Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek

Differenciaegyenletek a differenci´alegyenletek t¨ukr´eben Guzsv´any Szandra ´ Ujvid´ eki Egyetem, ´ Term´eszettudom´anyi Kar, Ujvid´ ek E-mail: [email protected]

1. 1.1.

Bevezet´ es T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es

Dolgozatom c´elja a differenci´alegyenletek ´es a kev´esb´e ismert differenciaegyenletek ¨osszehasonl´ıt´asa volt. A differenciaegyenletek tanulm´anyoz´asa m´eg a XVII. sz´azadban kezd˝od¨ott. Brook Taylor (1685-1731) volt az els˝o aki a ”The Method of Increments” c´ım˝ u k¨onyv´eben foglalkozott a differenciasz´am´ıt´assal 1715-ben. 1759-ben Joseph Luis Lagrange (1736-1813) oldott line´aris, v´altoz´o egy¨ utthat´os differenciaegyenleteket. Ezeket az eredm´enyeket Pierre Simon Laplace (1749-1827) ´altal´anos´ıtotta az 1774-ben ´es 1776-ban kiadott munk´aiban. Leonhard Euler (1707-1783) 1755-ben az ”Institutiones calculi differentialis” c´ım˝ u munk´aj´aban foglalkozik a v´eges differenci´ak elm´elet´evel, valamint ˝o vezette be a ∆ jelet a differenci´ara. A differenciasz´am´ıt´as probl´em´aival foglalkozott m´eg Nicolas De Condorcet (1743-1794), Gaspard Monge (1746-1818) ´es sokan m´asok. Ismert George Boole (1815-1864) k¨onyve a ”Calculus of Finite Differences” 1860-b´ol, ami form´alis anal´ogi´at mutat a differenciasz´am´ıt´as ´es differenci´alsz´am´ıt´as k¨oz¨ott. Fontos m´eg Louis Melville Milne-Thomson (1891-1974) ”The Calculus of Finite Differences” 1933-ban kiadott k¨onyve, valamint Charles Jordan ”Calculus of Finite Differences” k¨onyve 1939-b˝ol.

1.2.

A munka c´ elja

A dolgozat c´elja a differenci´alegyenletek ´es a differenciaegyenletek fogalm´anak bevezet´ese a szimmetria t¨ ukr´eben. Az els˝o r´eszben bemutatom a differenci´alegyenlet fogalm´at, valamint a differenci´alegyenletek megold´asait. Foglalkozom n´eh´any differenci´alegyenlet t´ıpussal, azut´an pedig bemutatok n´eh´any olyan p´eld´at, amelyekn´el a megold´asok grafikonjai szimmetrikusak. A m´asodik r´eszben el˝osz¨or bevezetem a differenciaegyenlet fogalm´at, majd a differenciaegyenlet k¨ ul¨onb¨oz˝o megold´asait defini´alom. Ezut´an differenciaegyenlet t´ıpusokat mutatok be, ´es kihangs´ ulyozom az alapvet˝o 1

hasonl´os´agot ´es k¨ ul¨onbs´eget a differenci´al- ´es differenciaegyenletek, valamint azok megold´asai k¨oz¨ott. A k´et tudom´anyter¨ ulet ´es a megfelel˝o fogalmak anal´ogi´aja miatt tekinthetj¨ uk a differenciaegyenletek elm´elet´et u ´gy, mintha a differenci´alegyenleteket n´ezn´enk egy k¨ ul¨onleges t¨ uk¨orb˝ol. Megfigyelhet˝o, hogy nem csak a differenci´al- s differenciaegyenletek alakja, de megold´asi m´odszereik is hasonl´oak. A differenciagyenletekre is olyan p´eld´akat mutatok be, amelyekn´el a megold´asok grafikonjai valamilyen szimmetria tulajdons´aggal rendelkeznek. Feladatom a dolgozat ´ır´asa sor´an az volt, hogy bebizony´ıtsam azokat a t´eteleket, melyeknek bizony´ıt´as´at nem tal´altam meg a tanulm´anyozott irodalomban, elv´egezzem az ¨osszehasonl´ıt´asokat, kiemeljem a jellegzetes k¨ ul¨onbs´egeket, valamint hogy szeml´eltet˝o p´eld´akkal illusztr´aljam ezeket.

2. 2.1.

K¨ oz¨ ons´ eges differenci´ alegyenletek Alapfogalmak

El˝osz¨or defini´alom mit jelent a differenci´alegyenlet. 2.1. Defin´ıci´ o. Azt a f¨ uggv´enyegyenletet, amely a f¨ uggetlen v´altoz´ ot, az ismeretlen f¨ uggv´enyt, valamint az ismeretlen f¨ uggv´eny deriv´altjait tartalmazza, differenci´ alegyenletnek nevezz¨ uk. A differenci´alegyenlet rendje az ismeretlen f¨ uggv´eny differenci´ alegyenletben szerepl˝o legmagasabb deriv´altj´ anak a rendje. Az algebrai egyenletekhez hasonl´oan a differenci´alegyenletekben is van ismeretlen, de az most nem sz´am, hanem f¨ uggv´eny. Az egyenlet megold´asakor olyan y = y(x) f¨ uggv´enyeket keres¨ unk, amelyeket deriv´altjaikkal egy¨ utt a differenci´alegyenletbe helyettes´ıtve az x v´altoz´oban egy azonoss´agot kapunk. Az egyszer˝ ubb fel´ır´as kedv´e´ert, az x f¨ uggetlen v´altoz´oj´ u y(x) f¨ uggv´eny helyett a differenci´alegyenletekben csak y-t ´ırunk. Adott F : (a, b) × R2 → R ´es f : (a, b) × R → R f¨ uggv´enyekre az els˝orend˝ u differenci´alegyenlet implicit alakja F (x, y, y ′ ) = 0, explicit alakja pedig

illetve F (x, y, Dy) = 0

(2.1)

y ′ = f (x, y).

Adott G : (a, b) × R3 → R ´es g : (a, b) × R2 → R f¨ uggv´enyekre a m´asodrend˝ u differenci´alegyenlet implicit alakja G(x, y, y ′ , y ′′ ) = 0, illetve G(x, y, Dy, D2 y) = 0 explicit alakja pedig

(2.2)

y ′′ = g(x, y, y ′ ).

2.2. Defin´ıci´ o. A k¨oz¨ons´eges differenci´ alegyenlet megold´ asa minden olyan egyv´ altoz´os val´os f¨ uggv´eny, amely a deriv´altjaival egy¨ utt kiel´egiti az adott differenci´ alegyenletet. 2

Megoldani egy differenci´alegyenletet annyit jelent, mint megkeresni minden megold´as´at. A differenci´alegyenletek elm´elet´eben a differenci´alegyenleteknek k¨ ul¨onb¨oz˝o megold´asai l´eteznek. 2.3. Defin´ıci´ o. Els˝orend˝ u differenci´ alegyenlet ´altal´ anos megold´ asa olyan megold´ as, amelyben szerepel egy tetsz˝oleges ´alland´o. 2.4. Defin´ıci´ o. Az y ′ = f (x, y) els˝ orend˝ u differenci´ alegyenlet minden olyan megold´ as´ at, amelyet az egyenlet y = y(x, C) ´altal´ anos megold´ as´ ab´ ol kapunk az ott szerepl˝ o tetsz˝oleges C ´alland´o egy konkr´et (megengedett) C = C0 ´ert´ek´ere, partikul´ aris megold´ asnak nevezz¨ uk. Az els˝orend˝ u differenci´alegyenlet ´altal´anos megold´asa egy egyparam´eteres g¨orbesereget hat´aroz meg. Ennek a g¨orbeseregnek egy g¨orb´eje egy partikul´aris megold´as grafikonj´at jelenti. 2.5. Defin´ıci´ o. M´asodrend˝ u differenci´ alegyenlet ´altal´ anos megold´ asa minden olyan megold´ as, amelyben k´et tetsz¨oleges ´alland´o szerepel. A m´asodrend˝ u differenci´alegyenlet ´altal´anos megold´asa egy k´etparam´eteres g¨orbesereget hat´aroz meg. 2.6. Defin´ıci´ o. Az y ′′ = g(x, y, y ′ ) m´asodrend˝ u differenci´ alegyenlet minden olyan megold´ as´at, amelyet az egyenlet y = y(x, C1 , C2 ) ´ altal´ anos megold´ as´ ab´ ol kapunk vagy csak a C1 , vagy csak a C2 , vagy mindk´et tetsz˝oleges ´alland´o konkr´et C1 = C01 vagy C2 = C02 ´ert´ek´ere, partikul´aris megold´ asnak nevezz¨ uk. 2.7. Defin´ıci´ o. Az y ′ = f (x, y) egyenlethez tartoz´o kezdeti´ert´ek-probl´em´ anak nevezz¨ uk azt a feladatot, amikor az f f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´ anak egy (x0 , y0 ) pontja eset´en, az y ′ = f (x, y) egyenletnek egy olyan y = φ(x) megold´ as´ at keress¨ uk valamely I intervallumon, amelyre x0 ∈ I ´es φ(x0 ) = y0 teljes¨ ul.

2.2.

N´ eh´ any differenci´ alegyenlet t´ıpus

Ebben a fejezetben bemutatok n´eh´any k¨ozismert differenci´alegyenlet t´ıpust. Az itt szerepl˝o t´eteleket nem bizony´ıtom, de az olvas´o megtal´alhatja a ˝oket a [1], [2] ´es [4] k¨onyvekben. 2.2.1.

Line´ aris differenci´ alegyenlet

El˝osz¨or defini´alom a line´aris differenci´alegyenletet. 2.8. Defin´ıci´ o. Az

y ′ + p(x)y = q(x)

(2.3)

alak´ u differenci´alegyenletet, ahol p ´es q az x f¨ uggetlen v´altoz´ ot´ ol f¨ ugg˝ o adott folytonos f¨ uggv´enyek, els˝orend˝ u line´aris differenci´ alegyenletnek nevezz¨ uk. A line´aris differenci´alegyenlet megold´as´ara fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o t´etelt. 3

2.1. T´ etel. A (2.3) line´aris differenci´ alegyenlet ´altal´ anos megold´ as´ anak alakja ∫ ∫ ∫ C y = e− p(x)dx q(x)e p(x)dx dx + ∫ p(x)dx , e ahol C tetsz˝oleges ´alland´o.

2.3.

M´ asodrend˝ u konstans egy¨ utthat´ os line´ aris differenci´ alegyenletek

2.3.1.

Homog´ en differenci´ alegyenletek

2.9. Defin´ıci´ o. Az

ay ′′ + by ′ + cy = 0

alak´ u differenci´alegyenletet, ahol a, b, c ∈ R tetsz˝oleges ´alland´ok ´es a ̸= 0, homog´en m´ asodrend˝ u line´aris differenci´alegyenletnek nevezz¨ uk. A homog´en differenci´alegyenlet megold´asa visszavezethet˝o egy m´asodfok´ u algebrai egyenlet megold´as´ara, ´es ezt a k¨ovetkez˝o t´etelben meg is fogalmazom. 2.2. T´ etel. A ay ′′ + by ′ + cy = 0 differenci´ alegyenletnek az y = erx megold´ asa akkor 2 ´es csakis akkor ha ar + br + c = 0. Bizony´ıt´as. Legyen y = erx . Ekkor y ′ = rerx ´es y ′′ = r2 erx . Ha ezt behelyettes´ıtj¨ uk a differenci´alegyenletbe, akkor a k¨ovetkez˝ot kapjuk: ar2 erx + brerx + cerx = 0. Ezt az egyenletet eloszthatjuk erx -el, ´es ´ıgy az ar2 + br + c = 0 egyenletet kapjuk. ⋄ A ar2 + br + c = 0 egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezz¨ uk. A differenci´alegyenlet megold´as´anak alakja a karakterisztikus egyenlet megold´as´anak fajt´aj´at´ol f¨ ugg. • Ha r1 , r2 ∈ R ´es r1 ̸= r2 , akkor a megold´as y = c1 er1 x + c2 er2 x , ahol c1 ´es c2 tetsz˝oleges ´alland´ok. • Ha r1 , r2 ∈ R ´es r1 = r2 , akkor a megold´as y = c1 er1 x + c2 xer1 x , ahol c1 ´es c2 tetsz˝oleges ´alland´ok. • Ha r1 = α + βi, r2 = α + βi ∈ C, akkor a megold´as y = (c1 cos βx + c2 cos βx)eαx , ahol c1 ´es c2 tetsz˝oleges ´alland´ok. 4

2.3.2.

Inhomog´ en differenci´ alegyenletek

2.10. Defin´ıci´ o. Az

y ′′ (x) + ay ′ (x) + by(x) = g(x)

(2.4)

alak´ u differenci´alegyenletet, ahol g(x) folytonos f¨ uggv´eny, a, b ∈ R tetsz˝ oleges ´alland´ok ´es a ̸= 0, inhomog´en m´asodrend˝ u line´aris differenci´ alegyenletnek nevezz¨ uk. Az inhomog´en differenci´alegyenlet megold´as´anak az alakja a k¨ovetkez˝o t´etelben van megfogalmazva. 2.3. T´ etel. Az

y ′′ (x) + ay ′ (x) + by(x) = g(x)

inhomog´en egyenlet megold´asa y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + yp (x), ahol az y1 (x) ´es y2 (x) az inhomog´en egyenlethez tartoz´o homog´en egyenlet ´altal´ anos megold´ asa, yp (x) pedig az inhomog´en egyenlet partikul´ aris megold´ asa. Az inhomog´en egyenletek a konstansvari´aci´os m´odszerrel vagy a hat´arozatlan egy¨ utthat´ok m´odszer´evel oldhat´oak meg. 1. Konstansvari´ aci´ os m´ odszer A konstansvari´aci´os m´odszern´el a partikul´aris megold´ast az yp (x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) alakban keres¨ uk. A c1 (x) ´es c2 (x) f¨ uggv´enyeket u ´gy kell meghat´arozni, hogy az yp (x) megold´asa legyen az (2.4) egyenletnek. A k¨ovetkez˝o t´etelben bemutatjuk, hogyan hat´arozhat´ok meg a c1 (x) ´es c2 (x) f¨ uggv´enyek. 2.4. T´ etel. Az

y ′′ (x) + ay ′ (x) + by(x) = g(x)

inhomog´en egyenlet partikul´aris megold´ as´ at a yp (x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) alakban keress¨ uk, ahol C1 y1 (x) + C2 y2 (x) az inhomog´en egyenlethez tartoz´o homog´en egyenlet ´alat´anos megold´asa, a c1 (x) ´es c2 (x) f¨ uggv´enyeket pedig a k¨ovetkez˝ o egyenletrendszerb˝ol hat´arozzuk meg: c′1 (x)y1 (x) + c′2 (x)y2 (x) = 0 c′1 (x)y1′ (x) + c′2 (x)y2′ (x) = g(x) Az inhomog´en egyenleteket m´as m´odszerrel is megoldhatjuk. Ennek az elj´ar´asnak a neve hat´arozatlan egy¨ utthat´ok m´odszere. 2. Hat´ arozatlan egy¨ utthat´ ok m´ odszere A (2.4) konstans egy¨ utthat´os inhomog´en egyenlet partikul´alis megold´as´at a g(x) f¨ uggv´eny alakj´at´ol f¨ ugg˝oen hat´arozhatjuk meg. 5

• Ha g(x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , akkor yp (x) = (bn xn + . . . + b1 x + b0 )xs ,

s ∈ 0, 1, 2.

• Ha g(x) = (an xn + . . . + a1 x + a0 )eαx , akkor yp (x) = eαx (bn xn + . . . + b1 x + b0 )xs ,

s ∈ 0, 1, 2.

• Ha g(x) = (an xn + . . . + a1 x + a0 )eαx sin βx, akkor yp (x) = eαx cos βx(bn xn + . . . + b1 x + b0 )xs ,

s ∈ 0, 1, 2.

• Ha g(x) = (an xn + . . . + a1 x + a0 )eαx cos βx, akkor yp (x) = eαx sin βx(bn xn + . . . + b1 x + b0 )xs ,

s ∈ 0, 1, 2.

Az s param´eter ´ert´eke att´ol f¨ ugg, hogy a megfelel˝o homog´en egyenletet milyen line´arisan f¨ uggetlen partikul´aris megold´asok alkotj´ak. Pontosabban, az s ∈ 0, 1, 2 ´ert´ekeket az s param´eter a k¨ovetkez˝o gondolatmenet u ´tj´an veszi fel: az s = 0 esetben leellen˝orizz¨ uk, hogy van-e rezonancia a megfelel˝o homog´en egyenlet ´altal´anos megold´as´aval, vagyis az yp (x) line´aris kombin´aci´oj´at alkot´o f¨ uggv´enyek k¨oz¨ ul valamelyik szerepel-e m´ar a megfelel˝o homog´en egyenlet ´altal´anos megold´as´aban. Ha igen, akkor az s = 1 esetben u ´jra ellen˝orizz¨ uk a rezonanci´at. Ha m´eg mindig l´etezik rezonancia, akkor az s = 2 ´ert´eket helyettes´ıtj¨ uk be. A bs , bs−1 , . . . , b0 hat´arozatlan egy¨ utthat´okat az egyenletbe val´o behelyettes´ıt´essel kapjuk meg.

2.4.

Koordin´ atarendszer ´ es t¨ uk¨ ork´ epek

Ebben a fejezetben olyan p´eld´akat mutatok be, ahol a differenci´alegyenlet ´altal´anos megold´asa olyan g¨orbesereg, amely valamilyen szimmetria tulajdons´agot mutat. Lesznek olyan g¨orb´ek p´eld´aul, amelzek tengelyesen szimmetrikusak az y-tengelyre, vagyis az y-tengelyre t¨ ukr¨ozhet˝o, azut´an olyanok, amelyek k¨oz´eppontosan szimmetrikusak az orig´ora, vagy ahol a g¨orbesereg bizonyos elemei egym´as t¨ uk¨ork´epei az x-tengelyhez viszony´ıtva. 2.1. P´ elda. Tekints¨ uk meg a y ′ = −sinx differenci´alegyenletet, melynek a megold´asa a k¨ovetkez˝ok´epp zajlik. dy = − sin xdx ∫ ∫ 1dy = − sin xdx y = cos x + C A k¨ovetkez˝o grafikonon a differenci´alegyenlet partikul´aris megold´asai l´athat´oak a C ={−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 } ´ert´ekekre. 6

4

2

-6

-4

2

-2

4

6

-2

-4

1. ´abra Az 1. ´abr´an l´athat´o megold´asok szimmetrikusak az y-tengelyre. Most oldjuk meg a k¨ovetkez˝o p´eld´at. √ 2.2. P´ elda. A y ′ = 4x y alak´ u differenci´alegyenletetmegold´asa ´ıgy zajlik. ∫ ∫ dy √ = 4xdx y √ 2 y = 2x2 + C1 √ y = x2 + C2 y = (x2 + C2 )2 A k¨ovetkez˝o grafikonon a differenci´alegyenlet partikul´aris megold´asai l´athat´oak a C2 = {−2, −1, 0, 1, 2} ´ert´ekekre. 10

8

6

4

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

2. ´abra Az 2. ´abr´an l´athat´o megold´asok szimmetrikusak az y-tengelyre, vagyis az y-tengelyre t¨ ukr¨ozhet˝ok. 7

2.3. P´ elda. N´ezz¨ uk meg a y = xy ′ differenci´alegyenletet megold´as´at. y=x

dy dx

dy dx = y x ln |y| = ln |x| + ln C1 |y| = C1 |x| y = C2 x A k¨ovetkez˝o grafikonon a differenci´alegyenlet partikul´aris megold´asai l´athat´oak a C2 = {−5, −2, −1, −0.2, 0.2, 1, 2, 5} ´ert´ekekre. 4

2

-4

2

-2

4

-2

-4

3. ´abra Az 3. ´abr´an l´athat´o megold´asok k¨oz´eppontosan t¨ ukr¨ozhet˝ok a (0, 0) ponton, azaz a koordin´atarendszer kezd˝opontj´an, valamint a partikul´aris megold´asok egym´as t¨ uk¨ork´epei az x-tengelyen ´es y-tengelyen kereszt¨ ul, amikor a megold´asokn´al a C2 ´es −C2 konstansokat v´alasztjuk. x 2.4. P´ elda. Oldjuk meg a y ′ = − differenci´alegyenletet. y ∫ ∫ ydy = − xdx x2 y2 = − + C1 2 2 2 2 x + y = 2C1 x2 + y 2 = C2 A k¨ovetkez˝o grafikonon a differenci´alegyenlet partikul´aris megold´asai l´athat´oak a C2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ´ert´ekekre.

8

3

2

1

-3

-2

1

-1

2

3

-1

-2

-3

4. ´abra Ennek a differenciaegyenletnek a partikul´aris megold´asai szimmetrikusak az y-tengelyre, az x-tengelyre ´es a (0, 0) pontra is, vagyis tengelyesen ´es k¨oz´eppontosan is t¨ ukr¨ozhet˝ok. x 2.5. P´ elda. Oldjuk meg a y ′ = differenci´alegyenletet. y ∫ ∫ y2 x2 ydy = xdx, = + C1 , y 2 − x2 = 2C1 , y 2 − x2 = C2 . 2 2 A k¨ovetkez˝o grafikonon a differenci´alegyenlet partikul´aris megold´asai l´athat´oak a C2 = {−1, −2, −3, 1, 2, 3} ´ert´ekekre. 3

2

1

-3

-2

1

-1

-1

-2

-3

5. ´abra 9

2

3

Ennek a differenciaegyenletnek a partikul´aris megold´asai szimmetrikusak, vagyis t¨ ukr¨ozhet˝ok az y-tengelyre, az x-tengelyre ´es a (0, 0) pontra is. 2.6. P´ elda. Tekints¨ uk meg a y ′′ − y = 0 differenci´alegyenletet. Az egyenlet karakterisztikus egyenlete r2 − 1 = 0 Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy az r1 = 1 ´es r2 = −1. Vagyis a differenci´alegyenlet megold´asa y = C1 e−x + C2 ex A k¨ovetkez˝o grafikonon a differenci´alegyenlet partikul´aris megold´asai l´athat´oak a C1 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} ´es C1 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} ´ert´ekekre. 20

10

-6

-4

2

-2

4

6

-10

-20

6. ´abra Az 6. ´abr´an l´athat´o megold´asok szimmetrikusak az y-tengelyre, valamint, ha a konsansokat u ´gy v´alasztjuk k´et megold´asn´al, hogy C1 ´es −C1 , C2 ´es −C2 akkor a k´et megold´asg¨orbe is egym´as t¨ uk¨ork´epe az x-tengelyen kereszt¨ ul. 2.7. P´ elda. N´ezz¨ uk meg a x2 y ′′ − 5xy ′ + 8y = 0 differenci´alegyenletet. El˝osz¨or helyettes´ıts¨ uk az x = et v´altoz´ot. Ekkor y = y(t). y′ =

y ′′ =

d dy ( )= dx dx

d dy dt dx d x dt

=

dy dt dy = = dx dt dx

d y˙ dt et et

=

dy dt dx dt

=

y˙ et

1 d 1 1 (ye ˙ t ) = t (¨ y e−t − ye ˙ −t ) = (¨ y − y) ˙ 2t t e dt e e

Ha ezt behelyettes´ıtj¨ uk az egyenletbe: e2t (¨ y − y) ˙

1 y˙ − 5et t + 8y = 0 2t e e

y¨ − 6y˙ + 8y = 0 10

Ennek a differenci´alegyenletnek a karakterisztikus egyenlete r2 − 6r + 8 = 0. Ekkor r1 = 2 ´es r2 = 4. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a differenci´alegyenlet megold´asa y(t) = C1 e2t + C2 e4t . Ha visszahelyettes´ıtj¨ uk az x-et akkor y(x) = C1 x2 + C2 x4 . A k¨ovetkez˝o grafikonon a differenci´alegyenlet partikul´aris megold´asai l´athat´oak a C1 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} ´es C1 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} ´ert´ekekre. 2

1

-2

1

-1

2

-1

-2

7. ´abra Az 7. ´abr´an l´athat´o megold´asok szimmetrikusak az y-tengelyre, valamint, ha a konstansokat u ´gy v´alasztjuk k´et megold´asn´al, hogy C1 ´es −C1 , C2 ´es −C2 akkor a k´et megold´asg¨orbe is egym´as t¨ uk¨ork´epe az x-tengelyen kereszt¨ ul. Megfigyelhet˝o, hogy a 3. p´elda kiv´etel´evel, minden differenci´alegyenlet partikul´aris megold´asai szimmetrikusak az y-tengelyre, m´ıg a 3.,4.,5.,6. ´es 7. p´elda egy-egy partikul´aris megold´asa t¨ uk¨ork´epei egym´asnak az x-tengelyen kereszt¨ ul , a 3. p´elda egyegy partikul´aris megold´asa t¨ uk¨ork´epei egym´asnak az y-tengelyen kereszt¨ ul, ´es a 3.,4. ´es 5. p´elda partikul´aris megold´asai szimmetrikusak a (0, 0) pontra is.

3.

Differenciaegyenletek

Ebben a fejezetben a differenciaegyenletekr˝ol lesz sz´o. Bemutatom, hogy az ismert differenci´alegyenletekhez hasonl´o tulajdons´agokkal rendelkeznek, ´es a megold´asukat is hasonl´ok´epp v´egezz¨ uk.

11

3.1.

Alapfogalmak

Ebben a dolgozatban a differenciaegyenleteket fogalm´at a sz´amsorozatok seg´ıts´eg´evel vezetem be. El˝osz¨or defini´alom, mi is az a sz´amsorozat. 3.1. Defin´ıci´ o. Azokat az f : N → R val´ os f¨ uggv´enyeket, melyek minden n term´eszetes sz´amhoz egy an val´os sz´amot rendelnek hozz´a, v´egtelen sz´amsorozatoknak, r¨ oviden sorozatoknak nevezz¨ uk. an a sorozat n-edik eleme (vagy tagja), amelyet szok´as a sorozat ´altal´anos elem´enek is nevezni. Mag´at a sorozatot {an }-nel jel¨olj¨ uk. Most a v´eges differencia fogalm´anak defin´ıci´oja k¨ovetkezik. 3.2. Defin´ıci´ o. Egy {an } val´os sz´amsorozat v´eges differenci´ aj´ an a ∆an = an+1 − an ,

n = 1, 2, ....

k¨ ul¨ onbs´eget ´ertj¨ uk. Az a lek´epez´es, amely az {an } sorozathoz hozz´arendeli a {∆an } sorozatot, a k¨ovetkez˝o tulajdons´aggal rendelkezik: ∆(an + bn ) = ∆an + ∆bn , ´es ha λ val´os sz´am, akkor ∆(λan ) = λ · ∆an , vagyis a ∆ az ¨osszead´assal ´es a λ-val val´o szorz´assal felcser´elhet˝o. Ezt a tulajdons´agot u ´gy fejezz¨ uk ki r¨oviden, hogy ∆ line´aris. A m´asodik differenci´at a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ertelmezz¨ uk: ∆2 an = ∆(∆an ) = an+2 − 2an+1 + an . Ezek alapj´an defini´allhat´o a differenciaegyenlet fogalma. 3.3. Defin´ıci´ o. Azt az f¨ uggv´enyegyenletet, amely a f¨ uggetlen v´altoz´ ot, az ismeretlen f¨ uggv´enyt, valamint az ismeretlen f¨ uggv´eny differenci´ aj´ at tartalmazza, differenciaegyenletnek nevezz¨ uk. A differenciaegyenlet rendje az ismeretlen f¨ uggv´eny differenciaegyenletben szerepl˝o legmagasabb differenci´ aj´ anak a rendje. A defin´ıci´oban f¨ uggv´enyt eml´ıtek, de a val´os f¨ uggv´enyek egy speci´alis eset´ere gondolok, a sorozatokra. A differenci´alegyenletekhez hasonl´oan a differenciaegyenletekben az ismeretlen egy sz´amsorozat. Az egyenlet megold´asakor olyan yn sorozatokat keres¨ unk, amelyeket differenci´aikkal egy¨ utt a differenciaegyenletbe helyettes´ıtve egy azonoss´agot kapunk. Adott F : N × R2 → R ´es f : N × R → R f¨ uggv´enyekre az els˝orend˝ u differenciaegyenlet implicit alakja F (n, yn , ∆yn ) = 0, explicit alakja pedig ∆yn = f (n, yn ). 12

(3.5)

Adott G : N × R3 → R ´es g : N × R2 → R f¨ uggv´enyekre a m´asodrend˝ u differenci´alegyenlet implicit alakja G(n, yn , ∆yn , ∆2 yn ) = 0, (3.6) explicit alakja pedig ∆2 yn = g(n, yn , ∆yn ). A differenciaegyenleteket megadhatjuk a ∆ oper´ator seg´ıts´eg´evel, de sok esetben a ∆an = an+1 − an ´es ∆2 an = an+2 − 2an+1 + an egyenl˝os´egeket alkalmazva ´ırjuk fel az egyenletet. Ebben a dolgozatban mindk´et jel¨ol´est haszn´alom majd, hogy az anal´ogi´akra jobban r´a tudjak mutatni. Az alapfogalmak bevezet´es´en´el az els˝o alakot haszn´alom, a differenciaegyenlet t´ıpusokn´al pedig a m´asodikat. Most pedig a differenciaegyenlet megold´as´anak fogalm´at defini´alom. 3.4. Defin´ıci´ o. A differenciaegyenlet megold´ asa minden olyan val´os sz´amsorozat amely kiel´eg´ıti a differenciaegyenletet. 3.5. Defin´ıci´ o. Els˝orend˝ u differenciaegyenlet ´altal´ anos megold´ asa olyan megold´ as, amelyben szerepel egy tetsz˝oleges 1-periodikus f¨ uggv´eny. 3.6. Defin´ıci´ o. Az f (x) = f (x + 1) alak´ u f¨ uggv´enyeket 1-periodikus f¨ uggv´enyeknek nevezz¨ uk. 3.7. Defin´ıci´ o. A ∆yn = f (n, yn ) els˝ orend˝ u differenciaegyenlet minden olyan megold´ as´ at, amelyet az egyenlet yn = yn (C) ´ altal´ anos megold´ as´ ab´ ol kapunk a C param´eter egy konkr´et (megengedett) C = C0 ´ert´ek´ere, ahol C tetsz˝oleges 1-periodikus f¨ uggv´eny, partikul´aris megold´asnak nevezz¨ uk. 3.8. Defin´ıci´ o. M´asodrend˝ u differenciaegyenlet ´altal´ anos megold´ asa minden olyan megold´ as, amelyben k´et tetsz˝oleges 1-periodikus f¨ uggv´eny szerepel. 3.9. Defin´ıci´ o. Az ∆2 yn = g(n, yn , ∆yn ) m´ asodrend˝ u differenci´ alegyenlet minden olyan megold´as´at, amelyet az egyenlet yn = yn (C1 , C2 ) ´altal´ anos megold´ as´ ab´ ol kapunk vagy csak a C1 , vagy csak a C2 , vagy mindk´et param´eter konkr´et C1 = C01 vagy C2 = C02 ´ert´ek´ere, ahol C1 ´es C2 1-periodikus f¨ uggv´enyek, partikul´ aris megold´ asnak nevezz¨ uk. Meg´allap´ıthat´o, hogy a differenci´alegyenletek ´es a differenciaegyenletek defini´al´asa hasonl´o, ´es hasonl´o t´ıpus´ u egyenletekre hasonl´o megold´asi elj´ar´asok tal´alhat´ok. Ez´ert tekinthetj¨ uk a differenciaegyenletek elm´elet´et u ´gy, mintha egy t¨ uk¨orb˝ol n´ezn´enk a differenci´alegyenleteket. A sok hasonl´os´ag mellett viszont l´enyegbeli k¨ ul¨onb¨oz˝os´egeket is ´eszrevehet¨ unk a k´et tudom´anyter¨ ulet k¨oz¨ott. A differenci´alegyenletekn´el az ´altal´anos megold´as egy f¨ uggv´enysereg, melyek grafikonjai olyan folytonos g¨orb´ek, amelyek konstansban k¨ ul¨onb¨oznek egym´ast´ol. A differenciaegyenletek eset´eben az ´altal´anos megold´as viszont egy sorozatsereg, melyek grafikonjai diszkr´et pontok, ´es amelyek 1periodikus f¨ uggv´enyben k¨ ul¨onb¨oznek egym´ast´ol.

13

3.2.

N´ eh´ any differenciaegyenlet t´ıpus

Ebben a fejezetben a differenci´alegyenletekn´el m´ar bemutatott t´ıpusoknak megfelel˝o differenciaegyenlet t´ıpusokkal foglalkozom. 3.2.1.

Els˝ orend˝ u line´ aris differenciaegyenletek

3.10. Defin´ıci´ o. Az yn+1 − pn yn = qn alak´ u differenciaegyenletet, ahol {pn } ´es {qn } tetsz˝oleges val´o sz´amsorozatok, els˝orend˝ u line´aris differenciaegyenletnek nevezz¨ uk. A line´aris differenciaegyenlet megold´as´ara fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o t´etel. 3.1. T´ etel. Az yn+1 − pn yn = qn els˝ orend˝ u line´aris differenciaegyenlet megold´ as´ anak alakja, ahol {pn } ´es {qn } tetsz˝oleges val´o sz´amsorozatok, a k¨ovetkez˝ o yn = Pn ∆−1

qn + CPn . Pn+1

Bizony´ıt´as. A line´aris differenciaegyenletet megoldhatjuk, ha egy tetsz˝oleges n = α kezdeti ´ert´ekre adott yα = y0 . Ekkor az S halmaz α, α + 1, α + 2, ... sz´amokb´ol ´all. El˝osz¨or tekints¨ uk meg az yn+1 − pn yn = 0, yα = y0 egyenletrendszert. Ebb˝ol kifejezhetj¨ uk a k¨ovetkez˝oket yn = pn−1 yn−1 yn−1 = pn−2 yn−2 ··· yα+1 = pα yα Ebb˝ol yn = y0 pα pα+1 · · · pn−1 = y0 Pn ahol Pn egyenl˝o Pn =

n−1 ∏

pt , Pα = 1

t=α

A fenti 3.7 egyenletb˝ol ( ∆

yn Pn

) =

yn+1 yn − = ∆y0 = 0 Pn+1 Pn

Az yn+1 − pn yn = qn 14

(3.7)

egyenletet Pn+1 -el osztva a k¨ovetkez˝ot adja yn+1 yn qn − = . Pn+1 Pn Pn+1 Ebb˝ol

yn qn = Pn Pn+1 yn qn = ∆−1 +C Pn Pn+1 ∆

ahol C tetsz˝oleges 1-periodikus f¨ uggv´eny. yn = Pn ∆−1

qn + CPn . Pn+1

⋄ A 3.1. T´etel a differenci´alegyenletekn´el a megfelel˝oje a fenti t´etelnek. A k¨ovetkez˝o p´eld´aban a fenti t´etel akalmaz´asa lesz bemutatva. 3.1. P´ elda. Oldjuk meg a yn+1 − yn = n line´aris differenciaegyenletet. A fenti t´etelt alkalmazva k¨ovetkez˝o eredm´enyeket kapjuk. Az egyenletb˝ol pn = 1, vagyis n−1 ∏ Pn = 1 = 1, t=1

vagyis

yn = ∆−1 n + C.

Teh´at az ´alta´anos megold´as: yn =

3.3. 3.3.1.

n(2) n(n − 1) +C = +C 2 2

M´ asodrend˝ u konstans egy¨ utthat´ os line´ aris differenciaegyenletek Homog´ en differenciaegyenletek

Defini´aljuk a homog´en differenciaegyenlet fogalm´at. 3.11. Defin´ıci´ o. Az ayn+2 + byn+1 + cyn = 0 alak´ u differenciaegyenletet, ahol a, b, c ∈ R tetsz˝ oleges ´alland´ok ´es a ̸= 0, homog´en m´ asodrend˝ u line´aris differenciaegyenletnek nevezz¨ uk. Mint ahogy a differenci´alegyenletekn´el, itt is visszavezethetj¨ uk a differenciaegyenlet megold´as´at egy m´asodfok´ u algebrai egyenlet megold´as´ara. Ezt l´athatjuk a k¨ovetkez˝o t´etelben. 15

3.2. T´ etel. A ayn+2 + byn+1 + cyn = 0 differenciaegyenletnek az y = λn megold´ asa 2 akkor ´es csakis akkor ha aλ + bλ + c = 0. Bizony´ıt´as. Legyen yn = λn . Ekkor yn+1 = λn+1 ´es yn+2 = λn+2 . Ha ezt behelyettes´ıtj¨ uk a differenciaegyenletbe, akkor a k¨ovetkez˝ot kapjuk: aλn+2 + bλn+1 + cλn = 0. Ezt az egyenletet eloszthatjuk λn -el,´es ´ıgy az aλ2 + bλ + c = 0 egyenletet kapjuk. ⋄ ´ Eszrevehet˝ o, hogy az elhangzott t´etel ´es bizony´ıt´as´anak ¨otlete anal´og a differenci´alegyenletekn´el tal´alhat´o megfelel˝o t´etel bizony´ıt´as´aval. Az aλ2 + bλ + c = 0 egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezz¨ uk. A differenciaegyenlet megold´asa a karakterisztikus egyenlet megold´as´at´ol f¨ ugg. • Ha λ1 , λ2 ∈ R ´es λ1 ̸= λ2 , akkor yn = c1 λn1 + c2 λn2 , ahol c1 ´es c2 1-periodikus f¨ uggv´enyek. • Ha λ1 ∈ R akkor

yn = c1 λn1 + c2 nλn1 ,

ahol c1 ´es c2 1-periodikus f¨ uggv´enyek. • Ha λ1 = d + f i = ρeαi , λ2 = d − f i = ρe−αi ∈ C akkor yn = ρn (c1 cos αn + c2 sin αn), ahol c1 ´es c2 1-periodikus f¨ uggv´enyek. Fontos megjegyezni, hogy az 1-periodikus f¨ uggv´enyek a diszkr´et pontokban u ´gy viselkednek mint a konstansok, vagyis ´alland´o az ´ert´ek¨ uk. Ez´ert nem hiba, ha a p´eld´akban 1-periodikus f¨ uggv´eny helyett konstansokat eml´ıt¨ unk. 3.3.2.

Inhomog´ en differenciaegyenletek

Az inhomog´en differenciaegyenletekn´el is jelen van az anal´ogia. Ez l´athat´o a k¨ovetkez˝o defin´ıci´okban ´es t´etelekben. 3.12. Defin´ıci´ o. Az ayn+2 + byn+1 + cyn = gn

(3.8)

alak´ u differenciaegyenletet, ahol gn sorozat, a, b, c ∈ R konstansok ´es a ̸= 0 inhomog´en m´ asodrend˝ u line´aris differenciaegyenletnek nevezz¨ uk. 16

3.3. T´ etel. Az ayn+2 + byn+1 + cyn = gn inhomog´en egyenlet megold´asa yn = c1 yn1 + c2 yn2 + ynp , ahol az yn1 ´es yn2 az inhomog´en egyenlethez tartoz´o homog´en egyenlet ´altal´ anos megp old´ asa, ´es yn az inhomog´en egyenlet partikul´ aris megold´ asa. L´athat´o, hogy az inhomog´en differenciaegyenlet ´es differenci´alegyenlet megold´as´anak alakja is megegyezik. Mint ahogy a differenci´alegyenletekn´el, az inhomog´en egyenleteket a konstansvari´aci´os m´odszerrel vagy a hat´arozatlan egy¨ utthat´ok m´odszer´evel oldjuk. Konstansvari´ aci´ os m´ odszer A konstansvari´aci´os m´odszern´el a partikul´aris megold´ast az ynp = c1n yn1 + c2n yn2 alakban keres¨ uk. A c1n ´es c2n sorozatokat u ´gy kell meghat´arozni, hogy az ynp megold´asa legyen az 3.8 egyenletnek. A k¨ovetkez˝o t´etelben bemutatjuk hogyan hat´arozhat´o meg a c1n ´es c2n sorozat. 3.4. T´ etel. Az ayn+2 + byn+1 + cyn = gn inhomog´en egyenlet partikul´aris megold´ as´ at a ynp = c1n yn1 + c2n yn2 alakban keress¨ uk, ahol yn1 ´es yn2 az inhomog´en egyenlethez tartoz´o homog´en egyenlet ´alat´anos megold´asa, a c1n ´es c2n sorozatokat pedig a k¨ovetkez˝ o egyenletrendszerb˝ol hat´ arozzuk meg: 1 2 ∆c1n yn+1 + ∆c2n yn+1 =0 1 2 ∆c1n yn+2 + ∆c2n yn+2 = gn p p ´es yn+2 ´ert´ekeket. Bizony´ıt´as. El˝osz¨or sz´amoljuk ki a yn+1 p 2 1 = + c2n+1 yn+1 yn+1 = c1n+1 yn+1 2 1 2 1 . + ∆c2n yn+1 + ∆c1n yn+1 + c2n yn+1 = c1n yn+1 2 1 azonosan 0 sorozat. + ∆c2n yn+1 Tegy¨ uk fel, hogy a ∆c1n yn+1 p 2 1 = + c2n+2 yn+2 yn+2 = c1n+2 yn+2 2 1 2 1 . + ∆c2n yn+2 + ∆c1n yn+2 + c2n yn+2 = c1n yn+2

Ha a kapott kifejez´eseket behelyettes´ıtj¨ uk a 3.8 egyenletbe, akkor a k¨ovetkez˝oket kapjuk: 1 1 c1n (yn+2 + ayn+1 + byn1 )+ 17

2 2 + ayn+1 + byn2 )+ c2n (yn+2 1 2 ∆c1n yn+2 + ∆c2n yn+2 = gn . 1 1 2 Mivel yn1 ´es yn2 a homog´en egyenlet megold´asai, ez´ert a yn+2 + ayn+1 + byn1 ´es yn+2 + 2 ayn+1 + byn2 kifejez´esek egyenl˝oek 0-val. Vagyis 1 2 ∆c1n yn+2 + ∆c2n yn+2 = gn .

⋄ Most mutassuk be ennek a m´odszernek az alkalmaz´as´at egy p´eld´an. 3.2. P´ elda. Az yn+2 − 5yn+1 + 6yn = 2n egyenletet oldjuk meg konstanvari´aci´os m´odszerrel. Az egyenlet homog´en r´esz´enek a karakterisztikus egyenlete λ2 − 5λ + 6 = 0, melynek a karakterisztikus gy¨okei λ1 = 2 ´es λ2 = 3. Teh´at a homog´en egyenlet ´altal´anos megold´asa yn = c1 2n + c2 3n . Keress¨ uk a partikul´alis megold´ast ynp = c1n 2n + c2n 3n alakban. Mint l´athattuk, a c1 , c2 sorozatoknak ki kell el´eg´ıteni a ∆c1n 2n+1 + ∆c2n 3n+1 = 0 ∆c1n 2n+2 + ∆c2n 3n+2 = 2n egyenletrendszert minden n eset´en. Ez´ert ∆c1n

1 1 = − , ∆c2n = 2 3

( )n 2 , 3

ahonnan egy lehets´eges v´alaszt´as 1 1∑ = − n, c2n = 2 3 t=1 n−1

c1n

( )t ( )n−1 2 2 =1− . 3 3

´Igy az inhomog´en egyenlet partikul´aris megold´asa : ( )n−1 ( ) 1 n 2 3 1 p n yn = − n2 + 1 − 3 = − − n 2n + 3n , 2 3 2 2 ´es az ´altal´anos megold´as: yn =

(

) 3 1 c1 − − n 2n + (c2 + 1)3n 2 2

ahol c1 , c2 ∈ R ami ekvivalens az 1 yn = (d1 2n + d2 3n ) − n2n 2 fel´ır´assal, ahol d1 , d2 ∈ R. 18

Mint l´athattuk a konstansvari´aci´os m´odszer el´eg hosszadalmas elj´ar´as a differenciaegyenletek eset´eben. Az inhomog´en egyenleteket egyszer˝ ubben is megoldhatjuk. Ennek az elj´ar´asnak a neve hat´arozatlan egy¨ utthat´ok m´odszere. Hat´ arozatlan egy¨ utthat´ ok m´ odszere Az ayn+2 + byn+1 + cyn = λn∗ hn konstans egy¨ utthat´os inhomog´en egyenlet, λ∗ ∈ C, h s-edfok´ u polinom, s ∈ N partikul´alis megold´as´at ynp = λn∗ nm (bs + bs−1 ns−1 + · · · + b1 n + b0 ) alakban keress¨ uk, ahol az m > 0 eg´esz sz´am, a λ∗ komplex sz´amnak, mint karakterisztikus gy¨oknek a multiplicit´asa (ha λ∗ nem karakterisztikus gy¨ok, akkor m = 0). A bs , bs−1 , . . . , b0 hat´arozatlan egy¨ utthat´okkal az egyenletbe val´o behelyettes´ıt´essel hat´arozzuk meg. Ezt a m´odszert is szeml´eltess¨ uk p´eld´an. 3.3. P´ elda. Az yn+2 − 5yn+1 + 6yn = 2n egyenlet homog´en r´esz´enek a karakterisztikus egyenlete λ2 − 5λ + 6 = 0, melynek a karakterisztikus gy¨okei λ1 = 2 ´es λ2 = 3. Ebb˝ol meg´allap´ıthatjuk, hogy λ∗ = 2, hn = 1, ´es m = 1. Teh´at a partikul´alis megold´ast az ynp = bn2n alakban keress¨ uk. Behelyettes´ıtve ezt az inhomog´en egyenletbe a b konstansra a b((n + 2)2n+2 − 5(n + 1)2n+1 + 6n2n ) = −2b2n = 2n felt´etelt kapjuk, teh´at b = − 12 , vagyis a partikul´alis megold´as 1 ynp = − n2n . 2 Megfigyelhet˝o, hogy mindk´et m´odszerrel ugyanazt a megold´ast kapjuk, de a hat´arozatlan egy¨ utthat´ok m´odszer´evel gyorsabban ´es egyszer˝ ubb sz´amol´assal jutunk el a ´ v´egeredm´enyig. Eszrevehet˝o m´eg, hogy a konstansvari´aci´os m´odszer ´es a hat´arozatlan egy¨ utthat´ok m´odszere a differenci´alegyenletekn´el ´es a differenciaegyenletekn´el megegyezik, egyed¨ uli k¨ ul¨onbs´eg itt is csak az oper´atorokban van ´es abban a l´enyegbeli elt´er´esben, amit maga a megold´as jelent.

4.

Differenciaegyenletek t¨ uk¨ orb˝ ol

A differenciaegyenletek megold´asai sz´amsorozatok, melyek a [0, +∞) halmazon ´ertelmezettek, ez´ert szimmetrikus megold´asokat csak u ´gy tal´alhatunk, ha k´et megold´as k¨oz¨ott van szimmetria az x-tengellyel. Azonban m´eg ´ıgy is neh´ez szimmetrikus megold´asokat tal´alni. Ez is egyfajta k¨ ul¨onbs´eg a k´et egyenlett´ıpus k¨oz¨ott. Ebben a r´eszben olyen megold´asokat mutatok be, ahol l´athat´o a szimmetria, illetve amely megold´asok grafikonjai egym´as t¨ uk¨ork´epei. 19

4.1. P´ elda. N´ezz¨ uk a yn+2 − yn+1 + 14 yn = 0 differenciaegyenlet. Az egyenlet karakterisztikus egyenlete: λ2 − λ + Ebb˝ol

(

1 λ− 2

1 = 0. 4

)2 =0

1 λ1,2 = . 2 Teh´at az ´altal´anos megold´as ( )n ( )n 1 1 yn = C1 + C2 n . 2 2 A k¨ovetkez˝o ´abr´an a C1 = C2 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} ´ert´ekekre a partikul´aris megold´asok l´athat´oak. 4

2

2

4

6

8

10

12

14

-2

-4

8. ´abra Mint l´athatjuk, a megold´asok egym´as t¨ uk¨ork´epei. A C1 = C2 = {−3, −2, −1} ´alland´okat tartalmaz´o partikul´aris megold´asnak a C1 = C2 = {3, 2, 1} ´alland´okat tartalmaz´o partikul´aris megold´asok a t¨ uk¨ork´epei. 4.2. P´ elda. Tekints¨ uk meg a yn+2 − 34 yn+1 + 18 yn = 0 differenciaegyenletet. Az egyenlet karakterisztikus egyenlete: 1 3 λ2 − λ + = 0. 4 8 Ebb˝ol

(

1 λ− 2

)(

λ1 =

1 2

1 λ− 4

) =0

´es λ2 = 14 . 20

A differenciaegyenlet ´altal´anos megold´asa: ( )n ( )n 1 1 yn = C1 + C2 2 4 A k¨ovetkez˝o ´abr´an a C1 = C2 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} ´ert´ekekre a partikul´aris megold´asok l´athat´oak. 4

2

2

4

6

8

10

-2

-4

9. ´abra A k´et megold´as akkor lesz egym´asnak a t¨ uk¨ork´epe, ha C1 ´es −C1 valamint C2 ´es −C2 konstansokat v´alasztjuk a k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o partikul´aris megold´asra. 4.3. P´ elda. Tekints¨ uk meg a yn+2 − 32 yn+1 + 12 yn = 0 differenciaegyenletet. Az egyenlet karakterisztikus egyenlete: 3 1 λ2 − λ + = 0. 2 2 Ebb˝ol

(

1 (λ − 1) λ − 2

) =0

λ1 = 1 ´es λ2 = 21 . A differenciaegyenlet ´altal´anos megold´asa: ( )n 1 yn = C1 1 + C2 2 n

A k¨ovetkez˝o ´abr´an a C1 = C2 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} ´ert´ekekre a partikul´aris megold´asok l´athat´oak.

21

6

4

2

10

20

30

40

50

60

70

-2

-4

-6

10. ´abra A k´et megold´as akkor lesz egym´asnak t¨ uk¨ork´epe, ha C1 ´es −C1 valamint C2 ´es −C2 konstansokat v´alasztjuk. 4.4. P´ elda. Tekints¨ uk meg a yn+2 − 11 y + 56 yn = 0 differenciaegyenletet. Az 6 n+1 egyenlet karakterisztikus egyenlete: 11 5 λ2 − λ + = 0. 6 6 Ebb˝ol ( ) 5 (λ − 1) λ − =0 6 λ1 = 1 ´es λ2 = 65 . A differenciaegyenlet ´altal´anos megold´asa:

( )n 5 yn = C1 1 + C2 6 n

A k¨ovetkez˝o ´abr´an a C1 = C2 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} ´ert´ekekre a partikul´aris megold´asok l´athat´oak. 6

4

2

10

20

30

40

-2

-4

-6

11. ´abra 22

50

60

70

A k´et megold´as akkor lesz egym´asnak t¨ uk¨ork´epe, ha C1 ´es −C1 valamint C2 ´es −C2 konstansokat v´alasztjuk a partikul´aris megold´asokra. 4.5. P´ elda. Tekints¨ uk meg a yn+2 − egyenlet karakterisztikus egyenlete: λ2 −

19 y 10 n+1

= 0 differenciaegyenletet. Az

19 9 λ+ = 0. 10 10 (

Ebb˝ol

9 y 10 n

+

9 (λ − 1) λ − 10

) =0

λ1 = 1 ´es λ2 =

9 . 10

A differenciaegyenlet ´altal´anos megold´asa: ( n

yn = C1 1 + C2

9 10

)n

A k¨ovetkez˝o ´abr´an a C1 = C2 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} ´ert´ekekre a partikul´aris megold´asok l´athat´oak. 6

4

2

10

20

30

40

50

60

70

-2

-4

-6

12. ´abra Enn´el a p´eld´anal is a partikul´aris megold´asok egym´as t¨ uk¨ork´epei. 4.6. P´ elda. Tekints¨ uk meg a yn+2 − egyenlet karakterisztikus egyenlete: λ2 − Ebb˝ol

39 y 20 n+1

19 y 20 n

+

19 39 λ+ = 0. 20 20 (

19 (λ − 1) λ − 20

)

λ1 = 1 ´es λ2 = 23

=0 19 . 20

= 0 differenciaegyenletet. Az

A differenciaegyenlet ´altal´anos megold´asa: ( n

yn = C1 1 + C2

19 20

)n

A k¨ovetkez˝o ´abr´an a C1 = C2 = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} ´ert´ekekre a partikul´aris megold´asok l´athat´oak. 6

4

2

10

20

30

40

50

60

70

-2

-4

-6

13. ´abra A k´et megold´as akkor lesz egym´asnak t¨ uk¨ork´epe, ha C1 ´es −C1 valamint C2 ´es −C2 konstansokat v´alasztjuk. 4.7. P´ elda. Tekints¨ uk meg a yn+2 −2yn+1 +yn = 0 differenciaegyenletet. Az egyenlet karakterisztikus egyenlete: λ2 − 2λ + 1 = 0. Ebb˝ol (λ − 1)2 = 0 λ1,2 = 1. Teh´at az ´altal´anos megold´as yn = C1 1n + C2 n1n . A k¨ovetkez˝o ´abr´an a C1 ´es C2 nem konstans, hanem 1-periodikus f¨ uggv´eny, de a diszkr´et pontokban ugy viselkedik mint a konstans. Az itt l´ev˝o ´abr´an piros sz´ınnel van jel¨olve a amikor C1 = C2 = cos(2πn), lil´aval amikor C1 = C2 = − cos(2πn), narancss´arg´aval amikor C1 = tan(πn), C2 = cos(2πn), k´ekkel amikor C1 = − tan(πn), C2 = − cos(2πn), z¨oldel amikor C1 = cos(2πn), C2 = − cos(2πn), s´arg´aval pedig C1 = cos(2πn),C2 = − cos(2πn).

24

10

5

2

4

6

8

10

-5

-10

14. ´abra Ebben az esetben is ´erv´enyes, hogy a k´et megold´as akkor lesz egym´asnak t¨ uk¨ork´epe, ha C1 ´es −C1 valamint C2 ´es −C2 konstansokat v´alasztjuk. 4.8. P´ elda. Oldjuk meg a yn+2 − 2yn+1 + 2yn = 0 differenciaegyenletet is. Az egyenlet karakterisztikus egyenlete: λ2 + 2λ + 2 = 0. (λ − 1 − i)(λ − 1 + i) = 0 λ1 = 1 + i ´es λ2 = 1 − i Vagyis az ´alltal´anos megold´as:

(π )

yn = C1 sin

4

+ C2 cos

(π ) 4

.

A k¨ovetkez˝o ´abr´an a C1 = C2 = {−1, 1} ´ert´ekekre a partikul´aris megold´asok l´athat´oak.

2

1

10

20

30

-1

-2

15. ´abra L´athat´o, hogy a k´et a sorozat szimmetrikus egym´assal. 25

40

50

5.

¨ Osszegz´ es

Dolgozatom ´ır´asa sor´an az volt a c´elom, hogy kivizsg´aljam a hasonl´os´agokat ´es elt´er´eseket a differenci´alegyenletek ´es differenciaegyenletek tulajdons´agai k¨oz¨ott, valamint, hogy bemutassak olyan differenci´al- ´es differenciaegyenleteket, melyek megold´asainak grafikonjai szimmetrikusak. Meg´allap´ıthat´o, hogy a k´et egyenlet sok hasonl´os´agot mutat. L´enyegbeli k¨ ul¨onbs´eget jelent a k´et egyenlet fajta megold´asa, hiszen a differenci´alegyenletek eset´eben folytonos g¨orbe, illetve g¨orbesereg jelenti a megold´ast, a differenciegyenletek eset´eben pedig diszkr´et pontok, illetve azoknak egy serege, melyek m´eg 1-perodikus f¨ uggv´enyekben is elt´erhetnek egym´ast´ol. A hasonl´os´ag a differenciaegyenletek ´es differenci´alegyenletek defini´al´asa k¨oz¨ott, ´es a t´ıpusaik k¨oz¨ott is fellelhet˝o. Az ´altalam bemutatott line´aris differenciaegyenletek a line´aris differenci´alegyenletek valamif´ele t¨ uk¨ork´epei. Ugyanez elmondhat´o a m´asodrend˝ u konstans egy¨ utthat´os line´aris differenci´al- ´es differenciaegyenletek t´ıpusra is. Foglalkoztam m´eg a differenci´alegyenletek ´es differenciaegyenletek partikul´aris megold´as´anak alakj´aval is. Igyekeztem olyan p´eld´akat tal´alni, ahol a partikul´aris megold´asok szimmetrikusak az y-tengelyre, az x-tengelyre vagy a (0, 0) pontra. Ez csak a differenci´alegyenletekn´el lehets´eges, mivel a differenciaegyenletek csak az xtengely pozit´ıv fel´en ´ertelmezettek. ´Igy a differenciaegyenletekn´el a szimmetri´at k´et partikul´aris megold´as k¨oz¨ott kell keresni. Nagy ¨or¨om¨ot jelentett a sz´amomra, hogy megismerkedhettem a dolgozatban bemutatott u ´j fogalmakkal ´es azok k¨ ul¨onleges tulajdons´agaival. Rem´elem, hogy a j¨ov˝oben m´eg sok hasonl´o kih´ıv´as v´ar r´am.

Irodalom [1] K. S. Miller, An Introduction to the Calculus of Finite Differences and Difference Equations, Henry Holt and Company, New York, 1960. [2] L. Brand, Differential and Difference Equations, John Willey and Sons, New York, 1966. [3] T. Szer´enyi, Anal´ızis, Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1977. [4] G. Csik´os Pajor, H. P´eics, Anal´ızis, elm´eleti ¨osszefoglal´ o ´es p´eldat´ ar, Bolyai Farkas Alap´ıtv´any, Zenta, 2010. [5] H. P´eics, Oscilatorna reˇsenja diferencijalnih i diferencnih jednaˇcina sa kaˇsnjenjem - magistarski rad, Novi Sad, 1995. [6] M. Sain, Nincs kir´alyi u ´t, Gondolat, Budapest, 1986. [7] T. K´arm´an, M.A. Biot, Matematikai m´odszerek-m˝ uszaki feladatok megold´ as´ ara, M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, Budapest, 1963 [8] L. Hatvani, T.Krisztin, G.Makay, Dinamikus modellek a k¨ozgazdas´ agban, Polygon K¨onyvkiad´o, Szeged, 2001 26