INTEGRAL GANDA Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, ….n b
f ( x) dx a
n
lim f(x k ) x k
n
k 1
Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An
Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk ) dan bentuklah jumlah : n
f ( x , y ) A f ( x , y ) A f (x , y ) A ....... f (x , y ) A k 1
k
k
k
1
1
1
2
2
2
n
n
n
Jika jumlah sub daerah makin besar (n→∞), maka
integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan : n
f ( x, y)dA lim f ( x , y ) R
n
k 1
k
k
k
A
Untuk menghitung integral lipat dua dapat
digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk : y f2 ( y) a. f ( x, y)dA f ( x, y)dxdy f ( x, y )dx dy R R a y f1 ( y ) b
dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variabel y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.
b y f2 ( y ) b. f ( x, y)dA f ( x, y)dydx f ( x, y )dy dx R R a y f1 ( y ) dimana integral yang ada dalam kurung harus
dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x. Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b)
secara umum akan memberikan hasil yang sama.
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG Bentuk umum :
f ( x, y)dA f ( x, y)dxdy R
dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }
a,b,c dan d adalah konstanta
d R c
a
b
Contoh : 1 2
dxdy
1.
0 1 4 2
2.
2 2 ( x y )dxdy 2 1 4 2
3. ( xy 3 y 2 )dydx 2 1 4
2
4. (sin r cos 2 )ddr 2 0
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG a. f ( x, y )dA R
b
f 2 ( x)
f ( x, y)dy dx
x a y f1 ( x )
dimana :
R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }
b. f ( x, y)dA R
d
f2 ( y )
f ( x, y)dx dy
y c x f1 ( y )
dimana : R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }
Contoh 1 x
1
xy dydx 2
0 x2
2 3y
2. 1
( x y)dxdy y
1 x2 x
3.
x dydx
0 2 x2
4.
2 sin 2
2drd cos 2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :
f ( x, y) dA R
dapat dijelaskan sbb :
1. LUAS Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat
dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat dua menjadi : A dA atau A dxdy R
R
dydx R
Dalam koordinat polar : A dA R
2
2
d d 1
contoh : 1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = 0, x + y = 2 dan 2y = x + 4 2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola-parabola : y2 = 4 – x dan y2 = 4 – 4x 3. Hitung :
1
A dA R
dengan R adalah daerah dikuadran pertama yang berada diluar lingkaran r=2 dan di dalam kardioda r = 2(1+cos ѳ)
2. VOLUME Jika z=f(x,y) adalah persamaan permukaan , maka: V f ( x, y) dxdy R
adalah volume benda antara permukaan dan bidang xoy. Contoh :
Hitung volume benda yang dibatasi oleh selinder x2 + y2 = 4 dan bidang-bidang y + z = 4 dan z = 0
3. Massa Jika f(x,y) dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas ), maka :
f ( x, y)dxdy R
merupakan massa dari benda itu. contoh : Sebuah lamina (pelat tipis) dengan kerapatan f(x,y)=xy dibatasi oleh sumbu x, garis x = 2 dan kurva y=x3 Tentukan massa totalnya.
4. Pusat Massa Jika f(x,y) merupakan massa jenis dari lamina (pelat tipis), maka pusat massanya : (x,y) adalah sbb : M x Y M
x f ( x, y)dA S
f ( x, y)dA S
,
MX y M
y f ( x, y)dA S
f ( x, y)dA S
Contoh : Tentukan pusat massa dari lamina yang mempunyai Kerapatan f(x,y) = xy dan dibatasi oleh sumbu x , garis x = 2 dan kurva y = x3
5. Momen Inersia Momen Inersia dari pelat tipis yang mempunyai Kerapatan f(x,y) terhadap sumbu x dan sumbu y adalah : I x y 2 f ( x, y)..dA
I y x 2 f ( x, y)..dA
, R Sedangkan momen inersia terhadap sumbu z ( titik asal ) : R
I Z I x I y ( x 2 y 2 ) f ( x, y)..dA R
Contoh : Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z Untuk lamina yang mempunyai kerapatan xy dan dibatasi sumbu x , garis = 2 dan kurva y = x3
INTEGRAL LIPAT TIGA Integral lipat tiga f ( x, y, z )dV dari suatu fungsi tiga R variabel bebas thd. daerah R, dimana fungsi bernilai tunggal dan kontinu, merupakan suatu pengembangan dari integral tunggal dan integral lipat dua. Jika f(x,y,z) = 1, maka integral menjadi
f ( x, y, z)dV dV R
volume daerah R
:
dapat diartikan pengukuran
Dalam koordinat tegak lurus , integral tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : x2 y2 ( x ) z2 ( x , y )
f ( x, y, z)dV R
x1 y1 ( x ) z1 ( x , y )
dimana : x1 ≤ x ≤ x2 y1 (x) ≤ y ≤ y2(x) z1 (x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)
f(x, y,z)dzdydx
Contoh : 2 3 4
1.
xyz dzdydx
1 2 3 1
2.
x xy
2z dzdydx
0 x2 0
1
3.
x2
x y
0 x -2
2xz dzdydx
0
1 2 x x 2 y
4. 0
x
0
(x 2z) dzdydx
