Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu

Pendahuluan

Dasar Teori

Metodologi Penelitian

Konstruksi

Simpulan

Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu Angga Budi Permana 1207100008 Dosen Pembimbing : Dr. Darmaji, S.Si, M.T. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Ujian Tugas Akhir - Ruang Sidang, 18 Juli 2012

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Latar Belakang

Latar Belakang

Latar Belakang 1

Graf dinotasikan G(V , E) dengan V himpunan simpul dan E himpunan sisi yang menghubungkan tiap simpul.

2

Dimensi Metrik diperkenalkan oleh Harray dan Melter 1976.

3

Penelitian sebelumnya dilakukan oleh Johanes pada tahun 2009 tentang dimensi metrik dari pengembangan graf kincir dengan pola K1 + mKn .

4

Pada Tugas Akhir ini akan dilakukan analisa dimensi metrik pada subkelas pohon tertentu.

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Rumusan Masalah

Rumusan

Rumusan Bagaimana bentuk umum dimensi metrik graf subkelas pohon.

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Batasan Masalah

Batasan Masalah

Batasan Masalah 1

Subkelas pohon yang digunakan adalah graf ulat teratur Cm,n dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2.

2

Subkelas pohon yang digunakan adalah graf kembang api teratur Fm,n dengan m = 1, n ≥ 2 dan m, n ≥ 2

3

Subkelas pohon yang digunakan adalah graf pohon pisang teratur Bm,n dengan m = 1, n ≥ 3 dan m ≥ 2, n ≥ 3

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Tujuan dan Manfaat

Tujuan

Tujuan Tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah mencari dimensi metrik graf pada Subkelas pohon. Manfaat Manfaat dari penelitian ini adalah diharapkan dapat memberikan kontribusi penelitian dalam bidang teori graf, khususnya dimensi metrik pada Subkelas pohon.

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Tinjauan Pustaka

Graf Bintang Graf bintang adalah graf dengan satu simpul pusat c yang terhubung dengan n simpul anting. Derajat dari simpul c adalah n, sedangkan derajat simpul anting adalah 1. Graf bintang dinotasikan dengan K1,n [9].

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Graf Ulat (Caterpillar Graph) Definisi Graf ulat didapatkan dengan menghubungkan simpul pusat c dari graf bintang secara berurutan. Lintasan yang menghubungkan simpul-simpul anting dari barisan graf bintang tersebut disebut simpul backbone dari graf ulat. Jika banyaknya simpul anting sama maka graf tersebut merupakan graf ulat teratur. Dinotasikan dengan Cm,n dengan m adalah jumlah simpul backbone dan n adalah jumlah simpul anting [9].

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Graf Kembang Api (Firecracker Graph) Definisi Graf kembang api dapat diperoleh dengan menambahkan sebuah sisi dan sebuah simpul pada setiap simpul backbone yang akan menghubungkan antara simpul backbone dengan simpul daun dari sebuah graf ulat. Dinotasikan dengan Fm,n dengan m adalah jumlah simpul backbone dan n adalah jumlah anting. [9].

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Graf Pohon Pisang (Banana Tree)

Definisi Graf pohon pisang Bm,n adalah sebuah graf yang diperoleh dengan menghubungkan satu simpul daun dai setiap m buah salinan graf bintang K1,n ke sebuah simpul baru yang disebut simpul akar r [8].

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Jarak (Distance)

Definisi Jarak (distance) antara simpul u dan v pada graf G, dinotasikan dengan d(u, v ) adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v pada graf G. Jika tidak ada lintasan antara u dan v maka d(u, v ) = ∞ [2].

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Dimensi Metrik

Definisi Dimensi Metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pembeda (resolving set) pada G. Untuk simpul u dan v dalam graf terhubung G, jarak d(u, v ) adalah panjang dari lintasan terpendek antara u dan v pada G. Untuk himpunan terurut W = (w1 , w2 , ..., wk ) dari simpul-simpul dalam graf terhubung G dan simpul r pada G, adalah vektor-k (pasangan k-tuple), r (v |W ) = (d(v , w1 ), d(v , w2 ), ....., d(v , wk )) menunjukkan representasi dari v pada W . Himpunan W dinamakan himpunan pembeda (resolving set) G jika simpul-simpul G mempunyai representasi berbeda.

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Dimensi Metrik(Cont.)

Definisi Himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum, dan kardinalitas tersebut menyatakan dimensi metrik dari G dan dinotasikan dengan dim(G). Himpunan pembeda pada suatu graf tidaklah tunggal. Suatu graf dapat memiliki beberapa himpunan pembeda yang ukuran dan anggota himpunannya berbeda. Setiap graf terhubung sederhana pasti memiliki suatu himpunan pembeda.

Pendahuluan

Dasar Teori


Dimensi Metrik

Metrik

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Dimensi Metrik

Observasi

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Dimensi Metrik

Observasi Dugaan Awal

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Dimensi Metrik

Observasi Dugaan Awal Konstruksi

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Dimensi Metrik

Observasi Dugaan Awal Konstruksi Batas Bawah

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Dimensi Metrik

Evaluasi Observasi Dugaan Awal Konstruksi Batas Bawah

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Konstruksi

Dimensi Metrik Graf Ulat Teratur Cm,n dengan m ≥ 1 dan n≥2 Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur Cm,n dengan menggunakan Lemma 4.2, untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut: Lemma 4.2 Untuk setiap graf ulat teratur Cm,n dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2, sedikitnya (n − 1) simpul anting pada setiap simpul backbone ke-m pasti merupakan himpunan pembeda W .

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori

Graf Ulat Teratur Cm,n


Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Simpul anggota himpunan pembeda Cm,n

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Representasi terhadap W

r (a1n |W ) r (a2n |W ) r (a3n |W )

= (2, 2, 2, ..., 3, 3, 3, ..., 4, 4, 4, ..., ..., ..., ...), = (3, 3, 3, ..., 2, 2, 2, ..., 3, 3, 3, ..., ..., ..., ...), = (4, 4, 4, ..., 3, 3, 3, ..., 2, 2, 2, ..., ..., ..., ...), .. .

r (amn |W ) r (c1 |W ) r (c2 |W ) r (c3 |W )

= (..., ..., ..., ...., ..., ..., ..., 3, 3, 3, ..., 2, 2, 2), = (1, 1, 1, ..., 2, 2, 2, ..., 3, 3, 3, ..., ..., ..., ...), = (2, 2, 2, ..., 1, 1, 1, ..., 2, 2, 2, ..., ..., ..., ...), = (3, 3, 3, ..., 2, 2, 2, ..., 1, 1, 1, ..., ..., ..., ...), .. .

r (cm |W )

= (...., ...., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., 1, 1, 1).

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Ulat Teratur Cm,n

Teorema 4.1 Jika Cm,n graf ulat teratur dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2 maka dim(Cm,n ) = m(n − 1).

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Bukti Misalkan graf ulat teratur Cm,n dengan simpul backbone sebanyak m dengan anggota himpunan c1 , c2 , c3 , ..., cm dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan a11 , a12 , ..., a1n , a21 , a22 , ..., a2n , ..., amn , dengan menggunakan Lemma 4.2 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a11 , a12 , ..., a1n−1 , a21 , a22 , ..., a2n−1 , ..., amn−1 } yang pasti memiliki representasi terhadap W berbeda, pada Lemma 4.2 dijelaskan bahwa sedikitnya (n − 1) simpul anting pada setiap simpul backbone ke-m merupakan anggota himpunan pembeda artinya jelas bahwa jika setiap simpul anting sebanyak (n − 1) untuk setiap simpul backbone ke-m diambil sebagai anggota himpunan pembeda W maka banyaknya anggota himpunan pembeda adalah sebanyak m(n − 1), dengan demikian batas bawah adalah m(n − 1), selanjunya

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Bukti(Cont..) pada konstruksi Subbab 4.1 dengan m(n − 1) sebagai aggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadap himpunan pembeda W memiliki represntasi yang berbeda sehingga batas atas adalah m(n − 1), oleh karena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf ulat teratur adalah dim(Cm,n ) = m(n − 1).

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Konstruksi

Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,n dengan m = 1 dan n ≥ 2 Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur F1,n dengan menggunakan Lemma 4.3. Lemma 4.3 Untuk setiap graf kembang api teratur Fm,n dengan m = 1 dan n ≥ 2 sedikitnya terdapat simpul anting n simpul merupakan himpunan pembeda.

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Graf Kembang Api Teratur Fm,n

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Simpul anggota himpunan pembeda Fm,n

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori



r (c1 |W ) = (1, 1, 1, ...), r (x1 |W ) = (2, 2, 2, ...),

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,n dengan m = 1 dan n ≥ 2

Teorema 4.2 Jika Fm,n graf kembang api teratur dengan m = 1 dan n ≥ 2 maka dim(Fm,n ) = n.

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Bukti Misalkan graf kembang api teratur Fm,n dengan simpul backbone sebanyak 1 dengan anggota himpunan x1 dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan a11 , a12 , ..., a1n dengan menggunakan Lemma 4.3 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a11 , a12 , ..., a1n } yang pasti memiliki representasi berbeda terhadap W , pada Lemma 4.3 dijelaskan bahwa sedikitnya n simpul anting merupakan anggota himpunan pembeda, dengan demikian batas bawah adalah n, selanjunya pada konstruksi Subbab 4.2 dengan n sebagai aggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadap himpunan pembeda W memiliki represntasi yang berbeda sehingga diperoleh batas atas adalah n, oleh karena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf ulat teratur adalah dim(F1,n ) = n dengan m = 1 dan n ≥ 2.

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Konstruksi

Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,n Akan dilakukan konstruksi graf ulat teratur Fm,n dengan menggunakan Lemma 4.4. Lemma 4.4 Untuk setiap graf kembang api teratur Fm,n untuk m ≥ 2 dan n ≥ 2 sedikitnya terdapat simpul anting (n − 1) simpul backbone ke-m merupakan himpunan pembeda.

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Graf Kembang Api Teratur Fm,n

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Simpul anggota himpunan pembeda Fm,n

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi


r (a1n |W ) r (a2n |W )

= (2, 2, 2, 2, ..., 5, 5, 5, 5, ..., 6, 6, 6, 6, ...), = (5, 5, 5, 5, ..., 2, 2, 2, 2, ..., 5, 5, 5, 5, ...), .. .

r (amn |W ) r (c1 |W ) r (c2 |W )

= (..., ..., 6, 6, 6, 6, 5, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 2, ...), = (1, 1, 1, 1, ..., 4, 4, 4, 4, ..., 5, 5, 5, 5, ...), = (4, 4, 4, 4, ..., 1, 1, 1, 1, ..., 4, 4, 4, 4, ...), .. .

r (cm |W ) r (x1 |W ) r (x2 |W )

= (...., 5, 5, 5, 5, ..., 4, 4, 4, 4, ...., 1, 1, 1, 1), = (2, 2, 2, 2, ...., 3, 3, 3, 3, ..., 4, 4, 4, 4, ....), = (3, 3, 3, 3, ...., 2, 2, 2, 2, ..., 3, 3, 3, 3, ....), ..

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Fm,n

Teorema 4.3 Jika Fm,n graf kembang api teratur dengan m, n ≥ 2 maka dim(Fm,n ) = m(n − 1).

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Bukti Misalkan graf ulat teratur Fm,n dengan simpul backbone sebanyak m dengan anggota himpunan x1 , x2 , x3 , ..., xm dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan a11 , a12 , ..., a1n , a21 , a22 , ..., a2n , ..., amn , dengan menggunakan Lemma 4.4 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a11 , a12 , ..., a1n−1 , a21 , a22 , ..., a2n−1 , ..., amn−1 } yang pasti memiliki representasi terhadap W berbeda, pada Lemma 4.4 dijelaskan bahwa sedikitnya (n − 1) simpul anting pada setiap simpul backbone ke-m merupakan anggota himpunan pembeda artinya jelas bahwa jika setiap simpul anting sebanyak (n − 1) untuk setiap simpul backbone ke-m diambil sebagai anggota himpunan pembeda W maka banyaknya anggota himpunan pembeda adalah sebanyak m(n − 1),

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Bukti (Cont..) dengan demikian batas bawah adalah m(n − 1), selanjunya pada konstruksi Subbab 4.3 dengan m(n − 1) sebagai aggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadap himpunan pembeda W memiliki represntasi yang berbeda sehingga batas atas adalah m(n − 1), oleh karena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf kembang api teratur adalah dim(Fm,n ) = m(n − 1).

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Konstruksi

Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Bm,n dengan m = 1 dan n ≥ 3 Akan dilakukan konstruksi graf pohon pisang teratur Bm,n m = 1 dan n ≥ 3 dengan menggunakan Lemma 4.5. Lemma 4.5 Untuk setiap graf pohon pisang teratur Bm,n dengan m = 1 dan n ≥ 3 sedikitnya terdapat (n − 1) simpul anting merupakan himpunan pembeda.

Pendahuluan

Dasar Teori


Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Simpul anggota himpunan pembeda Bm,n

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori



r (c1 |W ) = (1, 1, 1, 1, ..., 1), r (x1 |W ) = (2, 2, 2, 2, ..., 2), r (r |W ) = (3, 3, 3, 3, ..., 3),

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n m = 1 dan n ≥ 3

Teorema 4.4 Jika B1,n graf pohon pisang teratur dengan m = 1 dan n ≥ 3 maka dim(Bm,n ) = (n − 1)

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Bukti Misalkan graf pohon pisang teratur teratur B1,n dengan simpul backbone sebanyak 1 dengan anggota himpunan simpul backbone x1 dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan {a11 , a12 , ..., a1n−1 , x1 } dengan menggunakan Lemma 4.4 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a11 , a12 , ..., a1n−1 } yang pasti memiliki representasi berbeda terhadap W , pada Lemma 4.5 dijelaskan bahwa sedikitnya (n − 1) simpul anting merupakan anggota himpunan pembeda, dengan demikian batas bawah adalah (n − 1), selanjunya pada konstruksi Subbab 4.4 dengan (n − 1) sebagai aggota himpunan pembeda W diperoleh jarak setiap simpul terhadap himpunan pembeda W memiliki representasi yang berbeda sehingga diperoleh batas atas adalah (n − 1), oleh karena batas atas sama dengan batas bawah maka dimensi metrik graf pohon pisang teratur adalah dim(B1,n ) = (n − 1) dengan m = 1 dan n ≥ 3 .

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Konstruksi

Dimensi Metrik Graf Kembang Api Teratur Bm,n Akan dilakukan konstruksi graf pohon pisang teratur Bm,n dengan menggunakan Lemma 4.6. Lemma 4.6 Untuk setiap graf pohon pisang teratur Bm,n dengan m ≥ 2 dan n ≥ 3 sedikitnya terdapat (n − 2) simpul anting merupakan himpunan pembeda.

Pendahuluan

Dasar Teori


Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Simpul anggota himpunan pembeda Bm,n

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi


r (a1n−1 |W ) r (a2n−1 |W )

= (2, 2, 2, ..., 6, 6, 6, ..., 6, 6, 6, ..., 6, 6, 6), = (6, 6, 6, ..., 2, 2, 2, ..., 6, 6, 6, ..., 6, 6, 6), .. .

r (amn−1 |W ) = (6, 6, 6, ..., 6, 6, 6, ..., 6, 6, 6, ..., 2, 2, 2), r (c1 |W ) = (1, 1, 1, ..., 5, 5, 5, ..., 5, 5, 5, ..., 5, 5, 5), r (c2 |W ) = (5, 5, 5, ..., 2, 2, 2, ..., 5, 5, 5, ..., 5, 5, 5), .. . r (cm |W ) r (x1 |W ) r (x2 |W )

= (5, 5, 5, ..., 5, 5, 5, ..., 5, 5, 5, ..., 2, 2, 2), = (2, 2, 2, ..., 4, 4, 4, ..., 4, 4, 4, ..., 4, 4, 4), = (4, 4, 4, ..., 2, 2, 2, ..., 4, 4, 4, ..., 4, 4, 4), .

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Bentuk Umum Dimensi Metrik Graf Pohon Pisang Teratur Bm,n

Teorema 4.5 Jika Bm,n graf pohon pisang teratur dengan m ≥ 2 dan n ≥ 3 maka dim(Bm,n ) = m(n − 2)

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Bukti Bukti Misalkan graf pohon pisang teratur Bm,n dengan simpul backbone sebanyak m dengan anggota himpunan x1 , x2 , x3 , ..., xm , dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan a11 , a12 , ..., a1n−1 , x1 , a21 , a22 , ..., a2n−1 , x2 , ..., amn−1 , xm . Pada Lemma 4.6 dijelaskan bahwa sedikitnya sebnayak (n − 2) untuk setiap simpul backbone ke-m merupakan anggota himpunan pembeda artinya banyak anggota himpunan pembeda adalah m(n − 2), dengan demikian batas bawah dari graf pohos pisang teratur Bmn adalah m(n − 2). Pada Subbab 4.5 telah dilakukan kontruksi untuk mencari batas atas dengan menggunakan Lemma 4.6 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a11 , a12 , ..., a1n−2 , a21 , a22 , ..., a2n−2 , ..., amn−2 } .

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Bukti

Bukti Misalkan graf pohon pisang teratur Bm,n dengan simpul backbone sebanyak m dengan anggota himpunan x1 , x2 , x3 , ..., xm , dan simpul anting sebanyak n dengan anggota himpunan a11 , a12 , ..., a1n−1 , x1 , a21 , a22 , ..., a2n−1 , x2 , ..., amn−1 , xm . Pada Lemma 4.6 dijelaskan bahwa sedikitnya sebnayak (n − 2) untuk setiap simpul backbone ke-m merupakan anggota himpunan pembeda artinya banyak anggota himpunan pembeda adalah m(n − 2), dengan demikian batas bawah dari graf pohon pisang teratur Bm,n adalah m(n − 2).

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Bukti (Cont..)

Bukti (Cont..) Pada Subbab 4.3.11 telah dilakukan kontruksi untuk mencari batas atas dengan menggunakan Lemma 4.6 diperoleh anggota himpunan pembeda W = {a11 , a12 , ..., a1n−2 , a21 , a22 , ..., a2n−2 , ..., amn−2 } dimana setiap simpul yang bukan anggota himpunan pembeda memiliki representasi yang berbeda terhadap himpunan pembeda W . Dengan demikian batas atas yang diperoleh untuk graf pohon pisang Bm,n adalah m(n − 2), Oleh karena batas atas dan batas bawah pada graf pohon pisang Bm,n adalah m(n − 2) maka dimensi metrik dari graf pohon pisang teratur dim(Bm, n) = m(n − 2).

Pendahuluan

Dasar Teori


Simpulan

Konstruksi

Simpulan

Pendahuluan

Dasar Teori


Konstruksi

Simpulan

Simpulan 1

Dimensi metrik graf ulat teratur Cm,n adalah m(n − 1) dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2

2

Dimensi metrik graf kembang api teratur Fm,n adalah n dengan m = 1 dan n ≥ 2

3

Dimensi metrik graf kembang api teratur Fm,n adalah m(n − 1) dengan m ≥ 2 dan n ≥ 2

4

Dimensi metrik graf pohon pisang teratur Bm,n adalah (n − 1) dengan m ≥ 1 dan n ≥ 3

5

Dimensi metrik graf pohon pisang teratur Bm,n adalah m(n − 2) dengan m ≥ 2 dan n ≥ 3

Simpulan

Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu

Recommend Documents