1 Darpublic Nopember 0 Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral...
2. Integral (2) (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.
2.1. Integral Fungsi Tetapan: ∫ adx
∫ adx = ax + K
karena dax = adx
∫
Contoh: y = 2dx = 2 x + K
2.2. Integral Fungsi Mononom:
∫ x dx n
Karena dx n = x n −1dx dengan syarat n ≠ −1, maka
∫
∫
x n dx =
x n +1 +K n +1
2 3
∫
Contoh: y = 2 x 2 dx = 2 x 2 dx = x 3 + K
2.3. Integral Fungsi Polinom ∫ ( x n + x m )dx Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya. Karena d ( x n + x m ) = x n dx + x m dx maka
∫ (x
n
+ x m )dx =
x n +1 x m +1 + + K, n +1 m +1
2.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi: Jika v adalah polinom, maka
∫
v n dv =
Formulasi ini digunakan untuk mencari
dengan syarat n ≠ −1, m ≠ −1
∫v
n
dx
v n +1 v n +1 dv + K karena d = v n dv dengan syarat n ≠ −1. n +1 n +1
∫ v dx . n
∫
Contoh: Hitunglah y = (2 x + 1) 2 dx Misalkan v = 2 x + 1 → dv = 2dx → dx =
∫
dv 2
v2 v3 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1 dv = +K= +K 2 6 6 Kita coba untuk meyakinkan hasil 4 3 1 2 = x + 2x + x + + K 3 6
y = (2 x + 1) 2 dx =
∫
ini dengan hasil yang akan diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.
∫
∫
y = (2 x + 1) 2 dx = (4 x 2 + 4 x + 1)dx =
4 x3 4 x 2 + + x + K′ 3 2
1/5
Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya, K ′ = K + 1/ 6 .
Contoh: Hitunglah y = Misalkan 1 − x 2 = v →
3x
∫
dx
1 − x2
dv dv = −2 x → dx = dx − 2x y=
pada integrasi
dv , maka v
dv
∫v
dx =
1− x 2
3x v
1/ 2
dv 3 −1 / 2 3 v1/ 2 =− v dv = − = −3 1 − x 2 − 2x 2 2 1/ 2
∫
dv
∫v
2.5. Integral Fungsi Berpangkat -1: Karena d (ln v) =
3x
∫
= ln v + K . Integrasi ini memecahkan masalah persyaratan n ≠ −1
∫ v dx . n
Contoh: Carilah integral y =
2x
∫ x 2 + 1 dx
dv dv = 2 x → dx = dx 2x 2x 2 x dv dx = = ln v + K = ln( x 2 + 1) + K v 2x x2 + 1
Misalkan v = x 2 + 1 → y=
∫
∫
2.6. Integral Fungsi Eksponensial: ∫ ev dv Karena dev = ev dv maka
∫ e dv = e v
v
+K
2.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi : ∫ a v dv Karena da v = a v ln adv maka
∫
a v dv =
av +K ln a
∫
Contoh: Carilah y = 32 x dx Misalkan v = 2x →
dv dv = 2 → dx = dx 2
∫
y = 32 x dx =
∫
3v 1 32 x dv = +K 2 2 ln 3
2.8. Integral Fungsi Trigonometri
∫ cos vdx = sin v + K Karena d cos v = − sin vdx maka ∫ sin vdx = − cos v + K
Karena d sin v = cos vdv maka
Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain termuat dalam Tabel-2.1.
∫
Contoh: Carilah integral tak tentu y = sin 2 xdx dv dv = 2 → dx = dx 2 sin v − cos v cos 2 x y = sin 2 xdx = dv = =− 2 2 2
Misalkan v = 2 x →
∫
2/5
∫
Sudaryatno Sudirham, Integral (2)
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
2.9. Integral Fungsi Hiperbolik
∫ cosh vdv = sinh v + K Karena d (cosh v ) = sinh vdv maka ∫ sinh vdv = cosh v + K
Karena d (sinh v) = cosh v maka
Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat dalam Tabel-2.1.
∫
Contoh: Carilah y = cosh(2 x + 1)dx Misalkan v = 2 x + 1 →
dv dv = 2 → dx = dx 2
1 1 cosh(v)dv = sinh v + K 2 2 1 = sinh( 2 x + 1) + K 2
∫
∫
y = cosh(2 x + 1)dx =
2.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi Integral fungsi-fungsi yang berbentuk
dv
∫
,
1 − v2
dv
∫ 1 + v2 , ∫ v
dv v2 − 1
dan setrusnya mulai nomer
20 sampai 31, menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi. dx
Contoh: Carilah y = ∫
1 − 4x 2
Jika kita membuat pemisalan v = 1 − 4 x 2 maka
dv dv = −8 x atau dx = . Kalau pemisalan ini kita dx − 8x
masukkan dalam persoalan integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk
∫v
−1 / 2
dv − 8x
yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v. Namun bentuk
∫
dx 1 − 4x
ini dapat kita transformasi menjadi bentuk yang termuat dalam Tabel2
2.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x yang akan memberikan
dv dv = 2 atau dx = . Persoalan 2 dx
integral kita menjadi y=
yang menghasilkan
y=
∫
dx 1 − 4x
2
=
∫2
dv 1− v
2
=
1 2
∫
dv 1 − v2
1 −1 1 sin v + K = sin −1 (2 x) + K 2 2
2.9. Relasi Diferensial dan Integral Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya. Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9 dan 16, 17 yang sering kita temui. Tabel-2.1.
∫
dv dx dx 2. d (kv) = kdv
1. dv = v + K
3. d (v + w) = dv + dw
3. ∫ (dv + dw) = ∫ dv + ∫ dw
1. dv =
2.
∫ kdv = k ∫ dv
3/5
4. dv n = nv n −1dv 5. d (ln v) =
∫
dv v
7. da v = a v ln adv
9. d (cos v) = − sin vdv 10. d (tan v) = sec 2 vdv 11. d (cot v) = − csc 2 vdv 12. d (sec v) = sec v tan vdv 13. d (csc v) = − csc v cot vdv 14. d (sinh v) = cosh v 15. d (cosh v) = sinh vdv 16. d (tanh v) = sec h 2vdv 17. d (coth v) = − csc h 2vdv 18. d (sechv) = − sec hv tanh vdv 19. d (cschv) = − csc hv coth vdv dv
20. d (sin −1 v) =
24. d sec −1 v = 25. d csc −1 v =
2
−dv
21.
1 − v2 dv
1+ v −dv
2
1+ v dv 2
v v −1 2
− dv v v −1 2
dv
26. d (sinh −1 v ) = 27. d (cosh −1 v) = 28. d (tanh −1 v) =
4/5
∫ 8. ∫ cos vdv = sin v + K 9. ∫ sin vdv = − cos v + K 10. ∫ sec 2 vdv = tan v + K 11. ∫ csc2 vdv = − cot v + K 12. ∫ sec tan vdv = sec v + K 13. ∫ csc cot vdv = − csc v + K 14. ∫ cosh vdv = sinh v + K 15. ∫ sinh vdv = cosh v + K 16. ∫ sec h 2vdv = tanh v + K 17. ∫ csc h 2vdv = − coth v + K 18. ∫ sec hv tanh vdv = −sechv + K 19. ∫ cschv coth vdv = −coshv + K 20.
1− v
21. d (cos−1 v) =
av +K ln a
7. a v dv =
8. d (sin v) = cos vdv
23. d cot −1 v =
dv
∫ v = ln v + K 6. ∫ ev dv = ev + K 5.
6. dev = ev dv
22. d tan −1 v =
v n +1 + C ; n≠1 n +1
4. v n dv =
1+ v
2
dv v −1 2
dv 1− v
2
Sudaryatno Sudirham, Integral (2)
dv
∫
1− v
= sin −1 v + K
2
dv
∫
1− v
= − cos −1 v + K ′
2
dv
−1
22.
∫ 1 + v 2 = tan
23.
∫ 1 + v2 = − cot
24.
∫v
25.
∫
dv
26. ∫ 27.
∫
dv v −1 2
v v −1 dv 1+ v
2
dv v2 − 1
−1
v+K
= sec −1 v + K , v >0
dv 2
v+K
= − csc −1 v + K , v >0
= sinh −1 v + K
= cosh −1 v + K
28. ∫ dv = tanh −1 v + K ; jika |v|<1 2 1− v
Darpublic
Nopember 2013 dv
29. d (coth −1 v) =
1− v −dv 30. d (sec h −1v) = v 1 − v2 2
−dv
31. d (csc h −1v) =
v 1+ v
2
www.darpublic.com
dv
29.
∫ 1 − v2 = coth
30.
∫v
31.
∫v
dv 1− v
2
dv 1+ v
2
−1
v + K ; jika |v|>1
= − sec h −1 v + K ; = − csc h −1 v + K ;
Catatan Tentang Isi Tabel-2.1. Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-2.1 kita dapat melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup: Fungsi mononom dan polinom: Fungsi polinom berpangkat:
∫ vdv dv
∫ v dv ; ∫ v n
∫ e dv ; ∫ a dv Fungsi trigonometri: ∫ cos vdv ; ∫ sin vdv ; ∫ sec 2 vdv ; ∫ csc2 vdv ; ∫ sec tan vdv ; ∫ csc cot vdv . tetapi tidak: ∫ tan vdv ; ∫ cot vdv ; ∫ sec vdv ; ∫ csc vdv . Fungsi hiperbolik: ∫ cosh vdv ; ∫ sinh vdv ; ∫ sec h 2vdv ; ∫ csc h 2vdv ; ∫ sec hv tanh vdv ; ∫ cschv coth vdv ; tetapi tidak: ∫ tanh vdv ; ∫ coth vdv ; ∫ sec hvdv ; ∫ csc hvdv . v
Fungsi exponensial:
v
Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti
