Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet

MAFIÓK, Békéscsaba, 2010. augusztus 24-26.

Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)

Diff. és int.-számítás diszkréten

MAFIÓK, 2010. aug. 26.

1 / 16

Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I → R esetén

f 0 (x) := lim

h→0

f (x + h) − f (x) . h

Függvények határozott integrálja Legyen f : I → R esetén Z b f (x)dx := lim a

n X

f (ξi )(ti − ti−1 ).

i=1

Newton–Leibniz-formula Ha [a, b] ⊆ I , akkor

b

Z

f 0 (x)dx = f (b) − f (a)

a

feltéve, —f :I —f :I —f :I

hogy → R differenciálható és f 0 korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); → R differenciálható és f 0 korlátos (Lebesgue-integrál); → R differenciálható (Kurzweil–Hennstock-integrál).




2 / 16


f 0 (x) := lim

h→0

f (x + h) − f (x) . h


n X

f (ξi )(ti − ti−1 ).

i=1


b

Z

f 0 (x)dx = f (b) − f (a)

a






2 / 16


f 0 (x) := lim

h→0

f (x + h) − f (x) . h


n X

f (ξi )(ti − ti−1 ).

i=1


b

Z

f 0 (x)dx = f (b) − f (a)

a






2 / 16

Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N → R sorozatot szokás (a1 , a2 , . . . , an , . . . ) módon, illetve (an )n∈N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (an )-nel jelölni. Pl.: (1, 2, . . . , n, . . . ),

(n2 + 3n),

√ ( n),

1 . n2

1 nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n−1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely √ részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 − n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Szoros értelemben




3 / 16


(n2 + 3n),

√ ( n),

1 . n2





3 / 16


(n2 + 3n),

√ ( n),

1 . n2





3 / 16

Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (an ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén an−1 + an+1 an = , akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. 2 Pl.: (1, 2, 3, 4, . . . , n, . . . ). Képlete: an = a1 + (n − 1)d .

Geometriai sorozat Ha egy (an ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén √ an = an−1 an+1 , akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1, 2, 4, 8, . . . , 2n , . . . ). Képlete: an = a1 q n−1

Harmonikus sorozat Ha egy (an ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén 2an−1 an+1 an = , akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. an−1 + an+1 a1 Képlete: an = 1+(n−1)da Pl.: (1, 12 , 13 , 14 , . . . , n1 , . . . ). 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)



4 / 16






4 / 16






4 / 16

Összegképletek I. A sor fogalma Adott (an ) számsorozat esetén képezzük az sn := a1 + a2 + · · · + an , . . . P sorozatot. Ezt az (an ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( an )-nel jelöljük. s1 := a1 ,

s2 := a1 + a2 ,

...

Számtani sor Ha (an ) egy számtani sorozat, akkor sn = n Bizonyítás:

a1 + an d = n a1 + (n − 1) . 2 2

2sn = (a1 + a2 + · · · + an−1 + an ) + (an + an−1 + · · · + a2 + a1 ) = (a1 + an ) + (a2 + an−1 ) + · · · + (an−1 + a2 ) + (an + a1 ) = n(a1 + an ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)



5 / 16


s2 := a1 + a2 ,

...


a1 + an d = n a1 + (n − 1) . 2 2




5 / 16


s2 := a1 + a2 ,

...


a1 + an d = n a1 + (n − 1) . 2 2




5 / 16

Összegképletek II. Geometriai sor Ha an = a1 q n−1 egy geometriai sorozat és q 6= 1, akkor sn = a1

qn − 1 . q−1

Bizonyítás: (q − 1)sn = (qa1 + qa2 + · · · + qan ) − (a1 + a2 + · · · + an ) = (a2 + a3 + · · · + an+1 ) − (a1 + a2 + · · · + an ) = an+1 − a1 = a1 (q n − 1).

Egy majdnem harmonikus sor — teleszkópos összegzés Legyen an :=

1 n . Ekkor sn = . n(n + 1) n+1

Bizonyítás: 1 1 1 2−1 3−2 (n + 1) − n sn = + + ··· + = + + ··· + 1·2 2·3 n(n + 1) 1·2 2·3 n(n + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − . + + ··· + = − 1 2 2 3 n n+1 1 n+1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)



6 / 16


qn − 1 . q−1



1 n . Ekkor sn = . n(n + 1) n+1




6 / 16


qn − 1 . q−1



1 n . Ekkor sn = . n(n + 1) n+1




6 / 16


qn − 1 . q−1



1 n . Ekkor sn = . n(n + 1) n+1




6 / 16

A bizonyítások összevetése

Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)



7 / 16





7 / 16





7 / 16

A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha an = a1 q n−1 egy geometriai sorozat és q 6= 1, akkor sn = a1

qn − 1 . q−1

Új bizonyítás: (q − 1)sn = (q − 1)a1 + (q − 1)a2 + · · · + (q − 1)an = (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) + · · · + (an+1 − an ) = an+1 − a1 = a1 (q n − 1).

Ismét a számtani sor Ha (an ) egy számtani sorozat, akkor sn = n

a1 + an d = n a1 + (n − 1) . 2 2

Új bizonyítás: sn = a1 + (a1 + d ) + · · · + (a1 + (n − 1)d ) 1·2 1·0 (n − 1) · n (n − 1) · (n − 2) = na1 + − d + ··· + − d. 2 2 2 2 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)



8 / 16


qn − 1 . q−1



a1 + an d = n a1 + (n − 1) . 2 2




8 / 16


qn − 1 . q−1



a1 + an d = n a1 + (n − 1) . 2 2




8 / 16


qn − 1 . q−1



a1 + an d = n a1 + (n − 1) . 2 2




8 / 16

Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (an ) egy számsorozat. Ekkor a ∆an := an+1 − an

(n ∈ N)

képlettel megadott sorozatot (an ) (első) differencia sorozatának nevesszük.

Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (bn ) sorozatot az (an ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha ∆bn = an

(n ∈ N).

Diszkrét Newton–Leibniz-tétel Ha (bn ) sorozat az (an ) sorozat egy primitív sorozata, akkor sn = a1 + a2 + · · · + an = (b2 − b1 ) + (b3 − b2 ) + · · · + (bn+1 − bn ) = bn+1 − b1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)


(n ∈ N).


9 / 16


(n ∈ N)



(n ∈ N).



(n ∈ N).


9 / 16


(n ∈ N)



(n ∈ N).



(n ∈ N).


9 / 16

Sorozatok differenciálása A differencia-operátor tulajdonságai Linearitás: ∆(an + bn ) = ∆an + ∆bn , Homogenitás: ∆(can ) = c∆(an ), Leibniz-szabály: ∆(an bn ) = an+1 ∆bn + bn ∆an .

Monomiális és polinomiális sorozatok differenciálása k k−1 k ∆n = (n + 1) − n = n + n + ··· + n + 1 − nk 1 k −1 k k−1 k = n + ··· + n + 1. 1 k −1 k

k

k

k

Így egy k-adfokú polinomiális sorozat differenciasorozata k − 1-edfokú. Ezért egy k-adfokú polinomiális sorozat primitív sorozata k + 1-edfokú. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)



10 / 16

Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az an = n2 sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt bn = xn3 + yn2 + zn alakban! A ∆bn = an egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1)3 − n3 ) + y ((n + 1)2 − n2 ) + z((n + 1) − n) = n2

(n ∈ N),

azaz x(3n2 + 3n + 1) + y (2n + 1) + z = n2

(n ∈ N).

Tehát 3x = 1,

3x + 2y = 0,

x + y + z = 0.

1 1 2n3 − 3n2 + n (2n − 1)n(n − 1) 1 Innen x = , y = − , z = és bn = = . 3 2 6 6 6 Így (2n + 1)(n + 1)n 12 + 22 + · · · + n2 = bn+1 − b1 = . 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)



11 / 16


(n ∈ N),

azaz x(3n2 + 3n + 1) + y (2n + 1) + z = n2

(n ∈ N).

Tehát 3x = 1,

3x + 2y = 0,

x + y + z = 0.

1 1 1 2n3 − 3n2 + n (2n − 1)n(n − 1) Innen x = , y = − , z = és bn = = . 3 2 6 6 6 Így (2n + 1)(n + 1)n 12 + 22 + · · · + n2 = bn+1 − b1 = . 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)



11 / 16


(n ∈ N),

azaz x(3n2 + 3n + 1) + y (2n + 1) + z = n2

(n ∈ N).

Tehát 3x = 1,

3x + 2y = 0,

x + y + z = 0.




11 / 16


(n ∈ N),

azaz x(3n2 + 3n + 1) + y (2n + 1) + z = n2

(n ∈ N).

Tehát 3x = 1,

3x + 2y = 0,

x + y + z = 0.




11 / 16


(n ∈ N),

azaz x(3n2 + 3n + 1) + y (2n + 1) + z = n2

(n ∈ N).

Tehát 3x = 1,

3x + 2y = 0,

x + y + z = 0.




11 / 16

Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q ∈ R. Ekkor ∆q n = q n+1 − q n = (q − 1)q n .

Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 6= 1 és P polinom. Ekkor ∆q n P(n) = q n+1 ∆P(n) + P(n)∆q n = q n+1 ∆P(n) + P(n)(q − 1)q n = q n (q∆P(n) + (q − 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a ∆q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom..




12 / 16

Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q ∈ R. Ekkor ∆q n = q n+1 − q n = (q − 1)q n .

Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 6= 1 és P polinom. Ekkor ∆q n P(n) = q n+1 ∆P(n) + P(n)∆q n = q n+1 ∆P(n) + P(n)(q − 1)q n = q n (q∆P(n) + (q − 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a ∆q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom..




12 / 16

Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az an = n2 2n sorozat (bn ) primitív sorozatát. Keressük ezt bn = (xn2 + yn + z)2n alakban! A ∆bn = an egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1)2 + y (n + 1) + z)2n+1 − (xn2 + yn + z)2n = n2 2n

(n ∈ N),

azaz 2(x(n + 1)2 + y (n + 1) + z) − (xn2 + yn + z) = n2 ahonnan

x = 1,

4x + y = 0,

(n ∈ N),

2x + 2y + z = 0.

Így y = −4, z = 6 és bn = (n2 − 4n + 6)2n . Tehát 12 · 2 + 22 · 22 + · · · n2 2n = bn+1 − b1 = ((n + 1)2 − 4(n + 1) + 6)2n+1 − 6 = (n2 − 2n + 3)2n+1 − 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)



13 / 16


(n ∈ N),


x = 1,

4x + y = 0,

(n ∈ N),

2x + 2y + z = 0.




13 / 16


(n ∈ N),


x = 1,

4x + y = 0,

(n ∈ N),

2x + 2y + z = 0.




13 / 16


(n ∈ N),


x = 1,

4x + y = 0,

(n ∈ N),

2x + 2y + z = 0.




13 / 16

Trigonometrikus sorozatok

Differenciálás ∆ sin n = sin(n + 1) − sin(n) = sin 1 · cos n + cos 1 · sin n − sin n = sin 1 · cos n + (cos 1 − 1) · sin n, ∆ cos n = cos(n + 1) − cos(n) = cos 1 · cos n − sin 1 · sin n − cos n = (cos 1 − 1) · cos n − sin 1 · sin n. Tehát a ∆(α sin n + β cos n) sorozat mindig γ sin n + δ cos n alakú.




14 / 16

Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az an = sin n sorozat (bn ) primitív sorozatát. Keressük ezt bn = x sin n + y cos n alakban! A ∆bn = an egyenlőség azt jelenti, hogy x∆ sin n + y ∆ cos n = sin n (n ∈ N), azaz

x(sin 1 · cos n + (cos 1 − 1) · sin n) + y ((cos 1 − 1) · cos n − sin 1 · sin n) = sin n.

Innen tehát

x(cos 1 − 1) − y sin 1 = 1, x sin 1 + y (cos 1 − 1) = 0, sin 1 1 y= . x =− , 2 2(cos 1 − 1)

Így sin 1 + · · · + sin n = − Páles Zsolt (Debreceni Egyetem)

sin(n + 1) − sin 1 sin 1(cos(n + 1) − cos 1) + . 2 2(cos 1 − 1) Diff. és int.-számítás diszkréten


15 / 16



Innen tehát

x(cos 1 − 1) − y sin 1 = 1, x sin 1 + y (cos 1 − 1) = 0, 1 sin 1 x =− , y= . 2 2(cos 1 − 1)




15 / 16



Innen tehát





15 / 16



Innen tehát





15 / 16



Innen tehát





15 / 16

Gyakorló feladatok

Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: an = n2 sin n, bn = n2n cos(2n).

Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: An = (xn2 + yn + z) sin n + (un2 + vn + w ) cos n, Bn = (xn + y )2n sin(2n) + (un + v )2n cos(2n).




16 / 16

Gyakorló feladatok

Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: an = n2 sin n, bn = n2n cos(2n).

Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: An = (xn2 + yn + z) sin n + (un2 + vn + w ) cos n, Bn = (xn + y )2n sin(2n) + (un + v )2n cos(2n).




16 / 16

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Recommend Documents