Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek ´ o´ Losonczi Laszl ¨ ´ es ´ Gazdasagtudom ´ ´ Debreceni Egyetem, Kozgazdas aganyi Kar

´ o´ (DE) Losonczi Laszl

Differenciaegyenletek

1 / 24

´ unicitast ´ etel ´ 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- es ¨ by N0 a nemnegat´ıv egeszek ´ ´ azaz N0 = N ∪ {0}. Jelolje halmazat, ´ Legyen f : N0 × R → R adott fuggv eny, akkor az ¨ y (n + 1) = f (n, y(n))

(n ∈ N0 )

˝ egyenletet elsorend u˝ explicit differenciaegyenletnek nevezzuk. ¨ ´ ˝ egyertelm ´ Vilagos, hogy ha y(0) adott akkor az egyenletbol uen ˝ ´ meghatarozhat o´ az y (n) (n ∈ N0 ) sorozat valamennyi eleme.

´ unicitast ´ etel ´ Egzisztencia- es ´ a(0) ∈ R eseten ´ egyetlen olyan y(n) (n ∈ N0 ) Adott f : N0 × R → R es sorozat van melyre y (n + 1) = f (n, y(n))

´ y(0) = a(0) (n ∈ N0 ) es

teljesul. ¨ ´ o´ (DE) Losonczi Laszl


2 / 24

˝ 3.2 Egy egyszeru˝ elsorend u˝ egyenlet Tekintsuk ¨ az

y(n + 1) + py(n) = f (n)

(n ∈ N0 )

differenciaegyenletet, ahol p 6= 0 adott konstans f : N0 → R adott sorozat. Fel´ırva az egyenletet n = 0, 1, 2 . . . -re kapjuk, hogy y(1) = −py(0) + f (0) y(2) = −py(1) + f (1) = −p(−py (0) + f (0)) + f (1) = (−p)2 y (0) − pf (0) + f (1) y(3) = −py(2) + f (2) = −p((−p)2 y(0) − pf (0) + f (1)) + f (2) = (−p)3 y(0) + (−p)2 f (0) − pf (1) + f (2) ´ Indukcioval igazolhatjuk, hogy n−1 X y(n) = (−p) y (0) + (−p)n−1−k f (k ) n

(n ∈ N0 )

k=0

˝ ´ ´ ´ egyenletunk anos megoldasa ahol y (0) tetszoleges. ¨ altal ´ o´ (DE) Losonczi Laszl


3 / 24

¨ ´ modell 3.3 Egy noveked esi

¨ ´ as ´ es ´ S(n) a Legyen Y (n) a nemzeti jovedelem, I(n) a teljes beruhaz ´ az n-edik evben. ´ ´ teljes megtakar´ıtas Tegyuk ¨ fel, hogy a megtakar´ıtas ´ ¨ ´ as ´ aranyos ´ aranyos a nemzeti jovedelemmel, a beruhaz a nemzeti ¨ ¨ ´ evel ´ ´ ol ˝ az n + 1-edik evre ´ ´ a jovedelem novekm eny az n-edik evt es ´ ast ´ a megtakar´ıtas ´ fedezi (ez egy egyensulyi ´ ami beruhaz ´ feltetel ´ beruhaz ´ asra ´ szerint a teljes megtakar´ıtast ford´ıtjuk). Ekkor teljesul ¨ a ¨ kovetkez o˝ egyenletrendszer. S(n) = αY (n) I(n + 1) = β (Y (n + 1) − Y (n)) S(n) = I(n). Itt α, β pozit´ıv konstansok, melyekre β > α > 0. Keressuk ¨ meg Y (n)-et, ha Y (0) adott!



4 / 24

¨ ´ modell: a megoldas ´ 3.4 Egy noveked esi ´ A harmadik majd az elso˝ egyenletet a masodikba helyettes´ıtve kapjuk, hogy I(n + 1) = S(n + 1) = αY (n + 1) = β (Y (n + 1) − Y (n)) vagy Y (n + 1) −

α β Y (n) = Y (n + 1) − 1 + Y (n) = 0 β−α β−α

´ ˝ okben ˝ ´ −p = 1 + Felhasznalva az eloz kapott megoldast adatokkal kapjuk, hogy n α Y (n) = 1 + Y (0) (n ∈ N0 ). β−α 100α ¨ ´ rat ´ at ´ ad minden esi β−α % konstans noveked Y (n+1)−Y (n) α ¨ ´ konstans relat´ıv noveked est. β−α = Y (n)

Ez



α β−α ,

f (n) = 0

´ evben, vagy

5 / 24

´ al ´ o´ modell 3.5 Pokh ˝ ´ csak a Ha elsorend u˝ differenciaegyenletunkben az f fuggv eny ¨ ¨ ´ ´ ´ ol ´ fugg masodik valtoz ot azaz egyenletunk ¨ ¨ y (n + 1) = f (y(n))

´ y (0) = a(0) (n ∈ N0 ) es

´ egy un. pokh ´ al ´ o´ modellel szemleltethetj ´ alaku, uk: ´ akkor a megoldast ¨ ´ grafj ´ at, ´ es ´ az y = x egyenest, megrajzoljuk a f fuggv eny ¨ az (y(0), y (0)) = (a(0), a(0)) pontot egy egyenes szakasszal ¨ ¨ uk osszek otj ¨ az (y (0), f (y (0))) = (y(0), y(1)) ponttal, majd ezt a ¨ ¨ uk pontot egy egyenes szakasszal osszek otj ¨ az (y(1), y (1)) ponttal, ´ uk ´ ast ´ az (y(1), y (1)) pontbol ´ indulva, es ´ ´ıgy tovabb. ´ ismetelj ¨ az eljar ´ ¨ ¨ o˝ A fenti algoritmusban az y tengellyel parhuzamos osszek ot szakaszokat az x tengelyig meghosszabb´ıtva kapjuk e tengelyen a ¨ ´ an ´ al ´ az abr ´ ankon ´ sorozat y (0), y(1), . . . elemeit. A kovetkez o˝ peld ´ ´ a sorozat ezeket a meghosszabb´ıtasokat nem rajzoltuk be, csupan ¨ uk elemeit jelolt ¨ be az x tengelyen. ´ o´ (DE) Losonczi Laszl


6 / 24

´ al ´ o´ modell: pelda ´ 3.6 Pokh p ´ ankon ´ Abr az y (n + 1) = 4 − y (n) (n ∈ N0 ) differenciaegyenletre ´ al ´ ot ´ vazoltuk ´ ´ ek ´ mellett, vonatkozo´ pokh y(0) = 0pkezdo˝ ert √ √ ´ an ´ a y (1) = √ 2, y (2) = 2 ≈ 1, 414, y(3) = 4 − 2 ≈ 1, 608. Az abr ´ a h(x) = x fuggv ´ f (x) = 4 − x es enyek vannak felrajzolva. ¨



7 / 24

´ ´ unicitast ´ etel ´ 3.7 Masodrend u˝ differenciaegyenlet, egzisztencia- es ´ Legyen f : N0 × R × R → R adott fuggv eny, akkor az ¨ y(n + 2) = f (n, y(n + 1), y (n))

(n ∈ N0 )

´ egyenletet masodrend u˝ explicit differenciaegyenletnek nevezzuk. ¨ ´ ˝ egyertelm ´ Vilagos, hogy ha y(0), y(1) adottak akkor az egyenletbol uen ˝ ´ meghatarozhat o´ az (y(n)) (n ∈ N0 ) sorozat valamennyi eleme.

´ unicitast ´ etel ´ Egzisztencia- es ´ a(0), a(1) ∈ R eseten ´ egyetlen olyan Adott f : N0 × R × R → R es (y(n)) (n ∈ N0 ) sorozat van melyre y (n + 2) = f (n, y(n + 1), y(n))

´ y (0) = a(0), y(1) = a(1) (n ∈ N0 ) es

teljesul. ¨ ´ o´ (DE) Losonczi Laszl


8 / 24

´ differenciaegyenletek 3.8 Linearis ´ ´ ˝ eg ´ kedve´ ert ´ masodrend ´ Az alabbiakban az attekinthet os u˝ differenciaegyenletekkel foglalkozunk, de teljesen hasonlo´ ´ ´ enyesek ´ eredmenyek erv n-edrendu˝ egyenletekre is.

´ differenciaegyenletek Linearis ´ ´ az Adott p, q, f : N0 → R fuggv enyek eseten ¨ y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = f (n)

(n ∈ N0 )

(1)

´ ´ egyenletet masodrend u˝ linearis differenciaegyenletnek nevezzuk. ¨ ´ ´ A p, q fuggv enyek az egyenlet egyutthat oi, f az egyenlet szabad tagja. ¨ ¨ ´ ¨ Feltesszuk, o´ nem zerus (kul egyenletunk ¨ hogy a q egyutthat ¨ ¨ onben ¨ ´ ´ alacsonyabbrendu˝ volna, amint azt egy n → n − 1 masodrend un ˝ el ´ ´ ´ index eltolassal lathatjuk). Az (1) egyenletet homogennek nevezzuk ¨ ´ egyenletrol ˝ ha f (n) = 0 (n ∈ N0 ), ellenkezo˝ esetben inhomogen ´ egyenletet melyet (1)-bol ˝ f (n) = 0 ´ unk. beszel ¨ A homogen ´ ´ (kapcsolt) helyettes´ıtessel kapunk az (1) egyenlethez asszocialt ´ egyenletnek nevezzuk. homogen ¨ ´ o´ (DE) Losonczi Laszl


9 / 24

´ differenciaegyenletek 3.8 Linearis

´ ´ egyetlen olyan Vilagos, hogy adott a(0), a(1) ∈ R eseten (y(n)) (n ∈ N0 ) sorozat van melyre y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = f (n)

(n ∈ N0 )

´ y(0) = a(0), y (1) = a(1) teljesul. es ¨



10 / 24

´ homogen ´ differenciaegyenletek altal ´ anos ´ ´ 3.9 Linearis megoldasa ´ ´ homogen ´ differenciaegyenletek altal ´ anos ´ A masodrend u˝ linearis alakja y(n + 2) + p(n)y (n + 1) + q(n)y (n) = 0

(n ∈ N0 ).

(2)

ahol p, q adott sorozatok, q(n) 6= 0 valamely n ∈ N0 -ra. ¨ ˝ Konny u˝ ellenorizni, hogy ha y1 (n), y2 (n) (n ∈ N0 ) a (2) egyenlet ´ ˝ ´ ´ megoldasai, akkor tetszoleges C1 , C2 egyutthat okkal kepezett ¨ ´ kombinaci ´ ojuk ´ ´ y (n) = C1 y1 (n) + C2 y2 (n) (n ∈ N0 ) linearis is megoldasa ´ minden megoldas ´ ´ ilyen alakban kaphato´ meg (felteve, (2)-nek, es ´ ´ hogy az y1 (n), y2 (n) (n ∈ N0 ) megoldasok linearisan fuggetlenek, ¨ ´ ojuk ´ azaz fenti linearis kombinaci csak ugy ´ lehet nulla, ha C1 = C2 = 0, ´ eppen, ´ ´ konstansszorosai). Azt is vagy mask e sorozatok nem egymas mondjuk, hogy y(n) = C1 y1 (n) + C2 y2 (n) (n ∈ N0 ) a (2) egyenlet ´ ´ ´ altal anos megoldasa.



11 / 24

´ ´ fuggetlens ´ ´ 3.10 Megoldasok linearis ege, Casorati determinans ¨

´ igazolni, hogy a (2) homogen ´ egyenlet Nem nehez ´ ´ ´ y1 (n), y2 (n) (n ∈ N0 ) megoldasai linearisan fuggetlenek ¨ akkor es ´ csakis akkor ha e sorozatok Casorati determinansa, azaz y1 (n) y2 (n) 6= 0 Cy1 ,y2 (n) := y1 (n + 1) y2 (n + 1) ´ Sot, ˝ az is igaz, hogy ha Cy1 ,y2 (n0 ) 6= 0 valamely n0 ∈ N0 eseten. ´ valamely n0 ∈ N0 -ra, akkor Cy1 ,y2 (n) 6= 0 minden n ∈ N0 eseten.



12 / 24

´ inhomogen ´ egyenletek: a megoldas ´ szerkezete 3.11 Linearis

¨ Konny u˝ igazolni, hogy az y (n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = f (n)

(n ∈ N0 ).

´ ´ inhomogen ´ (ahol q(n) 6= 0 valamely n ∈ N0 -ra) masodrend u˝ linearis ´ anos ´ ´ egyenlet altal megoldasa y (n) = yh (n) + y(n) ¯

(n ∈ N0 )

´ homogen ´ alaku, ´ ahol yh (n) = C1 y1 (n) + C2 y2 (n) az asszocialt ´ ´ ´ ´ egyenlet altal anos megoldasa (azaz y1 (n), y2 (n) linearisan fuggetlen ¨ ´ ´ homogen ´ egyenletnek, C1 , C2 tetszoleges ˝ megoldasai az asszocialt ´ y¯ (n) egy u.n. partikularis ´ ´ ´ konstansok) es megoldasa inhomogen egyenletunknek. ¨



13 / 24

´ linearis ´ homogen ´ differenciaegyenletek 3.12 Konstansegyutthat os ¨ ´ Ha az (1) egyenletben p, q ∈ R, q 6= 0 konstans fuggv enyek ¨ ´ f (n) = 0 (n ∈ N0 ), akkor masodrend ´ (sorozatok) es u˝ ´ linearis ´ homogen ´ differenciaegyenletet kapunk: konstansegyutthat os ¨ y (n + 2) + py (n + 1) + qy(n) = 0

(n ∈ N0 ).

(3)

´ A (3) egyenlettel parhuzamosan tekintsuk ¨ a λ2 + pλ + q = 0

(4)

´ masodfok u´ algebrai egyenletet (ezt a (3) egyenlet karakterisztikus ´ egyenletenek nevezzuk). (4)-et λn -nel megszorozva kapjuk, hogy ¨ λn+2 + pλn+1 + qλn = 0 ˝ lathat ´ ´ hogy az y (n) = λn sorozat megoldasa ´ amibol o, (3)-nak, akkor ´es csakis akkor, ha λ megoldasa ´ a (4) karakterisztikus ´ ´ a (4) egyenlet D = p2 − 4q egyenletnek. A megoldasok viselkedese ´ at ´ ol ´ fugg. diszkriminans ¨ ´ o´ (DE) Losonczi Laszl


14 / 24

´ menete 3.13 A megoldas

´ Ha p2 − 4q > 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek ket ´ ekkor ¨ oz ¨ o˝ valos ´ λ1 6= λ2 megoldasa ´ kul ¨ onb van, es y1 (n) = λn1 , y2 (n) = λn2

(n ∈ N0 ).

´ ´ linearisan fuggetlen megoldasai (3)-nak, mivel Casorati ¨ ´ determinansuk a 0 pontban 1 1 = λ2 − λ1 6= 0. Cy1 ,y2 (0) = λ1 λ2 ´ most a (3) egyenlet altal ´ ´ ´ Ezert anos megoldasa y (n) = C1 λn1 + C2 λn2

(n ∈ N0 )

˝ ahol C1 , C2 tetszoleges konstansok.



15 / 24

´ menete 3.13 A megoldas Ha p2 − 4q = 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek egy ´ van, ekkor igazolhato, ´ ´ ´ λ1 == − p2 megoldasa ketszeres valos hogy y1 (n) = λn1 , y2 (n) = nλn1 (n ∈ N0 ) ´ megoldasai (3)-nak. λ1 = − p2 6= 0 mivel ha − p2 = 0, p2 − 4q = 0 ´ volna, akkor p = q = 0, ami ellentmond a q 6= 0 feltetelnek. ´ ´ y1 (n), y2 (n) linearisan fuggetlenek, mivel Casorati determinansuk ¨ a 0 pontban 1 0 = λ1 6= 0. Cy1 ,y2 (0) = λ1 λ1 ´ most (3) altal ´ ´ ´ Ezert anos megoldasa y (n) = C1 λn1 + C2 nλn1

(n ∈ N0 )

˝ ahol C1 , C2 tetszoleges konstansok.



16 / 24

´ menete 3.13 A megoldas ´ Ha p2 − 4q < 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek ket ¨ oz ¨ o˝ komplex ¨ kul ¨ onb gyoke van λ1,2 = α ± iβ ahol √ 4q−p2

α = − p2 , β = 6= 0, vagy trigonometrikus alakban 2 p λ1,2 = r (cos ϑ ± i sin ϑ) ahol (r = α2 + β 2 , cos ϑ = αr ). ´ es ´ kepzetes ´ ´ Ekkor λn1,2 = r n (cos(ϑn) ± i sin(ϑn)), a valos reszek ´ ´ ´ linearisan fuggetlen megoldasok, mivel Casorati determinansuk a ¨ 0 pontban 1 0 = r sin ϑ = r β = β 6= 0. Cy1 ,y2 (0) = r cos ϑ r sin ϑ r ´ ´ ´ A (3) egyenlet altal anos megoldasa y(n) = C1 r n cos(ϑn) + C2 r n sin(ϑn) (n ∈ N0 ) ˝ ahol C1 , C2 tetszoleges konstansok. ´ at´ ´ ırhato´ A megoldas y(n) = Ar n cos(ϑn + ω) vagy y (n) = Ar n sin(ϑn + ω) (n ∈ N0 ) ˝ alakba is, ahol A, ω tetszoleges konstansok. ´ o´ (DE) Losonczi Laszl


17 / 24

´ ´ modszere ´ 3.14 A hatarozatlan egyutthat ok ¨

´ ´ modszere ´ A hatarozatlan egyutthat ok ¨ ´ egyenlet f (n) szabad tagja az Ha az inhomogen an , nk , cos βn, sin βn

(5)

´ kombinaci ´ oja ´ (vagy ilyenek szorzata) akkor az sorozatok linearis ´ egyenletnek van olyan y(n) ´ ´ inhomogen ¯ megoldasa, mely az alabbi ´ ´ oja ´ sorozatok linearis kombinaci an , (1, n, n2 , . . . , nk ), (sin βn, cos βn), (cos βn, sin βn) ´ (vagy ilyenek szorzata), felteve hogy az (5)-beli sorozatok egyike ´ ´ egyenletnek. sem megoldasa a homogen



18 / 24


´ ´ modszere ´ A hatarozatlan egyutthat ok ¨ ´ ´ azatban ´ ´ ´ egyenlet megoldas ´ anak ´ Az alabbi tabl lathatjuk az inhomogen ´ ´ alakjat ´ (amennyiben f (n) nem megoldasa ´ (probamegold as) az ´ homogen ´ egyenletnek): asszocialt f (n) an nk n k an sin βn cos βn an sin βn an cos βn an nk sin βn an nk cos βn

y¯ (n) A1 a n Ak nk + Ak−1 nk−1 + · · · + A1 n + A0 (Ak nk + Ak−1 nk−1 + · · · + A1 n + A0 )an A1 sin βn + A2 cos βn A1 sin βn + A2 cos βn an (A1 sin βn + A2 cos βn) an (A1 sin βn + A2 cos βn) an (Ak nk +. . .+A0 )sin βn+an (Bk nk +. . .+B1 n+B0)cos βn an (Ak nk +. . .+A0 )sin βn+an (Bk nk +. . .+B1 n+B0)cos βn



19 / 24


´ ´ modszere ´ A hatarozatlan egyutthat ok ¨ ´ ´ valamelyik tagja megoldasa ´ az asszocialt ´ Ha a probamegold as ´ egyenletnek, akkor e tagnak megfelelo˝ probamegold ´ ´ homogen as r ´ szorozni kell n -lel, ahol r az a minimalis ´ kitevo˝ amivel minden tagjat ´ ´ mar ´ nem teljesul as ¨ az, hogy az uj, ´ (nr -nel megszorzott) probamegold ´ az asszocialt ´ homogen ´ egyenletnek. megoldasa ´ ´ 1.P ELDA . Az y(n + 2) − 5y (n + 1) + 6y(n) = 0 (n ∈ N0 ) homogen 2 ´ gyoke ¨ egyenlet karakterisztikus egyenlete λ − 5λ + 6 = 0 aminek ket ´ anos ´ ´ yh (n) = C1 2n + C2 3n . van λ1 = 2, λ2 = 3 ´ıgy altal megoldasa ´ 2.P ELDA . Az y(n + 2) − 5y (n + 1) + 6y(n) = 4n + n2 + 3 (n ∈ N0 ) ´ egyenlet egyenlet altal ´ anos ´ ´ inhomogen megoldasa n n ´ ´ y(n) = C1 2 + C2 3 + y¯ (n), ahol modszer unk ¨ alapjan ´ y(n) ¯ = A 4n + Bn2 + Cn + D (n ∈ N0 ), A, B, C, D hatarozatlan ´ Behelyettes´ıtve y¯ (n)-t atrendez ´ ´ utan ´ kapjuk, hogy egyutthat ok. es ¨ ´ o´ (DE) Losonczi Laszl


20 / 24

´ ´ modszere: ´ ´ 3.14 A hatarozatlan egyutthat ok pelda ¨ 2A 4n + 2Bn2 + (−6B + 2C)n + (−B − 3C + 2D) = 4n + n2 + 3. ´ ˝ kovetkezik, ¨ Mivel 4n , n2 , n, 1 linearisan fuggetlenek, ebbol hogy ¨ 2A = 1, 2B = 1, −6B + 2C = 0, −B − 3C + 2D = 3. Megoldva ezt az egyenletrendszert kapjuk, hogy A = 1/2, B = 1/2, C = 3/2, D = 4. ´ peld ´ ank ´ altal ´ ´ ´ Ezert anos megoldasa 1 1 3 y (n) = C1 2n + C2 3n + 4n + n2 + n + 4 2 2 2

(n ∈ N0 ).

´ 3.P ELDA . Az y(n + 2) − 5y (n + 1) + 6y(n) = 2n (n + 3) (n ∈ N0 ) ´ egyenlet egyenlet altal ´ anos ´ ´ inhomogen megoldasa n n ´ ´ y (n) = C1 2 + C2 3 + y¯ (n), ahol modszerunk ¨ alapjan n ´ ´ y(n) ¯ = 2 (An + B)n (n ∈ N0 ), A, B hatarozatlan egyutthat ok. ¨ ´ kiszamolva ´ ´ Behelyettes´ıtve y¯ (n)-t es az egyutthat okat, kapjuk, ¨ A = − 14 , B = − 94 , y(n) ¯ = − 14 2n (n + 9)n. ´ o´ (DE) Losonczi Laszl


21 / 24

¨ ´ multiplikator-akceler ´ ´ 3.15 A noveked es ator modellje ¨ Y (n) egy orszag ´ n idopontban ˝ ´ Jelolje (evben) megfigyelt nemzeti ¨ ´ C(n) a teljes fogyasztas ´ at ´ es ´ I(n) a teljes beruhaz ´ ast. ´ jovedelm et, Tegyuk ¨ fel, hogy Y (n) = C(n) + I(n), C(n + 1) = aY (n) + b, I(n + 1) = c (C(n + 1) − C(n)) ,

(n ∈ N0 ),

ahol a, b, c (pozit´ıv) konstansok. Az elso˝ egyenlet szerint a nemzeti ¨ ´ ol ´ es ´ beruhaz ´ asbol ´ ´ A masodik ´ jovedelem fogyasztasb all. egyenlet ´ az n + 1-edik idoszak ˝ ´ az eloz ˝ o˝ periodus ´ alapjan fogyasztasa nemzeti ¨ ´ ´ fuggv ´ ´ jovedelm enek linearis enye. Ez a modell multiplikator oldala. ¨ ´ ´ ıtja, hogy az n + 1-edik idoszak ˝ Vegezet ul ¨ az utolso´ egyenlet azt all´ ´ asa ´ az eloz ˝ o˝ idoszak ˝ ´ anak ´ ¨ ´ evel ´ ´ beruhaz fogyasztas noveked es aranyos. ¨ ´ ´ ´ Ez a modell akcelerator oldala. Az osszevont multiplikator-akceler ator ´ ¨ ´ vizsgalta, ´ ¨ ul modellt szamos kozgazd asz akik koz ¨ P. A. Samuelson ´ emeljuk nevet ¨ ki. ´ o´ (DE) Losonczi Laszl


22 / 24

¨ ´ multiplikator-akceler ´ ´ 3.15 A noveked es ator modellje ´ Tegyuk ¨ fel, hogy C(0), Y (0) ismert, akkor mindharom ´ ´ ´ fuggv enyt/sorozatot ki tudjuk szamolni. Az alabbiakban Y (n) ¨ ´ ´ ´ a celunk. ´ ´ n + 2-t az elso˝ egyenletben es ´ meghataroz as Irjunk n helyere ´ n + 1-t a masodik ´ ´ harmadik egyenletekben: n helyere es Y (n + 2) = C(n + 2) + I(n + 2), C(n + 2) = aY (n + 1) + b, I(n + 2) = c (C(n + 2) − C(n + 1)) . ´ ırhatjuk Az utolso´ egyenletet at´ I(n + 2) = c (aY (n + 1) + b − (aY (n) + b)) = ca (Y (n + 1) − Y (n)) ´ a masodik ´ ˝ alakba. Ezt es egyenletet az elsobe helyettes´ıtve kapjuk, hogy Y (n + 2) − a(1 + c)Y (n + 1) + acY (n) = b (n ∈ N0 ). ´ az asszocialt ´ homogen ´ egyenlet karakterisztikus (a) Vizsgalja ´ es ´ a homogen ´ egyenlet megoldasait! ´ egyenletet, ´ egyenlet egy partikularis ´ megoldas ´ at. ´ (b) Keresse meg az inhomogen ´ o´ (DE) Losonczi Laszl


23 / 24

3.16 Gyakorlo´ feladatok

y(n + 2) − 6y (n + 1) + 8y(n) y(n + 2) + 2y (n + 1) + 3y(n) y(n + 2) − 2y (n + 1) + 5y(n) y(n + 2) − 8y(n + 1) + 16y(n) y(n + 2) − 8y(n + 1) + 16y(n) y(n + 2) − 6y (n + 1) + 8y(n) 3y (n + 2) + 2y(n) y (n + 1) + 2y(n) y(n + 3) + y(n + 2) − y(n + 1) − y(n)



= 0, y (0) = 0, y(1) = 1, = 0, = 0, = 0, = 2 · 4n + 2n − 3, = 5 · 3n + 2n2 − 1, = 4n + 6, = 5n , = 0.

24 / 24

Differenciaegyenletek

Recommend Documents