DEPARTMEN IKA ITB Jurusan Fisika-Unej BENDA TEGAR. MS Bab 6-1

DEPARTMEN IKA ITBFisika-Unej Jurusan

BENDA TEGAR

Kuliah Fisika Dasar –DrPasasa Edy Supriyanto FI-1101© 2004 Dr. Linus MS

Bab 6-1

DEPARTMEN IKA ITBFisika-Unej Jurusan

Bahan Cakupan

Gerak Rotasi Vektor Momentum Sudut Si t Partikel Sistem P tik l

Momen Inersia

Dalil Sumbu Sejajar

Dinamika Benda Tegar

Menggelinding

Hukum Kekekalan Momentum Sudut Benda Tegar g

Statika Benda Tegar Kuliah Dr. Fisika Dasar –DrMS Edy/Fisika Supriyanto Linus Pasasa Dasar I

Bab 6-2

DEPARTMEN IKA ITB

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi. rotasi, pergeseran sudut: Dalam proses rotasi

Δθ = θ2 − θ1 Satuan SI untuk pergeseran sudut adalah radian (rad)

360° 1 rad d= = 57,3° 2π Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-3

DEPARTMEN IKA ITB


kecepatan sudut rata-rata:

θ2 − θ1 Δθ ω= = t 2 − t1 Δt

kecepatan sudut sesaat:

Δθ dθ ω = lim ω = lim = Δt →0 Δt →0 Δt dt

Satuan SI untuk kecepatan sudut adalah radian per detik (rad/s) Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-4

DEPARTMEN IKA ITB


Arah kecepatan sudut: Aturan tangan kanan


Bab 6-5

DEPARTMEN IKA ITB


ω2 − ω1

Percepatan sudut rata-rata:

Δω α = = t 2 − t1 Δt

Percepatan sudut sesaat:

Δω dω α = lim = Δt →0 Δt dt

Satuan SI untuk percepatan sudut adalah radian per detik (rad/s2) Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.


Bab 6-6

DEPARTMEN IKA ITB

Persamaan Kinematika Rotasi


Bab 6-7

DEPARTMEN IKA ITB

Perumusan Gerak Rotasi

Kecepatan tangensial:

v{

=

kecepatan linear

r{ ω

(ω dalam rad/s )

kecepatan tangensial

Percepatan p tangensial: g a{

percepatan linear

=

r{ α

(α dalam rad/s2 )

percepatan tangensial


Bab 6-8

DEPARTMEN IKA ITB

Perumusan Gerak Rotasi

Percepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam): v2 = ω 2r ar = r


Bab 6-9

DEPARTMEN IKA ITB

Torsi – Momen gaya

Torsi didefenisikan sebagai hasil kali besarnya gaya dengan panjangnya lengan


Bab 6-10

DEPARTMEN IKA ITB

Torsi – Momen gaya

Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam. Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)


Bab 6-11

DEPARTMEN IKA ITB

Vektor Momentum Sudut

Momentum sudut L dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan sbb: r r r r r

L = r × p = m( r × v )

l = mvr sin i φ = rp⊥ = rmv⊥ = r⊥ p = r⊥ mv •Satuan SI adalah Kg.m2/s. Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-12

DEPARTMEN IKA ITB


P Perubahan b h momentum t sudut d t tterhadap h d waktu kt diberikan oleh: dL d = (r × p ) dt dt

d dr dp⎞ ⎛ ⎞ ⎛ (r × p) = ⎜⎝ × p⎟⎠ + ⎜⎝ r × ⎟⎠ dt dt dt = (v × m v ) =0

Jadi

dL dp =r× dt dt

l

ingat

FEXT =


dp dt Bab 6-13

DEPARTMEN IKA ITB


P Perubahan b h momentum t sudut d t tterhadap h d waktu kt diberikan oleh: dL dL = r × FEXT dt

dL dp =r× dt dt Akhirnya kita peroleh:

τ EXT

Analog dengan

FEXT

dp = dt

dL = dt

!!


Bab 6-14

DEPARTMEN IKA ITB

z

Hukum Kekekalan Momentum Sudut τ EXT =

dL dimana dL dt

L=r ×p

Jika torsi resultan = nol, maka

dan τ EXT = r × FEXT

τ EXT

dL dL = =0 dt

Hukum kekekalan momentum sudut

I1ω1 = I 2 ω 2 Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-15

DEPARTMEN IKA ITB

Hukum Kekekalan Momentum

Linear o Jika ΣF = 0, maka p konstan.

Rotasi o Jika Jik Στ Σ = 0, 0 maka k Lk konstan. t


Bab 6-16

DEPARTMEN IKA ITB p=

mv

Momentum Sudut: D f i i&P Defenisi Penurunan

Untuk gerak linear sistem partikel berlaku dp Momentum kekal jika FEXT = FEXT = 0 dt Bagaimana B i d dng G Gerak kR Rotasi? t i? Untuk Rotasi Rotasi, Analog gaya F adalah Torsi Analog momentum p adalah

τ=r ×F L =r ×p

momentum sudut Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-17

DEPARTMEN IKA ITB

Sistem Partikel

Untuk sistem partikel benda tegar tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka momentum sudut total: n r r r r r r L = l1 + l2 + l3 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + ln = ∑ li i=1 r r n dL n dli r r =∑ = ∑τ net ,i = τ net dt i =1 dt i =1

Perubahan momentum sudut ssistem stem hanya d disebabkan sebabkan oleh torsi gaya luar saja. Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-18

DEPARTMEN IKA ITB

Sistem Partikel

Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut adalah jumlah masing2 momentum sudut partikel: L = ∑r × p = ∑m r ×v = ∑m r v kˆ i

i

i

i

i i

i

i

(krn ri dan vi tegak lurus)

i i i

v1

Arah L sejajar sumbu z Gunakan vi = ω ri , diperoleh p

L = ∑ m i r i ω kˆ 2

m2 v2

i

r r L = Iω

j i r1 m1

r2 ω m3

r3

v3

Analog dng p = mv !! Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-19

DEPARTMEN IKA ITB


DEFINISI Momentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi tersebut. tersebut

r r L = Iω

Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk gerak rotasi): r

r

r

r d L d ( Iω ) dω τ = = =I = Iα dt dt dt r


Bab 6-20

DEPARTMEN IKA ITB


L = Iω

Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil perkalian antara I dan ω kekal

I = ∑ mi ri

2

L = Iω Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

L = Iω Bab 6-21

Momen Inersia

DEPARTMEN IKA ITB

Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan sebagai

I =

∑

m i ri = m 1 r1 + m 2 r2 + ... 2

2

2

i

I = momen inersia benda tegar, menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi terhadap sumbu putarnya


Bab 6-22

Momen Inersia

DEPARTMEN IKA ITB

Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, momen inersianya diberikan dalam bentuk integral

I = ∑ mi ri ⇒ I = ∫ r dm 2

2

i

I = ∫ r dm = ∫ ρr dV 2

z

2

Dimana Elemen Volume

y

dm x

dV = rdr ⋅ dθ ⋅ dl Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-23

DEPARTMEN IKA ITB

Momen Inersia

dV = rdr ⋅ dθ ⋅ dl dimana rdr : perubahan radius, perubahan sudut,, dθ : p dl : perubahan ketebalan.


Bab 6-24

Momen Inersia

DEPARTMEN IKA ITB

Untuk lempengan benda dibawah ini, momen inersia dalam bentuk integral

I = ∫ r ρ (rdr ⋅ dθ ⋅ dl ) 2

As msi rapat massa ρ konstan Asumsi

Kita dapat membaginya dalam 3 iintegral t l sbb: bb

I = ρ ∫ r (rdr ) ⋅ ∫ R

0

2

2π

0

(dθ ) ⋅ ∫0 (dl ) L


Bab 6-25

DEPARTMEN IKA ITB

Momen Inersia R

⎡r ⎤ 2π L I = ρ ⎢ ⎥ ⋅ [θ ]0 ⋅ [l ]0 ⎣ 4 ⎦0 4

Hasilnya adalah

R I=ρ ⋅ 2π ⋅ L 4 4

Massa dari lempengan tersebut

M = ρ ⋅π ⋅ R ⋅ L 2

M Momen IInersia i b benda d

1 2 I = MR 2 Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-26

DEPARTMEN IKA ITB

Dalil Sumbu Sejajar

Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), diketahui) momen inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:

Dalil Sumbu Sejajar

I = I cm + Mh

2


Bab 6-27

DEPARTMEN IKA ITB

Momen Inersia:

1 I = ml 2 12

ℓ

1 2 I = ml 3

R

R

I = mR

1 I = mR 2 2

2

1 I = m( a 2 + b 2 ) 12

ℓ

a

b

2 I = mR 2 5


Bab 6-28

Dinamika Benda Tegar

DEPARTMEN IKA ITB

Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb: θ2

ω2

1

θ1

ω1

2

W = ∫ τdθ = ∫ Iωdω = Iω − Iω


2 2

1

2

2 1

Bab 6-29

DEPARTMEN IKA ITB

Energi g Kinetik Rotasi

Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah

1 1 2 K = ∑ mi (ωri ) = 2 2 1 2 K = Iω 2

(∑ m r )ω

Dimana I adalah momen inersia, Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

2

2

i i

I = ∑ mi ri

2

Bab 6-30

DEPARTMEN IKA ITB

Energi Kinetik Rotasi

Linear

Rotasi

1 2 K = Mv 2 Massa Kecepatan Linear

1 2 K = Iω 2 Momen Inersia Kecepatan Sudut


Bab 6-31

Prinsip Kerja-Energi

DEPARTMEN IKA ITB

Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi: θ2

ω2

1

θ1

ω1

2

W = ∫ τdθ = ∫ Iωdω = Iω − Iω 2 2

1

2

2 1

1 2 = Iω 2

K W = ΔK rotasi rotasi dimana r Bila τ = 0 ,maka W = 0 sehingga ΔK rot = 0 Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-32

DEPARTMEN IKA ITB

Menggelinding

Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi


Bab 6-33

DEPARTMEN IKA ITB

Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi

s =θ R

B Ban b bergerak k d dengan llaju j ds/dt

⇒ vcom


dθ = = ωR dt

Bab 6-34

DEPARTMEN IKA ITB



Bab 6-35

DEPARTMEN IKA ITB


The kinetic energy of rolling

K = 12 I Pω 2

I P = I com + MR 2

K = I comω + MR ω 1 2

2

1 2

2

2

2 K = 12 I comω 2 + 12 Mv M com = K r + Kt


Bab 6-36

DEPARTMEN IKA ITB

Gerak Menggelinding Di Bidang Miring Gunakan:

r N

R × Fg sin θ = I Pα

R

Fg sinθ

r fs

x

θ r Fg

acom = −α R Maka:

MR 2 g sin θ = − I P acom

P θ

torsi = I α

Fg cosθ


I P = I com + MR 2 acom

g sin θ =− 1 + I com / MR 2 Bab 6-37

DEPARTMEN IKA ITB

Menggelinding

Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi rotasi.

1

1

K = mv + I 0ω 2

2 0

2

2

V0

ω Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-38

DEPARTMEN IKA ITB

Hukum Kekekalan Energi Mekanik Total Dengan Gerak Rotasi


Bab 6-39

DEPARTMEN IKA ITB

Kesetimbangan g Benda Tegar g

Suatu benda tegar dikatakan setimbang apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama d dengan nol. l Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan gaya yang bekerja harus sama dengan nol nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol: ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 Στ = 0 Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

Bab 6-40

DEPARTMEN IKA ITB

Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi Linear x ((m))

Rotasi θ ((rad))

v (m/s)

ω (rad/s)

a (m/s2)

α (rad/s2)

m (kg) F (N)

I (kg (kg·m m 2) τ (N·m)

p (N·s) (N )

L (N·m·s) (N )


Bab 6-41

Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi

DEPARTMEN IKA ITB

linear perpindahan kecepatan percepatan massa gaya

angular

Δx

v = dx / dt a = dv / dt

ω = dθ / dt

m

I = ∑ mi ri 2

r F

Hk. Newton’s

F = ma

energi kinetik

K = (1 / 2)mv 2

Kerja

Δθ

W = ∫ Fdx Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I

α = dω / dt r r τ = r ×F r

τ = Iα

K = (1 / 2) Iω 2 W = ∫ τdθ Bab 6-42

DEPARTMEN IKA ITB Jurusan Fisika-Unej BENDA TEGAR. MS Bab 6-1

Recommend Documents