DETERMINASI NILAI INTERPOLASI DENSITAS AIR DENGAN METODA LANGSUNG DAN SOLUSINYA DENGAN BANTUAN MATLAB. Entjie Mochamad Sobbich *

Daftar Isi Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir: 6-7 Agustus 2008(117-133)

DETERMINASI NILAI INTERPOLASI DENSITAS AIR DENGAN METODA LANGSUNG DAN SOLUSINYA DENGAN BANTUAN MATLAB Entjie Mochamad Sobbich*

ABSTRAK DETERMINASI NILAI INTERPOLASI DENSITAS AIR DENGAN METODA LANGSUNG DAN SOLUSINYA DENGAN BANTUAN MATLAB. Densitas air merupakan besaran ukur referensi yang diperlukan untuk determinasi nilai densitas dari cairan-cairan lainnya. Oleh karenanya, kemampuan untuk mencari nilai interpolasi dapat dianggap sebagai upaya penting, khususnya ketika pengukuran dilakukan pada suhu dengan nilai sebarang. Didalam makalah ini, pencarian nilai interpolasi densitas air sebagai fungsi suhu dilakukan dengan memanfaatkan metoda interpolasi-langsung dan dengan menggunakan bantuan kode MATLAB. Nilai interpolasi diberikan untuk tiga kasus : interpolasi linier, interpolasi kuadratis, dan interpolasi kubik. Uji program dilakukan untuk mendapatkan densitas air pada suhu dipilih, yaitu 45 oC. Dengan mempertimbangkan besarnya kesalahan relatip absolut didapatkan nilai kesalahan yang semakin rendah pada interpolasi kubik. Kata-kata kunci : densitas air, teknik langsung, interpolasi linier, interpolasi kuadratis, interpolasi kubik, kesalahan relatip absolut, MATLAB.

ABSTRACT WATER DENSITY DETERMINATION USING DIRECT-INTERPOLATION AND ITS SOLUTION WITH MATLAB. Water density is a reference measuring quantity which required to determined density values of many other liquids. Therefore, ability to find interpolation value can be sought as an important task, especially when measurement was done in any temperature values. In this paper, determination of interpolation value of water density as function of temperature was done by implementing direct method, and by means of MATLAB code. Interpolation value was executed for three cases: linear interpolation, quadratic interpolation, and cubic interpolation. Program was tested then to find water density at a choosing values, i.e. 45 oC. By considering absolute relative error, there got an error of which its value become smaller for the cubic interpolation. Keywords: water density, direct method, linea, quadratic, cubic interpolation, absolute relative error, MATLAB.

*

Puslit KIM-LIPI Puspiptek Serpong 15314, e-mail : [email protected]

117

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir: 6-7 Agustus 2008(117-133)

PENDAHULUAN Densitas air bukan permasalahan sederhana khususnya bagi para metrologist. Memang formulasi untuk besaran ukur (measuring variable) ini telah dengan mudah ditemui di beberapa situs internet, misalnya. Namun, jika kita mau menelaah dengan teliti maka pasti akan dibingungkan oleh adanya data yang agak berbeda yang dihasilkan oleh formula yang satu dengan formula lainnya. Permasalahan akan timbul ketika seseorang menginginkan data baku untuk densitas air. Data baku yang dihasilkan oleh lembaga-lembaga metrologi nasional dan internasional tentunya dapat digunakan sebagai sandaran karena umumnya mereka mampu menghasilkan data dengan ketelitian tertinggi sebagai konsekuensi dari sebuah penelitian yang cermat. Data baku dari sebuah besaran ukur merupakan faktor penting bagi terlaksananya proses ukur-mengukur serta diseminasi besaran ke besaran lain yang dapat diturunkan daripadanya. Didalam makalah ini, data baku dari densitas air disajikan per 10 o C dari nilai terendah 20 o C dan tertinggi 80 o C. Dengan asumsi bahwa pada nilai tanjakan (increment) 10 o C adalah terlalu lebar maka interpolasi menjadi penting agar dapat ditemukan nilai-nilai lain selain yang tercantum pada tabel data baku. Tentunya ada banyak jalan untuk mendapatkan nilai-nilai interpolasi dengan terlebih dahulu menyusun model yang berlaku (valid) untuk data yang tersedia. Diantaranya adalah menggunakan teknik kuadrat terkecil atau pemodelan matematika lainnya. Didalam makalah ini nilai interpolasi densitas air dari data yang dipandang sebagai data baku [1,2] sebagai fungsi suhu dicari dengan memanfaatkan metoda interpolasi-langsung (direct interpolation method). Alasan dipilihnya metoda ini, dan bukan metoda-metoda lainnya, adalah karena metoda ini memiliki karakterisasi menghasilkan model yang melewati titik-titik data yang tersedia. Namun bukan berarti bahwa metoda ini tidak memiliki kekurangan. Kekurangan dari metoda langsung ini adalah : diperlukan jumlah data sebanyak parameter model sehingga proses pemodelan tidak dapat dilakukan ketika jumlah data yang tersedia kurang dari yang diperlukan. Uji akurasi, didalam makalah ini, dilakukan dengan mempertimbangkan perubahan relatip antara model terhadap model dari orde sebelumnya. Besaran uji ini selanjutnya disebut dengan kesalahan relatip absolut dan nilainya dapat disajikan dalam nilai prosen. Tentunya jika nilai kesalahan relatip ini sudah sama (atau dianggap sama) maka sudah terjadi kondisi ‘ajeg’ dalam arti model tersebut dengan model sebelumnya sudah dapat dipandang sama. Evaluasi terhadap kondisi ‘ajeg’ ini diperlukan untuk memberikan ketetapan agar orde akurasi dari model sudah dapat diterima tanpa perlu menambah lagi besarnya orde model yang diobservasi. Pada bagian Apendiks disertakan susunan program MATLAB. Namun karena ukurannya yang sangat panjang, disana hanya disajikan untuk yang interpolasi orde satu atau linier saja sedangkan yang orde dua (kuadratis) dan juga yang orde tiga (kubik) tidak dihadirkan namun disiapkan bagi yang menginginkan rinciannya dan juga bagi yang tertarik dengan masalah ini.

118


TEORI DASAR Data Baku Konvensional Densitas Air Didalam bidang metrologi orang memerlukan material baku untuk diterima secara konvensional sebagai material referensi. Artinya : siapapun, dimanapun dan kapanpun dapat mengadopsi nilai-nilai konvensional tersebut untuk kepentingan pengukuran (dan juga kalibrasi) secara benar, selama beberapa syarat kondisional dipenuhi. Untuk densitas, air-distilasi adalah material baku yang nilainya telah ditetapkan dan diterima secara konvensional (Kell, 1975, dan juga Bettin, 1990) . Nilainya untuk rentang suhu dari 20 o C hingga 80 o C seperti tercantum pada Tabel 1 berikut. Tabel 1. Nilai Baku Konvensional Densitas Air Suhu (o C) 20 30 40 50 60 70 80

Densitas (kg/m3 ) 998,23 995,62 992,24 988,07 983,24 977,81 971,83

Material baku (dan juga alat ukur referensi) dapat dipandang sebagai pengejawantahanan dari nilai-nilai besaran ukur. Sebagai misal, nol derajat Celsius direpresentasikan oleh titik beku air, dan seratus derajat Celsius oleh titik didih air. Metoda Interpolasi Langsung Metoda Interpolasi Langsung adalah pemodelan data pengukuran untuk menghasilkan bentuk kontinyu dari data yang diskrit. Dengan demikian, nilai berapapun yang diperlukan dapat ditentukan selama berada diantara sedikitnya dua titik yang melingkupi nya, artinya : yang satu lebih rendah dan yang lainnya lebih tinggi. Oleh sebab itu, metoda in i disebut dengan metoda interpolasi. Sedangkan kata ‘langsung’ memberikan konotasi bahwa model yang terbentuk adalah ‘langsung’ diambilkan dari titik-titik data yang tersedia. Ini berbeda dengan metoda kuadrat terkecil dimana model yang terbentuk dipersyaratkan memberikan jumlah kuadrat kesalahan yang minimum. Dengan mengambil data ‘langsung’ dari titik-titik data yang tersedia ini maka metoda interpolasi akan menghasilkan model dengan ciri khas, yaitu : kurva model selalu melewati titik-titik data yang tersedia. Dengan kata lain, kesalahan pada titik-titik yang disedikan akan bernilai nol. 119


Interpolasi Linier Ketika terdapat dua titik data (x1,y1) dan (x2,y2) maka dari keduanya dapat dimodelkan linier sebagai berikut: y = f(x) = a0 + a1.x

(1)

Susun data x maupun y dalam format matrik (vektor kolom) berbentuk

x1  y 1  x =   dan y =   x 2  y 2  1 x1 

a0 

Susun matrik M berupa M =   dan matrik koefisien A = a  1 x 2   1 Selanjutnya, sistem persamaan linier yang terbentuk dapat disajikan dalam format matrik berupa M*A = y

(2)

Matrik A umumnya disebut dengan matrik koefisien dan merupakan sasaran akhir dari program. Solusi dari persamaan (2) dapat dilakukan dengan mengalikan M-1 (baca : M invers) pada kedua suku, diperoleh :

A = M −1 ⋅ y

(3)

Interpolasi Kuadratis Pemodelan linier dapat dianggap sangat berhasil ketika variabel tak-bebas y berperilaku linier terhadap x. Tetapi perlu dinaikkan orde model menjadi lebih tinggi jika x dan y tidak cukup linier seperti halnya perilaku densitas air terhadap perubahan suhu. Untuk itu, disini orde model dinaikkan menjadi orde dua, atau kuadratis. Interpolasi kuadratis dengan metoda langsung memerlukan tiga titik data. Ketika terdapat tiga titik data (x1,y1), (x2,y2) dan (x3,y3) maka dari ketiganya dapat dimodelkan kuadratis sebagai berikut : y = f(x) = a0 + a1.x + a2.x2

(4)

120



x1  y 1    x = x 2  dan y = y 2  x3  y 3  1 x1 x12  a0     2 Susun matrik M berupa M = 1 x 2 x 2  dan matrik koefisien A = a1   1 x 3 x 32  a2    Selanjutnya, sistem persamaan linier yang terbentuk dapat disajikan dalam format matrik seperti persamaan (2) dan solusinya ditentukam mengikuti format matrik seperti persamaan (3).

Interpolasi Kubik Didalam makalah ini, pemodelan dengan metoda interpolasi-langsung selain interpolasi kuadratis akan diakhiri dengan meinaikkan satu orde lagi, menjadi interpolasi kubik. Interpolasi kubik dengan metoda langsung memerlukan empat titik data. Ketika terdapat empat titik data (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) dan (x4,y4) maka dari keempatnya dapat dimodelkan kubik sebagai berikut : y = f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + a3.x3

(4)


x1  y 1  x  y  2 2 x =   dan y =   x3  y 3      x4  y 4  Susun matrik M berupa:

1  1 M =  1  1

x1

x12

x 2 x 22 x3

x 32

x4

x 42

x 13  a0  a  3 x2  1 A dan matrik koefisien =   3 a2  x3   3 x4  a3  121


Selanjutnya, sistem persamaan linier yang terbentuk dapat disajikan dalam format matrik seperti persamaan (2) dan solusinya ditentukan mengikuti format matrik seperti persamaan (3).

Kesalahan Relatip Kesalahan relatip absolut pada dasarnya digunakan untuk mengamati perbedaan antara nilai yang dihasilkan oleh model terhadap nilai eksak, dihitung dengan formula

erel (%) =

eksak − perkiraan x100% eksak

Namun disini nilai eksak diambil dari model yang sedang dibahas/diperbincangkan sedangkan perkiraan diambil dari model dengan orde sebelumnya. Dengan demikian nilai erel(%) dapat digunakan untuk memberikan gambaran apakah orde tertentu sudah ‘mantap’ atau masih berubah secara siknifikan.

PENYUSUNAN PROGRAM MATLAB ALGORITMA PROGRAM Program MATLAB dirancang untuk mengeksekusi pencarian nilai densitas air f(x) berdasarkan nilai suhu xmasukan tertentu. Program keseluruhan telah disusun untuk metoda interpolasi linier, kuadratis, dan kubikrogramnya namun karena ukurannya yang sangat besar maka di Apendiks hanya dihadirkan sebagian saja, yaitu hingga eksekusi interpolasi linier. Algoritma dari porgram tersebut adalah - x diisikan data suhu dalam bentuk vektor baris - y diisikan data densitas air dari data referensi, dalam bentuk vektor baris dengan ukuran sama seperti x. - xmasukan diisikan nilai suhu interpolasi yang diinginkan - buat jendela tampilan dengan ukuran tertentu - pilih titik data terdekat dengan xmasukan - M diisikan koefisien dari sistem persamaan yang berlaku - Hitung matrik koefisien A dari hubungan A = M-1.y - Dapatkan f(x) - Gunakan f(x) untuk mencari f(masukan) - Jika sebelumnya sudah ada f(x) orde satu lebih rendah, hitung kesalahan relatip absolut dalam prosen - Sebutkan angka berartinya. 122


-

Tampilkan hasil eksekusi di layar yang tersedia. Hadirkan grafik kurva interpolasi Lanjutkan eksekusi dengan orde satu lebih tinggi lagi. Selesai.

CONTOH HASIL EKSEKUSI PROGRAM Berikut ini adalah hasil eksekusi program MATLAB yang sebagiannya tersedia di Apendiks.

123


Interpolasi Linier

992

991

990

989

988 40

41

42

43

44

45 z

46

47

48

49

50

995

990

985

980

975 20

30

40

50 z

60

70

80

124


Interpolasi Kuadratis 996 995 994 993 992 991 990 989 988 30

32

34

36

38

40 z

42

44

46

48

50

995

990

985

980

975 20

30

40

50 z

60

70

80

125


Interpolasi Kubik 996 994 992 990 988 986 984 30

35

40

45 z

50

55

60

30

40

50 z

60

70

80

995

990

985

980

975 20

KESIMPULAN Pemodelan dapat dipandang sebagai kunci utama untuk merepresentasikan data secara sistematis agar dengannya dapat dilakukan analisis dan evaluasi, khususnya bila diperlukan nilai interpolasi data. Namun karena data tertentu dapat dimodelkan dengan berbagai model, bahkan untuk satu model ada beberapa metoda atau algoritma maka pemodelan hendaknya dipertanggungjawabkan dengan melakukan uji tertentu. Apabila data densitas air hendak dimodelkan berupa polinomial maka dapat ditempuh melalui interpolasi-langsung. Analisis dan evaluasi metoda ini untuk orde satu (linier), orde dua (kuadratis) dan orde tiga (kubik) untuk nilai suhu interpolasi 45 o C didapatkan - untuk interpolasi linier : densitas air = 990,115 kg/m3 . - untuk interpolasi kuadratis : densitas air 990,2538 kg/m3 dan nilai kesalahan relatip 0,0099722 % atau pada angka-berarti 3. - untuk interpolasi kubik menghasilkan nilai densitas air 990,2456 kg/m3 dan nilai kesalahan relatip 0,0008205 % atau pada angka-berarti 4. Angka-angka tersebut menunjukkan sudah terjadinya ke’ajeg’an dan model interpolasi kubik sudah dapat diterima dengan hasil berpresisi tinggi.

126


DAFTAR PUSTAKA 1. GEORGE S. KELL, Density, Thermal Expansivity, and Compressibility of Liquid Water from 0 to 150 C, Journal of Chemical and Engineering Data, Vol.20, No.1, , (1975)97-105. 2. BETTIN, H.; SPIEWECK, F., Die Dichte von Wasser als Funktion der Temperatur nach Einführung der Internationalen Temperaturskala von 1990. PTBMitt. 100, (1990)195-196 3. Interpolation – Direct Method, http://www.numericalmethods.eng.usf.edu/ 4. DRAPER N.R. and SMITH H., Applied Regression Analysis, 3rd Edition, John Wiley & Sons Inc., New York, 1998. 5. MATLAB 6 – The Language of Thecnical Computing, The Mathwork Inc., (software). http://www.mathworks.com/

DISKUSI

GATOT SUHARIYONO 1. 2.

Aplikasi interpolasi densitas air terhadap suhu untuk apa saja ? Untuk air banjir (dinamis) bisa ? Validasi suhu hanya 45°, bagaimana diuji pada suhu lain ? Apa kesalahan relative rendah pada interpolasi kubik ?

ENTJIE M. SOBBICH 1. 2.

Observasi data baku densitas air diperoleh dari pengamatan di lab dalam kondisi non dinamis. Untuk kondisi dinamis pengukuran dilakukan menggunakan alatalat ukur yang khusus untuk kondisi dinamis. Di dalam makalah ini memang hanya suhu 45° karena hanya untuk menunjukkan kebenaran penyusunan program . Tetapi eksekusi program bisa dilakukan pada suhu lainnya. Signifikansi nilai kesalahan bergantung pada kebutuhan di lapangan. Jika significance-figure 4 dianggap cukup maka interpolasi kubik dapat diterima.

127


IBON SUPARMAN Densitas sebagai fungsi dari temperatur, apakah memiliki persamaan yang karakteristik (misal persamaan eksponensial atau persamaan lainnya) Kalau ada, berarti pendekatan dengan persamaan linier, kuadratik atau kubik akan memberikan kesalahan yang besar ? ENTJIE M. SOBBICH Data baku dihasilkan dari observasi yang acak sehingga sebenarnya data baku pasti diekstraksi dari sebuah persamaan yang tertentu. Besar kecilnya kesalahan dapat diverifikasi atau divalidasi dengan parameter statistika tertentu missal : kesalahan relatif absolute standar deviasi dan/atau koefesien koreksi. Dengan kian berkembangnya program/software computer maka data tertentu tidak harus memiliki satu persamaan karakteristik. Komputer dapat dipakai sebagai alat bantu untuk menentukan model-model

TATI ZERA Salah satu sifat terpenting (anomaly) air adalah mempunyai volume terkecil pada suhu -4°C. Kenappa determinasi hanya dilakukan mulai suhu 20°C dst ? ENTJIE M. SOBBICH Umumnya kita tertarik dengan suhu sekitar (27°C) sehingga data baku dibatasi pada rentang 20°C - 80°C. Model sebaiknya tidak digunakan untuk proses ekstrapolasi lebih-levih ketika jelas ada anomali pada suhu 4°C.

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

1. 2. 3. 4. 5.

Nama : Entjie Mochamad Sobbich Tempat/Tanggal Lahir : Surabaya, 5 Juli 1955 Instansi : Puslit KIM-LIPI Puspiptek Pekerjaan / Jabatan : Peneliti / Peneliti Utama Riwayat Pendidikan : • S1 Fisika Teknik (ITS – Surabaya) • S2 Program Instrumentasi dan Kontrol Teknik Fisika (ITB – Bandung) 128


6. Pengalaman Kerja : • Peneliti di Puslit KIM-LIPI , 1981 – sekarang • Dosen FMIPA UBINUS, 1991 – sekarang. 7. Organisasi Profesional : • Himpunan Fisika Indonesia (HFI) • Himpunan Masyarakat Instrumentasi Indonesia (HIMII) 8. Publikasi (Makalah) : • Koreksi Balans Setelah Regresi Linier (disajikan pada AMTEQ 2008) • Determinasi Model Polinom Kuadratis untuk Data Densitas Air dengan Tiga Algoritma Berbeda. (disajikan pada AMTEQ 2008).

129


APENDIKS Berikut ini disertakan kode MATLAB 6 untuk melakukan plot kurva dari masing-masing metoda dan algoritma. % Program berikut untuk mencari nilai interpolasi data degan metoda interpolasi-langsung. % Data x adalah suhu, data y adalah densitas air. % Nilai y untuk xmasukan dicari dengan memanfaatkan interpolasi linier, kuadratis, dan kubik. % Dengan terlebih dahulu memilih data terdekat sebanyak satu lebih dari derajat interpolasi, % lalu gunakan untuk mendapatkan data interpolasi. % clear all % INPUT: Masukkan data dari tabel % Data suhu x=[20 30 40 50 60 70 80]; % Data densitas air y=[998.23 995.62 992.24 988.07 983.24 977.81 971.83]; % Nilai x dalam pengukuran xmasukan = 45; % SOLUSI % Buat jendela dengan ukuran sesuai layar set(0,'Units','pixels') scnsize = get(0,'ScreenSize'); wid = round(scnsize(3)); hei = round(0.9*scnsize(4)); wind = [1, 1, wid, hei]; %Pilih dua data x dan y yang terdekat dengan x pengukuran n = 7 % banyaknya data x; comp = abs(x-xmasukan); c=min(comp); for i=1:n if comp(i)==c; ci=i; end end if x(ci) < xmasukan q=1; for i=1:n if x(i) > xmasukan ne(q)=x(i); q=q+1; end end

130


b=min(ne); for i=1:n if x(i)==b bi=i; end end end if x(ci) > xmasukan q=1; for i=1:n if x(i) < xmasukan ne(q)=x(i); q=q+1; end end b=max(ne); for i=1:n if x(i)==b bi=i; end end end % Jika diperlukan lebih dari dua nilai maka susunan berikut untuk mengambilnya % dan menaruhnya dalam matrik seusai urutannya. for i = 1:n A(i,2)=i; A(i,1)=comp(i); end A=sortrows(A,1); for i=1:n A(i,3)=i; end A=sortrows(A,2); d=A(1:n,3); if d(bi)~=2 temp=d(bi); d(bi)=1; for i=1:n if i ~= bi & i ~= ci & d(i) <= temp d(i)=d(i)+1; end d(ci)=1; end end %%%%%%%%% INTERPOLASI LINIER %%%%%%%%%

131


% Ambil dua titik-data datapoints=2; p=1; for i=1:n if d(i) <= datapoints xdata(p)=x(i); ydata(p)=y(i); p=p+1; end end %Bentuk persamaan interpolasi untuk mencari koefisien-koefisien M=[1 xdata(1) 1 xdata(2)]; Y=[ydata(1) ydata(2)]; % Koefisien-koefisien interpolasi linier A=inv(M)*Y; z=sym('z'); a0=sym('a0'); a1=sym('a1'); fl = a0 + a1*z; fl=subs(fl,a0,A(1)); fl=subs(fl,a1,A(2)); fxmasukan=subs(fl,z, xmasukan); fprev=fxmasukan; figure('Position',wind) title('Interpolasi Linier','Fontweight','bold','FontSize',14) text(0,1,'Data Terpilih','Fontweight','bold') axis off text(0,0.96 ,[' ',num2str(xdata(1))]) text(0,0.94,['x = ']) text(0,0.92,[' ',num2str(xdata(2))]) text(0.1,0.96 ,[' ',num2str(ydata(1))]) text(0.1,0.94,['y = ']) text(0.1,0.92,[' ',num2str(ydata(2))]) fo='%1.4g'; pos=0.88; text(0,pos,'Susun matrik persamaan untuk mencari koefisien pada interpolasi linier','Fontweight','bold') text(0.05,pos-0.04,'1') text(0.1,pos-0.04,[num2str(M(1,2),fo)]) text(0,pos-0.06,['M = ']) text(0.05,pos-0.08,'1')

132


text(0.1,pos-0.08,[num2str(M(2,2),fo)]) text(0,pos-0.12,'M * A = y') text(0,pos-0.16,'A = M^-^1 * y') pos=pos-0.22; text(0,pos,'Koefisien-koefisien interpolasi linier','Fontweight','bold') text(0,pos-0.04,[' ',num2str(A(1))]) text(0,pos-0.06,['A = ']) text(0,pos-0.08,[' ',num2str(A(2))]) pos=pos-0.14; text(0,pos,['f(x)=a0 + a1*x']) text(0,pos-0.04,['f(x)=',num2str(A(1)), '+', num2str(A(2)),'*x']) text(0,pos-0.08,['f(xmasukan)=',num2str(fxmasukan)]) figure('Position',wind) axis on subplot(2,1,1), ezplot(fl,[min(xdata),max(xdata)]) title('Interpolasi Linier','Fontweight','bold') hold on plot(xdata,ydata,'ro','MarkerSize',10','MarkerFaceColor',[1,0,0]) plot(xmasukan,fxmasukan,'kx','Linewidth',2,'MarkerSize',12') axis on subplot(2,1,2), ezplot(fl,[min(xdata),max(xdata)]) title(' ') hold on plot(x,y,'ro','MarkerSize',10','MarkerFaceColor',[1,0,0]) plot(xmasukan,fxmasukan,'kx','Linewidth',2,'MarkerSize',12') xlim([min(x) max(x)]) ylim([min(y) max(y)])

Daftar Isi

133

DETERMINASI NILAI INTERPOLASI DENSITAS AIR DENGAN METODA LANGSUNG DAN SOLUSINYA DENGAN BANTUAN MATLAB. Entjie Mochamad Sobbich *

Recommend Documents