DAERAH INTEGRAL, DIU, DFT
Semua Ritlg R pada Bab 5 ini diasumsikan komutatif, dan mempunyai suatu elemen Unitas 1, kecuali jika disebutkan lain.
DAERAH INTEGRAL Sekarang, mula-mula sekali kita definisikan Pembagi Nol pada suatu Ring R.
Definisi 5.1 (Pembagi Nol) Suatu elemen nonzero a < R adalah suatu Pembagi Nol jika terdapat suatu elemen nonzero b, sedemikian sehingga ab
=o.
Definisi 5.2 (Daerah Integral) Suatu Ring komutatif D Brtunitas 1 adalah suatu Daerah Integral, atau Inte-
gral Domain, jika D tidak mempunyai Pembagi Not..
CONTOH DAERAH INTEGRAL Contoh 5.1 Ring ZlOSdari integer modulo 105 adalah bukan suatu Daerah Integral. Sembarang Zm' dengan m adalah komposit, mempunyai Pembagi Nol; untuk m
Pada m
= ab, (1 < a, b < m) berakibat ab = 0 pada ~.
= 105, terdapat enam Pembagi Nol
yakni 3, 5, 7, 15, 21, dan 35.
Contoh 5.2 Ring ~9dari
integer modulo 29 adalah suatu Daerah Integral.
Hal ini adalah kebalikan Contoh 5.1, yakni jika P adalah prima maka Z-ptidak mempunyai Pembagi Not.
74
Di sini, untuk
1 < a. b < p, ab=O+kp p tidak habis dibagi a atau p tidak habis dibagi b
berakibat
a=Oataub=O
Sifat 5.1 Pandang D adalah suatu Daerah Integral. Jika ab
b
= c.
=ac, dengan a * 0, maka
Bukti Jika ab = ac, maka ab-ac = 0, dan karenanya a(b-c) = 0 Karena a
* 0, dan D tidak mempunyai Pembagi Nol, haruslah b-c b
=0, atau =c, seperti yang diminta.
Karena itu, perkalian pada D memenuhi hukum penghapusan.
IDEAL UTAMA (IU) DAN DAERAH IDEAL UTAMA (DIU) Definisi 5.3 (Ideal Utama) Pandang Ring Komutatif R dengan suatu elemen identitas 1. Misalkan a sembarang elemen pada R. Himpunan [a]
= Ira Ire
R}
adalah suatu Ideal, yang kita sebut Ideal Utama (IU) yang dibentuk oleh a. 75
Definisi 5.4 (Daerah Ideal Utama) Suatu Ring R adalah suatu Daerah Ideal Utama (DIU), jika R adalah suatu Daerah Integral, dan jika setiap Ideal pada R adalah Ideal Utama.
CONTOH DIU Contoh 5.3 Akan kita tunjukkan bahwa Z adalah suatu DIU. Z adalah suatu Daerah Integral, karena Z tidak mempunyai Pembagi Nol. Pandang J adalah suatu Ideal pada Z.
Jika J
= to}, maka J = [0], Ideal Utama yang dibentuk oleh o.
Pandang bahwa J * to}, dan bahwa x * 0 termasuk dalam 1. Karenanya -x = (-I)x termasuk dalam J; karena itu J berisi paling sedikit satu integer positif. Misalkan a adalah integer positif terkecil pada J.
Kita inginkan bahwa J
= [a], yakni, bahwa J berisi semua kelipatan dari a.
Pandang x E 1. De~gan Algoritma Pembagian
x
= qa + r
di sini 0 <= r <= a. Karena J adalah suatu Ideal, dan a serta x E J, maka kita mempunyai r
x
- qa termasuk
r
=0,
=
dalam J.
Karena a adalah integer positif terkecil dalam J dan r < a, maka haruslah
Buatlah x suatu kelipatan dari a. Karena itu J = [a], dan karenanya Z adalah suatu DIU.
76
ASOS/AS/ Sekarang kita detinisikan asosiasi dari suatu elemen Ring.
Definisi 5.5 (asosiasi) Suatu elemen b E R disebut assosiasi dari a E R, jika
b = ua untuk beberapa Unit u E R.
CONTOH ASOS/AS/ Contoh 5.4 Kita hendak mencari asosiasi dari 4 pada ZIO (integer modulo 10). Unit pada ZIOadalah 1, 3, 7, dan 9 [lihat Contoh 4.2]. Kita kalikan 4 dengan masing-masing Unit: 1*4 = 4, 3*4 = 2, 7*4
= 8, dan
9*4
=6
(Perkalian dikerjakan pada modulo 10). Karena itu 2.,4, 6, dan 8 adalah asosiasi dari 4 pada ZIO.
Contoh 5.5 Kita hendak mencari asosiasi dari 5 pada ZIO. Kita kalikan 5 dengan ma<;ing-masing Unit:
1*5 = 5, 3*5 = 5, 7*5 = 5, dan 9*5 = 5 Karena itu hanya 5 merupakan suatu assosiasi dari 5 pada ZIO.
77
Contoh 5.6 Akan kita tunjukkan bahwa relasi asosiasi adalah suatu relasi ekivalen pada Ring R. Sembarang elemen a adalah suatu asosiasi dari dirinya sendiri, karena a la (hukum refleksif).
=
Pandang b adalah suatu asosiasl dari a. Berarti b
= ua
di sini u adalah suatu Unit. Karenanya
di sini u-I adalah suatu Unit pula. Jadi a adalah suatu asosiasi dari b (hukum simetrik). Terakhir, pandang a adalah suatu asosiasi dari b, dan b adalah suatu asosiasi dari c:
di sini u I dan u2 adalah Unit. Karenanya a
= ul(u2c) = (u1u2)c
di sini perkalian u1u2 adalah juga suatu Unit. Karenanya a adalah suatu asosiasi dari c (hukum transitii ).
Contoh 5.7 Kita hendakmencariasosiasidari n e Z. Unit pada Z hanyalah1 dan -I (LihatContoh4.1). Karenanyahmiyan dan n merupakanasosiasidari n. 78
OAERAH FAKTORISASI TUNGGAL (OFT) Mula-mula kita definisikan suatu Elemen Tak Tereduksi pada suatu Daerah Integral D.
Definisi 5.6 (Elemen Tak Tereduksi) Suatu non Unit p E D adalah Tak Tereduksi, jika p
= ab berakibat
a atau b
adalah suatu Unit. Hal ini jelas adalah suatu perluasan dari pengertian prima pada Z. Bilangan Prima, dan negatif mereka merupakan Elemen Tak Tereduksi pada Z. Sekarang kita definisikan suatu Daerah Faktorisasi Tunggal atau Unique Factorization Domain.
Definisi 5.7 (Daerah Faktorisas! Tunggal) Suatu Daerah Integral D adalah suatu Daerah Faktorisasi Tunggal (DFT), jika setiap non Unit a E D dapat ditulis secara tunggal (unique) sebagai suatu hasil kali dari Elemen Tak Tereduksi.(Hasil kali yang berbeda karena urutannya atau karena asosiasinya, dianggap sarna)
CONTOH OFT Contoh 5.8 Kita hendak menyatakan 12 pada Z sebagai suatu hasil kali dari Elemen Tak Tereduksi. Terdapat 12 hasil kali: 12 = 2 - 2 - 3 = (-2) - (-2) - 3 = (-2) - 2 - (-3) = 2 - (-2) - (-3)
=2-3-2 79
= (-2) - (-3) - 2 = (-2) - 2 - (-2) = 2 - (-3) - (-2)
=3-2-2 = (-3) - (-2) - 2 = (-3) - 2 - (-2) = 3 - (-2) - (-2)
Contoh 5.9 Apakah Z suatu DFf? Ya. Meskipun 12, dan sebagainya. dapat ditulis dalam banyak cara sebagai suatu hasil kali dari Elemen Tak Tereduksi. semua hasil kali serupa itu berbeda hanya terhadap urutan atau asosiasinya,jadi adalah hasil kali yang tunggal.
Contoh 5.10 HimpunanD = {a + b.../13I a. b integer} adalah suatu Daerah Integral. Unit dari D adalah :tl. 18:t 5.../13.dan -18:t 5.../13.Elemen 2. 3 /13. dan -3 /13 adalah Elemen Tak Tereduksi pada D. Temyata bahwa D adalah bukan DFf. karena rnisalnya 4 dapat dinyatkan sebagai hasil kali Elemen Tak Tereduksi secara tidak tunggal. yakni
80
4
= 2_2.
4
= (3
dan
/13)(-3 /13).
