió algebrailag: d n +1 =

d n2 + 1=

n + 1 és geometriailag:

egy derékszögű háromszög, melynek egyik befogója egységnyi, a másik a korábbi távolság és az átfogó a következő távolság, a Pitagorasz-tétel segítségével: d n2= d n2 + 1 . +1 Az első esetben ez egy egységnyi távolság, majd egységnyi oldalú négyzet átlója, ezt az egységnyi élű kocka testátlója követi és így tovább – általánosítva -, egy n-dimenziós kocka test átlója. Nevezzük ezt hiperkockának! Összefoglalva, teremtettünk tehát egy olyan sok-dimenziós euklideszi teret – hiszen nem tettünk kivételt egyetlen szabály alól sem – amely n>3 esetekben a földi természetben nem értelmezhető, de mégis létezik és nagyon jól használható. Pontosabban így fogalmazzuk: Az ndimenziós, ortogonális koordináta-rendszerünk koordinátái rendre x1 , x2 ,..., xi ,..., xn , amelyek mindegyike egy-egy számegyenes,

{ xi } ∈  ∀xi

a tér pedig, amelyet leír az  ×  × ... ×  , egy n-szeres

Descartes-szorzat, röviden  n . Ennek az az előnye, hogy lineáris, metrikus, homogén és korlátlan. Következéskép minden, ami ebbe a térbe beleillik szabadon vizsgálható minden olyan módon, amely a valós számokkal lehetséges. Még azt is megtehetjük, hogy – munkánk megkönnyítése érdekében egyes koordináták léptékét megváltoztassuk a valós számok körében.

7 Speciális eset, a szférikus geometria Fontos és számos különlegességgel rendelkező felületeket kapunk, polár koordináták alkalmazása esetén is. Ha a pont P (ϕ , θ , d ) polár koordinátájából a d távolságot, valamint a θ szöget rögzítjük és a φ szöget 0-2π-ig körbefuttatjuk, akkor egy kúpot kapunk, amelynek csúcsa 31


az origóban van és z a tengelye. A szögek cseréjével a kúp tengelye az x lesz. Ha csak a d távolságot rögzítjük és mindkét szög mentén körülforgatjuk, akkor origó középpontú, d sugarú gömböt kapunk. A gömbfelület különleges jelentőségű, mert rajta ellentmondásra jut az euklideszi geometria. Ennek eredménye az u.n. szférikus geometria. A gömb maga a szokásos értelmezésekben megfelel az euklideszi geometriának, 23. ábra. Gömbi adatok azonban a felületén elhelyezett alakzatokkal már bajunk van. Létezik rajta olyan idom, amilyen sem a síkon, sem az eddig tárgyalt három-dimenziós térben nincsen! Ha a gömböt két főkörével – amelyek átmennek az origón és a gömbbel azonos sugarúak - elmetsszük, akkor egy zárt felületet kapunk, és ennek két szöge van. A két szög egyenlő. Ezt nevezzük kétszögnek. Nyilvánvaló, hogy a kétszög felülete arányos a csúcsán lévő szöggel. Ha ez a szög 360°, azaz α=2π, akkor az éppen a teljes gömb, amelynek felülete:

F= 4= r 2π 2r 2 ( 2π ) gömb

és innen a kétszög felülete: F2 = 2r 2α . Kénytelenek vagyunk tehát, – 32

24. ábra. A kétszög

Speciális eset, a szférikus geometria ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Platón tanácsát követve – új geometriát alkotni. Ez lesz a gömbi, vagy szférikus geometria. Használhatósága érdekében metrikusnak kell lennie, alkalmasnak koordináta-rendszerhez. A módszerünk, hogy megfeleltetjük a gömbi felület részeit a megszokott fogalmainknak. Két pont távolságát a rajtuk áthaladó főkör rövidebb ívhosszával értelmezzük, és geodetikus vonalnak hívjuk. 1. A végtelen definíciója a gömbön: végtelen sok főkör húzható két átellenes pont közé. A távolságuk, az ívhossz véges, éppen félkörnyi. A kétszög éppen ilyen félkör ívhosszakból áll. 2. Ha két pontot összekötünk az origóval, akkor tartozik hozzájuk egy középponti szög, amely arányos a két pont közötti ívhosszal. 3. A főkörök a síkgeometria egyeseinek szerepét veszik át, avval az eltéréssel, hogy bármely két egyenes metszi egymást, tehát nincsenek párhuzamos egyenesek. Két egyenes által bezárt szög a síkjaik - a főkörök – hajlásszöge. 4. Felületi szögnek két egymást metsző ív metszéspontbeli érintőinek a hajlásszögét nevezzük. 5. A gömbi alakzatokat úgy képezzük, hogy a gömböt az origón átmenő síkokkal – főkör - metsszük, amelyek a sík egyeneseinek felel meg. Fontos alakzat a gömbháromszög, amelyben – látni fogjuk – a szögek összege>180°-nál és a területe arányos evvel a szög-többlettel. A gömbfelületi háromszögek lehetnek derékszögűek, egyenlőszárúak, egyenlő oldalúak. A gömbháromszög területét a gömbkétszög területének segítségével számítjuk ki. A három főkör összesen hat – kettesével egyenlő - kétszöget metsz ki a gömbből, ezek együttesen lefedik a teljes gömböt, de a gömb25. ábra. A háromszög háromszöget háromszorosan, ugyanígy az origóra vett a tükörképét is. 33


Ezért a hat gömbkétszög felszín kiadja a teljes gömbfelszínt és még négyszer a gömbháromszögét:

4 F3 + 4r 2π = 4r 2α + 4r 2 β + 4r 2γ Innen F = r 2 (α + β + γ − π ) . 3 Mivel a terület csak pozitív lehet, α + β + γ > π , azaz a gömbháromszög szögeinek összege>180°! A gömb felületén érdekes geometriai alakzatok keletkeznek, mint például a gömbsüveg, amikor a gömböt egy síkkal elmetsszük, amely a gömbsüveg alapköre. Ennek felülete F = 2π rm , ahol r a gömb sugara, m a süveg magassága. Egy másik érdekes felület a gömböv, amelyet két, egymással párhuzamos síkkal metszünk ki a gömbből. Ennek felülete hasonlóan a süvegéhez: F = 2π rm , ahol m ezúttal a gömböv magassága, avagy a gömböt metsző síkok távolsága. A gömb polár-koordinátái: a P (ϕ , θ , r ) , ahol r a gömb sugara, a szögek értelmezése az ábra szerinti. A derékszögű koordináták átszámítása a polárból: x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ .

 Két pont P távolsága a 1 P2 gömbfelületen (!) a rajtuk áthaladó főkör ívhossza: rλ, ahol 26. ábra. Két pont távolsága λ az a szög, amely a két pontot az origóval összekötő egyenesek zárnak be.

34

Példák ---------------------------------------------------------------------------------------------------

8

Példák

Láttuk eddigi példáinkon mennyire hasznosak és hogyan alkalmazhatók a különböző dimenziók a gyakorlatban. Az itt következő példák különlegesek, mert nagyon széleskörűek és alapvető fontosságúak életünkben és mindegyike a több dimenziós koordináta-rendszerekre épül.

8.1

A térkép

Szemléletünk hozzászokott a lineáris, mérhető, ortogonális, egyenesvonalú terekhez. Kényelmes álláspont és ráadásul alkalmas az euklideszi geometriára és minden megtehető, ami lehetséges a valós számtesten. Már régen, mégis problémákba ütköztünk. Például a pontos – lépték helyes - térképek készítésekor. Földünk nem euklideszi sík, hanem görbült felület, közelebb a gömbhöz. A közelítés legtöbbször megfelel, ha a pontossági határokon belül van. A technikáink java euklideszi geometriai alakzatokat készít és használ. Ha nagyobb távolságokat akarunk megtenni Földünkön, akkor az út megtervezésére és a helymeghatározásra már nem alkalmas a sík geometria. Ha a Föld fölé emelkedünk, vagy éppen belebújunk is hasonló a helyzet, ráadásul még gravitációs eltérések is fellépnek. Egyszóval spekulálnunk kell és – ismét Platón tanácsát követve – új, de legalább kiegészített rendszert kell alkotnunk. Ha feltesszük, hogy a Földünk közelítőleg gömb alakú, akkor használjuk a szférikus geometriát és a projektív geometria segítségével transzformáljuk ezt a számunkra jobban kezelhető síkra, mindennapos térképünkre. Közismert és asztalokon díszeleg a földgömb (a Föld kicsinyített és gömbösített mása), de mi legjobban a papírlapra „deformált” térképet szeretjük. Köznapi ember nem sokat törődik a lehetséges geometriai variációkkal, mert legtöbbször elegendő a pontossága. A különböző szakterületek azonban ennél sokkal igényesebbek. Miről is van szó? A minden irányban görbült – gömb – felületet leképezhetjük síkra, kúpra, 35


hengerre, szögtartóan, területtartóan, kisebb, nagyobb torzulásokat megengedve, stb.

27. ábra. A gömb „kiterítése”

Közismertek a Mercator, Mollweide, Érdi-Krausz, Eckert, Hammer, Baranyi un. konvencionális vetületek. Azért van erre szükségünk, mert a térképeken éppen olyan pontossággal szeretnénk méréseket végezni, miként azt a valóságban szeretnénk megtenni, de számos ok miatt nincs-, sőt nem is lehet rá módunk. A Földünk u.n. geoid alakú, ami azt is jelenti, hogy nem írható le semmilyen algebrai egyenlettel, azonban nagyon jól közelíthető gömbfelülettel és kapcsolódó hiba-, eltérés számításokkal, illetve tapasztalati, mért adatokkal. Ilyen például a lapultság a sarkok irányában, és amelyhez közelítő adatok állnak rendelkezésre. Tulajdonképpen a gömb és rajta a térkép egy modell, amelynek segítségével képesek vagyunk leírni Földünket. Ez a modellezés a következő módon történik: A modellként alkalmazott gömbön irányokat jelölünk ki, léptékeket veszünk fel a következő módon: 1. Egy gömb középpontjába helyezzük a három-dimenziós koordinátarendszerünk origóját O (ϕ ,θ , d ) , a gömb sugara d, amely a Föld sugarával arányos. 36

Példák ---------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Főirányokat jelölünk ki: a z tengely – függőleges - pozitív irányát Északnak, a negatívat Délnek. míg az y tengely – vízszintes - pozitív irányát Keletnek, a negatívat Nyugatnak nevezzük, ez felel meg a Naprendszerbeli irányoknak. 3. A Föld Nyugatról Kelet felé forog – azt mondjuk, hogy a Nap felé - és így a modell gömbünk jobbsodrású rendszer. 4. Az x, y sík a gömb felületén főkört metsz ki, ez az egyenlítő. 5. Ha a középpont O (ϕ ,θ , d ) polár koordinátáiból a d távolságot, valamint a θ szöget rögzítjük és a φ szöget 0-2π-ig körbefuttatjuk, akkor egy kúpot kapunk, amelynek csúcsa az origóban van és z a tengelye. Ez a kúp a gömbfelületen egy kört képez, amely párhuzamos az x,y tengelyek által meghatározott síkkal. Ha a θ szöget 0-2π-ig változtatjuk, akkor egy körsereget kapunk, 28. ábra. Szélességek amelyeket szélességi körnek neveztünk el, mivel átmérője a θ szöggel arányosan változik. A legnagyobb kör az egyenlítő: θ = 0 . A sarkoknál θ=

π

= 90 . Az északi sarok felé északi szélesség, 2

ellenkezőleg pedig déli szélesség a neve és a θ szög fokaival mérjük. Mivel a Föld tengelye – itt a z tengely – az ekliptikával 23,56°-ot zár be, ezért az egyenlítőtől és a sarkoktól 23,56°-ra eső szélességi körök kitüntetett szerepűek a csillagászatban: nevük felülről lefelé rendre északi sarkkör, ráktérítő, baktérítő, déli sarkkör. 6. Az x, z vagy az y, z sík által kimetszett főköröket körbe forgatjuk, akkor minden egyes esetét meridiánnak nevezzük. Nevezik még délkörnek is, mert e mentén ugyanakkor van dél. 37


7. A meridián neve még hosszúsági kör is, mert állandó hosszúságú. Kezdő helye, az x tengely iránya, önkényes és az idők során változott. A greenwichi csillagvizsgáló udvarán átfutóhoz tartozik a φ=0°, tőle kelet felé egészen φ=π-ig a keleti hosszúság, ellenkező irányban pedig φ=-π-ig a nyugati hosszúság a nevük. 8. A modern GPS rendszer technikai okokból kifolyólag nem ezt a rendszert követi eredeti USA-beli- és katonai célú létesítése miatt, de a rendszer tartalmazza a leképezést az itt leírt szabványra. A GPS-től megkaphatjuk az adatokat (fok, perc, másodperc)-ben, (fok, perc, tizedperc)-ben, vagy radiánban. 29. ábra. Hosszúságok Érdemes tehát megbecsülnünk térképészeink, geodétáink tevékenységét, mert nehéz munkát végeznek, hogy mindig pontos térkép álljon rendelkezésünkre ebben az állandón át- és újjáépítésre kerülő, magyarán változó világunkról.

8.2

A számítógép monitora

Ebben a példában bemutatunk egy öt-dimenziós alkalmazást, a számítógép színes monitorának rendszertechnikai megoldását. A számítógép monitora színes pontokból álló raszterrel van lefedve, amelyet valamilyen rendszer szerint megvilágít egy fényforrás – a technikájával itt nem foglalkozunk. Minden egyes pont megvilágítását egy alkalmas memória-készlet határozza meg, vezérli. Vizsgálatunk tárgya, ez a memória. Az alábbi adatokat ismerjük: 1. A kijelző sík felületét egy pont-mátrix fedi le. A pontok távolsága adja a felbontást, a mennyisége a méretet. A ma szokásos és elterjedt HD felbontás – fekvő, 16:9 oldalarányban – 1920x1080 képpont. 38

Példák ---------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Egy-egy színes képpontot három alapszínre bontva kapjuk meg: R-red (piros), G-green (zöld), B-blue (kék). 3. Tehát minden egyes képponthoz öt adat tartozik: P (x, y, R, G, B), amely így egy öt-dimenziós tér, legalábbis egy ilyen tér kezelését várjuk el a monitor vezérlésétől. 4 . A tárolásához akkor 1920x1080x3=6.220.800 adategység szükséges. Ekkora címzéshez legalább 24 bit kell és legalább ugyanennyi az elfogadható színmélység eléréséhez. A mai gyakorlatban a 32 bit (4byte) az elterjedt, követve a szokványos személyi számítógép felépítést. Akkor a szükséges memória mennyisége egy kép tárolásához: 1920x1080x3x4=24.883.200 ~ 24MB. 5. A tárolás módja, azaz az öt-dimenzió kialakítása programozói feladat. Ez a következőképen történik a ma szokásos folyamatos címzésű – lista memóriákban: 5.1. Felveszünk három, egyenként (4.x.y) méretű mátrixot – tömböt programozói nyelven -, amely jelen esetben 1920x1080 és egy-egy elem mérete 4 byte. A program, amely ezt leképezi, valójában egy listát alkot a 32bitnyi (4byte= double word) elemekből, először az első sornyit – 1920 – és ezt ismétli 1080-szor: vegyük észre, hogy ez a program egy három-dimenziós tömböt képez le egy-dimenziós listává. 5.2. Egy ilyen tömb tartalmaz egy színt, vagyis három ilyen tömbre van szükségünk az R, G, B mindegyike tárolásához. 5.3. A beírás, a kiolvasás algoritmusai és az egyéb követelmények nem tartoznak ide, de érezhető milyen komoly – sebességben, kapacitásban, utasításkészletben - feladatról van szó. Nekünk csak egy szám ötöst kell megadnunk egy képpont meghatározásához: P(x,y,R,G,B), vagyis azt, hogy az (x,y) pont „mennyit” tartalmazzon a piros, a zöld, és a kék színekből. Folyamatos mozgásnak látszó képhez 30 képet kell másodpercenként megjeleníteni, ennyiszer kell a memóriát kiolvasni: 30x24MB=720MB/sec. Közben az új képet is be kell töltenünk, amely legalább ugyanilyen sebességgel történik, tehát a memória sebessége legalább 1500 MB/sec, azaz ~500 psec. Ilyen gyors memóriánk nincsen, ezért 32 bites szervezésűt készítenek, így már „csak” 2ns kell egy memória négyeshez. 39


Látjuk tehát, hogy egy öt-dimenziós teret tudtunk felépíteni és gyakorlati alkalmazásba vinni.

8.3

Fizikai pont dinamikus helyzete

A klasszikus fizika tere. Egy másik érdekes példánk fizikai probléma lesz, nevezetesen a térben mozgó pont helymeghatározása. A pont helyét egy számhármas írja le – három-dimenziós tér – P ( x, y, z ) . Ha ez a pont mozog ebben a térben, akkor a helye időfüggővé válik: t0 időpontban P0 ( x0 , y0 , z0 ) , t1 időpontban pedig P1 ( x1 , y1 , z1 ) és így tovább. Azt látjuk tehát, hogy minden időpillanatban a hely koordinátáihoz ( x, y, z ) hozzáadódik egy érték, amely a mozgás, tehát az

idő

függvénye:

xi += xi + vx (ti ) 1

és

yi += yi + v y (ti ) 1

és

zi +1= zi + vz (ti ) . Ha ezt látni akarjuk, akkor azt tesszük, hogy minden időpillanatban felvételt készítünk, amelyet hozzárendelünk a P ponthoz. Tehát egy számnégyest kapunk: P ( x, y, z , t ) . Eddigi ismereteink szerint ez egy négy-dimenziós euklideszi-tér lesz, hiszen – mint eddig – a dimenziókat egy számegyenes jelképezi, amelynek értelmezési tartománya a valós számok. Kíséreljük meg a pont mozgásának értelmezését ebben a koordinátarendszerben! Az egyszerűség kedvéért – hogy ábrázolhassuk is – legyen a pont mozgási tere a sík, azaz két-dimenziós tér, így lehetőségünk nyílik az idő ábrázolására is. Szóval a pont elmozdul P1 -ből P2 -be t1 idő alatt.

Rajzoljuk ezt fel a P ( x, y, t ) három-dimenziós térbe! Hol lesznek ezek a

pontok? Mindig az {(x, y)} síkban, onnan nem lép ki! Akkor az ábrázolásunk szerint t=0, aminek következménye, hogy a pont mozgása időfüggetlen, ami természetesen nem igaz! Következéskép ez a 40

Példák ---------------------------------------------------------------------------------------------------

megoldás nem alkalmas mozgás leírására. A valóság az, hogy a pont P1 ből P2 -be egyik esetben t1 , a másik esetben t2 és így tovább, idő alatt jut el. Tehát, ha a korábban javasolt „pillanatfelvételeket” elkészítjük, akkor azt látjuk, hogy a t idő hosszától függően sűrűbben, vagy ritkábban látjuk a pontot: ha a pont gyorsabban – rövidebb idő alatt – halad, akkor ritkábban látjuk a pontot. Egy új fogalomhoz jutunk – miként Galilei is annak idején – ez a sebesség, azaz a t idő és a t idő alatt megtett s út hányadosa: v =

s . t

A megoldás tehát erre a négy-dimenziós rendszerre, azaz a dinamikus pont helyének meghatározása az alábbi, ha x2= x1 + vx (t ) és

y= y1 + v y (t ) 2

és

z2= z1 + vz (t ) , akkor

P1 P2= s= vt , mivel

v y t valamint z2 − z1 = x2 − x1 = vx t és y2 − y1 = vz t Tehát a v sebességgel mozgó pont ∆t idő múlva a P1 pontból indulva a

P2 pontban lesz, miközben ∆s utat tesz meg. Nagyobb sebességgel mozogva a ∆t rövidebb lesz és viszont. Ezt az állításunkat úgy is fogalmazhatjuk, hogy P1 pont maga érkezik a P2 pontba. Az ellentettje az, amikor a P2 megy P1 -be. Az út és az eltelő idő ugyanaz marad, csak a sebesség előjele változik, amivel a fordított, a negatív irányt jelezzük: P1 P2 helyett, most P2 P1 , ugyanaz a távolság, ellenkező irány, ellenkező előjel (a távolság és az idő nem lehet negatív, mert a megtett utat és az eltelt időt jelentik). A helyzet bonyolultabb, ha nem csak P1 , de P2 is mozog, v1 és v2

sebességekkel. Azt mondtuk, hogy P1 , v1 sebességgel megtesz v1 ( ∆t ) utat ∆t idő alatt és ekkor a P2 pontba érkezik. Most azonban a P2 pont

∆t idő alatt v2 ( ∆t ) utat tesz, vagyis ennyivel arrébb ment. Jól látható,

hogy a P1 csak akkor éri utol P2 -t, ha sebessége nagyobb: v1 > v2 . Ha 41


egyenlő lenne a sebességük, akkor a köztük lévő távolság nem változna! Következéskép, a két pont közötti ∆s távolság befutása v1 − v2 sebességkülönbséggel történik: P1 P2= s= v1t − v 2t . Tehát a mozgó rendszerekben a távolságok abszolútak, a sebességek összeadódnak. Ez a klasszikus fizika alaptétele. Ha a P1 és P2 a K1 koordináta-rendszerben lévő fix pontok és a K1

vK 1 sebességgel mozog, továbbá K 2 , vK 2 egy másik ugyanilyen koordináta-rendszer, akkor a P1 P2 távolság változatlan ugyan, de K 2 ből ez másnak látszik – hosszabbnak, vagy rövidebbnek – a két sebesség közötti különbséggel: -

K1 -ben: P1 P2= s= vt függetlenül attól, hogy a K1 milyen

sebességgel mozog, mert a pontok egymáshoz képest nem mozognak: v1 − v 2 = 0. -

K 2 -ből viszont:

P1 P2= s= v Κ1t − v K2t

a

távolságot a

két

koordinátarendszer közötti sebességkülönbség határozza meg, azaz K 2 ből az s távolság másként látszik! Azt mondjuk relatív! Ha minden mozog, vagyis, ha P1 és P2 egymáshoz képest is mozog a

K1 -ben, akkor ezek a sebességek is értelemszerűen összeadódnak, amint azt már láttuk és így K 2 -ből: Δv = v K1 + v K2 + v1 + v 2 . Az összeadás természetesen irányhelyesen történik (az egyes tényezők vektorok, tehát vektori összegzés). Ez a Galilei-transzformáció. Értelmezésünk szerint tehát a mozgás vonalon kétdimenziós, a síkon három dimenziós és a térben négy dimenziós. Vagyis, ha csak geometriai szempontból tekintjük a dolgot, akkor azt mondjuk, ez a tárgy ezen a geometriai ponton van; ha a mozgás is érdekel, akkor azt mondjuk: ekkor van ezen a helyen. Belép a rendszerünkbe a kronometria a geometria mellé. 42

Példák ---------------------------------------------------------------------------------------------------

A pont ebben a térben egy vonalat ír le, amelyet talán joggal világvonalnak nevezünk, pillanatnyi helyét, pedig világpontnak. Kijelenthetjük, hogy minden mozgónak van világvonala, köznapi nyelven szólva a pályája, amelyen halad. Már csak egy kis fantáziára van szükségünk, hogy belássuk: a teljes mozgó világ a világvonalak összessége. Nyilvánvaló, hogy ezek találkozása, a világvonalak metszéspontjai. A fizika törvényei a világvonalak metszéspontjainak elhelyezkedésében mutatkozó szabályszerűségek. Geometriailag nem tudjuk felrajzolni a négy dimenziót, de láttuk, hogy egy P pont helyvektorának egyes tényezői (x, y, z) egymáshoz képest azonosan viselkednek és ez lehetőséget ad mégis a geometriai vizsgálatra. Vizsgáljuk így csak az (x, t) teret, mert a további y és z irányok az x-hez hasonlóan viselkednek. Tehát lesz egy síkunk x és t tengelyekkel, ahol a mozgást meg tudjuk mutatni az idő függvényében is. Ha a pont egyenletesen halad, akkor ez a vonal egy ferde egyenes lesz, ha a pont áll, akkor az egyenes az időtengellyel párhuzamos, ha a pont egyenletesen gyorsul – erő hat rá –, akkor a világvonal meredekebb, ha a pont nem egyenletesen mozog – változó gyorsulás - akkor a világvonal görbe lesz. Egy speciális eset a szabadon eső tárgy, amelynek – Eötvös óta tudjuk – világvonala parabola, mégpedig ugyanaz, függetlenül az anyagától és a méretétől. A mozgó világ tehát az összes világvonal elképesztő szövevénye. Agyunk nem nyugszik, újabb spekulációval állunk elő: rajzoljuk ezt az (x, t) síkot egy vékony gumilapra. Ha összenyomom, eltorzítom, egyik részében megnyújtom, másik részében összeszorítom, egészen eltorzul a kép: egyenes vonalakból görbék lesznek, görbékből esetleg egyenesek; de valami változatlanul maradt: ha két világvonal metszette egymást az eredeti síkon, metszeni fogja egymást itt is, de a metszéspontok egymáshoz való helyzete megváltozik. Létrehoztunk egy görbe vonalú koordináta-rendszert, amelyben most már a tengelyek nem a számegyenes, hanem valamilyen függvény: azaz az x helyett f(x) lesz, t helyett g(t). Ha előírjuk, hogy ezek a függvények egyértékűek és legalább szakaszonként folytonosak legyenek, akkor – a 43


szakadási pontok kivételével – éppúgy használhatjuk, mint egyenes vonalú társukat. Mit jelent ez a fizika nyelvén? Az eddigiekben az egyes pontokat egymástól függetleneknek tekintettük és feltételeztük, hogy a dimenziókkal leírt tér „üres”, nem befolyásolja a pontjaink mozgását. Tudjuk, hogy ha a mozgó pontok tömeggel rendelkező részecskék, és még erők is hatnak rá, akkor ezek a mozgást befolyásolják, eltérítik a pontot. Ilyen például a gravitáció, a tehetetlen tömeg, a külső erő. Ha ezeket a koordináta-rendszer ilyen változtatásával fejezzük ki, attól a természeti jelenségek törvényszerűségei változatlanok maradnak. A torzítás, az összenyomás, szóval az átalakítás a tér-idő világképünk megváltoztatását jelenti: más, az eddigitől eltérő mérési rendszert, a régi mérési rendszer átalakítását igényli. De ragaszkodunk a metrikussághoz, mert éppen a pontok helyének és a pontok közötti távolságnak a meghatározása a célunk. A tömeg és erő megjelenésével megváltozott a tér-idő világ, eltorzult és ennek folytán lesznek az egyenesek görbék és viszont. A példánkban bemutattuk egy négy-dimenziós rendszer alkalmazását, amely fizikai értelemben működő, létező, holott a mozgás mindig a három-dimenziós térben marad, de jól kezelhető a változása - a mozgás jelen példánkban - egy negyedik dimenzió segítségével.

A fénysebesség beépítése. A klasszikus fizika nem foglalkozott – ismeretek hiányában nem is foglalkozhatott – a rendszer korlátaival, nevezetesen a sebességek felső határával, az un. fénysebességgel. A fénysebesség kifejezés egy elterjedt elnevezés, azonban tudnunk kell, hogy ez minden elektromágneses hullámra vonatkozik, tehát értelme sokkal általánosabb, mint a hétköznapi fény fogalmunk. Erről részletesebben számos fizika könyvből2 tájékozódhatunk, iskolások a fizika tankönyvekből. 2

[18], [23] 44

Példák ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Itt azért foglalkozunk evvel, mert elvezet bennünket a kvázi euklidesziterekhez és gondolatot ébreszt a nem-euklideszi terek, mezőelméletek megértéséhez. A

Δv = v K1 + v K2 + v1 + v 2

kifejezés

legnagyobb

értéke

a

fénysebesség, c-vel jelöljük, tehát Δv = v K1 + v K2 + v1 + v 2 ≤ c . Ha két pont távolsága ∆s =

∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 és ezt a fény ct alatt teszi

meg, akkor ∆s 2 = ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 = c 2t 2 . Tehát a négy-dimenziós térben az ívhossz-négyzet egyenlete ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 − c 2 ∆t 2 = 0 ez. Következéskép, minden esetben ennek a kifejezésnek kell érvényesnek maradnia, és nem a Galilei-féle sebesség-összegzésnek. A transzformáció – Lorentz-transzformáció a neve - ennek megfelelően jelentősen bonyolultabb lesz, amelyet az alábbiakban mutatok be. Legyen A és B két esemény, amelyet fényjel is összeköthet, akkor a közöttük lévő távolság-, vagy ívelem négyzet tehát:

∆s 2 = c 2t 2 = ( ic∆t ) . 2

1. Feltételezzük a folytonosságot, így differenciális alakba hozva: 2

2

2

2

ds 2  dx   dy   dz   dv  =   +   +   − c2 =   − c2 = v2 − c2 2 dt  dt   dt   dt   dt  konstans v sebesség esetén (v skalármennyiség). Rendezve és

ds 2 v2  2 kifejezést kapjuk. = − − c 1  2  dt 2  c  2. Ugyanakkor a fény a ∆s ívelemet ∆τ idő alatt futja be, így

−c 2 kiemeléssel a

ds 2 ( ic∆τ ) = dt 2 dt 2

2

3. A két kifejezést egyesítjük: egyszerűsítve a d= τ

1−

v2  2 2 2 ic ∆ τ = − c 1 − dt , amelyet ( )  2   c 

v2 dt kifejezéshez jutunk, amelyet saját c2 45


időnek nevezünk. Ez az idő, amelyet a mozgó objektummal együtt mozgó óra mutat.

dt dτ

= 4. Átrendezve az egyenletet

1 = γ kifejezéshez jutunk, v2 1− 2 c

amely a Lorentz transzformáció, értékét γ–val jelöljük, és így megmutattuk, hogy a rendszerünk a 2 2 2 2 2 invariáns evvel a ∆x + ∆y + ∆z − c ∆t = 0 egyenletre transzformációval. 5. Határozzuk még meg a sajátidő értékét a

∆s 2 = c 2t 2 = ( ic∆t ) egyenletből: 2

= ∆t 2

∆s 2

( ic )

2

→∆ = τ2

∆s 2

( ic )

2

→ ∆τ ≈

∆s 2 . Ez a sajátidő képlet azt ic

adja meg, hogy a fénysebességgel mozgó részecske ezt az utat futja be és a vele együtt mozgó óra ezt az időt mutatja. Szeretnénk egy olyan geometriát, teret létesíteni, amelyben ez látszik minden megfigyelő számára. Erre szolgál a Minkowski-féle négyes tér. A Minkowski négyes tér. Szerkesszük meg azt a négy-dimenziós teret, amely e feltételeknek eleget tesz. 3 Rendeljünk hozzá egy négy-dimenziós teret: {(x,y,z,t)} és nevezzük téridőnek! Ebben az egyes elemek: x= x1 + ∆x1 és y= x2 + ∆x2 és

z= x3 + ∆x3 valamint ict= x4 + ∆x4 ahol i 2 = −1 . Evvel a „trükkel” visszavezettük az egészet az eredeti, euklideszi-térre, mert behelyettesítve: ∆x12 + ∆x2 2 + ∆x32 + ∆x42 = 0 , azaz egy olyan euklideszi tér, amelynek egyik „dimenziója” képzetes szám: x4 = ict , de az elemnégyzet ∆x42 ≥ 0 pozitív és így nem fordulhat elő negatív 3

[23] 46

Példák ---------------------------------------------------------------------------------------------------

távolság. Következmény, hogy minden művelet a valós számok körében elvégezhető (számegyenesek által alkotott euklideszi-tér), beleértve minden koordináta-transzformációt, ahogy azt eddig láttuk. Azonban a t használata esetén ez nem áll fenn, mert x4 = ict és negatív értékek is lehetnek, valójában a téridő csak pszeudo-euklideszi tér. Kíséreljük meg feltárni ennek a térnek a szerkezetét. A ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 − c 2 ∆t 2 = 0 egyenlet - amint azt már láttuk a három-dimenziós esetnél - éppen egy felület egyenlete, nevezetesen egy olyan kúpfelület, amelynek a csúcsa az origóban van, tudjuk az analitikus geometria másodrendű felületek kanonikus egyenletei fejezetéből. Problémánk lényegében x4 = ict kifejezés miatt van, tehát elegendő vizsgálnunk most csak ennek az {(x, ct)} síkra eső vetületét: x 2 = c 2t 2 . Ennek az egyenletnek a gyökei x=ct és x=-ct, amelyek két 45 fokos egyenest írnak le az ábrán látható módon.

30. ábra. Minkowski sík Tehát e két alkotó mentén az s 2 =x 2 − c 2t 2 =0 . Az x tengely felé közelítve ugyanahhoz a ct értékhez nagyobb x érték tartozik, tehát itt 47


mindenütt s 2 > 0 és az x tengely mentén s 2 = x 2 . Ha a ct tengelyhez közelítünk, akkor nyilvánvalóan s 2 < 0 lesz és az origótól felfelé t > 0 , lefelé t < 0 lesz. A ct tengely mentén s 2 = −c 2t 2 . Alkottunk tehát egy különleges szabályokkal és mértékkel rendelkező négy-dimenziós teret, az u.n. Minkowski négyes-teret, amely leírja pontosan a téridőt és ezért talán nem nagyképűség világnak nevezni, hiszen teljes mértékben és pontosan, ráadásul kiszámíthatóan leírja a fizikai világunkat. Néhány tulajdonsága: - Az origóból kiinduló fénysugár kizárólag a fénykúpon mozoghat, mert x = ±ct csak itt teljesül. - Bármely, tömeggel rendelkező részecske (v0 esetén a jövőt írja le, vagyis azt, hogy az idők kezdete előtt hol volt a részecske, illetve később hol lesz megtalálható.

31. ábra. Minkowski négyestér 48

Példák ---------------------------------------------------------------------------------------------------

- A világvonalnak iránya van az idő vonatkozásában. Minden jel csak a jövő felé mutathat. A jel a múltból csak az origó felé mutathat – a megfigyelő helye. Ez megfelel a szemléletünknek is, mivel információt a múltból kaphatunk és csak a jövőbe küldhetünk. - A világvonal egyenletes mozgás esetén ferde egyenes, nyugvó elem esetén a ct tengellyel párhuzamos, míg a gyorsuló mozgást görbe képviseli, amelynek érintője – a sebesség értéke és iránya – mindig a jövő felé mutat. - Az x tengely mentén minden pont, esemény azonos idejű. Ezért az x tengely mentén, a ct tengelyre merőleges síkot a jelen hipersíkjának nevezzük. - A fénykúpon belül „időszerű”-nek nevezzük az eseményeket, ilyen az ábrán az l3 vektor. Az l2 vektort „térszerű”-nek nevezzük a hely dominanciája miatt. Az l1 vektor nyilván „fényszerű”. Ebben a példában az eddig megismert dimenziókhoz képest két újdonsággal is találkoztunk: - Felépítettünk egy olyan négy-dimenziós teret – Minkowski négyestér amely nem euklideszi, mégis úgy kezelhetjük bizonyos megszorításokkal – Lorentz-transzformáció, stb. - mintha euklideszi lenne, a számításokat a valós algebrával végezhetjük. A fizika relativitás-elméletének ez abszolút tere, mivel az origóban lévő megfigyelő ebben a térben mindent helyesen lát. - Megmutattuk egyszerű eszközökkel (gumilemez torzítása), hogyan lehetséges görbült koordináta-rendszereket is felépíteni. Ennek fontosságát ismét a fizika látja, mivel a téridő rendszeréhez a tömeg hatását is be tudjuk építeni. A fontossága ezért óriási, mert egyetlen geometriai rendszerbe lehet foglalni a fizika e három területét. Megérthetjük belőle többek között az inercia-rendszerek relativitását, a világunk fénysebesség korlátját, a tér, az idő és a tömeg értékének változását a mindenütt egyformán érvényes transzformáció szerint és megállapíthatjuk rajta a klasszikus fizika helyét, és még megérthetjük a fizika múlt-jelen-jövő értelmezését is. 49


8.4

Következtetések

Persze ebben a rendszerben is ellentmondásokra jutunk, és spekulációinkat tovább folytathatjuk. Már Platón is megfogalmazta, hogy ha egy rendszerben ellentmondáshoz jutunk, akkor egy olyan új rendszert kell alkotnunk, amelyben az ellentmondás feloldódik. Erre a gondolatra itt bőven láthattunk példákat. Például a kvantum-elmélet bizonyos kérdéseire itt nem kapunk választ, de a fekete lyuk problémakörére sem és az Univerzum eredetére sem kapunk benne magyarázatot. A legfontosabb ilyenkor annak meghatározása, hogy az eddigi tudásunknak hol van a határa, azaz meddig és hogyan használhatjuk. Csak ezután kerülhet sor új hipotézisek felállítására, amellyel az ellentmondások feloldását képzeljük el. … és a tudomány kereke forog tovább.

9 Nem euklideszi terek Eddigi spekulációinkkal olyan dimenziókat, mezőket, tereket hoztunk létre, amelyben a világunk egyszerűsített – geometriai - képét megalkothattuk és a klasszikus fizika törvényeit egységes rendszerbe lehetett foglalni. Nagyon röviden mindezeket Galileinek, Descartesnak, Newtonnak köszönhetjük. További spekulációink megteremtették a háromnál több dimenziós tereket és a nem egyenes vonalúakét is. Ezek a modern fizika matematikai alapjai és velük az Univerzumunkat vagyunk képesek leírni, és eseményeit megérteni, egyetlen – abszolút – rendszerbe foglalni. Ugyanakkor éppen ez a lehetőség számos újabb kérdést vetett fel és a tudomány haladásában nincs megállás.

9.1

A tér absztrakciója

Az igényekből kiinduló hosszú absztrakciós folyamat elvezetett a tér általános matematikai megfogalmazásához. Eszerint a tér az, amelyben az anyagi világ és jelenségei zajlanak, és amelynek a benne elhelyezkedő 50

Nem euklideszi terek ---------------------------------------------------------------------------------------------------

anyagtól független a léte és struktúrája van. Geometriai értelemben a tér mindazon elemek halmaza, amelyek eleget tesznek egy adott geometriai axióma rendszernek. Nyilvánvaló tehát, hogy az euklideszi tér az, amelyben az euklideszi geometria érvényesül. Fontos követelményünk, hogy a tér struktúrája, vagy az ott elhelyezett dogok mérhetők legyenek, ezért metrikusnak kell lenniük. A metrikus az a tér, amelynek bármely két pontja között valós, vagy komplex függvény kapcsolat létezik. Ezeket a tereket – gyakorlati és érthetőségi okokból - legtöbbször két-, vagy három-dimenziós formában mutatjuk be, de nincs akadálya azok több-dimenziós kiterjesztésére. Ettől a bonyolultsága és speciális – nem általános – alkalmazása miatt itt eltekintünk. Ugyancsak nem beszélünk a végtelen-dimenziós elvekről sem.

9.2

A valóság nem sík, csak mi egyszerűsítjük azzá!

Kézenfekvő tehát a spekulációnk és kíváncsiak is vagyunk, hogyan alakul egy tér, ha az euklideszi geometriától eltérünk. Ennek persze gyakorlati oka is lehetséges. A gömbfelület esetében már az első euklideszi axióma sem érvényesül, amely szerint két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest. Nos, a gömb két átellenes pontján végtelen sok egyenes megy át, hiszen a főkörök az egyenesek. De létezik kétszög is és a háromszög szögeinek összege több, mint két derékszög. Ráadásul párhuzamosok nem léteznek – minden főkör – ezt értelmezzük egyenesként - metszi egymást, két pontban is. Tehát ez nem euklideszi tér és a geometriája sem lehet az! Vajon van-e létezik-e más ilyen felület és azon hogyan alakulnak a geometriai viszonyok? A gömb, mint tudjuk egy minden irányban domború – konvex – felület. Képzeljük el ennek a fordítottját, a minden irányban homorú – konkáv – felületet! Ez közismerten a nyeregforma. Keletkeztetéséről később még lesz szó. A különbségeket az ábrán látjuk, mindegyik esetben két pontból egyszerre, egyenes vonalban mászik két bogár. Az általuk leírt pályák eltérést mutatnak: 51


32. ábra. A párhuzamos „problémája” 1. Az euklideszi síkon párhuzamosan haladnak, sohasem találkoznak. 2. A gömb felületén egymáshoz közelítenek és a ’sarkokon’ találkoznak. 3. A nyereg felületen egymástól fokozatosan távolodnak, és sohasem találkoznak. Megállapítottuk, hogy az Euklideszi V. posztulátum – egyeneshez külső pontból egy és csakis egy egyenes húzható, ez a párhuzamos - nélkül is lehetségesek geometriák, azaz lehetséges, hogy az egyenesek kivétel nélkül metszik egymást, vagy ellenkezőleg minden egyenes kitérő. Rajzoljunk háromszöget ezekre a felületekre és nézzük meg, hogyan alakul az oldalak és szögek viszonya. A k tényezőt, amely a felület görbültségére jellemző, azért vezetjük be, hogy az egyes kifejezések hasonló, összevethető formát öltsenek. Sík felületen: - az oldalak aránya:

a : b : c = sin α : sin β : sin γ , ahol k = 1 - a szögek összege:

α + β + γ = π = 180° , 33. ábra. =180°

52

- a háromszög területe:

= F

bc ac ab = sin α = sin β sin γ . 2 2 2


Szférikus felületen: - az oldalak aránya:

sin ka : sin kb : sin kc = sin α : sin β : sin γ 1 ahol k = r - a szögek összege:

α + β +γ >π 34. ábra. >180°


F =

1 (α + β + γ − π ) k2

Hiperbolikus felületen: - az oldalak aránya:

shka : shkb : shkc = sin α : sin β : sin γ 1 ahol k = d - a szögek összege:

α + β +γ <π 35. ábra. <180°


= F

1 ( π − (α + β + γ ) ) k2

Az ábrákon a háromszögek oldalai az u.n. geodetikus vonalak, ezek az adott geometria egyenesei, amelyek az euklideszi felületen a sík egyenesei, a szférikus felületen a főkör ívei, míg a nyereg felületen traktrix ívek. Traktrix görbe, más néven vontatási görbe akkor keletkezik, ha például egy egyenes mentén haladva, állandó d hosszúságú kötéllel vontatunk egy hajót, amely az egyenesen kívüli M pontból indul, ezt a görbét írja le. A nyereg felület pedig a traktrix z tengely mentén való körül forgatásával jön létre (lásd a 38. ábrát: Hiperbolikus, nemeuklideszi felület). 53


9.3

Itt vannak az új geometriák

Ennek megfelelően tulajdonképpen háromféle geometriát találtunk ki feltéve, ha ezek ellentmondásmentesek, tehát az euklideszi mellett a szférikus, vagy elliptikus és a hiperbolikus tereket. Ezeket az ábra szerint jelöljük:

36. ábra. új geometriák A nem euklideszi geometriák és terek különösen kedvesek számunkra, mivel Bólyai János az első kidolgozója – Lobacsevszkij mellett – és ellentmondás-mentességének bemutatója. A hiperbolikus geometriát Bólyai-Lobacsevszkij geometriának nevezzük. A hiperbolikus elnevezés oka, hogy a szögfüggvényeket hiperbolikus függvények helyettesítik, például: sin α → sh α . Láthatjuk tehát, hogy a geometria a szó szoros értelmében nem euklideszi, hiszen a Földünk felülete - a Geo - nem euklideszi sík, sokkal inkább gömbhöz hasonlít. Ha a való világnak csak egy kis (?) szegmenséről van szó, ahhoz az euklideszi világ hozzásimul általunk elfogadható pontossággal. Ezen túl lépve már bonyolultabb a világkép és az bonyolultabb geometriát igényel. Egy primitív, majdhogynem mindennapi példa: Húzzunk egy egyenest, emeljünk mindkét végpontjában egy-egy merőleges egyenest. Rögtön rávágjuk: ezek párhuzamosak, csak a végtelenben találkoznak. A valóságban nem ez a helyzet: kiinduló egyenesünk legyen ugyanis a jelen 54


példánkban egy szélességi kör egy kis darabkája, és a merőlegesek egyegy meridián kör részei a pólusokon találkoznak.

9.4

Két pont távolsága

Azt mondtuk, hogy egy tér akkor felel meg számunkra, ha abban méréseket tudunk végezni, akkor a teret metrikus térnek nevezzük. Ez akkor lehetséges, ha bármely két pontja között függvénykapcsolat létezik. A mérési technikánk a függvény megalkotása és annak kiszámítása a szükséges értékek behelyettesítésével. Az alábbiakban nézzük meg, koordináta-rendszerbe ágyazva – dimenzionálisan - hogyan alakul ezeken a felületeken két pont távolsága. Emlékeztetőül idézzük, hogy egy pont koordinátái nem csak derékszögű koordináták lehetnek: P= ( x, y, z ) P= ( r , ϕ ,θ ) P ( k , u, v ) .

37. ábra. Szférikus - nem euklideszi felület

Szférikus ívhosszak:

u = rθ és v = rϕ

Hiperbolikus ívhosszak:

u = dθ és v = dϕ 55


d ; z= d (θ − thθ ) chθ

π

 = ∆ϕ sin θ PQ

x=

´ = r ∆θ PQ

 d + d 2 − x2 z= ±  d 2 − x 2 − d ln x 

0 ≤θ ≤

2   

Két pont távolsága a felületeken:

' → ∆s 2 = r 2 ∆θ 2 + r 2 sin 2 θ∆ϕ 2 QQ a görbületi tényező: k =

1 r

∆s 2 = ∆u 2 + ∆v 2 sin 2 ku

d ´ = PQ ; PQ = d ∆θ ∆ϕ chθ 1 a görbületi tényező: k = d

∆s 2 = ∆u 2 − ∆v 2 sh 2 ku

38. ábra. Hiperbolikus - nem euklideszi felület Láthatjuk, hogy a kifejezések az euklideszi geometriájú, derékszögű, három-dimenziós koordinátarendszerbelihez, d 2 = ∆s 2 = ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 , mennyire hasonlítanak. Itt a koordinátákat a pontokat tartalmazó „egyenesek” irányszögei és a görbületi tényező határozza meg. 56

További matematikai absztrakt terek ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Számunkra a lényeg tehát az, hogy a természetben léteznek – ráadásul nem ritkán - olyan terek, ahol a „szokásos” helymeghatározás nem alkalmazható. Ilyen példának hoztuk fel a térkép-készítés esetét, illetve az utazók, hajózók helymeghatározási igényét. A térképészek az itt megmutatott módon számolják ki például két pont távolságát. A nem euklideszi geometriát igazán csak akkor értette meg és fogadta el a tudóstársadalom, amikor törvényszerűségeit szemléletes modelleken lehetett bemutatni. A geometriák lényegét – a párhuzamosok eltérő viselkedését – a CayleyKlein modell mutatja be érzékletesen. Ha a kör által bezárt síkot tekintjük a geometriánk terének, akkor azt látjuk, hogy egy egyeneshez külső pontból akárhány olyan egyenes húzható, amely azt nem metszi. Az ábrán felrajzoltuk az AB egyenest és a rajta kívül fekvő P pontot. Húzzuk meg az A-ból, illetve a B-ből a P ponton átmenő egyeneseket: AC és BD. Ezek metszik az AB egyenest az A, illetve a B pontban. A két egyenes között végtelen sok olyan egyenes húzható, amely átmegy a P ponton és ezek egyike sem metszi az AB egyenest. Evvel megmutattuk, hogy létezik olyan sík, geometriai tér, amelyben nem érvényes az V. posztulátum. 39. ábra. Cayley-Klein modell Poincaré három-dimenziós modellt is származtatott belőle, a térbeli bemutatás céljából.

10 További matematikai absztrakt terek Az ember veleszületett tulajdonsága a kíváncsiság, elmegy felfedezni a Föld minden zugát, eljut egészen a csillagos égig és nem hagyja abba, kutatja annak keletkezését és az emberi értelem mivoltát. Ugyanennek köszönhető a mi örökös spekulációnk is, legyen annak forrása valós 57


igény, vagy egy korábbi spekuláció, vagy éppen ellentmondás. A szemléletességből fakadó igény korlátlan spekulációkra ad alkalmat, vagyis azt, hogy bármilyen elvont eljárást képesek legyünk megmutatni a dimenziók világában, legyen azok számossága akár végtelen is. Így alakulhatott ki az u.n. szemléletes terek fogalma. A tér modern fogalma az a felismerés, hogy a sokaság, sokféleség által elfoglalt térnek vannak strukturális tulajdonságai. Ezek tulajdonságok vizsgálhatók a bennük lévők működésétől függetlenül. Tehát felfoghatjuk úgy is, hogy az adott tulajdonságú térbe belehelyezett dolgot – egy részecskét például – vizsgáljuk: mit „tesz” a tér hatására, hol a helye, hogyan mozog, stb. Az ismert tulajdonságú tér bizonyos hatását kizárva lehetőségünk adódik dolgok kölcsönhatásának független vizsgálatára is. Ezen az úton született, meg a mi számunkra nagyon fontos definíció, mely szerint, ha a tér minden pontjának van olyan környezete, amely felett koordináta-rendszer vezethető be, akkor az a tér euklideszi topologikus tér. A kölcsönhatás vizsgálati lehetőségének általánosítása vezetett el a Hausdorff-tér definícióhoz, amelyben bármely két különböző pontnak van diszjunkt – egymástól különböző - környezete. A mi dimenziós megfontolásaink értelmében ez azt jelenti, hogy csak az lehet két különböző pont, amelyek valamilyen környezettel szétválaszthatóak. Érzékletesen: ha egy adott koordináta-rendszerben két pont egymást takarja, akkor azok nem határozhatók meg. Szükséges lesz a rendszer megváltoztatása: eltolás, forgatás, külső megfigyelés, stb. Ez a gondolkodás vezetett a sokaság egy alkalmas definíciójához. A sokaság egy olyan Hausdorff-tér, amely lokálisan euklideszi. Az ilyen terekhez a dimenziók, a koordináta-rendszerek használhatók, tehát szemléltetni tudjuk mindazokat a dolgokat, folyamatokat, amelyek ilyen terekben léteznek. Tovább fokozva spekulációnkat egy csokorba foglalhatjuk az összes lehetséges koordináta-rendszert, amelyek egy adott sokasághoz alkalmazható, ezeket atlasznak mondjuk. Emlékezzünk, már adtunk erre gyakorlati példát: egy térkép-gyűjteményt valamilyen atlasznak mondunk. Világatlasz tartalmazza a Földünk minden részét megmutató térképeit, szöveges és egyéb leírásait. 58

További matematikai absztrakt terek ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Ha a sokaságon vektorokat és más geometriai objektumokat is értelmezünk, akkor u.n. nevezett differenciál-geometriai terekhez jutunk, amelyekkel itt – terjedelmi korlátok és matematikai igényessége miatt - nem foglalkoztunk. A legfontosabbak a Riemann-terek fizikai alkalmazásuk miatt. Ezek speciális esete az általunk is tárgyalt szférikustér. Más, különleges eset a Minkowski által javasolt tér, amelynek speciális esete a szintén általa kidolgozott és itt példaként bemutatott Minkowski-négyestér, a relativitáselmélet bázistere. Spekulációinknak koránt sincs vége, mivel a terek szemléletességét kiterjeszthetjük a függvényekre is. Így keletkeznek a függvény-terek. Az ötlet egyszerű, tekintsük a tér egyes pontjait függvényeknek. Megtehetjük, mivel azt állítottuk, hogy a tér tulajdonságai függetlenek a belehelyezett objektumoktól. tehát a tér ugyanaz marad, ha pontjaihoz vektorokat, függvényeket rendelünk, vagy éppen egy fizikai térben részecskét, tömeget, sebességet, stb. Nem maradhat ki a valószínűség-számítás sem térszemléletünkből. A valószínűség-elméletben, vagy a matematikai statisztikában a sokaság alapvető fogalom. Az ott alkalmazott számítási módszerek mind a sokaság térszemléletének logikai igazságából fakadnak és fogadhatók el. A Kolmogorov-féle axiomatikus rendszer szerint az eseményekhez tartozik egy mérték, a valószínűség P, annak az esélye, hogy az a bizonyos esemény bekövetkezik. Akkor erre felépíthetünk egy teret, amely az eseményeket Ω tartalmazza. Ezek részhalmaza azok az események, amelyekre a valószínűség egyazon szabályok ŝ szerinti. Ezt a hármast {Ω,ŝ,P} nevezzük valószínűségi mezőnek. Az eseménytér elnevezés miatt a mező szót használjuk. A számítástudomány sem maradhat ki a térszemléletből. Alapvető fontosságú térszemléleti eszközünk a számítógép monitora, nyomtatója. Legújabban a három-dimenziós „nyomtatás” napról-napra hoz újdonságokat. Mindezek mögött matematikusok és programozók serege áll, akik algoritmusokká és számítógépes programokká alakítják elméleteinket. A számítástudomány feladata olyan nyelvek kidolgozása és értelmezése, amelyek segítségével a terek adatait eredeti – felmért, lefotózott, filmezett – formájában tudjuk megadni és azokat az így megírt 59


programok kívánságunk szerinti formában legyenek képesek megmutatni. A térinformatika ezek egy különleges világa. Képesek vagyunk ezekkel az informatikai eljárásokkal, programokkal olyan átalakításokat végezni, amelyeket a való világban képtelenek lennénk elvégezni. A virtuális valóság módszerek a valódi világot imitáló tereket hoz létre, sőt lehetőségünk nyílik a valóságban nem létező terek létesítésére és mindezek együttes alkalmazására is.

11 Összefoglalás És a dolgok folynak tovább, spekulációinknak nincs és valószínűleg sohasem lesz vége, amíg csak ember létezik a maga szüntelen kíváncsiságával. Megnyugtató lehet ez a jövő generációi számára, akiknek ezt az írást ajánlom – marad még nekik munka, feladat, érdekesség, felfedeznivaló. A térinformatika, a virtuális valóság és ezek alkalmazása a végtelen lehetőségek tárháza a fiatalság számára. Naprólnapra tanúi lehetünk újabb és újabb találmányok, alkalmazások születésének. A mi Tudományos Önképző Köreink is azt a célt szolgálják, hogy résztvevői kellő ismereteket szerezzenek a bekapcsolódáshoz. Kívánok ehhez mindannyiuknak örömet, élvezetet és eredményeket! ~~~~~

60

Függelék ---------------------------------------------------------------------------------------------------

12 Függelék Lánczos Kornél előadásai alapján: Department of Physical Sciences and Applied Mathematics, North-Carolina State University, Raleigh, 1968. 12.1 A koordináta-rendszer posztulátuma és a metrikus geometria. A Descartes-féle koordináta-rendszer alkalmas a teljes euklideszi geometriához és minden pontja metrikus: bármely két pontjának távolsága algebrai úton meghatározható. Más szóval a Descartes féle koordináta-rendszer és annak minden helyes konverziója metrikus tér és van olyan része, amelyben maradéktalanul teljesül az euklideszi geometria. Gauss megmutatta, hogy egyetlen posztulátumra fel lehet építeni a teljes geometriát. Ez két pont - A,B - távolsága: s 2 = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) . Gauss megmutatta, hogy az euklideszi geometria minden posztulátuma ebből levezethető. Mi itt csak a koordináta rendszer erre alapuló felépítését és érvényességét vizsgáljuk: Tengelyek: egyenesek, amelyek egymást az origóban metszik és merőlegesek egymásra. Például a számegyenes, a racionális számok halmaza. A két, egymásra merőleges tengely egy síkot alkot, amelynek kitüntetett pontja az origó – O – és a tengelyeket rendre szokás xtengelynek, abszcisszának és y-tengelynek, ordinátának nevezni. Koordináták: egy pont tengelyektől mért távolságai, geometriai értelemben a P pont merőleges vetítése a tengelyekre. A távolság ennek a szakasznak a hossza. A pontot, tehát egy számpárral helyettesítjük: 2

2

P ( x, y ) = x PP = '' OP = '; y PP =' OP '' A pont és a számpár viszonya kölcsönös: adott P ponthoz meghatározhatjuk x-et és y-t, és viszont, adott x és y számpárhoz megkereshetjük a P pontot. Következmény 1: a P pontot tartalmazó minden geometriai szerkesztést algebrai művelettel helyettesíthetünk. 61


Következmény 2: minden (x,y) számpárhoz tartozó algebrai műveletet geometriai szerkesztéssel helyettesíthetünk. Szög: az O és P pontokon átmenő egyenes iránya, melyet szokás szerint az xtengelyhez képest mérünk Geometriailag az O közös ponton átmenő két egyenes hajlás szöge, az általuk bezárt szög. Algebrailag a P pont koordinátáinak az aránya: y y tgα = → α = arctg ; ezt 40. ábra. Értelmezés x x iránytangensnek is nevezzük, mivel a POP’ háromszög derékszögű (az Onál lévő szögről van szó). Egyenes: tetszőleges P – e egyenesen fekvő – pont választása esetén y = tg= α m , állandó; alkalmas átalakítással y = mx , az egyenes x egyenlete, tehát az egyenlet minden megoldása – (x,y) számpárok – rajta van az egyenesen. Ha az egyenes nem megy át az O ponton, akkor az egyenlet módosul: = y mx + y0 ; az y0 , ahol az egyenes az y-tengelyt metszi, vagy az egyenlet megoldása x=0 esetén. Megmutatjuk, hogy az algebrai kifejezés Ax + By + C = 0 – a két ismeretlenes lineáris egyenlet – minden lehetséges megoldása egy egyenesen fekszik, illetve annak minden pontját leírja. Az = y mx + y0 egyenes 41. ábra. Egyenes tehát, két nevezetes pontján – (0, y0 ) , illetve a ( x0 ,0) fekszik, amelyek az egyenes és a tengelyek metszéspontjai. Így 62

Függelék ---------------------------------------------------------------------------------------------------

m = tg

y0 x0

és

az

egyenlet = y

y0 x + y0 . x0

Közös

nevezőre

y0 x + y0 x0 , majd alkalmasan rendezve és nullára redukálva x0 Innen az azonosság alapján: y0 x − x0 y + x0 y0 = 0. A= y0 ; B = − x0 ; C = x0 y0 . A negatív előjel magyarázata az ábrán is jól látszik: ha y0 > 0 , akkor x0 < 0 és viszont. Tehát megmutattuk, hogy az Ax + By + C = 0 kifejezés az egyenes koordinátageometriai alakja. Az egyenes pontjai az egyenlet megoldásai és csak azok. Kör: a kör definíciója azonnal adja a kör egyenletét, ugyanis azon pontok mértani helye, amelyek egy adott ponttól azonos távolságban vannak. Így a távolság posztulátum használatával:

hozva y =

r 2 = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) , ahol r a kör sugara és az ( x0 , y0 ) a kör középpontja. Ív: a körív alapján adható meg. A teljes kör 2π szögű, amelyhez a kör kerülete: 2rπ, akkor arányosan egy  AB 2

42. ábra. Kör

2

ívéhez ϕ AB szög tartozik és

 AB . AZ ív hossza pedig  AB = ϕ r . r Tehát megmutattuk, hogy az euklideszi geometria alapvető építő elemei kifejezhetőek a descartesi koordináta-rendszerben. Infinitezimális távolság: a tér fogalmának általánosítása következtében megelégszünk avval, hogy egy pontnak csak közvetlen környezetét vizsgáljuk, azaz a távolságot az ( x, y ) pont és a vele szomszédos ( x + ∆x, y + ∆y ) pont között értelmezzük és a ∆ tetszőlegesen kicsi lehet, infinitezimális mennyiség. Akkor a köztük lévő távolság az

így ϕ =

63

Dr. Gyarmati Péter: Dimenziók -------------------------------------------------------------------------------------------------------2 egyetlen posztulátumunkat alkalmazva: ds = dx 2 + dy 2 , mert dy . x + dx − x = dx és y + dy − y = Ha a függvényünk akkor a y = f ( x) alakú, dy derivált f '( x) = → dy = f '( x)dx → dy 2 = f '2 ( x)dx 2 és innen dx 2 ds = dx 2 + f '2 ( x)dx 2 . A távolság a két pont közötti integrálással B

adódik:= s

∫

1 + f '2 ( x)dx , ha s minimális. A minimális érték keresést –

A

variációszámítás - nem részletezve a megoldásra az egyenes egyenletét Ax + By + C = 0 - kapjuk. Ez tehát megfelel a geometriai szemléletnek – két pont között a legkisebb távolság a két pontot összekötő egyenes szakasz. Megállapítottuk, hogy a posztulátum infinitezimálisan is érvényes. Két egyenes metszéspontja: Külön érdekes feladat két egyenes metszéspontjának meghatározása. Legyen a két egyenes: e1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 és e2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 A P metszéspont nyilvánvalóan a két egyenlet közös megoldása, az az (x,y) érték, amely mindkét egyenletet kielégíti. A levezetést mellőzve a bc −b c a c −ac megoldás: x = 1 2 2 1 és y = 2 1 1 2 adódik. a1b2 − a2b1 a1b2 − a2b1 Két egyenes tehát mindig metszi egymást, ha a determináns nem nulla: a1 b1 a b ≠ 0 . Ha mégis 0, vagyis a1b2 − a2b1 = 0 , akkor innen 1 = 1 . a2 b2 a2 b2 b a Mivel m1 = 1 és m2 = 1 - az egyenesek iránytangensei azonosak, b2 a2 akkor a két egyenes párhuzamos, vagyis nincsen közös pontjuk. 12.2 Görbe vonalú koordináták. Szép eredményekhez jutottunk és akkor nincs megállás, fantáziánk tovább lendít és feltesszük, hogy az egyenesek helyébe tetszőleges görbét is tehetünk, valahogy így: x=f(t) és y=g(t). ahol az f(t) és a g(t) a t 64

Függelék ---------------------------------------------------------------------------------------------------

változónak folytonos függvénye, ha infinitezimálisan is érvényesnek tekintjük, akkor differenciálhatónak is kell lenniük. Geometriailag már számos görbét megvizsgáltak – amelyek minden esetben egyediek. Itt azonban az algebrai módszer révén általános megoldásra juthatunk, hiszen nem tettünk rá semmilyen alaki, formai feltételt, csupán a differenciálható folytonosságot írtuk elő. Tehát ilymódon meg tudjuk állapítani egy görbe „irányát” és bevezethetjük a „görbület” fogalmát. A görbe bármely pontjához rajzolt érintő egyenes - ds 2 = dx 2 + dy 2 → 0 - normálisát nevezzük a görbe irányának az adott pontban. Az irány pontról-pontra változhat, ez a változás a görbület fogalma. Ha a görbéhez három pontján át kört húzunk és meghatározzuk annak határhelyzetét – a legjobban simuló kör – akkor annak a középpontjától való távolsága arányos lesz az adott pont menti görbülettel. Ha ezeket a középpontokat az összes ponthoz meghatározzuk, egy újabb görbét kapunk, amelynek egyenlete: ξ = ϕ (t ) , η = θ (t ) , és amelyet az eredeti görbe evolutájának nevezünk. 12.3 Gauss koordináták. A derékszögű- ( x, y ) - és a polár - (r ,ϕ ) - koordináták segítségével egyaránt átalakíthatók geometriai problémák algebraivá. A 4. fejezetben már megmutattuk a koordinátavonalakat, amelyek a síkot kis négyszögekre bontják. A két rendszer között az alábbi összefüggés van: = x r= cos ϕ ; y r sin ϕ . Ha ezeket most teljesen általánosan szemléljük – volt Gauss javaslata – akkor bevezethetjük az alábbi – általános alakú – relációkat: = x x= (u , v) ; y y (u , v) , amelyhez csak azt a feltételt szabjuk, hogy ezek a függvények a vizsgálatunk környezetében legyenek folytonosak és differenciálhatók, valamint a függvénydeterminánsuk ne legyen nulla, δx δx hasonlóan az előzőekhez: δ u δ v ≠ 0 . δy δy δu δv 65


Meg kell jegyeznünk, hogy ez a feltétel az r=0 pontban – az origó – nem teljesül. Az így bevezetett (u,v) számpárok a felület pontjait egyértelműen meghatározzák, ezeket nevezzük Gauss-koordinátáknak. Az (u,v) szerint húzott koordinátavonalak a síkot állandóan változó alakú – a relációk szerint - görbevonalú négyszögekre osztják fel. Feladatunk még, hogy megmutassuk a posztulátum érvényességét Gauss-koordináták esetén is. δx δx A fenti determináns értelmében: = dx du + dv ; és δu δv δy δy = dy du + dv δu δv Ennek alapján a távolságnégyzet, a posztulátum így 2 alakul: ds = dx 2 + dy 2 , behelyettesítve:  δ x  2  δ y  2  2  δ x  2  δ y  2  2 δx δx δ y δ y  =   +  +   du +   +    dv + 2   dudv  δu δv δu δv   δ u   δ u    δ v   δ v  

Polárkoordináták esetében, megfelelő helyettesítéssel a 2 2 2 2 = dr + r dϕ kifejezés adódik és ebből az ívelem, azaz a ds legrövidebb út két pont - A,B - között: ( a cos ϕ ) r + ( b sin ϕ ) r + c = 0. Amely összhangban van a posztulátummal. Megállapítottuk tehát, hogy a descartes- és a gauss koordináták – egyenesvonalú, görbevonalú, ortogonális és nem ortogonális – esetében egyaránt érvényes a távolság posztulátum és az leírja a teljes geometriát. Akkor az eddig tárgyalt síkbeli – két dimenziós – teret kibővíthetjük, amennyiben az így keletkező térben a posztulátum változatlan. Mai modern, térről alkotott felfogásunk szerint ezeket a tereket metrikus térnek nevezzük – függetlenül a dimenziószámától. Sőt – egyes esetekben – még további kivételt is teszünk: megelégszünk avval, ha ez a feltétel csak a tér valamely adott pontja közvetlen közelében érvényesül. Megfordítva, ha egy tér bármely pontjának van olyan környezete, amely felett koordináta-rendszer értelmezhető, akkor a tér euklideszi topologikus-tér. 66

Függelék ---------------------------------------------------------------------------------------------------

12.4 Gauss nem-euklideszi felfogása. Érdekes megoldásra jutott Gauss, amikor feladata szerint méréseket kellett végeznie egy dombos területen. A felületet két, tetszőlegesen választott, egymást kölcsönösen metsző görbesereggel látta el, mint koordinátavonalak. Ezek a már meghatározott (u,v) számpárok. A felület P pontja a koordinátavonalak metszéspontja. Ha most ezt egy háromdimenziós derékszögű koordináta-rendszerbe helyezzük, akkor az így fejezhető= ki: x x(= u , v) ; y y= (u , v); z z (u , v) . Az ívelem pedig: ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 .

Fejezzük

ki

az

előbbit

az

utóbbival: = dx

δx δx du + dv ; δu δv

δy δy δz δz du + dv ;= dz du + dv . Helyettesítsük vissza az δu δv δu δv ívelem kifejezésébe: ds 2 = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 , kapjuk, ahol 2 2 2 δxδx δyδy δz δz δx  δ y  δz  ; + E =  + + +    ;F = δu δv δu δv δu δv  δu   δu   δu 

= dy

δx δ y  δz  G =  +  +  .  δv   δv  δv  2

2

2

Érdekes módon azt kaptuk, hogy a felületen és a térben mért távolság megegyezik, megegyezhet. Pedig az egymástól véges távolságra eső két pont – A,B - a felületen egy görbe, míg a térben egy egyenes szakasz. Viszont igaz, infinitezimálisan, azaz, ha az egyik pont tetszőlegesen közelíti a másikat. Ez a ds 2 egy határérték, amely közös mennyisége a térnek és a felületnek. Egy más geometriát kaptunk, a felület belső geometriáját, ahol ezek a legrövidebb vonalak egyenesek. És ez mindaddig érvényes, amíg a felületen maradunk! Gauss megmutatta, hogy egy görbült felület belső geometriája ellentmondástól mentes és mégsem kell kielégítenie az euklideszi posztulátumokat. Ha ez a felület egy ellipszoidé például, akkor könnyen beláthatjuk, hogy egy rajta fekvő háromszög nem mozdítható el úgy, hogy az eredetivel egybevágó maradjon: az oldalait, vagy a 67


szögeit meg kell változtatni. Következmény, hogy a tér pontról-pontra változik. 12.5 A görbület közelebbről, avagy a Theorema egregium. 1827-ben Gauss megjelentette a Disquisitiones generales circa superficies curves, magyarul a Görbült felületekre vonatkozó általános vizsgálatok című írását, amelyet a kiemelkedő tétel jelzővel illetett. Az írásban a görbületet a következőképen definiálta: Legyen adott egy felület, amelynek valamely P pontjának érintősíkjára merőleges normálisát megszerkesztjük. Ha most egy síkot fektetünk a normálisra, akkor az a felületből kimetsz egy síkgörbét. Ennek a P pontbeli görbületi sugarát egyértelműen meghatározhatjuk. Ha most ezt a síkot körbeforgatjuk a normális, mint tengely mentén, akkor nyilvánvalóan minden helyzetében kimetszett síkgörbe más és más görbületi sugarú lesz. Azonban a forgó sík két szélsőséges – egymásra merőleges – helyzetében a görbület maximális, illetve minimális értékű lesz. Jelölje ezeket R1 és R2 . A sugarak reciprokát nevezzük el görbületnek és a szélső értékeit 1 1 főgörbületnek: k1 = és k2 = . Természetesen ez nem lehet a R2 R1 felület belső tulajdonsága, hiszen a normális a felületen kívül van. Tehát a görbület csak a felületet tartalmazó térből érhető el. 1 Tekintsük most a két főgörbület szorzatát:= . k k= 1k 2 R1 R2 Gauss arra a meglepő eredményre jutott, hogy a k értéke megkapható az E, F, G értékekből – a megoldást nem részletezzük. Akkor viszont ez mégis belső tulajdonsága a felületnek, függetlenül attól, hogy a meghatározását külsőleg írtuk le. Mivel k objektív szerkesztéssel készült, nem függ az (u,v) koordinátáktól, ezért még invariáns is, állandó bármely Gauss-koordináta-rendszerben. Vizsgáljuk meg a k értékének alakulását. Általában a k értéke folyamatosan változik a felület szerint, de vizsgáljuk meg speciális esetekben: 68

Függelék ---------------------------------------------------------------------------------------------------

- ha k értéke nulla, akkor ott a felület síkká válik, euklideszi lesz; - ha k állandó értékű, akkor a felület egyenletes és így, rajta az alakzatok szabadon eltolhatóak belső összefüggéseik változása nélkül. Az állandó érték lehet pozitív, vagy negatív: - ha a görbületi sugarak az érintősík ugyanazon oldalán vannak – pozitív k -, akkor a felület konvex; - ha a különböző oldalon vannak – negatív k -, akkor a felület nyereg alakú – minden irányban távolodik a P ponttól. A számításokat a 7. és 9. fejezetben már bemutattuk és itt csak összefoglaljuk. Tehát „egyenletes” felületről beszélünk, azaz a görbület állandó, ha még az egyszerűség kedvéért a görbületi sugarat egységnyinek vesszük, akkor az alábbi kifejezésekhez jutunk. Ha 2 k=1, akkor szférikus a geometria; ds = du 2 + dv 2 sin 2 u 2 k=0, akkor a geometria euklideszi; ds = du 2 + dv 2u 2 2 k=-1, akkor hiperbolikus a geometria; ds = du 2 + dv 2 sh 2u Vegyük észre, a távolságnégyzetek „egyszerű” eltéréseit és mégis egészen más világot megnyitó voltát. Ha az euklideszinek az – u 2 szorzó tényezője szférikus - sin -, akkor szférikus a geometria, ha hiperbolikus – sh -, akkor hiperbolikus geometriát mondunk. Ez a matematika szépsége! Gauss tehát ebben az írásában eljutott a nem-euklideszi geometriák definíciójához, bizonyítékot szerezve létezésükről, egyértelműségükről és ellentmondásmentességükről. Hogy mennyire terjedtek ki vizsgálatai ezen a területen az kevéssé ismert, de tudunk még egy eredményéről, amely a háromszögek szögösszeg eltéréseihez vezet. Ez a háromszög területének meghatározásából indul ki, vagyis az összefüggés a felület nagysága és a görbület között. A következő összefüggésre jutott:

α + β +γ −π = ∫ kdδ , ahol a dδ a felületelem és az integrálás adja a

teljes háromszöget. A különböző k értékek esetén ezekhez jutott: k=1 α + β + γ − π =∆ k=0 α + β + γ = π

69


k=-1 π − (α + β + γ ) = ∆ Vagyis a háromszög területe arányos a szögek összegével és az úgy alakul, hogy szférikus esetben >180°, míg hiperbolikus esetben <180° és az euklideszi esetre visszakaptuk az egyenlőséget =180°. További eredmény, hogy ez a területszámítás – infinitezimális értelemben - még általános esetben is alkalmazható, amikor a k pontról pontra változik. Gauss munkája ugyan nem a non-euklideszi geometria kidolgozását jelenti, azonban ezek az eredményei kétségtelenül megérdemlik a kiemelkedő tétel elnevezést és odaillik a neve Bólyai és Lobacsevszkij mellé. Ez számomra külön jelentőségű, mivel nem vagyok híve a sztárcsináló versenyzésnek, sokkal inkább az eredményes munka elismerésének, legyen az bárki és legyenek azok akárhányan. Ez a megállapítás kiemelkedően fontossá válik manapság, amikor a tudomány területén is előtérbe kerül a csoportmunka. Ne feledkezzünk meg az összes résztvevőről és ne csak a vezetőknek jusson dicsőség, elismerés. Tudom sokszor nem könnyű, mégis, csak ez a méltó. OoooO

70

Fogalomtár ---------------------------------------------------------------------------------------------------

13 Fogalomtár TÖK Eredetileg Természettudományos Önképző Kör, amely a STEM elvei alapján a mérnöki és matematikai területtel kiegészült, a neve Tudományos Önképző Körre rövidült. A program Csörgő Tamás kezdeményezésére és az USA nagykövetségének támogatásával jött létre, elsőként a gyöngyösi Berze Gimnáziumban. Lényegében szakkörök tudós támogatóval, hogy a résztvevők megismerkedhessenek a tudományos élet területeivel és prominens képviselőivel. STEM A Science, Technics, Engineering, Mathematics szóösszetételből. Oktatási és tehetséggondozási rendszer, az USA-ban került kidolgozásra, amely szerint ezek a területek különböző képességeket, érdeklődést igényelnek. Fontos ezen eltérő jegyek felismerése és az oktatás, tehetséggondozás ennek megfelelő diverzifikálása. A szerző éveket töltött elterjesztésében Európában is. A továbbiakban csak a dimenziók, koordináta-rendszerek szempontjából lényeges fogalmakat és azoknak is csak az eszerinti fontos részét tárgyaljuk. Bázis vektorok Ortogonális koordináta-rendszerben a koordináták pozitív irányába mutató vektorok lineárisan függetlenek. Ezek egységnyi hosszúságú vektorait bázisvektoroknak nevezzük és e-vel jelöljük. Tehát e = 1 és ei e k= 0 ∀i, k . 71


Bijekció Az A és B halmaz közötti megfeleltetés bijektív f bij : A → B , ha A minden eleméhez egy és csakis egy B-beli elem tartozik, másként a két halmaz elemei kölcsönösen megfelelnek egymásnak:

∀a ∈ A ∃b ∈ B f ( a ) =b és ∀b ∈ B ∃a ∈ A f ( b ) =a .

43. ábra. Bijekció Descartes szorzat Az A és a B halmazok AxB-vel jelölt Descartes-szorzatán az olyan rendezett ( a, b ) elempároknak a halmazát értjük, ahol a ∈ A és

= AxB b ∈ B . Pontosan

{( a, b )

}

a ∈ A ∧ b ∈ B ( ∀a )( ∀b ) , továbbá

ha A elemszáma i és B elemszáma j, akkor AxB elemszáma ij. A Descartes-szorzat disztributív Ax ( B ∪ C= ) ( AxB ) ∪ ( BxC ) , de nem kommutatív AxB ≠ BxA ,

nem

asszociatív ( AxB ) xC ≠ Ax ( BxC ) (a

bijekció kivétel). A Descartes-szorzat értelmezhető tetszőleges n természetes számra az A1 , A2 ,..., An halmazok A1 xA2 x...xAn Descartesszorzata az összes lehetséges

( a1 , a2 ...an )

rendezett elem halmaza,

ahol ai ∈ Ai ; ∀i =1, 2,...n . Mivel a rendezettséget a természetes számok hozzárendelésével értelmezzük, ezért a Descartes-szorzat kiterjeszthető a megszámlálhatóan végtelen halmazok esetére is. 72

Fogalomtár ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Diadikus szorzat Két vektor a, b

diadikus szorzatán, vagy lineáris kombinációján az

alábbi műveletet értjük:

a, b

 a1    a2  = ( b b  bn )   1 2    an 

 a1b1   a2b1     anb1

a1b2  a1bn   a2b2  a2bn       anb2  anbn 

Dimenzió Egy sokaság dimenziója a p pontjában n, ha az annak megfelelő koordináta-rendszer n-dimenziós, vagyis a p pont elegendően kis környezete a szám n-esek aritmetikai terével homeomorf – hasonló alakú. Intuitív módon a dimenzió a kiterjedtség-, a „szabadság fokok” száma. A lineáris térben a lineárisan független vektorok száma. Az a1 , a 2 ,..., an n

vektorok lineárisan függetlenek, ha a

∑λ a i =1

i i

= 0 egyenlőség csak akkor

teljesül, ha λ1= λ2= ...= 0 . Tehát egyetlen a i vektor sem fejezhető ki a többiek lineáris kombinációjaként. Egyenes Az egyenes az egy-dimenziós euklideszi tér. Általában térelem, amely koordináta-rendszerekben az egyik pontjába mutató vektorral és az irányával határozható meg. Gyakran úgy értelmezzük, mint két sík metszésvonala. Különböző geometriákban a geodetikus vonalakat szoktuk egyenesnek tekinteni, mert két pont között ezek mentén a legrövidebb a távolság, ívhossz. Az egyenes síkbeli egyenlete:

y az iránytangens, vagy meredekség és b ahol x az y tengelyt metszi. Két, m1 , m2 meredekségű egyenes közötti szög:

= y mx + b , ahol m = tg

73


m1 − m2 . Két egyenes párhuzamos, ha m1 = m2 . Két egyenes 1 + m1m2 1 . Általános alakja: merőleges, ha m1 = − m2 tgω =

Ax + By + C = yx 0 ; B = −= xy 0 A= =

0;

C= y x 0= x y 0 . Ez az egyenes =

általános algebrai alakja, amely tulajdonképpen a lineáris két ismeretlenes egyenlet-rendszer. Az egy pontból kiinduló egyenest félegyenesnek nevezzük. Két pont közötti egyenes neve szakasz, vagy intervallum. Zárt az intervallum, ha a végpontját is tartalmazza, nyitott, ha a végpont nem része a szakasznak. Értelmezzük a balról, jobbról zárt/nyitott intervallumot aszerint, hogy melyik oldali végpontról és annak hovatartozásáról van szó. A számegyenes pozitív irányát szokás jobbnak nevezni. Ekvivalencia Az ekvivalencia logikai fogalom. Ha abból, hogy A igaz következik, hogy B igaz és fordítva is, akkor a két állítás A és B ekvivalens. Tehát, ha mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis. Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha egyenlő számosságúak, vagyis az elemeik között kölcsönös, egyértelmű leképezés létesíthető. Ez a leképezés egy művelet, bijekció a neve. Ekvivalencia reláció Ha egy reláció reflexív a ≡ a , szimmetrikus a ≡ b → b ≡ a és tranzitív a ≡ b ∧ b ≡ c → a ≡ c , akkor ekvivalencia relációnak nevezzük. Egy halmazon az ekvivalencia relációt alkalmazva az így kapott elemek részhalmaza egy osztályt képez és a műveletet a halmaz egy osztályozásának hívjuk. Megfordítva minden osztályozás meghatároz egy ekvivalencia relációt és elemek csak akkor vannak ekvivalencia relációban, ha ugyanannak az osztálynak az elemei:

{

}

 a ,  = a ∈ A a ≡ a , Az elemek ilyen viszonyát a ≡ b -vel, a relációt magát Θ -val jelöljük. Az A halmazon értelmezett Θ -nak megfelelő 74

Fogalomtár ---------------------------------------------------------------------------------------------------

osztályozáskor keletkező osztályok halmazát A / Θ -val jelöljük, és kvóciens halmaznak hívjuk. Például a természetes számokon értelmezett oszthatóság a természetes számokat ekvivalencia halmazokba osztályozza és ezek halmaza a kvóciens halmaz. Az ugyanavval oszthatók képeznek egy ekvivalencia osztályt. Ellipszis A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek két adott ponttól – a fókuszoktól F1 , F2 - való távolságának - r1 + r2 = 2a - összege állandó. További részletek az ábráról olvashatók le. Derékszögű koordináta-

( x − x0 ) rendszerben az ellipszis egyenlete:

2

( y − y0 ) +

2

= 1, a2 b2 ahol 2a és 2b a tengelyek hossza, ( x0 , y0 ) a középpont helye. A

fókuszpontok

g=

c = a

1−

távolsága:

F1 F 2 = 2c

Görbületi

tényezője:

b2 2 , mivel a= b2 + c2 . 2 a

44. ábra. Ellipszis Kerülete elemi úton nem számítható ki, elliptikus integrál. Az ellipszis a kör affin – ha a két fókuszpont egybe esik. - képe. Ezért területe: abπ. 75


Ellipszoid Az ellipszis valamelyik tengelye menti forgatásával a három-dimenziós ellipszoidhoz jutunk, amely a gömb affin transzformációja, ha a fókuszpontok egy pontba esnek. Másodrendű felület. Euklideszi tér (unitér, Hermite-féle tér) Az euklideszi tér olyan normált, lineáris tér, amelyben értelmezve van a vektorok skaláris szorzata. Gömb A kör - egy átmérője menti, mint tengely - forgatásával keletkezik a gömb. Részletesen tárgyaljuk a szférikus geometria észben. Hiperbola A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek két adott ponttól – a fókuszoktól, F1 , F2 - való távolságának - r1 − r2 = 2a - különbsége állandó. További részletek az ábráról olvashatók le.

45 ábra. Hiperbola Derékszögű koordináta-rendszerben a hiperbola egyenlete: 76

Fogalomtár ---------------------------------------------------------------------------------------------------

( x − x0 ) a2

2

( y − y0 ) − b2

középpontja

az

c = a

b2 , a2

g=

1+

egyenlete: y + y0 =

2

= 1 , ha a valós tengelye x irányú és a

( x0 , y0 )

pontban

van.

Görbületi

2 c= a 2 + b2 ,

mert

az

tényezője: aszimptóták

b ( x + x0 ) . a

Tengely menti forgatásával hiperboloid keletkezik – másodrendű felület. Hiperbolikus függvények A trigonometrikus függvények mintájára bevezethetjük a hiperbolikus függvényeket is. Ezek is területtartók. Az egységsugarú kört egyenlőszárú hiperbolával - x 2 + y 2 = 1 - helyettesítjük, ahol a=1. Akkor a

szögfüggvényeket

így

értelmezzük:

CB = s hϕ ,

OB = c hϕ ,

AD = thϕ . Megmutatjuk, hogy az ábrán megjelölt hiperbolacikket, amely hasonló a körcikkel, ezek a távolságok éppúgy megadják, mint a trigonometrikus esetben.

46. ábra. Hiperbolikus függvények 77


A cikk területét integrálszámítással lehet meghatározni, amely meghaladja ezen anyag terjedelmét, ezért csak fogadjuk el, hogy az alábbi:

1 1 + AD   T= + 1 ln  OB + OB 2= +1 ln ( BC ) + BC 2= ln hcikk . 2 1 − AD   Ebből

kifejezve

kapjuk

meg

a

hiperbolikus

függvényeket:

1 x −x (e − e ) , 2 1 x −x OB = ch = ϕ (e + e ) , 2

CB sh ϕ = =

= th= AD ϕ

e x − e− x sh ϕ . Még az is következik, hogy th ϕ = . −x x e +e ch ϕ

Homeomorfizmus Két alakzat homeomorf, hasonló alakú, ha meghatározott átalakítással, egymással fedésbe hozhatók. Két alakzat homeomorfizmusát úgy szemléltetjük, hogy az egyik alakzatot rugalmas, nyújtható anyagon képzeljük el és azt mozgatással – nyújtással, nyomással, hajlítással, u.n folytonos deformációval, de szakítás nélkül – a másik alakzattal azonosra formáljuk. Ha ez elvégezhető, akkor az alakzatok homeomorfak. Vannak kivételek – a csomó például. Injekció Relációs művelet, az A és B halmazok közötti megfeleltetés. Ez akkor injektív f inj : A → B , ha A

47. ábra. Injekció 78

minden eleméhez tartozik elem a B-ben úgy, hogy Bben lehetséges olyan elem, amelyhez nem tartozik A egyetlen eleme sem.

Fogalomtár ---------------------------------------------------------------------------------------------------

∀a ∈ A ∃b ∈ B f ( a ) =b ∧ ∃b f ( a ) ≠ b Invariancia Objektumok olyan mennyisége, vagy tulajdonsága, amely bizonyos transzformációk során nem változik meg. Egy objektum adott függvénye akkor invariáns a koordinátatranszformációval szemben, ha minden változója

x ( x1 , x2 ,..., xi ,..., xn ) helyébe x , ( x1, , x2, ,..., xi , ,..., xn , ) téve a függvény

értéke nem változik meg. Törekszünk az összes lehetséges invariáns tulajdonság feltárására adott koordinátatranszformációkhoz. Ilyenkor teljes invarianciáról van szó. Koordináta transzformációk Az x1 , x2 ,..., xi ,..., xn koordináták transzformációja előírások olyan összessége, koordinátákat

amely

minden

(x , x , 1

2

,

( x1 , x2 ,..., xi ,..., xn )

ponthoz

új

,..., xi , ,..., xn , ) rendel hozzá. A hozzárendelés

kétféle módon lehetséges: 1. koordinátatranszformációval (passzív mód), vagy 2. operáció (aktív mód) - függvény, leképezés - útján. Kör A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek egy adott ponttól – a kör középpontja - azonos távolságra – a kör sugara - vannak. A nulla sugarú kör egy pont. A kör középpontján átmenő egyenes a kört két azonos félre vágja: félkör. A kör középpontján átmenő egyenes körön belüli szakasza a kör átmérője, amely a sugár kétszerese: d=2r. Két ilyen egyenes alkotja a körcikket. A kört bárhol metsző egyenes a kört két körívre bontja. Az egyenes köríven belüli szakaszának neve húr. Koordináta-rendszerben a kör egyenlete: ( x − a ) + ( y − b ) = r 2 , ahol 2

2

a és b a középpont helye és r a kör sugara. A kör központi szöge 2π radián, vagy 360°. A π egy állandó érték, a kör kerületének és az átmérőjének az aránya: irracionális, transzcendens. 79


A kör része, a körív – α középponti szöggel - és amelynek hossza kα = r 2α , mert a teljes kör k = r 2π , ahol a középponti szög 2π . Láncgörbe Egy egyenesen legördülő parabola fókuszpontja írja le, vagy közismerten a két végén felfüggesztett súlyos kötél által felvett alak. Koordinátái: x x −   x a a a y ach= =  e + e  , ha x = 0 → y = a .   a 2 

Példaként: a Keleti pályaudvar csarnokának teteje ilyen ívű. Metrikus tér Egy teret M metrikusnak nevezünk, ha benne bármely két pont távolsága értelmezve van egy valós függvény útján: ϕ ( p1 ; p2 ) ∀p1 , p2 ∈ M úgy, hogy

ϕ ( p1 ; p2 ) ≥ 0

csak akkor 0, ha p1 = p2

ϕ ( p1 ; p2 ) = ϕ ( p2 ; p1 )

szimmetrikus

ϕ ( p1 ; p2 ) ≤ ϕ ( p1 ; p3 ) + ϕ ( p2 ; p3 )

háromszög egyenlőtlenség.

A metrikus tér normált, lineáris tér. Normált, lineáris tér Normált, lineáris a tér a valós számtest felett, ha minden a vektor minden eleméhez hozzá van rendelve egy norma, abszolút érték a , hossz, távolság az alábbi feltételekkel:

a = b esetén a = b a > 0 és 0 = 0

mérték

λa = λ a

homogén

a+b ≤ a + b

háromszög egyenlőtlenség

80

Fogalomtár ---------------------------------------------------------------------------------------------------

−a = a

szimmetrikus

A lineáris tereket gyakran vektortérnek is nevezik, ennek a definíciónak az értelmében. Parabola A parabola azon pontok mértani helye, amelyek egy adott ponttól – a fókuszpont - és egy egyenestől – a direktrix, vezéregyenes - azonos távolságra vannak. További részletek az ábrán. Koordináta-rendszerben

1 2 ( x − x0 ) , ahol 2p a fókuszpont és 4p a direktrix közötti távolság és ( x0 , y0 ) a középpont helye. Általában:

a parabola egyenlete: ( y − y0 )=

x0 x02 1 a = ;b = ;c + y0 . y = ax + bx + c formában írjuk, ahol = 4p 2p 4p Ha tengelye az y tengely és középpontja az origó,= x0 0,= y0 0 , akkor 1 érték a parabola görbületi tényezője. y = ax 2 . Az a = 4p 2

48 ábra. Parabola

81


Gyakorlati példák a ferde hajítás, vagy a gyújtólencse, vagy a parabola antenna. Paraboloid A parabola tengely menti forgatásával keletkezik a paraboloid – másodrendű felület. Pont Definiálatlan alapfogalom, olyan térelem, amelynek nincs része. Az ndimenziós tér pontjait rendezett szám n-es értékadásával határozzuk meg. Metrikus térben a pontok távolsága meghatározható. Reláció A reláció dolgok viszonya, mint nagyon általános fogalom. Emberek, szervezetek, jelenségek viszonya, mint például barát, főnök, ellenség, feleség, gyerek, szerződés, képletek, törvények, szabályok, stb. Matematikailag sem axióma, tehát definiálandó. Legyen

( a, b ) ∈ R

A,

B,

R

halmazok

és

R ⊆ AxB

úgy,

hogy

a ∈ A, b ∈ B .

Az R reláció halmaz az AxB Descartes-szorzat részhalmaza, azaz az A halmazbeli a elem R relációban van a B halmazbeli b elemmel. Totális a reláció, ha minden a elemhez létezik b, tehát R ⊆ AxB; ( a, b ) ∈ R ∀a ∈ A, b ∈ B . A reláció függvénytani definíciója: ha egy függvénynek az A értelmezési tartománya és B az értékkészlete, akkor R totális reláció és b = f ( a ) . A relációktól általában megkövetelünk bizonyos tulajdonságokat: reflexivitás, szimmetrikusság, tranzitivitás, ekvivalencia. A tulajdonságok milyensége következtében beszélünk kölcsönösségről, hatásról, láncokról. A halmazok közötti relációknál értelmezzük a szürjekció, az injekció és a bijekció műveleteket.

82

Fogalomtár ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Rendezett szám n-es A rendezett szám n-es n darab szám, adott sorrendben felírva: ( a1 , a2 ...an ) . Két rendezett szám n-es ( a1 , a2 ...an ) és ( b1 , b2 ...bn ) akkor és csak akkor egyenlő, ha = ai b= 1, 2,...n , azaz elemei rendre i;i megegyeznek. A rendezett szám n-esek felfoghatók, mint az ndimenziós lineáris tér vektorai. A rendezést általában a természetes számok hozzárendelésével értelmezzük. Rendezett számpár

( a1 , a2 ) meghatározott sorrendben különböző a ( a2 , a1 ) . Rendezett számpárok

A rendezett számpár két szám, felírva. Általában ettől halmaza

ez

egyes

{( a, b ) ; a ∈ A ∧ b ∈ B

elemek

halmazának

( ∀a )( ∀b )} =AxB .

Descartes-szorzata:

A rendezett számpár a

rendezett szám n-es speciális esete. Skalár Olyan mennyiség, amelyet egyetlen számadat meghatároz, tehát a koordináta-rendszer transzformációja során nem változik. Szürjekció

49. ábra. Szürjekció

Az A és B halmaz közötti megfeleltetés szűrjekív f sur : A → B , ha A minden eleméhez tartozik elem a B-ben úgy, hogy B egy eleméhez több A elem is tartozhat, vagyis

∀a ∈ A ∃b ∈ B f ( a ) =b ∧ ∃b f= (a) f= ( a, ) b . 83


Tenzor (affinor) Legyen egy három-dimenziós térben x( x1 , x2 , x3 ) és y ( y1 , y2 , y3 ) egymással összefüggő vektorok. A kapcsolatukat írhatjuk az alábbi módon is:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = y1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = y2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = y3 Ha aik = aki , akkor ez szimmetrikus, ami annyit jelent, hogy a megfelelő sorok és oszlopok azonosak. Nevezzük ezt a kifejezéshármast A-nak. Az összefüggést úgy értelmezzük, hogy az y vektor az x vektor A-függvénye, másként az x vektoron A műveletet elvégezve – megoldjuk a lineáris, homogén egyenletrendszert - az y vektorhoz jutunk. Röviden: y = A(x) formában írhatjuk. Az A vektorfüggvényt nevezzük tenzornak és az aik együtthatók a tenzor koordinátái, amelyeket a két vektor diadikus szorzatából származtatunk. A tenzor művelet a fizikában számos helyen előfordul. nevét is onnan kapta: tenzor, feszültséget, nyújtást jelent. Például a rugalmas testek adott pontjában ébredő feszültségek, erők koordinátái így határozhatók meg. A tenzorális művelet lineáris és homogén. Az x-vektortérnek az yvektortérre való, A tenzor szerinti, transzformációjánál vannak invariáns tényezők. Ha az alábbiak léteznek:

0 ( a11 − λ ) x1 + a12 x2 + a13 x3 = a21 x1 + ( a22 − λ ) x2 + a23 x3 = 0 a31 x1 + a32 x2 + ( a33 − λ ) x3 = 0

akkor az így leírt egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük, amelynek gyöke a λ, a saját érték. A keletkezett vektorok a saját vektorok. 84

Fogalomtár ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Trigonometrikus függvények A trigonometrikus függvényeket szokás területtartó függvényeknek is nevezni, mivel definíciójuk alapján a sok fontos használatuk mellett egy körcikk területének mérőszámai is.

50. ábra. Területtartó Az ábra szerinti egységsugarú körben - x 2 + y 2 = 1 az egyenlete - a szögfüggvényeket a szög által meghatározott CB = sin ϕ , OB = cos ϕ ,

AD = tgϕ távolságokként értelmezzük. Fennáll továbbá: tgϕ =

sin ϕ . cos ϕ

2ϕ 2π

2 Az r sugarú körcikk területe: = π Tkcikk r= r 2ϕ . Tehát az

egységsugarú körben: Tkcikk = ϕ , amely a szögfüggvények argumentuma. További szögfüggvényeket is szoktunk definiálni, azonban itt csak az említettekkel foglalkozunk. Vektor A vektorokat legáltalánosabban nagysággal és iránnyal rendelkező mennyiségeknek definiáljuk. A vektorok egy geometriai tér eltolásaira 85


invariánsak, azaz nem változtatják meg nagyságukat és irányukat, az összeadás-, a skalárral szorzás-, a skaláris szorzat eredményét. A dimenzionális koordináta-rendszerekben helyfüggvényekként értelmezzük: egy pont helyzetét egy adott origóhoz képest, vagy két pont távolságát. kollineárisak az egy egyenesre hozható vektorok, komplanárisak az egy síkra hozhatók. A vektorok invariánsak a geometriai térben való eltolásra – irányuk és nagyságuk nem változik -, tehát összegzésüket úgy végezzük, hogy a vektorokat rendre egymás végéhez illesztjük és a két végpontot irányhelyesen összekötjük. Az így nyert vektor az összeg. Vektorok skalárral λ való szorzása a vektor nyújtását jelenti: λa = a(λ a1 , λ a2 ,..., λ ai ,..., aλn ) . A vektorok összeadása, skalárral való szorzása, skalár szorzata szimmetrikus, asszociatív, disztributív. Negatív érték az ellenkező irányt jelenti. A zérus vektor nulla hosszúságú eltolásnak felel meg. Egy vektort koordináta-rendszerbeli vetületeivel definiáljuk az ndimenziós térben és az a(a1 , a2 ,..., ai ,..., an ) szám n-essel írjuk le. Az e bázisvektorok segítségével: a= a1e1 + a2e 2 + ... + ai ei + ... + an e n A vektor abszolút értéke:

a=

n

∑a i =1

2 i

.

Vektorok skaláris szorzata (belső szorzat) Az a és b vektor skaláris szorzata az ab = a b cos γ szám, ahol γ a vektorok által bezárt szög. Ortogonális – derékszögű – koordinátarendszerben az a = (a1 , a2 ,..., ai ,..., an ) és b = (b1 , b2 ,..., bi ,..., bn ) vektorok koordináta vetületei szorzatának összege: ab =

n

∑a b . i i

i =1

A skaláris szorzás szimmetrikus, asszociatív és disztributív, valamint 2 aa = a= a 2 ≥ 0 , továbbá ab ≤ a b és cos γ =

86

ab a 2b 2

.

Fogalomtár ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Vektorok vegyes szorzata Vegyes szorzaton az a ( b × c ) és az

(a × b ) c

szorzatokat értjük,

amelyek értéke minden esetben skalár. Ha a vektorok egy síkban fekszenek – komplanárisak – akkor ez a szorzat nulla, mert a skaláris szorzásnál cos90°=0. Ha nem komplanárisak, akkor parallelepipedont alkotnak és szorzatuk éppen ennek a térfogata, mivel a ( b × c ) , vagy az ( a × b ) az alaplap területe. Felfogható úgy is, mint a három vektor által alkotott tetraéder térfogatának hatszorosa. Vektorok vektoriális szorzata Két közös kezdőpontba hozott vektor. A merőlegesség figyelembevételével azt mondjuk, hogy a × b a vektorok által alkotott sík – majd általános értelemben, felület - gradiense, amely a felület irányát jelöli abban a pontban. Vektorok vektoriális szorzatán egy vektort értünk, amelynek abszolút értéke: a × b = a b sin ( a, b ) és iránya merőleges az a, b vektorok síkjára. A kifejezésből láthatjuk, hogy ez éppen az a és b oldalú parallelogramma területe. Az a, a b és az a × b vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak, irány érzékenyek, tehát a × b =− ( b × a ) . Ha a, b párhuzamosak, akkor a × b = 0 , nullvektor. Megfordítva két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha a rajtuk fekvő vektorok vektoriális szorzata nulla. A vektoriális szorzat tehát nem kommutatív, hanem alternáló, továbbá skalárral való szorzata: λ ( a × b ) = ( λ a ) × b = a × ( λ b ) . Minden más esetben disztributív. Vegyük észre, hogy a vektoriális szorzat a két eredő vektor által meghatározott síkra merőleges, azaz a sík „iránya”, normálisa. Általában egy felület valamely pontja normálisának nevezzük az érintősíkjában fekvő két vektor vektoriális szorzatát. 87


Vektorok többszörös szorzata az eredeti vektorokkal komplanáris vagy vektort eredményez: a × ( b × c ) = ( ac ) b - ( ab ) c

( a × b ) × c = ( ac ) b - ( bc ) a ,

ahol a zárójeles műveletek eredménye

skalár és így a végeredmény az eredeti vektorok nyújtott változatainak a különbsége. OoooO

88

Irodalom jegyzék ---------------------------------------------------------------------------------------------------

14 Irodalom jegyzék 1. A TÖK mozgalomról: https://sites.google.com/site/berzetok/magyar-toek-mozgalom https://sites.google.com/site/berzetok/ http://www.dobo-eger.sulinet.hu/tok.html https://sites.google.com/site/laszlotok/ http://szilady.net/index.php/ https://sites.google.com/site/nemethlaszlotok/home 2. Az Einstein-féle jelölésrendszer http://ttktamop.elte.hu/online-tananyagok 3. Beke Manó: Az Einstein-féle elmélet. 1922. Lipótvárosi Kaszinó 4. Blázsovics József: Ennyit kell(ene) tudnod matematikából. 1992. Akkord Panem kft. 5. Bronstein-Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. 1963. Műszaki Könyvkiadó. 6. Bureau of Educational and Cultural Affairs: Special Announcement for Dr. P. G. Gyarmati: TEACH THE WEB, ECA-11p/EX, SA-5Floor 42200 C Street NW Washington, DC, 20522, US. 7. Doran-Lasenby: Geometric algebra for physicists. 2003. Cambridge University Press. 8. Elliptic geometry: https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry. 9. Előadások: http://www.szalon.tk. és : http://www.gyarmati.dr.hu 10. Farkas Miklós: Matematikai Kislexikon. 1974. Műszaki Könyvkiadó. 11. Fourth dimension: https://en.wikipedia.org/wiki/Four-dimensional_space. 12. Fried Ervin és társai: Matematikai Kisenciklopédia. 1968. Gondolat Könyvkiadó. 13. Gyarmati Péter előadásai: Az idő nyomában. 2014. Szentendre Szalon. 14. Gyarmati Péter előadásai: Beszélgetések a matematikáról. 20112015. Tudományos Önképző Körök: 89


15.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 90

Berze Nagy János gimnázium, Gyöngyös. Szilády Áron gimnázium, Kiskunhalas. Dobó István gimnázium, Eger. Szent László Gimnázium, Budapest. Ferences Gimnázium, Szentendre. Nyári tábor, Visznek. Gyarmati Péter előadásai: Dimenziók. 2104-2015. Tudományos Önképző Körök: Berze Nagy János gimnázium, Gyöngyös. Ferences Gimnázium, Szentendre. Nyári tábor, Visznek. Héjjas István: Az ötödik dimenzió. 2010. IPM Magazin. Holics László: Fizika 2. 1992. Műszaki Könyvkiadó. Hollós Lajos: Számok. 1934/21. Nyugat. Korn & Korn: Matematikai kézikönyv műszakiaknak. 1975. Műszaki Könyvkiadó. Lánczos Kornél: Space through the ages. 1970. Academic Press Invc. (London) Ltd. Metric space. https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space. Mértékegységek, http://www.unc.edu/~rowlett/units/. Minkowski space. https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space. Obádovics Gyula: Matematika.1963. Műszaki Könyvkiadó. P. G. Gyarmati: Next Generation Science Standards (NGSS) http://www.corestandards.org. Reiman István: Geometria és határterületei. 1999. Szalay Könyvkiadó. Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete. 1986. Gondolat Kiadó. Simonyi Károly: A magyarországi fizika kultúrtörténete. Eukleidész a pszeudoszférán. 4.2. S. Hewson: Problems Faced by STEM Students http://nrich.maths.org/6458/index. Stachó Tibor: Felsőbb mennyiségtan. 1932. Franklin Társulat. Természet világa: Az Appendix, levelek. 2001. I. különszám. J. M. Gelfand és társai: A koordinátamódszer. 1973. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.

Irodalom jegyzék ---------------------------------------------------------------------------------------------------

33. Kant: A tiszta ész kritikája. Kritik der reinen Vernunft, 1781 34. Kant: A gyakorlati ész kritikája. Kritik der praktischen Vernunft. 1787. 35. Gauss: Disquisitiones generales circa superficies curves. Görbült felületekre vonatkozó általános vizsgálatok. 1827. Commentat. Soc. Göttingensis, VI. 36. E. A. Abott: Flatland, a Romance of Many Dimensios. 1928. Boston. magyarul is elérhető: Síkföld. 1982. Kozmosz könyvek sorozat. OoooO

91


92

Utószó ---------------------------------------------------------------------------------------------------

15 Utószó A dimenziók tanulmányozásához felépítettünk koordináta-rendszereket, amelyekkel – mint kiderült – tereket építhetünk, azaz tulajdonságokat rendelhetünk a térhez, tartalmától függetlenül. A kanti filozófia az anyagi világot – szubsztancia – és a világról alkotott általános ismereteinket – forma – még az abszolútnak feltételezett térben és időben helyezte el. A gondolkodásmód tovább fejlesztése elvezetett oda. hogy tudásunk képessé vált különböző tereket felépíteni és megmutatni, hogy euklideszi látásmódunknak határai vannak. Eleink természetesnek tartották, hogy három-dimenziós világunk végtelen és érvényes Archimédesz állítása: adjatok a Földön kívül egy pontot és én kimozdítom a Földet a helyéből – tipikus példája a mechanisztikus világba vetett hitnek. Megdöbbentő felfedezés lett, hogy a gömbfelületen a végtelen azt jelenti, hogy visszajutunk a kiindulási pontba, ha elég sokat megyünk és az ilyen végtelen világnak – a végtelensége ellenére – van széle. Következéskép lehet valami rajta kívül. A negyedik dimenzió nyújt segítséget a megértéséhez. Kiderül, hogy a három-dimenzióban fedésbe nem hozható szimmetrikus alakzatok a negyedikben fedhetik egymást. Gyakorlati példa erre – igaz, két-dimenziós – a lepke szárnyai, amelyek szimmetrikusak, mégsem hozhatók fedésbe a síkon. de a térben igen. Más példa H. G. Wells egyik hősének este, aki a negyedik-dimenzióba látogatott és onnan a tükörképe jött vissza, például a szíve a jobboldalra került. A tény, hogy egy gömbfelületen létezünk, amely egyáltalán nem euklideszi. Mégis, a hatalmas méretek jóvoltából, még teljesen jól használható, de a Föld felfedezése és az utazások, a térkép igénye már felvetette a korlátokat és egy új technikát igényelt. A „térbeli látás” furcsaságai eladdig a művészek „tudománya” volt, akik két-dimenzióban megfestették a három-dimenziót, sőt mindenkori 93


törekvésük az emberi gondolat kifejezése is alkotásaikban. Mindig valami többet kívánnak, mint amit a valóság megenged. A művészek perspektíváiból nőtt ki a projektív geometria, mint exakt tudomány, vagy a kezdeteit élő virtuális világ a számítástudományban. Gauss korában a matematika belenyúlt a művészek eme világába és megteremtette egyszerre a nem–euklideszi terek szemléletét és a háromnál több dimenzió értelmét. Nem kellett sok idő és a fizika létrehozta – Einstein - ezeken a gyökereken világunk új, relativisztikus képét. Az egész lényege egy matematikai absztrakció, feltevés, hogy létezik bármilyen anyagtól – szubsztanciától – független tér, amelynek leírhatjuk törvényszerűségeit és azok változatlanok maradnak – invariánsak. Az ennek megfelelő fizikai törvények, mivel invariánsak, érvényesek minden anyagra az adott térben. No, és persze a matematika eszközeivel pontosan leírhatók és ezáltal bárki, aki megérti azt, használhatja a maga tevékenységére. A lényeg talán éppen ez, hiszen minden matematikai eredmény sorsa, célja eddig is ez volt. Ez a kis dolgozat – előadások összefoglaló anyaga – is ezt a célt szolgálja: népszerűsíteni, közismertté tenni a dimenziókkal kapcsolatos matematikai eredményeket, hogy minél többen élhessenek vele, használhassák és helyesen, saját céljaikra. Tudomásul kell vennünk, hogy az újszülöttek feje nem tartalmazza ezeket az ismereteket, ugyanakkor a társadalom nem is ezeket tartja elsődlegesnek. Mindezeken túl a matematikus tudást fontosnak tartom, tartjuk sokan, - az élet szinte minden területén. Figyelemmel a társadalmi elvárásokra, alázattal, de igényesen kell terjesztenünk ezt a matematikai tudást. Remélem, evvel az összeállítással, szolgálom ezt a célt. Olvassák, tanulmányozzák olyan érdeklődéssel, amilyen szeretettel készült! OoooO

94

Utószó ---------------------------------------------------------------------------------------------------

95

Kiadja a TCC COMPUTER STUDIO, az 1988-ban alapított TCC-GROUP, WIEN tagja, 2000 Szentendre, Pannónia u. 11. Tel: +36-26-314-590, e-mail: [email protected]. A kiadásért felel a Stúdió igazgatója. Tervek, fedélterv, művészeti szerkesztés a szerző munkája. Nyomtatás: PRIME RATE Kft, 1044 Budapest, Megyeri út 53., Tel: +36-1-231-4060, e-mail: [email protected], nyomtatásért felel a nyomda igazgatója. Megjelent 14 (A/5) ív terjedelemben. ISBN 978-963-xx-xxxx-x

The TCC COMPUTER STUDIO is the publisher, a member of the 1988 founded TCC-GROUP. 1180 Wien, Herbeck str. 74. +43-1-47-06-934 Hungary, 2000 Szentendre, Pannonia str. 11. Phone: +36-26-314-590, e-mail: [email protected]. Editor in chief: A. Terjék. Printing & binding by CORBIS DIGITAL Hungary, 1033 Budapest, Szentendrei str. 89-93., PP Center, phone: +36-1-999-6593, e-mail: [email protected], www.corbis-digital.hu. Printed in size 11(A/5) sheet. ISBN 978-963-xx-xxxx-x

96

DIMENZIÓK. Dr. Gyarmati Péter emeritus professzor. Összefoglaló jegyzet Tudományos Önképző Köri előadások alapján

Recommend Documents