Desain Kontroler untuk Pengaturan Posisi pada Motor DC Shunt Menggunakan Analisis Kestabilan Positive Real Nabila – 2207100109
Jurusan Teknik Elektro ITS, Surabaya 60111, email:
[email protected] Abstrak - Pengaturan posisi pada motor DC shunt merupakan suatu sistem yang non-linier dan tidak stabil. Analisis kestabilan positive real yang berdasarkan pada teori kestabilan Lyapunov dipandang dapat menjadi analisis yang tepat untuk membantu dalam desain kontroler, sebab analisis ini memperhitungkan unsur ketidakpastian yang pada sistem ini merupakan sifat non-linier dari sistem. Di sini, akan digunakan analisis positive real dengan asumsi bahwa motor DC shunt merupakan suatu sistem LTI yang memiliki ketidakpastian, sehingga dengan menggunakan pertidaksamaan Ricatti akan didapat transfer function kontroler yang dapat menstabilkan motor. Kata Kunci: Pengaturan posisi, Motor DC Shunt, Analisis Positive Real 1. PENDAHULUAN Analisis positive real dipandang sebagai metode analisis yang dapat digunakan untuk menemukan desain kontroler yang tepat bagi sistem non-linier. Menggunakan analisis ini, sifat nonlinier dari sistem tidak akan diabaikan, dan akan dianggap sebagai ketidakpastian. Diharapkan, dengan analisis ini, kontroler yang dihasilkan dapat bekerja dengan baik. Salah satu sistem non-linier yang umumnya harus melewati proses linieritas adalah sistem pengaturan posisi pada motor DC shunt. Hal ini karena motor DC Shunt merupakan sebuah plant non-linier yang tidak stabil. Pada tugas akhir ini digunakan model matematika linier dari motor DC shunt yang ditambahkan dengan parameter ketidakpastian sebagai variabel non-linier dari sistem. Konsep positive real telah banyak digunakan dalam teori sistem dan kontrol, lihat [1,11]. Penelitian mengenai analisa kestabilan dan kestabilan robust yang berkaitan dengan sistem positive real dapat ditemukan pada [2-4,7,9,12]. Terdapat beberapa syarat untuk membuat kontroler positive real untuk sebuah closed loop transfer function, seperti yang telah disebutkan dalam [3,4]. Sementara itu, sebuah permasalahan state feedback positive real control dibahas pada [8]. Permasalahan ini juga telah dibahas sebagai permasalahan kontrol positive real pada [10] di mana diusulkan dua solusi persamaan Ricatti. Dari [11] dapat disimpulkan bahwa sifat positive real dari sebuah loop transfer function akan memastikan
kestabilan keseluruhan sistem feedback jika ketidakpastian atau ketidaklinieran dapat dikarakterisasikan dengan sistem positive real. Kelanjutan makalah ini disusun sebagai berikut. Bagian 2 menjelaskan mengenai karakteristik motor DC shunt dan penurunan model matematisnya. Positive real stability dan state feedback robust positive real control dibahas dalam Bagian 3, dilanjutkan dengan pembahasan desain kontroler pada Bagian 4. Bagian 5 memberikan beberapa hasil simulasi beserta analisisnya, sementara Bagian 6 merupakan kesimpulan akhir dan saran untuk penelitian selanjutnya. 2. MOTOR DC SHUNT Sebuah motor DC shunt memiliki kumparan medan yang terhubung paralel dengan kumparan jangkar dan disuplai oleh sebuah sumber listrik dengan tegangan yang sama, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Arus dari sumber bernilai sama dengan jumlah arus jangkar ditambah arus kumparan medan . Motor DC shunt memiliki karakteristik yang identik dengan motor DC penguat terpisah.
Gambar 1. Motor DC Shunt Dari Gambar 1, didapatkan arus medan, arus rotor-jangkar, serta torsi yang dibangkitkan sebagai berikut. I
I P
V f V
a
d
t
R
(1)
f E
t R
E I a a
a
(2)
T ω d
(3)
a
Dengan mengacu pada hukum Faraday dan gaya Lorentz, didapat gaya gerak listrik lawan dan torsi yang dibangkitkan.
E
(4)
K
a
(5) Persamaan (2), Persamaan (4), dan Persamaan (5) menghasilkan Td
K Ia
V T
d
K
K
t R
(6)
a
Sehingga, didapat persamaan sebagai berikut. Ra Vt
kecepatan-arus
Td 2 K (K ) Atau, dengan mengacu pada Persamaan (3), Vt
Ra I a K
(7)
(8)
Bila rugi-rugi rotasi dapat diabaikan, maka torsi yang dibangkitkan ( ) sama dengan torsi poros, dan arus jangkar tanpa beban sama dengan nol. Maka, kecepatan tanpa beban adalah Vt 0
(9)
K
Pada keadaan steady state, torsi yang dibangkitkan samadengan torsi beban ( ). Sebuah nilai torsi beban yang diberikan akan menimbulkan penurunan kecepatan sekitar , yaitu, Ra (K )
2
Tm
Gambar 3. Karakteristik Kecepatan-Arus Motor DC Shunt Penurunan model matematis dari motor DC shunt dibagi berdasarkan rangkaian penyusunnya, yaitu kumparan medan, kumparan jangkar, dan rotor. Karena kumparan medan dan kumparan jangkar terhubung secara paralel (shunt), maka besar tegangan pada kedua kumparan sama dengan tegangan terminal. Sehingga, dapat ditulis bahwa tegangan pada kumparan medan merupakan perkalian antara arus medan (if) dengan hambatan medan (Rf) dan induktansi medan (Lf).
(10)
Sehingga, kecepatan motor dinyatakan dengan
(11) Berikut ini adalah grafik yang menunjukkan karakteristik antara kecepatan dengan torsi dan kecepatan dengan arus pada motor DC shunt. Gambar 2 mengacu pada Persamaan (7), sementara Gambar 3 mengacu pada Persamaan (8). 0
Gambar Error! No text of specified style in document.. Karakteristik Kecepatan-Torsi Motor DC Shunt Penurunan model matematis dari motor DC shunt dibagi berdasarkan rangkaian penyusunnya, yaitu kumparan medan, kumparan jangkar, dan rotor. Pada Gambar 4 ditunjukkan rangkaian kumparan jangkar pada motor DC shunt.
Gambar 4. Diagram Blok Sistem Pengaturan Posisi Motor DC Shunt Rotor merupakan bagian yang berputar pada motor DC. Pada bagian inilah pembebanan diberikan berupa beban dari inersia (JL) dan beban dari damper (BL). Ketika torsi beban bertambah maka kecepatan motor DC akan menurun. Akibatnya, tegangan balik motor DC shunt juga akan menurun. Arus jangkar pada motor DC shunt merupakan selisih tegangan antara tegangan balik dan tegangan terminal, dibagi dengan hambatan pada kumparan jangkar. Akibat tegangan balik yang turun, maka arus jangkar akan naik. Kenaikan arus jangkar akan menaikkan torsi yang diberikan oleh motor DC sehingga kecepatan akan konstan pada titik tersebut. 3. STATE FEEDBACK ROBUST POSITIVE REAL CONTROL Terdapat beberapa definisi untuk sistem positive real, namun definisi yang digunakan pada pengerjaan tugas akhir ini adalah sebagai berikut. Untuk sistem time invariant (12) ( 0 ) x A x B w z Cx Dw (13) Yang memiliki transfer function
G(s) : C( s I
A)
1
B
(14)
D
Maka, 1. Sistem dikatakan positive real apabila matriks transfer function G(s) analitis pada Re(s) > 0 dan memenuhi untuk seluruh s sehingga Re(s) > 0. 2. Sistem dikatakan strictly positive real jika matriks transfer function G(s) analitis pada Re(s) ≥ 0 dan memenuhi untuk . 3. Sistem dikatakan extended strictly positive real jika sistem tersebut strictly positive real dan . Permasalahan robust positive real control ditujukan untuk mendesain sebuah kontroler robust yang bersifat extended strictly positive real (ESPR) untuk sistem LTI yang memiliki ketidakpastian, yaitu kontroler feedback yang mencapai kestabilan dengan ESPR untuk sistem yang dimodelkan sebagai berikut. (15) x ( A ΔA ) x B 1 ( B 2 ΔB )u (16) Di mana x adalah state, adalah eksogenus, u adalah input kontrol, y adalah output yang dikontrol, serta dan merepresentasikan parameter ketidakpastian. Diasumsikan bahwa . Jika terdapat sebuah dynamic output feedback controller K(s) yang mencapai kestabilan dengan ESPR untuk sistem pada persamaan (15) dan (16) untuk seluruh ketidakpastian yang dapat diterima, maka terdapat static feedback controller yang dapat mencapai hasil yang sama untuk sistem tersebut. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut. Misal K(s) adalah: (17) Ak Bk x (18) u Ck Dk x Apabila dinyatakan bahwa dan , maka sistem closed loop yang dinyatakan Persamaan (15) dan (16) bersama dengan sistem yang dinyatakan oleh Persamaan (17) dan (18) dinyatakan dalam bentuk: ~ ~ A B (19) C1 x
y
y
D 11
~ C
Di mana ~ A
~ C
AΔ
(20)
D 11
dan BΔDk Bk
C1
D 12 u
B ΔCk Ak
D 12 D k
B1
~
, B
0
,
D 12 C k
Sistem yang terbentuk tersebut dinyatakan stabil dengan ESPR jika dan hanya jika dan terdapat matriks definit positif Y sehingga, S (Y) ~ ~T AY YA
~ (B
~T Y C )(D 11
T
D 11 )
1
~ (B
~T T YC )
0
(21)
Y 11
Jika didefinisikan Y
Y 12
Y 12
T
, maka
Y 22
dapat ditunjukkan bahwa blok (1,1) dari S(Y) adalah: (A Δ
B Δ D k )Y 11
[B 1
Y11 (C 1
Y11 (C 1
B Δ C k Y12 D 12 D k )
D 12 D k )
T
T
T
T
T
Δ
[(C 1 [(C 1
B Δ K)
T
T
T T
Y12 C k D 12 ]
P
D 12 K) D 12 K)
BΔDk )
Y12 C k D 12 ](D 11
Misalkan , maka menghasilkan: (A
Y11 (A Δ
T
T
Y12 C k B Δ T
D 11 )
T
(22) dan (22)
B Δ K)
Δ T
B 1 P] (D 11 T
B P]
[B 1
0
Pertidaksamaan P(A
1
T
D 11 )
1
(23)
0
4. IDENTIFIKASI SISTEM DAN DESAIN KONTROLER Diagram blok sistem pengaturan posisi motor DC shunt pada Gambar 4 akan menghasilkan sebuah blok Simulink® untuk sistem pengaturan posisi pada motor DC shunt sebagai berikut.
Gambar 5. Diagram Simulink® Sistem pengaturan Posisi Motor DC Shunt Parameter motor DC shunt yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut. Tabel 1. Parameter Motor DC Shunt Parameter Tegangan Referensi Tahanan Jangkar ( ) Induktansi Jangkar ( ) Tahanan Medan ( ) Induktansi Medan ( ) Konstanta Motor ( ) Konstanta Tegangan Balik ( ) Damper Motor ( ) Inersia Motor ( ) Rasio Gigi (N)
Satuan Volt
Nilai
H Nm/A Volt/RPM
12 0.71 0.66 120 20 23x10-3 23x10-3
Nm/RPM Kgm2 -
3.54x10-6 7.06x10-6 1
mH
Identifikasi parameter metode identifikasi ARMAX , Menggunakan orde , didapat parameter berikut.
dilakukan dengan pada MATLAB. =1, , dan ARMAX sebagai
T
1
(24) (25) 1 (26) C ( q ) 1 0 . 5137 q Dari Persamaan (24), (25), dan (26) didapat persamaan beda 1
B (q )
(k )
20 . 66 e a ( k
0 . 928 q
1
20 . 66 q
0 . 928
1)
(k
(k )
0 . 5137
(k
1
(27)
1)
A
(k ) 0
1
0 . 5137 z 1
(29)
1
0 . 928 z
Ea (k ) 0
Dengan time sample 0.2 s. Dari Persamaan (28) dan (29), dapat dicari transfer function sistem dalam domain-s. Proses transformasi ini dilakukan dengan fungsi MATLAB d2c. Maka, transfer function sistem pengaturan posisi motor DC shunt yang didapat adalah 107 . 2
(s) s
2
0 . 3739 s
2 . 666
Ea (s)
s
2
0 . 3739 s
(s)
(30)
ea
(31)
Atau, dalam bentuk state-space: x1
0
x 2
0
x1
0
0
0 . 3739
1
x2
2 . 666
107 . 2
1
0
x1
(32)
x2
Sehingga didapat: A
C
0 0
1
1 0 . 3739
0 , D 11
0
, B1
2 . 666
1 , D12
, B2
0 107 . 2
,
0 . 08944 s
0 . 05137
(38)
0
(39)
0 . 4495
A
0
1
0
0 . 42527
0
, dan B
107 . 6495
Selanjutnya, diambil nilai P definit positif. Diasumsikan P = I atau P
1
0
0
1
.
Melalui Pertidaksamaan (23), diambil nilai K, yaitu: (40) K 0 .01 0 .02 5. SIMULASI DAN ANALISIS Pada gambar berikut ini ditunjukkan respon sistem sebelum diberi kontroler dengan setpoint 1. Tampak bahwa sistem tidak stabil, yang ditunjukkan oleh respon sistem yang terus meningkat. Respon Sistem tanpa Kontroler respon
1
(34) Dari Persamaan (33) dan (34) didapat persamaan beda ( k ) 0 .9898 ( k 1) 0 .08944 e a ( k 1) (35) Sehingga didapat transfer function E a (z)
0
8000
0 . 08944 q
(z)
0
Pada tugas akhir ini, desain kontroler dibuat sesuai dengan Pertidaksamaan (23), di mana dan . Maka,
0
Selanjutnya, dilakukan perhitungan parameter ketidakpastian. Parameter ketidakpastian dihitung sebagai beda antara respon sistem dan respon transfer function hasil identifikasi dengan input yang sama. Identifikasi ini dilakukan dengan metode identifikasi ARX pada MATLAB. Menggunakan orde , , dan , didapat parameter ARX sebagai berikut. 1 A ( q ) 1 0 . 9898 q (33) B (q )
(37)
0 . 05137 s
0
B
Dan (z)
s
1
0 . 928 z
(28)
(z)
0 . 4495 2
Atau, dalam bentuk state-space didapat nilai dan :
1
20 . 66 z
E a (z)
(s) E a (s)
1)
Sehingga didapat transfer function (z)
d2c. Maka, transfer function sistem yang didapat adalah
0 . 9898
(36)
Dengan time sample 0.2 s. Dari Persamaan (36), dapat dicari transfer function sistem dalam domain-s. Proses transformasi ini dilakukan dengan fungsi MATLAB
setpoint
7000
6000
5000
Posisi (rad)
A(q )
4000
3000
2000
1000
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Waktu (s)
Gambar 6. Respon Sistem Sebelum Diberi Kontroler Sementara itu, pada Gambar 7 ditunjukkan respon sistem dengan setpoint yang sama setelah diberi kontroler. Terlihat bahwa respon sistem telah mengikuti setpoint.
6. KESIMPULAN Dalam tugas akhir ini telah dibahas permasalahan desain kontroler untuk sistem pengaturan posisi pada motor DC shunt menggunakan analisis positive real. Telah ditunjukkan melalui hasil simulasi bahwa kontroler hasil desain berhasil menstabilkan sistem. Untuk penelitian selanjutnya, analisis ini dapat digunakan untuk sistem non-linier atau sistem yang memiliki ketidakpastian lainnya. Selain itu, sistem ini juga dapat dikembangkan untuk analisis kestabilan sistem MIMO.
Respon Sistem tanpa Beban dengan Kontroler 1 0.9 0.8
Posisi (rad)
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 respon
0.1
setpoint 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Waktu (s)
Gambar 7. Respon Sistem tanpa Beban dengan Kontroler Pada Gambar 8, sistem yang telah diberi kontroler diberi beban yang berubah setiap periode waktu 5 detik. Beban yang diberikan bervariasi antara 0, , dan -0.25 . terlihat bahwa sistem selalu kembali ke setpoint dan perubahan beban tidak banyak berpengaruh pada respon sistem. Hal ini menunjukkan bahwa kontroler yang diberikan berhasil menstabilkan sistem. Respon Sistem Berbeban dengan Kontroler 1 0.9 0.8
REFERENSI [1] B.D.O. Anderson dan S. Vongpanitlerd, Network Analysis and Synthesis: A Modern Systems Theory Approach (Prentice-Hall,Englewood Cliffs, NJ, 1973). [2] W.M. Haddad dan D.S. Bernstein, Robust stabilization with positive real uncertainty: beyond the small gain theorem, SystemsControl Lett. 17 (1991) 191-208. [3] W.M. Haddad dan D.S. Bernstein, Explicit construction of quadratic Lyapunov functions for the small gain, positivity, circle, and Popov theorems and their application to robust stability, in: S.P. Bhattacharyya and L.H. Keel, eds., Control of Uncertain Systems, (CRC Press, Boca Raton, FL 1991) 149-173.
Posisi (rad)
0.7
[4] P. Ioannou and G. Tao, Frequency domain conditions for strictly positive real functions, IEEE Trans. Automat. Control 32 (1987) 53-54.
0.6 0.5 0.4
[5] P.P. Khargonekar, I.R. Petersen and M. Rotea, H~ optimal control with state-feedback, IEEE Trans. Automat. Control 33 (1988) 786-788.
0.3 0.2 respon
0.1
setpoint 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Waktu (s)
Gambar 8. Respon Sistem Berbeban dengan Kontroler
[6] P.P. Khargonekar, I.R. Petersen and K. Zhou, Robust stabilization of uncertain linear system: quadratic stabilizability and H® control theory, IEEE Trans. Automat. Control 35 (1990) 356-361. [7] R. Lozano-Leal and S.M. Joshi, Strictly positive real transfer function revisited, IEEE Trans. Automat. Control 35 (1990) 1243-1245. [8] P. Molander and J.C. Willems, Synthesis of state feedback control laws with a specified gain and phase margin, IEEE Trans. Automat. Control 25 (1980) 928-931. [9] M.G. Safonov, E.A. Jonckheere, M. Verma and D.J.N. Limebeer, Synthesis of positive real multivariable feedback systems, Int. J. Control 45 (1987) 817-842.
Gambar 9. Pembesaran Respon Sistem Berbeban dengan Kontroler
[l0] W. Sun, P.P. Khargonekar and D. Shim, Solution to the positive real control problem for linear time-invariant systems, 1993, preprint. [11] M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N J, 1993).
[12] J.T. Wen, Time domain and frequency domain conditions for positive realness, IEEE Trans. Automat. Control 33 (1988) 988-992. [13] U Xie, M. Fu and C.E. de Souza, H~ control and quadratic stabilization of systems with parameter uncertainty via output feedback, 1EEE Trans. Automat. Control 37 (1992) 1253-1256.
[14] L. Xie dan Y.C. Soh, Positive real control problem for uncertain linear time-invariant systems, Systems & Control Letters 24 (1995) 265-271.
[15] P.V. Kokotovic dan H.J. Sussmann. A positive real condition for global stabilization of nonlinear systems, Systems & Control Letters 13 (1989) 125133. [16] Xiao dan D.J. Hill. Concepts of strict positive realness and the absolute stability problem of continuous-time systems, Automatica, Vol. 34, No. 9 (1998) pp. 1071-1082. [17] Barkana. Positive-realness in Multivariable Stationary Linear Systems. Journal of the Franklin Institute,Vol. 328, No. 4 (1991), pp. 403-417. [18] Y. Jia, W. Gao, dan M. Cheng. Robust strict positive real stabilization criteria for SISO uncertain systems. Systems & Control Letters 19 (1992) 111-117. [19] Landau, Ioan Dorë. System Identification and Control Design Using P.I.M.+ Software. (PrenticeHall International, Inc, NJ, 1990). [20] Ogata, Katsuhiko. Discrete-Time Control Systems. (Prentice-Hall International, Inc, NJ, 1987). RIWAYAT HIDUP Nabila dilahirkan di Pasuruan, 23 Oktober 1989. Merupakan putri tunggal dari pasangan Fadil Nasar dan Olivia Banu. Lulus dari SDI Al-Kautsar pada tahun 2001, kemudian melanjutkan ke SMP Negeri 1 Pasuruan dan pada tahun 2004 melanjutkan ke SMA Negeri 1Pasuruan hingga lulus pada tahun 2007. Setelah menamatkan sekolah menengah atas, penulis melanjutkan studinya di Jurusan Teknik Elektro Institut Teknologi Sepuluh November Surabaya pada tahun 2007. Spesialisasi bidang studi yang ditekuni oleh penulis adalah Teknik Sistem Pengaturan. Selama kuliah di ITS, penulis aktif menjadi asisten di Laboratorium Teknik Pengaturan. Pada bulan Januari 2011 penulis mengikuti seminar dan ujian Tugas Akhir di Bidang Studi Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro FTI – ITS Surabaya sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik Elektro.
