Deskripsi Singkat : Bab ini merupakan pengantar dalam mempelajari Statistika. Anda akan dibantu untuk memahami sejarah dan konsep dasar statistika

Deskripsi Singkat : Bab ini merupakan pengantar dalam mempelajari Statistika. Anda akan dibantu untuk memahami sejarah dan konsep dasar statistika.

Tujuan Instruksional Khusus: 1. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian dan kegunaan statistika 2. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian statistika deskriptif dan inferensia beserta contohnya 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian populasi dan contoh 4. Menjelaskan pengertian populasi dan contoh menjelaskan jenis-jenis data 5. Menjelaskan jenis-jenis skala

TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA

Disusun oleh : Tanggal : Hadi Hermansyah, S.SI., M.Si. 15/09/2014

TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-1-

1.1. Sejarah statistik Penggunan Statistik sudah ada sebelum abad ke- 18, pada saat itu negara Babilon, Mesir, dan Roma mengeluarkan catatan tentang nama, usia, jenis kelamin, pekerjaan, dan jumlah anggota keluarga. Kemudian pada tahun 1500, pemerintahan Inggris mengeluarkan catatan mingguan tentang kematian dan tahun 1662 dikembangkan catatan tentang kelahiran dan kematian. Baru pada tahun 1772-1791G. Achenwall menggunakan istilah statistik sebagai kumpulan data tentang Negara. Tahun 1791-1799, Dr. E.A.W Zimmesman mengenalkan kata statistika dalam bukunya Statistical Account of Scotland. Tahun 1880, F. Galton pertama kali menggunakan korelasi dalam penelitian ilmu hayat. Pada abad 19 Karl Pearson mempelopori penggunaan metoda statistik dalam berbagai penelitian biologi maupun pemecahan persoalan yang bersifat sosio ekonomis. Tahun 1918-1935, R. Fisher mengenalkan analisa varians dalam literatur statistiknya. 1.2. Pengertian Statistik dan Statistika Pada umumnya orang tidak membedakan antara statistika dan statistik. Kata statistik berasal dari kata latin yaitu status yang berarti “Negara” (dalam Bahasa Inggris adalah state). Pada awalnya kata statistic diartikan sebagai keterangan-keterangan yang dibutuhkan oleh Negara dan berguna bagi negara. Misal keterangan menganai jumlah keluarga penduduk suatu negara, keterangan mengenai pekerjaan penduduk suatu Negara, dan sebagainya. Perkembangan lebih lanjut menunjukkan bahwa pengertian statistik merupakan kumpulan suatu angaka-angka. Misalnya statistik kelahiran, statistik hasil pertanian, statistik penduduk, dan sebagainya. Istilah STATISTIKA memiliki pengertian berbeda dengan STATISTIK. Statistik merupakan kumpulan data, bilangan atau non bilangan yang disusun/ disajikan sedemikian rupa (biasanya dalam bentuk tabel atau grafik) yang


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-2-

menggambarkan suatu persoalan atau keadaan. Sedangkan Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan, penyajian, pengolahan dan analisis data, serta teknikteknik analisis data. Statistika digunakan sebagai cara-cara ilmiah untuk mengumpulkan, menyusun, meringkas dan menyajikan data penelitian. Lebih lanjut statistika merupakan cara untuk mengolah data tersebut dan menarik kesimpulankesimpulan yang teliti dan keputusankeputusan yang logik dari pengolahan data tersebut. Sedangkan statistik lebih banyak digunakan untuk menggambarkan keadaan atau permasalahan seperti pencataan banyaknya penduduk, penarikan pajak, dan semacamnya. Agar

pengertian

statistik

sebagai

kumpulan

angka-angka

tidak

mengaburkan perbedaan pengertian antara kumpulan angka-angka dengan metode sehingga kumpulan angka tersebut “berbicara”. Dalam arti kumpulan angka tersebut disajikan dalam bentuk table/diagram, selanjutnya dianalisa dan ditarik kesimpulan. Ini semua ternyata merupakan pengetahuan tersendiri yang disebut statistika. Jadi pengertian statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan, penyajian, pengolahan, analisis data, dan penarikan kesimpulan dari hasil analisis serta menentukan keputusan. Metode statistik adalah prosedur yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian analisis dan penafsiran data. Statistika dalam pengertian sebagai ilmu dibedakan menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriptif mempunyai tujuan untuk mendeskripsikan atau memberi gambaran objek yang diteliti sebagaimana adanya tanpa menarik kesimpulan atau generalisasi. Dalam statistika deskriptif ini dikemukakan cara-cara penyajian data dalam bentuk tabel maupun diagram, penentuan ratarata (mean), modus, median, rentang serta simpangan baku. Contoh Masalah Statistika Deskriptif : 1. Tabulasi Data 2. Diagram Balok 3. Diagram Kue Pie 4. Grafik perkembangan harga dari tahun ke tahun


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-3-

2. Statistika Inferensial mempunyai tujuan untuk penarikan kesimpulan. Sebelum menarik kesimpulan dilakukan suatu dugaan yang diperoleh dari statistika deskriptif. Contoh Masalah Statistika Inferensia : 1. Pendugaan Statistik 2. Pengujian Hipotesis 3. Peramalan dengan Regresi/Korelasi 1.3. Peranan dan Manfaat statistik dalam Kehidupan Adapun manfaat Statistik yaitu :  Untuk meramalkan  Untuk penelitian  Untuk menagatur kualitas barang  Untuk produktivitas  Untuk memperbaiki proses (eksperimen) 1.4. Statistika dalam Pelelitian Dalam rangka kegiatan penelitian, seperti yang telah disinggung di depan, fungsi dan peranan statistika dijelaskan sebagai berikut: 1. Statistika memungkinkan pencatatan secara eksak data penelitian. 2. Statistika memandu peneliti menganut tata fikir dan tata kerja yang definit dan eksak. 3. Statistika menyediakan cara-cara meringkas data ke dalam bentuk yang lebih banyak artinya dan lebih gampang mengerjakannya. 4. Statistika memberi dasar-dasar untuk menarik kongklusi-kongklusi melalui proses proses yang mengikuti tata cara yang dapat diterima oleh ilmu pengetahuan. 5. Statistika memberi landasan untuk meramalkan secara ilmiah tentang sebagaimana sesuatu gelaja akan terjadi dalam kondisi-kondisi yang telah di ketahui. 6. Statistika memungkinkan peneliti menganalisis, menguraikan sebab-akibat yang kompleks dan rumit, yang tanpa statistika akan merupakan peristiwa yang membingungkan, kejadian yang tak teruraikan. TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-4-

1.5. Macam – macam Data 1. Pengertian data Setiap kegiatan yang berkaitan dengan statistik selalu berhubungan dengan data. Pengertian data adalah keterangan yang benar dan nyata. Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah keterangan atau informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan sedangkan data adalah segala keterangan atau informasi yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan. Data = ukuran suatu nilai Data  bentuk jamak (plural) Datum  bentuk tunggal (singular) Dari contoh-contoh yang telah diberikan sebelumnya, dapatdiperoleh bahwa tujuan pengumpulan data adalah : o Untuk memperoleh gambaran suatu keadaan o Untuk dasar pengambilan keputusan 2. Syarat data yang baik Untuk memperoleh kesimpulan yang tepat dan benar maka data yang dikumpulkan dalam pengamatan harus nyata dan benar, demikian sebaliknya. Syarat data yang baik yaitu : o Data harus objektif (sesuai dengan keadaan sebenarnya) o Data harus mewakili (representative) o Data harus up to date o Data harus relevan dengan masalah yang akan dipecah 3. Pembagian data Data yang telah dikumpulkan dari suatu observasi disebut data observasi. Menurut cara memperolehnya data dibagi atas : 1. Data Primer, yaitu data yang dikumpulkan langsung oleh peneliti (suatu organisasi/perusahaan).dengan cara observasi sendiri baik di lapangan atau di laboratorium, yaitu dengan survey atau percobaan. Contoh: Pemerintah melalui Biro Pusat Statistik melakukan sensus penduduk tahun 1980 untuk memperoleh data penduduk Negara Indonesia.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-5-

2. Data Sekunder, yaitu data yang dikutip dari sumber lain. Contoh: Suatu perusahaan memperoleh data dari laporan yang ada dari BPS. Menurut sifatnya data dibagi atas : 1. Data Kualitatif/kategorik, data yang tidak dalam bentuk angka. Contoh : mutu barang di supermarket “X” bagus atau jelek Data Kategorik dapat dijadikan data numerik dengan memberi bobot pada setiap kategori. Data Kategorik dapat dibedakan menjadi : (a) Data Ordinal: Urutan kategori menunjukkan tingkatan (ranking) Misalnya: Bagaimana prestasi belajar anda semester lalu? 1. Sangat Baik 2. Baik 3. Sedang-sedang saja 4. Buruk 5. Sangat Buruk (b) Data Nominal : Urutan/Nilai tidak menunjukkan tingkatan Misalnya : Apa warna favorit anda : 1. Ungu 2. Abu-abu 3. Coklat 4. Putih Selain kedua jenis data tersebut, kita juga mengenal : (c) Data Atribut : Nilai data tersebut memberi keterangan atau tanda pada suatu data. Misalnya :

Nama : Alamat :

2. Data Kuantitatif/numerik, data dalam bentuk angka. Contoh: data hasil ulangan matematika siswa kelas enam di SD Teman adalah 8,9,6,7,8,…. Data Kuantitatif dibedakan menjadi 2 yaitu : a. Data Diskrit, data yang dikumpulkan merupakan hasil dari membilang. Contoh : keluarga Pak Amir mempunyai 3 orang anak laki-laki


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-6-

b. Data Kontinu, data yang diperoleh dari hasil pengukuran. Contoh : berat badan siswa kelas enam 40 kg, 35 kg, 36 kg, 30 kg, …

1.6. Pengumpulan Data Pengumpulan data menurut waktu dibagi 2 yaitu : a. Cross Section, dalam waktu tertentu Contoh : th 2000 ; th 1999 b. Time Series, berdasarkan tahun yang lalu Contoh : tahun 1999 – 2008 Untuk meramalkan tahun ke depan 1.7. Skala Pengukuran Skala pengukuran yang digunakan : 1. Skala Nominal Yaitu skala yang paling sederhana disusun menurut jenis (kategorinya) atau fungsi bilangan hanya sebagai simbol untuk membedakan karakteristik satu dengan yang lainnya. Contoh : Seorang peneliti menghadapi data yang berkaitan dengan jenis kelamin (perempuan dan laki-laki). Agar peneliti dapat menggunakan statistik dalam analisisnya, dituntut untuk melakukan perubahan data tersebut menjadi bentuk angka. Jika peneliti menggunakan angka 1 sebagai simbol siswa perempuan dan angka 2 sebagai siswa laki-laki, maka angka 1 dan angka 2 merupakan initial dari jenis kelamin perempuan dan laki-laki. Untuk selanjutnya peneliti akan selalu berhadapan dengan angka 1 dan angka 2. Dalam hal ini angka 2 tidak berarti lebih besar dari angka 1, karena angka-angka tersebut hanya sebagai simbol atau kode saja. Sepanjang angka-angka yang digunkan oleh peneliti hanya sebagai simbol, maka angka tersebut dimasukkan sebagai kelompok data yang berskala nominal. 2. Skala Ordinal Yaitu skala yang didasarkan pada ranking, diurtkan dari jenjang yang lebih tinggi sampai rendah atau sebaliknya. Contoh: hasil ujian akhir suatu SMU menyatakan bahwa: Siswa A sebagai juara 1, siswa B sebagai juara 2, dan siswa C


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-7-

sebagai juara 3. dalam hal ini angka satu mempunyai nilai lebih tinggi daripada angka 2 maupun angka 3, tetapi skala ini tidak bisa menunjukkan perbedaan kemampuan antara A, B, dan C secara pasti. Juara satu tidak berarti mempunyai kemampuan dua kali lipat dari juara dua maupun mempunyai kemampuan tiga kali lipat dari kemampuan juara tiga. Di samping itu perbedaan kemampuan antara siswa juara 1 dengan siswa juara 2, juga berkemungkinan besar tidak sama dengan perbedaan kemampuan juara siswa juara 2 dengan siswa juara 3. Dengan demikian maka rentangan kemampuan siswa untuk rentangan kemampuan untuk masing-masing. 3. Skala Interval Yaitu skala yang menunjukkan jarak antara satu data dengan data yang lain dan mempunyai bobot sama, tetapi tidak mempunyai angka nol mutlak. Contoh: Nilai siswa mempunyai rentangan 0 sampai dengan 10. Temperatur mempunyai rentangan dari 0 sampai dengan 100 derajat celcius. Dalam kasus ini siswa yang memperoleh nilai 8 mempunyai kemampuan 2 kali siswa yang memperoleh nilai 4, panas udara 15 derajat celcius merupakan setengahnya dari panas udara 30 derajat celcius. Tetapi siswa yang memperoleh nilai 0 berarti bukan tidak mempunyai pengetahuan sama sekali tentang yang diujikan, atau suhu udara berderajat 0 derajat celcius bukan berarti udara tidak bersuhu. Rentangan ini dari jenjang yang satu ke jenjang yang lainnya bersifat konstan. Sehingga skala ini dapat memberikan gambaran tentang objek yang dinilai secara konsisten. 4. Skala Rasio Yaitu skala pengukuran yang mempunyai nilai nol mutlak dan mempunyai jarak yang sama. Contoh: Ukuran berat, panjang/lebar, umur, dll. Seseorang yang mempunyai berat badan 100 kg adalah 2 kali beratnya dari orang yang mempunyai berat badan 50 kg. Jika berat suatu benda adalah nol, maka benda tersebut benar-benar tidak mempunyai berat. Hal ini menunjukkan kepada kita bahwa angka nol mempunyai arti tersendiri (nol adalah mutlak adanya).


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-8-

Tabel 1.1. Perbedaan Jenis Skala Nominal

Ordinal

Interval

Rasio

√

√

√

√

√

√

√

√

√

Bilangan menunjukkan perbedaan Pengukuran dapat digunakan untuk membuat peringkat atau mengurutkan objek Perbedaan bilangan mempunyai arti Mempunyai nol mutlak dan rasio antara dua bilangan mempunyai arti

√

SOAL EVALUASI I. Isilah! 1. Jelaskan tentang pengertian statistik dan statistika! 2. Manfaat apakah yang dapat dipetik mahasiswa selaku calon ahli madia, dengan mempelajari Statistika Pendidikan? Jelaskan jawaban saudara! 3. Syarat apakah yang harus dipenuhi sekumpulan angka atau bilangan, sehingga ia dapat disebut data Statistika? 4. Sebutkan tiga prinsip yang harus dipegang dalam rangka pengumpulan data Statistika! 5. Jelaskan mengenai cara yang akan ditempuh dan alat yang dapat dipergunakan, dalam rangka menghimpun data Statistik! 6. Jelaskan pengertian Statistika deskriptif dan statistika inferensial! 7. Jelaskan Jenis-jenis skala dan berikan contohnya masing-masing! 8. Jelaskan perbedaan diantara data kontinu dan data diskrit. 9. Jelaskan pula tentang perbedaan antara data interval dan data ordinal. 10. Berikan contoh demikian rupa sehingga menjadi cukup jelas apa yang dimaksud dengan data primer dan data sekunder.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-9-

11. Curah hujan rata-rata di kota Bogor yang tercatat selama 30 bulan terakhir adalah 4.6 cm, termasuk dalam kategori apakah pernyataan tersebut! 12. Curah hujan rata-rata di kota Bogor yang tercatat selama 30 bulan terakhir adalah 4.6 cm. Berdasarkan pengamatan ini maka diperkirakan pada tahun depan rata-rata curah hujan di Bogor 4.5 – 4.7 cm, termasuk dalam kategori apakah pernyataan tersebut! 13. Seorang mahasiswa yang akan menulis Tugas Akhir akan meneliti apakah ada hubungan antara nilai NEM dengan IPK yang diperoleh mahasiswa tingkat 1 jurusan Teknik Mesin. Untuk ini ia mencari datanya melalui BAAK. Data yang diperoleh mahasiswa tersebut termasuk dalam kategori apa?

II. Nyatakan apakah pernyataan-pernyataan berikut ini termasuk dalam statistika deskriptif atau inferensia. a. Akibat penurunan produksi minyak oleh negara-negara penghasil minyak, maka diramalkan harga minyak akan menjadi dua kali lipat pada tahun yang akan datang. b. Sekurang-kurangnya 5% dari semua kebakaran yang dilaporkan tahun lalu di sebuah kota tertentu diakibatkan oleh tindakan sengaja orang-orang yang tidak bertanggung jawab. c. Sebanyak 60% di antara semua pasien yang menerima obat tertentu, ternyata kemudian menderita akibat sampinganya. d. Dengan mengasumsikan bahwa kerusakan akibat musim dingin yang lalu pada tanaman kopi jenis columbia kurang dari 20%, maka diramalkan kenaikan harganya di akhir tahun nanti tidak akan lebih dari 30 sen per kilogramnya. e. Salah satu hasil pol pendapat yang dilakukan baru-baru ini adalah bahwa kebanyakan orang Amerika menyetujui didirikannya pusat tenaga nuklir yang baru.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-10-

Deskripsi Singkat : Bab ini merupakan pengantar dalam mempelajari Statistik. Anda akan dibantu untuk memahami sampel, populasi dan nota ilmiah.

Tujuan Instruksional Khusus 1. menjelaskan sampel dan populasi 2. menjelaskan symbol dalam sampel dan populasi 3. menjelaskan bentuk umum notasi penjumlahan serta dalil-dalil notasi penjumlahan


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-11-

2.1 Populasi dan Sampel Populasi merupakan keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita, baik terhingga maupun tak hingga. Dilambangkan dengan huruf N. Di waktu lampau, istilah ”populasi” mengandung makna pengamatan yang diperoleh dari penelitian statistik yang berhubungan dengan orang banyak. Di masa kini, statistikawan menggunakan istilah itu bagi sembarang pengamatan yang menarik perhatian kita, apakah itu sekelompok orang, binatang, atau benda apa saja. Banyaknya pengamatan atau anggota suatu populasi disebut ukuran populasi. Seandainya ada 600 siswa di suatu sekolah yang kita golongkan menurut golongan darahnya, maka dikatakan kita mempunyai populasi berukuran 600. Dalam inferensia statistik kita ingin memperoleh kesimpulan mengenai populasi, meskipun kita tidak mungkin untuk mengamati keseluruhan individu yang menyusun populasi. Misalnya saja, dalam usaha menentukan ketepatan rasa dalam makanan tertentu, sehingga tidak mungkin kita menguji semua makanan yang ingin kita jual. Biaya yang besar lebih sering menjadi faktor penghalang untuk mengamati semua anggota populasi. Oleh karena itu, kita terpaksa menggantungkan pada sebagian anggota populasi untuk membantu kita menarik kesimpulan mengenai populasi tersebut. Contoh atau Sampel adalah himpunan bagian dari populasi. Dilambangkan dengan huruf n. Kalau kita menginginkan kesimpulan dari sampel atau contoh terhadap populasi menjadi sah, kita harus mendapatkan sampel yang mewakili. Kita sering kali tergoda untuk mengambil anggota populasi yang memudahkan kita. Cara demikian ini dapat membawa kita pada kesimpulan yang salah mengenai populasi. Prosedur pengambilan sampel yang menghasilkan kesimpulan yang konsisten terlalu tinggi atau terlalu rendah mengenai suatu cirri populasi dikatakan berbias. Untuk menghilangkan kemungkinan bias ini, kita perlu


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-12-

mengambil contoh acak sederhana, atau lebih singkat lagi contoh acak atau sampel acak. Contoh Acak = Sampel Random = Randomized Sample adalah sampel yang diambil dari populasi di mana setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama terpilih sebagai anggota sampel. Cara pengacakan : (1) Undian, (2) Tabel Bilangan Acak (3) Program komputer Tabel Bilangan Acak Contoh : Gunakan tabel A.12 untuk mendapatkan sebuah contoh acak sederhana berukuran 7 dari sejumlah 80 tikus untuk digunakan dalam penelitian laju pertumbuhan tumor pada suatu percobaan penelitian kanker. Jawab : Pertama-tama nomori semua tikus tersebut 01, 02, 03, ..., 80 dalam urutan sembarang. Selanjutnya secara sesuka kita atau acak, kita baca tabel A.12 mulai baris 28 kolom 16 dan 17 ke arah bawah. Jika kita abaikan bilangan-bilangan yang muncul untuk kedua kalinya atau lebih dan semua bilangan yang lebih besar dari 80, maka contoh acak sederhana berukuran 7 kita akan terdiri atas tikus-tikus yang bernomor : 19

48

73

79

26

60

40

Parameter dan Statistik Parameter

: nilai yang menyatakan ciri populasi

Statistik (Statistic) : nilai yang menyatakan ciri sampel Anda sudah dapat membedakan antara Statistik (tanpa akhiran “a”) = Statistic (without “s”) dengan Statistika (dengan “a”) = Statistics (with “s”). Penulisan lambang-lambang (Notasi) parameter dan statistik juga berbeda. Tabel 2.1. Lambang Parameter dan Statistik Ciri Parameter Statistik Rata-rata µ= my Standar deviasi, σ = sigma S simpangan baku Ragam, varians σ2 S2 Proporsi Π


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-13-

2.2 Notasi Penjumlahan Dalam statistika kita sangat sering menjumlahkan bilangan yang banyak. Misalnya, kita mungkin akan menghitung harga rata-rata pasta gigi merk tertentu yang dijual di sepuluh toko yang berbeda atau mungkin pula kita ingin mengetahui berapa kali sisi muka muncul bila tiga keping mata uang di lempar beberapa kali. Dengan menggunakan huruf Yunani ∑ (sigma) untuk menyatakan “penjumlahan”, kita dapat menuliskan jumlah empat perubahan bobot dengan menggunakan notasi penjumlahan yang dilambangkan dengan ∑ (sigma) :

i

: indeks dari 1,2,3,..n:

xi

: data/nilai/pengamatan ke-i

Dalil-1 : Penjumlahan 2 atau lebih peubah (variabel) = jumlah masing-masing penjumlahannya

i

: indeks, 1,2,3,...n

xi

: nilai ke-i untuk variabel ke-1

yi


zi


Dalil-2 : Jika c adalah konstanta maka :

Dalil-3: Jika c adalah konstanta maka :


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-14-

Contoh : 1. Jika diketahui x1 = 2 ; x2 = 4 ; x3 = 7 ; y1 = 3 ; y2 = -1, maka hitunglah nilai:

Jawab

2. Sederhanakanlah !

Jawab


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-15-

SOAL EVALUASI

Hitunglah ! 1. Jika x1= 4 ; x2 = -3 ; x3 = 6 dan x4 = -1, hitunglah :

2. Jika x1 = -2 ; x2 = 3 ; x3 = 1 ; y1 = 4 ; y2 = 0 ; dan y3 = -5, maka hitunglah :


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-16-

Deskripsi Singkat : Bab ini menjelaskan distribusi frekuensi dan cara membuatnya.

Tujuan Instruksional Khusus 1. Mahasiswa mampu membedakan distribusi frekuensi data yang tidak dikelompokkan dengan data yang dikelompokkan 2. Mahasiswa mampu menjelaskan jenis-jenis distribusi frekuensi 3. Mahasiswa mampu menggambarkan penyajian data dengan grafik dan tabel 4. Mahasiswa mampu menjelaskan penyajian distribusi frekuensi


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-17-

3.1. Distribusi Frekuensi Distribusi Frekuensi adalah penyusunan bahan-bahan atas dasar nilai variable dan frekuensi tiap-tiap nilai variabel itu. Tabel untuk distribusi frekuensi, disebut tabel distribusi frekuensi atau tabel frekuensi saja. Distribusi tunggal adalah distribusi yang tidak menggunakan penggolongan-golongan. Distribusi Bergolong menggunakan interval-interval kelas dalam penyusunannya. Walaupun data telah disusun dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya, bukan berarti bahwa penyederhanaan data tersebut telah selesai. Jika julamah responden yang diteliti banyak, maka barisan data yang tersusun pun akan panjang. Keadaan ini masih belum membantu peneliti dalam mengamati data tersebut. Agar data tersebut lebih sederhana maka perlu dibuat suatu distribusi frekuensi yaitu mengumpulkan data yang sama dalam satu kelompok. Distribusi frekuensi ada bermacam-macam, di antaranya : 1. Ditinjau dari nyata tidaknya frekuensi a. Distribusi frekuensi absolut Yang dimaksud dengan distribusi frekuensi absolut adalah suatu jumlah bilangan yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Distribusi ini disusun berdasar apa adanya, sehingga tidak menyukarkan peneliti dalam membuat distribusi ini. b. Distribusi frekuensi relatif Merupakan suatu jumlah persentase yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. 2. Ditinjau dari jenisnya a. Distribusi frekuensi numerik Adalah distribusi frekuensi yang didasarkan pada data-data kontinu, yaitu data yang berdiri sendiri dan merupakan suatu deret hitung. b. Distribusi frekuensi kategorikal


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-18-

Distribusi frekuensi yang didasarkan pada data-data yang terkelompok 3. Ditinjau dari kesatuannya a. Distribusi frekuensi satuan Adalah distribusi frekuensi yang menunjukkan berapa banyak data pada kelompok tertentu. Distribusi numerik maupun relative menunjukkan distribusi satuan. b. Distribusi frekuensi komulatif Merupakan distribusi frekuensi yang menunjukkan jumlah frekuensi pada sekelompok nilai tertentu mulai dari kelompok sebelumnya sampai kelompok tersebut atau sebaliknya. Pada bab ini distribusi frekuensi yang akan kita bahas adalah frekuensi numerik, kategorikal, relatif dan komulatif

3.1.1. Distribusi Frekuensi Numerik (Data yang tidak dikelompokkan) Dilakukan jika data yang diamati memiliki kategori yang sedikit walaupun dalam jumlah banyak. Di bawah ini contoh data yang bias langsung dikerjakan. Contoh : Data_1 : 3 5 8 7 9 5 6 7 8 9 Data di atas hanya berjumlah 10 data sehingga untuk menghitung secara manual masih bisa kita lakukan. Contoh : Data_2 : 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 Data di atas berjumlah 30 data tapi memiliki jenis yang sama sehingga tidak perlu dikelompokkan tapi hanya dibuat table frekuensi biasa : Tabel 3.1 Frekuensi Absolut Data 2 3 4 5 6


STATISTIKA

Frekuensi 4 4 3 2 4 Disusun oleh : Tanggal : Hadi Hermansyah, S.SI., M.Si. 15/09/2014

TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-19-

7 8 9

4 6 3

3.1.2. Distribusi Frekuensi Kategorikal (Data yang dikelompokkan) Problem awal yang dijumpai peneliti setelah data terkumpul adalah bagaimana membuat data tersebut agar mudah dibaca. Untuk itu peneliti hendaknya melakukan penyederhanaan atau penyusunan data yang masih tidak teratur menjadi data yang teratur. Penyusunan data dilakukan dengan jalan mengurutkan data tersebut dari yang paling kecil ke yang paling besar, atau sebaliknya dari yang paling besar ke yang paling kecil. Namun jika data yang ada mempunyai jenis atau katageri yang banyak maka distribusi frekuensi yang ada akan sangat panjang. Untuk mengatasi masalah ini maka kita menggunakan distribusi frekuensi katagerikal atau biasa kita sebut sebagai data yang dikelompokkan secara kategori atau jenis. Bagian-bagian distribusi frekuensi kategorikal : o Selang kelas adalah kelompok nilai data o Batas kelas adalah nilai -nilai yang membatasi kelas satu dengan yang lain o Limit kelas adalah batas nyata kelas yang tidak memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan yang lain. Limit kelas ada 2 yaitu limit kelas bawah = batas bawah kelas – 0.5 dan limit kelas atas = batas atas kelas + 0.5 o Titik tengah kelas adalah angka yang tepat terletak ditengah suatu kelas, titik tengah = 2 (batas bawah + batas atas) o Lebar kelas adalah selisih antara batas bawah kelas selang ke 1 dan batas bawah kelas selang ke 2 o Frekuensi kelas adalah banyaknya data yang termasuk ke dalam kelas tertentu Selang Kelas 1.5 – 1.9 2.0 – 2.4 2.5 – 2.9 3.0 -3.4 3.5 – 3.9

Tabel 3.2 Distribusi Frekuensi Kategorikal Batas kelas Titik tengah 1.45 – 1.95 1.7 1.95 – 2.45 2.2 2.45 – 2.95 2.7 2.95 – 3.45 3.2 3.45 – 3.95 3.7


STATISTIKA

Frekuensi 6 5 4 15 10


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-20-

4.0 – 4.4 4.5 – 4.9

3.95 -4.45 4.45 – 4.95

4.2 4.7

5 3

Langkah-langkah membuat sebaran frekuensi : 1. Tentukan banyaknya selang kelas yang diperlukan. ; di mana n = banyak data ; k = banyak selang kelas 2. Tentukan lebar selang kelas atau interval kelas (i) Rumus dari i adalah sebagai berikut:

Jadi kalau misalnya hasil pengukuran kita tentang tinggi orang yang tertinggi adalah 180cm dan yang terendah adalah 145cm, dan kita telah menetapkan jumlah intervalnya sebanyak 9 buah, maka

3. Tentukan limit bawah kelas bagi selang yang pertama dan kemudian limit bawah bagi selang yang kedua dengan menambahkan lebar kelas 4. Tentukan batas kelas dengan cara : BK = (LBK2 – LAK1)/2 5. Tentukan batas bawah kelas dengan cara : LBK1 – BK, dan batas atas kelas dengan cara : LAK1 + BK 6. Tentukan titik tengah kelas bagi masing-masing selang dengan meratakan limit kelas. 7. tentukan frekuensi bagi masing-masing kelas 8. Jumlahkan kolom frekuensi dan periksa apakah hasilnya sama dengan banyaknya total pengamatan 9. tentukan frekuensi relatif dengan cara membagi frekuensi kelas dengan frekuensi total 10. frekuensi komulatif adalah frekuensi total semua nilai yang lebih kecil atau lebih besar dari pada batas atas kelas suatu selang kelas tertentu.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-21-

3.1.3. Distribusi Frekuensi Relatif Yang dimaksud dengan distribusi frekuensi relatif adalah suatu jumlah persentase yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Dalam hal ini pembuat distribusi terlebih dahulu harus dapat menghitung persentase pada masing-masing kelompok skor, atau pada masing-masing bagian. Distribusi akan memberikan informasi yang lebih jelas tentang posisi masingmasing bagian dalam keseluruhan, karena kita dapat melihat perbandingan antara kelompok yang satu dengan kelompok yang lainnya. Walaupundemikian kita masih belum memperoleh gambaran yang jelas tentang penyebab adanya perbedaan tersebut. Hal ini disebabkan karena keterbatasan analisis yang didasarkan pada perhitungan persentase belaka.

Kelas 16-23 24-31 32-39 40-47 48-55 56-63 

Tabel 3.3. Distribusi Frekuensi Relatif Titik tengah Frekuensi Frekuensi kelas relative 19.5 10 10/50=1/5= 0.20 27.5 17 0.34 35.5 7 0.14 43.5 10 0.20 51.5 3 0.06 59.5 3 0.06 50 1

Frekuensi relative (%) 20 34 14 20 6 6 100

3.1.4. Distribusi Frekuensi Komulatif Yang dimaksud dengan distribusi frekuensi komulatif adalah distribusi frekuensi yang menunjukkan jumlah frekuensi pada sekelompok nilai (tingkat nilai) tertentu mulai dari kelompok sebelumnya sampai kelompok tersebut. Distribusi frekuensi kumulatif t erdiri atas : a. TDFK kurang dari (<) b. TDFK lebih dari (>)


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-22-

Pembentukan TDFK tetap harus memperhatikan prinsip pembentukan TDF (semua data tercakup dan tidak terjadi overlapping) Tabel 3.4. TDFK Kurang Dari (<) Kelas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

kurang dari 16 kurang dari 24 kurang dari 32 kurang dari 40 kurang dari 48 kurang dari 56 kurang dari 64

Frekuensi komulatif 0 10 27 34 44 47 50

(0 + 10) (10 + 17) (27 + 7) (34 + 10) (44 + 3) (47 + 3)

Banyak kelas dalam TDFK < = Banyak Kelas TDF + 1 Kelas TDFK kurang dari dibent uk dengan menggunakan batas bawah kelas TDF Kelas terakhir dalam TDFK kurang dari dibentuk dengan batas bawah kelas kek+1 pada TDF Tabel 3.5. TDFK Lebih Dari (>) Kelas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

lebih dari 15 lebih dari 23 lebih dari 31 lebih dari 39 lebih dari 47 lebih dari 55 lebih dari 63

Frekuensi komulatif 50 40 23 16 6 3 0

(50 -10) (40 -17) (23 -7) (16 -10) (6 – 3) (3 – 3)

Banyak kelas dalam TDFK-lebihdari = Banyak Kelas TDF + 1 Kelas TDFK-lebihdari dibentuk dengan menggunakan batas atas kelas TDF! Kelas pertama dalam TDFK-lebihdari dibentuk dari Batas Atas kelas ke-0 pada TDF!

3.2. Penyajian Data Secara garis besar ada dua cara penyajian data yaitu dengan tabel dan grafik. Dua cara penyajian data ini saling berkaitan karena pada dasarnya sebelum


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-23-

dibuat grafik data tersebut berupa tabel. Penyajian data berupa grafik lebih komunikatif. 3.2.1. Penyajian data dengan tabel Tabel atau daftar merupakan kumpulan angka yang disusun menurut kategori atau karakteristik data sehingga memudahkan untuk analisis data. Ada tiga jenis tabel yaitu : 

Tabel satu arah atau satu komponen adalah tabel yang hanya terdiri atas satu kategori atau karakteristik data. Tabel berikut ini adalah contoh tabel satu arah. Tabel 3.6. Banyaknya Pegawai Negeri Sipil Menurut Golongan Tahun 1990 Golongan

Banyaknya (orang)

I II III IV Jumlah

703. 827 1.917.920 309. 337 17.574 2.948.658

Sumber : BAKN, dlm Statistik Indonesia, 1986



Tabel dua arah atau dua komponen adalah tabel yang menunjukkan dua kategori atau dua karakteristik. Tabel berikut ini adalah contoh tabel dua arah. Tabel 3.7. Jumlah Mahasiswa baru POLTEKBA menurut Program Studi dan Asal Daerah T.A. 2013/2014 WNI

Teknik Mesin Alat Berat

50

WNA Luar Kalimantan Timur 10

Teknik elektronika

75

25

90

Teknik Sipil

55

15

70

Tata Boga

54

16

70

Keuangan Perbankan

25

15

40

Jumlah

259

81

330

Program Studi

Kalimantan Timur

Jumlah 60

Sumber : Data Buatan


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-24-



Tabel tiga arah atau tiga komponen adalah tabel yang menunjukkan tiga kategori atau tiga karakteristik. Contoh tabel berikut ini. Tabel 3.8. Jumlah Pegawai Menurut Golongan, Umur dan Pendidikan pada Departeman A Tahun 2012 Banyaknya (orang) Pendidikan Golongan Bukan 25-35 >35 Sarjana sarjana I 400 500 900 0 II 450 520 970 0 III 1200 2750 1850 2100 IV 0 250 0 250 2.050 4020 3720 2350 Jumlah Sumber : Data Buatan

3.2.2. Penyajian data dengan grafik/diagram Penyajian distribusi frekuensi biasanya dalam bentuk grafik. Grafik merupakan gambar-gambar yang menunjukkan data secara visual yang biasanya dibuat berdasarkan nilai pengamatan aslinya ataupun dari tabel -tabel sebelumnya. Keuntungan menggunakan grafik yaitu: 1. Grafik lebih mudah diingat daripada tabel 2. grafik menarik bagi orang-orang tertentu yang tidak menyukai angka dan tabel 3. dapat diperoleh informasi secara visual dan juga dapat digunakan untuk membandingkan secara visual pula 4. dapat menunjukkan perubahan hubungan satu bagian dalamrangka data dengan bagian yang lainnya. Terdapat beberapa jenis grafik yaitu :  Grafik garis (line chart) Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan data berkala. Grafik garis dapat berupa grafik garis tunggal maupun grafik garis berganda.  Grafik batang / balok (bar chart)  Grafik batang pada dasarnya sama fugsinya dengan grafik garis yaitu untuk menggambarkan data berkala. Grafik batang juga terdiri dari grafik batang tunggal dan grafik batang ganda.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-25-

 Grafik lingkaran (pie chart) Grafik lingkaran lebih cocok untuk menyajikan data cross section, dimana data tersebut dapat dijadikan bentuk prosentase.  Grafik Gambar (pictogram) Grafik ini berupa gambar atau lambang untuk menunjukkan jumlah benda yang dilambangkan.  Grafik Berupa Peta (Cartogram).  Cartogram adalah grafik yang banyak digunakan oleh BMG untuk menunjukkan peramalan cuaca dibeberapa daerah. Contoh-contoh grafik :

Gambar 3.1 Grafik Garis

Gambar 3.2 Grafik Batang


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-26-

Gambar 3.3 Grafik Pie Chart 3.2.3. Penyajian Distribusi Frekuensi Di bawah ini merupakan beberapa bentuk grafik yang akan kita pelajari : 1. Histogram Histogram merupakan suatu cara untuk menunjukkan bagaimana nilainilai hasil observasi terdistribusi. Bentuk distribusi sangat penting karena akan menentukan metode statistika yang dipergunakan. Grafik histogram biasa disebut juga Bar Diagram, yaitu suatu grafik yang berbentuk segi empat. 2. Poligon Poligon frekuensi adalah grafik dari distribusi frekuensi yang diperoleh dengan cara menghubungkan puncak dari masing-masing nilai tengah kelas. Sedangkan sumbu vertical dipergunakan frekuensi dari kelas yang bersangkutan. 3. Ogive Penyajian secara grafis dari distribusi frekuensi komulatif disebut sebagai ogive. Pada ogive yang digunakan sebagai sumbu horizontal adalah batas nyata kelas, sedangkan sumbu vertikal digunakan frekuensi komulatif masing-masing kelas. Penyajian Tabel Distribusi Frekuensi dalam Grafik/Diagram 1. TDF  disajikan dalam histogram dan/atau poligon 2. TDFR  disajikan dalam histogram dan/atau poligon 3. TDFK kurang dari  disajikan dalam OGIVE kurang dari 4. TDFK lebih dari  disajikan dalam OGIVE lebih dari


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-27-


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-28-

SOAL EVALUASI

1. Data :

5 7 8 9 4 6 4 4 6 7 5 6 7 6 7 Buatlah table Distribusi Frekuensi numeriknya

5 4 8

6 8 3

3 9 4

2. Data :

3.7 3.1 3.3 4.1 3.0

3.0 4.7 3.9 1.9 4.2

2.6 3.7 3.1 3.4 3.5

2.2 4.1 3.4 1.6 2.5 4.3 3.3 3.1 4.7 3.8 Buatlah distribusi frekuensi

3.5 4.5 3.1 3.3 3.4 3.6 3.7 4.4 3.2 2.6 kategorikalnya

3.2 3.8 2.9 3.2 3.9

7 9 6

3. Jelaskan jenis-jenis distribusi frekuensi ! 4. Jelaskan apa yang dimaksud dengan grafik! 5. Jelaskan langkah yang sebaiknya ditempuh dalam membuat Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal! 6. Data di bawah ini: Nilai hasil ulangan harian dari sejumlah 60 orang siswa SMP dalam bidang studi Bahasa Indonesia adalah sebagai berikut: 7

5

8

3

6

4

6

7

5

9

4

6

8

6

8

5

7

5

9

7

3

4

6

5

5

4

8

6

5

6

9

7

5

8

6

4

6

7

8

10

7

6

3

9

5

7

6

3

8

7

10

8

7

6

6

5

7

7

6

6

Soal : Aturlah (susunlah) dan kemudian sajikanlah data tersebut diatas dalam bentuk: a. Tabel Distribusi Frekuensi, dengan mengindahkan persyaratan tertentu sehingga dapat disebut Tabel distribusi frekuensi yang baik. b. Tabel Presentase Komulatif 5. Jelaskan jenis-jenis skala!


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-29-

Deskripsi Singkat : Bab ini menjelaskan tentang ukuran pusat: mean, median, modus

Tujuan Instruksional Khusus

1. menjelaskan rumus mean baik data tak kelompok maupun data berkelompok 2. menjelaskan rumus median baik data tak kelompok maupun data berkelompok 3. menjelaskan rumus modus baik data tak kelompok maupun data berkelompok


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-30-

Ukuran pemusatan adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya. 4.1. Pengukuran Tendensi Sentral Jika dilakukan penelitian terhadap motivasi, pada umumnya dapat diketahui bahwa sebagian besar dari orang yang diteliti mempunyai motivasi yang “normal”. Kemudian jika diambil angka 100 sebagai indeks (ukuran) normalitas, maka sebagian besar orang yang kita selidiki akan mempunyai angka motivasi di sekitar 100. Hanya sebagian kecil saja dari mereka yang angka motivasinya menyimpang jauh dari indeks normalitas itu. Salah satu tugas dari statistika adalah mencari suatu angka di sekitar mana nilai-nilai dalam suatu distribusi memusat. Angka yang menjadi pusat suatu distribusi disebut “tendensi sentral”. Ada tiga macam tendensi sentral yang sangat penting untuk dibahas, yakni: Mean, Median, dan Mode. Ketiganya mempunyai cara-cara menghitung yang berbeda-beda, dan mempunyai arti yang berbeda pula sebagai alat untuk mengadakan deskripsi sesuatu distribusi.

4.2. Mean Mean berarti “angka rata-rata”. Dari segi aritmetik Mean adalah “jumlah nilainilai dibagi dengan jumlah individu”. Sebagai contoh, ada tiga orang berpenghasilan 10, 15 dan 20 rupiah tiap harinya. Rata-rata penghasilan mereka adalah 15 rupiah tiap harinya. Ini dicari dengan cara sebagai berikut :

Dari pernyataan itu dapat dikemukakan rumus Mean sebagai berikut :


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-31-

Rumus itu disingkat sebagai berikut :

Simbul Σ adalah huruf Yunani yang disebut “Sigma” dan mempunyai arti jumlah. 4.2.1. Data yang tidak dikelompokkan Jika ada empat orang yang berpenghasilan 10 rupiah, seorang yang berpenghasilan 15 rupiah, dan seorang yang berpenghasilan 20 rupiah seharinya, maka Mean dari penghasilan mereka tidak lagi 15 rupiah, melainkan 12,50 rupiah. Hal ini dapat dicari dengan tabel sebagai berikut: Tabel 4.1. Contoh Mencari Mean dari data yang tidak dikelompokkan Penghasilan (x) Frekuensi (f) fx 20 1 20 15 1 15 10 4 40 N=6

Rumus Mean yang ditimbang (Data yang tidak dikelompokkan ) adalah sebagai berikut :

atau jika mempunyai data yang sama

dan : rata-rata hitung populasi N

: ukuran Populasi

x

: rata-rata hitung sampel

n

: ukuran Sampel

xi

: data ke-i

Contoh 1 :


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-32-

Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai berikut : 850, 1100, 1150, 1250, 750, 900. Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A? Rata-Rata Populasi atau Sampel ? Jawab:

Contoh 2 : Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman ringan memeriksa 6 kaleng contoh untuk diperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut adalah data 6 kaleng minuman contoh yang diperiksa : 13.5

12.5

13

12

11.5

12.5

Jawab :

4.2.2. Data yang dikelompokkan Adalah data yang mengalami penyederhanaan, yaitu dalam bentuk distribusi frekuensi kategorikal. Mean atau rata -rata merupakan hasil bagi dari sejumlah skor dengan banyaknya

responden.

Perhitungan

mean

merupakan

perhitungan

yang

sederhana karena hanya membutuhkan jumlah skor dan jumlah responden (n). Jika pencaran skor berdistribusi normal, maka rata-rata skor merupakan nilai tengah dari distribusi frekuensi skor tersebut. Rata-rata tidak mempertimbangkan pencaran (variabilitas) skor, sehingga sebelum melakukan interpretasi atas nilai rata -rata perlu melihat variabilitasnya.

dimana :

fi = frekuensi kelas ke i xi = nilai tengah kelas ke i n = banyaknya observasi

Sekali lagi perlu diingatkan disini bahwa X adalah mewakili “titik tengah” dari interval kelas dalam distribusi.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-33-

Tabel 4.2. Contoh Mencari Mean dari data yang dikelompokkan Penghasilan Titik Tengah F (x) (x) 145-149 147 1 140-144 142 3 135-139 137 5 130-134 132 8 125-129 127 11 120-124 122 17 115-119 117 21 110-114 112 22 105-109 107 24 100-104 102 20 95-99 97 15 90-94 92 12 85-89 87 6 80-84 82 2 Jumlah -N=167

fx 147 426 685 1056 1397 2074 2457 2464 2568 2040 1455 1104 522 164

4.3. Median Median dapat dibatasi sebagai “suatu nilai yang membatasi 50 persen frekuensi distribusi bagian bawah dengan 50 per sen frekuensi distribusi bagian atas.” Kita misalkan ada distribusi penghasilan dari tujuh orang seperti tersebut dalam tabel di bawah ini. Tabel 4.3. Contoh Distribusi Penghasilan Untuk Mencari Median Individu Penghasilan (Rp) 1 10 2 12 3 13 4 14 5 16 6 16 7 20 4.3.1. Data yang tidak dikelompokkan Merupakan segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau terbesar sampai terkecil yang tepat ditengahtengahnya bila TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-34-

pengamatan itu ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang ditengah bila pengamatannya genap maka: 

Jika banyak data (n) genap dan tersortir, maka:



Jika banyak data (n) genap dan tersortir, maka:

Contoh 1 : Tinggi Badan 5 mahasiswa : 1.75

1.78

1.60

1.73

1.78 meter

1.60

1.73

1.75

1.78

1.78 meter

Sorted

n = 5:

Median = Data ke -3 = 1.75 Contoh 2 : Tinggi 6 mahasiswa 1.60

: 1.73 1.75

1.78

1.78

1.80 meter (Sorted)

Median = (Data ke 3 + Data ke 4) : 2 = (1.75 + 1.78) : 2 = 3.53 : 2 = 1.765 Contoh 3 : Dari lima kali quiz statistic seorang mahasiswa mendapat nilai 82, 70, 75, 88, dan 90. Tenrukan median nilai ini ! Jawab : Setelah menyusun dari yang terkecil sampai terbesar, kita memperoleh 70 75 82 88 90


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-35-

Maka mediannya = 82 4.3.2. Data yang dikelompokkan Median merupakan skor yang membagi distribusi frekuensi menjadi dua sama besar. Langkah awal menentukan median adalah menyusun data menjadi bentuk tersusun menurut besarnya. Baru kemudian ditentukan nilai tengahnya (skor yang membagi distribusi menjadi dua sama besar). Jika jumlah frekuensi ganjil, maka nementukan median akan mudah yaitu skor yang terletak di tengah-tengah barisan skor. Apabila jumlah frekuensi genap, maka median merupakan rata -rata dari dua skor yang paling dekat dengan median. Rumus untuk mencari median dari distribusi bergolong adalah sebagai berikut:

Dalam mana : Bb

Adalah batas bawah (nyata) dari interval yang mengandung median

Cfb

Frekuensi kumulatif (frekuensi meningkat) di bawah interval yang mengandung median,

fd

Frekuensi dalam interval yang mengandung median

i

Lebar interval, dan

N

Jumlah frekuensi dalam distribusi

Penggunaan rumus itu dapat kita lihat dari pekerjaan di bawah ini : Tabel 4.4. Contoh Menghitung Median Dari Distribusi data yang dikelompokkan Interval Nilai 100-104 95-99 90-94 85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 Jumlah

fd

F 1 3 5 9 (13) 10 6 4 3 1 55


STATISTIKA

Cf 55 54 51 46 37 (24) 14 8 4 1 -Disusun oleh : Tanggal : Hadi Hermansyah, S.SI., M.Si. 15/09/2014

TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-36-

Dalam contoh diatas, jumlah frekuensinya (atau N ) ada 55. Kalau ini kita bagi dua hasilnya sama dengan 27,5 itu. Setelah ½ N ini kita ketemukan maka langkah selanjutnya adalah menemukan interval kelas yang mengandung frekuensi kumulatif 27,5 itu, interval kelas yang kita maksudkan adalah 80-84, sebab cf 27,5 terkandung dalam cf 37. Batas bawah (nyata) atau Bb dari interval yang mengandung median itu adalah 79,50. Separo dari jumlah frekuensinya, atau ½ N adalah 55/2, sama dengan 27,50. Frekuensi kumulatif di bawah interval yang mengandung median adalah 24 (24 adalah cf di bawah 37, sedang cf 37 adalah cf yang mengandung median). Frekuensi dalam interval adalah 13, sedang lebar interval atau i-nya ada lima. Diisikan dalam rumus kita jumpai perhitungan sebagai berikut :

Jadi, median dari distribusi tersebut 80,5. 4.4. Modus 4.4.1. Data yang tidak dikelompokkan Merupakan nilai yang paling sering muncul atau dengan frekuensi yang paling tinggi. Modus tidak selalu ada, ini terjadi jika frekuensi semua data sama. Modus juga dapat lebih dari satu, jika terdapat lebih da ri satu frekuensi tertinggi yang sama dan dikatakan sebagai bimodus. Contoh :

Sumbangan PMI warga Depok Rp.

7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000

Modus : Rp. 8000 Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus), bisa juga terjadi data tanpa modus Contoh: a. Berat 5 orang bayi : 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 (Tidak Ada Modus) b. Umur Mahasiswa :

19

18


STATISTIKA

19

18

23

21

19


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-37-

21 18

20

22

17

Modus : 18 dan 19 4.4.2. Data yang dikelompokkan Modus adalah skor yang mempunyai frekuensi terbanyak dalam sekumpulan distribusi skor. Dengan kata lain modus dianggap sebagai nilai yang menunjukkan nilai -nilai yang lain terkonsentrasi. Berikut ini rumus untuk mencari modus :

Dimana: BB = batas bawah dari kelas yang mengandung median d1 = selisih frekuensi kelas yang mengandung modus dengan frekuensi sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas yang mengandung modus dengan frekuensi sesudahnya fk = frek.kumulatif di atas kelas yang berisi median i

= interval kelas

Tabel 4.5. Contoh Menghitung Modus Dari Distribusi data yang Dikelompokkan Kelas

Batas Kelas Frekuensi

Nilai tengah

Fk

60 – 62

1

61

61

1

63 – 65

2

64

128

3

13

67

871

16

20

70

1400

36

11

73

803

47

3

76

228

50

66 – 68 69 – 71 72 – 74

68.5 – 71.5

75 – 77 Mean:

Median:


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-38-

Letak median di (n/2) = 25

Modus:

4.5. Tempat Kedudukan Mean, Median, dan Modus dalam Distribusi Tempat kedudukan Mean, Median dan Modus dalam satu distribusi sangat tergantung kepada bentuk distribusinya. Kita ingat kembali ada distribusi yang simetri dan ada yang juling. Jika dari suatu distribusi simetri normal kita hitung mean, median, dan modenya, maka akan kita jumpai sifat yang khas, yaitu bahwa ketiga tendensi sentral itu bersekutu satu sama lain. Hal ini mudak kita mengerti, sebab pada distribusi normal, mean membagi dua sama banyak frekuensi variabel di atas dan dibawahnya. Dengan demikian mean ini mempunyai fungsi seperti median. Karena yang menjadi modus dalam distribusi normal adalah nilai yang ada pada mean, maka dengan sendirinya modus itu bersekutu dengan mean. Jadi pada distribusi normal mean, median, dan modus ketiga-tiganya berimpit. Untuk ilustrasi periksalah grafik 4.1.

Grafik 4.1 Ilustrasi mean, median dan modus TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-39-

SOAL EVALUASI

1. Jelaskan tentang segi segi kebaikan dan kelemahan yang dimiliki oleh: a. Mean; b. Median; c. Modus. 2. Dalam kedaan yang bagaimana seharusnya kita mencari (menghitung): a. Mean; b. Median; c. Modus. 3. Jelaskan adanya saling hubungan antara Mean, Median dan Modus dengan mengemukakan contohnya! 4. Jelaskan bahwa Percentile sangat berguna untuk dipergunakan sebagai alat atau ukuran untuk: a. Mengubah raw score menjadi Nilai Standart Sebelas (Stanel). b. Menetapkan Nilai Batas Lulus dalam suatu tes atau seleksi. 5. Dari sejumlah 266 orang lulusan SMK yang mengikuti Tes Seleksi Penerimaan Calon Mahasiswa Baru pada sebuah Perguruan Tinggi, berhasil dicatat sekor hasil ujian mereka dalam mata ujian Fisika sebagai berikut: Skor 90-94 85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24

Frekuensi 4 10 14 19 30 33 40 32 25 21 18 10 6 3 1 N = 266

Soal: a. Berapakah Nilai Rata –rata hitung yang berhasil dicapai oleh 266 orang calon yang mengikuti Tes Seleksi tersebut (dengan catatan bahwa


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-40-

perhitungan Nilai Rata-rata Hitung itu hendaknya dilakukan dengan menggunakan Metode Panjang dan Metode Singkat)? b. Ubahlah hasil tes tersebut menjadi STANEL (Nilai Standart Sekala Sebelas), dengan menggunakn ukuran Percentile! c. Sekor berapa yang merupakan modus dari data tersebut diatas? d. Jika dari jumlah 266 orang calon itu yang akan diluluskan (dinyatakan diterima sebagai mahasiswa baru) hanya 45 orang, tetapkan Niali Batas Lulusnya dengan menggunakan ukuran Percentile! 6. Dari kegiatan eksperimen yang dilakukan 6 kali, diperoleh sekor sebagai berikut: Eksperimen ke: 1 2 3 4 5 6

Skor 26 13 20 18 10 15

Carilah Nilai Rata-rata Ukur dari sekor hasil eksperimen tersebut di atas tanpa menggunakan daftar logarithma. 7. Banyaknya jawaban yang salah pada suatu quiz dengan soal benar salah dari lima belas siswa yang di pilih secara acak adalah : 2, 1, 3, 0, 1, 3, 6, 0, 3, 3, 5, 2, 1, 4, dan 2. Tentukanlah : a.

Mediannya

b.

Meannya

c.

Modusnya

8. Lama reaksi terhadap suatu ransangan tertentu dari sembilan individu yang diambil secara acak adalah : 2.5, 3.6, 3.1, 4.3, 2.9, 2.3, 2.6, 4.1, dan 3.4 detik. Tentukan : a. Meannya b. Modusnya 9. IQ rata-rata sepuluh mahasiswa yang mengambil kuliah matematika adalah 114. Bila sembilan mahasiswa di antaranya memiliki IQ 101, 125, 118, 128, 106, 115, 99, 118, dan 109. Berapa IQ mahasiswa yang satunya


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-41-

lag i ? 10. Dari hasil pengumpulan jawaban benar 60 responden atas soal multiple choise sebanyak 20 item sebagai berikut : 17

12

6

13

9

15

11

16

4

15

12

13

10

13

2

11

13

10

20

14

12

17

10

15

12

17

9

14

11

15

9

18

12

13

12

17

8

16

12

15

11

16

9

13

18

10

13

0

11

16

12

15

16

7

20

14

14

15

12

13

Apabila setiap item diberi skor 1 untuk jawaban benar dan skor 0 untuk jawaban yang salah, maka nilai maksimum yang bisa diperoleh adalah 20 dan nilai minimumnya adalah 0. a. Buatlah Distribusi frekuensi kategorikal b. Hitung mean, median, dan modus 11. Data berikut berupa daya tahan sampai mati. Diukur sampai sepersepuluh menit terdekat, dari contoh acak 50 lalat yang disemprot dengan bahan kimia baru dalam suatu percobaan laboratorium : 2.4

1.6

3.2

4.6

0.4

1.8

2.7

1.7

5.3

1.2

0.7

2.9

3.5

0.9

2.1

2.4

.4

3.9

6.3

2.5

3.9

2.6

1.8

3.4

2.3

1.3

2.8

1.1

1.2

2.1

2.8

3.7

3.1

2.3

1.5

2.6

3.5

5.9

2.0

1.2

1.3

2.1

0.3

2.5

4.3

1.8

1.4

2.0

1.9

1.7

Dengan menggunakan 8 selang dengan nilai terendah dimulai dari 0.1. Tentukan: a. Median b. Mean c. Modus


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-42-

Deskripsi Singkat : Bab ini menjelaskan tentang ukuran pusat dan ukuran penyebaran.

Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu menjelaskan rumus-rumus ukuran pusat yaitu kuartil, desil, dan persentil baik data tak kelompok maupun data berkelompok


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-43-

Individu skor atau nilai X disebut dengan raw score. Raw Score tidak dapat memberi informasi yang banyak, untuk itu perlu suatu perhitungan yang akan bermanfaat dalam menginterpretasikan skor yang terkumpul. Suatu contoh Nilai Praktek Lapangan mahasiswa A adalah 70, dalam hal ini si A tidak dapat mengatakan apa-apa tentang nilainya kecuali hanya menyebutkan besarnya nilai. Untuk mengevaluasi skor tersebut perlu banyak informasi seperti rata-rata kelas atau berapa banyak teman-temannya yang memperoleh nilai di bawahnya, sama dengannya, maupun di atasnya. Frekuensi distribusi dapat dikelompok-kelompokkan menjadi beberapa bagian yang sama besar, pengelompokkan tersebut dapat dilakukan dengan: Quartile, Decile, dan Precentile.

5.1. Kuartil Kuartil adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang sama besar.

Di mana : n : banyak data Kelas Kuartil ke -q : Kelas di mana Kuartil ke -q berada Kelas Kuartil ke-q didapatkan dengan membandingkan Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-44-

atau

q di mana :

: 1,2 dan 3 TBB : Tepi Batas Bawah s

: selisih antara Letak Kuartil ke -q dengan Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Kuartil ke-q

TBA : Tepi Batas Atas : selisih antara Letak Kuartil ke -q dengan

s’

Frekuensi Kumulatif sampai kelas Kuartil ke –q i

: interval kelas

f Q : Frekuensi kelas Kuartil ke –q Contoh : Tentukan Kuartil ke -3 Kelas

Frek. Kumulatif

Frekuensi

16 – 23

10

10

24 – 31

17

27

32 – 39

7

34

40 – 47

10

44

48 – 55

3

47

56 - 63

3

50

50

----

∑

Kelas Kuartil ke -3 interval = i = 8 Letak Kuartil ke-3 = 3n/4 =3 x 50 = 37.5 Kuartil ke-3 = Data ke-37.5 terletak di kelas 40 - 47 Jadi, Kelas Kuartil ke-3 = 40 - 47


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-45-

TBB Kelas Kuartil ke-3 = 39.5 dan TBA Kelas Kuartil ke-3 = 47.5 fQ = 10 Frek. Kumulatif sebelum Kelas Kuartil ke-3 = 34  s = 37.5 - 34= 3.5 Frek. Kumulatif sampai Kelas Kuartil ke-3 = 44  s’ = 44 - 37.5 = 6.5

5.2. Desil Desil adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 10 bagian yang sama besar

n : banyak data Kelas Desil ke-d : Kelas di mana Desil ke-d berada Kelas Desil ke-d didapatkan dengan membandingkan Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif.

atau


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-46-

d : 1,2,3...9 di mana :

TBB s TBA s’ i fD

: Tepi Batas Bawah : selisih antara Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Desil ke-d : Tepi Batas Atas : selisih antara Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif sampai kelas Desil ke-d : interval kelas : Frekuensi kelas Desil ke-d

Contoh: Tentukan Desil ke-9 Kelas

Frekuensi

16 – 23

10

Frek. Kumulatif 10

24 – 31

17

27

32 – 39

7

34

40 – 47

10

44

48 – 55

3

47

56 - 63

3

50

∑

50

----

Kelas Desil ke-9

Desil ke-9 = Data ke-45 terletak di kelas 48 - 55 Jadi, Kelas Desil ke-9 = 48 - 55 TBB Kelas Desil ke-9 = 47.5 dan TBA Kelas Desil ke-9 = 55.5 fD = 3 Frek. Kumulatif sebelum Kelas Desil ke-9 = 44  s = 45 - 44 = 1 Frek. Kumulatif sampai Kelas Desil ke-9 = 47  s’ = 47 - 45 = 2


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-47-

5.3 Persentil Persentil adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 100 bagian yang sama besar.

n : banyak data Kelas Persentil ke-p : Kelas di mana Persentil ke-p berada Kelas Persentil ke-p didapatkan dengan membandingkan Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi Kumulatif.

atau

p : 1,2,3...99 di mana :

TBB s

: Tepi Batas Bawah : selisih antara Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Persentil ke-p TBA : Tepi Batas Atas s’ : selisih antara Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi Kumulatif sampai kelas Persentil ke-p i : interval kelas fP : Frekuensi kelas Persentil ke-p Contoh : Tentukan Persentil ke -56 Kelas 16 – 23

10


Frek. Komulatif

Frekuensi

STATISTIKA

10


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-48-

24 – 31

17

27

32 – 39

7

34

40 – 47

10

44

48 – 55

3

47

56 - 63

3

50

∑

50

----

Kelas Persentil ke-56 interval = i = 8

Persentil ke-56 = Data ke-28 terletak di kelas 32 - 39 Jadi, Kelas Persentil ke-56 = 32 - 39 TBB Kelas Persentil ke-56 = 31.5

dan

TBA Kelas Persentil ke -56 = 39.5 fP = 7 Frek. Kumulatif sebelum Kelas Persentil ke -56 = 27  s = 28 - 27 = 1 Frek. Kumulatif sampai Kelas Persentil ke -56 = 34  s‟ = 34 - 28 = 6

SOAL EVALUASI

1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan Quartile, Decile, dan Precentile ? 2. Apa kegunaan Quartile, Decile, dan Precentile dalam analisis Statistik ? 3. Dari hasil pengumpulan jawaban benar 60 responden atas soal multiple choise sebanyak 20 item sebagai berikut : 17

12

6

13

9

15


STATISTIKA

11

16

4

15


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-49-

12

13

10

13

2

11

13

10

20

14

12

17

10

15

12

17

9

14

11

15

9

18

12

13

12

17

8

16

12

15

11

16

9

13

18

10

13

0

11

16

12

15

16

7

20

14

14

15

12

13

Apabila setiap item diberi skor 1 untuk jawaban benar dan skor 0 untuk jawaban yang salah, maka nilai maksimum yang bisa diperoleh adalah 20 dan nilai minimumnya adalah 0. a. Buatlah Distribusi frekuensi kategorikal (Pada soal modul 4) b. Cari nilai Quartil, D2, D7, P23, dan P66 4. Data berikut berupa daya tahan sampai mati. Diukur sampai sepersepuluh menit terdekat, dari contoh acak 50 lalat yang disemprot dengan bahan kimia baru dalam suatu percobaan laboratorium : 2.4

1.6

3.2

4.6

0.4

1.8

2.7

1.7

5.3

1.2

0.7

2.9

3.5

0.9

2.1

2.4

.4

3.9

6.3

2.5

3.9

2.6

1.8

3.4

2.3

1.3

2.8

1.1

1.2

2.1

2.8

3.7

3.1

2.3

1.5

2.6

3.5

5.9

2.0

1.2

1.3

2.1

0.3

2.5

4.3

1.8

1.4

2.0

1.9

1.7

a. Buatlah Distribusi frekuensi kategorikal (Pada soal modul 4) b. Cari nilai Quartil, D 3, D6, P27, dan P86


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-50-

Deskripsi Singkat : Bab ini menjelaskan tentang deviasi rata-rata dan standar deviasi

Tujuan Instruksional Khusus  Mahasiswa mampu menjelaskan tentang deviasi rata-rata  Mahasiswa mampu menjelaskan standard deviasi  Mahasiswa mampu memahami cara lain untuk Menghitung standard deviasi  Mahasiswa mampu memahami Standar Kesalahan Mean


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-51-

6.1. Pengukuran Variabilitas Ada dua orang atlet loncat tinggi yang sedang dilatih untuk menghadapi kompetisi nasional atletik. Ahmad menunjukkan loncatan yang tidak dipastikan: kadang-kadang dia meloncat setinggi 195, tetapi kadang-kadang dia hanya dapat meloncat setinggi 165cm. Mahmud, sebaliknya menunjukkan loncatan yang lebih mantap sungguhpun dia tidak pernah meloncat setinggi 195cm, tetapi dia juga tidak pernah meloncat serendah 165cm. Paling rendah loncatannya adalah 171cm, sedang paling tinggi 189cm. Persoalannya adalah siapa yang akan dimajukan dalam perlombaan kejuaran nasional itu apabila hanya seorang peloncat saja yang diperkenankan untuk dimajukan. Loncatan Ahmad agak jauh dari mean loncatannya, dibandingkan dengan loncatan Mahmud. Dengan istilah statistika dikatakan bahwa loncatan Ahmad mempunyai variabilitas yang lebih besar dari pada loncatan Mahmud. Yang dimaksud dengan variabilitas adalah derajat penyebarannilai-nilai variable dari suatu tendensi dalam suatu distribusi. Jika dua distribusi, katakana distribusi A dan distribusi B dibandingkan, dan distribusi A menunjukkan penyebaran nilai-nilai variabelnya yang lebih besar dari pada distribusi B, maka dikatakan bahwa distribusi A mempunyai variabilitas yang lebih besar dari distribusi B. Variabilitas ini juga disebut dispersi. Untuk memutuskan apakah Ahmad ataukah Mahmud yang harus dimajukan dalam perlombaan kejuaraan Nasional loncat tinggi, maka pelatih membutuhkan pengukuran variabilitas loncatan kedua orang itu. Ada beberapa macam cara untuk mencari variabilitas. Di sini yang akan dibicarakan hanyalah yang pokok-pokok saja, yaitu Mean Deviation, dan Standard Deviation.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-52-

6.2. Deviasi Rata-rata (Mean Deviation) Mean Deviation atau Average Deviation atau Deviasi Rata-rata adalah rata-rata dari deviasi nilai-nilai dari Mean dalam suatu distribusi, diambil nilainya yang absolute. Yang dimaksud dengan deviasi absolute adalah nilai-nilai yang negatif. Secara aritmatika mean deviasi dapat didefinisikan sebagai mean dari harga mutlak dari deviasi nilai-nilai individual. Yang pertama dilakukan alada menghitung Mean, kemudian ditentukan berapa besarnya penyimpangan tiap-tiap nilai dari mean itu. Misalnya, jika seorang mempunyai IQ 110, sedang mean IQ dari grupnya = 100, maka deviasi IQ orang tesebut adalah 110 – 100 = +10. Jika orang lain dalam grup itu mempunyai IQ 85, maka deviasi orang itu adalah 85 – 100 = - 15. Deviasi yang bertanda plus menunjukkan deviasi di atas mean, sedang yang bertanda minus menunjukkan deviasi di bawah mean. Akan tetapi dalam perhitungan mean deviasi tanda minus ditiadakan. Dalam statistika, deviasi diberi simbul dengan huruf-huruf kecil seperti x, y, d, dan sebagainya. Rumusnya adalah x = X – M atau y = Y – M. d = D – M, dan sebagainya. Adapun rumus dari Mean deviasi adalah:

Dimana: MD

= Mean Deviasi = Jumlah deviasi dalam harga mutlaknya

N

= Jumlah Individu / Kasus

Bagaimana menerapkan rumus itu untuk memperhitungkan mean deviasi dari suatu distribusi dapat dilihat dari contoh sederhana di halaman berikut: Tabel 6.1. Contoh Mencari Mean Deviation Nilai Variabel 19 18 17 16 15 14 13

Deviasi dari Mean Dengan nilainya absolute 5 4 3 2 1 0 1


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-53-

12 11 10 9 --

Dengan N = 11 dan

2 3 4 5

= 30 maka

6.3. Standard Deviasi Secara matematik Standard Deviasi dibatasi sebagai “Akar dari Jumlah deviasi kuadrad dibagi banyaknya individu” dalam distribusi. Untuk mencari standard deviasi pertama-tama kita harus mencari mean ini dapat dicari dengan rumus yang sudah kita ketahui :

Dengan mengetahui mean ini kita dapat mencari deviasi nilai individual dari mean. Ini dicantumkan dalam kolom kedua. Jumlah deviasi dari mean ini, yaitu Σ, x1. harus sama dengan NOL. Tabel 6.2. Contoh Mencari Standard Deviasi Nilai Deviasi dari Deviasi dari Variabel Mean Mean Kuadrat (X) (X) (X2) 19 +5 25 18 +4 16 17 +3 9 16 +2 4 15 +1 1 14 0 0 13 -1 1 12 -2 44 11 -3 9 10 -4 16 9 -5 25 TOTAL 7 80 Rumus stanadar deviasi sebagai berikut :


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-54-

Dalam mana : SD

= Standard Deviasi

Σx2

= Jumlah deviasi Kuadrat, dan

N

= Jumlah individu / kejadian dalam distribusi

SD kadang-kadang diberi simbul ζ, disebut sigma (dari salah satu huruf Yunani), yang diartikan Standart Devasi 6.3.1. Cara Lain Untuk Menghitung SD Rumus untuk menghitung SD seperti yang telah dibicarakan dimuka adalah rumus yang paling sederhana. Frekuensi dari tiap-tiap nilai tidak akan satu. Melainkan berbeda-beda, bergerak dari bilangan 0 ke bilangan yang tak terhingga. Rumus untuk menghitung SD dari distribusi yang tidak sama frekuensi tiap-tiap nilai variabelnya adalah sebagai berikut:

Kedua rumus yang telah kita ketahui itu disebut rumus deviasi. Distribusi demikian karena rumus itu menggunakan deviasi dari mean sebagai salah satu komponennya. Di halaman berikut contoh mencari SD dengan rumus itu. Tabel 6.3. Menghitung SD Dengan Rumus Deviasi x 10 9 8 7 6 5 4 3 N = 100

f 3 9 13 23 24 13 10 5

fx 30 81 104 161 144 65 40 15


STATISTIKA

x +3,60 +2,60 +1,60 +0,60 -0,40 -1,40 -2,40 -3,40

Fx 10,80 23,40 20,80 13,80 9,60 18,20 24,00 17,00 Σf2 = 286,00

fx2 38,88 60,84 33,28 8,28 3,84 25,48 57,60 57,80


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-55-

6.3.2. Rumus Angka Kasar Rumusnya adalah sebagai berikut :

Contoh menggunakan rumus tersebut: Tabel 6.4. Contoh Menggunakan Rumus Angka Kasar Untuk Mencari SD x

f

fx

fx2

10

3

30

38,88

9

9

81

60,84

8

13

104

33,28

7

23

161

8,28

6

24

144

3,84

5

13

65

25,48

4

10

40

57,60

3

5

15

57,80

N = 100

Σfx = 640

Σfx2 = 4382

6.3.3. Standar Kesalahan Mean


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-56-

Rumus standard kesalahan mean sangatlah sederhana. Rumus itu berbunyi sebagai berikut:

Jadi, apa yang harus kita kerjakan untuk memperoleh SDM adalah: pertama, mencari SD dari angka kasar dari sampel kita; kedua, membagi SD itu dengan akar dari jumlah subyek dalam sampel dikurangi satu. Tabel 6.5. Contoh Mencari SDM Nilai (x) Frekuensi (f)

fx2

8,0

3

30

38,88

7,5

9

81

60,84

7,0

13

104

33,28

6,5

23

161

8,28

6,0

24

144

3,84

5,5

13

65

25,48

5,0

10

40

57,60

4,5

5

15

57,80

Total

72

Simbol

N


fx

STATISTIKA

444,50 2771,75 Σfx2

Σfx


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-57-

SOAL EVALUASI

1. Berikan sebuah contoh sehingga menjadi cukup jelas, apa yang dimaksud dengan deviasi! 2. Jelaskan hubungan antara deviasi Rata-rata (Average Deviation) dan deviasi Standart (Standart deviation)! 3. Semakin kecil Deviasi Standart dari sekelompok data, maka data tersebut semakin besifat homogen. Betulkah penyataan itu? Jelaskan denagn menggunakan sebuah contoh! 4. Tunjukkan bahwa antara Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standart terdapat saling hubungan! Berikan contohnya! 5. Kemukakan beberapa keunggulan Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standart. 6. Mean dan deviasi standart dapat dipergunakan sebagai alat bantu dalam rangka Evaluasi Hasil Belajar Anak Didik. Jelaskan pernyataan tersebut! 7. Data yang tertera pada table berikut: x

f

fx

x

31

4

124

30

4

120

29

5

145

28

7

196

27

12

324

26

8

208

25

5

125

24

3

72

23

2

46

Total

N = 50

fx2

x2

1360

Soal: a. Buatlah table distribusi frekuensinya; b. Carilah Nilai Rata-rata Hitungnya; c. Carilah Deviasi Rata-ratanya;


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-58-

d. Carilah deviasi Standartnya dengan menggunakan cara mencari Deviasi Standart untuk data tunggal yang sebagian atau seluruh sekornya berfrekuensi lebih dari satu.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-59-

Deskripsi Singkat : Bab ini menjelaskan tentang hipotesis, pengujian hipotesis perbedaan antara dua mean dan standar kesalahan perbedaan dua mean

Tujuan Instruksional Khusus  Mahasiswa mampu menjelaskan hipotesis  Mahasiswa mampu menyatakan hipotesis  Mahasiswa mampu menguji Hipotesis-Perbedaan Antara Dua Mean  Mahasiswa mampu memahami Standar Kesalahan Perbedaan Mean


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-60-

7.1. Pengertian Hipotesis Istilah hipotesis sebenarnya adalah kata majemuk, terdiri dari kata-kata hipo dan tesis. Hipo berasal dari kata Junani hupo, yang berarti dibawah, kurang atau lemah. Tesis berasal dari kata Junani thesis, yang berarti teori atau setujuporsi yang disajikan sebagai bukti. Hipotesis adalah pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan masih perlu diuji kenyataannya. Jika suatu hipotesis telah diuji kebenarannya, namanya bukan lagi hipotesis, melainkan suatu tesis. Suatu hipotesis akan diterima kalau data-data dan bahan-bahan penelitian membenarkan pernyataan itu. Dan akan ditolak jika kenyataan menyangkalnya. Pada gilirannya suatu tesis dapat dipandang sebagai hipotesis kalau oleh suatu alasan suatu penelitian masih menginginkan mengujinya kembali.

7.2. Menyatakan Hipotesis Apabila akan diadakan penelitian komparatif tentang kecerdasan (atau variable-variabel lainnya) wanita dan pria, kita dapat menyatakan hipotesis dalam bentuk yang bermacam-macam: (1) Pria lebih cerdas dari pada wanita. (2) Wanita lebih cerdas dari pada peria. (3) Wanita dan pria sama cerdasnya. (4) Tidak ada perbedaan kecerdasan antara pria dan wanita. (5) Wanita lebih cerdas dalam bidang A, tetapi pria lebih cerdas dalam bidang B. (6) Wanita dan pria sama cerdasnya dalam bidang A, tetapi wanita lebih cerdas dalam bidang B. Tiap-tiap hipotesis selalu dinyatakan dalam bentuk statemen atau pernyataan, bukan dalam bentuk pertanyaan. Hipotesis yang paling sederhana, setidak-tidaknya dari teoritik, adalah apa yang disebut hipotesis nihil atau null


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-61-

hypothesis. Istilah nihil di sini menunjuk kepada tidak adanya perbedaan antara sampel yang satu dengan sampel lainya dalam sesuatu hal yang diteliti.

7.3. Menguji Hipotesis-Perbedaan Antara Dua Mean Tujuan suatu eksperimen adalah mencari pengaruh dari perlakuan yang dibedakan. Jadi misalnya kalau kita mengadakan eksperimen tentang akibat kepemimpinan yang demokratik dan kepemimpinan yang otokratik, kita memperlakukan suatu kelompok dengan pemimpin yang demokratik dan kelompok lain dengan pemimpin yang otokratik. Kemudian kita cari ada tidaknya perbedaan antara tingkah laku kedua kelompok itu. Tiap-tiap eksperimen akhirnya harus membandingkan sedikitnya dua kelompok dalam segi-segi yang dieksperimenkan.

7.4. Standar Kesalahan Perbedaan Mean Apabila kita ambil sepasang sampel yang masing-masing terdiri dari anakanak laki-laki dan perempuan dan kita hitung mean-meannya, kita memperoleh perbedaan mean antara kedua sampel dari kedua jenis kelamin itu. Demikian seterusnya, kita dapat mengambil pasangan-pasangan sampel lain dari kedua jenis kelamin itu, kita akan memperoleh distribusi perbedaan mean. Distribusi ini disebut distribusi sampling distribution of the mean differences, atau distribusi sampling daripada perbedaan mean. Statistik untuk ini disebut standard kesalahan perbedaan, yang tidak lain dan tidak bukan adalah SD dari pada perbedaan-perbedaan. Standard kesalahan perbedaan mean diberi simbul SD (M1 – M2) atau disingkat saja SDbM. Rumus standard kesalahan perbedaan mean:

Keterangan: = Standard Kesalahan Perbedaan Mean.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-62-

= KUADRAT Standard kesalahan mean dari sampel I, Disebut juga varians mean sampel I. = KUADRAT Standard kesalahan mean dari sampel II, Disebut juga varians mean sampel II. Untuk mencari standard kesalahan mean rumusnya adalah:

Contoh: Tabel 7.1. Distribusi Hasil Ujian Semester Siswa Laki-Laki Dan Perempuan LAKI-LAKI Interval x

F

PEREMPUAN fx2

Fx

y

f

fy2

fy

50-54

52

0

0

0

52

1

52

2.704

45-49

47

5

235

11.045

47

1

47

2.209

40-44

42

7

294

12.348

42

9

378

15.876

35-39

37

11

407

15.059

37

5

185

6.845

30-34

32

4

128

4.096

32

7

224

7.168

25-29

27

13

351

9.477

27

12

324

8.748

20-24

22

13

286

6.292

22

7

154

3.388

15-19

17

12

204

3.468

17

16

272

4.624

10-14

12

16

192

2.304

12

20

240

2.880

5-9

7

0

0

0

7

3

21

147

--

81

2097

64.089

--

81

1897

54589

Dengan kode x untuk laki-laki dan y untuk perempuan, maka statistiknya adalah sebagai berikut:


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-63-

SOAL EVALUASI 1. Data tes kecerdasan siswa yang masuk pagi dan masuk siang: Interval

Masuk Pagi X

F

50-54

50

45-49

Fx

Masuk Siang fx2

Y

f

0

52

1

42

5

47

1

40-44

41

7

42

9

35-39

37

11

35

5

30-34

32

4

32

7

25-29

25

13

25

12


STATISTIKA

fy2

fy


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-64-

20-24

22

13

22

7

15-19

17

12

17

16

10-14

12

16

12

20

5-9

7

0

7

3

Total :

--

81

--

81

Hitunglah: a. Mean masing-masing variable b. Standar deviasi c. Standar deviasi perbedaan mean dari dua variable


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-65-

Deskripsi Singkat : Bab ini menjelaskan tentang teknik-teknik korelasi dalam analisis statistika yang meliputi: arah hubungan, koefisien korelasi, korelasi product, moment dan uji taraf signifikansi.

Tujuan Instruksional Khusus 

Mahasiswa mampu memahami Arah Hubungan dua variable



Mahasiswa mampu memahami Koefisien Korelasi



Mahasiswa mampu menjelaskan Korelasi Product Moment dan Cara Menghitungnya

 Mahasiswa mampu membuat Uji Taraf Signifikansi


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-66-

Salah satu teknik statistika yang sering digunakan untuk mencari hubungan antara dua variabel adalah teknik korelasi. Dua variabel yang hendak diteliti hubungannya itu biasa diberi kode varaibel X dan variabel Y. Jadi misalnya, kita ingin menetapkan apakah ada hubungan atau tidak antara tinggi badan dan kecerdasan, variabel tinggi badan kita beri kode X, sedang variabel kecerdasan kita sebut Y, atau sebaliknya. 8.1. Arah Hubungan Jika kenaikan nilai variabel X selalu disertai kenaikan nilai variabel Y, dan sebaliknya turunnya nilai variabel x selalu diikuti oleh turunnya nilai varaibel y, maka hubungan semacam itu disebut hubungan yang positif. Namun sebaliknya jika kenaikan nilai variabel X yang tinggi selalu disertai oleh turunnya nilai variabel Y, atau jika turunnya nilai variabel X selalu diikuti oleh naiknya nilai varaibel Y, hubungan antara kedua variabel tersebut disebut bersifat negatif. Perlu diketahui, ada juga kemungkinannya bahwa kedua variabel itu tidak mempunyai hubungan, atau dalam istilah teknis statistika dikatakan mempunyai hubungan yang nihil, jika kenaikan variabel yang satu kadang-kadang disertai turunnya nilai variabel lainnya, dan kadang-kadang juga diikuti oleh kenaikan nilai variabel yang lain tersebut.

8.2. Koefisien Korelasi Pada umumnya besar-kecilnya hubungan dinyatakan dalam bilangan. Bilangan yang menyatakan besar-kecilnya hubungan itu disebut koefisien hubungan atau koefisien korelasi. Koefisien korelasi itu bergerak diantara 0,000 sampel +1,000 atau di antara 0,000 sampai -1,000, tergantung kepada arah korelasi, nihil, positif, dan negatif.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-67-

Salah Satu sarat yang perlu diperhatikan dalam penggunaan teknik korelasi adalah bahwa hubungan antara x dan y adalah hubungan yang linier. Artinya jika kita buat scatter diagram (diagram pencaran) dari nilai-nilai variabel x dan nilainilai varaibel y, maka dapat kita tarik garis lurus pada pencaran titik-titik kedua nilai variabel itu.

8.3. Korelasi Product Moment dan Cara Menghitungnya Sebenarnya ada berbagai macam teknik statistik yang digunakan untuk mencari korelasi. Tetapi satu diantaranya yang dikembangkan oleh KARL PEARSON dan disebut teknik korelasi prouduct moment dari PEARSON. Rumus koefisien korelasi product moment adalah:

Di mana : rxy

= Koefisien korelasi antara x dan y

xy

= Product dari x kali y

SDx

= Standard deviasi dari varaibel x

SDy

= Standard deviasi dari variabel y.

N

= Jumlah subyek yang diselidiki

Contoh menghitung korelasi product moment:

Subyek No. 1.

Tabel 8.1. Koefisien korelasi Antara varaibel kemampuan berbahasa (X) dan matematik (Y) Kemamp. Kemamp. Matematik Subyek Matematik Berbahasa Berbahasa (Y) No. (Y) (X) (X) 130 20 16. 178 35

2.

132

24

17.

172

30

3.

152

28

18.

165

28

4.

142

23

19.

160

27

5.

184

37

20.

148

25

6.

190

32

21.

180

24


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-68-

7.

150

25

22.

149

25

8.

170

23

23.

188

36

9.

181

29

24.

167

29

10.

164

35

25.

162

27

11.

175

32

26.

145

23

12.

135

22

27.

150

29

13.

147

24

28.

160

30

14.

162

26

29.

172

31

15.

136

21

30.

154

30

Langkah-langkah menghitung koefisien korelasi dengan rumus di atas adalah : 1. Cari mean dari kedua variabel yang bersangkutan sebut kedua mean itu M x dan My. 2. Cari SD dari kedua varaibel itu. Sebut kedua SD itu SDx dan SDy. 3. Cari deviasi-deviasi tiap-tiap nilai kedua variabel itu. Sebut –x untuk deviasi variabel x dan y untuk variabel Y. Jangan lupa mengecek: dan 4. Kalikan tiap-tiap x dengan tiap-tiap y yang sebaris, dan masukkan dalam kolom xy, dan 5. Jumlahkan kolom xy untuk memperoleh

Subyek

Tabel 8.2. Menghitung koefisien korelasi Product moment, bahan diambil dari tabel 8.1 x y x x2 y y2

xy

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

1.

130

20

-30

900

-8

64

+240

2.

132

24

-28

784

-4

16

+112

3.

152

28

-8

64

0

0

0

4.

142

23

-18

324

-5

25

+90

5.

184

37

+24

576

+9

81

+216

6.

190

32

+30

900

+4

16

+120

7.

150

25

-10

100

-3

9

+30

8.

170

23

+10

100

-5

25

-50


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-69-

9.

181

29

+21

441

+1

1

+21

10.

184

35

+4

16

+7

49

+28

11.

175

32

+15

225

+4

16

+60

12.

135

22

-25

625

-6

36

+150

13.

147

24

-13

169

-4

16

+52

14.

162

26

+2

4

-2

4

-4

15.

136

21

-24

576

-7

49

+168

16.

178

35

+18

324

+7

49

+126

17.

172

30

+12

144

+2

4

+24

18.

165

28

+5

25

0

0

0

19.

160

27

0

0

-1

1

0

20.

148

25

-12

144

-3

9

+36

21.

180

34

+20

400

+6

36

+120

22.

149

25

-11

121

-3

9

+33

23.

188

36

+28

784

+8

64

+224

24.

167

29

+7

49

+1

1

+7

25.

162

27

+2

4

-1

1

-2

26.

145

23

-15

225

-5

25

+75

27.

150

29

-10

100

+1

1

-10

28.

160

30

0

0

+2

4

0

29.

172

31

+12

144

+3

9

+36

30.

154

30

-6

36

+2

4

-12

Total

4.800

840

0

8.304

0

624

+1890

Dengan tabel di atas dapat kita peroleh data sebagai berikut: 1. N = 30 2.

2.

3.

3.

4. Besarnya koefisien korelasi:


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-70-

8.4. Uji Taraf Signifikansi Tabel korelasi itu mencantumkan batas-batas nilai r yang signifikan (berarti) pada taraf-taraf signifikansi tertentu. Jika nilai r yang kita peroleh sama dengan atau lebih besar dari pada nilai r dalam tabel r itu, maka nilai r yang kita peroleh itu signifikan. Dengan nilai r yang signifikan kita akan menolak hipotesis yang mengatakan bahwa korelasi antara x dan y dalam populasi adalah nul, atas dasar taraf signifikansi yang kita gunakan (yaitu 5% atau 1%). Nilai yang kita peroleh adalah 0,830. Dengan nilai f itu kita hendak menguji apakah nilai itu signifikan ataukah tidak atas dasar taraf signifikan 5%. Jumlah subyek atau N yang diselidiki ada 30. dengan melihat N = 30 dalam kolom N dan membacanya kekanan dalam kolom taraf signifikansi 5% dakan tabel r maka kita ketemukan bilangan 0,361. Bilangan ini menunjukkan bilangan batas signifikansi. Oleh karena nilai r yang kita peroleh, yaitu 0, 830 berada jauh di atas batas signifikansinya, yaitu 0,361, maka Nilai r yang kita peroleh itu kita katakan signifikan. Dengan demikian kita menolak hipotesis nihil yang mengatakan bahwa nihil r dalam populasi adalah nul (tidak ada korelasi antara x dan y, atau tegasnya tidak ada korelasi antara pengetahuan umum dan matematik).

SOAL EVALUASI

1. Berikan pengertian tentang kolerasi! 2. Apa yang dimaksud dengan kolersi positif dan kolerasi negatif! 3. Jelaskan difinisi tentang angka Indeks kolerasi! 4. Jelaskan tentang pengertian dan penggunaan dari teknik Kolerasi Product Moment dan Pearson! 5. Data:


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-71-

Subyek Skor pada variabel X Y A 8 5 B 4 5 C 6 7 D 5 6 E 7 6 F 4 5 G 9 6 H 6 7 I 5 6 J 6 7 Soal: Selidikilah dengan secara seksama, apakah memang terdapat korelasi positif yang signifikan antara sekor variabel X dan sekor variabel Y, dengan cara: a. Merumuskan hipotesis alternatifnya b. Merumuskan hipotesa Nihilnya c. Melakukan perhitungan untuk memperoleh angka Indeks Korelasi rxy, dengan mencari SD-nya lebih dulu! d. Memberikan interpretasi sederhana (secara kasar) terhadap rxy. e. Memberikan interpretasi terhadap rxy dengan cara berkonsultasi pada Tabel Nilai “r” Product moment. f. Kesimpulan apa yang dapat saudara kemukakan? 6. Data: Sekor Variabel X: 67

72

66

70

73

72

70

69

71

69

73

74

66

72

73

70

72

73

71

72

70

68

79

66

68

71

73

67

69

72

71

73

69

68

66

72

71

70

69

68

71

60

68

67

69

70

71

72

69

72

Sekor Variabel Y (Urutan sama dengan variabel Y): 59 64 58 62 65 64 62

61

63

61

65

65

63

64

66

58

64

65


STATISTIKA

62

64


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-72-

62

60

60

58

60

63

65

59

61

64

63

65

61

60

58

64

63

62

61

60

65

60

62

60

59

64

66

63

59

60

Soal: Coba selidiki dengan cara seksama, apa memang terdapat kolerasi positif yang menyakinkan (signifikan) antara sekor variabel X dan sekor variabel Y, dengan cara: a. Merumuskan Hipotesis alternative b. Merumuskan Hipotesa Nihilnya! c. Melakukan perhitungan untuk memperoleh Angka Indeks Kolerasi “r” Product Moment, dengan Tabel Nilai “r”! d. Memberikan interpretasi terhadap rxy denagn menggunakan Tabel nilai “r”! e. Menarik Kesimpulan. 7. Dalam suatu kegiatan penelitian, diperoleh data sebagaimana tertera dalam table berikut: Sekolah Asal dan Prestasi Tes SIPENMARU dari 1760 Calon Prestasi Tes

Sekolah Asal:

Jumlah

SIPENMARU:

SLTA Negeri

SLTA Swasta

Lulus

270

470

740

Tidak Lulus

180

840

1020

Jumlah

450

1310

1760

Soal: a. Rumuskan hipotesis alternatif dan hipotesis nihilnya! b. Cari / Hitunglah Angka Indeks Korelasinya, dengan menggunakan Teknik Korelasi Koefisien Phi. c. Berikan interpretasi terhadap Phi dan kemukakan kesimpulannya


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-73-

Deskripsi Singkat : Bab ini menjelaskan tentang teknik analisis variansi sebagai alat analisis data dan uji hipotesis yang meliputi: mean kuadrat, asumsi-asumsi dalam Anava, Anava Klasifikasi Tunggal dan Anava Klasifikasi Ganda dan dapat menggunakan Anava untuk menganalisis data penelitian.

Tujuan Instruksional Khusus  Mahasiswa mampu memahami Konsep Mean Kuadrat  Mahasiswa mampu memahami F – Ratio  Mahasiswa mampu memahami asumsi-asumsi dalam Anava  Mahasiswa mampu memahami Anava pada Distribusi Tunggal  Mahasiswa mampu memahami Analisis Variansi (ANAVA) Klasifikasi Ganda  Mahasiswa mampu menggunakan Anava untuk menganalisis data penelitian


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-74-

9.1. Konsep Mean Kuadrat Perlu diingat kembali apa yang disebut varian dalam pembicaraan tentang SD (standar deviasi). Varians adalah SD kuadrad, yang diperoleh dengan rumus:

Hanya saja dalam hubungan dengan pembicaraan kita sekarang ini kwalitas itu tidak disebut varians, melainkan Mean KUADRAT, disingkat dari mean dari jumlah KUADRAT, dan diberi simbul MK, dan diperoleh dengan rumus:

DK = jumlah KUADRAT, d b = derajad kebebasan. Dalam teknik Anava ini yang menjadi alat pengukuran variabilitas antar kelompok adalah mean KUADRAT atar kelompok (disingkat dengan MKant), sedang yang menjadi alat pengukuran variabilitas dalam kelompok adalah mean KUADRAT dalam kelompok (disingkat dengan MKdal). Hasil bagi dari kedua komponen ini, yaitu MKant dan MKdal, akan memjadi petunjuk seberapa jauh jarak penyimpangan mean-mean kelompok kita itu dari mean hipotetis (yaitu bahwa tidak ada perbedaan antara mean-mena variabel yang diselidiki) sebagai akibat dari kesalahan sampling. Jadi sebenarnya yang kita cari adalah menemukan MKant yang mewakili variabilitas dalam kelompok. Jika kedua MKdal yang mewakili variabilitas dalam kelompok. Jika kedua MK itu sudah kita ketemukan, maka perbandingan antara keduanya akan dapat digunakan sebagai dasar menarik kesimpulan statistik tentang obyek yang sedang kita teliti. TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-75-

Rumus umum untuk mencari MK, yaitu :

dbdal

= derajad kebebasan dalam kelompok, diperoleh dari dbtot dikurangi dengan dbant sedang dbtot = N-1

dbant

= derajad kebebasan antar kelompok, diperoleh dari jumlah kelompok dikurangi satu, atau (m-1)

Sebagai contoh diperoleh data sebagai berikut: N = 50

DKant = 19,72

dbant = 5 – 1 = 4

m=5

DKdal = 254,30

dbdal = 50 – 1 – 4 = 45

Dengan mengisikan bilangan-bilangan itu ke dalam rumus MK dapat diperoleh:

9.2. F – Ratio Adapun yang dimaksud dengan F-ratio adalah angka-angka perbandingan antara MKant dengan MKdal dan didefinisikan dengan persamaan sebagai berikut:

Besarnya nilai-nilai F yang terjadi hanya 5% dan 1% dari seluruh kejadian dari sampel-sampel yang diambil secara random, sekiranya memang hipotesis nilai adalah benar. Jika MKant adalah sedemikian besarnya, jauh melebihi MKdal sehingga perbandingan kedua MK itu menunjukkan nilai yang menyamai atau melebihi nilai F dalam table pada dasar taraf signifikansi 5% dan 1%, maka kita menyimpulkan bahwa tidak mungkin nilai F sebesar itu terjadi kalau hipotesis nihil dan mengatakan bahwa F yang kita peroleh menunjukkan nilai yang signifikan atas dasar taraf signifikansi 5% dan 1%.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-76-

Misalkan hipotesis nihil yang kita ajukan dalam penelitian kita itu adalah: “tidak ada perbedaan yang signifikan antara kelima kelompok pelajar-pelajar SMA dari berbagai daerah dalam soal kecakapan atau pengetahuan kebudayaan”. MKant yang kita peroleh adalah 4.93, dan MKdal-nya 5,56. Jika harga-harga MK tersebut kita isikan ke dalam rumus F, maka:

Mengkonsultasikan dengan Tabel F Dari perhitungan di atas, dapatemukan bahwa:

F 4; 45 = 0,873 Untuk mengkosultasikan harga F diatas, dapat ditempuh dua cara. MK yang lebih kecil adalah MKant = 4,93 Derajad kebebasan dari MK ini = 4. kita cari db = 4 dalam kolom sebelah kiri, kit abaca kekanan sampai menyilang kolom db = 45 sebagai db dari MK kita yang lebih besar. Karena ternyata tidak ada kolom db = 45, maka kita ambil saja suatu bilangan diantara db = 40 dan db = 50, yaitu bilanganbilangan 5,71 dan 5,70, jika kita gunakan taraf signifikansi 5%, sedang bilanganbilangan diantara 5,71 dan 5,70 adalah 5,705, taraf signifikansi 5%, sedang bilanganbilangan pada baris bawah adalah bilangan-bilangan batas F pada taraf signifikansi 1%. Karena itu jika kita gunakan taraf signifikansi 1%, bilangan batas yang kita cari adalah bilangan diantara 13,74 dan 13,69, yaitu bilangan 13,715. Dari pemeriksaan pada tabel itu ternyata bahwa F yang kita peroleh sebesar 0,873 berada jauh di bawah batas signifikansi 5%, apalagi sebagai konsekuensinya hipotesis nihil yang kita ajukan sebelum penelitian kita terima. Kesimpulan kita akan berbunyi kira-kira sebagai berikut: “Bahwa menurut bahan-bahan yang dikumpulkan dalam penelitian itu diperoleh bukti-bukti antara pelajar-pelajar SMA dari berbagai daerah itu tidak terdapat perbedaan yang signifikan mengenai pengetahuan kebudayaan”. TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-77-

Tabel Ringkasan ANAVA Hasil-hasil perhitungan analisis varians yang telah kita kerjakan berikutnya dimasukkan ke dalam tabel berikut: Tabel 9.1. Tabel Ringkasan Anava Sumber Variasi SV

Derajad Jumlah Mean F Kebebasan KUADRAT KUADRAT empiris db DK MK FO

F teoritis (hipotetis) Ft 5% 1% 5,705 13,715

Kelompok 4 19,72 4,93 0,873 Pelajar SMA Dalam 45 254,30 5,65 kelompok Total 49 274,02 Kesimpulan : Karena FO = 0,873 < Ft5% = 5,705 maka HO diterima.

-

Adapun ringkasan rumus-rumus dalam table Anava: Tabel 9.2. Tabel Ringkasan Anava dari bahan-bahan dalam tabel Sumber Variasi SV Kelompok apa? (antar) Dalam Kelompok (dalam) Total

Derajad Kebebasan db

JK

F teoritis (hipotetis) F empiris Ft FO 5% 1% ? ?

RJK

C–1

N-C

N-1

Pengujian

-

: (1) Jika (2) Jika

Kesimpulan

-

-

-

, maka HO ditolak ,, maka HO diterima

: (1) Ada perbedaan apa antara kelompok apa (2) Tidak ada perbedaan apa antara kelompok apa

Dengan tabel ringkasan Anava yang tersedia itu, marilah kita kerjakan contoh lain dibawah ini. Tabel 8.3ini memuat bahan hipotetis tentang sikap terhadap persoalan “KLM” yang diperoleh dengan jalan angket. NIlai yang lebih besar menunjukkan sikap yang lebih positip.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-78-

Tabel 9.3. Distribusi sikap untuk contoh Anava Kelompok I

Kelompok II

Kelompok III

68

4624

78

6084

94

8836

240

19544

63

3969

69

4761

82

6724

214

15454

58

3364

58

3364

73

5329

189

12057

51

2601

57

3249

67

4489

175

10339

41

1681

53

2809

66

4356

160

8846

40

1600

52

2704

62

3844

154

8148

34

1156

48

2304

60

3600

142

7060

27

729

46

2116

54

2916

127

5761

20

400

42

1764

50

2500

112

4664

18

324

27

729

32

1024

77

2077

420

20488

530

29884

640

43618

1590

993950

n1 = 10

n1 = 10

n1 = 10

Total

ntot = 30

1)

2)

3)

4)


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-79-

5) 6) Hasil-hasil perhitungan itu kemudian disusun dalam tabel ringkasan Anava sebagai berikut: Tabel 9.4. Ringkasan Anava dari bahan tabel Sumber Variasi SV Kelompok “K” Dalam Kelompok Total

db 2 27 29

DK

MK

Fo

Signifikansi Nonsignifi

Ft

2.420 1.210 4,50 t.s.5% Sig 3,35 7.260 268,9 t.s.1% Nonsig 5,49 9.680 -

Jadi, dengan taraf signifikansi 5% kita akan menolak hipotesis nihilnya yang mengatakan bahwa tidak ada perbedaan sikap antara ketiga kelompok yang diselidiki. Kita menolaknya disebabkan karena kita meragukan bahwa variabilitas antar kelompok sebesar 4,50 itu semata-mata disebabkan karena kesalahan sampling. Bagaimana halnya jika kita gunakan taraf sigibifikansi 1%?. Bilangan batas signifikansi atau batas penolakan hipotesis nihil dengan taraf signifikansi 1% adalah 5,49. Dengan demikian hipotesis nihil itu kita terima. Karena batas penolaknnya masih belum dilewati. F yang kita peroleh = 4,50 dan ini masih di bawah Ft = 5,49 sebagai batas signifikansinya. Kita menerima hipotesis nihilnya karena jikalau kita menggunakan dasar taraf signifikansi 1%, kita memandang deviasi-deviasi yang besarnya terjadi 5 kali dalam 100 atau 4 kali dalam 100 kemungkinan, atau malahan 2 kali dalam 100 kemungkinan masih disebabkan karena kesalahan sampling. Hanya deviasi-deviasi yang terjadi 1 kali diantara 100 kejadian yang kita pandang tidak disebabkan oleh kesalahan sampling. Asumsi-asumsi Dalam Analisis Variansi Pengujian dengan F test ini juga menggunakan asumsi-asumsi atau landasan-landasan teori tertentu. Ada tiga macam asumsi yang perlu diindahkan dalam penggunaan teknik Anava, yaitu


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-80-

(1) Bahwa subyek-subyek atau individu-individu yang ditugaskan dalam sampelsampel penelitian harus diambil secara random secara terpisah satu sama lain dari masing-masing populasinya. (2) Bahwa distribusi gejala yang diselidiki dalam masing-masing populasi itu adalah normal. (3) Bahwa varians-varians atau SD2 dari masing-masinng populasi tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan satu sama lain. Bagaimana memenuhi sarat-sarat yang ditentukan itu dapat dituturkan secara singkat sebagai berikut : (1) Random samples: dapat kita penuhi dengan cara yang sudah dibicarakan dalam permulaan. Gunakan tabel bilangan random untuk mengambil random clusters, random areas, atau random subjectsnya. (2) Normal distributions: dapat kita penuhi melalui dua jalan. Pertama, atau kita mengadakan pengetesan normalitas (test of normality) dengan rumus-rumus yang sudah kita ketahui. Ini kita lakukan jika kita belum mempunyai buktibukti bahwa gejala yang kita selidiki mengikuti cirri-ciri distribusi normal. Kedua, atau jika kita telah mempunyai bukti-bukti bahwa varaibel yang kita selidiki telah mengikuti distribusi normal, baik bukti ini kita peroleh dari penelitian-penelitian pendahuluan maupun dari penelitian-penelitian orang lain yang mendahului, kita dapat menggunakan bukti-bukti sebagai landasan untuk memenuhi sarat atau tuntutan normalitas ini. (3) Correlated variances : dapat kita penuhi dengan mengadakan pengetesan terhadap varians-varians (test of variance) yang kita peroleh dari distribusidistribusi yang kita peroleh dari distribusi-distribusi yang kita selidiki. Rumus untuk ini adalah:

Dalam mana db Vb = derajad kebebasan dari Varians yang lebih besar, db Vk=derajad kebebasan dari varians yang lebih kecil, dan

dan

masing-

masing adalah varians yang lebih besar dan varians yang lebih kecil. Kongkritnya, dari bahan tabel 67 hal. 375 kita dapat mengetest variansnya seperti berikut:


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-81-

Kelompok I n = 10 Σ x = 135. Σx2 = 1881

Kelompok II n = 10 Σ x = 153. Σx2 = 2385

Dari perhitungan itu kita ketahui itu kita ketahui bahwa SD2 atau varians yang lebih besar adalah varians dari kelompok I. Varians yang lebih besar ini kemudian kita jadikan pembilang dalam test of variance kita. Karena itu

Dengan melihat tabel pada derajad kebebasan 9 lawan 9 akan kita ketemukan bahwa FO = 1,33 ini lebih kecil daripada F15% = 3,18. karena itu kita menyimpulkan bahwa varians dari kelompok I dan kelompok II itu tidak berbeda secara signifikan, hal mana berarti bahwa varians dari kedua kelompok itu dalam populasinya masing-masing adalah tidak berbeda. Analisa varians ternyata dapat digunakan untuk meneliti bahan-bahan yang telah disusun ke dalam bermacam-macam distribusi. Di bawah ini diberikan contoh-contoh penggunaan Anava pada (1) distribusi tunggal; (2) distribusi bergolong dan (3) distribusi deskriptip. Penerapan itu akan dibaca secara berturutturut. 9.3. Anava pada Distribusi Tunggal Tabel di bawah ini menunjukkan distribusi tunggal dari hasil test psikologis terhadap mahasiswa-mahasiswa yang baru ulai belajar mata pelajaran itu. Untuk tidak menimbulkan kebingungan, perlu kiranya segera diberi TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-82-

keterangan tentang rumusrumus DK untuk bahan yang sudah distribusikan yang kelihatannya sepintas lalu berbeda dengan rumus-rumus DK yang sudah kita pelajari. Pada dasarnya rumus-rumus baru ini tidak ada bedanya dengan rumusrumus yang terdahulu. Komponen f dimasukkan ke dalam rumus-rumus baru ini disebabkan karena dalam distribusi komponen f itu selalu ada. Jadinya, 1)

2)

3)

Tabel 9.5. Distribusi hasil tes Potensi Akademik dari tiga kelompok mahasiswa Kelompok I

Nila i X

Kelompok II

f

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Tot al

Kelompok III

f

Total

f

f

1 2 3 5 9 7 6 2 4 1 3 1

11 20 27 40 63 42 30 8 12 2 3 0

121 200 243 320 441 252 150 32 36 4 3 0

1 2 4 7 11 5 4 4 3 2 1 0

11 20 36 56 77 30 20 16 9 4 1 0

121 200 324 448 539 180 100 64 27 8 1 0

2 1 3 7 5 8 5 5 3 3 1 2

22 10 27 56 35 48 25 20 9 6 1 0

242 100 243 448 245 288 125 80 27 12 1 0

4 5 10 19 25 20 15 11 10 6 5 3

44 50 90 152 175 120 75 44 30 12 5 0

454 500 810 1216 1225 720 375 176 90 24 5 0

44

258

1802

44

280

2012

45

259

1811

133

797

5625

Anava dari bahan tersebut dapat dikerjakan dengan cara-cara yang biasa : 1. 2.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-83-

3. 4. 5. 6. db dari MK yang lebih besar adalah 130, sedang db dari MK yang lebih kecil adalah 2. jika kita baca tabel F1 dengan db 130 lawan 2 maka akan kita ketahui bahwa batas penolakan hipotesis pada taraf signifikansi 5% adalah 19,49, dan pada taraf signifikansi 1% adalah 99,49. Ternyata nilai F yang kita peroleh itu berada sangat jauh di bawah batas signifikansi 1%. Dengan begitu maka hipotesis nihil yang kita ajukan, kita terima. Kesimpulan kita adalah bahwa atas dasar bahan-bahan yang kita kumpulkan sampai sekian jauh, antara kelompok signifikansi tentang pengetahuan psikologi mereka. Tabel Singkatan Anava dari pekerjaan analisa tersebut di atas dapat dilihat pada tabel 9.6 di bawah ini. Tabel 9.6. Ringkasan Anava dari bahan dalam tabel 9.5 Sumber Variasi db SV Antar Kelompok 2

9,32

Dalam

839,67 6,46

13

DK

MK

Fo

Signifikansi

Ft

4,66 0,72 t.s.5%

Nonsig

=19,49

Kelompok Total

132 848,99 -

-

-

-

ANAVA PADA DISTRIBUSI DATA BERKELOMPOK Distribusi data berkelompok yang tercantum dalam tabel 9.7 di bawah ini dipersiapkan untuk meneliti ada tidaknya perbedaan gaji guru-guru wanita dan pria. Interval gaji diambil dari gaji rata-rata tiap-tiap bulannya. Tabel 9.7. Tabel Distribusi Data Berkelompok Interval gaji

Rp.7000-7999

Kode X 6

Pria f 4

STATISTIKA

Total

f 4


Wanita

144

f

1

6

36

5

30


TM

3

6

0

1 MD 01

180

Halaman

0

-84-

Rp.6000-6999 Rp.5000-5999 Rp.4000-4999 Rp.3000-3999 Rp.2000-2999 Rp.1000-1999 Total

5 4 3 2 1 0 -

8 12 15 8 3 1 51

8 12 15 8 3 1 176

200 192 135 32 3 0 706

5 10 12 18 7 3 56

25 40 36 36 7 0 150

125 160 108 72 7 0 508

13 22 27 26 10 4 107

65 88 81 52 10 0 326

325 352 243 104 10 0 1214

Kode-kode digunakan dalam tabel itu disebabkan karena sungguhpun kita dapat melakukan analisa dengan metode yang lazim, yaitu dengan menggunakan titik-titik tengah atau tanda-tanda kelas Rp 7.500,-, Rp 6.000,- dan seterusnya, kita akan terlibat dalam mengKUADRATkan bilangan-bilangan besar. Dengan pengkodean itu kita dapat menghemat sangat banyak waktu dan fikiran. Dari interval yang terendah dimulai pengkodean dengan bilangan nol. Analisa variannya adalah: 1. 2.

3. 4. 5. 6. Dimasukkan dalam tabel ringkasan Anava: Tabel 9.8. Ringkasan Anava dari bahan dalam tabel Sumber Variasi db SV Sekse 1

DK 15,93

MK

Fo

Signifikansi

Ft

15,93 8,17 t.s.1%=6,90 Sig

Dalam

105 204,84 1,95

Total

106 220,77 -

-

-

-

db dari MK yang lebih besar = 1, dan db dari MK yang lebih kecil = 105. Pemeriksaan pada tabel F menunjukkan bahwa dengan taraf signifikansi 5% dan 1% batas penolakan itu maka hipotesis nihilnya kita tolak. Kita menyimpulkan


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-85-

bahwa berdasarkan bahan-bahan yang masuk ada perbedaan besarnya gaji guruguru wanita dan peria. Mean dari gaji peria = 176/51=3,45. sedang mean dari gaji wanita = 150/56 = 2,68. karena gaji peria ternyata lebih besar daripada wanita, dan perbedaan itu signifikan, maka akhirnya kita menyimpulkan bahwa gaji adalah fungsi daripada jenis kelamin, dan guru-guru peria mempunyai kecenderungan memperoleh gaji yang lebih tinggi. 9.4. Analisis Variansi (ANAVA) Klasifikasi Ganda Dalam bab VII kita telah membicarakan bagaimana mengetest hipotesis tentang sesuatu variabel dari dua kelompok. Dalam bab XI kita telah maju satu langkah, yaitu memperbincangkan cara mengetest hipotesis tentang sesuatu variabel dari tiga kelompok atau lebih. Dalam bab ini kita maju satu langkah lagi. Kita ingin mengetahui bagaimana mengetest hipotesis dari banyak kelompok yang tidak hanya menggunakan satu klasifikasi, tetapi banyak klasifikasi. Mengadakan klasifikasi ganda ini bukan saja mungkin dikerjakan dalam banyak penelitian, tetapi juga sangat berguna untuk mendapatkan informasi yang lebih banyak dan lebih teliti. Kebenaran pernyataan tersebut dapat dilihat dari contoh sebagai berikut : Seorang insinyur mobil ingin meneliti lima macam merk sepeda motor untuk menetapkan keadaan konsumsi bensin mereka. Dia mengambil dari tiaptiap merk lima buah sepeda motor dari model empat tahun yang lalu sampai model tahun ini. Semua sepeda motor itu kemudian dijalankan dalam keadaan yang diawasi baik-baik dan dicatat konsumsi bensinya tiap-tiap kilometernya. Kita misalkan hasil daripada test ini adalah seperti berikut : Tabel 9.9. Konsumsi bensin per km dari lima macam merk sepeda motor MERK MODEL TOTAL A B C D E Tahun 2008

26

22 22 24 18

112

Tahun 2007

24

21 20 20 20

105

Tahun 2006

22

18 19 19 16

94

Tahun 2005

20

15 17 13 15

80


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-86-

Tahun 2004 Total

14

12 11 18 12

67

106 88 89 91 81

458

Dengan menggunakan Anava yang biasa kita dapata mengetest hipotesis nihil: “Bahwa ada perbedaan konsumsi bensin antara kelima merk sepeda motor itu”. Dengan Anava klasifikasi tunggal akan kita peroleh hasil-hasil sebagai berikut : 1. 2. 3. 4. 5. 6. Hasil-hasil perhitungan itu kita masukkan ke dalam tabel ringkasan Anava sebagai berikut: Tabel 9.10. Ringkasan Anava dari bahan dalam tabel 9.5 Sumber db DK MK Fo Ft Signifikansi Variasi Merk 4 60,04 17,26 1,06 t.s.5%=2,87 Non Dalam

20

324,40 16,22

Total

24

393,44 -

-

-

-

Nilai F dengan derajad kebebasan 4 lawan 20 adalah tidak signifikan. Konsekwensinya hipotesis nilai yang dikemukakan tidak dapat ditolak. Kelima merk sepeda motor itu tidak menunjukkan perbedaan konsumsi bensin yang menyakinkan. Data dalam tabel di atas dapat juga digunakan untuk menetapkan DK-DK dari merk maupun model. Analisa varians untuk ini pada prinsipnya adalah sama seperti yang telah kita pelajari. Beberapa dari pekerjaan kita di atas dapat kita ambil lagi untuk analisa ini. Perlu dicatat bahwa suku

dalam perhitungan-perhitungan DKmerk dan

DKmodel di atas kita sebut suku koreksi. Jumlah pembilang pada tiap-tiap pecahan yang ditambahkan sebelum diKUADRATkan harus sama dengan pembilang dari


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-87-

suku koreksi. Demikian juga jumlah pembagi pada tiap-tiap pecahan yang ditambahkan sebelum diKUADRATkan dalam tiap-tiap menghitung DK haruslah sama dengan pembagi dari suku koreksi. Catatan ini perlu diperhatikan agar kita meneliti kembali jumlah-jumlah itu sebelum menghitung tiap-tiap DK. Hasil Anava dari data tersebut yang memasukkan dua jenis klasifikasi yaitu klasifikasi merk dan klasifikasi odel, ditunjukkan dalam tabel 8.11 di bawah ini. Dari dua klasifikasi ini dapat perbedaan yang signifikan antara kenihilan yang aseli, yaitu bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara kelima macam merk dapat ditest kembali. Hipotesis yang kedua ialah hipotesis nihil tentang tidak adanya perbedaan yang signifikan antara kelima mode. Periksalah kembali test hipotesis pertama yang sudah dikerjakan di muka. Hipotesis nihil itu diterima atas dasar klasifikasi tunggal (periksa tabel 9.10). Persoalannya sekarang apakah kesimpulan itu masih dapat dipertahankan jadi faktor model turut diperhitungkan? Tabel 9.11. Ringkasan Anava tentang konsumsi bensin sepeda motor ditinjau dari segu merk dan model Sumber Mean Probabilitas Variasi db Jumlah kuadrat Fo Kuadrat Kejadian (p)x) SV Merk 4 69,04 17,26 4,96 p < 1 % xx) Model

4

286,76

67,19

19,32 p < 1% xx)

Dalam

16

55,64

3,48

-

Total

24

393,44

-

-

-

X) Diartikan juga proporsi kesalahan dari tiap-tiap penolakan hipotesis nihil. XX) Lebih lazim ditulis dalam bentuk setujuporsi sebagai berikut P < 0,01 Baiklah pertanyaan ini kita jawab setelah kita menyelesaikan pekerjaan kita dalam mengisi tabel ringkasan di atas. 1. 2. 3.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-88-

4. Untuk Merk : 5. Untuk Model : Pemeriksaan pada tabel F menunjukkan kepada kita bahwa dengan derajad kebebasan 4 lawan 16 batas penolakan hipotesis nihilnya adalah 3,01 untuk taraf signifikansi 5%, dan 4,77 untuk taraf signifikansi 1%. Dengan bukti-bukti itu dapatlah kita menjawab pertanyaan yang baru diajukan. Hipotesis nihil tentang perbedaan konsumsi bensin di berbagai merk itu jika model atau tahun pembuatannya telah turut diperhitungkan, tidak lagi dapat dipertahankan. Kita menyimpulkan bahwa kelima jenis merk sepeda motor yang diselidiki berbeda konsumsi bensinya. Jelaslah bahwa analisa varians dengan menggunakan kalsifikasi ganda merupakan alat pengetesan hipotesis yang lebih peka. Hal ini disebabkan karena MKdal yang digunakan untuk menjadi pembagi dalam mencari nilai F disini tidak lagi 16,22 seperti yang digunakan dalam tabel 78, melainkan hanya 3,48, sedang pembilangnya dalam F-Ratio untuk merk itu, yaitu MKmerk’ tetap konstan. Memang penambahkan klasifikasi biasanya menambah halusnya test hipotesis. Tambahan halusnya ini tentu saja tergantung sekali kepada tambahan arti daripada klasifikasi itu. Untuk menyelesaikan pengetesan hipotesis model ini cukup kiranya jika kita menggunakan Anava klasifikasi tunggal. 1. 2. 3. 4. 5. 6. P < 0,01.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-89-

Dengan kenyataan itu kita tetap menolak hipotesis nihil dan menyimpulkan bahwa perbedaan konsumsi bensin menurut tahun-tahun pembuatan adalah sangat signifikan.

SOAL EVALUASI 1. Distribusi hasil tes Matematika terhadap tiga kelompok siswa disajikan sebagai berikut: Nilai Matematika Kelompok I Kelompok II Kelompok III Total F f f f 80 1 1 2 4 79 2 2 1 5 78 3 4 3 10 77 5 7 7 19 76 9 11 5 25 75 7 5 8 20 72 6 4 5 15 68 2 4 5 11 66 4 3 3 10 62 1 2 3 6 61 3 1 1 5 60 1 0 2 3 Total 44 44 45 133 Ujilah pada taraf signifikansi 5%, apakah ada perbedaan secara signifikan nilai matematika pada tiga kelompok tersebut. Buat/masukkan juga ke dalam table ringkasan Anava. 2. Data di bawah ini menunjukan distribusi interval gaji kelompok guru sekolah (SMA, MA dan SMK). Interval gaji (ribuan) Kode X Rp.700-699 Rp.600-699 Rp.500-599 Rp.400-499 Rp.300-399 Rp.200-299 Rp.100-199

6 5 4 3 2 1 0 -

Total


STATISTIKA

Guru SMA Guru MA Guru SMK f F f 4 1 3 8 5 7 12 10 9 15 12 14 8 18 15 3 7 6 1 3 2 51 56 56


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-90-

Ujilah apakah ada perbedaan secara signifikan distribusi gaji tiga kelompok guru tersebut, pada taraf signifikansi 5%. Buat/masukkan juga ke dalam tabel ringkasan Anava. 3. Data rata-rata suhu mesin pada lima macam merek sepeda motor (A, B, C, D, dan E), masing-masing untuk tahun pembuatan/model yang berbeda (2004, 2005, 2006, 2007, dan 2008), disajikan sebagai berikut: MODEL

A 85 84 84 82 82

MERK B C D 86 85 85 85 84 83 84 83 83 82 81 81 81 80 80

E 86 83 82 81 80

TOTAL

Tahun 2004 Tahun 2005 Tahun 2006 Tahun 2007 Tahun 2008 Total Ujilah apakah ada perbedaan secara signifikan rata-rata panas mesin pada lima merek motor yang berbeda dan model/tahun pembuatan yang berbeda, pada taraf signifikansi 5%. Buat/masukkan juga ke dalam tabel ringkasan Anava.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-91-

Deskripsi Singkat : Bab ini menjelaskan tentang analisis regresi klasifikasi tunggal dan ganda dan mampu menggunakannya untuk menganalisis data penelitian.

Tujuan Instruksional Khusus  Mahasiswa mampu memahami Analisis Regresi Linear Satu Prediktor  Mahasiswa mampu memahami Analisis Varians Garis Regresi  Mahasiswa mampu memahami Analisis Regresi: Dua Prediktor  Mahasiswa mampu menggunakan Analisis Regresi untuk menganalisis data

penelitian


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-92-

Realitas tentang hubungan/keterkaitan antar ubahan dapat dikategorikan dalam konteks ubahan yang satu menjadi penyebab dari ubahan lainnya. Pola hubungan seperti ini disebut sebagai kausalitas, artinya ubahan yang satu merupakan predictor, sedangkan ubahan yang lain sebagai kriterium. Misalnya, apakah prestasi belajar anak dapat diprediksikan dari angka kecerdasan dan perbendaharaan bahasa (kosakata); apakah produktivitas kerja karyawan dapat diprediksikan dari hasil tes seleksi dan lamanya latihan dan sebagainya. Dalam contoh ini prestasi belajar dan produktivitas kerja merupakan ubahan kriterium, sedangkan angka kecerdasan, perbendaharaan bahasa, hasil tes seleksi, dan lamanya latihan merupakan ubahan predictor. Suatu ubahan dapat diramalkan dari ubahan lain apabila antara ubahan yang diramalkan, disebut terikat / dependend, dan ubahan yang digunakan untuk meramalkan, disebut bebas / Independend, terdapat korelasi yang signifikan. Misalnya, jika antara tinggi badan dan berat badan pada umur-umur tertentu terdapat korelasi yang signifikan, maka berat badan orang pada umur tersebut dapat diramalkan dari tinggi badannya. Korelasi antara ubahan kriterium dengan ubahan predictor dapat dilukiskan dalam suatu garis. Garis ini disebut garis regresi. Garis regresi mungkin merupakan garis lurus (linear), mungkin merupakan garis lengkung (parabolic, hiperbolik, dan sebagainya). Dalam kesempatan ini hanya akan kita bicarakan garis regresi yang linear. Suatu garis regresi dapat dinyatakan dalam persamaan matematik. Persamaan ini disebut persamaan regresi. Untuk garis regresi linear dnegan satu ubahan predictor persamaannya adalah :

Y = aX + K


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-93-

dalam mana Y = kriterium; X = prediktor; a = bilangan koefisien prediktor ; dan K = bilangan konstan. Untuk garus regresi linear dengan dua ubahan predictor persamaan garisnya adalah: Y = a1X1 + a2X2 + K dan untuk m ubahan prediktor persamaannya adalah : Y = a1X1 + a2X2 +…+ amXm + K dalam mana Y = Kriterium X1, X2,…, Xm = Prediktor 1, prediktor 2, prediktor ke- m a1, a2, …, am = Koefisien prediktor 1, koefisien prediktor 2,..., koefisien prediktor ke-m K = Bilangan konstan untuk menemukan persamaan guru regresi tersebut harga-harga koefisien prediktor dan bilangan konstantanya dapat dicari dari data yang diselidiki. Mengenai tugas kedua dari pembicaraan analisis regresi, yaitu memberi dasar untuk pembicaraan mengenai analisis kovariansi, akan kita bicarakan pada waktu kita membicarakan analisis kovariansi. 10.1 Analisis Regresi Linear Satu Prediktor Tugas pokok analisis regresi adalah : 1. Mencari korelasi antara kriterium dengan prediktor, R 2. Menguji apakah korelasi itu signifikan ataukah tidak, → table 3. Mencari persamaan garis regresi, F 4. Menemukan sumbangan relatif antara sesama prediktor, jika prediktornya lebih dari satu. Jika kita melukis garis regresi untuk meramalkan kriterium dari prediktor, tujuan kita adalah ingin mendapatkan dasar ramalan yang menghasilkan kesalahan yang sekecil-kecilnya. Tujuan itu dapat tercapai, jika dari serangkaian ramalan jumlah kesalahan-kesalahan raalan itu sama dengan nol. Kesalahan ramalan ini disebut residu. Maksud pernyataan ini akan dapat kita fahami dari contoh-contoh yang akan diberikan nanti. TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-94-

Contoh: Misalkan suatu penelitian ingin memastikan apakah berat badan orang pada kelompok umur tertentu dapat diramalkan dari tinggi badan. Dalam penelitian itu dikumpulkan data tinggi badan dan berat badan sepuluh orang sebagai berikut : Subyek Tinggi Berat No. (dalam cm) (dalam kg) X. y 1 168 63 2

173

81

3

162

54

4

157

49

5

160

52

6

165

62

7

163

56

8

170

78

9

168

64

10

164

61

Korelasi antara prediktor X dengan kriterium Y dapat kita cari melalui teknik korelasi momen tangkar dari Pearson, dengan rumus umum:

Telah kita ketahui bahwa :

Jika tekah kita lakukan komputasi terhadap data contoh hasil penelitian tersebut (gunakan kalkulator yang ada fungsi statistiknya), akan kita temukan : N = 10 ΣX = 1.650

ΣY = 620 TEKNIK MESIN ALAT BERAT

POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA

ΣXY = 102.732 Disusun oleh : Tanggal : Hadi Hermansyah, S.SI., M.Si. 15/09/2014

TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-95-

ΣX2 = 272.460

ΣY2 = 39.432

Dari itu

Untuk menguji apakah harga rxy = 0,946 itu signifikan apa tidak, kita dapat berkonsultasi dengan tabel r – teoretik dengan dengan N = 10 atau derajat kebebasan db = 10 – 2 (Catatan: ada tabel r = teoretik yang menggunakan N, ada juga yang menggunakan db, Ambilah mana saja yang tersedia pada Anda). Dari tabel r – teoretik dengan N = 10 (atau db = 8) akan kita ketemukan harga rteoretik pada taraf signifikansi 1% atau rt1% = 0,765. karena itu harga rxy sebesar 0,946 itu kita nyatakan sangat signifikan, dan kita dapat menyimpulkan bahwa korelasi antara X dan Y, yaitu antara tinggi badan dan berat badan, sangat signifikan. Dengan harga korelasi antara tinggi badan dan berat badan yang sangat signifikan itu kita mempunyai landasan untuk meramalkan / mengestimasi berat badan dari tinggi badan (sebenarnya boleh juga sebaliknya, kita dapat meramalkan tinggi badan dari berat badan), dab karenanya kita dapat membuat garis regresi untuk prediksi dengan rumus garis regresi untuk prediksi dengan rumus garis regresi satu-prediktor yang sudah kita ketahui, yaitu :

Untuk mengisi persamaan garis regresi itu harga koefisien prediktor (yaitu harga a) dan harga bilangan konstan K harus kita ketemukan lebih dahulu. Hargaharga a dan K itu dapat kita ketemukan melalui dua jalan : (a) dengan metode skor kasar, dan (b) dengan metode skor deviasi. Kedua metode ini akan menghasilkan harga-harga a dan K yang sama. Nanti kita akan memilih salah satu dari dua metode itu berdasarkan pertimbangan efisiensi.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-96-

Dengan metode skor kasar harga-harga a dan K dapat dicari dari persamaan: (1) (2)

Jika data yang sudah kita ketahui kita masukkan ke dalam rumus-rumus itu (1) 102.732 = 272.460 a + 1.650 K (2) 620 = 1.650 a + 10 K dengan penyelesaian persamaan secara simultan akan kita ketemukan (dengan membagi persamaan I dengan 1.650 dan persamaan 2 dengan 10) : (3) 62, 26 = 165,13 a + K (4) 62

= 165 a + K

Subtitusi

(5) 0,26 = 0,13 a (6) 62

= (165) (2) + K

K = - 268 Perlu dicatat bahwa dalam perhitungan terhadap data penelitian yang sesungguhnya, ketelitian perhitungan harus diusahakan semaksimal mungkin, dengan jumlah angka desimal yang lebih banyak, misalnya enam desimal atau delapan desimal. Dalam contoh perhitungan di atas hanya digunakan dua desimal. Maka jika dalam komputasi digunakan kalkulator, biarkanlah desimalnya mengambang (floating) sehingga perhitungan-perhitungannya dapat membawa terus jumlah desimal sesuai dengan kemampuan kalkulator tesebut. Misalnya, jika dalam perhitungan di atas digunakan desimal yang menggambang sampai enam angka, hasilnya adalah a = 2,057143, dan K = - 277, 428 595. Tentu saja perhitungan dengan enam desimal hasilnya akan jauh lebih teliti daripada perhitungan dengan dua desimal. Dengan harga a = 2 dan K = - 268, persamaan garis regresinya adalah : Y = aX + K Y = 2X – 268 , a = -268, b = 2 y = -268 + 2X Dengan metode skor deviasi harga-harga a dan K dapat kita cari dari persamaan TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-97-

y = ax Dalam mana: Jika data yang sudah diketemukan dimasukkan ke dalam rumus tersebut :

y = 2,05x Dari data yang dikumpulkan dapat dicari :

Karena itu untuk persamaan garis regresi y = ax atau Y -

=a(X-

) dapat kita

selesaikan: Y– 62 = (2.05)(X – 165) Y = 2,05X – 338,2 + 62 Y = 2,05X – 276,25 Dengan etode skor kasar kita menemukan persamaan garis regresinya Y = 2X – 268, sedang dengan metode skor deviasi kita menemukan persamaan garis regresinya Y = 2,05X – 276,25. Seharusnya dengan kedua metode itu kita tidak menemukan hasil perhitungan yang berbeda. Perbedaan hasil perhitungan garis regresi yang kita temukan itu semata-mata disebabkan karena ketelitian perhitungan saja. Dengan jumlah decimal yang mengambang sampai enam desimal, hasilnya adalah Y = 2,057143X - 277,428595 Baiklah kita coba dulu meramalkan berat badan dari persamaan garis regresi Y =2X-268 seperti yang dihasilkan dengan perhitungan dengan metode skor kasar. Maka untuk tinggi badan atau X tertentu, berat badannya atau Y-nya akan Untuk X = 175

Y = 2(175)-268 = 82;

Untuk X = 174

Y = 2(174)-268 = 80;

Dan seterusnya . . . . TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-98-

Untuk X = 150

Y = 2(150) – 268 = 32

Jika dari perhitungan-perhitungan itu kita buat suatu tabel berikut. Tabel 10.1. Ramalan berat badan (y) dari tinggi Badan (X) Dari Persamaan Garis Regresi Y = 2 X – 268 Tinggi (cm) Berat (kg) Tinggi (cm) Berat (kg) Tinggi (cm) Berat (kg) X Y X Y X Y 175 82 165 62 155 42 174 80 164 60 154 40 173 78 163 58 153 38 172 76 162 56 152 36 171 74 161 54 151 34 170 72 160 52 150 32 169 70 159 50 149 30 168 68 158 48 148 28 167 66 157 46 147 26 166 64 156 44 146 24 Bagaimana keadaannya jika kita menggunakan persamaan garis regresi Y = 2,05X – 276,25 (seperti yang diperoleh dengan metode skor deviasi) dan persamaan garis regresi Y = 2,057 143 X – 277,428 595 (yang diperoleh dengan ketelitian enam desimal, baik dengan metode skor kasar ataupun skor deviasi)? Sambil mendemontrasikan pentingnya ketelitian dalam perhitungan akan kita coba menyusun tabel-tabel ramalan dengan persamaan garis regresi yang berbeda-beda itu.

X 175 174 173 172 171 170 169 168 167 166

Tabel. 10.2. Ramalan berat badan (y) dari tinggi Badan (X) Dari Persamaan Garis Regresi Y = 2,05 X – 276,25 Y X Y X 82,5 165 62,0 155 80,5 164 60,0 154 78,4 163 57,9 153 76,4 162 55,9 152 74,3 161 53,8 151 72,3 160 51,8 150 70,2 159 49,7 149 68,2 158 47,7 148 66,1 157 45,6 147 64,1 156 43,6 146

Y 41,3 39,5 37,4 35,4 33,3 31,3 29,2 27,2 25,1 23,1

Tabel 10.3. Ramalan berat badan (y) dari tinggi Badan (X) Dari Persamaan Garis Regresi Y = 2,057 143X – 277,428595


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-99-

X

Y

X

Y

X

Y

175 82,6 165 62,0 155 41,4 174 80,5 164 59,9 154 39,4 173 78,5 163 57,9 153 37,3 172 76,4 162 55,8 152 35,3 171 74,3 161 53,8 151 33,2 170 72,3 160 51,7 150 31,1 169 70,2 159 49,7 149 29,1 168 68,2 158 47,6 148 27,0 167 66,1 157 45,5 147 25,0 166 64,1 156 43,5 146 22,9 Dari tiga tabel raalan yang telah kita susun itu tabel yang terakhir ini adalah yang paling teliti, sedang tabel yang pertama merupakan tabel yang paling kurang teliti. Ketelitian itu mungkin ada akibatnya dalam kesalahan ramalan atau residu. Ini dapat kita uji dari perbandingan seperti di bawah ini.

10.2. Analisis Varians Garis Regresi Sebelum kita melanjutkan pembicaraan mengenai analisis regresi dengan dua prediktor atau lebih, ada baiknya kita membicarakan dulu apa yang sesungguhnya disebut analisis regresi. Jika suatu prediksi hanya menggunakan satu ubahan prediktor seperti contoh ditas, pekerjaan “analisis regresi” seperti yang sudah kita kerjakan boleh dikatakan selesai. Sebab besarnya korelasi antara prediktor dengan kriterium telah diketemukan, uji signifikansinya sudah dijalankan; dan garis regresinya telah dibuat. Akan tetapi, jika dalam prediksi digunakan beberapa prediktor, untuk menguji signifikansi garis regresinya perlu dilakukan analisis variansi terhadap garis regresi tersebut. Apa yang disebut analisis regresi sebenarnya adalah analisis variansi terhadap garis regresi, dengan maksud untuk menguji signifikansi garis regresi yang bersangkutan. Dari analisis regresi kita akan menghasilkan bilangan –F sebagaimana halnya jika kita mengadakan analisis variansi. Untuk analisis regresi bilangan – F diperoleh dari rumus:


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-100-

Dalam mana Freg = Harga bilangan – F untuk garis regresi; RKreg = Rerata Kuadrat garis regresi; dan RKres = Rerata Kuadrat residu. Jadi bilangan –F regresi diperoleh dari membandingkan (nisbah) RK regresi dengan RK residu. Makin besar harga RK residu akan makin kecil harga F regresi. RK residu RK “error” memang mempunyai cirri semacam itu: dalam perhitungan nisbah – F harga bilangan –F akan sangat ditentukan oleh harga RK “error” nya. Maka, dalam analisis garis regresi, jika harga F - regresi sangat kecil dan tidak signifikan , maka garis regresinya tidak akan memberikan landasan untuk prediksi secara efisien. Walaupun analisis variansi garis regresi lebih efektif untuk menganalisis garis regresi dengan beberapa prediktor, namun sebagai dasar pemahaman marilah kita coba menganalisis data satu prediktor dalam contoh di depan. Metode Skor Kasar: Dari data yang telah dikomputasi kita ketahui : ΣY = 620

N = 10

ΣY2 = 39.432 a = 2 ΣXY = 102.732

K = - 268

Dalam analisis variansi perhitungan yang paling banyak harus dilakukan adalah perhitungan mengenai jumlah Kuadrat JK (Jumlah Kuadrat). Jika hasil perhitungan JK kita masukkan dalam tabel ringkasan analisis varians, maka perhitungan rerata Kuadrat RK dan F-nya tidak akan banyak menghadapi kesulitan. Tata kerja itu akan kita tempuh juga dalam percobaan kita menerapkan rumus-rumus analisis variansi ini.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-101-

Dengan Satu-Prediktor : (dengan skor kasar) Sumber Db Variasi Regresi (reg) 1

JK

Residu (res)

N-2

Total T

N–1

RK

-

(dengan skor deviasi) Sumber db Variasi Regresi (reg) 1

Residu (res)

N-2

Total T

N–1

JK

RK

-

-

(dari rxy) Sumber db Variasi Regresi (reg) 1 Residu (res)

N-2

Total T

N–1

JK

RK

-

-

TABEL RINGKASAN Sumber Variasi Regresi (reg)

db

JK

1


STATISTIKA

RK

p

864

< 0,01


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-102-

Residu (res)

8

128

10

Total T

9

992

-

-

-

Metode skor deviasi Telah kita ketahui : Σx2 = 210 Σxy = 432 Σy2 = 992 N = 10


1

888,69

888,69

Residu (res)

8

103,31

12,91

Total T

9

992

-

Db

JK

RK

p < 0,01

-

-

Melalui rxy : Telah kita ketemukan : r= 0,946

Σy2 = 992

N = 10


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-103-


1

887,76

887,76

Residu (res)

8

104,24

13,03

Total T

9

992

-

db

JK

RK

p < 0,01

-

-

Dari tiga perhitungan tersebut kita memperoleh harga F regresi yang berbedabeda: yang pertama F = 54,00; yang kedua F= 68,84; dan yang ketiga F = 68,13. Dua harga F yabf terakhir boleh dikatakan sama, tetapi harga F dari perhitungan yang pertama ternyata sangat rendah. Seharusnya, dengan metode manapun hasilnya akan sama saja. Perbedaan itu disebabkan karena ketelitian perhitungan. 10.3. Analisis Regresi: Dua Prediktor Prinsip-prinsip untuk memprediksi kriterium dari satu prediktor berlaku juga untuk memprediksi kriterium dari dua prediktor atau lebih. Dengan sedikit memperluas perhitungannya, akan kita coba bagaimana menyelesaikan anlaisis regresi dengan dua prediktor lebih dahulu. Persamaan skor regresi dua prediktor adalah : Y = a1 X1 + a2 X2 + K Dalam skor deviasi persamaan itu dapat dituliskan y = a1 x1 + a2 x2 Oleh karena itu dengan kalkulator tangan metode skor deviasi jauh lebih efisien daripada metode skor kasar, maka dalam contoh analisis di bawah ini akan digunakan saja metode skor deviasi. Metode skor kasar dapat juga kita coba sebagian

untuk

mengetahui

sekedar

cara-cara

menghitungnya.

Untuk

menyelesaikan perhitungan garis regresi y = a1 x1 + a2 x2 harga koefisisen prediktor a1 dan a2 dapat kita cari dari persamaan simultan: Contoh : Misalkan seorang peneliti ingin memastikan apakah nilai Statistik Dasar (Y) dapat diprediksikan dari nilai Pretes Aljabar (X1) dan nilai Indeks Prestasi SMA (X2), TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-104-

apa tidak. Untuk itu peneliti tersebut misalkan telah mengumpulkan data sebagai berikut: Mhs No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X1

X2

Y

57 93 79 26 69 24 76 61 82 29

3,00 2,85 3,20 2,49 3,07 2,38 3,74 2,62 2,53 3,17

27 34 27 24 35 18 33 39 35 25

Dengan kalkulator kita akan menghasilkan perhitungan N = 10

Jika hasil perhitungan itu kita ubah dalam skor deviasi maka akan kita peroleh :


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-105-

Persamaan simultan untuk menentukan a1 dan a2 adalah: (1) (2)

Diisikan dan dikerjakan (1)

1.085,8 = 53692,4 a1 + 34,61 a2

(2)

4,965

= 34,61 a1 + 1,56345 a2

(1) ; 34, 61 = 31,37243571 = 164,4726957 a1+ a2 (2) ; 1,56345 = 3,17566919 = 22,13694074 a1+ a2 (3) – (4) = 28,196 766 52 = 142,335755 a1 a1 =

= 28,19676652

(4) 3,17569919 = (22,13694074) (0,198100375) + a2 = 4,385336261 + a2 a2 = 3,17569919 - 4,385336261= -1,2095667071 Persamaan garis reg resi dalam skor deviasi yang kita cari adalah:

Dari pekerjaan di muka dapat ditemukan:

Jadi, Y = (0,198100375)(X1 – 59,6) + (-1,209667071)(X2 – 2,905) + 29,7 TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-106-

= 0,198100375X1 – 11,80678235 –1,209667071X2 + 3,514082841 + 29,7 Y = 0,198100375X1 –1,209667071X2 + 21,40730049 Jika dibulatkan: Y = 0,2X1 – 1,2X2 + 21,4

Y = a1x1 – a2x2 + K

Catatan : Pembulatan ini hanya untuk menggampangkan pencatatan Untuk perhitungan-perhitungan (selanjutnya) masih baru digunakan bilangan yang belum dibulatkan. Koefisien korelasi antara kriterium Y dengan prediktor X1 dan prediktor X2 dapat diperoleh dari rumus :

RY(1,2) = Koefisien korelasi antara Y dengan X1 dan X2 a1

= Koefisien prediktor X1

a2

= Koefisien prediktor X2

Σx1y = Jumlah setujuduk antara X1 dengan Y Σx2y = Jumlah setujuduk antara X2 dengan Y Σy2 = Jumlah Kuadrat kriterium Y Jika hasil-hasil perhitungan di muka diisikan ke dalam rumus di atas:

= 0,743643414 Jadi Ry (1,2) = 0,744 Dan R2y(1,2) = 0,553005527 Dalam perhitungan tersebut sekaligus dicari harga R2y(1,2) oleh karena dalam analisis regresi nanti yang kita pakai adalah harga R2y(1,2). Untuk menjawab pertanyaan, apakah harga Ry(1,2) = 0,744 itu signifikan apa tidak, analisis regresi tidak lain adalah analisis regresi. Seperti sudah kita kenal, analisis regresi tidak lain adalah analisis harga F si garis regresi. Dari analisis ini kita akan menemukan harga F garis regresi, yang kemudian dapat kita uji apakah harga F itu signifikan ataukah tidak. Rumus F yang paling efisien, jika koefisien korelasi antara kriterium dengan prediktor-prediktorny a telah diketemukan, adalah: TEKNIK MESIN ALAT BERAT POLITEKNIK NEGERI BALIKPAPAN

STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-107-

Freg = Harga F garis regresi N = Cacah kasus m = Cacah prediktor R = Koefisien korelasi antara kriterium dengan prediktor-prediktor. Derajat kebebasan atau db untuk menguji harga F itu adalah m lawan N – m – 1. Diisikan :


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-108-

Dengan db = m lawan N-m-1 atau 2 lawan 7 harga Ft5% = 4,74 jadi, jika demikian, harga Freg sebesar 4,330 itu tidak signifikan. Kita menyimpulkan, tidak ada korelasi antara Y dengan X1 dan X, atau antara nilai statistika Dasar dengan nilai Pretest Aljabar dan persen kita tidak berani menggunakan prediktor nilai Pretest Aljabar dan nilai Indeks Prestasi SMA untuk memprediksi nilai Statistik Dasar. Rumus F regresi yang baru disebutkan di atas diperoleh dari setujuses analisis variasi garis regresi yang agak panjang. Keseluruhan setujuse situ dapat dilihat dalam tabel rangkuman analisis regresi sebagai berikut : TABEL RINGKASAN ANALISIS REGRESI Sumber

db

Variasi Regresi (reg)

M

Residu (res)

N-m-1

Total T

N-1

JK

RK

--

Jadi, jika seluruh proses analisis tersebut kita ikuti, maka :

Jadi


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-109-

Hasil analisis regresi tersebut kemudian dapat kita masukkan dalam tabel ringkasan analisis sebagai berikut: TABEL RINGKASAN ANALISIS REGRESI Sumber

db

Variasi

JK

RK

Regresi (reg)

2

209,0913897

104,5456948

Residu (res)

7

169,0086102

24,14408717

Total T

9

378,1

--

F = 4,330 Jika diinginkan mencari harga F regresi dengan rumus skor kasar, rumusnya adalah:

Untuk mengingat kembali data dan hasil-hasil perhitungan yang sudah kita ketemukan: N = 10

m=2

a1 = 0,198100 375

a2 = 1,209667071

ΣX1Y = 18.787

ΣX2Y = 867,75

ΣY = 297

ΣY2 = 9.199

K = 21,40730049

Dikerjakan N – m – 1 = 10 – 2 – 1 = 7 a1ΣX1Y = (0,198 100 375) (18.787) = 3.721,711 745 a2ΣX2Y = (-1,209 667 071) (867,75)= - 1.049,688 6 KΣY

= (21,407 300 49) (297) = 6.375, 968 245

Diisikan :


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-110-

Rumus-rumus skor kasar untuk analisis regresi dapat dirangkum dalam table seperti di bawah ini :

TABEL RINGKASAN ANALISIS REGRESI Sumber db

JK

RK

Variasi Regresi (reg)

m

Residu (res)

N-m-1

Total T

N-1

--

Jadi

Dikerjakan berikutnya :

= 3.721,711745 + (-1.049,6886) + 6.357,968245-8.820,9 = 209,09139

= 9.199 - 3.721,711745- (-1.049,6886) - 6.357,968245 = 169,00861


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-111-

Jadi

Sebagaimana biasa dari hasil analisis variansi garis regresi dibuatlah tabel ringkasan analisis. Maka jika kita buat tabel ringkasan analisis regresi, hasilnya akan Nampak seperti tabel ringkasan analisis regresi seperti yang baru kita buat di muka. Telah dikemukakan, apabila dalam mengerjakan analisis regresi kita hanya mempunyai kalkulator tangan, cara yang paling efisien adalah menggunakan metode skor deviasi. Karena itu untuk analisis-analisis berikutnya akan kita gunakan saja metode skor deviasi, dan untuk metode skor kasar hanya akan dikemukakan rumusnya, saja.

10.4. Analisis Regresi : m – Prediktor Prinsip-prinsip analisis regresi dua prediktor berlaku sepenuhnya untuk analisis regresi tiga prediktor, empat prediktor, lima prediktor dan seterusnya, jika dengan sedikit perluasan. Hal tersebut dengan mudah kita fahami jika bandingkan rumus-rumusnya untuk garis regresi maupun untuk koefisien korelasinya. Periksalah rumus-rumus dibawah ini. Persamaan Garis Regresi Dua Prediktor

: Y = a1 x1 + a2 x2 + K2

Tiga Prediktor

: Y = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + K

Empat Prediktor : Y = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + K m – Prediktor

: Y = a1 x1 + …+ am xm +K

Koefisien Korelasi


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-112-

SOAL EVALUASI 1. Jika suatu penelitian ingin menguji apakah berat badan orang pada kelompok umur tertentu dapat diramalkan dari tinggi badan. Dalam penelitian itu dikumpulkan data tinggi badan dan berat badan sepuluh orang sebagai berikut: Tinggi Berat Subyek (dalam cm) (dalam kg) No. X. y 1 168 63 2 173 81 3 162 54 4 157 49 5 160 52 6 165 62 7 163 56 8 170 78 9 168 64 10 164 61 Ujilah pada taraf signifikansi 1%, dan gunakan table rangkuman analisis regresi. 2. Seorang peneliti akan menguji apakah nilai Praktik Kelistrikan Otomotif (X 1) dan Praktik Chasis (X2) berpengaruh terhadap nilai Praktik Trouble Shoting (Y) mahasiswa Pendidikan Teknik Mesin. Untuk itu peneliti tersebut telah mengumpulkan data sebagai berikut : Mhs No.

X1


STATISTIKA

X2

Y


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-113-

1

60

67

78

2

72

66

82

3

79

65

80

4

68

87

81

5

69

75

83

6

78

77

85

7

76

67

78

8

61

65

86

9

82

66

78

10

68

62

77

11

70

63

75

12

71

70

76

13

72

73

73

14

69

68

72

15

82

81

71

Ujilah pada taraf signifikansi 1%, dan gunakan table rangkuman analisis regresi.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-114-

DAFTAR PUSTAKA

Christensen, Larry B. 2001. Expeprimental Methodology. (Eighth Edition). Boston: Allyn and Bacon. Guilford, J.P; Fruchter, benjamin. 1985. Fundamental Statistics in Psychology and Education. (Sixth Edition). Bogota: McGraw-Hill Book Co. Hadi, Sutrisno. 1982. Statistik, Jilid 1, 2 dan 3. Yogyakarta: Fakultas Psikologi UGM Hadi, Sutrisno. 1991. Analisis Regresi. Yogyakarta: Andi Offset J. Supranto M.A. 1981. STASTISTIK TEORI DAN APLIKASI, Jilid 2 Edisi ketiga, Penerbit Erlangga, Jakarta. Meilina P. 2011. Modul Kuliah Statistika 1. Teknik Informatika Universitas Muhammadiyah Jakartdenhall, William; Ott, Lyman; Larson, Ricahrd F. 1974. Statistics: a Tool for the Social Sciences. California: Duxbury Press. Ronald E. Walpole, PENGANTAR STATISTIKA, Edisi ke 3, PT.Gramedia Pustaka Utama, Jakarta, 1995. Samsudi, 2008. Bahan ajar statistika. Jurusan Teknik Mesin Universitas Negeri Semarang Subiyakto,Haryono. 1993. STATISTIKA 2, Penerbit Gunadharma. Sudijono, Anas. 1996. Pengantar Statitik Pendidikan. Jakarta: Rajawali Sudjana. 1991. Desain dan Analisis Eksperimen. Edisi III. Bandung: Tarsito.


STATISTIKA


TM

3

6

0

1 MD 01

Halaman

0

-115-

Deskripsi Singkat : Bab ini merupakan pengantar dalam mempelajari Statistika. Anda akan dibantu untuk memahami sejarah dan konsep dasar statistika

Recommend Documents